predavanje 4-dimenzionisanje preseka prema teoriji ...imksus.grf.bg.ac.rs/nastava/beton/mti hve...

1

BETONSKE KONSTRUKCIJE

ESPB: 6Semestar: V

Prof. dr Snežana Marinković

Doc. dr Ivan Ignjatović

DIMENZIONISANJE PRESEKA PREMA TEORIJI GRANIČNIH STANJA- Granična stanja nosivosti -

2

( ) ( )11buuau2aubu1a ayNMMahDzD:0M −×+==−×+×=∑∑ ⇒=−+= sNZDD:0N uauaubu

Mu=?

b

Aa1

x=s×

h

Zau

Dbu

z=ζ×

hη×

xa 1

NuGb

y b2

hd

a 1

y b1

εa1

Aa2εa2

a 2x-

a 2

h - a

2

h - x

Dau

εb σb

9. Određivanje momenta nosivosti (Mu) –pravougaona pritisnuta površina• Poznato: b, d(h), Aa1, Aa2, MB, Č i Nu; Mu = ?

3

Bbbu fhbsD ××××α=

‰5.3‰2za3

23b

b

bb ≤ε≤

ε×−ε×

=α

b1a

b

ss1

‰5.3259.0s

ε×−

=ε

=ε⇒≥

1ab

1a

s1s‰10

259.0sε×

−=ε

=ε⇒≤

( ) ‰2za612 bb

bb ≤εε−×

ε=α

9. Određivanje momenta nosivosti (Mu) –pravougaona pritisnuta površina

4

‰10‰5.3

1a

b

=ε=ε

1ab

bsε+ε

ε=

259.0277

105.35.3s ==+

=

εa1 = 10 ‰

Aa1

εb = 3.5 ‰

x=0.

259×

h

h

simultani lom


5

b1a

b

ss1

‰5.3

259.0s

ε×−

=ε

=ε

≥

‰25.55.34.0

4.01

‰5.3259.04.0s

1a

b

=×−

=ε

=ε⇒>=

Aa1

εb = 3.5 ‰

x=0.

4×h

εa1 = 5.25 ‰

10 ‰

> 3.5 ‰

0.25

9×h

lom po betonu


6

1ab

1a

s1s

‰10

259.0s

ε×−

=ε

=ε

≤

‰210167.01

167.0

‰10259.0167.0s

b

1a

=×−

=ε

=ε⇒<=Aa1

εb = 2 ‰

x=0.

167×

h

εa1 = 10 ‰

> 10 ‰

3.5 ‰

0.25

9×h

lom po armaturi


7

2a2aau AD σ×=

1a1aau AZ σ×=

va2a2a E σ≤×ε=σ

va1a1a E σ≤×ε=σ

b2

b2

2a ss

xax

ε×α−

=ε×−

=ε

s0NZDD:0N uauaubu ⇒=−−+=∑x

= s×

h

εb

εa2

a 2x-

a 2

εa

σa

10‰εv

σv

ha2

2 =α


• Praktičan postupak – iterativan

• Pretpostavi se s => Dbu, Dau, Zau => ΣN = 0 => Dbu + Dau - Zau - Nu < 0 => povećati s u II iteraciji

Dbu + Dau - Zau - Nu > 0 => smanjiti s u II iteraciji

• Kada se sračuna s, mogu se sračunati sve unutrašnje sile (Dbu, Dau, Zau) kao i z (poznato je εa i εb)

ΣMa1 = 0 => Dbu·z + Dau·(h-a2) = Mau

za poznato Nu:Mu = Mau - Nu·(yb1-a1)


9

( )11buuaubu1a ayNMMzD:0M −×+==×=∑

sNZD:0N uaubu ⇒=−=∑

Mu=?

b

Aa1

x=s×

h

Zau

Dbu

z=ζ×

hη×

xa 1

NuGb

y b2

hd

a 1

y b1

εa1

h - x

εb σb


10

v

u

v

B11a

NfhbA:0Nσ

−σ

×××µ==∑

kfhbN+As=B

uv1ab1 ⇒

××σ×

=×αµ

( )

