pratique du bael 91

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Pratiquedu BAEL 91Cours avec exercices corriges

Jean PerchâtJean Roux

Jean Perchât, ingénieur ECP,a, pendant plus de trente ans,

participé activement, au sein decommissions nationales ou

internationales, à la rédactiondes textes normatifs relatifs au

béton armé, et enseigné lesméthodes de calcul

qui en découlent.

Jean Roux, ingénieur ETP -CHEBAP, pratique le calcul des

structures en béton sous unedouble approche du fait de sesactivités d'ingénieur à la SNCF

et de professeur à l'ESTP.

Pratiquedu BAEL 91Cours avec exercices corrigés Quatrième éditionJean PerchâtJean Roux

Pratique du BAEL 91 présente,à partir des lois classiques dela Résistance des Matériaux,et après l'étude des méthodesde calcul propres à chaquesollicitation élémentaire (effortnormal, effort tranchant,moment fléchissant, momentde torsion) et au flambement,le dimensionnement deséléments de base d'unestructure (tirant, poteau,poutre, dalle).

Chaque chapitre comporteun rappel de cours suivi d'unou plusieurs exerc icesd'application traités en détail.Il y est tenu compte desnouvelles règles de prise encompte de la fissurationdéfinies par les Règles BAEL91 modifiées 99 applicablesdepuis le 15 février 1999. Lesexercices sont accompagnésde nombreuses informationsutiles pour les calculs.

Cette quatrième édition est enrichiepar :O des formules plus précises pour

les pourcentages minimauxd'armatures en flexion simple etcomposée, basées sur des valeursplus réalistes des bras de levierdes forces élastiques,

O une formule approchée dumoment limite ultime au-delàduquel des armaturescomprimées sont nécessaires dansles sections rectangulaires, enflexion simple, valables pour desbétons de résistancecaractéristique allant jusqu'à60 MPa,

Q des compléments portant sur leseffets de l'effort tranchantpermettant de mieuxappréhender les prescriptions desRègles BAEL 91 modifiées 99,

O la distinction entre torsiond'équilibre et torsion decompatibilité définissant les casoù une étude de la torsion deséléments en béton armé estnécessaire.

Code éditeur :G11049ISBN: 2-212-11049-9

Cet ouvrage est extrait du cours de l'École spéciale des travauxpublics (ESTP) professé jusqu'à ces dernières années par Jean Perchâtet repris depuis par Jean Roux. Il s'adresse aux étudiants en bâtimentet génie civil, aux techniciens, ingénieurs et projeteurs désireuxd'acquérir les mécanismes et ordres de grandeur couramment pratiquésen calcul des ossatures en béton armé ou de mettre à jour leursconnaissances dans ce domaine.

LI a N/illettfi

)mpatibles avec la géométrie du tunnel pour un gabarit de véhicule donné, de réduire consi-ârablement les coûts de « mise au gabarit » des tunnels de la SNCF.

e retour au Département des Ouvrages d'Art en 1983, il devient responsable des études tech-es et informatiques de la Division des Tunnels, dans un domaine où la Résistance des

atériaux et la Mécanique des Sols sont si étroitement confrontées.

on expérience et ses compétences lui valent plusieurs missions à l'étranger pour des projetsrénovation de tunnels, auxquels il apporte toutes ses connaissances techniques et écono-

iques.

tégré à la SNCF dans une solide équipe d'ingénieurs émérites, tels que J. Gandil,Trufandier, J. Eyraud, A. Rozière, Jean Roux garde le contact avec l'École Spéciale des

'ravaux Publics en tant que Maître assistant puis Professeur de béton armé. Il est aussiofesseur de Résistance des Matériaux au Centre des Hautes Études de la Construction depuis

983.

; présent ouvrage a trois objectifs :- il est d'abord un vade-mecum de l'ingénieur par le rappel constant des bases de la Résis-

tance des Matériaux, fondement logique de toute réflexion sur la construction ;

- il est aussi l'image vivante d'un cours agréable. Certes il faut y trouver la trame del'exposé théorique et la rigueur de la formule car il s'agit bien là de règles et de normes,mais l'exercice appliqué et expliqué y ajoute l'exemple, l'utile et le concret ;

- il est enfin un recours pour l'ingénieur confirmé, en lui présentant les dernières évolu-tions, qui relèvent d'expérimentations ou de dispositions réglementaires dans une dyna-mique d'actualité et de progrès.

Sous la double signature de Jean Perchât et de Jean Roux, qui furent dans la relation de maîtrea élève avant d'œuvrer dans une fructueuse collaboration, cet ouvrage arrive à son heure pourtous ceux qui participent à l'art d'édifier et de construire.

E. CHAMBRON

Ingénieur en Chef des Ponts et ChausséesDirecteur honoraire de l'Équipement de la SNCF

•

AVANT-PROPOS

Les dernières mises à jour des Règles de calcul des ouvrages en béton armé aux états-limites dites Règles BAEL 91 modifiées 99 sont applicables depuis le 15 février 1999.

Cet ouvrage, extrait du cours de béton armé professé à l'École Spéciale des Travaux Publics(ESTP) jusqu'à ces toutes dernières années par J. Perchât et maintenant par J. Roux, quiintègre ces modifications, est destiné :

- aux projeteurs, élèves-ingénieurs, jeunes ingénieurs et étudiants ayant le béton armé àleur programme d'études, désireux d'acquérir les mécanismes et ordres de grandeur cou-ramment pratiqués dans le domaine du calcul des structures de génie civil en béton armé,

- ainsi qu'aux ingénieurs confirmés qui souhaitent appliquer directement les derniers erre-ments réglementaires.

Après quelques rappels sommaires de Résistance des Matériaux (matière qu'il est indispen-sable de connaître avant d'aborder le calcul d'une construction en quelque matériau que cesoit), puis des généralités concernant l'évaluation des sollicitations et des caractéristiques desmatériaux acier et béton, chaque chapitre est consacré aux méthodes de calcul propres à unesollicitation élémentaire (traction simple, compression simple, flexion simple, ...) ce qui per-met d'aborder dans les derniers chapitres les calculs relatifs aux éléments constitutifs d'uneconstruction simple (dalles, poutres, planchers,...).

Chaque chapitre est organisé en deux parties :

1) des rappels de cours présentant les méthodes de calcul et formules réglementaires avecdes démonstrations et des explications permettant de comprendre leur fondement scienti-fique et expérimental ainsi que leur philosophie,

2) un ou plusieurs exercices d'application commentés et des compléments permettant devisualiser les techniques et hypothèses en même temps que d'acquérir une expérience et de« bonnes » habitudes dans le domaine du béton armé appliqué aux bâtiments et aux travauxpublics.

Si les Règles BAEL se prêtent bien aux calculs informatiques, il ne nous a pas paru néces-saire, devant la multiplicité des langages de programmation (basic, C, turbo pascal,...), de don-ner, chaque fois que l'usage d'un micro-ordinateur se justifiait, des programmes de calculs.Nous avons préféré donner plutôt des organigrammes et enchaînements explicitant le déroule-ment des processus de calcul que le lecteur pourra aisément transcrire sur son ordinateur.

Les nombreuses informations relatives au génie civil (valeurs des charges permanentes etd'exploitation, contraintes limites des matériaux, caractéristiques géométriques des aciers enbarres, formulaires pour poutres isostatiques, tableaux de caractéristiques des sections,...) ren-contrées en parcourant les divers chapitres faciliteront la tâche du technicien dans l'élaborationde ses projets.

Cet ouvrage n'a pas la prétention d'être exhaustif et complet dans ce vaste domaine qu'estle béton armé (ce n'est qu'un extrait du cours de l'ESTP). Il a pour seul objectif de bien fairecomprendre les méthodes de calcul propres au béton armé aux états-limites, de répondre auxinterrogations et de faciliter la tâche de l'ingénieur d'études qui appliquera les RèglesBAEL91.

AVERTISSEMENT

Dans cette nouvelle édition de « Pratique du BAEL 91 », les auteurs ont introduit les nou-velles valeurs des contraintes limites de l'acier à l'état-limite de service, telles qu'elles sontdéfinies dans les Règles BAEL 91 modifiées 99 applicables depuis le 15 février 1999. Lanécessité d'atténuer, pour les bétons courants, la sévérité des valeurs résultant de l'applicationstricte des Règles BAEL 91 s'est révélée à l'usage. Pour ces bétons, les nouvelles limites pro-posées conduisent à des dimensionnements quasi identiques à ceux des Règles BAEL 83 encas de fissuration préjudiciable, mais légèrement plus favorables en cas de fissuration très pré-judiciable.

Les modifications précitées étendent par ailleurs le domaine d'application des Règles auxbétons de résistance comprise entre 60 et 80 MPa. Les modifications corrélatives des donnéeset formules de base sont nombreuses et importantes. En tenir compte, même en se bornant àles mentionner, aurait exigé une refonte totale du présent ouvrage. Compte tenu du caractèreexceptionnel, actuellement, de l'emploi de tels bétons, ceux-ci restent hors du domaine visépar Pratique du BAEL 91.

Les auteurs ont mis à profit cette nouvelle édition pour expliciter certains points comme,par exemple :

- les formules relatives au pourcentage minimal d'armatures en flexion simple et compo-sée, basées sur des valeurs plus réalistes des bras de levier des forces élastiques quecelles figurant dans les commentaires des Règles BAEL 91,

- une formule approchée du moment limite ultime, pour les sections rectangulaires enflexion simple, permettant d'en étendre le domaine d'application à des bétons de résis-tance allant jusqu'à 60 MPa,

- des compléments concernant les effets de l'effort tranchant permettant de mieux appré-hender les prescriptions des Règles BAEL 91 modifiées 99,l'introduction des notions de torsion d'équilibre et de torsion de compatibilité afin dedéfinir les cas où il est nécessaire de faire une étude de la torsion des éléments en bétonarmé.

Les auteurs.

SOMMAIRE

CHAPITRE 1 : RAPPELS DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX 1

I. RAPPELS DE COURS 1

1. Caractéristiques géométriques 12. Théorie des contraintes 63. Théorie des poutres 104. Éléments de réduction 125. Conditions générales d'appui des poutres 146. Systèmes isostatiques et hyperstatiques 157. Équations intrinsèques des poutres droites 168. Relations contraintes-efforts 189. Tronçons de poutres droites 24

IL FORMULAIRE POUR POUTRES ISOSTATIQUES 34

CHAPITRE 2 : BÉTON ARMÉ - GÉNÉRALITÉS 41


1. Unités 412. Actions et sollicitations 413. Caractéristiques des matériaux 504. Hypothèses et données pour le calcul du béton armé 55

II. EXERCICE : COMBINAISONS D'ACTIONS 57

CHAPITRE 3 : ASSOCIATION ACIER - BÉTON 65


1- Définitions 652. Disposition des armatures 663. Contrainte d'adhérence 674. Ancrage des barres5. Jonctions par recouvrement 76

II. EXERCICE : ANCRAGE TOTAL

CHAPITRE 4 : TRACTION SIMPLE - TIRANTSI. RAPPELS DE COURS

1. Introduction2. Dimensionnement des armatures3. Vérification des contraintes4. Détermination du coffrage5. Condition de non-fragilité6. Armatures transversales

IL EXERCICE : TIRANT - FISSURATION PRÉJUDICIABLE

CHAPITRE 5 : COMPRESSION SIMPLE

I. RAPPELS DE COURS

1. Hypothèses2. Élancement3. Armatures longitudinales4. Armatures transversales5. Coffrage !

IL EXERCICE N° 1 : POTEAU - ARMATURES MINIMALES

III. EXERCICE N° 2 : FORCE PORTANTE D'UN POTEAU

IV. EXERCICE N° 3 : POTEAU - GRANDE DIMENSION IMPOSÉE

CHAPITRE 6 : FLEXION SIMPLE

I. RAPPELS DE COURS

1. Introduction2. Section rectangulaire - fissuration peu préjudiciable3. Section rectangulaire - fissuration préjudiciable ou très préjudiciable4. Coffrage des sections rectangulaires5. Sections en T6. Pourcentage minimal d'armatures7. Vérification des contraintes à l'E.L.S8. Organigrammes récapitulatifs pour le dimensionnement des armatures9. Vérification à l'E.L.U. d'une section rectangulaire dont on connaît les armatures..

II. EXERCICE N° 1 : FISSURATION PEU PRÉJUDICIABLE -SECTION RECTANGULAIRE AVEC ACIERS COMPRIMÉS

III. EXERCICE N° 2 : FISSURATION PRÉJUDICIABLE - SECTION À TABLEDECOMPRESSION

80

85

85

858587878788

90

93

93

9393949798

99

102

105

113

113

113113129133133138140143146

147

152

TV EXERCICE N° 3 : FISSURATION TRÈS PRÉJUDICIABLE -SECTION RECTANGULAIRE 158

V EXERCICE N° 4 : FISSURATION PEU PRÉJUDICIABLE -' SECTION EN T(Mu>MTu).... 161

CHAPITRE 7 : EFFORT TRANCHANT 173


1. Définition2. Contraintes engendrées par l'effort tranchant3. Vérification du béton4. Calcul des armatures d'âme5. Répartition des armatures d'âme (méthode Caquot) 1866. Zones d'application des efforts7. Jonction hourdis-nervure8. Poutres à talon

IL EXERCICE N° 1 : POUTRE - EFFORT TRANCHANT 198

III. EXERCICE N° 2 : POUTRE À SECTION RECTANGULAIRE -ARMATURES D'ÂME INCLINÉES 205

CHAPITRE 8 : FLEXION COMPOSÉE 217


1. Généralités - Introduction2. Sections partiellement tendues3. Sections entièrement tendues4. Sections entièrement comprimées5. Diagrammes d'interaction

H. EXERCICE N° 1 : FLEXION - COMPRESSION -SECTION PARTIELLEMENT TENDUE

III. EXERCICE N° 2 : FLEXION - TRACTION -SECTION ENTIÈREMENT TENDUE

IV. EXERCICE N° 3 : FLEXION - TRACTION -SECTION PARTIELLEMENT TENDUE

244

251

254

CHAPITRE 9 : ÉPURES DE RÉPARTITIONDES ARMATURES LONGITUDINALES ET DES ARMATURES D'ÂME


1. Introduction2. Répartition des armatures longitudinales

3. Répartition des armatures d'âme 267

CHAPITRE 10 : TORSION 269


1. Introduction 2692. Rappels de Résistance des Matériaux 2703. Vérification du béton 2724. Armatures 274

IL EXERCICE : AUVENT 277

CHAPITRE 11 : FLAMBEMENT 285


1. Excentricités 2852. État-limite ultime de stabilité de forme 2873. Équations du problème 2884. Méthode de l'équilibre - Méthode des déformations internes 2935. Utilisation des tables de Faessel - Robinson - Morisset 2986. Corrections diverses 3027. Utilisation des abaques de Capra 307

II. EXERCICE N° 1 : DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATUREPAR LES TABLES (CHARGES DE LONGUE DURÉE)

III. EXERCICE N° 2 : VÉRIFICATION PAR LA MÉTHODE DE L'ÉQUILIBREET PAR LES TABLES

IV. EXERCICE N° 3 : DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATUREPAR LES ABAQUES DE CAPRA

311

314

320

CHAPITRE 12 : POUTRES CONTINUES - PLANCHERS 325


A. Poutres continues - Rappels - Adaptation 325

1. Rappels de Résistance des Matériaux 3252. Essais de poutres en béton armé 3263. Portées des poutres et portiques 3284. Poutres de planchers 330

B. Planchers - Méthode forfaitaire 333

1. Domaine de validité 333Principe de la méthode - Adaptation 334

3. Moments fléchissants „.,,.. 3354. Efforts tranchants 337

5. Méthode Caquot « minorée »

C. Planchers - Méthode Caquot 338

1 Domaine de validité2. Évaluation des moments3. Efforts tranchants 3434. Travées de rive avec console 347

D. Poutres continues - Dimensionnement 348

1 Conditions de déformation 3482. Résistance à la flexion 3503. Vérification à l'effort tranchant 351

II. EXERCICE N° 1 : PLANCHER - MÉTHODE FORFAITAIRE 351

III. EXERCICE N° 2 : PLANCHER - MÉTHODE CAQUOT 370

CHAPITRE 13 : DALLES RECTANGULAIRES SUR APPUIS CONTINUS 383


1. Introduction2. Moments dans les panneaux de dalle articulés sur leur contour 3843. Dalles rectangulaires continues - Moments fléchissants 3864. Effort tranchant5. Poinçonnement 3906. Dispositions constructives7. Arrêt des armatures8. Autres critères pour les bâtiments

II. EXERCICE : PANNEAU DE DALLE (a = 0,40) 394

CHAPITRE 14 : DESCENTE DE CHARGES 403

I. ' RAPPELS DE COURS 403

1. Principe 4032. Valeurs des charges permanentes et des charges d'exploitation3. Dégression des charges variables d'exploitation4. Effet de la continuité sur les poteaux voisins de rive 406

II. EXERCICE : BÂTIMENT - DESCENTE DE CHARGES 409

ANNEXE 1 : CALCUL MANUEL D'UNE SECTION RECTANGULAIREÀ ARMATURES SYMÉTRIQUES À L'E.L.U. PAR APPROXIMATIONSSUCCESSIVES 427

ANNEXE 2 : VÉRIFICATION À L'E.L.U. D'UNE SECTION RECTANGULAIREDONT ON CONNAÎT LES ARMATURES 433

ANNEXE 3 : MOMENT LIMITE ULTIME EN FLEXION COMPOSÉE 435

NOTATIONS - SYMBOLES.

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES

461

467

CHAPITRE 1

RAPPELS DE RESISTANCEDES MATÉRIAUX

Ce chapitre rassemble les notions de base indispensables en Résistance des Matériaux pourbien aborder les calculs de béton armé selon les Règles BAEL 91. Il se présente donc plutôtsous la forme d'un aide-mémoire.

I. RAPPELS DE COURS

1. CARACTÉRISTIQUES GÉOMÉTRIQUES

1.1. MOMENT STATIQUE - CENTRE DE GRAVITÉ

• Pour une surface S repérée par rapport aux axes Oy et Oz :

—-t-

I On appelle AIRE d'une SURFACE, la quantité :

• On appelle MOMENTS STATIQUES de la surface I, par rapport aux axes (A) Oz et Oy,les quantités :

• On appelle CENTRE DE GRAVITÉ (ou BARYCENTRE) de la surface 2, le point G de2 dont les coordonnées sont définies par les relations :

.dl

Z G=-

f

dl

I La distance du centre de gravité G à l'axe (A) est définie par

Ô -LbSAS

Jô.dZ"I

If

2. MOMENTS ET PRODUITS D'INERTIE

• On appelle MOMENTS D'INERTIE de la surface I, par rapport aux axes (A), Oz et Oy,

les quantités :

l On appelle PRODUIT D'INERTIE de la surface I par rapport aux axes Oz et Oy la quan-

tité :

y.z.dZ'I.

l On appelle RAYONS DE GIRATION relatifs aux axes (A), Oz et Oy, les quantités :

,2_Iz .

uy~s~• On appelle MOMENT D'INERTIE POLAIRE de la surface E par rapport au point O laquantité :

1.3. REMARQUES

• Si le point O est choisi au centre de gravité G :ZG = yG = 0 et LE MOMENT STATIQUE PAR RAPPORT À UN AXE PASSANT PAR

LE CENTRE DE GRAVITÉ EST NUL.

• II est possible d'obtenir le moment d'inertie de l'aire 2 par addition des moments d'iner-tie des aires 2j constituant l'aire 2 :

Si Ivz = 0, les axes Oz et Oy sont dits : AXES PRINCIPAUX D'INERTIE .

I Le produit d'inertie est nul si l'un des axes Oz ou Oy est axe de symétrie de l'aire £

= y.z.dZ+ U.z.dZ

• Comme r2 = y2 + z2, on peut exprimer le moment d'inertie polaire en fonction desmoments d'inertie :

1.4. CHANGEMENT D'AXE - THÉORÈME DE HUYGHENS

En posant :

A' = axe passant par le centre de gravité G de 2,

A = axe quelconque parallèle à A',

d = distance entre ces deux axes,

on a :

S = S' + d

d'où :

IA=

SA, = o

! 5. FORMULES USUELLES ï

.„, y

t

I*=- 12

36[B+b]

yt

= 2R

yt

vvn —>z

72K

, h=T

h[2B+b]' 3[B+b]

, h[B+2b]'~ 3[B+b]

v = v ' = R

<:'-:iH,L$

,- •:•( ,* I.S

(37T-4)R "''

, 4R=-"uX!

2 .THÉORIE DES CONTRAINTES

2.1. PRINCIPE D'EQUIVALENCE

Z12 = surface à normale unique divisant le corps en deux domaines (DG) et (DD),£ = section commune à (DG) et (DD), +

S(f) = système des forces de contact exercées par (DG) sur (DD) à travers Z12,S(FG) et S(FD) = actions appliquées au domaine de gauche (DG) et de droite (DD).

En écrivant, d'une part, l'équilibre de la partie (DD) du solide et, d'autre part, celui del'ensemble du solide, puis en identifiant ces deux relations :

D'où:

il y a équivalence entre le système des forces appliquées au domaine de gauche (DG) et lesystème des forces transmises par (DG) à (DD) à travers la surface Z12.

2.2. DÉFINITIONS

2.2.1. Vecteur contrainte

AI étant une surface élémentaire de Z12, de centre M, si Af est la résultante des forces de

contact transmises par (DG) à (DD) à travers AZ, on définit le VECTEUR CONTRAINTEpar :

t = lim

2.2.2. Facettes

• On appelle FACETTE un élément d'aire dl de L12.

• On grisera le côté de la facette situé du côté du matériau conservé.

• On orientera la normale à la facette vers l'intérieur du domaine conservé.

2.3. PRINCIPE ACTION-RÉACTION

Les facettes contiguës appartenant aux deux domaines (DG) et (DD) sont soumises à des

contraintes T opposées, mais de même nature (compressions, traction...) compte tenu de

l'orientation de la normale n à la facette.

2.4. PRINCIPE DE CONTINUITE

Les contraintes relatives à deux facettes parallèles, infiniment voisines, distantes de dx, nediffèrent entre elles que d'un infiniment petit du même ordre que dx.

2.5. FAISCEAU DES CONTRAINTES

2.5.1. Notations

Toute facette est définie par sa normale orientée.

Le vecteur contrainte agissant sur une facette dont la normale est parallèle à l'un des axes

Oxb Ox2 ou Ox3, se décompose en :

- une composante normale Oy portée par la normale O\-t à la facette,

- deux composantes Ty et Tik portées par les deux autres axes Oxj et Oxk.

2.5.2. Réciprocité des cisaillements

• Pour le tétraèdre OABC repéré dans Ox!X2x3 (tétraèdre élémentaire), les aires desfacettes sont obtenues par :

=n2 .ds=-_-dx1 .dx3

=n^ . ds=-jdx2 . dx3

n; = cosinus directeur de la facette dont la normale est parallèle à Ox;.

La contrainte agissant sur la face ABC considérée comme n'appartenant pas au tétraèdreI f ! •vaut :

• Les facettes OBC, OAC et ABC sont soumises aux contraintes représentées sur la figureci-après :

d'où, en multipliant les contraintes par l'aire des facettes, les composantes des efforts sui-

vant les axes valent :

Pr o j ec t i onsur

Facette

OBC

OÀC

OÀB

ABC

Ox

712nlds

t2ds

Ox

713nlds

ds

> -S ( f ) dû aux f oxc.es' agissant«à droite»du tétraèdre.

et en écrivant que la projection des efforts suivant chacun des axes de coordonnées est

nulle, on obtient :

d'où:

I Pour la facette OAC dans le plan

Xinfiniment petitdevant dxi

'31n3QS>dx

Aux infiniment petits du second ordre près, les moments en O' donnent :

dx, dx,

or :

d'où:

HJ ds = — dx2 dx3 et n3 ds = — dxj dx2

soit, en simplifiant par — dx l dx 2 dx3 : T B = T31

Cette démonstration étant valable dans les trois plans, on en déduit :

- = Ti quel que soit ixj

3. THÉORIE DES POUTRES

3.1. POUTRE

- Une POUTRE est un solide engendré par une aire plane (L) délimitée par un contourfermé dont le centre de gravité G décrit une courbe (C) de l'espace de telle sorte :- que le plan de (Z) soit toujours normal à la tangente en G à la courbe (C),- que la trajectoire décrite par un point P quelconque de (Z) soit toujours parallèle à la

courbe (C).

Œ)

(C)

3.2. SECTION DROITE :

• L'aire plane (E) est appelée. : SECTION DROITE ou PROFIL.

• Elle peut être : *

• plane ou évidée,• constante ou lentement variable, pour pouvoir résister notamment aux efforts au

voisinage des appuis.

• Les dimensions de la section droite doivent être petites relativement à la longueur par-/! ',* t *-| '

courue par G sur la courbe (C).

3.3. FIBRE MOYENNE

- La courbe (C) décrite par le centre de gravité G de la section droite est dite : FIBRE ou

LIGNE MOYENNE de la poutre.

- Suivant la forme de la ligne moyenne, on obtient :

- une POUTRE DROITE lorsque (C) est une droite,

- une POUTRE GAUCHE lorsque (C) est une courbe gauche,

- un ARC lorsque (C) est une courbe plane ouverte,

- un ANNEAU lorsque (C) est une courbe plane fermée,

- une POUTRE À PLAN MOYEN lorsque (C) est une courbe plane dans le plan de symé-trie de la section droite (appelé PLAN MOYEN).

3.4. DOMAINE DE VALIDITÉ DES HYPOTHÈSES DE LA THÉORIE DES POUTRES

En désignant par :ht = plus grande dimension transversale de la section droite,

b = plus petite dimension transversale de la section droite,

R = rayon de courbure de la ligne moyenne,

T = rayon de torsion de la ligne moyenne,

L = longueur développée de la poutre,

il faut :

-^-110b1 ht 11 f—-< — : poutres

30 L 5

1 ht 11 < —£. < 4- : arcs100 L 5

TIT > 5 : poutres courbes

r=R ou TRou-T

4. ELEMENTS DE REDUCTION

4.1. EFFORTS SUR UNE SECTION DROITE

• Repère associé au centre de gravité de la section droite (Z) :

Gx, orienté de la gauche vers la droite sur la tangente à la ligne moyenne,

Gy et Gz, portés par les axes principaux d'inertie de la section droite.

B Remarque :Pour les poutres à plan moyen, Gy est dans le plan moyen.

Le système des forces extérieures agissant sur la partie (DG) se réduit, au centre de gravi-

té G de la section droite, à :

/R(s) = RÉSULTANTE GÉNÉRALE

\M(s) = MOMENT RÉSULTANT

• Dans le repère Gxyz, lié au centre de gravité G de (Z), la décomposition des effortss'écrit, pour la section d'abscisse curviligne s :

/R(s) = N . x + V y . y + V z . z

\M(s) = T . x + M y . y + M z . z

I D'où :

• la résultante générale R se décompose en :

N = EFFORT NORMAL porté par Gx,

V = | yy = EFFORTS TRANCHANTS dans le plan de (Z).

le moment résultant M se décompose en :

T = COUPLE DE TORSION d'axe porté par Gx,

M = | My = MOMENTS FLÉCHISSANTS dans le plan de (Z).

4.2. EFFORT NORMAL ET TRANCHANT

Nous avons défini l'effort normal (resp. tranchant) relatif à la section (Z) de centre degravité G, d'abscisse curviligne s, comme étant égal :

- à la composante suivant Gx (resp. dans le plan de la section) de la résultante des forcesappliquées sur la partie de poutre constituée par l'ensemble des sections droites dont lescentres de gravité ont des abscisses curvilignes inférieures à s (FORCES DE GAUCHE),

- à l'opposé de la composante suivant Gx (resp. dans le plan de la section) de la résultantedes forces appliquées sur la partie de poutre constituée par l'ensemble des sectionsdroites dont les centres de gravité ont des abscisses curvilignes supérieures à s (FORCESDE DROITE).

4.3. MOMENT FLÉCHISSANT ET COUPLE DE TORSION

De la même manière, le moment fléchissant (ou le couple de torsion) relatif à la section (£)de centre de gravité G d'abscisse curviligne s est défini comme étant égal :

- à la composante située dans le plan de la section droite (ou suivant la normale Gx) dumoment résultant des forces appliquées sur la partie de poutre constituée par l'ensembledes sections droites dont les centres de gravité ont des abscisses curvilignes inférieures às (FORCES DE GAUCHE),

- à l'opposé de la composante située dans le plan de la section droite (ou suivant la norma-le Gx) du moment résultant des forces appliquées sur la partie de poutre constituée parl'ensemble des sections droites dont les centres de gravité ont des abscisses curvilignessupérieures à s (FORCES DE DROITE).

5. CONDITIONS GÉNÉRALES D'APPUI DES POUTRES

5.1. APPUI SIMPLE

• Appui qui n'empêche le déplacement que dans le sens perpendiculaire à sa surface. Untel appui permet la translation suivant l'axe Ox et la rotation autour de l'axe Oz :

y

t

>

ou

,-'//, ••'/•

• Une seule composante de la réaction d'appui.

5 2. ARTICULATION

B Appui s'opposant à toute translation, mais autorisant les rotations :

• Deux composantes de la réaction d'appui.

5.3. ENCASTREMENT PARFAIT

• Appui interdisant toute translation et toute rotation

l Deux composantes de la réaction d'appui et une du moment d'encastrement.

6. SYSTÈMES ISOSTATIQUES ET HYPERSTATIQUES

• D'après le principe fondamental de la Statique, un solide est en équilibre si le système

S(F) des forces qui lui sont appliquées (charges et réactions d'appui) est équivalent à un

système de forces nul. Cela conduit, dans le cas général, à six équations :

16 PRATIQUE DU BAEL 91

• Par conséquent :r = nombre de réactions et moments d'appui inconnus,k - nombre d'équations fournies par la Statique (k < 6),

si r - k, le système est dit ISOSTATIQUE et les équations de la Statique permettent dedéterminer toutes les réactions d'appui,

si r > k, le système est dit HYPERSTATIQUE d'ordre r - k car il manque r - k équationspour calculer toutes les réactions d'appui,

si r < k, le système est dit INSTABLE puisqu'il y a k - r équations d'équilibre surabondantes.

• Dans le cas de forces agissant dans le plan moyen et de couples d'axes perpendiculaires àce plan, k < 3 (cf. Vz = My = T = 0).

7. ÉQUATIONS INTRINSÈQUES DES POUTRES DROITES

7.1. CONVENTIONS DE SIGNE

• On se bornera à l'étude des poutres à plan moyen chargées dans leur plan :

p(x) = densité de charge suivant Gx,q(x) = densité de charge suivant Gy,"y(x) = densité de couple d'axe normal au plan moyen.

Rappels de Kesismnce aes muienuiui

I Les conventions de signe pour les charges sont indiquées sur ta figure ci-dessus

2 ÉQUILIBRE DU TRONÇON ÉLÉMENTAIRE DE POUTRE

Le tronçon GG' limité par deux sections droites infiniment voisines (Z) et (£') d'abs-cisses respectives x et x + dx est en équilibre sous l'action :

_ des charges appliquées : p(x), q(x) et y(x), . , , , ' . ' &- des éléments de réduction des forces de gauche : M, N et V, , f ^

_ des éléments de réduction des forces de droite : ,» -

dx dx dx

l Par projection, il vient :

>r\\m !,«

; <• u m

dxV - q (x) dx - v + dV dx 0

dxM + V . ^L + Y(x) dx - (M + M dx) + (v + dV dx_ = 0

! 1 \ dx / \ dx / 1

I Après simplification, il vient, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur à 2 :

dN

dx

dV

' dx

dM

dx

- = p(x)

- = -q(x)

- = V(x) + Y(x)

8. RELATIONS CONTRAINTES-EFFORTS

8.1. LOI DE HOOKE

- Toute contrainte normale est accompagnée d'une dilatation unitaire :- de même direction que la contrainte,- de signe opposé à la contrainte,- proportionnelle à la contrainte :

I E est appelé MODULE D'ÉLASTICITÉ ou MODULE D'YOUNG.

8.2. PRINCIPE DE NAVIER-BERNOULLI

• Les variations unitaires de longueur — sont des fonctions linéaires des coordonnées y et

z des fibres dans le plan de la section droite (déplacement simple = rotation + translation).

t

dx

AVANT APRES

DEFORMATION

l On a donc pour / = dx:

rotation/Gy et Gztranslation

d'où, la loi de Hooke s'écrit :

a = -E - =-E[a+by+cz]

m Cette équation traduit le PRINCIPE DE PIGEAUD.

8 3. CHAMP DES CONTRAINTES NORMALES

• D'après le principe d'équivalence, le système des forces de contact est équivalent au sys-tème des forces de gauche.

S ( a d Z ) = S ( F G ) = ( N , M y , M z )

•'• <' €

l Nous obtenons donc :

a d Z = N

aydZ=Mz

azdZ=-My

résultante générale

momen t résultant

:»• •••"

D'après le principe de Pigeaud : a = - E[a + by + cz] = a + (îy + yz, d'où le systèmelinéaire en a, p, y :

| zdZ =

'Z

a yzdl+r

z 'l Or, par définition du centre de gravité et des axes principaux d'inertie :

|jydZ=j|zdI=0 et |L2d2; = 0

"z "z "z

l D'où, compte tenu de la définition des aires et des moments d'inertie :

aS=N

l On obtient donc :

N Mz.y My.z

• La contrainte normale, due à la flexion composée déviée, dans une section droite homo-gène et élastique à plan moyen vaut :

a - Na sM z . y

IzM y . z

!y

MS=aire de la section z

droite,Iy=moment d ' inertie/Gy, N-Iz=moment d'inertie^Gz.

M

Dans le cas d'une section rectangulaire, sur les fibres extrêmes :

S=bh

I =—Iz 12

. hb3 «É=>

,.±±N

bh2 +

hb2 »M4

8.4. SOLLICITATIONS PARTICULIÈRES

8.4.1. Compression et traction simple

• Le système des forces de gauche se réduit, au centre de gravité de la section droite, à un

effort normal :

• positif pour une compression,

• négatif pour une traction.

• Dans ces conditions, la contrainte normale et le déplacement dus à la compression ou à la

traction simple, dans une section droite d'une poutre homogène et élastique, valent :

-1dldx "

0

EN

ES H

8.4.2. Flexion simple

• Le système des forces de gauche se réduit, au centre de gravité de la section droite à unmoment fléchissant Mz d'axe Gz.

• Dans ces conditions, la contrainte normale due à la flexion simple, dans une section droi-te homogène et élastique, vaut :

I Pour une section rectangulaire, sur les fibres extrêmes (y = ± h/2) :

• Pour deux sections droites (1,^ et (£2), infiniment voisines, distantes de dx et soumises ;l'action d'un moment fléchissant M, :

do;

•Vï'sU 'US;/] •

- i f ;i"\

• D'après la loi de Hooke, la déformation relative de la fibre d'ordonnée y vaut :

d /__ q ( y ) _ _ M z . ydx~ ~ÊT: " E . I z

La rotation relative dœ entre les deux sections est :

d/ Mz , dx

l D'où la valeur de la courbure de la ligne moyenne :

1 dûJ Mz

J? dx EIZ

•:. ; < >Hï A'

- . - . / • K > î.*f

; -• 5«

8-4.3. Flexion déviée ! J

• Le système des forces de gauche se réduit, au centre de gravité de la section droite, à.

- un moment fléchissant My d'axe Gy,

- un moment fléchissant Mz d'axe Gz.

• Dans ces conditions, la contrainte normale et les déplacements relatifs dus à la flexiondéviée, dans une section droite homogène et élastique, valent :

V

t

M z . y M y . z

°~ Iz ly

dtfy My_

dx ElyHfl Mauz nz

dx EIZ

J

w+ iH;

T

^:::::::::SS

ma& 4r.+

l Pour une section rectangulaire, sur les fibres extrêmes (y = ± h/2 et z - ± b/2) :

yt

SI +o- —6M7

bh2 H

6MV

h h b 2

•4|

9. TRONÇONS DE POUTRES DROITES

9.1. CHARGEMENT ENVISAGÉ

• On considère un tronçon de poutre droite limité par deux sections droites : (SA) (origine)

et (SB) (extrémité).

• Ce tronçon de poutre est supposé sollicité par des forces situées dans son plan moyen :

- densité de charge répartie p(Ç) d'abscisse £ depuis (SA),

- forces verticales concentrées P; d'abscisse xt depuis

_ VA et MA = éléments de réduction des forces de gauche en (ZA),

_ VB et MB = éléments de réduction des forces de droite en (SB).

VA*fp(€)

piaB

(SB)

;,- , ";S »

'•'E

l Les sens positifs sont ceux figurant ci-dessus.

9.2. ÉLÉMENTS DE RÉDUCTION DANS TOUTE SECTION (I) DU TRONÇONDE POUTRE

9.2.1. Effort tranchant

Les forces de gauche donnent en G :

'0

9.2.2. Moment fléchissant

De la même façon :

x

0

9-3. ÉLÉMENTS DE RÉDUCTION

•3.1. Éléments de réduction en fonction des éléments de réduction isostatiques

d'appui de la poutre isostatique associée

1 Pour une poutre sur deux appuis simples soumise aux mêmes charges et de même lon-gueur que le tronçon de poutre étudié (POUTRE ISOSTATIQUE ASSOCIÉE) :

26 PRATIQUE DU BAEL 91

>K

Ri

• RA est obtenue en écrivant que le moment résultant en B est nul :

Comme, en B, dans le tronçon de poutre réel, on a :

hnous obtenons, par identification : *

soit :

MA -MB MB-MA

l La réaction RB est obtenue en écrivant que la résultante générale des forces est nulle :

,1

Comme, en B, dans le tronçon de poutre réel, on a :

,1

nous obtenons par identification :

soit :

M,-M R, = V A -V B -R A avec RA = VA + \ B

Rappels de Résistance des Matériaux 27

d'où, il vient :

M - MA MB-MA

b) Éléments de réduction

• Dans toute section droite (Z) du tronçon de poutre étudié :

M=MA+VÀx-I Pitx-Si)-

l En remarquant que pour la poutre isostatique associée au tronçon étudié :

x

l Nous obtenons par identification :

>\:- - . • . ; . ' . d^i M A - M B

dx % /

H V A X +

^ /

f M- 7 ,-MB)

^ \ A / J"

I Soit, après simplification :

9.3.2. Définition

On appelle éléments de réduction isostatiques (respectivement MOMENT et EFFORTTRANCHANT ISOSTATIQUES), les éléments de réduction dans toute section droite (I)d'un tronçon de poutre, lorsque ce tronçon de poutre repose à ses deux extrémités sur desappuis simples.

9.3.3. Poutres droites isostatiques : éléments de réduction

a) Cas d'une charge concentrée

(E)

-H

1

RB=-vB

I Réactions d'appui :

MB = 0 = > R A . / - P ( / - a ) = 0 = > R A = P | l - -

« = P - R A ^ R B = P -Sollicitations :

0 < x < a :M ( x ) = R A x = P | l --|x

V(x) = RA = 1(forces de gauche) ;

|M(x)=RB(/-x) = p(l-x-)aa < x < l : / * l' (forces de droite)

V(x) =-&,=-P-

Remarque : dans le cas où a = - on pose :

Cas d'une charge uniformément répartie

(Z) P

Réactions d'appui :

Sollicitations :

= R A . x - p x ^ = x-x p/ px2 px (/ ~ X)

I On pose :

M rPl

c) Cas d'un couple concentré d'axe perpendiculaire au plan moyen

(I)2J ^r

H (+• a®RB=-^

Réactions d'appui :

= 0 . RA . / + r = o

R -

Sollicitations :

0 < x < c c :M(x) = RA x = - F1

(forces de gauche)

M(x) = Rg (/ - x) = F 1 - 1a < x < / : / \ '

|V(x)=-RB=-L(forces de droite)

r

H1

I Cas particulier des couples sur appuis

Pour a =

M »

^•-1

i

•vM trx.

Pour a = l;r=-Mij:

.MBi

4/i-V--^ 4

9.3.4. Éléments de réduction dans un tronçon de poutre

• Les éléments de réduction dans un tronçon de poutre peuvent, d'après ce qui précède,être évalués à partir des éléments de réduction de la travée isostatique associée, en opérantpar superposition :

ai

Xitu• Pi

D'©

Tronçon de poutre

I D'où par superposition :

Travée de référence sou-mise aux mêmes charges(ou |travée isostatique asso-ciée) :

;M(X)=^(X)

Travée de référence sou-mise à M :

Travée de référence sou-mise à MB:

MRV(x)=f

M -

4 APPLICATION AUX POUTRES CONSOLES

• En dissociant les deux consoles de la travée centrale, on obtient la décomposition desefforts suivante :

"(ï (S)

Mi=moment à gaucheÀ d e A ,

MTD=moment à droitede B.

l D'où le diagramme des moments :

TIL FORMULAIRE POUR POUTRES ISOSTATIQUES

1. CONVENTIONS

Les sens positifs adoptés pour les forces, les éléments de réduction et les déformations sont lessuivants.

FORCES APPLIQUÉES

P = charge appliquée concentrée,

p = charge appliquée répartie,

RA, RB = réactions d'appui.

<ÉLÉMENTS DE RÉDUCTION

• M = moment fléchissant,

V = effort tranchant,

N = effort normal.

f ibre f ibre

H +

tendue tendueforces de gauche forces de droite

• Les efforts tranchants à gauche et à droite d'un appui I sont notés respectivement (indicew pour ouest, indice e pour est) :

TT

"*

„! ©

DÉFORMATIONSf = flèche,(0 = rotation.

*.;:3 1

2. FORMULAIRE

SCHEMA RdM

(I)

Chargement : (

Diagrammes :

FORMULES

24

£=-384EI

Diagrammes: (À) j==

SCHEMA RdM

Chargement : (À

Diagrammes :

FORMULES

MÀ=-P1;.!

y, =P *ç**""VÀ F ^

f —

PI3EI

3

Chargement :

®

1/2

Diagrammes :

f=-

paMÀ=MB=~T

Mt=M0+MÀ

p!2(512-24a2)

384EI

pa(!3-6a2l-3a3)

24EI

pl(!2+6a2)

SCHEMACharc

€

remen tP

f

t'""-îU

RA

Diagrammes :

- :V

^

v à

~^

, 1/2

(Z)WA_. 4-

h® N(:

RdM

^'-•^i) (B):1

l VAe _ VBw ®_L à

3 >

h. a= !f

RBvl?._

'X

P

'>

\ \ MB

FORMULES

VÀW=-VBe=-P

VAe=VBw=0

f-, Pal2f ' BEI

Pa2(4a+31)fl"~ 12EI

ûJ». ûJ = Pla"V "fe- 2EI

Chargement :

uummuww

Diagrammes :

V

2 1

SCHEMA RdM

Chargement :

®î

Diagrammes :. :M

:V

ZA:! * _

FORMULES

MB=-Pa

VBe=P

*•&-^ w~>'•* • •>.-,«.*t «t. „

CHAPITRE 2

BÉTON ARMÉ : GÉNÉRALITÉS

I. RAPPELS DE COURS

1. UNITÉS

Longueurs en mètres (m).Sous-multiple : 1 cm = 10-2m.

Forces en newtons (N).Multiples : 1 kN = 103 N (kilonewton),

1 MN = 106N (méganewton).

Remarque : 1 MN = 105 daN (décanewton) ~ 105 kg (kilogramme) = 1001 (tonne).

Pressions, contraintes en pascals (Pa) : 1 Pa = 1 N/m2.Multiple : 1 MPa = KPPa (mégapascal) = 1 N/mm2.

Remarque : 1 MPa = 10 daN/cm2 = 10 bars = 10 kg/cm2 = 100 t/m2.

• ACTIONS ET SOLLICITATIONS

2-1. TERMINOLOGIE

ACTION = toute cause produisant un état de contrainte dans la construction.

- Actions permanentes :• poids propre,• poids des superstructures,• poussées des remblais,•etc.

- Actions variables :• charges d'exploitation,• charges appliquées en cours d'exécution,• action de la température,• vent, neige,• etc.

- Actions accidentelles :• chocs de véhicules routiers ou de bateaux sur appuis des ponts,• séismes,• etc.

SOLLICITATIONS = forces et moments produits par les actions dans les éléments d'iconstruction :- effort normal : N,- effort tranchant : V,- moment fléchissant : M,- couple de torsion : T.

2.2. VALEURS DES ACTIONS

La variabilité des actions agissant sur une structure est prise en compte en définissant pourchacune d'elles des VALEURS REPRÉSENTATIVES déterminées :- par exploitation statistique des données nécessaires existantes,- par estimation fondée sur l'expérience.

La VALEUR DE CALCUL d'une action est obtenue par multiplication de sa valeur repré-sentative à l'aide d'un COEFFICIENT DE PONDÉRATION y destiné à couvrir :- les incertitudes résultant de la connaissance imparfaite des données de base,- l'imprécision des hypothèses de calcul,- les imperfections de l'exécution.

2.3. ÉTATS-LIMITES

2.3.1. Définition

Un ÉTAT-LIMITE est un état particulier dans lequel une condition requise pour uneconstruction (ou l'un de ses éléments) est strictement satisfaite et cesserait de l'être en casde modification défavorable d'une action.

2.3.2. Différents états-limites

a) États-limites ultimes (E.L. U.)

Ils mettent en jeu la sécurité des biens et des personnes.

Ils correspondent à l'atteinte du maximum de la capacité portante de l'ouvrage ou de l'unde ses éléments avant dépassement par :

_ perte d'équilibre statique,_ rupture de sections par déformation excessive,_ instabilité de forme (flambement),_ transformation de la structure en un mécanisme. •'' ^ ' '

Critères de calcul : / \ ( , , , , ;_ déformations relatives (ou courbure) limites, ,.(<s

_ calcul de type « rupture » avec lois contraintes-déformations des matériaux. feife,

• I i . .l États-limites de service (E.L.S.)

Ils sont liés aux conditions normales d'exploitation et de durabilité.

Ils correspondent aux phénomènes suivants :- ouvertures excessives des fissures,- compression excessive du béton,- déformations excessives des éléments porteurs,- vibrations excessives et/ou inconfortables,- perte d'étanchéité,-etc.Critères de calcul :- contraintes (ou déformations) limites,- calculs de type élastique (loi de Hooke, coefficient d'équivalence,...)-

2.3.3. Vérifications

a) États-limites ultimes (E.L.U.)

La SOLLICITATION AGISSANTE DE CALCUL est obtenue pour une combinaisond'actions F, :

J - coefficient de sécurité partiel

S [S y. • \j/. • Fjl avec pour l'action i : / \\i F{ - valeur représentative (cf. 2.2 et 2.4.1.)

j = 1 s'il s'agit d'une action permanente

La SOLLICITATION RÉSISTANTE est celle pour laquelle l'un des matériaux constitutifsde la structure atteint soit une déformation limite, soit une résistance limite :

R?">!

' u . - .Ys Yb Yb

ou :fe.fcje t f t j =

Y setY b =

résistances caractéristiques des matériaux acier et béton en compression et entraction,coefficients de sécurité partiels au moins égaux à 1 pour l'acier et le béton.

On doit vérifier :

b) États-limites de service (E.L.S.)

On doit montrer que la sollicitation de calcul agissante ne provoque pas le dépassement deslimites de l'E.L.S. considéré :- pour les contraintes :

^CJHn

<T lim

- pour la flèche :

S = M et/ou N

S = V et/ou T

S = M ou M + N

2.4. COMBINAISONS D'ACTIONS

2.4.1. Notations

On désigne par :

'-•min

Qi

= ensemble des actions permanentes défavorables,= ensemble des actions permanentes favorables,= action variable de base (valeur caractéristique, y = 1),

Qi = action variable d'accompagnement (i>l) :Voi-Qi= valeur de combinaison,Vn-Qi - valeur fréquente,\|/2i-Qi = valeur quasi permanente,

FA = action accidentelle.

On note :G = valeur probable d'une charge permanente,Qprc = charges d'exécution connues (en grandeur et en position),Qpra = charges d'exécution aléatoires,

Qr = charges routières sans caractère particulier (systèmes A, B et leurs effetsannexes, charges de trottoirs) obtenues par multiplication des charges figurant auFascicule 61-titre II par :

• 1,07 aux E.L.U., il•1,20 aux E.L.S., - i ]• 1,00 aux E.L.S. pour charges de trottoirs, il

On»

QBQex

W

= charges routières de caractère particulier (convois militaires et exceptionnels)définies au Fascicule 61-titre II,= charges d'exploitation des bâtiments,= charges d'exploitation ferroviaires définies par le livret 2.01 du CPC (1) de la

SNCF,= action du vent définie :- par le Fascicule 61 - titre II pour les ponts-routes,- par les Règles NV 65 pour les autres constructions, les valeurs du vent normal

étant multipliées par :. 1,20 aux E.L.U.,- 1,00 aux E.L.S.,

= action du vent sur les ponts-rails à vide,= action du vent sur les ponts-rails en cours d'exploitation,= action de la neige pour les bâtiments définie par le Fascicule 61 - titre IV, sec-

tion II (Règles N 84),= variations uniformes de la température,

- = gradient thermique prescrit par le marché (rapport de la différence A0 deh

température entre les deux faces d'un élément à l'épaisseur h de celui-ci),= effet des variations de température sur les ponts-rails :

- dilatation des longs rails soudés,- gradient de température,- variation de température.

Dans ce qui suit, pour les COMBINAISONS D'ACTIONS, il faut :

- prendre la combinaison la plus défavorable pour l'effet recherché, une même actionn'intervenant au plus qu'une seule fois dans la combinaison,

- choisir une (ou aucune) action parmi celles se trouvant derrière une accolade ({),

- les valeurs entre crochets ([...]) ne sont généralement pas à prendre en compte.

2.4.2. États-limites ultimes (E.L.U.)

a) Combinaison fondamentale

- Formulation symbolique :

QivQivSn

T

A0

Qe

• Cas des ponts-routes :I situation d'exécution :

•amer des prescriptions communes applicables aux marchés de travaux d'ouvrages d'art.

w|w

1,35[T]

1,OW

l,OQpra +1,3{[0,615T+0,50A6]I[0,615T+0,30A0] J

- situation d'exploitation :

1,5

1 35U5

W

Qr

1,3 {[0,615 T +0,50 A0]

I Cas des bâtiments :

• situation d'exécution : combinaison identique à celle des ponts-routes.

situation d'exploitation :

/

1'3 5-G

QB1,5 ( W

sn

1,35[T]

'1

/0.77.W

0,77. Sn

/ V o - Q f i\ 0,77.W + i|/0.QB

0,77.Sn + x)/0 .QB

0,77. W +0,77. Sn

V|/0 = coefficient défini dans l'annexe à la norme NFP 06-001.

• Cas des ponts-rails :

- situation d'exécution :

1,35. Q e x +1,5. Qpr;pr;i

1,5'w + 1,3 {W + 1,3 (0,615. Q,

_ situation d'exploitation :

l,35Gmax + G

Combinaisons accidentelles

• Formulation symbolique :

1,35. Qe

1,5

1,3 (Qiv + 1,3 (0,615 . Qe

in +FÀ+Vii .Qi+2 V2i.

où := valeur fréquente d'une action variable,

^Qj = valeur quasi permanente d'une autre action variable.

Cas des ponts-routes :

- L F j.max "•" min " t " 1 A" l "

0,6 \ pont de 1 re classe

0,4 \Q r pour / pont de 2e classe

' ' pont de 3e classeQ 7 W

0,5 T

0,5 A0

I Cas des bâtiments :

0,75 . QB

0,20. W

0,15. Sn

0,50. T

> - ; • • '» • J«' • - ;.;.' I d -

+ (0,65 . QB +1\|/2.. T si le C.P.S. 0> le prescrit.

I Cas des ponts-rails :

0,8 1 voie

Gmax + Gmin + FA + { 0,6 Qex pour 2 voies + (0,6 Q0

i °'4 1 > 3 voies

(D CoM r des prescriptions spéciales au marché.

2.4.3. États-limites de service (E.L.S.)

• Formulation symbolique :

• Cas des ponts-routes :- situation d'exécution :

(Gmax +Qprc) + (G^ + Qprc) + ,

Qpra

W

T IW

Ae

0,6 T

0,5 . A9

0,6 . T + 0,5 . A0

- situation d'exploitation :

Qr

Qrp

Gmax +Gmin + / AO + ((0,6 . T + 0,5 . A0)

T

(w

Cas des bâtiments :

situation d'exécution : combinaison identique à celle des ponts-routes.situation d'exploitation :

/QB

0,77 . W

0,77 . Sn

QBW

+ { 0,77 . W + 0,77 . Sn

QB + 0,77 . W

QB + 0,77 . Sn

\QB + 0,77 . W + 0,77 . Sn

(0,6 T

Cas des ponts-rails :situation d'exécution :

e

+Qprcj + (Gmin + Qprc) + / w

Qe

{0,6 . Q@

.situation d'exploitation:

Gmax

(

+Gmin+

Qex

QivQe

),6 . Qe

2 4.4. Équilibre statique

H s'agit de cas délicats pour lesquels une analyse particulière est à faire. Par exemple :

_ pour une poutre-console, il faut considérer :

G+1,5QB 0 , 9 G

- pour les bâtiments, il faut faire un calcul avec le maximum de précision (densité moyen-ne des aciers, poids minimal des cloisons stabilisatrices...).

2.4.5. Stabilité de forme

Voir chapitre 11 « FLAMBEMENT ».

2.5. REMARQUES

2.5.1. Combinaisons d'actions et cas de charge

Combinaisons d'actions et cas de charge constituent deux notions distinctes (le CAS DECHARGE correspondant à la répartition des actions de la combinaison d'actions sur lastructure).

Par exemple, pour une poutre-console, la combinaison avec Gmax et QB conduit aux cas de

charge suivants pour la détermination des sollicitations extrêmes :

;max+1-SQB

0

Qg l,35Gmax+1.5QB

A

0

CÀSfï) donne MÀ^^ ^ max

et Mmin( avec : Gmin+l, 5QB et Gmin)

A

1.35G.

0

CAS0

CAS0

donne M itiax

donne Mmax

2.5.2. Origine et nature des actions

Gmax et Gmjn désignent des actions d'origine et de nature différentes. D'où : le poids propre

d'une poutre continue, dans toutes les travées :

- a la même valeur : Gmax (ou G ,,),

- entre dans les combinaisons avec le même coefficient : 1,35 (ou 1).

2.5.3. Actions variables

Les actions variables sont à considérer les unes après les autres comme « action de base » etdoivent être introduites dans les combinaisons d'actions de la manière la plus défavorable.

2.5.4. Cas des bâtiments

Planchers-terrasses des bâtiments : considérer les charges d'exploitation ou les charges cli-matiques, mais non les deux simultanément.

Pour les IGH (1\ la dégression des charges d'exploitation s'effectue avant la prise en comp- Jte des coefficients : \j/0i, i|/u et \|/2i.

3. CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX

3.1. VALEURS DES RÉSISTANCES

La variabilité de la résistance (et des autres propriétés) du béton et de l'acier est prise en!compte en définissant sur une base statistique, à partir des mesures effectuées en laboratoi-re sur éprouvettes, des RÉSISTANCES CARACTÉRISTIQUES.

La VALEUR CARACTÉRISTIQUE d'ordre p d'un caractère déduit d'un ensemble dejvaleurs est la valeur de ce caractère telle que la population des valeurs qui lui est inférieure iest égale à p (0 < p < 1).

On définit ainsi la valeur du caractère considéré qui a une probabilité p, acceptée a priori,de ne pas être atteinte.

(1) Immeubles de grande hauteur.

0,5

Fonction derépartition

'Fonction dedistributi Dn

x=valeur ducaractère

| moyenneValeur

caractéristiqued'ordre p

x=valeur ducaractère

On procède à la régularisation des courbes de répartition normales (gaussiennes) afin d'évi-ter les trop fortes dispersions (surtout lorsque l'on dispose d'un petit nombre d'essais) :

Fonctionde

distribution

K, et K2 = « contraintes » fonction :- du nombre d'échantillons essayés,- de la résistance caractéristique à la compression du béton à 28 jours (voir paragraph

3.3.1.).

3.2. ACIERS

3.2.1. Caractéristiques géométriques

Les barres utilisées sont caractérisées par leur diamètre nominal : 

<|> (mm)

Section (cm2)

Poids(kg/m)

Ronds lisseset barres HA

Fils HA (1)

Treillissoudés

3

0.0/1

0,056

•

3.5

0,096

0,076

4

0.126

0,099

•

4,5

0,159

0,125

5

0,196

0,154

•

5,5

0,238

0,187

6

0,283

0,222

•

7

0,385

0,302

*

8

0,50

0,395

•

9

0636

0,499

*

10

0,79

0,616

•

12

1.13

0,888

•

14

1,54

1,208

16

2,01

1,579

20

3,14

2,466

25

4,91

3,854

32

8,04

6,313

40

12,57

9,864

(1) : diamètres 7 et 9 mm pour armatures préfabriquées seulement.

3.2.2. Caractéristiques mécaniques

f e= LIMITE D'ÉLASTICITÉ GARANTIE (résistance caractéristique).

On distingue :

- des ronds lisses :FeE215 fe=215MPa

FeE235 fe=235MPa

- des barres à haute adhérence (HA) :FeE400 fe = 400MPa

FeE500 fe=500MPa

- des fils tréfilés HA et des treillis soudés formés de ces fils (TSHA) :Fe TE 400 fe = 400 MPa : fils HA

FeTESOO fe = 500 MPa : fils HA et TSHA

- des fils tréfilés lisses qui sont assemblés en treillis soudés (TSL) :TSL 500 fe= 500 MPa

3.2.3. Diagramme contraintes-déformations

Le diagramme de calcul se déduit du diagramme caractéristique (idéalisé) par une affinitéparallèle à la droite de Hooke et de rapport l/ys.

f« ; ,fed^"-

Diagramme caractéristique

•j Diagramme de calcul

;E s ='2 .10 5 MPa

~Jsl

1,00 pour les combinaisons accidentellesed

Y '^s ( 1,15 dans les autres cas

led

3.2.4. Caractères d'adhérence

a) Coefficient de fissuration î]

, -\f-•U. ; ,

1,0 pour ronds lisses et fils tréfilés lisses en treillis soudés

r\ = { 1,3 pour fils HA <ï>< 6 mm

1,6 pour barres HA et fils HA $ > 6 mm

b) Coefficient de scellement

_ 1,0 pour ronds lissess \ 1,5 pour barres et fils HA

3.3. BÉTONS

3-3.1. Résistances

*c28 - résistance caractéristique à la compression,f - •It2s - résistance caractéristique à la traction,

f t 2 8 = 0 , 6 + 0 , 0 6 . f c 2 8 (MPa)

soit, dans les cas courants :

fc28(MPa)

25

30

35

40

f, 28 (MPa)

2,10

2,40

2.70

3,00

3.3.2. Modules de déformation

Instantanée à j jours d'âge (avec j < 28) :

3

000 \ / f

À long terme :

Pour j > 28 jours et fc28 < 40 MPa, on adopte (cf. § 3.4.2. chapitre « État limite de servicevis-à-vis des déformations » de l'ouvrage Maîtrise du BAEL 91 et des DTU associés) :

c28

3.3.3. Diagramme contraintes-déformations

Diagramme parabole-rectangle :

(7,

OS = parabole du 2e degrétangente en son sommet S àl'horizontale.

',28

avec :

1,15 : combinaisons accidentelles1,50 : autres cas

fonction de la durée t d'application de la combinaison d'actions considérée

11,00 :t>24heures

9 = ( 0,90 : 1 heure < t < 24 heures

0,85 : t < l heure

3 3.4. Retrait du béton

1,5.10 4 dans les climats très humides

2,0 . 10~4 en climat humide, ce qui est le cas de la France métropolitaine.1 j sauf dans le quart sud-est

3,0 . 10~4 en climat tempéré sec, tel que le quart sud-est de la France métropolitaine

4,0 .10" en climat chaud et sec

i 5,0 . 10"4 en climat très sec ou désertique

4. HYPOTHÈSES ET DONNÉES POUR LE CALCUL DU BÉTON ARMÉ

On distingue deux types d'états-limites pour le dimensionnement (armatures et béton) :

- états-limites ultimes (E.L.U.),• de résistance,• de stabilité de forme,

- états-limites de service (E.L.S.) atteints :• par compression excessive du béton,• par ouverture excessive des fissures,• par déformation excessive.

4.1. HYPOTHÈSES SUPPLÉMENTAIRES GÉNÉRALES VALABLESPOUR TOUS LES ÉTATS-LIMITES

Au cours de la déformation, les sections droites restent planes et conservent leurs dimen-sions (principe de Navier-Bernoulli).

La résistance du béton tendu est considérée comme nulle.

Par adhérence, les déformations relatives de l'acier et du béton au contact sont les mêmes.

4-2. HYPOTHÈSE SUPPLÉMENTAIRE POUR LES E.L.S.

En vertu de la loi de Hooke, les contraintes sont proportionnelles aux déformations relatives :

Al

On définit le coefficient d'équivalence par la relation :

n = — = 15 (valeur conventionnelle)Eb

4.3. HYPOTHÈSES SUPPLÉMENTAIRES POUR L'E.L.U.

Le raccourcissement relatif du béton est limité :

- à 3,5/1 000 en flexion,

- à 2/1 000 en compression simple.

L'allongement relatif de l'acier est limité :

- à 10/1 000.

Le dimensionnement à l'état-limite ultime est conduit en supposant que le diagramme desdéformations passe par l'un des trois pivots A, B ou C définis ci-dessous.

Allongements^Raccourcissements^

• Pivot A Région 1

- Allongement de l'acier le plus tendu : es = 10.1Q-3 ;

pièces soumises à la traction simple ou à la flexion simple ou composée.

• Pivot B Région 2

- Raccourcissement de la fibre de béton la plus comprimée : e^ = 3,5.10~3 ;

pièces soumises à la flexion simple ou composée.

• Pivot C Région 3

- Raccourcissement de la fibre de béton à la distance 3h/7 de la fibre la plus comprimée :

ebc=2.10-3;

pièces soumises à la flexion composée ou à la compression simple.

II. EXERCICE : COMBINAISONS D'ACTIONS

— ÉNONCÉ —

©

^__Jàçrotère_

0

0

0

(RdC)^^^^ (B)

18,00 m

Pour l'ossature de bâtiment figurée ci-contre :

• Charges :

• sur terrasse et les trois planchers :g = 17 kN/m2 permanentes,q = 17,83 kN/m2 variables(VI/Q = 0,77).

• acrotères et façades :G = 48 kN/m à l'E.L.S.,

• vent :w = 5,60 kN/m2 à l'E.L.U.

• On se propose :

1) de déterminer les charges globalespour une longueur unitaire de bâti-ment, en supposant pour simplifier :

• que les planchers sont simplementappuyés sur les poteaux, au niveaudu plancher haut du rez-de-chaussée(RdC) pour les charges verticales,

• que la base des poteaux est articuléepour les charges horizontales.

2) de calculer les efforts normauxextrêmes à l'E.L.U. dans le poteau A.

— CORRIGÉ —

1- CHARGES À L'ÉTAT-LIMITE ULTIME

Ll- CHARGES VERTICALES

Pour 1 mètre de longueur de bâtiment :

- Charges permanentes : g = (3 + 1).17 = 68 kN/m

- Charges variables : q = (3 + 1). 17,83 = 71,32 kN/m

- Façades : G = 48 kN/façade

1.2. CHARGES HORIZONTALES

W = w.happliquée à h/2 au dessus des fondations

W = 5,60. 18= 100,80 kNappliquée à 9,00 m au dessus du niveau

2. COMBINAISONS D'ACTIONS A L'E.L.U.

La formule générale des combinaisons d'actions à considérer à l'E.L.U. s'écrit :

(0.77.W

0,77. Sn

l,jj . ^-*niax * min •1-3 + 1,3 {0,615 T

1,35 [T] o,77.Sn + V o .Q

0,77 W + 0,77. S „

Elle conduit à deux combinaisons d'actions lorsque l'on prend QB comme action variable

de base :l,35.Gmax+Gmin+l,5.QB (1)l,35.Gmax + Gmin+l,5.QB+W (2)

et à deux autres combinaisons d'actions lorsque l'on choisit W comme action variable debase :

l,35.Gmax+ Gmin+ 1.5.W + U.VO.QB (3)l,35.Gmax+Gmin+l,5.W (4)

Chacune de ces quatre combinaisons d'actions est à décomposer en cas de charge suivantl'effet recherché (cas de charge = disposition des charges sur chaque travée de la structure).

3. COMBINAISON (1) : l,35.Gmax + Gmin+ 1,5.QB

3.1. INTRODUCTION

Sous l'effet des charges verticales, l'étude du bâtiment se ramène au schéma statique suivant :

MB =

D'où:

L

2

Pi . L - P 2 . J + PI — -P2 —2 2

|p2et p2 mini

min IF, et pi mini

|P2et p2maxi

De la même manière :

M' VB . L = P2 (L + /) + pi — + P2 • /

3.2. RÉACTION D'APPUI MAXIMALE EN A

a) Cas de charge

L + - =» VB =

P2(L + /) + Pi — + P 2 . / L + -2 2

P = l , 3 5 g + l , 5 q p=1,35g

P2~G P^l, 35. 48 = 64, 8QkN

F2=48kNP1 = l , 35 .68+l ,5 .71 ,32=198 ,78kN/ 'm

p =1 ,35 . 68=91, 80kN/m

L = 7 , 5 0 m1=2, 50m

b) Remarque

Le poids propre des planchers, g, intervient sur toute la longueur de ces derniers dans Gmax.

Le poids G des façades est tantôt multiplié par 1,35 et tantôt par 1,00 dans la mesure où cesdeux façades ne sont pas identiques ni composées des mêmes matériaux.

c) Réaction d'appui

P i . L - P z / + P1^-P2^ 64,80.7,50-48.2,5 + 198,78^ -91,80^

7,50

VAmax = 755,98 kN

3.3. RÉACTION D'APPUI MINIMALE EN A

a) Remarque

Compte tenu du rapport des portées L// =3, la part de VA due au poids propre des planchersest:

VA = (9.p1-P2)-/^=4-^^

I max

JVA

\ min

\ A

2 . L L

p = l , 3 5 . g

Cas fle charge

E,= P2=1,35GPl=48kN

P =68kN/m

p=68+1,5.71,32=174,98kNXm

L=7,50m1 = 2 , 5 0 m

c) Réaction d'appui

VA =

2 2 2 2

Pi . L - P2 . / + pi — - p2 — 48 . 7,50 - 64,8 . 2,5 + 68 _ - 174,93 -2 2 2 2

7,50

VAmin = 208,49 kN

4. COMBINAISON (2) : l,35.Gmax+ 0^ + 1,5.QB +W

4.1. INTRODUCTION

L'effet du vent au niveau des fondations se ramène au schéma statique suivant :

'B

vmax_v _ W - hVA ~ V B ~ 2 . L

vmax Vent soufflant de B verg A

f "lin <=> Vent soufflant de A vers B

Pour VB, c'est l'inverse qui se produit.

4.2. REACTION D'APPUI MAXIMALE EN A

a) Cas de charge

P1 = l,35.G P! = 1,35.48 = 64,80 kN

P! = 1,35.68 + 1,5.71,32 = 198,78 kN/m

p2= 1,35.68 = 91,80 kN/m

W = 100,80 kNh =18,00 mL = 7,50 m

1 = 2,50 m

b) Réaction d'appui

VA = - 2.L

2 2

64,8 . 7,50 - 48 . 2,5 + 198,78 °- - 91,8 2^)-

VA = ? 2— + 100,80 -l^W-7,50 2 . 7,50

VAmax _ 755,98 + 120,96 = 876,94 kN (voir 3.2.c)

4.3. RÉACTION D'APPUI MINIMALE EN A

a) Cas de charge

(Compte tenu de la remarque du paragraphe 3.3. a avec p, = g) :

P -G P2 = 1.35.G

P2 = g+l,B.q

4.MUUU,kL

AJ

VA

/ \\s si/ *\/ \J/^

t®f

, ¥ \ rl

A P22

P2

F W?B1_

= tO Kl>

= 64,80 kN

= 68 kN/m

= 68+1,5.7

= 100,80 kî1 O f\t~\ »-_

L = 7,50 m

1 = 2,50 m

b) Réaction d'appui

VA =

f i ^ - r 2 - ^ F . Y - F 2 y w h

L 2 .L

2

48 . 7,50 - 64,8 . 2,5 + 68 - - 174,982

2,50

- 100,807,50 2 . 7,50 s

VAmin = 208,49 -120,96 = 87,53 kN I

5. COMBINAISON (3) : l,35.Gmax+ Gmm+ 1,5.W + l,3.¥o.QB ]

5.1. RÉACTION D'APPUI MAXIMALE EN A :4\

Un calcul identique à celui effectué au paragraphe 4.2. avec

P! = 1,35 . 68 + 1,3 . 0,77 . 71,32 et W = 1,5 . 100,80 donne :t

VAmax = 803,69 kN

! 5.2. RÉACTION D'APPUI MINIMALE EN AI1 Un calcul identique à celui effectué au paragraphe 4.3. avec p2 = 68 + 1,3 . 0,77 .71,32 et

W = 1,5. 100,80 donne:

Vimin = 41,91 kN

6 COMBINAISON (4) : l,35.Gmax + Gmm+ 1,5.W

Cette combinaison d'actions est moins « agressive » que la combinaison (3) qui comporte

en plus 1e terme en 1,3.\|/0.QB, donc qui fait intervenir les charges d'exploitation unique-ment dans les sections où elles induisent l'effet recherché (maxi ou mini).

7 CONCLUSION - RÉACTIONS EXTRÊMES EN A

On a le tableau récapitulatif :

REACTION

COMBINAISON

(1)

(2)

( 3 )

Enveloppe

,Max

755,98

876,94

803,69

876,94

, min

208,49

87,53

41,91

41,91

NB. L'astérisque correspond à la combinaison d'action déterminante.

CHAPITRE 3

ASSOCIATIONACIER-BÉTON

I. RAPPELS DE COURS

1. DÉFINITIONS

Dans une section droite d'une poutre rectiligne, on utilisera la terminologie ci-après :

r0

0

0

0

£\ 0

0 0

0 0

0

0

0

0

f ier lit i '\ _ > lits supérieurs ,»,\— 2e lit f ^ ' " '•'

^a,r,-armatures d ' âme t

— 3e lit ) ". :. .2e lit > lits inférieurs

_l«lit ) ••'-^

\ \Files verticales

2. DISPOSITION DES ARMATURES

2.1. ENROBAGE

C'est la distance du nu d'une armature à la paroi la plus proche.

c (ou c t)=Max

1cm

avec :

( 5 cm : ouvrages à la mer ou exposés aux embruns,3 cm : parois non coffrées soumises à des actions agressives,

c - j parois exposées aux intempéries, aux condensations ou en contact avec un liquide,ouvrages à la mer avec béton protégé par un procédé efficace,

[ 1 cm : parois situées dans des locaux clos ou couverts, non exposées à des condensations.<ï> = diamètre de l'armature considérée.

