1

Praktické příklady z Elektrotechniky II

1. Střídavé obvody 1.1. Základní pojmy 1.2. Jednoduché obvody se střídavým proudem

Příklad 1: Stanovte napětí na ideálním kondenzátoru s kapacitou 10 µF, kterým prochází proud

0,45 A při frekvenci 60 Hz.

Řešení: Kapacitní reaktance

XC = fCπ2

1 = 510.60.21

−π = 265,26 Ω.

Napětí na ideálním kondenzátoru

UC = XCI = 265,25 . 0,45 = 119,37 V.

Obr. 1. Ideální kondenzátor Obr. 2. Znázornění veličin v obvodu s ideálním

v obvodu se střídavým kondenzátorem

proudem a) časový průběh proudu a napětí

b) fázorový diagram

Příklad k řešení: 1. Stanovte proud procházející ideální cívkou, která má 520 závitů, délku 18 cm,

průřez jádra 5 cm2. Jádro cívky má při jmenovitém proudu relativní permeabilitu rµ = 640. Ideální cívka je připojena ke zdroji střídavého napětí 120 V s frekvencí

50 Hz. [0,632 A]

2

1.3. Složené obvody se střídavým proudem

Příklad 2: V sériovém spojení ideálního rezistoru a ideální cívky stanovte impedanci obvodu,

napětí zdroje a úhel fázového posunu. Odpor ideálního rezistoru je 85Ω, indukčnost ideální cívky 0,6 H. Obvodem prochází proud 1,2 A při frekvenci 50 Hz.

Řešení: Indukční reaktance

XL = 2πfL = 2π . 50 . 0,6 = 188,5 Ω.

Impedance obvodu

Z = 2L

2 XR + = 22 5,18885 + = 206,78 Ω.

Napětí zdroje

U = ZI = 206,78 . 1,2 = 248,14 V.

Pro výpočet úhlu fázového posunu zvolíme goniometrickou funkci

tg φ = R

X L = 85

5,188 = 2,22 , potom φ = 65,7°.

Obr. 3. Schéma zapojení Obr. 4. Fázorový diagram Obr. 5. Schéma

obvodu s L a R obvodu s L a R v sérii skutečné

v sérii a) řídicí veličina proud I cívky

b) řídicí veličina napětí U

3

Příklad 3: V sériovém spojení RLC je odpor ideálního rezistoru 160 Ω, indukčnost ideální cívky

0,94 H a kapacita ideálního kondenzátoru 40 µF. Stanovte napětí na jednotlivých prvcích, napětí zdroje a úhel fázového posunu. Proud procházející obvodem je 0,65 A při frekvenci 50 Hz.

Řešení: Nejdříve vypočteme indukční a kapacitní reaktanci

XL = 2πfL = 2π . 50 . 0,94 = 295,31 Ω,

XC = fCπ2

1 = 610.40.50.21

−π = 79,58 Ω.

Napětí na jednotlivých prvcích podle Ohmova zákona

UR = RI = 160 . 0,65 = 104 V,

UL = XLI = 295,31 . 0,65 = 191,95 V,

UC = XCI = 79,58 . 0,65 = 51,73 V.

Obr. 6. Schéma zapojení obvodu Obr. 7. Fázorový diagram obvodu s R, L

s R, L a C v sérii a C v sérii

Napětí zdroje je dáno fázorovým součtem všech napětí

U = 22 )( CLR UUU −+ = 22 )73,5195,191(104 −+ = 174,6 V.

Úhel fázového posunu

φ = 104

73,5195,191 −=

− arctgU

UUarctgR

CL = 53,47º.

4

Příklad 4: Analogicky přistupujeme k řešení paralelních obvodů.

Ke zdroji střídavého napětí 24 V s frekvencí 200 Hz je připojen paralelní obvod tvořený ideálním rezistorem, ideální cívkou a ideálním kondenzátorem. Odpor ideálního rezistoru je 50 Ω, indukčnost ideální cívky je 48 mH a kapacita ideálního kondenzátoru je 40 µF. Vypočítejte proudy všemi prvky i celkový proud, dále admitanci a impedanci obvodu a fázový posun mezi celkovým proudem a napětím.

Řešení:

Vodivost ideálního rezistoru

G = 501

R1= = 2 . 10-2 S.

