Državni Univerzitet u Novom Pazaru

Seminarski rad

Tema: Predikatske formule

Mentor: Student:prof dr Zoran d. Đorđević Mirza Ramović

Novi Pazar, 2009

Predikatske formule

Sadržaj

SADRŽAJ.......................................................................................................2

1 PREDIKATSKE FORMULE...................................................................3

1.1 KVANTORI..............................................................................................31.2 TERMI. FORMULE...................................................................................41.3 INTERPRETACIJA.....................................................................................71.4 ISTINITOSNA VREDNOST FORMULE. MODEL...........................................91.5 VALJANE FORMULE..............................................................................14

2 Literatura....................................................................................................23

Str 2

Predikatske formule

1 Predikatske formule

Za formalizaciju matematičkih teorija nije nam dovoljan iskazni račun. Razlog je u tome, što u matematici obično imamo neki skup objekata i ispitujemo razne relacije između objekata tog skupa. Tako, neki objekti mogu biti u relaciji (imati neko svojstvo), a neki ne, ili svi objekti mogu biti u relaciji. Evo primera logičkog zaključivanja, koji se primenjuje u matematici, a nije u okviru iskaznog računa:

Svaki prirodan broj je ceo broj.7 je prirodan broj.

7 je ceo broj.

tj. iz premisa "svaki prirodan broj je ceo broj" i "7 je prirodan broj" zaključujemo "7 je ceo broj".

1.1 Kvantori

Tipična rečenica u matematici je sledeća: "x ima svojstvo α " gde je x neki objekat, recimo, skupa D i α je neko svojstvo (relacija) relevantna za elemente iz skupa D. Uobičajena oznaka za ovu rečenicu je α (x). Uopšte, ako je α relacija dužine n skupa D, rečenicu "(x1,...,xn) je u relaciji α" označavo: α(x1,...,xn) i α zovemo n - arni predikat ili n - arni relacijski znak.

Ako su α i β neka svojstva elemenata skupa D, tada α(x) ˄ β(x) je tačno za sve elemente x Є D za koje su oba svojstva ispunjena. Označimo sa S1 podskup skupa D elemenata koji imaju svojstvo α, a sa S2 podskup od D elemenata koji imaju svojstvo β. Tada S1 ∩ S2 skup elemenata x za koje je α(x) ˄ β(x) tačno. Slično, S1 ∪ S2 je podskup skupa D za čije elemente x je α(x) ˅ β(x) tačno. Skup elemenata x koji ¬α(x) je komplement od S1 u D.

Rečenica "za svaki x Є D, α(x)" je primer jedne matematičke rečenice. Ako je D konačan skup, recimo D = {a1,...,an}, tada je rečenica upravo: α(a1) ˄ α(a2) ˄ ... ˄ α(an). Ako je D beskonačan skup, onda to nije. Za gornju rečenicu uvodimo oznaku (∀x ϵ D)α(x) ili kraći zapis

(∀x)α(x)gde deo (∀ x) zovemo univerzalni kvantifikator.

Rečenica "Postoji x ϵ D, α(x)" je takođe, uobičajena rečenica u matematici. Ovu rečenicu pišemo (∃x ϵ D)α(x) ili kraće

(∃x)α(x)i ∃x zovemo egzistencijalni kvantifikator. Ako je D konačan skup, tj. D =

{a1,...,an}, onda (∃x)α(x) pišemo i α(a1) ˅ α(a2) ˅,..., ˅ α(an).

Str 3

Predikatske formule

Uočimo rečenicu: " Nije da postoji x sa svojstvom α". Ovu rečenicu pišemo (∀ x)¬α(x) ili "bukvalno" koristeći prethodno prevedeno biće: ¬(∃x)α(x). Dakle, (∀x)¬α(x) i ¬(∃x)α(x) isto znače. Prema tome, (∃x)α(x) isto znači kao i ¬(∀x) ¬α(x), pa možemo uvesti u naša razmatranja, samo univerzalni kvantifikator, a egzistencijalni definisati pomoću univezalnog kvantifikatora na sledeći način:

(Ǝx) je zamena za ¬(za svako x)¬.

Izučavanje kvantora (kvantifikatora) kao logičkih operacija, pored već poznatih (iz iskaznog računa) logičkih veznika biće predmet našeg razmatranja.

Razmotrimo sada primer dat na početku. Neka α(x) znači: x je prirodan broj (α je predikat: "biti prirodan broj"), β(x) znači: x je ceo broj (β je predikat: "biti ceo broj"), konstanta a je 7 (fiksiran broj). Tada naš primer pišemo:

(za svako x)(α(x) => β(x))α(a)

β(a)

(za svako x)(α(x) => β(x)) ˄ α(a) => β(a).

Lako se vidi, da ispravnost ovog zaključka ne zavisi od konkretnog značenja simbola a, α, β. Recimo, neka α(x) znači: x je kvadrat, β(x) znači: x je četvorougao i a je neka je neki određeni kvadrat recimo, kvadrat stranice 2. Tada dobijamo ispravnu logičku posledicu da je kvadrat stranice 2 četvorougao.

Slično, kao i u iskaznom slučaju gde su logička zaključivanja zavisila od logičkih veznika, možemo takva zaključivanja koja zavise još i od kvantora predstaviti u apstraktnoj formi, kao što smo to uradili u ovom primeru. U tom cilju polazimo od jezika - polaznih znakova od kojih "pravimo" terme i složene rečenice (formule).

1.2 Termi. Formule

Terme i formule gradimo na taj način što polazimo od izvesnih polaznih znakova (simbola).

Dogovorno polazi znaci jesu:x0, x1, x2, x3,... individualne promenljive

a0, a1, a2, a3,... znaci konstanata

f11, f2

1,..., f12, f2

2,..., fij,... funkcijski znaci (operacijski znaci), gde gornji indeks

znači dužinu funkcijskog znaka (slova).

R11, R2

1,...,R12, R 2

2,..., Rij,... predikatski (relacijski) znaci, gde gornji indeks znači

dužinu relacijskog znaka (slova)

˅, ˄, ⇒, ⇔, ¬, ∀, ∃ logički veznici(, ) pomoćni znaci.

Str 4

Predikatske formule

Sledećom induktivnom definicijom dajemo definiciju terma (izraza).

Definicija 1.2.1

1. Promenljive i znaci konstanata su termi.

2. Ako su t1, t2,..., tn termi i f funkcijski znak dužine n, onda je reč f(t1, t2,..., tn) term.

3. Termi su samo one reči koje se dobijaju konačnom primenom 1. i 2. ove definicije.

Primeri terma: reči x5, a2, f2(x1, a5), f3/5(f1/2(x2), f2/1(x1, x2), x7, i slično jesu termi.

