poutres et plancher- caquot forfaitaire

F. Gabrysiak - Construction 147

PPOOUUTTRREESS EETT PPLLAANNCCHHEERR BBAA CChhaappiittrree XXIIIIII

11.. PPRREEAAMMBBUULLEE

DDEEFFIINNIITTIIOONNSS -- RRAAPPPPEELLSS

On considère que si : - 140,0 ≤≤y

x

l

l alors le panneau repose sur ses 4 cotés,

- y

x

l

l>40,0 alors le panneau porte selon la direction lx

cas n°1 :

x2

1,00 m

xy

x2

la dalle porte selon lx

cas n°2 :

xy

les dalles reposent sur 4 cotés

Dans le cas n°1, l'évaluation des charges transmises aux poutres ne pose pas de difficulté. Elles sont proportionnelles à la surface de plancher que supporte chaque poutre.

Dans le cas n°2, les calculs, on définit des charges uniformément réparties équivalentes : - pv : produisant le même effort tranchant sur appui de la poutre de référence, que la charge apportée par la dalle, - pm : produisant le même moment fléchissant à mi-travée de la poutre de référence, que la charge apportée par la dalle.

P

P

P

1 2

3 4

P

y

x

schéma réel

schéma de calculs

P3

P3

P4

P4

Mmax

MmaxVmax


charge trapèze triangle

pv 2..

21 xp l

−α 4

. xp l

pm 2..

31

2 xp l

−α 3

. xp l

y

x

l

l=α , p : charge/m², p : charge/ml, pm : charge/ml

Nota : - Pour 2 panneaux de part et d'autre de la poutre, ces charges se cumulent. - Souvent, afin de simplifier les calculs, quelle que soit la valeur de α, les charges appliquées aux poutres sont évaluées suivant le cas n°1.

MMEETTHHOODDEESS DDEE CCAALLCCUULLSS Les poutres et les planchers BA sont généralement des éléments continus reposant sur plusieurs appuis donc

hyperstatiques. La première méthode qui se présente afin de déterminer les inconnues hyperstatiques, et donc les sollicitations, est la méthode des 3 Moments (formule de Clapeyron). Cependant, l'emploi de cette méthode, bien qu'autorisée par le BAEL, est discutable car :

• La détermination des inconnues hyperstatiques se fait en supposant le matériau homogène et en supposant que la largeur de la table de compression reste constante dans une travée. Or, suivant le BAEL, le calcul des sections se fait en matériau hétérogène, de sorte que le moment quadratique dépend du ferraillage. Puisque la table n'intervient pas sur appuis, on peut admettre qu'elle se constitue, peu à peu, au fur et à mesure que l'on se rapproche des moments positifs.

De plus, les conditions d'exécution par phase qui conduisent à réaliser certaines travées avant d'autres, font que les caractéristiques du béton sont différentes. • La recherche des courbes enveloppes des sollicitations par une méthode classique de calcul des structures représente un travail non négligeable. • D'autre part, en raison du comportement du Matériau Béton Armé, il y a une redistribution du moment fléchissant de long des éléments fléchis. Par exemple, si on considère une poutre continue sur 3 appuis subissant une charge uniformément répartie, à l'ELU l'acier des chapeaux (armatures supérieures sur appui) atteint sa limite élastique et s'allonge sous chargement constant (1.35G+1.5Q). Il s'en suit une fissuration sur appui, entraînant une diminution du moment quadratique et une rotation différentielle des 2 travées au droit de l'appui. La courbe de moment fléchissant est donc décalée vers les moments positifs.


Considérons une travée intermédiaire d'une poutre continue subissant une charge uniformément répartie :

En travée : 22

MeMwMoMt −−=

d'où MoMeMwMt =+

+2

Lorsque les sections sont partiellement fissurées, on obtient donc une relation de la forme :

MokMeMwMt .2

≥+

+

Aussi, pour ces différentes raisons, des méthodes simplifiées validées par l'expérience sont généralement employées. Ces méthodes sont :

- la méthode de Caquot [BAEL Annexe E.2],

- la méthode forfaitaire [BAEL Annexe E1].

PPOORRTTEEEE DDEE CCAALLCCUULL BBAAEELL BB..66..11,,11

• Dans le cas de poutres (ou de dalles) munies d'appareils d'appui, la portée correspond à la distance entre les points d'application des réactions d'appui.


