pozitivna teorija opće ekonomske ravnoteže
DESCRIPTION
Problem egzistencije rješenja. Pozitivna teorija opće ekonomske ravnoteže. Uvod. Do sada smo promatrali ponašanje individualnih sudionika ekonomskog sustava (potrošača i proizvođača) i njihove ravnoteže u izolaciji od ostatka ekonomskog sustava Bila je to metoda parcijalne ravnoteže. Uvod. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Pozitivna teorija opće ekonomske ravnoteže
Problem egzistencije rješenja
Uvod
Do sada smo promatrali ponašanje individualnih sudionika ekonomskog sustava (potrošača i proizvođača) i njihove ravnoteže u izolaciji od ostatka ekonomskog sustava
Bila je to metoda parcijalne ravnoteže
Uvod
Međutim, neki problemi u ekonomiji zahtijevaju konceptualni okvir opće ravnoteže ekonomskog sustava
Npr. ekonomski rast, demografske promjene, međunarodni ekonomski odnosi, monetarna politika...
Feedback učinci bitni
Uvod
U modelu parcijalne ravnoteže koristili smo pretpostavku da potrošači imaju kvazilinearne preferencije
U tom sustavu efekt dohotka postoji samo za numéraire (prihvatljivo u tradicionalnoj analizi jednog ili male grupe tržišta)
Za istraživanje ponašanja ekonomije u cjelini, efekt dohotka glavni je izvor povezanosti između tržišta
Uvod
Perspektiva opće ravnoteže podrazumijeva metodološki i teorijski pristup
Metodološki: ekonomija se promatra kao zatvoreni sustav međuzavisnih tržišta koji unutar sebe uspostavlja jednu od mogućih alokacija resursa
Uvod
Poremećaj u okruženju zahtijeva ponovno izračunavanje cijelog skupa endogenih varijabli
Skup egzogenih varijabli nastoji se svesti na minimum
Uvod
Teorijski aspekt: određenje ravnotežnih cijena i količina u sustavu savršeno konkurentnih tržišta (Walrasova teorija tržišta) koristeći samo
osnovne podatke o ekonomiji (lista dobara, stanje tehnologije, preferencije i dohoci);
institucionalnu pretpostavku postojanja kompletnih tržišta, i
pretpostavku ponašanja (sudionici cijene uzimaju kao date)
Uvod
Dakle, problem opće ravnoteže = problem određenja cijena i količina na svim tržištima istovremeno uz uzimanje u obzir njihove složene međupovezanosti
Uvod
Svrha analize opće ravnoteže: istražiti prirodu i faktore koji određuju ravnotežno rješenje
Namjera: razumjeti način na koji tržišni mehanizam koordinira i čini kompatibilnima odvojene odluke svih ekonomskih sudionika, od kojih svaki djeluje u svom vlastitom interesu
Uvod
Velika područja interesa kada se analizira opća ravnoteža u modelu tržišne ekonomije
Da li to rješenje postoji? Ako postoji, da li je rješenje
jedinstveno? stabilno? efikasno?
