PROPORCIONALIDAD EN CURRICULUM DE PRIMARIA

El tema de proporcionalidad lo encontramos brevemente en el Curriculum de Castilla la Mancha en el tercer ciclo:

Bloque 1:

•La comprensión, representación y uso de los números: operaciones y medida.

Números enteros decimales y fracciones

Uso en situaciones reales del nombre y grafía de los números de más de seis cifras

Números fraccionarios. Expresión de partes utilizando porcentajes. Correspondencia entre fracciones sencillas, decimales y porcentajes

LA NOCIÓN DE RAZÓN

“Un par ordenado de cantidades de magnitudes”

- Hoffer, A. R.

Diferencias Razón Fracción

Comparan elementos Heterogéneos Homogéneos

Notación fraccional

Algunas no10 L por m²

4:7

4 7

Sí

El 2º componente puede ser 0

Sí,relación 5:0

No

Números racionalesNo siempre

C/D πSí

Operaciones 3:5 + 4:7 = 7:12 3/5 + 4/7 = 41/35

oSituación introductoria: El puzzle.

•Nº medidas de los lados en cm•Ejercicio: - construir puzzle de mayor tamaño. - el lado de 4 cm debe tener 7 cm

Dos series de números son proporcionales si podemos pasar de una serie a la otra multiplicando o dividiendo por el mismo

número

oEjemplo de series proporcionales: En estas situaciones tenemos dos series de números, como se indica en la tabla adjunta, que se dicen son proporcionales entre sí.

Números de barras de pan

1 2 3 4 5 6 7

Precio pagado en euros

0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1

oEJERCICIOS DE SERIES PROPORCIONALES

1. Indica, en las siguientes tablas de equivalencia, el número por el que hay que multiplicar o dividir para que las series sean proporcionales.

2. Lorenzo vende discos compactos a 15€ cada uno. Elabora una tabla de equivalencias con el número de discos y el precio. ¿ Cuántos discos se pueden comprar con 165€?3. Completa estas tablas de números proporcionales:

2.2 ProporcionesLA PROPORCIONALIDAD

FUNCIÓN

UNA FUNCIÓN RELACIÓN

UNA RELACIÓN SUBCONJUNTO DE UN PRODUCTO CARTESIANO

Cuándo en una situación considerada sólo intervienen dos

pares de números que se corresponden se dice que se

establece una proporción

Una proporción aparece bajo la forma de una igualdad entre dos fracciones, en consecuencia, el producto cruzado de los numeradores y denominadores serán iguales entre sí. Una proporción permite escribir cuatro igualdades equivalentes entre dos fracciones como se resume en este cuadro:

A = C B D

A = BC D

D = CB A

D = BC A

•En la práctica una de las fracciones tendrá el numerador o denominador desconocido y se plantea el problema de encontrar su valor usando la relación de proporcionalidad que se establece.

oEJEMPLO:

La razón de chicos a chicas en una clase es de 2 a 3. Hay 12 chicos ¿cuántas chicas hay?Solución:

2 = 12 = 3 x 12 = HAY 18 CHICAS3 X 2

oMAGNITUDES PROPORCIONALES

oA doble número de metros de tela, doble precio de tela, a triple número de metros, triple precio… podemos decir que el precio de la tela es proporcional a su longitud. El precio de la tela y su longitud son magnitudes proporcionales.

oA doble número de sacos, doble cantidad de kilos, a triple número de sacos, triple cantidad de kilos… podemos decir que el precio de las patatas es proporcional al número de sacos. El número de sacos y su peso son magnitudes proporcionales.

oMAGNITUDES NO PROPORCIONALES

EDAD (MESES) 1 2 4 8

PESO (KG) 4 4,7 6,2 7

oComo puedes comprobar a doble edad no le corresponde doble peso. El peso y la edad de un bebé no son magnitudes proporcionales.

• Cuando en una razón una cantidad aumenta y la otra disminuye

•Distancia (d) o espacio recorrido es igual al producto de la velocidad por el tiempo empleado d= VxT así se recorre la misma distancia (constante)

Velocidad (Km/h) Tiempo (horas) Resultado

24 4 24x4=96

12 8 12x8=96

48 2 48x2=96

6 16 6x16=96

•1º: con velocidad de 24km/h empleo 4 horas en recorrer la distancia de 96km.• 2º: si se reduce a la mitad la velocidad (se dividido entre 2) el tiempo se duplica para la misma distancia (multiplicado por 2).• 3º: Duplico la velocidad el tiempo obvio es la mitad.• 4º: Reduzco la velocidad en un cuarto por lo tanto 6km/h luego el tiempo aumenta al cuádruple a 16 h.

Dos magnitudes son directamente proporcionales, si la razón entre dos cantidades correspondientes de cada una de ellas es siempre la misma, de tal forma que, al aumentar o disminuir una de las magnitudes, la otra aumenta o disminuye en la misma proporción. Es decir, la razón es constante.

Un albañil construye 18 m2 en 3hr, eso quiere decir que construye 54m2 en 9hr, son dos cantidades directamente proporcionales porque al aumentar en tres el número de metros cuadrados, aumentó en tres el número de horas.Eso se representa en forma de regla de tres (en forma proporcional) de la siguiente manera:

3.......9---- = ---- esto se lee: 3h es a 18m2 como 9h es a 54m2.18.....54

•El número por el que se debe de multiplicar el 3 para que de 9 es tres. (3x3=9)•El número por el que se debe de multiplicar el 18 para que de 54 es tres. (18x3=54)

oEJEMPLO

La regla de tres es un procedimiento que se aplica a la resolución de problemas de proporcionalidad

Se conocen 3 de los 4 datos y se debe calcular el cuarto

El algoritmo se reduce a un proceso de multiplicación de dos de los números seguido de una división por el tercero

Los niños manipulan la operación sin saber su sentido

Se aplica de manera indiscriminada en situaciones inadecuadas

PROPORCIONALIDAD DIRECTAhttp://www.youtube.com/watch?v=2suLINgAWQE

PROPORCIONALIDAD INVERSA

La regla de 3 de proporcionalidad directa supone un aumento de un numero A y B en la misma proporción para que la constante permanezca igual.

