potpuno riješeni zadaci - mim-sraga.com · pdf fileako vam treba još zadataka...
TRANSCRIPT
POTPUNO RIJEŠENI ZADACI
PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNU PRIPREMU PRIJEMNOG ISPITA
NA
TEHNIČKE FAKULTETE
2000/2001.
Zadatke riješili i grafički obradili * IVANA i MLADEN SRAGA *
2
Tehnički-fakulteti 2000./2001.
M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©
Zadaci su uzeti iz matematičko fizičkog lista . Zadatke riješili: IVANA SRAGA
MLADEN SRAGA Grafička obrada: MLADEN SRAGA Matematički slog: MLADEN SRAGA Tisak za vlastite potrebe M.I.M.-Sraga d.o.o. Svi ovi zadatci su sastavni dio naše zbirke zadataka pod rednim brojem 440. na http://www.mim-sraga.com/teh-fax-cijenik.htm postoji dvije varijante te zbirke duža sa kompletno riješeni svim zadatcima od 1992.g. pa do 2005. I kraća varijanta sa kompletno riješeni svim zadatcima od 2000.g. pa do 2005. Cijena tih zbirki je kao cijena 2ili 4 sata instrukcija … Štampanu varijantu zbirki možete naručiti mailom ili telefonom 01-4578-431
Potpunu garanciju na kompletnu skriptu daje: centar za dopisnu poduku M.I.M.-SRAGA -dakle sve što vam se čini nejasno krivo ili sumnjivo - zovite 01-4578-431 ili 01-4579-130 i tražite dodatne upute i objašnjenja ...
Ako vam treba još zadataka javite nam se – [email protected] ili www.mim-sraga.com Sva prava na prodaju ove skriptu potpuno riješenih zadataka zadržava centar za dopisnu poduku M.I.M.-SRAGA isključivo u okviru svog programa poduke i dopisne poduke.
3
Tehnički-fakulteti 2000./2001.
M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©
2000./2001.g. ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
6 4 3
4 2 5 3
6 4 3
4 2 5 3
4 2
3 3 1 1 Izraz jednak je
2 2 3 3
33 3A. B. C. D. E. 1 1 2 2 2
3 3 1 1
2 2 3 3
3 3 1
1. a a a a
a a a a
a aa a a aa a a a a
a a a a
a a a a
a a
a
+ − + + − +⋅
+ − + + − +
++ ++ + + + +
+ − + + − +⋅ =
+ − + + − +
⎡ ⎤+ ⋅ + −⎣ ⎦=( ) ( )
M-
ALGEBARSKI IZRAZI
a b a b a b a ab b
a b b a
a b a b a b a ab b
a b b a
a b a b
a b a b a b
a b a a b ab b
a b a a b ab b
a b a b a ab b
a b
+ = + ⋅ + = + +
+ = +
− = − ⋅ − = − +
− = −
− − = +
− ⋅ + = −
+ = + + +
− = − + −
− = − ⋅ + +
+
b g b g b gb g b g
b g b g b gb g b gb g b gb g b g
b gb g
b g d i
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
3 3 2 2
3
2
2
3 3
3 3
3 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
= + ⋅ − +
+ + = + + + + +
RSTUVW
RSTUVW
+ + =+ =
⋅ == + ⋅ +
+ =
⋅ = ⋅+ + = = + + + =
a b a ab b
a b c a b c ab ac bc
x px qm n p
m n qx m x n
m n b
m n a cax bx c ax mx nx c
b g d ib g
a f a f
. . .
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
2
2 2 3 2
4 2
3 2 2
2
2
Kratimo kockaste zagrade
1 1 1
2 2 1 3 3 1
3 1 1 1
3 2 2 1
3 1 1 1 1 1
2 2 1 2 1
3 1 2
2 1 3
2
a a
a a a
a a a
a a a
a a a a
a a a
a a a a
a a a
aa
⎡ ⎤+ ⋅ + −⎣ ⎦⋅ = =⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ⋅ + − + ⋅ + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤+ ⋅ + + −⎣ ⎦= =⎡ ⎤+ ⋅ + ⋅ + −⎣ ⎦
+ ⋅ + ⋅ + − ⋅ + += =
+ ⋅ + − ⋅ + +
+ ⋅ + ⋅ ⋅ += =
+ ⋅ + ⋅ +
=+
4
Tehnički-fakulteti 2000./2001.
M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©
( ) ( ) ( )( ) ( )
2 Za kvadratnu funkciju poznato je da vrijedi 2 3, 0 1 i
2 3. Tada 1 iznosi :1 3 3. B. C. 2 D. 4 4 4
2. f x ax bx c f f
f f
= + + − = =
= −
− −
M-
A
( )( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
3 E. 2
2 3 3
3 2 2
f x ax bx c
f f x f x ax bx c
a b c
= + +
− = → = = + +
= ⋅ − + ⋅ − +
( ) ( ) 2
2
3 4 2 0 1 1
1 0 0
a b cf f x f x ax bx c
a b c
= − +
= → = = + +
= ⋅ + ⋅ +
( ) ( ) 2
2
1 0 01
2 3 3
3 2 2
cc
f f x f x ax bx c
a b c
= + +=
= − → − = + +
− = ⋅ + ⋅ +
( )
( ) za
( ) za
3 4 2
ada riješimo sustav4 2 34 2 3
1
4 2 14 2 1
8 2 0
8 2 :8
2814
a b c
a b ca b c
c
a ba b
a
a
a
a
− = + +
− + =+ + = −
=
− ++ +
+ =
= −
= −
= −
S
33
= ⎫+⎬= − ⎭
2x↓= −
0x↓=
2x↓=
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
14 2 1 3 ,4
14 2 3 14
1 2 22 2 1
2 3 : 2
32
1 3 14 2
1 3 1 3Pa je: 1 1 1 1 14 2 4 21 6 4 31
4 4
a b a
b
bb
b
b
f x ax bx c
f x x x
f
f
− + = = −
⎛ ⎞⋅ − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
− − =− = +
− = −
= −
= + +
= − = +
= − ⋅ − ⋅ + = − − +
− − += = −
5
Tehnički-fakulteti 2000./2001.
M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©
[ ]
( )
3 2
3 2
2
Za koje realne brojeve je 3 2 realan broj?2 2 2A. 1,0 , B. 1 . 0, D. E. 1,3 3 3
Zbog korjena mora biti: 3 2 0
3 2 0
( , ) ( ,
23
3. x x x x
x x C x x x
x x x
x x x
I II
↓
+ −
⎡ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∈ − ∪ ∞ ≥ − ∈ ≤ ∈ −⎟⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
+ − ≥
+ − ≥
+ + −
( )
M-
[ ]
2 2
2
1,2 1
1,2 2
1,2
1
)0, 3 2 0 0, 3 2 0
1 1 4 3 2 22 3 3
1 1 24 16
1 256
1 5 4 26 6 3
1 5 6 21 0 1,
20 , 1 ,3
x x x x
x x
x x
x
x
x x x
−
≥ + − ≥ ≤ + − ≤
− ± − ⋅ −= =
⋅− ± +
= = −
− ±=
− += = =
− − − ⎡ ⎤= = = − ≤ ∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡≥ ∈ −∞ − ∪ ∞⎢⎣
⋅
x x
2 6 6 3
23
231−
1−↓
∩
1− 2
30x x
[ ]1,0x∈ −
↓
∩ 1− 0 2
3 2 ,3
x ⎡∈ ∞⎢⎣
↓
∪
[ ] 21,0 ,3
x ⎡∈ − ∪ ∞⎢⎣
6
Tehnički-fakulteti 2000./2001.
M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
23 3
3
313 3 22
32
-4. Ako je 3 1, i , onda vrijednost funkcije u točki 3 iznosi:A. 1 B. 2 C. 1 D. 0 E. 2
3 1 , ,
?
Uvedemo
Pa je sada:
3 1
f x x g x x h x x f g h
f x x g x x h x x
f g h
w g h x x x
f g h f w x
f g
−= − = =
− −
= − = =
=
= = = =
= = ⋅ −
( )2 2 3
13 3 2 1za 3 3 3 1 3 3 1 3 1 1 1 03
h− − −⎛ ⎞
= − = ⋅ − = ⋅ − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠⋅
M
www.mim-sraga.com
7
Tehnički-fakulteti 2000./2001.
M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©
( )
2
212
21
3 2
32 2
1M-5. Ako je 3 i 3 3, onda je izraz 2 jednak27
A. 2 B. 1 C. 0 D. 1 E. 2
1 3 3327
3 313 13 2
3 3322
sustav:
322
1 22
322
2
x y x y
x yx y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x y
x
+ − +
− ++
− +
+
−+
= = +
− −
==
==
− + =
=
+ = −
+ = −
− + = ⋅
+ = −
− 2 1
33 12
2 3321 132 316
y
y
y
y
y
⎫⎪+⎬⎪+ = ⎭
= −
−=
= − ⋅
= −
Traženi izraz:
3 12 ,2 6
1 326 21 326 21 92
68264 123 2
23
2 1 2 1 32 23 6 3 3 3
1
x y y
x
x
x
x
x
x
x y
+ = − = −
− = −
= −
−=
= −
= − ⋅
= −
⎛ ⎞+ = − + ⋅ − = − − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠
−
8
Tehnički-fakulteti 2000./2001.
M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©
}
Po pravilu za antil
-6. Ako je log 3log 2 i log log 1, onda je izraz jednakA. 10 B. 10 C. 10 10 D. 100 E. 100 10
log 3log 23
log 3log 2
4log 5 : 45log4
a b a b a b
a ba b
a b
a
a
+ = − = ⋅
+ =− = ⋅
+ = +
=
=
M
log log 1
3log 3log 3a b− =
( )
54
14
5 1 6 3 13 3 2 14 4 4 2 2
ogaritmiranje:
Po pravilu za antilogaritmiranje:
log
10
5log log 1 , log4
5 log 145 1 log4
1log4
log
10
Pa je: 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
C
A
CA
B C B A
a
a b a
b
b
b
B C B A
b
a b
= ⇒ =
=
− = =
− =
− =
=
= ⇒ =
=
⋅ = ⋅ = = = = = ⋅ =
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
1
12
1
ili
log log 9log 1
loglog 10log loglog log log 2 log log1log loglog log log 3
log log 4
1log log log 5
1log log log 5A2
log 1 6 log 6A
log 1 0 7
1log 8log
n
n
c aa
ca a
c
aa
x
n
xa a
a
ab
ab bb c b a
bbb ba b a b a a
a ba b nb
a x a
a a an
a a a
a a x
ba
⇒= −
= =
= =⋅ = +
== −
= ⋅
= =
= =
= =
=
=
( )
( )( )
( )
( )
log
ako je ako je
tada je tada je
ako je ako je
tada je tada je
Logaritamske nejednadžbe
11
12log log 13
log log 14I II 1 0 1
log log 15I II 1 0 1
a b
c c
c c
b
a bx yx y
a b
c ca b a b
a b
c ca b a b
=
==
>
> < <> <
<
> < << >
9
Tehnički-fakulteti 2000./2001.
M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©
( )
12 1 2
12 1 2
12 1 2
2
7. Zbroj rješenja jednadžbe 5 4 7 10 iznosi:5 7 3 A. 1 B. 0 C. D. E. 2 2 2
15 4 7 1010
5 5 4 4 710 10
5 5 4 4 710 10
25 5 4 2 710 10
25 45 210 10
xx x
xx xx
x x
x x
xx
x x
x x
x x
x x
++
++
+ = ⋅
−
+ = ⋅ ⋅
⋅ ⋅+ =
⋅ ⋅+ =
⋅ ⋅+ =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
M-
( ) ( )
1
1
2
2
2
1,2
1,2
1 2
7 0
5 25. 2 7 02 5
5 55 2 7 02 2
5uvedemo:2
5 2 7 025 7 0
5 2 7 05 7 2 0
7 7 4 5 2 7 49 402 5 10
7 9 7 310 10
7 3 10 110 10
x x
x x
x
t
t t
t tt
t tt t
t
t
t t
−
−
− =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ + ⋅ − =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
⋅ + ⋅ − =
⋅ + − = ⋅
⋅ + − ⋅ =
⋅ − ⋅ + =
− − ± − − ⋅ ⋅ ± −= =
⋅
± ±= =
+= = =
( )
0 1
1 2
1 2
7 3 4 210 10 5
52
5 5 212 2 5
5 5 5 52 2 2 2
0 10 1
Zbroj rješenja je: 0 1 1
x
x x
x x
t
x xx x
x x
−
−= = =
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = −= = −
+ = + − = −
10
Tehnički-fakulteti 2000./2001.
M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©
M A
Ovdje se radi o Aritmetičkom nizu, jer je 2 -razlika dvaju susjednih parnih
-8. Zbroj 30 uzastopnih parnih prirodnih brojeva iznosi 1230. Najveći od njih je. 62 B. 64 C. 66 D. 68 E. 70
d =
( )
1
2 2 12 1
3 3 1
30
1
brojeva...Prvi parni broj označimo sa 2 - taj broj je paran bez obzira na jer se množi sa dva ...
22 2
2 2 2 22 4 21230 , 30 , 2
2 12
1230
n
x x
a xa x a a d
d a a x xa x a a dS n d
nS a n d
=
= + → = + ⎫= − = + − =⎬= + → = + ⋅ ⎭
= = =
= ⋅ ⋅ + − ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦
= ( )
( )
1
1
30 1
30
30 Rješenje pod: E
30 2 2 30 1 22
11230 15 4 29 215
82 4 5882 58 44 24 :4
6 2 2 612
Traženi najveći broj je: 2912 29.2 12 5870
x
x
xx
xx a x
a
a a daa →
⋅ ⋅ + − ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦
= ⋅ + ⋅ ⋅
= +− === = = ⋅
=
= + ⋅= + = +=
( ) ( )
( )1
12 1 3 21 3
21
11 1
1
Opći član Diferencija Zbroj prvih članova Interpolacija
Opći član Kvocijent Zbroj prv
Aritmetički niz2
2 12 12
2
1
n
n n
n nn
n nn
n
n
a a dn
d
nS a ad a a a aa a b aad a a n rS a n da aa
a a n dδ
−
− +
− +=
= ⋅ += − = −+ −= =
= − += ⋅ ⋅ + − ⋅⎡ ⎤⎣ ⎦+
=
= + − ⋅
321
1 22 1 12 1 3 1
121 1
1
ih članova Interpolacija
1Geometrijski niz1
1
n
nn r
nn n
nn n nn
n
aa qq S aa a q ba a a a a q qa aa q aq Sa a a a q
− +
− +−
−= = = ⋅− ′= ⋅ = ⋅ =
⋅ −= == ⋅ −
11
Tehnički-fakulteti 2000./2001.
M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©
M- 9. Prilikom rješavanja jednog zadatka iz matematike, 12% učenika nije riješilo
zadatak, 32% učenika je djelomično riješilo zadatak, a ostatak od 14 učenika
e zadatak točno riješ
Postotak učenika koji je riješio zadatak je:
ilo. Koliko je učenika bilo u razredu?. 21 B. 22 C. 23 D. 24 E. 25
12% nije riješilo zadatak32% je rješilo dio14 učenika je riješilo zadatak
100%
−−
−
( )
j A
Rješenje pod:
Sada znamo da je od ukupnog broja učenika u razredu.Pišemo: ukupan broj učenika
ili
12% 32% 100% 44% 56% 14 učenika 56%
56% od 14 učenika, 56% 1456 10014
100 561001456
25
x xx
x
x
x →
− + = − =
== =
⋅ =
⋅ = ⋅
= ⋅
= E
www.mim-sraga.com
12
Tehnički-fakulteti 2000./2001.
M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©
M
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
-10. Površina trokuta, kojemu je duljina jedne stranice 4, a kutovi uz tu stranicu 45 i 60 , jednaka je
. 4 3 3 E. 6 6 2 C. 2 5 1 D. 8 3 1 E. 9 2 1
44560
?180
18
a
P
β
γ
α β γ
α
− − − − −
=
=
=
=
= − +
= ( )
A
( )
( )
( )
( )
2
2
po gornjoj formuli
0 45 60
180 10575
sin sin sin sin cos cos sinsin
4 sin 45 sin 60 sin 75 sin 30 45sin 75
sin 30 cos 45 cos30 sin 45
1 2 3 2 2 1 32 2 2 2 2 2
2 3 14
2 3162 2
aP
P
P
α
α
β γ α β α β α βα
− +
= −
=
⋅ ⋅= + = ⋅ + ⋅
⋅ ⋅= → = + =
= ⋅ + ⋅ =
= ⋅ + ⋅ = ⋅ +⋅
= ⋅ +
⋅ ⋅=
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 2
Rješenje pod: A
22 3 14
4 2 34 2 3 2 4 2 3 8 312 3 12 3 1 2 3 13 1
2 2
8 3 8 3 8 33 13 1 3 1 3 1
8 3 38 3 8 33 1 2
2 4 3 3
2
4 3 3
P
P
P
P
P →
⋅ ⋅ +
⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = = =+⋅ + ⋅ +⋅ +
⋅ ⋅ −−= ⋅ =
+ − −
⋅ −⋅ −= =
−
⋅ ⋅ −=
= ⋅ −
4
β 60=45= γβ γ
( )( )( )( )
( )
( )
( )
( )
sin sin cos cos sin
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
cos cos cos sin sintg tgtg
1 tg tgtg tgtg
1 tg tgctg ctg 1ctgctg ctg
ctg
Adicijske formuleα β α β α β
α β α β α β
α β α β α β
α β α β α βα βα βα β
α βα βα β
α βα ββ α
α β
+ = ⋅ + ⋅
− = ⋅ − ⋅
+ = ⋅ − ⋅
− = ⋅ + ⋅
++ =
− ⋅−
− =+ ⋅
⋅ −+ =
+
− =ctg ctg 1α β⋅ +ctg ctgβ α−
13
Tehnički-fakulteti 2000./2001.
M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©
M-11. Pravokutnik čije stranice imaju duljine 6 i 8, podijeljen je dijagonalom na trokute i . Udaljenost između središta kružnica upisanih u te trokute iznosi:
A.
ABCDABC CDA
13 5 3 9 B. 2 5 C. D. 3 2 E. 3 2
Nacrtajmo sliku:
2
( )1 2
1 2
2 2 2
2
Treba uočiti pravokutan trokut - čija je hipotenuza jednaka ,
1. Izračunamo površinu trokuta 8 62
4 624
2. 8 62
8 6 101002
10 12
3. Površina trokuta jednaka je i:
S ESd S S
ABC
P
PP
a b dd s
d s
d s
P
⋅=
= ⋅=
+ += + =
+ += =
= =
uvrstimo sve poznato:
24 1212 24
2
sρρ
ρρ
= ⋅= ⋅⋅ ==
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρ8 2ρ−A B
CD
d
8
6
ρ
8 2ρ−
( )1 2,d S S
E
1S
2S
2SE
1S
))
( ) (( ) (( )( )( )( )( )( )
2 221 2
2 221 2
2 21 2
21 2
21 2
1 2
21 2
21 2
4. , 8
, 2 8 2
, 4 4
, 4 16
, 20
, 20
, 4 5
, 2 5
d S S
d S S
d S S
d S S
d S S
d S S
d S S
d S S
2
2
ρ ρ= + −
= + − ⋅
= +
= +
=
=
= ⋅
=
14
Tehnički-fakulteti 2000./2001.
M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©
2 2
-12. Volumen uspravne četverostrane piramide kojoj je baza kvadrat stranice duljine , a bočnerane nagnute pod kutem od 45 u odnosu na bazu iznosi:
2. B. C. D. 2 2 2
a
a a a
M st
A
( )
33
1
2 E. 6
Nacrtajmo skicu te piramide, pa izdvojimo pravokutni trokut ESV ... Kut što ga zatvara bočna stranica piramide s bazom je ustvari kut koji zatvara visina bočne stranice s bazom...
aa
v
VV
B
CD
S
v1v
2a
aE S
1vv
2a
45
45
Izdvojimo pravokutan trokut
kateta nasuprot kutatgkateta uz kut
tg 45
2
11
221
2 :2
2
ESV
va
v
a
v aa
a v
av
=
=
=
⋅= ⋅
= ⋅
=
2
2
2
3
3
,3
3
.2
3
231
6
B vV B
a vV
aaV
a
V
aV
⋅= =
⋅=
=
=
=
a
45E
A
15
Tehnički-fakulteti 2000./2001.
M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©
-13. Volumen kugle upisane u stožac polumjera baze 3 i visine 4 iznosi:
3 2 5 9. 4 B. C. D. 2 5 E. 2 2 2
Nacrtajmo skicu: Treba uočiti slične trokute i
r vM
BDV SEV
π π π π π
= =
↓
A
( )v ρ−
E S
V
ρA D B
V
E
S
( )v ρ−
ρ
s
s
V
ρ ρ
D B
s
rr r
v
( )( )
( )
( )
3
3
3
3
Kako su trokuti i slični stranice im se odnose:
: :
5: 4 3:5 3 4
45 3 45 12 35 3 128 12
12832
Volumen kugle je:434 33 24 33 2
3 943 4 292
BDV SEV
s v r
V
V
V
V
V
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρρ ρ
ρ ρ
ρ ρρ ρρ
ρ
ρ
ρ π
π
π
π
π
− =
− =
= ⋅ − ⋅−
⋅ = ⋅ −
= −+ ==
=
=
= ⋅ ⋅
⎛ ⎞= ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠
= ⋅ ⋅
⋅= ⋅ ⋅
⋅
=
2 2
2 2
2
2
3 49 1625
5
2
2
s r vssss
= +
= +
= +
==
16
Tehnički-fakulteti 2000./2001.
M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©
M-14. Toranj visok 20 vidi se pod kutem od 30 , iz točke koja leži u ravnini podnožja tornja. Dvostruko viši toranj vidio bi se iz iste točke pod kutem od
. 48 3' B. 46 8' C.
m A 49 6 ' D. 50 4 ' E. 51 2 '
1. Sa označimo udaljenost točke od tornja...20tg 30
tg3020
tg3020
20 60 60 3 60 3133 3 3 3 3
3 3x 20 3
Nacrtamo sada dvostruko viši toranj i sa označim
x Tx
x
x
x
ϕ
= ⋅
=
= = = = ⋅ =
=
Nacrtajmo skicu:
20
20
20
40
30
30 ϕ ϕx
x T
T x T
1
o traženi kut...kateta nasuprot kuta tg
kateta uz kut40tg
40 40 40tg20 1,732 34,64120 3
tg 1,1547 tg
49 06 2449 6
x
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
−
=
=
= = =⋅
=
′ ′′=
′=
Tehnički-fakulteti 2000./2001.
M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©
17
-15. U trapezu su poznate duljine osnovica 6 cm i 4 cm, te duljine krakova3 cm i 4 cm. Duljina kraće dijagonale trapeza iznosi:
. 17 cm B. 21 cm C. 2 5 cm D. 19 cm E.
a cb d
M
A
= == =
( ) ( )22 2
2 2 2
Prema kosinusovom teoremu:
3 2
Nacr o skicu:
1. Translatiramo stranicu u vrh -pa dobijemo trokut iz eg izračunamo i
2 cos
3 4 2 2 4 2 cos9 16 4 16 cos
16cos 11 : 1
d C EBC
b d a c d a c a
tajm
koj α β
αα
α
= + − − ⋅ ⋅ − ⋅
= + − ⋅ ⋅ ⋅− − = − ⋅
− = − −( )1
1
6
cos 0,6875 cos46 34 03
2.
sinsin sin
sin sinsin
sinsin
4 sin 46 34 03sin3
4 0,726185sin3
sin 0,968246 sin75 21
b d
b db
db
α
α
βα ββ αα
αβ
β
β
β
β
−
−
=
′ ′′=
= ⋅
⋅= ⋅
⋅=
′ ′′⋅=
⋅=
=
′ ′′=
3. Pravilo kaže: Nasuprot manjem kutu u trokutu nalazi se manja stranica. Mi imamo dva trokuta i koji naszanimaju tj. zanimaju nas njihove str. i kako smo izračunali da je tada je i e
ABD ABCe f
fα β<
< ( )
B
C
Eα β
d b
( )a c−
E B
bd
CDD
A B
C
bd
a
c
α β α βαA
d
c
( )a c−c
ef
2 2 2
2 2 2
2
2
2
2 2 2
prema gornjem pravilu
Za provjeru možete izračunati:
.
2 cos4 6 2 4 6 cos 46 34 216 36 48 0,68750352 33,000146
19
19
2 cos
e d a d aeee
e
e
f a b a b
α
β
= + − ⋅ ⋅ ⋅′ ′′= + − ⋅ ⋅ ⋅
= + − ⋅= −
=
=
= + − ⋅ ⋅ ⋅
31
α
d
a
e
A B
D
18
Tehnički-fakulteti 2000./2001.
M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©
-16. Kut pri vrhu karakterističnog presjeka kosog kružnog stošca iznosi 60 , duljinaje izvodnice iznosi 30, a najkraće 14. Volumen stošca iznosi:
. 676 B. 105 3 C. π π⋅ ⋅
M najdul
A 455 3 D. 315 3 E. 525 2
Nacrtajmo skicu:
π π π⋅ ⋅ ⋅
1s
2s
2 r
v
1ϕ
60
ϕ
( )
( )
( )( )
( ) ( )
2 2 21 2 1 2
2 2 2
2
2
1
22 21 2 2 1
2
1. Primjenimo kosinusov teorem i odredimo :
2 2 cos6012 30 14 2 30 142
2 900 196 420
2 6762 26
13
2. Još jednom kosinusovim teoremom odredimo :
2 2 2 cos
30
r
r s s s s
r
r
rr
r
s r s r s
ϕ
ϕ
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= + − ⋅ ⋅ ⋅
= + −
=
==
= + − ⋅ ⋅ ⋅2 2
1
1
1
1
11
1
1
26 14 2 26 14 cos900 676 196 728 cos900 676 196 728 cos28 728 cos728 cos 28 :728
cos 0,0384615 cos
92 12 15
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
−
= + − ⋅ ⋅ ⋅= + − ⋅− − − ⋅= − ⋅⋅ = −
= −
′ ′′=
212
221
2
4. sin 5.1803
sin180314 sin87 47 45180 92 12 15
13 13,9896414 0,9992687 47 45313,98964
788,083 455 3
v B vs Vs
r vv s Vvv Vv
V
ϕϕ ϕ
πϕϕ ϕ
ϕπ
ϕ
π π
⋅= ⋅ =+ =
⋅ ⋅= ⋅= − =′ ′′= ⋅′ ′′= −
⋅ ⋅= ⋅ =′ ′′==
= ⋅ = ⋅ ⋅
3.
19
Tehnički-fakulteti 2000./2001.
M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©
2
2
Uvjet: nazivnik mora biti različit od nule, dakle:
2sin 1-17. Zbroj rješenja jednadžbe 3 u intervalu (0, 2 ) iznosi:sin
5 3 4. B. C. D. E. 2 6 2 3
2sin 1 3 sin
sin 0sin sin
xx
xx
xx k
x
π
π π π ππ
π
+=
+= →
≠≠
M A
( ) ( )
2
2
2
2
1,2
1 2
1 2
Uvedemo:
Vratimo:
2sin 1 3 sinsin
2sin 1 3sin2sin 3sin 1 0
sin
3 3 4 2 1 3 9 8 3 12 2 4 4
3 1 4 3 1 2 114 4 4 4 2
112
t sin1sin 1 sin2
sin sin 2 sin sin 22 6
kx xxx xx x
x t
t
t t
t t
x
x x
x k x k
π
π ππ π
≠
+= ⋅
+ =
− + ==
− − ± − − ⋅ ⋅ ± − ±= = =
⋅+ −
= = = = = =
= =
=
= =
⎛ ⎞ ⎛= + = +⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( )
1 2 3
1 2 3
1 2 3
Zadano je:
, takve -ove dobijemo jedino za za 1, 2, ... ovi su izvan
5sin sin 26
52 2 22 6 6
0 , 2 0 , 0 ,2 Za 0
52 6 6
Zbroj rješenja je: 2 6
x k x
x k
x k x k x k
x kk
x x x
x x x
π π
π π ππ π π
π π
π π π
π π
= −
⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= + = + = +
∈ =
=
= = =
+ + = +5 3 5 9 36 6 6 6π π π π π π+ +
+ = = =
20
Tehnički-fakulteti 2000./2001.
M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©
Za koju vrijednost broja 1 površina trokuta što ga omeđuju pravci , i 6 iznosi 3 ?3 4 5 6 7 A. B. C. D. E. 2 3 4 5 6
Nacrtajmo skicu:
Odredimo točke u kojima se sjeku pra
18. k y x y kx y
k k k k k
≥ = = =
= = = = =
( )
M-
( )
( )
( )
( ) ( )
1 1 2 2 3 3
vci:y 6 6 supstitucijom 6 6dobijemo: 6 6 :x 6,6,6
061 0 : 1 ,6
0
00,0
60,0 ,6,6 ,6
60 , 0 6 , 6 , 6
Zadana je površina tro
x i y kx y x i y y kx i yy x x kx
x kx kkx B x
kx kxx k k C
kxy xy
A
A B Ck
x y x y x yk
= = = = = == = =
= == = =− =
⎛ ⎞⋅ − = − = ⎜ ⎟⎝ ⎠=
==
=
⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎝ ⎠
= = = = = =
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1 2 3 2 3 1 3 1 2
Površina trokuta zadanog sa tri točke
kuta kojeg zatvaraju ta tri pravca: 3Formula kaže:
1 uvrstimo sve poznato:2
1 63 0 6 6 6 6 0 0 6 22
66 0 6 6 6
366 36
36 366 36 6 36
P
P x y y x y y x y y
k
k
k
k
=
= − + − + −
= ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − ⋅
= + ⋅ + ⋅ −
= −
= − = − −
2
2
36 3636 6 6 36
36 3630 6 36
3636 30 :30 42
36 42 3630
36 3630 426 65 7
6 6Kako je zadano 1 to otpada, jedino rješenje je k7 5
k
k k
kk k
k kk
k k
k k
k k
k k
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
= − = − +
= ⋅ + =
= = ⋅
= =
= =
= =
≥ = =
A
BC
x
y
6y =
y x=y kx=
21
Tehnički-fakulteti 2000./2001.
M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©
( ) ( )2 2M-19. Na kružnicu 1 1 2 povučene su tangente u točkama u kojima kružnice sijeku os . Kut među tangentama iznosi: A. 80 B. 85 C. 90 D. 95 E. 100
1. Odredimo točke u kojima
x yx
+ + − =
( ) ( )( ) ( )( )( )( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
2
2
kružnica sjeće os Sve točke na osi imaju koordinatu nulta tj. 0
1 1 2 , 0
1 0 1 2
1 1 2
1 2 1
1 1
1 1 1 11 1 1 10 2
00,0 2,0
2. Sada u tim točkama odredim
xx y y
x y y
x
x
x
x
x xx xx x
yA B
−− − =
+ + − = =
+ + − =
+ + =
+ = −
+ =
±
+ = + = −= − = − −= = −
=
= = −
( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2
2
1 1
21 1
1 1 1 12 2
1 1 1 1
o jednadžbe tangenti na kružnicu:
1 1 2
1 1 2
Jednadžba tangente u točki ,
0,0 2,00 0 2 0
0 1 1 0 1 1
x y
p q r
T x y
x p x p y q y q r
A Bx y x y
x p x p y q y q r x p x p y q y q r
x y
+ + − =
↓ ↓ ↓
= − = =
− ⋅ − + − ⋅ − =
= = −
= = = − =
− ⋅ − + − ⋅ − = − ⋅ − + − ⋅ − =
− − ⋅ − − + − ⋅ − = ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 1x + =
( )( )
1 2
2 1
1 2
2 2 1 1 0 1 1 2
1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2
1 1 2 1 1 1 22 1 1 1 1 20 2 1
1 2
1 1
3. Kut tih tangenti odredimo preko formule:
1 1tg1 1 1
x y
x y x y
x y x yx y x yx y y x
y x y x
y xk k
k kk k
ϕ
− − − ⋅ − − + − ⋅ − =
⋅ + + − ⋅ − = − + ⋅ + + − ⋅ − =
+ − + = − ⋅ + − + =
− = − − − − − + =
− = − = + −
− = − − = − −
= ↓= = −
− − −= =
+ ⋅ + ⋅ −( )2
1 0
tg 90ϕ ϕ
−= = ∞
= ∞ ⇒ =
y
y x=
S
ABr
2y x= − −
x
ϕ
22
Tehnički-fakulteti 2000./2001.
M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3
Odredimo koordi
M-20. Koordinate vrhova trokuta su 1, 2 , 6,3 , 1,8 . Udaljenost težišta trokuta od stranice iznosi:
. 2 2 B. 2 C. 6 2 D. 2 E. 51, 2 , 6 , 3 , 1, 8
1.
x y x y x y
A B CAB
A B C
− −
= − = = −
A
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
1 2 3 1 2 3
1 1 2 2
2 11 1
2 1
nate težišta:
Odredimo jednadžbu pravca
3 31 6 1 6 2 3 8 9
3 3 3 32 3
2,3
2. 1, 2 6,3
3 22 1
6 152 15
2 12 1 03 0 1
T T
T T
T T
x x x y y yx y
x y
x y
T
ABA B
x y x y
y yy y x xx x
y x
y x
y xx yx y
x y
+ + + += =
+ − − + += = = =
= =
=
= − =
−− = ⋅ −
−
− −− − = ⋅ −
−
+ = ⋅ −
+ = −− + + + =
− + + = −
−
( )
( )( )
1 1
1 1
2 2
22
2
3.Udaljenost težišta trokuta od str. je:
3 0
1, 1, 3 , 2,3 2 , 3
1 2 1 3 3
1 1
2 3 3 4
1 1 24 4 2 4 2 4 2
22 2 2 22 2
AB
A B C T x y
A x B y Cd
A B
d
d
d
d
− =
↓ ↓ ↓
= =− = − = ⇒ = =
⋅ + ⋅ +=
+⋅ + − ⋅ −
=+ −
− − −= =
+
= = ⋅ = =
=
23
Tehnički-fakulteti 2000./2001.
M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©
2 21 2M-21. Pravac tangira lijevu, a njemu paralelni pravac desnu granu hiperbole 1.
Ako ti pravci sijeku os pod kutom od 60 , onda je njihova međusobna udaljenost jedna
t t x y
x
− =
2 2
2 2
je koeficjent smjera tangente (pravca)
ka3 A. B. 2 C. 2 D. 3 E. 32
2.Pravci s x-osi zatvaraju kut od 60 60 kako znamo da je: tgtg 60
3
1O
11 1
kk
k k
x yx y
α α⇒ = =
=
− =
⎫− =⎪⎬
− = ⎪⎭
1.Nacrtajmo sliku:
α
1t 2t 2 2
2 2
2 2 2 21 1 2 2
2 2
2
2
1 2
dredimo i
1 , 1
3.Uvjet dodira pravca i hiperbole: 4.Tražene tangente imaju jednadžbe:t ... ...a
3 2 3 21 3 13 2 0 3 2 03 1
23 , 1 , 22
a b
a b
y kx l t y kx lk b ly x y xl
x y x yl
lA B C Cl
= =
= + = +− =
= ⋅ + = ⋅ +⋅ − =⋅ − + = ⋅ − + =− =
↓ ↓ ↓ ↓== =− = == ±
( )
2 1
2 2
2 2
2
5.Udaljenost paralelnih pravaca je:
d
2 2 2 2 2 2 2 2 2 223 1 43 1
C C
A B
d d
−=
+
− − −= = = = = ⇒ =
++ −
24
Tehnički-fakulteti 2000./2001.
M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©
M- 2 2
2 2
22. Koordinate točaka jednako udaljenih od središta kružnica 2 2 0 i 2 2 0 zadovoljavaju jednadžbu: A. 1 B. 0 C. 1 D. 0 E. 1
1. Odredimo koor
x y x yx y x y
x y x y x y x y y x
+ − + =
+ + − =− = − = + = + = − =
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
dinate središta tih kružnica nadopunjavanjem na potpuni kvadrat:
2 2 0 2 2 02 1 1 2 1 1 0 2 1 1 2 1 1 0
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
1 1 2 1 1 2
1 1
x y x y x y x yx x y x x x y y
x y x y
x y x y
p q p
+ − + = + + − =
− + − + + + − = + + − + − + − =
− − + + − = + − + − − =
− + + = + + − =
↓ ↓ ↓ ↓− = − − = − =
( ) ( )
1 1
2.Nacrtajmo sliku:
x y 2 2
1 2
1 2
1 11 1 1 1
1, 1 1,1
3.Tražimo točke koje su jednako udaljeneod središta ovih kružnica...
Polovište dužine je sigurno jednako udaljeno od obadva središta,a
x y
qp q p qS S
S S
− = −= = − = − =
= − = −
( )
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
2
i sve točke koje se nalaze na pravcukoji je okomit na pravac kroz S
i koji prolazi kroz polovište dužine ...
4.Odredim polovište dužine 1 1 0
2 2 0,01 1 0
2 2
p
p
S S
i S
S S
S Sx xx
Py yy
yk
+ − ⎫= = = ⎪⎪ =⎬+ − + ⎪= = =⎪⎭
=
↓
( )
( )( )
( ) ( )
1 2
1
2 1
1 1
1 1 2 11 1 2
1
1 11
5. 0,0 , 1 6.Jednadžba traženog pravca je
...
0 1 0 0 10
pS S
p
p
p
yx x
kk
k
P k
p y y k x x y x
y x x yy x x y
− −−= = = −
− − − −
= −
= − =−
= =
− = ⋅ − =
− = ⋅ − − + = ⋅ −
= − =
1S
2S
2S
1S
P
... 0p x y− =
y x=
y
x
y
x
25
Tehnički-fakulteti 2000./2001.
M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©
( ) 2 2M-23. Pod kojim se kutom iz točke 5, 4 vidi kružnica 6 8 0?
. 77 22 ' B. 80 C. 60 D. 75 E. 82 38'
1. Odredimo koordinate središta i polum
T x y x y+ + − =
( ) ( )( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2
6 8 06 9 9 8 16 16 0
3 9 4 16 0
3 4 25
3 4 253 4 5
3, 4
2. Zadana je točka iz koje se gleda kružnica, kordinate te točke moraju zadovoljavatijedn
x y x yx x y y
x y
x y
p q rp q r
S
T
+ + − =
+ + − + − + − =
+ − + − − =
+ + − =
↓ ↓
− = − = − == − = =
= −
( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
A
jer kružnice...nadopunjavanjem na potpuni kvadrat...
( )5, 4T =ϕS
r
2t
1t
y
x
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
adžbu tangente: 5,4
4 5 5 44 5
4 5
3. Uvjet dodira pravca i kružnice glasi:
1 , 3 4 5 4 5
3 4 4 5 5 1
3 4 4 5 25 1
8 25 25
64 25 2539 25 :39
T
y kx lk l x yk l
l k
k p q l r k p q r l k
k k k
k k k
k k
k kk
=
= += ⋅ + ← = =− == −
− ⋅ + − = ⋅ + = − = = = −
− ⋅ − + − − = ⋅ +
+ − + = ⋅ +
= +
− =
=
21 2
2 1
1 2
25 5 5 539 39 39 39
4. Imamo koeficjente smjera obadvije tangente pa sada samo izračunamo kut koji zatvaraju te dvije tangente- to je traženi kut...
tg1
5 539 39tg
5139
k k k k
k kk k
ϕ
ϕ
= ⇒ = ± ⇒ = − =
−=
+ ⋅
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠=
⎛ ⎞+ −⎜⎝
2
2
1
5 5 10 10 1039039 39 39 39 39
25 39 25 1455 14 3911 39 39 3939 39390tg 4,4607128 tg
14 3977 21 52 77 22
ϕ
ϕ
−
+= = = = =
−−−⋅⎟
⎠
= =
= =′ ′′ ′
26
Tehnički-fakulteti 2000./2001.
M.I.M.-SRAGA 1991./ 2004.©
( ) }{
( )( ) ( )
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
-24. Skup , R : 4 2 16 17 0 je
. elipsa B. hiperbola C. par pravaca D. parabola E. točka
x 4 2 16 17 02 4 16 17 0
2 1 1 4 4 17 0
1 1 4 4 4 4 17
A x y x y x y
y x yx x y y
x x y y
x y y
= ∈ + − − + =
+ − − + =
− + − + =
− + − + ⋅ − + =
− − + ⋅ − + − + =
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
0
1 1 4 2 4 17 0
1 1 4 2 16 17 0
1 4 2 17 1 16 0
1 4 2 0
x y
x y
x y
x y
⎡ ⎤− − + ⋅ − − + =⎣ ⎦
− − + ⋅ − − + =
− + ⋅ − + − − =
− + ⋅ − =
M A I to je to… ili tako to izgleda… prijemni ispiti na Teh-fakultete su uvijek na isti kalup… ali najteži dakle traži se sve Ako vam treba još zadataka javite nam se – [email protected] ili ih potražite na www.mim-sraga.com Svi ovi zadatci su sastavni dio naše zbirke zadataka pod rednim brojem 440. na http://www.mim-sraga.com/teh-fax-cijenik.htm postoji dvije varijante te zbirke duža sa kompletno riješeni svim zadatcima od 1992.g. pa do 2005. I kraća varijanta sa kompletno riješeni svim zadatcima od 2000.g. pa do 2005. Cijena tih zbirki je kao cijena 2ili 4 sata instrukcija … Pod rednim brojem 1201. Metodička zbirka potpuno riješenih zadataka Matematika za prijemne ispite … sa slijedećih fakulteta: -Arhitektura, Kemija, FSB, Farmacija, Tehnologija, -FOI, RNG, PMF, Ekonomija, Promet i Građevina Moj savjet: riješite što je više moguće zadataka i lakše će te položiti prijemni ispit….