Plan
U kontekstu analize opće ravnoteže ponovit ćemo koncept ekonomije privatnog vlasništva i definiciju Walrasove opće ravnoteže
Uvest ćemo pojam funkcije viška potražnje Istražit ćemo u kojim uvjetima Walrasova
ravnoteža, shvaćena kao rješenje sustava jednažbi agregatnog viška potražnje, postoji
Ekonomija privatnog vlasništva Neka ekonomski sustav čini:
potrošača proizvođača dobara
( 1,..., )i IIJ ( 1,..., )j JL ( 1,... )l L
Ekonomija privatnog vlasništva Svakog potrošača karakterizira
skup mogućih potrošnji relacija preferencije ≿ na vektor početnog bogatstva vlasničko učešće u profitu za svako poduzeće pri čemu je
Svakog proizvođača karakterizira proizvodni skup
iL
iX
i iXL
i 0ij
1,...,j J1iji
j
LjY
Ekonomska alokacija (ponavljanje)
Ekonomska alokacija
je specifikacija vektora potrošnje
za svakog potrošača
i vektora proizvodnje za svakog proizvođača
1 1( ,... , ,..., )I Jx x y y
i iXx 1,...,i Ij jYy1,...,j J
Ekonomska alokacija (ponavljanje)
Alokacija
je moguća ako ukupna količina svakog dobra koje se troši nije veća od ukupne količine koja je dostupna iz izvora početnog bogatstva i proizvodnje
1 1( ,... , ,..., )I Jx x y y
1 1
1,...,I J
i jl l l
i j
x y l L
Walrasova ravnoteža (ponavljanje)
Alokacija i vektor cijena predstavljaju konkurentsku (Walrasovu) ravnotežu ako su zadovoljeni uvjeti (i) – (iii):
(i) Maksimizacija korisnosti (ii) Maksimizacija profita (iii) Tržišta su u ravnoteži
* * * *1 1( ,..., , ,..., )I Jx x y y
* Lp
Walrasova ravnoteža
Za svakog potrošača i proizvođača možemo izvesti funkcije neto potražnje odnosno ponude
1 2( , ,..., )i il l Lx x p p p
1 2( , ,..., )j jl l Ly y p p p
Walrasova ravnoteža
je neto potražnja za tim dobrom i - tog potrošača, i = 1,...,I
je neto ponuda tog dobra od strane j – tog proizvođača, j =1,...,J
Ako je dobro faktor kojeg potrošač nudi, njegova komponenta u vektoru je negativna
Na strani proizvodnje, neto potražnja poduzeća za nekim dobrom isto se registrira kao odgovarajuća negativna komponenta u
ilx l
l
jly
ilx
jly
Walrasova ravnoteža
Funkcije neto potražnje i ponude posjeduju sljedeće svojstva:
za dati vektor cijena, svaka neto potražnja i ponuda su jedinstveno određene
svaka neto potražnja i ponuda neprekidno ovisi o cijenama
homogene su nultog stupnja (ako se sve cijene promijene u istoj proporciji, neto potražnje i ponude ostaju iste)
Funkcija viška potražnje
Pogledajmo razliku za dobro
... (6.1) smatramo viškom potražnje za dobrom jer predstavlja razliku između
potražnje i ponude tog dobra Možemo pisati Funkcije viška potražnje posjeduju ista svojstva kao i funkcije potražnje i
ponude Dakle, analiza se može provoditi samo na bazi funkcija viška potražnje
1 1
(1,..., )I J
i jl l l
i j
z x y l L
lz
1, 2( ,..., ) 1,...,l l Lz z p p p l L
lz
l
l
Slika 6.1. Izvođenje funkcija viška potražnje
Uzima se horizontalna udaljenost između krivulja potražnje i ponude ( 0)p
jp
*jp
jD
jS
jx
jp
jz
jz p
- 0 +
Slika a) Slika b)
*jp
0
Slika 6.2. Izvođenje funkcija viška potražnje
Uzima se horizontalna udaljenost između krivulja potražnje i ponude ( 0)p
jp
*jp
jD jS
jx
jp
jz
jz p
- 0 +
Slika c) Slika d)
Walrasova ravnoteža
Ravnotežni položaj definiraju vektor cijena i vektor viška potražnje Ovi vektori imaju sljedeća svojstva:
* * *1 2( , ,..., )lp p p
* * *1 2( , ,..., )lz z z
Walrasova ravnoteža
(i) neto potražnje koje odgovaraju
moraju zadovoljiti
To znači da moraju biti najbolje količine za potrošača u odnosu na sve one koje su mu dostupne
* * * *1 2( , ,..., )il il lx x p p p
*ilx
*lz
*ilx
Walrasova ravnoteža
to jest, za sve koji zadovoljavaju za svaki .. (6.2) jer to je osnova za funkciju potražnje (primijetimo da budžetsko ograničenje sada
predstavlja ravnotežu između potrošačevih pozitivnih količina dobara koje konzumira i negativnih količina faktora koje nudi odnosno prodaje na tržištu faktora)
*( ) ( )i i i iu x u x i ix
* 0l illp x 1,...,i I
Walrasova ravnoteža
(ii) ponuđene količine proizvoda i potraživane količine faktora koje odgovaraju moraju zadovoljiti
što znači za sve j i za sve u proizvodnom skupu ..