• Dans le cas de poutres (ou de dalles) reposant sur des massifs ou des murs en maçonnerie, la portée correspond à la distance entre les points d'application des résultantes des réactions d'appui (on admet une répartition triangulaire de la pression de contact).

• Dans le cas de poutres (ou de dalles) reposant sur des éléments BA, la portée correspond à la distance entre nus.

Remarque : Si le calcul est effectué en prenant la portée entre axes des appuis, on obtient une courbe de moments au voisinage de l'appui comme ci-dessous.

Si la poutre est solidaire de son appui inférieur, on peut admettre un épanouissement des lignes de forces de compression dans l'appui (pente 1/3) et, donc, une augmentation du bras de levier pour le calcul du moment sur appui Ma. H. Thonnier a montré que pour les poutres courantes, les sections d'acier calculées au nu des appuis avec M'a et M"a et une hauteur H sont plus importantes que la section d'acier calculée avec Ma et une hauteur H1=H + a/6.

DDOOMMAAIINNEESS DDEE VVAALLIIDDIITTEE DDEESS MMEETTHHOODDEESS DDEE CCAALLCCUULL

CONDITIONS A

Conditions

Méthode à utiliser

SATISFAIRE Satisfaites Caquot Caquot minoré

Forfaitaire

[1] Charges d'exploitation ≤ 2 x Charges permanentes [2] Charges d'exploitation ≤ 5 kN/m²

toutes

oui

oui

oui

[3] Charges localisées ≤ Max{2 kN ; 0.25Qt}* [4] Inertie constante le long de chaque travée.

toutes sauf [4] [5] [6]

oui

oui

non

[5] Rapport des portées successives compris entre 0.80 et 1.25 [6] Fissuration peu préjudiciable

autres cas

oui

non

non

* Qt = charge d'exploitation totale applicable sur l'élément.


22.. MMEETTHHOODDEE DDEE CCAAQQUUOOTT :: AAnnnneexxee EE22 22..11 DDOOMMAAIINNEE DDEE VVAALLIIDDIITTEE

voir ci-dessus Le domaine d'application est défini à l'article B.6.2,220

22..22 PPRRIINNCCIIPPEE DDEE LLAA MMEETTHHOODDEE

Pour une poutre continue sur (n) appuis la méthode des 3 moments aboutit à résoudre un système de (n-1) équations à (n-1) inconnues qui sont les moments sur les appuis. La méthode de calcul proposée par Albert Caquot (17881-1976) part du postulat que les moments sur appuis sont provoqués par les charges se trouvant sur les travées adjacentes à l'appui considéré.

22..2211 PPOORRTTEEEESS DDEE CCAALLCCUULL ((SSEELLOONN CCAAQQUUOOTT))

• Les moments aux nus des appuis sont calculés en tenant compte uniquement des charges appliquées sur les travées voisines à gauche (w) et à droite (e). • On détache de chaque coté des appuis des travées fictives de longueur l'w et l'e

- l'w ou l'e = 0.8xli pour les travées intermédiaires - l'w ou l'e = li pour les travées de rives sans console

•• CCaass CCoouurraanntt ::


•• CCaass dd''uunn EEnnccaassttrreemmeenntt àà uunnee eexxttrréémmiittéé ::

•• CCaass dd''uunnee CCoonnssoollee ::

22..2222 CCAALLCCUULL DDEESS MMOOMMEENNTTSS SSUURR AAPPPPUUIISS

• CAQUOT MINORE Cette méthode s'applique aux poutres qui supportent des charges d'exploitation modérées, mais pour lesquelles la méthode forfaitaire n'est pas applicable. La démarche de calcul est identique à la méthode de Caquot exposée ci-dessous. La différence réside dans la possibilité de diminuer les moments sur appuis (donc d'augmenter les moments en travée). Pour cela, on minore les charges permanentes pour calculer les moments sur appuis (et uniquement lors de cette étape de calcul) d'un coefficient compris entre 1 et 1/3.


22..222211 CCHHAARRGGEESS UUNNIIFFOORRMMEEMMEENNTT RREEPPAARRTTIIEESS

le'lw'

pwpe

GiGi-1 Gi+1trav ée i travée i+1E.Iw E.Ie

DDéémmoonnssttrraattiioonn

• Equation générale des 3 moments ( ) "'

11111 ... iiiiiiiii wwMbMacMb −=+++ ++++−

ii

iiii IE

cba..3

.2 l===

• Application à l'appui Gi

e

ee

w

wwi

e

ei

e

e

w

wi

w

w

EIp

EIpM

EIM

EIEIM

EI .24.

