predavanje 7 afine transformacijeelearning.rcub.bg.ac.rs/moodle/pluginfile.php/33233/mod...prof. dr...

Prof. dr Ljiljana Petruševski MATEMATIKA U ARHITEKTURI 2

GEOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE


GEOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE

Kada su u pitanju geometrijske transformacije, mora se biti veoma pažljiv u odnosu na objekat koji se transformiše. Imamo dve alternative: transformacija objekta, transformacija koordinatnog sistema. U ovom delu govorimo o geometrijskim transformacijama objekata u fiksiranom globalnom koordinatnom sistemu.


EUKLIDSKE GEOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE

EUKLIDSKE GEOMETRIJSKE TRANSFORMACIJE : Translacija Rotacija Refleksija

Математика у архитектури 1 Проф. др Љиљана Петрушевски

транслација

у правцу x-осе

за h

у правцу y-осе

за k

(x x+h)

(y y+k)

),( yxM

),( yxM

),( yhxM

),( kyxM

00

kh

05.0

kh

00

kh

5.00

kh

x

y

x

y

x

y

x

y

TRANSLACIJA U RAVNI


Свака транслација је композиција

транслације у правцу x-осе и

транслације у правцу y-осе

),( yxM

),( kyhxM

),( yxM ),( kyhxM

),( yhxM p

00

kh

0.15.0

kh

транслација

x

y

x

y

Move

TRANSLACIJA U RAVNI


x

Move

y

),( yxM ),( kyhxM

0f0e

x

y

),( kht

t

kyyhxx

),( yxM ),( yxM

TRANSLACIJA U RAVNI


kyyhxx

),( yxM ),( yxM

Homogene koordinate

11yx

Tyx

11

kyyhxx

11

1 yx

Tyx

TRANSLACIJA U RAVNI

1yx

1yx

),( yxM

),( yxM


Homogene koordinate

Homogene koordinate

11

kyyhxx

T1T

TRANSLACIJA U RAVNI


primer

Napisati matricu translacije za vektor 5,3t

100510301

T

TRANSLACIJA U RAVNI

100510

3011T


ротација

0 Rotate 0

sincos yxx

cossin yxy

11

ROTACIJA U RAVNI


cossin yxy

sincos yxx

11

R1R

ROTACIJA U RAVNI

TRR 1

1000)cos()sin(0)sin()cos(

1

R


Napisati matricu rotacije za ugao 3

100

021

23

023

21

R21

3cos

23

3sin

ROTACIJA U RAVNI - primer


Napisati matricu rotacije za ugao i matricu inverzne transformacije

0454

100

022

22

022

22

R

ROTACIJA U RAVNI - primer

100

022

22

022

22

1R

045Rotacija za 045Rotacija za


TRANSLACIJA U PROSTORU

Translacija u prostoru je slična translaciji u ravni. Koordinatama tačke dodaju se koordinate vektora translacije . rqpt ,,

11

rzzqyypxx

11

rzzqyypxxT 1T


TRANSLACIJA U PROSTORU - primer

1000210030105001

T

Napisati matricu translacije za vektor

)2,3,5(t

100021003010

5001

1T


ROTACIJA U PROSTORU

Rotacija u prostoru je složenija zato što imamo rotaciju oko x-ose, y-ose i z-ose.

x

y

z

0902

Rotacija oko x-ose, y-ose i z-ose za ugao .


ROTACIJA U PROSTORU

x

y

z

0902



0603


ROTACIJA U PROSTORU


ROTACIJA U PROSTORU

Rotacijom oko z-ose menjaju se samo x i y koordinate, z-koordinata se ne menja. Preciznije, z se ne menja, a x i y koordinate se ponašaju kao u rotaciji u xy-ravni.