(6.3)
*jly
*lz* * * *
1 2( , ,..., )jl jl Ly y p p p
* * *l jl l jl
l l
p y p y jly
Walrasova ravnoteža
Dakle, prema uvjetu (ii), su one vrijednosti elemenata proizvodnog skupa koje maksimiziraju profite za dati skup cijena
*jly
*lp
Walrasova ravnoteža
(iii) pretpostavljamo da su cijene ne-negativne
za sve l ... (6.4)
(iv) za opću ravnotežu, ravnoteža mora postojati na svakom tržištu, to jest:
... (6.5)
* 0lp
* * * *0, 0, 0l l l lz p p z (1,..., )l L
Walrasova ravnoteža
Dakle, Walrasovu (opću) ravnotežu čine skup nenegativnih cijena i skup potraživanih
i ponuđenih količina potrošača i proizvođača, takvih da je svaka potražnja i ponuda optimalna za odgovarajućeg potrošača odnosno proizvođača pri datim cijenama
višak potražnje na svim tržištima je jednak nuli (izuzetak su slobodna dobra gdje je manji od nule)
Walrasova ravnoteža
Posljedice ovakve alokacije su: niti jedan sudionik nema potrebu
mijenjati svoje planove planovi svih sudionika su kompatibilni i
mogu se realizirati
Walrasova ravnoteža
Prije nego postavimo pitanje postojanja ravnoteže utvrdit ćemo neka znanja o preslikavanju
O preslikavanju
Preslikavanje predstavlja pravilo kojim se svaki element povezuje sa točno jednim elementom
X i Y su skupovi Skup X je domena ili područje definicije Skup Y kodomena ili područje vrijednosti
funkcije Ovakvo preslikavanje je funkcija
x Xy Y
:f X Y
Slika 6.3. Preslikavanje
Slika 6.3
:f X Y
X Y
x y= f(x)
f
O preslikavanju
je slika -a pod tim preslikavanjem ( )f x x
O preslikavanju
Ako se element iz domene preslikava u samo jedan element kodomene, govorimo o funkciji
Ako se preslikava u podskup kodomene riječ je o višeznačnom preslikavanju ili korespondenciji
Analiza primjenom korespondencija postaje općenitija ali sve za današnje predavanje relevantne zaključke možemo izvesti i tako da promatramo “obične” funkcije
O preslikavanju
Preslikavanja se razlikuju po domeni, kodomeni i pravilu preslikavanja
Nas će zanimati domene koje su konačno dimenzionalni vektorski prostori
Elementi tih prostora su vektori čije su komponente realni brojevi
Nas će zanimati preslikavanja koja su neprekidna
Složeno preslikavanje
Učinimo još jednu metodološku napomenu na putu ka dokazu postojanja ravnoteže
Promatrat ćemo preslikavanje skupa u samoga sebe
Ovo preslikavanje dobit ćemo kao kompoziciju drugih preslikavanja (složeno preslikavanje)
Složeno preslikavanje
• Kompozicija preslikavanja (composite mapping)
je složeno preslikavanje koje
zapisujemo kao
i definira se kao
: :f X Y i g Y Z
:g f X Z
( )( ) : ( )g f x g f x
Slika 6.4. Ilustracija složenog preslikavanja
Složeno preslikavanje
X Z
xg(f(x))
f
Y
f(x) g
g ◦ f
Složeno preslikavanje
Budući da su u našoj primjeni i isti skupovi, složeno preslikavanje je slikanje jednog skupa u samoga sebe, premda g nije ista funkcija kao i f
Ako su
neprekidne onda je i složeno preslikavanje isto neprekidno
: :f X Y i g Y Z
X Z
g f
Postojanje rješenja opće ravnoteže
Elementima analize sa kojima sada rapolažemo dodat ćemo još jedan
To su teoremi fiksne točke Uz pomoć jednoga od njih pokušat
ćemo odgovoriti na pitanje da li i u kojim uvjetima postoji opća ravnoteža i kako uopće definiramo što je to što smatramo rješenjem opće ravnoteže
Postojanje rješenja opće ravnoteže
Pozitivni odgovor na pitanje postojanja opće ravnoteže bitan je sa stajališta logičke utemeljenosti i opravdanosti cijele mikroekonomske teorije
Postojanje fiksne točke