Primetimo da u izgradnji terma učestvuju samo promenljive, konstante i operacijski znaci (jasno i pomoćni znaci).

Sada prelazimo na definiciju predikatske formule, koju kratko zovemo formula. Prethodno definišimo tzv. elementarnu (atomnu) formulu koja se gradi samo pomoću terma i relacijskih simbola.

Definicija 1.2.2

Ako su t1, t2,...,tn termi i R relacijski znak dužine n, onda reč

R(t1, t2,...,tn)

zovemo elementarna formula.

Polazeći od elementarnih formula induktivno definišimo predikatske formule.

Definicija 1.2.3

1. Elementarna formula je formula.

2. Ako su A i B formule, onda su i (A˅B), (A˄B ), (A⇒B), (A⇔B), ¬A, (∀x)A, (∃x)A, gde je x izvesna promenljiva formule.

3. Formule su samo one reči koje se dobijaju konačnom primenom 1. i 2. ove definicije.

Na osnovu definicije formule neposredno utvrđujemo da su sledeće reči formule:

R\s\up 6(1 )(x1), (R\s\up 6(2 )(a2, x1) ˄ ¬R\s\up 6(2 )(f\s\up 6(2 )(x1, a1), x5)),

Str 5

Predikatske formule

(∀x3)(R\s\up 6(1 )(f \s\up 6(3 )(x1, x2, x3) => (∃x2)(R\s\up 6(1 )(xn) ˄ R\s\up 6(2 )(x2, x1))).

Zaista, uočimo recimo, drugu reč. Kako je R\s\up 6(2 )(a2, x1) elementarna formula ( jer su a2 i x1 termi i R\s\up 6(2 ) relacijski znaci dužine dva) i R\s\up 6(2 )(f\s\up 6(2 )(x1, a1), x5) takođe, elementarna formula što se lako utvrđuje (jer su f\s\up 6(2 )(x1, a1) i x5 termi, f\s\up 6(2 ) je funkcijski znak dužine dva, R\s\up 6(2 ) je relacijski znak dužine dva), to je i ¬R\s\up 6(2 )(f\s\up 6(2 )(x1, a1), x5) formula na osnovu tačke 2. definicije formule. Tada imamo da je konjunkcija te dve formule sa spoljnim zagradama, takođe formula (tačka 2. definicije formule).

Evo nekoliko reči koje nisu formule:

R\s\up 6(2 )(x1), R\s\up 6(1 )(R\s\up 6(2 )), R\s\up 6(1 )(x1) ⇒ (za svako x2)R\s\up 6(2 )(x1, f\s\up 6(1 )(x2))

i slično.

Prva od ovih reči nije formula, jer je R\s\up 6(2 ) relacijski znak dužine dva, za drugu je jasno, a treća nema spoljnih zagrada.

Radi jednostavnijeg pisanja usvajamo slične konvencije (dogovore) kao i za iskazne formule - brisanje (izostavljanje) raznih zagrada. Takođe, razne relacijska slova označavamo malim grčkim slovima α, β, γ,... odnosno za funkcijske znake koristimo oznake: *, o, f, g,... Ako je α relacijsko slovo dužine dva umesto α(t 1, t2) gde su t1 i t2

termi, pišemo t1αt2. Slično, za funkcijska slova dužine dva: umesto *(t1, t2) pišemo t1 * t2.U vezi sa promenljivim koje učestvuju u izgradnji neke formule razlikujemo tzv.

vezane i slobodne promenljive tj. vezane i slobodne pojavljivanje promenljive u datoj formuli. Pre nego što preciziramo ove važne pojmove uvodimo pojam - oblast dejstva kvantifikatora.

Ako je formula oblika (∀x)A ili (∃x)A (x je neka promenljiva), i A neka formula, onda formulu A zovemo oblast dejstva kvantifikatora (∀x) odnosno (∃x).

Definicija 1.2.4

Pojavljivanje promenljive x u datoj formuli zovemo vezano pojavljivanje ako je to pojavljivanje oblika ( x) ili ( x), ili se promenljiva x nalazi u oblasti dejstva nekog od∀ ∃ kvantifikatora ( x), ( x). Ono pojavljivanje promenljive x koje nije vezano zove se∀ ∃ slobodno pojavljivanje.

Na primer u formulama

α(x, y), β(x, f(y)) ⇒ (∀x)α(x), (Ǝx)(α(x) ˅ β(x, y))

imamo: u prvoj formuli su obe promenljive x, y slobodne. U drugoj formuli prvo pojavljivanje promenljive x (s leva u desno) je slobodno, dok je drugo i treće pojavljivanje vezano (jer je drugo oblika ( x), a treće je pod dejstvom kvantifikatora∀

Str 6

Predikatske formule

( x)). Pojavljivanje promenljive y u toj formuli je slobodno. U trećoj formuli promenljiva∀ y je slobodna, a sva pojavljivanja promenljive x su vezana.

U izgradnji formule videli smo da učestvuju svi prolazni znaci. Ipak, fiksirajući skupove konstanti, funkcijskih i relacijskih znakova dobijamo formule u zavisnosti od tako izabranih skupova, kažemo i od tog jezika.

Definicija 1.2.5

Jezik je skup L čiji elementi imaju svojstvo: nijedan član iz L nije konačan niz nekih elemenata iz L. Elemente jezika zovemo slovima, simbolima ili znacima.

U okviru jezika razlikujemo tri vrste simbola: simboli konstanti, funkcijske znake i relacijske znake. Drugim rečima jezik L ima particiju

L = ↕ ∪ Ƒ ∪ R

gde je ↕ skup konstanti, Ƒ skup funkcijskih (operacijskih) znakova i R skup relacijskih znakova (neki mogu biti i prazni skupovi) i definisana je za svaki znak L dužina (arnost) tog znaka, tj. postoji preslikavanje

ar : L → ω = {0, 1, 2,...}

tako da je ar(c) = 0 za sve c ϵ ↕ dalje, ar(f) = m, ar(α) = n, (m, n > 0), za sve f ϵ Ƒ i α ϵ R. Funkcija ar se zove funkcija arnosti ili signatura. Ako je recimo ar(f) = n i f ϵ Ƒ kažemo da je f funkcijski simbol dužine n ili f je n - arni funkcijski znak.

Primeri jezika su

{*}, {+,∙}{+, ∙, 0, <},

gde prvi jezik sadrži samo jedan funkcijski znak * dužine dva. Druga dva funkcijska znaka, oba dužine dva. Treći ima konstantu nula, funkcijske znake * i ∙, oba dužine dva, i relacijski znak < dužine dva.

Preciziranjem jezika L mi možemo da govorimo o termima i predikatskim formulama u okviru jezika L.

