21.02.2018 1

Přehled fyziky pro předmět:Základy dozimetrie a nukleární

medicínyKBBV FCHT

Stránky fyzikální části této přednášky:

http://stein.upce.cz/mszdnm18.html

21.02.2018 2

Fyzikální úvod do předmětu

• Přednášející: Doc. Miloš Steinhart

• Adresa: Studentská 84, 06 036 (514), 466 036 029

• stein@imc.cas.cz

• stein.upce.cz/fnuk/fnuk_0n.ppt• Přednášky Čt:

22.2., 1.3. a 8.3 : 07:00 – 09:00 C1

21.02.2018 3

FZDNM_01 Základní fyzikální pojmy a

veličiny: mechanika

http://stein.upce.cz/fnuk/fnuk_01.ppt

Doc. Miloš Steinhart, UAFM UPCE EA 06 036, tel. 466 036 029 (026)

21.02.2018 4

Fyzika - zákony zachování• Energie :

• Celková energie soustavy, tedy součet všech jejích druhů se při všech dějích a interakcích zachovává.

• Hybnosti :

• Nepůsobí-li vnější síly, zachovává se při všech dějích a interakcích vektor celkové hybnosti soustavy.

• Momentu hybnosti

• Nepůsobí-li momenty vnějších sil, zachovává se při všech dějích a interakcích vektor celkového momentu hybnosti soustavy.

• Náboje

• Elektrický náboj soustavy se zachovává při všech dějích a interakcích.

21.02.2018 5

Hlavní body• Základní kinematické a dynamické veličiny

a jejich vztahy• Fyzikální veličiny, rozměr a jednotky

• Kinematika a dynamika hmotného bodu

• Základní dynamické veličiny. Newtonovy zákony.

• Gravitační pole, potenciální energie

• Práce a zachování celkové energie

21.02.2018 6

Úvod do fyziky I

• Fyzika je nejzákladnější věda, která se se zabývá studiem struktury a chováním hmoty = to, co existuje kolem nás, od mikroskopických po makroskopické rozměry.

• Richard Feynman “fyzika je způsob myšlení“:

Příroda hraje šachy a my se snažíme odkoukat pravidla hry. Přímo pozorujeme tahy figurkami, ale důvod, proč se určitým způsobem táhne znamená vyšší stupeň poznání.

21.02.2018 7

Úvod do fyziky II

• Fyzika je věda, ne proto, že je obtížná, ale:• Je založená na interpretaci experimentů.

• Každá její teorie je platná, dokud souhlasí s experimentem.

• Experiment je nejvyšší autorita. (dočasné výjimky: Newton, Einstein…).

• Na rozdíl od života, politiky a pavěd výjimka nepotvrzuje pravidlo, ale bourá jej a vynucuje si vytvoření pravidel nových.

21.02.2018 8

Dělení fyziky I

• Fyzika je velmi rozsáhlá, ani fyzikové ji neznají celou. Hledisek dělení může být mnoho:

• Klasická:• Mechanika – kinematika, dynamika, hydrostatika,

hydrodynamika, termika a termodynamika. Geometrická optika, akustika. Elektřina a magnetismus. Astronomie.

• Moderní (zahrnuje nové obory i rozvíjí klasickou):• Teorie relativity, kvantová, jaderná, elementárních

částic, kondenzovaný stav, astrofyzika a kosmologie.

21.02.2018 9

*Dělení fyziky II

• Experimentální:• Návrh, provádění a vyhodnocování měření.

• Teoretická:• Snaží se vysvětlit experiment a mechanismus

fungování přírody. Existuje ale i sama o sobě. Tím má blízko k umění a literatuře, ale její užitečnost se prověřuje experimentem. Některé současné kosmologické nebo kvantové teorie se samy deklarují jako neověřitelné!?

21.02.2018 10

Dělení fyziky III• V přednášce položíme základy většině důležitých klasických

oblastí a uskutečníme exkursi do fyziky moderní.

• Jev – pozorujeme náhodně nebo plánovaně – experiment.• Hypotéza – nápad, jak vysvětlit určitý jev.• Model – určitý jev formuluje matematicky.• Teorie – širší a detailnější vysvětlení zpravidla skupiny jevů

na společném základě.• Zákon – stručný, ale velmi obecný předpis, jak se příroda

chová (deskriptivní vs. preskriptivní)• Fyzika se buduje od hypotéz k zákonům. Tuto cestu je

užitečné projít i při snaze ji hlouběji porozumět.

