practica oceanografia

8/2/2019 practica oceanografia

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Prctica 6. Simulacin de corrientes Mayte Lpez Lpez

Prof. Vctor Snchez/Ester Soliveres Carme Vidal Moreno

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PRCTICA DE OCEANOGRAFA FSICA.

SIMULACIN NUMRICA DE LA CIRCULACIN GENERAL DEL OCANOEl comportamiento dinmico del flujo ocenico en condiciones barotrpicas

(independiente de la profundidad) est controlado por dos tipos de procesos: losprocesos inerciales originados por el viento, y los disipativos debidos a la friccin,tanto del fondo como lateral. La importancia relativa de esos factores determina lanaturaleza de la circulacin, y caractersticas de la misma as como detallesparticulares como las dimensiones y magnitud de las corrientes de borde oeste delgiro bajo consideracin. Las teoras que explican estas caractersticas generales de

la circulacin ocenica fueron formuladas por Sverdrup, Stommel y Munk en losaos 50, y son la base de cualquier modelo de circulacin a gran escala.

Figura 1. Relaciones entre patrn de vientos y circulacin ocenica

El estudio de la dinmica del ocano tiene siempre como punto de partida lasecuaciones de movimiento (o conservacin del momento) y continuidad del fluido.En el caso de un flujo barotrpico en una cuenca ocenica de profundidadconstante D stas son

(1)

(2)

donde es el campo de velocidades horizontal y F representa trminos defriccin. La ecuacin (1) es vectorial, es decir, contiene dos ecuaciones, una paracada componente de la velocidad. Las ecuaciones (1) y (2) provienen de promediaren profundidad las ecuaciones originales. Esto no afecta a las velocidades, ya queen un ocano barotrpico son independientes de la profundidad, pero permiten

escribir el trmino de forzamiento por viento como /D, donde es la tensin delviento en la superficie del mar.


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A partir de (1) es fcil obtener una ecuacin de movimiento para otraimportante variable, la vorticidad relativa del ocano, definida como la

componente vertical del rotacional del campo de velocidades

(3)

Derivando en x e y las componentes de la ecuacin (1), y restando ambas paraeliminar los trminos que incluyen a la presin, obtenemos

(4)

Por otro lado, dado que el flujo es horizontal, la ecuacin de continuidad (2)permite definir un campo escalar , denominado funcin corriente, que cumple

(5)

Es fcil comprobar que la vorticidad y la funcin corriente se relacionan a travsdel operador laplaciano,

(6)

[Ejercicio: comprueba que (5) cumple la ecuacin (2), y que (6) se obtiene a partirde (3) y (5)]

Usando estas definiciones, la ecuacin de evolucin de la vorticidad relativa (5) sepuede escribir como:

(7)

donde es la vorticidad relativa y la funcin corriente. Los trminos de laderecha representan los efectos (fuerzas) que controlan la circulacin del ocano,

que son la tensin del viento ( ), la friccin horizontal ( ) y la friccin del fondo( ). La forma de stos ltimos la veremos enseguida.

El trmino , definido como

(8)


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es el jacobiano entre la funcin corriente y la vorticidad relativa, y mide la nolinealidad del problema. Cuando este trmino es pequeo, el problema puedeconsiderarse lineal.

El parmetro es el gradiente de vorticidad planetaria, y se expresa como

(9)

donde es la vorticidad planetaria o parmetro de Coriolis ( ), la

magnitud de la tasa de rotacin de la tierra, ( ), la latitud

y R es el radio de la tierra. El caso=0 corresponde a la aproximacin de planof.

Vamos ya a los trminos de friccin. Considerando el modelo tradicional deEkman para la disipacin del fondo, se puede expresar de forma lineal como

(10)

donde Kes el coeficiente de friccin (por tanto es la escala temporal para la

amortiguacin de la friccin del fondo). El modelo que considera exclusivamente el

trmino de friccin de fondo es el modelo de Stommel.

Tambin puede haber friccin lateral (horizontal). Esta puede ser de tipoarmnico, o biarmnico, ,

(11)

donde y son coeficientes de viscosidad turbulenta horizontal. El modelo en elque la friccin es de tipo lateral se denomina modelo de Munk de circulacinocenica.

Nos queda por definir el forzamiento por el viento. Suponiendo que la cuencadel ocano puede representarse mediante un cuadrado de lado L, una formaidealizada pero bastante aproximada del patrn de tensin de vientos (en N/m 2)viene dada por

(12)

que supone un viento zonal (horizontal), y donde n=1 para un giro sencillo (como

el representado en la figura) y n=2 para un giro doble. Ntese que el rotacional de


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la tensin de vientos es nulo en los contornos de la cuenca. Esto representacondiciones de contorno en la simulacin.