Postojanje opće ravnoteže predstavit ćemo kao postojanje vektora ravnotežnih cijena koje će na svim tržištima istovremeno generirati višak potražnje jednak nuli
Matematički ovo se može postaviti kao problem postojanja fiksne točke
Postojanje fiksne točke
U mikroekonomskoj analizi najčešće su korištena dva teorema o dokazu postojanja fiksne točke: Brouwer-ov i Kakutani-jev
Kako Kakutanijev Teorem govori o korespondencijama, on je metodološki složeniji
Međutim, svi bitni uvidi u postojanje fiksne točke mogu se dobiti i na bazi Brouwerovog Teorema
Postojanje fiksne točke
U nastavku naš plan rada obuhvatit će sljedeće:
Brouwerov Teorem fiksne točke Postupak normalizacije cijena Walrasov zakon Dokaz postojanja opće ravnoteže
primjenom Brouwerovog Teorema fiksne točke
Brouwerov Teorem fiksne točke Promatramo preslikavanje skupa u
samoga sebe Zanima nas postoji li, za dato
preslikavanje skupa X u samoga sebe, točka koja je svoja vlastita slika, tj. tako da vrijedi
Točka je fiksna točka jer ona ostaje nepromijenjena pod preslikavanjem
:f X X
*x* *( )x f x
*x
Brouwerov Teorem fiksne točke
Napomenimo da su naše točke vektori u l - dimenzionalnom vektorskom prostoru
Teoremi fiksne točke tako su korisni u dokazu postojanja rješenja vektorskih jednadžbi
Brouwerov Teorem fiksne točke L.E.J. Brouwer, holandski matematičar
(1881-1960) Precizirao uvjete u kojima postoji fiksna
točka Postojanje ovisi o :
svojstvima preslikavanja (neprekidnost) svojstvima skupa koji se preslikava
(kompaktnost, konveksnost)
Brouwerov Teorem fiksne točke
Teorem: Neka je neprekidno preslikavanje nepraznog, kompaktnog i konveksnog skupa u samoga sebe, tada postoji takav da je
:f S S
nS *x S * *( )x f x
Brouwerov Teorem fiksne točke To znači da je fiksna točka
preslikavanja (funkcije) Prisjetimo se: Kažemo da je skup
kompaktan kada je zatvoren i ograničen Teorem daje dovoljni uvjet postojanja
fiksne točke: ako su svi uvjeti ispunjeni možemo biti sigurni da fiksna točka postoji
*xf
Ilustracija Brouwerovog Teorema fiksne točke
U jednodimenzionalnom prostoru, n = 1 promatramo preslikavanje zatvorenog intervala realnih brojeva u samog sebe
Teorem kaže da ako je ovo preslikavanje neprekidno, graf te funkcije mora na barem jednom mjestu presjeći dijagonalu
0,1S
Slika 6.5. Ilustracija Brouwerovog Teorema fiksne točke
(a) funkcija je neprekidna (b) funkcija nije neprekidna (fiksna točka postoji) (fiksna točka ne postoji)
0 1
1
f * *f x x
*x 0 1
1
f
Postojanje opće ravnoteže
Funkcija viška potražnje
definirana je za svako dobro u sustavu (za svako tržište)
Dokazali smo da je funkcije viška potražnje:
neprekidna homogena nultog stupnja u cijenama
1( ,..., )l l Lz z p p (1,..., )l L
Postojanje opće ravnoteže
To znači da je definirano preslikavanje iz skupa cijena u skup viška potražnje (skup količina) te da je to preslikavanje isto:
neprekidno homogeno nultog stupnja u cijenama
Postojanje opće ravnoteže
Ono što trebamo pokazati je da je definirano i drugo preslikavanje, iz skupa viška potražnje nazad u skup cijena (dakle, imamo složeno preslikavanje) koje je neprekidno i koje barem jedan vektor cijena preslikava u taj isti vektor cijena kao fiksnu točku
Postojanje opće ravnoteže
Svojstvo neprekidnosti ovih preslikavanja očito je iz prethodne analize
Sada je potrebno pomnije promotriti domenu, to jest početni skup cijena
Da li on zadovoljava potrebna svojstva da je kompaktan (zatvoren i ograničen) i konveksan?
