práctica matemática agronomía cbc (61)

Practicas 0 a 11

Matematica 61

Agronomıa

2014

CICLO BASICO COMUN – UBA – MATEMATICA 61 (AGRONOMIA)

CICLO BÁSICO CÓMÚN – UBA – MATEMÁTICA 61 (AGRONOMÍA)

Introducción

Esta guía de trabajos prácticos corresponde a la materia Matemática 61 del Ciclo Básico Co-

mún que se dicta para carreras de la Facultad de Agronomía. La materia fue especialmente

diseñada a pedido de la Facultad para incluir las herramientas básicas de matemática nece-

sarias para sus carreras. Esencialmente, los temas a estudiar son los conceptos clásicos del

análisis matemático en una variable, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y una

primera noción de combinatoria y probabilidad.

Todos los temas se desarrollarán en clase con la teoría correspondiente, varios ejemplos y

resolución de ejercicios. El trabajo del alumno consiste en estudiar los conceptos y las explica-

ciones dados y resolver todos los ejercicios de esta guía, de forma tal que, en el momento de

las evaluaciones, sea capaz de resolver en forma correcta ejercicios similares sobre los temas

explicados. Durante las clases también se dedicará cierto tiempo a consultas individuales o

colectivas de los alumnos para disipar las dudas que puedan surgir.

El contenido de la materia se dará completamente en clase, por lo que no es obligatorio el

uso de bibliografía. Sin embargo, se sugieren a continuación algunos textos que, si bien no se

adecuan estrictamente al programa de la materia, pueden servir para ahondar, repasar o ver

otro enfoque de algunos temas, así como para obtener más ejercitación.

1


Libros de consulta

• ALLENDOERFER, Carl B. y OAKLEY, C. Matemáticas Universitarias. McGraw - Hill.

• de GUZMÁN, Miguel, COLERA J. y SALVADOR, A. Matemáticas. Bachillerato 1. ANAYA.



•de GUZMÁN, Miguel y COLERA J. Matemática II. C.O.U. ANAYA.

• PROFESORES DEL ÁREA MATEMÁTICA DEL CBC. Matemática Teórica. CCC Educando.

• PURCELL, Edwin J. y VARBERG. D. Cálculo Diferencial e Integral. Prentice Hall.

• SPIEGEL, Murray R. Cálculo Superior. McGraw - Hill.

• ZILL, Dennis G. Álgebra y Trigonometría. McGraw - Hill.

2


Práctica 0Preliminares

Ejercicio 1. Calcular:

a)56+

23−(

34+

16

)b)(

23+

15

)52+

56

c)(

43− 2

9

)−1(56+

12

)2

d)(4 + 53 − 9

):(102 − 70

)

e)(

18+

25

)(52

:14

)f )

32(5 + 1, 2)− 5, 8(12+ 52

): (3 + 2, 1)

g)

(√9 + 1615

+23

)12

h)(

49

)−12+

(1

16

)34

i)(−1

5

)0

+ 3

√−27

8j)

[(15

)3(15

)4]2

7

k)

[(25

)6

:(

25

)4]−1

l)(

849

)−32

Ejercicio 2. Reducir cada expresión a una sola fracción:

a) 4− 5x

b) 2− 32x + 1

c)2x√

x− x2

2√

xx

d)x

x− 4+−3

4− x

e) 2x + 5− 251− 2x

f )2x2 + 3x

g)(

5x2 + 15x2x + 6

):(

1 +5

2x

)h)

x + 23x− 12

+2x− 14− x

3


Ejercicio 3. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones:

a) 2x + 5 = 9 b) 4x− 11 = −5x + 7

c) 3− x2= −1 d)

5x+ 2 = −3

e)6x2 − 123x− 4

= 2x f ) 3 + x = x− 2

g)10

x + 2= 5 h)

4x− 2

− x2x− 4

=7

3x− 6

i)3x− 7x + 6

= −2 j) x +5

x− 2=

x + 3x− 2

k)3x− 2

7x= 0 l) x2 − 3x = x2 + 5x− 2

m)x + 1

2+

x3=

x2+

16

n)5

x− 3+ x = 3 +

5x− 3

Ejercicio 4.

a) Desarrollar cada expresión:

i) (x− 5)2 ii) (x + 7)2

iii) (x− 3)(x + 1) iv) (x− y)(x + y)

b) Escribir en cada caso como producto de dos factores:

i) x2 − 81 ii) x3 − 11x iii) x4 − 16

iv) x4 + 3x3 + 5x2 v) x2 − 10x + 25 vi) 4x2 − 9

Ejercicio 5. Decidir, en cada caso, si las expresiones dadas son iguales para todos los posibles

valores de a , b , c y d especificados. En caso de no ser iguales, encontrar valores fijos que

hagan que las expresiones sean distintas:

a)√

ab y√

a√

b (a, b ≥ 0)

b)√

a + b y√

a +√

b (a, b ≥ 0)

4


c)1√a

y√

aa

(a > 0)

d) (a + b)2 y a2 + 2ab + b2

e) (a + b)2 y a2 + b2

f)a + b

ay 1 +

ba

(a 6= 0)

g)a + b

cy

ac+

bc

(c 6= 0)

h)1

a + by

1a+

1b

(a 6= 0 , b 6= 0 , a + b 6= 0)

i) a53 y 3

√a5

j) a2 − b2 y (a− b)(a + b)

k) a−1 y1a

(a 6= 0)

l) a−1 y −a (a 6= 0)

m)( a

b

)−1y

ba

(a 6= 0, b 6= 0)

n)ab

:cd

yadbc

(b 6= 0, c 6= 0, d 6= 0)

Ejercicio 6. En cada uno de los siguientes casos, escribir en lenguaje algebraico la información

relativa a un rectángulo utilizando la base b y la altura h :

a) La base excede en 2 unidades a la altura.

b) El perímetro del rectángulo es de 50 cm.

c) La base es el doble de la altura.

d) El área del rectángulo es de 200 cm 2 .

e) La diagonal del rectángulo mide 5 cm.

f) El rectángulo es un cuadrado.

g) La altura es igual a25

de la base.

5


Ejercicio 7. El Gran Mago me dijo:

• Pensá un número.

• Sumale 7.

• Multiplicá el resultado por 3.

• Al número obtenido, restale 15.

• Dividí por 3.

• Sumá 2.

• Decime el resultado.

Le dije 53 y, de inmediato, el Gran Mago dijo “Pensaste el 49”. ¿Cómo hizo el Gran Mago para

responder tan rápidamente?

Ejercicio 8. Asociar cada enunciado con la expresión algebraica correspondiente:

a) El área de un triángulo es base por altura dividido por 2. i) 7− 3a

b) 7 menos el triple de un número. ii)a3− b

c) La diferencia de dos cuadrados. iii) (a− b)2

d) El triple de un número menos 7. iv) A =bh2

e) El cuadrado de la diferencia de dos números. v) 3a− 7

f) La diferencia de dos números dividida por 3. vi) a2 − b2

g) La tercera parte de un número menos otro. vii)a− b

3

Ejercicio 9. ¿Cuántos minutos hay en38

de día?

Ejercicio 10. ¿Cuál de dos amigos come más pizza: el que come las cinco sextas partes de la

mitad de la pizza, o el que come las tres cuartas partes de lo que dejó el primero?

Ejercicio 11. Un automóvil cuesta hoy $ 63000 . Si cada año pierde el 10 % de su valor, calcular

cuánto valdrá dentro de dos años.

Ejercicio 12. Una pastilla que pesa 2 g contiene 25 % de aspirina, 35 % de vitamina C y el

resto es excipiente. ¿Cuántos gramos de cada sustancia contiene?

6


Ejercicio 13. Un patio rectangular mide 24 m de perímetro. Si el largo es tres veces el ancho,

¿cuánto miden el largo y el ancho del patio?

Ejercicio 14. María tiene 36 años y Juan, 8. ¿Dentro de cuántos años la edad de María será el

triple de la edad de Juan?

Ejercicio 15. Decidir cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas:

a) Si a ≥ 3 y a ≤ 3 entonces a = 3 .

b) Si a = 2 entonces a2 = 4 .

c) Si a2 = 4 entonces a = 2 .

d) Si a = 2 entonces a ≥ 2.

e) Si a.b = 0 entonces a = 0 o b = 0 .

f) Si a.b = 0 entonces a = 0 y b = 0 .

g) Si a = 0 y b = 0 entonces a.b = 0 .

h) Si a = 0 o b = 0 entonces a.b = 0 .

i) Si a2 = 3 entonces a4 − 3a2 = 0 .

j) Si a4 − 3a2 = 0 entonces a2 = 3 .

k) Si a4 − 3a2 = 0 y a 6= 0 entonces a2 = 3 .

l) Si a > 1 entonces a > 0 .

m) Si a > 0 entonces a ≥ 1 .

7


ALGUNAS RESPUESTAS

1. a)712

b) 3 c)85

d) 4 e)214

f) 10

g) 1 h)138

i) −12

j)1

25k)

254

l)14

2. a)4x− 5

xb)

4x− 12x + 1

c)3√

x2

d)x + 3x− 4

e)−4x2 − 8x− 20

1− 2xf)

2 + 3x3

x2 g)5x2

2x + 5h)

5− 5x3(x− 4)

3. a) x = 2 b) x = 2 c) x = 8 d) x = −1

e) x =32

f) No hay solución. g) x = 0 h) x =103

i) x = −1 j) x = 1 k) x =23

l) x =14

m) x = −1 n) No hay solución.

7. Si x es el número que pensé, la cuenta que me hizo hacer el Mago es3(x + 7)− 15

3+ 2 =

x + 4 . Es decir, para responder rápidamente, debe restarle 4 al número que le dije.

9. 540 minutos.

10. El primero come5

12de la pizza, el segundo

716

de la pizza, que resulta ser una porción

mayor que la del primero.

11. $ 51030 .

12. 0, 5 g de aspirina, 0, 7 g de vitamina C y 0, 8 g de excipiente.

13. 9 m de largo y 3 m de ancho.

14. Dentro de 6 años.

8


Práctica 1Números reales

Ejercicio 1. Representar en la recta real:

a) Todos los números enteros x tales que x(x− 1) = 0 .

b) Todos los números naturales x tales que x2 − 16 = 0 .

c){

x ∈ R/(5− 2x)(x2 − 9) = 0}

d){

x ∈ N/x2 − 6x + 9 = 0}

e){

x ∈ R/x3 − 6x2 + 9x = 0}

f ){

x ∈ R/x2 + 10 = 0}

Ejercicio 2.

a) En cada caso, decidir si los números a y b pertenecen al conjunto C :

i) C = {x ∈ R/3x− 2 < 4} a = 5 b = 0

ii) C = {x ∈ R/− 2 < x ≤ 8} a = −3 b = 4

iii) C ={

x ∈ R/x2 − 25 > 0}

a = 0 b = 5

iv) C ={

x ∈ R/x3 − x > 10}

a = 5 b = −1

v) C =

{x ∈ R/

x− 12− x ≤ 1− x

4− 3}

a = 9 b = 4

b) En cada caso, dar dos números que pertenezcan y dos que no pertenezcan a A :

i) A = {x ∈ R/− 2 < x ≤ 4} ii) A ={

x ∈ R/x2 > 5}

Ejercicio 3. Escribir cada conjunto como intervalo, unión de intervalos disjuntos o por exten-

sión y representarlo en la recta real:

a) El conjunto A de todos los números reales menores que 2 .

b) El conjunto B de todos los números reales mayores o iguales que −1 .

c) El conjunto C de todos los números enteros mayores que −3 y menores o iguales que 7.

d) El conjunto D de todos los números reales mayores que −3 y menores o iguales que 7 .

e) El conjunto E de todos los números reales que no son menores que 5 .

f ) F = {x ∈ R/x ≥ −3} g) G = {x ∈ R/− 1 ≤ x y x < 5}

9


h) H = {x ∈ R/x < 0 y x ≥ 1} i) I = {x ∈ R/x ≥ 1 y x ≥ 3}

j) J = {x ∈ R/x < −1 ó x ≥ 5} k) K = {x ∈ R/x < 3 ó x > 0}

Ejercicio 4. Escribir en cada caso el conjunto resultado como intervalo, unión de intervalos

disjuntos o por extensión y representarlo en la recta real:

a) A = (−1 ; 5) ∪ [4 ; 7, 3] b) B = [−2 ; 3, 5] ∩ (0 ; 4) c) C = [−2 ; 4]− (0 ; 6)

d) D = (−∞ ; 4] ∩ (0 ; +∞) e) E = {1; 2; 4; 5} ∩(

43

;92

)f ) F =

(−2 ;

313

)− (0 ; 6)

g) G = N∩ (1, 5 ; 7) h) H = (−∞ ; 3) ∩ [3 ; +∞) i) I = (−∞ ; 3] ∪ [3 ; +∞)

Ejercicio 5. Escribir en cada caso el conjunto dado como intervalo, unión de intervalos dis-

juntos o por extensión y representarlo en la recta real:

a) A = {x ∈ R/5 + x < −x + 3} b) B = {x ∈ R/8− 2x < 3}

c) C = {x ∈ R/3x− 2 ≤ 3x + 5} d) D = {x ∈ R/5− x < −x + 3}

e) E =

{x ∈ R/

x− 12− x <

1− x4− 3}

f ) F = {x ∈ R/− 1 ≤ x < 4}⋂Z

g) G = {x ∈ R/2x− 1 < 0} ⋂ {x ∈ R/3x + 2 ≤ −x− 5}

h) H =

{x ∈ R/5x− 3 >

12− x}⋃ {x ∈ R/3 < 2x− 1 ≤ 7}

i) I = {x ∈ R/3 < 2x− 1 ≤ 7} − {x ∈ R/− 11 ≤ 1− 3x < −2}

Ejercicio 6. Representar en la recta real cada uno de los siguientes conjuntos. Escribir en cada

caso el conjunto dado como intervalo, unión de intervalos disjuntos o por extensión:

a) El conjunto A de todos los números reales que están a distancia 3 del 0.

b) El conjunto B de todos los números reales cuya distancia al 0 es menor o igual que 5.

c) El conjunto C de todos los números reales cuya distancia al 3 es mayor que 2.

d) D = {x ∈ R/ |x| = 4} e) E = {x ∈ R/ |x| < 3}

f ) F = {x ∈ R/ |x| = −2} g) G = {x ∈ R/ |x| ≥ 5}

h) H = {x ∈ R/ |x + 3| − 5 = −2}

10


Ejercicio 7.

a) Representar en el plano los siguientes puntos:

P = (3, 1); Q = (−4, 2); R = (0, 2); S = (−1, 0); T =

(5,

12

)y U =

(−3

2,−2

).

b) Para los puntos del ítem anterior, hallar las coordenadas de sus simétricos con respecto

al eje x y al eje y y representarlos en el plano.