1.3 Interpretacija

Iz definicije formula imamo, da je formula reč sastavljena od unapred utvrđenih polaznih slova (simbola) po tačno utvrđenom pravilu. Da bismo takvoj reči - formuli dali neko značenje, uvodimo pojam interpretacije formule. Dakle, formula dobija značenje (smisao) samo tada kada imamo neku interpretaciju njenih slova.

Interpretacija formule kvantifikatorskog računa je značajan pojam. Zato prvo dajemo opisnu definiciju.

Pod interpretacijom formule F podrazumevamo uređenu dvojku (D, ϕ), gde je D neprazan skup, koji zovemo domen interpretacije, a ϕ preslikavanje čiji je domen skup

Str 7

Predikatske formule

konstanti, operacijskih slova i relacijskih slova formule Ƒ, pri čemu je slika konstante element skupa D, slika operacijskog slova f\s\up 6(j ) iz formule F je operacija domena D dužine j, slika relacijskog slova R\s\up 6(j ) iz formule F je relacija domena D dužine j. Pri tome znake ¬, ˄, ˅, ⇒,⇔ interpretiramo kao odgovarajuće operacije iskazne algebre a simbole (∀), Ǝ kao "svaki" odnosno "neki", promenljive interpretiramo kao elemente skupa D. Pomoćne znake (, ) kao leva, odnosno desna zagrada.

Na primer, neka je data formula

R\s\up 6(2 )(f\s\up 6(1 )(f\s\up 6(2 )(x, y)), f\s\up 6(2 )(f\s\up 6(1 )(x), f\s\up 6(1 )(y))).

Dajemo nekoliko interpretacija ove formule.

1. Neka je D=R (skup realnih brojeva). Operacijske znake f\s\up 6(1 ), f\s\up 6(2 ), f\s\up 6(2 ) interpretiramo redom kao | |, +, + (moduo, sabiranje, sabiranje). Relacijski znak R\s\up 6(2 ) kao ≤ (manje ili jednako), tj. ϕ (f\s\up 6(1 )) = | |, ϕ(f\s\up 6(2 ) = +, ϕ(f\s\up 6(2 )) = +, ϕ(R\s\up 6(2 )) = ≤). Tada data formula u ovoj interpretaciji ima oblik:

|x + y| ≤ |x| + |y|

2. Neka je R+U{0} domen (R+ - skup pozitivnih realnih brojeva), i funkcijski simboli f\s\up 6(1 ), f\s\up 6(2 ), f\s\up 6(2 ) neka su redom operacije domena √, ∙, + (kvadratni kore, množenje, sabiranje). Relacijski znak R\s\up 6(2 ) interpretirajmo kao = (jednakost). Tada data formula ima oblik:

√x∙y = √x ∙ √y

3. Neka je D=R (domen je skup svih realnih brojeva). Operacijske znake f\s\up 6(1 ), f\s\up 6(2 ), f\s\up 6(2 ) dužine redom 1, 2, 2, interpretiramo kao sin, ∙, + (sinus, množenje, sabiranje). Relacijski znak R\s\up 6(2 ) dužine dva kao = (jednakost). Tada data formula u ovoj interpretaciji postaje:

sin(x ∙ y) = sin x + sin y

Primetimo da je data formula iz našeg primera u interpretaciji 1. tačna, ma kako interpretirane slobodne promenljive x i y iz domena D=R, dok u interpretacijama 2. i 3. stvari stoje drugačije.

Interpretacija formule je, dakle, određena domenom D i funkcijom ϕ.

Definicija 1.3.1

Interpretacija I formule F je uređena dvojka I = (D, ϕ) gde je D neprazan skup (domen) interpretacije, a ϕ preslikavanje čiji je domen skup svih konstanti, operacijskih i relacijskih znaka formule F, pri čemu je slika konstantnih simbola neki fiksirani element

Str 8

Predikatske formule

skupa D, slika funkcijskog znaka je operacija skupa D odgovarajuće dužine, slika relacijskog znaka je relacija skupa D odgovarajuće dužine.

Iz ove definicije vidimo da je domen preslikavanja ϕ u stvari jezik formule F, a interpretacija jezika je struktura, tj. relacijsko - operacijska struktura datog jezika.

Na primer, neka je data formula:α(x, y) ⇒α(x, y).Jezik ove formule je L = {α}, gde je α relacijski znak dužine dva. Prema

interpretaciji formule, ili što ovde isto znači, interpretacija jezika L = {α} te formule, je svaki neprazan skup sa nekom binarnom relacijom tog skupa. Dakle, strukture na ovom jeziku su:

(R, =) - skup realnih brojeva sa relacijom jednakost,(N, | ) - skup prirodnih brojeva sa relacijom "se sadrži" i dr.

U strukturi (R, =) naša formula postaje

x =y ⇒ y = x,

a u strukturi (N, | ), ona je

x|y ⇒ y|x

U prvom slučaju, tj. x = y ⇒ y = x, ta formula je tačna za proizvoljne x, y iz R. U slučaju strukture (N, | ) za y =2, t = 6 formula je netačna, dok je recimo, za x = 2, y = 7 ona tačna.

Uopšte, formula α(x, y) ⇒ α(y, x) je tačna, ako se na proizvoljnom domenu relacijski znak α interpretira kao simetrična relacija domena.

Uočimo formulu

(∀x) (∃y)(x ∙ y = x ⇒ y = 1 ).

Jezik ove formule L = {1, ∙, = }, gde je 1 konstanta, operacijski znak dužine dva i = relacijski znak dužine dva. Neka je (R, 1, ∙, =) interpretacija jezika L tj. formule. (R je skup realnih brojeva, 1 je jedinica u R, tačka je množenje, a = je jednakost).

Ovde smo iste znake upotrebili za interpretirane simbole jezika L, što u opštem slučaju nije ispravno. Videli smo da za jedan isti jezik postoji više interpretacija, tj. različitih tumačenja. Ipak, često koristimo iste oznake radi jednostavnijeg pisanja, naravno samo ako to ne dovodi do nesporazuma. U ovoj interpretaciji naša formula je tačna.

1.4 Istinitosna vrednost formule. Model

Pored interpretacije formule, odnosno jetika neke formule izgrađene na tom jeziku, postavlja se pitanje istinitosne vrednosti formule u toj interpretaciji - relacijsko

Str 9

Predikatske formule

operacijskoj strukturi. U navedenim primerima tačke 2.3 dali smo intuitivne odgovore na to pitanje. Sada prelazimo na preciziranje tog pojma u radu sa kvantorima.

Označimo pisanim slovom D strukturu jezika L, a odgovarajućim štampanim slovom D domen te strukture.

Neka je D struktura na odgovarajućem jeziku neke formule F. Istinitosna vrednost neke formule F se određuje na taj način što se prvo dodele vrednosti njenih slobodnih promenljivih iz domena D, pa se zatim izračuna istinitosna vrednost koristeći istinitosne tablice iz iskazne algebre za logičke veznike kao i sledeća pravila za kvantore:

V((∀x)F) = T akko za sve x ϵ D, V(F) = TV((∃x(F) = T akko za neki x ϵ D, V(F) = T

Formulu F na jeziku L bez slobodnih promenljivih zovemo zatvorena formula ili rečenica. Pišemo F ϵ Sent(L). Zatvorena formula je u svakoj interpretaciji iskaz, tj. uvek ima vrednost ⊤ ili ⊥.

Formula F na jeziku L je tačna u strukturi D jezika L (interpretaciji), ako je njena istinitosna vrednost T ma kako interpretirali slobodne promenljive formule F u domenu.

Formula F je netačna u nekoj interpretaciji ako i samo ako je formula ¬F tačna u toj interpretaciji.

Definicija 1.4.1

Ako je formula F tačna u strukturi D (jezika L formule F), pišemo D╞ F, tada strukturu D zovemo model formule F.

Uopšte, neka je ∑ izvestan skup formula na jeziku L i neka je D struktura jezika L. Ako su formule iz skupa ∑ tačne u strukturi D , onda tu strukturu zovemo model skupa formula ∑.

Ova neformalna ideja o tačnosti ili zadovoljivosti formule u nekoj interpretaciji (strukturi) je intuitivno jasna. Ipak, mi ćemo dati formalizovane definicije tih pojmova. Prvo uvedimo pojam valuacije. Neka je a = <a0, a1, a2,...> beskonačan niz elemenata iz domena strukture D. Taj niz zovemo valuacija u D. Drugim rečima valuacija u D je svako preslikavanje (niz)

a : ω → D

gde je ω = {0, 1, 2,...} skup prirodnih brojeva, a D domen strukture D. Promenljive xi, (i = 0, 1, 2,...) u valuaciji a imaju vrednost a i. Sa a(b/n) označavamo valuaciju koja se dobija iz a zamenom an sa b, tj.

a(b/n) = < a0, a1,...,an-1, b, an+1,...>

Sada prelazimo na interpretaciju terma jezika L strukture D u odnosu na valuaciju a.

Definicija 1.4.2

Str 10

Predikatske formule

Označimo vrednost terma t u strukturi D (interpretaciji) u odnosu na valuaciju a = < a0, a1, a2,...> sa tcc[a]. Tada vrednost terma t u valuaciji a definišemo rekurzivno po složenosti terma:

(i) Ako je t promenljiva xi, onda tD[a] = ai.(ii) Ako je t znak konstante c k, onda tD[a] = ck.

(iii) Ako je t term oblika f(t1,...,tn), onda je tD[a] = fD(t\s\up 6(D )[a],..., t\s\up 6(D )[a]), gde je c\s\up 6(D ) fiksirani element u domenu D, interpretirani konstantni simbol ck, iz jezika, a fD operacija dužine n domena D koja je interpretacija operacijskog znaka f dužine n.

Na osnovu ove definicije imamo, da za proizvoljnu valuaciju strukture D i proizvoljan term t jezika te strukture, vrednost terma t u valuaciji a je jedinstven element domena D, tj. tD[a] ϵ D. Na primer, za term

t = f \s\up 6(2 )(f\s\up 6(2 )(x3, c1), x1)

jezika L = {c1, f\s\up 6(2 ), f\s\up 6(2 )} (c1 je konstantni simbol, f\s\up 6(2 ), f\s\up 6(2 ) su operacijski znaci dužine dva) i strukturu

D = (R, 1, ∙, +)

jezika L, gde je R skup realnih brojeva, interpretiramo c\s\up 6(D ) = 1 ϵ R, a operacijski znaci f\s\up 6(2 ), f\s\up 6(2 ) su redom interpretirani kao ∙ (množenje) i + (sabiranje) realnih brojeva. U valuaciji a = <a0, a1, a2,...> imamo

tD[a] = (a3 + 1) ∙ a1

dok za valuaciju a' = <1, 3, 2, 2, -1,...> je

tD[a'] = (2+1) ∙ 3 = 9 ϵ R.

Prelazimo na definiciju relacije zadovoljenja ╞ formule.

Definicija 1.4.3

Neka je L jezik formule F i D struktura (interpretacija) jezika L. Formula F je zadovoljiva u valuaciji a = <a0, a1, a2,...>, kažemo i a zadovoljava formulu F u D ili formula F je tačna u valuaciji a strukture D, pišemo D ╞ a F i definisemo rekurzivno (po izgrađenosti formule F):

(i) D╞a R(t1,...,tn) akko (t1D[a],..., tn

D[a]) ϵ R,

(ii) D╞a ¬A akko nije D╞a A,

Str 11

Predikatske formule

(iii) D╞a A ⇒ B akko ako D╞a A, onda D╞a B akko nije D╞a A ili D╞a B,

(iv) D╞a (∀xi)A akko za svaki b ϵ B, D ╞ a(b/i) A.

Uslov (i) ove definicije daje zadovoljivost elementarne (atomne) formule R(t1,...,tn) gde su t1,...,tn termi i R relacijskiznak dužine n jezika L, a RD je odgovarajuća relacija dužine n dometa D. Drugim rečima uslovi (i) - (iv) nam daju zadovoljivost po izgrađenosti formule u bazi, ¬, ⇒,∀. Inače, neformalno na osnovu ove definicije imamo, formula F je zadovoljiva u valuaciji a = <a0, a1, a2,...> strukture (interpretacije) D ako i samo ako posle zamene svih slobodnih promenljivih xi u formuli F sa ai dobijamo tačno tvrđenje u strukturi D.

Za formule A ˅ B, A ˄ B, A ⇔ B, (∃xi)A koje uvodimo definicijomm, kao zamene za, redom formule ¬A ⇒ B, ¬(A ⇒ ¬B), (A ⇒ B) ˄ (B ⇒ A), ¬(∃xi)¬A, sledeća lema nam daje zadovoljivost u valuciji a.

Lema 1.4.1

Za svaku formulu A i B jezika L i svaku valuaciju a strukture D jezika L je

a) D╞a A ˅ B akko D╞a A ili D╞a B,

b) D╞a A ˄ B akko D╞a A i D╞a B,

c) D╞a A ⇔ B akko D╞a A akko D╞a B,

d) D╞a (∃xi)A akko postoji b ϵ D, D ╞ a(b/i) A.