2.2. DISTANCES ENTRE BARRES

Les barres d'acier sont disposées :- de manière isolée,- en paquet vertical (jamais horizontal) de deux barres,- en paquet de trois barres (non considéré dans la suite).

2.2.1. Verticalement

2. Ma K .

avec :ev - distance libre verticale entre :- deux barres isolées,

_ ou deux paquets de deux barres,_ ou une barre isolée et un paquet de deux barres,

c = plus grosse dimension du granulat utilisé (2,5 cm en général).

2 2.2. Horizontalement

Max*l ,5.Cg

>-3;!.t!^-i"

avec :eh = distance libre horizontale entre :- deux barres isolées, • • : j î- ou deux paquets de deux barres,- ou une barre isolée et un paquet de deux barres.

• •- • • '• ••&?•& e'TO ;-V' ? M' •La distance entre axes des files verticales doit être telle que le bétonnage soit réalisé cor-rectement entre elles (ménager le passage des aiguilles de vibration du béton...) :

*

À titre indicatif et sans que cela soit une obligation réglementaire, on peut prendre

<î>w+<£e (8cm si < t > < 2 5 m mSH = Sh+ 2 ~) lOcm si $2;

3. CONTRAINTE D'ADHÉRENCE

3.1. CONTRAINTE D'ADHÉRENCE MOYENNE

La contrainte d'adhérence moyenne est égale au quotient de la variation d'effort axial par

dFle périmètre de l'armature :

dFdx

3.2. CONTRAINTE LIMITE D'ADHÉRENCE

Pour assurer un ancrage correct, c'est-à-dire empêcher le glissement de l'armature dans la

gaine de béton qui l'entoure, il faut limiter la contrainte d'adhérence à la valeur :

avec :

1 : ronds lisses,1,5 : barres HA courantes.

f tj = résistance caractéristique à la traction du béton à j jours.

3.3. ANCRAGE DES BARRES DROITES TENDUES ISOLÉES

En supposant TS = constante entre deux sections droites A et B distantes de /AB et soumisesrespectivement aux efforts FA et FB (> FA), on a :

LÀB

i =•

dF

dx

n. <ï>dF = 7t. 4> . i . dx

d'où par intégration :

ce qui conduit à :

F B - F A = J i . < D . T c . /AB

" s - ' A B

ANCRER une barre, soumise dans une section B à un effort de traction Fs axial, c'est assu-rer, à partir de cette section, la transmission intégrale de cet effort au béton par adhérence.

(c'est-à-dire si la contrainte en B vaut fe) on a un « ANCRAGE TOTAL ».

3.4. LONGUEUR DE SCELLEMENT DROITC'est la longueur nécessaire pour assurer un ancrage total sous contrainte d'adhérence Ts = tsu :

71.

1 AB - ' s

n.®

d'où:

On peut prendre pour les barres HA :

fcj (MPa)

4<t>

pour ys= 1,5

FeE400

Fe E 500

20

41

51

25

35

44

30

31

39

35

27

34

40

25

31

45

22

28

50

21

26

55

19

24

60

18

22

Remarque : si Aréel > Acalculé, on substitue à Zs la longueur d'ancrage /„ définie par :

vcal

d'où : 10. <'réel

3.5. ADHÉRENCE DES BARRES COURBES

Considérons un tronçon de barre courbe tendue, infiniment petit, représenté par sa ligne

moyenne AB d'ouverture d6.

On suppose que l'on est à l'état-limite de glissement (xs = Tsu).

d6

dR */

F+dF

Le tronçon AB est soumis :- aux forces de traction F en A et F + dF en B avec dF > 0,- à la force due à l'adhérence sur l'arc AB = r.dG : dT,- à la réaction transversale du béton : dR.

Par projection des forces sur le rayon OB :

- F . s i n d e - d T . sin — + dR . cos — = 0

soit puisque d0 et dT sont des infiniment petits :dR = F.dG

En désignant par jo, le coefficient de frottement acier sur béton, l'effort dR développe uneforce tangentielle :

de

de sens opposé au sens du glissement de la barre.

Par projection des forces sur la tangente en B à la barre :

F + dF - F . cos de - (i . F . d0 - dT . cos — = 0

dF - |a . F . de - n . <S . r . d0 . T = 0

que l'on écrit :>. r . T

F +

dF

= 0

soit: 7t . « S . r . t

H 1

- = (i. deF +

Pour un tronçon courbe de barre AB d'angle au centre 6 et soumis à ses extrémités auxefforts FA et FB (> FA),

<î>,-.>•.<:/M A fc

-•>.• <T'Yïjt.*>

, . - i l t i » nO

1 . . - , . ' ; s . - • ir-tt-

par intégration entre A et B, il vient :

B

Log|F + - 1BJ A

Log

7t. . r. tsoit:

expression que l'on écrit :

SU

avec :

=0 ,4

7l. «6 . r . TS.

T^y

Remarque :

Cette formule est à rapprocher de celle concernant les ancrages des barres droites isoléesla formule pour les ancrages courbes s'en déduisant :

1) en multipliant FA par \\t,

2) en multipliant 7t.<ï>.Tsu./ABpari|/',

3) en faisant /AB = r.

4. ANCRAGE DES BARRES

4.1. TYPES D'ANCRAGES D'EXTRÉMITÉ

On utilise le plus couramment :

- les « crochets normaux » :

- les « retours d'équerre » :

0 = 9 0 '

- les « ancrages à 45° » (0 = 135°) :

8 =135

l ies « ancrages à 60° » (0 = 120°) :

8 =120'

4 2. RAYONS DE COURBURE DE L'AXE DES BARRES

Ils résultent :

1) des conditions de façonnage des barres en posant r = p • <|) :

p=- (1)0

Barres longitudinales

Armatures transversales

Ronds lisses

p > 3

p > 2

Barres HA

P>5,5

p > 3

2) de la condition de non-écrasement du béton :

l 0 , 2 0 . 0 (l+--)vfcj er

avec :os = contrainte à l'origine de la courbure sous sollicitation ultime,er = distance du centre de courbure de la barre à la paroi la plus proche,

l + 2 m

r COUPE À_À

////////////////////////

-f-

L^s mandrins de cintrage respectifs ont des diamètres D>5etD>10* pour les barres longitudinales et D 2 3 *" > 5 <(> pour les armatures transversales.

m = nombre de lits courbés simultanément,fq = résistance caractéristique à la compression du béton à j jours.

3) des conditions propres à certaines formes de barres ou d'ancrages :

- courbes sur toute leur longueur,

- constituant les boucles de jonction de barres tendues (épingles à cheveux)

Ll 2 . n .r>0 ,35 .<D. 1 + . v

avec :fe = limite d'élasticité de l'acier,

n = nombre de barres composant un lit,

b = largeur de l'élément.

4.3. MÉTHODE DE CALCUL D'UN ANCRAGE COURBE

Pour l'ancrage courbe ABCD ci-dessous, soumis en D à un effort :

- e n A : F A = 0

- en B : FB = FA + n . <ï> (À . O). tsu = À . n . &. isu

- en C : Fc = y . FB + y' . n . O . r . TSU = n . O2. TSU (A,. v|/ + p . V|/')

p . v|/' . f

d'où, après division par 7t.3>.tsu :

r et 0 étant fixés, on a donc deux possibilités :

1) calcul de la longueur X.O du retour rectiligne d'extrémité si X,. est connu :

2) calcul de la profondeur d'ancrage la si l'on connaît L

soit :

/.-*

que l'on écrit :

l a =

4-4. ANCRAGE TOTAL DES CADRES, ÉTRIERS ET ÉPINGLES

Rayons de courbure des cadres, étriers et épingles := p.O (diamètre du mandrin de cintrage (voir § 4.2.) : D = 2r - O)

L ancrage des cadres, étriers et épingles est considéré comme total si on respecte :

uEtrier Epingle Cadre

V

Cadre

10<t>

5=180' 0=135* 8=30'

5. JONCTIONS PAR RECOUVREMENT

Lorsque les longueurs des barres nécessaires dépassent les longueurs commerciales, onpeut rétablir la continuité des différents tronçons en utilisant l'adhérence.

On fait alors chevaucher deux tronçons successifs sur une certaine longueur appelée« LONGUEUR DE RECOUVREMENT ».

On a parfois aussi recours :- au soudage, lorsque l'acier est soudable,

- ou au manchonnage, pour les barres HA uniquement.

5.1. RECOUVREMENT DES BARRES TENDUES

5.1.1. Transmission des efforts

Considérons deux barres parallèles :- de même type,

- de même diamètre <|),- dont les axes sont distants de c,

se chevauchant sur une longueur 1T,

soumises à deux forces égales et opposées.

. F 1/ / / / /

/ / / / ,'V5* ' F"

l *

On admet que la transmission des efforts d'une barre à l'autre s'effectue par compression

de « bielles » de béton découpées par des fissures inclinées à 45° sur la direction des

barres.

Cette transmission n'est donc effective que sur la longueur :

5.1.2. Longueur de recouvrement lr

Chaque barre doit être totalement ancrée d'où :

• pour des barres rectilignes :

lr = ls + c si c > 5 <|>

/, = /, si c < 5 4 >

I pour des barres munies de crochets normaux :

-ELEVATIOH-

-VUE EH PLÀH-

• ronds lisses avec crochets CONSIDÈRE (p = 3) :

lt = la + c = 0,6 • /s + c si c> 5 <)>

si c<

- barres HA avec crochets « normaux » (p = 5,5) :

lt = la + c - 0,4 • /s + c si c> 5 <

/r = /a = 0,4-/ s si c < 5 <

Les plans des recouvrements doivent être cousus par des armatures transversales(cf. § 6.1.3. du chapitre 4 « TRACTION SIMPLE »).

Remarque :Si les deux barres ont des diamètres différents, la longueur de recouvrement /r doit êtreévaluée à partir de la plus grande longueur de scellement droit ls.

5.1.3. Barres couvre-joints - Jonctions par chaînage

Les BARRES COUVRE-JOINTS sont utilisées pour transmettre les efforts entre deuxbarres situées dans le prolongement l'une de l'autre. Leur longueur est au moins égale à2 - L .

2.1. A

,-P

Si le nombre de barres est élevé, les barres couvre-joints deviennent continues et ne se dis-tinguent plus des autres barres. On a un « CHAÎNAGE ».

Règle : un chaînage de m barres de même diamètre comportant p coupures par longueur de jscellement droit est mécaniquement équivalent à (m - p) barres continues. Par exemplepour :- m = 4 barres,- p = 2 coupures par longueur de scellement droit,

le nombre de barres utiles est de 2.

P=2

ys s y Y i VT^ ' I I

f e

fe

f e

1 1 1 1 1 1 Pr~r^,l,^f

n"11M

iïnk,ton

1 1 1

4 . F 3, 5 . F 2,5

irTfTT

TîT>,

ml "1

r

f\

\-1 1

F 2 . F 2 . F

ri

r-2

f !^rTf

i

*-TTT

1

fflî!

£e

*e

f e

i

, 5 . F 3, 5 . F 4 . F

* *

, Efforts développés par les barres en présence (F=—j—fe)a

5.2. ANCRAGE ET RECOUVREMENT DES BARRES COMPRIMÉES ,.EN PERMANENCE

Les ancrages de ces barres sont obligatoirement droits. = M »

5.2.1. Longueurs d'ancrage /a et de recouvrement /r

Les extrémités des barres prenant appui sur le béton et la dilatation transversale ayant poureffet de plaquer la surface des barres contre la gaine de béton, la longueur nécessaire pour1 ancrage d'une barre comprimée est inférieure à la longueur de scellement droit /s. On peutprendre :

- pour l'ancrage d'une barre comprimée isolée :

pour le recouvrement de deux barres comprimées de même diamètre :

exception : pièces soumises à des chocs de direction axiale (exemples : pieux mis enPlace par battage, zones sismiques) pour lesquelles :

5.2.2. Armatures de couture à disposer sur 1T

Voir armatures transversales des poteaux (cf. § 4 du chapitre 5 « COMPRESSIONSIMPLE »).

II. EXERCICE : ANCRAGE TOTAL

— ENONCE —

On cherche à réaliser l'ancrage total d'une barre 32 HA à partir d'un point A situé à 30ICCe en t

mih

>eton arme

.

= 3 Ocm

d e

•:-\.-à

-paisseur « mi

*y:-:-x-:-x-:-:-x-:-x-:-:-

:

nie »

Si*

• Matériaux :• béton : fc28 = 25 MPa, ft28 = 2,10 MPa,• acier : Fe E 500, r > 5,5.O.

• Enrobage des aciers : e = 3 cm.

• On se propose de déterminer les caractéristiques géométriques de l'ancrageretour d'un crochet à 45° si nécessaire).

— CORRIGE —

1. TYPE D'ANCRAGE

Contrainte limite d'adhérence :

TSU = 0,6 . 1,5 2. 2,10 = 2,84 MPa

1 : ronds lisses,1,5 : barres HA.

•ur,

1

Barres HAÏ = 4 > _*«_FeESOO / s 4 tsu

/ > < / j => type d'ancrage

500

/s = 141 cm > /, = 30 cm => ancrage courbe

2. CALCUL D'UN ANCRAGE COURBE « À 45° »

2.1. RAYON DE COURBURE

a) Rayon minimalr1 = 5,5.$

b) Non-écrasement du béton

Enrobage :

c = Max

= 5,5 . 3,2 = 17,60 cm

e'1 cm. !

3cm

3,2cm

1 cm

Rayon de courbure (en fait, la vérification est inutile si on respecte r > 5,55». On ne faitdonc le calcul qu'à titre d'exemple) :

— .v

avec :

os = contrainte à l'origine de la courbure sous sollicitation ultime,

A-fe=A.Os+7I.O(?l1.<D)'Isu

1d'où :

r>0,20 . 3,2 [SOO - ~ (30 - 3,2 - ) 2,84J (1 + 0) 1

L £>f V ^ / J25-0,8.2,84(1+0)1

r >r2 = 11,56 cmsoit puisque A =

7l .

c) Retenu

r > Max r = 17,60 cm = Max117,60 cm

r2 1 11,60 cmavec :

2.2. LONGUEUR 1 = À.* DU RETOUR RECTILIGNE D'EXTRÉMITÉ

c = fcc28 c = 25 MPa

Cr = distance du centre de courbu redelbarre à la paroi la plus voisine,

1 _L O ™

V ~

^

a îpaisspièce

eur délai _^ e, infini et — = 0

infinie J ' ^

v - 1

avec * m ~~ nombre de lits cn|ir^^e cimnltatipmpntD'où:

r > 0 20

fe

<ï>

4c][)

. $/ i-c r

?

fcj

^sud)1 + y

1.

- j

équation du 1er degré en r :

r fcj - 0,20 . O . — TSU<ï>

1 +°Cr

v > 0,20 . <D fe-4—O

, O' l -C

2TSU 1 +°

Cr

V

!

qui donne :

0,20 . 04

 - 3 0 3 2 — 1761 2 ' ' 2 '

A,! O~76cm-238 <!>

0 fe 32 500S " 4 - T s u

/ s ~ 4 •2,84-14°Cm

\[/ = e^ \j/ = e ' ~4~ = 2,566

iir' — ,.,» ' ^ 01 A

|i 0,4

d'où:

141-3,2(5,5.3,916 + 2,38)> en — = /

/ = 25,1 cm => retenu / = 25 cm

CHAPITRE 4

TRACTION SIMPLE - TIRANTS

Û''f1

I. RAPPELS DE COURS

1. INTRODUCTION

Une pièce en béton armé est sollicitée en traction simple lorsque les forces agissant àgauche d'une section droite S se réduisent au centre de gravité de la section à une forceunique N (effort normal) perpendiculaire à X et dirigée vers la gauche.

Le béton tendu étant négligé, le centre de gravité de la section droite doit être confonduavec celui de la section des armatures.

4

(X)

ï. DIMENSIONNEMENT DES ARMATURES

2-l- ÉNONCÉ DU PROBLÈME

Données :B=aire de béton,Nu=effort de traction à l'E.L.U.,Nser=effort de traction à l'E.L.S.

Inconnue :À=section d'aciers.

2.2. CAS OÙ LA FISSURATION EST PEU PRÉJUDICIABLE

Dans le cas où les aciers sont de la classe Fe E 500, le dimensionnement se fait à l'E.L U(le calcul à l'E.L.S. est inutile).Fissuration peu préjudiciable : cas des pièces situées à l'intérieur des constructions et nonexposées à des condensations.

En traction simple, la section est uniformément tendue.

En négligeant le béton tendu, les aciers équilibrent intégralement l'effort de traction Navec un allongement unitaire maximal de 10/1 000.

Le diagramme de calcul os = g(es, fed) donne pour les aciers :

D'où la section d'armatures :

II faut en outre Au > A ,, (voir paragraphe 5).

2.3. CAS OÙ LA FISSURATION EST PRÉJUDICIABLE OU TRÈS PRÉJUDICIABLE

Dans le cas où les aciers sont de la classe Fe E 500, le dimensionnement se fait à l'E.L.S.(le calcul à l'E.L.U. est inutile).

>'/j^H

2.3.1. Contraintes limites des aciers tendus

Fissuration préjudiciable: cas des pièces exposées aux intempéries ou à des condensations :limitation de la contrainte des aciers tendus.

• ronds lisses : o = ^r fs 3 e

fô,5f• barres HA : o~ = Max <

[

Fissuration très préjudiciable : cas des pièces placées en milieu agressif ou des élémentsdevant assurer une étanchéité : limitation de la contrainte des aciers tendus.

• ronds lisses : a = 0,8 — fs 3 e

• barres HA : o = Max <

32. Section des armatures

Nser*ser

<J) _> 6mm si fissuration préjudiciable

4> 2 8mm si fissuration très préjudiciable

II faut en outre Aser > A^,, (voir paragraphe 5).

3. VÉRIFICATION DES CONTRAINTES

3.1. DONNÉES

A=(m-p)/'7/ =section utile d'aciers,

m=nombre total de barres,p=nombre de coupures par longueurde scellement droit,

B=section de béton,Nu=effort de traction à l'E.L.U.,

de traction à l'E.L.S..

Avant tout calcul, il faut s'assurer que A > Amin (voir paragraphe 5).

3.2. VÉRIFICATION

Sans objet si la fissuration est peu préjudiciable.

AuxE.L.S. : os= — < os

4. DÉTERMINATION DU COFFRAGE

La section A d'aciers tendus est déterminée comme indiqué au paragraphe 2.La section B de béton est obtenue en satisfaisant :1) la condition de non-fragilité (cf. paragraphe 5),2) le bon enrobage des aciers,3) les conditions de jonction par recouvrement des barres réalisant la section A d'aciers.

CONDITION DE NON-FRAGILITÉLa sollicitation fissurant le béton ne doit pas entraîner le dépassement de la limite d'élasti-Clte fe dans les aciers :

Bf t28

6. ARMATURES TRANSVERSALES

6.1. EN ZONE DE RECOUVREMENT

6.1.1. Contrainte limite d'adhérence

Voir paragraphe 3.2. chapitre 3 « ASSOCIATION ACIER-BÉTON ».

7 s u = ° ' 6 - f - f t j avec:: ronds lisses,: barres HA courantes.

6.1.2. Longueur de scellement droit

Voir paragraphe 3.4. chapitre 3 « ASSOCIATION ACIER-BÉTON ».

f

6.1.3. Armatures transversales

On admet que la transmission des efforts d'une barre à l'autre s'effectue par compression des« bielles » de béton découpées par des fissures inclinées à 45° sur la direction des barres.

.-V5' t-

Cette transmission n'est donc effective que sur la longueur : /s = /,.- c

Pour des barres rectilignes :

lr =ls +c si c > 5 .<J>

lr-ls si c < 5 .<

Considérons m barres de même diamètre se recouvrant avec m autres barres de partd'autre d'un même plan P. '

m.V feX.

i

L* m . À . f g

*t

h n

B

n

H

Du fait de la transmission à 45°, l'effort transversal et l'effort longitudinal sont égaux, ilfaut donc que la somme des sections ZA, rencontrées sur la longueur ls soit telle que :

Z(At.fet) = m.A.fe

m . À .

Or sur la longueur /s, on a : ; ,

St

D'où, pour m barres de même diamètre en recouvrement de part et d'autre d'un même plan :

AtI / f _s s et ~

/ '=* .A

Par conséquent :

Les armatures transversales ainsi déterminées doivent être distribuées sur toute la longueur'r(et non ls seulement ; nous n'avons /r = /s que si c < 5O).

6.2. EN ZONE COURANTE

a = plus petite dimension transversale de la pièce.

st * a

II. EXERCICE : TIRANT - FISSURATION PREJUDICIABLE

— ÉNONCÉ —

20 cm

•Sollicitations de traction:N G =100kN

20 cm H Q = 4 0 k H•Fissuration préjudiciable.

•Matériaux:-Béton: f c 2 8 = 2 5 M P a ,-Aciers: Fe E 500 HA.

• On se propose :

1) de déterminer les armatures longitudinales,

2) de calculer les armatures transversales.

— CORRIGE —


1.1. BETON

1.2. ACIERS

fissurationpréjudiciable

fcg = 0,6 + 0,06.fc28 (MPa) f,28 = 0,6 + 0,06 . 25 = 2,10 MPa

_MK

°'5 fe(MPa)

- M~ X / °'5 ' 50° = 25° MPa

\ 1 10 ^1,6.2,10 = 202 MPa

=> ô" = 250 MPa

2 SOLLICITATIONS

La fissuration étant préjudiciable, les calculs sont conduits à l'E.L.S.

N s e r=NG+NQ Nser=100 + 40=140kN Nser=0,140MN

3. CONDITION DE NON-FRAGILITÉ

A . fe > B . f,128 A > 2 0 . 20 —=1,68 cm2

500

A > 1,68 cm

4. ARMATURES LONGITUDINALES

4.1. ÉTAT-LIMITE DE SERVICE

Ns 0,140 4 2'6 m

A , = 5 , 6 0 cm2

4.2. RETENURésistance :

Non-fragilité :

Conclusion :

A>Am i n

fissuration Ipréjudiciable j

<ï> > 6 mm

A = 5,60 cm2

5,60 cm2 > 1,68 cm2 O.K.

=> 4 $14 HA

A = 4 1,54 = 6,16 cm2


s-l. ZONE DE RECOUVREMENTS

^

Sur lr = /s, on va coudre le plan I-I. * ;

a) Longueur de recouvrementtsu = 0,6.V|/s2.ft28 TSU = 0,6 . 1,52. 2,1 = 2,84 MPa

1 : ronds lisses.1,5 : barres HA.

O

b) Armatures transversalesA

Pour un brin <D 8 HA : A, = 0,50 cm

A t 1 ,7 t . 1,4.2,84 1

s t 500 40,03cm /cm

d'où :st = 40,03. A,

5.2. ZONE COURANTEs.= a

s, = 40,03. 0,5 =20 cm

cadres (B 8 HA : s, = 20 cm

cadres O 8 HA : st = 20 cm

6. SCHÉMA DE FERRAILLAGE

1*14 HA - E1ETATIOH - 14>14HA62 cm ,, 62 o

-Jf- cadres <î> 8 HA st = 20 c»

\ ^/

)1\

.V •>!/

jx '

\\24>14

cadres <t> 8 HA

HA

s^-2

. X

cadre)CK

,il, '

s4> 3 HA s

7^

s

cadre. = 20 c

f-4

sm

4>8 H

Vl-^14 H*

si/-71 4> 14 HA

)S 1

A s t-20cm

CHAPITRE 5

COMPRESSION SIMPLE

I. RAPPELS DE COURS

1. HYPOTHESESOn considère conventionnellement comme soumis à une « COMPRESSION CENTREE »tout poteau sollicité :1) par un effort normal de compression N,2) par des moments n'intervenant pas dans les calculs de stabilité et de résistance des élé-ments qui lui sont liés lorsque les excentricités sont faibles (point d'application de l'effortnormal à l'intérieur d'une zone déduite du noyau central par une homothétie de rapport 1/2).Dans un poteau sollicité en « compression centrée » le centre de gravité du béton et celui desarmatures sont confondus.

2. ÉLANCEMENT

2.1. LONGUEURS DE FLAMBEMENT lf

'77777 ù

= 2.1n

•77777-

^~J

encas -trementdans lafondation;

sinon ln

2.2. ÉLANCEMENT

2.2.1. Cas général

avec :

1 = - = rayon de giration de la section transversaler>

I = moment d'inertie de la section transversale (béton seul) dans le plan de flambement,B = aire de la section transversale.

Le plan de flambement mentionné plus loin est celui pour lequel À = ^max-

2.2.2. Cas particuliers

a) Section rectangulaire

II faut normalement envisager les deux possibilités : flambement dans le plan parallèle aupetit côté et flambement dans le plan parallèle au grand côté. En désignant par /fa et /^ leslongueurs de flambement correspondant aux liaisons d'extrémité dans les sens a (parallèleà la dimension a) et b (parallèle à la dimension b), on retiendra :

* J B=ba ; X W>

.S&L • B=ba ; ! = -£=>12 V12

b) Section circulaire

I=~64 4.1*

B=-


3.1. INTRODUCTION - HYPOTHÈSES

Toute barre longitudinale de diamètre ^ non maintenue par des armatures transversalestelles que s,< 15.O, n'est pas prise en compte dans les calculs de résistance.

COUPE À A

V

0

=barre prise en compte

4)=barre non prise en compte

Si A, > 35, seuls sont à prendre en compte les aciers augmentant le plus efficacement la rigi-dité dans le plan de flambement (pochées en noir sur la figure ci-dessous).

Plan de flambement

• 0 •

0 0

• o •

bl l , l . a

a

3.2. FORCE PORTANTE

À l'état-limite ultime, le raccourcissement du béton sous compression centrée est limité à2/1 000. Le diagramme des déformations correspond à la verticale du pivot C (voir para-graphes 3.3.3. et 4.3. chapitre 2 « BÉTON ARMÉ - GÉNÉRALITÉS »), d'où :

^^^X 1XJ

• 9

y fi j. j. uiiy cjiitîii LX

ï l'vl

\—ifj5*

I dLJL

(

f

f/

B) y'v

/—s

fbuO ise 2

O^ 0^•O&

Section

0 2îi.

Déf ormat ions Contraintes

L'effort normal limite théorique est :Nuiim,th=B.fbu -"- rt-"sc2

L'effort normal résistant est obtenu par correction de la formule théorique avec :- Br = section réduite de béton pour tenir compte de la sensibilité aux défauts d'exécutionnotamment pour les poteaux de faible section transversale,- 07(0,9.0,85) = facteur majorateur de la part de l'effort limite théorique relative au bétonpour tenir compte de la maturité de ce dernier à l'âge de sa mise en charge,- a = facteur réducteur affectant Nulim th qui tient compte des effets du second ordre que

l'on a négligés,- °sc2 = 4d - fe/Ys Par simplification de calcul.

B r - fc28 . . feA .

D'où la condition à respecter :

En réintroduisant £ = 0,85y Y h

0,9. v

avec 9=1 dans le cas des poteaux et f^, cette formule s'écrit :

ubu +0 ,85 .À . f e d

avec :Br = section réduite obtenue en retirant 1 cm d'épaisseur de béton sur toute la périphérie dupoteau,

0,85

a

1 + 0 , 2 . — siA,<5035 i

0,85.1500

si 50 < A, < 70

1,10 si plus de la moitié des charges est appliquée à j < 90 jours,

1,20 et } si la majeure partie des charges estfc2g à remplacer par fcj j appliquée avant 28 jours,

1 dans les autres cas.

3.3. ARMATURES LONGITUDINALES

3.3.1. Armatures calculéesLe béton équilibre :

B r . f b u

0,9

Les aciers doivent équilibrer :B •£

k ' | 3 - N u - N b

0,85

bu

0,90,85

D'où leur section :

3.3.2. Sections extrêmesB = aire de la section de béton.On doit vérifier :

Àmin 1 A <.

Àmin=Max.L4cm

2/m de périmètre

B'0,2 100

max

Si A > Amax (en dehors des zones de recouvrement), il faut augmenter le coffrage.

3.3.3. Dispositions constructives

Sur chaque face, on doit vérifier :

±-*-+

<c!Min<

<

40cni

1 a+lOcma=plus petite dimension

t ransversa1e

4- ARMATURES TRANSVERSALESLes armatures transversales doivent maintenir :1) toutes les barres prises en compte dans les calculs de résistance,2) les barres de diamètre > 20 mm, même celles non prises en compte.

4-l- DIAMÈTRE

4.2. EN ZONE COURANTEC'est-à-dire hors recouvrements :

1mina+lOcm40cm

<— pour À_>Âm i n

<— a=plus petite dimension transversaledans le plan de flambement


4.3.1. Longueur de recouvrement

l r= ,f 0 ,6 .1S

' 1s

<— cas courants,

<— pièces soumises à des chocs.

4.3.2. Armatures transversalesDans les zones où il y a plus de la moitié des barres en recouvrement :

> 3 nappes au moins sur

Dans la pratique, on assure un léger dépassement (2<|> environ) des extrémités des barresarrêtées par rapport aux nappes extrêmes.Remarque : si lr est trop grand (ce qui est le cas lorsque /r = /s et non 0,6/s), on peut avoir unespacement s't > s, courant, ce qui n'est pas acceptable. À ce moment là, prévoir4 nappes et non 3 sur lr

5. COFFRAGE !La formule de l'effort normal ultime limite donne :

_ k ' P ' N u i

xbu

On peut adopter par exemple : A/Br = 1

— fbu

0,9 100[ed

Remarque : on peut chercher à atteindre À = 35 pour que toutes les armatures participent àla résistance. Dans ce cas : (3 - 1,20.

[. EXERCICE N° 1 : POTEAU - ARMATURES MINIMALES—

— ÉNONCÉ —

^20cm

rCOUPE A À

l Q = 2 , 5 0 m

60 cm

• Sollicitations : Nu = 1 200 kN de durée > 24 heures.

• Moins de la moitié des charges agit avant 90 jours.

• Matériaux :• béton : fc28 = 25 MPa,

• aciers : Fe E 500 HA.

• Longueur de flambement : lf = 10 = 2,50 m.

• Enrobage des armatures : 3 cm.

• On se propose :1) de déterminer les armatures longitudinales,2) de déterminer les armatures transversales.

— CORRIGE —


1-1. BÉTON

£ = 0 , 8 5 .^28

' • n i 1.1,5

1-2- ACIERS

fed=-

Ys

—1,15

20 cmîn.-'vtV.-xO

= 435MPa

4.2. EN ZONE COURANTEC'est-à-dire hors recouvrements :

150, .1mina+lOcm

40cm

<— a=plus petite dimension transversaledans le plan de flambement


4.3.1. Longueur de recouvrement

l r= .J O , 6 . 1 S

[ 1s

<— cas courants.

<— pièces soumises à des chocs.

4.3.2. Armatures transversalesDans les zones où il y a plus de la moitié des barres en recouvrement :

> 3 nappes au moins sur lr

Dans la pratique, on assure un léger dépassement (2<|) environ) des extrémités des barresarrêtées par rapport aux nappes extrêmes.Remarque : si /r est trop grand (ce qui est le cas lorsque 1T - ls et non 0,6/s), on peut avoir unespacement s't > s, courant, ce qui n'est pas acceptable. À ce moment là, prévoir4 nappes et non 3 sur /r.

5. COFFRAGELa formule de l'effort normal ultime limite donne :

k . p . N uB >

bu

On peut adopter par exemple : A/Br = 1

0,9 100

Remarque : on peut chercher à atteindre X. = 35 pour que toutes les armatures participent àla résistance. Dans ce cas : (3 = 1,20.

EXERCICE N° 1 : POTEAU - ARMATURES MINIMALES

— ÉNONCÉ —

rcm

COUPE À À

I 0 =2 ,50m

60 cm

• Sollicitations : Nu = 1 200 kN de durée > 24 heures.

• Moins de la moitié des charges agit avant 90 jours.

• Matériaux :• béton : fc28 = 25 MPa,• aciers : Fe E 500 HA.

• Longueur de flambement : lf = 10 = 2,50 m.

• Enrobage des armatures : 3 cm.

• On se propose :1) de déterminer les armatures longitudinales,2) de déterminer les armatures transversales.

— CORRIGE —


1-1. BÉTON

fbu = °'85 • ~ fbu - 0,85 .

l-2- ACIERSe

Ys 1,15

20 c»n

= 14,2 MPa

2.1. SECTION CALCULÉE

Élancement pour une section rectangulaire :

, If fÏ2

Coefficient P :

X < 5 0 = > P = 1 + 0 , 2

Le béton équilibre :

N -B^N b ~ 0,9

Les aciers doivent équilibrer :

k . p . N u - N bN = -

0,85

2.2. ARMATURES MINIMALES

u = 2(a + b) = périmètre (m)

B = a.b = aire béton (cm2)/ 2/14 cm / m

A -Max'depérimètreAmin - Max \

0,2-?-100

TJ

20= 43,30

(0,60 - 0,02) (0,20 - 0,02) 14,20,9

Nb=l,65MN

k = 1 car moins de la moitié des charges estappliquée avant 90 jours,

N = = - 0,09 MN

d'où:Ns < 0 => Le béton est surabondant ; il suffitde prévoir la section minimale.

u = 2(0,60 + 0,20) = 1,60 m

B = 60 . 20 = 1 200 cm2

U. 1,60 = 6,40 cm2 g/ 1 ^rvn

. = Max o,2 0\ 100

= 2,40 cm

A = Amin=6,40cm2

soit : 6 O 12 HA : A = 6 . 1,13 = 6,78 cm2

i6,78 cm2 < 60 cm2 = 5

100O.K.

ARMATURES TRANSVERSALES EN ZONE COURANTE

CHOIX DES ARMATURES TRANSVERSALES

Armature minimale => on peut se contenter d'un cadre général :

-12 = 4 mm < <ï>t < 12 mm

=> 1 cadre 4> 6 HAPour 3 cm d'enrobage :

3 + 0,6 + — = 4,2 cm2

60 - 2 . 4,2=» c = - - = 25,8 cm

2c '= 20-2.4,2 =11,6 cm

i cm(40 ic et c < Mm

(a + 10 cm

3.2. ESPACEMENT

s t < Min ( 40cm+ 10cm

c = 25,8 cm (40 cm< 30 cm = Mm

c' = ll,6cm \20+10cm

{sans objet car A =

40cm20 +10 = 30 cm

=> cadres <S> 6 HA s, = 30 cm

4 ARMATURES TRANSVERSALES EN ZONE DE RECOUVREMENT

On arrête tous les aciers longitudinaux dans la même section.

Longueur de recouvrement :barres HA Fe E500 => /s = 44 <ï> 12 HA : /s = 44 . 1,2 = 53 cm

aciers comprimés => /r = 0,6 /s lr = 0,6 . 53 = 31,8 cm

Nappes sur recouvrements :

• 3 nappes au moins 3 Cadres <£> 6 HA, 31,8-2.2.1,2s,- —^— -=13,5 «13 cm

soit s't = 13 cm < st en zone courante.

5. SCHÉMA DE FERRAILLAGE

2 * 12 HA

cadres § 6 HAs,=30 cm

3 cadres <j> 6 HA

c, t 12 HA

2<1>12 HA

2 12 HA cadre <1> 6 HA

COUPE AA -

x 6 0 c m x

20 I

6 <î> 12 HA

,13cm"l3cm

31cm

25cm

III. EXERCICE N° 2 : FORCE PORTANTE D'UN POTEAU

— ENONCE —

4 <£»16 HA

30 cm

30 cm

• Matériaux :• béton : fc28 = 25 MPa,• aciers : Fe E 500 HA.

• Longueur de flambement : lf = 2,80 m

• Moins de la moitié des charges appliquéesavant 90 jours.

• Charges de durée d'application supérieure à24 heures.

• On demande :1) de vérifier la section minimale d'armatures,2) de calculer la force portante limite du poteau,3) de déterminer les armatures transversales.

— CORRIGÉ —


1.1. BÉTON

£ = 0 , 8 5 .'c28

'bu£ = 0 , 8 5 .

251.1,5

= 14,2 MPa

1.2. ACIERSCAfl

- -1,15

= 435 MPa

12. SECTION MINIMALE D'ARMATURESu = 2(a + b) = périmètre (m) u = 2.2.0,30 = 1,20 mB = a.b = aire béton (cm2) B = 30.30 = 900 cm?

4cm /mde périmètre

B

14 . 1,20 = 4,80 cm

0,2100

A >< Amax = 5B

Toô

=> A = 4 . 2,01 = 8,04 cm2 > Amin = 4,80 cm2

C900 2Amax = 5 — = 45 cm

=> A = 8,04 cm2 < Amax = 45,00 cm2 O.K.

3- FORCE PORTANTELe béton équilibre : B r=(a-2cm)(b-2cm)

Les aciers équilibrent :

k . p . N u - N b_• î ~ 0.85

D'où la force portante :

section | . _ / f "(\2i — r Ai ^ —

rectangulaire | a

A,<50

30

p= 1+0,232,33

35= 1,171

k = 1 car moins de la moitié des charges estappliquée avant 90 jours,

k.p.Nu = Nb + 0,85A.fed4

N =1,237+0,85.8,04.10 .435

1.1,171

> N u = 1 3 1 0 k N

4. ARMATURES TRANSVERSALES EN ZONE COURANTE

4.1. CHOIX DES ARMATURES TRANSVERSALES

30 cm1 cadre

5T ~*•

.• •30 cm

1 cadre pour tenir les 4 barres :

> t >- 16 = 5,3 mm

> < 12 mmt = 6 mm

4.2. ESPACEMENT

/minsi A > A .

s, < Min/40cm1 a+ 10cm

{15. 1,6 = 24cm carA>Amin

40cm30+10 = 40 cm

=> cadres 6 HA s, = 24 cm

ARMATURES TRANSVERSALES EN ZONE DE RECOUVREMENT

On arrête tous les aciers longitudinaux dans la même section

Longueur de recouvrement :

barres HA Fe E 500 => /s = 44 O /s = 44 . 1,6 = 70 cm

aciers comprimés => /r = 0,6 /s /r = 0,6 . 70 = 42 cm

Nappes sur recouvrements :

3 nappes au moinssur lr-44

3 CadrCS <ï> 6 HA42-2.2.1,6

' =17,8 cm

soit < s, en zone courante.

IV. EXERCICE N° 3 : POTEAU -GRANDE DIMENSION IMPOSÉE

ÇjDT '

(b)

- s.

— ÉNONCÉ — ;

11,00m "' : ' • > -

^ tÙf70) ) 1 , 4 0 m

• Actions sous plancher niveau 1 1,00 .ni :*- permanentes : NG = 2 355 kN- variables : NQ = 534 kN :- plus de la moitié des charges appliquéeavant 90 jours.

5, 40m «Matériaux : - i•& - béton :fc28 = 25 MPa,0 } - aciers : Fe E 500 HA,

- enrobage des armatures = 3 cm.

• On se propose :1) de dimensionner le poteau,2) de calculer les armatures longitudinales et transversales.

— CORRIGÉ —


1.1. BÉTON

f , = 0 , 8 5 .ic28

'bu bu

1.2. ACIERS

fed=-

YsC-S-Bi

2. SOLLICITATION À L' ÉTAT-LIMITE ULTIME

Nu= 1,35 . N0+ 1,5 . NQ Nu = 1,35 . 2 355 + 1,5 . 534Nu =3 980,25 kN = 3,98 MN

3. COFFRAGE

3.1. DIMENSION IMPOSÉEÉpaisseur de la poutre du plancher b = 0,70 m

3.2. INTRODUCTIONSi l'on adoptait un poteau carré de 0,70 m de côté, la charge qu'il pourrait supporter, sansarmatures, serait :

Nb=a68^ = 7,,OMN

Longueur de flambement :en supposant le poteau plus raide que les poutres du plancher :

k=lo l{= 11,00 -5,40 = 5,60 mÉlancement :

section |carrée J À = -

Coefficient P :

A < 5 0 = > p = l + 0 , 2

560/12A- 7Q -27,7

H..*«(^)°-M

Sollicitation agissante corrigée : î *'!> " " * '^m;.-.; k P Nu • ; "l- k = 1.10 car plus de la moitié des charges esti'.: ' • ' ' • appliquée avant 90 jours.

' • •• • • ; : • ' k . p . Nu =1,10. 1,125. 3,98 = 4,93 MN

ConclusionNb x k . p . Nu Nb = 7,30 MN > 4,93 MN = k . p . Nu

=3 b = est la grande dimension du poteau.

,,- ov i . l .

3. DIMENSIONNEMENT DANS L'HYPOTHÈSE OÙ b = 70 cm > a >• ' • ; • • ' •'•«

Équation donnant a : ^

x=-

"!+"'85^soit avec : Br = (a - 0,02)(b - 0,02) m2 :

a=b^Ô2+0'°2

L,En partant de A = 35, nous avons a =

B. °'M'9L= 0.2248. P ^

0,9

0,2248 . p' 0,70 - 0,02

'f

-0,85435Tôo

+ 0,02 = 0,33 . P + 0,02

V i^- 'f= -rp-, d'où le tableau de calcul par approxima-

lions successives (mais voir remarque ci-après) :

a (m)

0,560,4150,4680,4430,4530,449

. 5,60 /Ï2"a

34,6446,7541,4543,7942,8243,20

P = l + 0 , 2

,196,357,281,313

-î,35j

,299,305

a = 0,33 . p + 0,02

0,4150,4680,4430,4530,4490,451

Retenu :

Remarque : le dimensionnement que nous venons d'effectuer repose sur la formule du § «des rappels de cours établie pour un pourcentage d'armatures A/Br = 1 %. En adoptant upourcentage d'armatures plus faible, on aboutit à une section de béton plus grande tmeilleure solution est celle conduisant au coût minimal de l'élément.


4.1. EFFORT NORMAL ULTIME

Charges sur plancher niveau 11,00 m :Poids propre poteau :1,35(25 kN/m3. 0,70 . 0,45 . 4,20)

4.2. SECTION RÉSISTANTE

Élancement :

= 3 980,25 kN= 44,65 kN

Nu = 4 024,90 kN

• Nu = 4,02 MN

section \ ltfÎ2 560 /Ï2~!=>A, = - A, = r^—=43,11

rectangulaire | a

Coefficient (3 :

Le béton équilibre :

NK = -^

= 1+0,235

45

P= 1+0,243,11

35= 1,303=1,30

(0,70 - 0,02) (0,45 - 0,02). 14,20,9

Les aciers équilibrent :

k . p . N u - N b

0,9

Nb = 4,613 MN

0,85

D'où leur section :

N,A =

'ed

k = 1,10 car plus de la moitié des charges estappliquée avant 90 jours.

1,10. 1,30.4,02-4,613Q85 -= 1,336 MN

1,336 4A = —-— 10 =30,71 cm2

435

4 3. SECTIONS EXTRÊMES H ,,.

Î4 cm2 / mde périmètre

02 —°'2100

. 2 (0,70 + 0,45) = 9,2 cm

A -S--100

A ^ A < Am

A =max 100= 157,5 cm

Arain = 9,20 cm2 < A = 30,71 cm2 < An

= 157,5 cm2

4.4. RETENU4 . 4,91 = 19,64 cm2

4. 3,14 =12,56cm2

30,7 Icm 2< A = 32,20 cm*


5.1. CHOIX DES ARMATURES TRANSVERSALES

K > 35 => on ne prend en compte que les aciers longitudinaux augmentant le plus efficace-ment la rigidité dans le plan de flambement, donc toutes les armatures puisqu'il n'y a pasde barres intermédiaires sur les petits côtés :

c '

g

•1 °

«J '

• •

•

•

. c L e ,

b = 7 0 c m > l , 1 .a=50cir

a=45 cm

<12mm

[40cmc et c < Mm <

1 a+ 10cm

è < 12 mmY t~= 10 mm

(40cmcetc '<40cm = Mm

5,62

• 3 J

>2,5^t=2,5

V

0 ,88

Ljn~"2~--2~J-2~'

[3,0-0,5-1,25]^-

Suivant b pour 3 cm d'enrobage avec2 <|> 25 + 2 <)> 20 :

70 - 2 . 5,625,62 cm = 19,6 cm

3.1,03 cm

c- 19 cm < 40 cm

Suivant a pour 3 cm d'enrobage avec 2 <f> 25 :

5,62 cm => c' = 45 - 2 . 5,62 = 33,8 cmc' = 33 cm < 40 cm

5.2. ESPACEMENT EN ZONE COURANTE

15. è, , si A > A .T /mms t<Min{ 4 0 c m

a + 10cm

| 15 . 2 = 30 cms t < Min /40cm

145 + 10 = 55 cm

cadre ()) 10 HA s t=30cm

5.3. ZONES DE RECOUVREMENT

On arrête tous les aciers longitudinaux dans la même section

Longueurs de recouvrement :

barres HA Fe E 500 => /s = 44 <|>

aciers=> / r = 0,6 . /s

comprimés

Nappés sur recouvrements :

<|> 25 HA: /s = 44.2,5= 110cm<l>20HA: / s =44 .2 ,0 = 88cm

0 25 HA : /r = 0,6 . 110 = 66 cm

(|)20HA: /r= 0,6. 88 = 53 cm

recouvrement des <|> 20 :

3(2cadres<)>10HA):s ' t = - :

o ' ' = 22,5 cm

soit : s, en zone courante

r> 3 nappes => recouvrement des <|> 25 :

I sur lr-4^i 4 (<t> 25) > /r (<)) 20) => On conserve le même espajcément que pour les <|) 20 :

soit : s ' t=22cm

SCHÉMA DE FERRAILLAGE

- KLHVA11UN -

•

2 </>25 HA

2 . 2 ^ 2 0 HÀ

3 . 2 cadres </>10 HA

2 . 2 £ 20 HA

^

1

1

-f

^

~--s~~^..

/

•-LStî^

f ' \

^ '

• *

t f\

4 *

Su^" ls-

' A.

] -flO cm-f

X

2

I

.-JS*

cadres <^10 HAtous les 30 cm

2

-i •* "1

^ > 2 5 HA

4,5 '

22

22

4,5 '

r13 '

53cm

66 cm

10 cm

F

1

j1

5,60 m

COUPE TRANSVERSALE -4 <fr 20 HA

HA

V V V V

2 cadres </>10 HÀ

d

»

Ç3

p O,

c1

•

b=70cm

a=45cm

CHAPITRE 6

FLEXION SIMPLE

I. RAPPELS DE COURS

1. INTRODUCTION

Une poutre à plan moyen est sollicitée en FLEXION PLANE SIMPLE lorsque l'ensembledes forces ou couples appliqués à gauche d'une section droite S est réductible, au centre degravité G de E, à :- un couple M d'axe perpendiculaire au plan moyen (ou MOMENT FLÉCHISSANT),- une force V située dans le plan de I, et dans le plan moyen (ou EFFORT TRANCHANT).

• V

( £ )

Les effets du moment fléchissant M et ceux de l'effort tranchant V sont étudiés séparé-ment. Le présent chapitre est consacré à l'étude des effets du moment fléchissant M. Pourl'étude de l'effort tranchant V, se reporter au chapitre 7 « EFFORT TRANCHANT ».

2- SECTION RECTANGULAIRE - FISSURATION PEU PRÉJUDICIABLE

2-l- SECTION SANS ACIERS COMPRIMÉS

*•!•!. Dimensionnement à l'E.L.U.On démontre que lorsque le pivot est A ou B (cf. paragraphes 3.3.3 et 4.3. chapitre 2« BÉTON ARMÉ - GÉNÉRALITÉS »), le diagramme de contraintes parabole-rectangle est équi-pent à un diagramme de contraintes rectangulaire :

- de hauteur 0,8.yu,- de largeur fbu.

bu

--adf H'iMy,O . S y

déformations diagrammes contraintes

parabole ^ rectan_rectangle^ gulaire

Équations d'équilibre :Fbc = 0,8.b0.yu.fbu

zb=(d-0,4.yu)Mu = Fbc.zb =* Mu = 0,8.b0.yu.fbu(d - 0,4.yu)

forces

En posant :

on obtient :

M. Yuet OL--T

bu=0,8.a(l-0,4.a) et Au =

M,,

et par résolution de cette équation du deuxième degré en a :

a =1,25 (1 -^ /1 -2 .^ 'Méthode de calcul :

Mu _y^J-*u,, ~~ -i Ct OC —,

ot=l,25 1-./1-2.U,

a < 0,259 => Pivot A =* es = 10/1 000a > 0,259 => Pivot B => ebc = 3,5/1 000

1-a=^£s-ebc--^-

d(l-0,4.a)

=> Au=

En pratique, à condition que (ibu soit au plus égal à la valeur limite (ilu définie au para-graphe 2.1.3. ci-après, on peut retenir :

avec : zb = d [l - 0,6. jij si < 0,275 (cf. § 2.3.1.) ou

sinon.

21.2. Dimensionnement à FE.L.S. par compression du béton ;

Hypothèses : -, . , - ^ A

La distribution des contraintes dans la zone comprimée est triangulaire. La contraintemaximale de compression du béton est limitée à : I

Nd

"ser

V,1

Eb£bc=abc

bc

n = 15

Déformations Contraintes

S 0 = E b- s

Équations d'équilibre :

Fbc=- .b 0 . yi .obc2

Forces

M s e r=Fbc- Zbl = - • - CTbc d- —3

Connaissant Mser, on pourrait tirer y, de cette équation, ce qui permettrait de calculer :

d-yiOs= 15 . <Tbc .

yi

puis Aser =Mser

Mais en pratique, la considération du « moment limite ultime » rend inutile le calcul deAser, comme on va le voir ci-après.

2.1.3. Notion de moment limite

En principe, il faudrait retenir : A

Mais, en pratique, les calculs montrent que l'on a Au > Aser tant que le moment agissantultime reste inférieur à une certaine limite Mlu (soit (ilu en valeur réduite), obtenue pourAu = Aser et qui dépend de :

Mser

- 0 = facteur de durée d'application des charges.La valeur numérique de n;u est elle-même bornée à la valeur [isl pour laquelle l'allonge-ment de l'acier tendu atteint (dans le cas du diagramme bilinéaire de l'acier visé par lesRègles BAEL) esl - fed/Es, car pour es < esl, on aurait os < fed et l'acier tendu serait mal utili-sé à l'E.L.U. Pour obtenir cette borne, il suffit de calculer : \isl = 0,8as/ ( 1 - 0,4as,), avec :

EV• hc 3,5 /1 000

'bc3,571000+ f e d /E

0 , 2 5 9 . d

10 X.

ce qui conduit aux valeurs suivantes :

ACIERS

Fe E 215

Fe E 400

Fe E 500

<*sl

0,789

0,668

0,617

sl

0,4321

0,3916

0,3717

Ainsi, lorsque iibu < | ,u, on est assuré que :

1) la contrainte limite de compression du béton en service (0,6 fc28) n'est pas atteinte,

2) la contrainte des aciers tendus est égale à la résistance de calcul (fed).

La valeur numérique du moment réduit limite (i/u = M7u/b0.d2 fbu dépend des paramètres fe,

- et 0y et ne résulte pas d'un calcul simple. Il existe des tables donnant les valeurs pré-0

cises de n,/u. On dispose également de formules approchées (cf. paragraphe 2.3.2.).

TABLEAU DES MOMENTS REDUITS l

•=^fc28(MPa)^ " - . Béton

Aciers -*. '

Fe E 215

Fe E 400

re t bUU

TS 500

6y

1,351,401,451,50

1,351,401,451,50

1,351,401,451,50

0,85

20

2763290930573207

2139226523932523

1903201921382258

25

2960311032623416

2372250626432782

2139226523932523

30

3106325934133569

2557269728392984

2330246325982735

0,90

20

2940309732563417

2275241025482688

2024214822752404

25

3149331134743640

2524266828152964

2275241025482688

30

3304346836343802

2721287130243180

2479262127672914

1,00

20

3303348336663854

2554270828653025

2270241225562704

25

3538372339124106

2835299931683340

2554270828653025

30

3710389940914288

3056322934043584

2784294731133283

TABLEAU DES MOMENTS REDUITS 10

\fc28(MPa)^ BétonAciers ^ ^

Fe E 215

Fe E 400

Fe E 500

TL 500

6

y1,351,401,451,50

1,351.401,451,50

1,351,401,451,50

0,85

40

3307346236193777

2829297731263277

2620276229063053

50

3439359537523910

3020317133243479

2829297731253277

60

3531368738444002

3160331334693625

2986313732893444

0,90

40

3517368338514021

3010316933293492

2788294030953253

50

3655382239914161

3213337535393706

3010316933293492

60

3752391940874258

3361352636923861

3134333935033669

1,00

40

39464137jjijiii338235643749

313233073485

1111•;•••>•

50

40984290nenaiii

36083795l!ii

33823564

60

4204

mm

3774

1111

3569iiiniiIlll:;:[*!*;;H!h

Les valeurs grisées correspondent à (j,/u = iis/.

2.1.4. Conclusion

Si |ibu < H/u on a A = Au calculé à l'état-limite ultime comme indiqué au paragraphe 2.1.]avec : as = fed, le calcul de es étant alors inutile.

- ou changer les dimensions de la section,- ou bien augmenter la résistance du béton lorsque c'est possible,- ou enfin prévoir des aciers comprimés calculés suivant les indications du paragraphe 2.2ci-après.

On peut retenir en première approximation, pour fc28 = 25 MPa, et en remarquant que

pour fc28 et y donnés |J,,U est sensiblement proportionnel à 0 :

Fe E 400 ^0,30.0

Fe E 500 ^=0,275.0

et, quel que soit y = Mu/Mser :

= 0 , 1 8 6 = 0 , 8 . Q , 2 5 9 . ( l - 0 , 4 . 0 , 2 5 9 ) Mlu (ou,M (u

àl'E.L.S. Mse r>M ; se r= avec y=M.

M~

Mais il peut exister, dans la zone comprimée sous l'effet du moment agissant, des aciers capa-bles de jouer le rôle d'aciers comprimés : par exemple sur un appui de poutre continue, desaciers inférieurs équilibrant des moments positifs en travée, mais prolongés jusqu'aux appuis.

Aciers supérieurstendus : À

-COUPE BB-A

Aciersinférieurscomprimés : À '

II faut dans ce cas, prendre garde que si la profondeur d'ancrage disponible pour ces aciers,/a, est inférieure à leur longueur d'ancrage, soit 0,6 /s, la section à introduire dans les cal-culs doit être réduite dans le rapport /a/0,6 ls (cf. remarque du § 3.4., chapitre « ASSOCIA-TION ACIER-BÉTON »).

. 2.1. Hypothèses .. î . • • ; • • VMI- "fwu::*

La section est considérée comme résultant de la superposition de deux sections fictives ®

et © :

d '=5 ' .d

d

À'

À

, bo

d-d1

Section

*u

• ' S 1 .'

Section(2)10.'

!

A'.cfscu(d-d') àOU 5,

À2.crsu(d-d')

La section fictive © doit équilibrer Mu2 < 0,4 . MU à l'E.L.U.

Remarques préliminaires importantes :M f u

1) Lorsqu'à l'E.L.U., Mu = M/u (et donc, à l'E.L.S. Mser = M /ser = —-), la section

A! d'acier tendu nécessaire à l'équilibre de la section (D peut, indifféremment, êtrecalculée par l'une ou l'autre des deux formules :

ou

A ' = Ï^T

A , = -

W • 1ed

M fser

Zl/-as,ser

[1]

[2]

avec :

>•> - . . ' • zb/ =d [1-0,4 a,] et a, = 1,25 [1-

Z, ; =d, au1-^"

1-a,Ct °s,ser =15°bc a,

au pouvant être lui-même obtenu par résolution de l'équation du second degré :

a,1-

M / scr ^u

En identifiant [1] et [2], on voit immédiatement que :

Wl,{\ HT!-... ' V

[3]

M/ u ,2) Lorsqu'à l'E.L.U., Mu > M/u (et donc, à l'E.L.S. Mser>M,ser = ), et que la section

d'aciers comprimés n'est pas imposée, la section rectangulaire ®, sans aciers compri-més, ne peut équilibrer au plus que M;U (ou, ce qui revient au même, au plus que M;S )et la section A[ d'aciers tendus nécessaire à son équilibre est donnée soit par la rela-tion [1], soit par la relation [2].

La section d'aciers comprimés est déterminée pour équilibrer l'excédent de moment, etdonc soit Mu - M,u, soit Mser - M/ser.

Comme pour la section © la situation est « figée », puisque :

- à l'E.L.U., a, constant et ebc = 3,5/1 000 conduisent à un diagramme de déformationsinvariable,

- à l'E.L.S., et]/ constant et la contrainte maximale du béton plafonnée à abc = 0,6 . fc28

conduisent à un diagramme des contraintes invariable,

dans un cas comme dans l'autre, la contrainte des aciers comprimés est invariable, et lasection A ' nécessaire pour ces aciers est donc proportionnelle à Mu - M/u (ou, ce qui estéquivalent, à Mser - M;ser). Il en est de même pour la section A2 d'aciers tendus qui luifait équilibre dans la section fictive @.

2.2.2. Calcul des aciers comprimés dans le cas où ceux-ci ne sont pas imposés

On ignore a priori si la section cherchée résulte d'un calcul à l'E.L.U. ou d'un calcul àTE.L.S.

a) Dimensionnement à l'E.L.U.

Compte tenu de la remarque 2 ci-avant, la section A'u nécessaire doit être telle que :

A;,.ascu(d-d') = Mu-M ;u [4]

avec oscu contrainte des aciers comprimés à l'E.L.U., déterminée par le diagramme de cal-cul des aciers, à partir de leur raccourcissement escu :

3,5sc" 1000

e =Œ

, s,_~ d

6'r^et,

Pour a,, voir remarque 1 au § 2.2.1.

Quels que soient fe, fc28 et 67, on a toujours oscu = fed lorsque S' < 0,10, ce qui est générale-

ment le cas.

h\ Dimensionnement à VE.L.S.

Compte tenu de la remarque 2 au § 2.2.1, la section A'ser nécessaire doit être telle que :

A'ser • Osc,ser (d - d>> = Mser ~ M;Ser [5]

avec CJscser contrainte des aciers comprimés à l'E.L.S., déterminée par le diagramme« figé » des contraintes :

1« — u

a~=15*Jbc (X 1.'

^ 3bc

ansc,ser

n

Pour oci;, voir remarque 1 au § 2.2.1.

c) Conclusion

Finalement, la section d'aciers comprimés à retenir est :

I A'A' = Max < u = Max

Aser

(d-d')o scu

set

(d-d')asC]Ser

En multipliant haut et bas le second terme de la dernière expression par le coefficient y et

en posant o = Min <a f .

» Min / ' , on évite le double calcul de A'u et A'ser etY- a 1 Y - o' HT. sp.r ' ssc,ser ^ ' sc,ser

il ne subsiste plus qu'une valeur unique :

M u- M /uA ~(d -d')asce

[6]

que l'on peut retenir comme valeur strictement requise.

La valeur approchée donnée en 2.3.3. pour asce évite tout calcul fastidieux de aH puis de

ï-«W

•2.3. Calcul des aciers tendus

a' Cas où la section A ' des aciers comprimés n 'est pas imposée

La section A' strictement nécessaire est déterminée par la relation [6].

L'équilibre des forces de la section (D exige de prévoir une section d'aciers tendus A2 telle

que :

- à l'E.L.U. : A2 . fed = A'u . Oscu

-l-o.,- à FE.L.S. : A2 . as,ser = A'ser. a^ avec : os ser = 15 obc

a,(pour au, voir remarque

au §2.2.1.).

La section d'aciers tendus à retenir, A = Aj + A2, est donc égale à la plus grande des deuxsections Au et Aser déduites des équations d'équilibre des forces :

« f la . ,A n . f e r i = — + A ' a??*-.: V: . i zw scu , .

M,,

soit respectivement :

/serA c _ r . a = + A' .o

Au = ^- + A'uy^

. / ser . , sc,serser = ~ + A-^~11 s,ser s,ser

Compte tenu de [1] et [2], les deux premiers termes des deux relations donnant Au et Aser

étant identiques :o

A,,= ^ + Ascu

Y- 0' s

Compte tenu de [4] et [5], les deux derniers termes des deux relations donnant Au et Aser

permettent d'écrire :

u z fLbl • Jed

M,u M u - M / u^ + (d-d')fed

I / u Mser-M /ser Y-Osc,ser M / u Mu-M ; u

fed ' (d-d')ascse/ y-osser zb;.fed ' (d-d')y.os

D'où, en posant :

scse sser

- G

i*•4*••J!

sc,ser

aboutit à la valeur unique :

A_ M,u

Z b/ - f ed

CTj. A ' sce

ase

[7]

La valeur approchée donnée en 2.3.4. pour ase évite d'avoir à calculer y • as „„.

Remarques :1) L'anomalie consistant à avoir des contraintes différentes (fed et ose) aux dénominateurs

des deux termes donnant A n'est qu'apparente : l'expression [7] a bien été obtenue àpartir des équations d'équilibre des forces.

2) Compte tenu de la relation [3] ci-avant, on peut écrire :1

Pour des aciers Fe E 500, le rapport — peut varier, selon les valeurs de Y. 0,çJ,4Ç ^«2»^ i i . * - ''" ' ' J • . = '•' , ? - ,rfAjr J', tCÏBi

(entre 25 et 35 MPa) de 1,02 à 0,95.

Il en résulte que l'on commet une approximation en général par léger défaut sur le termea

A' en prenant dans tous les cas ase = fed, mais que la valeura A =

M / u + A'b/ • ed

peut néanmoins être retenue pour une estimation rapide de la section d'aciers tendus.

b) Cas où la section des aciers comprimés est imposée

Soit Aî.ée) cette section.La section A' à introduire dans les calculs n'est pas nécessairement égale à A'réel. Il faut eneffet s'assurer tout d'abord que la longueur d'ancrage /a des aciers comprimés, de part etd'autre de la section droite où agit le moment Mu est au moins égale à 0,6 . Zs (cf. note audébut du § 2.2.), c'est-à-dire prendre :

A' = MinAL

, r é dO,6./ s : . , , j

avec les conditions supplémentaires : " ,.

" A' > —-—— sinon, on se trouve ramené au cas a) où la section des aciers compri-

mes n'est pas imposée,0,4 . Mu

* A' < à l'E.L.U., sinon, il faut modifier le coffrage (bQ et/ou d).

On procède alors de la façon suivante :~ on calcule : Mul = Mu - A' . osce (d - d'),

la section d'aciers tendus A] qui doit équilibrer Mul est déterminée en calculant :

M.,i i l

puis zb = d f 1 - 0,6 . ji J si |ibu < 0,275 (cf. § 2.3.1.) ou ° ' - , Sltl0]

lz b = d[l-0,4.o|

et enfin : A_

ul i A'f 1 t\Zb ' fed

asce

°se

c) Cas des sections à armatures symétriquesVoir annexe 1 en fin d'ouvrage et diagrammes d'interaction du § 5 au chapitre « FLEXIONCOMPOSÉE ».

2.3. FORMULES APPROCHÉES POUR L'E.L.U.

2.3.1. Bras de levier zb à l'E.L.U.

La courbe z,/d = f(u.bu) est peu concave et sa concavité est tournée vers le bas. On peut laremplacer par une corde, ce qui va dans le sens de la sécurité. Cette corde peut être définiepar deux points :

zb = d quand |ibu=0,lm,u=H/ u -

. • - 74'-'

• ' •<«". »'$••

En adoptant u,,u ~ 0,275 qui correspond sensiblement à fe = 500 MPa, fc28 = 25 MPa, 6 = 1et y » 1,4, on trouve :

zw=0,835d

d'où l'équation de la droite cherchée :

z, M-,...= l-0,6ji.d ' 0,275

Par conséquent on peut adopter comme valeur approchée par léger défaut :

2 3.2. Moment réduit limite u/u ;

En supposant que pour les valeurs courantes de fc2g, la variation de (i/u est linéaire relative-

ment aux trois quantités : —, feet 9y, on pose :9

On obtient pour Fe E 500 :fc28 = 25 MPa '

9=1

Y-1,5

9 = 1

y = 1,45

fc28 = 30 MPa

A . 1,5 + B . 25 + C . 500 = 0,3025

A . 1,45 + B . 25 + C . 500 = 0,2865, ' &«••- ,•. ?. &>!

A. 1,5 +B.30 + C. 500 = 0,32839 = 1

y=l,5

système linéaire admettant pour solution :A = 0,3220B = 0,0051C = -0,000613

d'où une formule approchée pour Fe E 500 et fc28 < 30 MPa :

C.500 = - 6,13.10 ~4.500 = - 0,3065

.30:1 .u»t• -! <:Hl/I

:.i;;V',i!'-.n

104filu= 3220 .&y +5ll^--3100

(MPa)

Pour Fe E 400 et fc28 < 30 MPa un calcul du même type conduit à :

= 3440.^-LU 8

(MPa)

-3 050

Si fc28 > 30 MPa, il faut utiliser les valeurs tirées du tableau du paragraphe 2.1.3. Qtt,^»

formule approchée ci-après car la variation de \Lla n'est plus linéaire en 9y et -9

V28

f,9 *c28En remarquant que le rapport - - varie de façon sensiblement linéaire en fonction de . ,

^/uon peut établir une formule approchée pour |0.,u dont le domaine de validité vis-à-vis de fc28est plus étendu que celui des formules précédentes et qui est de la forme :

c= a + b =>*c28

e

On obtient ainsi la formule approchée suivante, valable pour les aciers Fe E 500 et quel qUe

soit fc28 < 60 MPa :

*e28

150-75. 0.7+1,75 (2,5-0.7)-iry

2.3.3. Contrainte équivalente des aciers comprimés à l'ELU

Dans les cas courants (aciers Fe E 400 ou Fe E 500) la quantité 9.7.fc28/a, est sensiblementconstante pour fc28 donné :

9-yi

0!

6= 0 . 85

0 = 0 , 9 0

9 = 1 , 0 0

c28

1

7=1,351,401,451,50

écart (%)

y = i 351,401,45!.. 50

écart (y,)

7=1,35

1,40

1,45

1,50

écart ( X )

Fe

f c 2 8 = 2 5

6 5 8 , 2 96 6 7 , 2 96 7 5 , 8 46 8 4 , 2 4

3 .. 9

6 5 4 316 6 2 , 8 06 7 0 , 9 26 7 8 . 9 6

3,8

6 4 5 , 6 8

653 ,39

6 6 0 , 3 6

667,12

3 , 3

3 E 400

30

719,827 3 0 , 7 3mmmï?mmï

4 , 3

715,317 2 5 , 7 9

msmmm$$M&

4 , 2

7 0 5 , 6 9

714 ,68

i;i;?;?;?;>ii?ii;

&?!$$£3 , 6

35

lisiiiwmï&zïmmmM$M£

4 , 8

WMMwmmï&pip^&p;;;!;;$ij?;iiijÊ;;j

4 , 6

m&Mïmmm••••lii:

4 , 0

Fe

25

7 4 5 , 5 2754,187 6 2 , 7 5771,23

3 , 4

741,567 4 9 , 7 87 5 7 , 6 47 6 5 , 4 9

3 , 2

7 3 2 , 5 2

7 3 9 , 7 8

7 4 6 . . 8 7

753,76

2 , 9

E 500

30

807 ,33817,928 2 8 , 3 78 3 8 , 6 4

3,8

802 ,61812 ,928 2 2 , 4 1832,19

3 , 7

7 9 2 , 2 3

801,16

8 0 9 , 8 5

817,96

3 ,2

35

8 6 8 , 9 6881,588 9 3 , 9 79 0 5 , 7 3

4 , 2

8 6 3 , 8 08 7 5 , 8 5887 ,378 9 8 , 7 4

4 , 0

8 5 2 , 2 7

8 6 2 , 7 7

8 7 2 , 9 5

882,49

3 ,5

Dans ce tableau :- l'écart est mesuré entre les valeurs extrêmes pour fc28 et 0 donnés lorsque 7 varie ;- les cases grisées correspondent à 7 asc > fed.

On en déduit pour 0 = 1 :

' 'oc,

avec pour valeur de la constante A :A = a.fc28+p

En adoptant une valeur moyenne de A pour y compris entre 1,35 et 1,50, on trouve dans lecas des aciers Fe E 500 :

9 Y f- pour fc28 = 25 MPa : - — = 740

a,

- pour fc28 = 35 MPa :

ce qui conduit à :

= 870«1

a . 25 + p = 740a . 35 + P = 870

système linéaire admettant pour solution :

a =13p = 415

Le facteur correcteur à appliquer à 9.y.fc28/a1 pour tenir compte de la durée d'application

des charges peut être pris égal à :k=l,02 si 0 = 0,9k=l,04 si 9 = 0,85

d'où :

9.7 . f c 2 8 -ô ' (13. f c 28pour Fe E 500

avec :

l ,00sie=l

= { 1,02 si 0 = 0,9

1,04 si 0 = 0,85

'9 .7.f c 2 8-0,9ô'(13.f c 2 8+415)Kpour Fe E 400

avec :r l ,00si0=l

1,02 si 0 = 0,9

1,04 si 0 = 0,85

2.3.4. Contrainte équivalente des aciers tendus A2 :

• Nous avons établi au § 2.3.3. que, pour des aciers Fe E 500 et fc28 < 35 MPa :

a| = 9.Y.fc28-ô'[13.fcc28 ed

En posant k = — il vienta.

sce

13.fc28+415g cy • I • I c28

Comme

nous pouvons retenir :

' s,ser = 9 . Y . f rc28 a,

1c28

13.fc28 + 415

9 . Y - fK-l

c28

soit :

f(13.f c 2 8+415)K-9.y.f c ;

avec :

rl,00si0=l

= <( 1,02 si 0 = 0,9

11,04 si 0 = 0,85

De la même manière, pour les aciers Fe E 400 et fc28 < 35 MPa, on peut établir que

0,9(13.fc28 + 415)K-9.Y.fcc28

avec :

'1,00 si 0=1

K = { 1,02 si 6 = 0,9

, 1,04 si 0 = 0,85

3 SECTION RECTANGULAIRE - FISSURATION PRÉJUDICIABLE0U TRÈS PRÉJUDICIABLE

3.1. ÉTATS-LIMITES D'OUVERTURE DES FISSURES

En plus de la limite imposée à la contrainte maximale du béton comprimé, on limite lacontrainte de traction des aciers à l'E.L.S. aux valeurs suivantes :

ronds lisses : o^=— tf

* Fissuration préjudiciable :CO,5.£F

* Fissuration très préjudiciable :

ronds lisses

barres HA :

' ï? .£ t j (HPa)

. 2 ,

(MPa)

3.2. NOTION DE MOMENT RÉSISTANT BÉTON : Mrb

.A.Njil

'bc

Déformations Contraintes Efforts

MOMENT RÉSISTANT BÉTON =jnoment pour lequel on atteint l'état-limite de service

par compression du béton (abc = abc ) lorsque la contrainte de l'acier tendu os est inva-

riable et égale à sa valeur à l'état-limite d'ouverture des fissures : as

On a donc pour n = 15 :

15.a, = , =

'bcd 15.a. +abc s

= . bo. yi - obc

Mrb = Fbc. zb = -= . b0 . yi . abc. d •

D'où le moment résistant béton réduit :

M,

3.3. CALCUL DES ARMATURES

3.3.1. Cas où Mser < Mrb

On a abc < abc avec as = as d'où A' = 0.

iLes équations pour le calcul des armatures tendues sont :

'bc

avec :

a

1-a(relation dans les triangles semblables)

On en déduit :

M =-!. a,2(l-ai/3)-i " b0d2as 30 1-cc," 3 0 1 - OC;

• et] par résolution de cette équation du troisième degré en OC[

La représentation graphique de zb/d = f(|0,s) est la suivante :

d '

0 , 9 5

0,89

0 , 8 5

0 , 8 3

0,810 , 8 0

\

\

\\\\\\\\\\\\

V^\

^^^^

!