R1R


ROTACIJA U PROSTORU

Rotacija oko z-ose

11

cossinsincos

zzyxyyxx

11

cossinsincos

'

zzyxy

yxx


Napisati matricu rotacije oko z-ose za ugao 0306

23

6cos

21

6sin

0306

10000100

0023

21

0021

23

R

ROTACIJA U PROSTORU - primer



1

10000100

0023

21

0021

23

RR




1000010000010010

R



ROTACIJA U PROSTORU

Rotacija oko x-ose

11cossinsincos

zyzzyy

xx

11cossin

sincos

zyzzyy

xxR 1R


Napisati matricu rotacije oko x-ose za ugao 0454


1000

022

220

022

220

0001

R


ROTACIJA U PROSTORU

Rotacija oko y-ose

11cossin

sincos

zxzyy

zxx

11cossin

sincos

zxzyy

zxx

Objasniti razliku U odnosu na ostale ose


Napisati matricu rotacije oko y-ose za ugao 0454


1000

0220

22

0010

0220

22

R


1000010000100001

RREFLEKSIJA

11000010000100001

1zyx

zyx

11

zzyyxx

11000010000100001

1zyx

zyx

11

zzyyxx

U odnosu na xy-ravan

R 1R


1000010000100001

RREFLEKSIJA

11000010000100001

1zyx

zyx

11

zzyy

xx

11000010000100001

1zyx

zyx

11

zzyy

xx

U odnosu na xz-ravan


1000010000100001

RREFLEKSIJA

11000010000100001

1zyx

zyx

11

zzyyxx

11000010000100001

1zyx

zyx

11

zzyyxx

U odnosu na yz-ravan


AFINE TRANSFORMACIJE

Translacija Rotacija Refleksija Skaliranje Smicanje

Kompozicija navedenih osnovnih afinih transformacija, u proizvoljnom poretku ili kompozicija nekih od njih je afina transformacija.


SKALIRANJE

11

rzzqyypxx

11

1

1

1

xr

z

yq

y

xp

xrqp ,,

- faktori skaliranja

p - u pravcu x-ose

q - u pravcu y-ose

r - u pravcu z-ose


SKALIRANJE

25.025.025.0

rqp

rqp Uniformno skaliranje Homotetija

11

rzzqyypxx

Sličnost


5.05.05.0

rqp

SKALIRANJE

11

rzzqyypxx

Uniformno skaliranje

Homotetija

Sličnost


x

y

z

SKALIRANJE Ukoliko faktori skaliranja po svim osama nisu svi medjusobno jednaki, skaliranje je neuniformno.

rqp ,,

7.03.05.0

rqp

11

rzzqyypxx

Neuniformno skaliranje


7.03.05.0

rqp

SKALIRANJE

x

y

z

11

rzzqyypxx

Neuniformno skaliranje


Napisati matricu uniformnog skaliranja sa faktorom skaliranja 0.7 .

SKALIRANJE

100007.000007.000007.0

S


Napisati matricu skaliranja u pravcu x-ose sa faktorom skaliranja 0.5.

SKALIRANJE

1000010000100005.0

S

1000010000100002

1S


Napisati matricu skaliranja u pravcu x-ose i pravcu y-ose sa faktorima skaliranja 0.6 i 0.8 rspektivno.

SKALIRANJE

10000100008.000006.0

S

100001000025.1000067.1

1S


Napisati matricu neuniformnog skaliranja sa faktorom skaliranja u odnosu na x-osu 0.7, u odnosu na y-osu 0.9, u odnosu na z-osu 0.6.

SKALIRANJE

100006.000009.000007.0

S


11

zzbzyy

azxx

11

zzbzyyazxx

SMICANJE - Shear

U pravcu x- i y-ose z-koordinata se ne menja


SMICANJE - Shear

11

zzyy

azxx

0,0 ba

x

yz

0 0


11

zzbzyy

xx

SMICANJE - Shear

x

y

z

0,0 ba0 0


z

11

zzbzyy

azxx

0,0 baSMICANJE - Shear

x

y


Napisati matricu smicanja u x- i y- pravcu sa faktorom smicanja 3 i 4 respektivno.

SMICANJE - primer

1000010004100301

S


SMICANJE - Shear

U pravcu x- i z-ose y-koordinata se ne menja

11

cyzzyy

ayxx

11

cyzzyy

ayxx


Napisati matricu smicanja u x- i z- pravcu sa faktorom smicanja 3 i 4 respektivno.

SMICANJE - primer

1000014000100031

S


SMICANJE - Shear

U pravcu y- i z-ose x-koordinata se ne menja

11

cxzzbxyy

xx

11

cxzzbxyy

xx


Napisati matricu smicanja u y- i z- pravcu sa faktorom smicanja 3 i 4 respektivno.

SMICANJE - primer

1000010400130001

S


11

yyayxx

SMICANJE – u ravni

11

yyayxx

x

y

U pravcu x-ose

y-koordinata se ne menja


Napisati matricu smicanja u ravni u pravcu x-ose sa faktorom smicanja 2.