−×−××

=−×− a2

dNfbkh

ayNM=M11 uB

2

1buauu

fbkh= M:0M B

2

au1a ××

=∑


7. Mali ekscentricitet – Ekscentrično pritisnuti elementi. Dijagrami interakcije.• Slučaj naprezanja karakterističan za stubove• Ekscentricitet normalne sile je mali, ceo presek je pritisnut; simetrično armiranje! • Granične dilatacije se kreću od εb1=0‰ i εb2=3.5‰ do εb1=εb2=2‰

11

b

Aa1

Gb

y b2

hda 1

y b1

Aa2Nu

e Nu

εb σb = fB

x

3 7 d

Dbu

Dau2

Dau1

b

y b2

hda 1

y b1

e

εb = 2 ‰ σb = fB

Dbu

Dau2

Dau1Aa1

Gb

Aa2NuNu

• Konstruisanje: usvojen oblik i dimenzije preseka, raspored i količina armature, mehaničke karakteristike betona i čelika, stanje graničnih dilatacija u preseku

• Ispisivanje uslova ravnoteže => Mu, Nu

• Najčešće u bezdimenzionalnom obliku:

• Posebni dijagrami za različite odnose a/di različite mehaničke karakteristike betona i čelika

7. Mali ekscentricitet – Ekscentrično pritisnuti elementi. Dijagrami interakcije.

12

13

a a' dc e

g

f

h

ZATEZANJE

b

PRITISAK

C

εb2 εa2

εa1 εb1

2 3.5

3.523 εv 010‰

“a”

“b”

“c”

14

d e

g

f

h

ZATEZANJE PRITISAK

C

εb2 εa2

εa1 εb1

2 3.5

3.523 εv 0

“d”“f”

“h”

7. Mali ekscentricitet – Ekscentrično pritisnuti elementi. Dijagrami interakcije.

15

8. Vitki savijani AB elementi sa silom pritiska• Rešavanje diferencijalnih jednačina je problem• Približne metode• Vitkost elementa:

li – dužina izvijanja elementaimin – najmanji poluprečnik inercije (slabija osa)Imin – moment inercije poprečnog preseka elementa u odnosu na koji se

vrši izvijanje• li = k·L – dužina izvijanja se izražava u odnosu na stvarnu dužinu;

jednaka je razmaku prevojnih tačaka deformisane ose elementa;jednaka je dužini proste grede koja ima istu dužinu izvijanja kao i element

16

8. Vitki savijani AB elementi sa silom pritiska• Ojlerovi (Euler) slučajevi izvijanja (k = 0.5 - 1)

• Ovako “čisti” slučajevi se retko sreću u stvarnosti!• Pritisnuti element je obično deo konstrukcije

17

8. Vitki savijani AB elementi sa silom pritiska• Sistemi sa bočno nepomerljivim čvorovima

• Sistemi sa bočno pomerljivim čvorovima

18

- rigla sprečava bočno pomeranje gornjeg čvora- moguća je samo rotacija u tom preseku

- moguća rotacija i bočno pomeranje- veća bočna deformacija- veća dužina izvijanja (k = 1 - ∞)

8. Vitki savijani AB elementi sa silom pritiska• Prema PBAB 87 za određene vitkosti – uvođenje efekata izvijanja!

• Za 25≤ λ ≤75 – umereno vitki stubovi => približni proračun

• Za 75≤ λ ≤140 – izrazito vitki stubovi => tačniji postupci proračuna

• λ > 140 – nije dopušteno (osim u fazi montaže, do λ=200)

• Uzimanje u obzir izvijanja predstavlja geometrijski nelinearan problem!

