Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Matematica Finanziaria Avanzata: secondo modulo

• Nozioni fondamentali sul rischio di credito– John Hull, Opzioni, futures e altri derivati

• Modelli di portafoglio in forma matriciale: revisione e implementazione in Excel– Paris e Zuanon, Elementi di Finanza Matematica– Benninga, Modelli finanziari

• CAPM, revisione e implementazione in Excel– Paris e Zuanon, Elementi di Finanza Matematica– Benninga, Modelli finanziari

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Ottimizzazione di portafoglio: definizioni

[ ]21221

222

22

21

21

2

1222

221

212

21

212

2 σσσ

σσσσσ

xxxx

xx

xxX

++=

=

=′= Vxx

matrice di varianze/covarianze

{ }NiFi ,...1~ = insieme degli N investimenti possibili, ognuno con rendimento atteso µi e volatilità σi

∑=

=N

iii FxX

1

~ portafoglio con pesi xi (Σxi =1), µX=Σxi µi e σX

[ ] [ ] [ ]ijjiijijv ρσσσ === 2V

= 2

22221

212

21

σσσσ

V

es,

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Ottimizzazione di portafoglio: il problema vincolato

′==′=

′=

xexµVxx

1..

min 2

πµσ

X

X

ts

Σxi µi Σxi =1

rendimento obiettivoad es. π = 5%

“Minimizza la varianza del portafoglio garantendoun certo rendimento atteso. Ricorda che le quotedevono assommare a uno”

e’ = [1 1 … 1]

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Derivate parziali di una forma quadratica

Vxx′ [ ]

2

1222

221

212

21

21 xx

xxσσσσ

( )

( ) 2121

222

21221

222

22

21

21

2

2122

211

21221

222

22

21

21

1

222

222

σσσσσ

σσσσσ

xxxxxxx

xxxxxxx

+=++∂∂

+=++∂∂

Vx2

Data , ad es.:

Le sue derivate parziali sono:

Cioè, in forma compatta:

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Ottimizzazione vincolata:la lagrangiana

Ottimizzare f(x) convessa soggetta a g(x)=kequivale a ottimizzare L(x,λ) = f(x) - λ[g(x)-k] a cui è stata aggiunta una nuova variabile λ.Ottimizzare f(x) convessa soggetta a g(x)=k e a h(x)=mequivale a ottimizzare L(x,λ,η) = f(x)-λ[g(x)-k]-η[g(x)-k] a cui sono state aggiunte due nuove variabili λ e η.

Dovrò uguagliare a zero le derivate parziali di L(.)rispetto a x1, x2, …, xn, λλλλ e ηηηη.

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Ottimizzazione di portafoglio:

=′−=′=′−=′

=−−=′

010

2

xexµ

0eµVxx

η

λ πηλ

LLL

)1()(),,( −′−−′−′= xexµVxx ηπληλxLLagrangiana:

Condizioni del primo ordine:RiassumeN condizioni

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Riscrivo usando una notazione più compatta:

[ ]

=

=

≡

×

×

×

112

12

2

πηλ

p

l

eµKN

′==

−

−

KlVKpKlVx

1

1

22

=′=−

pxK0KlVx2

Nota: l’inversa di V esiste se gli n

investimenti sono indipendenti tra

loro

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

La matrice K’V-1K = A

[ ]

≡

′′′′

=

′′

=′≡−−

−−−−

γββα

eVerVeeVrrVr

erVer

KVKA 11

1111

Nota: V è definita positiva perché matrice di var/cov; anche V-1 lo è perché è la sua inversa, anche A lo è in quanto ottenuta per pre- e post-moltiplicazione per una matrice di rango due (r≠e). Dunque A è invertibile e ha determinante positivo

−−

−==−

αββγ

βαγ 2

11 AA

A 1 agg

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Soluzione dell’ottimo vincolato

==

−−

−

pKAVxpAl

1

1

1

2

[ ] [ ]

[ ] ( )2

1111

)1(

1

)12()2(

1

)12()22()2(

1

)()(1

11

11

βαγαβπβγαβπβγ

παββγ

παββγ

−−−−=+−−=

=

+−−=

−−

=

−−−−

×

−

××

−

×××

−

eVrVeVrVererVA

ererVA

erVA

x

n

nn

, cioè:

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Proprietà dei portafogli efficienti

• Unicità: dato un certo rendimento p, la formula individua un unico portafoglio a rischio minimo:

• Linearità: ogni xi (peso dell’i-esimo titolo nel portafoglio efficiente) viene in pratica calcolato come una funzione lineare del rendimento πdesiderato:

pKAVx 1−−= 1

πiii bax +=

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Soluzione dell’ottimo vincolato/2pKAVx 1−−= 1

pAppAKVVVKAp

pKAVVpKAVVxx11

I

A

I

1

11

−−−−−

−−−−

′=′′=

=′=′=

��� ���� ��

�������

���

11

11

min

2 )(σ

[ ]

[ ] 2

2

2

21

1

111

βαγαβπγππ

αβπβπγ

παββγ

πσ

−+−=

+−−=

=

−−

=

A

A

Cioè,sviluppando:

Da segue che:

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Soluzione dell’ottimo vincolato/3

2

22 2

βαγαβπγπσ

−+−=

è, chiaramente una parabola nel piano π, σ2. Cerchiamo il vertice…Nel piano σ, π è invece un’iperbole equilatera

0’(0,β/γ)

σγ

βαγγβπ

2−+=

σγ

βαγγβπ

2−−=γ1

σ

π

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Significato della frontiera efficiente

0’(0,β/γ)

γ1

σ

π

Per ogni ππππ* esiste un solo portafoglio efficiente;Esiste un ππππ che rende minimo σσσσ (portafoglio a rischio minimo);dalla figura (e dall’analisi del vertice della parabola) vediamo che questo punto ha coordinate

γβπ

γσ == 00 ;1

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Composizione del portafoglio a rischio minimo:

( )

( )

γβαγγ

βαγ

βαγ

αβγββ

βαγ

αβγββγ

βαγαβπβγ

eVeVeVrVeVrV

eVrVeVrV

eVrVeVrVx

1

2

12

2

1112

1

2

1111

2

110

11

0

)(

)(

−−−−−−

−−−−

−−−−

=−

−

=−

+−−=

=−

−−−

=−

−−−=

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Portafogli ortogonali

• Dato il portafoglio efficiente x ≠ x0, esiste sempre un portafoglio efficiente yortogonale, cioè perfettamente incorrelato, (cov(x,y)=0)

• Se πx>π0, allora πy<π0 e viceversa• Vedremo come individuare i portafogli

ortogonali algebricamente e graficamente

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Portafogli ortogonali: metodo algebrico

[ ]

[ ]

βγπαβππ

πβπαβγπ

παββγ

πβαγ

−−=

=

−−

=

−−

−=

=′=′′=

=′=′=−−−−−

−−−−

x

xy

yxx

yx

yxyx

yx

01

01

11

)(),cov(

2

11

11

pAppAKVVVKAp

pKAVVpKAVVyxyx11

I

A

I

1

11

��� ���� ��

�������

���

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Portafogli ortogonali: versione grafica

σ

π

x

yπy

Il rendimento del portafoglio ortogonale yè pari all’intercetta della tangente alla frontiera nel punto (σx, πx)

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Versione grafica: demo

2

22 2

βαγαβπγπσ

−+−=

σβπγβαγ

σπ

σσπβαγ

βπγσ

−−=

=−−=

2

22 222][

dd

ddd

Derivatadella frontiera

Da:

Nel punto (σx, πx):

)(2

xxx

x σσσβγπ

βαγππ −−

−=−

e l’equazione della retta tangente risulta:

xxd

d σβγπ

βαγσπ

−−=

2

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Versione grafica: demo/2

yx

x

x

xxxx

xx

xx

xx

x

πβγπαβπ

βγπαβπγπβπγπ

βαγαβπγπ

βγπβαγπ

σβγπ

βαγππ

=−−=

−−+−−=

=−

+−−

−−=

=−−

−+=

2

2

)(

22

2

22

22

L’intercetta di questa retta si ottiene ponendo σ=0:

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Teorema dei due fondi

Qualsiasi portafoglio efficiente x può essere ottenuto comecombinazione lineare di due portafogli efficienti xa e xbtali che πa ≠πb