\

£-, rH'i'<.'!j\?, (4

.-. -! • :uQ

ser

0 , 0 0 1 0 , 0 0 5 0 , 0 1 0 0,015 0 , 0 2 0 0 ,025 »"«'b0~d2B£

Pour une estimation rapide de Aser, à défaut d'une évaluation plus précise (cf. organigrammedu § 8.3.), on peut utiliser une valeur approchée par défaut de zb qui conduit à une sectionAser par excès (pouvant atteindre, dans les limites du graphique ci-dessus, 10 % en moyenne) :

15-°* 1

ser"ser

^•^15 .a. +obc s

3.3.2. Cas où Mser > Mrb

Onaobc> a^ d'où i l faut d e s aciers comprimés A'. • ' . . • ' <

On décompose la section réelle en deux sections fictives (voir paragraphe 2.2.1.) :- une section fictive ©, de largeur b0, sans aciers comprimés,- une section fictive ©, sans béton, munie de la section A' d'aciers comprimés.

a) Section A ' d'aciers comprimés

La section fictive © équilibrant Mrb, on a :

15. ÔT.oc, =1 15.07+0^bc s

a. -5'a = 15.07.-sc bc „a.

Jbc

A ' = -Mser- M r b

(d-d ' ) .ase

n=15

dans la section ® avec A'

b) Section Aser d'aciers tendus

Dans la section fictive © sans aciers comprimés :

M* ,A j = _ avec z b = d 1 - —z b - a

s

Dans la section fictive @ avec aciers comprimés :

A ' 0*A = A . ^=r

D'où au total :

ser-LU , i *^ ^+A ^5?

d . ( l _ ± j

3.4. CONCLUSIONEn cas de fissuration préjudiciable ou très préjudiciable, Aser étant la section calculée au § 3.3.la section des armatures longitudinales tendues est obtenue comme suit :fissuration préjudiciable :

[FeESOO : A= Aser

{Fe E 400 : A = Max[A „ A ser]\C> > 6 mm dans tous les cas

fissuration très préjudiciable :

IA = A ser quel que soit fe

\<S> > 8 mm

4. COFFRAGE DES SECTIONS RECTANGULAIRES

Indépendamment d'autres conditions (relatives à la contrainte tangente, à la flèche, etc.),il est obtenu en se fixant comme condition de ne pas avoir d'aciers comprimés.

4.1. FISSURATION PEU PRÉJUDICIABLE

1-, H^ sb0.d JLMU

*lu'fbu

4.2. FISSURATION PRÉJUDICIABLE OU TRÈS PRÉJUDICIABLE

f MUbg.d2 .> Max< lu' bu

S Mser

''rb.V

• ' j*; '.?« mo'i• • ' , • • •••• . • i i ! j ' ; . ' j !M)q

, • ::, ,; , :ï.i.,a; . •'' • • . ) ; • • . i'if.'u/;;

• • • ; / ,.'àui» . ^s/ 5 r* ï *****

»,'

^4.3. REMARQUE

Pour déterminer la seconde inconnue du problème, une règle de bonne construction consis-te à prendre : _

Q , 3 . d < . b 0 < . 0 , 5 . d

5. SECTIONS EN T

5.1. LARGEUR DE TABLE À PRENDRE EN COMPTE

II faut considérer :

I II II II Ii ri i

h/io-

r~__Arc_tg_ 2/3. _

lt

De plus, on ne doit pas attribuer la même zone de table à deux nervures parallèles diff-rentes. D'où en travée : e-

b~b° M '— = — = Min <&) U

f T

lt - entre nus des nervures de poutres,/; = portée de la travée considérée.

5.2. DIMENSIONNEMENT À L'E.L.U.

Pour les aciers Fe E 500, le dimensionnement est fait à l'E.L.U. lorsque la fissuration estpeu préjudiciable.

Dans le cas d'une section soumise à un moment positif, comme la table est le plus souventsurabondante vis-à-vis de la compression, on n'a généralement nul besoin d'aciers compri-més. Nous ne nous intéresserons donc qu'aux sections en T sans aciers comprimés.

5.2.1. Moment de référence

Ce moment est un moment-frontière qui sépare les cas où la zone comprimée de lasection a une forme rectangulaire de largeur égale à celle de la table, de ceux où la zonecomprimée a une forme de T.

Il ne doit pas être confondu avec le moment limite ultime défini en 2.1.3. page 116. Il n'aévidemment aucune signification pour une section en T soumise à un moment négatif,puisqu'alors la largeur de la zone comprimée est égale à la largeur b0 de la nervure. Dansce dernier cas, la notion de moment limite ultime reprend tout son sens.

fdllf r*

Lbu

Section Contraintes E f f o r t s

Moment équilibré par la seule table soumise sur toute sa hauteur à la contrainte uniformefb u :

Fbc = b.h0.fbu

MTu = Fbc.zb

p'où

5 2.2. Calcul des armatures pour une section soumise à un moment positif

a)CasoùMu<MTu • „*;

La zone comprimée a une forme rectangulaire de largeur b. ;Mous sommes donc ramenés au calcul d'une section rectangulaire de largeur b (et non plusb0). Le calcul des armatures s'effectue donc par la méthode exposée au paragraphe 2.1.1. à

partir de :» x

Vto = -

b) Cas où Mu > Mfu

II ne faudrait pas conclure qu'il faut des aciers comprimés. Cela signifie seulement que lazone comprimée a une forme de T : non seulement la table est comprimée sur toute sa hau-teur, mais une partie de la nervure l'est également. On opère par décomposition de la sec-

tion réelle en deux sections fictives : *

f

M - M +u ul

Section fictive ® : Fbc2 - (b - b0).h0.fbu = A2.fed

hoZb2=d-

2

Mu2 = Fcb2 . Zb2 = (b - b0) . h0d - - . fbu = MTu .

b-b0

Section fictive © :t b-b M

I U ,=M U -M U 2 =M U -M T U . - V

ul,2 f

0 • ° • rbu

> a=1,25. (1-71-2. bu;> z b l = d ( l - 0 , 4 . < x )

ou formule approchée pour zbl si [Lba < 0,275(cf. paragraphe 2.3.1.)

A , =Zbl • fed

Total :

b-b

A u = -blfed

Pour la section fictive ©, rectangulaire, dans le cas où ^bu > n/u, on serait tenté de prévoirdes aciers comprimés afin de ne pas atteindre obc = 0,6 . fc2g sur la fibre de béton la plus

comprimée. Mais comme la table de la section réelle est capable d'équilibrer un effort decompression largement supérieur à celui correspondant aux aciers comprimés que l'on dis-poserait dans la section ©, il est inutile de prévoir de telles armatures.

En revanche, il y a lieu de mettre des aciers comprimés dans la section fictive © si [iba > |is,pour bien utiliser les aciers tendus à l'E.L.U. (as = fed comme vu au § 2.1.3.). Dans ce cas,les calculs sont conduits avec :• le moment limite Ms/ (au lieu de M,u),• la contrainte ascu (et non osce) pour les aciers comprimés,• la contrainte fed (et non ase) pour les aciers tendus,d'où :

A ' = -M o

(d-d')oet A =

zb • fed- + A'

ed led

avec :

a=l ,25[ l - N / l -2 .n , / Jzb = d[l-0,4.a]

=3,5 oc-ô' d' *edsi e < —scu E

5.3. DIMENSIONNEMENT À L'E.L.S.Le dimensionnement est fait à l'E.L.S. lorsque la fissuration est :- préjudiciable- ou très préjudiciable.

e 3.1. Moment de référenceCe moment est un moment-frontière qui sépare les cas où la zone comprimée de lasection a une forme rectangulaire de largeur égale à celle de la table, de ceux où la zonecomprimée a une forme de T.Il ne doit pas être confondu avec le moment résistant béton défini en 3.2. page 129. Il n'aévidemment aucune signification pour une section en T soumise à un moment négatif,puisqu'alors la largeur de la zone comprimée est égale à la largeur b0 de la nervure. Dansce dernier cas, la notion de moment résistant béton reprend tout son sens.

À . N .

Moment équilibré par la seule table entièrement comprimée pour atteindre as dans les

aciers tendus :

Miser = - • b . tl0 . Obc . d-11"avec

as ho

15 d-ho

D'où:

M - °S

"Tser 30

d h°~ b h 2

Cette valeur est environ huit à quinze fois plus faible que MTu. On a donc, le plus souvent :

Mser > MTser, même lorsque Mu < MTu.

S-3-2. Calcul de A s r

La zone comprimée a une forme rectangulaire. Considérer la section rectangulaire delargeur b. À défaut de la valeur exacte du bras de levier zbl, il convient, pour un calcul

aPproché, de prendre ici : z. , = d - —bl a

b) Cas où Mser > MTser •••« ; > ; r

• La zone comprimée a une forme de T. Non seulement la table est comprimée sur toute sa' hauteur, mais une partie de la nervure l'est également. Le calcul exact exige des itérations

(équilibre du moment de service à partir d'un diagramme des contraintes défini par Os pOUr

°s ho _les aciers tendus et abc compris entre • , _ , et obc pour le béton le plus comprimé).

Le bras de levier est donné par des expressions approchées :

zbl = 0,99. d-0,4. h0

h nou

zbl=0,93.d

D'où:

avec :

Plancher des bâtiments,

Ouvrages d'art.

fissuration préjudiciable:</>_> 6mm

fissuration très préjudiciable:

$2 8mm

6. POURCENTAGE MINIMAL D'ARMATURES

La sollicitation provoquant la fissuration du béton (at = ft2g) de la section supposée non

armée et non fissurée doit entraîner dans les aciers tendus de la section réelle une contrain-te au plus égale à fe.

6.1. CAS DES SECTIONS RECTANGULAIRES

Contrainte de traction du béton dans la section supposée non armée et non fissurée :

À . N

h_2

^Mf^^M^^i ^ h2I b0 . h2 6 if

Armature équilibrant ce moment sous une contrainte égale à fe :

Mf \

Z b - f e

= 0,9 . d )

A = -.1 ftj . bo . h

6 0,9 . d .d = 0,9 . h

Pourcentage minimal d'armatures :

=> A = 1 ftj . bo. d

6 . 0,9

Àmin - n --f t j

f e • •>? * ' >

Attention, cette formule ne s'applique pas aux sections en T, qu'elles soient soumises à desmoments positifs ou négatifs, et qu'elles aient été calculées comme des sections rectangu-laires de largeur b0 (ou b suivant le signe de moment) ou décomposées en sections fictives.

Remarque : la vérification A > Amin ne s'impose :- à l'E.L.U. que si jibu < 0,03- à l'E.L.S. que si m < 0,0018.

6.2. CAS DES SECTIONS EN T6.2.1. Caractéristiques géométriques et mécaniques d'une section en T, non armée

e t n o n f i s s u r é e . . » . , .

y 1 1

L^h

7

«

^

(§T

\ . ,

J-'

f

v

v

Position du centre de gravité :

~(b-b0).ho]

v = h-v 'Moment d'inertie :

I = b0 . - + (b - b0). — - [b0 . h + (b - b0). h0] v,2

>2-2. Section en T soumise à un moment positif

' Sollicitation de fissuration

ÈM f . v

ct= ï = f t j =>

• Section minimale d'armaturesEn prenant: zb = 0,9 d = 0,81 h

MfOn a: A

^min —

min 0,81. h.v

6.2.3. Section en T soumise à un moment négatif

Dans le cas où M < 0, la formule du paragraphe 6.1. ne convient pas, même si, pour les cal-. culs en section fissurée, la zone de béton comprimée ayant comme largeur réelle celle de la

nervure, la section en T est assimilée à une section rectangulaire de largeur b0.La sollicitation de fissuration est :

M f= ft i 4r y v

et la section minimale d'armatures est donnée par :

i ft,r t m i n 0 , 8 1 - n . v ' " f e

6.2.4. Remarques

• Le plus fréquemment, la vérification est faite pour j > 28 jours. Il convient alors de rem-placer f tj par ft28 dans les formules précédentes.

• Une valeur plus précise de Amjn est obtenue en prenant :

zb = 0,95 d = 0,85 h pour les sections rectangulaires

b.0,97- 0,04 - pour les sections en T.

7. VÉRIFICATION DES CONTRAINTES À L'E.L.S.

7.1. POSITION DE L'AXE NEUTRE

7.1.1. Section rectangulaireConsidérons une section rectangulaire b0.d :

d

A

-1r_-_-_-j

:d1°^ rbc'

L'équation d'équilibre des forces s'écrit :

soit :

Les contraintes as et osc valent :

o =15.abc

d-y,Yi

et o ,_= 15 . oy.-d'

L'équation d'équilibre des forces s'écrit alors :y

'

bc

- = 15 . A. a.d-y,

Yibc- J \

D'où en éliminant obc, on obtient l'équation :2

^^L+15.A'(y1-d')=15.A(d-y1)

qui traduit l'égalité des moments statiques par rapport à l'axe neutre de la zone compriméed'une part et des aciers tendus de l'autre ou, si l'on préfère, que l'axe neutre passe par lecentre de gravité de la section homogène réduite. Pour cette raison, l'équation précédenteest appelée « ÉQUATION DES MOMENTS STATIQUES ».

'.1.2. Section en TPour une section en T dont l'axe neutre tombe dans la nervure, yl est racine de l'équationdes moments statiques avec n = 15 :

b n .

Soit une équation du second degré en y, (y2 - Sy j + P = 0) avec :

P = Yi-V' i < 0 => deux racines y, et y' l designes contraires,f"(Yi) = b0 > 0 => concavité vers les f(yi) > 0.D'où, pour une section en T, on commencePar regarder si elle se comporte ou noncomme une section rectangulaire de largeur b(équation des moments statiques de la sectionrectangulaire avec b0 = b) :

f(ho) < 0 => ho < yt et l'axe neutre tombedans la nervure => compor-tement en section en T,h0 > y j et l'axe neutre tombedans la table => comportementen section rectangulaire de lar-geur b.

f ( h Q ) < 0

IIf ( h Q ) > 0

II

*(no) > 0 VylSection Section

en T rectangulairebd

7.2. CALCUL DES CONTRAINTES"*' "i " 1

7.2.1. Cas des sections en T avec f(h0) < 0 1

h0 < y, et section en T.L'axe neutre est défini par :

r b jfr ' À ' ' / J - ± °bc

- ' ' À / n-15

A Vn

2

+ Mb hn^ hn 4- n ( A -1- A ' Yl \/, h-. l.~\ ^ i . . A J i _ A > J ' rvT û UQ) UQ+ n\s\ + A )\yi l u — bol (• nAd •+• nA d =0• 9L ^

Le moment d'inertie par rapport à l'axe neutre (zone comprimée considérée comme diffé-rence de rectangles ayant tous un côté commun avec l'axe neutre) vaut :

j . • ,,

D'où les contraintes en posant :

v Mser —

K- OKC = K . y, < Ohri\

_ rr / , ,\cisc- n . K(yi-d ' )Osc= 15 . K(yi -d ' )G ~ n K(d vi) \n is \Ï(A \ ~ CTs si fissuration préjudiciable ou très préjudiciable.

7.2.2. Cas des sections en T avec f(h0) > 0

h0 > y, et section rectangulaire de largeur b.Faire b0 = b dans les formules ci-après

7.2.3. Cas des sections rectangulaires

Dans ce cas les valeurs de y, et de I, sont données par les relations :2 •>

0 « Vi DO Vi2 — + n(A + A )y i -n(Ad + A'd') =0 Ii = — = — + nA' (yt -d^ + nAfd-y!) 2

p0UR LE DI

g.l. SECTION

1

MENSIONNEMEN

RECTANGULAIRE -

~

d

^ —.'

bo |

, _ M uT ~M 8 er

M^^bu=h jfbO'd fbul

P\u t irédes

t ab leaux du '§2.1.3.

\^JÂ'=0>JA'^0

Mlu Îu-b0d fbu1

( 9.ï.fc28-Ô'(13 fc28+415)K-435 MF

"=;rp=S( 9.-y.fc28-0,9.6'(13.fc28+415)K <348

1A, _ MU-M|U

u (d-dKce

1

(1)ousif c 2 8

3.=125[1-VTT^"

IZbpdII-D.4.0.,]

1

A M|u lA' "sce

U^bl fed U Wi^

fwS 30 MPa :

t ^ ^ ^ O C V + S l c^^ 31

f 3440.0y +49.£ c 2 a 305

fT DES ARMATURES

DIMENSIONNEMENT À L'E.L.U. {

'Sollicitations : > -, : «. . . ,. . .... ^ ,

Mser. ' .;••;•' ,

'Matériaux : ; -', i ..

f n n^ fc28 'fb^,.,b'

ea 7S

f -(-.-n R4fi nfi f

^>-jj\ "i ^n n?^> ^ L..<Jf 0^X Méthode

^^S' exacteÏMéthode

~ simplifiée

a=1.25[1-\/1-2./tbu]

a Fe E 500

M P a F e E 4 0 0 zb=dl1-°.6-/'bul zb=d[1-0.4.o]V 'h

„ Mu"U"Ved

J~~~^ f3as de;£ nn^\ > vérification de

SÇbu u.uj^j [Amm

Tjvérifier l A = j A u lArnin

ft-,Q

\/orifior A > A — 0 93 h fi

el(

00 FeESOO

50 FeE400

TION EN T - DIMENSIONNEMENT A L'E.

b

y V jf

V

-à.J. bo J.

Mu

'~Mser1

hozb-d-y

^\

L.U. /M.)!

i('Sollicitations :

Mu. ;"Mser

'Matériaux :

f Q Qr fc28

b U_ê-^b'ed ys '

sbc=3'5%°.f+oQ— 0 6+0 06 f ^nizo • ' • c2o'

\

r U Rei-tion \ u Tu^ gec

rectangulaire ^~~^ en Tb-u-d"X"

Appliquer l'organigrammedu paragraphe 8.1.avec :

bn=bA Mu

~" " zb fed

ion "'u1 '"u "Tu-^

Appliquer l'organigrammedu paragraphe 8.1.avec :Mu=Mu1

Â Mu1 ^~bo'hO'fbuu zb.f d f ,

1 N

^B=b0.h+(b-b0)hQ

^ b0.h2+(b-b0)h

2D

V 2.Bv=h-v'

q 3

A .A - I ft28u '""" 0,81. h. v fe

8 3. SECTION RECTANGULAIRE - DIMENSIONNEMENT À L'E.L.S.

• ",. • a '--'*, * '

d^S'df A'

-û-

15.ÔT"— bc

I- _L rti . i

d2(Jbc

< A'=0

Mserb?.d^.gs

Méthode exacte | Méthode simplifiée

I 'Abaque ou I 40/i,+1. . . _ i o j r stableaux —

Mserser~ zîn

Pas devérification de Amjn

Vérifier Aser> Amjn =0,23-p-bg.d

'Sollicitation :

'Matériaux :

- 5 '

Aser

Zbï

Mser-Mrb(d — d') (7SC

= d(1-^-)

Mrb «se

i .,• P

:•"..•<!

8.4. SECTION EN T - DIMENSIONNEMENT A L'E.L.S.

^Sollicitation :M•--et

'Matériaux :

V'*s.fl28=0.6«].Q6.fc28.

Vl 1 ser- d-ibas 3 bh230 (d-h0) *-*0

Section en Tl>nn

_CO,99.d-0,4.h0 ou d— Q

i

A _ M se rSer zb1.ôi

rectangulaire bxd

bâtimentsponts

Appliquer l'organigrammedu paragraphe 8.3.avec :

b[)=b

et comparer Aseràci-après

1B=b0.h+(b-b0)h0

^ b0.h2+(b-b0)hg

2.Bv=h-v'

t28~

9. VÉRIFICATION À L'E.L.U. D'UNE SECTION RECTANGULAIREDONT ON CONNAÎT LES ARMATURES

Voir annexe 2 en fin d'ouvrage, page 433.

II. EXERCICE N° 1 : FISSURATION PEU PRÉJUDICIABLE.. SECTION RECTANGULAIRE AVEC ACIERS COMPRIMÉS

— ÉNONCÉ —

rA ' COUPE ÀÀ3cm

1 = 6, 85m j^ ± 55cm

, 18cm

->'•

60cm

• Actions uniformément réparties de durée d'application supérieure à 24 heures :

- permanentes : g, = 5,30 kN/m (hors poids propre),

- variables : q = 22 kN/m.

• Fissuration peu préjudiciable.

• Matériaux :

- béton : fc28 = 25 MPa,

- aciers : Fe E 500 HA.

• On se propose :

1) de déterminer le ferraillage de la section médiane,

2) de calculer les contraintes à l'état-limite de service.

— CORRIGE —

• CARACTÉRISTIQUES DES MATÉRIAUX

l. BÉTON

fbu = 0,85.Lc28 25

= 14,2 MPa

obc = 0,6 . fc28

fbu =

=0,6.25 = 15 MPa

1.2. ACIERS

g: •'$ ;iYs

4d =son3 ^1,15

= 435 MPa

2. SOLLICITATIONS DE FLEXION

2.1. ÉTAT-LIMITE ULTIME DE RÉSISTANCE

Actions au ml :03 = poids volumique du béton 05 = 25 kN/m3

armé

g = g, + C3.b0.h

Pu=l,35.g+l,5.qg = 5,30 + 25 . 0,18 . 0,60 = 8 kN/m

pu= 1,35. 8+ 1,5. 22pu = 43,80 kN/m

Moment fléchissant maximal :

/2

Mu = Pu . - Mu = 43,80 .6,85

Mu = 256,90 mkN

2.2. ÉTAT-LIMITE DE COMPRESSION DU BÉTON EN SERVICE

Actions au ml :

pser=8,00 + 22

pser= 30,00 kN/mMoment fléchissant maximal :

l2

Mser = pser . —8

23. COEFFICIENT y

M,,

MSer = 30,00 .6,85

Y =Mser

Mser =175,96 mkN

256,90y = - -=1,46

175,96

3. MOMENT LIMITE ULTIME

Par la formule approchée valable pour Fe E 500 et fc28 < 30 MPa :

104ii/u= 3 220.0Y+ 51. - 3 100 10*^ = 3 220 . 1 . 1,46 + 51 . -y- - 3 1006

(MPa) 10*^=2876,2[ila= 0,288

4. CALCUL DES ARMATURES TENDUESET DES ARMATURES COMPRIMÉES ÉVENTUELLES

4.1. NÉCESSITÉ D'ACIERS COMPRIMÉS

M,. 0,2569bu u .2 fb 0 .d .fbu

0,18. 0,55 . 14,2= 0,332

mu = 0,332 >n;u = 0,288

=» II faut des aciers comprimés si on ne peutpas changer b0, d ou fc28.

4.2. CALCUL DES ACIERS COMPRIMÉS

Contrainte des aciers comprimés :

Fe E 500 et 6 = 1 =>

0Sce = 9.y . fc28-5 ' (13.fc28+415)K

Aciers comprimés :

-d1) . Os

= 9.1,46.25-^(13.25+415).l

osce= 288,1 = 288 MPa < 435 MPa O.K.

M,u= 0,288. 0,18. 0,552. 14,2

M,u = 0,223 mMN

. , 0,2569-0,223 1rt4 2A = - - 10 = 2,26 cm(0,55 - 0,03) 288

Retenons 2 O 12 HA :

A' = 2 .1,13 = 2,26 cm2

4.3. CALCUL DES ACIERS TENDUS••'"'•'! l •' '

Dans la section fictive ® avec aciers comprimés :

ase = (13.fc28 + 415)K-9.y.fc 2 8 oœ = (13 . 25+ 415) 1-9 . 1,46. 25

Ose = 411 MPa < 435 MPa O.K.

Dans la section fictive ® sans aciers comprimés :

• < 0,275 => Méthode | bu = 0,288 > 0,275 => Formules exactes

• a ;=l,25(l-x / l-2. | i / u) a, = 1,25(1-VI-2.0,288)

zbl = d(l - 0,4.0,)

A =

a, = 0,436

zw = 0,55(1 - 0,4 . 0,436)

zb;=0,454m

•7 fzw ted0,223 . 104 , „ 288 2

A = 0,454.435+2'264lT=12'87cm

En adoptant la formule approchée :

M,..+ A' —— , on aurait trouvéA =

/ u

Zbl ' *ed

A = 12,79 cm2 (mais l'écart peut être plusimportant).

4.4. CONCLUSION

En prenant trois files verticales :2 cD 25 HA + 1 4) 20 HA : A = 2 . 4,91 + 3,14 = 12,96 cm2

2^12 HA

60cm

^ 3cm

J5cm

l4>20 HA

2</>2S HA

£ 18cm

4.5. SECTION MINIMALE D'ARMATURES(ibu >< 0,03 |abu = 0,288 > 0,03

A > A^ sans qu'il soit nécessaire de calculer

5 CALCUL DES CONTRAINTES À L'E.L.S.

5 j. POSITION DE L'AXE NEUTRE

Pour éviter les risques d'erreurs dues à un nombre élevé de décimales, on commence parexprimer les longueurs en cm et les aires d'aciers en cm2.

d'

Q

À

bo

'

CTbc b

\ /CT=^ / ° l~là 'y K-V d=55cm

~~A h'=2'.2ècm.~°J7 n=15

s/n I T

° ' - + n (A + A') yi - n (Ad + A' d ' ) = 0

- yi + 15 (12,96 + 2,26) yi - 15 (12,96 . 55 + 2,26 . 3) = 0

--' "V-V-

£S*0

9,00 . y; + 228,30 . y, - 10 793,70 = 0

A = 663,85

- 228,30 + 663,85y i= =

2 . 9,00cm

f*c*-.

5.2. MOMENT D'INERTIE

Ii = b0 — +nA'(y i-d ' ) +nA(d -y i )

I1=18 24'20 + 15 . 2,26 (24,20-3) 2 + 15 . 12,96(55 - 24,20):

3

. CONTRAINTES

K=M<"II

°bc =

I, = 284 687 cm4

K= °'175% = 61,81 MN/m3 , - , ,284687 .10~8 "J "

abc = 61,81 . 0,2420 = 14,96 3 - i - lobc = 14,96 MPa < 15 MPa O.K.os = 15 . 61,81(0,55 - 0,242) = 286 MPaasc= 15 . 61,81(0,242 - 0,03) = 197 MPa

a s=n.K(d-y,)osc=n.K(yi-d')

Nota : on remarque que y osc = 1,46 x 197 = 288 MPa = osce = 288 MPa obtenu par laformule approchée.

III. EXERCICE N° 2 : FISSURATION PRÉJUDICIABLE -

- aciers : Fe E 500 HA,- grosseur du granulat : cg = 2,5 cm.

- On se propose :1) de déterminer les armatures en travée dans les poutrelles,2) de calculer les contraintes à l'état-limite de service.

— CORRIGÉ —


:"/\?

1.1. BÉTON

',•28=14,2 MPa

Obc =0,6.fc28

ft28=0,6 + 0,06.fc28(MPa)

^ = 0,85.^

ôb^ = 0,6 . 25 = 15 MPa

ft28 = 0,6 + 0,06 . 25 = 2, 10 MPa

j 2. ACIERS

SECTION A TABLE DE COMPRESSION

— ÉNONCÉ —

fissuration 1— -. pj-éjudiciable/

VUE EH PLÀH<

( ™V cm^^^

A™

f~

I I 2 , 4 4 m 1 1 2 , 4•f A n n22 22cm cm

' n f*riiTT>ir Aî -, 30cm L-UUft A_k

/ 10 ,00m l ' f l B c m

k I I 2 , 4 4 m<i '. 3Ûcm ^_, n

À

_~5~^u 85

cm

^r 22 224m L i cm cm

'1 T22cm

• Actions uniformément réparties de durée d'application supérieure à 24 heures :- variables : q = 10 kN/m2.

• Fissuration préjudiciable.

• Enrobage = 3 cm.

• Matériaux :- béton : fc28 = 25 MPa,

s•/•*

2. SOLLICn

2.1. ACTIONSPoids proprePoids propre

a =[0,5fe — _M (0,5.500 =250 MPa

| . f t j (MPa) °s~ 3X \110V 1,6. 2,10 =202MPa

ô~ = 250 MPa

2. SOLLICITATION DE FLEXION DANS LES POUTRELLES

2 ,66m

25 kN/m3. 0,15 . 2,66 = 9,98 kN/m25 kN/m3. 0,70 . 0,22 = 3,85 kN/m

g = 13,83 kN/m

2.2. ACTIONS VARIABLES10 kN/m2. 2,66 = 26,6 kN/m = q


Charge :

Pser=g + q


Mser = Pser . -

pser= 13,83+ 26,6pser= 40,43 kN/m

= 40,43 . 10,00

Mser= 505,38 mkN = 0,505 mMN

3. ARMATURES

3.1. LARGEUR DE TABLE À PRENDRE EN COMPTE

Arc tg 2X3 ,k-C - - t

/ = portée des poutrelles /t = entre nus des nervures

b-bo ... 10— = Mmh2

b^° = Min' 10

=^ = 1,22m2

b = 2.1,00+ 0,22 = 2,22 m

3.2. DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE A L'E.L.S.

a) Moment de référence

M250

Tser 30 ' 0,80-0,15

MTser= 0,480 mMN

2,22.0,15"

b) Armatures à l'E.L.S.

Type de section à considérer :MserxMTser

Armatures :zbl = 0,99d - 0,4h0

M,

Mser= 0,505 mMN > MTser= 0,480 mMN=> la zone comprimée a une forme de T et

l'A.N. tombe dans la nervure

zb, = 0,99 . 0,80 - 0,4 . 0,15 = 0,732 m

0,505 . 104

3.3. CONCLUSION - ARMATURES À RETENIR

A = 27,60 cm2a) Section calculée

A = A

, , pourcentage minimal d'armatures

f —t

À . N .

b = 2 , 2 2 m

B = b0 . h + (b - b0) h0

b-b0=2,00m

h = 0 , 85mh g = 0 , 15m

B = 0,22 . 0,85 + 2,00 . 0,15 = 0,487 m2

v = 2,00^15! = m

2 . B

= h-v'

I 't28

2 . 0,487

v = 0,85 -0,209 = 0,641 m3 3

I = o,22 °- 5_ + 2,00 - - 0,487 . 0,2092

3 3

I = 0,0260 m4

0,0260lin 0,81. h . v ' f.

min 0,81.0,85.0,641 '500^rlO4 >1

Remarque : avec

0,97-0,04 T et d = 0,9 h

Amin = 2,47 cm2 < A = 27,60 cm2 O.K.

0,220,97-0,04 —

2,22

zb = 0,869 h (au lieu de 0,81 h)

on peut obtenir une valeur plus précise pour Amin :

c) RetenuA A = 27,60 cm2

Retenons deux files verticalesPas plus de deux barres superposées dans chaque file verticale.

c = Max < <ï>11 cm

Lit 1: 2 <ï> 25 HA => 2 . 4,91 = 9,82 cm2

Lit 2 : 2 25 HA =» 2 . 4,91 = 9,82 cm2

Lit 3 : 2 4) 25 HA => 2 . 4,91 = 9j2_cn^

A = 29,46 cm2

( e = 3 cmc = 3 cm = Max ( 2,5 cm

1 cm

<"• "•'•• Fissuration \ ''•^ -*'"- j • ui / =* O>6mm 6 mm O.K.

, préjudiciable 1 nun

75 ~~^25 g ., ,t..

.. ..525. _ m '2 5 ffi x : .Xî = 4 ^__J £f

'.i 1n ' ' 3 '

L,*5 H5 fcK.1T 1 f

5,25 +7,75 + 12,75 _ g 5g

3d = h - x = 85 - 8,58 = 76,42 cm

4. CALCUL DES CONTRAINTES A L'E.L.S.

4.1. POSITION DE L'AXE NEUTRE

b b = 2,22m

1 1 K K °bc u b0 = 0,22m

' 1 : : 1 K 1 V S X K- ° - SSr H 7A 401 , i _ _L 0 y-i /N£ K ^ / K ~ > - ~ T d — 76,42 cm^ ri i ç K £ ixd À . N . " " * / h0=15cm

' ' -^"^~ — ' n= 1 5 A - ?Q 46 cm2

bJ /n is}f y n= 15

u 2 [ , 2 ]°yl 1 °2 L J 2

bo^n r n h0fiT» \ l U h K M ï l n A 1 Vi /K h ~ \ _ L r » A H

2 L ^ 2

b - h of /K \ _ 0 . A U n \ H ^ ^ O

222 2 . ^f ^ h ^ — 1 S + 1 S 70 4fi 1 S 1 S 7Q 4fi 7n 4/*- 0^ ' ^"'Hu • 1J 1J • *3'»'HJ . /«>•»*•

f(ho) = -2166,50cm3<0 H=> A.N. dans la nervure. H

• } > K 2

(• boyi 22 7

II [(b b)h%nAdl 0 ' - 200152 + 15 2946 7642-0

m'' I lyi2+ 3 441,90^- 56 270,00 = 01 s ' * . , • ,m ' ;, 2 •". ••-'- -••..VA.trj

|K A - 3 784 52 •**>•li . - ' ....i• -3 441,90 + 3 784,52 _155?

• y' 2.11 '

4.2. MOMENT D'INERTIE ^ ' 'A *• . . ' : ' : fîK-m'HJ -

. ' ' , .yi , u , ( y i ~ h o ) 3 15,573 (15,57-15)3

^ r — h f h h \ i T T>O onn \ ' ' m^ i, b 3 - (b b0) 3 i i,_^ 3 .00 3 i ,a

^P ... nA(d - y,)2 ... 15 . 29,46 (76,42 - 15,57)2 ^^*_

I1= 1915 538 cm4 ; ,«

, . ' ,>«

4.3. CONTRAINTES

l- Mser T^ °'505 1ft^\/IXT/m3K - — - — K ' 26,36 MN/m11 1 915 538 . 10~8

. iobc = K.y, 0^= 26,36 . 0,1557 = 4,1 MPa < 15 MPa O.K.

os = n.K(d -y,) os = 1 5 . 26,36 (0,7642 - 0, 1 557) = 240

os = 240 MPa < 250 MPa = ÔJ O.K.

Remarque : , • , »• j

z _ Mœr _ o,505. 104_Q714m (d hoô^Â.a s 29,46.240 2

IV. EXERCICE N° 3 : FISSURATION TRÈSPRÉJUDICIABLE - SECTION RECTANGULAIRE

— ÉNONCÉ —

COUPE ÀÀ

1 = 6 , 0 0 m i 4 cm

, 30cm

70cm

I Actions uniformément réparties :- permanentes : g[ = 24,75 kN/m (hors poids propre),- variables : q = 20 kN/m.

l Fissuration très préjudiciable.

I Matériaux:- béton : fc28 = 25 MPa,- aciers : Fe E 500 HA.

l On se propose de calculer les armatures.

— CORRIGÉ —


1.1. BETON

abc = 0,6 . fC28 abc = 0,6 . 25 = 15 MPaf,28 = 0,6 + 0,06.fc2g (MPa) f,28 = 0,6 + 0,06 . 25 = 2,10 MPa

1.2. ACIERS

fissuration \très V==>^=

préjudiciable)

0 . 4 . f

as = Max

0 , 4 . 5 0 0 = 2 0 0 MPaI

'88\(MPa)

ô" = 200 MPa

B\fl,6.2,10=161 MPa

2. SOLLICITATION DE FLEXION À L'E.L.S.

f Actions au ml :T 03 = poids volumique du béton 03 = 25 kN/m3

armeg = g; + O3.b0.h


,2

g = 24,75 + 25 . 0,30 . 0,70 = 30 kN/mpser=30 + 20 = 50kN/m

lMser = Pser - - M s e r=50.

6,00

Mser= 225 mkN = 0,225 mMN

3. DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE À L'E.L.S.

3.1. MOMENT RÉSISTANT BÉTON RÉDUIT

CX£

T

= 0,218

3.2. NÉCESSITÉ D'ACIERS COMPRIMÉS

0,225

3-3. CALCUL DES ACIERS TENDUS

cr

ser 0,30 . 0,642. 15

|J.ser= 0,122 < 0,218 =

0

-0,122

u r h=>A'=0

m

MA „„ =

Remarque : en adoptant la formule de la méthode simplifiée du § 8.3. page 145, on trouveHs = 0,00916, zbl = 0,857 d = 0,549 m et Aser = 20,50 cm2 (meilleure approximation).

3.4. CONCLUSION

En prenant trois files verticales

Fissurationtrèsïpréjudiciable f

M

iis><0,0018

A ; JyT7

Prenons O . = 20 mm > 8 mmmm

lit 1: 2 O 25 HA + 1 O 20 HA :

2. 4,91+3,14= 12,96 crtflit 2 : 3 O 20 HA :

3.3,14 = 9,42an2

A = 22,38 crn2

0,225= 0,00916

s 0,30 . 0,64^. 200

, = 0,00916 > 0,0018

> A > Amin sans qu'il soit nécessaire decalculer Amin

70

818 cm

HÀh fr h | 4 ^ 2 0 HA

30 cmi

y EXERCICE N° 4 : FISSURATION PEU PREJUDICIABLE- SECTION EN T (Mu >

- ÉNONCÉ -

l On considère la section en T d'une poutre représentée ci-dessous :

0 , 6 0 m

0,05 m

0, 60 m

1,10 m

0,15m '

• Sollicitations sous charges de durée d'application supérieure à 24 heures :

Cas de charge n° 1 : <

• MG = 0,229 mMN,

• MQ = 0,229 mMN. l

Cas de charge n° 2 :

• MG = 0,275 mMN,

• MQ = 0,275 mMN.

• Matériaux :

béton : fc28 = 30 MPa,

aciers : Fe E 500 HA.


• On se propose pour chacun des deux cas de charge :

1) de déterminer la section d'armatures longitudinales à prévoir dans la poutre,

2) de calculer les contraintes à l'E.L.S.

- CORRIGÉ -

1. CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX

•Tf'V?i

1.1. BETON

fas = 0,6 + 0,06 . fc28

fbu = 0,85-^

• \:28

1.2. ACIERS

2. CAS DE CHARGE N° 1

2.1. SOLLICITATIONS DE FLEXION

2.1.1. État-limite ultime

Mu = 1,35. Mg+1,5 MQ

2.1.2. État-limite de service

Mser = Mg + MQ

2.2. COEFFICIENT y

11

Y= M,

ft28 = 0,6 + 0,06 . 30 = 2,40 MPa

iL = 0,8530

1 .1,5= 17 MPa

a, =0,6. 30 = 18MPabc

500

• • )

Mu= 1,35. 0,229+1,5. 0,229 ''Â

= 0,653 mMN ' ••«* '

Mser = 0,229 + 0,229 = 0,458 mMN

2.3. DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE À L'E.L.U.

2.3.1. Type de section

Section en T avec M > 0

Fbc = b . ho . fbu

> Calcul en section en T :

^ = 0,60 . 0,10 . 17 = 1,020 MN

Zb = d ~TZ > : i f ) '••><„ \>1-C,

MTu = Fbc.zb

Mu >< MTu

zb = 0,55-^ = 0,50 m

MTu = 1,02 . 0,50 = 0,510 mMN

Mu = 0,653 mMN > 0,510 mMN = MTu

=> La zone comprimée a une forme de T etl'A.N. tombe dans la nervure.

2.3.2. Armatures

Nous décomposons de la section réelle en deux sections fictives :

:

•*

"Ldr"N." - • •-•

A

b^

' i LhO

• — ©-

111

fl

h

•€^-Fbc2 — -) A2

Mu = M u l +

SECTION® SECTION®

a) Section fictive ®

Moment équilibré :

M u l = M u - M T u - ^

Moment réduit correspondant :

M»,

Mul = - 0,510 ^5= 0,271 tnMN

0,271bu b 0 . d 2 . f b u 0,15.0,55.17

0,60

= 0,351

") Nécessité d'aciers comprimés

• Par la formule approchée valable pour Fe E 500 et fc28 S 30 MPa :

4 4

I

-

(MPa)

104 .n / u = 3220.0y+51 - -3100 104 . /u = 3 220 . 1 . 1,425 + 51 -3 100

104 . (X/u = 3 019Jifa = 0,302

bu X M-/U = 0,351 > 0,302 = |

lbn

=> II faudrait des aciers comprimés si ]a

section réelle était rectangulaire.

Dans la section réelle, les deux ailes de la

table sont capables d'équilibrer un effort decompression :

Fbc = (0,60 - 0,15) 0,10 . 17 = 0,765 MN

En équivalent aciers avec ici (Fe E 500 et9 = 1 ) :

M.

Zb ' fed

0,271.10*

I Calcul des aciers tendus dans la section fictive ©

Fbc = (b - b0) h0 . fbu Fbe = (0,60 - 0,15) 0,10 . 17 = 0,765 MN

ed

4 = 17,59 cm

= 9 . Y - fc28 -8* (13 - fc28 + 415) K < fed

e) Section totale d'aciers tendus

A = A! + A2

CTsce = 9 . 1,425 . 30 - ~ (13 . 30 + 415) 155

= 312MPa

asce = 312 MPa < 435 MPa O.K.

les deux ailes jouent le même rôle qu'unesection d'aciers comprimés placés dans lasection rectangulaire de largeur b0 à 5 cm desa fibre supérieure :

A = 14,66 + 17,59 = 32,25 cm2

Armatures tendues (inférieures) retenues :

7 <j> 25 HA : A = 7 . 4,91 = 34,37 cm?

logés dans un talon à la base de la nervure.

2.4. CALCUL DES CONTRAINTES À L'E.L.S.

Calculons les contraintes pour la valeur théorique de A (les contraintes réelles seront

bcinférieures aux valeurs trouvées).

"-^ A = 3 1 2 .10 =24,52 cm

Cette section est très largement supérieure àcelle qui serait nécessaire pour équilibrerMul - M,u :

A , _ M u i - M / u 0,271 -0,302. 0,15. 0,552. 17 1A4(d-d')osce

A (0,55-0,05)312 10

= 2,44 cm2

On continue donc le calcul, sans prévoir d'aciers comprimés et en remarquant que :

l-ibu x m, Hb,, = 0,35 1 < 0,37 1 7 =

et donc que as = fed.

c) Calcul des aciers tendus dans la section fictive ® !

^bu>< 0,275 => Méthode (ibu = 0,35 1 > 0,275 => Formules exactes

=» a= l ,25[ l - x / l -2 .^ b u j oc =1,25 [1-^1 -2. 0,351] = 0,568 :

=> zb = d[l-0,4.a] zb = 0,55 [1-0,4. 0,568] =0,425 m \\

II

^ . i^ '.2.4.1. Position de l'axe neutre ,

x b r] obc b = 0,60m

' ihlslihisiiyîxy^sig-iiSiïii lu f ~7 b0-0,15mwmïïjmm J^o \\^ v.-y d 055m

dÂ7N."^ ^ -^—7-— h0 = 0,10mà / A = 32,25 cm2

M Vn n=15

2 , 2

f f v \ _ O ' y i + r <0

f(h )-6° 102 + 15 3225 10-15.32,25.55

f(ho) = -18769cm3<0l>15.' => A.N. dans la nervure

b n - y f • 1" h2f (v \ l fVh K '» h _LfVi A 1 i7 UK l \ ° i j1 lyj.» - 2 |> <y o •+r'ïlAJ y i ~ 0> ~ b0) -=- + nAd '

f Cv i n v2 + T45 10+15 32 251 v 45 -t-1< '^TTi «i \yi) — u 2 ^ 1 l ' ' -"^•'•'—'J j1] ^J ^ T U . j^,zo . 03 = Q

7,5 y2 + 933,75 y{ - 28 856,25 = 0

A=1318,172

-933,75 +1318,17 „,V — ^^ fil f-.m>1 2 7 5 — /J,OJ cm

2.4.2. Moment d'inertie

I -b Y l (b b )(yi-h°) , P A rri v y*i j u y ^° "o* T +nA^a yj j

I -6025'633 /15(25 '63-10)3,H —r« -rr^x i °u T T-J ,, • + 13 . -52,2;» PD — 25,63)

I,=696731cm41 i

' ' • - . ' • • • ; i! .

2.43. Contraintes - !

M^er 0458K- SCT K ' fi57AMM/m

3T ~~ o ~ "J> '^ MIN/mM 696 731. 10" 8

CTbc = K ' yi > < °bc °bc - 65,74 . 0,2563 ]

obc = 16,8 MPa < 18 MPa O.K.

as = n . K (d — yO as = 15 . 65,74 (0,55 - 0,2563) = 290 MPa

<J. C7 790Remarnne • fl ^s ^ ^ n ÇQ frvciuoiquc . _ _ U,3b =? o — U,jb . le

3. CAS DE CHARGE N° 2

3.1. SOLLICITATIONS DE FLEXION


Mu = 1,35 . MG + 1,5. MQ Mu = 1,35 . 0,275 + 1,5 . 0,275 = 0,784 mMN

3 1.2. Etat-limite de service , ;

Mser = MG + MQ Mje,. - 0,275 +0,275 - 0,530 mMrS". /• ... >, 1 ' -->• î - .qù '>

3-2. COEFFICIENT y :

MU

0'784-no5'-Mser ' Y 0,550 -M-5

3.3. DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE À L'E.L.U.

3.3.1. Type de section '

Section en T avec M > 0 => Calcul en section en T :MTu = Fbc .zb MTu = 0,510 mMN (cf. §2.3.1.)

i MuxMTu Mu = 0,784 mMN > 0,5 10 mMN = MTu

, : ' => La zone comprimée a une forme de T etj. l'A.N. tombe dans la nervure.

3.3.2. Armatures

Nous décomposons de la section réelle en deux sections fictives : ^ ;s } {

, b ,- b"bO t S f^ h0/?j, 1 1 J, ,.. >• " -, -r . . -K f- F

' hh!:!:S!^!>!^$!@$!^h!Mi:i: 1 >| !|!li|! TT ililil^Hlftl^Hi^ il | hn =?* n P) n Aj HL bc2LnO *= td sissigiSjNiiJiijgibl i"0 v ^ — °- B [ y u— y THii ~*/^\ Si ZTs F, „ L U ; r — ' *• . bel

d À . N . f = J RO ^ / ^bl zb2

À ^—^ àl ^-^ 2 / ^ <-^S^

bj| 3, Ss fed Fs

u = M u l + M u 2

SECTION® SECTION©

o) Section fictive ®

Moment équilibré :

\n \n M b~b° M 07R4 0 510 °'60"0'15 -Q /(Q'' mMNM ul - M u MTu b Mul U'/B4 "'-11" 0,60 !"-""«

Moment réduit correspondant :

Mui 0,402 _Q501

^bu b 0 . d 2 . f b u rbu 0,15.0,552.17 u

Remarque :

^bu ><^c = 0'8 • «d -0,4. oOpoura = = 1 ^bu = 0,521 > 0,48 = 0,8 (1 - 0,4) =

=> La section rectangulaire ©, si elle étaitisolée, serait entièrement compriméeComme nous allons mettre des acierscomprimés pour limiter à Msi le momentqu'elle équilibre, cela n'a pas d'impor-tance.

b) Nécessité d'aciers comprimés

Hbu X ta = 0,521 > 0,3717 =

Nous devons donc prévoir des acierscomprimés dans la section rectangulaire ®pour que la contrainte des aciers tenduspuisse atteindre fed (c'est-à-dire pour quel'acier soit « bien utilisé »).

c) Calcul des aciers comprimés dans la section fictive Œ>

La section rectangulaire de la décomposition précédente comportant des armaturescomprimées, elle est à nouveau décomposée comme indiqué ci-dessous :

d

A1

À

bo 1

' = 5'.d

À'

d-d1

Section(T) Section(2)

MU MSI(À'.<( A2.

Oscu(d-d')ou

•2- Wd-d1)

rtu = Mul = 0,402 mMNMu = Mul

• Contrainte des aciers comprimés :

Le rôle des aciers comprimés est de « bloquer » l'axe neutre à la hauteur correspondant àlia = 0,3717.

=» a =1,25 1 - . /1 -2 .LJ , - /ï~- 2 • 0,37Ï7J = 0,617

a m .sc 1000 0,617

=> e = 2,98. 10"3>2,18. 10~3 =SC

oscu = 435 MPa

,-3. „ , „ _-3 4352.10°

> Remarque :

( • £Ce serait une erreur de prendre osce comme contrainte des aciers comprimés puisque leproblème n'a rien à voir avec l'obligation de limiter à 0,6 . fc2g la contrainte decompression du béton en service. Seul l'acier est en cause dans le cas présent.

• Aciers comprimés :

Ms, = 0,3717 . 0,15 . 0,552 . 17 = 0,287 mMN

0,402-0,287 4 < O Q 2A = (0,55-0,05) 435 10 =5'29cm

Ms, = |is,. b0 . d2 . fbu

Mm-M s ;(d-d')ascu

Mu2 = Mul - Ms, x 0,4 . Mul Mu2 = 0,402 - 0,287

Mu2 = 0,115mMN

0,4 Mul = 0,4 . 0,402 = 0,161 mMN

Mu2 = 0,115 mMN < 0,161 mMN O.K.

d) Calcul des aciers tendus dans la section fictive ®

^bu = ^s/>< 0,275 => Méthode u.bu = 0,3717 > 0,275 => Formules exactes

=> ccs;= 1,25 11-^1-2.^

, = d[l-0,4.ccs;]

M

as;- 0,617 (cf. § 3.3.2.C.)

zb = 0,55 [1-0,4. 0,617] =0,414 m

A =Zb • fed

s/ +A.°«fed

0,287 . 104 r 435

el Calcul des aciers tendus dans la section fictive ®

Fbc = (b - bo) h0 . fbu Fbc = (0,60 - 0,15) 0,10 . 17 = 0,765 MN

F,A2 =

rbc 4 = 17,59 cm

f) Section totale d'aciers tendus

A = A, + A2 A = 21,23 + 17,59 = 38,82 cm2

Armatures comprimées (supérieures) :

5 <|> 12 HA : A' = 5 . 1,13 = 5,65 cm2

Armatures tendues (inférieures) :

8 <|> 25 HA : A = 8 . 4,91 = 39,28 cm2

logés dans un talon à la base de la nervure.

3.4. CALCUL DES CONTRAINTES A L'E.L.S.

Calculons les contraintes pour la valeur théorique de A (les contraintes réelles seront infé-rieures aux valeurs trouvées).

3.4.1. Position de l'axe neutre

f(h „) = -~ + n (A + A' ) h 0 - n (A . d + A'd' ) >< 0

f(h0) = — 102+ 15(38,82 + 5,29) 10 - 15(38,82 . 55 + 5,29 . 5)

f(h0)= -22807cm <0

=> A.N. dans la nervure

~ y,2 + [45 . 10 + 15(38,82 + 5,29)] y;

10Z

45 -^- + 15(38,82 . 55 + 5,29 . 5)

7,5 y, + 1 111,65 y, - 34 673,25 = 0

A=1508,632

-1111,65 + 1508,63 „= 26,47cm

3.4.2. Moment d'inertie

= b '-L - (b - b0) (3^_h°)- + nA(d - y,)2 + nA'(y, - d')> !

3

= 60 - 45 (26'47~1Q) + 15 . 38,82 (55 - 26,47)2 + 15 . 5,29(26,47 - 5)2

= 814462cm4

3.4.3. Contraintes

b b =0,60 mÀ 1 d1 abc b 0 =0 , l f

••:-r ;::-*•:;•::•.•. é-Tu — \ •/ n . d =i).t>t

dOY

b%

ï c

\)

m, 'v

À

bn

,.:.!::.•!.:.: rO VH *£ K -/ S% j. nr,<^ u L_i_ L X d =o,0'

5 mj m) m

~7 ~~ ho=0,10mX A - ^s so crn2

°s/ri A' = 5,29 cm2

*~^ n =15

2 '-|0 u \ i / " A i A ' \ l /K K \ i / A ^ l i A ' ^ ' \

2

_ i _ n C A j _ A ' \ U « / A ,4 i A ' ^ ' \ ^ ^ - n

K =

os = n.K(d-y,)

<T = n.K(y1-d')

aRemarque : --

K =0,550 = 67,53 MN/rn

814462. 10

o = 67,53. 0,2647 = 17,9 MPa< 18 MPa O.K.bc

os = 15 . 67,53 (0,55 - 0,2647) = 289 MPa

CT =15. 67,53 (0,2647 -0,05) = 217 MPaSC

as 289

fe 500= 0,58 => o =0,58.fe

CHAPITRE 7

EFFORT TRANCHANT

I. RAPPELS DE COURS

1. DÉFINITION

Dans une section droite £, l'effort tranchant est la somme des composantes des forcesappliquées à gauche de cette section :- perpendiculaires à la ligne moyenne,- et contenues dans le plan moyen.

Dans une section d'abscisse x, l'effort tranchant est égal à la dérivée du moment fléchissant.

2. CONTRAINTES ENGENDRÉES PAR L'EFFORT TRANCHANT

2.1. EXPRESSIONS GÉNÉRALES DÉDUITES DES CALCULS ÉLASTIQUES

2.1.1. Effort de glissement

E . L . U .

À . N .

CHAPITRE 7

EFFORT TRANCHANT

I. RAPPELS DE COURS

1. DÉFINITION

Dans une section droite Z, l'effort tranchant est la somme des composantes des forcesappliquées à gauche de cette section :- perpendiculaires à la ligne moyenne,- et contenues dans le plan moyen.

Dans une section d'abscisse x, l'effort tranchant est égal à la dérivée du moment fléchissant.

2. CONTRAINTES ENGENDRÉES PAR L'EFFORT TRANCHANT

2.1. EXPRESSIONS GÉNÉRALES DÉDUITES DES CALCULS ÉLASTIQUES

2.1.1. Effort de glissement

Contrainte normale à l'E.L.S. à la distance Ç de l'axe neutre :M

<*&,= — •*,

I, = moment d'inertie par rapport à l'axe neutre de la section réduite homogène (bét0

comprimé seul et aire des armatures multipliées par 15).

Résultante des forces élastiques agissant sur l'aire homogène B idéalement découpée dansla section droite :

M

B

M

SB = moment statique par rapport à l'axe neutre de l'aire homogène B.

On appelle EFFORT DE GLISSEMENT PAR UNITÉ DE LONGUEUR DE POUTRE la

quantité :

Or:

D'où:

2.1.2. Contraintes tangentes

Sous l'effet de g, le prisme Bdx a tendance à se déplacer par rapport à la poutre, le longd'une surface de glissement dont la trace sur le plan de la section a pour longueur u.L'équilibre du prisme de base B et de longueur dx est assuré par des CONTRAINTESTANGENTES qui se développent sur la surface de glissement du prisme Bdx par rapport àla poutre.

En posant :T = valeur supposée constante de la contrainte tangente en tout point de la surface de glis-sement,u = longueur de la trace de la surface de glissement sur le plan de section,

rr

u=périmètre de B Trace de la surfacede glissement :

ÀDC=u

il vient : T . u . d x = dFB

soit :v s

T _ t*

In U

V'}

• ' ;\ ' -

.

.-. ij..<:,')M>i't

. Bras de levier du couple des forces élastiques

En prenant la zone comprimée homogène de la section comme aire B (Fbsc = résultante descompressions sur cette zone) : , • - , T

M

II

FB =

_ M s;= • î»!

MM = z . Fbsc Fbsc - —

\ z

SB= Si

D'où par identification :

Sj = moment statique par rapport à l'axe neutre de la zone comprimée homogène de la section.

Si l'aire B considérée précédemment est délimitée par une parallèle à l'axe neutre, on a surle plan correspondant :

V V SBg = — . S B = — .-

II z S,

VSous l'axe neutre SB = S, (béton tendu négligé) et g = — = Cste .

z

2-1.4. Application - Contraintes dans le plan de la section droite

s Plan moyen

„ N

• En considérant la zone comprimée homogène de la section située au dessus du plan .trace MM' = bç, perpendiculaire au plan moyen, à la cote Ç au dessus de l'axe neutre, on

- un effort de glissement :

en désignant par S^ le moment statique par rapport à l'axe neutre de l'aire MBM' renduhomogène.

- une contrainte tangente

• Comme z = —-, il vient :O i

V ^li;

' z ' S,

v s,E

• En vertu du théorème de Cauchy (RdM) la contrainte tangente en tout point P du plan detrace MM' s'exerce à la fois :- dans ce plan,- et dans le plan de la section droite.

• Au dessous de l'axe neutre, comme on néglige le béton tendu, on a :Sjç = Sl quel que soit 2;

d'où, entre l'axe neutre et les armatures tendues :

, = — = Cste

V 1

La valeur maximale Tb de t^ s'obtient pour la valeur minimale de bç dans la zone tendue.

• Pour une section rectangulaire ou en T, au dessous de l'axe neutre, on a toujours :

A . H .

. = b0 = CsteDÇnun

d'où :

'o • '

on encore, puisque z = 0,9 . d :

0 ,9 .b 0 .d

2.2. EFFET DES CONTRAINTES TANGENTES

- Au dessous de l'axe neutre, un prisme de base carrée ABCD : <- de côté AB = dx, parallèle à la ligne moyenne,- de hauteur b0,

est soumis, dans le plan des quatre faces, uniquement à des efforts de glissement g . dx(cf. béton tendu négligé, donc pas de contraintes normales).

yiiiiiiUUUiiiUiUUUiUi,

X--K-J -

' • < f?'s'fîV. " . ij

;•*,.' ••;":)! <

.1 *:>i -

g dxi

kg.dx

g. dx

at.b0.ddx g.dx

/D

g dxV'T

g.dx

dx

• Sur l'élément plan de trace BD, d'aire b 0 . dx </2 , s'exercent :

- un effort de traction : g - dx Jï., .; ;,- donc une contrainte de traction :

o = g - d x ^ 2 ^ g ^ V' b 0 .dxyï b0 b 0 . z Tfe

• De la même manière, l'élément plan de trace AC est soumis à une contrainte de compres-sion :

1• Conséquences au voisinage des appuis :

uuuuuuuuuuuuuumu

1) V élevé => ib élevé => ot élevé => risque de fissuration à 45°,2) risque d'écrasement du béton suivant les « BIELLES » de béton à 45°, découpées par lesfissures et soumises à une contrainte de compression ac = xb. ; t

• II faut donc :1) limiter Tb pour limiter la compression des bielles,2) coudre les fissures obliques par des armatures dites ARMATURES D'ÂME.

• Lorsque les fissures obliques se sont produites, la conclusion précédente (at = oc = xh)n'est plus valable. Il y a REDISTRIBUTION DES EFFORTS entre :- les armatures d'âme tendues d'une part,- les bielles de béton comprimé d'autre part.

2.3. PRESCRIPTIONS RÉGLEMENTAIRES

2.3.1. Contrainte tangente conventionnellen V

D'après ce qui précède, on a :u z. u

Pour u = b0= épaisseur minimale de l'âme sous l'axe neutre, la contrainte tangente vaut :

Vt =

b 0 . z

z « 0,9 . db 0,9 . b ( ) . d

On considère à l'E.L.U. la contrainte tangente conventionnelle :

avec :b0= épaisseur minimale de l'âme, ' •d = hauteur utile,Vu = effort tranchant ultime à prendre en compte à l'E.L.U.,Vu= 1,35.VG+ 1,5.VQ en général.

2.3.2. Effort tranchant à prendre en compte au voisinage des appuisL'expérience montre que lorsqu'une charge est voisine d'un appui, elle est transmise àdernier directement par mise en compression d'une bielle partant du nu d'appui sansen traction les armatures d'âme (phénomène de « transmission directe »).

Pour tenir compte de la transmission directe des charges aux appuis, les efforts tranchantssont calculés comme indiqué ci-dessous :- pour le calcul des armatures d'âme,- pour la vérification de la compression des bielles.

a) Charges uniformes

Pour l'évaluation de l'effort tranchant au voisinage d'un appui et le tracé de la ligne repré-sentative correspondante :_ on admet que l'intensité de la charge répartie varie de 0 à pu sur une longueur égale à —^-~à partir du nu d'appui,- on néglige les charges réparties agissant à moins de — du nu d'appui.

te vaut :

•'if"nt.l 1

A

A

vvumax

X.

K" V n,. . u°tk.-,B

(

À

BAFT • -^ n ,- v <•"ici-, . => U < X S

A3 '

^

V

A . E .

L

i-rt"!

\l'

X

V

b. 32

l5J

{

A

'

r

.^

3_

ul

l

pu

pu

M ' v i ' v v v i ' v v v i SIMPLIFICATION

SIMPLIFICATION

/

.h IQ2 2

h1 3h 1 Pu2 h Pj Pu [9h2

2 P u 2 2 h 2 ~ 2 3h\ 4

3h _^__l ^_I x

~T~ • ^x' ~^> ^ P U ~ T T Pu u x~2 u 23 2

2 3h 4

J Pu 9h\..2

3h * «/ , u<- : V(x) = — -pux

SIMPLIFICATION *-!»D'où il revient au même et il est plus simple de considérer l'effort tranchant V „ Han

5 h ^section d'abscisse X = 5h/6 et de le supposer constant entre x = 0 et x = 5 .h6 '

V.'

b) Charges concentrées

II convient de réduire la valeur de l'effort tranchant développé par toute charge concentréeau voisinage du nu d'appui en prenant pour valeur de cette charge :

y. h.Q, 0

2.a3 .h

si a<-s-

si -fe-i

Ces valeurs de Qu ne sont à prendre en compte que pour la vérification de la compressiondes bielles et pour le calcul des armatures d'âme. Les valeurs des réactions d'appuisdemeurent celles fournies par la Résistance des Matériaux, sans réduction des charges pourtenir compte de la transmission directe.

3. VÉRIFICATION DU BÉTON

3.1. FLEXION COMPOSÉE AVEC COMPRESSIONLorsque toutes les sections sont entièrement comprimées :

si 7-u<.Min'0,06.l£i

1,5MPa

•Pas de vérification etarmatures transversalescalculées comme pourles poteaux

3.2. AUTRES CAS

3.2.1. Armatures d'âme droites

II s'agit des armatures contenues dans des plans perpendiculaires à la fibre moyenne despoutres.

FISSURATION

Peu préjudiciable

Préjudiciableou

très préjudiciable

Tu0^llm

^0 2 fc]\ ' yMin<? b

^ SMPa

fcji n 1 r J

Min< b^ 4MPa

Les armatures d'âme droites peuvent être associées à des barres relevées (cf. § 4.3.).

3.2.2. Armatures d'âme inclinées à 45°II s'agit de cadres ou d'étriers contenus dans des plans faisant un angle de 45° avec la fibremoyenne de la poutre.

7MPa

Dans ce cas, les barres relevées sont exclues (voir § 4.3.).

3.2.3. Armatures d'âme inclinées à 45° < a < 90° (cas rare)a étant exprimé en degrés. Par interpolation linéaire entre les valeurs limites correspondantà a = 45° et à a = 90°.

FISSURATION

Peu préjudiciable

Préjudiciableou


7u0^lim

/ fy f c~it / n ? j n n? i\{U,31 U , U / J f.j d H J

in) (9-2-f)MPal 45

( < n 19 n 1? °^\ c^uu, jy u-li:45

J 7

f 45

4 CALCUL DES ARMATURES D'ÂME4-l. EFFORT TRANCHANT À PRENDRE EN COMPTE

Au voisinage des appuis, on tient compte de la transmission directe des charges aux appuiscomme pour la vérification du béton.

14.2. DÉTERMINATION DES ARMATURES D'ÂME4.2.1. Théorie du treillis de Morsch

Une poutre de section constante, dont l'âme est fissurée à 45°, peut être assimilée à unepoutre triangulée définie comme suit :• membrure tendue = armatures longitudinales tendues,

• membrure comprimée = zone comprimée de la poutre (béton et armatures longitudinalescomprimées éventuelles),

• hauteur = distance entre les résultantes des efforts normaux dans les deux membrures(bras de levier z » 0,9 . d),

• éléments comprimés = bielles de béton inclinées à 45° sur la ligne moyenne,

• éléments tendus = armatures d'âme :- inclinées d'un angle a sur la ligne moyenne,- section At par nappe,- espacement s, mesuré parallèlement à la ligne moyenne.

bsc

4.2.2. Formules générales

F, +Fbc se

z(l+cotgd!)

z(l + cotgoc)Pour coudre la fissure, nous avons - : - armatures de section At.

Elles peuvent équilibrer un effort vertical :

+cotga)V„ = - A f . a . sin a = z —- o (sin a + cos a)

st S. s t v

D'où pour équilibrer un effort tranchant V quelconque :

A,

s. z (sin a + cos a)

Dans une poutre où les armatures d'âme (c'est-à-dire A,, st et a) sont fixées, la théorie deMorsch conduit donc à une proportionnalité entre ast et V (ou Tb).

La comparaison entre la théorie et les résultats des essais conduit à réduire la valeur de V(ou de Tb), l'écart tbf sur ib provient du fait que pour les faibles valeurs de Tb la poutre n'estpas encore fissurée et que le treillis ne s'est pas encore formé.

rHEORIE / J ESSAIS

^bred^bréel

En se plaçant à l'E.L.U., nous avons :

V =V

b 0 . z 0,9.b0.d 0,9

et

^et l'équation s'écrit :

A, fet (1)b 0s , Y s 0,9 (sin a + cos a)

Pour une contrainte tangente conventionnelle diminuée de 0,3 . k . ftj (valeur prudenteadoptée par les Règles BAEL), la condition à satisfaire s'écrit :

*tVst

fet

's

7 - u - 0 , 3 . k . f t n

0, 9(sinû! +cosCd)

avec :f tj bornée supérieurement à 3,3 MPa,

/ 0 si reprise de bétonnage sans indentations,0 si fissuration très préjudiciable,1 si surface de reprise à indentations de saillie > 5 mm,1 en flexion simple,

Nu1+3 ——-— en flexion composée avec compression,B . f ,c28

1-10N,

B . f ,en flexion composée avec traction,

c28

Tu = contrainte tangente conventionnelle tenant compte de la transmission directe descharges au voisinage d'un appui.

4.2.3. Diamètre des armatures d'âme

<f»t <- Min

*1h

35

10

4.2.4. Pourcentage minimal des armatures d'âme

*tbo-st

£ e t - > 0 , 4 M P a

4.2.5. Espacement maximal

stl Min 40cm

15.<f>1min

si A'X 0 réalisé avec des aciersde diamètre <%>\.

4.2.6. Poutres en T à nervure épaisse

b 0 > h

Le pourcentage minimal et l'espacement maximal peuvent ne pas être respectés dans lazone qui n'est pas grisée.

4.3. BARRES RELEVÉES À 45°

Une part 0Vu0 de l'effort tranchant au voisinage d'un appui avec 0 < 1/2 peut être équili-brée par des barres de la membrure tendue relevées à 45° et ancrées sur appuis.Le complément (1-0) Vu0 est toujours équilibré par des armatures d'âme droites (a = 90°,voir figure page suivante).

On pose :Ar= section d'une nappe de barres relevées,A t= section d'une nappe d'armatures d'âme,sr, st = espacements respectifs de ces nappes parallèlement à la ligne moyenne.

3.1. Vérification du béton

Si la fissuration est peu préjudiciable :

,-^m.r£3 0 <

(0 ,2 ;

<. \5MPa

Si la fissuration est préjudiciable ou très préjudiciable :

V.T =•

'0,15^

4.3.2. Armatures

Armatures d'âme droites :

r - 0 , 3 . k . f t j

0 , 9

Armatures relevées :

A f 7 . . - 0 , 3 . k . f t Har re > a u t3

0 , 9II faut en outre vérifier :- le pourcentage minimal d'armatures (cf. paragraphe 4.2.4.),- l'espacement maximal (cf. paragraphe 4.2.5.).

Les barres relevées doivent être conservées jusqu'à l'abscisse xr où l'équilibre peut à nou-

veau être assuré par les seules armatures d'âme droites :

Part de Vu à équilibrer pardes barres relevées

<i-0)V u 0

II n'est pas de bonne construction de prévoir une seule nappe de barres relevées traversant

la section du nu d'appui.

5. RÉPARTITION DES ARMATURES D'ÂME(MÉTHODE CAQUOT)

5.1. HYPOTHÈSES

Méthode applicable uniquement aux poutres de section constante supportant des chargesuniformément réparties.

5.2. NOTATIONS10 = distance du nu d'appui à la section où l'effort tranchant Vu(x) s'annule.Pour des travées complètement chargées, on a :

Poutre sur 2 appuis simples

' ; ^ïOKTaW! ,*' '

Pour tenir compte : ' ' ' ' •- de la réduction d'effort tranchant pour transmission directe des charges aux appuis,- de la réduction de tu pour les poutres coulées sans reprise ou avec une reprise spéciale-ment traitée (voir page 184),on considère la longueur l'0 suivante :

On a:

/n-

\ _ V u o - 0 , 3 . k . f t j . b 0 . d

5 . h VUO

avec : TuO -"

VuO Vumax - pu . 5 . h/6

b0 .d b0 .d

5 h 0 , 3 . k . :^£.)(1

VaK-pu5-h / 6

b0 .d

La répartition des armatures d'âme s'effectue donc de la manière suivante :

1) répartition sur 5.h/6 avec l'espacement initial st0 calculé pour Vu0,

2) au-delà de la section à 5.h/6, répartition suivant la règle de Caquot avec un nombre derépétitions égal à /'0 (en mètres).

5.3. MÉTHODE CAQUOT

1) L'écartement initial st0 est calculé suivant les indications du paragraphe 4 pour l'efforttranchant Vu0,

2) L'écartement de départ des armatures d'âme (stl < st0) est choisi dans la suite :

7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 20, 25, 35 et 40 cm

3) Depuis l'abscisse st0/2, on répète les espacements successifs sti + [> sti (de la suite) avecun nombre de répétitions :

5 . h er/ ' n H -pour le 1 espacement

6. s^

/'0 pour les espacements suivantsavec l'0 en mètres

4) Si le nombre de répétitions n'est pas entier, le nombre de répétitions totalisé depuisl'origine est arrondi à l'entier le plus voisin.

5) Présentation des calculs :

s,.t

nombre derépétitions

nombre

nombrearrondi


sto2

S t02

stl

5. h

! • , 5 ' h

° + ^toml

nl=ml

St° 1 n2 nl jtl

s12

i •L0

7 1 A , 5 ' h

u 6 s to

m 2

ïio = nii2~ro.i

s to ,2 l n l B t l l n 2 ° t 2

\\

)

//

\

5.4. CAS DES TRAVEES CONTINUES

5.4.1. Rappels de Résistance des Matériaux

La ligne enveloppe de l'effort tranchant dans une travée de poutre continue soumise à laseule action de charges réparties (hypothèse de la méthode Caquot) a l'allure suivante :

©v!V

m

On pose pour tout appui j :M

V,ï Max

V- = V-VJ v i

5.4.2. Répartition des armatures d'âme

Pour l'étude de l'effort tranchant, on s'intéresse aux valeurs absolues de ce dernier détermi-nées à partir de la ligne enveloppe :

CordeCorde

vm= vm= Vm = valeur absolue minimale de l'ordonnée de la ligne enveloppe de

l'effort tranchant.