Ejercicio 8. Representar en el plano los siguientes conjuntos:

a) El conjunto A de puntos de abscisa 8.

b) El conjunto B de puntos de abscisa positiva o nula.

c) El conjunto C de puntos de abscisa y ordenada positiva.

d) El conjunto D de puntos de ordenada mayor o igual que −1 y menor que 5 .

Ejercicio 9.

a) Hallar la distancia entre los puntos P y Q en cada caso:

i) P = (3, 2), Q = (7, 5)

ii) P = (−1, 0), Q = (3,−2)

iii) P = (0,−2), Q = (−4, 1)

b) Hallar el perímetro del triángulo de vértices P = (−2, 1) , Q = (1,−3) y R = (−2,−3).

Ejercicio 10.

a) Dar cinco puntos del plano que estén a distancia 2 del punto P = (3, 1) . Graficar.

b) Hallar todos los puntos del eje x que estén a distancia 5 del punto P = (1, 3) . Graficar.

c) Decidir si existe algún punto del eje x a distancia 2 del punto P = (2,−3) . Justificar

gráficamente.

Ejercicio 11.

a) Hallar todos los puntos de la forma P = (a,−2) con a ∈ R que están a distancia 5 del

punto Q = (0, 1) .

11


b) Hallar todos los puntos de la forma P = (a, a) con a ∈ R que distan 13 del punto

Q = (5,−12) .

c) Hallar todos los puntos de la forma P = (a, 2a− 1) con a ∈ R que están a distancia 5

del punto Q = (3, 3) .

Ejercicio 12. Dar una ecuación que caracterice a todos los puntos (x, y) del plano que equi-

distan de los puntos P = (0, 0) y Q = (4, 0) . Graficarlos.

12


Práctica 2Funciones: generalidades - Algunas funciones usuales

Ejercicio 1. Un avión tarda 60 minutos en llegar desde Buenos Aires hasta Bahía Blanca. El si-

guiente gráfico describe aproximadamente la altura en metros del avión en función del tiempo

durante el viaje:

60

1000

2000

3000

4000

5000

10 20 30 40 50

A partir del gráfico, responder:

a) ¿Cuál fue la altura máxima que alcanzó el avión? ¿Cuánto tiempo voló a esa altura?

b) ¿Cuánto tardó en llegar a la altura máxima?

c) ¿A qué altura se encontraba a los 30 minutos de partir?

d) ¿Cuántas veces estuvo a 3000 m de altura?

e) ¿En qué momentos subió? ¿En qué momentos bajó?

f) ¿Cuántas veces voló a altura constante?

Ejercicio 2.

a) Sea f (x) = −x2 + 4x− 5 . Calcular f (0) , f (1) , f (6) y f (−1) .

b) Sea f (x) = 4x(x + 1)3 . Completar la siguiente tabla:

x 2 4 −2 −3

f (x)

13


Ejercicio 3. En cada uno de los siguientes casos, escribir Dom ( f ) como intervalo o unión de

intervalos y decidir si −3 ∈ Im ( f ) :

a) f (x) =x− 4

6 + 2xb) f (x) =

√x + 2

c) f (x) =−5x

x2 − 4d) f (x) = x +

3x

e) f (x) =√

2x− 1 +√

1− x f ) f (x) =√

3xx− 4

Ejercicio 4. Determinar para cada una de las funciones graficadas su conjunto de ceros, los

conjuntos de positividad y negatividad y los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

a)

10 f

b)

−4 −3

−2 −1 0

1 2 g

c)

−2 0 2

h

Ejercicio 5. Graficar la función lineal f y decidir si el punto (1, 4) pertenece al grafico de f

en cada uno de los siguientes casos:

a) f (x) = −2x + 6 b) f (x) = x + 4

c) f (x) = 4x d) f (x) = −32

x + 2

e) f (x) = 4

Ejercicio 6.

a) En cada uno de los siguientes casos, encontrar la función lineal f que satisface simultá-

neamente:

i) f (1) = 0 y f (2) = 5

14


ii) f (−1) = 1 y f (3) = −5

iii) f (1) = 3 y f (4) = 3

b) Hallar la función lineal cuyo gráfico es la recta que pasa por los puntos P y Q , indicando

en cada caso su pendiente y su ordenada al origen:

i) P = (1, 2) Q = (3, 6)

ii) P = (−2, 2) Q = (4, 5)

iii) P = (2,−5) Q = (−4, 5)

c) En cada caso, hallar la ecuación de la recta de pendiente m que pasa por el punto P :

i) P = (0, 2) m = 3 ii) P = (−1, 3) m = −1

iii) P = (2, 5) m = 0 iv) P = (2, 5) m = −32

Ejercicio 7. En cada caso, hallar la ecuación de la recta graficada:

a)

1

−1

2

b)3

c)

1

−1

Ejercicio 8. Decidir, en cada caso, si existe una función lineal f de modo que los puntos P ,

Q y R pertenezcan simultáneamente al gráfico de f :

a) P = (−2, 5) Q = (0, 7) R = (4, 11) .

b) P = (−2, 5) Q = (0, 3) R = (4, 0) .

Ejercicio 9. Sea f (x) = mx + 5 . Encontrar el valor de m ∈ R tal que f (2) = −3 . Para el valor

hallado, determinar los puntos en los que el gráfico de f corta a los ejes coordenados.

Ejercicio 10. Dada la recta que pasa por (3, 2) y (4, a) ,

a) ¿para qué valor de a la pendiente vale 8 ?

15


b) ¿para qué valor de a la recta corta al eje y en el punto (0, 3) ?

c) ¿para qué valor de a la recta pasa por el punto (2, 9) ?

Ejercicio 11. Dada f (x) = 2x− 8 , hallar sus ceros y el conjunto de positividad, el de negati-

vidad y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .

Ejercicio 12. Encontrar la función lineal f tal que f (4) = 9 y cuyo conjunto de negatividad

es (7;+∞) . Para la f hallada, calcular f (10) .

Ejercicio 13. Hallar el punto de intersección de los gráficos de f y g en cada caso:

a) f (x) = x + 2 , g(x) = −2x + 8 .

b) f (x) =12

x− 3 , g(x) = 4 .

c) f (x) = 2x + 1 , g es la función lineal cuyo gráfico es la recta de pendiente 4 y ordenada

al origen 5 .

d) f (x) = −x− 6 , g es la función lineal cuyo gráfico es la recta que pasa por el origen de

coordenadas y tiene pendiente 2 .

Ejercicio 14. Escribir el conjunto A = {x ∈ R/ f (x) ≤ g(x)} como intervalo o unión de in-

tervalos. En cada caso, representar gráficamente en un mismo plano f y g y el conjunto A

en el eje x .

a) f (x) = x + 10 , g(x) = 3x + 2 .

b) f (x) = 3x + 2 , g(x) = −4 .

c) f (x) = −x + 1 , g la función lineal tal que g(1) = 2 y g(−2) = 8 .

Ejercicio 15. La boleta mensual de luz tiene un cargo fijo de $ 25 y $ 0,02 por cada KWH

consumido.

a) Dar la función lineal que dice cuánto se debe pagar (en $) en función de los KWH con-

sumidos. Representar gráficamente.

b) Si Pedro consume en un mes 300 KWH, ¿cuánto debe pagar?

16


c) Si Pedro debe pagar $ 40 , ¿cuánto consumió?

Ejercicio 16. Una empresa de celulares tiene dos planes. El plan TANGO tiene un abono men-

sual fijo de $30 y además cobra $1 por cada minuto de llamada (sin minutos libres). El plan

TONGO no tiene abono pero cobran $2 por cada minuto de llamada.

a) ¿Cuánto se debe pagar con cada plan si se realizan en el mes 20 minutos de llamadas?

¿Y si se realizan 60 minutos?

b) Dos personas, una abonada al plan TANGO y la otra al plan TONGO, pagaron $100 cada

una. ¿Cuál de las dos habló más minutos?

c) ¿Cuántos minutos se deben utilizar para que ambos planes cobren lo mismo? ¿Cuándo

conviene más cada plan?

Ejercicio 17. Para cada función f , hallar el vértice de su gráfico, calcular su imagen, los inter-

valos de crecimiento y de decrecimiento y graficarla aproximadamente:

a) f (x) = x2 − 9 b) f (x) = (x + 2)2

c) f (x) = −x2 − 2 d) f (x) = 3x2 + 12x− 9

e) f (x) = 4x (x− 1) + 1 f ) f (x) =14

x2 − 3x− 2

g) f (x) = −x2 + x h) f (x) = 2x2 + x− 3

Ejercicio 18. Hallar en cada caso los ceros, el conjunto de positividad y el conjunto de negati-

vidad de f :

a) f (x) = −5 (x + 1) (x− 2) b) f (x) = 1− (x− 3)2

c) f (x) = x2 − 5x + 6 d) f (x) = −2x2 + 3x− 3

e) f (x) = 2x2 + 8 f ) f (x) = 3x2 + 6x + 3

17


Ejercicio 19. En cada uno de los siguientes casos, hallar la función cuadrática f que verifica

lo pedido:

a) El gráfico de f tiene vértice V = (4, 5) y pasa por el punto (3, 3) .

b) El conjunto de positividad de f es (0; 6) e Im ( f ) = (−∞; 4] .

c) El intervalo de crecimiento de f es (3;+∞) , su imagen es [−2;+∞) y f (4) = 6 .

Ejercicio 20. Sea f (x) = 3x2 − 3x− 18. Encontrar la función cuadrática g que tiene los mis-

mos ceros que f y satisface g(1) = 24 .

Ejercicio 21. Hallar los puntos de intersección de los gráficos de f y g en cada caso:

a) f (x) = x2 + 5x + 4 y g (x) = 3x + 7 .

b) f (x) = −x2 + x + 1 y g (x) = −2x + 4 .

c) f (x) = 3 (x + 1) (x + 7) y g (x) = −15 .

d) f (x) = 3x2 + 5x− 7 y g (x) = 2x2 + x + 14 .

e) f (x) = 2x2 + 5x− 7 y g (x) = 2x2 − x + 5 .

f) f es la función lineal tal que f (2) = 5 y f (4) = 9 y g (x) = x2 + 8x + 6 .

Ejercicio 22. El precio en pesos de una torta circular de x cm de radio viene dado por

p(x) =12

x2 + 30 .

a) ¿Cuál es el precio de una torta de 10 cm de radio? ¿Y de una de 20 cm?

b) ¿Cuál es el radio de una torta si su precio es de $ 192 ?

Ejercicio 23. Un artesano confecciona cuadros rectangulares, en los que la base mide el doble

que la altura. La placa de madera de fondo tiene un costo de $ 0,10 el centímetro cuadrado, y

las varillas que adornan los bordes cuestan $ 2 el centímetro.

a) ¿Cuál es el costo en materiales de un cuadro cuya altura mide 10 cm?

b) ¿Cuáles son las dimensiones de un cuadro cuyo costo en materiales es de $225?

18


Ejercicio 24. Un constructor debe hacer una ventana rectangular. Para el marco utiliza 3,20 m

de varilla metálica.

a) ¿Cuál es el área de la abertura si la construye con una base de 0,40 m? ¿Y si la base es de

0,60 m? ¿Y si es de 0,90 m?

b) ¿Cuál debe ser la base para que el área de la abertura sea de 0,55 m 2 ? ¿Cuántas posibi-

lidades hay?

c) ¿Es posible hacer una ventana cuya área sea de 1,20 m 2 ?

Ejercicio 25.

a) Dada f (x) = x3− 3x2 + 4x , describir por extensión el conjunto A = {x ∈ R/ f (x) = 0} .

b) Sea f una función polinómica de grado 3 que corta al eje x en los puntos (−1, 0) , (1, 0)

y (2, 0) . Determinar f si se sabe que f (3) = 16 .

c) Hallar la función polinómica f de grado 3 tal que su conjunto de ceros es {−1, 1, 5} y

f (2) = 9 .

Ejercicio 26. En cada caso, representar gráficamente en forma aproximada cada grupo de

funciones polinómicas y comparar sus gráficos:

a) f1(x) = x3 f2(x) = (x + 1)3 f3(x) = x3 − 1 f4(x) = −x3 .

b) g1(x) = x2 g2(x) = 2x2 g3(x) =14

x2 g4(x) = 2(x− 1)2 + 1 .

19


Práctica 3Composición de funciones - Más funciones usuales

Ejercicio 1. Dadas las funciones f y g , calcular f ◦ g y g ◦ f en cada caso:

a) f (x) = 3x − 2 , g(x) = x2 + 3

b) f (x) = x2 − 4 , g(x) =2x + 1x − 3

c) f (x) =3

x + 2, g(x) =

3x− 2

d) f (x) = 2x − 1 , g(x) = x√

x2 + 2

Ejercicio 2.

a) La relación funcional entre grados Celsius (oC) y la escala Kelvin (K) es lineal. Sabiendo

que 0 oC= 273 K y que 27 oC= 300 K, encontrar la función f que da la temperatura en

grados Celsius conocida la misma en la escala Kelvin.

b) La función g(x) = 1, 8 x + 32 expresa la temperatura en grados Fahrenheit si x es

la temperatura en grados Celsius. Encontrar la expresión de la temperatura en grados

Fahrenheit en función de la temperatura en la escala Kelvin. ¿Es lineal?

Ejercicio 3.

a) Sean f (x) = x+ k y g(x) =2x

. Hallar el valor de k ∈ R de manera que (g ◦ f )(1) = −4 .

Para el valor de k encontrado, calcular ( f ◦ g)(1) .

b) Sean f (x) = kx− 2 y g(x) =2x + 6−x + 4

. Hallar el valor de k ∈ R de modo que (g ◦ f )(1) = 5 .

Para el valor de k hallado, calcular ( f ◦ g)(1) .

Ejercicio 4. En cada caso, resolver la ecuación f (x) = b para cada uno de los valores de b

dados y representar gráficamente:

a) f (x) = 2x + 1 , b = 9 , b = −1

b) f (x) = x2 − 3 , b = 13 , b = −4

c) f (x) =√

x − 2 , b = 5 , b = −3

20


Ejercicio 5. En cada caso, calcular f−1 , dar su dominio y graficar aproximadamente f y f−1 :

a) f : R→ R f (x) = 2x − 4

b) f : R→ R f (x) = 3√

x

c) f : [0,+∞) → R f (x) = 3x2 + 2

d) f : [−2,+∞) → R f (x) =√

x + 2

Ejercicio 6. La función f (x) = 1, 8 x + 32 expresa la temperatura en grados Fahrenheit (oF) si

x es la temperatura en grados Celsius (oC). Dar la función que permite, dada una temperatura

cualquiera en grados Fahrenheit, obtener la misma en grados Celsius. Sabiendo que el papel

arde aproximadamente a 451 oF, ¿a cuántos grados Celsius hay que exponer esta práctica para

quemarla?

Ejercicio 7. Dadas f y g , calcular h = g ◦ f y h−1 en cada caso:

a) f (x) = −2x + 1 , g(x) =−x + 34x − 1

b) f (x) =x − 2

3x + 5, g(x) = 2x − 1

Ejercicio 8. Graficar cada una de las siguientes funciones y escribir la imagen como intervalo

o unión de intervalos:

a) f (x) = 2x − 1 b) f (x) =(

12

)x+1

c) f (x) = 10−x − 2 d) f (x) = e−x+1 + 3

Ejercicio 9. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones:

a) 22x−1 = 8 b) 3 · 92−x = 1

c) ln(2x − 3) = 0 d) log3(5x − 1) = 2

Ejercicio 10. En cada caso, hallar el dominio y los ceros de f :

a) f (x) = log10(2 − x) b) f (x) = ln(x2 − 1)

21


Ejercicio 11. Para cada función f , hallar la función inversa f−1 y dar dominio e imagen de

f y f−1 :

a) f (x) = e2x+1 b) f (x) = ln(3 − x)

c) f (x) = 3 − e3+√

4−5x d) f (x) = 1 + ln(2x + 3)

e) f (x) = ln(√

x + 1) + 5

Ejercicio 12. Sea f (x) = e4x−8 + b . Hallar el valor de b para que Im ( f ) = (9;+∞) . Para el

valor de b hallado, calcular la función inversa f−1 .

Ejercicio 13. La población (en millones) de cierta región, t años después del año 2000, se

puede aproximar mediante la función

f (t) = 300 · (1, 02)t.

a) ¿Cuántos individuos tenía la región en el año 2000? ¿y en el año 2010?

b) Si no varían las condiciones, ¿cuántos tendrá en 2040?

c) ¿Cuándo será la población el doble de lo que era en el año 2000?

Ejercicio 14. Un jarro con agua se retira del fuego cuando el agua que contiene está hirviendo

y se coloca en una habitación donde la temperatura ambiente es 20 oC. La temperatura (me-

dida en oC) del agua, transcurridos t minutos de haber retirado el jarro del fuego, viene dada

por T(t) = 20 + 80e−0,41t .

a) Hallar la temperatura del agua a los 5 minutos.

b) ¿Cuánto tiempo deberá pasar para que la temperatura del agua sea de 40 oC?

Ejercicio 15. En cada caso, hallar la función exponencial f (x) = kax que satisface:

a) f (0) = 5 y f (3) = 40 .

b) f (1) = 7, 5 y f (5) = 292, 96875 .

22


Ejercicio 16. Completar las tablas siguientes:

a)

Radianes 0π

6π

4π

3π

2π

Grados 180◦

b)

x 0π

6π

4π

3π

2

sen(x)12

cos(x)√

22

12

tg(x) 1 @

c)

x56

π −π

354

π73

π −34

ππ

376

π −π

4

sen(x)

cos(x)

tg(x)

Ejercicio 17. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones trigonométricas en el intervalo

señalado:

a) sen(x) = −12

en [0; 2π) b) sen(x) = −12

en R

c) sen(x) = −12

en[−π

2; 3π

]d) sen(x) = −

√2

2en [−π; π]

23


e) cos(x) = −√

32

en [0; π) f ) cos(x) = −1 en R

g) cos(x)− 12= 0 en [−π; 2π] h) tg(x) = 0 en [0; 2π)

i) tg(x) =√

3 en R j) tg(x) = −1 en[−π;

52

π

]

Ejercicio 18. Hallar los ceros de f en el intervalo señalado en cada uno de los siguientes

casos:

a) f (x) = cos(

x +π

4

)en [−π; 5π] b) f (x) = tg (2x) + 1 en [−π; 5π]

c) f (x) = 3 tg(

2x − π

2

)−√

3 en [−π; 3π] d) f (x) = 2 sen(

x − π

4

)+ 1 en [0; 3π]

e) f (x) = 2 sen2(x)− sen(x) en [−π; π] f ) f (x) =(

12+ sen(x)

)cos(x) en [−π; π]

Ejercicio 19. En cada caso, hallar la imagen de f . Determinar el valor máximo y el valor

mínimo de f e indicar en qué puntos se alcanzan dichos valores.

a) f (x) =13

sen (x) b) f (x) = −2 sen (2x + π)

c) f (x) = 3 cos (−x) + 2 d) f (x) = 2 cos (3x)− 1

Ejercicio 20. Sea f (x) = −3 sen(x + π) + k . Determinar el valor de k para que Im ( f ) =

[−4; 2] . Para el valor de k hallado, encontrar un valor de x0 tal que f (x0) = −4 y un valor

de x1 tal que f (x1) = 2 .

Ejercicio 21. Dado el triángulo rectángulo ABC , con BAC = 90◦ , resolverlo completamente

(es decir, calcular la medida de todos sus lados y de todos sus ángulos) en cada uno de los

siguientes casos:

a) AB = 3 AC = 4 b) BC = 5 ABC = 60◦

c) AC = 12 BC = 13 d) AB = 12 ACB = 60◦

24


Ejercicio 22. Dado el triángulo ABC , resolverlo completamente en cada uno de los siguientes

casos:

a) AB = 3 AC = 4 BC = 6 b) BC = 5 ABC = 60◦ ACB = 45◦

c) AB = 13 AC = 10 BAC = 30◦ d) AB = 12 BC = 10 ACB = 45◦

Ejercicio 23. En un día nublado, para calcular la altura de un árbol, se cuenta con un teodolito

que mide ángulos de manera vertical y horizontal. Si uno se aleja 50 m del árbol, el ángulo

medido en forma vertical desde el suelo hasta la punta del árbol es de 35◦ . Estimar la altura

del árbol.

Ejercicio 24. En un día de sol, un árbol da una sombra de 3,5 m en el mismo momento del día

en que una vara vertical de 1 m da una sombra de 0,74 m. Estimar la altura del árbol.

Ejercicio 25. Para hallar la distancia entre dos puntos A y B , un agrimensor escoge un punto

C que está a 420 m de A y a 540 m de B . Si el ángulo ACB mide 63◦10′ , calcular la distancia

entre A y B .

Ejercicio 26. Un guardabosques ubicado en un punto de observación A avista un incendio

en dirección N 27◦10′ E (es decir, rumbo NE haciendo un ángulo de 27◦10′ con la dirección

norte). Otro guardabosques, que está en un punto de observación B a 6 km directamente al

este de A, advierte el mismo incendio en dirección N 52◦40′ O. Calcular la distancia entre

cada punto de observación y el incendio.

25


Ejercicio 27. Para calcular la altura de una torre ( AD ), se colocaron dos puntos de referencia

B y C sobre el suelo distantes entre sí 50 m. Con un teodolito, desde los puntos B y C se

midieron los ángulos horizontales ABC = 60◦ y ACB = 70◦ y el vertical ABD = 42◦ .

Calcular la altura de la torre.

26


Práctica 4Límite de funciones - Asíntotas - Continuidad

Ejercicio 1. En cada caso, a partir del gráfico de f , determinar (si existen) los valores de

lımx→+∞

f (x) y lımx→−∞

f (x) :

a)

−1

3 f b)2 f

c) 5f

d)4

f

e)f

f )2

−2

f

Ejercicio 2. Calcular los siguientes límites:

a) lımx→+∞

4x2 b) lımx→+∞

−2x5

c) lımx→+∞

2x3 d) lım

x→+∞−3

x+ 5

27


e) lımx→+∞

x3(−2 +

7x

)f ) lım

x→+∞

6− 5x2

x2(

9 +1x

)

g) lımx→+∞

6x5 − 2x3 + x + 9 h) lımx→+∞

−2x5 + x3 − 3x6 + 1

i) lımx→+∞

x2 + 4x−2x2 + 1

j) lımx→+∞

−x4 + 2x3 − 5xx3 + 9x2 + 10x

+ 5

k) lımx→+∞

(3

x + 2− 1)(

6 +1x

)l) lım

x→+∞

(9x2 − x + 1−3x2 + 7x

)(5

x− 4

)

m) lımx→+∞

x2

x + 1− x n) lım

x→+∞ex2+x+1

ñ) lımx→+∞

e−x + 3 o) lımx→+∞

ln(x2 + x + 1)


a) lımx→−∞

4x3 b) lımx→−∞

4x

c) lımx→−∞

x(

9− 2x2

)d) lım

x→−∞−x4 − 7x3 + 20

e) lımx→−∞

3x− 1−6x4 + 7

f ) lımx→−∞

x3

x2 + x + 1

g) lımx→−∞

(5

x− 3+ 1)

h) lımx→−∞

ex3+x+1

i) lımx→−∞

ex2−3 + 1 j) lımx→−∞

ln(x2 + 1)

Ejercicio 4. En cada caso, analizar la existencia de asíntotas horizontales al gráfico de f y,

cuando existan, dar sus ecuaciones:

a) f (x) =3x + 5−x + 2

b) f (x) =2x

x + 9− 4

c) f (x) =8x

4x2 + 6x + 1d) f (x) =

2x2 − 5xx + 6

e) f (x) =6

x + 1+ 1 f ) f (x) =

30x2 − 25x + 65x2 + 6x− 3

g) f (x) = ex3+1 + 2 h) f (x) = ln(x2 + 1) + 7

28


Ejercicio 5. En cada caso, determinar el valor de a ∈ R para que se verifique lo pedido:

a) lımx→+∞

3x− 5ax + 1

= 6 b) lımx→−∞

ax2 − 2x + 56x2 + 1

= −23

c) La recta de ecuación y = −2 es asíntota horizontal para f (x) =ax

3x− 1+ 1

d) La recta de ecuación y = 3 es asíntota horizontal en +∞ para f (x) = e−x+3 +1x+ a

Ejercicio 6. A partir del gráfico de f , en cada caso, dar el valor de los límites que se indican

y escribir las ecuaciones de todas las asíntotas verticales y horizontales al gráfico:

a)

3

−1 f

lımx→3−

f (x), lımx→3+

f (x)

lımx→+∞

f (x), lımx→−∞

f (x)

b)f

lımx→0+

f (x), lımx→+∞

f (x)

c)

−2

f

lımx→0−

f (x), lımx→0+

f (x), lımx→0

f (x)

lımx→+∞

f (x), lımx→−∞

f (x)

d)

2−3 f

lımx→−3−

f (x) , lımx→−3+

f (x)

lımx→2−

f (x) , lımx→2+

f (x)

lımx→+∞

f (x) , lımx→−∞

f (x)

29


e)

1f

lımx→0−

f (x) , lımx→0+

f (x)

lımx→+∞


f (x)

f )

−2

3

−1

f

lımx→−1−

f (x) , lımx→−1+

f (x)

lımx→+∞


f (x)

Ejercicio 7. Calcular, si existen, los siguientes límites:

a) lımx→3

2x2 + x− 10 b) lımx→−1

x + 9x− 1

c) lımx→3−

1x− 3

, lımx→3+

1x− 3

d) lımx→−2−

−5x + 1x + 2

, lımx→−2+

−5x + 1x + 2

e) lımx→0−

3x2 − 1, lım

x→0+

3x2 − 1, lım

x→0

3x2 − 1

f ) lımx→1−

4x− 4x2 − 1

, lımx→1+

4x− 4x2 − 1

, lımx→1

4x− 4x2 − 1

g) lımx→2−

4xx2 − 4

, lımx→−2+

4xx2 − 4

h) lımx→−1

2x2 − 2x2 − 3x− 4

, lımx→4+

2x2 − 2x2 − 3x− 4

, lımx→4−

2x2 − 2x2 − 3x− 4

i) lımx→0+

e1x , lım

x→0−e

1x j) lım

x→π2−

tan(x) , lımx→π

2+

tan(x)

k) lımx→0+

ln(x) , lımx→3+

ln(x− 3) , lımx→3−

ln(3− x)

30


Ejercicio 8. Calcular, en cada caso, el dominio de f , analizar la existencia de asíntotas verti-

cales a su gráfico y, cuando existan, dar sus ecuaciones:

a) f (x) =−x + 52x + 1

b) f (x) =6x

(x− 2)3

c) f (x) =4x− 3

x2 − x− 6d) f (x) =

2x2 − 18x2 − 2x− 15

e) f (x) = e1

x−1 f ) f (x) = ln(2x + 3)

Ejercicio 9. Hallar en cada caso el dominio, la imagen, los ceros de f y las ecuaciones de las

asíntotas verticales y horizontales a su gráfico. Hacer un gráfico aproximado de f y, a partir

del gráfico, determinar los conjuntos de positividad y de negatividad de f .

a) f (x) =1

x− 2b) f (x) =

−2x + 4

c) f (x) =3

x + 2+ 1 d) f (x) =

3x + 2x + 1

Ejercicio 10. Hallar, para cada f , su función inversa f−1 y las ecuaciones de las asíntotas de

ambas:

a) f (x) =1

x− 2b) f (x) =

2x− 5x + 1

Ejercicio 11. Hacia un tanque que contiene agua pura, fluye agua salada de modo que la

concentración de sal en un tiempo t está dada por la función c(t) =3t

100t + 4000para t > 0.

Graficar c(t) . Calcular el límite de la función cuando t→ +∞ e interpretar el significado.

Ejercicio 12. Hallar la expresión de la longitud L de un lado de un rectángulo en función de

la longitud x del otro lado, si se sabe que el área es 36 . Calcular lımx→0+

L(x) y lımx→+∞

L(x) .

Ejercicio 13. En cada caso, calcular el dominio de f y dar las ecuaciones de las asíntotas

verticales y horizontales a su gráfico:

a) f (x) =2x3 + 1 b) f (x) =

−2x2 + x5x2 + 25

31


c) f (x) =x + 4

x2 + 4x + 3d) f (x) =

x2 − 2x + 1x2 + x− 2

e) f (x) =−x2 + x + 6x2 + x− 2

f ) f (x) =6x2 − 24

x2 − 4x + 4

g) f (x) = e1

x+1 h) f (x) = ln(x2 − 4)

Ejercicio 14. Hallar en cada caso el dominio y todas las asíntotas de f−1 :

a) f (x) =3

ln(x)+ 5 b) f (x) =

21 + ex

Ejercicio 15.

a) Sea f (x) =−20x + 4ax + 10

. Determinar el valor de a ∈ R para que la recta de ecuación

x = 2 sea asíntota vertical al gráfico de f . Para el valor de a hallado, dar la ecuación de

la asíntota horizontal al gráfico de f .

b) Sea f (x) =ax2 − 2x

x2 + ax− 5. Determinar a ∈ R para que la recta de ecuación x = −1 sea

asíntota vertical al gráfico de f . Para el valor hallado, dar las ecuaciones de todas las

asíntotas verticales y horizontales al gráfico de f .