Figura 2: (a) Tensin de vientos dada por la ecuacin (12) con n=1, (b) circulacin

tpica en plano f (c) circulacin tpica en plano . Resultados de Stommel (1948)

Una escala tpica de velocidad es la dada por el balance de Sverdrup

(13)

As mismo, existe una escala temporal caracterstica , que puederelacionarse con la escala temporal de la onda de Rossby ms rpida que atraviesala cuenca. Esto permite definir unas coordenadas y variables adimensionales,donde (x,y)=(L x, L y), (u,v)=(U u, U v), t=T t. Con estas definiciones, junto con

, y = , no es difcil reescribir la ecuacin de la vorticidad de formaadimensional

(14)

Las constantes adimensionales en (14) tienen nombres especiales, que sonimportantes en oceanografa. Son los nmeros de Rossby y de Ekman, y daninformacin sobre la magnitud de los efectos no lineales y de los efectos defriccin, respectivamente. Para el problema que nos ocupa, estos son:

-Nmero de Rossby-Nmero de Ekman vertical-Nmero de Ekman horizontal armnico-Nmero de Ekman horizontal biarmnico

Para estimar valores numricos, podemos considerar las siguientesmagnitudes tpicas:


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- Magnitud del esfuerzo del viento: = 0.1 N/m-2

- Longitud de la cuenca (rectangular): L =4000 km

- Profundidad: D =1000 m

- Densidad: = 1025 kg/m-3

- Gradiente meridional de vorticidad planetaria: = 1.710-11 m-1s-1

Cuando el nmero de Rossby es muy pequeo, es segundo trmino en (14) sepuede despreciar. Si consideramos adems que la circulacin ha alcanzado unestado estacionario, independiente del tiempo (el tiempo el alcanzar este estado seconoce como spin-up), obtenemos la ecuacin estacionaria

(15)

donde F representa el tipo de friccin, que puede ser de fondo (Stommel) o lateral(Munk).

Finalmente, la caracterizacin de la corriente de borde oeste viene dada por el

parmetro , que representa la fraccin de la longitud de la cuenca que staabarca, dando como resultado el ancho de la corriente de borde oeste (W). Esteparmetro se obtiene segn los procesos fsicos a los que est asociado:

- Efectos inerciales:- Friccin de fondo:- Friccin lateral laplaciana:- Friccin lateral biarmnica:

En esta prctica se resuelve la ecuacin de vorticidad potencial adimensional,ecuacin (14), mediante el mtodo de diferencias finitas, utilizando

aproximaciones de segundo orden tanto en el tiempo como en el espacio. Elmodelo puede resolverse tanto para el plano f(fuerza de coriolis constante) como

para el plano (f variable con la latitud), y pueden emplearse condiciones de lmitede deslizamiento intermedio.

Puedes consultar el captulo 11 del libro de Stewart Introduction to Physical

Oceanography sobre los distintos modelos y definiciones empleados en estaprctica. El captulo est disponible online en el link

http://oceanworld.tamu.edu/resources/ocng_textbook/chapter11/chapter11_01.htm


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Aspectos prcticos para la ejecucin del modelo

Antes de comenzar la simulacin es necesario crear el directorio \out_tmp dentrodel directorio de ejecucin del modelo, donde se almacenarn los resultados en

ficheros de texto. Se ha de tener en cuenta que antes de comenzar una nuevasimulacin es necesario renombrar el directorio y generar uno nuevo, ya que encaso contrario se sobrescribirn los resultados.

Para generar la interfaz de la simulacin se ejecuta en MATLAB el comandopract6_oceanogr. Una vez elegidos los parmetros de la ejecucin, finalizado el

clculo guardamos los ficheros generados en una carpeta creada para estasimulacin, a la que daremos un nombre que identifique los datos.

En esta carpeta que hemos creado, copiamos el fichero cargar.m y lo ejecutamos.

De este modo se crearn las variables que vamos a representar grficamente. Seobtienen cuatro tipos de ficheros de resultados:

- QG_wind_stress.txt: Almacena el rotor de la tensin del viento en todos lospuntos de la malla.

- QG_diag.txt: Formado por 4 columnas que almacenan nmero de iteracin,funcin corriente y vorticidad en el punto central del dominio, y energacintica en todo el dominio

- Psi###.txt: Almacena la funcin corriente en todos los puntos de la malla.- Vor###.txt: Almacena la vorticidad en todos los puntos de la malla

Se puede usar el fichero representaciones.m para obtener los distintos grficos.

Hay que tener en cuenta que el programa resuelve la ecuacin de la vorticidadrelativa en su forma adimensional, y por tanto los resultados que se obtienen delclculo son adimensionales, y en ocasiones habr que renormalizarlos.

PRCTICA DE OCEANOGRAFA FSICA.

SIMULACIN NUMRICA DE LA CIRCULACIN GENERAL DEL OCANO


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Ejercicios

1. Utilizando la ecuacin de Sverdrup justifique la formulacin previapara la escala de la velocidad [ecuacin (13)]. Cual sera la escala de

la funcin corriente?

2.Cules son los trminos que se deben retener en el modelo numrico parasimular la solucin de Stommel?

Se deber dar un valor a la variable EB de la interfaz en el Matlab que secorresponde con la friccin de fondo y dejar un valor nulo en las casillascorrespondientes a las fricciones laterales (El1 y El2). Esto es porque el modelo de

Stommel introduce la friccin de fondo en el modelo, no considerada antes en elmodelo de Sverdrup.

3.Estudiar el comportamiento del modelo de Stommel bajo la aproximacindel plano f y plano . Para facilitar la comparacin utilice el mismo

coeficiente de friccin de fondo en ambas simulaciones (valor sugerido 0.3).

El modelo tiene incorporado en el cdigo el esfuerzo del viento, el cual para

GYR=1 representa un viento tpico de latitudes medias dado por la ecuacin

(12), con n=1.

Utiliza adems la siguiente configuracin de parmetros de entrada:

im=202 % nmero de puntos de malla en la direccin zonal

jm=102 % nmero de puntos de malla en la direccin meridional

ds=0.05 % paso de malla

dt=0.05 % paso temporal

Ro=0.0 % Numero de Rossby (mide la no linealidad del flujo)

eps=0.3 % Coeficiente adimensional de friccin de fondo

Ah=0.0 % Coeficiente adimensional de friccin lateral laplacianaBh=0.0 % Coeficiente adimensional de friccin lateral bi-armnica


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gamma=0.0 % Coeficiente de "deslizamiento intermedio", cond. contorno.

nst=1 % tiempo inicial

nend=2000 % tiempo final

nlpt=100 % frecuencia (en pasos temporales) de salvado de datosMCF=0 % salida en forma de matriz (0) o columna (1)

ncrit=4000 % numero de pasos permitidos para hacer la relajacin (sub. helm)

pcrit=0.1 % Criterio para parar la relajacin

BFP=1 % Plano beta (BFP=1) o plano f (BFP=0)

GYR=1 % Giro simple (GYR=1) o giro doble (GYR=2)

HEM=-1 % Giro de hemisferio N (HEM=1) o S (HEM=-1)

a. Representa grficamente el rotacional de la tensin del viento(QG_curlW). Observa que es independiente de la longitud, por lo cual puede

dibujar simplemente una seccin meridional. Analiza el signo de la

vorticidad que este viento introduce en el ocano.


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Sabemos que la vorticidad est estrechamente relacionada con el rotacional de la

velocidad, siendo la componente ms importante la vertical porque todas lasrotaciones en el ocano se dan en el plano horizontal y la vorticidad esperpendicular a ste. En la representacin del rotacional vemos que ste espositivo en el hemisferio norte, lo que implica que el agua rotara en el sentidoantihorario. Por lo tanto la vorticidad tambin ser positiva.

b. Representa grficamente la energa cintica (cuarta columna de

QG_diag) en funcin del paso de tiempo del modelo (primer columna de

QG_diag). Se puede considerar que el modelo se estabiliz razonablemente

al cabo de 2000 pasos de tiempo? El proceso de estabilizacin del modelo sellama spin-up.


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Como se observa en el grfico el modelo se estabiliza aproximadamente en el pasode tiempo 500 con lo cual se puede afirmar que el modelo es totalmente estable enel paso de tiempo 2000.

c. Representa grficamente para cada caso la funcin corriente en suforma adimensional para el instante final de la simulacin (psi_adimF).

Analiza y describe las diferencias entre ambas simulaciones.

Plano f norte: en el plano f, donde la fuerza de Coriolis es constante con la latitud,se observa que la funcin corriente es simtrica, igual en el borde este que en eloeste.

Plano beta norte: en el plano beta, en el que el efecto de Coriolis s vara con lalatitud, las lneas de corriente no son simtricas, podemos ver una intensificacinde las corrientes al oeste de la cuenca representada por lneas de corriente msjuntas entre ellas. Esto es porque la friccin es mayor en el oeste para compensarla diferencia de vorticidades en ambos lados de la cuenca.


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d. Cmo cambia la solucin en funcin del hemisferio? Utiliza el

parmetro HEM para realizar simulaciones numricas para los dos

hemisferios, siempre sobre plano . Indica el sentido de la circulacin con

flechas sobre los grficos.


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En este caso el rotacional del viento es negativo con lo cual la circulacin ser ensentido horario. Segn la regla de la mano derecha, la vorticidad ser negativa.Como se ve en la segunda figura el rotacional sigue siendo constante paracualquier valor de longitud.

En la representacin de las lneas de corriente se observa la intensificacin de lacorriente en el oeste igual que en el caso anterior.