21.02.2018 11

Fyzikální rozměry a jednotky I• Každá fyzikální veličina má určitý rozměr

(například délku; čas; rychlost, hmotnost) a měří se v jistých jednotkách (metr, míle, světelný rok; sekunda, rok; uzel, km/h; gram).

• V r. 1795 byl ve Francii uzákoněn metrický systém a z něj se vyvinula soustava SI. Proč:• Velké množství různých jednotek brzdí poznání!• Např. archeologové mají problémy s jednotkami,

které byly dávno zapomenuty.

21.02.2018 12

Fyzikální rozměry a jednotky II

• SI – Système International d’Unités.• Soustava je založená na 7 základních a 22

odvozených jednotkách a jejich desetinném dělení a násobení.

• Nemetrické: USA, Libérie, Barma. Ale paradoxně tzv. imperiální míry jsou od roku 1893 definovány pomocí metrického systému!

1” (palec) = 2.54 cm, 1 NM = 1852 m (přesně)

Je nutné umět jednotky spolehlivě převádět!

21.02.2018 13

Základní jednotky SI

• metr m – délka

• kilogram kg – hmotnost

• sekunda s – čas

• ampér A – elektrický proud

• kelvin K – teplota

• mol mol – látkové množství

• kandela cd – svítivost

21.02.2018 14

*Základní jednotky - metr

• Původně 10-7 kvadrantu Země. Kvůli nepraktičnosti byl vytvořen etalon – mezinárodní metr. Na rozdíl od “středověkých loktů” je ale definován na základě reprodukovatelné hodnoty.

• Nyní definován pomocí rychlosti světla ve vakuu: c = 299 792 458 ± 1 ms-1

21.02.2018 15

*Základní jednotky - kilogram

• Původně hmotnost 1 l vody za určitých podmínek.

• Nyní stále ještě etalon – mezinárodní kilogram. To je trochu paradox s tím, “že vážení je nejpřesnější měření”.

21.02.2018 16

*Základní jednotky - sekunda

• Původně 1/86400 solárního dne 1. 1. 1900.

• Nyní pomocí kmitočtu spektrální čáry133Cs: 9 192 631 770 Hz

21.02.2018 17

*Základní jednotky - ampér

• Pomocí silových účinků dvou rovnoběžných (nekonečně dlouhých) vodičů protékaných proudem.

• Jsou-li vzdáleny 1 m od sebe a protéká-li jimi (souhlasně) proud 1 A, přitahují se silou 0.2 N na 1 m délky.

21.02.2018 18

*Základní jednotky - kelvin

• Stupeň stejně velký jako stupeň Celsiův, tedy interval tuhnutí a varu vody za normálních podmínek se dělí na 100 stupňů.

T[K] = 273. 15 + T[°C]

• K definici stačí jediný bod, používá se trojný bod vody 273.16 K

21.02.2018 19

Základní jednotky - mol

• Počet atomů v 0.012 kg uhlíku 12C.

• Počet rovný NA = 6.02214199 1023 částic.

(Amedeo Avogadro 1776 - 1856)

• Dohodnuté číslo, které umožňuje převod z exotických jednotek mikrosvěta do pro nás běžných jednotek makroskopických.

21.02.2018 20

Předpony násobných jednotek I

• kilo 103 k

• mega 106 M

• giga 109 G

• tera 1012 T

• peta 1015 P

• exa 1018 E

21.02.2018 21

Předpony násobných jednotek II

• mili 10-3 m

• mikro 10-6 • nano 10-9 n

• piko 10-12 p

• femto 10-15 f

• atto 10-18 a

21.02.2018 22

*Příklad I – délka • poloměr neutronu 10–15 m• poloměr atomu 10–10 m = 1 Å• délka viru 10–7 m• tloušťka papíru 10–4 m• prst 10–2 m• fotbalové hřistě 102 m• výška Mt. Everestu 104 m• poloměr Země 107 m• vzdálenost Země-Slunce 1011 m• vzdálenost Země- Centauri 1016 m• nejbližší galaxie 1022 m• nejvzdálenější viditelná galaxie 1026 m

21.02.2018 23

*Příklad II – čas• doba života některých částic 10–23 s• průlet světla atomem 10–19 s• průlet světla papírem 10–13 s• tlukot srdce 1 s• den 104 s• rok 107 s• lidský život 109 s• známé dějiny lidstva 1012 s• život na Zemi 1016 s• stáří vesmíru 1022 s • ! poločas rozpadu 10–22 – 1028 s

21.02.2018 24

*Příklad III – hmotnost • elektron 10-30 kg• proton, neutron 10-27 kg• molekula DNA 10–17 kg• bakterie 10–15 kg• komár 10-5 kg• člověk 102 kg• loď 108 kg• Země 6 1024 kg• Slunce 3 1030 kg• galaxie 1041 kg

21.02.2018 25

*Goniometrické funkce• Úhel vyjadřujeme ve stupních nebo radiánech.