.24..

.3.

.3.3.

.6

3'3'

1

'''

1

' llllll−−=+

++ +−

d'après A. Caquot Mi-1 = Mi+1 = 0 et E = Cte

e

e

e

ee

w

w

w

wwi

e

e

w

w

IIp

IIpM

II

'2''2'''.

.4

...4...2 llllll

−−=

+

e

e

w

w

e

e

ee

e

e

w

w

w

w

wwi

II

Ip

II

IpM ''

'

2'

''

'

2'.

8..

8.

ll

l

l

ll

l

l

+−

+−=

Afin de tenir compte des différentes restrictions à appliquer une méthode de continuité classique, A. Caquot a remplacé le coefficient 8 par 8.5, donc :

e

e

w

w

e

e

ee

e

e

w

w

w

w

wwi

II

Ip

II

IpM ''

'

2'

''

'

2'.

5.8..

5.8.

ll

l

l

ll

l

l

+−

+−=

•• RReemmaarrqquueess ::

[a] Si I=Cte le long de la poutre, on obtient la formulation proposée dans l'annexe E2 du BAEL

( )''

3'3'

5.8..

ew

eewwi

ppMll

ll

++

−=

[b] Si le chargement n'est pas appliqué sur la totalité d'une travée, on détermine les rotations de section des extrémités et, à l'aide de l'équation des 3 moments et en respectant les hypothèses de Caquot, on en déduit la formulation du moment sur appui. [c] Si la charge supportée par les travées est uniformément variée, idem [b].


22..222222 CCHHAARRGGEESS PPOONNCCTTUUEELLLLEESS

le'lw'

GiGi-1 Gi+1trav ée i travée i+1E.Iw E.Ie

Pe

ea

DDéémmoonnssttrraattiioonn • Application à l'appui Gi

( )( )'

''

1

'''

1

'

..6....

.3.

.3.3.

.62ee

eeeeeei

e

ei

e

e

w

wi

w

w

EIaaaPM

EIM

EIEIM

EI l

llllll −−−=+

++ +−

d'après A. Caquot Mi-1 = Mi+1 = 0 et E = Cte

e

e

w

w

e

ee

e

e

e

e

e

ei

II

IP

aaaM ''

2'

'''

..2.1..

21

ll

l

lll+

−

−=

Afin de tenir compte des différentes restrictions à appliquer une méthode de continuité classique, A. Caquot a remplacé le coefficient 2 par 2.125 (8/8.5 = 2/2.125), donc :

e

e

w

w

e

ee

e

e

e

e

e

ei

II

IP

aaaM ''

2'

'''

..2.1..

125.21

ll

l

lll+

−

−=

on pose

−

−= ''' 2.1..

125.21

e

e

e

e

e

ee

aaaklll

donc

e

e

w

w

e

ee

ei

II

IP

kM ''

2'.

.ll

l

+=

•• RReemmaarrqquueess ::

[a] Le coefficient ke peut se déterminer à l'aide de l'échelle fonctionnelle (BAEL Annexe E.2,2). [b] La formulation est bien sur applicable pour la travée (w) en changeant les indices. [c] Si plusieurs charges ponctuelles sont appliquées, on appliquera le principe de superposition. [d] Si I=Cte le long de la poutre, on obtient la formulation proposée dans l'annexe E2 du BAEL

''

2'..

ew

eeei

PkMll

l

+=

[e] Afin de tenir de la présence de charges concentrées prés des appuis, c'est à dire dans la zone exclue par la réduction de portée de 20% des travées intermédiaires, certain logiciels de calculs BA, adopte une formulation différente pour ke.

0 1 2 3

travée n°1 travée n°2 travée n°3

4.80 m

Pe

5.00 m 6.00 m 6.80 m Dans cet exemple, Pe ne crée pas de moment sur l'appui 1?


22..222233 CCOOUUPPLLEESS

le'lw'

GiGi-1 Gi+1trav ée i trav ée i+1E.Iw E.Ie

Ce

ea

• En menant un raisonnement identique au précèdent, on obtient :

( )

+

+−

=

weew

w

eeeeeei II

IaaCM..

.1..2.63.125.21. '''

2''2

lllll

22..222244 CCAASS DDEESS PPOOUUTTRREESS CCOONNSSOOLLEESS

0 1 2 3

l3'l2'l1'

GG1 G3travée 2 travée 3E.I E.I22 3

l2' l3'

M1

=0.8l3=l2= l1

DDEEMMOONNSSTTRRAATTIIOONN On détermine M1, le moment fléchissant sur l'appui n°1 provoqué par les charges appliquées sur la console. • Application à l'appui G2

( ) ''2

'33323212 ... wwMbMacMb −=+++

( ) 00.. 23212 =+++ MacMb

( )32

212 .

acbMM+

−=

3

'3

2

'2

2

'2

12

.3.3

.6.

EIEI

EIMMll

l

+−= donc 1

2'33

'2

3'2

2 ...

..21 M

IIIMll

l

+−=

Afin de tenir compte des différentes restrictions à appliquer une méthode de continuité classique, A. Caquot a remplacé le coefficient 2 par 2,125 (8/8.5 = 2/2.125), donc :

12

'33

'2

3'2

2 ...

..125.21 M

IIIMll

l

+−=


•• RReemmaarrqquueess :: [a] Le moment M2 ainsi calculé n'est provoqué que par la console. On doit donc appliquer le principe de superposition si d'autres travées sont chargées. [b] Le moment M1 est le moment fléchissant sur l'appui n°1 donc généralement comme il est négatif, il provoque un moment positif sur l'appui n°2. [c] Si I=Cte le long de la poutre, on obtient la formulation :

1'3

'2

'2

2 ..125.21 MM

ll

l

+−=

[d] Dans le cas où la console est située à droite de la poutre (l'extrémité de la console droite est l'appui libre noté n) , on obtient :

ln-1'ln-2'

n-3 n-2 n-1 n

ln'

travée ntravée n-1travée n-2

11

'22

'1

2'

12 .

....

125.21

−−−−−

−−− +

−= nnnnn

nnn M

IIIMll

l

Si I=Cte le long de la poutre : 1'2

'1

'1

2 ..125.21

−−−

−− +

−= nnn

nn MM

ll

l

22..2233 CCAALLCCUULL DDEESS MMOOMMEENNTTSS EENN TTRRAAVVEEEE EETT DDEE LL''EEFFFFOORRTT TTRRAANNCCHHAANNTT

! L'effort tranchant et le moment fléchissant sont calculés en considérant les travées réelles (de portée l et non l').

La travée (i) est chargée. Soit θ(x) l'effort tranchant et µ(x) Moment fléchissant dans la travée isostatique associée. Par superposition on obtient donc les équations des éléments de réduction dans la poutre hyperstatique :

li

GiGi-1travée i

MiMi-1

(S)

i

ii

LMMxxV −

+= −1)()( θ

−+

+= −

ii

ii L

xMLxMxxM 1..)()( 1µ

22..2244 CCOOUURRBBEESS EENNVVEELLOOPPPPEESS DDEE MM((XX)) EETT VV((XX))

BAEL B.6.1,22 et voir chapitre 'Actions et Sollicitations' Pour chaque combinaison d'actions, on recherchera le cas de charge le plus défavorable vis à vis de l'état limite étudié et la sollicitation étudiée. Les courbes de M(x) ainsi superposées sur un même graphique permette de réaliser l'épure d'arrêt des barres.

•• EExxeemmppllee ddeess ddiifffféérreennttss ccaass ddee cchhaarrggeess àà eennvviissaaggeerr àà ll''EELLUU ((GG eett QQ uunniiqquueemmeenntt))..

Mtmax MtmaxVmax (+)Vmax (-)

0 1 2 3


Cas n°1

1.35G+1.50Q 1.35G+1.50Q

1.35G

Mtmax

0 1 2 3


Cas n°2

1.35G 1.35G

1.35G+1.50Q


Mappmax Mappmax

Vmax (+) Vmax (-)

0 1 2 3

travée n°1 travée n°2 travée n°3Cas n°3

1.35G+1.50Q 1.35G+1.50Q 1.35G+1.50Q

Mtmin Mtmin

0 1 2 3


G+1.50Q

G+1.50Q G+1.50Q

Mtmin

0 1 2 3


G+1.50Q G+1.50Q

G

Vmax (-)Mappmax

0 1 2 3


1.35G+1.50Q 1.35G+1.50Q

1.35G

Cas n°6

Vmax (+)

Mappmax

0 1 2 3


1.35G+1.50Q 1.35G+1.50Q

1.35G

Cas n°7

•• RReecchheerrcchhee ddeess aabbsscciisssseess ddee MMoommeennttss nnuullss.. ! Ces formules sont uniquement valables pour des charges réparties uniformes.