Indukční susceptance ideální cívky

048020021

21BL ,.π.πfL

== = 16,6 . 10-3 S,

kapacitní susceptance ideálního kondenzátoru

BC = S. 26 10.510.40.200.22 −− == ππfC

Proudy procházející jednotlivými prvky

48,024.10.2 2 === −GUI R A,

4,024.10.6,16 3 === −UBI LL A,

5

2,124.10.5 2 === −UBI CC A.

Velikost celkového proudu 22 )( LCR IIII −+= = 22 )4,02,1(48,0 −+ = 0,93 A.

Admitance obvodu

22 )( LC BBGY −+= = 23222 )10.6,1610.5()10.2( −−− −+ = 39.10-3 S.

Impedance obvodu

310.3911

−==Y

Z = 25,7Ω.

Úhel fázového posunu vypočteme pomocí goniometrického vztahu

tg 67,110.2

10.6,1610.52

32

=−

=−

= −

−−

GBB LCϕ

z toho úhel

09,59=ϕ ˚.

Příklady k řešení:

2. Skutečná cívka s indukčností 202 mH a odporem 80 Ω je připojena ke zdroji střídavého napětí a prochází jí proud 2 A při frekvenci 100 Hz. Stanovte impedanci obvodu, napětí zdroje, napětí na indukčnosti a odporu a fázový posun mezi napětím a proudem. [150 Ω; 300 V; 253,84 V; 160 V; 57,77°]

3. Připojíme-li skutečnou cívku s odporem 50 Ω ke zdroji střídavého napětí 110 V s frekvencí 50Hz, prochází jí proud 0,7 A. Stanovte indukčnost cívky. [0,474 H]

4. Ideální kondenzátor s kapacitou 16 µF a rezistor s odporem 400 Ω jsou spojeny do série a připojeny na napětí 220 V a frekvencí 50 Hz. Určete impedanci obvodu, proud procházející obvodem, napětí na ideálním kondenzátoru a rezistoru a fázový posun mezi napětím a proudem. [446,74 Ω; 0,49 A; 97,48 V;196 V; 26,44º]

5. Připojíme-li skutečnou cívku ke zdroji stejnosměrného napětí 10 V, prochází jí proud 2,5 A. Po připojení této skutečné cívky ke zdroji střídavého napětí 10 V s frekvencí 50 Hz, prochází cívkou proud 2 A. Vypočítejte indukčnost cívky. [9,55 mH]

6

6. Ke zdroji střídavého napětí je připojeno sériové spojení ideálního kondenzátoru s kapacitou 70 µF a rezistoru s odporem 30Ω. Obvodem prochází proud 4 A při frekvenci 50Hz. Stanovte impedanci obvodu, napětí zdroje, napětí na ideálním kondenzátoru a rezistoru a fázový posun mezi napětím a proudem. [54,47 Ω; 217,88 V; 181,88 V; 120 V; 56,58º]

7. Rezistor s odporem 160 Ω a ideální kondenzátor jsou v sériovém řazení připojeny ke zdroji střídavého napětí 120 V s frekvencí 100 Hz. Obvodem prochází proud 0,5 A. Stanovte kapacitu ideálního kondenzátoru. [8,89 µF]

8. Ke zdroji se střídavým napětím je připojeno sériové spojení rezistoru s odporem 6 Ω, ideální cívky s indukčností 1,27 mH a ideálního kondenzátoru s kapacitou 26,5 µF. Obvodem prochází při frekvenci 500 Hz proud 200 mA. Určete impedanci obvodu, napětí zdroje, napětí na všech prvcích obvodu a fázový posun mezi napětím a proudem. [10 Ω; 2 V; 1,2 V; 0,8 V; 2,4 V; 53,13º]

9. Sériový obvod tvoří rezistor s odporem 30 Ω, ideální kondenzátor s kapacitou 45µF a ideální cívka. Napětí zdroje je 220 V, frekvence 50 Hz. Obvodem prochází proud 4 A. Stanovte indukčnost ideální cívky (XL > XC). [0,371 H]

10. Admitance paralelního spojení rezistoru a ideální cívky je 1,9 mS. Rezistor má odpor 1 kΩ. Celkový proud je 385 mA při frekvenci 1,5 kHz. Stanovte indukčnost ideální cívky, svorkové napětí obvodu, proudy ve větvích a fázový posun. [66,31 mH; 202,63 V; 202 mA; 324 mA; 58,05º]

11. Při paralelním spojení rezistoru s odporem 6,25 Ω a ideálního kondenzátoru s kapacitou 3,8 µF se odebírá ze zdroje proud 100 mA při frekvenci 5 kHz. Rezistorem prochází proud 80 mA. Vypočítejte napětí zdroje, proud procházející ideálním kondenzátorem, admitanci a impedanci obvodu a fázový posun. [0,5 V; 60 mA; 0,2 S; 5 Ω; 36,86º]