Par simplification, on remplace cette ligne théorique par une ligne enveloppe simplifiéeconstituée par les cordes :

M- reliant Vj à V^ pour la partie gauche de la travée,

- reliant Vî_ àM

vi + pour la partie droite de la travée.

On définit ainsi les deux longueurs lg et ld.

On peut alors appliquer la méthode de répartition de Caquot en considérant les poutres fictives :- de portée 2 . lg associée à l'appui i,- de portée 2. ld associée à l'appui i + 1,On fait la répartition en partant des deux extrémités de la travée continue.

6. ZONES D'APPLICATION DES EFFORTS6.1. ARMATURE INFÉRIEURE TENDUE SUR APPUI D'ABOUT

TU

Pour le f onct ionne-ment en treillis dela poutre

FsO

f orces dedroite"

L'équilibre des moments en B donne :

Vumax-z = FsO-z => FSÛ = Vun

Comme :

il vient :

Cette section doit être ancrée au-delà du nu d'appui pour Vumax (et non pour Vu0 réduit).

6.2. ÉQUILIBRE DE LA BIELLE DE BÉTON SUR APPUI SIMPLE D'ABOUT

-A fe

'Y ,i.

avec : ys = 1

15.VumaK

fe

6.2.1. Vérification du béton

,^T

abc=

°J2

2. yumax

b0 .ayb= 1,5 en général

•'/. .Le

Le coefficient 0,8 tient compte du fait qu'à l'appui, l'inclinaison des bielles n'est pastement 45° et que leur compression peut ne pas être uniforme.

6.2.2. Bielle à prendre en comptea) Poutre solidaire d'un poteau

exac-

iA

L2cm

b) Poutre à nervure rectangulaire sur appareil d'appui

c) Poutre à talon sur appareil d'appui

ÀCOUPE À À

/45*

/ \ / I

6.3. ARMATURE INFÉRIEURE TENDUE SUR APPUI INTERMÉDIAIRE

\umas

7 vumax z

Les aciers inférieurs doivent équilibrer :

M,= Vumax - - avec Mu en valeur absolue

F s = A . ted

d'où leur section est donnée par :ed

M,,et par suite : A > 0 < = > F S > 0 < = > Vumax - - > 0 <=> Mu < Vumax. z

D'où avec une valeur approchée z du bras de levier égale à 0,9.d :

si MU < 0 , 9 . d .

umax

fed

MU0 , 9 . d

avec un ancrage au-delà du nu d'appui pour TTvumaxMU

0,9. d

Nota : même si l'on trouve A < 0, il n'est pas de bonne construction de ne prévoir aucunearmature inférieure traversant le nu d'appui.

Les bielles de béton doivent vérifier, de part et d'autre de l'appui :

b0.a Iv.

, =1,5 en général

7. JONCTION HOURDIS - NERVURE

7.1. RÈGLE DES COUTURES

Tout plan P soumis à un effort de glissement ultime gu par unité de longueur doit être tra-

versé par des « ARMATURES DE COUTURE » :• inclinées en sens inverse de la fissuration probable,• totalement ancrées de part et d'autre de ce plan.

Considérons, dans le plan P à coudre, un élément plan :

• de longueur dx,• de largeur b0,• soumis à un effort de glissement gu par unité de longueur,• soumis à une contrainte normale uniforme au (> 0 pour une compression).

Il est sollicité par :• une force g u . dx dans le plan P,

• une force Ou . b0 . dx normale au plan P.

Ces efforts doivent être équilibrés par :• une force de compression dFbc, inclinée à 45° sur P (compression des bielles de béton)

• une force de traction dFs, inclinée d'un angle a sur P (traction des armatures de couture)

au.bQ.dx au.b0.dx

Par projection des forces sur P et sur la normale à P, il vient :

l2__

\/2~

[1]

[2]

On en déduit puisque gu = iu . b0 :

(t - o ) b0 . dxs sin a + cos a

[1]. sin a + [2]. cos a => dFbc =/2~(t .sina + a .cosa)bn.dx

sin a + cos a

II en résulte :

1) que les armatures de couture doivent équilibrer par unité de longueur du plan P, uneffort :

A, fet= =

dx s, ' Y s ° sin a+cosa -. —(sina + cosa)=T -a. », r

b n . dx2) que la contrainte de compression dans les bielles de section vaut :

V 2

dFbc a + ° ' C°S

bc b 0 .dx sin a + cos a

Le plus souvent, on choisit a = 90° :

At f« _st y s ° u u

et si au = 0 :

A f

expressions habituelles de la RÈGLE DES COUTURES.

On peut donc retenir ce résultat simple : « la force développée par unité de longueur par lesaciers de couture doit équilibrer le glissement longitudinal ultime par unité de longueur ».

7.2. VÉRIFICATION DU BÉTON

H ' 1 „

À . N .d •-

À

bo

H

, bl

^ho, V A . N

L'effort de glissement sur le plan HH' (variation d'effort normal par unité de longueur)correspondant à la saillie b[ du hourdis (en pratique, dalle ou table de compression) vaut :

V,, / hogiu = — . b,

Ii

\ = moment d'inertie par rapport à l'axe neutre de la section homogène réduite.

Or le moment statique S, de la partie comprimée de la section en T est tel que :

S i > b . h0

puisque l'axe neutre est dans la nervure.

On en déduit :

D'où:

- <Si

2 b

VU b, Vu b, I,— . — car z = —z b S[Il ' b

D'où la contrainte tangente sur le plan HH' à la jonction nervure-saillie :

éluT =-

soit :

z . h 0 " b <t,.

z = 0,9 . d

donné au paragraphe 3.2.1.

7.3. ACIERS DE COUTURE

As et Aj étant les aciers supérieurs et inférieurs de la dalle espacés de st et ancrés totalement

de part et d'autre des sections de jonction HH', ils équilibrent par unité de longueur un

effort :

As + Ai fe. — avec y~ = 1,15

s' Ys

Cet effort devant être au moins égal à l'effort de glissement ultime sur le plan HH' :

As + Ai fe Vu bl. — > glu = . -r-

st v z b

il faut donc :

st e

z = 0 , 9 . d

i f > ! 15 _ ï ï .re 2 i , i b

Nota : en général As et A; sont les armatures d'une dalle fléchie localement entre deux ner-vures parallèles. On admet qu'elles peuvent simultanément jouer le rôle d'armatures decouture et n'ont donc à être complétées que si l'inégalité précédente n'est pas vérifiée (voircoutureremarque page 204).

g. POUTRES À TALONII s'agit de poutres en T dont l'âme est élargie au niveau des armatures tendues. ,

Notations :Aj = section des barres longitudinales situées dans une saillie du talon,A = section de l'ensemble des barres longitudinales situées dans le talon,Ac = section d'une nappe d'aciers de couture (cadres de talon),sc = équidistance de ces nappes.

L'effort de glissement par unité de longueur du plan TT" vaut :Vu,, Vu SB

II

avec :SB=15A1(d-y1)S,= 15A(d-y,)

Soit:

= moment statique par rapport à l'axe neutre d'une saillie du talon,= moment statique des aciers tendus par rapport au même axe= moment statique de l'aire homogène comprimée, d'après l'équa-tion des moments statiques (cf. 7.1, chapitre 6 « FLEXION SIMPLE »).

Vu A,— • —z A

: Vu ^

0,9 d A

D'après la règle des coutures, les armatures de couture sont obtenues en écrivant qUe

l'effort unitaire équilibré par les aciers de couture est au moins égal à l'effort de glissementultime sur le plan TT' :

A, £,, V,, Ai î '. -'••

sc y, " 0,9 d A

soit, si l'on adopte pour les armatures de couture le même espacement que pour les arma-tures d'âme (sc = st) :

_ .0 ,9d A

ys=l,15 en général

II. EXERCICE N° 1 : POUTRE - EFFORT TRANCHANT

— ÉNONCÉ —

q=26,6kN/m

Pu=58,57kN/mi-»

rvvVT TV V TVT VvTV'VVV'Tw'VVVVTT VT^

—I1=10, 00m

COUPE ÀÀ

2,22m

85cm

5cm >E—

J22 j7f5iir

j^lBcm

en travée

• Exercice « fissuration préjudiciable - section à table de compression » traité au chapitre« FLEXION SIMPLE ».

• Fissuration préjudiciable. Pas de reprise de bétonnage.

• Matériaux :• béton : fc28 = 25 MPa, ft28 = 2,10 MPa,• aciers : Fe E 500 HA.

• On se propose :1) de calculer les armatures d'âme,2) de vérifier les abouts de la poutrelle lorsque la poutre est solidaire d'un poteau de 30 cmde largeur mesurée parallèlement à sa portée et la jonction hourdis-nervure.

— CORRIGE —

1. EFFORT TRANCHANT

j.l. EFFORT TRANCHANT MAXIMAL

V =v umaxPu

l 2 EFFORT TRANCHANT RÉDUIT(TRANSMISSION DIRECTE DES CHARGES AUX APPUIS)

Charges uniformément réparties :

''uO — Vumax puVUO = 292,9 - 58,57 l^*± = 250 kN

6


2.1. CONTRAINTE TANGENTE CONVENTIONNELLE

V ,

b 0 . d

2. VÉRIFICATION

Fissuration \préjudiciable j

, 4 MPa

•iï . ; * .'..r.

(4MPa.

Tu0 = 1,43 MPa < 2,5 MPa = t^ O.K.

=» ARMATURES D'ÂME DROITES

3. ARMATURES D'ÂME

3-l. ARMATURES CALCULÉESfet

-0,3. k . L

b0 . s, ' y 0,9 (sin a + cos a)

avec :a = inclinaison des At,

b0 . d

At droites => a = 90°=> sin a + cos a = 1FeE500=>fe t=500MPa,ys = 1,15

T = 1,43 MPauO

{0 si reprise sans indentations, - pas de reprise, \0 si fissuration très préjudiciable, - fissuration préjudiciable, > => k = 11 sinon en flexion simple. - flexion simple. I

ft28 bornée supérieurement à 3,3 MPa f,28 = 2,1 MPa < 3,3 MPa O.K.

At 22(1,43-0,3.2,1) 1— ^ = rm ,

0.9500

1,15

22,23cm/cm

3.2. POURCENTAGE MINIMAL

-^— fet > 0,4 MPab0. st

At 22 . 0,4 1 2— > - — = — — cm /cm

500 56,82st

A, = ^

st 22,23 56,82O.K.

3.3. DIAMÈTRE DES ARMATURES D'ÂME

/<!>! (25 mmOt < Min / h/35 *t < 22 mm = Min / 850/35 = 24,3

|bo/10 |220/10 = 22

=> prenons <D, = 8 mmd'où pour deux files d'armatures longitudinales :

o o

18__8J

, 1 cadre<t>8HA

A, = 2. 0,50=1,00 cm2

=> s,0= 1,00 . 22,23 = 22,23 cm

retenons : 1 cadre <J> 8 HA sto = 22 cm

4. ESPACEMENT MAXIMAL

(0,9. dS t < M i n 4 0 c m

10,9 . 80 = 72 cms t<40cm = Min< 40cm

\*ca rA '=0

s.«=22cm<40cm= st O.K.

t RÉPARTITION DES ARMATURES D'ÂME . , , , - ,4. Kbi-AM i = 2Q cm dans la smte

Espacement initial stl sto . , - , . .n p des espacements de Caquot

Nombre de répétitions :

r.-K,-^-*3-^uO

5.0,85^, 0,3.1.2,1^~ - :

I "1 — - u •6s t0

H! = /'0 pour les suivants

4.1. TABLEAU DES ESPACEMENTS

l s to

pour le 1er espacement n» = 2,40 +

5_^0,8^ =

6 . 0,22

HJ = 2,40 pour i > 1


i

Nota : le nombre de répétitions 3 ne convient pas car il ne permet pas d'atteindre le milieu

de la portée avec des espacements de 40 cm. ^

II manque pour arriver à mi-portée : 500 - 490 = 10 cm.

Retenons sans mettre un cours d'armatures d'âme à mi-portée :10 + 6x20 + 2x25 + 4x35 + 4x40

4.2. VÉRIFICATION DE st À 1/2

a) Effort tranchant

Compte tenu de la forme de la ligne d'influence de V :

1

Charges permanentes } Vg - 0

Charges variables } Vq= ±qu.I.fl.l) = ±^ yu = ± 1,5 .26,6 .B°° = ± 49 92 \2 2l 8 8

kN

fej Armatures d'âme calculéesV

I =u b Q . d t =

49,9. 10 3

= 0,28 MPa

bo • st Y 0,9 (sin a + cos a)

" 0,22.0,80

^22(0,28-0,3. 1.2,10)

<ost 50,82

=> s, = 40 cm à 112 convient.

c) Pourcentage minimal

A,fet > 0,4 MPa

b0. s,

d) Espacement maximal

s, = Min j '\40cm

A,

«t

At _ 2 . 0,50

st 40

> 2 2 ' °'4 =0,018 cm2/cm00

= 0,025 > 0,018 O.K.

s t = 40 cm (cf. paragraphe 3.4.)

st = 40 cm = st O.K.

4 3. RETENU

Ql cadre (

<t>8 H À \

\10 6 . 2 0 2 . 2 5 4 . 3 5 4 . 4 0 20

/

\

5. VÉRIFICATIONS D'ABOUT

5.1. ARMATURES INFÉRIEURES TENDUES SUR APPUI D'ABOUT

A =f,,

0 293 4 2A = - - . 10 = 6,74 cm

435

Comme on avait deux files de 3 <& 25 HA en travée, on garde :

2 O 25 HA inférieurs sur appui :A = 2 .4,91 = 9,82 cm^

ancrés au-delà du nu d'appui pour :

/ = -^l_ /, = 0,69. /s2 . 4,91

/ = 0,69 . 44 . 2,5 = 75,9 cm/ = 75,9 cm > 30 cm de largeur d'appui=> Crochet.

A réel

Fe E 500 =* /s = 44O(voir exercice chapitre« TRACTION SIMPLE » § 5.1.a)

5.2. VÉRIFICATION DU BÉTON DE LA BIELLE D'ABOUT

Largeur d'appui : 30 cmEnrobage : e = 3 cm

c t = Max { e1 cm

(25 mmc t = 3 cm = Max < 3 cm

[ 1 cm

b0=22cma = 30 - 2 - 3 = 25 cm

On doit vérifier :

=

bc b0 . a

abc = 10,7 MPa < 13,3 MPa = 0,8 — Q K1 , 5 ' •

5.3. ANCRAGE DES ARMATURES INFERIEURES TENDUES

Voir exercice « Ancrage total » au chapitre 3 « Association acier - béton » pour la méthodede calcul.

6. LIAISON HOURDIS-NERVURE


b-b 0bi =

2

umax 1T = < t,.u 7 h h llm

L . Il 0 U

z = 0,9 . d

6.2. ARMATURES DE COUTURE

Vu bi

T =-

2,22 - 0,22

2

0,293

= 1,00 m

1,00= 1,22 MPa

i— . te > 1,1J . . -r

St Z b

z = 0,9.d

u 0,9.0,80.0,15 ' 2,22

T = 1,22 MPa < 2,5 MPa = ilim O.K (cf. 2.2.)

As + Ai 1,15.0,293 1,00s t - 500 . 0,9 . 0,80 ' 2,22

AS + A; 1

d'où pour s, = 1,00 m :

As + A, = =4,22 cm2

=> As + Aj > 4,22 cm2/m

Remarque : si la condition n'est pas vérifée par les armatures existantes de la dalle, onpeut, au lieu de rajouter des armatures, réduire proportionnellement la largeur b etreprendre le calcul des aciers longitudinaux (dont la section augmente, mais faiblement).

III. EXERCICE N° 2 : POUTRE À SECTIONRECTANGULAIRE - ARMATURES D'ÂME INCLINÉES

— ENONCE —

3 , 0 0 mCOUPE ÀÀ

fa jriJnU iii iUiUiUUJUUU U - j . gI— »A L1 = 12, 00m 8888888

75cm

2 , 0 5 m

7 files

À ' = 0:' fe /*' •' '>

• Action variable : • • • • - . • ">' f-

Q = 3,525 MN.

• Fissuration préjudiciable. Reprise de bétonnage sans indentations.

• Matériaux :• béton : fc2g =25 MPa, ft28 = 2,10 MPa,


• On se propose, au voisinage de l'appui A :

1) de vérifier le béton des bielles,

2) de calculer à titre indicatif les armatures d'âme inclinées d'un angle a de telle sorte que

A,leur volume relatif p = soit minimal,

' b0 . s tsinoc

3) de calculer les armatures d'âme inclinées d'un angle a = 45°,

4) de déterminer les armatures d'âme droites et les armatures horizontales associées répar-ties sur la hauteur de l'âme.

— CORRIGÉ —

1. EFFORT TRANCHANT

1.1. EFFORT TRANCHANT MAXIMAL

05 = poids volumique du béton armég = O5.b0.h

Pu=U5.g

, QU=1,5.Q

P u - l l- a

05 = 25 kN/m3

g = 25.10-3. 2,05 . 0,75 = 0,0384 MN/m

pu= 1,35 . 0,0384 = 0,0518 MN/m

Qu =1 ,5 . 3,525 = 5,288 MN

5,288 11 - —I = 4,277 MN12/2

0,311 3,966

1.2. EFFORT TRANCHANT RÉDUIT(TRANSMISSION DIRECTE DES CHARGES AUX APPUIS)


Charge concentrée :

h _ 3h— < a < -2 2

VUO(Q) = — VU(Q)3h

Total :

Vuo=Vu0(pu) + Vu0(Q

Vu0 (p u) = 0,311 - 0,0518 ±^± = 0,223 MN

^^ = 1,025 m < a = 3 m < 3,075 m = ^2 2

9 ^ 00Vu0 (Q) = ^L^^L 3,966 = 3,869 MN

3 . 2,05

Vu0= 0,223 + 3,869 = 4,092 MN



d = 0,9.h

' uO

d = 0,9 . 2,05 = 1,845 = 1,85 m

4,092b0 . d T .. =

0,75 . 1,85= 2,95 MPa

2 2. VÉRIFICATION

Fissuration 1préjudiciable J

T,,m = Min

< THm

0,15^ = 2,!

^4MPa

Tu0 = 2,95 MPa > 2,5 MPa = Tlim

=> Armatures d'âme inclinéesde 45° < oc < 90°

3. MINIMUM D'ARMATURES D'ÂME INCLINÉES

3.1. INTRODUCTION

Volume relatif d'armatures d'âme inclinées :

A, \-<>,3.k.f t jp = =1 b Q . s t s ina 0,9 . fed (sin a + cos a) sin a

Ce volume relatif est minimal pour :f(cc) = (sinoc + cosoc)sina maximal

d'où : f (a)= 2sina cosoc + cos2 a - sin2 a= sin2a + cos2a = 0

TC-

n n- + k.-

k = 0 =^ a = - — <0< 45° donc inacceptable,o

371k = 1 => a = -<r = 61,5° compris entre 45° et 90° O.K.,

77lk = 2 =^ a = -r= 157,5° > 90° donc inacceptable.

8

L'extremum est donc obtenu pour a = 67,5° et on a :

f ' ( a )o>

f (a)

45 1 6 7 , 5 *

1,207

Par conséquent : [p ] <=* a = 67,5°.rt min

9 0 *

3.2. VÉRIFICATION DU BETON

. = Minhm

V) > < Tlim

10-3— MPa45 /

T =Minhm

MPa = 5,5

Tu0 = 2,95 MPa < 3,5 MPa = Tlim O.K.

3.3. ARMATURES D'AME

A, fet V°'3-k ' f t j

b0 . s, ' y 0,9 (sin a + cos a)

avec :oc = inclinaison des At,

UO

«o b0 . d

At inclinées => a = 67,5°Fe E 500 => fet = 500 MPa, ys = 1,15

TU() = 2,95 MPa

^ 0 si reprise sans indentations, - reprise non traitée,k = <( 0 si fissuration très préjudiciable, - fissuration préjudiciable, } =» k = 0

1 sinon en flexion simple. - flexion simple.

ft28 bornée supérieurement à 3,3 MPa ft28 = 2,1 MPa < 3,3 MPa O.K.

V 75 . 2,95

3.4. POURCENTAGE MINIMAL

- fet > 0,4 MPab 0 . s t

et

3.5. DIAMÈTRE DES At

(sin 67,5+cos 67,5)

At 75.0,4 1-

-TTT cm2/cm

,< Min /h/35

|b0/10

A, 1 1— = ->— —O.K.s, 2,31 16,67

[32 mm<ï>t < 32 mm = Min h 050/35 = 58,6

J750/10 = 75=> prenons <!>, = 12 mm

(> O/3 = 32/3 = 10,7 mm)

d'où pour 7 files d'armatures longitudinales :

og

.'V

0 0

S oG

.

fa

S

3 cadres+1 étrierO12HA

3.6. ESPACEMENT MAXIMAL

[0,9ds, = Min /40cm

15<D' lminsiA'^

3.7. RETENU

A t =8 . 1,13 =9,04 cm2

=*st= 9,04. 2,31=20,88 cmretenons : 3 cadres + 1 étrier O 12 HA

sto = 20 cm

<0,9. 185 = 166 cmst < 40 cm = Min { 40 cm

sto = 20cm<40cm = st O.K.

cadres + 1 étrier O 1: = 67,5°: s,o =20 cm

• / - *.3 cadres + 1 étrier O 12 HA inclinés de

4. CADRES ET/OU ÉTRIERS INCLINÉS DE a = 45e


' f •0,21 — I o 27 — = 4 5

T.. =4,5 MPa = Min { 1,5lim

v7MPa

4-2. ARMATURES D'ÂME

A, fet \-° '3-k- ft J

7 MPa

Tu0 = 2,95 MPa < 4,5 MPa = ilim O.K.

o - st Y 0,9 (sin a + cos a)

avec :a = inclinaison des At,fet> Y,,

At inclinées => a = 45°Fe E 500 => fe t= 500 MPa, ys=l,15

VUQb0 . d

= 2,95 MPa

f 0 si reprise sans indentations, - reprise non traitée,ir, r . . k = < 0 si fissuration très préjudiciable, - fissuration préjudiciable, } => k = 0

1 1 sinon en flexion simple. - flexion simple.


..v A. 75 .2,95s.~~~ „ 500 ,

4.3. POURCENTAGE MINIMALA

— f , > 0,4 MPac ei

'' 0,9fy^(sin45+cos45)1,1 J

At 75.0,4 1b 0 . s t

^- l > * O.K.

s, 2,5 16,67

4.4. DIAMÈTRE DES A,

<D t < Min /h/35

|bo/10

<ï>t < 32 mm = Min (32 mm

x 2 050/35 = 58,6

J750/10 = 75

prenons <ï>t = 12 mm

(> <P,/3 = 32/3 = 10,7 mm)


V'

o

30 0

,? §ks

3 cadres+1 étrie^012HÀ

A,= 8. 1,13 = 9,04 cm2

=> s, = 9,04 . 2,50= 22,60 cm

retenons : 3 cadres + 1 étrier 4) 12 HAsto = 22 cm


[0,9dst = Min / 40 cm

(!5<D' l m i nsiA'*0

RETENU

(0,9. 185 = 166 cmst < 40 cm = Min < 40 cm

U

sto = 22 cm < 40 cm = st O.K.

3 cadres + 1 étrier <t> 12 HA inclinés dea = 45° : sto = 22 cm

5. ARMATURES D'ÂME DROITES ET ARMATURES PARALLÈLESÀ LA LIGNE MOYENNE

5.1. INTRODUCTION

En réalisant les armatures d'effort tranchant au moyen :- d'armatures d'âme droites d'une part,- d'armatures parallèles à l'axe de la poutre, réparties sur la hauteur de l'âme et dont lepourcentage soit au moins égal à celui des armatures d'âme droites d'autre part,la contrainte tangente limite peut être prise égale à celle correspondant à des armaturesd'âme inclinées à a = 45°.


0,27^

7 MPa

uO

_25_\ra = 4,5 MPa = Min \ ' Û"

JMPa

TUO = 2,95 MPa < 4,5 MPa = O.K.

5.3. ARMATURES D'ÂME DROÏTES

a) Calcul

\ fe, T

u-°'3-k^bo • st Ys 0,9 (sin a + cos a)

avec :oc = inclinaison des At,

fet. Y..

'un

At droites => a = 90°=> sina + cosa = 1 • ^Fe E 500 => fet = 500 MPa, JB = 1,15

b 0 . dT n = 2,95 MPa

uO

' 0 si reprise sans indentations,k = { 0 si fissuration très préjudiciable,

1 sinon en flexion simple.

- reprise non traitée,- fissuration préjudiciable,- flexion simple.

k = 0


A, 75 .2,95 1

0.9500 1,771,15

cirr/cm

b) Pourcentage minimalA.

- fet > 0,4 MPar\ o cl

- t . 75 . 0,4 1 :

b0 .s t

c) Diamètre des At

500 16,67cm "/cm

<ï>, < Min /h/35

lbo/10

A, 1 1-= >- O.K.s, 1,77 16,67

[32mmE>t < 32 mm = Min / 2 050/35 = 58,6 mm

(750/10 = 75 mm

• prenons <5t = 12 mm(> Oj/3 = 32/3 = 10,7 mm)


V'

O

80 0

8 84>%

3 cadres+1 étrier

O12HÀ

f

d) Espacement maximal

(0,9ds~, = Min / 40 cm

|

A,= 8. 1,13 = 9,04 cm2

=>s t=9,04. 1,77= 16,00cmretenons : 3 cadres + 1 étrier 12 HA

s,() = 16 cm

[0,9. 185 = 166 cmst < 40 cm = Min { 40 cm

sto = 16 cm < 40 cm = st O.K.

e) Retenu3 cadres + 1 étrier 12 HA verticauxsto = 16 cm

5.4. ARMATURES HORIZONTALES ASSOCIÉES

a) Calcul

> —z s.

V ! 2/--Û7cm/cm

ZAh = Somme des brins composant les armatures horizontales associées des deux facessur la hauteur de l'âme,

z = 0,9d = hauteur du treillis de Môrsch.

= 94,07 cm2

pour des armatures horizontalesle long des faces externes des cadres

1,77

4x8<520HA s, =0,9. 185

= 20 cm

ZAh = 4. 8. 3,14 =100,48 cm2.

020HÀsh

<t>20HÀsh

-?•

/ •

-?•

Ë£3

::==:

O O

8 8,

E\*-_

•i>a

A

3 cadres + 1 étrierO12HÀ

b) Répartition des armatures horizontales associées

On arrêtera le double système d'armatures à l'abscisse x, depuis le nu d'appui, où :Tu=TUm(a = 90°)

d'où:

V = T . .b0.du hmVu = 2,5 . 0,75 . 1,85 = 3,469 MN

• Diagramme de l'effort tranchant :

- pour 0 < x < a - evu = Vumax - 1,35 g x x = 0 : Vu = 4,277 MN (cf. § 1.1.)

x = a : Vu = 4,277 - 0,0518 . 3,00 = 4,122 MN

pour a + e < x < /

Vu = Vumax - 1,35 g x - 1,5 Q x = a : Vu = 4,277 - 0,0518 . 3,00 - 5,288 = - 1,166 I\

x = / : Vu = 4,277 - 0,0518 . 12,00 - 5,288 = - 1,633

4 , 2 7 74,122

3,469^7

-1,633

• Les armatures d'accompagnement doivent donc régner jusqu'à la section d'abscissea = 3,00 m depuis l'appui de gauche, avec, compte tenu de leur ancrage, une longueur :

-1/2 COUPE AA= V

a + L - a + 44O a + /. = 3,00 + 44 . 0,02 = 3,88 m

2 05m 020HÀs h = 2 0

02QHÀsh= 20 cm

cm

-

•

.

•

'x:.1:o^t§_

o o

8 a $,

37, 5cm

3 cadres+1 étrier<t>12HÀ

5.5. SCHEMA DE FERRAILLAGE D'EFFORT TRANCHANT

-ELEVATIOH-

/\

le

44* (ou ancrage courbe)

sh = 2 0 cm

3 , 0 0 m

II.

3 cadres + 1 étrier

<J)12HA s=16cm

6. REMARQUE

En rapportant le volume des armatures d'âme au volume de béton associé :

pour a = 67,5°

pour a = 45°

pour a = 90°

b 0 . s t . s ina 75 . 2,31 . sin67,5 160,06

b 0 . s t . s ina 75 . 2,50 . sin 45 132,58

2A Ib 0 . s t b 0 . z b 0 . s , 75.1,77 66,38

Donc :

- la solution a = 67,5° est la plus économique (mais la plus compliquée et sa mise en placeest peu réaliste),

- la solution a = 90° + armatures associées est la moins économique de beaucoup.

Contrairement à une opinion assez répandue (la longueur sur laquelle la dépense nécessaireavec cette dernière solution est courte), cet exemple montre que, dans certains cas, une partimportante de la portée de la poutre peut être affectée.

CHAPITRE 8

FLEXION COMPOSEE

I. RAPPELS DE COURS

1. GÉNÉRALITÉS - INTRODUCTION

1.1. GÉNÉRALITÉS

On désigne par (sollicitations fournies par les calculs de Résistance des Matériaux) :• MGo le moment de flexion (ultime ou de service) par rapport au centre de gravité de lasection de béton seul (de signe quelconque),• N l'effort normal (ultime ou de service) ; par convention :- positif pour une compression,- négatif pour une traction.

Le système (MGo, N) est équivalent à une force unique équipollente à N et appliquée en unpoint C (centre de pression) contenu dans le plan moyen. La distance G0 C est appeléeexcentricité de la force extérieure (équipollente à l'effort normal N et passant par C) parrapport à G0.

eo

("Cj=centre de pression

En flexion composée, sollicitation vectorielle, la valeur du moment de flexion dépenddu point où l'on effectue la réduction des forces (centre de gravité G0 du béton seul Oncentre de gravité A des armatures tendues).

En flexion composée, la première chose à faire est de rechercher la position du centre riMG

pression en calculant e0 = —-p.

Le signe de MG fournit la position des aciers tendus :

avec:

ou :

MuG0 = Nu (ei + 62) = Nu eo

a =I% i .Q

V

M j et M j étant évalués sans les coefficients y

(ce sont des moments de service), ea n'intervient pas.

1.2. PRISE EN COMPTE FORFAITAIRE DES EFFETS DU SECOND ORDREEN FLEXION-COMPRESSION À L'E.L.U.

/f = longueur de flambement de la pièce (voir paragraphe 2.1. chapitre 5 « COMPRESSIONSIMPLE »,

h = hauteur de la section droite dans le plan de flexion,

/ = longueur libre de la pièce,

e a = Max J = excentricité additionnelle,

250

e j = —^—77 H e, = excentricité du 1 ordre à l'E.L.U.Sy.N,

1.2.1. Cas où //h > Max[15 ; 20.6

Vérifier la pièce à l'état-limite ultime de stabilité de forme (voir chapitre 1 1 « FLAMBEMENT »)•

1.2.2. Cas où Vh < Max[15 ; 20

Faire le calcul en flexion composée pour les sollicitations ultimes :

2. SECTIONS PARTIELLEMENT TENDUES

2.1. DOMAINE D'APPLICATION

2.1.1. À l'E.L.S.

On pose :

eOser =Nser

La section est partiellement tendue si : < , ;

a) Nser étant une compression (Nser > 0) => pour une section rectangulaire sans aciers-com-primés, il faut yl < h , d'où :

M s e r AS Mserl im = ~ab cb0h d-- = . - 1 -- .- b0d2abc

avec Mser A = moment fléchissant de service par rapport aux aciers tendus (même signe queMserG ). La nappe d'aciers n'est effectivement tendue que si la position de l'axe neutre est

telle que y] < d. Soit, en faisant oc, = — =1 dans l'expression de la page 130 (os = 0) :

A = 0,333

b) Nser étant une traction (Nser< 0) => C est à l'extérieur des traces des armatures.

2.1.2. A PE.L.U.

La section est partiellement tendue si :

a) Nu étant une compression (dans ce cas : Nu > 0 et e0 = el + e2 e0ser avec yu < h) :

AIlongementi Raccourcissementf bu

0 , 8.yu

pour une section rectangulaire,en l'absence d'aciers comprimésavec yu = h

soit, en considérant les moments par rapport aux aciers tendus :

bc = 0 ,8.b 0 .h . f b ;

b = d-0,4.hMBC = Fbc • zb

= 0,8. 1-0,4. b0.d \ d/

d'où: MBC = 0 , 8 . J L i - o , 4 . J L

b0 . d . fbu

et la section est partiellement tendue tant que yu < h c'est-à-dire tant que :

avec :MuA = moment fléchissant ultime par rapport aux aciers tendus (même signe que MuGo).La nappe d'aciers n'est effectivement tendue que si :

y u <d => ^bu<^Bo = 0,8(1 -0,4) = 0,480

b) Nu étant une traction (Nu < 0) => C est à l'extérieur des traces des armatures (dans ce cas :MJGO eoser à moins que les MjGo et les N; ne proviennent d'une action unique

^Yi -^iauquel cas e0 = e0ser).


2.2.1. Méthode de calcul

On se place dans le cas où l'une au moins des nappes d'armatures est tendue :

À . H

£ Vï"~^' \

\"1

B4 /\ /

..

' >

eA

—>

eo

B

^

v^

zb

'-S F // sc/

Fbc /f

\

r F \\

$n prenant les moments par rapport aux aciers tendus, les équations d'équilibre s'.àxivejit :| |MA = N . e A = F s c . z s + Fb c .zb f ' " |

l V[ _ C _i_ C _ p •-. "'j-1^ ~~ L bc ' L SC A S ., _. '»

soit en tenant compte des sections A et A' d'armatures :- (MA = N . eA = A' osc. Zs + Fbc. zb

N = Fhr + A' . OoC - A . as <=> Fbc + A' 0SC - A N

A + —

Les équations d'équilibre de la même section soumise en flexion simple au moment MA etaux mêmes déformations (donc aux mêmes contraintes et de même axe neutre) et muniedes sections d'armatures A et A ' s'écrivent :

|MA = A' asc . Z, + Fbc . z,,

' . asc-A .

d'où par identification, il vient :

À .-A H

2.2.2. Technique du calcul

• Calculer le moment MA (MuA ou MserA) par rapport aux aciers tendus,=> en déduire par le calcul en flexion simple les sections A et A ' des armatures,=> revenir à la flexion composée avec les sections d'aciers :

/A' = A'

où : N (Nu ou Nser) en valeur algébrique, as à l'état-limite déterminant pour le calcul de A.

2.2.3. Remarques

N est une compression (N > 0) => diminution de la section d'aciers tendus trouvée en

N est une traction (N < 0)flexion simple.augmentation de cette section.

2.2.4. Positions relatives de A, G0 et C

N > 0

H < 0

Mr >0G0

MG

"G,

Si N est une compression ; C est à l'opposé de A (centre de gravité des aciers tendus) parrapport à G0.Si N est une traction ; C et A sont du même côté par rapport à G0.


Moment au centre de gravité des aciers tendus (en valeur absolue) :

MA = M(

^N avec son signe

Comme la sollicitation de flexion composée est une sollicitation vectorielle, et que lescoefficients de pondération des actions ne sont pas nécessairement les mêmes pour lemoment et pour l'effort normal, il n'est pas possible de savoir de façon simple, a priori,s'il faut, ou non, prévoir des aciers comprimés. Des tableaux qui donnent les momentslimites ultimes réduits pour des aciers Fe E 500 et fc28 < 35 MPa figurent dans l'annexe 3en fin d'ouvrage.

Nécessité d'aciers comprimés :• à l'E.L.U. : MuA < Mlu => A' = 0• à l'E.L.S. : M^A < Mrh => A' = 0serA rb

Faire bien attention que c'est le moment MA (MuA ou MserA) qui est à comparer au momentlimite (Mlu ou Mrb) et non le moment MGo.

pans le cas où A' préexiste, la méthode de calcul exposée au paragraphe 2.2.2. s'applique :

1) en prenant à l'E.L.U. :

MBO = 0 ,48 .b 0 .d2 . f b u + A ' . f e d ( d - d ' )

2) en prenant à l'E.L.S. :

M , = 0,333. b n . d .a + A ' . < j (d — d ' ) avec a =15.o, —ser.hm ' 0 bc se se b c

3) en vérifiant que : A'calculé < A'réel

2.2.6. Section en T à l'E.L.U.

On suppose que le signe du moment MuA est tel que la table est comprimée.

a) Cas où MuA < MTu

La zone comprimée a une forme rectangulaire.Donc calcul en section rectangulaire de largeur b soumise à (MuA, Nu).

tyCasoùMuA>MTu

La zone comprimée a une forme de T. On opère par décomposition de la section :

-fb-br

d À . N . -©Sbc fbu

•bl

bc2fbcl

Les équations d'équilibre s'écrivent :

|MuA = Fbcl . Zbi +Fb c 2 .

\N u =F b c l + Fbc2-Fs

avec

donc

e t z b l = d - 0 , 4 . y u

h

/MuA = 0,8 . b0 . yu . fbu (d - 0,4 . yu) + (b - b0) h0 . fbu d - ( \ 2l

NU = 0,8 . b0 . yu . fbu + (b - b0) h0 . fbu - A . as

et en posant/M u R =M u A - (b -

int •/M u R =M u A - (b-bo)h 0 . f b u (d-^)

\N u R =N u - (b -b 0 )h 0 . f b u

il vient • ' MUR = °'8 • b° ' Yu ' fbu ~ °'4 '|NuR = 0,8 . b 0 . y u . f b u - A . os

soit les équations d'équilibre d'une section rectangulaire b0 d soumise à MuR et N

Donc calcul en section rectangulaire b0 d soumise à :'uR-

N u R=N u-(b-b 0)hQ . f b u

Il faut prendre garde de bien retrancher de A la quantité NuR/os (NuR en valeur algébrique)et non pas Nu/as.

2.3. SECTION MINIMALE D'ARMATURES

La sollicitation provoquant la fissuration du béton (ot = ftj) de la section supposée nonarmée et non fissurée doit entraîner dans les aciers tendus de la section réelle une contrain-te au plus égale à fe.

Le diagramme des contraintes est supposé linéaire.

Le point de passage de la résultante des contraintes normales est supposé identique à celuide la sollicitation de service la plus défavorable.

2.3.1. Cas des sections en T

Caractéristiques géométriques de la section non fissurée et non armée :

b - B=b0.h+(b-bQ)h0

bD.h2+(b-b0)h

20

2.Bv=h-v'

., 1 1 „

h OY

7ÛJ

P— !>'T. ÏT

Les excentricités e0 et eA ont le même signe que Nser (et que Nf), ce signe a été précisé en1.1. page 217. Nous avons, lorsque MGo > 0 :

~u©8 7F"~7

•

cas où Nf > 0

Nf N f . e 0 . v

avec :N f >0

cas où Nf < 0Nf N f . e 0 . v

avec :N f < 0

e0 > 0 (même signe que Nser) e0 < 0 (même signe que Nser)

D'où:

Nf N f . e 0 . v

'<=B-(MserG,

1

N

Nf = B . e 0 . v - I

P = B . v . v'-=rendement de la section

MN f - e

p . v *

o - P - 1/'

ftj

c- at p . v' (limiteNf N f . e 0 . v

en remarquant que ot - — > C

supérieure du noyau central).

D'où les cas à considérer :

1) cas où e0 > 0 (Nser est une compression) :a) si 0 < e0 < p . v', la section est entièrement comprimée : la condition de non fragilité

n'intervient pas et il faut prévoir, pour la section totale des armatures, la valeur minima-le requise pour les pièces comprimées (cf. § 4.3),

b) si e0 > p . v', la section est partiellement tendue et on détermine Amin en écrivant quepour Nf excentré de e0, la contrainte des aciers tendus atteint la limite d'élasticité, soit :

A_:_ =N f.eA N

z h =0,9 .d

N Nf e 0 -v '+0 , l .d

0,9. d

e0-v'+0,l .d

fe 0,9 . d B . e0 . v - 1avec e0 de même signe que Nser.

Amin est positif et n'a donc de sens que si eA > zb ou e0 > v' - 0,1 d.

Dans le cas contraire, on pourrait, théoriquement, prendre Amin = 0.

2) cas où e0 < 0 (Nser est une traction) :

a) si e0 < - (d - v'), la section est partiellement tendue : on se ramène donc au cas l.b ci-dessus avec e0 < 0,

b) si - (d - v') < e0 < 0, la section est entièrement tendue : il faut prévoir deux nappes

d'armatures tendues. On applique les formules du § 3.3.

Sous moment négatif, il suffit d'intervertir v et v' dans les formules précédentes, tout enconservant la convention : l'excentricité e0 a le même signe que Nser.


Caractéristiques géométriques de la section non fissurée et non armée :

B = b0 . h

hv = v = —

2

À . H.h

_

, bo

À H- — — 7

v

V

3

1 =12

P =12

B . v . v'

Section minimale d'armatures :

Les formules établies pour les sections en T partiellement tendues, s'écrivent :

1 hp.v 3 ' 2 1

° 3 ' 2

d'où :

A imin c '

e 0 -v '+0, l .d

0,9. dfy e 0 -0 ,5 .h+0, l .d

6 e -~ ° fe 0,9. d

Çj h e 0 -0 ,5 .h+0 , l .d0 . .

soit en admettant que d = 0,9 . h :

en-0,23

0 6.0,9

e f t-0,45.davec eo de même signe que NSI

I Remarque : dans le cas de la flexion simple (N = 0) :

si e0 tend vers l'infini, Amin —> 0,23 —- . b0 . de

et on retrouve la section minimale en flexion simple (cf. paragraphe 6.1. chapitre 6« Flexion simple »).

2.4. CALCUL DES CONTRAINTES À L'E.L.S.

2.4.1. Cas de la section en T

1i

<£

i . N .

7

8-

rÀ

5

i

..__^H-

c '

V,Jl

f.

vc^ à;z K=

_n

^ser/AH

-d') n-15

II

On pose :yi = distance, toujours positive, de la fibre la plus comprimée de la section à l'axe neutre,yc = distance du centre de pression C à l'axe neutre, de même signe que Nser,eA = distance du centre de gravité des aciers tendus au centre de pression C, de même signe

queNser,

c = distance de la fibre la plus comprimée de la section au centre de pression C :c = d - eA :

si Nser > 0 et eA > d, on a c < 0 (C est à l'extérieur de la section),si Nser > 0 et eA < d, on a c> 0 (C est à l'intérieur de la section),si Nser < 0, on a toujours c> 0 (C est à l'intérieur ou à l'extérieur de la section),

Dans tous les cas : y, = yc + c

Position de l'axe neutre

Section

b.y,Jl

àdéduire

À 1

À

H/K

1 b y2

2 D 'yl

--^-(b-bnJCy.-h,,)2

n . À ' C V j ^ - d 1 )

-n.A(d-Vl)

y - N

^1 K

Z/C

Vl-c3 °

Vl"h°,h c3 0 e

d'-c

d-c

M/C

i h /T T lr.,2ryc+c ^To(yc+c) L 3

b-bQ 2 yc+c+2hn

2 (yc|c ho j

3

n . À 1 (yc+c-d')(d'-c)

n . À (yc+c-d) (d-c)

Z2= M / c=0

En écrivant £2 - M/c = 0, on obtient l'équation du troisième degré en yc

vc3

p

+p-yc+q=o-, b 2 , ^ / b 1 \ / _ u \ 2 , G n A ' / j , , 6nÀ , , ,-3 c^+JC 1KC nn j + , (a c)+ , (a c)bo bo bo bo-, b _ 3 , 0 , b ^,m u ^3 6nÀ' / j - x2 6nÀ /-• ^*• Kbo Do o

i L jy , ^u c jbo

La résolution de cette équation donne yc :sinon voir §2.4.2. avec bQ=b

(section rectangulaire de largeur b)> yc ==>

II faut vérifier que la section comporte bien une nappe d'aciers tendus, c'est-à-dire :y t = yc + c < d

Moment d'inertie

by3 (b-bn)(yi-hQ)3

-+nA' (y^d1 )2+nA(d-y1)'i

Calcul des contraintesEn écrivant que le moment des forces internes par rapport à l'axe neutre vaut : ,•,„.

Mser/AN = Nser • Ycil vient :

Les contraintes valent alors :

abc~^ • yl — abc dans tous les cas

as=n.K(d-yn) jllTg" si la fissuration est préjudi-ciable ou très préjudicia-blé

2.4.2. Cas de la section rectangulairePour b = b0, les équations précédentes s'écriventPosition de l'axe neutre

?=3

p-

q •

+p.yc+q=0

o 2 , 6nA' , , ,bo

, 3 6nÀ' , , ,

' bo (

, 6nA , , ,bo

,2 6nA , ,bo

)2

Il faut vérifier que la section comporte bien une nappe d'aciers tendus, c'est-à-direY! = yc + c < d

Moment d'inertie

»nViII- ° 1 +nA'(y1-d l

Calcul des contraintes

T,_ MserXAHK — • — >

C'bc3^ • yl — bc dans tous les cas

a =n . K(d—y-i) i'ôg' si la fissuration est préjudi-ciable ou très préjudicia-

asc=n.K(y1-d1) blé

3. SECTIONS ENTIÈREMENT TENDUES


À l'E.L.U. comme à l'E.L.S. la section est entièrement tendue si :

|N est une traction (N < 0),

\C tombe entre les armatures.


L'équilibre des moments par rapport aux. armatures donne :

A -1 o

A _ -2 /(

H 'eA23Àl + eÀ2)asl

N.e , .Al

SAl + eA2)as2

Solution économique : avoir le centre de gravité des armatures en C, d'où :

calcul à l'E.L.U. : Pivot A => asl = as2 = f e .

calcul à l'E.L.S. :

sl = s2

as[ = as2= as

3 3. SECTION MINIMALE

Lorsque MGo > 0, nous avons (cf. § 2.3.1) :

Nf=iP 'V ' ï»-1*

B -MjÎ . e 0 . v - l e 0 - p . v

= rendement de la section — pour une section rectangulaire' . v . v \3

détermine Amin en écrivant que pour Nf excentré de e0 ser, la contrainte des aciers tendus

atteint la limite d'élasticité. D'où les conditions à vérifier :

Nf CA2

N f . e A1

Sous moment négatif, il suffit d'intervertir v et v' d'une part puis AI, CAI et A2, eA2 d'autrepart dans les formules précédentes, tout en conservant la convention : e0 < 0 lorsque Nser

est une traction. On remarquera que A2 est la section la plus tendue dans tous les cas.

Remarque : dans le cas de la traction simple :

0 N B . f e t A + Asif.

m i n 2^B -+

et on retrouve la section minimale en traction simple (cf. § 5. Chapitre 5 « TRACTION SIMPLE »).

4. SECTIONS ENTIÈREMENT COMPRIMÉES

4.1. DOMAINE D'APPLICATIONLa section est entièrement comprimée si, la section A' des armatures les plus compriméesétant supposée connue (en cas contraire, faire A' = 0 dans les formules qui suivent), on

vérifie les conditions ci-après.

4.1.1. À TE.L.S.

N ser est une compression (N ser > 0),

M1 h

ser A 2 d1 h3 d

- A ' c r ( d - d ' ) > — . — ! - — . — b n d a. pour une section rectangulaireH i ^ H

avec a = 15 ah-d'

bc

4.1.2. À l'E.L.U.

' Nu est une compression (Nu > 0),

MUA - A'fed (d - d') > MBC = 0,8 - 1 - 0,4 - b 0 d 2 fbu pour une section rectangulaire


4.2.1. Dimensionnement à l'E.L.U.

Calcul manuel au pivot C compliqué, on utilise des abaques (diagrammes d'interaction}voir paragraphe 5. Voir aussi chapitre 1 1 « FLAMBEMENT ».

4.2.2. Dimensionnement à l'E.L.S.

-£L-f-

-4—4 .JS3

d;

sel

n=15

On désigne par :MSerG = Nser-eG = moment au centre de gravité G de la section homogène,A! et A2 = sections d'aciers comprimés (fixées en satisfaisant le pourcentage

minimal en compression simple du paragraphe 4.3.).Les caractéristiques géométriques de la section homogène sont :B0 = B + 15(A1+A2),Io = moment d'inertie de la section B0 par rapport à G.On obtient la contrainte maximale du béton :

. V

<0bc

Pour le dimensionnement, il faut se fixer a priori A l t A2 et chercher par tâtonnements :

1) à ce que C reste dans le noyau central [ -M

B 0 . v '<en =

serG

N

2) à ce que (abc) max < a^ = 0,6 fc28 avec (obc) max » obc.

4 3. SECTION MINIMALE

Ucm^/m de périmètre

'"•^B = aire de la section de béton seul.

R DIAGRAMMES D'INTERACTIONLes diagrammes d'interaction moment-effort normal sont des abaques permettant undimensionnement ou une vérification rapides de sections droites dont la forme et la distri-bution des armatures sont fixées à l'avance.

Les diagrammes d'interaction sont établis uniquement pour l'état-limite ultime (rienn'empêche d'en établir à l'E.L.S. sur le même principe).

*5.1. ÉQUATIONS

BETON ACIERS

DEFORMATIONS CONTRAINTES

Section quelconque à plan moyen, munie d'armatures respectant la symétrie :

G0 - centre de gravité de la section de béton seul,G0y = axe situé dans le plan de symétrie,

G0x = axe normal au plan de symétrie,dj = distance de l'axe G0x à l'armature de section Aj, comptée positivement dans le

sens ascendant,An = armature la plus éloignée de la fibre la plus comprimée,

B = aire de la section de béton seul,v' et v = distances de G0x aux fibres extrêmes, respectivement comprimée et tendue, de la

section.

Dans le cas d'une flexion de sens déterminé (comprimant par exemple la fibre supérieurede la section) et pour une valeur de y, fixant la position de l'axe neutre, prise arbitraire-ment, on a :

1) un diagramme des déformations passant par le pivot associé à y :

y < 0,259(v' - dn) => Pivot A,

0,259(v' - dn) < y < h => Pivot B,

y > h Pivot C,

avec :

ecç = raccourcissement de la fibre de béton à la profondeur £,esj = déformation de l'armature Aj,

2) un diagramme des contraintes dans le béton et dans l'acier, avec les conventions dsignes précisées sur la figure ci-avant, donnant les contraintes :

acç pour la fibre de béton à la profondeur J;,

asj pour l'armature AJ.

La résultante et le moment résultant en G0 des forces internes sont obtenus par les relations •

n

Dans le repère orthonormé plan (OM, ON), le point P, de coordonnées M,(y) et N t(y)décrit, lorsque y varie de - °° à + °°, un arc de courbe généralement convexe (F,), appelé :COURBE D'INTERACTION.

NCOMPRESSION

TRACTION

5.2. DISCUSSION , . - , ., ^ _ . - , . .

5.2.1- Cas où y est égal à moins l'infini ;

Le diagramme des déformations est constitué par la verticale du pivot A. On est donc enTRACTION SIMPLE.

Le point correspondant de la courbe d'interaction est le point PT défini par : i | V j _ «

11 * . . , , . • . „ : . !

M 1 ( -oo)=M T =ZAj .asj .djn

.d

1 N 1 ( -oo)=N T =ZA j .asj — f e d S À j

On remarque que : n . . • ; . .

M^(-OO)=MT=O = = >!] Aj .dj=0 ==>GQ=centre de gravité des1 armatures Aj.

• < ? ' . • > .r

5.2.2. Cas où y est égal à plus l'infini

Le diagramme des déformations est constitué par la verticale du pivot C. On est donc enCOMPRESSION SIMPLE.

V = 2/1 000 o , = E . e . = 2 . 105 . 2 . 1(T3 = 400 MPasj sjLa contrainte <TS. ne peut donc excéder cette valeur :

- pour les aciers Fe E 400 : os. = 400 MPa = fed

- pour les aciers Fe E 500 : osj = 400 MPa < fed

soit •Le point correspondant de la courbe d'interaction est le point Pc défini par :

n n.d j (ou . d )

H C= B - f b u + f e d Ï A - j (ou N c =B.f b u +400lA-j )

On remarque que :n

M-L( + OO)=M£=O ==>2 Aj .dj=0 ==>GQ=centre de gravité des1 armatures Aj.

5.2.3. Cas où Nj = 0Pour une certaine position de l'axe neutre, définie par yF], le point P! occupe sur

position PF1 définie par :

•,.£

la

|M,(yF1)=MF1

|Ni(yF,) = 0

On est alors en FLEXION SIMPLE correspondant au sens de flexion considéré.

5.2.4. Cas de la flexion inverse

En changeant le sens des moments, on décrit l'arc de courbe (F2) limité par les points P

P -Pour une certaine position de l'axe neutre définie par yF2, le point représentatif occupe sur(F2) la position PF2 définie par (bras de levier v - ^ au lieu de v' - £) :

M2 (yF2) = MF2 de sens contraire à MF1

N2(yF2) = o

5.3. COURBE D'INTERACTION

L'ensemble des deux courbes, (F,) et (F2), constitue un contour continu et fermé (Cp)appelé : COURBE D'INTERACTION.

Si la section présente un centre de symétrie :- les points PT et Pc sont situés sur l'axe ON,

- les deux courbes (F^ et (F2) sont symétriques par rapport à cet axe.

Le contour fermé (Cp) constitue la frontière du « DOMAINE DE SÉCURITÉ » de la sec-

tion étudiée, munie de ses armatures de section totale ZAj. Le point représentatif de la solli-

citation ultime agissante (de coordonnées MuGo, Nu) doit se trouver à l'intérieur ou sur lafrontière du domaine de sécurité.

Si la section ne comporte aucune armature :

= MT = 0

NT = 0A; = 0 quel que soit j => /

| |Nc = B . f b u

En faisant varier y, on obtient le contour (C0) définissant le domaine de sécurité « lenticulaire »de la section sans armatures. En fait, un pourcentage minimal d'armatures est toujours exigé.

5.4. TRACÉ DES DIAGRAMMES D'INTERACTION

Pour une section donnée (béton, armatures, position des aciers) on définit à partir desefforts internes N; et MjG calculés en 5.1. les quantités sans dimensions :

v = B . f ,: effort normal réduit

'bu

B = aire totale de la section de béton seulMiG

|0. = :jr— —^— : moment fléchissant réduit en G0" • " ' *bu

h = hauteur totale de la section dans le plan de flexion

P =SA. - f ,led

B . f L: pourcentage mécanique d'armatures.

Pour une position fixée des armatures à l'intérieur de la section, si l'on fait varier p - par pasde 0,1 par exemple (p = 0 ; 0,1 ; 0,2 ; 0,3...) - on obtient dans le repère orthonormé réduit(u,v) un réseau de courbes Cp (C0 ; Ct ; C2 ; C3...) appelé DIAGRAMME D'INTERACTION.

5.5. PROPRIÉTÉS DES DIAGRAMMES D'INTERACTION

Les valeurs de p sont uniformément réparties (intervalle constant entre deux valeurs suc-cessives) suivant les droites « rayonnantes » correspondant à y = Cste (c'est-à-dire à uncouple donné de déformations ebc, esn constant). Il convient donc de conduire les interpola-tions dans les directions de ces droites.

Pour la section sans armatures on a :

AJ = 0 quel que soit j

PT =f M T = - f c d . Z A j . d j = 0

Pc = <(Mc = f ed . :

n=ov = 0

> n = 0

> v = l

Pour une section donnée, avec une position des armatures fixée, les diagrammes d'interac-tion sont établis, par ordinateur, en faisant varier proportionnellement toutes les sections AJdes armatures.

Z k . AJ = k Z AJj j

d'où les coordonnées des points PT et Pc vérifient :

- pour PT :

f ^ZA r d jBhf bu j

*ed

Mv

Bf

h£A.^k

,'i/, .a.e

bu j

d'où le point PT se déplace sur une droite (AT) passant par le point PTO de coordonnées

(0, 0) et de pente k.

- pour Pc :

v =Bfbu

j _

Bfh,

d'où:j . dj

V —. . = k et le point Pc se déplace sur une droite (Aç.) passant par le point PII z.. » ;

de coordonnées (0,1) et de pente k. •:-'!tl

5.6. APPLICATION À LA DÉTERMINATION DES ARMATURESPOUR LES SECTIONS RECTANGULAIRES

Données :

fbu = 0,85.Âc28

9.1,5

Nu et MuGo (MuGo = NU(CI + e2) si Nu est une compression, comme indiqué au para-graphe 1.2.),

b0 et h.

Mode opératoire :1) Calculer les quantités réduites d'entrée dans les diagrammes :

y"T

*u

b O - h ' f b u

"uGr

h>

2) Déterminer, sur le diagramme d'interaction, par interpolation suivant les droites« rayonnantes » correspondant à y = Cste, le pourcentage mécanique d'armatures p :

W (s et e_n) constantssn

3) Calculer les armatures : tfOt'Di

P = - = =>

5.7. APPLICATION À LA VÉRIFICATION DES SECTIONS RECTANGULAIRES

Données :

y

t

fbu =0,85-^11 et f e d=^0.1 ,5 !-

s i N

est une compression)

b 0 e t h

>x

Mode opératoire :

1) Calculer les quantités réduites d'entrée dans les diagrammes :

V = i

n = -

p = ]

2) Vérifier sur le diagramme d'interaction que le point de coordonnées ((i, v) se trouve a

l'intérieur ou sur la courbe (Cp) correspondant au pourcentage mécanique d'armatures pcalculé :

à

5.8. EXEMPLES DE DIAGRAMMES D'INTERACTIONSection rectangulaire à armatures symétriques W -,

= 0,10 fe = 500MPah

(1) Extrait du « CEB/FIP Manual on Bending and Compression », 1982, Construction Press, Ed.

Il /"vrv : ,'¥ f'\9 J - pi*

i !><• m

Aai i

" 1

i i r

T

n 2

.//f/i///i7

/

2ZFZ

^?k\\K\\K

\\H\\X

\X\\A\ Xi\l\\XXKAf\W

O

g•s

(-. £X

ta

i

ça

LïTi) i) )! )n n«

II. EXERCICE N° 1 : FLEXION - COMPRESSIONSECTION PARTIELLEMENT TENDUE

— ÉNONCÉ —

• Sollicitations ramenées au centre de gravité dubéton seul :

1 Q = 6, O 0 m - permanentes :Ng = 85 kN, Mg = 90 mkN

- variables de durée d'application supérieure à24 heures :

Nq = 75 kN, Mq = 80 mkN, avec \|/2 = 0.


• Matériaux : '- béton : fc28 = 25 MPa,- aciers : Fe E 500 HA.

¥

r^1

>

Nu

M MG0

^1 'COUPE AA

55cm

2 2cm

l On se propose de calculer les armatures en pied de poteau.

1.2. ACIERS

a) Résistance de calcul

b) Contrainte limite à l'E.L.S.

fissuration peu

préjudiciable

500

1,15= 435 MPa

pas de limitation de as en service

2. SOLLICITATIONS EN PIED DE POTEAU

2.1. ÉTAT-LIMITE ULTIME

a) Sollicitations de calcul

£YjMjGo = 1,35 Mg+ 1,5 Mq

EYiNj= l ,35N g +l ,5N q

l2cmea = Max1//250

EYj MjGo = 1,35 . 90 + 1,5 . 80 = 241,5 mkN

YiN; = 1,35 . 85 + 1,5 . 75 = 227,25 kN

|2 cm1600/250 = 2,4 cm

ea = 2,4 cm = Max

e i = -Ni

- + ea

— CORRIGE —


1.1. BÉTON


fbu = 0,85. ^28£ = 0 , 8 5 .

251.1,5 = 14,2 MPa

b) Résistance à la traction

ft28=0,6 + 0,06fc28 ft28 = 0,6 + 0,06 . 25 = 2,10 MPa

b) Sollicitations ultimes corrigées pour flambement

Puisque Nu > 0 est une compression.

Élancement géométrique :

poteau encastré dans un massif de fondation :

/ f=0,7. / 0 lf= 0,7. 6 = 4,20 m

Type de calcul :

pièce chargée ^de façonexcentrée

lt— >< Max

15

20 T

4,20055

= 7,64< 15 <Max.

15

20 Y

Calcul en flexion composée en tenantcompte, de façon forfaitaire, de l'excen-tricité du second ordre.

Excentricité du second ordre :

oc =M, Q.

i >2

M,=90 + 80=170mkN

« = = 0,529

3 .4 20(2+ 0,529. 2) = 0,i

^ « IU . U,D3

avec : cp = 2

Sollicitations corrigées pour le calcul en flexion composée:

Nu = 227,25 kN

M u G =227,25(1,087 + 0,029)

= 253,61 mkN

e 0= 1,087+ 0,029 =1,116 m

Sollicitations ramenées au centre de gravité des aciers tendus :

M,

M UG n = N u(e 1 +e 2)

= e , + e 2

30 30

e = + 0,50-^ = 1,341 m2

Mu A = 227,25 . 1,341 = 304,74 mkN


ser = Ng+Nq

MserGn = M s + M Q

MserGnC0ser jy

On remarque que e0 à l'E.L.U. ï e0ser à l'E.L.S.Sollicitations ramenées au centre de gravité des aciers tendus :

h\ 0,55eA = 1,063 + 0,50-~ = 1,288 m

M serA . 1,288 = 206,08 mkN

3. ARMATURES

3.1. INTRODUCTION

Moment réduit de référence à l'E.L.U. :

Allongement .Raccourcissementb»

Moment réduit agissant

. fb O ' d ' fbu

Conclusion :

= 304,74.10-_bu 0,22 . 0,502 . 14,2

= 0,390 <^BC= 0,4928

Section partiellement tendue.

3.2. CALCUL DES ACIERS EN FLEXION SIMPLE

a) Nécessité d'aciers comprimés

Moment réduit limite :

MYM

uA

M M serA

N.sei

N,v =:

304,74 , ._.v = = 1 479"M 206,08 '

227 25ZZ/,Z3

"N 160 '

227,25. 10'3V" ~ 0,22 . 0,50 . 14,2

= 0,15

Les tableaux de l'annexe 3 donnent les valeurs de 104 |tilu, pour Fe E 500, fc28 < 35 MPa et0 = 1 :

YN = MO1,45

1,42

Y M =M5

293829002923

1,50

3 1403 104

3 126

1,48

3045

Nécessité d'aciers comprimés A'

soit : p.lu = 0,305 (à comparer à p.lu = 0,294 sion négligeait l'effet de l'effort normal).

|ibu= 0,390 >^ ;u= 0,305

=> A' nécessaires.

b) Section A ' d'aciers comprimés

d '=Ô 'd

© © d-d 1

d=50cm

d ' = 5 c m

b0=22cm

Section (

Contrainte asce des aciers comprimés :

Fe E 500 =>

Section(g)

. fc28 -ô ' ( l3.f c 2 g + 415)K(MPa) (MPa) (MPa)

Aciers comprimés :M I u = m u . b 0 . d 2 . f b u

A' =MuA-M,u

(d-d'). a

o s c e=9. 1,479.25- — (13 . 2 5 + 4 1 5 ) .50

osce= 258,8 = 259 MPa

Mlu = 0,305 . 0,22 . 0,502 . 14,2 = 0,238

0,3047 - 0,238 M ïA =(0,50-0,05). 259 10 =5'72cm

c) Section A d'aciers tendus

Dans la section fictive © sans aciers comprimés :

bu - ^/u > < °>275 => Méthode

= d(l-0,4.ot)

(13.fc28 + 415)K-9.yM . f c 2 8

|ibu = 0,305 > 0,275 => Formules exactes

a = 1,25 [l - ^1-2.0,305]

a = 0,469

zb= 0,50 (1-0,4. 0,469)

zb=0,406mose = (13 . 25 + 415) 1 - 9 . 1,479 . 25ase= 407 MPaase = 407 MPa < 435 MPa O.K.

=> A = - - + A '0,238.104

: 0,406.435259

3.3. ARMATURES EN FLEXION COMPOSÉE

En prenant 3 files verticales :

A' = 5,72 cm

A = 17,12 - ^- 104 = 11,54 cm2

407

=> Aciers comprimés :3 0 16 HA :

A' = 3 . 2,01 = 6,03 cm2

=> Aciers tendus :lit 1: 3 <ï) 16 HA : 3 . 2,01 = 6,03 cm2

lit 2 : 3 $ 16 HA : 3 . 2,01 = 6,03 cm2

A = 12,06 cm2

Section minimale :

L'excentricité e0 à l'E.L.S. ayant même signe que Nser : e0 = e0ser = 1,063 m

e0 > 0,091 m = - . —— = p . v'u " 0 ' ' Q 9 '

=> La section est partiellement tendue

e0-0,45.d

3.4. SCHÉMA DE FERRAILLAGE

^22 50 L063-0.45 .0.50z i >063 - 0,185 . 0,50

A = °'92 Cm2 < 12'06 Cm

16HA

55 cm

V V V

• • •

3 <ft 16 HA

16HA

22cm

III. EXERCICE N° 2 : FLEXION - TRACTION -SECTION ENTIÈREMENT TENDUE

— ÉNONCÉ —

- m Sollicitations ramenées au centre de gravité dubéton seul :- permanentes : Ng = - 200 kN, Mg = 20 mkN,

60cm ~ variables de durée d'application supérieure à 24i . XT f^r\r\ I_XT » x ^f\ - I_XT

d2=5cm;

30cm

heures : Nq = - 200 kN, Mq = 20 mkN


• Matériaux :- béton : fc28 = 25 MPa,

- aciers : Fe E 500 HA.

I On se propose de calculer les armatures.

— CORRIGE —


1.1. BÉTON


fhll = 0,85.

") Résistance à la tractionft28 = 0,6 + 0,06fc28

1-2. ACIERS


b> Contrainte limite à l'E.L.S.fissuration peu préjudiciable

£ = 0 , 8 5 .'bu 1.1,5= 14,2 MPa

v.lH/ A.t

f,28 = 0,6 + 0,06 . 25 = 2,10 MPa

500f e d=- - = 435 MPa

1,15

pas de limitation de as en service

2. SOLLICITATIONS ULTIMES

Nu = 1,35 Ng + 1,5 Nq

MU G

0u '!-:

3. ARMATURES

3.1. INTRODUCTION

fissuration peu préjudiciable}

3.2. EXCENTRICITÉS

h , ,

0u

3.3. ARMATURES

Nappe supérieure :

A,="Al

Nappe inférieure :

A2

M u G = l , 3 5 . 2 0 + l , 5 . 2 0 =

u = - 1,35. 200- 1,5.57

= -570kN

-570 = -0,10 m

- '

Centre de pressionentre les armaturesa v e c N u < 0

1 Section/ entièrement(tendue

Calcul à 1'E.L.U.

0,602

eA1 = -^- - 0,05 + 0,10 = 0,35 m

-0,05 -0,10 = 0,15 m

0,570.0,15 In4 ,0-0,50.435 10 =3'93cm

3.4. SECTION MINIMALE

M serGo

XT = eOser

MserG =20 + 20=40mkN

Nser = - 200 - 200 = - 400 kN

40

° -400en = = -0,10m

Nf= P ' V ,B .^gf e 0 -p .v ' ^8 N f=-

-0,30

0,30.0,60.2,10=-0,189MN

A,xA . „ , = -V 2^^^min2^ / e +e \fVe Al +eA2-)Ie

3.5. SCHÉMA DE FERRAILLAGE

En prenant trois files verticales :

-0,10--0,30

A,-W.m>>..,3Œ'-!y|i£.0«at

A2.9.,7«B'>MSa.'.^^.o'OE:

=> Aciers tendus inférieurs :3 O 20 HA : A2= 3.3,14 = 9,42 cm2

=> Aciers tendus supérieurs : • ' . . ' !3 <ï> 14 HA: A! = 3.1,54 = 4,62 cm2 ^

60cm

0 0 0

30cm

Total : A , + A 2 = 13,10ciri

IV. EXERCICE N° 3 : FLEXION - TRACTION -SECTION PARTIELLEMENT TENDUE

— ÉNONCÉ —

• Sollicitations ramenées au centre de gravité dubéton seul :- permanentes : Ng = - 200 kN, Mg = 80 mkN,- variables de durée d'application supérieure à24 heures : Nq = - 160 kN, Mq = 60 mkN.

• Fissuration peu préjudiciable.50cm

5 0 cm

- Matériaux :- béton : fc28 = 25 MPa,- aciers : Fe E 500 HA.

• On se propose de calculer les armatures longitudinales.

— CORRIGE —


1.1. BÉTON


fbu = 0,85 . -^- fbu = 0,85 . ^ = 14,2 MPa

b) Résistance à la tractionf t28=0,6 + 0,06fc2g

1.2. ACIERS


b) Contrainte limite à l'E.L.S.

fissuration peu préjudiciable j

1. 1,5

ft28 = 0,6 + 0,06 . 25 = 2,10 MPa

1,15

pas de limitation de o en service

2. SOLLICITATIONS , >v r- =

2.1. ÉTAT-LIMITE ULTIME

Au centre de gravité du béton seul :

M u G o = 1,35 Mg +1,5 Mq

N, = 1,35 N + 1,5 Na

MuG n

Mu G =1,35. 80+1,5. 60 =198 mkN

N,,=-1,35. 200-1,5. 160=-510 kN

198Cn.. =Ou N

e°"~-510= -0,388 m

Sollicitations ramenées au centre de gravité des aciers tendus :

MrG0

e. = e^ = 0,388-0,45+^- = 0,188 m

M u A = 510. 0,188 = 96 mkN


Au centre de gravité du béton seul :

MserG, = M MserG, = 80+ 60 =140 mkNNser = - 200 - 160 = - 360 kN

M serG"Oser '

140360

' Sollicitations ramenées au centre de gravité des aciers tendus :

_( h3 Oser Ie1 2 e. =0,389-0,45 +

0,50A — vy,^u^ v/,-r^/ i -

= 360. 0,189 = 68 mkN

= 0,189m

3- ARMATURES3-l. INTRODUCTION

A l'état-limite ultime

Nu < 0 (traction) N,, = - 510 kN => Traction

'Ouh ~ = 0,388 m > -^- - 0,05 = 0,20 m

Le centre de pression est à l'extérieur desarmatures.Section partiellement tendue.

3.2. CALCUL EN FLEXION SIMPLE


Moment réduit limite :M uA

'M M serA

ser

N..v =-

0,510u 0,50 . 0,45 . 14,2

= 0,16

Les tableaux de l'annexe 3 donnent les valeurs de 104 |ilu, pour Fe E 500, fc28 < 35 MPa et6=1 :

vu = 0,15

YN=!'40

1,45

1,42

YM = MO2735

2694

2719

1,45

2938

2900

2923

1,41

2760

vu = 0,20

Y N =MO

1,45

1,42

YM=1-40

2757

2680

2726

1,45

2991

2927

2965

1,41

2774

vu=0,16

Nécessité d'aciers comprimés A' :M.