MoMaMbXo

821 −+=

−

−=

MtMa

XoX1

11.'

MtMbXoXoX

−

−+=

1

1"

Mo : Moment isostatique en milieu de travée Ma et Mb : Moment sur appui en valeur algébrique Xo : abscisse relatif de Mt x' et x" : abscisse relatif de moment nul


22..2244 EEPPUURREE DD''AARRRREETT DDEESS BBAARRRREESS BAEL A.4.1.5

En plus des décalages de 0.80h et des longueurs de scellement, il convient de calculer :

•• eenn rriivvee ::

- section d'armatures à ancrer au delà du nu d'appui : e

ust f

VA max15.1

≥

- vérification de la bielle : cjo

u

fbV

a.

75.3 max≥

•• ssuurr aappppuuii iinntteerrmmééddiiaaiirree ::

- section d'armatures à ancrer au delà du nu d'appui, avec une valeur approchée du bras de levier Z = 0.9d :

e

uu

st fd

MV

A 9.0max −=

- vérification des bielles : b

cj

o

ug fab

Vγ

8.0.

.2≤

b

cj

o

ud fab

Vγ

8.0.

.2≤

b

cj

o

u fab

Rγ

28.0.

≤


22..33 EEXXEEMMPPLLEE DDEE CCAALLCCUULL EETT PPRREESSEENNTTAATTIIOONN DDEESS RREESSUULLTTAATTSS


33.. MMEETTHHOODDEE FFOORRFFAAIITTAAIIRREE :: AAnnnneexxee EE11 33..11 DDOOMMAAIINNEE DDEE VVAALLIIDDIITTEE

voir ci-dessus Le domaine d'application est défini à l'article B.6.2,210

33..22 PPRRIINNCCIIPPEE DDEE LLAA MMEETTHHOODDEE

On exprime les moments maxi. en travées et sur appuis en fonction de Mo (moment dans la travée isostatique de référence).

RRèèggllee ddeess MMoommeennttss

Pour chaque travée, on pose :

QGQ+

=α et QG

QGk++

=5.135.1

Mo le moment fléchissant isostatique de la travée considérée. Mw et Me les valeurs absolues des moments sur appuis de gauche et de droite de la travée considérée. Mt le moment maximal en travée en prenant en compte la continuité.

On doit avoir : ( )

MoMoMMM ew

t 05.13.01

max2

α+≥

++

VVaalleeuurrss mmiinniimmaalleess ddeess mmoommeennttss MMtt,, MMww eett MMee

• Poutre à 2 travées

0 1 2

trav ée n°1 trav ée n°2

Moment sur Appui Ma ≥

Moment en Travée Mt ≥1 2 0 3

2 1. .+ α Mo

MMoMo1

1

2

0 60 6

= max..

1 2 0 32 2

. .+ α Mo

• Poutres à plus de 2 travées

0 1 2


1 2 0 32 1

. .+ α Mo1 0 0 3

2 2. .+ αMo 1 0 0 3

2 3. .+ α Mo

MMoMo1

1

2

0 50 5= max

.

. MMoMo2

2

3

0 40 4= max..

Moment sur Appui Ma ≥

Moment en Travée Mt ≥

EEttaappeess ddee CCaallccuull :: vvooiirr eexxeemmppllee ttrraaiittéé eenn ccllaassssee

• 1ière Méthode : Moment mini. sur Appui ⇒ Le calcul est généralement réalisé à ELU. ⇒ Calculer α, k, Mou pour toutes les travées. ⇒ Fixer les moments sur appuis aux valeurs mini. réglementaires. ⇒ Déterminer les moments en travée, en vérifiant les différentes inégalités.

⇒ Calculer les valeurs du moment à ELS en multipliant les valeurs ELU par k1


• 2ième Méthode : Moment mini. en travée ⇒ idem ci dessus ⇒ Fixer les moments en travées aux valeurs mini. réglementaires ⇒ Déterminer les moments sur appuis, en vérifiant les différentes inégalités ⇒ Vérifier les conditions réglementaires sur appuis.

33..33 CCOOUURRBBEESS EENNVVEELLOOPPPPEESS DDEE MM((XX)) EETT VV((XX))

EEffffoorrtt TTrraanncchhaanntt Les valeurs de l'effort tranchant enveloppe peuvent être déterminées ou forfaitairement ou en tenant compte des moments de continuité, avec Voi : effort tranchant dans la travée isostatique considérée.

travée n°1 travée n°2

Vo1 1.15Vo1 21.15Vo 2Vo

poutre à 2 travées


Vo1 1.10Vo 1 21.10Vo 2Vo 3Vo

poutre à plus 2 travées

TTrraaccéé ddee llaa CCoouurrbbee EEnnvveellooppppee ddee MM((xx)) Si Q ≤ G et si les charges appliquées peuvent être considérées comme uniformément réparties, on peut se dispenser de tracer les courbes enveloppes de M(x). Les armatures longitudinales seront arrêtées forfaitairement.

• Méthode Graphique - tracé de la courbe isostatique

⇒ Placer Mo à l/2 ⇒ Reporter OMo = O'Mo, les droites O'E et O'W sont tangentes à la parabole en E et W. ⇒ Placer un point m' quelconque. ⇒ WP' = P'm' = Wm'/2, en déduire le point P. ⇒ m'Q' = Q'E = m'E/2, en déduire Q'. ⇒ m est situé à l'intersection de la verticale en m' avec PQ'. ⇒ Répéter cette construction pour un nouveau point de la parabole. ⇒ Construire la symétrie par rapport à OO'


- tracé de la courbe enveloppe

• Méthode Analytique

++−=

221 MMMoMtδ

21

11

..2MMM+

=δδ

212..2

2 MMM+

=δδ

11'1 δ+= MM 22

'2 δ+= MM 2

'1

1lp

M=χ 2

'2

2lp

M=χ

L'abscisse des points de moments nuls est donné par :

[ ]( )

+−+±+−= 2

21

121

10 .2.21

.811..2.21.2 χχ

χχχlX


33..44 AARRRREETT DDEESS BBAARRRREESS LLOONNGGIITTUUDDIINNAALLEESS ((FFOORRFFAAIITTAAIIRREEMMEENNTT))

BAEL E.1.3

l1 2 3l l≤l110

l110

≤l 210

l 210 ≤

l 310

≥1

4

1

2.max

l

l ≥1 1

2.max

l

l4 ≥1 2

3.max

l

l5 ≥1 2

3.max

l

l5lclclclc

≥ lc2

≥2lc ≥

2lc ≥

2lc

≥ *h ≥ *h ≥ *h ≥ *h

≥ ≥

• La moitié au moins de la section des armatures inférieures nécessaires en travée est prolongée jusqu'aux appuis. • Dans tous les cas, les longueurs d'ancrage doivent être respectées. • * Uniquement si ces barres sont munies de crochets d'ancrage.

44.. MMEETTHHOODDEE DDEE CCAALLCCUULL DDEESS DDAALLLLEESS RREECCTTAANNGGUULLAAIIRREESS 44..22 MMOOMMEENNTTSS DDAANNSS LLEESS DDAALLLLEESS AARRTTIICCUULLEEEESS SSUURR LLEEUURR CCOONNTTOOUURR 44..2211 CCAASS OOUU αα<< 00..44

On admet que le panneau ne porte que dans le sens xl . La dalle est assimilée à une poutre de un mètre de largeur. Les sollicitations sont déterminées par la méthode de Caquot ou la méthode forfaitaire. On adopte forfaitairement Ay ≥ 0.25Ax

44..2222 CCAASS OOUU αα ≥≥ 00..44 ((BBAAEELL AANNNNEEXXEE FF33))

BAEL A.8.2,1

CCaass ddeess CChhaarrggeess RRééppaarrttiieess Soit p la charge par m² de dalle, au centre de la dalle, pour une bande de largeur unité :

Ax

Ay l

l

x

y

2.. xxox pM lµ= sens lx (bande // à lx)

oxyoy MM .µ= sens ly (bande // à ly)

υ = 0 υ = 0.20 α µx µy µx µy

0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00

0.110 0.102 0.095 0.088 0.081 0.0745 0.068 0.062 0.056 0.051 0.046 0.041 0.037

≥ 0.250

0.305 0.369 0.436 0.509 0.595 0.685 0.778 0.887 1.000

0.112 0.105 0.098 0.092 0.086 0.080 0.074 0.0685 0.063 0.058 0.053 0.048 0.044

0.293 0.333 0.373 0.420 0.476 0.530 0.585 0.643 0.710 0.778 0.846 0.923 1.000

υ = 0 pour le calcul des armatures υ = 0.2 pour le calcul des déformations


•• CCaallccuull ddeess MMoommeennttss eenn ccoonnttiinnuuiittéé ((BBAAEELL AA..88..22,,3322)) ⇒ Soit Me et Mw les valeurs absolues prises respectivement en compte pour les moments sur appuis, on doit toujours vérifier :

l

l

x

yM

axM

ax

Mtx

MaxMax

Mty

oyeywy

ty MMM

M 25.12

≥+

+ sens ly (bande // à

ly)

oxexwx

tx MMMM 25.12

≥+

+ sens lx (bande // à lx)

⇒ Les moments généralement adoptés en travées (Mt) et sur appui (Ma = Me ou Ma = Mw) sont à lire dans l'une des 2 colonnes [1] ou [2] en fonction des conditions d'encastrement.

Petite Portée lx Grande Portée ly Moment [1] [2] [1] [2]

en Travée Mt 0.85 Mox 0.75 Mox 0.85 Moy 0.75 Moy en Travée de rive Mt Mox 0.85 Mox Moy 0.85 Moy sur Appui Ma 0.40 Mox 0.50 Mox 0.40 Mox 0.50 Mox sur Appui de rive Ma 0.15 Mox 0.30 Mox 0.15 Mox 0.30 Mox

! Les moments sur appuis dans le sens ly atteignent des valeurs du même ordre que sur les grands cotés. C'est à dire que les armatures y sont calculées pour 0.40Mox ou 0.50Mox (et non pour 0.40Moy ou 0.50Moy) !! Si on adopte une valeur de 0.3Mo sur appui de rive, il s'assurer que celui ci puisse effectivement reprendre ce moment d'encastrement. !!! Si l'appui de rive ne peut pas reprendre de moment, il convient d'adopter [1] avec en travée de rive Mt = 1.05Mox

•• CCaallccuull ddee ll''eeffffoorrtt ttrraanncchhaanntt

l

l

x

y

Vy

Vx

1.00

m

1.00 m

pour α ≥ 0.40

≤=

+=

xx

y

xx

VpV

pV

3.

21

1.2

.

l

lα

44..222211 NNEECCEESSSSIITTEE DD''AARRMMAATTUURREESS DD''AAMMEE

Les armatures d'âme ne sont pas nécessaire si :

•• ddaallllee ((BBAAEELL AA..55..22,,22))

- la dalle est bétonnée sans reprise de bétonnage, - la contrainte tangentielle vérifie :

b

cjuu

fd

Vγ

τ 07.0≤=

•• pprrééddaallllee ((BBAAEELL AA..55..33,,33)) - la surface reprise est rugueuse (indentations), - les charges sont réparties, appliquées sans effets

dynamiques, - si la contrainte normale éventuelle est une

compression, - la contrainte tangentielle vérifie :

MPad

Vuu 35.0≤=τ


Sinon, on calcule des armatures transversales : - en appliquant la règle des coutures, si il y a reprise de bétonnage dans l'épaisseur (cf dispositions constructives) - dans les autres cas, comme pour les poutres mais avec les valeurs de τlim multipliées par :

≥

<<

mhsi

mhomsimenho

30.01

30.015.0)(.3

10

MPa

f

b

cj

7

27.0minlim γτ =

44..33 CCAASS DDEESS DDAALLLLEESS SSUURR 33 CCOOTTEESS SSOOUUMMIISSEESS AA DDEESS CCHHAARRGGEESS UUNNIIFFOORRMMEEMMEENNTT RREEPPAARRTTIIEESS

2x

yl

l ≥

l

l

x

y

bord

libr

e

2x

yl

l ≤

ly

lx

bord

libr

e

l

l

x

y

Ma x

Mtx

2

Max

Mty

Mtx

1

Max

lylx0.25 lx-0.25

ly0.5 ly0.5

Mtx

1

Mty

Max

Max

Mtx

2

24

2x

typM l

=

36

2

1x

txpM l

=

−

−=

xy

xyxtx

pMll

lll

5.418718

.8

2

2

−=

34.

4

2

y

xyty

pM

l

ll

9

2

1y

txp

Ml

=

5.4

2

2y

txp

Ml

=

poutres et plancher- caquot forfaitaire

Documents