• cos() … první souřadnice průsečíku orientovaného úhlu s jednotkovou kružnicí

cos je funkce sudá: cos(-) = cos()

• sin() … druhá souřadnice téhož průsečíku

sin je funkce lichá: sin(-) = - sin()

• tg() = sin() / cos()

• cotg() = cos() / sin()

• sec()=1/cos(); cosec()=1/sin()

• sin2() + cos2() = 1

21.02.2018 26

**Součtové vzorce I

• sin(+) = sin()cos() + sin()cos()

• sin(-) = sin()cos() – sin()cos()

• cos(+) = cos()cos() – sin()sin()

• cos(-) = cos()cos() + sin()sin()

• sin(2) = 2 sin()cos()

• cos(2) = cos2() – sin2()

• sin2(/2) = [1 – cos()]/2

• cos2(/2) = [1 + cos()]/2

21.02.2018 27

**Součtové vzorce II

• sin()+sin() = 2sin((+)/2)cos((-)/2)

• sin()–sin() = 2cos((+)/2)sin((-)/2)

• cos()+cos() = 2cos((+)/2)cos((-)/2)

• cos()–cos() = –2sin((+)/2)sin((-)/2)

• Eulerův vzorec:

exp(±i) = cos() ± i sin()

i2 = –1 … imaginární jednotka

Pomocí Eulerova vzorce lze součtové vzorce snadno dokázat.

21.02.2018 28

**Rotace souřadnic

• Souřadné soustavy mají společný počátek a čárkovaná je pootočená o úhel + okolo osy z :

• x’ = x cos() + y sin()

• y’ = – x sin() + y cos()

• Zpětná transformace -> -, x’-> x, y’-> y

• x = x’ cos() – y’ sin()

• y = x’ sin() + y’ cos()

21.02.2018 29

**Transformace souřadnic I

• Řešení problému se podstatně zjednoduší, zvolíme-li vhodné souřadnice – například souřadnice polární

• Souřadné soustavy mají společný počátek

• Bod v kartézské pravoúhlé s. s. je dán dvojicí [x,y] a element plochy dS = dx*dy

• Bod v polárních souřadnicích je dán dvojicí [r,] a element plochy dS = dr*rd

• ;

• x = r cos() ; y = r sin()

22 yxr )( xyacrtg

21.02.2018 30

*Sinova a cosinova věta

• mějme libovolný trojúhelník, v němž strana a je protilehlá úhlu , strana b ~ a strana c ~

• sinova věta :

• a / sin() = b / sin() = c / sin()

• cosinova věta :C

• c2 = (a – b cos())2 + (b sin())2 =

a2 + b2 – 2ab cos()

21.02.2018 31

!Vektorový počet I• skalární veličinu lze vyjádřit číslem

• teplota, čas, energie

• vektorová veličina má velikost a směr• rychlost, hybnost, síla, moment hybnosti

• = (x1, x2, x3) =• =(cos(1), cos(2), cos(3)) jednotkový vektor

• xi složky vektoru

• = r = (x21 + x2

2 + x23 + …)1/2 … velikost vektoru

• cos(i) … směrové cosiny - jsou navzájem závislé!

r

r 0r

0r

r

32

22

120 coscoscos1 r

21.02.2018 32

!Vektorový počet II

• nulový vektor ... nulová délka, libovolný směr

• násobení skalárem k = (kx1, kx2, kx3) = k

• opačný vektor k = -1 … změna orientace

• součet vektorů = + … ci = ai + bi

• rozdíl vektorů = – … di = ai – bi

• úhlopříčky rovnoběžníku, který vektory tvoří: • c2 = a2 + b2 + 2ab cos()

• d2 = a2 + b2 – 2ab cos()

• Skalární a vektorový součin

r

r 0r

c

d a

a

b

b

21.02.2018 33

Kinematika a dynamika hmotného bodu

• Kinematika se zabývá pouze popisem pohybu a nepátrá po příčinách jeho změn.

• Dynamika se zabývá pohybem včetně příčin změn a zachování veličin.

• Nejprve se zabýváme klasickou mechanikou, kde: • Studované objekty nejsou mikroskopické a• Pohybují se rychlostmi mnohem menšími než c.