Ejercicio 16. Analizando el gráfico de la función f , determinar en cada caso si f está defi-

nida en x0 , si existe lımx→x0

f (x) y, en caso afirmativo, si estos dos valores coinciden. Usar la

información anterior para deducir en cada caso si f es continua en x0 :

a)

x0

f (x0)

b)

x0

f (x0)

c)

x0

d)

f (x0)

x0

32


e)

x0

f )

x0

f (x0)

g)

x0

f (x0)

h)

x0

f (x0)

Ejercicio 17. En cada uno de los siguientes casos, decidir si la función f es continua en el

valor de x0 especificado:

a) f (x) = x3 − 3x + 8 en x0 = 3 b) f (x) = sen(x− π) + 3 en x0 =π

2

c) f (x) = xe3x−6 + ln x en x0 = 2 d) f (x) =x3 − 3x + 1

en x0 = 2

e) f (x) =x− 1x2 − 1

en x0 = 1 f ) f (x) = ln(x− 5) en x0 = 5

g) f (x) =1

cos(x− π)en x0 =

π

2h) f (x) =

x + 1 si x > 2

x2 − 1 si x ≤ 2en x0 = 2

i) f (x) =

x− 1x2 − 1

si x 6= 1

12

si x = 1

en x0 = 1

j) f (x) =

x3 − 27x2 − 9

si x 6= 3

−92

si x = 3

en x0 = 3

33


Ejercicio 18. En cada uno de los siguientes casos, hallar el valor de k para que la función f

sea continua en el valor de x0 especificado:

a) f (x) =

−5 + xex2−4 si x > −2

3x + k si x ≤ −2en x0 = −2

b) f (x) =

x4 − 1x− 1

si x 6= 1

k si x = 1

en x0 = 1

c) f (x) =

2x2 + 6x− 8x3 + 4x2 − x− 4

si x < −4

k6 + x

si x ≥ −4

en x0 = −4

Ejercicio 19. En cada uno de los siguientes casos, hallar todos los puntos de discontinuidad

de la función f en el intervalo indicado:

a) f (x) = |x + 3| en R b) f (x) =xex2−9 − 5

x3 − 4x2 + 3xen R

c) f (x) =1

ln(x− 3)en [3,+∞) d) f (x) =

sen(x)x2 + x− 2

si x ≤ 0

x− 3x2 − 9

si x > 0

en R

Ejercicio 20. Sea f : R → R una función continua que corta al eje x en exactamente tres

puntos y de la cual se conoce la siguiente tabla de valores:

x −3 −2 −1 0 1 2 3

f (x) 2 −2 3 5 4 1 −1

a) Para cada uno de los ceros de f indicar un intervalo de amplitud 1 que lo contenga.

b) Determinar, si es posible, el signo de f en los intervalos dados:

i) (0; 1) ii) (2; 3) iii) (5;+∞)

iv) (−∞;−2) v) (0; 2) vi) (−3;−1)

34


c) Hacer el gráfico de una función f que satisfaga las condiciones dadas.

Ejercicio 21. En cada una de las siguientes situaciones, hallar el conjunto de positividad y el

conjunto de negatividad de la función f si se sabe que Dom( f ) = R y que f es continua en

todo punto:

a) Los únicos ceros de f son −3 y 2 y f (−5) = −4 , f (0) = −2 y f (3) = 6 .

b) Los únicos ceros de f son −2 , 0 y 3 y f (−3) = −1 , f (−1) = 1 , f (2) = 5 y

f (5) = −4 .

Ejercicio 22. En cada uno de los siguientes casos, hallar todos los ceros de la función polinó-

mica f y determinar su conjunto de positividad y de negatividad:

a) f (x) = (2x + 3) (3x− 9) (x− 4) b) f (x) = x2 (2x− 3)2

c) f (x) = 5 (x + 1)(

x2 + x− 2)

d) f (x) =(

x3 + 3x2 + 2x) (

x2 − 94

)

Ejercicio 23. Hallar, en cada caso, el dominio, el conjunto de ceros, el conjunto de positividad

y el conjunto de negatividad de la función f :

a) f (x) =3x + 7x + 3

b) f (x) = |5x + 2| − 17

c) f (x) =|x− 3| − 5

x− 6d) f (x) =

4−√xln(x− 3)

e) f (x) = (x− 2)e1x

f ) f (x) = ln(

3x + 7x + 3

)(Sugerencia: usar el ítem a) para calcular el dominio de f )

Ejercicio 24. En cada uno de los siguientes casos, escribir el conjunto A como intervalo o

unión de intervalos:

a) A = {x ∈ R/(3x− 6)(x + 2)(x− 5) < 0} b) A = {x ∈ R/|2x− 6| ≥ 8}

c) A = {x ∈ R/3− 6xx + 4

≤ 3} d) A = {x ∈ R/3x− 12x2 − 4

≤ 3}

35


e) A = {x ∈ R/ ln(x2 − 3) > 0} f ) A = {x ∈ [−2π; 2π]/cos(2x +π

2) > 0}

Ejercicio 25. Sea f (x) = x3 + x− 7 . Probar que

a) f tiene un cero en el intervalo (1; 2)

b) f tiene un cero en el intervalo (1, 7; 1, 8)

c) f tiene un cero en el intervalo (1, 73; 1, 74)

Ejercicio 26. En cada uno de los siguientes casos, aproximar con error menor que18

un cero

de f en el intervalo indicado:

a) f (x) = x5 − x− 32 en (2; 3) b) f (x) = x3 + x2 + x− 1000 en (9; 10)

36


Práctica 5Derivadas - Regla de L’Hôpital

Ejercicio 1. En cada uno de los siguientes casos, utilizando la definición, calcular la pendiente

de la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto P . Dar la ecuación de la recta y graficar

la curva y la recta.

a) f (x) = x2 − 2 P = (3, 7) b) f (x) = x2 − 2 P = (−2, 2)

c) f (x) =2x

P = (2, 1) d) f (x) =2x

P = (−1,−2)

Ejercicio 2. En cada uno de los siguientes casos hallar la derivada de la función f usando las

reglas de derivación:

a) f (x) = x32 b) f (x) = 3x5

c) f (x) = −4√

x d) f (x) =x3

3√

x2

e) f (x) = 2x3 − 4x + 3 f ) f (x) = 3x + cos(x) + π

g) f (x) = 5x2 + ln(x) h) f (x) = excos(x)− 2e

i) f (x) = (2x + 3)ex j) f (x) = (x4 − 3x3)(ln(x) + 3)

k) f (x) =3x2 + xx4 + 3

l) f (x) = tg(x) =sen(x)cos(x)

m) f (x) =3x4 + 1cos(x)

n) f (x) =x2

ex

Ejercicio 3. En cada uno de los siguientes casos, hallar la ecuación de la recta tangente al

gráfico de f en el punto de abscisa x0 :

a) f (x) =12

x3 x0 = 2 b) f (x) = −2x2 + 13x− 15 x0 = 3

c) f (x) = e−xcos(x) x0 = 0 d) f (x) =2x−√x x0 = 4

37


Ejercicio 4. En cada uno de los siguientes casos, hallar la derivada la función f :

a) f (x) = (2x + 3)4 b) f (x) = 3√

x2 + x

c) f (x) =(

1 +2x

)10

d) f (x) = sen(3x)

e) f (x) = cos2(x) f ) f (x) = ln(3x2 + 1)

g) f (x) =√

5x + sen(x) h) f (x) =√(2x− 3)7

i) f (x) = ex2+ x j) f (x) = cos(sen(x))

k) f (x) = ex sen(x) l) f (x) = ln(e1x − 7x)

m) f (x) = ln(

3x + 12x

)n) f (x) =

(x + 1

3x

)e−2x

ñ) f (x) = ln2(5x2 + 1) o) f (x) = sen2(x3 + x)

p) f (x) = ex2ln(

3x

)

Ejercicio 5. En cada uno de los siguientes casos, hallar la ecuación de la recta tangente al

gráfico de f en el punto de abscisa x0 :

a) f (x) =√

2x− 3 x0 = 6 b) f (x) = 3 sen(2x) x0 = 0

c) f (x) = ln(x4 + 2x− 2) x0 = 1 d) f (x) =e3x

2x− 1x0 = 0

Ejercicio 6.

a) Hallar todos los valores de x0 para los que la pendiente de la recta tangente al gráfico

de f (x) = ln(9x2 − 4) en (x0, f (x0)) es igual a 2 .

b) Sea f (x) = x3 − 2x2 + 2 . Hallar el punto del gráfico de f en el que la ecuación de la

recta tangente es y = −x + 2 .

c) Hallar todos los puntos del gráfico de f (x) =x2 + 12x + 2

x + 1para los cuales la recta

tangente es paralela a la recta de ecuación y = 2x + 3 . Para cada punto hallado, escribir

las ecuación de la recta tangente correspondiente.

38


Ejercicio 7.

a) Sea f (x) = 4 + aex2−3bx . Determinar los valores de a y b para que la ecuación de la

recta tangente al gráfico de f en x0 = 0 sea y = −3x + 6 .

b) Sea f (x) = ln(x2− 6x + k) . Hallar k ∈ R de modo que la pendiente de la recta tangente

al gráfico de f en x0 = 4 sea igual a 2 .

c) Sea f (x) =x

5x2 + a. Hallar a ∈ R para que la recta tangente al gráfico de f en x0 = −1

sea horizontal.

Ejercicio 8. En cada uno de los siguientes casos, calcular f ′ , f ′′ y f ′′′ :

a) f (x) = cos(3x) b) f (x) =3x+ 2x

c) f (x) = xe2x d) f (x) =√

3x + 2

Ejercicio 9.

a) El desplazamiento (en metros) de un objeto que se mueve en línea recta está dado, al

cabo de t segundos, por la función x(t) = 6t2 . Hallar la velocidad instantánea en t = 2

segundos dada por v(2) = x′(2) .

b) La posición x en el instante t ≥ 0 de un móvil que se desplaza en línea recta está dada

por x(t) =16

t3 − 8t . Determinar la aceleración a(t) = x′′(t) en el instante en el cual la

velocidad v(t) = x′(t) se anula.

Ejercicio 10. Dos móviles A y B se desplazan según las ecuaciones

A : s(t) = 3t4 − 2t + t B : e(t) = t2 + at + b

a) Calcular a y b para que, en el instante t = 1 , A y B se encuentren en el mismo lugar y

tengan además la misma velocidad.

b) Para los valores de a y b hallados, calcular la posición, la velocidad y la aceleración de

cada móvil en el instante t = 1 .

39



a) lımx→3

2x2 − 5x− 3x3 − 2x2 − 2x− 3

b) lımx→0

√x + 9− 3√x + 16− 4

c) lımx→1

√3x + 1− 1

x− 3

d) lımx→4

√2x + 1− x + 1x2 − 5x + 4

e) lımx→−2

3√

5x + 2 + 2(x + 2)2 f ) lım

x→0

e2x − 2x− 1x2

g) lımx→1

ln(x)1− x

h) lımx→1

ln(x)− x + 1e1−x + x− 2

i) lımx→0

ln(3x + 1)√5x + 4− 2

j) lımx→0

sen(3x)2x

k) lımx→0

sen(6x)sen(7x)

l) lımx→0

1− cos(x)x2


a) lımx→+∞

ex

x3 + 2xb) lım

x→−∞

x3 + 2xex c) lım

x→0+

ln(x)x3

d) lımx→+∞

ln(x)ex e) lım

x→+∞

ln(x2 − 1) + x2

x2 + x + 1f ) lım

x→−∞

ln(x2 − 1) + x2

x2 + x + 1

g) lımx→0+

x ln(x) h) lımx→+∞

x. sen(

1x

)i) lım

x→0+

ln(x)ln(sen(x))

Ejercicio 13. Determinar si la función f : R− {0} → R dada por f (x) =ln(4x2 + 1)

3x2 tiene

una asíntota vertical en x = 0 .

Ejercicio 14. Hallar a ∈ R para que lımx→0

x− 3x2 − xe−3x

ax3 = 3 .

Ejercicio 15. Dada la función f (x) =5− x

ln(x− 4), hallar su dominio y las ecuaciones de todas

sus asíntotas.

Ejercicio 16. Dada la función f (x) =

sen(5x2 + 2x)4x

si x 6= 0

a si x = 0, hallar a ∈ R para que f

sea continua en x0 = 0 .

40


Práctica 6Estudio de funciones - Problemas de optimización

Ejercicio 1. En cada uno de los siguientes casos, analizando el gráfico de la función f , deter-

minar:

i) El dominio de f .

ii) En qué puntos del dominio de f no existe la derivada de f .

iii) El conjunto {x ∈ R / f ′(x) > 0}

iv) El conjunto {x ∈ R / f ′(x) < 0}

v) El conjunto {x ∈ R / f ′(x) = 0}

vi) Los máximos y mínimos relativos de f .

vii) La cantidad de soluciones de la ecuación f (x) = 2 .

a)

f

2

4

−1 1

b)

f

2

−2 2

3

0

c)

f2

4

−1 10

d)

f2

10

e)

f2

1 2

−3

f )

f2

−2

2

0

4

−4

41


Ejercicio 2. Sea f : R→ R una función derivable tal que el gráfico de su función derivada f ′

es

−2

−4 0 1 2

f ′

a) Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .

b) Ubicar los valores de x donde f alcanza sus máximos y mínimos locales.

Ejercicio 3. En cada uno de los siguientes casos, trazar el gráfico de una función f que sa-

tisfaga simultáneamente las siguientes condiciones y decir para qué valores de x la función

alcanza máximos o mínimos relativos:

a) • f es continua en R− {1}• f ′(x) > 0 en (3; 8)

• f ′(x) < 0 en (−∞; 1) ∪ (1; 3) ∪ (8;+∞)

• x = 1 es una asíntota vertical del gráfico de f

• y = −4 es una asíntota horizontal del gráfico de f en +∞

• y = 2 es una asíntota horizontal del gráfico de f en −∞

b) • Dom ( f ) = R− {0}• f ′(x) > 0 en (−2; 0) ∪ (2;+∞)

• f ′(x) < 0 en (−∞;−2) ∪ (0; 2)

• f ′(x) = 0 en x = −2 y en x = 2

• x = 0 es una asíntota vertical del gráfico de f

• El gráfico de f no tiene asíntotas horizontales.

Ejercicio 4. En cada uno de los siguientes casos, estudiar los intervalos de crecimiento y de

decrecimiento, los máximos y mínimos relativos, los límites en +∞ y −∞ de f y, utilizando

esta información, hacer un gráfico aproximado:

a) f (x) = 3x4 + 4x3 − 12x2 + 7 b) f (x) = 2x3 − 9x2 + 12x− 5

42


c) f (x) = 3x5 + 5x3 + 3 d) f (x) = (x− 10)3x2

Ejercicio 5. En cada uno de los siguientes casos, hallar el dominio, los intervalos de creci-

miento y de decrecimiento, los extremos locales de f y las asíntotas verticales y horizontales

a su gráfico. Utilizar la información obtenida para hacer un gráfico aproximado de f :

a) f (x) =x2

x− 1b) f (x) =

xx2 + 1

c) f (x) =x3

(x− 1)2 d) f (x) =x3

x− 1

e) f (x) = 2(x2 + 3)−1 f ) f (x) =x2 − x− 6

x2 − x

g) f (x) =8− 3xx2 − 2x

h) f (x) = xex2

i) f (x) = x4e−x j) f (x) = x3e3x

k) f (x) = e−x3+12x l) f (x) =ln(x)

x

m) f (x) = x ln(x) n) f (x) = x ln2(x)

Ejercicio 6. En cada uno de los siguientes casos, hallar los intervalos de crecimiento y de

decrecimiento, los máximos y mínimos relativos de f y las asíntotas verticales a su gráfico en

el intervalo indicado. Usar la información obtenida para hacer un gráfico aproximado de f :

a) f (x) = 2 + sen2(x) en [0; 2π] b) f (x) = sen(x) + cos2(x) en [−π; π]

c) f (x) =cos(x)sen(x)

en (0; π) d) f (x) =1

sen(x)en (0; π) ∪ (π; 2π)

Ejercicio 7. Sea f : R− {0} → R definida por f (x) =(5x− k)2

xcon k constante.

a) Hallar todos los valores de k ∈ R para los cuales f tiene un punto crítico en 1 .

b) Para cada valor de k hallado, determinar todos los extremos relativos de f .

43


Ejercicio 8. Sea f (x) = ex3−kx con k constante. Determinar el valor de k ∈ R para que f

tenga un extremo relativo en x = 2 . Para el valor de k hallado, determinar todos los máximos

y mínimos relativos de f .

Ejercicio 9. En cada uno de los siguientes casos, hallar los intevalos de crecimiento y de de-

crecimiento y los extremos relativos y absolutos de f en el intervalo indicado:

a) f (x) = −x2 + 6x en [1; 4] b) f (x) = x3 − 6x2 + 2 en [−3; 2]

c) f (x) = x23 en [−1; 8] d) f (x) = x

53 (x2 − 1) en [−1; 1]

Ejercicio 10. La concentración de un fármaco en la sangre t horas después de ser inyectado

está dada por la función C(t) =3t + 24t2 + 1

. Calcular el intervalo de tiempo en el que la concen-

tración aumenta, el intervalo en el que disminuye y el momento en el que es máxima.

Ejercicio 11. En pacientes con cierta enfermedad, se sabe que si se le administra cierta droga

cuando tienen 38◦C, la temperatura T en grados centígrados h horas después está dada por

la función T(h) = 37 + 2e−(h−1)2

1,44 . ¿Cuál será la temperatura máxima alcanzada? ¿En qué

momento se alcanza?

Ejercicio 12. Las funciones C1(t) = te−t y C2(t) = t2e−t expresan la concentración en sangre

de dos drogas distintas t horas después de administradas.

a) ¿Cuál de las dos drogas alcanza mayor concentración?

b) ¿Cuál alcanza la concentración máxima en menor tiempo?

Ejercicio 13. Las poblaciones de seres vivos comienzan creciendo según una curva exponen-

cial. Sin embargo, si no hay catástrofes (epidemias, incendios, poderosos depredadores), lle-

gan a invadir su propio espacio vital y su crecimiento se va amortiguando. La función logística

dada por p(t) =`

1 + ke−at donde ` , k y a son constantes positivas adecuadas, proporciona

un modelo apropiado para describir este tipo de fenómenos.

Consideremos la función logística dada por ` = 5000 , k = 4 y a = 0,1 :

a) Calcular la población existente en tiempo t = 0 .

b) Calcular el signo de la derivada p′ y deducir que la función p es creciente.

44


c) Calcular hacia qué valor tiende la población a medida que pasa el tiempo.

Ejercicio 14. Descomponer el número 16 en dos sumandos tales que su producto sea máxi-

mo.

Ejercicio 15. Hallar el menor valor que se puede obtener al sumar un número positivo con 25

veces su inverso. ¿Para qué número se alcanza dicho mínimo?

Ejercicio 16. Hallar el punto de la recta y = 3x + 5 que está a menor distancia del punto

P = (4, 7) .

Ejercicio 17. Hallar dos números tales que su suma sea igual a 12 y la suma de sus cuadrados

sea mínima.

Ejercicio 18. Hallar las dimensiones que debe tener un rectángulo de área 64 para que

a) su perímetro sea mínimo.

b) su diagonal sea lo más corta posible.

Ejercicio 19. Un constructor debe hacer una ventana rectangular y dispone, para el marco, de

6,40 m de varilla metálica. Hallar las dimensiones de la ventana si se pretende que el área de

abertura sea máxima.

Ejercicio 20. En un terreno, se decide cercar una zona rectangular y dividirla en tres porciones

iguales mediante dos cercas paralelas a dos de los lados del terreno. Si el alambre total que va

a usarse es de 8000 m, encontrar las dimensiones de la zona a cercar con mayor área posible.

Ejercicio 21. El dueño de una huerta de manzanas calcula que si siembra 60 árboles por

hectárea, cada árbol maduro dará 750 manzanas al año. Por cada árbol más que siembre por

hectárea, el número de manzanas producidas por árbol al año disminuirá en 5 . ¿Cuántos

árboles debe plantar por hectárea para obtener el mayor número posible de manzanas al año?

45


Práctica 7Integrales - Áreas - Introducción a las ecuaciones diferenciales

Ejercicio 1.

a) En cada caso, hallar una función g tal que

i) g′(x) = x3

iv) g′(x) = sen(x)

ii) g′(x) = 3

v) g′(x) = ex + 4

iii) g′(x) = cos(x)

vi) g′(x) = x5 + 2x

b) En cada caso, hallar una primitiva F de f :

i) f (x) = 2 sen(x)

iii) f (x) = 3x2 +√

x

ii) f (x) = x3 +1x

iv) f (x) = −4ex

Ejercicio 2. En cada caso, hallar la función g que satisface simultáneamente:

a) g′(x) = 8x y g(0) = 4 b) g′(x) = −x3 y g(1) = 5

c) g′(x) = −2 cos(x) y g(π

2

)= 3

Ejercicio 3. Calcular las siguientes integrales:

a)∫

x123 dx b)∫(2 +

√x) dx c)

∫(6x2 + sen(x)) dx

d)∫

x2(1 +√

x) dx e)∫(ex +

1x4 ) dx f )

∫(3 cos(x)− 2 sen(x)) dx

Ejercicio 4. Calcular las siguientes integrales aplicando el método de sustitución:

a)∫ 1

x + 3dx b)

∫ 15x− 2

dx c)∫ x

x2 + 1dx

d)∫

sen(4x) dx e)∫

x√

x2 + 3 dx f )∫ 1

(3x + 1)2 dx

g)∫ ln(x)

xdx h)

∫ cos(x)sen5(x)

dx i)∫

e−6x dx

46


j)∫ ln3(x)

xdx k)

∫x2cos(x3) dx l)

∫ cos(ln(x))x

dx

m)∫ ln(−2x + 3)−4x + 6

dx n)∫ 4x3 + 6x2

3x4 + 6x3 − 9dx ñ)

∫x√

x + 2 dx

o)∫

x(3x + 1)5 dx p)∫

xex2+5 dx q)∫

ecos(x) sen(x) dx

Ejercicio 5. Calcular las siguientes integrales aplicando el método de integración por partes:

a)∫

x cos(x) dx b)∫

xex dx c)∫

x√

x + 2 dx

d)∫

x9 ln(x) dx e)∫

x3 ln(

1x

)dx f )

∫x2e−x dx

g)∫

x2 sen(x) dx h)∫(x2 + x)(x− 2)−3 dx i)

∫ex sen(x) dx

Ejercicio 6. Calcular las siguientes integrales aplicando el método de fracciones simples:

a)∫ 1

x(x− 2)dx b)

∫ 2x− 1(x− 1)(x− 2)

dx c)∫ 3x

x2 − 9dx

d)∫ 2

x2 − 5x + 6dx e)

∫ x− 4x2 + 3x− 4

dx f )∫ x

x2 + x− 2dx

Ejercicio 7. Calcular las siguientes integrales:

a)∫

x32 (x− 3)2 dx b)

∫ sen(ln(x))x

dx

c)∫ (

x3 + 5x2 + (5x− 1)5)

dx d)∫

ln(sen(x))cos(x)sen(x)

dx

e)∫ (cos(

√x + 1)√x

+ 1)

dx f )∫ (

x2cos(6x− 2) + e2x)

dx

g)∫ 1

(√

x + 1)(√

x− 2)dx h)

∫ ex(ex − 1)e2x + ex − 6

dx

Ejercicio 8. En cada caso, hallar la función g que cumple simultáneamente:

a) g′(x) =4x3 − 6x + 2

x4 − 3x2 + 2x + 1y g(1) = 5 b) g′(x) = x

√3x2 + 9 y g(3) = 20

47


c) g′(x) = xex y g(0) = 4 d) g′(x) = ln(√

x + 2) y g(−1) = 3

Ejercicio 9. La aceleración de un móvil que se desplaza en línea recta está dada en el instante

t para 0 ≤ t ≤ 6 por la función a(t) = t(t− 6) kmh2 . Si el móvil parte en el instante t = 0 a una

velocidad de 40 kmh , ¿cuál es la velocidad v(t) para 0 ≤ t ≤ 6 ? (Recordar que la aceleración

a(t) es la derivada de la velocidad v(t) , es decir a(t) = v′(t) .)

Ejercicio 10. Un cohete está en reposo en el instante t = 0 y comienza a desplazarse en

línea recta. Mediante mediciones en el interior del cohete se comprueba que experimenta una

aceleración a(t) =√

t + 2 , para todo t ≥ 0 , donde el tiempo se mide en segundos y la

aceleración en mseg2 ¿Qué velocidad tiene el cohete en el instante t = 36 ? ¿A qué distancia del

punto de partida está en ese instante? (Recordar que la aceleración a(t) es la derivada de la

velocidad v(t) y que la velocidad v(t) es la derivada de la función posición x(t) , es decir

a(t) = v′(t) y v(t) = x′(t).)

Ejercicio 11. Usando la regla de Barrow, calcular las siguientes integrales definidas:

a)∫ 2

−14x dx b)

∫ 4

1

√x dx c)

∫ π2

0cos(t) dt

d)∫ π

0cos(t) dt e)

∫ π

0sen(u) du f )

∫ 1

−1e−x+1 dx

Ejercicio 12. Usando la regla de Barrow, calcular las siguientes integrales definidas:

a)∫ 1

−1ex(x + 1)2 dx b)

∫ e−1

0

dtt + 1

c)∫ 3

0(x2 + 2)

√x + 1 dx

d)∫ π

2π4

cos(u)sen2(u)

du e)∫ 1

0(e2x − e−2x) dx f )

∫ 4

1

(ln2(x)

x+ x

)dx

g)∫ 2π

0(t− π) cos(t) dt

Ejercicio 13.

a) Sabiendo que∫ 3

1f (x) dx = 5 , calcular

∫ 3

1( f (x) + 2x) dx .

b) Sabiendo que∫ 1

−2( f (t)− 3) dt = −2 , calcular

∫ 1

−2f (t) dt .

48


Ejercicio 14.

a) Hallar a ∈ R tal que∫ a

1

4x2 dx =

165

.

b) Hallar a ∈ R tal que∫ 4

0(3√

x + ax) dx = 0 .

Ejercicio 15. Expresar, usando integrales definidas, el área de cada una de las regiones som-

breadas:

a)

5

6

g

f

b)

4

7f

0

c)

f

12 4

−2,5

5

d)

−1 2 5

6

fg

e)

(3, 2)

(−1,−1)

f

g

f )

(8, 10)

(14, 13)

10

14 gf

h

49


g)

2

−2

f

y = x

h)

4 8

4

f

i)

−2 1 2f

g

j)

−4

f

5

Ejercicio 16. Sabiendo que el área de la región sombreada vale 8,5 , calcular∫ 4

0g(x) dx .

−3 4

4

g

1

Ejercicio 17. Calcular el área de la región encerrada entre:

a) el gráfico de f (x) = x2 + 2x− 3 y el eje x .

b) el gráfico de f (x) = x3 − 3x2 − 10x y el eje x .

c) los gráficos de f (x) = −x + 4 y g(x) = x2 + 2x .

50


d) los gráficos de f (x) = x3 − 1 y g(x) = 4x− 1 .

e) los gráficos de f (x) = 2x2 + 6x− 5 y g(x) = x2 − 3x + 5 .

Ejercicio 18. Calcular el área de la región comprendida entre los gráficos de

a) f (x) = −x + 2 y g(x) = x(x− 2) para 0 ≤ x ≤ 3

b) f (x) = −x + 2 y g(x) = x(x− 2) para −2 ≤ x ≤ 4

c) f (x) = e−x y g(x) = e2x para −1 ≤ x ≤ 1

d) f (x) = −x2 − x + 2 y el eje x para −3 ≤ x ≤ 3

e) f (x) =12(x− 1) y g(x) =

√x− 1 para 1 ≤ x ≤ 10

f) f (x) = x2 + 4x + 2 y g(x) = −2x2 + 7x + 8 para −2 ≤ x ≤ 6

Ejercicio 19. Calcular el área de la región limitada por

a) los gráficos de f (x) =√

x− 5 , g(x) =√

5− x y la recta y = 2 .

b) los gráficos de f (x) =√

10− x , g(x) =√

x y el eje x.

c) los gráficos de f (x) =√

x , g(x) = −x + 6 y el eje x .

d) el eje y, la curva y =√

x y la recta y = −x + 6 .

e) las curvas y =16x2 , x = 4 , y = 2x .

f) las curvas y =16x2 , y = 2x , y = 16 .

g) las curvas y =√

x− 2 , y = 2x− 10 y el eje x.

Ejercicio 20. Hallar y = f (x) que satisfaga simultáneamente y′y = 2x3 + 6x e y(1) = 3 .

Ejercicio 21. Hallar y = f (x) que satisfaga simultáneamente y′ + 2xy = 0 e y(0) = 3.

Ejercicio 22. Hallar todas las funciones y(x) que satisfacen y′ + 2y = 0 . Estudiar el compor-

tamiento de las soluciones para x → +∞ .

51


Ejercicio 23. Encontrar todas las soluciones y = f (x) de la ecuacióny′

y= xex .

Ejercicio 24. Los átomos de elementos radiactivos son inestables. En un intervalo de tiempo

dado, una fracción fija de los átomos se escinde espontáneamente para formar un nuevo ele-

mento de modo que, si N(t) denota el número de átomos existentes en el tiempo t (medido

en años), entonces N′(t) , la velocidad a la que cambia este número de átomos, es proporcional

a N(t) . Es decir

N′(t) = −dN(t)

donde d > 0 es una constante que se conoce como la constante de decaimiento de la sustancia.

Se sabe que la constante de decaimiento del carbono 14 es d = 0, 0001216 . Si en el instante

t = 0 hay 106 átomos de carbono 14:

a) Calcular el número de átomos N(t) para t > 0 .

b) ¿En qué momento habrá la mitad de átomos de carbono 14 de los que había inicialmen-

te? (semivida)

c) Elegir otro número inicial de átomos cualquiera y repetir el cálculo de la semivida. Com-

probar que la semivida no depende de este número inicial.

Ejercicio 25. La temperatura de un cuerpo que se enfría cambia a una tasa que es proporcional

a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura ambiente. Así, si C(t) es la

temperatura del cuerpo en tiempo t (medido en horas) y a es la temperatura ambiente (a la

que supondremos constante), se tiene que

C′(t) = −λ(C(t)− a),

donde λ > 0 es una constante llamada la conductividad térmica del cuerpo.

En un ambiente que está a 22 oC, se coloca un cuerpo a 30 oC. Se sabe que la conductividad

térmica para dicho cuerpo es de λ = 0,5 .

a) Hallar la temperatura del cuerpo C(t) para t > 0 .

b) Calcular lımt→+∞

C(t) e intentar explicar el significado físico del límite encontrado.

c) ¿En qué momento la temperatura del cuerpo es de 25 oC? ¿Y de 22,1 oC?

52


Práctica 8Sistemas de ecuaciones lineales

Ejercicio 1. Dados los puntos A = (2, 3,−1) , B = (1, 0,−7) y C = (0,−2,−3) en R3 ,

calcular A + B , A + B + C ,12

A , 2C− B y −3(A + 2B)

Ejercicio 2. En cada caso, decidir cuáles de los puntos A , B , C , D son soluciones del sistema

dado:

a)

x1 + x2 + x3 = 1

−x1 + 2x2 − 3x3 = −2

−x1 + 5x2 − 5x3 = −3

A = (0, 0, 0) ; B = (−2, 1, 2) ; C = (−1, 1, 1) ; D = (43

,−13

, 0) .

b)

x2 + x3 + 2x4 = 0

2x1 − x2 − x3 − x4 = 0

x1 + 3x2 + x3 = 0

3x1 + 2x2 − x4 = 0

A = (0, 0, 0, 0) ; B = (2, 1, 4, 3) ; C = (−2, 5,−13, 4) ; D = (0, 1, 1,−2) .

Ejercicio 3.

a) Resolver cada uno de los siguientes sistemas en R3 :

i)

{x1 − 2x2 + x3 = 0

2x2 + x3 = 0ii)

{x1 − 2x2 + x3 = 3

2x2 + x3 = 4 iii)

x1 − x2 + x3 = 1

x2 − x3 = −3

2x3 = 4

b) Resolver cada uno de los siguientes sistemas en R4 :

i)

−x1 + x2 + x3 = 7

x3 +x4 = 3

x4 = 1

ii)

{x1 +x4 = 0

−x2 +x4 = 0iii)

{x1 +x4 = 1

−x2 +x4 = 2

53


Ejercicio 4. Resolver cada uno de los siguientes sistemas aplicando el método de Gauss:

a)

{x1 − 2x2 + 2x3 = 1

x1 + x2 − x3 = 7b)

3x2 − x3 = 1

−x1 + x2 + x3 = 5

x1 + 2x3 = 0

c)

2x1 + x2 − 4x3 = 1

2x1 − x2 = 3

4x1 − 3x2 + 2x3 = 7

d)

x1 + 3x2 − x3 = 1

2x1 + x3 = 0

3x1 − 3x2 + 3x3 = 1

Ejercicio 5. En cada caso, encontrar una matriz triangulada por filas equivalente a la matriz

dada para determinar su rango:

a)

1 0 2 −1

2 1 2 0

1 −1 2 2

−1 0 0 −1

b)

2 2 2 −1

−1 0 3 2

3 2 3 2

3 4 3 −5

c)

3 3 −2 0 −9

−1 2 4 3 1

0 2 2 4 0

1 8 4 8 0

0 −1 0 0 −5

Ejercicio 6. En cada caso, calcular el rango de la matriz de coeficientes y el de la matriz am-

pliada del sistema para decidir si es compatible y, en caso afirmativo, resolverlo:

a)

2x1 + x2 − x3 = 1

x1 − x2 = 3

3x1 + 4x3 = −1

b)

x1 + x2 + x3 = 1

−2x1 − x2 − 3x3 = −2

5x1 − x2 + 11x3 = −3

c)

x2 + x3 + 2x4 = 1

2x1 − x2 − x3 − x4 = 2

x1 + x2 + 3x3 = −1

−3x1 + x2 − 2x4 = 2

d)

x2 − x3 + x4 = 0

x1 − 2x2 − x3 + 5x4 = 0

−x1 − x2 − 2x3 + x4 = 0

x1 + 3x3 − 2x4 = 0

54


e)

2x1 − x2 + x3 + 3x4 = −1

−x1 + x3 − 2x4 = 3

3x1 − 2x2 + 3x3 + 4x4 = 1

Ejercicio 7. Hallar las soluciones del sistema

x1 + x2 − x3 = 0

x1 − 3x2 + 2x3 = 1

x1 + 9x2 − 7x3 = −2

que verifican

la ecuación x2 = 0 .

Ejercicio 8. Encontrar todos los puntos de la forma α(2, 2,−2) + (0, 1, 0) que son soluciones

del sistema

{x + y + z = −1

−x + y = 1

Ejercicio 9. Dado el sistema

{3x − y + z = 3

x − 2y − 3z = 1agregar una tercera ecuación lineal

de manera tal que el sistema resultante tenga a (0,−2, 1) como única solución.

Ejercicio 10. Una compañía de enchapados para joyas de fantasía fabrica dos mezclas distin-

tas, ambas a base de plata y oro. La mezcla Premium lleva 7g de polvo de oro por cada 3g de

polvo de plata. La mezcla Standard lleva 4g de polvo de oro por cada 6g de polvo de plata. La

compañía posee en este momento un stock de 37kg de polvo de oro y 33kg de polvo de plata.

¿Cuántos kg de cada tipo de mezcla debe fabricar para agotar el stock?

Ejercicio 11. Las harinas de soja y de garbanzos y el trigo burgol intervienen en la composi-

ción de tres alimentos fabricados por una empresa: Soji, Garbi y Burgui. En la siguiente tabla

se detalla la composición de los mismos:

Soja Garbanzos Trigo burgol

Soji 50 % 30 % 20 %

Garbi 10 % 50 % 40 %

Burgui 20 % 20 % 60 %

La cantidad de toneladas de cada producto a recibir está entre una de las tres opciones si-

guientes:

Opción I Opción II Opción III

Soja 2 4 6

Garbanzos 3 3 6

Trigo burgol 5 3 8

55


Determinar las cantidades de los tres alimentos que pueden producirse para cada opción de

insumos recibidos si se pretende utilizar todos los insumos.

Ejercicio 12. Un turista que viajó a Europa visitó Berlín, Roma y Praga.

En Berlín gastó por día $150 en hospedaje y $100 en alimentos; en Roma gastó por día $100 en

hospedaje y $150 en alimentos; en Praga gastó por día $100 en hospedaje y $100 en alimentos.

Por conceptos varios gastó $50 por día en cada una de las tres ciudades.

A su regreso, el registro de gastos indicaba, en total, $1700 en hospedaje, $1600 en alimentos

y $700 en gastos varios.

Decidir si el registro puede ser correcto o no y, en caso afirmativo, calcular cuántos días estuvo

el turista en cada una de las tres ciudades.

Ejercicio 13. Resolver cada uno de los siguientes problemas teniendo en cuenta que las solu-

ciones deben ser números enteros no negativos:

a) Una compañía de detergentes fabrica los productos LAV, BRI, CIC y PRO a partir de las

tres sustancias AS, SP y TS.

La tabla siguiente muestra, en kg, la cantidad de materia prima necesaria para fabricar

un envase de cada producto y el stock en existencia.

LAV BRI CIC PRO stock

AS 4 8 4 4 60

SP 2 5 2 3 36

TS 3 7 4 3 50

Encontrar las distintas combinaciones de cantidades de envases que se pueden fabricar

utilizando todo el material disponible.

b) Una empresa tiene tres máquinas para fabricar cuatro productos diferentes.

Para producir una unidad del producto A se requieren 1h de la máquina I, 2h de la

máquina II y 1h de la máquina III. Para producir una unidad del producto B se requieren

2h de la máquina I y 2h de la máquina III. Para producir una unidad del producto C se

requieren 1h de la máquina I, 1h de la máquina II y 3h de la máquina III. Para producir

una unidad del producto D se requieren 2h de la máquina I y 1h de la máquina II.

Determinar cuántas unidades se deben fabricar de cada producto en un día de 8 horas,

suponiendo que cada máquina se utiliza las 8 horas completas y que debe fabricarse por

lo menos una unidad de cada producto.

56


Ejercicio 14. Clasificar cada uno de los siguientes sistemas en compatible determinado, com-

patible indeterminado e incompatible según los distintos valores de k :

a)

{x1 + 2x2 = k

2x1 + k2x2 = 4b)

−x1 + 2x2 + x3 = 5

x1 − x2 + 3x3 = −1

−x1 + 3x2 + 5x3 = k

c)

3x1 + x2 − 10x3 = 1

−x1 − 3x2 = −7

x1 + kx3 = 1

Ejercicio 15. Determinar todos los valores de k para que el sistema

−x1 + 2x2 + 4x3 = −7

x2 + 2x3 = −3

x1 − x2 + kx3 = 5

sea compatible.

Ejercicio 16. Determinar todos los valores de k para que el siguiente sistema tenga infinitas

soluciones y, para dichos k , resolverlo:

−x1 + 3x2 + x3 = 2

4x1 − x2 + 2x3 = −1

5x1 + 7x2 + kx3 = 4

Ejercicio 17. Dados a , b ∈ R , se sabe que (1, 2,−1) es una solución del sistema{

ax1 + x2 − bx3 = 1

x1 − ax2 + x3 = 2

Encontrar todas sus soluciones.

Ejercicio 18. Encontrar, en cada caso, todos los valores de a y b para los cuales el sistema

cuya matriz ampliada es M es compatible:

a) M =

1 2

... 1

2 2a... b

b) M =

−1 2 3

... b

0 a2 − 9 a− 3... a + b

57


c) M =

1 1 −1 1... 2

0 1 1 2... 3

2 1 −3 0... a

−1 1 3 3... b

Ejercicio 19. Hallar todos los valores de a y b tales que los sistemas

x1 + x2 − x3 = 1

−2x1 − x2 + 3x3 = −3

x1 − ax3 = 2

y

{x1 + 4x2 + 2x3 = −2

x1 + a2x2 + 2x3 = b

tengan exactamente una solución en común.

58


Práctica 9Matrices - Determinantes

Ejercicio 1. En cada caso, escribir explícitamente la matriz A = (aij) definida por

a) A ∈ R2×2 tal que a11 = a22 = 1 y a12 = a21 = 0 (matriz identidad I2 ).

b) A ∈ R3×3 tal que aii = 1 si 1 ≤ i ≤ 3 y aij = 0 si i 6= j (matriz identidad I3 ).

c) A ∈ R3×3 tal que aij = 0 si i > j , aii = 2 si 1 ≤ i ≤ 3 y aij = j si i < j .

d) A ∈ R3×2 tal que ai1 = i si 1 ≤ i ≤ 3 y ai2 = 2i si 1 ≤ i ≤ 3 .

e) A ∈ R3×1 tal que ai1 = −i si 1 ≤ i ≤ 3 .

Ejercicio 2. Dados los conjuntos S1 = {A ∈ R3×3 : aij = 0 si i > j} (conjunto de matri-

ces triangulares superiores) y S2 = {A ∈ R3×3 : aij = 0 si i 6= j} (conjunto de matrices

diagonales):

a) Escribir, para cada uno, 2 matrices que pertenezcan al conjunto.

b) Decidir si cada una de las siguientes matrices pertenece a ellos o no:

A =

1 2 −1

2 0 3

−1 3 −1

B =

1 0 0

0 3 0

0 0 2

C =

1 2 −1

0 0 3

0 0 −1

D =

1 0 0

1 3 0

0 1 2

Ejercicio 3. Usando las matrices A , B , C y D del ejercicio anterior:

a) Calcular A + B , A + B + C ,12

A , 2C + B , −3(A + 2B) , At y Ct + C .

b) Encontrar una matriz X ∈ R3×3 tal que X + A = C .

Ejercicio 4. Dadas A =

(1 −2 −5

x y 8

), B =

(z 2 0

w 3 1

)y C =

(1 2 −5

w + 1 5 10

),

hallar en cada caso, si es posible, los valores de x , y , z y w ∈ R tales que

59


a) A + 2B = C b) 2A + B = C

Ejercicio 5. Calcular los siguientes productos de matrices:

a)(

2 3 −1)

.

0

2

1

b)

2

0

3

.(

0 −1 2)

Ejercicio 6. Dadas las matrices

A =

0 2

2 2

1 0

, B =

1 −1 0

0 2 −2

1 3 0

, C =

2 0 4

3 1 −2

0 −1 3

y D =

(1 1 −2

0 0, 5 8

)

calcular, si es posible, B.A , A.B , B.C , C.B , A.D + B , D.A + B y C2 .

Ejercicio 7. De las matrices A y B se conocen sólo algunos coeficientes, de forma tal que

A =

∗ −1 3

∗ −2 ∗1 0 −2

y B =

∗ −1 ∗1 ∗ 0

2 2 −2

.

Si C = (cij) = (2A− B).A calcular, si es posible, c32 .

Ejercicio 8.

a) Si A =

(0 a

2 b

), B =

(1 −1

0 2

)y C =

(3 −6

7 −10

), hallar a y b en R tales que

A.Bt = C .

b) Si A =

(1 a

a −1

), determinar todos los valores de a ∈ R para los cuales A2 = 17.I2 .

c) Si A =

(1 2

−1 3

)y B =

(1 −2x

x 3

), hallar todos los valores de x ∈ R tales que

A.B = B.A .

60


Ejercicio 9.

a) Escribir el sistema

x1 + x2 + 2x4 = 2

2x1 − x3 = 2

x2 + x3 − x4 = 1

en la forma matricial A.x = b .

b) Elegir dos soluciones particulares v1 y v2 del sistema anterior y calcular A.(v1 + v2) y

A.(v1 − v2) . ¿El resultado depende de las soluciones v1 y v2 elegidas?

Ejercicio 10. Si A =

1 3 2

0 k 3

0 0 k− 1

y b =

1

0

2k

, determinar para qué valores de k ∈ R

el sistema A.x = b es compatible.

Ejercicio 11. Las familias Pérez, Hirsch, Ferraro y Smith colaboran con la cooperadora de

un hospital. Hace dos años donaron respectivamente $25000, $10000, $3000 y $8000; el año

pasado, la donación fue de $10000, $3000, $1000 y $700 respectivamente y, este año, cada una

donó un 20 % más que el año pasado.

a) Presentar estos datos en una matriz A ∈ R4×3 .

b) Dar una matriz B tal que, si se multiplican convenientemente A y B , se obtenga el

total donado por cada una de las cuatro familias.

c) Dar una matriz C tal que, si se multiplican convenientemente A y C , se obtenga el

total donado en cada uno de los tres últimos años.

d) Multiplicar convenientemente la matriz A por dos matrices de modo que el producto

de las tres matrices sea el total de las donaciones recibidas por el hospital durante los 3

años, de las 4 familias.

Ejercicio 12. En las primeras 15 fechas del campeonato de fútbol, los equipos A , B , C y

D tuvieron las siguientes actuaciones: el equipo A ganó 4 partidos, empató 8 y perdió 3; el

equipo B ganó 3, empató 4 y perdió 8; el equipo C ganó 4, empató 4 y perdió 7 y el equipo D

ganó 7 y perdió 8. Los equipos obtienen 3 puntos por cada partido ganado, 1 punto por cada

partido empatado y 0 punto por cada partido perdido.

Escribir la información de las 15 fechas en forma de matriz y utilizar el producto de matrices

para obtener el puntaje obtenido por cada uno de los equipos.

61


Ejercicio 13. Para las próximas elecciones hay 3 candidatos: X , Y y Z .

En una encuesta se recogieron las siguientes opiniones: entre las mujeres menores de 50 años,

el 30 % votará al candidato X , el 25 % a Y y el resto a Z ; entre las mayores de 50 años, el 50 %

votará al candidato X , el 30 % a Z y el resto a Y ; entre los varones menores de 50 años, el

25 % votará al candidato X , el 50 % a Y y el resto a Z ; entre los mayores de 50 años, el 30 %

votará al candidato X , el 40 % a Y y el resto a Z .

Se espera que concurran a votar 18000 mujeres, 7000 de ellas menores de 50 años y 16000

varones, 9000 de ellos menores de 50 años.

Mostrar la información de la intención de voto según la encuesta en una matriz conveniente

y utilizar el producto de matrices para estimar la cantidad de votos que obtendrá cada candi-

dato de conservarse las tendencias de la encuesta.

Ejercicio 14.

a) Dadas las ciudades A1 , A2 , A3 , A4 y A5 , la matriz

M =

0 1 0 1 0

1 0 0 0 0

0 1 0 1 1

1 0 0 0 0

0 0 1 0 0

tiene un 1 en el coeficiente mij si hay un vuelo directo de Ai a Aj y un 0 si no.

i) Dibujar en un diagrama las cinco ciudades uniendo con una flecha las que están

conectadas por vuelos directos.

ii) Calcular M2 . Comprobar que los coeficientes de M2 cuentan los vuelos con exac-

tamente una escala que hay entre esas cinco ciudades.

iii) Calcular M + M2 . ¿Qué representa cada coeficiente de esta matriz?

b) i) Construir la matriz M correspondiente a los vuelos sin escala para la situación

siguiente:

B2

B1

B3

B4

62


ii) Determinar, analizando el diagrama, cuántos vuelos con exactamente una escala

hay entre cada par de ciudades. A partir de este análisis, calcular M2 .

iii) Calcular M3 . ¿Qué representa cada coeficiente de M3 ?

Ejercicio 15. Determinar si cada una de las siguientes matrices es inversible y, en caso afirma-

tivo, calcular la inversa:

a) A =

(−2 3

6 −9

)b) B =

(1 −1√5 0

)c) C =

(−1 −1

2 3

)

d) D =

1 2 2

−1 −2 −3

0 1 3

e) E =

1 2 2

−1 2 0

0 4 2

f ) F =

0 1 2

2 3 −1

2 1 −4

Ejercicio 16. Para las matrices C y D del ejercicio anterior, usar lo calculado para resolver los

siguientes sistemas:

a) C.x =

(1

2

)b) D.x =

2

−1

3

.

Ejercicio 17. Determinar en cada caso las condiciones sobre a , b y c que hacen que la matriz

dada sea inversible:

a)

(a b

0 c

)b)

(a b

a b

)c)

a 0 0

0 b 0

0 0 c

Ejercicio 18. Calcular el determinante de cada una de las siguientes matrices para decidir si

son inversibles o no:

a)

(2 1

3 2

)b)

6

25

15 1

c)

(0 −1

0 8

)

d)

3 0 1

4 1 0

0 1 2

e)

−2 1 1

0 7 8

4 5 6

f )

1 2 2

3 3 2

1 −1 −2


−1 1 1

0 1 2

−1 0 k

, determinar k ∈ R para que det(A) = 2 .

63


Ejercicio 20. Determinar los valores de x ∈ R para los cuales la matriz dada

a) no es inversible:

i)

(4 1− x

x −3

)

ii)

2 3 −4

−3 1 2

1 x− 1 −1

b) es inversible:

i)

(4 x

x 4

)

ii)

1 1 1

1 x 2

0 1 x− 1

Ejercicio 21. Dadas

A =

2 0 −1

0 1 3

2 −1 0

y B =

2 1 0

−2 0 1

1 2 0

,

calcular det(A) , det(B) , det(A.B) , det(2A) y det(A + B) .

Verificar que det(A.B) = det(A).det(B) y que det(2.A) = 23.det(A) .

Notar que det(A + B) 6= det(A) + det(B) .


(1 a

0 −1

)y B =

(0 1

3 1

), determinar todos los a ∈ R para los

cuales

a) det(A + B) = 3 ;

b) det(A + At) = −29 .

Ejercicio 23.

a) Si A =

(1 0

2 2

)y B =

(2 k + 1

k− 2 −1

)hallar los k ∈ R para los que det(A.B) = 0 .

b) Si A =

1 2 0

−1 0 1

0 0 1

y B =

1 −3 0

1 5 k

0 k 2

hallar los k ∈ R para los que A.B no es

inversible.

64


Ejercicio 24. Dadas A =

1 2 −1

x 0 3

1 4 1

y B =

1 1 1

0 0 1

x 1 5

, hallar los dos valores de

x ∈ R tales que det(A.B) = det(A) .

Ejercicio 25. Determinar en cada caso todos los valores de k ∈ R para los cuales el sistema

tiene solución única:

a)

2x1 + x2 = 1

−x1 + kx2 + kx3 = −2

3x2 + 2x3 = 3

b)

x1 + 2x2 + x3 = 1

kx1 − kx3 = −2

3x1 + kx2 = k

Ejercicio 26. Dado el sistema

x1 + 2x2 + x3 = 2

x1 + 3x2 = 1

3x1 + 7x2 + kx3 = k + 3

determinar si existe k ∈ R

para que tenga infinitas soluciones.

Ejercicio 27. Determinar, en cada caso, los valores de k ∈ R para los cuales el sistema no tiene

solución, tiene solución única o tiene infinitas soluciones:

a)

x1 + x2 + x3 = 1

2x1 + (k2 − 3)x2 = 3

x2 + 2x3 = 1− k

b)

x1 + x2 − x3 = 2

3x1 + 2x2 + 8x3 = 5

2x1 + x2 + k2x3 = k− 1

65


Práctica 10Geometría

Ejercicio 1. Dados los puntos P = (3, 1) y Q = (1, 5) ∈ R2 :

a) Graficarlos en el plano.

b) Calcular y representar gráficamente los puntos P + Q , P−Q , 3.P y −2.Q .

c) Hallar a y b ∈ R tales que a.P + b.Q = (5,−3) . Para los valores hallados, representar

gráficamente a.P , b.Q y (5,−3) .

d) ¿Para qué valores de (x, y) existen a y b ∈ R tales que a.P + b.Q = (x, y) ? (Sugerencia:

armar el sistema lineal correspondiente y calcular el determinante).

Ejercicio 2. Sea L la recta que pasa por los puntos (1,−1) y (−2, 2) :

a) Encontrar dos vectores dirección distintos para L .

b) Dar una ecuación implícita y una paramétrica para L . ¿Son únicas?

c) Decidir cuáles de los siguientes puntos pertenecen a L : (2, 1), (0, 0), (−2, 3), (x,−x) .

Ejercicio 3. Dadas las rectas L1 :−→X = α(5,−1) + (2, 1) , L2 la recta que pasa por los puntos

(0, 1) y (−3, 2) , L3 la recta que pasa por los puntos (5, 5) y (5,−1) , L4 : x + 3y = −1 y

L5 :−→X = β(1, 0) + (2, 1) :

a) Dar ecuaciones implícitas para L1 , L2 , L3 y L5 .

b) Dar ecuaciones paramétricas para L2 , L3 y L4 .

c) Decidir cuáles corresponden al gráfico de una función lineal f : R → R y, en caso

afirmativo, hallar su pendiente.

Ejercicio 4. Dadas las rectas L1 : −x + 3y = 2 y L2 : −2x + 6y = 5 :

a) Representarlas gráficamente en el mismo plano. ¿Cuál es su posición relativa?

b) Encontrar dos vectores dirección para cada una. ¿Qué relación tienen todos los vectores

dirección encontrados?

66


Ejercicio 5.

a) Dar una ecuación paramétrica de la recta paralela a L :−→X = β(2,−3) + (1, 1) que pasa

por (0, 0) .

b) Dar una ecuación implícita de la recta paralela a L : 3x + 2y = 3 que pasa por (−1, 1) .

c) Dar una ecuación paramétrica de la recta paralela a L : x = 2 que pasa por (3, 8) .

Ejercicio 6. Hallar, en cada caso, la intersección de las rectas L1 y L2 :

a) L1 : 3x + y = −3 y L2 :−→X = α(1, 3) + (2, 0)

b) L1 : −2x + 3y = −13 y L2 : y = 7x + 2

c) L1 :−→X = α(−4, 1) + (2, 1) y L2 :

−→X = β(−2, 1) + (0,−1) .

Ejercicio 7. En cada caso, plantear el sistema lineal para obtener la intersección de L1 y L2 y,

en función de la compatibilidad del sistema, decidir las posiciones relativas de las rectas:

a) L1 : 2x + y = 3 y L2 : 2x− y = 1 b) L1 : x + 3y = 6 y L2 : −2x− 6y = 2

c) L1 : x− 2y = −1 y L2 : 3x− 6y = −3

Ejercicio 8. Sean L1 : x− 2y = 2 , L2 : −2x + y = −3 y L3 :−→X = α(1,−7) . Dar una ecuación

paramétrica de la recta L que pasa por el punto de intersección de L2 y L3 y es paralela a L1 .

Ejercicio 9. Sea L la recta que pasa por P = (1,−3) y Q = (2,−4) . Hallar b tal que la recta

que es paralela a L y pasa por (b, 5) también pase por (2, 2) .

Ejercicio 10. En cada caso, calcular el producto escalar indicado entre los vectores de R2 y

determinar si son ortogonales:

a) 〈(1,−1); (2, 4)〉 b) 〈(1, 3); (−6, 2)〉 c) 〈(1, 2); (1, 2)〉 d) 〈(−1, 0); (0, 1)〉

Ejercicio 11.

a) Dar una ecuación paramétrica de la recta perpendicular a 2x − 5y = 3 que pasa por

P = (2, 6)

67


b) Dar una ecuación implícita de la recta perpendicular a y = 4 que pasa por P = (3,−1)

Ejercicio 12. Dada L1 : −2x + y = 3 , hallar una ecuación paramétrica de la recta L2 perpen-

dicular a L1 que pasa por (1, 2) . Verificar que el producto de las pendientes de L1 y de L2 da

−1 .

Ejercicio 13. Sea P = (4, 9) Q = (−6, 5) y L : y = 2x . Hallar todos los puntos A ∈ L tales

que:

a) el triángulo PQA sea rectángulo en P .

b) el triángulo PQA sea rectángulo en A .

Ejercicio 14.

a) Representar gráficamente en R3 los puntos A = (2, 0, 0) , B = (2, 2, 0) , C = (2, 2, 2) ,

D = A + B y E = B− C .

b) Un cubo tiene vértices en (0, 0, 0) , (2, 0, 0) , (0, 2, 0) y (0, 0, 2) . Escribir las coordenadas

de los otros 4 vértices.

Ejercicio 15. En cada caso, calcular el producto escalar y vectorial de los siguientes pares de

vectores de R3 y decidir si son ortogonales, colineales o ninguna de las dos cosas:

a) (1, 3, 5) y (3, 0,−2) b) (−1, 2, 1) y (6, 1, 4)

c) (2, 4,−2) y (−3,−6, 3) d) (1, 0, 0) y (0, 1, 1)

Ejercicio 16.

a) Encontrar todos los vectores perpendiculares a (1,−3, 5) .

b) Encontrar todos los vectores perpendiculares a (1,−3, 5) y (−1, 0, 2) simultáneamente.

Ejercicio 17. En cada caso, dar una ecuación paramétrica de la recta que:

a) tiene dirección (1,−1, 2) y pasa por el origen de coordenadas.

b) tiene dirección (1,−1, 2) y pasa por el punto (0, 2,−3) .

68


c) pasa por los puntos (1, 5, 1) y (−4, 3, 2) .

d) es paralela a L :−→X = λ(2, 1,−1) + (−2, 4, 1) y pasa por el punto (0, 3, 2) .

e) es perpendicular a (2, 1, 3) y a (0,−1, 2) y pasa por el origen.

f) es perpendicular a las rectas L1 :−→X = λ(2, 1,−1) + (−2, 4, 1) y L2 :

−→X = λ(−1, 0, 2) +

(2, 1, 0) y pasa por el punto (0, 3, 2) .

g) está incluida en el plano coordenado xy y es perpendicular a la recta L :−→X = λ(−1, 2, 1)+

(−2, 0, 1) .