4. Si consideramos trminos de friccin de fondo, al alcanzar el estado

estacionario, la ecuacin que resuelve el modelo se reduce al balance de

Stommel:

a. Elije una de las simulaciones en plano y estima cada uno de los

trminos de la ecuacin. Representa grficamente los campos resultantes.

Simulacin en plano beta en el hemisferio norte


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Al oeste las magnitudes son mayores mientras que en el borde este el efecto esnulo o prcticamente nulo.

b. Superpn en una misma figura una seccin zonal a la latitud central de

la cuenca de cada uno de los tres trminos y su suma. Explica el significado

fsico de cada uno de los trminos.

Cuando se introduce el efecto del viento aparecen dos fenmenos para compensarsu efecto. Se crea una friccin de fondo, correspondiente al tercer trmino de laecuacin, y adems al no ser este capaz de compensar el efecto en su totalidad seproduce un cambio de latitud hacia el ecuador (representado por el primertrmino) donde las velocidades son menores. De esta forma el efecto del viento seve compensado y se cumple el balance de Stommel.

El gradiente de la funcin corriente representa el cambio de latitud ya que

sabemos que v= .


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i. Se cumple el balance de Stommel?

En la figura anterior se observa que 1-2+3 es una lnea horizontal con valor 0.Por lo tanto se cumple el balance de Stommel.

ii. Qu trminos predominan en la corriente de contorno oeste?

Los trminos que predominan en el borde oeste de la cuenca son el primero(variacin de la latitud) y el tercero (friccin de fondo). Esto es coherente con locomentado hasta ahora. La friccin de fondo es negativa.

iii. Qu trminos predominan al este de la cuenca?

Vemos que en el borde este tanto la friccin de fondo como la velocidad verticaltienden a cero. Solo se aprecia efecto del viento que se mantiene con valores muyparecidos a lo largo de toda la cuenca.

iv. Cmo se denomina este ltimo balance?

Este ltimo balance que no considera la friccin de fondo es equivalente al balancede Sverdrup.

5. Estudia el comportamiento del modelo de Stommel para distintos valores

del coeficiente de friccin (eps). Realiza dos simulaciones adicionales con

valores de eps entre 0.1 y 0.9.

a. Estudia para cada caso el proceso de spin-up. Compara las distintas

soluciones y discute lo que observas.

eps=0,1


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En este caso al ser coeficiente de friccin menor al inicial (0,3) el proceso de spin-up es ms rpido. Se estabiliza aproximadamente en el paso de tiempo 300. Lainercia de la masa de agua es pequea con lo cual la estabilizacin es menoscostosa.

eps=0,6

Al introducir un coeficiente de friccin mayor al que haba inicialmente (0,3) se

observa que el proceso de spin-up tiene lugar ms tarde. Se tarda ms tiempo enllegar a un estado estacionario. Se estabiliza en el paso de tiempo 750-800.

b. Calcula y representa la funcin corriente del transporte de masa en

Sverdrups.


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Se parte de las expresiones siguientes del transporte de masa y la velocidadvertical (gradiente de la funcin corriente de la velocidad):

, ,

Sabemos que la relacin entre la funcin corriente adimensional que

proporciona el programa y la real es , donde representa lavelocidad caracterstica del flujo ya determinada en el ejercicio 1.

Tratndose de una cuenca en condiciones barotrpicas, donde:

Llegamos a la expresin:

Sustituyendo con las magnitudes caractersticas de la cuenca queda la siguienterelacin:

Partiendo de los valores proporcionados en el grfico de la funcin corriente:

(Sv)-1 -5,793-2 -11,586


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-3 -17,379

-4 -23,172

-5 -28,965

-6 -34,758

-7 -40,551

c. Representa grficamente una seccin zonal para una latitud central dela cuenca del transporte meridional en funcin de la distancia.

6. Escribe la ecuacin correspondiente al balance de Munk. Cmo debera

cambiar la configuracin del modelo para estudiar la solucin de Munk?

Ah=Coeficiente adimensional de friccin lateral laplaciana

Bh=Coeficiente adimensional de friccin lateral bi-armnica


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c. La funcin corriente del transporte de masa (en Sv);

Utilizando la expresin calculada en el apartado 5:

(Sv)-2 -11,586

-3 -17,379

-4 -23,172

-5 -28,965

-6 -34,758

-7 -40,551

-8 -46,344

-9 -52,137

-10 -57,93

-11 -63,723

-12 -69,516

d. Los tres trminos de la ecuacin de Munk en 2D y en una seccin zonal

en el centro de la cuenca.


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Se vuelve a apreciar la intensificacin en el oeste, observando los primeros dostrminos correspondientes a la friccin lateral en este caso y al cambio de latitud.El trmino 3 correspondiente a la accin del viento es constante en toda la cuencay en el este los efectos de los trminos anteriores son prcticamente nulos.

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