12. Paralelní spojení rezistoru s odporem 120 Ω, ideální cívky s indukčností 40 mH a ideálního kondenzátoru s kapacitou 5 µF je připojeno ke zdroji střídavého napětí s frekvencí 200 Hz. Celkový proud procházející obvodem je 1,9 A. Stanovte proudy všemi prvky obvodu, napětí zdroje, impedanci, admitanci a fázový posun. [0,99 A; 2,37 A; 0,74 A; 119,19 V; 62,73 Ω; 15,94 mS; 58,62º]

13. Při paralelním spojení rezistoru s odporem 60 Ω, ideálního kondenzátoru a ideální cívky je celkový proud 4 A. Proud procházející rezistorem je 2,4 A, proud procházející ideálním kondenzátorem je 1,6 A. Stanovte proud procházející ideální cívkou a její indukčnost. Frekvence je 50 Hz (IL > IC). [4,8 A; 96 mH]

Příklad 5: Vypočítejte proudy v jednotlivých větvích, celkový proud a impedanci v obvodu

zapojeného podle obr. 12 a). Odpory rezistorů jsou R1 = 40Ω, R2 = 250 Ω, indukčnost ideální cívky je L = 5 mH, kapacita ideálního kondenzátoru C = 2 µF. Obvod je připojen ke zdroji střídavého napětí U = 250 V, frekvence je f = 600 Hz.

7

Řešení: Indukční reaktance

Ω=== − 84,1810.5.10.6..22 32ππfLX L

Impedance větve. kterou prochází proud I1

Ω=+=+= 21,4484,1840 222211 LXRZ

Proud I1

65,521,44

250

11 ===

ZUI A

Fázový posun

90477,021,44

40cos1

11 ===

ZRϕ

°= 2,251ϕ

Kapacitní reaktance

62,13210.2.10.6..2

12

162 === −ππfC

X C Ω

Impedance větve, kterou prochází prou I2

28362,132250 222222 =+=+= CXRZ Ω

Proud I2

883,0283250

22 ===

ZUI A

Fázový posun

88339,0283250cos

2

22 ===

ZRϕ

°= 94,272ϕ

8

Z fázorového diagramu na obr. 12 b) vypočteme celkový proud pomocí kosinové věty

( ) ( ) °=+−=+−°= 8,1269,273,25180180 21 ϕϕγ

( ) 22,66,0883,0.65,5.2883,065,5cos2 2221

22

21 =−−+=−+= γIIIII A

Impedance obvodu

19,4022,6

250===

IUZ Ω.

Příklad k řešení:

14. Určete proud I2, celkový proud I, napětí zdroje střídavého napětí U a impedanci obvodu zapojeného podle obr. 13 a). Skutečná cívka má odpor 15 Ω, indukčnost 0,05 H. Ideální kondenzátor má kapacitu 60 µF a prochází jím proud I1 = 1,8 A, frekvence je 100 Hz. [1,37 A; 0,81 A; 47,73 V; 58,92 Ω]

1.4. Výkon střídavého proudu, účiník

Příklad 6:

V obvodu skutečné cívky je proud dodávaný zdrojem =I 1,8 A při napětí 220 V a frekvenci 50 Hz. Odpor vinutí je 28 Ω. Stanovte indukčnost skutečné cívky.

Řešení: Zdánlivý výkon

3968,1.220 ===UIS VA.

Činný výkon – výkon na činném odporu

72,908,1.28 22 === RIP W.

Jalový výkon – z trojúhelníka výkonů

38572,90396 2222 =−=−= PSQ VAr.

9

Indukční reaktance – z jalového výkonu na cívce 2IXQ L=

8,1188,1

38522 ===

IQX L Ω.

Indukčnost skutečné cívky

378,050.28,118

2===

ππfXL L H.