1) Najjednostavniji slučaj: λ ≤ 25 – izvijanje se ne uzima u obzir

19

8. Vitki savijani AB elementi sa silom pritiska• Provera stabilnosti vitkog elementa na izvijanje nije potrebna

ako je zadovoljen bar jedan od sledećih uslova:

gde je:e1 – ekscentricitet eksploatacione normalne sile

pritiska po teoriji I reda u srednjoj trećini dužine izvijanja

d – odgovarajuća dimenzija poprečnog preseka (u pravcu ekscentriciteta e1)

20

p P

li/3 li lili/3

8. Vitki savijani AB elementi sa silom pritiska• Za stubove koji su deo nepomerljivog sistema i koji imaju linearnu promenu

momenata po teoriji I reda:=> uslov se zamenjuje uslovom

• Stub A:

• Stub B:

21

g, pM2 M2

M1

A B

8. Vitki savijani AB elementi sa silom pritiska• Ako nijedan od navedenih uslova nije zadovoljen mora se dokazati stabilnost

vitkog elementa na izvijanje• Za oblast umerene vitkosti dozvoljavaju se približni postupci

Metoda dopunske ekscentričnosti:

o ekscentricitet usled netačnosti pri izvođenju e0

o Ekscentricitet usled vremenskih deformacija (tečenja i skupljanja) betona eφmože se zanemariti (eφ= 0)ako su zadovoljena sva tri uslova:

u suprotnom, uticaj tečenja i skupljanja računa se uvođenjem eφ:

e1g – ekscentricitet normalne sile od stalnog opterećenja =Mg/Ng

e0 – ekscentricitet usled netačnosti izvođenja

22

8. Vitki savijani AB elementi sa silom pritiska

• Ekscentricitet po teoriji II reda:

• Ukupni ekscentricitet:

• Nu, Mu = Nu · e => mali ili veliki ekscentricitet!

23

• Opterećenje transverzalnim silama – smicanje:

• Čisto savijanje nosača je retko u praksi=> nosače je potrebno projektovati na dejstvo

transverzalnih sila

• Interakcija savijanja i smicanja je kompleksna pojava koja još uvek nije potpuno razjašnjena

9. Elementi opterećeni transverzalnim silama24

• Kod linijskih nosača opterećenih na savijanje, pored momenata savijanja javljaju se i transverzalne sile


• Trajektorije glavnih napona zatezanja ______________

• Trajektorije glavnih napona pritisaka _ _ _ _ _ _ _ _ _ _


• Glavni naponi zatezanja:

• U zonama van oslonaca:

• U neutralnoj liniji gde je smičućinaponi su ujedno glavni naponi:

• Pravci glavnih napona su definisani uglom α:


28

• Homogeni armiranobetonski poprečni preseci u fazi I:Si – statički moment idealnizovane površine iznad

vlakana u kojima se traži naponIi – moment inercije idealnizovanog poprečnog preseka u odnosu na težišnu osu

• Ako je nautralna linija ujedno i težišna linija aktivnog poprečnog preseka, napon smicanja u neutralnoj liniji za presek sa prslinom u fazi II je:

• Krak unutrašnjih sila se kreće u uskim granicama duž ose nosača pravougaonog preseka, kao srednja vrednost usvaja se:

9. Elementi opterećeni transverzalnim silama

29

• U slučaju nosača sa promenjljivom širinom rebra raspodela napona smicanja je prikazana na slici:

9. Elementi opterećeni transverzalnim silama

• Lom nastaje iz tri razloga:1. Nedostatak ili mali procenat poprečne armature2. Lom betona kada se kosa prslina proteže visoko po preseku3. Proklizavanje zategnute armature kada nije pravilno usidrena nad

osloncima


• Dimenzionisanje prema merodavnoj transverzalnoj sili Tmu

• Nominalni napon smicanja:


• Nominalni napon smicanja se poredi sa računskom čvrstoćom betona pri smicanju, τr=f(MB)

• Ako je nije potrebna računska armatura za prihvatanje uticaja od transverzalnih sila!

• Ako je potrebna je računska armatura u području gde je• U ovom slučaju se deo transverzalne sile može poveriti betonu!