SMICANJE - primer

100010021

S


x

y

SMICANJE – u ravni

11

bxyyxx

11

bxyy

xx

U pravcu y-ose

x-koordinata se ne menja


Napisati matricu smicanja u ravni u pravcu y-ose sa faktorom smicanja 2.

SMICANJE - primer

100012001

S



Kompozicija geometrijskih transformacija je njihovo uzastopno izvođenje, svaka od transformacija dejstvuje na rezultat prethodne.

1A 2A nA...

121... AAAAA nn

Ako su zadate matrice transformacija

matrica kompozicije, izvodjenja transformacija u tom poretku je



U opštem slučaju, afine transformacije se mogu prikazati u obliku:

Opšti oblik matrice afine transformacije

Inverzna matrica – Matrica inverzne transformacije



Afine transformacije u ravni održavaju kolinearnost i odnose rastojanja izmedju tačaka.

Afine transformacije u prostoru održavaju komplanarnost, kolinearnost i odnose rastojanja izmedju tačaka.


AFINE TRANSFORMACIJE - primer

Primenjene su sledeće transformacija na neki objekat:

1. Skaliranje u pravcu x-ose koristeći faktor skaliranja 5 2. Potom, rotacija oko z-ose za . 3. Zatim, smicanje u x- i y- pravcu sa faktorom smicanja 2 i 3 respektivno. 4. Na kraju, translacija za vektor (2,1,2). Ukoliko su matrice skaliranja, rotacije, smicanja i translacije A, B, C i D respektivno, matrica njihove kompozicije je H=DCBA.

030

DCBAH 111111 DCBADCBAH


Primenjene su sledeće transformacija na neku geometrijsku figuru u ravni: 1. Rotacija za ugao

2. Potom, translacija za vektor


4

3,2t

1) Napisati matrice rotacije i translacije

2) Izračunati matricu izvedene afine transformacije (kompozicije rotacije i translacije).

3) Izračunati matricu afine transformacije u slučaju da su rotacija i translacija izvedene u obrnutom poretku.



100

022

22

022

22

R

100310201

T RTK

100

322

22

222

22

100

022

22

022

22

100310201

TRK

1) 2)



100

022

22

022

22

R

100310201

T TRL

100

223

222

22

22

223

222

22

22

100310201

100

022

22

022

22

L

3)


100

223

222

22

22

223

222

22

22

100310201

100

022

22

022

22

RTL

100

225

22

22

22

22

22

RTL



100

322

22

222

22

100

022

22

022

22

100310201

TRK

100

225

22

22

22

22

22

100310201

100

022

22

022

22

RTL


Kompozicija rotacije i translacije nije komutativna. Bitan je redosled izvodjenja tih transformacija.

TRRT


Primenjene su sledeće transformacija na neku geometrijsku figuru u ravni: 1. Skaliranje sa faktorom 0.8

2. Potom, translacije za vektor

1) Napisati matrice skaliranja i translacije.

2) Izračunati matricu izvedene afine transformacije (kompozicije skaliranja i translacije).

3) Izračunati matricu afine transformacije u slučaju da su transformacije izvedene u obrnutom poretku.

3,2t


100310201

T

100

08.00008.0

S

10038.00208.0

10008.00008.0

100310201

ST

1004.28.006.108.0

10038.08.0028.008.0

100310201

10008.00008.0

TS


10038.00208.0

ST

1004.28.006.108.0

TS

TSST

Kompozicija skaliranja i translacije nije komutativna. Bitan je redosled izvodjenja tih transformacija.



2. Potom, rotacija za ugao

4

1) Napisati matrice skaliranja i rotacije.

2) Izračunati matricu izvedene afine transformacije (kompozicije skaliranja i rotacije).

3) Izračunati matricu afine transformacije u slučaju da su transformacije izvedene u obrnutom poretku.


100

022

22

022

22

R

100

08.00008.0

S

100

0228.0

228.0

0228.0

228.0

100

08.00008.0

100

022

22

022

22

SR


100

0228.0

228.0

0228.0

228.0

100

022

22

022

22

100

08.00008.0

RS

RSSR

Medjutim, iz pojedinačnog primera, ne može se izvesti zaključak.


100

0cossin0sincos

R

100

0000

qp

S

100

0cossin0sincos

100

0000

100

0cossin0sincos

qpqp

qp

SR


100

0cossin0sincos

100

0000

100

0cossin0sincos

qpqp

qp

SR

100

0cossin0sincos

100

0cossin0sincos

100

0000

qqpp

qp

RS


U slučaju uniformnog skaliranja

RSSR

pq

100

0cossin0sincos

pppp

RSSR

U slučaju uniformnog skaliranja kompozicija skaliranja i rotacije je komutativna. Nije bitan redosled izvodjenja transformacija.


Napisati matricu složene afine transformacije u prostoru u kojoj rotaciji oko x-ose za ugao prethodi rotacija oko z-ose za isti taj ugao.

xRzR

zx RRR

1000010000cossin00sincos

zR

10000cossin00sincos00001

xR



1000010000cossin00sincos

10000cossin00sincos00001

zx RRR

10000coscossinsin0sincossincos00sincos

2

2

R

2sin21




Primenjene su sledeće transformacija na neki objekat:

1. Uniformno skaliranje sa faktorom skaliranja 0.5 2. Potom, translacija za vektor (2,1,2).

1) Izračunati matricu afine transformacije, ukoliko se skaliranje i translacija izvode u tom poretku.

2) Izračunati matricu afine transformacije, ukoliko se skaliranje i translacija izvode u suprotnom poretku.


100005.000005.000005.0

S

1000210010102001

T

100025.000105.002005.0

100005.000005.000005.0

1000210010102001

TSA

1)



100005.000005.000005.0

S

1000210010102001

T

100015.0005.005.00

1005.0

1000210010102001

100005.000005.000005.0

STB


2)



Primenjene su sledeće transformacija na neku geometrijsku figuru u ravni:

1. Skaliranje u pravcu y-ose koristeći faktor skaliranja 0.2 2. Potom, translacija za vektor (2,3) 3. Na kraju, smicanje u pravcu x-ose sa faktorom smicanja 2 .

1) Izračunati matricu afine transformacije, ukoliko se skaliranje , translacija i smicanje izvode u tom poretku.


100

02.00001

A

100

310201

B

100

012001

C

CBAH AFINE TRANSFORMACIJE - primer

100

02.00001

100

712201

100

02.00001

100

310201

100

012001

CBAH

100

72.02201

CBAH



2. Potom, translacije za vektor

1) Napisati matrice skaliranja i translacije.

2) Izračunati matricu izvedene afine transformacije (kompozicije skaliranja i translacije u tom poretku).

3) Izračunati matricu inverzne afine transformacije

3,2t

***


100310201

T

100

05.00005.0

S

10035.00205.0

10005.00005.0

100310201

STA

100620402

100310201

100020002

1111 TSSTA



2. Potom, rotacija za ugao

2

1) Napisati matrice skaliranja i rotacije.

2) Izračunati matricu izvedene afine transformacije (kompozicije skaliranja i rotacije).

3) Izračunati inverznu matricu.

***


100001010

R

10002.00002.0

S

100002.002.00

10002.00002.0

100001010

SRA

100005050

100001010

100050005

1111 RSSRA


Opšti oblik afine transformacije:

Matrica afine transformacije.

TRANSFORMACIJA KOORDINATNOG SISTEMA



1000000

zzz

yyy

xxx

wvuwvuwvu

M

1001

1000000

1zzz

yyy

xxx

z

y

x

wvuwvuwvu

uuu

1010

1000000

1zzz

yyy

xxx

z

y

x

wvuwvuwvu

vvv

1100

1000000

1zzz

yyy

xxx

z

y

x

wvuwvuwvu

www



1000000

zzz

yyy

xxx

wvuwvuwvu

M

11000000

1zyx

wvuwvuwvu

zyx

zzz

yyy

xxx

1zyx

1zyx

1zyx

P P

Koordinate tačke u xzy-koordinatnom sistemu

Koordinate tačke u xyz-koordinatnom sistemu

PP Koordinate tačke u uvw-koordinatnom sistemu

P



Globalni koordinatni sistem

Lokalni koordinatni sistem

P P

1zyx

1zyx

1zyx

Koordinate tačke u globalnom koordinatnom sistemu

Koordinate tačke u globalnom koordinatnom sistemu

P

P

Koordinate tačke u lokalnom koordinatnom sistemu

P

predavanje 7 afine transformacijeelearning.rcub.bg.ac.rs/moodle/pluginfile.php/33233/mod...prof. dr...

Documents