> 10 Viu = 2 760+ (2 774-2 760) =2 763

soit : (Alu = 0,276

1 u A

0,50. 0,45 . 14,2

= 0,067 <^;u = 0,276A' non nécessaires.

= 0,067

Section A d'aciers tendus

Hbu > < 0,275 => Méthode | bu = 0,067 < 0,275 => Formules simplifiéeszb= 0,45 (1-0,6. 0,067)zb=0,432m

A =M.,

Z b- f edA =

0,096 . 10*0,432. 435

3.3. ARMATURES EN FLEXION COMPOSEE

NuA=A-^ (avecNu<0) A = 5,11

En prenant quatre files verticales :=> Aciers tendus inférieurs :

lit 1: 4 <D 20 HA: 4 . 3,14 = 12,56 cm2

lit 2 : 4 $ 12 HA: 4. 1,13= 4,52cm2

A = 17,08 cm2

Section minimale

e0 à l'E.L.S. ayant même signe que Nser : e0 = e0ser= - 0,389 m

e0 >< _ (d - v') e0 = - 0,389 m < - 0,20 m = - (0,45 - 0,25)

f™ en - 0,45 d

3.4. SCHÉMA DU FERRAILLAGE

50cm

f —

\> \f \f V0 0 0 0

50cm

CHAPITRE 9

EPURES DE REPARTITIONDES ARMATURES

LONGITUDINALESET DES ARMATURES D'AME

Ce chapitre ne comporte pas d'exercices. Seul un rappel de cours est présenté.

I. RAPPELS DE COURS

[1. INTRODUCTION

En pratique :- on trace les courbes enveloppes du moment fléchissant M et de l'effort tranchant V,- on détermine les armatures longitudinales nécessaires dans les sections de moment extrê-

me (en travée et sur appuis),- on calcule les armatures d'âme correspondant aux efforts tranchants en certaines sections

(au voisinage des appuis et de part et d'autre des points d'application des chargesconcentrées).

On proportionne ensuite, en chaque section de la poutre, les armatures longitudinales et lesarmatures d'âme aux efforts qui s'y développent au moyen d'ÉPURES DE RÉPARTITION.

2- RÉPARTITION DES ARMATURES LONGITUDINALES2-i. MOMENT MAXIMAL ADMISSIBLE D'UN GROUPE DE BARRESLONGITUDINALES

C'est le moment maximal que peut équilibrer un groupe de i barres tendues :

- de section totale A; =; Ak ,k = 1

- pour une hauteur utile dj.Deux cas peuvent se présenter.


On suppose que la valeur du bras de levier zb trouvée lors du calcul de la section d'arma-

tures équilibrant le moment maximal (sur appui ou en travée) est constante sur la longueurde la poutre (cette simplification va dans le sens de la sécurité).

On a donc : , ; .... \

^ = A i - f e d . z 0 ' , , t

z0 valeur utilisée pour le calcul de A max dans la section

de moment extrême considérée (en travée ou sur appuis).

Dans le cas de plusieurs groupes de barres :

Mu = Z Muii '*• '

i

2.1.2. État-limite de service

De même que pour l'état-limite ultime :

I z j = d; 1 1 J valeur utilisée pour le calcul de A t

considérée (en travée ou sur appuis).

Dans le cas de plusieurs groupes de barres :

x dans la section de moment extrême

M s e r=ZMS (

2.2. ARRÊT DES BARRES

Lorsque l'on arrête dans une même section les i barres d'un groupe (supposées de même

diamètre), leur moment maximal admissible décroît linéairement de M; (Mui ou Mseri) à 0

sur la longueur d'ancrage de ces barres.

Il suffît de remarquer que :

1°) Mi = Aj. Os. zb est, pour A; et zb constants, proportionnel à os,

2°) os varie linéairement de 0 à sa valeur maximale sur la longueur d'ancrage /a.

On a :

/a = 4 pour des ancrages droits,

L = 0,4 . L pour les ancrages courbes des barres HA, ! avec crochets normaux/a= 0,6 . /s pour les ancrages courbes des ronds lisses.

2.3. DIAGRAMME DES MOMENTS ADMISSIBLES

Dans une poutre de hauteur constante, le DIAGRAMME DU MOMENT ADMISSIBLEd'un groupe de barres arrêtées se compose donc :- d'un segment de droite parallèle à l'axe de la poutre,

- de deux segments inclinés, aux extrémités du groupe de barres, de longueur /a en projec-

tion sur l'axe de la poutre.

ANCRAGE DROIT ANCRAGE PAR CROCHET NORMAL

Ligne de référence

fed à 1 ' E . L . U .

à l'E.L.S.

H.À.

0 , 6 .1 s : ronds 1 isses

avec les zh correspondants

Pour deux groupes de barres arrêtées successivement en B et D en partant du point demoment extrême, le diagramme des moments admissibles peut être de l'un des deux types Iou II ci-dessous suivant que la distance BD est supérieure ou inférieure à la longueur

d'ancrage /a du groupe de barres arrêtées en D :

*DB2la

DIAGRAMME DE TYPE IDB<la

DIAGRAMME DE TYPE II

Pour le segment C1BI, il suffit de remarquer que la part de moment admissible des barres

A3 à rajouter au moment admissible des barres A2 vaut :

AM = M3 . —/a3

cette quantité variant linéairement en fonction de l'abscisse x depuis le point Bj.

Propriété importante pour les diagrammes du type II :

Si B étant fixe, D se rapproche de B, la droite BlCl se déplace parallèlement à elle-même

(triangles semblables multiples dont B est centre de similitude).

® ©

4. RÈGLE DU DÉCALAGE

par suite de la fissuration oblique, l'effort de traction supporté par une armature dans unesection A d'abscisse x correspond au moment dans une section B d'abscisse x + a;.

Ce résultat est évident pour un treillis simple :

( S )

MB = M (x + a,) = Fs. z

7"x+a,

M ( différent deM (x)

Dans un treillis multiple de Môrsch, le point A appartient à plusieurs treillis à lacalcul plus complexe montre que le « décalage » qui dépend à la fois :- de l'inclinaison a des armatures d'âme et- de l'inclinaison réelle 0 des bielles de béton,est compris entre z et z/2.

fois. Un

Par sécurité, on adopte : a/ = z, c'est-à-dire, comme z = 0,9d ~ 0,8h :

h = hauteur totale de la poutre.

Il en résulte que le diagramme des moments admissibles des armatures longitudinalesd'une travée doit envelopper non pas la courbe enveloppe des moments : (C), mais la cour-be (C') obtenue en décalant de 0,8.h tous les points de (C) parallèlement à l'axe de lapoutre dans le sens le plus défavorable.

V

LIGNE DE I REFERENCE

(C1)

0,8.h|0,8.h

2.5. ÉPURE D'ARRÊT DES ARMATURES LONGITUDINALES

2.5.1. Principes

Arrêter toujours les armatures par groupes symétriques par rapport au plan moyen.Pour les armatures inférieures :- commencer par celles de la nappe la plus haute,- dans chaque nappe arrêter d'abord les barres les plus proches du plan moyen.

ou

(f) (3)

Pour les armatures supérieures : mêmes règles que ci-dessus, en commençant parnappes les plus basses.

2 5.2. Arrêt des armatures inférieures

Suivant la position des segments inclinés du diagramme des moments admissibles M parrapport à la courbe enveloppe décalée, il y a trois cas possibles :

Arrêt des Arrêt théorique Arrêt théorique

Cas© _Diagramme M

de type I

Cas (2) Cas (3)

Diagrammes M de type II

5.3. Arrêt des armatures supérieures

Suivant la position des segments inclinés du diagramme des moments admissibles M parrapport à la courbe enveloppe décalée, il y a deux cas possibles :

q'barres des q'barres

Cas© _Diagramme Mde type I

Cas (DDiagramme M

de type II

'.4. Remarques

L'épure se construit toujours en partant du moment maximal (positif ou négatif).

Pour les cas 1, correspondant au diagramme de type I, les arrêts sont toujours sur laenveloppe décalée (C').

Pour les cas 2 ou 3, on se sert de la propriété des diagrammes de type II pour enveloppermieux la courbe enveloppe décalée (C') et optimiser les longueurs des barres.

2.5.5. Exemple de diagramme de type I

courbe

au

Armaturessupérieures ) [

j-_j_JVt2' L-Ï-—i

t n'barres

P'barres'barres

n+p

n+p+q

Armatures jinférieures)

2.5.6. Remarques complémentaires

Sur appuis, conserver et ancrer une section d'aciers inférieurs suffisante pour équilibrer :

* Vumax pour un appui simple d'extrémité (cf. paragraphe 6.1. chapitre 7 «EFFORTTRANCHANT »),

M* Vumax- - pour un appui intermédiaire (cf. paragraphe 6.3. chapitre 7 « EFFOR'

zTRANCHANT »).

Les barres d'angle (5 ou 4, schémas page 264) ne sont donc généralement pas arrêtées.

Même lorsque l'épure d'arrêt des armatures supérieures n'exige plus de barres, prévoir desbarres de montage pour tenir les armatures d'âme.

Dans une poutre de hauteur variable :_ porter en ordonnée les sections d'aciers calculées en quelques points en tenant compte dela variation de z,- le décalage de 0,8. h, variable le long de la poutre, est appliqué à la courbe des sectionsd'aciers.

3. RÉPARTITION DES ARMATURES D'ÂME

3.1. CAS DES POUTRES DE SECTION CONSTANTESOUMISES À DES CHARGES UNIFORMES

Voir paragraphe 5, chapitre 7 « EFFORT TRANCHANT ».

3.2. CAS GÉNÉRALII s'agit de poutres :- supportant des charges concentrées,- et/ou de hauteur variable.

Méthode :1°) calculer les espacements pour un tracé d'armatures d'âme donné :- initial (au voisinage des appuis) et correspondant à l'effort tranchant réduit Vu0 dans la

5hsection à — du nu d'appui :

0,9A t(sina + cosa) fet

h (T - 0 3 k f 1 vD0( uO U ' :SKttjJ 'ss, y 0,9 (sin a + cos a)

- intermédiaires, immédiatement à gauche et à droite des sections où agissent les chargesconcentrées,

2°) tracer la courbe (E) représentative de st(x), ;

3°) choisir stl < s,0 (entier > 7 cm),

4°) placer la première nappe d'At à stl/2 du nu d'appui et répéter stl un nombre entier defois jusqu'à ce qu'il soit possible de passer à un espacement (entier) supérieur, et ainsi desuite, en enveloppant par dessous la courbe (E),

5°) arrêter le processus pour l'espacement stM immédiatement inférieur à :

^ • fet

s, = Min (

0,4 . b0

40cm

si A' non nul

wmwwuwijÂr~

entiers

6°) lorsque s, > st, diminuer At par :

- changement de tracé,

- ou diminution de t,

d'où une nouvelle courbe (E') que l'on peut envelopper à nouveau par dessous au moyendes étapes 4°) et 5°). On a alors deux possibilités :

- soit adopter le nouveau tracé At et recommencer dès le début si st0 > 1 cm, en envelop-pant (E') par dessous,

- soit continuer en enveloppant (E') au-delà de la section où l'on a réduit A,.

S'arranger pour que s( soit toujours croissant de stl às t avec des hauteurs de marches

(sti + i - sti) toujours plus grandes. En particulier, lorsque l'on change de tracé pour At, évi

ter de retomber à sti + , < sti pour ne pas compliquer le ferraillage.

V

DECONSEILLE

CHAPITRE 10

TORSION

I. RAPPELS DE COURS

1. INTRODUCTION

1.1. DÉFINITION

Une poutre à plan moyen est sollicitée en TORSION lorsque la résultante des forces appli-quées n'est pas contenue dans le plan moyen, mais dans un plan parallèle à celui-ci. La tor-sion pure se rencontre rarement en béton armé, le plus souvent, la torsion est accompagnéed'une flexion.

~

!-2. TORSION D'ÉQUILIBRE ET TORSION DE COMPATIBILITÉ

Si quel que soit l'état de déformation et de fissuration de la pièce sollicitée en torsion, lecouple de torsion reste invariable, la résistance doit être assurée par un ferraillage appro-prié. On dit alors que l'on se trouve dans le cas de la TORSION D'ÉQUILIBRE.

Exemple : poutre encastrée à ses deux extrémités supportant un auvent :

I I Le moment de flexion à~l Sport l'encastrement de l'auvent dans la

poutre produit un couple de torsiondans cette dernière.

Si au contraire, le couple de torsion diminue lorsque la déformation et/ou la fissuration de 1pièce sollicitée en torsion augmentent, il doit être tenu compte de l'effet de la torsion dans 1calcul des éléments auxquels la pièce est liée, mais non dans le calcul de la pièce elle-mêm *On dit alors que l'on se trouve dans le cas de la TORSION DE COMPATIBILITÉ.

Exemple : dalle encastrée dans deux poutres parallèles :

Le moment d'encastrement de la dalle dans les poutres produit un couple de torsion dansces dernières :

-^-<(MA ou M B )<0

Si les poutres se fissurent par torsion, leur raideur diminue (dans un rapport de 10 à 1 en\|ron) et :

MA et MB -» 0

2. RAPPELS DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

2.1. CONTRAINTES ENGENDRÉES PAR UN COUPLE DE TORSION

Un couple de torsion T appliqué à l'extrémité libre d'une barre encastrée produit une dis-torsion y des génératrices de la barre.

Les contraintes développées par le couple de torsion T sont donc des contraintes decisaillement (t).

î = - G . Y

G = module d'élasticité transversal du matériau constitutif de la barre.

2.2. TORSION DES TUBES MINCES

2.2.1. Flux du vecteur contrainte

Considérons l'élément ABCD de longueur dx découpé dans l'épaisseur du profil.

Les contraintes tangentes sur deux facettes orthogonales étant égales, on a :

T'i = Tj etT'2 = T2

La projection des forces élastiques suivant Ox donne, en l'absence de toute contrainte normale :,B ,D

J 71dxdy = Q

Cf>

soit, en admettant que les contraintes de cisaillement T sont constantes dans l'épaisseur edu tube mince : t .

T2.e2-T,.ei = 0

et comme les points A, B et C, D ont été choisis arbitrairement :

2.2.2. Valeur de la contrainte tangente

F étant le contour tracé à mi-épaisseur de la paroi du tube mince, l'équilibre de la sectiondroite s'écrit (moments en un point O en principe quelconque, en pratique centre de gravitéde la section droite) :

soit en remarquant que r . dy = 2 dQ où dQ représente l'aire du triangle hachuré sur la figu-re :

L'(Doù Q est l'aire délimitée par la courbe F, il vient :

Si Cj = Cste = b0, on a :

=


3.1. CAS DES SECTIONS CREUSES

La contrainte tangente ultime, pour des sections de forme convexe, a pour expression :

où:Tu = couple de torsion à l' état-limite ultime,b0 = épaisseur de la paroi au point considéré qui est égale, selon les Règles B AEL à :

(épaisseur réelleDO = Min

(a/6

a = diamètre du plus grand cercle inscriptible dans le contour extérieur de la section,Q, = aire du contour tracé à mi-épaisseur des parois.

3.2. CAS DES SECTIONS PLEINES

L'expérience montre que pour une pièce à profil plein de forme convexe, la zone centralen'apporte aucune contribution à la résistance à la torsion et qu'elle peut donc être négligée.

On se ramène au cas précédent en remplaçant la section réelle par une section creuse équi-valente d'épaisseur :

a = diamètre du plus grand cercle inscriptible dans le contour extérieur de la section.

b0=i

—x-x-4-

— X-—-J- 1

3.3. JUSTIFICATION DU BÉTON

En désignant par :îuV = contrainte tangente due à l'effort tranchant Vu,

vuTUV = — pour une section pleine de largeur minimale b,

DQ

vut .. — — - pour une section creuse d'épaisseur réelle de paroi bnuV (2b0)d

l

TuT = contrainte tangente due au couple de torsion Tu,

on doit vérifier :

sections creuses,

{"m : sections pleines.

avec pour des armatures d'âme droites (les seules à utiliser en torsion) :

FISSURATION

Peu préjudiciable

Préjudiciableou


7lxm

( n 9.Min<

{ SMPa

Î0.15'

4MPa

Ecj

\

*cj

'h

Nota : l'attention est attirée sur le fait que b0 n'a pas la même signification dans le calcul de i,et dans celui de TuT (voir exercice). uV

4. ARMATURES

Les armatures pour la torsion se composent d'un double système :- armatures transversales droites,- armatures longitudinales.

Elles ne sont nécessaires que dans les éléments où le couple de torsion ne diminue pas dufait de la fissuration du béton (cas de la torsion d'équilibre).

4.1. ARMATURES TRANSVERSALES

4.1.1. Calcul des armatures

En appliquant la règle des coutures aux plans perpendiculaires aux parois (voir paragraphe7.1. chapitre 7 « EFFORT TRANCHANT ») :

. fe d (s in90*+cos90*)=niD0st A4-

t £

- t^

TU3d 2 .Q

2.b Q .Q

At = Somme des brins d'armatures transversales contenus dans l'épaisseur b0.

Les armatures ainsi déterminées (constituées obligatoirement de cadres fermés) sont àrajouter et à combiner avec celles équilibrant l'effort tranchant.

Nota : At a une signification différente dans le chapitre effort tranchant et dans le chapitre torsion.

4.1.2. Pourcentage minimal

Comme pour l'effort tranchant et pour l'ensemble des armatures transversales (torsion +effort tranchant) :

b..b = largeur de la section pour une section pleine,

b = 2b0 pour une section creuse d'épaisseur de parois b0.

1.1.3. Espacement maximal

Comme pour l'effort tranchant :

Min

0,9.d

40cm

1minsi A'x0 réalisé avec des aciers

de diamètre <$>',.

4.2. ARMATURES LONGITUDINALES

4.2.1. Calcul des armatures

En appliquant la règle des coutures au plan de la section droite de la pièce (voir paragraphe7.1. chapitre 7 « EFFORT TRANCHANT ») :

Z À ,ed

2 À l f . „ TUu ea 2 . fi

avec :

ZAj = section totale d'aciers longitudinaux à répartir sur le pourtour du contour d'aire Qu = périmètre de l'aire £X

Dans le cas où les sollicitations de torsion et de flexion sont concomitantes :

• la section des aciers longitudinaux de torsion situés dans la zone tendue par la flexions'ajoute à celle des aciers tendus de flexion,

• la section des aciers longitudinaux de torsion situés dans la zone comprimée par la flexionvient en déduction de celle des aciers comprimés éventuels (le signe du résultat n'a aucuneimportance).

Il faut au moins une barre dans chaque angle.

4.2.2. Pourcentage minimal

Zàib0.u

f e 2 0 , 4 M P a

b0 = épaisseur de paroi utilisée dans le calcul de TuT.

II. EXERCICE : AUVENT

— ENONCE —

-ELEVATIOH- -COUPE AA-

2%(négligé)

• Actions variables de durée d'application supérieure à 24 heures :• q = 1 kN/m2 en projection verticale.

• Matériaux :• béton : fc28 = 25 MPa,• aciers : Fe E 500 HA,


• Pas de reprise de bétonnage dans la poutre 72 x 36 cm2.

• On se propose :1) d'évaluer les sollicitations extrêmes dans la poutre 72 x 36 cm2,2) de faire la vérification du béton,3) de calculer les armatures longitudinales,4) de déterminer les armatures transversales.

- CORRIGÉ -

1. SOLLICITATIONS DANS LA POUTRE D'APPUI DE L'AUVENT

1.1. DESCENTE DE CHARGES

En négligeant la pente de l'extrados de l'auvent, et en prenant les moments au centre de

gravité de la poutre 72 x 36 cm2, on obtient pour une bande d'auvent de largeur unité :

qI I I I I I I I I I I I

1 = 3 , 6 0 m

h = 0 , 7 2 m

b = 0 , 3 6 m

hrj = 0 , 0 8 m

h i = 0 , 1 6 m

ELEMENT

(T)w(?)vf

©Total

permanent

Totalvariable

p(kNXm)

7^ n ns i fin- 7 ?n

25 1 0 08 3 60-3 60

25.0,72.0,36= 6,48

g=17,28

1 (3 60+0 36)-q~3 96

x/0 (m)

3,60 0,36.

3,60 0,363 ' 2 1'3B

0

3,96 0,36,

2 2

px ( mkH/m )

14,26

4 Q 7

0

tg=19,23

_ •-} H Otq 7,1J

1.2. MOMENT FLÉCHISSANT

pu= 1,35g + l,5q pu= 1,35 . 17,3 + 1,5 . 3,96 = 29,3 kN/m

La poutre étant encastrée dans les poteaux, on obtient aux encastrements un(maximal en valeur absolue) :

2 ->

M =- P u - * '12 Mu = - 29,3 = - 39,07 mkN

j.3. EFFORT TRANCHANT

II est maximal sur appuis :

V..=Pu V = 29,3 =

1.4. COUPLE DE TORSION

a) Couple de torsion réparti

m tu= l,35tg+l,5tqmtu= 1,35 . 19,23 + 1,5 . 7,13 = 36,66 mkN/m

b) Couple de torsion

La poutre soumise à un couple uniforme de torsion est considérée comme encastrée dans

les poteaux.

-T,u

Par analogie avec l'effort tranchant le couple de torsion maximal est obtenu sur appui :

mtu • 2= 36,66. = 73,32 mkN


2.1. CONTRAINTE TANGENTE DUE À L'EFFORT TRANCHANT

VT .,=

Vu = Vu0 (pas de transmission directe de charges aux appuis)

b = largeur de la section.

2.2. CONTRAINTE TANGENTE DUE AU COUPLE DE TORSION

uT 2 hz • D 0 ' '

b0 = épaisseur de la paroi de la section creuse équivalente

Tumax= 0,0733 mMNavec :

Tumax = couple de torsion

(E.L.U.),

a = diamètre du plus grand cercle ,, ,,. lb=0,36ma = b = 36 cm = Mm <

mscnptible dans le contour exteneur, I h = 0,72 m

= (h - b0)(b - b0) aire grisée.

r1

M

LJSfc^JTt

4V1

tv—T ?


On doit respecter :

fissuration peu \'• j- • i-i f =* Tlim =Mmpréjudiciable /

section pleine } => T£ = T^v + 1

Yb5 MPa

= (72 - 6)(36 - 6) = 1 980 cm2

0,20 -^ /0,20 — = 3,33Yb tiim = Min { 1,5

MPa

^ = o,252 + 3,<? = 3,10 MPa

iu = 3,10 MPa < 3,33 MPa = t,im O.K.


3 1. ARMATURES LONGITUDINALES POUR LA FLEXION

ff .=0 ,85-

c2« fh,,=0,8525

^u

M,,

1 . 1,5

0,0391

b 0 - d - f b u 0,36.0,65^.14,2

= 14,2 MPa .,,k

= 0,018 ' :'

|Xbu > < 0,275 => Méthodezb=d(l-0,6|abu)

= > A ' = 0(j,bu= 0,018 < 0,275 => Formules simplifiéeszb= 0,65 (1 - 0,6 . 0,018) = 0,643 m

SOI

MA =

Zb' fed

ft28= 0,6 +0,06. fc28

A . = 0,23-min

A-Ô&'4-""-' ~f = 0,6 + 0,06 . 25 = 2,10 MPa

Retenu : A = 2,26 cm2.•.'•M ;,,£.*

3.2. ARMATURES LONGITUDINALES POUR LA TORSION

Calcul :

SA,

u ed 2 . O

£A = armatures longitudinales

u = périmètre de ii

Pourcentage minimal :

EAf > 0,4 MPa

1 0,0733~u~ "2.0,1980.435

102=23:50cm2/cm

2 [0,36-0,06+ 0,72-0,06] 102

: 23^50

b 0 . u

^=8,17 cm2

Compte tenu des aciers de flexion : t jZA, + A = 8,17 + 2,26 = 10,43 cm2

7 0> 14 HA

1 î_>040 — =—— cm2/cniO.K.u 23,50 500 208,33

4.1. ARMATURES D'ÂME POUR L'EFFORT TRANCHANT

Calculées: _b - s t ïs 0,9 (sin a + cos a)

a = inclinaison des A, a = 90°

tu si reprise non traitée,k = \ 0 si fissuration très préjudiciable, k = 1 (pas de reprise de bétonnage)


—- . fet > 0,4 MPat>os t

Espacement maximal :

/0,9 . ds t < M i n / 4 0 c m

[15 <5'lmin si A' non nul

xu = 0,25 MPa < 0,63 MPa = 0,3.1.2,1=> % minimal.A t 36 . 0,4 1s t 500 34,72

2,cm /cm

st =40 cm = Min i,_ /0,9 . 65 = 58,5 cmcm

4.2. ARMATURES TRANSVERSALES POUR LA TORSIONCalcul :

T111

ed2 . Q

Atcm /cm/ paroi bn

Retenu :

s, 23,50

(voir paragraphe 3.2.)

pour deux parois :

A, 2 1st 23,50 11,75

4.3. ARMATURES TRANSVERSALES

Le cumul des deux systèmes d'armatures transversales donne :

At 1 . 1

cm /cm

cm2/cms, 34,72 11,75 8,78

=> Pour les 7 $ 14 HA longitudinaux :1 cadre <D 8 HAs t o=l .8,78 = 8cm

d'où la coupe sur appui :

\• •

l J72cm

cadres 0 8 HAs t=Var

36cm

7014HÀ

Pourcentage minimal :

A,

b . s,. fet > 0,4 MPa ^ = -L- cm'/cm > 0.4 • 36 = __L cm2/cm Q K

s t 8,78 500 34,7

4.4. RÉPARTITION DES ARMATURES TRANSVERSALES

Compte tenu du fait que le diagramme du moment de torsion est identique au diagrammede l'effort tranchant d'une poutre encastrée aux deux extrémités et uniformément chargée,on appliquera la méthode Caquot. Ici, du fait de la concomitance du moment de torsion, iln'y a ni terme de réduction ni transmission directe de charges aux appuis.

Nombre théorique de répétitions :

Espacement de départ :sti - sto

Répartition :stl = 8 cm

espacement(cm)

nombre théoriquede répétitions

nombre cumulé

nombre arrondi


x (cm)

sto2

4

8

2

2

2

2

20

9

• 2

4

4

2

38

10

2

(,

(,

2

58

11

2

8

8

2

80

13

2

10

10

2

106

16

2

12

12

2

138

20

2

14

14

2

17 S

25

2

16

16

y0 9_200-178

22225

=> restent à mi-portée : 200 - 178 = 22 cm=>4 + 2x8 + 2x9 + 2xlO + 2xll + 2xl3 + 2xl6 + 2avec un cours d'A, à mi-portée.

Nota : pour st = 25 cm le nombre de répétitions 2 ne convient pas car il ne permet pasd'atteindre le milieu de la portée avec cet espacement.

CHAPITRE 11

FLAMBEMENT

I. RAPPELS DE COURS

Le flambement est un phénomène d'instabilité de forme qui peut survenir dans les élé-ments comprimés (de façon excentrée ou non) des structures, lorsque ces éléments sont« élancés », par suite de l'influence défavorable des déformations sur les sollicitations.

1. EXCENTRICITES

L'excentricité de la force extérieure par rapport au centre de gravité de la section de bétonseul est la somme de trois termes.

1.1. EXCENTRICITÉ STRUCTURALE

Due aux dispositions de la construction, donc connue et évaluée forfaitairement :

GQ

e0 = —rr- (G0 = centre de gravité de la section de béton seul).

1.2. EXCENTRICITÉ ADDITIONNELLE

Provenant des défauts d'exécution, donc inconnue ; elle est évaluée forfaitairement.

1.2.1. Cas des éléments isolés

A, !2Cme_ = Max

25

/ = longueur de la pièce.

1.2.2. Cas des ossatures

Excentricité résultant d'une inclinaison initiale d'ensemble :

• 0 = rd pour les ossatures à un niveau,

rd pour les ossatures à plusieurs niveaux,200

1001

1////

-Id7~77 77-?

\ 1

/

/

/

/

Y*

T77 S7-;

r~ -////

-jeJ J J „ — ,

J

//f

1t

1-ie

1.3. FLÈCHE f DUE À LA FLEXION

Pour une potence verticale soumise à l'action :- d'une force verticale P d'excentricité structurale e0 en tête,- d'une force horizontale H en tête,

chargesdéformations

moments

le moment du second ordre résulte du supplément d'excentricité provenant de l'apparitionde la flèche f.

Sollicitations en pied de poteau avant déformation (premier ordre) :

(N = P-- P [eo + ej + H . -

2

M! H /— =eo + ea + -.-N P 2

Sollicitations du second ordre dues à la déformation :

/N = P

U 2 = P . f

M262= — = fN

Sollicitations totales (1er et 2e ordres) :(N = P

M = M! + M2 = P [CQ + ea + f] + H . -2

M H / fe = — =eo + ea + — .-+ tN P 2

62

2. ETAT-LIMITE ULTIME DE STABILITÉ DE FORME

2.1. JUSTIFICATION

La justification de la stabilité de forme consiste à démontrer qu'il existe, dans toute sectionde l'élément, un état de contraintes qui équilibre les sollicitations de calcul, y compriscelles du second ordre, et qui soit compatible avec la déformabilité et la résistance de cal-cul des matériaux.

2.2. MÉTHODES DE CALCUL

On dispose des trois méthodes suivantes.

1°) Démontrer qu'il existe un état d'équilibre, en le déterminant de façon précise, par uncalcul itératif dans chaque section du poteau (procédé utilisable seulement sur ordinateurs),

2°) Comparer les sollicitations de calcul à des sollicitations d'état-limite ultime de stabilitéde forme données par des tables ou abaques :- tables de MM. Faessel, Robinson et Morisset,- abaques de M. Capra, etc.

3°) Démontrer qu'il existe un état d'équilibre, sans chercher à le déterminer de façon préciseCette méthode est appelée « méthode de l'équilibre » et se présente sous deux aspects :- méthode des déformations internes,- méthode des rigidités.

3. ÉQUATIONS DU PROBLÈME

3.1. DOMAINE D'APPLICATION3.1.1. Introduction

Tout poteau « isolé », de longueur /, avec des liaisons quelconques à ses deux extrémitipeut être étudié :

- soit comme un poteau de longueur /f articulé à ses deux extrémités,f

- soit comme un mât de hauteur — , /f étant la longueur de flambement du poteau considéré.

3.1.2. HypothèsesPoteaux :- de section constante (béton et armatures).- dont la ligne moyenne est symétrique par rapport à la section médiane.- articulés à leurs deux extrémités ou en console (mâts).

s///////

- chargés de façon excentrée et d'élancement géométrique tel que :

(15

h = hauteur de la section droite dans le plan de flambement, celui pour lequel /f a été calculé

Sinon, voir calcul en flexion composée avec prise en compte de façon forfaitaire des déformations du second ordre.- sollicités, en plus de l'effort normal de compression, par des moments dont l'existenceest prise en compte dans la justification de la stabilité et de la résistance des éléments quilui sont liés et qui conduisent à des excentricités non négligeables de l'effort normal(poteaux de bâtiment non intégrés au contreventement).- soumis à un effort normal constant.- soumis à un moment du premier ordre de signe constant dont la valeur maximale se pr°"duit dans la section à //2 du sommet,

Toutes ces conditions doivent être satisfaites simultanément.

3.2. HYPOTHÈSES COMPLÉMENTAIRES

3.2.1. Hypothèses mécaniques

Les sections droites restent planes.

Il n'y a pas de glissement relatif entre l'acier et le béton.

On néglige le béton tendu.

Les armatures sont caractérisées par leur diagramme contraintes-déformations de calcul

(Y,= L15).

edf—

04^*7*s

Prise en compte du fluage en effectuant sur le diagramme parabole-rectangle une affinitéparallèle à l'axe ebc, de rapport (1 + acp) avec :

cp, coefficient de fluage : cp = 2

a =M,

Charges i ns t an t anées ( a = 0 ) Charges de longue durée

Diagramme transformécharges quelconques

( 0 < a;bc

3.2.2. Hypothèse géométrique supplémentaire

Cas général :

on se donne la déformée du poteau de façon arbitraire mais raisonnable.

Cas de base :on assimile la déformée à :- un quart d'onde de sinusoïde pour un poteau en console,- une demi-onde de sinusoïde pour un poteau bi-articulé.

/.

S/M-///

** IT J4

3.3. EXCENTRICITÉ « EXTERNE »

Pour un poteau encastré en pied et libre en tête (mât) :

|P

IfT

ns

Jr 0

^y

Chargement 1er ordre Total en pied

Dans le repère Oxy lié à l'extrémité libre du poteau, la déformée a pour équation :

71Xr = f . sin -y-'f

f = flèche maximale en tête.

La courbure est donnée par la relation : <\

r d+y'2)3 /2

1 _n~ 7i x— = - f —^ sin — ;r 'f

soit, en pied du poteau et en valeur absolue :2

1 rc '-44L'excentricité « externe » ou excentricité de l'effort normal Nudans la section la plus solli-citée (en pied de poteau) vaut donc :

/ 2 1 ... , ., ,:• •:,, -•

71

avec e, défini au § 1.2 chapitre « FLEXION COMPOSÉE » page 218.

D'où sa représentation dans le repère (e, 1) :r

3.4. EXCENTRICITÉ « INTERNE »

Dans la section la plus sollicitée, tout état de déformation défini par sa courbure 1/r et unedéformation relative e en un point particulier de la section, conduit aux équations de com-patibilité et d'équilibre (moments rapportés au centre de gravité G0 du béton seul) :

,*,?.Déformations Contraintes

>£+ * >a+

"bc

Hint

M,lnt .eint

D'après les diagrammes contraintes-déformations de l'acier et du béton, les contraintessont fonction des déformations relatives, donc de la courbure 1/r d'après les relations decompatibilité.

D'où, en éliminant les contraintes, puis les déformations, on obtient la relation :

0 (2)

Cette relation se traduit, dans le plan (e, 1/r) par :

N1<N2<N3

Limite de résistance par:-plastification des aciers,-ou écrasement du béton.

3.5. ÉTUDE DE L'ÉQUILIBRE

Dans le plan (e, 1/r) :- la relation géométrique (1) est représentée par une droite,- la relation mécanique (2) est représentée par un réseau de courbes correspondant aNint=Cste.

D'où, ces deux types de courbes peuvent :- n'avoir aucun point commun => il n'y a pas d'équilibre possible,- avoir au moins un point commun => il y a une position d'équilibre qui peut être stable ouinstable.

La charge critique de calcul Nu c correspond à celle des courbes Nint qui est la tangente à ladroite eext = el + f.

1 position d'équilibre

2 positions

Hu c=Charge critique de calcul

•—7*i3Pas d'équilibre

II suffit de remarquer que si, en Ej, on écarte le poteau de sa position d'équilibre par

mentation de la courbure 1/r :

'int

-esst.U

eim croît plus vite que eejtf d'où : la réaction du poteau à la déformation complémentairetend à le ramener à la position d'équilibre E[ qui est par conséquent une position d'équi-libre stable ; c'est l'inverse qui se produit au point E2 qui caractérise un équilibre instable.

4. MÉTHODE DE L'ÉQUILIBRE -MÉTHODE DES DÉFORMATIONS INTERNES

4.1. MÉTHODE GÉNÉRALE

Pour les poteaux dont la section a une forme quelconque, la stabilité est assurée, si l'onpeut trouver dans chaque section, compte tenu de la déformée que l'on s'est donnée, un

état de déformations tel que l'on ait simultanément :

XntM/r)>Next

I . / ï M>n<(£ '1/ r)

-(E'1/r) = UM^e<

avec :Next = effort normal dû aux actions appliquées à la structure,

Nmt (e> l/r) [ sollicitations internes, intégrales des contraintes développées parlaMint (e, 1/r) ( ~ déformation.

4.2. MÉTHODE SIMPLIFIÉE

Dans le cas des poteaux articulés aux deux extrémités ou des mâts, l'étude de l'équilibreconsiste à rechercher un point situé à l'intérieur de la zone grisée dans le plan (e, 1/r) pourla section la plus sollicitée (à mi-hauteur du poteau bi-articulé ou à l'encastrement du mât),c'est-à-dire, à vérifier simultanément :

Nint(e,l/r) 7 C 2 ' r

avec :Mint,Next et Nint définis en 4.1.,/f = longueur de flambement de la pièce,

4.3. REMARQUE

La méthode de l'équilibre présente des avantages et des inconvénients.

4.3.1. Avantages

Elle est valable quelle que soit la forme de la section.Elle ne nécessite pas l'utilisation de tables.

4.3.2. Inconvénients

Le calcul est long car itératif, en particulier dans le cas où l'effort normal de calcul estproche de l'effort normal critique (réduction de l'aire grisée sur le diagramme d'où : lacourbure d'équilibre est plus difficile à trouver. Il faut partir d'une valeur de 1/r fixée apriori et progresser avec un pas de variation très faible).

4.4. CAS DES SECTIONS RECTANGULAIRES À DEUX NAPPES D'ARMATURES

1°) On se donne, dans la section la plus sollicitée, un diagramme de déformations définipar :

2£bc 1 000 '

+ owp)

2°) D'après l'hypothèse de la déformation plane :

d '=Ô 'dtzf----

i . N .

/SCFbc

' = d.

y-d 'asc par le diagramme de calcul,

3°) On en déduit la valeur de l'effort normal interne :

soit :

avec :Nint = VboYfbu + A>CTsc -

\|/ = — puisque l'on utilise la seule partie parabolique du diagramme o - e du béton.

4°) Si Nint « Next, on réduit es en gardant

et on recommence les étapes 2°) et 3°) (avec \\f = 2/3 et Fs = A.Es.es) jusqu'à ce queN^ > Next mais avec Nint - Next.

f5°) Si Njnt » Next, on réduit ebc en gardant e = e = pour l'armature tendue et

s si r,

les calculs des étapes 2°) et 3°) jusqu'à ce que Nint > Next mais avec Nint = Ncette fois :

on refait

ext, en prenant

1 +OMp

T](6-T1)

s =

12

8-t,G 4(6-n)

6°) On calcule le moment Mint des forces Fbc, Fsc et Fs au centre de gravité du béton seul.D'où l'on obtient l'excentricité interne :

Mint

avec :

- pour l'étape 4 :

-pour l'étape 5 :

7°) On cherche à réaliser, puisque Nint > Next :

e, +ebc s

7" d~

S'il en est ainsi, l'équilibre du poteau est assuré.

8°) S'il n'en est pas ainsi (eint < eext) il faut explorer d'autres couples (1/r, e^) ou (1/r, es) :

8.1.) Si el est faible et /f élevé (sans qu'il soit possible de quantifier les valeurs limites),

on peut partir de :

,v 10e croissant jusqu a

en prenant ôo = 3/8 et \\i - 2/3,

8.2.) Si ej est élevé et /f faible, on peut partir de :

en prenant :

efec croissant jusqu'à y^ (1 + acp)

m3 Ebc= 10 .

+acp

V =l-

_ - 'i ^ ' i • -0 2î i(3îi-2)

5. UTILISATION DES TABLES DE FAESSEL - ROBINSON - MORISSET

5.1. HYPOTHÈSES

Les tables s'appliquent aux poteaux bi-articulés ou aux mâts dont les sections sont deforme :

(~ CERCLE)

5.2. ARGUMENTS D'ENTRÉE DANS LES TABLES

EO = excentricité relative du premier ordre :

ELG - élancement géométrique :

ALPHA = distances relatives entre nappes d'aciers :

ELG = -h

ALPHA =

EPSU = raccourcissement du béton correspondant à la résistance réduite en flexion - fbu •avec :- pour cp = 0 (courte durée)- pour 9 = 2 (longue durée)

SIGE - résistance de calcul de l'acier en bars (= 0,1 MPa) :

PIMEC = pourcentage mécanique d'armatures :

1 000 NU

EPSU = 2/1 000EPSU = 6/1 000

SIGE = — = £ed

PIMEC =A.f e d

B . f b u

B. SIGJ

9,11 et 13):

- 1 000 vu mille fois la charge critique de flambement relative (colonnes 3, 5, 7.

Nu,c1 000 v =1 000

B . f b u

100 = 100 — = cent fois la flèche ultime relative fc correspondant à Nu c (colonnes 4,

6, 8, 10, 12 et 14) :

EXTRAIT DES TABLES

100^Cl

SECTION RECTANGULAIRE-FLAMBEMENT DANS

VALEURS DE

» ALPHA

EPSU

SIGE PIMEC3000 0,03000 0,0253000 0,0503000 0,0753000 0,1003000 0,1503000 0,2003000 0,3003000 0,6003000 1,000

4000 0,04000 0,0254000 0,0504000 0,0754000 0,1004000 0,1504000 0,2004000 0,3004000 0,6004000 1,000

i sooo 0,05000 0,0255000 0,0505000 0,0755000 0,1005000 0,1505000 0,2005000 0,3005000 0,6005000 1,000

UN PLAN MEDIAN

(1000»NU)/(B*SIGJ) ET DE 100*(E-EO )/EO

G

0,

5779101123143177206257398540

577390

107123152177220325456

57708397

110135157195285391

,60

002

223456:il96

107111128149132

2231456287108121133155192

22293951S 335

1111241451S8

0

0,

1943658 399

129155203312448

19375b7286

111134176284408

193349637fc9e

119155253234

,60

006

2295

107116123133142155125115

2273128138145158169183191172

2254

145161169132195213246367

0

0..

3,7JE

117146172217256327493683

F780

102124147185219278432609

!377594111128162192243374536

,75

002

224054799010110811810190

2235445985

105118141153134

222,245506092108120179180

0

0

195230

103125164195247379554

19446689107142173228359521

1939597895

125153204333483

75

006

2285981061121231331489379

2269117127133145154153128118

2252136146153167177192173160

0,

0,

5798

138174206262313392580801

5788118148174224268346533745

5782106130153194234302477678

90

002

224476826694101897467

2238598483

11312013211299

22355C698990

136152153134

EO ELG

0,30 30

0,90

0,006

19 2262 7896 91127 100152 106194 118230 129291 146442 101642 158

19 2252 6782 105109 118133 124177 135212 145271 138427 93622 86

19 2245 7472 12795 136

117 143155 155193 164254 153407 129592 117

5.4. UTILISATION DES TABLES

5.4.1. Dimensionnement des armatures

E0 = -h

ELG = -h

ALPHA = A . f .PIMEC = ed

B . f A = PIMECR f*

hu

1 000 v = 1000N

ed

-D . Lhu

5.4.2. Vérification au flamhcinent

E0 = ~h

ELG = -f

h

ALPHA = ~h 1000

A . f .PIMEC = : ed

B . f ,•i™

5.5. INTERPOLATIONS

5.5.1. Interpolations sur NU et PIMEC

Les tables et abaques ont été établis pour deux valeurs de l'abscisse e du sommet du dia-gramme contraintes-déformations du béton :

e = 2/1 000 pour des charges instantanées,

e = 6/1 000 pour des charges de longue durée d'application.

On doit donc interpoler entre ces deux cas lorsque les charges appliquées n'ont pas toutesla même durée d'application.

Le diagramme charge-raccourcissement du béton n'étant pas linéaire, une interpolationlinéaire va dans le sens de l'insécurité.

v.u/N

*u<*>

"u< 6 H l 1 —4-

2%. b%*

Par conséquent, on interpolera paraboliquement pour les valeurs de la charge ultime Nn, ou

ce qui revient au même pour les valeurs de vu :Ae = K(Avu)

2 ' - ' ',H/F!

On a donc :

vu(6)-vu(2) 6-2

soit :

e en millièmes

Or, pour tenir compte de l'importance relative des charges de longue durée d'application,on a :

/E = 1000 (l + cxcp)

M\a = MT^

> = 2

on obtient ainsi :

a(p)-2_a(p_4 ' 2 "

D'où les formules d'interpolation deviennent (en posant pour simplifier l 'écri t^PIMEC = m ) :

(s)= w(2) + [ tzr(6 )- w( 2 ) ]

Pour les flèches, on interpolera linéairement.

5.5.2. Interpolation simultanée sur SIGE et PIMEC

Pour les poteaux assez élancés et chargés avec des excentricités modérées, la charge ultimeest indépendante de la limite d'élasticité de l'acier tant que celle-ci n'est pas trop faible.

Comparons les valeurs de vu obtenues pour deux valeurs fedl et fed2 de SIGE et des valeurs

fed2de PIMEC valant respectivement 03, et 03 2 = 03 ^ . — :

EO = 0,30 ]ELG = 30 1ALPHA = 0,75 / ^ <

EPSU = 0,002 j

SIGE = 3 000 }PIMEC1=0,15/

SIGE = 4 000

PTMFC0 — 0 1 S — 0 °A LL\l.L-j\^^. — \J) 1 J " f\f\r\ ~~ « j^

=*vu = 0,217

1J =*vu = 0,219

écart 1 %

Par conséquent, il est inutile dans ce cas de prendre en compte la valeur vraie de lacontrainte de calcul de l'acier. Il suffit de considérer la valeur ronde la plus proche.

6. CORRECTIONS DIVERSES

6.1. INTRODUCTION

Dans un certain nombre de problèmes, on peut se rapporter au cas de base (poteau enconsole) et n'étudier l'équilibre que dans une seule section en se conformant au principesuivant. Les deux sections les plus sollicitées (cas de base et cas réel) sont soumises :

1) au même effort normal N,

2) au même moment du premier ordre Mj,

3) au même moment du second ordre pour une même courbure,à condition que le poteau ait une section constante (béton et armatures).

En écrivant ces différentes conditions, on arrive aux résultats ci-après.

6 2 MÂT DE SECTION CONSTANTE CHARGÉ À PLUSIEURS NIVEAUX

I" : P"pi

ifT

n

H-

Poteau réel

Sollicitations dans la section d'encastrement du poteau réel :

modèle(cas de base)

7l. X,. f U - s i n — -

Sollicitations dans la section d'encastrement du modèle :

r iM'=M' 1 +P' . f=M' 1 +P' .^ . -

71

Par identification, le modèle est parfaitement défini par :

P '

6.3. MAT-EFFET DU POIDS PROPRE

modèle(cas de base)

Sollicitations dans la section d'encastrement du poteau réel :

N=P+1 gds

,2

Sollicitations dans la section d'encastrement du modèle :rN'=P''

M ' = M ' , + P ' . f = M ' , + P ' . ^ . i71


P ' = P+gif

l f = l f . / l-

6.4. PILE DE CONTREVENTEMENT

Une pile de contreventement est une console encastrée en pied et liée en tête par un élé-ment considéré comme indéformable à n poteaux sans stabilité propre, tous de même rai-deur.

Pile réelle modèle(cas de base)

Du fait de la traverse, les déplacements en tête des poteaux sont tous égaux :

f; = f quel que soit i.

L'effort horizontal en tête de chaque poteau vaut : j ,rr ,.• .,> .,;Poteau réel /

-77l

D'où le moment partiel du second ordre :

Puis le moment total du 2e ordre au pied de la pile :

M2 = f

Sollicitations en pied de la pile de contreventement :

N = Pn

M = M , + f

l\

K

Sollicitations dans la section d'encastrement du modèle :

f N ' = P '

/

f

T

M ' = M ' 1 + P ' . f = M ' , + P ' . ^ . -7i r


P ' - P

Remarquepans le moment du premier ordre interviennent :1) l'excentricité additionnelle due à l'inclinaison accidentelle de 1/100 rd,2) les déplacements horizontaux A; en tête de chaque poteau dus au retrait et aux variationsde température dans la traverse,'où, avec les indices L et C pour les charges de longue et de courte durée d'application :

^ . A,c

M =

\

p L + z p L / f

1 ' J 2 'n \

PC + EPC / f

r + Z^ TJ

. ;2

i100

1100

-.T •;'^'.lî*:

6.5. POTEAUX ARTICULÉS SOUMIS À DES MOMENTS DIFFÉRENTSÀ LEURS DEUX EXTRÉMITÉS

IF

G*1

M', et M", = moments appliqués aux deux extrémités, pouvant différer en signe, mais telsque : : I M"i I > I M'j I

Considérer un moment constant sur la longueur /f :M! = 0,4 M ' j + 0,6 M"!

avec M' et M" en valeur algébrique.

Faire les vérifications suivantes :1) état-limite ultime de stabilité de forme du mât de hauteur 1/2 soumis à M! et Nu = P,2) vérifier la résistance de la section du poteau réel la plus sollicitée (soumise à M"i et

I: NU=P).

7. UTILISATION DES ABAQUES DE CAPRA7-l. DOMAINE D'APPLICATION

Sections rectangulaires à deux nappes d'armatures symétriques :

(charges de courte durée)

G y

cf

À2

À2

bo

7.2. ARGUMENTS D'ENTRÉE DANS LES ABAQUES

e,, = raccourcissement ultime du béton : e,, = 2/1 000 : charges de courte durée,£„ = 6/1 000 : charges de longue durée.

— = excentricité relative du 1er ordre, excentricité additionnelle incluse dans e0 (e^ avech les notations du présent ouvrage)

h = hauteur de la section dans le plan de flambement (h peut désigner la plus petite dimension),

v = - ," , = effort normal réduit.

— = élancement géométrique,h

7.3. RÉSULTATS

H,,

bO«bu ^ed_bohfbu yT

Mul+Mu2

> bOh2fbu

A . f e dp = — - = pourcentage mécanique d'armatures,

B • 4uB = b0.h,

Mu ,+Mu 2— — — :

Vh - f b u- moment total réduit (1er et 2e ordre) à l'E.L.U. au centre de gravité du

béton seul.

7.4. EXEMPLE D'ABAQUESLes abaques ci-après sont applicables aux sections rectangulaires symétriques pour les"quelles c/h = 0,1 25.

(charges de longue durée)

i i

/YMW/WSi/t ^ ^\

IL EXERCICE N° 1 : DIMENSIONNEMENTDE L'ARMATURE PAR LES TABLES

(CHARGES DE LONGUE DURÉE)

— ÉNONCE —

1=6 ,00m

•u-COUPE AA-

À?

40cm

40cm

• Sollicitations de longue durée d'application uniquement (durée d'application supérieure

à 24 heures) :•PU = 0,54MN,

• e0 = 0,096 m.

• Matériaux:

• béton : fc28 = 25 MPa,


• On se propose de déterminer les armatures du poteau.

— CORRIGE —

1. NÉCESSITÉ DU CALCUL AU FLAMBEMENT

1.1. LONGUEUR DE FLAMBEMENT

m â t = > / f = 2 . / /f= 2. 6,00 =12,00 m

1.2. EXCENTRICITÉ DU 1er ORDRE

Pour un poteau chargé de façon excentrée :[2cm ; _

ea = Max/_/_ ' ". '(250

Excentricité additionnelle :Ca

Excentricité structurale :

Excentricité du 1er ordre :

[2cmea = 2,4 cm = Max / 600 _

ea = 2,4 cm

e0 = 9,6 cm

13. NECESSITE DU CALCUL AU FLAMBEMENT

1512

=e!= 12,00cm

15

0,40 = "i 20^ =

VÉRIFICATION AU FLAMBEMENTIMPOSÉE.

2. DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE

2.1. ARGUMENTS D'ENTRÉE DANS LES TABLESExcentricité relative du 1er ordre :

Elancement géométrique :

ELG = -f

h

Distance relative entre nappes d'armatures :

ALPHA = ~

Raccourcissement ultime du béton :

EPSU Charges de longue durée} EPSU = 0,006

Résistance de calcul des armatures :

fe ,?'? < 4 I Ci//-? ', sonSIGE = f.H = - ' ' ** * . SIGE = y^- = 435 MPa = 4 350 barsed

Effort normal relatif :

fbu = 0,85.^-

lOOOv =1000B . £

25

lOOOv =1000bu

= 14,2 MPa

0,540,40 . 0,40 . 14,2

= 238

2.2. ARMATURES SORTIES DES TABLES

Les tables donnent : EO0,30

ALPHAEPSU

0,750,006

Par interpolation linéaire sur 1 000 vu :

SIGE PIMEC

4000 0,30 <- 228 1534000 0,60 <- 359 128

5000 0,30 <- 204 1925000 0,60 <- 333 178

4000 0,323 <- 2385000 0,379 <- 238

Par interpolation linéaire sur SIGE entre 4 000 et 5 000 :

4350 0,343 <- 238

D'où le pourcentage mécanique d'armatures :PIMEC = 0,343

Puis les aciers :

PIMEC =B . f ,bu

A = PIMEC .B . f ,bu

'ed

ELG30

A m

A = 17,91 cm2

=> 4 O 25 HA : A = 4 . 4,91 = 19,64 cm2

III. EXERCICE N° 2 : VÉRIFICATION PAR LA MÉTHODEDE L'ÉQUILIBRE ET PAR LES TABLES

— ÉNONCÉ —

1= 1 2 , 0 0 m

u

-COUPE AA-5<£25HA5025HA

\7

J,30cm|

40cm

NU

• Sollicitations de durée d'application supérieure à 24 heures :

NG = 298 kN

NQ = 298 kNexcentrées de e0 = 7,2 cm

poids propre négligé,¥2;= 0 pour les valeurs quasi permanentes de Q.

• Matériaux :béton : fc28 = 25 MPa,aciers : Fe E 500 HA.

• On se propose de vérifier F état-limite ultime de stabilité de forme :1) en utilisant la méthode de l'équilibre,2) en utilisant les tables de Faessel.

40cm

— CORRIGÉ —

NÉCESSITÉ DU CALCUL AU FLAMBEMENT

j.l. LONGUEUR DE FLAMBEMENT

poteau bi-articulé} => / f = /

j.2. EXCENTRICITÉ DU 1er ORDRE

Pour un poteau chargé de façon excentrée

'2cm

/ f = 12,00 m

: 2 cm

250

Excentricité additionnelle :

ea

Excentricité structurale :

e0

Excentricité du 1er ordre :

ea = 4,8 cm = Max l 12001 250

= 4,8

e = 4 , 8 cm

e0=7,2cm

a=e!= 12,00cm


15/,

>< Maxh

1215

40

VÉRIFICATION AU FLAMBEMENTIMPOSÉE

2. MÉTHODE DE L'ÉQUILIBRE

2-1. PREMIÈRE ITÉRATION

a) Déformations de départ

Pour les aciers :

.^Ts

f - —led~

435200 000

= 2,18/1000

Pour le béton :

(p = coefficient de fluage

a =

9 = 2

NG.e0

'':'•: YÏ'Ir

G + Q j

298

+0,5. 2) = 4/1 000

Contrainte des aciers comprimés

d1

A . H .

y = dbc

e. +ebc s

y = (0,40-0,05)1000

2,181 000 + TÔÔÔ

= 0,2265 m

y-d 'e =eu ^

se bc y

osc par le diagramme de calcul des aciers

4 0,2265-0,05' 0,2265

fedJ

esc > esl => asc = fed = 435 MPa

c) Effort normal interne ' • l

Béton comprimé : . , .'Ç^vi? J

Fbc = -. 0,40.0,2265.14,2= 0,8577 MN

2 2= puisque ebc =

Aciers comprimés :Fsc = AXc

Aciers tendus :

-F = -A.OS

+ acp)

Effort normal interne :N =Fv +F -F^mt" rbc^ rsc rs

Effort normal externe :

Nex t=l,35NG+l,5NQ

d) Moment fléchissant interne

FK= 5 .4,91 . 10-4. 435 = /: 1,0679 MN

-Fs = -5.4,91 .10-4 .435= -.1,0679 MN* '-'>

.' . - .>i* ' ï :

Nint= 0,8577 MN•xi

Next = 1,35 . 0,298 + 1,5 . 0,298 = 0,849 MN

Nint= 0,8577 MN > 0,849 MN = Next O.K.

i'~'v:ix3

.'=Ô'd

À N

7

d ,

h_t

i! iiiii Hplfflii!A

[ bo

;bc

Béton comprimé :

(h

= 0,09869 mMN

8o = f Puisque ebc =

Aciers comprimés :

Msc=Fsc(h--d '

a(p)

Mse = 1,0679 (°^- - 0,05 = 0,1602 mMN\ 2 I

Aciers tendus :),r- -.ins ;•

Ms = i ,067910,40 - 0,05 - —,

Total :

e) Excentricité interne

2 }

= 0,1602mMN

Mint= 0,4191 mMN

.f) Excentricité externe

Flèche ultime correspondant à la déformée en demi-onde de sinusoïde :

1 ebc + es 1 4,00 + 2,18 _ 3 ' ,

7 = ~d~ ?= 035 10 =0'0177m

f=12,00'

0,0177 =0,2582 m

Excentricité externe :eext^ej + f

g) Conclusion

L'équilibre est assuré si :

eext= 0,120 + 0,2582 = 0,3782 m

(N i n t>N e x t

l e i n t> e ex t

( Nint = 0,858 MN > Next = 0,849 MN \

eint = 0,489m>eext = 0,

=> La stabilité du poteau est assurée.

O.K.

3. TABLES DE FAESSEL

3.1. ARGUMENTS D'ENTRÉE DANS LES TABLES

Excentricité relative du 1er ordre :

e,EO-^-030~ ~ '


Distance relative entre nappes d'armatures :

ALPHA = -h


( courte duréeCharges <

longue duréeEPSU = 0,002EPSU = 0,006

r-./.t-T/O'lT»,;.- • ' • „ > !


fSIGE = = 435 MPa = 4 350 bars

Pourcentage mécanique d'armatures :

PIMEC =A . f cd

B . f ,™,T^PIMEC=

bu

2.5.4,91.10" .4350,40. 0,40. !4,2

3.2.ARMATURES SORTIES DES TABLES

Les tables donnent :

ALPHAEPSU

0,750,002

EO ELG0,30 30

0,750,006

SIGE PIMEC

4000 0,60-> 432 153 359 1284000 1,00-> 609 134 521 118

5000 0,60-> 374 179 333 1785000 1,00-» 536 180 483 160

Par interpolation linéaire sur SIGE :

4350 0,600^ 412 162 350 146

4350 l,000-> 583 150 508 133Par interpolation linéaire sur PIMEC :

4350 0,940-> 557 152 484 135

Par interpolation parabolique sur EPSU (voir § 2.1 .a pour a) :

vu = vu (2) + [vu (6) - vu (2)1 /ce" 1 000 YU = 557 + [484 - 557] ÔJ = 505


fh,,=0,851c28

fbn = 0,85 = 14,2 MPa

N f l O O O v )

niJÔ(rB-fbU

Nuc-505

3.3. CONCLUSIONNucxNu = Next Nuc = 1,147 MN > 0,849 MN = Nu

=> LA STABILITÉ AU FLAMBEMENTEST VÉRIFIÉE.

IV. EXERCICE N° 3 : DIMENSIONNEMENTDE L'ARMATURE PAR LES ABAQUES DE CAPRA

— ÉNONCÉ —

1 = 3 , 0 0 m

F

-COUPE AA-À/2

i À/2

4 cm ,4 L--30cm

40cm

4 cm

• Sollicitations de durée d'application supérieure à 24 heures :

NG=383kN, . , ,NQ=175kN,xf2 = 0,4,

W = 1,2 . 28,2 = 33,8 kN (pour un vent normal : 28,2 kN donné par les Règles NV),

poids propre négligeable.

• Matériaux :béton : fc28 = 25 MPa,aciers : Fe E 400 HA.

• On se propose pour la combinaison d'actions : 1,35 G + 1,5 Q + W :1) de déterminer les armatures du poteau par les abaques de Capra,2) de calculer la flèche ultime du poteau.

- CORRIGÉ -


1.1. LONGUEUR DE FLAMBEMENT

.-. JiOTJfiM

; "j'jculaia'jJî'

J (ii'ïiV

>t£

mât=> l f = 2 . l = 2.3,00 = 6,00 m

1.2. NÉCESSITÉ DU CALCUL AU FLAMBEMENTW. ; 33,8 . 3,00

1,35 NG+1,5 NQe° 1,35.383 + 1,5.175

= 0,130 m

Pour un poteau chargé de façon excentrée :12 cm !2 cm

ea = Max / / ea = 2,0 cm = Max / 300 _(250 [250 '

, = 0,13 + 0,02 = 0,15 m

— ><Max'15

20

VÉRIFICATION AU FLAMBEMENTIMPOSÉE.

2. DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE ' < • •

2.1. ARGUMENTS D'ENTRÉE POUR LES ABAQUES


6.000,30 = 20


eu



1c28

2/1 000: courte durée6/1 000 : longue durée

400

° - ' " r b

Nu = 1,35. NG+1,5. NQ

Nv =

B . f ,

* 1,15

fbu = °.85 y^^ 14,2 MPa

Nu = 1,35. 383+ 1,5. 175 = 780 kN

0,780hu


h h

0,40 . 0,30 . 14,2

eo 0,15

= 0,458

2.2. VALEURS EXTRAITES DES ABAQUES

J = A = 0,133 «0,125

On obtient :

3. ARMATURES

Obtenues par interpolation parabolique :

<x = -i > i

\Koi-Q

D'où le pourcentage mécanique d'aciers :

2.4. FLÈCHE ULTIME

Calcul fait à titre indicatif.Moment total (ler+ 2e ordre) :

M u l +M u 2

' b 0 - h 2 . f b u

= HG)-JiG(2)]a

p

^G

su=2X.

0 , 6 0

0,330

su= 6%.

0 , 7 7

0 , 3 8 5

M, =0+0,77 . 33,8 . 3,00 = 78,08 mkN

A.a u"'±ed

f = 0,6+ (0,77-0,6)^/0 =0,60bo • h • fbu

A = 0,6 . 30 .40 . -^ = 29,38 cm2

soit—^— = 14,69 cm /face

3 <ï> 20 HA + 3 <D 16 HA/face :

A = 3 . 3,14 + 3 .2,01 = 15,45 cmVface

h [0,385-0,330] 0 = 0,330

' Mul + Mu2= 0,330 . 0,40 . 0,30*. 14,2

= 0,169 mMN

2. DIMENSIONNEMENT DE L'ARMATURE

2.1. ARGUMENTS D'ENTRÉE POUR LES ABAQUES

Élancement géométrique :lj 6,00


eu



fbu = 0,85^-

Nu = 1,35. NG+1,5. NQ

N..

' B . f b u


en / e,

0,30

_{ 2/1 000: courte duréeE" ~ \ 6/1 000 : longue durée

400f = = 3 4 8 M P aed U5

L = 0.85^ = 14,2 MPa

Nu= 1,35. 383+ 1,5. 175 = 780 kN

0,7800,40. 0,30. 14,2=°'45

0,1h ~0,30 = 0,500

2.2. VALEURS EXTRAITES DES ABAQUES

£ = 4 = 0,133-0.125

On obtient :

p

^G

su=2Z.

0 , 6 0

0 , 3 3 0

£u=6^

0 , 7 7

0,385

2.3. ARMATURES

Obtenues par interpolation parabolique :

=0

oc = -

D'où le pourcentage mécanique d'aciers

A. L,

U. FLÈCHE ULTIME

Calcul fait à titre indicatif.Moment total (ler+ 2e ordre) :

M u l +M u 2

M, = 0 + 0,77 . 33,8 . 3,00 = 78,08 mkN

cc =

A. tbo • h • bu

A = 0,6.3

. 29,38

~ = 0,6 + (0,77 - 0,6) v/Ô = 0,60

n 14,2 = 29,38 cm"' 348

= 14,69 cr/

3 O 20 HA + 3 0> 16 HA/face :

A = 3 .3,14 + 3 . 2,01 = 15,45 cm /face

HG = 0,330 + [0,385 - 0,330] 0 = 0,330

=> Mul + Mu2 = 0,330 . 0,40 . 0,302. 14,2

= 0,169mMN

Moment du 2e ordre :Mui = Nu(e0+ea)=>Mu2

Flèche ultime : •M u2=N u . t ; ; .MUI = 0,780. 0,15 = 0,117 mMNMU2 = 0,169-0,117 = 0,052 mMN

M.f = i_ 0,052u Nu -078Ô = 0'067in

CHAPITRE 12

POUTRES CONTINUES -PLANCHERS

I. RAPPELS DE COURSLes rappels de cours sont présentés ici en quatre parties :

- A : Poutres continues-Rappels-Adaptation,- B : Planchers-Méthode forfaitaire- C : Planchers-Méthode Caquot,- D : Poutres continues-Dimensionnement.

A. POUTRES CONTINUES - RAPPELS - ADAPTATION

1. RAPPELS DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUXPour une travée quelconque Gj_ i - Gj d'une poutre continue, soumise à l'action d'un sys-tème quelconque de charges

Travée réellecontinue:

M(x) ,V(x)

Travée de référence(isostatique soumiseaux mêmes charges):

Moment du 2e ordre :Mui = Nu(e0 + ea) => Mu2

M»i = 0,780. 0,15 = 0,117 mMNMU2= 0,169-0,117 = 0,052 mMN

CHAPITRE 12

POUTRES CONTINUES -PLANCHERS

I. RAPPELS DE COURSLes rappels de cours sont présentés ici en quatre parties :

- A : Poutres continues-Rappels-Adaptation,- B : Planchers-Méthode forfaitaire- C : Planchers-Méthode Caquot,- D : Poutres continues-Dimensionnement.

A. POUTRES CONTINUES - RAPPELS - ADAPTATION

1. RAPPELS DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUXPour une travée quelconque GI^ i - Gj d'une poutre continue, soumise à l'action d'un sys-tème quelconque de charges

Travée réellecontinue :

M(x) ,V(x)

Travée de référence(isostatique soumiseaux mêmes charges):

^<x> et -£r-

On commence par déterminer les moments sur appuis :

si I .=Cste-- , - - - 1 - i 3EI.I j = moment d'inertie de la travée / j

(o '. et œ". = rotations sur l'appui Gjdes travées de référence encadrant cet appui

>On obtient ensuite les moments et efforts tranchants dans la

autant d'équations qued'appuis intermédiaires

travée continue :

Pour un cas de charge donné (en tenant compte de la discontinuité due aux chargestrées) le moment maximal

- jç-— —V ifc* ItjL^l'U'llI

trées) le moment maximal en travée est obtenu en écrivant :

XQ = abscisse du point où M = Mn

concen-

d'où :

,, l \ ŒV1V(x0) = — = 0dx

Pour des charges uniformes :

2. ESSAIS DE POUTRES EN BÉTON ARMÉ

2.1. PHÉNOMÈNE D'ADAPTATION DES POUTRES EN BÉTON ARMÉ

«Pour la poutre isostatiquesur deux^appuis simpies,sou-mise à l'action d'une chargeconcentrée variable P crois-sante placée à mi-portée,siAQ est la section d'aciersen travée conduite jusqu'auxappuis,

à la rupture :

P=P U ==> Mu.-5ii

*Pour la même poutre encas-trée, munie d'une section ÀQd'armatures inf érieures,aprèsfissuration,on retrouve unepoutre sur deux appuis simpleset la charge de rupture Puconduit,pour Ag,à un momentde rupture:

Mu =

Ç

*Pour la même poutre encas-trée, munie d'une section ÀQd'armatures super i eures,aprèsfissuration,on obtient deuxconsoles nez à nez et lacharge de rupture PU conduit.pour Ag ,à un momentrupture :

__Pui.JuiMU- 2 - 2 - 4

de

Par conséquent, la charge de rupture, qui est identique pour les trois poutres, ne dépend quede la section d'aciers A0 correspondant au fonctionnement isostatique (sur deux appuissimples), indépendamment de la position de ces aciers.

D'une manière plus générale, on est assuré d'avoir une marge permettant un transfert par-tiel de moment des appuis vers la travée, ou réciproquement, sans que ce transfert compro-mette la sécurité vis-à-vis de la rupture en adoptant :

->Ào

Si l'on multiplie cette inégalité par zb.os, il vient puisque l'on a M = A.zb.os :

Mw + MeMt + -- - -- > M0

Dans la phase des grands allongements, la partie principale de la flèche a pour origine le,rotations importantes des sections où se produira la rupture :

2.2. CONCLUSION

Une poutre en béton armé se comporte comme elle a été calculée. La fissuration des sectionsles moins armées permet une distribution des moments qui diffère de la distribution théo-rique. C'est ce que l'on appelle le PHÉNOMÈNE D'ADAPTATION ENTRE SECTIONS.

Il est possible d'appliquer aux planchers en béton armé des méthodes de calcul différentesdes méthodes de continuité théoriques et de limiter l'influence des charges aux travées voi-sines de celle que l'on étudie.

*En ce qui concerne la fissuration et la tenue dans le temps :

- sous l'action des charges variables susceptibles de variations rapides, les éléments deconstruction dont les dimensions et les armatures sont déterminées pour équilibrer desefforts voisins de ceux auxquels conduisent les calculs élastiques se fissurent moins etont une meilleure tenue dans le temps que les éléments calculés en prenant en comptedes moments de continuité notamment plus faibles que ceux correspondant aux calculsen continuité théorique,

- cette constatation n'apparaît avec netteté que dans les planchers où les charges variablessont notablement plus importantes que les charges permanentes.

D'où les deux méthodes simplifiées de calcul des poutres continues de planchers :- la MÉTHODE FORFAITAIRE pour les éléments supportant des charges d'exploitation

modérées,

- la MÉTHODE CAQUOT pour les éléments supportant des charges d'exploitation élevées.

3. PORTÉES DES POUTRES ET PORTIQUES

3.1. PORTÉES À PRENDRE EN COMPTE

3.1.1. Poutres sur appareils d'appuis

/i = portée mesurée entre points d'application des résultantes des réactions d'appuides appareils d'appuis).

3.1.2. Poutres reposant sur un massif ou un mur en maçonnerie

.RA

- 7® °bl

, I.

— 12b

- 3 Kf

m

L=distance entre nus d'appuis

C'j-, =contrainte admissible surla maçonnerie

D--i-h h 7T~ ffR - 2 ù O - b - ° b ( 2 . R

b 0 = M l n | b o i > b"bO^

(bn f

/ = L + 2 - = portée mesurée entre points d'application des résultantes des réactions d'appui.3

3.1.3. Autres cas

/ = portée mesurée entre nus d'appui.

3.2. MOMENTS SUR APPUISLes armatures équilibrant les moments sur appuis sont dites « armatures en chapeau » ouplus simplement « chapeaux ».

3.2.1. HypothèsesLes sollicitations sont évaluées par les méthodes classiques de la Résistance des Matériaux :- calculs en portiques,- calculs en poutres continues, etc.

3.2.2. Moment d'encastrement sur appui à l'état-limite ultime

On doit prendre à l'E.L.U. :*•

Travée réelle

i: : V : : : : JHViX --.

H-11"té ••#•? ïns-•*•-.

Travée bi—encastréesoumise aux mêmes charges

M"

Muw =MaxM'"

4. POUTRES DE PLANCHERS

4.1. ÉLÉMENTS CONSTITUTIFS DES PLANCHERS

Les éléments constitutifs des planchers sont :- les POTEAUX = éléments porteurs verticaux,- les DALLES = plaques planes de faible épaisseur par rapport à leurs dimensions en plan,- les POUTRES dont les nervures, en saillie sous les dalles, constituent les « retombées ».

Nervures

4.2. TRANSMISSION DES CHARGES DES DALLES AUX POUTRES

4.2.1. Méthode des lignes de rupture

a) Méthode

Les lignes de rupture d'un panneau de dalle encastré sur son contour (lignes où se concen-trent les déformations au cours d'un chargement, assimilables à des lignes droites) se com-posent de tronçons :- formant un angle de 45° avec les rives du panneau,- ou parallèles à son grand côté.

p=charge au

2 ,m'de dalle.