• Pracujeme s hmotným bodem má: • nenulovou hmotnost• zanedbatelné geometrické rozměry vzhledem k rozměrům problému.

(Jde hlavně o zanedbání rotací, Kallysto, kulečníková koule, moucha, můra ).

21.02.2018 34

Kinematika I

• Kinematikou se zabýváme proto, že zde lze na známých a snadno pochopitelných představách a veličinách ilustrovat postupy řešení problémů ve složitějších oblastech. Například:• Prvním krokem řešení problému je zjištění jeho

skutečného rozměru a zavedení příslušných souřadnic.

• Obdobný aparát jako je používán u přímočarého pohybu, který lze popsat jednorozměrně, lze aplikovat při popisu časového vývoje všech skalárních veličin, např. počet obyvatel města, koncentrace alkoholu při kvašení apod.

21.02.2018 35

Kinematika II

• Poloha hmotného bodu je určena polohovým vektorem = (x1, x2, x3).

• Průměrná rychlost v = s/t = celková dráha/čas. Obecně se v průběhu času mění velikost i směr.

• Okamžitá rychlost = d /dt . (vi = dxi/dt). V daném okamžiku má vždy směr tečný k dráze.

• Zrychlení = d /dt = d2 /dt2 . (ai = d2xi/dt2).Je to “rychlost rychlosti”. Směr vůči vektoru rychlosti může být obecně různý, podle okolností.

r

r

v

r

v

a

21.02.2018 36

Kinematika III

• Vzhledem ke směru rychlosti je účelné rozložit zrychlení na tečné a normálové.

• Tečné zrychlení mění pouze velikost rychlosti, zatímco zrychlení normálové mění jenom její směr.

• Ve vlastním zájmu si zopakujte základy vektorového počtu: vektor, jeho složky a fyzikální význam hlavních operací, násobení konstantou, součtu, rozdílu, skalárního a vektorového součinu.

nata

21.02.2018 37

Kinematika IV

• Má-li být hmotný bod v určitém místě vychýlen z přímočaré trajektorie, musí zde existovat nenulové normálové zrychlení směřující do okamžitého středu křivosti – dostředivé zrychlení.

• Zatáčky je zvykem popisovat jejich poloměrem křivosti: Čím je tento poloměr menší, tím je zatáčka ostřejší a tím větší musí být normálové zrychlení, aby bylo příslušného zakřivení dráhy dosaženo.

• Je-li poloměr křivosti zatáčky nekonečný, jedná se o pohyb přímočarý.

21.02.2018 38

!Pohyb přímočarý rovnoměrný• Souřadnou soustavu zavádíme tak, aby se jedna osa (např.

x) ztotožňovala se směrem pohybu, potom vystačíme se skalární rychlostí v, popř. se skalárním zrychlením a. Pozůstatkem vektorové povahy těchto veličin je jejich orientace.

• Pohyb rovnoměrný přímočarý

v = dx/dt => x(t) = x0 + v t , kde x0 ≡ x(t=0) je integrační konstanta - počáteční podmínka: Abychom mohli popsat, kde je bod v libovolném čase, musíme znát, kde byl v jednom určitém čase, obvykle počátečním.

00

avv

21.02.2018 39

!Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený I

• Přímočaré pohyby mohou mít i zrychlení vyššího řádu, ale často je nenulové jen zry. řádu prvního:

• Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený• a = dv/dt => v(t) = v0 + a t , kde v0 ≡ x(t=0) je

druhá integrační konstanta• x(t) = x0 + v0 t + a t2/2 . Po druhé integraci přibyla

další integrační konstanta. Počáteční podmínky jsou určeny dvěma nezávislými parametry x0 a v0.

• Na počátečních podmínkách záleží, zda se jedná o pohyb zrychlený nebo o pohyb zpomalený!

0taa

21.02.2018 40

Pohyb přímočarý rovnoměrně zrychlený II

• Závisí to na zrychlení a i na počáteční rychlosti v0!

• Je-li v0 > 0 znamená

a > 0 pohyb zrychlený; a < 0 pohyb zpomalený

• Ale je-li v0 < 0 je tomu naopak (!)

a > 0 pohyb zpomalený; a < 0 pohyb zrychlený

• Tedy, mají-li zrychlení a počáteční rychlost stejnou orientaci, jedná se o pohyb zrychlený, mají-li orientaci opačnou, je pohyb zpomalený.

21.02.2018 41

Pohyb křivočarý

• Normálová složka zrychlení musí být obecně alespoň někde nenulová a poloměr křivosti se může měnit.