Así pues, diremos que A es a B igual que X lo es a Y, siendo Y el producto de B x X dividido por A:

Multiplicación cruzada o en cruz

Si necesito 8 litros de pintura para pintar 2 habitaciones, ¿cuántos litros necesito para pintar 5 habitaciones?

La solución, aplicando el algoritmo de regla de tres directa sería:

Es evidente que, si dos habitaciones necesitan 8 litros, 5 habitaciones necesitaran mas litros.

AUMENTO EN LA MISMA PROPORCIÓN: C(constante)

oAplicación a la práctica

oGRAFICO DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Constante:

A mas másA menos menos

• En la regla de 3 inversa se cumple que, un aumento de un numero A supone una disminución de un numero B, en función de su constante ( AxB=XxY= c). Se representa así:

•Así pues, podríamos decir que Y es igual al producto de A x B dividido entre X

Si 8 trabajadores construyen un muro en 10 horas, ¿cuánto tardarán 5 obreros en levantar el mismo muro?

La solución seria, aplicando el algoritmo de la regla de tres inversa:

En este problema es evidente que si 8 trabajadores tardan 10 horas, 5 trabajadores tardaran mas en construir el muro

Aumento de A – disminución de B = misma proporción :

C(constante)

Constante:

A mas Menos

A menos Mas

Hay otras formas hábiles de resolver problemas de proporcionalidad

Propiedades de las funciones lineales

Buscar el precio de un litro de pintura y una vez determinado averiguar la incógnita multiplicando por

el numero de habitaciones

8 : 2 = 4 ; 4 x 5 = 20

Número de litros que se necesitan por habitación

Procedimiento mediante propiedad de la función lineal

El modelo lineal es mas fácil a la hora de entender la naturaleza del problema

por parte de los niños.

Utilización del algoritmo predeterminado

Resultado final

•MODELO CRUZADO

Se utiliza en muchas situaciones cotidianas X% = x/100 El concepto de porcentaje, proviene de la

necesidad de comparar dos números no sólo de manera absoluta también relativa

Al situarlo como denominador, su numerador nos indica qué porción sobre 100 representa

La notación de porcentajes y el razonamiento de proporcionalidad, se pone en juego cuando uno de los términos que intervienen toma el valor de 100

En unas elecciones, donde se emitieron 5.781.200 de votos, un candidato obtuvo 2.948.412 votos; en las siguientes elecciones se emitieron 6.456.000 votos y este candidato obtuvo 3.099.312 votos, ¿han mejorado los resultados de este candidato entre una y otra votación?

En la primera y segunda votación el número de votos ha sido:1ª- 2.948.412/5.781.200=51/1002ª- 3.099.312/6.456.900=48/100

Los porcentajes nos permiten saber el número de votantes que obtuvo por cada 100 personas y a la vez comprobar que de unas elecciones a otras perdió número de votos.

Una vez se fija, un porcentaje se puede aplicar a distintos números, obteniendo series de números proporcionales

oEJERCICIO

La comprensión de los porcentajes se considera fácil de lograr

El uso incorrecto de los porcentajes es frecuente entre los estudiantes de secundaria.

Se encuentran errores que sugieren que las ideas básicas pueden no estar claras

Por ejemplo: en investigaciones se ha encontrado que alrededor de la tercera parte de los estudiantes de 17 años respondieron erróneamente la siguiente cuestión:

“Si el 5% de los alumnos han faltado hoy a clase, ¿5 de cuántos han faltado?”

Un error en esta idea fundamental sobre los porcentajes sugiere que no sabían que 100 es la base de comparación de los porcentajes

En otra investigación, alrededor de la mitad de los alumnos de 6º curso de primaria respondieron erróneamente la pregunta: “¿Cuál es el 100% de 48?”

Es fácil encontrar en los medios de comunicación anuncios que revelan errores y confusiones sobre el uso de los porcentajes. Ejemplos:

1. “Precios rebajados el 100%”:

Si este anuncio fuera correcto, los artículos serían gratis. Probablemente, los precios se redujeron el 50%.

Los porcentajes se pueden usar con frecuencia para disfrazar los números implicados y permiten hacer comparaciones de manera fácil debido al uso común de la base 100, pero pueden llevar a suponer que se ha usado una muestra mayor de la que efectivamente se ha usado.

1.- Si tus padres se quieren comprar un coche que cuesta 16.000 euros, pero sólo tienen 15.500 y el vendedor les hace un descuento del 6%. ¿Podrán comprárselo?

2.- El AVE Madrid-Sevilla puede llevar 400 pasajeros. El 9% de las plazas son de Clase Club, el 26% de Clase Preferente y el resto de Clase Turista. ¿Cuántas plazas hay de cada tipo?

oEJERCICIOS DE PROPORCIONALIDAD

http://www2.gobiernodecanarias.org/educacion/17/WebC/eltanque/proporcionalidad/proporc_p.html

oBIBLIOGRAFÍA

http://www.clarionweb.es/6_curso/matematicas/tema10.pdf

http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/manual/3_Proporcionalidad.pdf

http://didactica-y-matematica.idoneos.com/index.php/%C2%B4Proporcionalidad