Ejercicio 18. Sean L1 :−→X = λ(1, 2,−1) + (1, 3, 5) y L2 la recta paralela a L1 que pasa por el

punto (3, 2, 4) .

a) Hallar el punto de L2 que tiene coordenada x3 = 0 .

b) Decidir si los puntos (−1,−1, 7) y (1,−2, 6) están en L2 .

Ejercicio 19. Dada la recta L :−→X = t(1, 2,−1) + (0, 3, 2) , hallar todos los valores de k para

los cuales la recta que pasa por los puntos (1,−1, 1) y (4, k,−2) es:

a) paralela a la recta L . b) perpendicular a la recta L .

Ejercicio 20. Sean L :−→X = β(1, 1,−2) + (0, 0, 4) y A = (3, 1, 0) . Determinar un punto

B ∈ R3 tal que:

a) la recta que pasa por A y B sea paralela a L .

b) B ∈ L y la recta que pasa por A y B sea perpendicular a L .

Ejercicio 21. Dadas las rectas

L1 :−→X = α(1, 2, 1) + (2, 3, 2) L2 :

−→X = β(0, 1,−1) + (1, 3,−1)

L3 :−→X = γ(2, 4, 2) + (1, 5, 0) L4 :

−→X = δ(2, 4, 2) + (3, 5, 3)

calcular las siguientes intersecciones y dar la posición relativa de las rectas en el espacio:

a) L1⋂

L2 b) L1⋂

L3 c) L2⋂

L3 d) L1⋂

L4

69


Ejercicio 22. Dar las coordenadas de 3 puntos en R3 que estén:

a) en el plano coordenado xy

b) en el plano paralelo al plano coordenado xy , que contiene al punto (0, 0, 1) .

(Sugerencia: hacer un gráfico).

Ejercicio 23. En cada caso, escribir una ecuación paramétrica del plano indicado, representar-

lo en R3 y calcular su dirección normal:

a) Π1 plano que pasa por los puntos A = (0, 0, 0) , B = (1, 0, 0) y C = (0, 1, 0) .

b) Π2 plano coordenado xy . Comparar con el plano Π1 del ítem anterior.

c) Π3 plano que pasa por los puntos A = (1, 3, 1) , B = (2, 1, 1) y C = (3, 4, 1) .

Ejercicio 24.

a) Hallar una ecuación paramétrica del plano Π1 que pasa por A = (2,−1, 7) ,

B = (0, 2, 3) y C = (−2, 5,−1) .

b) Verificar que A , B y C pertenecen al plano Π2 :−→X = α(1, 0, 5)+ β(−1, 3, 1)+ (1,−1, 2) .

Deducir que, como A , B y C no están alineados, Π1 y Π2 son el mismo plano.

c) Comparar las ecuaciones paramétricas de Π1 y de Π2 . ¿Son iguales?

Ejercicio 25. Dar en R3 ecuaciones implícitas de:

a) todos los planos coordenados.

b) el plano que pasa por (1, 0,−1) , (1, 2, 1) y (−1, 0, 2) .

c) el plano Π :−→X = α(1, 0, 5) + β(−1, 3, 1) + (1,−1, 2) .

Ejercicio 26. Hallar, si es posible, una ecuación implícita de un plano que contiene a las rectas

L1 :−→X = λ(1, 1, 0) + (0,−1, 1) y L2 :

−→X = λ(0, 1,−1) + (3, 2, 1) .

Ejercicio 27. Dar ecuaciones implícitas de:

a) el plano perpendicular a la recta L2 :−→X = β(0, 1, 1) + (1, 3,−1) que pasa por (3, 2, 1) .

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b) el plano perpendicular a la recta L :

{x = 1

y + z = 5que pasa por el punto (−1, 0, 3) .

c) el plano paralelo al plano Π1 : 3x + 2y + z = 1 que pasa por el punto (1, 1, 1) .

d) el plano paralelo al plano Π2 :−→X = α(1, 3, 2) + β(2, 5, 3) + (3, 2, 1) que pasa por el

punto (2, 3, 1) .

Ejercicio 28. Decidir en cada caso si los planos Π1 y Π2 se intersecan. En caso afirmativo dar

una ecuación paramétrica de la intersección:

a) Π1 : y = 0 y Π2 : z = 2 b) Π1 : x + z = 0 y Π2 : y− z = 0

c) Π1 : x + y− 2z = 0 y Π2 : 2x + z = 2 d) Π1 : x + y− z = 0 y

Π2 : 2x + 2y− 2z = 3

e) Π1 : x + y− z = 1 y Π2 : 2x + 2y− 2z = 2

Ejercicio 29. En cada caso, dar ecuaciones implícitas que definan la recta pedida:

a) L1 :−→X = α(1, 3, 1) + (2, 0, 0) .

b) L2 :−→X = β(−3, 0, 1) + (1, 1, 1) .

c) la recta L3 perpendicular al plano Π :−→X = α(1, 0, 5) + β(−1, 3, 1) + (1,−1, 2) que pasa

por (1, 0, 1) .

d) la recta L4 perpendicular al plano Π : 2x+ 2y− 2z = 3 que pasa por el punto (2, 1,−1) .

Ejercicio 30. Dadas las rectas

L1 :

{x + y− z = 4

x− y− 2z = 0y L2 :

{2x− 3z = 0

2y + z = 0

decidir si son paralelas, coincidentes, alabeadas o se cortan en un punto.

Ejercicio 31. Encontrar el valor de a para que la recta que pasa por (1, a, 2) y (1, 5, 4) sea

paralela a la recta dada por L :

{x = 1

y + z = 5.

71


Ejercicio 32. En cada caso, hallar la intersección de la recta L con el plano Π :

a) L :−→X = α(1, 2, 1) + (2, 2, 3)

Π : z = 0

b) L :

{x + y− z = 1

x + z = −2Π : y = 3

c) L :−→X = α(0, 1,−1) + (0, 1, 1)

Π : y + z = 2

d) L :−→X = α(0, 1,−1) + (0, 1, 1)

Π : y + z = 0 .

e) L :

{x + y− z = 1

x + z = −2Π :−→X = α(1, 0, 0) + β(0, 1,−2) + (0, 0, 1)

Ejercicio 33.

a) Calcular el producto mixto entre (−1, 2, 1) , (6, 1, 4) y (1, 3, 5) .

b) Los puntos (0, 0, 0) , (1, 0, 1) , (0, 1,−3) y (1, 2,−1) son cuatro de los vértices de un

paralelepípedo de forma tal que el (0, 0, 0) forma aristas con los otros tres. Encontrar los

otros cuatro vértices y determinar el volumen del paralelepípedo.

c) Los puntos (1, 1, 0) , (2, 1, 4) , (5, 1, 2) y (3,−1, 0) son cuatro de los vértices de un pa-

ralelepípedo de forma tal que el (1, 1, 0) forma aristas con los otros tres. Determinar el

volumen del paralelepípedo.

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Práctica 11Combinatoria - Cálculo elemental de probabilidades

Ejercicio 1. Se lanza una moneda 3 veces. ¿Cuántos resultados pueden obtenerse?

Ejercicio 2. Hay 3 rutas distintas para ir de la ciudad A a la ciudad B y 4 rutas distintas para

ir de la ciudad B a la ciudad C. Calcular el número total de rutas para

a) ir de la ciudad A a la ciudad C pasando por la ciudad B.

b) ir de la ciudad A a la ciudad C ida y vuelta vía la ciudad B.

c) ir de la ciudad A a la ciudad C ida y vuelta vía la ciudad B volviendo por caminos

distintos en ambos tramos.

d) ir de la ciudad A a la ciudad C ida y vuelta vía la ciudad B volviendo por una ruta

diferente (es decir, que difiere por lo menos en algún tramo).

Ejercicio 3. Dados los dígitos 2 , 3 , 4 , 5 y 6 , calcular cuántos números de 4 cifras pueden

formarse:

a) sin ninguna condición adicional.

b) que sean capicúas.

c) menores que 5000.

d) que tengan todas sus cifras distintas.

e) que empiecen con un dígito par.

f) pares.

g) pares y con todas sus cifras distintas.

Ejercicio 4. En la oficina A de una empresa trabajan 30 hombres y 22 mujeres y, en la oficina

B, 14 hombres y 23 mujeres. Se quiere formar un equipo de 2 personas, una de cada oficina.

Decidir cuántos equipos distintos pueden formarse si:

a) el equipo debe estar formado por un hombre y una mujer.

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b) en el equipo debe haber al menos un hombre.

c) en el equipo debe haber al menos una mujer.

Ejercicio 5. Se tiran 2 dados, uno verde y el otro rojo.

a) ¿Cuántos resultados distintos hay?

b) ¿Cuántos resultados distintos hay en que la suma de los puntos sea 8 ?

c) ¿Cuántos resultados distintos hay en que los dos dados tengan distinto puntaje?

d) ¿Cuántos resultados distintos hay para una persona que no distingue los colores?

Ejercicio 6. ¿Cuántos números entre 1200 y 5000 pueden formarse con los dígitos 1 , 2 , 3 ,

4 , 5 , 6 y 7 sin repetir dígitos?

Ejercicio 7. ¿De cuántas maneras pueden ubicarse 17 libros distintos en 3 cajas diferentes?

Ejercicio 8. Si un sábado a la noche salen 3 chicas y 3 muchachos, ¿de cuántas maneras se

pueden formar 3 parejas mixtas?

Ejercicio 9. Decidir de cuántas formas puede fotografiarse una familia de 5 personas puestas

en hilera en cada uno de los siguientes casos:

a) Si no hay restricciones.

b) Si la madre y el padre deben estar siempre juntos.

c) Si la madre y el padre deben estar siempre juntos, la madre a la izquierda del padre.

Ejercicio 10.

a) ¿De cuántas formas pueden fotografiarse 6 mujeres y 7 varones puestos en hilera, de

manera tal que nunca aparezcan juntas dos personas del mismo sexo?

b) ¿De cuántas formas si son 7 las mujeres y 7 los varones?

c) ¿De cuántas formas pueden fotografiarse 7 matrimonios en hilera con la condición de

que cada marido esté al lado de su esposa?

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Ejercicio 11. Se desea cubrir 10 cursos de Matemática con un docente cada uno y se dispone

de 10 docentes.

a) ¿De cuántas formas puede hacerse la distribución?

b) Si de los 10 cursos, 2 son nocturnos y 4 de los 10 docentes no pueden concurrir a la

noche, ¿cuántas distribuciones distintas pueden hacerse?

Ejercicio 12. Un electricista debe conectar 8 cables diferentes, cada uno a un tornillo de un

aparato. Los cables están coloreados y los tornillos a los que se han de conectar están identi-

ficados con números. El electricista olvidó la tabla que indica cómo efectuar las 8 conexiones.

El aparato sólo funcionará si se efectúan todas las conexiones de la manera correcta y, en caso

contrario, no dará ninguna señal que permita establecer si al menos alguna conexión está bien

hecha. Cada intento le demanda un minuto de trabajo. ¿Le conviene intentar sistemáticamente

o viajar durante tres horas para ir a buscar la tabla y volver?

Ejercicio 13.

a) ¿Cuántos anagramas tiene la palabra MURCIELAGO?

b) ¿Cuántos anagramas tiene la palabra NEUQUEN?

c) ¿Cuántos anagramas tiene la palabra COCOLICHE?

d) ¿Cuántos números distintos pueden formarse permutando los dígitos de 11122333345 ?

e) ¿Cuántos números distintos pueden formarse permutando los dígitos de 11223334500 ?

(Tener en cuenta que un número no puede empezar con 0 .)

Ejercicio 14. ¿De cuántas maneras pueden elegirse 4 políticos para formar una comisión si

hay 12 disponibles?

Ejercicio 15. Se consideran 10 puntos en el plano no alineados de a 3 . ¿Cuántos triángulos

con vértices en esos puntos quedan determinados?

Ejercicio 16. Cuatro personas juegan con un mazo de 40 cartas. ¿Cuál es el número total de

manos que se pueden dar si cada jugador recibe 10 cartas?

Ejercicio 17. En una oficina hay 15 empleados y deben distribuirse por igual en 3 turnos.

¿De cuántas formas puede hacerse?

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Ejercicio 18. Entre 10 ingenieros y 8 ambientalistas debe elegirse una comisión de 5 miem-

bros integrada por más ingenieros que ambientalistas. ¿De cuántas formas distintas puede

hacerse?

Ejercicio 19. ¿De cuántas formas pueden ubicarse 5 personas en los 20 asientos numerados

de un colectivo?

Ejercicio 20. ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir un número al azar entre 1 y 50 , éste

resulte par? ¿Y si se elige al azar entre 1 y 51 ?

Ejercicio 21. Calcular la probabilidad de que al extraer una carta de un mazo de 40 cartas

españolas:

a) resulte ser un as.

b) resulte ser de copas.

c) salga el as de copas.

d) salga una figura.

Ejercicio 22. Calcular la probabilidad de que al tirar 3 veces una moneda:

a) las dos primeras sean caras.

b) las dos primeras sean iguales.

c) salgan más cecas que caras.

Ejercicio 23. Se elige al azar un número de 6 cifras. Calcular la probabilidad de que todas las

cifras sean diferentes.

Ejercicio 24. ¿Cuál es la probabilidad de que, al elegir al azar un número entero de 2 cifras,

resulte tener un 3 en la cifra de las unidades?

Ejercicio 25. Calcular la probabilidad de que al extraer 2 cartas de un mazo de 40 cartas

españolas:

a) salga el 2 de oro.

b) las dos sean pares.

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c) ambas tengan la misma paridad.

d) una sea par y la otra impar.

e) al menos una de ellas sea un 2 .

f) exactamente una de ellas sea de oro.

g) las dos tengan el mismo número.

Ejercicio 26. Se deben entregar 12 cartas distintas a 12 destinatarios distintos. Si las cartas

se entregan al azar, calcular la probabilidad de que todas las cartas sean entregadas a sus

verdaderos destinatarios.

Ejercicio 27. Calcular la probabilidad de que, de 10 personas alineadas al azar, 2 determina-

das queden juntas.

Ejercicio 28.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que 12 personas al azar tengan sus fechas de nacimiento en

12 meses diferentes?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 personas al azar tengan sus fechas de nacimiento en

junio?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 personas al azar cumplan años el mismo día?

77

práctica matemática agronomía cbc (61)

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