Dokaz:

Na osnovu definicije formule A ˅ B i Definicije 1.3.4 imamo a) D╞a A ˅ B akko nije D╞a ¬A ili D╞a B

akko D╞a A ili D╞a B.

b) Kako je A ˄ B zamena za ¬(A ⇒¬B), to imamo

D╞a A ˄ B akko D╞a ¬(A ⇒¬B), akko nije D╞a A ⇒¬B akko nije (nije D╞a A ili D ╞a ¬ B) akko D╞a A i nije D╞a B akko D╞a A i D╞a B.

c) Kako je A ⇔ B zamena za (A ⇒ B) ˄ (B ⇒ A), to imamo

D╞a A ⇔ B akko D╞a (A ⇒ B) ˄ (B ⇒ A) akko D╞a A ⇒ B i D╞a A ⇒ A akko Ako D╞a A, onda D╞a B

Str 12

Predikatske formule

i ako D╞a B, onda D╞a A akko D╞a A akko D╞a B.

d) Kako je (∃xi)A zamena za ¬(∀xi)¬A, to imamo

D╞a (∃xi)A akko D╞a ¬(∀xi)¬A akko nije D╞a (∀xi)¬A akko nije za svaki b ϵ D, nije D╞a(b/i) ¬A akko za neki b ϵ D, nije D╞a(b/i) ¬A akko za neki b ϵ D, D╞a(b/i) A

Primer: Neka je formula F oblika

x2 < x3 ⇒(∃xi)(x2<x1 ˄ x1 < x3)

ne jeziku L = {<}, gde je < binarni relacijski znak. Neka je struktura tog jezika D=(Q,<) (Q skup racionalnih brojeva, a < relacija manje u Q). Tada za valuaciju a = <a0, a1, a2,...> imamo

D╞a F akko nije D╞a x2 < x3, onda D╞a (∃xi)(x2<x1 ˄ x1 < x3)akko nije D╞a x2 < x3 ili D╞a (∃xi)(x2<x1 ˄ x1 < x3)akko nije D╞a x2 < x3 ili postoji b ϵ Q, D╞a(b/i) x2<x1 ˄ x1 < x3

akko nije a2 < a3 ili postoji b ϵ Q, a2 < b ˄ b < a3.Dakle, D╞a akko Ako a2 < a3, onda postoji racionalan broj b da je a2 < b < a3.Za valuaciju, recimo a' = <1, 1/2, 1, 2, ...> biće D╞a' F akko Ako je 1 < 2, onda postoji racionalan broj b da je 1 < b < 2.Za valuaciju, a'' = < 1, 5, 3, 1,...> imamo D╞a'' F akko Ako je 3 < 1, onda postoji racionalan broj b da je 3 < b < 1.Nije teško videti da je formula F tačna za svaku valuaciju strukture (Q, <), tj. da je D╞ F Definicije 1.4.2 i 1.4.3 nam omogućavaju da karakterišemo, po semantičkim svojstvima, neke formule jezika L.

Definicija 1.4.4

(i) Formula F jezika L u strukturi (interpretaciji) D jezika L je tačna, ako je D╞a

F za sve valuacije a strukture D. Ako je formula F tačna u D, pišemo D╞ F i strukturu D zovemo model za F.

(ii) Formula F jezika L je valjana (opšte važeća, univerzalna ili logički ispunjena), ako je tačna u svim interpretacijama.

(iii) Formula F jezika L je zadovoljiva, ako postoji struktura D jezika L i postoji valuacija a u D da je D╞a F.

Str 13

Predikatske formule

Ako je F ϵ Sent(L), onda je F ili ¬F ( ali ne obe) tačna u jeziku L, tj. ili D╞ F D╞ ¬F. Dokaz je jednostavan jer formula F ne sadrži slobodne promenljive.

Lema 1.4.2

Neka je t term ( t ϵ Term(L)) i a = <a0, a1, a2,...>, a' = <a0, a1, a2,...> dve valuacije u strukturi D jezika L, takve da je

ai = a'i

za sve i za koje se promenljiva xi javlja u termu t. Tada

tD[a] = tD[a'].

Dokaz: Neka je A ϵ Form(L) i a = <a0, a1, a2,...>, a' = <a0, a1, a2,...> dve valuacije u strukturi D jezika L, takve da je

ai = a'i

za sve i za koje se promenljiva xi javlja u formuli A kao slobodna promenljiva.Tada

D╞a A akko D╞a' A.

1.5 Valjane formule

Ako je formula F valjana (Definicija 1.4.4. (ii) ), pišemo

╞ F

Valjane formule imaju sličan značaj u kvantifikatorskom računu kao i tautologije u iskaznom računu. One predstavljaju, kao i tautologije, logički istinite rečenice tj. izražavaju zakone logički ispravnog zaključivanja. S tim što su valjane formule opšte važeći zakoni na bogatijem jeziku - jeziku operacijsko - relacijskih struktura. Primer valjane formule je

α(x, c) ˅ ¬α (x, c)

Ta formula je na jeziku L = { c, α} , gde je c konstantni simbol a α relacijski znak dužine dva. Dokažimo da je ona valjana. Neka je D = ( D,cD,αD ) struktura jezika L (cD ϵ D je interpretacija konstantnog simbola c, a αD ralacija dužine dva domena D koja je

Str 14

Predikatske formule

interpretacija relacijskog znaka α). Neka je a = < a0, a1,a2,... > valuaciju u D i promenljiva x neka je xi. Tada

D╞a αD(x, cD) ˅ ¬αD(x, cD) akko D╞a αD(x, cD) ili D╞a ¬αD(x, cD) akko αD(ai, cD) ili nije αD(ai, c)

Kako je αD(ai, cD ) tačno ili netačno, to je αD(ai, cD) ili ⌐αD(ai, cD) tačno za proizvoljnu strukturu jezika L i proizvoljnu valuaciju ta strukture. Prema tome,data formula je valjana.Jedna važna klasa valjanih formula dobija se iz tautologije. Prethodno precizirajmo pojam formule dobijene iz tautologije.

Definicija 1.5.1

Neka je F predikatska formula na jeziku L i neka su A1,...,An proizvoljne formule na istom jeziku. Za formulu F kažemo da je izvod iz tautologije F'čija su sva različita iskazna slova p1,...,pn ako se formula F dobija kao rezultat zamene pi sa Ai u formuli F' za sve i ϵ {1,....,n}

Na primer,formula

(∀x)A(x) ⇒ ((∃y)B(y) ⇒ (∀x)A(x))

je izvod iz tautologije p ⇒(q ⇒ p).

Teorema 1.5.1

Svaka predikatska formula koja je izvod iz tautologije jeste valjana formula.Dokaz: Neka je F'(pi,...,pn) tautologija čija su sva različita iskazna slova p1,...,pn i neka su Ai,...,An predikatske formule na jeziku L. Tada je formula F(A1,...,An) jezika L izvod iz tautologije F'. Dokažimo da je formula F valjana. Neka je D struktura (interpretacija) jezika L.Označimo sa V istinitosnu vrednost iskazne formule za neku vrednost iskaznih slova. Definišemo

V(pi) = T akko D╞a Ai

Tada za svaku podformulu G od F konstruisanu od formula A1,...,An koristeći logičke veznike ¬, ⇒ imamo

D╞a G akko V(G') = T

Str 15

Predikatske formule

Zaista, ako je G oblika ¬Ai tadaD╞a ¬Ai akko nije D╞a Ai (definicija 1.4.3 (ii))

akko nije V(pi) = ⊥ (uvedena definicija) akko V(¬pi) = T

Ako je G oblika Ai ⇒ Aj imamoD╞a Ai ⇒ Aj akko Ako je D╞a Ai, onda D╞a Aj

akko Ako V(pi) = T, onda V(pj) = Takko V(pi ⇒ pj) = T

Neka je G oblika P1 ⇒ P2 ili ⌐P1, gde za podformule P1, P2 važi (po indukcijskoj pretpostavci) V( pi

' ) = akko D╞a P1 (i = 1, ,...) , onda se slično dokazuje da za podformulu G važi

D╞a G akko V(G') = T

Za ostale veznike, koji se uvode definicijom, na osnovu Leme 1.4.1 (a),(b) i (c) sledi tvrđenje

Sada,pošto je F' tautologija to je V(F') = za sve vrednosti slova,pa je za sve interpretacije i sve valuacije a. Dakle, formula F je valjana.

Na osnovu ove teoreme dobijamo jednu široku klasu valjanih formula. Ipak, nisu sve valjane formule izvod iz tautologije. Na primer, formula

(∀x)A(x) ⇒ A(x)

je valjana formula,ali nije izvod iz tautologije.

Valjane formule su i sledeće formule

1. ¬(∀x)A(x) ⇔ (∃x)¬A(x)2. ¬(∃x)A(x) ⇔ (∀x)¬A(x) 3. ( x)(A(x) ∀ ˄ B(x)) ⇔ ( x)(A(x) ∀ ˄ ( x)B(x)∀4. ( (x))(A(x) ∀ ˅ B(x)) <= ( x)(A(x) ∀ ˅ ( x)B(x)∀5. (∃x) (A(x) ˅ B(x)) ⇔ (∃x)A(x) ˅ (∃x) B(x)6. (∃x) (A(x) ˄ B(x)) ⇔ (∃x)A(x) ˄ (∃x) B(x)7. ( x) (A(x) ∀ ⇒ B(x)) ⇒( x)A(x) ∀ ⇒( x)B(x)∀8. ( x) (A(x) ∀ ⇒ B(x)) ⇒(( x)A(x) ∃ ⇒( x)B(x))∃9. ( x) (A(x) ⇔ B(x)) ∀ ⇒( x)A(x) ⇔ ( x)B(x)∀ ∀10. ( x) (A(x) ∃ ⇒ B(x)) ⇔ (( x)A(x) ∀ ⇒( x)B(x))∃

gde su A i B proizvoljne predikatske formule.

Formule 1. i 2. su De morganovi zakoni. Za formulu 3. kažemo da se univerzalni kvantifikator „dobro“ slaže sa konjunkcijom, a za formulu 5. da se egzistencijalni kvantifikator „dobro“ slaže sa disjunkcijom.

Dajemo dokaz formule 1. Neka je D struktura jezika L formule A. Tada

Str 16

Predikatske formule

D╞a ¬( x)A akko nije ∀ D╞a (∀x)A akko nije za svaki b ϵ B, D D╞a(b/i) A gde promenljiva x je xi

akko postoji b ϵ B da nije D╞a(b/i) A akko postoji b ϵ B, D╞a(b/i) ¬A akko D╞a (∃x) ¬A.

Za formulu 6. obrtna implikacija u opštem slučaju ne važi. Evo primera interpretacije formule

(∃x)A(x) ˄ (∃x)B(x) ⇒(∃x)(A(x) ˄ B(x))

gde ona nije tačna. Neka je domen interpretacije skup realnih brojeva R i formule A i B redom x = 1, x = 2. Tada ta formula u ovoj interpretaciji je

(∃x)(x = 1) ˄ (∃x)(x = 2) ⇒(∃x) (x = 1 ˄ x = 2)

a ova formula je netačna u R.

Slično kao i u iskaznom slučaju,za predikatske formule važi tvrđenje: Ako je A podformula predikatske formule F i ako je valjana formula, onda je

valjana formula. Zaista, u proizvoljnoj interpretaciji, na osnovu pretpostavke, formule A i B su istovredne,pa su onda i formule F(...,A,...) i F(...,B,...) istovredne.

Lema 1.5.1. Neka su A i B proizvoljne predikatske formule. Tada

(i) Ako je ╞ A i ╞ A ⇒ B onda ╞ B(ii) Ako je ╞ A, onda je ╞ ( x)A∀

Dokaz:

(i) Neka su A i A ⇒ B valjane formule i D struktura jezika formula A i B.Tada

D╞a A ⇒ B akko Ako D╞a A, onda D╞a B,

Kako je, na osnovu pretpostavke

(ii) Neka je D╞a A. Tada D╞a ( x)A akko za sve b ∀ ϵ D, D╞a(b/i) A, gde promenljiva x je xi, što je tačno za svaku valuaciju a, pa i za valuaciju a(b/i).

Navodimo još neke primere valjanih formula

1. (∀x)(A(x) ˅ B) ⇔ (∀x)A(x) ˅ B) - ako x nije slobodno u B2. (∃x)(A(x) ˄ B) ⇔ (∃x)A(x) ˄ B) - ako x nije slobodno u B3. (∀x)(A(x) ⇒ B) ⇔ (∃x)A(x) ⇒ B) - ako x nije slobodno u B

Str 17

Predikatske formule

4. (∀x)(A ⇒ B(x)) ⇔ (A ⇒ (∀x)B(x)) - ako x nije slobodno u A5. (∃x)(A(x) ⇒ B) ⇔ (∀x)A(x) ⇒ B) - ako x nije slobodno u B6. (∃x)(A ⇒ B(x)) ⇔ (A ⇒ (∃x)B(x)) - ako x nije slobodno u A

Dokaz: 1. Neka je D struktura jezika formula A i B i promenljiva x neka je xi.Tada D l=a ( x)(A(x) B) akko za sve bKako x nije slobodna promenljiva u B, to imamo

D╞a(b/i) B akko D╞a Bakko za sve b ϵ D, D╞a(b/i) A(x) ili D╞a Bakko D╞a (∀x)A(x) ili D╞a Bakko D╞a (∀x)A(x) ˅ B.

Formula 2. se slično dokazujeFormulu 3. dokazujemo na osnovu već dokazanih valjanih formula

(∀x)(A(x) ⇒ B) ⇔ (∀x)(¬A(x) ˅ B) (izvod iz tautologije (p q) ⇒ ⇔ (¬p ˅ q)) ⇔ (∀x)¬A(x) ˅ B (valjana formula 1.) ⇔ ¬(∃x)A(x) ˅ B ( De Morganov zakon) ⇔ ((∃x)A(x) B) (izvod iz tautologije (⇒ ¬p ˅ q) ⇔ (p q))⇒

Formule 4.5. i 6. slično dokazujemo kao formulu 3.Uočimo formulu

(∀x)A(x) A(t)⇒

gde je t term, A(x) je proizvoljna kvantifikatorska formula koja sadrži x kao slobodnu promenljivu,a formula A(t) se dobija iz formule A(x) ako se sva slobodna pojavljivanja promenljive x zamene termom t.Ta formula nije valjana. Zaista, za formulu A(x) oblika (∃y)(x<y) u interpretaciji (R,<), gde je R skup realnih brojeva,a relacija manje u skupu brojeva, i ako za term t uzmemo promenljivu y, onda formula u ovoj interpretaciji postaje

(∀x) (∃y)(x<y) ⇒ (∃y)(x<y)

Ona je netačna jer za svaki realan broj postoji realan broj veći od tog broja, dok ne postoji broj veći od samog sebe.

Ako termi t nametnemo izvesna ograničenja, onda posmatrana formula jeste valjana formula.

Definicija 1.5.2. Za term t kažemo da je slobodan za promenljivu xu formuli A(x), ako nijedna promenljiva terma t, posle zamene x sa t, ne postaje vezana u formuli A(t).

Lema 1.5.2. Neka je term t slobodan za promenljivu xi u formuli A(xi). Tada

Str 18

Predikatske formule

D╞a A(t) akko D╞a(b/i) A(xi)

gde je b = tD[a]

Dokaz: Neka su xi,...,xik sve promanljive terma. Kako je term t slobodan za promenljivu xi

u formuli A, to ni jedno pojavljivanje xi u A nije pod dejstvom kvantifikatora (∀xij) ( j =

1,...,k). Neke promanljive u A mogu biti vezane. U tom slučaju sve vezane promanljive

u A(xi) zamenimo sa novim promenljivim xi

j

koje se nalaze u a(xi) ili t, pa tako dobilenu formulu označimo sa A*(xi). Na osnovu pretpostavke o termu t imamo

D╞a(b/i) A(xi) akko D╞a(b/i) A*(xi)

╞a A(t) akko D╞a A * (t)

Dokažimo

D╞a A*(t), akko D╞a(b/i) A*(xi)

gde je b = tD[a]. Dokaz izvodimo indukcijom po složenosti formule A*(xi). Na osnovu indukcijske hipoteze dokažimo da za svaku podformulu B od A*(xi) važi

D╞a B(t) akko D╞a(b/i) B(xi), gde je b = tD[a].

Ako je B atomna formula onda neposredno sledi na osnovu definicije 3.4.3. (i). Ako je formula B oblika ⌐B1 ili B1 ⇒ B2 ,onda takođe sledi tačnost na osnovu definicije 3.4.3. (ii), (iii) i indukcijske hipoteze za formule Bi(i = 1, 2). Neka je B oblika (∀xs) B1(xs) gde xs nije promenljiva iz terma t (pošto je xs vezana u A*(xi)). Na osnovu indukcijske hipoteze imamo za proizvoljnu valuaciju a

D╞a B1(xs, t) akko D╞a(b/i) B1 (xs, xi)

gde je b = tD[a].Kako xsnije promenljiva terma t, to na osnovu leme 1.4.2. imamo

tD[a] = tD[a(c/s)] za sve c ϵ D

(Intuitivno: u interpretaciji D term t ne zavisi od xs.) Pa za svako x c ϵ D imamo

D╞a(b/i) B1(xs, t) akko D╞a(c/s, b/i) B1(xs, xi)

gde je b = tD[a]. Na osnovu definicije 1.4.3. (iv) dobijamo

╞a B(t) akko D╞a(b/i) B(xi)

Str 19

Predikatske formule

za b = tD[a].

Lema 1.5.3. Ako je term t slobodan za promenljivu x u formuli A(x), onda je formula

(∀x)A(x) A(t)⇒

valjana.

Dokaz: Neka je struktura D interpretacija date formule i promenljiva x neka je x i. Tada

D╞a (∀x) A(x) A(t) akko ako ⇒ D╞a (∀x) A(x), onda D╞a A(t) akko za sve b ϵ D, D╞a(b/i) A(x), onda D╞a A(t)

Pretpostavimo da je za sve b ϵ D, D╞a(b/i) A(x). Kako je term t slobodan za promenljivu x, to iz pretpostavke, specijalno za b = tD[a] imamo D╞a(b/i). Na osnovu leme 1.5.2. tada dobijamo D╞a A(t). Ovim je dokazano da je data formula valjana.

Posledica 2. Neka je c konstantni simbol i term t slobodan za x u A(x). Tada su sledeće formule valjane

a) (∀x)A(x) A(c)⇒b) (∀x)A(x) A(x)⇒c) A(t) (⇒ ∃x)A(x)

Dokaz: Formule (a) i (b) za term t = c,odnosno t = x (a ti termi su slobodni za promanljhivu x u A(x)), na osnovu leme3.5.3. jesu valjane formule.

(c):(A(t) (⇒ ∃x)A(x)) ⇔ (¬(∃x)A(x) ⇒ ¬A(t)) (koristili smo kontrapoziciju (p q)⇒

⇔ (¬p ⇒ ¬q) ⇔(∀x) ¬A(x) ⇒ ¬A(t)

Poslednja formula u ovom nizu ekvivalencije je valjana na osnovu leme 3.5.3. jer je term t slobodan za x u formuli ⌐A(x). Prema tome, formula (c) je valjana. Posmatrajmo formulu

(∀x)(x = t (A(x) ⇒ ⇔ A(t))).

Ako je term t slobodan za promenljivu x u formuli A(x) i relacijski znak = interpretiramo kao jednakost, onda je ta formula valjana. Zaista, neka je D proizvoljna

Str 20

Predikatske formule

struktura te formule i neka je a = < a0, a1, a2,... > priyvoljna valuacija u D. Kako je term t slobodan za x u A(x), to vrednost terma t u valuacija a tj. b = tD[a] D, ne zavisi od kvantifikatora u formuli A(x). Neka promenljiva x bude xi. Tada imamo

D╞a (∀x) (x = t (A(x) ⇒ ⇔ A(t)))akko za sve b ϵ D, D╞a(b/i) x = t (A(x) ⇒ ⇔ A(t))akko za sve b ϵ D, ako D╞a(b/i) x = t, onda D╞a(b/i) A(x) ⇔ A(t)akko za sve b ϵ D, Ako b = tD[a], onda A(b) ⇔ A(tD[a])

Za b ≠ tD[a] ,dobijamo da je vrednost formule T . Za b = tD[a], takođe imamo da je vrednost formule T , jer je u tom slučaju A(b) ⇔ A( tD[a] ). Dakle, data formula je valjana.