On définit des charges uniformément réparties équivalentes sur les travées des poutres :

pv produisant le même effort tranchant sur appui de la poutre de référence que la chargeapportée par la dalle,

pM produisant le même moment fléchissant à mi-travée de la poutre de référence que lacharge apportée par la dalle.

Pour un panneau de dalle, les expressions de pv et pM sont les suivantes :

^^ELEMENT

CHÀRGE ^ ^

PpvpPM

TRAPEZE

M a, P-1K(1 2> 2

n a2ï P'IK(1- 3 } 2

TRIANGLE

p.lx4

p.lx3

Remarque 1 : les formules des charges en trapèze deviennent celles des charges en triangle

pour a = 1.Remarque 2 : pour deux panneaux, de part et d'autre de la poutre considérée, les chargesréparties déterminées précédemment pour chacun des panneaux contigus s'additionnent.

b) Démonstration pour les charges trapézoïdales

\1/ \i/ \i/ \i/ \|/ s]^^^^^^^^^^^^^^^^^y^^^^^^^^^^j^^ ( B J

>l 2 p> x'T

I ,- ^2, = VA.|-P'lV

= F.^.[(2-a)-(l-2

l (lP7~T'

a + oc -3-2 i

c) Démonstration pour les charges triangulaires et des poutres de portée lx

P ' - i

tj y^\lxsL-\LsL'J,-\.

V A = - V R = :

l-n,=^=P^ l*

2 4 4 ' 2

M0=^±-L.P>±.±=P'1

4 2 2 2 6> _l]=P^=p/x l]

3l 12 3 ' 8

PM

Remarque : Pour une poutre de portée L = n . /x supportant n charges triangulaires :

r v r M 4 L ' • *

4.2.2. Méthode de Pigeaud

Pour une dalle appuyée sur ses quatre côtés, en supposant que la dalle ne se fissure pas, lecalcul élastique donne (par égalisation des flèches au centre pour deux bandes unitaires dedalle fléchissant dans deux sens perpendiculaires) les efforts tranchants unitaires surchaque côté.

®

^'.-v?

:

p= charge au

m2 de dalle.

1+a4

a4

1+a4

s-=-<.!

4.2.3. Choix de la méthodeLa méthode Pigeaud correspond à un comportement de la dalle beaucoup plus théoriqueque réel. C'est pourquoi on lui préfère le plus souvent la méthode des lignes de rupture.

FORFAITAIREB. PLANCHERS-

1. DOMAINE DE VALIDITÉ

La méthode forfaitaire de calcul des planchers à charge d'exploitation modérée s'appliquedans les cas où :

1) les charges d'exploitation sont modérées c'est-à-dire où :qB = somme des charges variables, :g = somme des charges permanentes,

vérifient : ouBien entendu, l'adaptation entre sections ne peut se faire sans fissuration du béton. Il fautdonc s'assurer que celle-ci n'est pas gênante.

2) la fissuration ne compromet pas la tenue des revêtements ni celle des cloisons,3) les éléments de plancher ont une même inertie dans les différentes travées,4) les portées vérifient :

0,8 <—!-< 1,25li-i îf,

0,8<-^-< 1,25l i + i

Dans le cas où l'une au moins des hypothèses 2) à 4) ci-dessus n'est pas vérifiée, se repor-ter au paragraphe 5.

2. PRINCIPE DE LA MÉTHODE - ADAPTATION

Les essais des poutres en béton armé (cf. paragraphe 2.1. partie A « POUTRES CONTINUES -RAPPELS - ADAPTATION ») montrent que les rigidités aux encastrements étant généralementinconnues, si l'on prend :

À

*t +

c'est-à-dire si l'on choisit a priori des valeurs des moments telles que :

Mw + MeMt + —^—^k-Mo (k>1)

la résistance de la poutre sera assurée.

Le principe de la méthode forfaitaire consiste donc à choisir arbitrairement, mais entre cer-taines limites, les valeurs des moments sur appuis et en travée en autorisant des transfertsde moment entre les sections sur appuis et en travée (et réciproquement), k étant fixé e°fonction du rapport entre les charges variables et permanentes.

3. MOMENTS FLÉCHISSANTS

3.1. CONDITION À SATISFAIRE

M0 = moment maximal dans la travée de référence (isostatique, soumise aux mêmes chargeset de même portée que la travée étudiée),Mw et Me = valeurs absolues des moments respectivement sur l'appui de gauche et surl'appui de droite de la travée continue,Mt = moment maximal dans la travée continue,

C1B

avec, pour la travée considérée :qB — somme des charges variables,g — somme des charges permanentes,

on doit avoir :

( ( l + 0 , 3 . û ! ) M 0

1 , 0 5 . M 0

3.2. VALEURS MINIMALES DES MOMENTS Mt, Me ET Mw

On doit respecter les valeurs minimales ci-dessous.

3.2.1. Cas d'une poutre à deux travées

|MaU 0 0 , 6 . M 0 1 0

1 ,2+0 ,3 . 1,2+0,3.an t2 2 01 2

3.2.2. Cas d'une poutre à plus de deux travées

02

|Ma|2 0 0 ,5 .M 0 1 0 , 4 . M 0 2

1,2+0,3.0!M01

1,0+0,3.01 1,0+0,3.01a02

M 03

Appuide rive

Appuivoisin de rive

Appuiintermédiaire

B0iwoi

3.2.3. Remarque

Dans le cas où l'appui de rive est solidaire d'un poteau ou d'une poutre, il convieposer sur cet appui des aciers supérieurs pour équilibrer un moment au moins égal" C ^'S~

Mal = -0,15M01(ouM0n).33. MODE OPÉRATOIRE

Si on se fixe le moment en travée (en respectant les valeurs minimales du paragraphon obtient les moments sur appuis en appliquant la condition à satisfaire pour les mo

*-• du paragraphe 3.1. : ents

- soit en se donnant un des moments sur appui, • '••"•H», - soit en les prenant égaux. , >!,

Si on prend sur appuis Me et Mw (en respectant les valeurs minimales du paragraphe 3 2 ïla condition à satisfaire pour les moments donne Mt. '

Le moment pris en compte sur l'appui de gauche d'une travée est égal à celui priscompte sur l'appui de droite de la travée précédente.

3.4. ARRÊT DES BARRES

Par la courbe enveloppe des moments.Forfaitairement si qB < g et si les charges sont uniformément réparties :

1' . . 1 '

->À t /2

avec : /y = Max [/;

• Travées de rive :

/ ' = Max ou / ' = Max

• Travées intermédiaires :

r=M«p- ; / .[5 '

• Dans toutes les travées, quelle qu'en soit la nature :

/ " = Max — ;

* = seulement si crochets d'extrémité pour ces barres,Aa, At = armatures calculées respectivement sur appui et en travée.

EFFORTS TRANCHANTS

j REMARQUE PRÉLIMINAIRE

Efforts tranchants dans une travée de rive :

V-->, \i ••

. r.-.; ': <!yj u.;uj

s • ' . " ; • / ?«KJ . I'0= valeur absolue de l'effort tranchant sur appui 1 ou 2 dans la travée de référence,

M2-Mi )•/««;'"'

M 2 < 0 | M2-M!<0 ir

Y 0 -r

= -V0

V2 :

/M2

> V0

-M!/

<v0 ( ; j ^. . ! • ' • • • * au;.'

- Vo^îfîOi', •--

/ '••ilTMM ••

Donc l'effort tranchant réel est : '•" ' ' •- supérieur en valeur absolue à l'effort tranchant isostatique sur l'appui continu dans la tra-vée de rive, ' '"f; / • ' , .- au plus égal à V0 ailleurs.

' • • • : • • ' •.-. • ' i ;'-':à .£

4.2. CALCUL DES EFFORTS TRANCHANTS

Calculs en faisant abstraction de la continuité.

Sauf sur l'appui voisin de rive où :

- soit on tient compte des moments de continuité évalués,

- soit on majore forfaitairement les efforts tranchants de la poutre de référence : '.''_• de 15 % pour les poutres à deux travées, >>-,

j . • de 10 % pour les poutres à plus de deux travées. *' '"'

-1,10.%

5. MÉTHODE CAQUOT « MINORÉE »

Dans le cas où l'une des hypothèses 2, 3 ou 4 énoncées au paragraphe 1 de ce sous-chan'ne serait pas vérifiée : appliquer la méthode Caquot pour les planchers à charge d'explo'ition élevée (qB > 2.g) en multipliant la part des moments sur appui provenant des seulcharges permanentes par un coefficient compris entre 1 et 2/3.

C. PLANCHERS - MÉTHODE CAQUOT

1. DOMAINE DE VALIDITÉ

La méthode de calcul des planchers à charge d'exploitation relativement élevée, due à ACaquot, s'applique dans les cas où :

- les charges d'exploitation sont susceptibles de variations rapides dans le temps et enposition (charges mobiles,...) et où :

qB = somme des charges variables,g = somme des charges permanentes,

vérifient: ou i 2 a .n t -(qB> 5 kN/m

- les poutres sont associées à une dalle générale (sections en T en travée).

2. ÉVALUATION DES MOMENTS

2.1. PRINCIPE DE LA MÉTHODE - MOMENTS SUR APPUIS *•

Mi Mi+l ...

Appuiderive

Travées>réelles

Appuicontinu

Travées

fictives

On retient :/'i = /i pour les travées de rive sans porte-à-faux (sinon voir § 4),

/'; - 0,8 /; pour les travées intermédiaires.

2.1.1. Cas des charges réparties

a) Cas généralOn considère les deux travées fictives de portées /'w (pour celle de gauche) et l'e (pourcelle de droite) détachées de part et d'autre de l'appui considéré.

Iv| * i. >, i

w

1' lé

Le théorème des trois moments appliqué à l'appui Gj s'écrit :

/' ' w ' e /'e Pw/'3w Pe . / ' e

6ËU-Ml-1+[3ËU + 3Ëi;J-1Vli"6Ëï;-mi+1=-24^Û-24Ëi;

soit après simplification par 6E et en tenant compte de ce que Mj _ { = M; + {

appuis G'i_! et G ' i + j :

= 0 sur les

d'où :

ce qui s'écrit :

/ w / e , . _ P" J w / «2 . + — • Mi ' —

4 Iw

/ w ' AW

; . / ' e /^

4 ' le

.,2PW « <• w P e - / e / 'e / Ie

' / ' w / I w + / ' e / Ie ' r w / i w + r e / i e

en posant :

8,5 t 8 , 5

et D=K W +K E

Iw etIe =moments d'inertie dela section de béton seul

Le coefficient 8,5 au lieu de 8 dans l'expression des moments de référence M' trad Il'effet de variation des inerties des sections de béton fissurées le long des travées. 1

A . H . I À . H .À . H . A . N .

En travée Sur appui

~^ ^travée ^appui

b) Cas particulier oui = Cste

Si les travées ont le même moment d'inertie I (section non fissurée) :

D /'w + /'e

et l'on obtient :

2.1.2. Cas des charges concentrées

a) Cas général

On considère les deux travées fictives de portées /'w (pour celle de gauche) et /'e (pour cellfde droite) détachées de part et d'autre de l'appui considéré et soumises à l'action d'un*charge concentrée Pe d'abscisse ae comptée depuis l'appui central.

1-1dv>

Le théorème des trois moments appliqué à l'appui Gj s'écrit :

w ' e

6 EL. i _ , +

3 EIW 3

soit après simplification par 6E et en tenant compte de ce que Mj _appuis G';.! etG' i + 1 :

31e • /'e

= M, + i = 0 sur les

2 . .M;=-

P.-'' 2--

d'où:

f 'e

ce qui s'écrit dans le cas général de charges concentrées dans les deux travées encadrantl'appui considéré :

de)

en posant :

1 a

» 2 ,125 1- i;» i;' ' e

[^=Ikw .Pw . i ; et Mé=Ik e .P e . l é

et D=Kw +Ke

Iw et Ie =moments d'inertie de la section de béton seul

Le coefficient 2,125 au lieu de 2 dans l'expression des coefficients kw et kg traduit l'effet

de variation des inerties des sections de béton fissurées le long des travées.

b) Cas particulier oui = Cste

Si les travées ont même moment d'inertie I (section non fissurée) :

K-«/ — •

D = I.' w • ' e

D

et l'on obtient :

Mi —•

2.1.3. Cas général

Lorsqu'agissent simultanément des charges réparties et des charges concentrées, on super-pose les résultats précédents.

2.2. MOMENTS EN TRAVEE

Les valeurs des moments sur appuis sont obtenues comme indiqué ci-dessus au paragraphe2.1.

Les moments en travée sont calculés en considérant les travées réelles (de portée / et non /')chargées ou non suivant le cas et soumises aux moments sur appuis obtenus précédemment.

Comme, dans l'évaluation des moments sur appuis, on ne considère que les deux travéeadjacentes à l'appui étudié, les cas de charge à envisager pour l'E.L.U. sont les suivants :

1 ,35.6+1,5.QB 1 ,35.6+1,5.QB 1, 35 .6+1,5 .Q B

T r i r i r T. T I. 4. 4. 4. 4.

max max

l , 3 5 . G + l , 5 . Q j

1,35. G

Jn ' T l T T l f 1

Lr inr y1

r ^

jj

r

W i

r

m i

r

• ~m i

r ¥ T \ 1 , 35 . G4imL à

* tmaxJ-i

w y vinL

rf H

•;••

rf

-H-i

U , 3 5 . G + 1 , 5 . Q B( ouf 6+1,5.QB

"T

Tjjjrjjnhrj

| 1 , 35 .GouG

J l , 3 5 . G + l , 5 : Qou

6+1.5.QB

B

i rvv T ^ T V l r T

T T ? T T T '

* Mtmin

r

D'où la courbe enveloppe des moments pour des charges réparties, les cas de charge à consi-dérer étant les mêmes et conduisant à des courbes analogues, mais à points anguleux, pour descharges concentrées :

• ' • • . • • •!•,- ^ïiMO.Îl

wmax emaK

: Ligne de fermeture

x i xT + M -77

3- EFFORTS TRANCHANTS

Les efforts tranchants sont calculés en tenant compte des moments sur appuis évalués parla méthode Caquot.

3.1. EFFORTS TRANCHANTS EXTRÊMES SUR APPUIS

4+11 , 3 B . G + 1 , 5 . Q

1,:mm

B 1 ,35 .G+1 ,5 .Q B

i i i~\ 1 ,35.(

VL =

avec :V0w et V0e = efforts tranchants sur appui Gi des travées de référence en valeur algébrique,

MJ _ b Mj et MJ + j = moments sur appuis avec leurs signes.

3.2. EFFORTS TRANCHANTS EN TRAVÉE

3.2.1. Cas des charges réparties

D'après l'allure de la ligne d'influence de l'effort tranchant en travée, on a, en se limitant àla travée considérée et aux deux travées adjacentes (nécessaires pour le calcul des momentssur appuis, donc de AM/0 :

1 , 3 5 . G + 1 , 5 . Q B 1 , 3 5 . G + 1 , 5 . QB

|~j 1,35. G \ ^ | \ 1.-3^'.G.• i ' y y i n M ' i ' ir i nr T

1 , 3 5 . G + 1 , 5 . Q B 1,35.G+1,5.QB

iiririr35.G ) j ^ j 1.35 G

VTTVl ' l ' i ' in r i

D'après l'allure de la ligne d'influence de l'effort tranchant en travée pour la poutre isosta-tique de référence associée à la travée considérée, on voit que pour un extremum de signe

+

donné ( Vmax ou Vmax ), la zone à charger est la même que pour la travée continue.

Ni — — Travée continueTravée de référence

D'où le mode opératoire obtenu en dissociant les parts isostatique (d(J/dx) et hyperstatique(AM//j) de l'effort tranchant.1) On commence par tracer la ligne enveloppe de l'effort tranchant dans la travée de réfé-rence de portée lt.2) On fait subir à la partie positive une translation de valeur algébrique :

-

avec Me et Mw obtenus en considérant le cas de charge :

1 ,3S .G+1,5 .Q B 1 ,35 .G+1,5 .Q B

I ' r l r i r T r T F T T If w ï 1 . G

M w < 0 M e < 0

'» ,£,£.^

:;,:,',y.'l

, - • ; < • • l'ît-'

' j J .i.

3) On fait subir à la partie négative une translation de valeur algébrique :

AMm Me - Mw

/i 'i

avec Me et Mw obtenus en considérant le cas de charge :

1,35 .G+1,5 .Q R l , 3 5 . G + l , 5 . Q j

1 ,35 .G 1. | | .1 .1.

M w < 0 M e < 0

4) On en déduit la ligne enveloppe de l'effort tranchant dans la travée continue en s"ressant à sa valeur absolue et en remplaçant les arcs de courbe par leurs cordes (sens sécurité) : e 'a

••• ••<•»»•"!». V '"S.

Travée de référence - ' ,'-. . _v— Travée continue

Ligne enveloppe pour la répartition

des armatures d'âme

Remarque 1 : en principe, il faudrait tenir compte des chargements partiels de la travée /pour le terme hyperstatique AM//t, mais la méthode donnée va dans le sens de la sécurité.

Remarque 2 : pour une charge répartie qu d'étendue variable, au milieu d'une travée isosta-tique :

Vu = ± ~y (voir paragraphe 4.2.a) de l'exercice « Poutre - effort tranchant » du chapitre 7

« EFFORT TRANCHANT ». ,


Considérer pour Vmax toutesles sections d'abscissesa; ± e (a; = abscisse descharges concentrées qu'ellessoient variables ou perma-nentes) en envisageant le casde charge le plus défa-vorable pour l'effet recher-ché dans une section donnée,c'est-à-dire en chargeantsuccessivement les zonescorrespondant aux partiespositives ou négatives de laligne d'influence de l'efforttranchant relative à la sectionconsidérée.

G, Q

AH,

4. TRAVÉES DE RIVE AVEC CONSOLE

4.1. THÉORIE * M

Dans le cas où la travée de gauche (Zwl) adjacente au premier appui est une console :

1wl © 1el = 1w2 (D 1e2 = 1w3 CD ^3

En appliquant le théorème des trois moments à l'appui 2 encadré par les travées fictives de

portées /'w2 et /'e2:

bw2 . Mw] + (cw2 +ae2J • MW2 + be2 .0 = 0M W2

Mwi

d'où, en posant K = lll' : "> ,e,L*i-'it'M

6EIW2 K w2 Ke2

3EIw2 3 El c2

2 ' 1 1 2 ' Kw2

Kw2 + Ke2

Soit en prenant 2,125 au lieu de 2 pour tenir compte de la variation d'inertie des sections

fissurées le long des travées de la poutre :

Mw1 K

2 2 ,125 K w 2

e2M H

ce qui s'écrit dans le cas où Iw = Ie -1 :

Mw 1 1*<- 2 ,125 I w 2 -

M 1fi^2 wl

Dans le cas où la travée de droite (/en) adjacente au dernier appui est une console il vient H

la même manière :K w ( n - l )

- -

ou : M e (n- l ) = 2,125 .M f

4.2. MÉTHODE DE CALCUL

4.2.1. Cas où l'appui 3 est continu

Le moment sur appui 2 est donné par la formule :

1 I

;'j

"Tt1

M2=M2 c- • Mwl2,125

avec: i,^ w2 = '•v/2 > l e2 = 0>8./e2 ,

' ; M2c = moment dû aux charges agissant sur les travées encadrant l'appui 2, ''

Mwl = moment apporté par la console (avec son signe) sur l'appui 1. \ >•

4.2.2. Cas où l'appui 3 est un appui de rive '

Même formule qu'au paragraphe 4.2.1. avec :

' w2 = 'w2 ' ' e2 = 'e2 •

4.2.3. Cas où l'appui 3 est un appui de rive avec console

Même cas qu'au paragraphe 4.2.2. si en partant des deux extrémités de la poutre on obtient IMw2 = Me2-Sinon appliquer les formules de la Résistance des Matériaux pour retrouver le mermoment M2 sur appui 2 en partant des deux extrémités de la poutre.

4.2.4. Remarque

Les formules établies pour l'appui 1 avec console /wl se transposent au cas de l'appui navec console /en :- en remplaçant les indices 1 et 2 par n et n - 1 respectivement,- en permutant les indices e et w.

D. POUTRES CONTINUES - DIMENSIONNEMENT1. CONDITIONS DE DÉFORMATION

©

1.1. DISPENSE DE VÉRIFICATION DE LA FLÈCHE

Pour les poutres de plancher vérifier :

-à >-Jl J

À

-16

1

10

avec :

Mn=moment de la travée de référence,

Mt=moment maximal en travée,

À=section d'aciers tendus en travée.

Sinon vérifier l'état-limite de déformation (voir Maîtrise du BAEL 91 et des DTU associés).

1.2. LIMITATION DES FLÈCHES

En Résistance des Matériaux, pour une travée isostatique sur deux appuis simples unifor-

mément chargée :

EI\ _7$;' ÎOHTH... ..

, , . . « • • / w . o i î

"!•• ; r• i f i O i r U O l

• • .-v} A»iS

384 . El

En béton armé, le calcul de la flèche est beaucoup plus complexe, compte tenu de la fissu-ration du béton. Ce calcul n'est pas traité dans le présent ouvrage (voir Maîtrise du BAEL

91 et des DTU associés).

Limitation des flèches pour les planchers :

f<500

f<0,5cm +

f <

1000

250

si / < 5,00m

si /> 5,00m

pour les consoles avec / < 2,00m

2. RÉSISTANCE À LA FLEXION

2.1. SECTIONS CRITIQUES

À.H.À.H.

En travée Sur appui

MTserMTu »

M ,rbMlu

d'où la section critique est SUR APPUI.

2.2. MÉTHODE DE DIMENSIONNEMENT

II convient donc :

1) de calculer les moments sur appui (formules de la Résistance des Matériaux, méthodeforfaitaire ou méthode Caquot),

2) de vérifier sur appui :

- si la fissuration est peu préjudiciable :

bg.d2 , Mu

~ "lu- fbu

- si la fissuration est préjudiciable ou très préjudiciable

bn.d > Max f Mu

L .

3) de déterminer b0 et d en tenant compte des dispositions constructives qui fournissent laseconde équation de coffrage :

0, 3 d i b010, 5 d

VÉRIFICATION À L'EFFORT TRANCHANT

La poutre étant dimensionnée en flexion, il faut vérifier :

b0 .d

SiTu0>Tlimonpeut:

- soit augmenter le coffrage (b0 et/ou d),

- soit augmenter la résistance caractéristique fc2g du béton à utiliser,

- soit incliner les armatures d'âme (ce qui revient à augmenter tlim).

la valeur de Tlim étant celle donnée au paragraphe 3.2. du chapitre 7 « EFFORT TRANCHANT ».

II. EXERCICE N° 1 : PLANCHER -MÉTHODE FORFAITAIRE

— ÉNONCÉ —

1

1

i

1

1

1

1

1

1

1

1

1 ' ' • 1

9,20»

1

1

1

1

2,30m

(fitV£f+2cm

2,30m

9

,2,30m

20m

L2,30m

1 1

1

1

9 , 2 0 m

i — •

;

1 '

1 ?

:IJ .I.î

7-ifl»

<S.ji.m&i-

fhiyi.

, à .1.1Al• ' • ' * ";u

7,50m

' ' V

'- l'"1

- Caractéristiques des matériaux :- béton : fc28 = 25 MPa,- aciers : Fe E 500 HA.

- Caractéristiques géométriques :- hourdis : épaisseur 10 cm,- chape de 2 cm,- poteaux tous carrés 30 x 30 cm2,- retombée maximale admise : 50 cm.

- Actions variables de durée d'application supérieure à 24 heures :- charge d'exploitation : q = 2,5 kN/m2.

• Fissuration peu préjudiciable. Reprise de bétonnage sans indentations pour les poutres etpoutrelles.

• On se propose :1) de dimensionner les poutrelles,2) de dimensionner les poutres,3) de déterminer le ferraillage des poutrelles.

— CORRIGE —


1.1. BÉTON

Résistance de calcul

Contrainte limite à l'E.L.S.

1.2. ACIERS

Résistance de calcul

Contrainte limite à l'E.L.S.

fissuration peu

préjudiciable

= 0,6.25 =

2. DIMENSIONNEMENT DU PLANCHER

2.1. ACTIONS AU M2 DE DALLE

a) Actions permanentesPoids propre dalle :Chape de 2 cm :

Total :

h) Actions variablesCharges d'exploitation :

2.2. MÉTHODE DE CALCUL UTILISEE

Charges :g = somme charges permanentes,q = somme charges variables,

25 kN/m3. 0,10 = 2,5 kN/m2

20 kN/m3. 0,02 = 0,4 kN/m2

g = 2,9 kN/m2

q = 2,5 kN/m2

g

q > < 5 kN/m2

Fissuration :

Inertie des travées :

Portées :

/.0,8 <r-^< 1,25

q = 2,5 kN/m2 < 5 kN/m2

ne compromettant pas la tenue des cloisonsni celle des revêtements,

I = Cste dans toutes les travées,

travées toutes égales :poutres : 9,20 mpoutrelles : 7,50 m

0,8 < < 1,25 On appliquera la MÉTHODE FORFAI-TAIRE DE CALCUL DES PLANCHERS.

2.3. DIMENSIONNEMENT DES POUTRELLESL'équarrissage des poutres et poutrelles n'étant pas connu à ce stade de l'étude, nous rai-sonnerons à partir des portées entre axes (et non entre nus d'appuis).

a) Charge au ml de poutrelle

Transmission des charges des panneaux de dalle aux poutrelles :

=> pas de limitation de as en service.

=> Les panneaux de dalle portent dans le sens de leur petite portée.=> Les charges sont transmises directement des panneaux de dalle aux poutrelles.

Charge sur poutrelle à l'E.L.U. :p u = ( l , 3 5 g + l , 5 q ) / x

b) Résistance à la flexion

Moment dans la travée de référence :.2

pu = (1,35 . 2,9 + 1,5 . 2,5) 2,30 = 17,63 kN/m

Moments sur appui :- section sur appui = section critique,- par la méthode forfaitaire :

|Mali 0 0 , 5 M Q 0 , 5 M 0

Mau = -0,5M0u

Dimensionnement :- pour ne pas mettre d'aciers comprimés :

Mau = -0,5. 123,96 = -61,98 mkN

Mau < Mlu

M=Y~= " =

P" = 1,35. g + 1,5. q~ ~ ~

M Y=-

, = 7,67kN/m•

1,35 . 2,9 + 1,5 . 2,52,9 + 2,5

= 1,419

- moment réduit limite approché :

FeE500etfc 2 8<30MPa

- dimensionnement :

M...

fc28

e(MPa)

25+ 51 — -3100 104|ilu=3220. 1. 1,419 + 51 . — -31000 1

= 2744=>n,u=0,274

0,3d 61,98. 10-3

V 0,4 . 0,9J. 0,274 . 14,2

b0 = 0,36. 0,379 = 0,136 m

= 0,379 m

retombée : 37,9 - 10 = 27,9 < 50 cm O.K.=> POUTRELLES 14 x 40 cm2

c) Résistance à l'effort tranchant

Effort tranchant :

- poutre de référence :

*0u = Pu ' ~2

- poutre continue :

V^ = 17,63.^^ = 66,1 IkN

1,10V,

-1,10V,

Ou

Ou

Vu= 1,10Vi i l l Vu =1,10. 66,11= 72,72 kN

Contrainte tangente conventionnelle réduite :

Vu0 = 0,073 - 17,63 -W~3 -^ -0,40

VuO

b0 . dT =

= 0,0671MN

0,06710,14.0,35

= 1,37 MPa

Contrainte tangente limite :

fissuration peu 0,20&Jhpréjudiciable / ^ T Hm- M i n \ 'b

v5MPa

Vérification :

= 3,33 MPa = MinI 0,2011=^3- '•

l5MPa , .,w:,q

d) Flexibilité

h 1

0= 1,37 MPa < t|im= 3,33 MPa O.K.

7 50h > - " = 0,469 = 47 cm > 40 cm

16

trouvés en résistance (voir b).47 - 10 = 37 cm < 50 cm de retombéeadmissible.

e) Retenuh = 45 cm compte tenu du fait que / est la portée entre nus et non entre axes et du fait quel'on a négligé le poids propre de la retombée :

POUTRELLES 14 x 45 cm2

2.4. DIMENSIONNEMENT DES POUTRES

Poutrelle Dalle

i ~*W~ "If — Hf — Ijf — If" ^•••••••••••••••••^•"•"••••••••w"-""^

| \ Poutre

9 , 2 0 m i, 9,

>Uf >

20m 1 9 , 2 0 mH

P P

, „

a j Charges transmises par les poutrelles aux poutres

Charges concentrées :gn = poids propre retombée

PD = 1,10. 2[YO,,* 1,35g.41 Pu = 1,10. 2 66,11 + 1,35 . 25 .0,14 .0,35 .7,50

= 159,085 kN

1,10 car on s'intéresse à la poutre constituant le premier appui intermédiaire des poutrelles,2 car la poutre sert d'appui à deux travées de poutrelles.

b) Résistance à la flexion

Moment dans la travée de référence à l'E.L.U. :

M -3 • -P = P -lvlOu ' 2 " 2 u ' 4 u ' 2 ,=0,159. = 0,731 mMN

Moment sur appui (section critique d'une poutre continue) :Mau = - 0,5 M0u Mau = - 0,5 . 0,73 1 = - 0,366 mMN

Dimensionnement :

En prenant y= l,419>yréel = = - par sécurité puisqu'on a rajouté le poids propre de"

nervure et qu'on a négligé celui de la poutre :

h 3 > -0,4.0,9 J .n - f b"lu o

h > °'366

0,4 . 0,9J. 0,274 . 14,2= 0,686 m

.,-• 'fi'. ' ',',',.•:. ilsitq ''1

. j : • • ; • - . - , r i " -••-lï.ll i".

cj Résistance à l'effort tranchant

Calcul de Vu :

b0= 0,36. 0,686 = 0,247 mor retombée maxi = 50 cm > h - 10 = 59 cm=> h = 60 cmet poteaux 30 x 30 cm2 => b0 = 30 cm=> retenu poutres 30 x 60 cm2.

Pu= 0,159 MN6,073 . 10

. 0,30. 0,60.

V^UOVou

Contrainte tangente conventionnelle :

Vu = 0,266 MNVu= 1,10. 0,266 = 0,293 MN

(1) V = 0,293 - - . 6,075 . 10" 3 . 0,60u0

= 0,290 MN

v u l )TuO b 0 . d

Contrainte tangente limite :

I fcjfissuration peu \ ,,. I .20 —préjudiciable HTHm-Mm yb

51

Vérification :

d) Flexibilité

h 17><:T6

T u° 0,30 . 0,55

250,20 . 3,33

UMpa

,

Tu0 = 1,76 MPa < tlim = 3,33 MPa O.K.

9,20 - 20,30

h >

e) Retenu

16

POUTRES 30 x 60 cm2.

- = 0,56 m < 0,60 m O.K.

Ne pas confondre V0u (isostatique) et Vu0 (réduit).

2.5. CONCLUSION

En adoptant les mêmes dimensions pour les poutres et poutrelles de rive qui sontchargées que les poutres et poutrelles intermédiaires, on retient pour les retombées •

30^50

1*3

[

[11

.35

14,

fo)+2

E35

14:

1*3

.35

,35

»:

19 , 2 0 m J

;35

•:

14;

14,°n

QY

£35

t3550

14:

50

;35

14:

30K50 :

9 , 2 0 m J

143

.35

;35

14; ;35

14:

— c

14;

[35

19 , 2 0 m J,

3S

7 , 5 0 m

7 , 5 0 m

7 , 5 0 m

3. ACTIONS ET SOLLICITATIONS DANS LES POUTRELLES3.1. ACTIONS (CHARGES)a) Charges permanentes

Caractéristiques des panneaux de dalle :poutrelles 14x45poutres 30 x 60

=>/ x = 2,30 -0,14 = 2,16 m=> ly = 7,50 -0,30 = 7,20 m

«-w-wApportées par un panneau de dalle :

f, «l g/*gM = | l - — I . —

g'x

À prendre en compte :2 panneaux de dalle :sur poutrelle :retombée de poutrelle

total pour M :

3,038 kN/

= 2,662 kN/m

2. 3,038 =2,9 kN/m2. 0,14 =25 kN/irP. 0,14. 0,35 =

6,076 kN/m0,406 kN/m1,225 kN/m

gM= 7,707 kN/m

2 panneaux de dalle :sur poutrelle :retombée de poutrelle :

total pour V : ' • ' '"''

\ Charges variables

Apportées par un panneau de dalle :

2 . 2,662 =,<ijo. 2,9 kN/m2. 0,14 =

25 kN/m3. 0,14. 0,35 =

5,324 kN/m0,406 kN/m1,225 kN/m

gv= 6,955 kN/m

q v= i-

0,302

0,30

2\ 2,16= 2,619 kN/m.2,5.

.2,5. = 2,295 kN/m

2.2,619 =2,5 kN/m2. 0,14 =

2.2,295 =2,5 kN/m2. 0,14 =

qv^i-fj-^À prendre en compte :

2 panneaux de dalle :sur poutrelle :

total pour M :

2 panneaux de dalle :sur poutrelle :

total pour V :

3.2. SOLLICITATIONS

a) Remarque

Pour la méthode forfaitaire, les sollicitations hyperstatiques sont déduites des sollicitationsisostatiques au moyen de coefficients de réduction.

On ne calculera que les sollicitations à l'E.L.U., celles à l'E.L.S. s'en déduisant en multi-pliant les précédentes par 1/y avec :

1,35 . gM + 1,5 . qM ! 35 . 7 707 + 15. 5,588Y= v = — = 1413Y gM + qM

T 7,707 + 5,558

(valable uniquement pour les moments, l'effort tranchant étant étudié à l'E.L.U.).

b) Sollicitations dans la travée de référence

PMU= L35 gM+1,5 QM

5,238 kN/m0,350 kN/m

qM= 5,588 kN/m

4,590 kN/m0,350 kN/m

qv = 4,940 kN/m

pMu= 1,35. 7,707 + 1,5 . 5,588 = 18,786 kN/m

r

pvu= l,35gv+l,5qv

M0 u= 18,786.7,20

= 121,73 mkN

*0u =

pvu = 1,35 . 6,955 + 1,5 . 4,940 = 16,8 kN/m

7,20Vn,, = 16,8 = 60,48 kN

c) Moments sur appuis

On prend les moments minimaux suivants (poutre à plus de deux travées) :

0 .5M 0 Q , 5 M 0 0 ,15M n

u = - 0,15 MAu = MDu = - 0,15 . 0,122 = - 0,018

u = - 0,5. 0,122 =-0,061

d) Moment en travée courante

qM 5,588a = 7JÔT+T588=0'420

Moment calculé :

( l+0,3<x)M 0

soit avec Mw = Me = 0,5 M0 :

f(0,5 + 0,3a)M0

i;Gf

M, > Max0,55 Mn

Moment minimal réglementaire :on doit avoir :

0,5 + 0,3 . 0,42 = 0,626 > 0,55 "'"

=> Mtu > 0,626 . 0,122 = 0,076 mMN

® (I1,2+0,30! „

r M

Mti<0

1+0. 30! w

2 M0

© <§>1,2+0,30!

- M 0

d'où dans la travée centrale :

1+0,3 aM t >

Conclusion :

e) Moment en travée de rive

Moment calculé :

retenons : Mm = 0,076 mMN

(1+0,3 a)M

soit avec Mw = 0,15 M0 et Me = 0,5 M0 :

[(0,675+ 0,3 a) M0M '^MaX\0,725 M0

Moment minimal réglementaire :

1,2+ 0,3 aM t > .M0

Conclusion :

f) Efforts tranchants

En faisant abstraction de la continuité :I

0,675 + 0,3 . 0,42 = 0,801 > 0,725

=> Mm > 0,801 . 0,122 = 0,098 mMN

,VOu

*T

0,801 s ' 2 ' =0,663 O.K.

retenons : Mtu = 0,098 mMN

a,' t.-L-t»?:,,;>•'> ;- <&•>.

• -\\.u, rt \)»V'-

-1,10V.Ou

Soit:

IV B g u l=UOV 0 u

VBdu=l,10V0u

3.3. SOLLICITATIONS RETENUES

VAu = 0,061 MN

I VBgu I = 1,10 . 0,061 = 0,067 MN

VBdu = 0,067 MN

-0,061

© 0 , 0 9 8 (g) 0 , j076 (C)

0 ,061 0 ,067

^ Sfà-0,067

4. POUTRELLES - ARMATURES LONGITUDINALES

4.1. SUR APPUIS INTERMÉDIAIRES


Moment réduit agissant :

M,, 0,061b 0 . d 2 . f b u

Moment réduit limite :Fe E 500 et fc2g < 30 MPa =>

104^=322007+51 —-31000

(MPa)

Nécessité d'aciers comprimés :

0,14 . 0,402 . 14,2

y= 1,413

- = 0,192

25

b) Armatures supérieures(ibu > < 0,275 => méthodez b=d(l-0,6n b u)

M

10«Miu = 3 220. 1.1,413+ 51. — - 3 100

= 2725=>H-iu =0,2725

Hta = 0,192 < 0,2725 = jiln => A' = 0

Hbu = 0,192 < 0,275 => formules simplifiéeszb = 0,40 ( 1 - 0,6 . 0,192) = 0,354 m

Au=-006L_io4 6cm2

0,354 . 435

y10 . ' v»J^mi* ~

Largeur de table a prendre en compte sur appui intermédiaire :

b-bo f''/10—2—=Min//2/10

[0

ft28 = 0,6 +0,06 fc28

B = b0 .h + (b-b0)h0

v, _ b0 . h2 + (b - b0) . h

2,

2Tfi

b-b 0 [7,20/10 = 0,72 m—^~ = 0,72 m = Min < 7,20/10 = 0,72 m

[2,16/2=l,08m

b = 2. 0,72+ 0,14 =1,58 mft28 = 0,6 + 0,06 . 25 = 2,10 MPaB = 0,14 . 0,45 + 1,44 . 0,10 = 0,207 m2

, = 0,14 .0,452+ 1,44 .0,102 = 0)l03

2 . 0,207

1 I Ït28

0,81 h v' fe

: 0,14 . °'45 + 1,44 . ili- - 0,207 . 0,1032

I = 0,0025 m4

A _ 1 0,0025 2,1 1ft4Amin • • 1"0,81 . 0,45 0,103 500

Amin = 2,80 cm2 < Au O.K. ' "^

d'où pour deux files verticales :l i t l :2O12HA:2 .1 ,13= 2,26 cm2l i t 2 : 2 < D 1 2 H A : 2 . 1,13= 2,26 cm2

A = 4,52 cm2

4.2. EN TRAVÉE DE RIVE

a) Largeur de table à prendre en compteM, > 0 => section en T en travée.

b-b0 = Minb-b

b = 2 . 0,72 + 0,14 =1,58 m

= 0,72 m

b) Moment de référence

À . H .

s -s

Fh_ = 1,58 . 0,10 . 14,2 = 2,244 MN

zb = 0,40 - = 0,35 m

c) Type de sectionMtaxMTu

MTu= 2,244 . 0,35 = 0,785 mMN

Mtu = 0,098 mMN < 0,785 mMN = MTu

=> Calcul en section rectangulaire bd.

d) Armatures inférieures

bU b . d 2 . f b u

(j,bu > < |is; (section en T)(ibu > < 0,275 => méthode

zb = d(l-0,6tibu)

M...A.. =

0,098

Z b ' f ed

Hbu = 0,027 < 0,3717 = m, => A' = 0

^bu = 0,027 < 0,275 => formules simplifiéeszb = 0,40 (1 - 0,6 . 0,027) = 0,394 m

0,098A =- . 104 = 5,72cm2

V = h - V'

min~0,81 .h ' v ' fe

" 0,394.435

v = 0,45-0,103 = 0,347 m

A __J__ °'0025 AI 1Q4min 0,81 .0,45 ' 0,347 '500

A^ = 0,83 cm2 < Au = 5,72 cm2 O.K.soit deux files verticales :lit 1 : 2 0> 14 HA : 2 . 1,54 = 3,08 cm2

l i t 2 : 2 < ï > 1 4 H A : 2 . 1,54= 3,08cm2

A = 6,16 cm2

4.3. EN TRAVÉE CENTRALE

Un calcul identique en tout point à celui effectué ci-dessus au paragraphe 4.2. donne pourdeux files verticales ; Mu = 0,076 mMN ; b = 1,58 m ; b0 = 0,14 m et d = 0,40 m :

A = 4,36 cm2

soit :I i t l : 2 O 1 2 H A : 2 . 1 , 1 3 = 2,26cm2

lit 2 : 2 * 12 HA ; 2 . 1,13 2,1

A = 4,52 cm21

4.4. SUR APPUI DE RIVE

Moment à reprendre pour encastrement partiel sur poutres de rive:

MU = -0,15.M01 Mu = - 0,018 mMN

Armatures supérieures :

Mu 0,018Ll.u.. — ' ' -

b0 . d2 . fbu

^bu><M-lu

[ibu > < 0,275 => méthode

zb=d(l-0,6nb u)

= 0,0570,14 .0,40 . 14,2

Hbu = 0,057 < 0,2725 = jilu => A' = 0^ibu = 0,057 < 0,275 => formules simplifiées

zb= 0,40 (1 - 0,6 . 0,057) = 0,386 m

M,,

ied

0,018 m* i *n 2

Au= - - . 10 = 1,07 cm0,386 . 435

soit deux files verticales :2 O 10 HA : 2 . 0,79 = 1,58 cm2= A

5. ARMATURES D'ÂME

En indiquant entre parenthèses les résultats pour l'appui de rive de la travée de rive.


a) Contrainte tangente

Charges uniformément réparties :(0,061)

V,n = 0,067-16,8. 10 ._ 3 5.0,45

'uO

*uO

(0,055)= 0,061MN

(0,055) (0,98)0,061

"uO b0 . d

b) Contrainte limite

fissuration peu 1préjudiciable j

c)Vérification

TuQ 0,14.0,40= l,09MPa

(0,20 § = 3,33

, 5 MPa l5MPa

Tlim= 3,33 MPa ,,. . . „ ;

(0,98)Tu0 = 1,09 MPa < 3,33 MPa = TH,,, O.K.

At droites

5.2. ARMATURES D'ÂME DROITES

a) CalculA f t -0 ,3 .k . f t j

t et u

b 0 . s t y 0,9 (sin a + cas a)

fet, Y,,

VUO

b0 . d

At droites => a = 90°=> sina + cosa = 1Fe E 500 =» fet = 500 MPa, y, = 1,15

(0,98)

T = 1,09 MPa

(0 si reprise non traitée, - reprise non traitée,k = < 0 si fissuration très préjudiciable, - fissuration peu préjudiciable, 1 => k = 0

[ 1 sinon en flexion simple. - flexion simple. I

fgg bornée supérieurement à 3,3 MPa f,2g = 2,1 MPa < 3,3 MPa O.K.

(0,98)A, 14 . 1,09 1 2

— 2 - _ cm /cm

b) Pourcentage minimalAt

- . f,t > 0,4 MPabn • s, et

s, Q 9 500 25,64

'l,15 (28,52)

At 14.0,4 1500 89,29

,cm /cm

±->-J-OJLst 25,64 89,29

(28,52)

c) Diamètre et espacement des A,

/*'<Dt < Min < h/35 ^[bo/10

d'où pour deux files d'armatures longitudinales :

(10)(10) I 12 mm (appui)

< 12 mm = Mini 450/35 = 12,9mm140/10 = 14 mm

r l cadre<t>8HA

S 8JAt = 2. 0,50 =1,00 cm2

=* st = 1,00 . 25,64 = 25,64 cm(28,52) (28,52)

retenons : 1 cadre $ 8 HA sto = 25 cm(28 cm)

Espacement maximal

(0,9. ds t = Min / 40 cm

15 d>', siA1mm

(28) ( 0,9. 40 = 36 cms t = 25 cm < 36 cm = s t = Min < 40 cm

s, = 25 cm < 36 cm = s, O.K.(28 cm)

6. VÉRIFICATIONS DIVERSES

6.1. APPUI SIMPLE D'ABOUT

a) Aciers inférieurs sur appui

umaxA = —0,061 4 ,n 2. 10 =1,40 cm

xed

Comme on avait deux files de 2O14HA entravée de rive, on garde :2 <J> 14 HA inférieurs sur appui :A = 2 .1,54 = 3,08 cm2

Longueur d'ancrage droit au-delà du nu d'appui :

1,40CTs Acals f s A*ed rtréel

1 . = 4 4 $.0,45=20*

Si l'encombrement est trop grand, prévoir un ancrage courbe équivalent.

|ij Vérification du béton de la bielle d'aboutLargeur d'appui : bp = 30 cm

= largeur des poutresEnrobage : e = 3 cm

/ 14mmc, = 3,0 cm = Max < 3 cm

<ï>

, = Max{ e1 cm cm

b0= 14cm

2cm

a = bp - ct - 2 cm

Contrainte dans la bielle :

V V~2~ ? V• nmax ' - *• • " n

a = 30 - 3 - 2 = 25 cm

b 0 . a

On doit vérifier :2 V

CT = b0 . a

2 . 0,061004^025 =3'49MPa

25

6.2. APPUIS INTERMÉDIAIRES

Armatures inférieuresM au><V u m a x .Z

z = 0,9d

afec = 3,49 MPa < 13,3 MPa = 0,8 . — O.K

Mau=0,061mMN

Vumax • z = 0,067 . 0,9 . 0,40 = 0,024 mMN=> Mau = 0,061 >Vu m a x .z = 0,024=> Armatures inférieures A ancrées pourVumax ~ Mi/z au-delà du nu d'appui nonnécessaires en principe. On garde 2 <ï> 14 HA.

7. ARRÊTS FORFAITAIRES DES ARMATURES

7.1. EN TRAVÉE DE RIVE

4 <D 14 HA, d'où :lit 1 : 2 O 14 HA conduits jusqu'à l'appui ( > A/2),lit 2 : 2 O 14 HA arrêtés à moins de //10 du nu d'appui. C'est-à-dire à 70 cm du nu.

7.2. SUR APPUIS INTERMÉDIAIRES

4 O 12 HA en deux lits, d'où :lit 1 : 2 <D 12 HA ( > A/2) arrêtés pour le premier appui intermédiaire à :

/' = Max | / = Max | } 2 = 52^ m = l '80 m côté tovée de rive

,, IU5 1 1, 2QI5 = 1,44 m= Max / = Max U4 . l ,2 = 52,8 cm = '45 m côté travée centrale

( ' lit 2 : 2 12 HA arrêtés pour le premier appui intermédiaire à :

,» ™ / />/2 ™ fl,80/2 = 0,90m nn „ , , J ./ = Max < = Max < _ ,„ „ = 90 cm cote travée de nve

,„ ^ lr/2 ^ /1,45/2 = 0,725 m ^c _/ = Max < = Max < _ = 75 cm cote travée centrale

7.3. SCHEMA

cadre

1 ,45m

\ 2<^14HA \1>7,20m+crochet 1 = 5 , 8 0 m

170'cm

7 , 2 0 mcm"

,30

,70 Icm

2</>12HA!/l = 3,55|m

\2*12HÀ_

l > 7 , 2 0 m i

3 , 6 0 m '

III. EXERCICE N° 2 : PLANCHER - MÉTHODE CAQUOT

— ENONCE —

(î)(AJ 1

©'

1 1

•

7 , 8 0 m

|-

^-(-3cm

1

1

,i

2 , 6 o l 2 . 6 0 J 2 . 6 0m 1 m 1 m '

7 , 8 0 m

-|

1 •

t

7 , 8 0 m

i •

*

• ,

1 j

7 , 8 0 m

7 , 3 0 m

- Caractéristiques du plancher :- dalle de 12 cm d'épaisseur avec chape de 3 cm,- poutrelles 24 x 65 cm2,- poutres 30 x 90 cm2,- poteaux 30 x 30 cm2.

- Actions variables de durée d'application supérieure à 24 heures :- charge d'exploitation de 10 kN/m2.

- Fissuration peu préjudiciable. Reprise de bétonnage sans indentations dans les poutres.

- Matériaux :- béton : fc28 = 25 MPa,- aciers : Fe E 500 HA.

- On se propose :1) de calculer les aciers longitudinaux de la travée centrale de la poutre file B,2) de déterminer dans cette travée, les armatures d'âme.

— CORRIGE —

1. SOLLICITATIONS-TRAVÉE CENTRALE FILE B

1.1. CHARGEMENT

1.2. MÉTHODE DE CALCUL

a) Charges au m2 de plancher

Poids propre dalle :Chape :

Charges d'exploitation :

b) Méthode de calcul

q > < 5 kN/m2

poutres et poutrelles associéesà un hourdis

Charges concentrées dues aux réactions d'appuides poutrelles (celles sur appui sont transmisesdirectement aux poteaux).

Charge uniformément répartie sur la poutre elle-même.

Charges triangulaires apportées par les panneauxde dalle sur la poutre.

25kN/m3.0,12 =20 kN/irf. 0,03 =

3,0 kN/m2

0,6 kN/m2

g = 3,6 kN/m2

q = 10 kN/m2

g.i.7,,2

q = 10 kN/m2 > 5 kN/m2

oui

MÉTHODE CAQUOT.

1.3. ÉVALUATION DES CHARGES

a) Charge uniformément répartie

3cm

90cm

- Dalle sur poutre :

- Chape sur poutre :

- Retombée de poutre :

- Total :

Charge d'exploitation

25kN/m3.0,12.0,30:

20 kN/m3. 0,03 . 0,30 :

25 kN/nv*. 0,78 . 0,30 :

10 kN/m2. 0,30 =

b) Charge triangulaire (panneaux de dalle sur poutre)

©

\jx \1/ \|/ \|/ \1

7, 80-0, 30 = 7, 50m

2 , 6 0- 0 , 2 4

= 2 , 3 6 m

- Charge permanente globale :

- Charge variable globale :

2 3,6 kN/m . . 2,36 .

= 10,025 kN

10,025 . ~ = 21 Ml kN3,6

0,90 kN/m

0,18 kN/m5,85 kN/m

g, = 6,93 kN/m

q! = 3 kN/m

Soit, en remplaçant l'ensemble des charges triangulaires par une charge uniformeéquivalente :

10,025• Charge permanente :

• Charge variable :

2,60= g2 = 3,86 kN/m

kN/m

c) Charges concentrées (réactions d'appui des poutrelles sur les poutres)

En tenant compte de la continuité puisque l'on utilise la méthode Caquot :Charges permanentes :Caractéristiques des panneaux de dalle :

/„ 7^6

D'où les charges par mètre de poutrelle :- charge transmise par les deux panneaux de dalle (calcul de V donc de R) :

^3,6.^=7,162 j ' 2 T 2 H'"- 2

- poids correspondant à l'épaisseur de la dalle au-dessus de la poutrelle :3,6 kN/m2. 0,24 = 0,864 kN/m

- poids de la retombée : 25 kN/m3. 0,24 . 0,53 = 3,180 kN/m

-total: g =11,204 kN/m

Moment sur appui central des poutrelles (/ = /y) :

r =r =i\ i2 75o2

/_/-J^MB g=-g^ MBg=-ll,204.-^=-74,14mkN.Kl

Effort tranchant au voisinage de cet appui :

M

V =-V =g -e w 2

Réaction d'appui :

V = 11,204 . + = 51,90 kN

G = 2. 51,90= 103,80kN

Charges variables :- charge transmise par les deux panneaux de dalle (calcul de V donc de R) :

- charge d'exploitation au dessus de la poutre :10kN/m2. 0,24 = 2,40 kN/m

q = 22,29 kN/m

D'où la réaction d'appui des poutrelles sur la poutre :

0=103,80.22 29

^^d) Charges retenues

G , Q G , Q

2 , 6 0m

2 , 6 0m

7 , 8 0 m

2 , 6 0m

g = gi + §2q = q, + q2

g = 6,93 + 3,86 = 10,79 kN/mq = 3 + 10,71 = 13,71 kN/mG = 103,80 kNQ = 206,5 IkN

1.4. MOMENTS ÉLÉMENTAIRES SUR APPUIS

l^=lw=7,50m(travée de rive)

l i = 0 , 8 1 e = 0 , 8 . 7 , 5 0 = 6 , 0 0 m(travée couran t e)

i=2, 45m

AA _ _ _ P w - ' w l'I k w .P w . r 2w + k e . P e . / ' e

8,5(/'w + /'e

k =I

2,125 v\ i'l\ r

-i Charges permanentes

Pw = Pe = gPwl = Pw2 = P., = Pe2

d'où:

d'où :

Pw = pe= 10,79 kN/mPwl = PW2 = P.. = Pe2 = 103,80 kN

Pw =* 10,79 .7,50-

P.-*™.^-P ,^^=^1 = 0,327

/'w 7,50

535,53

274,19

1

2,125= 0,173

. 0,327 (1 - 0,327) (2 - 0,327) <;.„•&

0,173. 103,80.7,502= 1010,10

p î^= 5.05 = 0,673/'w 7,50

kw2= -J--. 0,673 (1 - 0,673) (2 - 0,673)2,125

= 0,1370,137. 103,80.7,502= 799,91

aîi= = 0,408re 6,00

- - 0,408 (1 - 0,408) (2 - 0,408)

0,181 . 103,80.6,002= 676,36

2,125

= 0,181

Pe2^^ = ± = o,/'e 6,00

ke2= —1— . 0,842 (1 - 0,842) (2 - 0,842)2,125

= 0,072

M2g = .3 565,14

7,50 + 6,00

0,072. 103.80.6,002= 269,05

I=3565,14kNm2

= - 264,08 mkN

b) Charges variables sur travée lw

pw = q ; PC = oPWI = Pw2 = Q > Pei - Pe2 =

d'où :

d'où:

c) Charges variables sur travée le

Pe = q ; PW = oPel=Pe2 = Q ; P w l = P w 2 =

d'où :

d'où:

pw = q =13,71 kN/mPw l=Pw 2 = Q = 206,5 I k N

pw=> 535,53.13,71

Pwl=> 1010,10.

Pw2^ 799,91.

10,79

206,51103,80

206,51103,80

680,46

2 009,59

1 591,42

= 4281,47kNm2

M*. =- 4281'47 =-317,15 mkN7,50 + 6,00

pe = q = 13,71 kN/mPel=Pe2 = Q = 206,5 IkN

pe=> 274,19.

Pel => 676,36.

Pe2 => 269,05.

13,71 _ÏÔ79~

206,51103,80

206,51103,80

348,39

1 345,62

535,27

= 2 229,28 kNm2

M 2. 229,28 . ,_ , _ , . T2qe = - — = -165,13 mkN

7,50 + 6,00

1.5. MOMENT MAXIMAL SUR APPUI 2

9-<3 g,q

0

État-limite ultime :M2u = 1,35 M2g + 1,50 [M^ + M^] M2u = - 1,35.264,08 - 1,5 [165,13 + 317,15]

= - 1 079,93 mkNÉtat-limite de service :

M2ser = M2g + [M2qe + M^] M2ser = - 264,08 - [165,13 + 317,15]= - 746,36 mkN

: ; ' : • , , M

1.6. MOMENT MAXIMAL EN TRAVÉE 2-3

9-q

CDÉtat-limite ultime :

- Moment sur appui :M2u=l,35M2g+l,5M2qe

- Moment en travée :

rU ru

Pu + +

I l

/ b

©

M2u = - 1,35 . 264,08 - 1,5 . 165,13

= - 604,20 mkN

/ = 7,50 mb = 2,60 m/ _ b = 4,90 m

= [1,35. 10,79 + 1,5. 13,

= 247,02 mkN

[1,35 . 103,8 + 1,5 . 206,51]\2j 2

= 1 102,24 mkN

ji(-)= 1349,26 mkN

M^a.^ 1349,26 -604,20= 745,06 mkN

État-limite de service :

- Moment sur appui :M2ser = M2g + M

• «•

2qe M2ser = - 264,08 -165,13

= -429,2 ImkN- Moment en travée :

'/ b" S e r ' l 2 ~ 2

^ = [10,79 + 13,71]

= 172,27 mkN

I 1\^j = [103,8 + 206,51]

= 760,26 mkN

4

4l = 932,53 mkN

Mtsermax = 932,53-429,21

= 503,32 mkN

1.7. EFFORT TRANCHANT SUR APPUIS DANS LA TRAVÉE 2-3

g.q yvumax g,q

a) Moments sur appuis 2 et 3

M2u = 1,35 M2g + 1,5 (M2qw + M2qe) M2u = - 1 079,93 mkN (voir 1.5.)

M3u = 1,35 M2g + 1,5 M2qe M3u =- 604,20 mkN (voir 1.6.)

b) Effort tranchant dans la travée de référence

p u = l , 3 5 g + l , 5 q pu= 1,35. 10,79+1,5. 13,71= 35,13 kN/mP U =1,35G+1,5Q P u=l,35. 103,8+1,5 .206,51 =449,90 kN

V 0 u =P u 4 + Pu V0u = 35,13.7|^ + 449,90 = 581,64kN

Fff fort tranchant dans la travée continue

-M V2U = 581,64 +-604,20+1079,93

-

= 645,07 kN

1>8. CONCLUSION

-1,080( - 0 , 7 4 6 )

00 , 7 4 5

( 0 , 5 0 3 )

0 , 6 4 5

0


2-1. SUR APPUI 2 (OU 3)

Ma = - 1,080 mMN < 0 => Section rectangulaire b0 = 0,30 m ; h = 0,90 m.

Le calcul est en tout point identique à celui exposé au paragraphe 4 de l'exercice

« Fissuration peu préjudiciable - section rectangulaire avec aciers comprimés » au cha-pitre 6 « FLEXION SIMPLE ». Les aciers tendus sont placés en partie supérieure de la section.

Pour Mu = 1,080 mMN ; Mser = 0,746 mMN ; b0 = 0,30 m ; d = 0,81 m et d' = 0,05 m ; il

vient :

éAciers comprimés A'= 13,44 cm2

3 «S 25 HA 3 . 4,91 = 14,73 cm2

b) Aciers tendus A = 36,29 cm2

I J t l : 3 * 2 5 H A 3 . 4 . 9 1 =Ut 2: 3* 25 HA 3.4,91= 14>73 14>73

3,14 + 2.2,01= 7,16cmî;

A = 36,62

M.=>Au = :

2.2. EN TRAVÉE

Mm > 0 =» Section en T.

Fissuration peu préjudiciable => Calcul à l'E.L.U.

a) Largeur de table à prendre en compte

lb-b

b) Moment de référence

£„„

Fbc = b • nO • fbu

hozb = d-y

MTu = Fbc. zb

cj Armatures à l'E.L.U.

Type de section à considérer :Mu ><MT u

Armatures pour la section de largeur b :M

bu b . d 2 . f'bu

bu > < Mis; (section en T)bu > < 0,275 => Méthode»zb = d(l-0,6.^bu)

f

b-b.

b = 2. 0,75+ 0,30 =1,80 m

fbu = 0,85.25

= 14,2MPabu "'""" 1 .1,5

Fbc= 1,80. 0,12. 14,2 = 3,07 MN

= 0,85 -0 1

= 0,79 m

MTu = 3,07 . 0,79 = 2,43 mMN

Mu = 0,745 mMN < MTu = 2,43 mMN=> Table surabondante.=> Calcul en section rectangulaire bd.

0,745bu 1,80. 0,852. 14,2

= 0,040

Hbu = 0,040 < 0,3717 = m, => A' = 0Hbu = 0,040 < 0,275 => Formules simplifiéeszb = 0,85 (1 - 0,6 . 0,040) = 0,830 m

fed = T-r^ = 435MPa

d) Retenu

. 0,745. 104 2

A"= 0,830. 435 =2a63cm

Lit 1:30)25 HA 3 .4,91 =Lit 2 : 3 O 16 HA 3 . 2,01 =

14,73 cm2

6,03 cm2

A = 20,76 cm2

3. ARMATURES D'ÂME



=» pas de réduction de Vu pour Q.

VUO = 0,645 - 0,03513 . ^ = 0,619 MN

VuO

b0 . dT "

,UO "0,30.0,81

3.2. VÉRIFICATION

( f«àfissuration peu 1 _ 10,20.—préjudiciable j^T i im-M i n \ Yb

15 MPa

^uO > < Tli

3.3. CALCUL

, _ J 0,20. || = 3,33

v5MPa

Tu0 = 2,55 MPa < 3,33 MPa = Tum=> A, droites

b0 . s,. — >- ^0,3 .

(sin a + cos a).


fet.7..YuO

TuO ~ bn . d

A, droites => a = 90°=> sin a + cos a = 1Fe E 500 => fet = 500 MPa, ys = 1,15

uO= 2,55 MPa

' 0 si reprise non traitée, - reprise non traitée,k = / 0 si fissuration très préjudiciable, - fissuration peu préjudiciable,

^ 1 sinon en flexion simple. - flexion simple.

ru f,28 = 0,6 + 0,06 . fc28 ft28 = 0,6+ 0,06. 25 = 2,10 MPa" ft28 bornée supérieurement à 3,3 MPa ft28 = 2,1 MPa < 3,3 MPa O.K.

-•:•-.-^ \, At 30.2,55 1> = rr

=

0,9.1,15

3.4. POURCENTAGE MINIMALA

.fe t>0,4MPaetb 0 . s t

At 30.0,4 1 2^ g»» = TTT^ cm /cma, 500 41,67

1 1

st 5,12 41,67O.K.

3.5. DIAMÈTRE DES At

1°'<D t <Min< h/35[b0/10

[ 14mm0>t < 14 mm = Min / 900/35 = 25,7 mm

1300/10 = 30 mm

d'où pour trois files d'armatures longitudinales :prenons <ï>t = 8 mm

o$

0

8l0

a

, 1 cadre+létrier<t>8HA


0,9. d

150', .Imin

At = 4 . 0,50 = 2,00 cm2

=>s t = 2,00. 5,12 =10,24 cmretenons :1 cadre + 1 étrier d> 8 HA sto = 10 cm

/0 ,9 .8l =72,9 cm

s, = 10 cm < 21 cm = s~t = Min / 40 cm15. 1,4 = 21 cm

st = 10 cm < 21 cm = st O.K.

CHAPITRE 13

DALLES RECTANGULAIRESSUR APPUIS CONTINUS

I. RAPPELS DE COURS

1. INTRODUCTION

1.1. DÉFINITIONUne dalle est un élément, généralement rectangulaire, dont une dimension (épaisseur) estfaible vis-à-vis des deux autres (dimensions en plan).Dans un plancher, on appelle « PANNEAUX DE DALLE » les parties de dalle bordées parles poutres-supports (poutrelles et poutres du plancher).

On pose :

convention)

' 0 si reprise non traitée, - reprise non traitée,k = { 0 si fissuration très préjudiciable, - fissuration peu préjudiciable,


'•;,*•) y ft2g = 0,6 + 0,06 . fc28!P 1 fus bornée supérieurement à 3,3 MPa

•'-,-:.•*>. A

3.4. POURCENTAGE MINIMALAt-.fe t>0,4MPaK c etD0 . S,

3.5. DIAMÈTRE DES A,

/*,<D t <Min< h/35

b0/10

- flexion simple.

ft2g = 0,6 + 0,06 . 25 = 2,10 MPaft2g = 2,1 MPa < 3,3 MPa O.K.

A, -;n ? ss i, 30.2,55~"

0,9.500Tj5

cm /cm

A,

•''/<^t 30.0,4,, 500

1

1

41,67cm /cm

IO.K.

d'où pour trois files d'armatures longitudinales :

st 5,12 41,67

114mm<D( < 14 mm = Min ! 900/35 = 25,7 mr

[300/10 = 30 mm

prenons <&t = 8 mm

o

£0

8,o

8,

, 1 cadre+létrier<J>8HA


(0,9. d

s, = Min/4 0 c m

150',Imin

A, = 4 . 0,50 = 2,00 cm2

=> s, = 2,00. 5,12 =10,24 cm

retenons :1 cadre + 1 étrier <D 8 HA s,0 = 10 cm

0;9. 81 =72,9cm

40cm15. 1,4 = 21 cm

st = 10 cm < 21 cm = st O.K.

st = 10 cm < 21 cm = s t = Min { 40 cm

CHAPITRE 13

DALLES RECTANGULAIRESSUR APPUIS CONTINUS

I. RAPPELS DE COURS

1. INTRODUCTION

11.1. DÉFINITIONUne dalle est un élément, généralement rectangulaire, dont une dimension (épaisseur) estfaible vis-à-vis des deux autres (dimensions en plan).Dans un plancher, on appelle « PANNEAUX DE DALLE » les parties de dalle bordées parles poutres-supports (poutrelles et poutres du plancher).

-convention)

On pose :

1.2. ÉPAISSEURS COURANTES (à titre indicatif)

Pour des dalles portant dans un seul sens (a < 0,40) :

ho —— pour un panneau isolé,20

ho > — pour une dalle continue.25

t dans les deux sens (a > 0,40) :

ho —— pour un panneau isolé,30

/ho ^ — pour une dalle continue.

40

2. MOMENTS DANS LES PANNEAUX DE DALLE ARTICULÉSSUR LEUR CONTOUR ^1.

2.1. CHARGES UNIFORMÉMENT RÉPARTIES

Dans la suite, p désigne la charge par m2 de dalle.

2.1.1. Cas où a est inférieur à 0,40

On admet que le panneau ne porte que dans le sens /x.Au centre de la dalle, pour une bande de largeur unité : , ', J;"

«sens lx» (bande parallèle à 1K )

«sens lv» (bande parallèle à ly)

2.1.2. Cas où a est au moins égal à 0,40

Le panneau porte dans les deux sens Zx et ly.Au centre de la dalle, pour une bande de largeur unité :

«sens lx» (bande parallèle à lx ),

«sens ly» (bande parallèle à ly).

Avec pour valeur approchée des coefficients nx et |0.y donnés par l'annexe E.3 des Règles

BAEL91 :

CALCULS

sollicitationsà l'E.L.U.

et à 1 ' E . L .S .

déformations

à l'E.L.S.

^x

1

8(1+2, 4. a3)

1

8(1+2. a3)

My

a3 [1,9-0,

(-1)2 r -1 , 3 / 1

9a]

-a)2]

2.2. CHARGES CONCENTRÉES

2.2.1. Rectangle d'impact au niveau du « feuillet moyen »

La charge concentrée P étant appliquée à la surface du revêtement sur un rectangle ao b0,on définit le rectangle d'impact au niveau du « feuillet moyen » de la façon suivante :

Revêtement

et a: dimensions parallèlesx,

et b: dimensions parallèles

a(b)

MV

=1 pour revêtement enbéton.

?=0,75 pour revêtementmoins résistant.

2.2.2. Moments fléchissants

a) Charge centréeLes moments Ml et M2 sont tous deux donnés en fonction de :

a/Zx,b//y)

par les abaques de Pigeaud, pour des bandes de largeur unité au centre du panneau de dalfe. I 3.1. MOMENTS À PRENDRE EN COMPTE

1MO'

-,

--..

-v

1

\

.\

•

\

i\

' •

i\\

:S

\

\\

\

\

\

s••

\

b_IT,

a

1*

0 x = I-

M 0y= M2 P

"sens lx "

"sens ly"

. avec : •-'P = charge totale sur le rectangle d'impact a b.

On interpole linéairement pour les valeurs de a intermédiaires à celles des abaques.

b) Charge non centrée

Par combinaison de rectangles centrés, on obtient, au centre du panneau :

_!I I I \\ pT^-T;;...!. ;.!.*•. i.ijV.'qgT'i ( (

J I

I I

3.1.1. Cas où a < 0,40 et où la charge p est uniforme

Moments de flexion dans le sens lx évalués suivant la méthode forfaitaire de calcul des

poutres de plancher :

[ (1+0,3. a) M^ - QB

les moments minimaux étant :

I Max 11 OM 0 , 6 . M O K 1

1,2+0,3.01 1,2+0,3.0!2

aOx2

>. > . l " v > > -»*<m<MX.i

: • ; < : » ' • • TlttoS

u •!-« = „) Oxl

B°^ K x 2 ~ ]

*k

0 , 5 . M n 1

1,2+0,3.01 1 0+0.3.0! „ 1.0+0.3.0!2 M0x2 2

^Oxj

•4

'.JW : - 0,15 M0xl ou - 0,15 M0x2 si les bords sont liés à leur support

Moments de flexion dans le sens ly négligés sauf sur les appuis (voir paragraphe 3.2.2.)*

3.1.2. Autres cas

En prenant l'indice x ou y suivant le sens de flexion envisagé :. ' - v 1 l:i .b

»«ï

^

2.3. MOMENTS AUX ENCASTREMENTS

• > | 0,15 | M0x sur les appuis de rive.

• Valeurs du paragraphe 3 si la dalle est continue.

3. DALLES RECTANGULAIRES CONTINUES -MOMENTS FLÉCHISSANTS

A H^lle est iirti"M0x et M0y désignent les moments évalués dans l'hypothèse où le panneau i

culé sur son contour.

Hy

»tx

.".. ' ,U>j îi^ii

JJ.J-

| M a | 2 0 , 3 . M 0 0 , 5 . 0 ,5 .

M t _ > 0 , 8 5 . M0 0 , 7 5 . M 0

ce qui réalise :

3.2. MOMENTS MINIMAUX ' -•> ; --' ^' m '

3.2.1. En travée .••*n>^w,


M.* txCharges uniformément réparties (seulement) : M. >y 4

Présence de charges concentrées :

Voir remarque page 402.

3.2.2. Moments d'encastrement sur les côtés

Pour toute valeur du rapport a = lx/ly :

M

Max

3.X

et nonM <*ax ^

et non IMay

'ax

Moment d'encastrement sur f\1 le petit côté du même ordrede grandeur que sur le grandcôté.

Les armatures équilibrant ces moments sont dites « armatures en chapeau » ou plus simple-ment « chapeaux ».

4. EFFORT TRANCHANT

4.1. VALEUR DE L'EFFORT TRANCHANT PAR UNITÉ DE LONGUEURSUR LE CONTOUR DE LA DALLE

4.1.1. Cas des charges uniformément réparties

vx 1,00m

1a < 0 , 4 0 <

1( v-p^' v y =o

Oi

QI20, 40

—2a+bquel que soi ta:

' Ht.'

Dans le cas où a<b,inverser dansles formules ci-dessus a et b.

4.1.3. Cas généralimultanément des charges réparties et des charges concentrées, on admet :

Lorsqu' agissent si

4.2. NÉCESSITÉ D'ARMATURES D'ÂME

Pas d'armatures d'âme si :! - la dalle est bétonnée sans reprise dans son épaisseur,

' - la contrainte tangente vérifie :

= _ ^ L l O , 0 7 . .d

CHANT ») si reprise de bétonnage dans l'épaisseur, „,.

- dans les autres cas :. pas d'armatures d'âme à prévoir si h^ < 15 cm,. ou sinon armatures d'âme calculées comme pour les poutres avec les valeurs de t^

multipliées par :

— .h0(m) si 0,15 m <h 0 < 0,30 m,

1 sih0>0,30m.

5. POINÇONNEMENT

5.1. CHARGE CONCENTRÉE ÉLOIGNÉE DES BORDS DE LA DALLE

Pas d'armatures transversales de poinçonnement si :

Q u 1 0 , 0 4 5 . u c . h 0 .

où :

Qu = charge de calcul à l'E.L.U.,

h0 = épaisseur de la dalle,

uc = périmètre du rectangle d'impact au niveau du feuillet moyen de la dalle.

Sinon prévoir des armatures d'âme :

- calculées comme indiqué au paragraphe 4.2.,

- disposées à l'intérieur du contour u situé à la distance x de uc, cette distance étant telleque :

Qu10,045.(uc+8x).hn .^El^ U >y

u>u c 'b

5.2. CHARGE CONCENTRÉE VOISINE DES BORDS DE LA DALLE

Faire les vérifications du paragraphe 5.1. en modifiant éventuellement ur comme sui|

Rectangle d'impactau niveau de la surfacede la dalle

Contour du rectangled'impact au niveaudu feuillet moyen

u ou uc=ÀBCDE si ÀB+DE<BF+FD u ou u =ÀBCD si ÀB+CD<BE+EF+FC

6. DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES

.1. DIAMÈTRE DES ARMATURES

6.2. DISPOSITION DES BARRES

Les armatures les plus proches de la face tendue sont celles parallèles au petit côté.

d—

—

~r4i

x(<

h

I Ir-ly)

À

1 ^îV À J

At

*

ho 1y ! h h \ Àtx

1 ^xi, 2

y

/

'

6.3. SECTIONS MINIMALES

Sens /v ; en exprimant h0 en mètres :

Aymin(cm2/m) = ( 8ho:FeE400,

12 h0 : ronds lisses,

8 h0 : Fe E 400,

6 ho : Fe E 500 ou TS.

Sens /x :

Axmin (cm2/m) = -^ Aymin (cm2/m)

6.4. ESPACEMENTS MAXIMAUX

6.4.1. Cas des charges réparties, fissuration peu préjudiciable

3 .h 0slx < Min / armatures dans le sens /x,| 33 cm

s t y<Min| armatures dans le sens ly.

6.4.2. Cas où la dalle supporte également des charges concentréeset où la fissuration est peu préjudiciable

12 hStx Min < armatures dans le sens /x,

(3 hsty < Min | armatures dans le sens /y.

6.4.3. Cas où la fissuration est préjudiciable ou très préjudiciable

/

ho < 40 cm :

s txet sty <Min

<ï>>6mm(sens/x)

1,5. h0

2. h0

25 cm | sj fissurationpréjudiciable

et Sty < Min

O>8mm(sens/x)

20 cm | sj fissurationtrès préjudiciable

7. ARRÊT DES ARMATURES

7.1. CAS DES CHARGES UNIFORMESArrêt des armatures en travée et des chapeaux par moitié, les aciers traversantétant ancrés au-delà de celui-ci.

oo

r~

î

Li î

10,1

= MaxMax

avec A, = 0,05 + 0,3—^M0x

IL

7.2. CAS OÙ LA DALLE SUPPORTE DES CHARGES CONCENTRÉES MOBILES

Les armatures inférieures traversent toutes le contour d'appui et sont totalement ancrées

au-delà siQ = charge variable concentrée mobile,q = charges variables réparties.

vérifient :

7.3. TREILLIS SOUDÉ

L'ancrage peut ne comporter qu'une seule soudure sauf si les charges concentrées Qu

créent un risque de poinçonnement.

8. AUTRES CRITÈRES POUR LES BÂTIMENTS

Isolation phonique.Résistance au feu : - coupe-feu = 1 heure => h0 > 7 cm,

- coupe-feu = 2 heures => hg > 1 1 cm.

IL EXERCICE : PANNEAU DE DALLE (a = 0,40)

— ÉNONCÉ —

cm4 , 0 0 m

1 0 , 0 0 m

• Dalle continue dans les deux sens formée de panneaux de 10,00 x 4,00 m2.

• Action variable de durée d'application supérieure à 24 heures :q = 5 kN/m2.


• Matériaux :• béton : fc28 = 25 MPa,


• On se propose :

1) de déterminer le ferraillage du panneau de dalle,

2) d'examiner le cas où la charge d'exploitation est constituée par une force concentrée50 kN sur un carré de 10 x 10 cm2 au centre de la dalle et de comparer les sollicitaticobtenues avec celles de la première question, en admettant que pour une bande de Iunité au centre du panneau, sous l'effet de la force concentrée seule, les moments dece sont donnés par les formules :

Mn, = .

M 0 y - Q .

1-2 .

A S î \ ; i —CORRIGE— *«


1.1. BÉTON

Résistance de calcul :

t,.

Contrainte limite en service :

obc = 0,6.fc28

1.2. ACIERS

Résistance de calcul :

Contrainte limite en service :

fissuration 1peu préjudiciable \ ~

2. SOLLICITATIONS2.1. CHARGE AU m^ DE PLANCHER

Poids propre :Charge variable :pu=l,35g+l,5q

',\ ,'•* /Jl:;

,,M.iit r (,M

:• .--.ï/

f = 0,85.bu -^=14,2 MPa

ofec = 0,6 . 25 = 15 MPa: ..-îi|j'ïB/rtàï*

:. , j j ^.- 0~.ï>

-g° =435 MF*

pas de limitation de a en service.

g = 25 kN/m3. 0,12 = 3 kN/m2

q = 5 kN/m2

pu= 1,35 . 3 + 1,5 . 5 = 11,55 kN/m2

2.2. MOMENTS FLÉCHISSANTS POUR LE PANNEAU ARTICULÉSUR SON CONTOUR

a >< 0,40

(1+2,4 . a j

^y=a3[l,9-0,9a]

a > 0,40 => La dalle porte dans les deux sens

1 1^~8ll+2,4.0,403)"^23

^y=0,403[l,9-0,9.0,4]= 0,099

d'où les moments pour les bandes de largeur unité

M O X ^ X . P U - / ' y .

M0y = |

•l•: Mox = 11'5 '°° = 20,02 mkN/mf "i

M0y= 0,099 . 20,02 = 1,98 mkN/m

MM = 1,98 mkN/m < 5,00 mkN/m = —ï

4=> M0y = 5,00 mkN/m i"

Remarque :

a = 0=>|iy = 0et jUx = - d'où— d'où on retrouve les formules de la poutre sur deux appuis simples8

a = 0,40 => jix ~ — à 13 % près dans le sens de la sécurité ce qui conduit à dire que LA8

DALLE PORTE DANS UN SEUL SENS LORSQUE a < 0,40.

2.3. MOMENTS DANS LA DALLE PARTIELLEMENT ENCASTRÉE

5M

¥v f-^JO,75M0x|

Bande de largeur 1,00 m parallèle à /x

Max = 0,50 . M0x

Bande de largeur 1 ,00 m parallèle à ly

M ty=0,75.M0y

Valeurs minimales à respecter :

- En travée (q répartie seule) :

Mtx = 0,75 . 20,02 =15,015 mkN/mMax = 0,50 . 20,02 =10,01 mkN/m

Mty = 0,75 . 5,00 = 3,75 mkN/m

- Sur appuis :

= 3,75 mkN/m

M ty= 3,75 mkN/m

May= 10,01 mkN/m


3.1. REMARQUE

Mu est proportionnel à M0 qui est lui-même proportionnel à pu d'où :

11,55 . ..= Cste Y = y^y = ! '44 Partout

g + qPar conséquent, pour toutes les bandes et pour Fe E 500 HA et fc28 < 30 MPa :

10*^=3220.07+51.^-3100 10*^= 3 220 . 1 . 1,44 + 51 . — - 3 100 i0 1

(MPa)

3.2. CALCUL DES SECTIONS D'ACIERS

a) Aciers en travée « sens lx »

M

104|i;u=2812

H/u= 0,281

-3

f' fbu

-1,00.0,10 . 14,2

=0,106

\Lbu >< 0,275 =^ Méthode

=»zb=d(l-0,6.mm)

> A =M,

tx 7 fL\s • ^eà

b) Aciers en travée « sens ly »

M«y

Hbu = 0,106 < 0,186 = tiAB < 0,281 =

=*A' = 0

^bu = 0,106 < 0,275 => Formules simplifiées

zb= 0,10 (1-0,6. 0,106)

zb = 0,094 m

(15,015. 10~3)l04 _ „ 2; ' ''1 ; =3,67 cm/m0,094.435

3,75 . 10-3

= 0,033

avecdy = dx

|ibu><0,275 => Méthode

1,00 . 0,09 . 14,2

[iba= 0,033 < 0,186 = ^AB<0,281 = |4.;u=>A' = 0

(J.bu = 0,033 < 0,275 => Formules simplifiées

zb= 0,09 (1-0,6. 0,033)

zb=0,088m

— ». A —~M

f~b' red

c) Aciers sur appuis

•J3,75.10"3)l04

«y" 0,088.435

jo 'f . i . , ( ) ;' ; - - ; -n- /n<vp;a •„;;, j - < î ; :' :,,y HJ»; ;i"'' s h

10,01 . 10"= 0,071

..;.,,.,. • > > i - . - : .,J l fa r, 1-00.0,102. 14,2

Hbu = 0,071 < 0,186 = HAB < 0,281 = i

bu > < 0,275 => Méthode> zb= d (1 - 0,6 . mu)

' Zb - fed

|J^bu = 0,071 < 0,275 => Formules simplifiéeszb= 0,10 (1-0,6. 0,071)zb=0,096m

. 10,01. 10"3+4 „ 2A-= 0,096.435 =2 '40^/rn

3.3. SECTIONS MINIMALES D'ARMATURESa) Bandes suivant « /v »

12h0 : ronds lisses

8h0 :FeE400

6h0 :FeE500

b) Bandes suivant « lx »

3-ccA A

xmin 2 ymin

3.4. CHOIX DES ACIERSDispositions constructives :

Fe E 500 =» A in = 6. 0,12 = 0,72 cm2/m

Aymin=0,72cm2/mAty = 0,98 cm2/m > 0,72 cm2/m O.K.Aay = 2,40 cmVm > 0,72 cm2/m O.K.

-0,72 = 0,94 cm/m

Axmin=0,94cm2/mAtx = 3,67 cm2/m > 0,94 cm2/m O.K.Aax = 2,40 cm2/m > 0,94 cm2/m O.K.

120

a) En travée « sens lr »prendre au plus O 12.

s, < Min3.h 0

33cm

Atx = 3,67 cm2/m

s, < 33 cm = Min(3. 12 = 36 cm33 cm

b) En travée «sens ly» . .. .

f 4 . h ns t<Min

c) En chapeau

Aa

s, < 33 cm

' cm

100 ,. 4 O 12 HA pin s t = — = 25 cm : A = 4,52 cm /m

Aty=0,98cm2/m

/ 4 . 12 = 48 cms f <45 cm = Mm< ..

\45cm

4 <D 6 HA pm s, = — - = 25 cm : A = 1,12 cm2/hi

Aa=2,40cm2/m

100=> 4 <D 10 HA pm st = -- = 25 cm : A = 3,16cm2/m

4

d) Remarque

En pratique, on disposerait plutôt, en nappe inférieure, un treillis soudé ADETS ST 35(voir ouvrage Maîtrise du BAEL, p. 33)

4. EFFORT TRANCHANT

4.1. SOLLICITATIONS ULTIMES

Au milieu du grand côté (p répartie) :

'x 1Vux 2 ' a

1 + 2

Au milieu du petit côté :

v - p " - / xv uy- 3

4.2. VÉRIFICATION

11,55.4,00 1 . . « 1 X T / w= 15,40 kN/m<Vu

Vt =-^

« d

b0=l,00m

t

^28

\

19,25. 10 3 . ... .„\= 0,10 -°'193MPa

,.u hmt = 0,193 MPa < 0,07. -^-=1,17 MPau 1,5

=> pas d'armatures d'âme.

5. ARRÊT DES BARRESI En travée sens /x, on alterne :

En travée sens /y, on alterne :

Sur appuis (Ma = 0,5 MQ)

'l

0,05+0,3M

M Ox

2 12 HA pm filants,2 <ï> 12 HA pm arrêtés à 0,1.4,00 = 0,40 m de la rive

2 O 6 HA pm filants.2 0> 6 HA pm arrêtés à 0,1.4,00 = 0,40 m de la rive.

2 <D 10 HA pin /1 = 80cm

[44. 0,8 = 35,2 cm= Max\ (0,05 + 0,3 . 0,5) 400 = 80 cm

m > - « [ l s/2 = Max

ACIERSINFERIEURS

4 , 0 0 m

2 0> 10 HA pm / 2 = 40 cm = Max (44. 0,8 = 35,2 cm\ 80/2 = 40 cm

2 ($6 HA pm f i lants

0.40^

y?/>40m.

0 ,40mf~L 10,00m

/

\

\ /

/ \

2<$6HÀpm 1 = 9, 20m

~

VI

\0 , 4 6 m

f

24)12 HÀpm 1 = 3, 20m2*12 HApm f i lants

RS.E0RS ->

^ 'Y

)J, 4m

n

yl\IX >

S -

1

oj,R O m

" 10 , 4 0 m

=v

=£.0,1 4 Om

0 . 8 0 m1 —

M/à

0 , 8 0 m

U .

L

8

M-•-•J

, 40 ,m

Om ,M/H

É2I

2 $10 HApm

— 1\KÀ

2 <J 1 0 HÂp».2 6HApm2<t>6HApm

140rcm''

6. CAS OÙ LA CHARGE LOCALISÉE CENTRÉE EST APPLIQUÉE

6.1. RECTANGLE D'IMPACTa = ao + ho a = 0,10+ 0,12 = 0,22 m ,,b = b0 + h0 b = 0,10+ 0,12 = 0,22 m •.,...,

"J ' '

6.2. MOMENTS DANS LE PANNEAU ARTICULÉ

a) Pour la charge variable concentrée

M0x = - 1-2

1- 1-0.22

1 +0,224,00

Moments globaux (poids propre + charge variable concentrée) ultimes :7,00 mkN/m

M0x = 1,5 . 12,16 + 1,350x ' I9,23

: • ,-,StJ .*,.('

= 25,26 mkN/m

M Ox

M0y = 1,5 . 1 1,59 + 0,099 . 7,00 = 18,08 mkN/m

25,26 „M0y = 18,08 mkN/m > 8,42 mkN/m = —— O.K.

fcj Pour /a charge variable uniformément répartie

,2 S 4 00M0x =

L = 8,67 mkN/m

M0y = 0,099 . 8,67 = 0,858 mkN/m

Moments globaux (poids propre + charge variable concentrée) ultimes :

M0x = (l,35.34,002

9,23= 20,02 mkN/m

M0y = 0,099 . 20,02 = 1,98 mkN/m

MM0y>< 4

Ox = 1,98 mkN/m < 5,00 mkN/m =

M0y = 5,00 mkN/m

20,02

c) Remarque

Une dalle supportant des charges concentrées supporte également des charges réparties (aumoins son poids propre). Mtx est obtenu à partir du moment M0x qui, pour les chargesréparties seules, dépend d'un coefficient )J.X (cf. § 2.1.2. des rappels de cours). Mty est nor-malement obtenu en faisant état d'un coefficient |4,y. Les Règles BAEL limitent inférieure-ment la valeur de (iy à 0,25, ce qui est une erreur, car lorsqu'il y a des charges concentrées,la part de moment dû aux charges réparties n'a pas à être limitée. La vérificationMty > Mtx/3 vise le moment global, ce qui n'implique aucune condition sur le coefficientM,-

d) Conclusion

Pour la charge concentrée, M0x et M0y sont du même ordre de grandeur.Par conséquent, dire qu'une dalle porte dans un seul sens lorsque a < 0,40 n'a de sens quesi la charge est uniformément répartie.On remarque de plus que la charge concentrée est beaucoup plus agressive que la chargerépartie.

6.3. POINÇONNEMENT

Qu >< 0,045 . uc . ho . -^Yb

avec :Qu = charge ultime, Qu = 1,5 . 50 = 75 kN = 0,075 MNuc = périmètre d'impact au niveau du uc = 2 (a + b) = 4 . 0,22 = 0,88 m

feuillet moyen,ho = épaisseur de la dalle. h0 - 0,12 m

0,075 MN < 0,079 MN = 0,045 .0,88 .0,12 .25 O.K.

CHAPITRE 14

DESCENTE DE CHARGES

I. RAPPELS DE COURS

1. PRINCIPE

La DESCENTE DE CHARGES a pour but l'évaluation des actions de pesanteur perma-nentes et variables permettant le calcul :- des poteaux ou des appuis,- de leurs fondations.

2. VALEURS DES CHARGES PERMANENTESET DES CHARGES D'EXPLOITATION

2.1. CHARGES PERMANENTES

Elles résultent du poids volumique des matériaux mis en œuvre :- béton :

• béton armé :• béton banché :• béton cellulaire :

- parpaing :• parpaing plein porteur :• parpaing creux porteur :• parpaing creux de remplissage :

- brique :• brique pleine :• brique creuse :

24 à 25 kN/m3,22 à 23 kN/m3,3 à 8 kN/m3,

20 à 22 kN/m3,13 à 17 kN/m3,

11,5 kN/m3,

18 kN/m3,11 à 13 kN/m3,

- pierre :• pierre à maçonner (suivant dureté) :• pierre dure pour revêtement :

- second œuvre :•plâtre: T ^ î ï ;• bois :• sable sec pour forme (parquets flottants) :• gravillon (protection, étanchéité) :• asphalte : ; J à• enduit mortier (grillagé ou non) :• chape en mortier de ciment :• carrelage céramique :

16 à 20 kN/m3,22 kN/m3,

14 kN/m3,8 kN/m3,

17 kN/m3,15 kN/m3,22 kN/m3,22 kN/m3,22 kN/m3,22 kN/m3.

Elles peuvent aussi être déduites du poids au m2 de différents éléments :

- planchers à entrevous céramique ou béton :Hourdis et blocage coulé

plancher 12 + 4 :15+4:18 + 4:20 + 5:30 + 5:

EntrevousPoutrelle préfabriquée

2,3 kN/m2,2,5 kN/m2,2,8 kN/m2,3,25 kN/m2,4,8 kN/m2,

- planchers bois ou fer de construction ancienne- charpente :

• en fer : fermes + pannes + chevrons :• en bois : fermes + pannes + chevrons :

- couverture ; y compris petits bois de pose(lattis, liteaux, voligeage) :• amiante-ciment :• tôle :• aluminium :• zinc :• tuiles mécaniques :• tuiles plates de Bourgogne :

5 kN/m2,

0,1 à 0,4 kN/m2,0,2 à 0,6 kN/m2,

0,2 kN/m2,0,2 kN/m2,0,2 kN/m2,0,3 kN/m2,

0,5 à 0,6 kN/m2,0,7 à 1 kN/m2,

• ardoises : °'4 kN/m2,- parquet traditionnel sur lambourdes scellées

(parquet + lambourdes + scellement) : 0,3 kN/m2,- cloisons :

• très légères : 0,4 kN/m2,• légères : 1 kN/m2,• lourdes : charges linéaires aux emplacements prévussur plans ou charge répartie > 1 kN/m2.

2.2. CHARGES VARIABLES

Elles résultent de l'exploitation envisagée par les maîtres d'ouvrage pour la constructionconsidérée.

2.2.1. Bâtiments

La norme NF P 06-001 donne, pour les cas usuels :- locaux d'habitation et d'hébergement :- bureaux et salles de travail et de réunion :- locaux publics, halls, salles de réunion :- locaux non accessibles (sauf entretien) :- parkings :- terrasses (entretien) :

1,5 kN/m2,2,5 kN/m2,

4 à 5 kN/m2,1 kN/m2,

2,5 kN/m2,1 kN/m2.

2.2.2. Ponts-routes

Les valeurs des charges d'exploitation sont données par le fascicule 61 titre II du CPC.

2.2.3. Ponts-rails

Les valeurs des charges d'exploitation sont fixées par le livret 2.01 de la SNCF.

2.2.4. Charges climatiques

Elles font l'objet des Règles :- NV 65 et leur révision de 1999 pour le vent,- N84 et leur révision de 2000 pour la neige.

3. DÉGRESSION DES CHARGES VARIABLES D'EXPLOITATION

Pour tenir compte de la non-simultanéité de chargement à la valeur maximale réglementairede tous les niveaux d'un bâtiment en exploitation, le maître d'ouvrage peut autoriser unedégression des charges variables.

En désignant par :Q0= charge d'exploitation sur terrasse,QB = charge d'exploitation de base sur planchers,

Qr= fraction de la charge d'exploitation à laquelle la dégression ne s'applique pas :1 kN/m2 pour habitation et/ou bureaux par exemple,

Q = QB - Qr = valeur de la charge d'exploitation sur planchers frappée de dégression.

Les valeurs des charges d'exploitation à prendre en compte, au-dessous de chacniveaux du bâtiment sont les suivantes :

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

1

tt

ti_

1i_

tt

tt

1l_

t1

11

— -Sous terrasse

t-1 -Sous étage 1 :

t e-1 -Sous étage 2 :


t— l -Sous étage 4 :



t-1 -Sous étage 7 et

1

QQ- i -; :i, uo <

QO+Q, --:' ••'•••

Q0+2,7.Q+0,3.Qr,

Q0+3,4.Q+0,6.Qr,

Q0+4.Q+l.Qr,

Q0+4,5.Q+l,5.Qr,

tous les suivants:

Q0+5.Q+2.Qr.

. , j. f. >-.--, > .1 • ï 4 i

4. EFFET DE LA CONTINUITÉ SUR LES POTEAUX VOISINS DE RIVE


Les poteaux sont les points d'appui de poutres continues.

On suppose les charges d'exploitation modérées ; c'est-à-dire :

q<5kN/m

avec :

q = somme des charges variables d'exploitation,g = somme des charges permanentes.

4.2. POUTRES À DEUX TRAVÉES CONTINUES

1

Poutre à deux travéeségales uniformémentchargée.

Efforts tranchants :

Moment sur appui (méthode forfaitaire) :

I M! I > 0,60.Mo

' • • : " • , . • • : ' r i r t f « t o 8 è 3

. • * "-;.«

= - 0,500 p/ - 0,075 pi = - 0»575 p/,: ,;*,v ;;0>Q

0,60 . EL

2 /

0,60 .

2 /

Réaction d' appui :

= + 0,500 p/ + 0,075 pi = 0,575 pi

R, = Vj e -V l w =* R, = 1,150 pi

D'où : Majoration de 15 % de la réaction sur l'appui central.

4.3. CAS DE n TRAVÉES CONTINUES (n > 3)

Moments sur appui (méthode forfaitaire) :

> 0,50 . M0

M2> 0.40 . M0 si n > 3

~ 0,50 . M0 si n = 3

Efforts tranchants :

" - • " ' - 7 ' Y v- T •?'? :^ '* :* ; '""' ' • ' v* "•,r-.*v:. 0,50.5:- ;:: c'•"-'-'— ' -

v,.-!*-. - = - 0,500 p/- 0,063 p/ =

(- 0,40 +0,50) . ~

- 0,563 pi

0,513 pi

Réaction d'appui :

Ri = v ie -V l w => R , < 1,076 p/

D'où : Majoration de 10 % de la réaction sur l'appui voisin de l'appui de rive.

4.4. CONCLUSION

Pl

1 1 1 ||

•UtrUkVp 11

1 I 1 | I I

à

>

L! 1

*********kV

Pi 1 1R -1 15

1

P2*-*********!

J

+P212

2

4.5. REMARQUE

II est toujours possible de tenir compte des moments de continuité adoptés pour le calculdes poutres, mais dans ce cas, les calculs sont plus longs et pour un avant-projet sommaireou une étude préliminaire, la majoration forfaitaire est plus rapide.

II. EXERCICE : BÂTIMENT - DESCENTE DE CHARGES___^ . . - .- -' f - -

— ÉNONCÉ— f ^ . ' , 'i

-VUE EH PLAH- - ' u

© ® [*À © © © ©^

5,50m

5,50m

qa ^f— q

i

1

+ + + +

7,00»

r- - -«

, 7 , 0 0 m

ta à

, 7 , 0 0 m

1

i

t. - -i- - -

, 7 , 0 0 m |, 7 ,00m |

(>

© ;!. j./L'(3) -\i/

-COUPE A-A-

3x

2 , 7 0m

2 , 7 0m

2 , 7 0m ,

5 , 0 0m

3 , 0 0m

3 , 0 0m

;

—

••••

•••i

" 1

..SSBSS—

1 1

1

/

?

© W ^L

,10m V

/ Menuiseriex (habillage) . -...

Allège/(brique

/ Chat

_k^~

uHcm 1,0

m

7 , 0 0 m_b d_, 7 , 0 0 m

s creuse)

je 4cm

rOTTPF RÏÏB ACBUTICIIE~12cm

^TT' — p^L Gravillons .r1 / (4cm)

grnïï;?^ Etanchéité

< N \ Forme de pente1 \ (10cm moyen)

^ \ Isolation

7 , 0 0 m 1

Extrait du devis descriptif :

1. Charges d'exploitation- sur terrasse : 1 kN/m2 de durée d'application supérieure à 24 heures,- habitation : 1,5 kN/m2 de durée d'application supérieure à 24 heures,- charge roulante constituée par camions de 301 (0,3 MN) sur la dalle du rez-de-chaussée10 kN/m2 équivalents,- parking : 2,5 kN/m2 de durée d'application supérieure à 24 heures,- dégression verticale des charges d'exploitation non admise.

2. Matériaux- béton : fc28 = 25 MPa,- aciers : Fe E 500 HA,- fissuration peu préjudiciable.

3. Divers

Sur terrasse :- gravillons sur 4 cm de poids volumique : 21 kN/m3,-étanchéité: 0,1 kN/m2,- réduit de forme de pente de 10 cm moyen : poids volumique : 20 kN/m3,- isolation de poids négligeable.

Façades :- allèges en briques creuses de densité : 13 kN/m3,- menuiseries de poids : 0,40 kN/m.

Pignons :- pierres de taille, épaisseur 0,25 m, poids volumique : 18 kN/m3.

Superstructure sur planchers :- étages + RdC : cloisons légères et faux-plafonds estimés à 1 kN/m2,- étages + RdC : chape de 4 cm de poids volumique : 20 kN/m3.

4. Description du bâtiment

Cinq étages à usage d'habitation.Plancher-terrasse et planchers courants :

poutres files 1, 2 et 3, retombée limitée à 35 cm,dalle pleine portant entre ces poutres et les pignons files A et F.

RdC à usage de garage (possibilité de circulation d'un camion de 301 = 300 kN).Poutraison du plancher RdC :

poutres dans les deux sens, file 2 et files B, C, D et E,voiles porteurs en pignon et façades, files 1 et 3 et files A et F.

Deux sous-sols à usage de parking.Poutraison du plancher du premier sous-sol :

poutre file 2,voiles porteurs en pignon et façades, files 1 et 3 et files A et F,dalle pleine portant entre poutres et voiles porteurs.

Poutraison du plancher du deuxième sous-sol :dallage de 12 cm d'épaisseur reposant directement sur le sol (on ne doit pas en tenircompte dans les calculs des charges sur les fondations).

Divers.Trémies d'escaliers, trémies d'ascenseurs et rampes d'accès aux sous-sols, négligées parsimplification.

Contreventement.Dans le sens transversal, assuré par les pignons pleins et les gaines d'ascenseurs et d'esca-

liers.Dans le sens longitudinal, assuré par des portiques (poteaux et poutres longitudinales desplanchers) et par les gaines d'ascenseurs et d'escaliers.À l'arrière : deux sous-sols à usage de parking sur toute la longueur du bâtiment.

— CORRIGÉ —

1. PRÉDIMENSIONNEMENT

1.1. PLANCHER-TERRASSE

a) Dalle

Dimensionnement.Plancher-terrasse constitué par une dalle portant sur trois files de poutres (1, 2 et 3).

'x 5,50

a = 0,16 < 0,40 => la dalle porte dans un seul sens (entre les poutres).

On prendra :

h0 1 1— > — à — car la dalle est continue/ ~ 30 40

soit ici :

h0 1 5,50— > — soit h n = —/ 40 ° 40

Charges au m2 de dallePoids propre: dalle B.A.

forme de pente :étanchéité :gravillons :

total :

= 0,138 m => Retenu dalle h 0 = 15 cm.

25. 0,15 = 3,75 kN/m2

20. 0,10 = 2,00 kN/m2

= 0,10 kN/m2

21 . 0,04 = 0,84 kN/m2

g = 6,69 kN/m2

Charges d'exploitation :q=l,OOkN/m2

Vérification en flexion.

Méthode de calcul :

12 . g = 2 . 6,69 = 13,38 kN/m2

q < Mm /1 S kN/m

q=lkN/m 2 <5kN/mM

0,8 < 7 - < 1 ,25 > => Méthode forfaitaire.l\ + i [

/ i = / i + i j

Moments fléchissants :

a_ q _ i.oog + q 6,69 + 1,00

'Mw + Me f (1+0,3. a). M0 = (1 + 0,3. 0,13). MO = 1,04 M0

1 2 | 1,05 M0

en vérifiant pour une poutre à deux travées :

lMa|2 0 0 , 6 . M 0 1 02 M 1 - M 1 01

A A A Mui; • MaK ) „1,2+0.3.0! „ l , 2+0 ,3 . a „ f °2

M t^ 2 01 2 M02

d'où, pour : Ma = Me = 0,6 M0 et Mw = 0 :

f 06

1,05 M0--£- M0 = 0,75 M0

M t>Max{1,2 + 0,3. a 1,2 + 0,3. 0,13

1 2 Mo 2 M O -U,O^M O

on retiendra donc :=*Mt=0,75M0

M t= 0,75 M0 = 0,75 . 39,82 = 29,87 mkN/m

Justification pour le moment le plus grand :

fc28 0, 25 . , 4oMp

6 - Y b

Mt 29,87. 10" 3

U. — - __ _ _ (jîfo

d 2 . f b u 0,122.14,2

fibu= 0,146 < ÂB = 0,186 < îlu => A' = 0

=>h0=15cmO.K.

Vérification au cisaillement.

Effort tranchant dans la travée de référence :

Ou - Pu • y - lUpJ . ^ - Zo,9o kJN/m

Effort tranchant dans la poutre continue à deux travées :

yv

0ul yi-i5.v0u2

/ l I I 2 11 Ul U-l,15.V0ul^ -VOU2^

V I C W 1 C OQ Q/C 'J'J aA t-M/rr»

Contrainte tangente :

Vu 33,3. lu'3Tu d " 0,12

T ><T, . =0,07.-û l im ,.'b

ce qui donne pour une bande de dalle de largeur 1,00 m :pu= 1,35g + l,5q = 1,35 . 6,69 + 1,5 . 1,00 = 10,53 kN/m2

2 2

Mou = Pu . = 10,53 . 4°- = 39,82 mkN/mo o

Ma= 0,6 M0 = 0,6 . 39,82 = 23,89 mkN/m

=0,28MPa<l,17MPa = t,. =0,07. | O.K.lim ] 5

Flexibilité.

ho _ 15 1 n K ^'autant Pms que 1£S portées sont prises entre axes et non/ ~ 550 ~ 37 entre nus d'appuis.

PoinçonnementPour mémoire.

Résistance au feuPour mémoire.

Isolation phoniquePour mémoire.

État-limite de déformation (E.L.S.)Pour mémoire.

b) Poutre file 2

Dimensionnement.

h x 1— -2. -JTT- : poutre isostatique

-y _>-jT-: poutre continue

0,3dlb 010,5d

ce qui donne pour des poutres continues de portée 7,00 m entre axes :/ 7 00

h > — = —— = 0,44 m => Retenu : d = 45 cm, h = 50 cm16 16

retombée : 50 - 15 = 35 cm maximum.

b0 = 0,5 . 0,45 = 0,225 m => soit b0 = 25 cm.

Charges au mlPoids propre:- retombée : 25 . 0,25 (0,50 - 0,15) =- poids plancher : 1,15 . 6,69 . 5,50 =

- total :

2,19 kN/m42,31 kN/m

g = 44,50 kN/m

Charges d'exploitation :q = 1,15 . 1,00 . 5,50 = 6,33 kN/m

Résistance à la flexionMéthode de calcul :

méthode forfaitaire (voir dalle).

Moments fléchissants :

lMaU 0 0,5 .M 0 0 , 4 . M 0

1,2+0,3.0 1.0+0.3.0!2

pour une poutre de section en T, la section critique est sur appui d'où on prendra :Ma=0,5M0

soit :pu= 1,35 g + 1,5 q = 1,35 . 44,5 + 1,5 . 6,33 = 69,57 kN/m vv

\ *2 2

M0 = P u . ^ - = 69,57 .^- = 426,12 mkN . ;

8 8Ma= 0,5 M0= 0,5 . 426,12 = 213,06 mkN

Justification en flexion : • ' • • • •

Ma 213,06. 10"3

b0 . d2 . fbu " 0,25 . 0,452 . 14,2

= 0,296

1.35. g + 1.5. q 69,57g + q 44,5+6,33

Fissuration peu préjudiciableFe E 500 HAfc28 = 25 MPa

9=1

= 0,262

|0.bu = 0,296 > (ilu = 0,262 => A' (car la hauteur de la retombée est limitée).

Vérification au cisaillement.

Effort tranchant dans la travée de référence :

V0u = p u . = 69,57. - = 243,50 kN ^^HAJI.SJ

iU.ki (ïi

Effort tranchant dans la poutre continue :

V0uli , io.v0 u 2

2

-i,io.v0ul.

Vu= 1,10 V0u= 1,10 . 243,50 = 267,85 kN

Contrainte tangente :

Vu0 = 267,85 - ^ . 69,57 .0,50 = 239 kN

V 010 1 n~

^ï^rra-2'12^

-V

Vérification (poutres) :

... , 0,20 . -^T u O > < iim = Mm{ y b car fissuration peu préjudiciable5 MPa

I 25 -tu0 = 2,12 MPa < 3,33 MPa = T^ = Min / °'2° - "Hs = 3'33 M?a O.K.

(5 MPa

Flexibilité :

!L=-»=-L>J-o.K./ 700 14 16

Résistance au feuPour mémoire.

État-limite de déformation (E.L.S.)Pour mémoire.

Poids de poutre ramené au m2 de plancher25 kN/m3. 0,25 (0,50 - 0,15) = 2,19 kN/m2,195,50

= 0,40 kN/m

1.2. PLANCHER COURANT

a) Dalle

On retiendra, comme pour le plancher-terrasse (charges au m2 de plancher courant légère-ment inférieures à celles du plancher-terrasse) :

dalle : h0 = 15 cm.

b) Poutre file 2

Comme pour le plancher-terrasse (cf. remarque ci-dessus) puisque la trame des poutres estla même :

poutre : 25 x 50 cm2.

c) Charges au m2 de plancher

Dalle : poids propre : 25 . 0,15 =chape : 20 . 0,04 =cloisons : =

total :charges d'exploitation :

3,75 kN/m2

0,80 kN/m2

1,00 kN/m2

g = 5,55 kN/m2

q= 1,50 kN/m2

Poutre :

poids propre retombée :

1.3. POTEAU COURANT B2

a) Dimensionnement dans la hauteur du premier étage

g = 2,19 kN/m. . \."„ « S.'J* I t:

Ijiïïif) ;:::• l i - .

®-®-

©=

Le poteau supporte les charges :du plancher-terrasse,de quatre planchers courants.

Le coffrage des poteaux étant inconnuà ce stade de l'étude,nous le négligeronset nous prendrons les portées entre axesdes poutres pour la prise en compte for-faitaire du poids propre du poteau.

De plus,le poteau central 62 est manifeste-ment le plus chargé(poteau voisin de rive).

Descente de charge partielle :

- Plancher-terrasse :poids propre : 6,69 . 5,50 . 7,00 =charges d'exploitation : 1,00 . 5,50 . 7,00 =

- Quatre planchers courants :poids propre : 4 . 5,55 . 5,50 . 7,00 =charges d'exploitation : 4 . 1,50 . 5,50 . 7,00 =

- Retombées des poutres (1 + 4) :5.2,19.7,00 =

G(kN)

257,6 ""

854,7

76,7

Q(kN)

38,5

231,0

Total :

Effort normal ultime :

Pu= 1,35 G + 1,5 Q = 1,35 . 1 189 + 1,5 . 269,5 = 2 009,4 kN

Nu=l,15Pu=l,15.2009,4 = 2311kN

Dimensionnement :

Pour que toutes les armatures participent à la résistance, on prendra :

G = 1189,0 Q = 269,5

= 35.

• aS'îffiOÎT;p=l+0 ,2 . ( - | =1,20

On en déduit :k - P - N u 1.1,20. 2 311. 10"3 ' •

0,9 100.ed 0-9 100 - 1,15

d'où : br > fi = 11 424 = 37,74 cm

=> Retenu : poteau 40 x 40 cm2

En vérifiant :

If = l - 2,70 m les poutres étant moins raides que le poteau.

b 0,40

b) Poids du poteau ramené au m2 de plancher25 kN/m3. 0,40 . 0,40 = 4 kN/m

soit ramené au m2 de plancher :

4(2,70-0,50) =a2

7,00 . 5,50

1.4. PLANCHER DU REZ-DE-CHAUSSÉE

Un prédimensionnement identique à celui effectué précédemment pour le plancher-et le poteau file B2 dans la hauteur du premier étage donne :hauteur du premier étage donne :

- dalle h = 25 cm, d'où :poids propre : 25 . 0,25 =

terrasse

chape : 20 . 0,04 =cloisons : =

total :

charges d'exploitation :

- poutres :

poids propre retombée ramené au m2 de plancher : g = 1 kN/m2.- poteaux :

poids propre ramené au m2 de plancher : g = 0,5 kN/m2.

6,25 kN/m2

0,80 kN/m2

1,00 kN/m2

g = 8,05 kN/m2

q = 10 kN/m2

1.5. PLANCHER DU PREMIER SOUS-SOL

On obtient de même :

- dalle h0 = 14 cm, d'où :charges permanentes :charges d'exploitation :

- poutres :

g = 25. 0,14 = 3,50 kN/m2

q = 2,50 kN/m2

poids propre retombée ramené au m2 de plancher : g = 0,40 kN/m2

g = 0,5 kN/m2- poteaux :

poids propre ramené au m2 de plancher :

2. POIDS DES DIVERS ÉLÉMENTS

On sépare les charges permanentes des charges d'exploitation. Les poteaux étant calculésdans leur section de base, leur poids est compté avec les charges permanentes des plan-chers qu'ils supportent.

6,69 kN/m

2.1. PLANCHER-TERRASSE

Poids propre dalle :Étanchéité :Forme de pente :Gravillons :Poutres :Poteaux sous plancher :


Total :

2.2. PLANCHERS ÉTAGES COURANTS

g (kN/m2) q (kN/m2)

Poids propre dalle :Cloisons :Chape :Poutres :Poteaux sous plancher :


Total :

5,55 kN/m

3,750,10

* 2,000,840,400,23

g = 7,32 kN/m2

g (kN/m2)

( 3,75{ 1,00( 0,80

0,400,23

g = 6,18 kN/m2

>;"••! •?•* ;u

'- ,- /::/' . t. M

• '.ï'.-':

1,00

q=l,OOkN/n£ ( . M

q (kN/m2)ri

1,50

q = 1,50 kN/m2

2.3. PLANCHER NIVEAU REZ-DE-CHAUSSÉEg (kN/m2) q (kN/m2)

Poids propre dalle :Cloisons :Chape :Poutres :Poteaux sous plancher :


Total :

8,05 kN/m

6,251,000,801,000,50

10,00

g = 9,55 kN/m2 q = 10,00 kN/m2

g = 4,40 kN/m2

2.4. PLANCHER DU PREMIER SOUS-SOL

Poids propre dalle :Poutres :Poteaux sous plancher :Charges d'exploitation :

Total :

2.5. DIVERS

a) Allèges

Briques creuses : 13 . 0,25 . 1,10Menuiseries d'habillage :

Total :

b) Acrotères

25. l,00.0,12 = g = 3kN/m

c) Murs porteurs, pignons

18 . 0,25 (2,70 - 0,50) = 9,9 kN/m => g = 10 kN/m

Thauteur poutre

g (kN/m2)

3,500,400,50

= 3,58 kN/m= 0,40 kN/m

g = 3,98 kN/m

q (kN/m2)

2,50

q = 2,50 kN/m2

3. DESCENTE DE CHARGES " *

3.1. RÉPARTITION DES CHARGES DUES AUX DIVERS PLANCHERS-• , '•' . '.. '.A ùB.îKKI

a) Plancher-terrasse et planchers courants/C\

_

i_

5,50i

Surfaces affectées aux divers poteaux :

5,50 7,00 2-poteau A l : —-— . —-— = 9,63 m

- poteau A2 : 2 . -1— . -1— = 19,25 m2

5,50- poteau Bl : -^— . 7,00 = 19,25 m

5,50- poteau B2 : 2 . ——- . 7,00 = 38,50 m

b) Plancher du rez-de-chausséeMur

,, 1.5|px25,50m

Surfaces intéressant les divers poteaux : \rj

-poteau A l : O m (charges reportées sur mur et pignon) < 4 , : / .- ,!1 1,50 + 7,00 5,50

- poteau A2: 2 . S, = 2 . - . .—-=11,69 nT

1 5,50 5,50 2- poteau Bl : 2 . S2 = 2 .-.—-.—- = 7,56m

- poteau B2: 4 (S, +S2) = 2 . (11,69 + 7,56) = 38,50m2 7

c) Plancher du premier sous-sol

3.2. CHARGES AMENÉES PAR LES DIVERS PLANCHERS

a) Poteaux file A

-I h

_|_--—£5L-

5 ,50m

Surfaces intéressant les divers poteaux :- poteau Al : mur et pignon porteurs => 0 m2

- poteau A2 : 2 . S, = 11,69 m2 (voir 3.1.b)- poteau B1 : mur porteur => 0 m2

- poteau B2 : 4 (S, + S2) = 38,50 m2 (voir S.l.b)

^ - ^ Poteau

«Plancher— terrasse :Poids plancherAcrotèreExploitationTotal

•Plancher courant :Poids plancherAllègesPignonExploitationTotal

•Plancher RdC:Poids plancherMurExploitationTotal

•Plancher premiersous-sol:Poids plancherMurExploitationTotal

A

G(kN)

7,32.9,63=70.493.6.25= 18,75

G=39,24

6,18.9,63=59,513,98.3,50=13,9310.2,75= 27,50

G=100,94

9,55.0= 0,00

G=0,00

4,40.0= 0,00

G=0,00

1

Q(kN)

1.9,63= 9,63Q- 9,63

1,5.9,63=14,450=14,45

10.0= 0,000=0,00

2,5.0= 0,000=0,00

~ ^ ^ Poteau

•Plancher— terrasse :Poids plancherAcrotèreExploitationTotal


•Plancher RdC:Poids plancherMurExploitationTotal

•Plancher premiersous— sol:

Poids plancherMurExploitationTotal

A

G(kN)

7,32.19,25=140,913.5,50= 16,50

G-157,41

6,18.19,25=118,973,98.0= 0,0010.5,50= 55,00

G=173,97

9,55.11,69=111,64

G-111,64

4,40.11,69= 51,44

G- 51. 44

2

Q(kH)

1.19,25= 19,250=19,25

1,5.19,25=28,88Q=28,88

10.11,69=116,900=116,90

2,5.11,69=29,230=29,23

b) Poteaux file B

^ ^ ^ Poteau

•Plancher— terrasse :Poids plancherAcrotèreExploitationTotal


•Plancher RdC:Poids plancherMurExploitation

•Plancher premiersous-sol:Poids plancherMurExploitation

E

G(kN)

7,32.19,25=140,913.7,00= 21,00

G=161,91

6,18.19,25=118.973,98.7,00= 27,8610.0 = 0,00

G=146,83

9,55.7,56= 72,20

G= 72,20

4,40.0= 0,00

G= 0,00

il

Q(kN)

1.19,25= 19,250=19,25

1,5.19,25-28,380=28,88

10.7,56= 75,600=75,60

2,5.0= 0,000= 0,00

^ ^ ^ Poteau

•Plancher- terrasse :Poids plancherAcrotèreExploitationTotal


•Plancher RdC:Poids plancherMurExploitation

•Plancher premiersous— sol :Poids plancherMurExploitationTotal

I

G(kH)

7,32.38,50=281,823.0= 0,00

G-281,82

6,18.38,50=237,933,98.0= 0,0010 0 = 0,00

G=237,93

9,55.38,50=367,68

G=367,68

4,40.38,50=169,40

G=169,40

S2

Q(kH)

1.38,50= 38,500=38,50

1,5.38,50=57,750=57,75

10.38,50=385,00Q=385,00

2,5.38,50=96,250=96,25

3.3. DESCENTE DE CHARGES

Le poteau B2 étant le plus chargé, nous établirons la descente de charges pour ce seul poteau.

— — -

fà\2)

t

t

t

©t

t

t

t

~"~ — ^ ^ Poteau

Majoration(continuité) :==>Total :

±

Majorât ion (continu! té) :==>Total:

±Majoration(continuité) :==>Total :

1Majorât ion (continuité) :==>Total :

1Majoration(continuité) :==>Total :

1

Majorât ion (continuité) :==>Total:

t= , , Planrher Rr!""'

Majorât ion (continuité) :==>Total

1—Plancher premiersous-sol :

UKC? = = >Total:

B

G(kH)

281,820,15.281,82= 42,27

HG=324,09

237 930,15.237,93= 35,69

NG=597,71

237 930,15.237,93= 35,69

NG=871,33

237,930,15.237,93= 35,69

NG=1 144,95

237 930,15.237,93= 35,69

NG=1418,57

237,930,15.237,93= 35,69

NG=1 692,19

367,680,15.367,68= 55,15

NG=2115,02

169,40

0,15.169,40= 25,41NG=2309,83

2

Q(kN)

38,500,15.38,50= 5,78

HQ=44,28

57 750,15.57,75= 8,66

NQ=110,69

57,750,15.57,75= 8,66

NQ=177,10

57,750,15.57,75= 8,66

HQ=243,51

57,750,15.57,75= 8,66

HQ=309,92

57,750,15.57,75= 8,66

HQ=376,33

385,000,15.385= 57,75

NQ=819,08

96,25

0,15.96,25=14,44NQ=929,77

ANNEXE 1

CALCUL MANUEL D'UNE SECTIONRECTANGULAIRE À ARMATURES

SYMÉTRIQUES À L'E.L.U. PARAPPROXIMATIONS SUCCESSIVES

La solution la plus rapide pour résoudre le problème est obtenue en utilisant les dia-grammes d'interaction (lecture sur l'axe O|iG pour la flexion simple). Dans le cas où l'onne dispose pas de tels diagrammes, on peut utiliser la méthode par approximations succes-sives exposée ci-après.

1. HYPOTHÈSES-NOTATIONS

• Considérons la section rectangulaire définie ci-dessous :

A . H .2d-h

• On se place dans le cas où 0 < yu < d (section avec au moins une nappe d'aciers tendus).

• Cette section est sollicitée en flexion composée sous les sollicitations MuA et Nu ; le casde la flexion simple - Nu = 0 - est traité au § 6 ci-après.

1000 d-y u

Contrainte des aciers supérieurs :

a s t=E s . es t=2000

I ast est maximal pour yu = 0 et vaut alors :

h - d - y u

d-yu

,= 20001-\d

°smax=2000|-- l) .

I Comme pour les aciers Fe E 500 :

on a :

«* 2 000 - 1 > fed = 435 MPa,\d

5-^ + 1 = 1'2175 ~ d^°'82h'

2. REMARQUES

• Dans le cas général, on a, pour une poutre : d ~ 0,9 h et :

h - d < 0,259 d <=> h < 1,259 d <=> d > 0,794 h et on se trouve au pivot A.

• Pour une dalle, cette condition n'est pas toujours vérifiée ; par exemple pour HQ = 8 cnjlet d = 6 cm, on a :

d = 6 cm < 0,794.8 = 6,35 cm.

w>vr '^ ;;v , . • ; . , . . * . : * . , * , . ' . " • . • • r ; . -3. MOMENT DE RâFÉfèENCE J "^ l I " :: , '' ^-,- ï ' ' >

3.1.Siyn<h-d: • • ' - . - ^ . ° • ' . : ' . ' • ^ .* ^ >•< ' • I . ; . ' : •£ -

• les aciers supérieurs sont tendus, •-"'?••"' ':, ;* ; , • : > * , . - . ^ î ' I

• on est au pivot A (cf. yu < h - d < 0,259 . d).

• Allongement des aciers supérieurs :

c 10 h - d - y u

[1]

ce qui est rarement le cas pour une poutre (cf. d = 0,9 h). On en déduit donc que a* < fed-

3.2. Siyu = h-d : ? !

L'axe neutre passant par le centre de gravité des aciers supérieurs : ir

D'où le moment que peut équilibrer la section, rapporté aux aciers inférieurs, lorsqueyu = h - d :

MRS = 0,8 . bo (h - d) fbu [d - 0,4 (h - d)],

MRS = 0,8 . b0 d fbu - 1 . 1,4 - 0,4 |,\d / \ d

M R S = - - l - l,12 - 0,32 bo\d / \ d/

3.3. Si yu > h - d :

Voir § 4.2. ci-après. :

4. MISE EN ÉQUATION DU PROBLÈME

4.1. CAS OÙ MuA < MRS (« yu < h - d)

• Les aciers supérieurs sont tendus et les équations d'équilibre donnent :

|NU = 0,8 . b0 . y u . fbu - A (<yst + fed)

\MuA = 0,8 . b0 . yu . fbu (d - 0,4 yu) - A ast (2d - h),

[2]

[3]

avec :

as t=2000 h - d - yu

d-y u

A et yu sont inconnus a priori.

4.2. CAS OÙ MuA > MRS (<=> yu > h - d)

Les aciers supérieurs sont comprimés.

4.2.1. Cas où h - d < yu < 0,259 d

• On est au pivot A et le raccourcissement des aciers supérieurs vaut :

10 y u - (h-d)

1000 d-y u

I D'où leur contrainte :

a s c=E s .e s c=2000est = d-yu

[4]

I Cette contrainte ne peut atteindre fed que si :

a sc>fed

>

2000 y"d-y u

d . fed + 2 000 (h - d)

2 000 + fed

ou, comme on a supposé yu < 0,259 d, si :

200Q.h-d(2000-fed)2000 + fed

< 0,259 d.

Cette circonstance ne peut se rencontrer que si :

2 000 . h - 2 000 . d + d . fed < 518 . d + 0,259 d . fed.

f < _ _ -[-2000. h + 2518.d] = 1,35 -2000- + 2518J,0,741 . d d

ce qui conduit, dans le cas général où h ~ 1,1 d à :

fed < 1,35 [- 2 000 .1 ,1+2 518] = 429 MPa.

• Conclusion :

Dans le cas envisagé (h - d < yu < 0,259 d), si l'on emploie des aciers HA Fe E 500,fed = 435 MPa > 429 MPa et la contrainte des aciers supérieurs ne peut atteindre fed.

• Les équations d'équilibre s'écrivent donc :

/Nu = 0 , 8 . b 0 . y u . f b u + A . a s c - A . f e d

j = 0 , 8 . b 0 . y u . f b u - A . ( f e d - a J ,

|MuA = 0,8 . b0 . y u . fb u(d-0,4 . yj + A . asc(2d-h),

avec :

Yu-(h-d)d-yu

[5]

[6]


4.2.2. Cas où yu > 0,259 . d

• On est au pivot B et le raccourcissement des aciers supérieurs vaut :

e 3,5 yn - (h - d)1000 yu

I D'où leur contrainte :

a s c=E s .e s c=700

• ! • ?(<•:;!»•!>**"

yn- (h - d) ' sii '«rmq à >11

Cette valeur n'atteint fed que si :

'-'•-., >.'.!•_ ',",•-• !.' !'J7>;• ' . ' . - " .; '. »«J^'I .

a s c>fe d « 7005^h^>^yu

,700(h-d)_yu- 700-^-^

Ce qui conduit pour les aciers Fe E 500 et h = 1,1 d à :

/iA) /!_ ,x _ n f * f% jx

700 - 435[8]

4.2.3. Conclusion

En posant :700 (h-d)ye = 700-fed

1. si h - d < yu < ye, les équations d'équilibre s'écrivent :

/Nu = 0 , 8 . b 0 . y u . f b u + A.(a s c-f e d)

{ = 0,8 . b0 . yu • fbu - A • (fed - <*sc)>

avec :

UA = 0,8 . b0 . y u . fb u(d-0,4 . yu) + A . osc(2d-h),

yu-(h-d)

[9]

[10]


2. si yu > ye, asc = fed et les équations d'équilibre deviennent :

JNU = 0,8 . bo . yu . fbu =* yu

|MuA = 0 , 8 . b 0 . y u . f b u ( d - 0 , 4 . y u ) + A. f e d (2d-h) ^A

5. MÉTHODE D'APPROXIMATION

On opère de la façon suivante :

1. Déterminer dans quel cas on se trouve en comparant MuA à MRS (voir § 3.2.).

2. En se donnant yu, calculer la contrainte ast ou asc correspondante.

[11][12]

3. En déduire A par l'équation d'équilibre des moments.

4. Évaluer Nu à partir de yu et A trouvé à l'étape 3.

5. Comparer la valeur de Nu trouvée à l'étape 4 à celle de Nu réel et reprendre le calculdepuis l'étape 2 en modifiant la valeur de yu jusqu'à ce que Nu calculé < Nu réel. ANNEXE 2

6. CAS DE LA FLEXION SIMPLE

• La seule chose qui change est que Nu = 0 dans les équations d'équilibre.

• Le cas où yu > ye ne peut se rencontrer. Dans un tel cas, l'équilibre devrait être assurépar les aciers seuls (cf. Nu = 0 => yu = 0 par l'équation [11]) sans intervention du bétoncomprimé entourant les armatures supérieures comprimées, ce qui n'est pas possible.

7. CONCLUSION

Compte tenu des développements ci-dessus, on voit que, même en flexion simple, la solu-tion la plus rapide est fournie par les diagrammes d'interaction (chapitre 8, § 5.8. sur l'axe

pour la flexion simple).

VÉRIFICATION A L'E.L.U.D'UNE SECTION RECTANGULAIRE

DONT ON CONNAÎTLES ARMATURES

On distingue les deux cas ci-après :

1. SECTION SANS ACIERS COMPRIMÉS (A' = 0)

1. Calculer (Alu et en déduire Mlu = |J.lu . b0 d2 fbu.

2. Si Mu < Mlu le fait d'avoir A' - 0 est correct. Sinon, il faut prévoir des aciers compriméset, comme la section n'en comporte pas, tout le dimensionnement (détermination de A',puis de A) est à reprendre.

3. En déduire la position de l'axe neutre par l'équation d'équilibre des forces :

o , 8 . b 0 y u f b u - A . f e d = oA . f cd

Ja 0 ,8 .b 0 . f b u

4. Calculer la valeur du bras de levier : zb = d - 0,4 . yu.

5. En déduire le moment résistant à l'E.L.U. : MRu = A . fed . zb.

6. Il faut avoir : MRu > Mu.

2. SECTION AVEC ACIERS COMPRIMÉS (A' * 0)

Peu importe, dans ce cas, que Mu soit supérieur ou non à Mlu.

1. Calculer la contrainte équivalente des aciers comprimés à l'E.L.U. :

_ J9 . Y • fc28 - 5' (13 . fc28 + 415) K < 435 MPa (Fe E 500)asce= \ 9 . y - fc28 - 0,9 . 8' (13 . fc28 + 415) K < 348 MPa (Fe E 400)

2. Si Mu > M)u, vérifier que la section d'aciers comprimés convient :

M u -M l u

3. Déterminer la position de l'axe neutre par l'équation d'équilibre des forces :

4. Calculer la valeur du bras de levier du béton seul : zb = d - 0,4 . yu.

5. En déduire le moment résistant à l'E.L.U. (par rapport aux aciers tendus) :

MRu = 0,8 . b0 . yu . fbu . zb + A' . osce [d - d'].

6. Il faut avoir : MRu > Mu.

Remarque :

La vérification conduite comme indiqué ci-dessus permet d'être assuré que la conditionvis-à-vis de l'état-limite de compression du béton (obc < 0,6 fc28) est elle-même satisfaite.

Si l'on voulait ne vérifier que la résistance à l'E.L.U., il faudrait :

(A-A')f e d •1. calculer

2. si yul>™Ldl, prendre:

0,8 . b0 . fbu

700 -

MRu = 0,8 . b0 . yu, . fbu (d - 0,4 . yul) + A' . fed (d - d').

3. si yul < - , choisir yu2 < yul et calculer :700-fed

osc2 = 700Yu2

osc2 = 2 000 d-yu

si yu2 > 0,259 d,

si yu2 < o,259 d,

d'où : yu3 =A . f e d - A ' . osc2

0,8 . b0 . fbu

et recommencer avec cette valeur le calcul de asc3, d'où yu4, etc., jusqu'à trouvervui + 1 yui

4. finalement :

ANNEXE 3

MOMENT LIMITE ULTIMEEN FLEXION COMPOSÉE

1. INTRODUCTION

Comme la sollicitation de flexion composée est une sollicitation vectorielle, et que lescoefficients de pondération des actions ne sont pas nécessairement les mêmes pour lemoment et pour l'effort normal, il n'est pas possible de savoir de façon simple, a priori,s'il faut, ou non, prévoir des aciers comprimés.

En particulier, étant donné le nombre de paramètres en jeu, il n'est pas possible d'établirdes tableaux comme ceux du paragraphe 2.1.3. du chapitre 6 : « FLEXION SIMPLE ».

MEn posant : vu- , M-u-

uA Mu.\

Mon peut, moyennant un

serA

programme de calcul approprié, dresser des tableaux qui donnent, en fonction de fc28, 9, fe,vu, yM et yN, les valeurs limites (ilu de |iu au-delà desquelles la contrainte limite de compres-sion du béton en service serait dépassée, c'est-à-dire au-delà desquelles il devient nécessai-re de prévoir des aciers comprimés.

Les tableaux correspondants, établis pour des aciers Fe E 500 et diverses valeurs de fc28

(< 35 MPa) et de 0 figurent au paragraphe 4 ci-après.

MRu = 0,8 . b0 . yu i . fbu (d - 0,4 . yui) + A' . asci (d - d').

2. ÉQUATIONS UTILISÉES

2.1. ÉQUILIBRE DES FORCES

" " - ' - " .4

• L'équilibre des forces à l'E.L.U. s'écrit : '' •' •

N,

A .dN .

A

bo

'

^

V — I~Y ri

u u

— ;

— :

?

u

J

H

TT

0 4 y, ' ï if—

^

zb

B = Â U £

contraintes

= 0 , 8 . b 0 . y u . f b u - A . f e d =»ed ed

avec :

• D'où le pourcentage géométrique d'armatures :

°'85 • f 7

c28 [1]

I Remarque : pour que le pourcentage géométrique d'armatures soit positif, il faut que :

Ps>° => 1 -^ 1 - 2 -^

ce qui conduit aux valeurs limites :

1-d-v,,)2

vu

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0.30

M-u,lim

0,04875

0,09500

0,13875

0,18000

0,21875

0,25500

Lorsque ps < 0, l'équilibre peut être obtenu par la seule résistance du béton sans aciers tendus.

2.2. EFFORT NORMAL RÉDUIT DE SERVICE

• On pose :N N.

I Comme :

il vient :

b 0 . d . a b c b0 . d . 0,6 . fc28

N N . 9 . 1 , 5u b 0 . d . f b u b 0 . d .0 ,85 . f c 2

NY

0,85

Nu '0,6.6.1,5

YS Y N ' 0 , 9 . 9[2]

2.3. EQUILIBRE DES FORCES A L'E.L.S.

H_.

Jbc

4 nContraintes

a

bl

Forces

- -n=15

1,a = 15 . a,,bc

I L'équilibre des forces à l'E.L.S. s'écrit :

d-oc. .d

^cT=N-

— a 151-cc,

b 0 . d ' «, b 0 . d .o b c s

• Soit, en fonction du pourcentage géométrique d'armatures :

a^-30p s ( l -a I ) -2 .v s . a 1 =0

a^ + (30p s-2.v s) .aj-30p s = 0

équation du second degré dont la solution positive est :

A = (15p,-v)2

2.4. MOMENT RÉDUIT DE SERVICE

• Le moment par rapport aux aciers tendus a pour expression :

= F bc- Z b

a,.d| a, ( a,

I On pose :

M «1 «1

•'jq : 'Mi

[3]

[4]

2.5. MOMENT RÉDUIT ULTIME

• On pose :

b n . d z0,85 . fc28

1,5.0

I D'où, en fonction du moment réduit de service :

1.5.6 Mser^^bu YM o,85 ' 0

0,9.9^bu ^s ' ^M 0,85

[5]

2.6. PRINCIPE DU CALCUL

Pour fc28 ; fe ; 6 ; y M =M

i l AN N

Met ^u = |J,lim choisi a priori, don-

ser b 0 d f . u

nés, le processus de calcul est le suivant :

1. L'équation [1] donne le pourcentage géométrique d'armatures correspondant, àl'E.L.U., à la valeur de départ choisie pour p,lim.

2. L'équation [3] permet, en adoptant pour l'E.L.S. le pourcentage géométrique déterminélors de l'étape précédente, de calculer la position de l'axe neutre à l'E.L.S.

3. Pour cette position de l'axe neutre, l'équation [4] donne le moment réduit de service |0,s.

4. À |is correspond, par l'équation [5] une nouvelle valeur (j, du moment limite ultime aveclaquelle on recommence le processus.

5. Le moment limite ultime réduit en flexion composée cherché est obtenu lorsque lavaleur résultant de l'étape n correspond à celle introduite à l'étape n - 1.

3. ORGANIGRAMME DE CALCUL

^[t-yï^-.j^ ^

4. TABLEAUX DES MOMENTS LIMITES ULTIMESEN FLEXION COMPOSÉE

Les valeurs de 104 H/u figurent dans les tableaux ci-après.

Les valeurs grisées correspondent à (i/u =[isl (cf. § 2.1.3. chapitre 6 : « FLEXION SIMPLE »).

Les cases sans valeurs numériques correspondent au cas où la notion de moment limite n'aplus de sens, le béton pouvant résister seul, sans armatures tendues.

Les lignes pour lesquelles vu = 0, en haut de chaque tableau, correspondent à la flexionsimple.

Nota : si en fin de calcul, on trouve < n,, iim, le pourcentage minimal d'armatures suffit.

104 |^lu pour Fe E 500 ; fc28 = 25 MPa ; 0 = 1,00 104 n,u pour Fe E 500 ; fc2g = 25 MPa ; 9 - 1,00 (suite du tableau)

Vu

0

0,05

0,10

0,15

YN

1,001,051,101,151.201,251,301,351.401,451,501,001,051,101,151,201,251,301,351,401,451,501,001,051,101,151,201,251,301,351,401,451,50

1,35

2554264626312 6 1 62 6022590257825682558254925402532277427372 7032 6 7 1264226142588256325402518249829462885282727722720266926202572252624802434

1,40

2708281127952780276727542743273227232713270526972 950291428802849282027932768274427222701268131313072301629642914286628212777273526942 654

1,45

2865297929632948293529222911290028902881287328653 1283092305930293000297429492 9262904288428643317326032063 1553 108306230192978293829002864

1,50

30253 1503 1343 11931063093308230713061305230443025330932743241

32113183315731333 MO3088306830493 506

3450339833483302325832173177314031043069

YM

1,55

3 19033253309329432803268325632463236322732183 2 1 0349434593426339633693343331932963 275325532373 6983643359235433498345634153377334133073274

1,60

335935043488347334593447343534253415340533973 3893 682

36473615358635583532350934863465344534277m

3717371737173 698

3 656

36163 579354435113479

1,65

35333688367236573643363036193608359835893580357237173717371737173717371737033681366036403 62237173717371737173717371737173717371737173687

1,70

3712371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717

1,75

3717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717

1,80

3717j3jT7__HrTrr

3717ijrm_îlnrf

3717

IUIL37173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717

Vu

0,20

0,25

0,30

YN1,001,051,101,151.201,251,301,351.40

1,451,501,001,051,101,151,201,251,301,351,401,451,501,001 .051,101,151,201,251,301 .351.401.451,50

YM

1,35

3162307929982918283827592676259024932374

2413331332133 1133011290227822633

1,40

335232723 1953 1203047297529032 83 12757268025973604350734133 3 1 932263 13130322 9262 8052642

3681 137173571 l^fl3 460 3 65833483232310729642767

1,45

3 5433466339233213252318531193055299129272 863

3703361235243436334932623 172307929772 8 6 1

37173717

1,50

36623590352134563392333132723 2 1 43 1573 101371737173717371736453564348334033 3223 2393 15337173717

3717 1 37173552 • 717 : 37173 4453334321730842916

365535533449333932193 0772 853

3 670

36743576347533673246

1,55

3717371737173717

1,60

3717371737173717

3661 ÉJ7173600 «7173452 BJ7173 486 3 7003431 36483 379 3 59833283 71737173717371737173717

3 55 1371737173717371737173717

3 702 1 3 7173628 If 71 73554 B7J73481 1 3715340737173717371737173717371737173717371536223525

3 649

37173717371737173717371737173717371737173717

1,65

371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717

1,70

37173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717

1.75

37173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717

3717 3717371737173717371737173717

371737173717371737173717

1,80

371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717

104 |u pour Fe E 500 . fc2g = 25 MPa ; 6 = 0,90 104 nlu pour Fe E 500 ; fc28 = 25 MPa ; 6 = 0,90 (suite du tableau)

vu

0

0,05

0,10

0,15

YN

1,001,051,101,151,201,251,301,351,401,451,501.001,051,101,151,201,251,301,351,401,451,501,001,051,101,151,201,251,301,351,401,451,50

YM

1,35

2275236423482333231923062 2952284227422642 25522472493245524192386235423252297227122462222220026732610254924902433237723212266220921502088

1,40

241025102493247824652452244024302420241024012 3932649261225772545251424862459243424102388236628372776271826632609255825082459241023622 3 1 4

1,45

2548265726412626261326002588257725672558254925412807277027362704267526472621259725742 552253130022943288728342783273526882 643259925572515

1,50

268828072791277627622750273827272717270826992691296629302896286528362809278427602738271626963 1673 1103056300429562 9 1 02865282327822 7432705

1,55

2830296029432928291529022891288028702860285228443 12730913058302729992972294729242902288228623334327832253 1753 1283084304130012 96229252890

1,60

29763 11530983083307030573045303530253015300729983290325532223 19231633 1373 1133090306830483 029

35033448339633483302325932173 1793 1413 1063072

1,65

3 12532723256324132273215320331923 1823 1733 1643 1563456342033883358333033043280325732363216319736753620356935213477343433953357332132873254

1,70

327734333417340233883375336433533343333333253316

1,75

3 43235973 58 135663 552353935283 5 1 73507349734893480

3624 B71735893557352734993474345034273 40633873 36S

1117.371737173698

3717371736993 672364636233600358035603542

HÉ371737173717

3654 37173 6 1 2 371735733536350234693437

37173717

1,80

3592371737173 717"37173 707369536853674366536563 64837173717371737173717371737173717

3J71737173 7173717371737173717 ;3717371737173717

3684 1 37173 6523521

37173717

Vu

0,20

0,25

0,30

YN1,001,051.101,151,201,251,301,351,401,451,501.00

1,051,101,151,201.251,301,351,401,451,501,001,051,101,151,201,251,301,351,401,451,50

1,35

29032818273326492563247223732 2 5 1

3166306729672 865275826412497

3440333432283 1193004287827282431

1,40

3070298829092830275226742592250624102290

33323 2373 142304729502849273926102411

36043501339932953 1893077295428082552

1,45

32373 1593083300829362864279227202645256524783 5003406331632263 13530442950284927352590

37173 67035703471337032683160304229042696

1,50

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YM

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1,60

_

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1,70

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37173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737171

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1,80

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104 ]u pour Fe E 500 . fc2g = 25 MPa ; 6 = 0,85 104 n,u pour Fe E 500 ; fc28 = 25 MPa ; 9 = 0,85 (suite du tableau)

Vu

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2577

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3717

3717

3717

3 717

3717

3717

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vu

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3717

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3717

3717

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3717

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3717

3717

3717

3717

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3717

3717

3717

3717

3717

3717

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3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

37173717

1,80

37173717371737173717371737173717371737173 6743717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717

104 |ulu pour Fe E 500 ; fc28 = 30 MPa ; 6 = 1,00 104 n,u pour Fe E 500 ; fc28 = 30 MPa ; 6 = 1,00 (suite du tableau)

vu

0

0,05

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3717 37173715 37173 700 |~

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1,70

37173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717

jLZÎLl3717371737173717

1,75

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1,80

3717371737173717

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Vu

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0,30

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1 ,35

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28432696

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1,50

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YM

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1,65

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1,70

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1,75

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1,80

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104 n,u pour Fe E 500 ; fc28 = 30 MPa ; 9 = 0,90

Vu

0

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1,05

1,10

1,15

1,20

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1,00

1,05

1,10

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1,35

1,40

1,45

1,50

1,00

1,05

1,10

1,15

1,20

1,25

1,30

1,35

1,40

1,45

1,50

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2454

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2655

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2622

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2585

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2848

2835

2823

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2802

2793

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2829

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2789

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3053

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2914

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2933

29252 9 1 8

3 154

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3093

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2997

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3 140

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3064

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3717

3717

3717

3717

3717

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3685

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3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

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3675

1,75

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3717

3717

3717

3717

; 3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

1,80

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

104 n,u pour Fe E 500 ; fc28 = 30 MPa ; 0 = 0,90 (suite du tableau)

vu

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2966

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3717

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3717

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3717

3700

3620

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3717

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3717

3717

3717

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3717

3717

3717

3717

1,70

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

1,75

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3 717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

1.80

3717

3717

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3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

JLZIL37173717

LlZiL3717

104 pour Fe E 500 . f^ _ 30 MPa . 0 = o,85

vu

0

0,05

0,10

0,15

YN

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1 .35

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1,40

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1,45

25982692267726642652264126312622261326052597259028192787275727292703267826562 63426142 595257729862934288428372792274927082668263025932 557

1,50

27352838282328102798278727772768275927512743273629732941291228842 8592 835281327922773275427373 1463095304730012958291728782841280627712738

YM

1,55

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1,60

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1,65

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1,70

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1,75

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77

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104 n,u pour Fe E 500 ; fc28 = 30 MPa ; 9 = 0,85 (suite du tableau)

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104 nlu pour Fe E 500 ; fc28 = 35 MPa ; 0 = 1,00 104 n,u pour Fe E 500 ; fc2g = 35 MPa ; 6 = 1,00 (suite du tableau)

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3537

35193502

3486

34713 457

3717

3717 1

3717J_3 69 1

36563624

3594

3566

3539

3513

3489

1,65

3577

3690

36783667

3656

3647

3638

3630

3622

361536093 602

371737173717371737173 7 1 4

3696

3679

3663

3 6 4 9 J

3J>35

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

37Ï7 |

3 7 1 7 lï 701

3677 1

1,70

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

37 17

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

TTÏTJ371737173717371737173717371737173717

1,75

3717371737173717371737173717

J 3 7 1 7

37173717371737173717371737173717371737173717371737173717

T7Ï7J3717371737173717371737173717_[mil371737173717

1,80

3717

4-1Z1LÎTTrTjTTTr

37173717

JJ7173717

sTirT>T7Ï7~

3717TTÏT""371737173717

TTIT"371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717

104 ji,u pour Fe E 500 ; fc28 = 35 MPa ; 9 - 0,90 (suite du tableau)

Vu

0,20

0,25

0,30

YN1,001,051,101,151,201,251,301,351,401,451,501,001,051,101,151,201,251,301,351,401,451,501,001,051,101,151,201,251,301,351,401,451,50

1,35

3 10030312963

2897

2832

2766

2700

26312558

2476

2374

3301321531303043

3953

2857

27492610

3525

3429

3332

3232

312630082861

1,40

327732113 1483 08'3027

2969

29112853

2796

2737

2676

3478

3397

33173237

3 1573076

29912900

2796

2657

3699

3607

35163424

3330

3230

31212994

1,45

3454339133313273

32173 16431113060

30102960

29103655

3577

3502

3427

3354

32813208

31333055

29712 S77

371737173699

3 6 1 3

3526

3438

33463247

3 137

2998

1,50

36323571

3513

3458

3405

3355

33063259

3213

3 169

3 125

3717

3717

i 686

3615

3547

3480

3414

33473281

3213

3 144

3717

3717

3717

HÏ717

L 3717

3638

3559

347233843 288

3 180

YM

1,55 |

3717 |

3717

3696 [

3643

35933545

3499

3455

3412

3371

3331

3717

3717

3717371737173 67536143554

3494

3435

3 3763717371737173717

1 3717! 3717

3717

3 684

3608

3529

3446

1,60

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3~690

3649

36083570

3533

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3701

3647

3 595

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3 682

1,65

3717

3717 1

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717i 7|7;

3 717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

j 3717

1,70

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

3717

37173717371737173717371737173717371737173717

1,75

3717371737173717371737173717371737173717371737173 71737173717371737173717371737173717371737173717

J 3 7 1 7

37173717371737173717371737173717

1,80

3717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717

JUIL371737173717

LÂliZ_JjTTTr

37173717371737173717

(*) : la valeur numérique trouvée dans ce cas pour p.lu n'excède pas nsl.