Postojanje opće ravnoteže
Skup cijena čine vektori cijena, pri čemu
Iz ranije analize znamo da je konveksan Vidimo da je zatvoren (objasnite!) Što se tiče ograničenosti ,ovaj skup je
ograničen odozdo uvjetom nenegativnosti cijena za svako ali nije ograničen odozgo (cijene mogu neograničeno rasti)
Pp1( ,..., )Lp pp
0lp l
P
Postojanje opće ravnoteže
Za primjenu teorema fiksne točke trebamo da je skup ne samo konveksan i zatvoren nego i ograničen
Zato na skup cijena primjenjujemo pravilo normalizacije
Učinak ovog postupka je da on proporcionalno povećava originalni vektor cijena ako su cijene niske i smanjuje ga ako su cijene visoke
Normalizacija cijena
Za bilo koji vektor cijena možemo formirati novi vektor cijena pomoću pravila normalizacije
gdje je ..(6.6) vektor čija je l –ta komponenta jedna jednica dobra l
1( ,..., )Lp pp
' '1' ( ,..., )Lp pp
' 1 11,...,l l l
l l
p p p l Lp e
pe
1 2( , ,..., ) (1,1,...,1)Le e e e
Normalizacija cijena
Skalarni produkt predstavlja trošak u kunama pri cijenama p košare
dobara koja se sastoji od jedne jedinice svake robe Recipročna vrijednost ovog produkta kazuje nam koliko se jediničnih košara može kupiti za jednu kunu
l lp epe
1
pe
Normalizacija cijena
Skup je ograničen odozdo jer su svi elementi nenegativni umnošci
i cijena
Dakle,
1
pe
'P'pp P
' 0lp l
Normalizacija cijena
Možemo pokazati da je skup ograničen i odozgo, to jest, ograničen
Budući da su normalizirane cijene nenegativne vrijedi
Kako je to slijedi da vrijedi
'P' 1 1
' 1l l l l l ll l l
p e p e p e p epe pe
' 1l lp e l 1le l
' 1lp l
Normalizacija cijena
Znači uspostavili smo da vrijedi
... (6.7)
Time smo dokazali da je skup normaliziranih cijena ne samo zatvoren nego i ograničen
Ilustrirajmo ovo na primjeru dvije robe,
'0 1 1,...,lp l L
'P
2l
Slika 6.6. Normalizacija cijena
Pozitivni kvadrant ilustrira skup P jer on odgovara svim parovima nenegativnih vektora cijena 1 2( , )p p
2p
1p
0p
p
0,1
1,001p
02p
a
b1p
2p
0
c
Slika 6.6. Normalizacija cijena
Linija ab na Slici 6.6. spaja vektore (0,1) i (1,0) i predstavlja skup svih normaliziranih vektora u l = 2
Svaki pozitivni vektor cijena na zraci 0c može se napisati kao
... (6.8)
Vektor na slici je takav vektor za neku vrijednost , recimo
0 0k k p p
pkk
Normalizacija cijena
Podsjetimo se da je Primjenom pravila normalizacije na
dobije se vektor cijena
Ovo će vrijediti za sve vrijednosti k
0 1p ep
0p0 0 0 0
01 2 1 2 1 20 0 0 0
, , ,p p kp kp p p
k k
p
pe pe p e p e p e p e
Normalizacija cijena
Dakle, normalizacija svodi neograničeni broj vektora cijena na bilo kojoj zraci iz ishodišta na jednu točku na dužini ab na slici
Dužina ab tako predstavlja skup normaliziranih cijena P’ za l = 2
Lako je vidjeti da je ovaj skup ograničen, zatvoren i konveksan
Normalizacija cijena
Svojstvo homogenosti nultog stupnja s obzirom na cijene funkcija viška potražnje dozvoljava da se svi mogući vektori cijena svedu na skup normaliziranih cijena P’
uz uvjet da
' '1 1( ,..., ) ( ,..., )l L l Lz p p z p p