Koristeći valjanu formulu koju smo malopre dokazali, imamo da su i sledeće formule

a) A(t) ⇔(∀x)(x = t (A(x))⇒b) A(t) ⇔(∃x)(x = t ˄ (A(x))

valjane, pod uslovom da je term t slobodan za promenljivu x u formuli A(x), a relacijski znak = interpretiramo kao jednakost.

Zaista, za formulu (a) prvo dokažimo implikaciju

A(t) (⇒ ∀x)(x = t A(x))⇒

Ako term t sadrži x kao svoju promenljivu, onda formula A(t) ima x kao slobodnu promenljivu. U tom slučaju, za x u konzekventu ove implikavije možemo uzeti novu promenljivu koja nije slobodna u A(t), jer je x u konzekventu vezana promenljiva. Prema tome, možemo smatrati da x nije slobodna promenljiva u formuli A(t). Tada, na osnovu valjane formule 4. str 8. imamo

(A(t) (⇒ ∀x)(x = t A(x))) ⇒ ⇔(∀x)(A(t) (x = t A(x)))⇒ ⇒

na osnovu tautologije (p (q p)) ⇒ ⇒ ⇔ (q (p r)) imamo⇒ ⇒

⇔(∀x)(x = t (A(t) A(x)))⇒ ⇒

a ova formula je valjana (malo pre dokazana formula).Obratno, neka je

(∀x)(x = t A(x))⇒

tada, na osnovu valjane formule je

(∀x)(x = t A(x)) (t = t A(t))⇒ ⇒ ⇒

Str 21

Predikatske formule

dakle, na osnovu MP imamo

t = t A(t)⇒pa koristeći tautologije (T p) ⇒ ⇔ p, imamo A(t).(b) Koristeći poznate valjane formule koje su izvod iz tautologije, kao i De Morganov zakon, imamo

(A(t) ⇔(∃x)(x = t ˄ A(x))) ⇔ (¬A(t) ⇔ ¬(∃x)(x = t ˄ A(x))) ⇔ ¬A(t) ⇔(∀x)(x ≠ t ˅ ¬A(x)) ⇔¬A(t) ⇔(∀x)(x = t ⇒ ¬A(x))

Poslednja formula u ovom nizu ekvivalencije je valjana formula (to je formula (a)), pa je i polazna formula valjana formula.

Evo jednog jednostavnog primera primene formule (b), kao i drugih valjanih formula.

Primer: Rešiti jednačinu po x u R (R-realani brojevi)

x(x+2)(x+1)2 = 2

Rešenje:

x(x+2)(x+1)2 = 2 ⇔ (x2 + 2x)(x2 + 2x +1) = 2⇔(∃y)(y = x 2 + 2x ˄ y(y + 1) = 2)⇔(∃y)(y = x 2 + 2x ˄ y2 + y + 2 = 0) ⇔(∃y)(y = x 2 + 2x ˄ (y = 1 ˅ y = -2))⇔(∃y)(y = x 2 + 2x ˄ y = 1) ˅ (y = x 2 + 2x ˄ y = -2)⇔x2 + 2x = 1 ˅ x2 +2x = -2 ⇔ x2 + 2x - 1 = 0 ˅ (x + 1)2 +1 = 0⇔ x2 + 2x - 1 = 0 ˅ ⊥ ⇔ x2 + 2x - 1 = 0⇔ x = - 1 + √2 ˅ x = - 1 - √2

Na kraju nešto o ograničenim kvantifikatorima. Ove kvantifikatore uvodimo radi jednostavnijeg pisanja formula.

Pođimo od primera. Neka je R skup realnih brojeva i f realna funkcija.Definicija neprekidne funkcije, kao što nam je poznato, glasi „Funkcija f je neprekidna u tački a ako i samo ako za svaki ε > 0 postoji δ > 0 tako da za svaki x ϵ dom(f) , ako |x - a| < δ, onda |f(x) - f(a)| < ε''. Prevod ove rečenice na jezik formula je:

f je neprekidna u tački a ↔

(∀ε)(ε > 0 ((⇒ ∃δ)(δ > 0 ˄ (∀x)(x ϵ dom(f) (⇒ |x - a| < δ ⇒ |f(x) - f(a)| < ε )))

Koristili smo: ako je F formula, onda je (∀u)F, (∃u)F gde je u promenljiva, formula (definicija formule).Ako uvedemo izvesne skraćenice za neke formule, po definiciji

Str 22

Predikatske formule

(∀u > 0)F kao zamenu za formulu (∀u)(u > 0 F)⇒(∃u > 0)F kao zamenu za formulu (∃u)(u > 0 ˄ F),

isto tako

(∀u ϵ S)F zamena za (∀u)(u ϵ S F)⇒(∃u ϵ S)F zamena za (∃u)(u ϵ S ˄ F)

tada naš prevod neprekidne funkcije u tački glasi: f je neprekidna u tački a ↔

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x ϵ dom(f))(|x - a| < δ ⇒ |f(x) - f(a)| < ε)

što je, naravno, kraći zapis.

Ovako uvedeni kvantifikatori (∀x ϵ S), (∃x ϵ S) i sl. zovu se ograničeni kvantifikatori. Ti kvantifikatori nam služe za kraći zapis formula, i ne samo to, već sa njima radimo slično kao i sa običnim kvantifikatorima. Na primer, za njih važi De Morganov zakon. Zaista,

¬(∀x ϵ S)F ⇔ ¬(∀x)(x ϵ S F) (def. ograničenog kvantifikatora)⇒ ⇔ (∃x) ¬(x ϵ S F) ( De Morganov zakon)⇒ ⇔ (∃x) (x ϵ S ˄¬ F) ⇔ (∃x ϵ S) ¬ F (def. ograničenog kvantifikatora)

Slično imamo

¬(∃x ϵ S)F ⇔ (∀x ϵ S)¬F.

Dokazati da važi: f nije neprekidna u tački a akko

(∃ε < 0)(∀δ > 0)( ∃x ϵ dom(f))(|x - a| < δ ˄ |f(x) - f(a)| ≥ ε)

2 Literatura

Elementi matematičke logike i teorije skupova - dr Zoran D. Đorđević

Str 23