Příklady k řešení:

15. Jednofázový motor na napětí 220 V a o činném výkonu 1,5 kW odebírá proud 8 A. Vypočítejte zdánlivý a jalový výkon, účiník a činnou a jalovou složku proudu. [1,76 kVA; 920,65 VAr; 0,852; 6,816 A; 4,184 A]

16. Stanovte u sériového spojení skutečné cívky a ideálního kondenzátoru výkon činný, jalový a zdánlivý. Odpor skutečné cívky je 20 Ω, indukčnost 95,5 mH, kapacita ideálního kondenzátoru je 53 µF. Obvod je připojen ke zdroji střídavého napětí 220 V, frekvence je 100 Hz. [744,68 W; 1 117VAr; 1 344,2 VA]

17. Elektrický obvod s účiníkem 6,0cos =ϕ byl připojen ke zdroji střídavého napětí 220 V. Činná složka proudu procházejícího obvodem byla 12 A. Vypočítejte činný, jalový a zdánlivý výkon. [2640 W; 3520 VAr; 4400VA]

1.5. Rezonanční obvody

Příklad 7: U sériového rezonančního obvodu složeného ze skutečné cívky s odporem 10 Ω,

s indukčností 0,3 mH a ideálního kondenzátoru s kapacitou 300 pF, připojeného na zdroj střídavého napětí 10 V, stanovte rezonanční frekvenci, proud při rezonanci a činitel jakosti obvodu.

Řešení: Rezonanční frekvence

53051610.300.10.3,02

12

1123===

−−ππ LCfr Hz.

Impedance při rezonanci

10== RZr Ω.

Proud procházející obvodem při rezonanci

11010

===RUIr A.

Činitel jakosti obvodu

10

10010

10.3,0.530516..22 3

===−ππ

RLfQ r

Příklady k řešení: 18. Stanovte kapacitu ideálního kondenzátoru sériového rezonančního obvodu, aby

došlo k rezonanci při frekvenci 200 kHz. Indukčnost ideální cívky je 150 µH. [4,22.10-9 F]

19. Sériový rezonanční obvod je tvořen ideálním kondenzátorem s kapacitou 1200 pF a skutečnou cívkou s odporem 15 Ω a indukčností 400 µH. Obvod je připojen na zdroj střídavého napětí 12 V. Určete rezonanční frekvenci, činitel jakosti obvodu a proud procházející obvodem při rezonanci. [229,720 kHz; 38,5; 0,8 A]

20. Ideální kondenzátor s kapacitou 500 pF je zapojen paralelně ke skutečné cívce s odporem 10 Ω a s indukčností 200 µH. Obvod je připojen na zdroj střídavého napětí 120 V. Vypočítejte rezonanční frekvenci obvodu, impedanci při rezonanci, činitel jakosti obvodu a proud procházející obvodem při rezonanci. [503,292 kHz; 40 kΩ; 63,2; 3 mA]

11

1.6. Symbolicko-komplexní metoda řešení obvodů se střídavým proudem

Příklad 8:

Při sériovém spojení ideálního rezistoru s odporem 50 Ω a ideální cívky s indukčností 474 mH prochází obvodem proud 0,7 A při frekvenci 50 Hz. Stanovte napětí na ideálních prvcích obvodu, napětí zdroje a úhel fázového posunu.

Řešení: Napětí na ideálním rezistoru

UR = RI = 50.0,7 = 35 V .

Napětí na ideální cívce

UL = jXLI = j2π.50.0,474.0,7 = j104,2 V .

Napětí zdroje

U = UR + UL = (25 + j104,2) V .

Absolutní hodnota napětí zdroje

9,1092,10435 2222 =+=+= LR UUU V .

Úhel fázového posunu vypočteme ze vztahu

tg 978,250

474,0.50.22===

ππϕRfL ,

z toho

°= 44,71ϕ .

Příklad 9: V obvodu střídavého proudu jsou spojeny v sérii ideální rezistor s odporem 8 Ω,

indukční reaktance XL = 16 Ω a kapacitní reaktance XC = 10 Ω. Sériové spojení prvků je připojeno na napětí, které je vyjádřeno v komplexním tvaru U = (18 + j30) V. Stanovte proud procházející obvodem a napětí na všech prvcích obvodu.

Řešení: Impedance obvodu

)10168( jjjXjXR CL −+=−+= Z Ω .

Proud procházející obvodem

100132324

68)68)(3018(

101683018

22jjj

jjj +

=+

−+=

−++

==ZU I A ,

)32,124,3( j+= I A = 3,5 ej22,2º A .

Absolutní hodnota proudu

5,332,124,3 22 =+=I A .

12

Fázor napětí na ideálním rezistoru

== IU RR 8.3,5 ej22,2º = 28 ej22,2º V .

Na ideálním rezistoru je napětí 28 V.

Fázor napětí na ideální cívce

UL = jXLI = j16.3,5 ej22,2º = 16 ej90º.3,5 ej22,2º = 56 ej112,2º V .

Na ideální cívce je napětí 56 V.

Fázor na pětí na ideálním kondenzátoru

UC = -jXCI = -j10.3,5 ej22,2º = 10 e-j90º.3,5 ej22,2º = 35 e-j67,8º V .

Na ideálním kondenzátoru je napětí 35 V.

Příklad 10: Stanovte admitanci a impedanci obvodu, který je tvořen paralelním spojením ideálního

rezistoru s odporem 62,5 Ω a ideálního kondenzátoru s kapacitou 18,95 µF. Kmitočet je 100 Hz.

Řešení: Admitance obvodu

( )012,0016,010.95,18.100.25,62

11 621 jjCj

R+=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=+=+= −πωY Y Y S .

Absolutní hodnota admitance

02,0012,0016,0 22 =+=Y S .

Impedance obvodu

( )30400004,0012,0

0004,0016,0

012,0016,0012,0016,0

012,0016,011

22 jjjj

−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=+−

=+

==Y

Z Ω.

Absolutní hodnota impedance

5030401 22 =+==Y

Z Ω .

Příklady k řešení: 22. V sériovém obvodu RLC je rezistor s odporem 120 Ω, cívka s indukčností 96 mH

a kondenzátor s kapacitou 40 µF. Střídavý proud procházející obvodem je 3 A při frekvenci 50 Hz. Určete impedanci obvodu, napětí na svorkách zdroje, fázový posun a napětí na jednotlivých prvcích obvodu. [(120 – j50) Ω; (360 – j150) V; –φ = 22º37'; 360 V; j90 V; -j240 V]

23. Určete proudy I1, I2 a I v obvodu na obr. 15, jsou – li impedance Ω, ( )15101 j−=Z ( )622 j+=Z Ω, ( )233,33 j+=Z Ω. Napětí zdroje je 120 V.

[(2 + j4) A; (5,5 – j11,5) A; (7,5 – j7,5) A]

13

24. V obvodu podle zapojení na obr. 152 vypočtěte svorkové napětí zdroje, napětí na všech prvcích obvodu a fázový posun. R1 = 50 Ω, R2 = 50 Ω, L = 100 mH, C = 20 µF. Celkový proud v komplexním vyjádření je I = 0,85 ej20º A při frekvenci 50 Hz. [100,3 ej26º13′ V; 49,3 e-j1º22′ V; 30,97 ej88º37′ V; 42,5 ej20º V; 58,24 ej30º46′ V; φ = 6º13′]

1.7. Přechodné jevy

Příklad 11:

Stanovte kapacitu ideálního kondenzátoru. V zapojení podle obr. 17 procházel obvodem nabíjecí proud 0,34 mA za 1 ms od okamžiku připojení zdroje. Napětí zdroje je 10 V, odpor ideálního rezistoru je 200 Ω.

Řešení:

Pro nabíjecí proud platí vztah

14

ττ //0

ttn e

RUeIi −− == ,

po úpravě

nRiUet lnln =

τ ,

z toho vypočteme časovou konstantu a dosadíme

4

3

3

10.2

10.34,0.20010ln

10

ln

−

−

−

===

nRiUtτ s .

Kapacita ideálního kondenzátoru

120010.2 4

===−

RC τ µF .

Příklady k řešení: 25. Stanovte napětí zdroje, ze kterého se nabíjí ideální kondenzátor s kapacitou 2 µF

přes ideální rezistor, jehož odpor je 500 Ω. V čase t = 3 ms byl nabíjecí proud 5 mA. [50 V]

26. Stanovte proud v obvodu podle obr. 18 v čase t = 5τ. R = 200 Ω, C = 1 µF, U = 10 V. [3,368.10-4 A]

27. Určete odpor rezistoru, kterým se nabíjel kondenzátor o kapacitě 247 µF ze zdroje

o napětí 150 V. Napětí na odporu kleslo z 55 V na 20 V za 100 ms. [400 Ω]

2. Trojfázová soustava Příklad 12: Stanovte, jak se změní příkon trojfázových elektrických kamen o výkonu 6 kW

v zapojení do trojúhelníka na napětí 3 x 400 V, přepojíme-li topná vinutí do hvězdy.

Řešení: Odpor topného tělesa jedné fáze

806000400.33

3

33

3

22

=======PU

UPU

IU

IU

IUR

ff Ω .

15

Po přepojení do hvězdy je na každém topném tělese napětí

9,2303

4003

===UU f V .

Proud v topné fázi

89,280

9,230===

f

ff R

UI A .

Příkon kamen spojených do hvězdy je

2,200289,2.400.33 === UIP W .

Jestliže spotřebič spojený do trojúhelníka přepojíme do hvězdy, zmenší se jeho příkon na třetinu.

Příklady k řešení: 28. Určete odpor vinutí jedné fáze trojfázového generátoru, zapojeného do hvězdy, je-

li jeho sdružené napětí 320 V a síťový proud 5 A. [36,9 Ω]

29. Jak velký je odpor vinutí v jedné fázi trojfázového spotřebiče, zapojeného do trojúhelníka, na napětí 3 x 400 V, prochází-li přívodními vodiči proud 6 A? Jak se změní napětí a proud, přepojíme-li vinutí z trojúhelníka do hvězdy? [115,3 Ω; 230,9 V; 2 A]

30. Jak velký síťový a fázový proud odebírá trojfázový elektromotor v zapojení do trojúhelníka ze sítě 3 x 400 V, je-li jeho výkon 15 kW, účinnost 90% a účiník 0,8? [30,08 A; 17,37 A]

16

3. Elektrické stroje 3.1. Transformátory

Příklad 13: Jednofázový transformátor používaný v elektrotechnické laboratoři má štítkové

hodnoty 230 V / 24 V, Sn = 1 kVA, uk = 4%. Určete napětí nakrátko, impedanci nakrátko a proudy primárního a sekundárního vinutí při zkratu.

Řešení: Stav nakrátko – transformátor je připojen na napětí nakrátko U1k a protéká jím

jmenovitý proud I1n . Procentní napětí nakrátko je definováno vztahem

n

kk U

Uu1

1= ,

z toho

2,9230.04,011 === nkk UuU V

Velikost jmenovitého primárního proudu vypočítáme ze zdánlivého jmenovitého příkonu

348,4230

1000

11 ===

n

nn U

SI A .

Impedance nakrátko

116,2348,42,9

1

11 ===

n

kk I

UZ Ω .

Zkratový proud v primárním vinutí

.7,108116,2

230

1

11 A

ZU

Ik

nk ===

Zkratový proud v sekundárním obvodu můžeme vypočítat pomocí převodu

.7,10417,10824

2301

2

112 AI

UU

IpI kn

nkk =⋅=⋅=⋅=

Z výsledku je patrné, že zkrat v sekundárním vinutí má za následek několikanásobné zvýšení proudů v obou vinutích, při kterých by došlo k porušení transformátoru (pokud by nebyl včas odpojen od sítě).

Příklady k řešení:

32. Primární vinutí transformátoru je připojeno ke střídavému napětí 80 V / 50 Hz a odebírá proud 1 A. Sekundární vinutí dodává proud 4 A při napětí 6 V do

17

spotřebiče čistě ohmického charakteru. Účinnost je 55%. Určete fázový posun v primárním vinutí. [φ1 = 56,97º]

33. Podle schématu na obr. 19 byl měřen výkon, který odebíral jednofázový transformátor. Wattmetry ukazovaly hodnoty Pa = 1100 W, Pb = 2400 W. Zdánlivý jmenovitý příkon transformátoru Sn = 200 kVA. Určete účinnost tohoto transformátoru při cos φ = 0,8 při zatížení jmenovitým proudem. [0,977]

Příklad 14: Jednofázový transformátor má štítkové údaje U = 220 V, I = 9 A, f = 50 Hz. Při

měření naprázdno byly zjištěny tyto údaje: U10 = U1n = 220 V, U20 = 40 V, P10 = 10 W, I10 = 0,3 A. Při měření nakrátko bylo změřeno: U1k = 11 V, Pk = 37 W. Určete převod transformátoru, procentní napětí nakrátko, zkratový proud a přibližně údaje náhradního schématu.

Řešení: Převod napětí

.5,540

220

20

10 ===UU

p

Procentní napětí nakrátko

05,022011

1

1 ===n

kk U

Uu ~ 5 %.

Odpor představující ztráty v železe

484010

2202

10

21010 ====

PU

IUR

FeFe Ω.

Účiník naprázdno

1515,03,0.220

10cos1010

1010 ===

IUPϕ .

Magnetizační proud

2965,0988,0.3,0sin 1010 === ϕµ II A.

Hlavní magnetizační reaktance

18

2,7422965,022010 ==

µIUX h Ω .

Impedance nakrátko

222,19

11

1

11 ===

n

kk I

UZ Ω .

Zkratový poruchový proud

180222,1

220

1

11 ===

k

nk Z

UI A .

Účiník nakrátko

374,09.11

37cos11

1 ===nk

kk IU

Pϕ .

Odpor při chodu nakrátko

457,0937

221

===n

k

IPR Ω , přičemž platí přibližně

229,02

´21 ===

RRR Ω .

Rozptylová reaktance

135,1928,0.222,1sin 11 === kkZX ϕσ Ω , přičemž přibližně platí

568,02

´21 === σσσ

XXX Ω .

Příklady k řešení: 34. Jednofázový transformátor má napětí naprázdno U10 = 100 V, U20 = 400 V, proud

naprázdno I10 = 0,25 A, ztráty naprázdno P10 = 7,5 W, napětí nakrátko U1k = 4 V, jmenovité proudy I1n = 4 A, I2n = 1 A, ztráty nakrátko Pk = 10 W. Určete převod transformátoru, zdánlivý jmenovitý výkon, procentní napětí nakrátko, účiník naprázdno i nakrátko, proud v železe a magnetizační proud. [0,25; 400 VA; 4 %; 0,3; 0,624; 0,075 A; 0,24 A]

35. Primární vinutí jednofázového transformátoru o napětí 6,6 kV má 1080 závitů. Sekundární vinutí má 36 závitů a dodává do spotřebiče výkon 17,6 kW při cos φ2 = 0,8. Ztráty v transformátoru jsou 0,7 kW. Určete převod transformátoru, sekundární napětí, primární a sekundární proud, příkon a účinnost. [30; 220 V; 3,3 A; 100 A; 18,3 kW; 0,96]

Příklad 15:

Trojfázový transformátor má Sn = 100 kVA, převod 6000 V/ 400 V, spojení Yy0, proud naprázdno 0,8 A, účiník naprázdno 0,086 , činný odpor primárního vinutí 4,1 Ω a sekundárního vinutí 0,016 Ω , rozptylovou reaktanci primáru 6,2 Ω a sekundáru 0,03 Ω . Určete ztráty v železe, v mědi a procentní napětí nakrátko.

19

Řešení: Z náhradního schématu jedné fáze trojfázového transformátoru – obr. 20a) - jsou ztráty

v železe reprezentovány odporem RFe .

Ztráty v železe jsou dány vztahem

716086,0.8,0.6000.3cos33 101011 ==== ϕIUIUP nFenFe W.

Ztráty v mědi, tj. na odporu R1 a R2' jsou dány

( ) ( ) 212

21

21

´21 33 nnCu IRpRIRRP +=+= .

Nejprve určíme převod transformátoru

15400

6000

2

1 ===n

n

UUp

a proud

63,910.6.3

103 3

5

11 ===

n

nn U

SI A.

Potom

( ) ( ) 222563,9.016,0.151,433 22212

21 =+=+= nCu IRpRP W.

Pro výpočet napětí nakrátko se celkové náhradní schéma zjednoduší – obr. 20b) - lze zanedbat příčnou větev.

Impedance nakrátko

( ) ( )( ) ( ) .87,127,703,0.152,6016,0.151,4 22

1

22

122

1´21

´211

Ω+=+++=

+++=+++=

jj

XpXjRpRXXjRR

k

k

ZZ σσσσ

Absolutní hodnota impedance

20

96,1487,127,7 221 =+=kZ Ω .

Napětí nakrátko

2,14463,9.96,14. 111 === nkk IZU V.

Procentní napětí nakrátko

0416,0

36000

2,144

1

1 ===nf

kk U

Uu ~ 4,16 % .

Příklad k řešení:

36. Určete hodnoty odporů a reaktancí v náhradním schématu trojfázového transformátoru, který má štítkové údaje Sn = 10 kVA, 400 V / 20 V, spojení Yy0. Měřením jsme získali velikost hodnot ztrát naprázdno P10 = 100 W, ztrát nakrátko Pk = 400 W, proudu naprázdno I10 = 0,09.In a napětí nakrátko U1k = 16 V. Určete činné odpory primárního a sekundárního vinutí R1 a R2, rozptylové reaktance X1σ a X2 σ, hlavní magnetizační reaktanci Xh a odpor RFe respektujícíztráty v železe. [0,3205 Ω; 0,3205 Ω; 0,4525 Ω; 0,4525 Ω; 179 Ω; 1600 Ω]

3.2. Elektrické stroje točivé

3.2.1. Asynchronní stroje

Příklad 16: Trojfázový asynchronní motor se štítkovými údaji Pn = 15 kW, Un = 3 x 400/230 V,

f = 50 Hz, n = 1400 min-1 má účinnost η = 86 % a účiník cos φ = 0,8. Vypočítejte počet pólů, skluz, příkon a proud statoru.