' 0l lp kp l k
Normalizacija cijena
Ako vrijedi tada će normalizirane cijene voditi ka
istom višku potražnje kao i originalni (početni) vektor cijena
Dakle, dozvoljeno je zamijeniti originalni skup cijena za naše potrebe korisnijim skupom normaliziranih cijena
1k
pe'lp
Dodatna pretpostavka
Kako ne bi imali problema sa neprekidnošću preslikavanja iz cijena u viškove potražnje, moramo uvesti dodatnu pretpostavku
Pretpostavili smo da su cijene nenegativne Viškovi potražnje su neprekidne funkcije cijena Za p = 0 to bi značilo beskonačnu potražnju za
slobodnim dobrom t.j. funkcija viška potražnje u toj točci ne bi bila definirana (ne bi se mogao primijeniti teorem o fiksnoj točci)
Dodatna pretpostavka
Zato uzimamo dodatnu pretpostavku da uvijek postoji konačni višak potražnje za slobodnim dobrom (čija je cijena nula)
Time modificiramo aksiom lokalne nezasićenosti na način da pretpostavljamo da za sva dobra postoje razine zasićenja ali da uvijek postoji barem jedno dobro koje potrošač kupuje po pozitivnoj cijeni i sa kojim nije zasićen
Dodatna pretpostavka
Druga je mogućnost da se aksiom lokalne nezasićenosti zamijeni pretpostavkom stroge monotonosti preferencija potrošača
Tada se radi sa pretpostavkom da su sve cijene strogo pozitivne, 0p
Walrasov zakon
Budžetsko ograničenje u uvjetima neto potražnji i ponudi svodi se na uvjet
... (6.9) Uz pretpostavku lokalne nezasićenosti za
svaki vektor cijena potrošačevo budžetsko ograničenje bit će zadovoljeno u formi jednakosti
Ovo će, naravno, biti točno zato jer će potrošač trošiti maksimalno što može da bi se što je više moguće približio točci zasićenja
0 1,...,il l
l
p x i I
Walrasov zakon
Dakle, za sve potrošače zajedno (sumiranjem po i ) vrijedi
... (6.10)
U ravnoteži (stanje nultih profita) pri svakom vektoru cijena izbori inputa i proizvodnje daju
... (6.11)
0i il l l l
i l l i
p x p x
0jl l
l
p y
Walrasov zakon
Za sve proizvođače zajedno (sumiranjem po j ) vrijedi
... (6.12)
Ako oduzmemo (6.12) od (6.10) dobijemo
... (6.13)
0j jl l l l
j l l j
p y p y
0i j i jl l l l l l l l l
l i l j l i j l
p x p y p x y p z
0i j i jl l l l l l l l l
l i l j l i j l
p x p y p x y p z
Walrasov zakon
Dakle, pri bilo kojem vektoru cijena ukupna vrijednost viška potražnje je jednaka nuli
za sve
Ovaj rezultat igra važnu ulogu u
dokazu postojanja opće ravnoteže
0l llp z p z 1,...,l L
Dokaz postojanja opće ravnoteže
Želimo dokazati da uz pretpostavku neprekidnosti i
homogenosti nultog stupnja funkcija viška potražnje i Walrasovog zakona
postoji vektor cijena tako da
... (6.14)
( ), 'l lz z P p p
* 'Pp
* *( ) 0, 0, 0,l l l lz z p p z l p
Dokaz postojanja opće ravnoteže
Pri tome, višak potražnje odgovara maksimizirajućim izborima potrošača (max korisnost) i proizvođača (max profit) pri vektoru cijena
Dokažimo ovo za opći slučaj
*p
Dokaz postojanja opće ravnoteže
Funkcije viška potražnje definiraju neprekidno preslikavanje iz skupa vektora normaliziranih cijena u skup vektora viška potražnji
... (6.15)
... (6.16)
'PZ
: 'f P Z 1( ,..., ) : ( ), ', 1,...,l l lZ z z z z P l L p p
Dokaz postojanja opće ravnoteže
Strategija dokaza je da se definira drugo neprekidno preslikavanje, g, iz skupa viška potražnji Z nazad u skup P’
Po Browerovom Teoremu za dobiveno
složeno preslikavanje nepraznog, zatvorenog, ograničenog i konveksnog skupa P’ u samoga sebe, postoji fiksna točka
: 'g Z P
Dokaz postojanja opće ravnoteže
Ta fiksna točka je vektor cijena p* koji je, pod složenim preslikavanjem, sam sebi slika, to jest, preslikava se u samoga sebe
P* je vektor ravnotežnih cijena Tako smo pokazali da uz date
pretpostavke ravnoteža postoji
Ilustracija postojanja ravnotežnog vektora cijena
Za ilustraciju uzmimo primjer u dvije dimenzije
Na Slici 6.6: (a) linija ab = skup normaliziranih
cjenovnih vektora u prostoru vektora cijena
(b) prostor vektora viška potražnje
2l
1 2( , )z z
' '1 2( , )p p
1 2( , )p p
Slika 6.7. Ilustracija postojanja ravnotežnog vektora cijena u dvije dimenzije
(a) (b)
2p
1p
0,1
1,0
02p
a
b
2p
0
c
d
*pm
e
0
1z
2z
Slika 6.7. Ilustracija postojanja ravnotežnog vektora cijena u dvije dimenzije Točka a u 6.7.(a) je cjenovni vektor (0,1) Ispitujemo da li je to ravnoteža Prema Walrasovom zakonu vrijedi ... (6.17) (6.17) implicira da je a prema
slici 6.7 slijedi da je Dakle, cjenovni vektor (0,1) u (a) imat će
korespondirajući vektor viška potražnje kao u u (b) sa
1 20 1 0z z 2 0z
1 20 0z i z
1 0z
Slika 6.7. Ilustracija postojanja ravnotežnog vektora cijena u dvije dimenzije Očito vektor (0,1) nije ravnotežni Sličnim rezoniranjem točka b u (a) mora
se preslikati u točku kao u (b) Pogledajmo sada kako će izgledati
odgovarajući skup vektora viška potražnje ako se krećemo po dužini ab vektora normaliziranih cijena
Slika 6.7. Ilustracija postojanja ravnotežnog vektora cijena u dvije dimenzije Zbog Walrasovog zakona viškovi
potražnje ne mogu oba biti u pozitivnom kvadrantu (jer tada bi vrijedilo )
Također oba ne mogu biti ni u negativnom kvadrantu (tada bi vrijedilo )
1 1 2 2 0p z p z
1 1 2 2 0p z p z
Slika 6.7. Ilustracija postojanja ravnotežnog vektora cijena u dvije dimenzije Ovo implicira da bilo koja
neprekidna krivulja od do koja ne prolazi kroz pozitivni ili negativni kvadrant MORA proći kroz ishodište
Dakle, mora postojati vektor cijena koji generira vektor viška potražnje (0,0)
To je ravnotežni vektor cijena
Općenitiji dokaz na istom grafikonu
Uzmimo točku c u (a) i pretpostavimo da se pod preslikavanjem f ona slika u y u (b)
Nadalje, pod preslikavanjem g , y se slika nazad u, recimo, d
Isto za e m
Općenitiji dokaz na istom grafikonu
Budući da je preslikavanje dužine ab u samu sebe neprekidno a dužina ab je neprazni, kompaktni i konveksni skup, po Brouwerovom Teoremu mora postojati točka poput p* koja se slika u samu sebe
Kako smo definirali preslikavanje g iz skupa viška potražnji nazad na dužinu ab, znamo da p* mora pod preslikavanjem f dati ishodište (0,0) i mora, prema tome, biti ravnotežni vektor cijena
Sretno!