一. 电阻电路

iRu

2.3 单一参数的正弦交流电路

1.电流、电压的关系 u

i

R

+

_

tUu sin2设：

tR

U

R

ui sin2则： tI sin2

结论： u、i同频率

)( mm IRU IRU

u、i同相位

用相量表示：

U I

u

i

R

+

_

0jUeU

0jIeI

用相量图表示：

IRU

ω t u

i 波形图表示：

2. 电阻电路中的功率

(1) 瞬时功率p：

(2) 平均功率（有功功率）P：

TT

dtiuT

dtpT

P00

11

T

dttUIT 0

2sin21

单位：瓦、千瓦 (W、kW)

tUIiup 2sin2

RURIUI /22

T

dttUIT 0

)2cos1(1

ω t u

i

p

ω t

dt

diLu

cos 2 t L I dt

di L u 则

) 90 sin( 2 o

+ t U

) 90 sin( 2 o

+ t I XL

二.电感电路

1.电流、电压的关系

令：U=IXL ，其中： XL= L 称感抗 ,

i

u L

+

_

tIi sin2设：

单位：欧姆（Ω）

) 90 sin( 2 o + t IωL

波形图表示：

i

u L

+

_

结论： u 超前 i 90 °

)( mLm IXU IXU L

i

u

t90

用相量表示：

90jUeU

0jIeI

用相量图表示：

IjXU L

U

I

tIi sin2

)90sin(2 o+ tUu

u、i同频率

感抗（XL =ωL ）是频率的函数， 表示电感电路

中电压、电流有效值之间的关系，且只对正弦量有效。

LL XIU

ω = 0 时

XL = 0

关于感抗的讨论

u

+

_ L R

直流

U +

_

R

对直流电，电感相当于短路。?

tUIttUIiup 2sincossin2

（1）瞬时功率 p ：

2. 电感电路中的功率 i

u L

+

_ tIi sin2

)90sin(2 + tUu

u i

t

P <0 P >0 P <0 P >0

可逆的 能量转换

过程

储存 能量

释放 能量

（2）平均功率 P （有功功率）

0)2(sin1

1

0

0

dttIUT

dtpT

P

T

T

结论：纯电感不消耗能量，只和电源进行能量

交换（能量的吞吐）

tUIuip 2sin瞬时功率

无功功率等于瞬时功率达到的最大值。

(3) 无功功率 Q

L

LLX

UXIUIQ

22

tωUIp sin2所以

单位：乏(var)

为了衡量电感与电源之间能量交换的规模大小，把

电感与电源之间能量交换的最大值，称为无功功率。

tIi sin2

)90sin(2 + tUu 则：

例1: 将一0.1H的线圈接到f=50Hz，U=10V的正

弦交流电源的电流多大？若U不变，改变

f=5000Hz，电流多大？

i

u L

+

_

☆

电流与电压的变化率成正比。

t

uCi

d

d

1.电流与电压的关系

则：

)90sin(2 + tωCωU

tωωUCt

uCi cos2

d

d

三 . 电容电路

u

i

C

+

_ 设： tωUu sin2

) 90 sin( 2 o

+ t I

令： U=IXC ，其中： XC=1/ C 称容抗

单位：欧姆（Ω）

i

tω

u i

90

u

波形图:

结论： u 滞后 i 90 °

)( mCm IXU IXU C

u

i

C

+

_ 用相量表示：

0jUeU

90jIeI

用相量图表示：

IjXU C

U

I

tUu sin2

)90sin(2 o+ tIi

u、i同频率

CXIU 则:

容抗（Ω） 定义： CfπCω

XC2

11

所以电容C具有隔直通交的作用

CfπXC

2

1

XC

直流： XC ，电容C视为开路 交流：f

2.功率关系

(1) 瞬时功率

u

i

C

+

_ )90(sin2 + tωX

1Ui

C

tωUu sin2由

)90sin(sinmm +

ωtωtIU

uip

tωUI 2sin

tωIU

2sin2

mm u i

o tω

u,i

p >0

充电

p <0

放电

p >0 p <0

(2) 平均功率 Ｐ

0d)(2sin

d1

0

ttωUIT

1

tpT

P

T

0

T C是非耗能元件

结论：

纯电容不消耗能量，只

和电源进行能量交换（能

量的吞吐)。

同理，无功功率等于瞬时功率达到的最大值，为与电感无功功率相区别，其取负值。

(3) 无功功率 Q

C

CCX

UXIUIQ

22

p UI ωt所以 sin2

单位：乏（var）

为了同电感电路的无功功率相比较，这里也设

u U ω t 2 sin

i I ω t + 2 sin ( 90 )则：

例2: 电容器C=0.5μF，外加交流电压U=10V，

φ=30°，ω=106rad/s，求i。

u

i

C

+

_

（1）相量图法：先画相量图，

分别求I、 φ。

解:

30°

UI

6 610 10 0.5 10 51

C

U UI A

XC

ooo 1209030 +i Ati )12010sin(25 6 o+

例2: 电容器C=0.5μF，外加交流电压U=10V，

φ=30°，ω=106rad/s，求i。

u

i

C

+

_

（2）复数(相量)法： 解:

Ati )12010sin(25 6 o+

VeUeUjj oo 301010 30 由已知：

6 6

1 12

10 0.5 10CX

C

Aee

e

jX

UI

j

j

j

C

oo

o

o 12055

2

10 120

90

30

有：

单一参数交流电路中的基本关系 小 结

iRu U

IRIU

dt

diLu U

I)( LXjIU

dt

duCi

U

I)( CXjIU

0Q

RURIUIP 22 (w、kw)

0P

LLL XUXIUIQ 22

(var、kvar)

相量式 相量图 功率 瞬时式 电路图

R i

u

L

i

u

C

i

u0P

CCC XUXIUIQ 22

(var、kvar)

LX L

CXC

1

一、电流、电压的关系

2.4 RLC串联交流电路

分析方法：（1）相量图法

u

Ru

Lu

Cu

+

_

+

_

+

_

+

_ R

L

C

i ?sin utIi m 求，已知：

o 0jIeI 设：

CLR uuuu ++

CLR UUUU ++复数式：

（1）用相量图法分析：

先画出参

考相量

CU

ULU

IRU

CL UU +

（设 ） CL XX ＞

u

Ru

Lu

Cu

+

_

+

_

+

_

+

_ R

L

C

i

o 0jIeI

CLR UUUU ++

U

CL UU

RU

CU

RU

ULU

CL UU +

I

（设 ） CL XX ＞

电压三角形

R

XXarctg

U

UUarctg CL

R

CL

22)( CLR UUUU +

ZI

XXRI CL

+ 22 )(

22 )( CL XXRZ +阻抗：

电压与电流的相位差：

CLCL IXIXUU

IRUR

Z

R

CL XX

阻抗三角形

阻抗角

R

XXarctg CL

22 )( CL XXRZ +

阻抗：

U

CL UU

RU

电压三角形 R

XXarctg

U

UUarctg CL

R

CL

电压与电流的相位差：

Z

R

CL XXX

阻抗三角形

阻抗角

R

XXarctg CL

22 )( CL XXRZ +

阻抗：

当 时， ， u 超前 i －－电路呈电感性 CL XX 0

CL XX 0当 时， ， u 、i同相 －－电路呈电阻性

CL XX 0当 时， ， u 落后 i －－电路呈电容性

ZIXXjRI

jXIjXIRIU

CL

CL

+

++

则 RIUR

0II设 （参考相量）

复阻抗+ )( CL XXjRZ

（2）用复数解析法分析：

u

Ru

Lu

Cu

+

_

+

_

+

_

+

_ R

L

C

i

CLR UUUU ++

LL jXIU

CC jXIU

二、 RLC串联交流电路的功率

)2cos(cos

sin)sin(2

+

+

tUIUI

ttUIiup

u

Ru

Lu

Cu

+

_

+

_

+

_

+

_ R

L

C

i 由： tIi sin2

)(sin2 + tUu

(1) 瞬时功率

cos1

0IUdtp

TP

T

其中 称功率因数 cos

RIIUIUP R

2cos

u

Ru

Lu

Cu

+

_

+

_

+

_

+

_ R

L

C

i 设： tIi sin2

)(sin2 + tUu

(2) 平均功率 Ｐ

U

CL UU

RU

)2cos(cos + tUIUIp

u

Ru

Lu

Cu

+

_

+

_

+

_

+

_ R

L

C

i

设： tIi sin2

)(sin2 + tUu

(3) 无功功率 Q

sinIUQ

CLCL XIXIIUU 22)(

CL QQ +

，感性，， 00sin0 Q

，容性，， 00sin0 Q

，谐振，， 00sin0 Q

u

Ru

Lu

Cu

+

_

+

_

+

_

+

_ R

L

C

i (4) 视在功率 S

ZIIUS 2 22 QP +

单位：伏安(VA）

有些电器设备的容量是不能用有功功率来表示的，如

发电机和变压器。因为其所带负载的功率因数是未知的，

所以用视在功率来表示容量。它表示最大可能输出的功率。

把电压有效值和电流有效

值的乘积，叫做视在功率。

u

Ru

Lu

Cu

+

_

+

_

+

_

+

_ R

L

C

i (4) 视在功率 S

ZIIUS 2 22 QP +

sinIUQ cosIUP

Z

R

CL XX

S

P

Q

阻抗三角形

U

RU

CL UU

电压三角形 功率三角形

除以I 乘以I

+ ZjXRZ iu

1. R-L串联电路

R-L-C串联交流电路中的特例

2. R-C串联电路

u

Ru

Lu

+

_

+

+ _

_ R

L

i

u Ru

Cu

+

_

+

_ +

_ R

C

i

R-L串联电路相量式表示

U

I

LU

RU

ZIjXRIUUU LLR ++ )（

阻抗角,电压超前电流的相位角

0II设:

LR UUU +u

Ru

Lu

+

_

+

+ _

_ R

L

i

+ ZjXRZ L

22

LXRZ +

R

Xarctg L

LR UUU +向量图

U

I

LU

RU

U UL

UR

|Z| XL

R

S Q

P

电压三角形 阻抗三角形 功率三角形 22

LR UUU + 22

LXRZ +22 QPS +

cos称为功率因数

电压三角形、阻抗三角形

功率三角形

coscos UISP

2 R-C串联电路中电压电流的相量图

以I为参考相量 I UR

UC U

CR UUU +

ZIUUU CR +22有效值关系:

22

CXRZ +

R

Xtg C

1 <0

u Ru

Cu

+

_

+

_ +

_ R

C

i