Notasi Sigma, Barisan dan

Deret AritmatikaKELOMPOK 8

1.Nida Cahyawati2.Rissa Srirahayu3.Siti Sarah4.Suhendi

Standar Kompetensi:

Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar:

o Menggunakan notasi Sigmao Mengidentifikasi pola, barisan dan deret

bilangano Menerapkan konsep barisan dan deret

aritmetikao Menyelesaikan model Matematika yang

berkaitan dengan deret aritmatika.

BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

NOTASISIGMA

SELESAI

NOTASI SIGMA

SIFAT-SIFAT

Leonhard Euler

Notasi sigma:

merupakan huruf Yunani untuk abjad S. Diambil dari kata “Sum” yang berarti penjumlahan. Notasi ini digunakan untuk meringkas penulisan penjumlahan bentuk panjang dari jumlah suku-suku yang merupakan variabel berindeks atau suku-suku suatu deret.

Pemakaian notasi ini diperkenalkan pertama kali oleh Leonhard Euler pada tahun 1755 dalam buku Institutiones Calculi Differentialis.

KONSEPSEJARAH

NOTASI SIGMA

SIFAT-SIFATSEJARAH KONSEP

Jadi secara umum suku ke-k pada barisan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk 2k – 1, dengan k = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

Sehingga dengan notasi sigma bentuk jumlahan barisan tersebut dapat ditulis :

Perhatikan jumlah 6 bilangan ganjil pertama berikut:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11

Dimana:Suku ke-1 = 1 = 2.1 – 1Suku ke-2 = 3 = 2.2 – 1Suku ke-3 = 5 = 2.3 – 1Suku ke-4 = 7 = 2.4 – 1Suku ke-5 = 9 = 2.5 – 1Suku ke-6 =11 = 2.6 – 1

6

1k

1)-(2k1197531

1 2

NOTASI SIGMA

SIFAT-SIFATSEJARAH KONSEP

Bentuk:

Dibaca “Sigma 2k – 1 dari k =1 sampai dengan 6” atau “Jumlah 2k – 1 untuk k = 1 sampai k = 6”

Dimana 1 disebut batas bawah dan 6 disebut batas atas, lambang k

dinamakan indeks atau variabel.

6

1)12(

kk

Sehingga secara umum: nn

n

kk aaaaaa

1321

1 ...

1 2

CONTOH SOAL

2. Nyatakan dalam bentuk sigma dari: a + a2b + a3b2 + a4b3 + … + a10b9

10

1k)1kbk(a

)142()132()122()112()12(4

1

k

k

249753

1. Hitung nilai dari:

4

1

)12(k

k

Jawab:

Jawab:

Contoh Soal

NOTASI SIGMA

SEJARAH KONSEP

1 2

SIFAT-SIFAT

Untuk a, b dan n bil. bulat berlaku:

NOTASI SIGMA

SEJARAH KONSEP

1 2

SIFAT-SIFAT

Pola dan Barisan Bilangan

Sejarah Barisan Aritmatika

Deret Aritmatika Aplikasi

POLA DAN BARISAN BILANGAN

- Pola bilangan adalah aturan suatu barisan bilangan a. Pola bilangan ganjil : 1,3,5,7…

b. Pola bilangan genap : 2,4,6,8 ...

- Barisan bilangan adalah bilangan yang ditulis secara berurutan

berdasarkan pola atau aturan tertentu.

- Anggota barisan bilangan dituliskan sebagai berikut:

U1, U2, U3 , . . . , Un-1, Un

Menurut cerita, pada umur 10 tahun, Gauss muda membuat gurunya terkagum-

kagum dengan memberikan rumus untuk menghitung jumlah suatu deret

aritmatika berupa penghitungan deret 1+2+3+...+100. Metoda yang mengira

daftar angka-angka dari 1 sampai 100, adalah penambahan yang berurut

memasangkan terminologi dari kebalikan yang tiada batas dan hasil jumlah

yang serupa: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101, 3 + 98 = 101, dan seterusnya untuk

suatu total penjumlahan dari 50 x 101 = 5050. Metode yang diperkenalkan oleh

Gauss di usia belia itu masih belum tergantikan hingga saat ini.

SEJARAH BARISAN DAN DERET ARITMATIKA

Carl Friedrich Gauss

Johann Carl Friedrich Gauss (Gauss) dilahirkan di

Braunschweig, Electorate Brunswick - Lineburg, Jerman

pada tanggal 30 April 1777.

Ada beberapa cerita tentang kegeniusan awalnya. Saat

umurnya belum genap 3 tahun, ia telah mampu mengoreksi

kesalahan daftar gaji tukang batu ayahnya.

BARISAN ARITMATIKA

Minggu

Senin

Selasa

Rabu

Kamis

Jumat

Sabtu

1

2

3

4

5

6

78

9

10

11

12

13

1415

16

1718

19

20

2122

23

2425

26

27

28

29

30

APRIL 2015

4 52 3

APA PERSAMAAN DARI BARISAN BARISAN TADI?

PERHATIKAN BARISAN BILANGAN YANG

TERBENTUK DI SAMPING!

1

Barisan yang terbentuk adalah:1) 5, 6, 7, 8, 9, 10, 112) 1, 8, 15, 22, 293) 2, 8, 14, 20, 264) 6, 14, 22, 30

Dimana selisih dua suku berurutan pada tiap barisan selalu tetap. Selisih ini disebut dengan beda (b)

Barisan bilangan yang demikian dinamakan barisan aritmetika.

BARISAN ARITMATIKA

Sehingga, secara umum barisan aritmetika didefinisikan sebagai berikut:

Misalkan un menyatakan suku ke-n suatu barisan, maka barisan tersebut disebut barisan aritmetika jika un+1 un

selalu bernilai tetap untuk setiap n.

un+1 un disebut beda barisan tersebut dilambangkan b. Sehingga ditulis:

un+1 un = b

4 52 31

BARISAN ARITMATIKA

Jika suku pertama barisan aritmetika adalah a dengan beda b maka:

Sehingga barisan aritmetika U1, U2, U3, ..., UnMenjadi: a, a + b , a + 2b , ..., a + (n – 1) b 

Dengan demikian, suku ke-n barisan aritmetika dirumuskan sebagai berikut:

Un = a + (n – 1) b

Ket: a = suku pertama b = beda (Un – Un–1)

CONTOH SOAL

4 52 31

Contoh Soal

Diketahui barisan aritmatika dengan u3 = 3 dan u8 = 13.

Tentukan : a. suku pertama dan bedanya

b. suku ke-50

Jawab:

a. u8 = a + 7b = 13 b. un = a + (n-1)b

u3 = a + 2b = 3 _ _ u50 = -1 + (50 – 1).2

5b = 10 = -1 + 49.2

b = 2 = -1 + 98

b = 2 a + 2.2 = 3 = 97

a = -1

BARISAN ARITMATIKA

Nilai Tengah

Barisan bilangan yang memiliki suku tengah apabila banyak sukunya ganjil. Jika Suku ke-t atau Ut merupakan suku tengah, maka banyaknya suku adalah (2t – 1) dan suku terakhir adalah suku ke-(2t – 1) atau U(2t – 1). Sehingga diperoleh hubungan:

Ut = (U1 + U(2t – 1) )

Karena U(2t – 1) merupakan suku akhir dari deret tersebut dan U1 merupakan suku awal, maka:

Ut = ( Uawal + Uakhir)

atau

Ut = ( a + Un)  ½

½

½

4 52 31

BARISAN ARITMATIKA

SisipanSisipan yaitu bilangan yang diletakkan diantara dua bilangan. Banyaknya bilangan yang disisipkan tergantung pada yang diminta. Setelah disisipkan, barisan akan tetap menjadi barisan aritmetika.

Barisan aritmatika awal: a, U2, U3,…, Un dgn beda = b barisan aritmatika baru:

Berdasarkan pengamatan antara barisan awal dan barisan baru, diperoleh hubungan berikut ini:

CONTOH SOAL

Sehingga diperoleh beda yang baru adalah:

Dan Kemudian banyaknya suku baru (n`) adalah:

dengan k banyaknya bilangan yang disisipkan.

n’ = (n-1)k +n

4 52 31

Contoh Soal

Diantara bilangan 20 dan 160 disisipkan 11 bilangan,

sehingga terjadi sebuah barisan aritmetika.

Tentukanlah :

1. Beda barisan aritmetika baru.

2. Suku tengah barisan aritmatika baru dan letaknya.

JAWABAN

DERET ARITMATIKA

2 31

Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku dari barisan aritmetika.Bentuk umum: U1 + U2 + U3 + ... + UnAtau a + (a + b) + (a + 2b) + … + (a + (n-1)b) Kita dapat menentukan suku-suku pada deret aritmetika sebagai berikut.Misalkan, jumlah n suku pertama deret tersebut dilambangkan dengan Sn maka:

Sn = a + (a + b) + ... + (a + (n – 2)b) + (a + (n – 1)b) Sn = (a + (n – 1)b) + (a + (n – 2)b) + ... + (a + b) + a

+2Sn = (2a + (n – 1)b) + (2a + (n – 1)b) + ... + (2a + (n – 1)b) + (2a + (n – 1)b)  sebanyak n

DERET ARITMATIKA

CONTOH SOAL

2 31

Contoh Soal

Tentukan jumlah bilangan bulat antara 250 dan 1.000 yang habis dibagi 7.

Penyelesaian: Jumlah bilangan bulat antara 250 dan 1.000 yang habis dibagi 7 adalah 252 + 259 + 266 + ... + 994. Deret bilangan ini merupakan deret arimetika dengan a = 252, b = 7, dan Un = 994 sehingga :  Un = a + (n – 1)b

994 = 252 + (n – 1)7 994 = 252 + 7n – 7 994 = 245 + 7n 7n = 994 – 245 7n = 749 n = 107

Jadi, jumlahnya adalah 66.661

Sn = n/2 (a + Un )

Maka:

S107 = 107/2 (252 + 994) = 66.661

DERET ARITMATIKA

CONTOH SOAL

2 31

Contoh Soal

Diketahui Sn = 2n2 + 3n. Tentukan Suku ke 10 Deret tersebut.

Penyelesaian :

Cara biasa:

Sn = 2n2 + 3nUn = Sn – Sn-1

  S10 = 2.102 + 3.10

= 200 + 30 = 230

S9 = 2.92 + 3.9 = 162 + 27 = 189 Jadi, U10 = 230 – 189 = 41

Sn = 2n2 + 3n

Dengan rumus : Jika: Sn = an2 + bn, Maka: Un = 2an + (b–a)

Un = 2.(2)(10) + (3-2)

= 40 + 1 = 41

Aplikasi Barisan dan Deret Aritmatika

Di dalam kehidupan sehari-hari sering kita temukan aplikasi yang berkaitan dengan konsep barisan aritmatika. Contoh kecil adalah tangga dari sebuah rumah. Tangga memiliki anak tangga yang ketinggiannya bertambah secara beraturan. Hal ini merupakan penerapan konsep barisan aritmatik.

Di bidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan. Apabila perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret, baik deret hitung ataupun deret ukur, maka teori deret yang bersangkutan penad (relevant) diterapkan untuk menganalisisnya. Model perkembangan usaha merupakan penerapan teori Baris dan Deret.  Perkembangan usaha yang dimaksud adalah sejauh usaha-usaha yang pertumbuhannya konstan dari  waktu ke waktu mengikuti perubahan baris hitung.

TERIMAKASIH