Řešení: Nejbližší synchronní otáčky k zadaným asynchronním otáčkám pro f = 50 Hz jsou ns = n1 = 1500 min-1. Počet pólů určíme ze vzorce

21500

50.606060

11 ===⇒=

nfp

pfn , tedy počet pólů 42 =p .

Skluz

067,01500

14001500

1

1 =−

=−

=n

nns ~ 6,7 % .

Příkon stroje

44,1786,0

1521

1

2 ===⇒=η

η PPPP kW .

Proud statoru vypočítáme z tohoto známého příkonu, pro který platí

21

ϕcos..3 111 IUP = , kde U1 je sdružená hodnota.

Z toho

466,318,0.400.3

17440cos3 1

11 ===

ϕUPI A .

Příklady k řešení: 37. Trojfázový asynchronní motor má tyto jmenovité hodnoty P = 20 kW,

Un = 3 x 400/230 V, n = 1455 min-1, cos φ = 0,9 , η = 0,88 a frekvenci statorového proudu f1 = 50 Hz. Určete synchronní otáčky, odpovídající počet pólových dvojic, skluz při jmenovitých otáčkách, rotorovou frekvenci f2 a velikost statorového proudu při zapojení statoru do hvězdy. [1500 min-1; 2; 3 %; 1,5 Hz; 36,45 A]

38. Trojfázový dvoupólový asynchronní motor o výkonu Pn = 10 kW pracuje s účinností 80 % a s účiníkem 0,8. Motor je napájen ze sítě 3 x 400 V, 50 Hz a jmenovité otáčky rotoru jsou 2850 min-1. Určete činný, jalový a zdánlivý příkon motoru, jmenovitý proud jedné fáze motoru a frekvenci napětí indukovaného v rotoru. [12,5 kW; 9,35 kVAr; 15,6 kVA; 22,52 A; 2,5 Hz]

39. Trojfázový asynchronní motor je připojen k síti s frekvencí f = 50 Hz. Jeho jmenovité otáčky jsou 2900 min-1. Zjistěte skluz, počet pólových dvojic a frekvenci v rotoru. [3,33 %; 1; 1,665 Hz]

40. Vypočítejte proud, který odebírá ze sítě trojfázový asynchronní motor o jmenovitých hodnotách P = 14 kW, U = 400 V, n = 735 min-1, η = 0,92, f = 50 Hz, cos φ = 0,87. Dále vypočítejte skluz a počet pólových dvojic. [25,25 A; 2 %; 4]

3.3. Stejnosměrné točivé stroje Příklad 17: Derivační dynamo má výkon P = 5,5 kW při napětí U = 110 V. Odpor kotvy

Ra = 0,1 Ω , odpor budicího vinutí Rb = 55 Ω . Zjistěte napětí Ui , proud buzení Ib a proud kotvy Ia .

Řešení:

Proud procházející spotřebičem

5010.1,110.5,5

2

3

===UPI A .

22

Budicí proud

255

110===

bb R

UI A .

Proud protékající kotvou

52250 =+=+= ba III A .

Napětí indukované v kotvě

2,1151,0.52110 =+=+= aai IRUU V .

Příklady k řešení: 41. Jak velký odpor Rsp musíme zařadit do obvodu kotvy při spouštění derivačního

stejnosměrného motoru o výkonu P = 5 kW, napětí U = 230 V, účinnosti η = 80 % , aby proud při záběru Iz nepřekročil dvojnásobek jmenovitého proudu In. Odpor v obvodu kotvy Ra = 0,8 Ω . [3,43 Ω]

42. Stejnosměrný motor s cizím buzením má tyto štítkové údaje: výkon P = 10 kW,

napětí U = 200 V, odpor kotvy Ra = 0,5 Ω a účinnost η = 78 % . Určete velikost spouštěcího odporu Rsp pro 1,5 násobek jmenovitého proudu. Dále určete záběrný proud při zařazeném spouštěči a při přímém připojení k síti. Předpokládáme, že budicí proud je konstantní. [1,58 Ω; 96,2 A; 400 A]

43. Stanovte minimální zatěžovací odpor, pro který proud kotvy dynama s cizím buzením nepřevyšuje 40 A při indukovaném napětí 240 V a odporu kotvy 0,5 Ω. [5,5 Ω]