=> redukcija Tmu => redukovana računska trensverzalna sila TRu

• Tbu se prenosi trenjem u prslini i preko pritisnute zone betona


MB 15 20 30 40 50 60

τr (MPa) 0.6 0.8 1.1 1.3 1.5 1.6

• Ako je celokupnu silu prihvata armatura (Tbu=0)

• Slučaj nije dozvoljen! => povećavanje dimenzija preseka ili MB

• Dimenzionisanje pomoću koeficijenata sigurnosti koji važe za 3‰≤ εa≤10‰


• Model rešetke:


pritisnute dijagonale:betonski štapovi

zategnute dijagonale/vertikale:kosi profili/uzengije

gornji pojas:pritisnuti beton

donji pojas:podužna armatura

• Model rešetke:• Ritter i Mörsch

Sile u štapovima:Uslovi ravnoteže!


• Proračun armature:• Sila zatezanja u kosoj (poprečnoj) armaturi, u blizini oslonca se određuje:

• Sila u armaturi na jed. dužini:

• Horizontalna sila veze:


• Proračun armature:Integracija izraza na dužini osiguranja λ, uz zamenu

=> Ukupna površina kose armature:

• Ako se osiguranje vrši samo vertikalnim uzengijama (α=90º) prema maksimalnom redukovanom smičućem naponu τRu uslova da je Zuu=TRu

- površina poprečnog preseka uzengija- rastojanje uzengija- “sečnost” uzengija


m=2

T

m=4T

m=2

• Proračun armature:• Pored poprečne potreba je i dodatna podužna zategnuta armatura, ΔAa

• Sila u zategnutoj armaturi: model rešetke ≠ gredni model !

• Model rešetke (suma mom.savijanja oko tačke A):

• Gredni model:

• Razlika između dva modela:

• Dodatna površina zategnute armature:


• Proračun armature:• Neophodno je obezbediti minimalni procenat armiranja na dužini osiguranja λ

• Minimalna površina preseka armature se određuje iz prethodnog uslova:

• Maksimalno rastojanje uzengija:


• Torzija nastaje usled dejstva momenta Mt oko podužne ose nosača:• Obrtanje koje nastaje usled torzija izaziva

smičuće napone u nosaču (podužne i poprečne!)• Smičući naponi izazivaju glavne napone zatezanja

pod uglom od 45º u odnosu na podužnu osu• Kada glavni naponi zatezanja prekorače čvrstoću

betona pri zatezanju dolazi do pojave dijagonalnih(“spiralnih”) prslina

10. Elementi opterećeni momentima torzije64

MTu

1

2

• Granična nosivost punih preseka neznatno veća od gr. nosivosti šupljih preseka:

• U proračunu se pun presek aproksimira šupljim – sandučastim tankozidnim• Uslov ravnoteže momenata torzije:

• Uz pretpostavku ravnomernog rasporeda napona po debljini iz Brendt-ove formule:


• Ako je nije potrebna računska armatura za prihvatanje uticaja od uticaja momenata torzije!

• Ako je potrebna je računska armatura u području gde je• U ovom slučaju se deo momenta torzije može poveriti betonu!

=> redukcija MTu => redukovaan računski moment torzije MTbu

• Ako je ne vrši se redukcija momenata torzije, sve uticaje prihvata armatura!

• Slučaj nije dozvoljen!


• Nakon pojave prslina, silu pritiska Db u kosim štapovima rešetke prihvataju uzengije i podužna armatura!

• Površina poprečne armature (uzengija):

• Površina ukupne podužne armature:

• Obo – obim srednje linije ekvivalentnog tankozidnog preseka• Ugao θ je nagib pritisnutih dijagonala (bira se, 25º-55º)• U slučaju kada je mora se ispoštovati minimalna površina uzengija!


• Simultano dejstvo transverzalnih sila i momenata torzije:

=> superpozicija nominalnih napona


MTu

MtT

Tu

• Kada je redukcija transverzalnih sila i momenata torzije:

• Sa se poredi ukupni smičući napon , a ne komponentei !


• Simultano dejstvo momenata savijanja i momenata torzije:=> neophodna je kontrola glavnog napona pritiska u pritisnutoj zoni preseka!

• Glavni napon pritiska:

• Međusobni razmak šipki uzengija i podužne armature se ograničava na:


predavanje 4-dimenzionisanje preseka prema teoriji ...imksus.grf.bg.ac.rs/nastava/beton/mti hve...

Documents