104 ji,u pour Fe E 500 ; fc28 = 35 MPa ; 0 = 0,85

vu

0

0,05

0,10

0,15

TN

1,001,051,101,151,201,251,301,351,401,451,501,001,051,101,151,201,251,301,351,401,451,501,001,051,101,151,201,251,301,351,401,451,50

1,35

248825542541252925192509250024912483247624692463264726172590256425402518249724772 458

2441242427772726267826332589254625052466242723882351

1,40

2626270026882676266526562647263826302623261626102802277327462721269826762656263726192602258629402891284628022761272226842648261325792546

1,45

2766284928362825281428042795278727792772276527592959293029042879285728362816279727802764274831023055301229702931289428582825279227612732

1,50

2909299929862975296429552946293729302922291629093116308830623038301629952976295829412925291032653220317731373 100306430312999296829392911

TM

1,55

30543 1513 1383 1273 1163 10730983089308230753068306232753247322231983 1763 1563 1373 1203 1033087307334293385334333053268323432023 171314231153089

1,60

3201330532923281327132613252324432363229322232163435340833833360333833183300328232663251323635943550351034733437340433733344331632893264

1,65

33503461344934373427341734083400339333853379337335973570354535233501348234633446343034153401

3717 13717-6^8

36423607357535453516348934643440

1,70

350336203607359635863576356735593551354435383532

371036883667364736293613359735823 56837173717371737173717371737173690366436393616 1

1,75

3 658

3717| 37171 3717

3717{TTÏT"

37173 7 1 73 7 1 33706369936933717371737173717

l ~ 3 7 1 737173717371737173717371737173717

JJTL[JJTJ-ft3717T7_T

3717l3717371737173717

1,80

, 371737173717371737173717

j 371737173717

3717

LlZlL3717

j_3 717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717

104 nlu pour Fe E 500 ; fc28 = 35 MPa ; 0 = 0,85 (suite du tableau)

Vu

0,20

0,25

0,30

YN1,001,051 . 1 0

1,151,201,251,301,351,401.451,501,001,051,101.151.201,251,301,351,401,451,501.001.051,101,151,201,251,301,351,401,451,50

1.35

2950287828082 73926692598252324412 3442186

3 15930722 985

2895280026952567

339032953 1993098299028662698

1,40

3 115304829832919285627932 73 1

267026012530245033243 242

3 160307829952908281527082563

35513460336932763 180307729602811

1,45

328132163 1543094303629792924286828132757270034883410333332563 1803 104302529432853274825973 7 1 2362535383451336332723175306829392683

1,50

34463384332532683 2 1 33 160310930593010296229143653357735043432336132913221315030773001

29183717

3707362435423 45933733284318730762929

YM

1,55

3612355234953 44 1

33893339329132443 199315531123 7 , 73 7 , 73675360635403474341033463282. ^ 2 1 83 15237173717371737173717364235643484340233163221

1,60

3717371736653 6 1 33 5633 5 1 6347034263 384

33433 304

37173717371737173 7 , 73 65535953536347834213 36337173717371737173717371737173 677360435303452

1,65

371737173717371737173 6923 6493 6073567352934923717371737173717

!

°717717717717669

3617356537173717371737173717371737173717371737173 665

1,70

3717371737173717371737173717371737173 7 1 33 6783717371737173717371737173 7 1 7371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717

1,75

3717371737173717371737173717371737173717371737173 7 1 737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173717

1,80

3717371737173717371737173717371737173717371737173717371737173 7 1 737173 7 1 73 7 1 737173717371737173717371737173717371737173717371737173717

NOTATIONS-SYMBOLES

1. NOTATIONS

I X Icf.CsteO.K.

n

2 Akk = l

valeur absolue de X,confer (comparez),valeur constante,vérification assurée,

= Al + A2 + ... +An ,

implique,équivalent à,très inférieur à,très supérieur à,comparé à,pas inférieur (pas supérieur) à,approximativement égal à,différent de.

2. SYMBOLES

Les symboles et notations utilisés dans la partie relative au béton armé de cet ouvrage sontconformes aux symboles et notations utilisés dans les Règles BAEL 91.

Néanmoins, pour plus de clarté, d'autres notations sont apparues nécessaires, le symbolis-me adopté alors respecte les principes de notations de ces Règles.

2.1. MAJUSCULES ROMAINES

AA'Ai

Amax>A.N.

section d'aciers,section d'aciers comprimés,armatures inférieures,sections d'aciers maximale et minimale,axe neutre,

armatures supérieures,section d'aciers pour l'état-limite de service,section d'un cours d'armatures transversales ou d'armatures d'âme,

î section d'aciers pour l'état-limite ultime,aire de béton,section réduite d'un poteau,section homogène totale,état-limite de service,état-limite ultime,

module d'élasticité de l'acier,

résultante des efforts de compression dans le béton,résultante des efforts de compression dans le béton et les acierscomprimés,

effort de traction dans une armature,action permanente,

actions permanentes défavorables,actions permanentes favorables,moment d'inertie,

moment d'inertie de la section totale homogène,moment d'inertie de la section réduite homogène,pente du diagramme de Navier à l'E.L.S.,rigidité d'une travée,coefficients,

moment fléchissant :

M > 0 lorsque la fibre inférieure d'une poutre horizontale est tendue,M < 0 dans le cas contraire,moment sur appui,

moment fléchissant limite à l'E.L.U.,moment résistant béton,moment fléchissant à l'E.L.S.,moment fléchissant en travée,

moment de référence d'une section en T à l'E.L.S.,moment de référence d'une section en T à l'E.L.U.,moment fléchissant à l'E.L.U.,

MUGO (MserGo) moment ultime (de service) au centre de gravité de la section de bétonseul,

M0 moment fléchissant de la travée de référence,M0x moment fléchissant au centre d'un panneau de dalle articulé pour une

bande de largeur unité parallèle à 1K,

M0y

A,Au

B

Br

B0

E.L.S.E.L.U.

ES

Fbc

Fbsc

GG

G

I

I,

I I

K

M

M

Mlu

Mrb

MserMt

MTser

MTu

M

N

NUN,

0,QiT

V

vuvu0

'Ou

moment fléchissant au centre d'un panneau de dalle articulé pour unebande de largeur unité parallèle à /y,

effort normal :N > 0 pour une compression,N < 0 pour une traction,effort normal de service,effort normal ultime,charge critique ultime de calcul (flambement),charge concentrée appliquée (E.L.U. ou E.L.S.),charge concentrée appliquée à l'E.L.S.,charge concentrée appliquée à l'E.L.U.,charge d'exploitation variable dans les bâtiments,action variable d'accompagnement,action variable de base,couple de torsion,effort tranchant,effort tranchant à l'E.L.U.,effort tranchant à l'E.L.U. réduit pour transmission directe de charges à

l'appui,effort tranchant pour une bande de dalle parallèle à /x,effort tranchant pour une bande de dalle parallèle à ly,effort tranchant sur appui de la travée de référence,effort tranchant sur appui de la travée de référence à l'E.L.U.

2.2. MINUSCULES ROMAINES

ah

bb0

b,c ou c

s

plus petite dimension d'une section transversale,longueur d'appui de la bielle d'about,abscisse d'une charge concentrée depuis l'appui considéré,dimensions en plan d'un poteau,rectangle d'impact d'une charge concentrée au niveau du feuillet moyend'une dalle,

rectangle d'impact d'une charge concentrée à la surface d'une dalle,largeur d'une table de compression,largeur d'une section rectangulaire ou de la nervure d'une section en T,épaisseur d'une section creuse en torsion,largeur d'une aile de section en T,enrobage des armatures,plus grosse dimension du granulat,

dd'e

eie2

f

fbu

fcj

fc28

fe

fed

hh

o

/'on

PPser

Pu

S,

hauteur utile d'une section,distance des aciers comprimés à la fibre de béton la plus comprimée,distance minimale d'une armature au parement de béton le plus proche,excentricité,excentricité additionnelle,

distance libre horizontale entre deux barres (ou groupes de barres),distance horizontale entre axes de deux barres (ou groupes de barres),excentricité par rapport au centre de gravité du béton seul ouexcentricité structurale,excentricité du premier ordre,excentricité du second ordre,flèche,

résistance de calcul du béton en compression à l'E.L.U.,résistance caractéristique du béton à la compression à j jours d'âge,résistance caractéristique du béton à la compression à 28 jours d'âge,limite d'élasticité de l'acier,

résistance de calcul des aciers à l'E.L.U.,

résistance conventionnelle à la traction du béton à j jours d'âge,résistance conventionnelle à la traction du béton à 28 jours d'âge,hauteur totale d'une section,hauteur d'une table de compression,épaisseur d'une dalle,rayon de giration,

portée fictive d'une travée (méthode Caquot),longueur d'ancrage,longueur de flambement,portée de la travée i,longueur de recouvrement,longueur de scellement droit,distance entre nus de deux nervures parallèles,longueur libre d'une pièce,

distance du nu d'appui au point où l'effort tranchant s'annule,longueur fictive pour répartir les armatures d'âme,15 = coefficient d'équivalence,

charge uniformément répartie (E.L.U. ou E.L.S.),charge uniformément répartie à l'E.L.S.,charge uniformément répartie à l'E.L.U.,

espacement des cours d'armatures transversales ou d'armatures d'âme,espacement initial calculé des cours d'armatures d'âme,

stl espacement initial retenu des cours d'armatures d'âme,uc périmètre du rectangle d'impact au niveau du feuillet moyen,v distance du centre de gravité d'une section à la fibre la plus tendue,v' distance du centre de gravité d'une section à la fibre la plus comprimée,y ou yu distance de l'A.N. à la fibre la plus comprimée d'une section à l'E.L.U.

(yj à l'E.L.S.),z bras de levier du couple des forces internes,zb bras de levier de l'effort de compression du béton par rapport aux aciers

tendus. , ,. . • ; : ; . ' : , . , vï>

2.3. MAJUSCULES OU MINUSCULES GRECQUES

a profondeur réduite de l'axe neutre à l'E.L.U. (cti à l'E.L.S.),inclinaison des armatures d'âme,rapport des longueurs des côtés d'une dalle rectangulaire,rapport sans dimensions (de moments, de charges, etc.),

P coefficient de flambement des poteaux, ,y ou YM rapport du moment ultime au moment de service, ^yN rapport de l'effort normal ultime à l'effort normal de service, .Yt, coefficient partiel de sécurité pour le béton,Ys coefficient partiel de sécurité pour les aciers,ô' distance réduite des aciers comprimés à la fibre de béton la plus compri-

mée (S' = d'/d),

ebc raccourcissement relatif maximal du béton comprimé,es allongement relatif des aciers tendus, . . u .esc raccourcissement relatif des aciers comprimés,esl allongement relatif des aciers tendus lorsque leur contrainte atteint la

résistance de calcul (fe/Ys),

(p coefficient de fluage, « f 'Vr) coefficient de fissuration, ; ,0 coefficient prenant en compte la durée d'application des charges,

angle au centre d'une partie courbe de barre, ' MA, élancement géométrique,\i coefficient de frottement acier/béton, !

IJ.AB (H,BC ) moment fléchissant réduit correspondant à un diagramme de déforma-tions passant par les pivots A et B (par les pivots B et C) à l'E.L.U.,

(j.bu moment fléchissant agissant réduit à l'E.L.U.,(1BO moment réduit de référence en flexion composée correspondant à une

déformation nulle des aciers tendus,H,,, moment fléchissant limite réduit à l'E.L.U.,

Mrb

V

O,

°seTlim

TS

tsu

^^uV

TUT

Vs

Q

moment résistant béton réduit à l'E.L.S.,coefficient de Poisson ; effort normal réduit,contrainte de compression du béton,

contrainte limite du béton comprimé à l'E.L.S.,

contrainte de traction de l'acier,

contrainte limite des aciers tendus à l'E.L.S.,

contrainte de compression des aciers,contrainte de compression équivalente des aciers comprimés (E.L.U.),contrainte de traction équivalente des aciers tendus (E.L.U.),contrainte tangente limite,contrainte d'adhérence moyenne,contrainte d'adhérence limite,contrainte tangente conventionnelle,contrainte tangente due à Vu,contrainte tangente due à Tu,diamètre d'une barre d'acier,diamètre d'une barre d'acier longitudinale,diamètre d'une barre d'acier pour armatures d'âme,diamètre minimal des barres réalisant une section d'acier comprimée,coefficients pour calcul des ancrages courbes,coefficient de scellement,valeur de combinaison d'une action variable,valeur fréquente d'une action variable,valeur quasi permanente d'une action variable,aire limitée par la ligne moyenne à mi-épaisseur des parois d'une sectioncreuse.

2.4. AUTRES INDICES ET EXPOSANTS

Aux indices précédents, on peut adjoindre les symboles suivants :

M, N, V relatif à un moment, un effort normal, un effort tranchant,pour les efforts à gauche ou à droite,pour un appui i ou une travée i,pour le sens parallèle à un axe repéré x,pour le sens parallèle à un axe repéré y,pour un maximum,pour un minimum.

Le surlignage est utilisé pour distinguer les quantités limites à l'état-limite de service.

w ou eixymaxmin

RÉFÉRENCESBIBLIOGRAPHIQUES

CHAPITRE 1 - NOTIONS DE RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX

M. ALBIGES et A. COIN, Résistance des Matériaux appliquée, Eyrolles, 1986,

J. Roux, Résistance des Matériaux par la pratique, Eyrolles, 1995.

CHAPITRE 2 - GÉNÉRALITÉS

Norme NFP 06-001 de juin 1986,

Fascicule 61 - titre II du C.C.T.G. - Conception, calcul et épreuves des ouvrages d'art,

Livret 2.01 du CPC. de la SNCF,

Règles NV65 modifiées 1999 et N84 modifiées 2000, Eyrolles, 2001.

CHAPITRES 2 À 14

Règles BAEL 91 modifiées 99, Eyrolles, 2001.

J. PERCHAT, Cours de béton armé, polycopié du CHEC, 1996, non publié.

J. PERCHAT et J. Roux : Maîtrise du BAEL 91 et des DTU associés, Eyrolles, 1998.

CHAPITRE 11 - FLAMBEMENT

P. FAESSEL, J.-R. ROBINSON et A. MORISSET : Tables d'états-limites ultimes des poteaux enbéton armé, Eyrolles, 1971.

A. CAPRA et D. DAVIDOVICI, Guide pratique d'utilisation des Règles BAEL 80, Eyrolles.

CHAPITRE 13 - DALLES RECTANGULAIRES

Abaques de l'Inspecteur général PIGEAUD, document ACHEC.

P. LHEUREUX, Calcul des plaques rectangulaires minces au moyen des abaquesde M. l'Inspecteur Général PIGEAUD, Gauthier-Villars.

CHAPITRE 14 - DESCENTE DE CHARGES

Norme NF P 06-001 de juin 1986,Fascicule 61 - titre II du C.C.T.G. - Conception, calcul et épreuves des ouvrages d'art.

PratiqueBAEL9LMémento|ean PERCHAT • Jean ROUX

MatériauxCombinaisons d'actionsAdhérenceHypothèses et données pour le calculfraction simpleCompression réputée « centrée »Flexion simpleEffort tranchantFlexion composéeRépartition des armaturesle long d'une poutreTorsionPoutres de planchersDalles rectangulaires sur appuis continus

'ol les 2002ne peut être

• livre.

EYROLLES•

Les valeurs numériques du présent mémento supposent :- que le béton est tel que 25 < fc2g ^ 40 MPa- que l'acier est à haute adhérence, avec fe = 500 MPa.

1.1. Terminolog

Actions : Forces appliquées à une construction, directement (charges per-manentes ou charges d'exploitation par exemple) ou résultant de défor-mations imposées (variations thermo-hygrométriques par exemple). Ellespeuvent être permanentes, variables ou accidentelles.

Sollicitations : Effort normal N, effort tranchant V, moment de flexion M,couple de torsion T.

État-limite : Tout état d'une structure (ou d'une partie de celle-ci) au-delàduquel elle cesse de remplir les fonctions, ou ne satisfait plus aux condi-tions, pour lesquelles elle a été conçue. On distingue :- les états-limites ultimes (ELU) correspondant à la ruine de l'ouvrage ou del'un de ses éléments par perte d'équilibre statique, rupture, flambement, etc.- les états-limites de service (ELS) au-delà desquels ne sont plus satis-faites les conditions normales d'exploitation et de durabilité : ouvertureexcessive des fissures, compression excessive du béton, déformationsexcessives des éléments, etc.

Les propriétés de chacun des matériaux constitutifs de la structure sontminorées par un coefficient partiel de sécurité jm qui dépend du matériauet de l'état-limite considéré.

Chaque action individuelle est affectée d'un coefficient de sécuritépartiel YQ qui dépend de la nature de l'action, de la combinaison danslaquelle elle intervient et de l'état-limite considéré.

À chaque combinaison d'actions affectées de leur coefficient YQ res-pectif, correspond une sollicitation agissante de calcul S obtenue par uneméthode de calcul des structures (RdM par ex.). Pour chaque état-limite,il existe une sollicitation résistante de calcul S obtenue par une méthodede calcul des sections (voir 5), en supposant que l'un des matériaux consi-tutifs a atteint une certaine déformation limite (cas de l'état-limite ultime)ou une certaine contrainte limite (cas des états-limites de service).

Pour chaque état-limite et pour le cas de charge le plus défavorablesous la combinaison d'actions considérée, on doit vérifier que S < S.

2.1. Aciers

TABLEAU I - Gamme des diamètres nominaux (mm).

3 3,5 4 4,5 5 5,5

Barres HA -»

6

•

7 8

•

9 10 12 14 16 20 25 32 40

<- Treillis soudés HA

Les produits les plus courants sont les barres HA Fe E 500 et les treillissoudés TSHA 500 de limite d'élasticité fe = 500 MPa.

• Diagramme contraintes-déformations idéalisé :

°s YS = 1 diagramme caractéristiqueYS = 1,15 diagramme de calcul

à l'ELU

ArctgEs(Es = 2.105MPa)

10%o Es Fig. 1

2.2. Béton

Le béton est défini par la valeur caractéristique requise ou spécifiée(fc28) de sa résistance à la compression à 28 jours, à laquelle est associéeune valeur conventionnelle de sa résistance à la traction (f(28).

TABLEAU II - Valeurs courantes de fc28 et f,2g (MPa).

fc28f,28

252,1

302,4

35

2,7

40

3,0

1 Modules de déformation longitudinale- instantanée : E; = 11 OC- à long terme : Ev = Ej/3- instantanée : E, = 11 000 fc28

1/3 (MPa)

G charges permanentes (poids des cloisons et revêtements inclus).QB charges d'exploitation (cf. norme NF P 06-001)W, Sn actions du vent' et de la neige, respectivement.

Le tableau III donne les coefficients à appliquer aux actions pour for-mer les différentes combinaisons à prendre en compte dans le calcul despoutres de planchers et des poteaux d'ossatures calculés en portiques (lechiffre 0 correspond à l'absence d'action).

TABLEAU III

ELU

ELS

(1)(2)

(3)(4)(5)(6)

(7)(8)(9)

Gtoutes travées

1,351

1,351,35

Çtravées chargées

1,51,5

1,51 ou 1,3 (*)

1,51 ou 1,3 (*)

11

0,77 ou 1 (**)

B

déchargées

00

0000

000

Wou Sn

00

11.51

1,5

00,77

1

(*) 1,3 si salles de spectacles, entrepôts, archives. (**) 1 pour les mêmes locaux.

1 A l'ELU, W = 1,2 V65 avec V65 = vent « normal » des Règles NV 65.À l'ELS, W = V65 (cf. annexe D des Règles BAEL).

. Enrobages minimaux et distances entre barres (fig.

Pour des granulats roulés de dimen-sion maximale c = 25 mm :5 cm > c (ou ct) > Max [1 cm ; <j> (ou <|>t)]

ev > Max [((> ; 2,5 cm]

mais il est permis d'avoir deux barressuperposées ;

eh > Max [<(> ; 4 cm].

4.21. Ancrages droits

m barres

Fig. 2

Longueur de scellement droit €s (fig. 3) :

rar

4 T

avec :ft28-Fig. 3

Remarque : Si Aréel > Acalcujé, substituer à €s la longueur d'ancrage

€a = Max'" Acal

4.22. Ancrages par crochet normal (fig. 4)

Substituer à €s la longueurd'ancrage €a avec

€a = 0,4 €s. 12

nt

4.31. Barres tendues

Pour un entre-axes de barres c < 5<(> (fig. 5) prendre :

* - barres droites : €r = €s, voir pT|- barres munies d'ancrages parcrochet normal : €r = €a, voir [2].Si c > 5<j) prendre, selon le cas,

C =

plan Fig. 5Des armatures de couture sont normalement nécessaires. Exception :

poutres dans lesquelles la proportion de barres arrêtées ne dépasse pas 1/4dans toute zone de longueur (s.

4

Lorsque des armatures decouture sont nécessaires (fig.6), elles sont telles que :

— kstavec :At section totale des brins

d'une nappe des arma-tures de couture traver-sant le plan P

st équidistance des nappes

m barres(ici m = 4 ; A, = aire de 6 brins)

ft28

Dans le cas de recouvrements avec crochets normaux, les plans desancrages doivent être cousus par des armatures de section au moins égaleà la moitié de celle obtenue par la formule [U.

4.32. Barres comprimées en permanence

Prévoir toujours des ancrages droits, avec :- cas général (si entre-axes des barres < 5<j>) : €r = 0,6 £s 0]- barres soumises à des chocs ou à des vibrations : <?r = €s.

Pour €s : voir formule pi~| en 4.21.Pour les armatures de couture, voir 7.23, fig. 13.

Les hypothèses générales sont celles utilisées en Résistance desMatériaux dans la théorie des poutres.

1. Hypothèses de base : conservation des sections planes ; absence de glisse-ment entre acier et béton ; non prise en compte du béton tendu ; loi de Hookeo = E e, et introduction du coefficient d'équivalence acier-béton n = 15.2. État-limite de compression du béton : la contrainte de compression dubéton en service obc est limitée à o~bc = 0,6 fc2g.3. État-limite d'ouverture des fissures : la contrainte de traction de l'acieren service os est limitée, pour 25 < fc28 < 40 MPa, cf. page 2 :- en cas de fissuration préjudiciable (intempéries, condensations) à :

ôs = 250 MPa [|]- en cas de fissuration très préjudiciable (atmosphère agressive, étanchéi-

té) à : ô=s = 200 MPa \ë\

5.2. États-limites ultimes de résistance sous normales

On suppose ici que les effets du second ordre (influence des déforma-tions sur les sollicitations) peuvent être négligés.

5.21. Hypothèses fondamentales

1. Hypothèses de base : conservation des sections planes ; absence de glis-sement entre acier et béton ; non prise en compte du béton tendu.

2. Déformations relatives limites :- de l'acier le plus tendu : 10 • 10" 3

- du béton comprimé par flexion : 3,5 • 10" 3

par compression simple : 2 • 10 .3. Règle « des trois pivots » : pour dimensionner à l'état-limite ultime, onadmet que le diagramme des déformations passe par l'un des trois pivotsA, B et C définis figure 7 ; le pivot C correspond à une section entièrementcomprimée.

Allongements Raccourcissements

État de "*"tractionsimple

h

État decompressionsimple |

Fig.7

5.22. Diagrammes contraintes-déformations de calcul

1. Acier : se reporter à la figure 1 ; on pose fed = —, Ys = 1>15 en général.2. Béton : le diagramme de calcul normaldu béton est le diagramme parabole-rectangle, mais en pratique, lorsqueles pivots sont soit A soit B, on peut substituer à ce diagramme un dia-gramme rectangulaire équivalent de hauteur 0,8 y (y, hauteur de l'axe

neutre) et de largeur fbu = 0,85-^ avec yb = 1,5 en général, et"Yb

0 = 1 si la combinaison d'actions considérée a une durée d'applica-tion supérieure à 24 h.

6 = 0,9 si cette durée est comprise entre 1 h et 24 h.9 = 0,85 si cette durée est inférieure à 1 h.

Les valeurs numériques des paragraphes 8 et 10 correspondent àl'adoption de ce diagramme rectangulaire.

5.3. Procédure de calcul

- Fissuration peu préjudiciable : dimensionnement par l'ELU.- Fissuration préjudiciable ou très préjudiciable : dimensionnement parl'ELS.

N effort normal detraction (Nu ou Nser)

B aire de la sectiondroite de l'élément(fig. 8).

N •*

Fig. 8

Germination i

Données : NU et Nser, B, fe, f(28

Inconnue : Section A d'acier tendu (m barres de diamètre• fissuration peu préjudiciable (unités : m2, MN, MPa) :

ed1 fissuration préjudiciable ou très préjudiciable (m2, MN, MPa) :

A = Max .Bf t28]

«me

Ôs fe J ^

Pour os, voir [s] ou [ej selon le cas.De A, on déduit §f (> 6 mm en cas de fissuration préjudiciable ;

> 8 mm en cas de fissuration très préjudiciable) et m ; ajouter éventuelle-ment des barres supplémentaires pour rétablir la continuité au droit descoupures des barres principales (voir 6.3).

natures)

Données : NU et Nser, fe, f,28

Inconnues : A et B.1. Pour A, voir 6.1 formule [Y] ou formule [ëj, premier terme.2. Choisir B de manière à :- satisfaire la condition de non-fragilité : B < A fe/f(28

- assurer l'enrobage des armatures,- loger l'ensemble des m barres nécessaires à l'équilibre compte tenu desrecouvrements éventuels ou des barres couvre-joints éventuellementnécessaires (voir 6.3).

6.3. Vérification des contraintes

Données : Nser, B, diamètre §f desarmatures longitudinales, nombre m = 4total m de barres, ôs, voir [5] ou

Inconnue : os en service, à com-parer à os.

m - p = 2 barres utiles seulement

Fig. 9

Nse (MPa, MN, m2)

avec :

A = (m - p) — - (qui doit être supérieur à B ft2g/fe)

p, nombre de coupures éventuelles rencontrées dans toute zone de lon-gueur égale à €s (cf. figure 9) (p peut être nul) ; pour €s, voir formule \T\.

a/ Diamètre <j>( : de préférenceb/ Espacement st

- en zone courante : s, < a (petit côté de la section) ;- dans une zone de recouvrement : voir 4.31, formule |"3"|.

Sont considérés dans ce cas les poteaux de bâtiment :a/ soumis à des moments non pris en compte dans la justification des élé-ments qui leur sont liés, et tels que eQ < h/12 (voir § 10).b/ dans lesquels l'excentricité due à un défaut de rectitude estea < Max (1 cm ; €7500) ; i, voir fig. 12.Nu effort de compression à l'état-limite ultime (le plus souvent :

Nu = 1,35 G + 1,5 QB avec G charges permanentes, QB chargesvariables d'exploitation, après dégression éventuelle ; voir normeNFP 06-001).

A aire de la section totale de celles des armatures longitudinales(diam. §() qui sont maintenues par des armatures transversales espa-cées d'au plus 15 fyf.

AB aire de la section droite

du poteau,longueur du poteau.

Expression générale : X = i/\avec i = -/T/B, rayon de giration de la section droite sans armatures.

€f = k€ longueur de flambement ; k dépend des liaisons aux extré-mités du poteau :

( ou

/////// ° //À

k = 2 T^TFig. 1 1

: ik=^= k =

Va

w12

Pour des poteaux d'ossature (s'ils nejouent aucun rôle de contreventement), onconsidère les raideurs (K = I/€) du poteauet des poutres qui le traversent (fig. 12) :• Si K2 ^ K] et, en étage courant si K3 > Kjou, en sous-sol, si encastrement dans lafondation : k = 0,7 ;• Si ces conditions ne sont pas remplies :

k = l .Pour un poteau rectangulaire ab, il faut

calculer les longueurs de flambement €fa et€ft dans chacune des directions a et b, etprendre :

Fig. 12

Poteau

Plancher

b J

7.2. Détermination des armatures

7.21. Armatures longitudinales

Données : Nu, B, fc2g, fe et € (d'où €f = k€, cf. 7.1).Inconnue : A.

^ ~ 0 85f ^u g 9 ma's vo'r E3 (unités m2, MN, MPa).

section réduite en retirant 1 cm d'épaisseur sur toute la périphérie dupoteau. [Ex. : pour un poteau rectangulaire ab :

Br=(a-0,02)(b-0,02) (m2,m)]

P = l +0,2 — pour X<50

(3 = 0,851500

pour 50 < X < 70

(si plus de la moitié des charges est appliquée après 28 jours et avant90 jours, multiplier ces valeurs de (3 par 1,10).Il faut en outre (A et B en cm2) :

Max [4 cm2/m de périmètre ; 0,2B/100] < A < 5B/100 [TJSi A. > 35, seules sont à prendre en compte dans l'évaluation de A les

barres disposées de façon à augmenter le plus efficacement possible larigidité dans le plan de flambement.Remarque : Au-delà de X = 50 le dimensionnement par la formule [rf] estpeu économique. Un calcul au flambement est préférable.

7.22. Armatures transversales

1. Diamètre <j>( : (|>t < 12 mm avec (|>t

Tracé s'opposant à tout mouvement vers l'extérieur de toutes les barreslongitudinales constituant l'aire calculée (fig. 13).2. Espacement des différentes nappes : voir fig. 13.

7.23. Disposition des armatures

- fo max

•• rii

étrifir

* •

f «

ffT~»!

< Min [a + 10cm ;40cm]

s,<Min [15(()(mir,;40cm;a + 10cm](r : voir 4,32 formule [4"|

nappes

Fig. 13

7.3. Dimensionnement (coffrage et armatures) d'un poteau rectangulaire

Données : Nu, fc2g, t'e, C d'où t{ = kf (cf. S 7.1).Inconnues : côtés a, b (a < b) ; section A.

Le choix de X est libre (par exemple X = 35).

1 Coffrage (a et b) : a >3,5€f

(m,MN)A, a-0,02

avec \|/ = l,6/(fc28 + 6), fc28 en MPa et P par [Fg] ou [Ta].

• Armatures (A)a et b étant choisis, calculer A, réel par [K>| puis p par [Ta] ou |Ï3|, et déter-miner les armatures longitudinales par [TT] et [T^ et les armatures transver-sales selon § 7.22.

8.1. N

z (avec indices) bras delevier du couple des forcesinternes forces

M moment de flexion (Mu, de gaucheultime ; Mser, de service).

(effort tranchant)

M (moment de flexion)

Fig. 14

g. 23)8.21. Détermination des armaturesDonnées : Mu et Mser, bQ, d, d', fe, fc28 et si nécessaire os (voir 5.1.3 [s]ou [6]).Inconnues : A et, éventuellement, A' . Il faut toujours

8.210. Calculs préliminaires

a/ Pour l'ELU (fissuration peu préjudiciable) :Calculer y = Mu/Mser et, avec fc28 en MPa :

1 50 - 75 9y + 1 ,75 (2,5 - 0y)(fc28/e)

b/ Pour TELS (fissuration préjudiciable ou très préjudiciable) :Tirer du tableau IV ci-après la valeur de k correspondant aux données, etcalculer

Mrb = kb0d2 m

(unités : m, MNm)

TABLEAU IV

°s(MPa)

250

200

fc28 = 25 MPa

^i.Pi0,4740,842

0,5290.824

k

2,99

3,27

fc28 = 30 MPa

Ô,,Pl0,5190,827

0,5740,809

k

3,86

4,18

fc28 = 35MPa

OI.P!0,5580,814

0,6120,796

k

4,77

5,11

fc2g = 40 MPa

«l^Pl0,5900,803

0,6430,786

k

5,69

6,06

(Pi =l-Ôi/3)

10

8.211. Section rectangulaire sans aciers comprimés(unités : m, m2, MNm, MPa)

1. État-limite ultime

Calculer nbu = Mu/b0d2fbu avec fbu = 0,85 fc28/1,56

Si u,bu > n€u (voir § 8.210a), aller au § 8.212-1. Sinon :

• calculer zb = d (1 - 0,6 11, ) si u,bu < 0,275, ou zb = 0,5d(l + l-2nbu

sinon.

• prendre A =MuMu

zb-f e d 435 zb mais voir 1£

2. États-limites de serviceSi Mser > Mrb (voir § 8.210b), aller au § 8.212-2. Sinon :

Mser• calculer |is = — avec os obtenu en 5.1.3 ([s] ou

b0d

puis :

1 prendre

15 ,40uszb = — d —

A =

16 54u s +l

Mser

Zb, 'Os

8.212. Section rectangulaire avec aciers comprimés

On suppose A' inconnu a priori.1. État-limite ultime

u.bu > \i{u (voir § 8.210, § 8.211-1 et fig. 23)

•calculer: M€ u =|i€u -b 0d 2 fbu

mais voir

cl . =Min 9yf, (MPa)

1 prendre : A.=osœ(d-d')

A > M€U +A'^et

(fed = 435 MPa).2. États-limites de service

Mser > Mrb (voir § 8'210' § 8-2H-2 et fig. 23)

• tirer 04 et Pi du tableau IV, pour le cas considéré.

• calculer :

_ où ô<=f

• prendre :

cl A > =

osc(d-d')Mr(, . ,OS— -

Pl-dos

1 1

8.3. Section en T (flg. 16)

En général, les dimensions sont connues ou établies par expérience.b

Fig. 16 h

d

ho

8.31. Armature minimale

GO

A

bo

va

V'

V

• Si la table est du côté tendu :

A m i n = r'-r* avec z = d [0,97 - 0,04 b 0 / b] mz v te

• Si la table est du côté comprimé :

Amin = — avec z = d [0,97-0,04 b0/b] |26|z v 4

8.32. Détermination des armatures

a/ Si la table est du côté tendu, les formules du paragraphe 8.2 sont appli-cables, mais avec [25] au lieu de |ïs|.b/ Table du côté comprimé :Données : Mu (ou Mser), b, b0, d, h0, fe, fc28, ôs(voir 5.1.3 [5] ou [§]).Inconnue : A (on suppose A' = 0).

TABLEAU V

État-limite ultime

Calculer :

r ,u=bh 0 | d -^ | f b u

Mu < MTu : appliquer les formulesdu § 8.211-1, en substituant b à bQ,mais voir Ile].

Mu > MTu, calculer :

^M u -M T , u (b-b 0 ) /b

b0d2fb u

d'où zb (cf. §8.211-1)

M u - M T u ( b - b 0 ) / b

ed

+ (b-bo)hofbu |29| mais voir

États-limites de service

Calculer hn— d

M T s e r =— ^-bh2,1>se 30(d-h0) °

Mser < MTser : appliquer les for-mules du § 8.211-2, en substituant bà bQ mais voir ^6].

Mser>MT,ser :

A = - |30| mais voir |

Valeurs approchées de zb :

, hoZb, = d~y ou

zb| = 0,93 d ouzb = 0,99 d - 0,4 h0

8.4. Vérification des contraintes d'une section rectangulaire (fig. 17)

Données : bQ, d, Mser, A, A, fc2g, fe.Inconnues : obc et Os dues à Msep à comparer à Ôbc = 0,6 fc28 et cs

(voir 5.1.3 g]ou[f]).

0^=1^^^ et os=15Mser—^L

II ' l(m, m4, MNm, MPa) avec y^ racine de l'équation :

d -

A

bo

JAxe bny? T Tneutre M - ,, + l ; >A(yi d) + lDA(d y\)

S'il n'y a pas d'aciers comprimés, faire A'dans ces formules.

Fig. 17

= 0

"i On suppose que la poutre étudiée ne supporte que des charges uni-' formes. Les calculs se font à l'ELU. On pose :

Vumax effort tranchant maximal dans la section d'un nu d'appui| (résultant d'un calcul de RdM), .

Vu0 effort tranchant agissant dans la section à — h du nu d'appui,

Vu (< Vu0) effort tranchant agissant dans la section de calcul considérée

•• (d'abscisse supérieure à — h ) ,j 6

A( section d'une nappe d'armatures d'âme,s, espacement de ces nappes mesuré parallèlement à la ligne

J moyenne,fet limite d'élasticité des armatures d'âme (en principe,

500 MPa),TU contrainte tangente conventionnelle du béton ; pour une sec-

tion rectangulaire ou en T :

x u = — (MN,m,MPa).b0d

En particulier : TUQ = ——b0d

9.1. Vérification de la résistance d'une section courante

Cette vérification est sans objet lorsque toutes les sections droites sont1 entièrement comprimées et que :

T u 0 <Min — fc28 ; 1,5 MPa .

9.11. Vérification du béton

Pour les armatures d'âme « droites » (perpendiculaires à la lignemoyenne), il faut que Tu0 < Tlim avec (yb = 1,5 en général) :

13

- si la fissuration est peu préjudiciable :

- si la fissuration est préjudiciable ou très préjudiciable :

Yb

9.12. Détermination des armatures d'âme « droites » (fig. 18)

En règle générale, on choisit le diamètre <|>t des armatures d'âme et leurtracé, d'où la section At, et on en déduit st.En toute section, il faut (ys = 1,15 en général) :

At ^Y s bo(T u -0 .3kf t 2g)st ' 0,9fet

En particulier, l'espacement initial st0 s'obtient en introduisant TuQ

dans |34|. Dans cette expression :- en cas de reprise de bétonnage non traitée ou dans le cas de fissurationtrès préjudiciable : k = 0.

Fig. 18

.A,A,

2. Les armatures inférieures ou supérieures du hourdis qui traversent leplan de jonction doivent être totalement ancrées au-delà de ce plan, et véri-fier :

h0s t 'U5"T"

st espacement de ces armatures parallèlement à la ligne moyenne de lapoutre.

Fig. 19

Axe neutre

9.3. Effo

9.31. Appui simple d'aboutVu max effort tranchant au nu d'appui. Il faut (fig. 20) :

1 1 s v* ^ i, u v umax

- en dehors de ces cas :• en flexion simple, sans reprise de bétonnage ou avec reprise munie d'in-dentations de l'ordre de 5 mm de hauteur : k = 1.

Nu• en flexion composée avec compression : k = 1 + 3

• en flexion composée avec traction : k = 1 -10

Bfc28

Kni;c2X

(B, aire totale de la section transversale, Nu effort normal concomitant àvu).Conditions complémentaires• <)>t < Min [i!)f ; h/35 ; b(/10]

• (7 à 8 cm) < st < st = Min [0,9d ; 40 cm ; 15^min si A' * 0]

A,_ > 04bo (c

St fet

> MPa)

On applique la « règle des coutures :

1. TU = , avec b largeur totale de la table prise en compte0,9d-ho b

dans le calcul en flexion et b, largeur du débord (normalement (b - b0)/2,voir § 13.1), doit rester inférieure à T]im (§ 9.11, formules |32| et |33|).

14

a>Max3.75 Vu max .1 s (ancrage droit)

t>0 fC28 'fa (ancrage courbe)

a

> € s

I/ \

v bnv umax \^y^—Section A

2cm

a) Cas d

Nu d'appui

un ancrage droit.

.a

'

> € a

tvumax (g)| ^-Section A

2cm

b) Cas d

Nu d'appui

'un ancrage courbe.

9.32. Appui intermédiaireFig. 20

Si, sur appui, I Mu I < 0,9 Vu max • d, vérifier qu'au nu d'appui lesarmatures inférieures sont telles que :

A > - v u - (Mu avec son signe).

Cette section doit être totalement ancrée au-delà d'une section située à2 cm du nu d'appui (a > €s pour un ancrage droit ; a > €a pour un ancragecourbe, cf. § 4.2 et fig. 20).

15

forces de gauche -Fig. 21

Le système (N, MG) est équivalent à une force unique équipollente àN et appliquée en un point C (centre de pression) contenu dans le plan desymétrie. La réduction des forces peut être effectuée (fig. 22) :- soit au centre de gravité G0 du béton seul :

MQmoment MGO , excentricité CQ = G(jC =

( MGO est le moment de flexion fourni par les calculs de RdM)

- soit au centre de gravité A des armatures tendues (la position de celles-ci résultant du signe de MQ ) :

jyjmoment MA, excentricité ÇA = AC =

Si N est une compression (fig. 22a), C est à l'opposé de A par rapport àGO. Si N est une traction (fig. 22b), C est du même côté que A par rapport à

GO-C

- MGO

f AMA \

GOe0 SA

"T"

1G0 i

Aii

«0SA

Fig. 22a

/-MGO

^- MA/" AV "

N(-) C

Go

e0 eA

GO;A '

.iiC

eA Fig. 22b

10.1. Dimensionnement

10.10. Sollicitations de calcul dans le casde la flexion composée avec compression

1. Calculer et =eI Y , N ,

avec : y; et YJ coefficients partiels de sécurité relatifs aux diverses actionsdonnant naissance à N; et/ou à M;,-, ,

e = Max [2 cm ; €/250] avec €, longueur de l'élément.

2. Calculer €f = k • € (voir §7.1).3. Si €f/h > Max [15 ; 20ej/h] avec h, dimension de la section droite conte-nue dans le plan de flexion : il faut vérifier la pièce vis-à-vis de l'état-limite de stabilité de forme (flambement), problème non traité ici.4. Si €j/h < Max [15 ; 20e[/h], la pièce peut être calculée en flexion com-posée, sous les sollicitations ultimes :

MUG = N u ( e , +e2)

avec

[ où cp coefficient de fluage (= 2), et

MserGo(G)a = — -ê. (G et QB, voir §3).

REMARQUES IMPORTANTES1. ea et e2 n'ont à être pris en compte ni pour l'évaluation des sollicitationsde service, ni dans le cas de la flexion composée avec traction, pourlaquelle :

N u = l Y i N i , M u G o = £ Y j M j G o

2. La procédure simplifiée indiquée ci-dessus n'exclut pas la nécessitéd'une vérification éventuelle au flambement hors du plan de flexion.

10.11. Section rectangulaire

• 10.111. Section minimale des armatures tendues

Par convention, on désigne ici par (fig. 23) :A' la section des aciers les plus comprimés ou les moins tendus,A la section des aciers les plus tendus ou les moins comprimés.

Quel que soit le résultat des calculs effectués selon 10.112-1 et 10.112-2,et quel que soit l'état-limite déterminant pour le dimensionnement, il fautque l'on ait :

,b0df t 2 8 e-0,45d

fe.A>A m i n =0 ,23 -

fe e-0,185d

avec e = ( MserG()/Nser )max, considéré pource calcul comme ayant le même signe queNser Dans le cas de la flexion avec traction,

f1" • il faut, en outre :

A ' ^ A ' . _ b o h f t 2 8

.— A min ~

Fig. 23

16 17

10.112. Détermination des armatures (unités : m, m2, MN, MNm, MPa)

TABLEAU VI

État-limite ultime(fissuration peu préjudiciable)

0 - Calculs préliminaires

Nu avec son signe :

f+ compression

[— traction

b0d2fb u

f b u=0,85 fç281,56

1 - Section entièrement tendue

Nu est une traction.

MuA est de signe opposé à MUQ •

Plusieurs solutions sont possibles ;si A' et A sont tous deux inconnusa priori, prendre :

... |MUA| f =

" 1,15

fed

Vérifier |i et

2 - Section partiellement tendueavec A' inconnu a priori

Nu peut être une traction ou unecompression.MuA et MUGO sont de même signe.Dans ce qui suit, MuA est pris envaleur absolue.1. Si nb A < 0,48, il existe unenappe d'aciers tendus.Calculer par [Tel la valeur de |o, u,

en prenant y = —^~

1 Pour une détermination plus précisede |i^u, se reporter à l'annexe 3 de« Pratique du BAEL 91 ».

18

État-limite de service(fissuration préjudiciableou très préjudiciable)

0 - Calculs préliminaires

MSerA = MserGtl +Nser(d--

Nser avec son signe :

f+ compression

- traction

Pour os, voir 5.1.3 [T] ou |Vérifier [36] et [37].

a/ Si HbuA V-fuDes aciers comprimés sont néces-saires. Les déterminer par |2Ï], enremplaçant Mu par MuA.

ï Pour les aciers tendus :

/ - Section entièrement tendue

Nser est une traction.MserA est de siSne 0PPosé à MserG(1.Plusieurs solutions sont possibles ;si A" et A sont tous deux inconnus apriori, prendre :

^ |MserA|

ôs(d-d')

2 - Section partiellement tendueavec A' inconnu a priori

Nser peut être une traction ou unecompression.MserA et MserGn sont de mêmesigne.Dans ce qui suit, MserA est pris envaleur absolue.

1. Si MserA < 0,2 b0d2fc28, il existe

une nappe d'aciers tendus.Calculer par [ÏT| la valeur de Mrb.

A> —fed

+ A'c

M€u,z€, voir §8.212.1Nu avec son signe.Vérifier [36].

2. Si Hb A > 0,48, les deux nappesd'acier sont comprimées. Opérercomme en 3, ci-après.

3 - Section entièrement comprimée

On est dans ce cas si | buA > 0,493

^SiM s e r A<M r bA

• calculer |is =

T

puis zb| par [Te]

b0 d2 os

._ ' "K.A H• rt — _ I A> ser• prendre :

(Nser avec son signe)• vérifier [36].

b/SiM s e r A>M r b

Des aciers comprimés sont néces-saires. Les déterminer par [23], enremplaçant Mser par MserA.Pour les aciers tendus :

*è- NPr + A'Osc-Nser

Pi voir tableau IV.Nser avec son signe.Vérifier [36].

2. Si MserA > 0,2 b0d2fc28, les deux

nappes d'acier sont comprimées.Opérer comme en 3, ci-après.

3 - Section entièrement comprimée

On est dans ce cas si :MserA> 0,209 b0d

2fc28

Le calcul manuel étant complexe, il est préférable d'avoir recours auxabaques (pour l'état-limite ultime : « diagrammes d'interaction ») qui ontété établis pour des formes de section particulières, et des rapports A/A'fixés a priori.

10.12. Section en TOn suppose que A' = 0 (fig. 16) ; on n'envisage que le cas d'une sec-

ion partiellement comprimée, avec table du côté comprimé.» 10.121. Section minimale des armatures tendues

II faut

ft28 I e-v '+0,ldT z Bev-I

avec B aire de la section droiteI moment d'inertie de B par rapport à l'axe A (voir fig. 16 ainsi

que pour les autres notations)z = d [0,97 - 0,04 b0 /b]e est défini § 10.111.

19

10.122. Détermination des armatures tendues

TABLEAU VII

État-limite ultime États-limites de service

= MserG(| + Ns

avec MQ(] en valeur algébrique et va en valeur absolue.

Calculer MTu (formule |27|, tab. V)

LSiM u A <M T j U

Calculer MTser (formule g, tab. V)LSiM s e r A<MT j S e r

Appliquer les formules du § 10.112-2 en substituant b à bQ.

et si

M.,

2.SiM u A >M T i U

Appliquer les formules des § 10.112-0(en gardant bQ) et 10.112-2, mais ensubstituant à MuA et à Nu :

MuR = MuA - MT,u (b - bo)/b

(zb est donc à calculer en fonctionde : _ 2

Vérifier |38|.

2.SiMserA>MTjSer

SerG0> — si!

Bv,>0

I e0 l > v

(notations, cf. § 10.121 et fig. 16)prendre :

--N,Zb,

Pour zb , voir tableau V.

Vérifier g .

10.2. Vérification des contraintes

10.21. Section rectangulaire partiellement comprimée (fig. 24)

Nser est une compression, et MserA < Mserlim avec

M,ser lim "

ou bien Nser est une traction, avec Cextérieur aux armatures. Si, en outre

0,2 b0d9A'

- (d-d ' ) f .

la distance yc du centre de pression C àl'axe neutre (même signe que Nser) est

neutre mcine de :

yc3 + pyc + q = 0, avec,

dans le cas général, en posant c = d - eAi

serAoù eA =

Nser) :Nser

(même signe, donc, que

Fig. 24

20

. 2= -3c2-90 A'

bo

90 A

""biT

, ,(d-c)

bo

On a ensuite :obc = K (yc + c) à comparer à ôbc = 0,6 fc2g

os = 15K (d - yc - c) à comparer à os (cf. 5.1.3)

avec K = Nser yc/I, (MN, m, m4).

[. étant lui-même obtenu par la formule [âT] en y faisant :

y i = y c + c-

10.22. Section rectangulaire totalement comprimée

Nser est une compression et MserA > Mser lim selon [39].Les contraintes se calculent en appliquant les formules classiques

de la Résistance des Matériaux à la section totale rendue homogène avecn = 15 (le moment étant alors rapporté au centre de gravité G de cette sec-tion).

10.23. Section entièrement tendue

Nser est une traction et C est intérieur aux armatures.eA1 et eA2 étant les distances de C aux deux nappes d'armatures

A, = A et A2 = A' :

osi = —Nser CA2— (unités : m, m2, MN, MPa).Ai (e A 1 +e A 2 )

Pour os2, permuter les indices 1 et 2.

Il faut : Max(|osi ; os2|)<ôs (cf. 5.1.3 [s] ou [ëj).

11.1. Armatures longitudinales

Ayant tracé la courbe-enveloppe des moments de flexion (§ 13.43), ondétermine en toute section (travées, appuis) où le moment de flexion estmaximal en valeur absolue, l'aire Amax (diamètre et nombre de barres)équilibrant Mmax, avec un bras de levier dont la valeur particulière corres-pondante est désignée par ZQ à l'ELU (zj à TELS).

Le moment maximal que peut équilibrer un groupe de i barres, d'aireotale A- < A_,.v) arrêtées dans la même section droite, est supposé s'éta-

ITltlX rr

blir linéairement, sur une longueur égale à €s (barres droites) ou €a (barresmunies de crochets normaux) depuis 0 dans la section d'arrêt jusqu'à :

ou MJ = AJ Ôs Zj à TELS ( ôs , cf. 5. 1 .3 |J] ou [ëj).Pour €s et €a, voir 4.21 et 4.22.

• Tracé de l'épure d'arrêt des barresPrincipe : Le diagramme des moments admissibles MJ doit envelop-

per au plus près la courbe déduite de la courbe-enveloppe des moments parun décalage de 0,8 h, parallèlement à l'axe de la poutre (fig. 25).

Les barres sont arrêtées symétriquement par rapport au plan moyen, enCommençant par la nappe la plus haute pour les armatures en travée ou la'lus basse pour les armatures sur appuis.

Sur appui, conserver et ancrer une quantité d'aciers inférieurs suffi-«ante pour équilibrer F0 = Vu max ou F0 = Vu max + (Mua/0,9 d).

21

<B

2-Q)

PL,

11.2. Répartition des armatures d'âme

11.21. Poutres (ou consoles) de section constantesoumises à des charges uniformes

• Calculer l'espacement initial s(0 correspondant à Vu0 ou Iu0 (cf. chap. 9et § 9.12) en s'arrangeant (choix du tracé et du diamètre des armaturesd'âme) pour que st0 appartienne à la série de nombres (en cm) :

7 8 9 10 11 13 16 20 25 35 40 (max)

Calculer, en mètres :

X * <\ \

/

élév

atio

n de

la

pout

re

n g/

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1coc+C\Jc+

c"

„, I , _ 5h , 0,3kft28u U 1 i - U , II ' 1

V 0 /^ tuo ^

avec €Q, distance au nu d'appui de la section où l'effort tranchant d'unsigne donné s'annule (notations, chap. 9 et fig. 26).

|«— variable ^

h Z

1 1 ligne enveloppe 1 1ly /de ivj

Vu ^^^^

l ta

Plac

un noml

ments qgai à (ntiers 1

Respect

1.22. C

Cas général

Fig. 26a

er la première arma

jre de fois égal à €

ui font suite à s(0, a),9 d. Si le nombrees plus voisins les ner le pourcentage m

as général

jh^1« \/'

iïïïïïmT^ V

3outre sur appuis simplesentièrement chargée :

€0 = (12

Fig. 26b

ture d'âme à st0/2 du nu5h "| . ,, , .

o H puis \, Q roi6-s to 1

rrêtés au plus grand espde répétitions n'est pas

ombres totalisés depuis 1nimal en toute section.

^t

*o

Console entièremchargée :

Fig. 26c

d'appui. Répète

s chacun, les esp

acement inférieuentier, arrondir

'origine.

t

ent

r s to

ace-

r ouaux

Ayant choisi le diamètre et le tracé des armatures d'âme (section At parJO'entoE•o(0coc(!)

O

<D

rao>rob

22

nappe), on détermine les espacements st en certaines sections particulières,notamment à gauche et à droite de celles où agissent des charges concen-rées. On trace la courbe E représentative de st le long de l'axe de la>outre.

En choisissant st| entier < s(0 et > 7 à 8 cm, on place la première arma-ure d'âme à stl/2 du nu d'appui, et, en enveloppant par dessous la courbe

on répète s(1 un nombre entier kj de fois jusqu'à pouvoir passer à unspacement choisi à l'avance s(2 > stl, et ainsi de suite... sti.

= Min [0,9 d ; 40 cm], sinon, au-delà de la"t ma\ serait atteint, réduire At et continuer en enveloppant la

ouvelle courbe Ej correspondante. Dans tous les cas, vérifier que laondition de pourcentage minimal est toujours satisfaite.

23

sti ne peut dépasser s, max

ection où s.

12.1. Contrainte tangente de torsion

Aciers longitudinaux de torsion/ (section totale : ZAf)

Fig. 27 aire[

2Q.bc,

Tu moment de torsion à l'état-limite ultimeb0 épaisseur réelle des parois, plafonnée à D/6 dans le cas d'une section

creuse, ou épaisseur fictive égale à D/6 dans le cas d'une sectionpleine (D, diamètre du cercle qu'il est possible d'inscrire dans lecontour extérieur, fig. 27).

Q. aire intérieure au contour tracé à mi-épaisseur des parois.

12.2. Vérification du béton ,

Vu effort tranchant éventuellement concomitant à Tu.TuV contrainte tangente due à Vu :

Tuv = —— section pleine de largeur bbd

VuTuv = ——— section creuse d'épaisseur réelle de paroi bn(2b0)d u

TuT contrainte tangente due à Tu.

Il faut vérifier : TuT + TuV < Tlim sections creuses ;TuT + T uV - ^im sections pleines ;Tlim, voir §9.11.

12.3. Déter

~LAf somme des sections des aciers longitudinaux de torsionu périmètre du contour d'aire Q.A( section d'un cours des cadres de torsion orthogonaux à l'axe de la

pièce (section des brins contenus dans l'épaisseur d'une paroi réelleou fictive)

s( équidistance selon cet axe.

l\ faut :

(ys = 1,15 en général)

24

J S _ = A L . I S

Ys st Ys 2£i

Dans le cas d'une section rectangulaire, les armatures longitudinalessont disposées aux quatre angles et éventuellement sur les faces. Elles'ajoutent aux armatures de flexion.

Dans le cas d'une âme de poutre, ajouter les sections unitaires desarmatures transversales de torsion d'une part et des armatures d'efforttranchant déterminées selon § 9.12, formule [34], d'autre part.

Le pourcentage minimal (formule g) est à respecter pour chacun desdeux systèmes d'armatures, d'une part (ZA^/u) et, d'autre part (A,/st

cumulées pour la torsion et pour l'effort tranchant), en prenant icib0 = épaisseur de la paroi.

'13.1. Portées - Formes des sectioi

a/ Portées (fig. 28)- Poutres secondaires : por-tée € entre nus des poutresprincipales ;- Poutres principales : portéeL entre nus des poteaux sup-ports.

Formes des sections (fig. 29)

en travée

Fig. 28

- pour les poutres secondaires :

sur appui(M<0)

Fig. 29

2 , 2 10- pour les poutres principales :

2 10

J13.2. Transmission des charges des panneaux de dalle aux poutre!I de bordure (fig. 30) |

Dans tout ce chapitre, les positions \, * ^« droite » et « gauche » [extrémités d'unemême travée, ou droite et gauche d'unmême appui, poteau ou poutre], sont repé-rées par les lettres (ou indices) : E (ou e)signifiant « est » et W (ou w) signifiant« ouest ».

Pour le calcul pratique, les charges tri-angulaires et trapézoïdales sont remplacées

€y

Fig. 30

\t/'

— -*

,,45°

\t/'

lV/o'

—

par des charges uniformes équivalentes par unité de longueur, pv pour lecalcul des efforts tranchants, pM pour le calcul des moments de flexion.

Dans le cas de panneaux de dalle tous identiques (même €x, fig. 28)avec p charge uniforme par m2 de dalle et a = €x/€ < 1 :

a/ Poutres secondaires (portée f )

• poutre courante : p v = p < ? x l - -

v ~ /

• poutre de rive : diviser par 2 les seconds membres des expressions pré-cédentes.

b/ Poutres principales (portée L = n€x) :

np€?,• poutre courante : pv = PM =

• poutre de rive : remplacer au dénominateur 2 par 4.

i.3. Méthode forfaitaire applicable aux planchd'exploitation modérée

13.31. Domaine d'application de la méthode

L poutres à deux travées (fig. 32 ; M02 = Max [MQ2 ; M01])

Rive Appui selon la nature de l'appui :

Mw = 0 ou I > 0,6 M02 0 ou> 0,15 M01 L vxm ra\> 0,15 M02

<0,4M01 H f<0,4M02

Fig. 32

1

> (0,1 + P/2)M01

Travée> (0,1 + P/2)M02

Travée

|- poutres à plus de deux travées (fig. 33 ; M0j = Max [M0j ; M0i])

1. Fissuration ne compromettant pas la tenue des cloisons et des revête-ments ;2. Absence de charges rapidement variables dans le temps et en position ;3. q < 2 g e t q < 5 kN/m2 (cas courant des bâtiments à usage d'habitation,de bureaux, etc.) ;4. Moments d'inertie des sections transversales constants et égaux dans lesdifférentes travées ;5. Rapports de la portée libre de la travée considérée aux portées libres destravées contiguës tous deux compris entre 0,8 et 1,25.Si l'une quelconque de ces conditions n'est pas remplie, voir § 13,4.

13.32. Moments en travée et sur appuis (fig. 312)

M,,, + MChoisir, en respectant lesvaleurs minimales desfig. 32 ou 33, Mt, Mw et Me

(valeurs absolues) en sorteque :

Fig. 31

Mg moment isostatique maximal dans la travée de référence.

Valeurs minimales des moments Mt Mw et Mg (fig. 32 et 33)

en haut : valeurs minimales de Mw ou Me,en bas : valeurs minimales de Mt :

26

Rive

Mw = 0 ou

>0,15M01/

< 0,4 M01

>0,5M02 > 0,4 M01 >0,4M04 > 0,4

> (0,1 + p72)M01 > PM02/2 > pM03/2 > pM04/2 etc.

Fig. 33

En rive : si la poutre est simplement posée, Mw ou Me = 0 ; si la poutreest partiellement encastrée, prendre IMWI ou IMel > 0,15 M0| ou 0,15 M0n.Dans tous les cas, s'assurer que l'appui de rive peut équilibrer le momentadopté.

13.33. Efforts tranchants

Travées intermédiaires : prendre les efforts tranchants isostatiquesTravées de rive : appliquer la RdM, ou majorer forfaitairement sur le pre-

mier appui intermédiaire les réactions correspondant aux travées indépen-dantes, de 15 % pour une poutre à deux travées et de 10 % pour une poutreà plus de deux travées.

\. Méthode Caquut applicable aux planchers à charged'exploitation élevée

La solidarité des poutres et des poteaux est négligée ; la hauteur despoutres est supposée constante dans chaque travée.

13.41. Domaine d'application

Poutres dans lesquelles l'une quelconque des conditions données en13.31 n'est pas remplie.

En particulier, présence de charges élevées, éventuellement mobiles.

13.42. Moment sur un appui i quelconque

w, €e portées des deux travées (de même moment d'inertie) encadrantl'appui i à gauche et à droite

<?'w, €'e portées de travées fictives telles que :(' = € pour une travée de rive avec appui simple en rive,€' = 0,8 ( pour une travée intermédiaire.

Pw, pe charges répartiesn(m) charges concentrées PWJ (Pej) à des distances a^ (aep de l'appui i.

n /"3pwt w

27

k'= ' fv ~ T'}(2 ~~ 7' ) avec les indices aPPr°Priés-Les Mj une fois déterminés, les moments M(x) en travée et les effort

tranchants V(x) en travée et sur appuis s'obtiennent par les formuleusuelles de la RdM, en considérant les portées réelles (cf. 13. la).

13.43. Cas de charge à considérer - Courbes-enveloppes

Les cas de charge déter-minants résultent de laconsidération des lignesd'influence.

a/ Courbe enveloppe desmoments de flexion (fig. 34,cas a à d, et fig. 35)Elle s'obtient à partir descharges équivalentes pM

(cf. § 13.2) et des momentssur appuis correspondants (àl'ELU : gd = 1,35 gM,Gd = 1,35 G, etc. ; à l'ELS :

ëd = gM' Gd = G' etc-)-

Fig. 34. Cas de charge déter-minants (les charges concen-

trées ne sont pas représen-tées pour les cas b à f) ;l'indice d indique qu'il

s'agit de valeurs de calcul,cf. tableau III).

"Y I H? HGd ' Gd

TTT

t T f©

9d

appuiW

Charges permanenteset charges variables

Fig. 35

cas

Chargespermanentesseules

b/ Courbe-enveloppe des efforts tranchants (fig. 34, cas a pour Vmax surappuis, cas e et f pour IVI max ou min en travée)Tracée en utilisant les formules de la RdM, à partir de pv ultime

(8d = !'35 gy 1d = !'5 <ly Gd = !-35 G> Qd = l'S Q)et des termes de conti-nuité (Mei - Mwi)/€j correspondants.28

Notations : voir fig. 28.portées entre nus d'appuis : <?x, € avec ex = €x/€y < 1h0 épaisseurp charge répartie par unité d'aire

(Pu ou PSer>M0x, MO moments isostatiques par unité de lar-

geur, au centre de la dalle (fig. 36).

Fig. 36

14.1. Moments dans une dalle simplement appuyée sur son contour

14.11. Moments dus à une charge uniformément répartie(poids propre en particulier)

a/ a < 0,40

b/ 0 ,40<a<l

M 0 y = 0

M0x = ux p€2

M0y =|lyM0x

(MNm/m, MN/m2, m)

(MNm/m, MN/m2, m)

avec u, = 0,125/(1+2,4 a3) ;ji = oc3 (1,9-0,9 a)x y

14.12. Moments dus à une charge localisée

a0 b0 rectangle d'application de la charge (ag//€x ; b(j//€y)a, b dimensions du « rectangle d'impact » au niveau du feuillet moyen

sans revêtement :

a = a0 + h0

b = b + h

avec revêtementd'épaisseur h, :

a = a0 + h0 + Ç hb = b0 + h0 + h

^ = 2 pour un revêtement aussi résistant que le bétonÇ = 1,5 pour un revêtement moins résistant que le béton.

a/ Vérification au poinçonnement : voir g§

b/ Moments dus à une charge localisée centrée PDes abaques, dus à Pigeaud, donnent les moments Mj et M2 au centre dela dalle dus à l'action d'une charge P = 1 en fonction des paramètres €x/€y,a/€x et b/€v.yOn a ensuite :

M0x = M, P, M0y = M2 P (MNm/m, MN)

cl Moments dus à une charge localisée non centréeOn se ramène au cas b précédent par addition et/ou soustraction demoments correspondant à des rectangles centrés supportant tous la mêmecharge unitaire (fig. 37).

1.---2 2 1

3I-- '4 4' ^3

~2 2"

1

~ 4

1 i 1iii

î 1 21

1

1 : 1 2 : 2

Fig. 37

On pose ici :kt = M/M0, ka = Ma/Mp

(kaw sur l'appui de. gauche, kae sur l'appui de droite). Sur les bords où l'en-castrement n'est que partiel, ka > 0,15. Dalle simplement appuyée :

k t =l ,k a = 0.

a/ a < 0,40, avec charges réparties :• sens €x : prendre k, + (kaw + kae)/2 > Max [(3 ; 1,05] avec P donné en13.32, mais voir fig. 32 et 33.• sens €y : adopter sur appuis (petits côtés) le même moment que sur lesgrands côtés (fig. 38).

(

<

Ma3

• .

» Max [Ma2 ; Ma3] <

» Ma2 Ma2 «

•

i Max [Ma2

A

; Ma3l <

<

Ma1 sens

Ma1 Rive

RiveFig. 38

b/ a < 0,40 avec charges localisées, ou a > 0,40 avec charges répartieset/ou localisées (fig. 39) :

^(0,15)ka = Ma/Moxi ^ 0,30 ; _ 1 > 0,50 ; = 2 > 0,50 ; _ 3 > 0,50

k, = M,/Moi

Rive >0,85> (0,925)

>0,75 >0,75

Fig. 39 (Moi = Moxi ou Moyi selon le sens envisagé)

. ^1 1

vua

kb

wvux

• vuy t*

Fig. 40

14.3. Efforts tranchants par unité de longueur (fig. 40)

Vux 1. Charge repartie puVux = PuV(2 + «)

2. Charge localisée centrée Pu

• a > b : V u b = Pu/(2a + b)

• a < b : permuter a et b dansces formules.

Sur le pourtour de la dalle, prendre :V = V + V o u V = V + Vu V U X T v ua uu u u y + v ub

14.4. Armatures

14.41. Armatures de flexion

• 14.411. Sections minimales (aciers Fe E500, ou TSHA)

• aciers//€x: Ax min (cm2/m) = 3 (3 - a) h0 (m)

• aciers //€y : Ay min (cm2/m) = 6 hQ (m)

30

0 14.412. Détermination des armatures

a/ Sens €x (armatures les plus proches des faces tendues)Armatures inférieures Axt et supérieures Axa à déterminer pour équilibrer

k,

b/ Sens €y

Dans tous les cas, il faut :A t > Axt/4 s'il n'y a que des charges réparties

et ka M0x (M0x u ou M0x ser). Vérifier

A t > Axt/3 s'il y a également des charges localisées

• Si M = 0 (voir ), choisir A t et A pour satisfaire et 44.• Si M = kt MQ * 0 (kt, voir § 14.2b), déterminer A t en prenant pour hau-teur utile dy = dx - (c|)x + <|)y)/2. Vérifier gsj et (44|.Dans tous les cas, sur appuis : A = Axa.

14.42. Armatures d'effort tranchant

Non nécessaires si :a/ la dalle est bétonnée sans reprise dans toute son épaisseur

b/ Vu < 0,07 d fc2g/yb (MN/m, m, MPa)

Vu calculé selon § 14.3, d = dx ou dy selon le cas.

• Condition a/ non satisfaite : prévoir des armatures de couture

(At fe/(l,15 st) > Tu = Vu/d ; unités m, MN/m, MPa).

• Condition b/ non satisfaite : opérer comme pour les poutres (chap. 9,avec b0 = 1 m) ; si h0 < 0,15 m, aucune armature d'âme à prévoir ; si0,15 < h0 < 0,30 m, multiplier les valeurs de Tlim par 10 h0(m)/3.

14.43. Armatures de poinçonnement

Non nécessaires si (Pu, charge de calcul à l'ELU) :

P ^

14.5. Dispositions constructives

• 0 diamètre des barres ((|>x ou 0 ) :

etf 6 mm si fissuration préjudiciable

10 [> 8 mm si fissuration très préjudiciable

• Armatures inférieures : quadrillage uniforme ; toutes les barres traversentle contour d'appui s'il existe des charges localisées mobiles avecQ > q€x fJ4 ; sinon, une barre sur deux arrêtée avant le contour (fig. 41).• Armatures supérieures : barres perpendiculaires au contour d'appui,dépassant ce dernier de €[ et €2 (fig. 41) avec :

€, = Max [\€x ; €Jet €2 = Max [€,/2 ; €J

avec : X = — pour un panneau de dalle intermédiaire,

X = — pour un panneau de dalle de rive.

Nota : On peut éventuellement recourir à une disposition en portefeuillede barres de même longueur (€ j + €2 + largeur de l'appui), obtenue enalternant d'un même côté les dépassements € j et €2.

31

Toutes les barres qui traversent le contour d'appui sont totalementancrées au-delà de celui-ci.

Vue de dessus Arm.

=eArmatures supérieuressur appui de rive (Axa)

Armaturessens €x supérieures

fi ou ^2 (chapeaux)

Coupe type(-

4

/

' Armatures de1erlit(Axt) î

/

m

Poutrelle de rive Armatures de 2e lit (Ay,) Poutrelle

Fig. 41 (Deux barres seulement sont représentéespour chaque système d'armatures.)

• Espacements maximaux st max entre deux barres parallèles voisines (entravée et sur appuis) :

st max

Fissuration peu préjudiciable• charges réparties seules• si charges localisées

Fissuration• préjudiciable• très préjudiciable

Sens €x

Min [3 h0 ; 33 cm]Min [2 h(| ; 25 cm]

Min [2 h0 ; 25 cm]Min [1,5 ho; 20 cm]

Sens €y

Min [4 h0 ; 45 cm]Min [3 h0 ; 33 cm]

Min [2 h0 ; 25 cm]Min[ l ,5h 0 ;20cm]

pratique du bael 91

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