• Speciální případ je pohyb po kružnici. Odehrává se v jedné rovině a poloměr křivosti je konstantní = r.

na

21.02.2018 42

!Časová závislost veličin nemechanických

• Jedním z důvodů, proč se vyučuje již celkem probádaná kinematika jsou analogie kinematických a nemechanických veličin.

• Porozumění časových průběhů takových veličin je značně usnadněno díky tomu, že vzhledem ke každodenní zkušenosti je chápání mechanických veličin je relativně nejsnadnější.

• Příkladem může být radioaktivní rozpad.

21.02.2018 43

!Pohyb po kružnici I

• Pohyb rovnoměrný je konstantní a zrychlení směřuje neustále do středu otáčení je to tedy zrychlení dostředivé.

• Při zjednodušeném skalárním popisu ztotožníme osu otáčení s jednou z os souřadné soustavy (z).

• Hmotný bod prochází pravidelně kruhovou dráhu s = 2 r rychlostí s konstantní velikostí v.

• Doba jedné otáčky nebo-li perioda je T [s]. • Počet otáček za jednotku času f = 1/T se nazývá

frekvence f [s-1 Hz].

nt aa

,0

21.02.2018 44

Pohyb po kružnici II

• Při popisu pohybů bodů v konstantní vzdálenosti od středu otáčení je výhodné požívat úhlové veličiny :• ds = r d• v = ds/dt = r d/dt = r = 2 r / T = 2 f = 2 / T

• Takto se zavádí úhlová rychlost [s-1], která je v tomto případě konstantní pro všechny body tělesa vyjma bodů na ose.

21.02.2018 45

Pohyb po kružnici III

• Pro úhel nebo dráhu v jistém čase je po integraci:(t) = 0 + t

• s(t) = s0 + r t

0 nebo s0 jsou integrační konstanty opět dané počátečními podmínkami jako u přímočarého pohybu.

• Skutečná dráha a rychlost mohou záviset na čase:• s(t) = r (t)

• v(t) = r (t)

21.02.2018 46

Pohyb po kružnici IV

• Při rovnoměrném pohybu po kružnici :• Jsou průměty určitého bodu do kolmých os harmonické

kmity. Tedy souřadnice hmotného bodu jsou :

x(t)=cos (t) = cos(0 + t)

y(t)=sin (t) = sin(0 + t)

0 se zde nazývá počáteční fáze

• Dostředivé zrychlení má konstantní velikost:

vrrv

ad 22

21.02.2018 47

Pohyb po kružnici V

• Pohyb rovnoměrně zrychlený po kružnici. • Hmotný bod se pohybuje s konstantním

tečným at nebo úhlovým zrychlením : = d /dt• at = r

• Po integraci(t) = 0 + t(t) = 0 + 0 t + t2/2

21.02.2018 48

Pohyb po kružnici VI

• Zda se jedná o pohyb rovnoměrně zrychlený nebo zpomalený, opět závisí na počátečních podmínkách, konkrétně počáteční úhlové rychlosti 0 , která určuje smysl počáteční rotace :

• Je-li 0 > 0 a > 0 jde o pohyb zrychlený. Při < 0 jde o pohyb zpomalený.

• Je-li 0 < 0 je tomu samozřejmě naopak.

21.02.2018 49

**Pohyb po kružnici VII

• Protože rovina kruhové dráhy může mít různou polohu v prostoru, je nutné pro úplný popis pohybu použít vektorů

• Orientovaný úhel má směr normály ke kružnici, orientované tak, že je úhel vidět jako kladný nebo-li pravotočivý(!).

• Obdobně je definován i směr a orientace úhlové rychlosti a úhlového zrychlení .

21.02.2018 50

*Pohyb po kružnici VIII

• Jedná-li se o pohyb rovnoměrně zrychlený je orientace vektorů stejná v případě pohybu zpomaleného je jejich orientace opačná.

• Vektorové vyjádření rychlosti a zrychlení:

a

ra

rv

t

21.02.2018 51

Úvod do dynamiky • Mechanika by byla neúplná, kdyby se nezabývala, důvody

proč se tělesa dávají do pohybu, zrychlují, zpomalují, zakřivuje se jejich dráha nebo co se děje při jejich srážce.

• Pohybují-li se tělesa s nenulovým zrychlením, musí na ně působit nenulová síla, obecně výslednice působících sil.

• K udržení rovnoměrného přímočarého pohybu síly tedy třeba není .

• Dojít k tomuto jednoduchému závěru bylo velice obtížné a zdlouhavé, protože síly, jako například tření, nemusí být patrné. Navíc existují dalekodosahové síly, působící na dálku, tedy bez přímého kontaktu ovlivňujících se těles.

21.02.2018 52

!Hybnost

• Pohybový stav hmotného bodu se popisuje vektorem hybnosti definovaným jako:

• Význam hybnosti spočívá ve skutečnosti, že se zachovává, když je výslednice sil působících na hmotný bod nulová a mění se, když nulová není. Taková situace může nastat v důsledku interakce s jinými hmotnými body nebo se silovými poli.

vmp

21.02.2018 53

!Newtonovy zákony

• Isaac Newton (1642-1727) geniálně shrnul poznatky klasické dynamiky do tří zákonů:• Zákonu setrvačnosti• Zákonu síly • Zákonu akce a reakce

• Upřesnění těchto zákonů je nutné až za hranicemi klasické mechaniky, při vysokých rychlostech a v mikrosvětě .

21.02.2018 54

!Zákon setrvačnosti• Nepůsobí-li na hmotný bod síla, pohybuje se

rovnoměrně přímočaře nebo je v klidu.

• Přesně: Je-li síla působící na hmotný bod nebo některá její složka nulová, je jeho hybnost nebo její odpovídající složka konstantní. • Silou se zde a dále obecně rozumí výslednice všech

působících sil.

• V této obecné formulaci jsou zahrnuty i speciální pohyby, kde se mění hmotnost těles, jako raketový nebo relativistický.

21.02.2018 55

!Zákon síly I• Síla působící na hmotný bod je rovna časové

změně jeho hybnosti.

• Často, ale ne vždy (!) je splněn předpoklad, že hmotnost zůstává konstantní. Potom platí formulace jednodušší :

Jednotkou síly je 1 newton : N = kg m s-2

dt

vdm

dt

dmv

dt

vmd

dt

pdF

)(

amF

21.02.2018 56

!Zákon síly II• Předchozí vztahy jsou vektorové. Platí tedy

i v příslušných složkách. Například:• Druhá složka síly je rovna časové změně druhé

složky hybnosti. Na žádné jiné složce však nezávisí:

• Je-li třetí složka síly nulová, je třetí složka hybnosti konstantní:

)( yyy

y maFdt

dpF

.0 konstpdt

dpFF z

zzzi

21.02.2018 57

!Zákon akce a reakce

• Působí-li těleso 1 na těleso 2 silou ,

působí i těleso 2 na těleso 1 silou . • Obě síly jsou stejně velké, ale opačně

orientované: .

• Každá působí na jiné těleso a proto se tyto síly spolu nedají obecně složit.

• Složit se dají jen když je mezi tělesy tzv. vazba, Tedy jsou spojena. Potom je účinek sil nulový.

12F

21F

2112 FF

21.02.2018 58

!Časový účinek síly - impuls

• Za určitých okolností víme, že konstantní síla působí na jisté těleso po určitou dobu, potom integrací 2. Newtonova dostáváme přímo změnu jeho hybnosti :

Změna hybnosti se tedy rovná impulsu síly.• Je tedy důležité, jak dlouho síla působí.

• Vztah platí samozřejmě opět i ve složkách.

tFpttFpp

)( 1212

21.02.2018 59

!Dráhový účinek síly – práce I• Za určitých okolností víme, že konstantní síla působí na

jisté těleso po určité dráze, potom známe jakou práci síla vykonala a tím také, jak se změnila celková energie tohoto tělesa.

• Proti předchozímu případu konstantní doby je nyní situace komplikovaná tím, že dráha může být 3D a síla může mít sice konstantní velikost, ale měnit svůj směr.

• Takovou dráhu dělíme na potřebný počet rovných úseků a řešíme příslušný počet jednorozměrných případů.

21.02.2018 60

*Dráhový účinek síly – práce II

• Předpokládejme konstantní sílu, působící na volnou částici konstantní hmotnosti v jednom směru (po přímce = ose x), v němž se částice pohybuje.

• V důsledku působení síly se stav částice změní (t1, x1, v1) -> (t2, x2, v2).

* Použijeme vztahu pro souřadnici v čase t při rovnoměrně zrychleném pohybu :

212111 )()()( ttttvxtx a

21.02.2018 61

*Dráhový účinek síly - práce III

• V čase t2 tedy platí:

• Nyní dosadíme :• a = F/m

• (t2 – t1) = (v2 – v1)/a = (v2 – v1)m/F

• Po úpravě :

2122121122 )()()( ttttvxtxx a

222)(

)(21

22

21

22

12

mvmvvvmxxF

21.02.2018 62

!Dráhový účinek síly – práce IV

A = F x = v22 m/2 – v2

1 m/2 = Ek

• Tedy práce, kterou vykoná konstantní F síla na dráze x je rovna změně kinetické neboli pohybové energie Ek = mv2 /2

• Obě veličiny mají rozměr energie a v SI jednotku 1 joule : J = Nm = kg m2 s-2

• Obecně síla nemusí působit ve směru pohybu a práce jej její průmět do směru pohybu, tedy skalární součin :

dEldFdA

21.02.2018 63

**Dráhový účinek síly V

• Uvažujme opět jednorozměrný případ působení konstantní síly na kompaktní hmotný bod. V obecnějším případě bychom ztotožnili osu x se směrem posunu a uvažovali pouze složku síly do tohoto směru.

• Použili jsme:• Lze ukázat:

)2( 222 mvddvmvdvdxm

dxmdxmmadxdxFm

dxdv

dtdx

dtdx

dxdv

dtdv

x

dxdv

dtdx

dxdv

dtdv va

v

a

ttv

ta

dx

dva

t

2

20lim

21.02.2018 64

!Výkon působící síly

• Obvykle je také důležité i za jakou dobu došlo k vykonání určité práce. To charakterizujeme výkonem, který chápeme jako ‘rychlost konání práce’ a definujeme analogicky jako rychlost ‘klasickou’ :• Průměrný výkon : <P> = A/t

• Okamžitý výkon : P = dA/dt

• Jednotkou výkonu v SI je 1 watt W = Js-1

21.02.2018 65

*Gravitační síla a pole• Gravitační pole, které nás obklopuje, je názorným

příkladem dalekodosahového působení. Jeho prostřednictvím na sebe hmotné body vzájemně působí, aniž by byly v přímém kontaktu.

• Na základě gravitačního působení funguje nebeská mechanika. Gravitační zákon vznikl zobecněním dlouhodobých astronomických pozorování.

• Tyto představy se mění až v rámci obecné teorie relativity, která chápe gravitaci jako důsledek existence neinerciální vztažné soustavy.

21.02.2018 66

*Potenciální energie I

• Gravitační silou na sebe působí všechna hmotná tělesa. Ale například na Zemi a v těsné blízkosti jejího povrchu, dominuje právě gravitační přitažlivost Země.

• Na těleso o hmotnosti m působí svisle dolu neboli směrem do středu Země tíhová síla

G = mg. Tíhové zrychlení g je přitom pro všechna tělesa stejné.

21.02.2018 67

!Potenciální energie II• Vykonáme-li na tělese jistou práci, abychom jej

přesunuli do větší výšky, zvýšíme jeho potenciální energii právě o tuto práci. Potenciální energii lze chápat jako 'zakonzervovanou' energii, kterou lze veškerou později využít.

• Samovolně probíhají procesy pouze ve směru klesající potenciální energie. Gravitační pole přitom vykonává práci. Ta může být dodána jinému tělesu (závaží u hodin) nebo vede k přeměně na jiný typ energie, například kinetické při volném pádu.

21.02.2018 68

!Zákon zachování energie

• Zatím nebyla zpochybněna skutečnost: Má-li izolovaný systém určitou energii, která do něj byla například dodána jako práce, zůstává celkové množství této energie za všech okolností zachováno. Tato energie ale může měnit své formy a nemusí se za každých okolností zachovat jako energie mechanická.

• Zastaví-li se za jistou dobu roztočený setrvačník, neznamená to, že jeho energie byla zničena. Pouze se energie mechanická změnila na tepelnou a odvedla v této formě. I to ale může znamenat z hlediska využití ztrátu.

Skalární součin

Ať

Definice I (ve složkách)

Definice II

n

iiibac

1

cosbac

bac

Skalární součin je součin velikosti jednoho vektoru krát průmět velikosti vektoru druhého do jeho směru. ^ ^

Dostředivé zrychlení při rovnoměrném pohybu po kružnici

rv

vT

vtv

a

rT

rts

v

22

2

Průvodič určitého bodu oběhne za jednu periodu T kružnici o poloměru r. Když umístíme počátky všech vektorů rychlosti do jednoho bodu, oběhnou koncové body kružnici o poloměru v. Můžeme tedy uvažovat jednoduchou analogii:

^

Dva elektrony 1 m od sebe

Jsou elektrostaticky odpuzovány, zato naopak gravitačně přitahovány. Která síla bude větší?

!!!102.4

1054.5)101.9(1067.6

1031.2)106.1(109

42

7123111

282199

g

e

g

e

FF

NF

NF

^

Jeden elektron a proton 0.53 10-10 m od sebe

To odpovídá jejich průměrné vzdálenosti v atomu vodíku.

N

Fe

8

210199

102.8

)1053.0/106.1(109

Takovou sílu je principiálně možné změřit makroskopicky! Značná velikost sil je tajemství, proč hmota drží pohromadě. ^

Oddělme elektrony a protony z 1 g vodíku a dejme je na póly Země.

1 g je 1 gram-molekula H, takže máme NA=6.02 1023 obou typů částic.

)(!102.5

)107.12/1002.6106.1(1095

2623199

N

Fe

^

To je tíha naloženého nákladního vagónu.

Dvě 1 g Fe kuličky, 1 m od sebe se přitahují silou 10 N. Jaký je jejich přebytečný náboj?

Přebytečný náboj :

^

eCq 1459 102103.3109/10

Celkový a přebytečný /celkový náboj :

)(!10/

108.28.55

261002.6

9

2323

t

t

qq

eq

Dvě 1 g Fe kuličky, 1 m od sebe se přitahují silou 10 N. Jaký je jejich přebytečný náboj?

Přebytečný náboj :

eCq 1459 102103.3109/10

Celkový a přebytečný /celkový náboj :

)(!10/

108.28.55

261002.6

9

2323

t

t

qq

eq

^

Gradient I

Je vektor sestrojený z diferenciálů funkce f ve směrech jednotlivých souřadných os .

Je používán k odhadu změny funkce f provedeme-li elementární posun .

)(],,[)( rz

f

y

f

x

frfgrad

ld

Gradient II

Změna je druhý člen. Je to skalární součin. K největší změně dochází, je-li elementární posun paralelní ke směru gradientu.

Jinými slovy má gradient směr největší změny funkce f !

))(()()( rfgradldrfldrf

^

ld

Zrychlení elektronu

Jaké je zrychlení elektronu v elektrickém poli E = 2 . 104 V/m ?

a = E q/m = 2 . 104 1.76 1011 = 3.5 1015 ms-2 [J/Cm C/kg = N/kg = m/s2]

Pro srovnání:Ferrari Maranello za cca 0.5 MEur dosáhne 100 km/h za 3.6 s , tedy a = 7.5 ms-2

^

Relativistické efekty při urychlování elektronu

• Relativistické efekty se začínají výraznějiprojevovat, dosáhne-li rychlost

c/10= 3 107 ms-2.• Jaké urychlovací napětí je potřebné k

dosažení této rychlosti ?• Ze zachování energie : mv2/2 = q U

U=mv2/2e=9 1014/4 1011= 2.5 kV !

^

Převod jednotek

V obtížnějších případech je převod lineární:T(K) = T(°C) + 273.15T(°F) = T(°C)·9/5 + 32

^

Obvykle jsou si jednotky přímo úměrné:1u = 1.6605 10-27 kgv(m/s) = v(km/h)/3.6

Vektorový součin I Ať

Definice (ve složkách)

Velikost vektoru

3

1

3

1j kkjijki bac

sinbac

Velikost vektorového součinu je rovna obsahu rovnoběžníku tvořeného vektory .

bac

ba

,

c

Vektorový součin II

zyx

zyx

zyx

bbb

aaa

uuu

c

Vektor je kolmý k rovině vytvořené vektory a a společně vytváří pravotočivý systém.

ijk = {1 (sudá permutace), -1 (lichá), 0 (eq.)}

c

a

b

^

Plocha kruhu v polárních s.

2

0 00 0

4.4

RR R

rdrddydxS

2020

0 0 00

][][4442

2

2 2

RrdrdrdrdS RrR R

^

Zápis obou dvojných integrálů je stejně snadný. Ale výpočet prvního je ve skutečnosti velmi obtížný pro závislost dx.dy na souřadnicích. Druhý dvojný integrál lze napsat jako součin dvou integrálů jednorozměrných a řešit přímočaře:

Příklad důkazu součtových vzorců

Podle Eulerova vzorce například platí:

Použijeme-li vlastnost exponenciální funkce a znovu Eulerův vzorec platí současně:

Z rovnosti komplexních čísel, tedy reálných i imaginárních složek pravých stran vyplývá:

^

)sin()cos()(exp )( iei i

)sin)(cossin(cos)( iieee iii

cossincossin)sin(

sinsincoscos)cos(