Demo: ∀π e ∀p possono essere scritti come

ba pp )1( )1( ηηππηηππ −+=⇒−+= ba

Dunque anche qualunque x efficiente può scriversi come:

baba

ba

xxpKAVpKAVppKAVpKAVx

11

11

)1()1(

])1([11

11

ηηηηηη

−+=−+=

=−+==−−−−

−−−−

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Divieto di vendite allo scoperto

σ

π

Frontiera con n titoli

Frontiera con n-1 titoli

Frontiera con n-2 titoli

Frontiera senza vendite allo scoperto

xn = 0 xn-1 = xn = 0

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Con un investimento risk-free

σ

π

(0,ρ)

(σm,πm)

In un mercato efficiente, ρ < π0;Combinando (0, ρ) con qualunque xdella frontiera si ottiene una semiretta (l’unica varianza èquella di x);Tra queste semirette, quella efficiente ètangente alla frontiera in (σm,πm)

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Investimento risk-free: coordinate del punto di tangenza

Il tasso risk-free ρ è il rendimento del portafoglio ortogonale a quello di tangenza (σm,πm):

βργαρβπ

ρβαργβπβγπραβπ

ρβγπαβπ

−−=

−=−−=−

=−−

m

m

mm

m

m

)()(

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Investimento risk-free: coordinate del punto di tangenza/2

Sostituendo πm nell’equazione della varianza efficiente ottengo σ2

m (il tutto richiede solo pazienza e algebra):

2

2

2

2

2

22

)(2...

22

βγραβργρ

βαγ

αβγραβρβγ

βγραβρ

βαγαβπγπσ

−+−==

=−

+−−−

−−

=−

+−= mmm

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Investimento risk-free: equazione della frontiera

σσ

ρπρ

σσ

ρπρπ

2

2)(

m

m

m

m

−+=

=−+=

σ

π

ρ

(σm,πm)

Dalla figura èevidente che:

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Investimento risk-free: equazione della frontiera/2

Calcolo a parte:

( ) αβργρ

βγραβργρ

βγραβργρ

βγραβργρ

ρβγραβρ

σρπ

+−=

−+−

−+−

=

=

−+−

−−−

==−

2

)(2

)2()(

2...)(

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

m

m

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Investimento risk-free: equazione della frontiera/2

σαβργρρπ

σσ

ρπρπ

+−+=

−+=

2

)(

2

2

2

m

m

E infine sostituisco:

che è l’equazione della semiretta indicata nella figura (CML)

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

Capital Asset Pricing ModelVettore delle covarianze tra gli n investimenti puri (azioni) e il portafoglio di mercato:

m1

m11 pKA)pKAV(VVxs −−− === m

−−−=

−−−−

−=

=

+−−

−=

−−

=−

ρβαγβγπ

βγπαβπ

βαγβγπ

αβπβγπ

βαγπ

αββγ

11

11

1

22

2

m

m

mm

m

mm

ApA m

1

Sviluppo a parte:

(per l’ortogonalità)

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

CAPM / 2

−⋅

−=

−⋅

−⋅

−+−=

=

−⋅

−

−+−−⋅

−−=

=

−⋅

−

−−−⋅

−−=

=

−⋅

−−⋅

−−=

−−−=−

ρρπσ

ρρπβαγαβπγπ

ρρπβγπαβπβπγπ

βαγβγπ

ρρπβγπαβππ

βαγβγπ

ρρπρπ

βαγβγπ

ρβαγβγπ

1112

11

11

11

2

2

2

2

2

2

22

m

m

m

mm

mm

mmmm

mm

mm

m

m

mmmm

1pA

Andr

ea R

esti,

Mat

emat

ica

Fina

nzia

ria

Avan

zata

CAPM/3Dunque il vettore s risulta:

),cov(22 jmsrm

mj

m

mj σ

ρπσ

ρπρ −=−=−

che rappresenta l’equazione fondamentale del CAPM

[ ]

−−=

−−=

ρρπσ

ρρπσ 11 22

erKsm

m

m

m

Da cui:

ser 2m

m

σρπρ −=⋅−

uguaglianza tra vettori il cui generico elemento è: