poly cours me ca

5/28/2018 Poly Cours Me CA

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PeiP Polytech Paris-SudAnne 1 - Semestre 2

CANIQU2011-2012

C.Pasquier

Polycopi ralis avec la suite libre Openoffice.org ..0 !"ttp#$$%%%.openoffice.org&

Cours 'e mcanique S2-PoPS et (1# C.Pasquier) *niversit '+Orsay 1


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Table des matires

C"apitre , # ,ntro'uction gnrale........................................................................................................., ,ntro'uction gnrale la mcanique #........................................................................................../

,, ouvement et mo'lisation 'u systme #...................................................................................C"apitre ,, # Cinmatique 'u point.....................................................................................................11

, Systmes 'e coor'onnes #.........................................................................................................111& Coor'onnes cartsiennes #..................................................................................................112& Coor'onnes polaires #.........................................................................................................11& Coor'onnes cylin'riques #..................................................................................................13& Coor'onnes sp"riques #....................................................................................................14& Coor'onnes intrinsques #..................................................................................................13

,, 5ecteurs et fonctions plusieurs variables #..............................................................................161& Pro'uit vectoriel #................................................................................................................162& 7onctions vectorielles '+une variable #.................................................................................1& 7onction 'e plusieurs variables #.........................................................................................1/

,,, 8frentiels '+espace et 'e temps #............................................................................................11& 8frentiel 'e temps #..........................................................................................................12& 8frentiels '+espace #..........................................................................................................20

,5 Cinmatique 'u point #.............................................................................................................201& 9ra:ectoire #..........................................................................................................................202& 5itesse et acclration #.......................................................................................................21& Composantes 'es vecteurs vitesse et acclration #.............................................................23& ouvements particuliers #...................................................................................................24

a& ouvement rectiligne #...................................................................................................24

b& ouvement circulaire #...................................................................................................26c& mouvement sinuso;'al #...................................................................................................25 Composition 'es mouvements #.................................................................................................2/

1& icyclette roulant sur une piste #.....................................................................................

C"apitre ,,, # 7on'ements 'e la 'ynamique ne%tonienne..................................................................3, asse et quantit 'e mouvement#..............................................................................................3,, 8frentiels galilens #..............................................................................................................4

1&


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2& (a force lectromagntique #................................................................................................& (es forces '+interaction forte et faible #................................................................................/3& 7orces 'e contact et 'e frottements #....................................................................................

5 (ois 'e ?e%ton 'ans un rfrentiel non galilen #.....................................................................30

1& 8frentiels galilens et non galilens #...............................................................................302& (ois 'e ?e%ton 'ans les rfrentiels galilens ou non galilens #.......................................31 a& (ois 'e ?e%ton 'ans un rfrentiel galilen #................................................................31 b& (ois 'e ?e%ton 'ans un rfrentiel non galilen #.........................................................31

C"apitre ,5 # 9ravail) @nergie............................................................................................................32, 9ravail '+une force #....................................................................................................................32

1& ,ntro'uction #........................................................................................................................322& 9ravail '+une force constante sur un parcours rectiligne #...................................................32& 9ravail '+une force non constante #......................................................................................33& Puissance #...........................................................................................................................36

,, 9"orme 'e l+nergie cintique #..............................................................................................36

1& 9"orme 'e l+nergie cintique 'ans un rfrentiel galilen #.............................................362& 9"orme 'e l+nergie cintique 'ans un rfrentiel non galilen #......................................36

,,, @nergie potentielle) nergie mcanique #.................................................................................31& 7orce circulation conservative #........................................................................................32& @nergie potentielle #.............................................................................................................3& @nergie mcanique totale #...................................................................................................33& @volution 'e l+nergie mcanique 'ans un rfrentiel non galilen #....................................40

,5 @quilibre '+un systme mcanique #.........................................................................................401& @quilibre '+un systme mcanique #.....................................................................................402& Stabilit '+un quilibre #.......................................................................................................40& @quilibre '+un point soumis 'es forces circulation conservative #.................................41

a& Cas uni'imensionnel #.....................................................................................................41b& Cas bi'imensionnel #.......................................................................................................42

C"apitre 5# oment cintique...........................................................................................................4, oment cintique #.....................................................................................................................4

1& oment '+une force #...........................................................................................................42& oment cintique #..............................................................................................................43& oment cintique pour un mouvement plan #.....................................................................43

,, 9"orme 'u moment cintique #..............................................................................................441& 9"orme 'u moment cintique #........................................................................................442& Conservation 'u moment cintique #...................................................................................44& (ois 'e conservation en mcanique #...................................................................................443& @=emples #...........................................................................................................................46

a& pen'ule simple #.............................................................................................................46 b& patineur #........................................................................................................................4

C"apitre 5, # ouvement force centrale.........................................................................................4, Caractristiques '+un mouvement force centrale #...................................................................4

1& Planit 'e la tra:ectoire #.....................................................................................................42& (oi 'es aires #.......................................................................................................................4& (ois 'e conservation #..........................................................................................................60

a& Conservation 'e l+nergie mcanique #...........................................................................60 b& Conservation 'u moment cintique #.............................................................................61

,, @nergie potentielle effective #....................................................................................................611& @nergie potentielle effective #..............................................................................................61



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2& ouvement '+une particule soumise un c"amp 'e force centrale attractif #.....................62& ouvement '+une particule soumise un c"amp 'e forces centrales rpulsif 'iffusion 'e8ut"erfor' #...............................................................................................................................63

,,, Application la force 'e gravitation - ouvement 'es plantes #............................................64

1& Position 'u problme #.........................................................................................................642& Coniques #............................................................................................................................66a&


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,5 A=e instantan 'e rotation)roulement sans glissement #..........................................................01& A=e instantan 'e rotation #.................................................................................................12&


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Chapitre I : Introduction gnrale

(e mo'ule E(ois 'Fvolution en p"ysiqueF 'u premier semestre a permis 'e mettre en vi'encecertaines lois 'Fvolutions observes en p"ysique. Ainsi 'es p"nomnes observs en lectricit) enmcanique) en c"imie ou en sciences 'e la vie peuvent Gtre rgies par les mGmes quationsmat"matiques.

Ainsi tu'ier les p"nomnes p"ysiques qui rgissent un 'e ces 'omaines permet aussi 'ecompren're en partie certains p"nomnes 'ans un autre 'omaine. (e cours qui suit est un cours 'ecanique 'u Point et 'u Soli'e.


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I Introduction gnrale la mcanique :

MECAI!"E (adj.)= Qui concerne le mouvement et ses proprits(n.f.)= partie desmathmatiques qui a pour objet ltude du mouvement et de lquilibre des corps . 9elles sontquelques-unes 'es 'finitions 'u mot mcanique 'ans le 'ictionnaire 8obert 'e la langue franIaise.(a 'finition est simple mGme si la mcanique est plutJt consi're comme une partie 'e la

p"ysique.

Parmi les K corps L viss par la mcanique) on peut mentionner #

(es corps 'its ponctuels c+est--'ire ceu= qui peuvent se ramener un point enconsi'rant que cFest le mouvement 'e lFensemble complet 'u corps qui nousintresse.


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gran'eurs scalaires #

*ne premire NclasseN qui 'finit la position 'u corps et qui constitue 'onc lesconsquences 'u mouvement. Cette classe est caractrise par vecteurs # le *ecteurposition+ le *ecteur *itesse et le *ecteur acclration. (Ftu'e 'e cette classe estlFob:et 'e la CIEMA%I!"E. On peut ra:outer ces vecteurs) une gran'eur scalairequi est lFnergie cintique) @c.

*ne 'eu=ime NclasseN qui 'finit les causes 'u mouvement et qui tra'uit le faitque le systme tu'i interagit avec le mon'e e=trieur. Cette classe est constitu parl+ensemble 'es forces qui agissent sur le systme. (es interactions 'pen'ent 'es

proprits spcifiques 'u systme tu'i. Par e=emple) pour une masse) la forcepertinente sera le c"amp 'e gravitation) pour une particule c"arge) ce sera le c"amplectrique ou bien le c"amp magntique. (Ftu'e 'e ces forces est lFob:et 'e la#,AMI!"E. (es gran'eurs scalaires qui se rapportent ces forces sont le travail) )lFnergie potentielle) @

p

) lFnergie totale) @) et la puissance) P.

Ces 'eu= classes sont relies entre elles par les lois 'e la 'ynamique ou 'es lois 'econservation.

II Mou*ement et modlisation du systme :


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implicitement plac loin 'e la 9erre comme un spationaute 'ans sa capsule spatiale qui regar'e lesplantes tourner autour 'u Soleil et qui consi're le Soleil comme fi=e. (e terrien) lui) va plutJt voirle Soleil tourner autour 'e la 9erre comme le croyait nos ancGtres 'e l+antiquit ou 'u oyen-Tge.Ceci con'uit 'finir 'es rfrentiels '+espace. Ceci montre galement que le mouvement est un

p"nomne relatif au rfrentiel c"oisi.


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Chapitre II : Cinmatique du point

(a cinmatique correspon' l+tu'e 'es vecteurs vitesse et acclration qui 'pen'ent 'u

rfrentiel consi'r.


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e=pression n+est absolument pas parlante et on ne voit plus vraiment qu+on a affaire un cercle 'ecentre 8. *ne manire plus simple 'e 'crire un cercle est 'e 'ire que le cercle est l+ensemble 'es

points qui sont la mGme 'istance 8 '+un point O. Ceci s+crit #

=O$=%

Ceci ne suffit pas caractriser le point 'e manire univoque. *ne manire 'e le faire est'e c"oisir un axe polaire Oxet 'e 'finir l+angle V qui est l+angle entre l+a=e O= et le vecteurO$ . Ainsi) la 'onne 'e W et V 'finissent les coor'onnes polaires 'u point .

Ceci se gnralise pour tout point 'u plan # les coordonnes polaires de M sontet tels que :

=O$ et =O! ,O$ .

On a alors # O$=u

oM u est le vecteur unitaire port par O$ # u=O$

O$. On note u le vecteur unitaire

formant un angle 'e XY$2 u . Le repre $ ,u,u est orthonorm direct ets'appelle repre local.

8emarques # (+angle V est un angle orient et W est un nombre tou:ours positif.

@n utilisant le pro'uit vectoriel et un vecteur unitaire normal au plan)u= u .

(es formules 'e transformation entre les coor'onnes cartsiennes et les coor'onnespolaires sont les suivantes #

Cartsiennes -> polaires Polaires -> cartsiennes

=!2"2

tan="

!

!= cos

"= sin


iO

=

y u

u

:


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3) Coordonnes cylindriques :


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$ ,u,u,u# est ort"onorm 'irect. Par convention) les 'eu= angles V et Z ont 'es intervalles'e variation prcis # [0) ] et [0)2]

(es formules 'e transformation entre coor'onnes cartsiennes et sp"riques sont lessuivantes #

Cartsiennes -> sphriques Sphriques -> cartsiennes

=!2"2#2

cos= #

!2

"2

#2

tan="

!

!= cos sin

"= sin sin

#= cos

8emarque # @n gograp"ie) un point sur la 9erre est repr par sa latitu'e et sa longitu'e. (a latitu'e

'+un point sur la 9erre correspon' l+angle

2 ) alors que la longitu'e correspon' l+angle .

5) Coordonnes intrinsques :

(a position '+un tu'iant) reprsent par un point ) entre la station 8@8 >ures$[vette et le

bTtiment peut-Gtre 'crite 'e plusieurs manires. (a premire est '+utiliser un 'es systmes 'ecoor'onnes prc'emment cits qui est trs a'apt pour reprer l+tu'iant 'ans l+espace. C+est engros ce que ferait un metteur DPS plac 'ans une 'e ces poc"es qui 'onnerait tout instant) salatitu'e) sa longitu'e et pourquoi pas son altitu'e par rapport au niveau 'e la mer. Cepen'ant) pourl+tu'iant lui-mGme) ce qui compte c+est non pas 'e savoir qu+il est la latitu'e 3/\32+?) 2\10+@ et environ 60 mtres '+altitu'e mais combien 'e temps il va mettre pour faire le tra:et ou mGmesimplement quelle est la 'istance entre les 'eu= points 'e 'part et '+arrive. ,ci encore) ce n+est pasla 'istance vol '+oiseau qui lui importe mais la 'istance en suivant les 'iffrentes rues et c"eminsqui permettent '+aller 'e la station 'e 8@8 au bTtiment . Ce c"emin parcouru entre le point 'e'part ] !la station 8@8 >ures$[vette& et le point oM il se trouve l+instant t est l'abscisse

curviline note s. C+est 'onc la longueur 'u tra:et ] en suivant c"acune 'es rues et c"acun

'es c"emins pitonniers. Par abus 'e langage) s est consi're comme la coor'onne intrinsque 'e


y

=

O

W

V

u

u

uZ

U

mZ


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. ?anmoins) ici) il est impossible 'e 'finir 'es relations vectorielles $=... en fonction 'el+abscisse curviligne telles que celles crites 'ans les paragrap"es prc'ents) cela n+aurait aucunsens. @n utilisant cette notion '+abscisse curviligne) on 'finit un repre intrinsque appelaussi repre 'e 7rnet $ ,ut,un 'ans le plan 'e 'placement tel que u t est un vecteurunitaire tangent au c"emin parcouru et un le vecteur unitaire faisant un angle 'e XY$2 par rapport u t .


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II )ecteurs et fonctions plusieurs *aria4les :

(+ob:et 'e cette partie est 'e faire quelques rappels 'e calcul vectoriel et '+intro'uire lepro'uit vectoriel qui sera abon'amment utilis en fin 'e cours. On montrera les 'iffrences avec lepro'uit scalaire. @nsuite) les notions 'e 'rives 'e vecteurs et 'e 'iffrentielle seront intro'uits.

1) Produit ectoriel :

Soient & et ' 'eu= vecteurs quelconques. (eproduit vectoriel 'es 'eu= vecteurs& et ' est le vecteur not =&' tel que #

le vecteur est ort"ogonal & et ort"ogonal ' .

le tri're & , ' , est 'irect

=

&

'sin

& ,

'

(e tableau suivant rsume les proprits 'u pro'uit vectoriel. (es formules 'u pro'uit scalaire sontaussi ra:outes par comparaison.

Produit scalaire Produit vectoriel

?otation &. ' &'

?ature 'e la gran'eur ?ombre !scalaire& positif ou ngatif 5ecteur

valeur &. '=&'cos(& , ') &'=&'sin

(& , ')

commutativit & . '=' . & &'='&

'istributivit &.('+)=& . '+& . &'=&'&

mais &'&'

5ecteur avec lui-mGme & . &=&2 &&=0

Cas 'u pro'uit nul & . '=0 si et seulement si les 2vecteurs sont orthogonau5ou bienun 'es vecteurs est nul.

&'=0 si et seulement si les 2vecteurs sont colinairesou bien un'es vecteurs est nul.

5aleur ma=imale 'upro'uit

Si & et ' sont colinairesalors & . '=&'

Si & et ' sont orthogonau5alors &'=&'

5aleur en coor'onnescartsiennes

Si &=(&!, &", ) et '=('!, '", '#) )alors& . '=&!'!+&"'"+'#

Si &=(&!, &", ) et '=('!, '", '#) )alors

&'=(&"'

#'

"&

#,&

#'

!'

#&

!,&

!'

"&

"'

!)


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cartsiennes& ^ ) ) U !pour les coor'onnes cylin'riques& ^ ) ) !pour les coor'onnessp"riques& ou encore t) n) U !coor'onnes intrinsques&. Ces formules simples sont trs utiles pour'terminer un 'es vecteurs 'e base connaissant les 'eu= autres...

7inalement) on peut +mlanger+ pro'uit vectoriel et pro'uit scalaire en 'finissant le pro'uitmi=te # [ & , ' ,(]=&.( '()=( &'). ( qui est 'onc un scalaire.

2) !onctions ectorielles d"une ariable :

On consi're une base ort"onorme 'irecte u1) u2) u et un vecteur 'e coor'onnes)1))2)) . (es vecteurs 'e la base et les coor'onnes peuvent 'pen're '+une variable t !le

temps&.


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cas bi'imensionnel) le sc"ma suivant reprsente ce vecteur u un instant t 'onn.

On note (t&) l+angle entre l+a=e O= !'fini par O et le vecteur i & et le vecteur unitaireu . @n coor'onnes cartsiennes) u=costisin tj 'ont la 'rive par rapport au tempss+crit #

dudt

=d

dtsinti

d

dtcos tj=

d

dtsin ti cos tj =

d

dtu

Ordudt

=dud

d

dt)

'oncdud

= u .

Ceci in'ique que la 'rive '+un vecteur unitaire 'ans le plan par rapport l+angle est un

vecteur unitaire obtenu par rotation 'e

2 par rapport au vecteur u .


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$0 .


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radiation lectromantique correspondant * la transition entre deuxniveaux hyper!ins de l'tat !ondamental du csium #&& .

(es principales consquences 'e l+e=istence '+un rfrentiel 'e temps sont #

les lois p"ysiques restent invariantes par translation 'ans le temps et sont in'pen'antes 'urfrentiel '+espace.

les p"nomnes p"ysiques se succ'ent 'e manire irrversibles # on ne peut pas remonter letemps_

le principe 'e causalit est vrifi # si un vnement a lieu tR0) il ne peut Gtre la cause '+unvnement t`0..

2) #$rentiels d"espace :


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@n utilisant l+abscisse curviligne) la tra:ectoire est 'finie par la fonctions(t). Cette fonctions+appelle l'quation horaire du mouvement.

Mthodologie : toute la difficult est de tracer la courbe partir des quationsparamtriques....Nous allons regarder ce qui se passe deux dimensions seulement et voir commentobtenir y(x).

oit on arrive liminer t entre les deux fonctions x(t) et y(t) et on obtient alorsfacilement y(x). !xemple :

! t=2 t1 et " t=4 t21

"n en dduit que #t$x%& et donc t$(x%&)'#. "n remplace alors t par sa valeur dans la

fonction y(t)et on obtient finalement : "=4

3! 121 .

!n coordonnes polaires on peut faire la mme chose il * reste + ensuite tracer la courbe( ) (cf ,- pour la mthode).

oit on ne peut pas liminer t facilement : dans ce cas il faut tracer la courbe point parpoint. Nanmoins une mthodologie existe : on crit d

!=ft et "=t

-terminer l/intervalle d/tude en temps (essentiellement pour les fonctionspriodiques)

!tudier sparment les variations des fonctions f et g en calculant leurs drives et enfaisant un seul tableau de variation. 0ien prciser les points o1 les drives s/annulent.

achant que d!dt

= ft et d"dt

= (t) alors d"d!

=tft

. 2es points o1 d"d!

=0

(c/est dire lorsque t=0 ) correspondent des tangentes hori3ontales sur la

courbe en ce point. 2es points o1d"

d!=" (c/est dire lorsque ft=0 )

correspondent des tangentes verticales sur la courbe en ce point.

2) &itesse et acclration :

On consi're 'eu= positions successives) et +) le long 'e la tra:ectoire au= instantssuccessifs t et t+) les vecteurs positions correspon'ant tant respectivement rt et rt + .


M

M2

$

r6t27

r6t7

tra8ectoire


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Le vecteur vitesse instantane du point matriel * l'instant test1#

v=limt # t +

r( t +) r(t)t +t

=' r

't= r

(a norme 'u vecteur vitesse s+e=prime 'onc 'ans le systme international en mtres parsecon'e # m.s-1. &e *ecteur *itesse instantanev est tangent la tra8ectoire9

8emarque #,l ne faut pas confon're vitesse instantane et vitesse moyenne '+un mobile au sens 'e lavie courante. (a vitesse moyenne est la 'istance parcourue par le mobile) s 'ivise par le temps

t ncessaire pour parcourir cette 'istance. On peut noter que s est la variation '+abscissecurviligne sur le tra:et consi'r #

vmo"=s

t

(a vitesse instantane !en norme) c+est la limite 'e cette quantit lorsque t0 # 'anscette limite)

v=ds

dt.

On peut 'onc crire # v=ds

dtut

oM u t est le vecteur unitaire tangent la tra:ectoire au point l+instant t qui est un 'es vecteurs'u repre intrinsque 'fini prc'emment.

Le vecteur acclration instantane du point matriel * l'instant t est'fini par #

a=' v

't='2r

't2

= $r

(a norme 'u vecteur acclration s+e=prime 'ans le systme international en mtre par secon'ecarre # m.s-2.

8emarque # il ne faut pas confon're la norme 'e ce vecteur avec la notion '+acclration au senspratique. ,ci encore l+acclration tel qu+on la ressent 'ans son v"icule au sens oM le compteur 'e

vitesse va affic"er une vitesse plus ou moins gran'e est amo"=

v

t . (a premire c"ose

remarquer est quev

t v

tce qui montre bien que mGme 'ans la limite t0 )

aamo" . Cette image intuitive ne tient pas compte 'u fait que 'ans un virage) on a ten'ance penc"er le corps 'u cJt oppos la courbure 'u virage. Ce terme supplmentaire se trouve bel etbien 'ans l+e=pression 'u vecteur a mais pas 'ans la lecture 'e la variation 'e l+aiguille 'ucompteur 'e vitesse.

8emarque # (e vecteur acclration est tangent la courbe "olograp"e 'u mouvement qui est lacourbe 'crite par l+e=trmit 'u vecteur vitesse en fonction 'u temps.

1 Pour la 'finition '+une fonction vectoreille '+une variable) voir l+Anne=e ,



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3) Composantes des ecteurs itesse et acclration :

Coor'onnes cartsiennes #

r=! ti " tj#t

v=d!

dti

d"

dtj

d#

dt= ! t i " tj #t

a=d2!

dt2

i d2

"

dt2

jd2#

dt2

= $! ti $" tj $# t

Coor'onnes polaires ou cylin'riques #

On peut traiter 'irectement le cas 'es coor'onnes cylin'riques. Si on se restreint au=coor'onnes polaires 'ans le plan) il suffit 'e poser U!t&R0.

r=tu#t

v=dt

dt u t

du

dt

d#

dt=uu# .

a= $2u2 $u $#=a radiale a orthoradiale $# .

avec la composante ra'iale 'e l+acclration 'ans le plan # a radiale= $2u et la

composante ort"ora'iale 'e l+acclration # a orthoradiale=2 $u .

(a quantit %t=t est la vitesse anulaire.

Coor'onnes intrinsques #

s!t& est l+abscisse curviligne le long 'e la tra:ectoire 'finie par la courbe !C&.

v=ds

dtut


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on peut e=traire ce rayon 'e courbure.

On 'finit un a=e polaire O= et 'eu= points et + qui correspon'ent la position 'u pointmobile au= instants t et t+ respectivement. @n ces points) on trace les 'eu= tangentes la tra:ectoirecaractrises par les vecteurs unitaires ut et ut + respectivement. On note ) l+angle entre latangente au point et l+a=e polaire O=. (+origine 'u c"oi= 'e cette notation est que cet angle est i'entique celui intro'uit pour les coor'onnes polaires. On note l+angle orient entre les'eu= tangentes en suivant le mouvement 'e vers +. Cet angle correspon' la variation'e la 'irection 'e la tangente) c+est 'ire la variation 'e l+angle entre les instants t et t+) il estune mesure 'e la courbure 'e la tra:ectoire entre et +# on appelle courbureen ) le rapport

C= lim s#0

s

='

's

. (a courbure est "omogne l+inverse '+une longueur. On 'finit alors le

rayon de courbure# '=1=

ds

dqui est le rayon 'u cercle tangent la tra:ectoire au point

. Ce cercle est appel cercle osculateur. (e centre 'u cercle osculateur est appel centre 'ecourbure.

On peut maintenant calculer le vecteur acclration a .


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oM at=$su t est l+acclration tangentielle et an=v

2

'un est l+acclration normale.

Ainsi la valeur algbrique 'e l+acclration tangentielle correspon' la sensation

'+acclration ou 'e freinage lorsque le compteur 'e vitesse 'e la voiture varie. (e terme'+acclration normale 'crit la sensation 'e se penc"er vers la 'roite ou vers la gauc"e 'ans unvirage. Cette sensation est '+autant plus forte que le virage est serr !' petit& et est absente enligne 'roite) car en ligne 'roite) le rayon 'e courbure 'e la route) ' ) est infini.

8emarques #

@n intro'uisant un vecteur unitaire normal au plan 'e la tra:ectoire) on a un=ut .Ceci est la mt"o'e la plus simple pour 'terminer un connaissant ut .

(e rayon 'e courbure ' n+est pas forcment un nombre positif. @n consquence)

l+acclration normale n+est pas forcment 'u mGme sens que un . Plus prcisment) le vecteuracclration est 'irig 'ans la courbure 'e la tra:ectoire alors que le vecteur un ne l+est pasforcment. (a figure ci-'essous 'onne ainsi trs grossirement les orientations 'u vecteuracclration en fonction 'e la position sur la tra:ectoire.

4) 'ouements particuliers :

a) Mouvement rectiligne :

On parle 'e mouvement rectilinelorsque le point ne se 'place que selon une'irection 'finie par une origine O et une 'irection qu+on peut noter O=. (a 'finition 'umouvement est 'onne par la fonction =!t&.


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v= ! t=a0 tv0 ) ! t=1

2a0 t2v0 t!0

oM !0 et v0 sont respectivement la position et la vitesse 'u mobile l+instant tR0.

(+e=emple le plus caractristique 'e mouvement uniformment acclr est le cas 'e la c"utelibre ou 'u tir balistique oM la particule n+est soumise qu+ son poi's.


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Pour finir) nous allons intro'uire une quantit qui sera trs importante pour les mouvementsquelconques 'e rotation 'ans un plan # c+est le vecteur rotation, %=% oM est unvecteur unitaire perpen'iculaire au plan contenant le cercle.

On peut montrer la proprit suivante vrifie par tout vecteur

& 'e norme constante #d&dt

=%&

Cette formule peut Gtre applique au vecteur O$ pour un mouvement circulaire car lanorme 'e ce vecteur reste constante au cours 'u mouvement. On en ''uit que pour un mouvementcirculaire !et uniquement pour un mouvement circulaire_& #

v=dO$

dt=%O$

Par 'rivation 'e cette e=pression) on en ''uit l+acclration pour un mouvement circulaire#

a=atan=d%

dtO$%2

O$


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) Composition des mou*ements :

?ous avons ': vu qu+une vac"e regar'ant passer un train 'ans lequel se trouve un passagerassis a l+impression que le passager est anim '+un mouvement par rapport son pr. Cepen'ant vu'u passager) il est assis au repos et a 'onc aucun mouvement. Pour lui) c+est plutJt la vac"e qui

bouge_ ,l est 'onc fon'amental lorsqu+on parle 'e mouvement 'e spcifier par rapport quoi_ 9outmouvement est en fait relatif.

(+e=emple prc'ent nous montre qu+on peut 'finir un rfrentiel par rapport la 9erre quiest fi=e et un rfrentiel li au train qui lui bouge par rapport la 9erre) ce rfrentiel est mobile. ,ciencore nous avons fait une appro=imation en consi'rant que le rfrentiel li la 9erre est fi=e. @nfait) la 9erre se 'place 'ans l+univers et il faut 'onc le rfrentiel li la 9erre n+a rien 'e fi=e.Cepen'ant l+c"elle 'e temps qu+on consi're) ceci peut-Gtre consi'r comme une e=cellenteappro=imation. On 'ira que les rfrentiels fi=es sont absolus) les autres relatifs.

1) ($initions :

On consi're un rfrentiel (') muni '+un repre ort"onorm 'irect (O ,3 , 4 , 5) telque O et les vecteurs 'e base ne 'pen'ent pas 'u temps. Ce rfrentiel sera 'it r!rentielabsolu. On consi're un autre rfrentiel(' +) muni '+un repre ort"onorm 'irect

(O + , i , j , ) en mouvement par rapport (') ) ce rfrentiel sera 'it r!rentiel relati!.

(a vitesse et l+acclration '+un point mobile 'ans (') seront 'ites respectivementvitesse et acclration absolues. (a vitesse et l+acclration 'e ce mGme point mobile 'ansle rfrentiel (' +) seront 'ites respectivement vitesse et acclration relatives.

On appellepoint co1ncidant de M dans(' +) ) le point ? fi=e 'ans(' +) quico;nci'e l+instant t avec . A tout instant) poss'e un point co;nci'ant 'ans (' +) ) mais ce

point c"ange c"aque instant. Ce point co;nci'ant poss'e une vitesse 'ans (') 'ite vitessed'entra2nementet une acclration 'ans(') 'ite acclration d'entra2nement.

2) oi de composition des itesses :

@n utilisant les notations ': pr'finies) un point aura les coor'onnes 6 , 7 , 8'ans (') et ! , " , # 'ans(' +) . (e rfrentiel(') tant le rfrentiel absolu) lesvecteurs 3 ) 4 et 5 ne 'pen'ent pas 'u temps) ce qui n+est pas le cas 'es vecteurs i )j

et . (e vecteurO$ s+crit en fonction 'es 'iffrents vecteurs 'e base sous la forme #

O$=637485=OO +! i " j#

(a *itesse a4solue'e est va=6374 85 .

(a *itesse relati*e'e est vr= !i " j# .

On adO$

dt=va=

dOO +

dt! i "j# !i " j#

(es trois 'erniers termes correspon'ent la vitesse relative) les autres la vitesse

'+entranement) ve ) '+oM la loi 'e composition 'es vitesses # va=vevr

Cours 'e mcanique S2-PoPS et (1# C.Pasquier) *niversit '+Orsay 2/


29/97

On peut vrifier que les premiers termes correspon'ent effectivement la vitesse'+entranement. @n effet) si on repren' la 'finition 'u point co;nci'ant 'e 'ans +' + -) c+est le

point ? fi=e 'ans ! ' + & qui co;nci'e l+instant t avec . Ce point ? tant fi=e 'ans ! ' + &) ilest anim '+une vitesse nulle 'ans ce rfrentiel # != "= #=0 et 'onc va9=ve9 . Ce point

? co;nci'ant avec un instant 'onn t0) on a va9=va$=ve 9 cet instant t0.

3) oi de composition des acclrations :

(+acclration a4solueest aa=$63 $74 $85 .

(+acclration relati*eest ar= $! i $" j $# .

@n 'rivant l+e=pression 'u vecteur vitesse) on obtient #

d2O$

dt

2 =aa=d

2OO +

dt

2 !$i"$j#$$!i $" j$#2 ! i "j#

(es quatre premiers termes 'e l+e=pression 'veloppe correspon'ent l+acclration'+entranement) ae !en effet) si on pose != "= #=0 ) seuls ces termes restent&. (es troissuivants correspon'ent l+acclration relative) enfin les trois 'erniers termes constituentl'acclration de 3oriolisappele aussi acclration complmentaire.

aa=aearac

8emarque # on peut montrer que dve

dt=ae1

2acae ) c+est 'ire que l+acclration

'+entranement n+est pas la 'rive 'e la vitesse '+entrainement 'ans le cas gnral.

4) ois de composition dans des cas particuliers :

a) Rfrentiels en translation :

*n rfrentiel(' +) est en translation par rapport (') si tout point 'e (' +) a unmouvement rectiligne 'ans (') . Ceci est vrai si O+ et les vecteurs i ) j et gar'ent une'irection fi=e. On c"oisit 'onc i=3 ) j=4 et = 5 . (es 'rives 'es vecteurs 'e base sont'onc tous nuls.

On a ve=vaO +=dOO+

dt )ae=

d2OO+

dt2 =

aa O + etac=0


O

[

O+

U

y

=

*e


30/97

(es lois 'e composition se rsument 'onc #

va=vevr=va O+vr et aa=aa O +ar=aear

Si 'e plus) le mouvement 'e translation est uniforme) l+acclration '+entranement est nulle #

va=vevr et aa=ar

b) Rfrentiel en rotation autour d'un axe :

On consi're que l+a=e 'e rotation est O !ou OU car on peut supposer ORO+&.

On c"oisit = 5 . Par consquent) les vecteurs i et j sont 'ans le plan O , 3 , 4 .

On note ) l+angle entre 3 et i . (e vecteur rotation est 'onc = = .i (t)=cos(t)3+sin(t)4

j (t)=sin (t)3+cos( t)4

les vecteurs i et j sont unitaires 'onc 'e norme constante. Au cours 'u temps) les e=trmits'es vecteurs i et j 'crivent un cercle 'e centre O et 'e rayon 1. ,ls sont 'onc anims '+unmouvement circulaire. @n utilisant le vecteur rotation vu prc'emment) les 'rives par rapport autemps 'e ces vecteurs sont 'onc #

i = %i et j= %j ! =0 &.

Pour calculer la vitesse '+entranement) il y a 'eu= mt"o'es # la premire est '+utiliser les formulesgnrales 'veloppes prc'emment. On peut alors se convaincre que #

ve= %O9

oM ? est le point co;nci'ant 'e . On a vi'emment aussi ve=%O$ . (a 'eu=imemt"o'e est '+utiliser 'irectement le fait que la vitesse '+entranement est la vitesse 'u pointco;nci'ant. @n effet) tout point fi=e 7 'ans(' +) est en rotation autour 'e l+a=e O et le vecteur

O: a 'onc une norme constante. Sa vitesse est 'onc 'onne par la formuledO:

dt=O: .

va=

ve

vr= %

O9

vr* %

O$vr


[

ORO+

U

y

=


31/97

oM ? est le point co;nci'ant 'e 'ans(' +) .

Pour calculer l+acclration '+entranement) on ne peut pas pren're la 'rive 'e la vitesse'+entranement. On 'oit repartir 'e la formule gnrale #

ae= d2

OO+dt2 !$i " $j#$

Sac"ant que les points O et O+ sont i'entiques) le premier terme est nul.


32/97

On peut alors crire # v'$=v' +$v'' +=v' +$v' + +' +v'' + + oM

v'+$ est la vitesse relative 'e !'ans le rfrentiel (' +) & et v'' + est la vitesse'+entranement 'u rfrentiel(' +) par rapport au rfrentiel(') . On en ''uit alors la vitesse'+entranement en utilisant les paragrap"es prc'ents #

ve=dOO+

dt%O + 9


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?

5y

@

M

i

=

,

8

I

>

?

5y

@

M

%ra8ectoire

B

$2

$


34/97



35/97

Chapitre III : 'ondements de la dynamiquenetonienne

(a cinmatique correspon' l+tu'e 'es vecteurs vitesse et acclration) mais ces quantitssont 'ues l+interaction entre le corps consi'r et le mon'e e=trieur) plus prcisment au= forcesqui agissent sur ce corps. (a relation entre le c"amp 'e la cinmatique et celui 'es forces est 'onne

par la relation fon'amentale 'e la 'ynamique. @n consquence) il est in'ispensable 'e prciser lerfrentiel 'ans lequel on consi're cette relation fon'amentale 'e la 'ynamique. @n particulier)cette relation ne peut Gtre applique que 'ans un rfrentiel 'it galilen.

I Masse et quantit de mou*ement:

Si on essaie 'e 'placer une voiture en panne sc"e) il faut souvent s+y mettre plusieurs)alors que pour un ballon 'e foot) cela n+est pas 'ifficile seul. Cette 'iffrence vient que pour lavoiture et le ballon 'e foot) la vitesse 'e c"acun 'e ces ob:ets ne suffit pas le caractriser) mais ilfaut aussi consi'rer quelque c"ose qui fait qu+il est plus 'ifficile 'e 'placer la voiture que le

ballon 'e foot. Cette +inertie+ au 'placement se tra'uit par la masse'e l+ob:et. On suppose 'ans cecours que cette masse est in'pen'ante 'u mouvement 'e l+ob:et et 'u rfrentiel consi'r. Ce neserait pas le cas si on s+intressait au lancement '+une fuse qui permet 'e la masse au fur et msurequ+elle s+lve 'ans le ciel.

Pour 'onner une valeur prcise cette masse) la seule mt"o'e est 'e passer sur la balancec+est 'ire 'e comparer la masse 'e l+ob:et une rfrence elle-mGme calibre par rapport la massetalon 'e un ilogramme en platine iri'i 'pos au >ureau 'es Poi's et esures et qui est larfrence internationale pour la masse. On peut '+ailleurs remarqu que l+talon 'e masse n+a pasvolu 'epuis 101 contrairement au= autres c"elles fon'amentales telles que la secon'e ou lemtre. Cette 'finition 'e la masse fait en fait intervenir le poi's '+un corps c+est 'ire son

interaction avec la 9erre et il est possible que cette masse ne correspon'e pas la masse '+inertie'finie au 'but. (+e=prience montre nanmoins que ces 'eu= notions sont i'entiques.

Cette 'finition 'e la masse nous permet 'e 'finir la quantit 'e mouvement '+un pointmatriel 'e masse m et 'e vitesse v 'ans un rfrentiel 'onn #

p=mv

Cette 'finition porte bien on nom et tra'uit le fait qu+une voiture a une quantit 'e mouvement plusgran'e qu+un ballon 'e foot mGme si les 'eu= se 'placent la mGme vitesse. Ainsi 'ans les coursultrieurs 'e p"ysique) c+est cette quantit 'e mouvement qui :ouera un rJle fon'amental et non lavitesse 'e l+ob:et.



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II (frentiels galilens :

1) ($inition :

On consi're un rfrentiel(') muni '+un repre ort"onorm (O , i , j , ) . Cerfrentiel est appel r!rentiel alilen) si un mobile infiniment loign 'e tout autre ob:etmatriel #

-& y est anim '+un mouvement rectiligne uniforme

-& ou bien y est immobile.

8emarque # on appelle aussi les rfrentiels galilens) rfrentiels '+inertie.

2) #$rentiel de Copernic :

(a 'finition 'es rfrentiels galilens pose la question 'e leur e=istence# peut-on trouver unrfrentiel galilen 'ans la nature sac"ant qu+il faut que le mobile soit loign suffisamment 'esautres pour ne pas interagir avec eu=_ (e plus +simple+ a imagin est bas sur notre bon vieu=systme solaire qui semble en premire appro=imation isol 'u reste 'e l+univers et qui interagit peuavec les toiles avoisinantes.

@n premire appro=imation) on consi're le systme solaire comme un systme isol c+est 'ire qui n+interagit pas avec '+autres toiles ou systmes plantaires.

(e r!rentiel de 3opernicest 'fini par son origine O qui est le centre 'e masse !oubarycentre& 'u systme solaire et par trois a=es reliant cette origine O trois toiles trs loignes!'ites +fi=es+&.


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Pour sortir 'e cette impasse) on peut remarquer que le mouvement 'e la 9erre sur son orbitequasi-circulaire est lent et qu+il faut) comme c"acun le sait) une anne pour en faire le tour. @ngnral) l+c"elle 'e temps sur laquelle se pro'uit l+tu'e 'u mouvement qu+on tu'ie est au plus 'equelques "eures. A cette c"elle 'e temps) l+orbite terrestre peut Gtre appro=im par sa tangente) et

'onc en premire appro=imation) la 9erre parcourt un mouvement rectiligne) ce mouvement estuniforme en premire appro=imation car l+orbite 'e la 9erre est quasi-circulaire.


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: lectromantique=1

3 ,0

Qq

r2u

oM u est le vecteur unitaire 'e la 'irection reliant les 'eu= c"arges et orient selon le 'essin ci-

'essous. ,0=/)/431// 1012

:.m

1

est la permittivit 'ilectrique 'u vi'e. Pour retenir cettevaleur) il est courant 'e se souvenir que

13,0

= 10:1 .m . Cette force est attractive entre les

'eu= c"arges si les 'eu= c"arges sont 'e signes opposes) rpulsive sinon.

On peut remarquer que le rapport entre la force 'e gravitation et la force lectromagntiqueest in'pen'ante 'e la 'istance entre les 'eu= particules) seuls interviennent les masses et c"argesrespectives 'es ob:ets. @n consi'rant que la particule 'e masse porte une c"arge et la particule

'e masse m) une c"arge q) le rapport entre ces 'eu= forces est #:e

:=

13,0;

Qq

$m. A l+c"elle

atomique) pour 'es masses 'e protons ou lectrons) l+interaction gravitationnelle est plus faible quela force lectromagntique '+un facteur 'e l+or're 'e 1030 . A l+oppos) lorsqu+on consi're les

plantes ou les toiles) celles-ci sont globalement neutres lectriquement et la force 'e gravitationest 'ominante. A une c"elle un peu plus +normale+) pour 'es c"arges et q 'e 10( 1et 'es

masses 'e l+or're 'e 1 gramme) on a:e

:-1021&

101/

106=10 ) la force lectromagntique reste

'onc globalement 'ominante 'ans la nature. Gme si la masse est 'e 1g) le rsultat ne sera guremo'ifi.

3) es $orces d"interaction $orte et $aible :

(a force '+interaction forte est responsable 'e la co"sion 'es protons et 'es neutrons. Son

intensit est 100 fois plus forte que l+interaction lectromagntique mais ne s+e=erce qu+au plus l+c"elle 'e 1014m . (a force '+interaction faible se manifeste 'ans la 'sintgration 'uneutrino. Sa porte est encore plus faible que l+interaction forte et son intensit est plus faible quel+interaction lectromagntique.

Ces 'eu= forces n+interviennent qu+ l+c"elle 'es noyau= atomiques oM la mcaniquequantique est nettement plus a'apte pour traiter la p"ysique que la mcanique classique qui elle esta'apte notre mon'e macroscopique. *ne branc"e entire 'e la p"ysique consiste essayer'+unifier ces forces et 'e voir si elles ne sont pas en ralit 'es aspects p"ysiques '+une mGme entit.A l+"eure actuelle) on a ainsi russi unifier trois 'e ces forces) la force lectromagntique) la force'+interaction faible et la force '+interaction forte) seule la force 'e gravitation rsiste l+unification.

1 Cette c"arge est obtenue par e=emple en c"argeant un con'ensateur 'e 1nano7ara' sous une tension 'e 15olt.

Cours 'e mcanique S2-PoPS et (1# C.Pasquier) *niversit '+Orsay

u

0

q`0

'

0

q0

'


40/97

4) !orces de contact et de $rottements :

Ces forces ne font pas partie 'es 3 forces fon'amentales) elles sont essentiellement '+originelectromagntique1.

Si on consi're un ob:et pos sur une table "oriUontale) c+est vi'emment la force 'egravitation qui fait que cet ob:et reste sur la table. ue se passe-t-il si on incline la table Si l+angle'+inclinaison ) h) est petit) l+ob:et ne va pas bouger. Si on incline la table plus nettement) partir '+uncertain angle) l+ob:et va glisser le long 'e la table et tomber. Pourquoi

(a mGme question se pose si la table "oriUontale) on essaie '+appliquer une force l+ob:etpour le faire glisser sur la table. Par e=prience) on sait que l+ob:et va glisser plus facilement si latable est bien cire ou en formica que si c+est une table en bois rugueu=.

On note % la raction 'u support # elle se 'compose en une composante tangentielle au support)note 1 et une composante normale note 9 . C+est la composante tangentielle qui s+oppose auglissement 'e l+ob:et. (e problme 'u contact entre 'eu= soli'es n+est pas encore bien compris maison peut utiliser les lois empiriques 'e Amontons-Coulomb sur le frottement soli'e #

,l n+y a pas 'e glissement si 1.f9 oM f est un coefficient sans 'imension'it coefficient 'e frottement statique

Si il y a glissement) alors 1= f +9 oM f + est le coefficient 'e frottement 'e

glissement.


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un certain nombre 'e points 'e contact entre l+ob:et et la table # tous les points 'e l+ob:et ne sont pasen contact avec la table. @n ces points) la force 'e contact 'pen' 'e la composante normale) c+est 'ire grosso-mo'o 'u poi's 'e l+ob:et !pour le mobile l+"oriUontale) c+est le poi's) pour la tableincline) c+est la composante normale la table 'u poi's qui va compter&. Plus la composante

normale est leve et plus l+aire 'e contact entre les 'eu= surfaces sera gran'e. Ceci e=plique alorspourquoi la composante tangentielle 'pen' 'e la composante normale. Pour en revenir ff +. lorsque le mobile se 'place) on compren' bien que la surface 'e contact est 'iffrente !plus petite&car il est quasi impossible que les asprits 'e l+ob:et s+encastrent 'ans les +trous+ 'e la table !l+c"elle microscopique&) ce qui est tout fait possible lorsque l+ob:et est immobile. (+aire 'e contacttant plus faible) on a f/f + .

,l e=iste 'iffrents types 'e forces 'e frottements lies au mouvement 'ans un flui'e #

(a force 'e frottement est proportionnelle la vitesse) c+est le cas '+un frottement 'ans unflui'e. On parle 'e!rottement !luide# l+e=pression gnrale 'e l+e=pression 'e la force'e frottement !plus communment note f & est f=v oM est une constante

positive. =60%e oM 0 est la viscosit 'u flui'e et %e est le nombre 'e8eynol's1.

9ou:ours pour un frottement flui'e) lorsque la viscosit 'u flui'e est faible) l+intensit 'e laforce 'e frottement peut Gtre proportionnelle au carr 'e la vitesse) c+est le cas '+unfrottement par l+air # f= +vv oM + est une constante positive2.

) &ois de eton dans un rfrentiel non galilen :

1) #$rentiels +alilens et non +alilens :

@n premire appro=imation) un rfrentiel avec comme origine un point la surface 'e la9erre et ayant pour a=es) trois 'irections fi=es peut Gtre consi'r comme galilen une c"elle 'etemps raisonnable.

Soit(') un rfrentiel galilen et (' +) un autre rfrentiel en mouvement par rapport (') .(' +) est-il un rfrentiel galilen

Si (' +) est en translation rectiligne uniforme par rapport (') ) alors lFacclration

absolue est gale l+acclration relative.


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libre 'ans (' +) . (e rfrentiel (' +) n+est pas un rfrentiel galilen.

2) ois de ,e-ton dans les r$rentiels +alilens ou non+alilens :

Soit(') un rfrentiel galilen et(' +) un autre rfrentiel en mouvement par rapportau rfrentiel (') . (e principe fon'amental 'e la 'ynamique s+applique 'ans(') # :=m a 'oM a ' est l+acclration 'u point matriel 'ans le rfrentiel (') et : est la rsultante 'esforces agissant sur le point matriel .

a) Lois de e!ton dans un rfrentiel galilen :

On suppose ici que le rfrentiel(' +) est aussi un rfrentiel galilen. On en ''uit que lerfrentiel(' +) est anim '+un mouvement 'e translation rectiligne uniforme par rapport au

rfrentiel(') . Par consquent)a '=a '+ ou bien en utilisant les notations 'u paragrap"eprc'ent # a a=a r c+est 'ire que l+acclration absolue est gale l+acclration relative.

On peut 'onc crire 'ans le rfrentiel(' +) # :=ma '+ .

b) Lois de e!ton dans un rfrentiel non galilen :

On suppose ici que le rfrentiel (' +) n+est pas un rfrentiel galilen. (e principefon'amental 'e la 'ynamique ne peut 'onc Gtre crit que 'ans le rfrentiel (') oM la loi 'ecomposition 'es acclrations s+crit #

aa=araeac

qui 'onne l+acclration absolue en fonction 'es acclrations relative) '+entranement et 'e Coriolis.On peut aussi crire # a '=a '+a ' +'a c en utilisant 'es notations plus intuitives)

a '+' reprsente vi'emment l+acclration '+entranement.

(e principe fon'amental 'e la 'ynamique s+crit 'onc 'ans (') #

m a '=m a '+m a '++'m a c= :

ou bien m a '+= : += : f ef c

oM f e=m ae=ma ' ++ ' est la force '+entranement !ou force '+inertie& et f c=macest la force 'e Coriolis !ou force complmentaire&. Ces 'eu= forces sont souvent 'ites Kpseu'o-forces L car elles ne sont pas relles au sens oM le terme force est rserv la situation oM il y ainteraction entre le point matriel consi'r et un autre point matriel. (es termes f e et f c nerentrent absolument pas 'ans cette catgorie '+oM le terme 'e pseu'o-force. Cepen'ant) laconsquence 'e ces pseu'o-forces est bien relle...



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Chapitre I) : %ra*ail+ Energie

I %ra*ail d2une force :

1) .ntroduction :

(e travail '+une force mesure l+effort faire pour 'placer un ob:et le long '+un tra:et quipeut-Gtre "oriUontal ou pas) rectiligne ou pas. *n travail peut Gtre positif auquel cas) on parlera 'etravail moteur) car un moteur peut trs bien effectuer cet effort 'e 'placement. A l+oppos) untravail peut Gtre ngatif) on parle 'e travail rsistant car il s+oppose au 'placement) c+est le cas 'es

forces 'e frottements.,ntuitivement) plus la 'istance parcourir est longue) plus le travail sera gran' et plus l+ob:et

est imposant et plus le travail fournir pour le 'placer sera gran'. Par contre) si on se place sur unepatinoire 'ebout) les seules forces qui s+e=ercent sur nous sont notre propre poi's et la raction 'usol 'e la patinoire. @n principe) il n+y a pas 'e forces 'e frottements soli'es ou trs peu) c+est pourcela qu+on tombe si facilement... ,l est alors trs facile une autre personne 'e nous 'onner une

petite impulsion '+nergie qui va nous permettre 'e nous 'placer sur 'e longues 'istances. (es'eu= forces qui agissent sur nous sont toutes les 'eu= ort"ogonales la tra:ectoire et ne travaillent

pas. Si maintenant) la mGme e=prience est renouvele sur un sol +normal+) il sera beaucoup plus'ifficile 'e nous faire bouger + l+insu 'e notre plein gr+ cause 'es frottements soli'es qui seront

importants. est #


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3) Traail d"une $orce non constante :

(a formule 'u paragrap"e prc'ent est simple mais ne s+applique que 'ans quelques casparticuliers tel que par e=emple) un sieur en 'escente # le poi's est constant et on suppose la pente

elle-aussi constante) pour les frottements aussi) l+intensit 'es frottements est constante tant que lapente 'e la 'escente reste inc"ange. Par contre) si on s+intresse un saut en parac"ute) le c"eminreste rectiligne !en premire appro=imation& mais les frottements 'e l+air 'pen'ent 'e la vitesse 'u

parac"utiste) 'onc la formule 'u paragrap"e prc'ent ne permet pas 'e calculer le travail 'e cetteforce 'e frottement.

ensuivant la courbe !'ans l+espace& parcourue par le point !intgrale curviligne&. L'expression

(&'=2&'

:.

dO$ est appele circulation du vecteur !orce : .

Si la force : est constante) on retrouve pour le travail) l+e=pression 'u paragrap"e prc'ent #


45/97

Mthodologie : 4omment appliquer la formule prcdente c/est dire calculer un travail(une circulation) sans se tromper.

2a premi5re chose faire est de se donner l/expression de la force : dans le syst5me decoordonnes le plus adquat.

!n coordonnes cartsiennes on notera ainsi : :=:!u!:"u":#u# .avecchacune des composantes qui dpend de x y et 3.

!n coordonnes cylindriques :=:u:u:#u# chacune des composantes

dpend des variables et 3.

!n coordonnes sphriques :=:u:u: u chacune des composantes

dpend des variables , .

!n coordonnes intrins5ques il faut dcomposer la force suivant les vecteurs

tangent et normal : :=:tut:n un .

6l faut maintenant calculer le petit lment d

O$=v dt . Nous avons dtermin auchapitre cinmatique l/expression des vecteurs vitesses dans chacun de ces syst5mes decoordonnes

!n coordonnes cartsiennes v=d!

dt u!

d"

dt u "

d#

dtu# donc

dO$=d! u!d"u "d#u#

!n coordonnes cylindriques v=d

dtu

d

dtu

d#

dtu# et donc

dO$=du dud#u# .

!n coordonnes sphriques l/expression est beaucoup plus complexe nous nouscontenterons du premier terme qui est le cas pratique rencontr dans ce cours :

v=d

dtu... et donc dO$=du...

!n coordonnes intrins5ques v=ds

dt ut donc dO$=ds ut

6l est donc maintenant possible de donner l/expression du travail lmentaire d7. "nobtient alors :

!n coordonnes cartsiennes 1


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!xemple & : "n consid5re que la force est le poids dirig selon "3 : :=mu# .!t on consid5re que 0(&&&) et qu/on se dplace de 9 0 en ligne droite. -ans le

cas qui nous concerne cela n/a pas beaucoup d/importance puisque :!=:"=0 etdonc 1!1)0)1&. On a 1 en se 'plaIant sur la

sp"re qui passe par A et > '+quation !12

2

"2#122

=12

)tout en restant

'ans le plan ==3. On en ''uit que d#=d! )1


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4) Puissance :

(a puissance moyenne 'e la force : sur le tra:et 'e A vers > !pas ncessairement

rectiligne& est # >&'==1


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III Energie potentielle+ nergie mcanique :

1) !orce / circulation conseratie :

*ne force : est une!orce * circulation conservativesi elle ne 'pen' que 'ela position et si le travail 'e cette force entre 'eu= points quelconques A et > ne 'pen' que 'es

points A et > et non 'u c"emin suivi entre A et >.

Mthodologie : 4omment savoir si une force est circulation conservative = "n considrera

ici que la force : s/exprime en coordonnes cartsiennes : :=:!u!:"u":#u# o1chacune des composantes :! :" et :# dpendent des coordonnes x y et 3.

,out d/abord si la force : dpend de la vitesse alors cette force ne peut tre circulation conservative (c/est le cas des forces de frottements par exemple ou de la forcemagntique exerce par un champ magntique sur une particule de charge q et anime

d/une vitesse v : :=qv' ).

i la force ne dpend donc que de la position de M et non de la vitesse on recherche si les

relations suivantes sont vrifies ::!"

=:"!

ainsi que les relations quivalentes

:# "

=:"#

et:#!

=:!#

( on les appelle formules des drives croises). i ces

relations sont vrifies alors la force : est circulation conservative. 2a rciproque estd/ailleurs vrifie : si

:est une force circulation conservative alors les drives

croises sont gales

,ouours dans le cas o1 la force ne dpend que de la position M si on peut trouver une

fonction > telle que )!

=:!,)"

=:",)#

=:# alors la force : est

circulation conservative. 4omme nous allons le voir ci%dessous la rciproque est vraie.

2) 0ner+ie potentielle :

*ne force : ) fonction 'u point ) 'rive '+une nergie potentielle) ?p ) si on peutcrire :=

rad ?p avec rad ?p=

?p!

,?p"

,?p#

en coor'onnes cartsiennes.

@n coor'onnes cartsiennes) rad ?p=?p!

u!?p "

u"?p#

u# .

@n coor'onnes cylin'riques) rad ?p=?p

u1

?p

u?p#

u# .

Cours 'e mcanique S2-PoPS et (1# C.Pasquier) *niversit '+Orsay 3/


49/97

@n coor'onnes sp"riques) rad ?p=?p

u1

?p

u1

sin

?p

u .

*ne con'ition ncessaire et suffisante pour que cette fonction ?p e=iste est que la force

: soit circulation conservative.


50/97

x et l/autre selon y.

!xemple @ : on reprend l/exemple @ du 66 : := "u! #u# . Nous avions dremarquer que la circulation entre 9 et 0 dpendait du chemin suivi. 4eci se vrifie par le

fait que les drives croises ne sont pas gales. !n effet:!" =

:"! =0 . -onc la

force : ne drive pas d/une nergie potentielle.

!xemple A : on choisit comme force la force d/interaction gravitationnelle

: ravitation=;$m

r2

ur 4ette force est radiale c/est dire dirige vers un point fixe ". 2e

syst5me de coordonnes le plus adapt est donc le syst5me de coordonnes sphriques. -e

?p

r=;

$m

r2

on dduit ?p=;$m

r(te . Bn calcul tr5s voisin s/effectue pour

la force d/interaction lectromagntique et on trouve de nouveau une nergie potentielle qui

varie en 1+r .

3) 0ner+ie mcanique totale :

On consi're tout '+abor' un systme mcanique soumis uniquement 'es forces circulation conservative ou bien 'es forces qui ne travaillent pas. (es forces circulationconservative 'rivent toutes '+une nergie potentielle. On note ?p ) l+nergie potentielletotale.

(e terme ?m=?c?p est l+nergie mcanique totale.

@n supposant qu+on se place 'ans un rfrentiel galilen) en appliquant le t"orme 'el+nergie cintique entre 'eu= points A et >) sac"ant qu+on a affaire uniquement 'es forces circulation conservative 'e rsultante : ou 'es forces qui ne travaillent pas 'e rsultante % )alors


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Cette intgrale premire 'u mouvement est 'onc plus pratique et permet '+obtenir l+quation 'umouvement. Ainsi) 'ans un problme 'e mcanique) au lieu '+crire ?m=?c?p=(

te=?0 ) oncrira plutJt que la 'rive 'e l+nergie mcanique est nulle !la 'rive '+une constante est nulle& #

d?m

dt =0 ) ceci nous 'onnera une quation 'iffrentielle 'u mouvement qui permettra '+obtenirtout aussi simplement les quations "oraires 'u mouvement. ue la +tra'itionnelle+ relationfon'amentale 'e la 'ynamique.

9ou:ours 'ans un rfrentiel galilen) on consi're maintenant que le systme est soumis 'es forces circulation conservative 'e rsultante :c et 'es forces circulation non

conservatives 'e rsultante :nc et 'es forces qui ne travaillent pas 'e rsultante % ).?c'?c&=


52/97

3) 0quilibre d"un point soumis / des $orces / circulationconseratie :

a) "as unidimensionnel :

On consi're que la rsultante 'es forces) : ne 'pen' que '+une seule variable = quecette variable = reprsente la coor'onne = en cartsiennes ou bien !=r la norme 'u rayonvecteur) r en coor'onnes sp"riques.

On suppose que le systme est l+quilibre pour !=!0 . @n !0 ) :=0 et 'oncd?p

d!=0 en ce point !=!0 ) cela veut 'ire que !0 est un e=tremum 'e l+nergie potentielle.

(e sc"ma ci-'essous reprsente les positions '+quilibre possibles 'u systme !petites ellipses& quicorrespon'ent 'onc au= e=trema locau= 'e l+nergie potentielle.

?ous allons maintenant 'iscuter la stabilit 'e cet quilibre. Pour cela) il nous faut 'onc

tu'ier la valeur algbrique 'e la force # :! = d?pd!

.

(a force : ramne le systme l+quilibre.

(+quilibre est stable)d

2?p

d!2 0 .

(a force : carte le systme 'e l+quilibre.

(+quilibre est instable)d2?p

d!2

0 .

On peut noter que les sc"mas ci-'essus sont co"rents avec la notion 'e stabilit qu+on e=primente'ans la vie 'e tous les :ours.

@nfin) connaissant la courbe 'e l+nergie potentielle) on peut facilement remonter lafrquence 'es petites oscillations 'ans un puits 'e potentiel.


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) 'e manire gnrale. @n effet) au voisinage '+une position '+quilibre en !=!0 ) on peuteffectuer un 'veloppement 'e 9aylor 'e l+nergie potentielle au voisinage 'e ce point #

?p !=?p !0!!0d?p

d!!0

!!02

2

d2?p

d!2 !0 . (e terme

d?p

d!!0 est vi'emment

nul. Si l+quilibre est stable) =d2?p

d!2

!00 . Ainsi l+e=pression 'e l+nergie potentielle au

voisinage 'u fon' '+un puits 'e potentiel s+crit ?p !=?p !01

2!!0

2 . On peut alors en

''uire l+e=pression 'e la force au voisinage 'e ce minimum 'e potentiel #

:=d?p

d!=!!0 qui est la force 'e rappel 'u point matriel 'ans son puits 'e potentiel.

On peut alors en ''uire l+quation 'u mouvement 'u point matriel 'ans son puits 'e potentiel enappliquant la relation fon'amentale 'e la 'ynamique # m$!!!0=0 et 'onc la pulsation 'u

mouvement 'u point matriel 'ans ce puits est %=

m

.

b) "as bidimensionnel :

(e cas prc'ent peut se gnraliser au cas '+un systme bi'imensionnel !voiretri'imensionnel& mais les calculs 'eviennent plus comple=es. Au voisinage 'u point !0)"0 )

?p! , " =?p!0)"0!!0

2

2

2?p!2

!0)"0""0

2

2

2?p"2

!0)"0 ) les 'rives partielles au

1eror're sont nulles # ?p

!=?p

"=0 ) ou encore) rad ?p=0 . (a con'ition 'e stabilit est

que les 'eu= 'rives secon'es sont positives. (+nergie potentielle s+crit alors 'e manire

simplifie sous la forme) ?p ! , " =?p!0)"01

2!!0

21

2 +""0

2 oM

=2?p!2

!0)"0 et +=2?p"2

!0)"0 sont positives.

Mthodologie : 4omment savoir si un quilibre est stable=

"n conna8t les coordonnes de la force : en tout point. 2/quilibre correspond aux

points o1 cette force s/annule. 2/quilibre sera stable si au voisinage de l/quilibre la force tendance ramener le point matriel vers sa position d/quilibre.

"n conna8t la courbe de variation de ?p (sans conna8tre forcment l/expression de

l/nergie potentielle). 2/quilibre correspond aux extrema de cette nergie potentielle.2/quilibre sera stable aux minima de potentiel instable aux maxima.

"n conna8t l/expression de l/nergie potentielle ?p en fonction de la position. 2es

positions d/quilibre correspondent aux points o1d?p

d!=0 (cas &-). 2/quilibre sera

stable sid

2?p

d!

2 0 au voisinage du point d/quilibre instable sinon.



54/97



55/97

Chapitre ): Moment cintique

(a 9erre tourne sur elle-mGme en 23"eures. Ceci parat tellement vi'ent qu+on ne se'eman'e plus pourquoi. C+est parce qu+elle poss'e un moment cintique_ @t comme la 'ure 'u

:our est la mGme tous les :ours et ce pen'ant 'es prio'es longues notre c"elle 'e vie "umaine) onpeut consi'rer que ce moment cintique est constant on 'it que le moment cintique est conserv.@n fait) la 'ure 'u :our n+est pas la mGme 'epuis le 'but 'e la formation 'e la 9erre. (es :ours sont

beaucoup plus longs qu+ l+re secon'aire par e=emple oM la 'ure 'u :our approc"ait 2"eures ou l+re primaire oM la 'ure 'u :our ne 'passait gure 22"eures. Pourquoi C+est que la 9erre estfreine 'ans son mouvement 'e rotation par...les mares c+est 'ire aussi par l+effet con:ugu 'e la(une et 'u Soleil.

Cette quantit qu+est le moment cintique est une quantit trs importante en p"ysique et qui

:oue un rJle aussi important que la quantit 'e mouvement. Ainsi) en mcanique quantique) onmontre que la pro:ection 'u moment cintique '+un lectron sur l+a=e OU ne peut pren're que 'es

valeurs multiples 'e 5= h

2# @#=m 5 .

I Moment cintique :

1) 'oment d"une $orce :

On consi're une force : agissant en un point quelconque 'e l+espace. Le moment

de la !orce au point 4est # M& :=&$: .

8emarques # (e moment '+une force est un vecteur_

(a 'irection 'e ce vecteur moment est ort"ogonal la fois la force : et au vecteur

&$ .


A '

M

d


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M& :=&$:sin 6 ou encore M& :=&A:=:d ) la longueur 'correspon' au +bras 'e levier+. C+est pour cette raison que pour 'boulonner un boulon) on utilise 'esoutils en gnral relativement long avec un gran' bras 'e levier) cela permet 'e le 'monter avecmoins '+effort !une force plus faible&.

On consi're une force : agissant en un point quelconque 'e l+espace. Le moment

de la !orce par rapport * l'axe 6est # M :=&$: oM A est la pro:ection 'e

sur l+a=e .

2) 'oment cintique :

Le moment cintique au point 4'+un point matriel 'e masse m) anim '+une

vitesse v est # B&=&$mv=&$p

8emarques # Cette 'finition est vraie quelque soit le rfrentiel) ceci in'ique que le momentcintique 'pen' 'u rfrentiel c"oisi.

(a valeur 'u moment cintique 'pen' 'u point A aussi # B&+=B&& + &mv .

3) 'oment cintique pour un mouement plan :

Si la tra:ectoire 'u point matriel est contenu 'ans un plan et si A est 'ans ce plan)alors tout instant) le moment cintique est normal ce plan. @n particulier) si on c"oisit pour pointA) le point O origine 'es coor'onnes) l+utilisation 'es coor'onnes polaires 'ans ce plan 'evient

plus a'quate # O$= u et v=uu 'onc BO=m 2 u#


A

'

M

5$

&

M *


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II %horme du moment cintique :

1) Thorme du moment cintique :

On consi're que le point A est fi=e. On note : la rsultante 'e toutes les forcesappliques sur un point matriel 'e masse m.


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(66) 2/intgrale premi5re du mouvement dfinie par la conservation de l/nergie mcaniquetotale qui en la drivant redonne l/quation diffrentielle du mouvement.

(666) 2e thor5me du moment cintique qui relie le moment cintique en un point aumoment des forces en ce point.

"n obtient ainsi a priori trois relations. 2es deux premi5res sont * quivalentes + au sens o1la drive de (66) redonne (6)& mais la relation (66) donne plus d/information puisqu/on peutcalculer la constante d/intgration qu/est l/nergie totale.

2a donne de ces trois relations va permettre de dterminer compl5tement les quations dumouvement.

ar exemple dans un mouvement une dimension il suffit de dterminer x(t) : leprobl5me a une seule inconnue donc une seule quation sera suffisante en utilisant une seule desrelations prcdentes. 2a * traditionnelle + relation fondamentale de la dynamique n/est pasforcment la mthode la plus simple appliquer C

our un mouvement plan il faudra dterminer les composantes x(t) et y(t) ou plus

vraisemblablement les coordonnes polaires (t) et (t). 4eci ncessite donc deux relations et dansce cas on utilisera (6) ou (66) et la relation (666).

our un mouvement dans l/espace il est exceptionnel que le mouvement se droulestrictement trois dimensions avec des grandeurs x(t) y(t) et 3(t) totalement indpendantes #.!ngnral le mouvement a lieu sur une surface dont l/quation certes ventuellement complexedonne tout de mme une relation entre les coordonnes x(t) y(t) et 3(t) . 2es relations (6) ou (66)et la relation (666) donneront les deux relations manquantes.

4) 0emples :

a) pendule simple :

On consi're un point matriel 'e masse m reli un point fi=e O '+un rfrentiel galilenpar l+interm'iaire '+un fil ten'u et 'e masse ngligeable et 'e longueur . (e mouvement 'e cepen'ule simple est suppos 'ans un plan vertical. (a masse m est soumise 'eu= forces # le poi's'e la masse >=m et la tension 'u fil 1 . (e mouvement 'e tant plan) on a priori 'eu=inconnues) !t& et !t& qui sont les coor'onnes polaires 'u point en prenant comme origine le

point O et comme a=e polaire) l+a=e vertical orient vers le bas.


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$'sin=0

Pour petit) l+quation 'u mouvement se r'uit $=0 . Cette quation

'iffrentielle 'u mouvement est l+quation '+un oscillateur 'e pulsation %=

.

On peut aller plus loin en 'terminant l+intensit 'e la force 1 qui est une force centrale.(a relation !,,,& ne nous sera 'onc '+aucun secours. ,ci) on ne peut pas c"apper la relationfon'amentale 'e la 'ynamique car cette force ne travaille pas et 'onc son e=pression n+apparatra

pas 'ans la relation !,,&.


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bras et l2 ) leur +longueur+ lorsque les bras sont replis) alors)B=ml2 =(te=ml1

2 % 1=ml22 % 2 .

On en ''uit que % 2=% 1 l1

l2 2% 1 . (e patineur tourne 'onc plus vite.



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Chapitre )I : Mou*ement force centrale

*n cas particulier 'e forces est celui oM la force est centrale. Ce cas semble trs particuliermais il regroupe beaucoup 'e forces # tout '+abor') la force lectromagntique est centrale car elleest 'irige '+une c"arge lectrique vers la c"arge lectrique la plus leve qu+on supposera fi=e.


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On c"erc"e l+volution 'e l+aire A) balaye au cours 'u temps c+est 'ire l+volution 'e l+aireO+ sac"ant qu+au 'part le point part 'u point . Si t est petit) l+aire O+ est i'entique l+aire 'u triangle OP oM P est 'fini par $>=v t . (+aire 'e ce triangle est

1

2 O$v t=

1

2mB t= Ainsi) la limite t0 ) on a

dA

dt=B2m .

(oi 'es aires #


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s+approc"er infiniment prs 'u centre 'e forces. (a relation !1+& s+crit alors #

12

m2?p ,eff =?0 !1++&

On remarque qu+on peut en ''uire la relation t partir 'e cette relation. Plusprcisment) on obtient aisment la relation t qu+il fau'rait ensuite +inverser+ pour avoir

t . @n effet) !1++& se recrit # ddt

2

=m

2[?0?p ,eff ] 'onc

dt

d=

2

m[?0?p , eff]'+oM) on en ''uit t par intgration. @nsuite) 'e t ) on ''uit t en utilisant !2&.


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avec ? +c =1

2m20 .

Si ?0?p , eff min ) il n+y a pas 'e solutions.

Si ?0=?p , eff min ) il y a une seule solution qui correspon' # t=0=(te . (atra:ectoire est 'onc un cercle 'e centre O et 'e rayon 0 . @n utilisant la conservation 'umoment cintique !quation !2& ou !2+&&) on en ''uit que t=(te . Par consquent) le

point matriel a un mouvement circulaire uniforme.

Si ?p ,eff min?00 ) la tra:ectoire est telle que reste en permanence compris entremin et ma! . @n ces 'eu= points) ? +c =0 et 'onc min=ma!=0 . (a

valeur 'e voluant 'ans un intervalle fini) le point matriel reste 'istance finie 'ucentre O. (e mobile reste 'onc 'istance finie et 'crit sa tra:ectoire 'e manire prio'ique!par e=emple une ellipse&. (a 'istance min s+appelle la 'istance minimale '+approc"e.

Si ?070 ) toutes les valeurs 'e telles que min sont possibles. ,l n+y a 'onc pas'e limite suprieure pour . On parle 'e tra:ectoire 'e 'iffusion.


ma

min

0p3e$$ min

0p3e$$

4 )

2

562m 2

0p4 )

05

min

0p3e$$

4 )

2

562m 2

0p4 )

05


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3) 'ouement d"une particule soumise / un champ de $orcescentrales rpulsi$ 7 di$$usion de #uther$ord :

On consi're 'onc que la force : est rpulsive # :=:u=

d?p

d u avec :0 et'onc la fonction ?p est une fonction 'croissante 'e . P"ysiquement) pour " )l+nergie potentielle reste finie et est prise nulle.


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(a 'istance b entre l+a=e O= 'fini comme parallle la vitesse v0 et la particule s+appelle leparamtre '+impact. On note $0 le point 'e la tra:ectoire qui se trouve en !=" .@n cepoint) la vitesse est v0 . (a particule interagit avec le noyau atomique via la force '+interactionlectromagntique. Cette force est circulation conservative) on en ''uit que l+nergie mcaniquetotale est conserve. Cette force est une force centrale 'onc le moment cintique est aussi conserv.(eurs valeurs en un point quelconque 'e la tra:ectoire situ la 'istance 'u noyau) au point

$0 et au point P !point 'e la tra:ectoire le plus proc"e 'e O& situ la 'istance > 'e O sont'onc i'entiques #

9?0=12m v0

2?p0=12

m v2?p

B=mbv0=m2 =m>v>

(e point P se caractrise en effet par le fait que) en ce point) le vecteur vitesse et le vecteur

position sont ort"ogonau=. ,ci) l+nergie potentielle s+crit # ?p=1

3,0

2 e2

=

. Sac"ant que

?p0=0 ) on peut en ''uire > partir 'u systme prc'ent # >=

2?c0b2

2

3?c02

oM ?c0=1

2m v02

. > est la 'istance minimale '+approc"e. @n fait) 8ut"erfor' a calcul et

mesur la 'viation 'u faisceau 'e particules lgres) en 111 # cotan2

=bmv0

2

. Ainsi) en

mesurant l+angle 'e 'viation ) on en ''uit et 'onc la c"arge 'u noyau.

III Application la force de gra*itation - Mou*ement desplantes :

1) Position du problme :

On s+intresse 'ans cette partie au mouvement 'es plantes autour 'e leur toile. (a force

'+interaction entre une plante et son toile est la force 'e gravitation qui est une force centraleattractive. 8sou're le problme 'u mouvement 'es plantes revient galement rsou're celui '+unlectron autour 'u noyau atomique tant 'onn que la force 'e gravitation et la forcelectromagntique sont 'e la mGme forme et toutes les 'eu= en K 1$r2L.

On assimile les plantes 'es ob:ets ponctuels car la 'istance entre une plante et son Soleilest trs gran'e 'evant la taille 'e la plante. Par e=emple) la 'istance 9erre-Soleil est 'e l+or're 'e140000m alors que le rayon terrestre est 'e 6300m.

On se place 'ans le rfrentiel 'e Copernic oM le Soleil est fi=e. @n effet) la masse 'u Soleil)mSR2.100g est trs suprieure celle 'es autres plantes) 'e la 9erre par e=emple) m9R6.1023g.



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2) Coniques :

a) $finition gomtri#ue :

(a parabole est le lieu 'es points qui'istants '+un point fi=e 7 appel foyer et '+une 'roite'irectrice < fi=e.

(+ellipse est le lieu 'es points 'ont la somme 'es 'istances 'eu= points fi=es 7 et 7+ !lesfoyers& est constante # $:$: +=2a . On peut ainsi tracer aisment une ellipse en fi=ant'eu= piquets en 7 et 7+ et en utilisant une ficelle 'e longueur 2a) a s+appelle le 'emi-gran'a=e 'e l+ellipse. Si 7 et 7+ sont confon'us) on obtient un cercle.

(+"yperbole est le lieu 'es points 'ont la 'iffrence 'es 'istances 'eu= points 7 et 7+ !lesfoyers& est constante # $:$: +=2a ) a s+appelle encore le 'emi-gran' a=e


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en coor'onnes polaires # l+quation 'e l+ellipse est # r= p

1ecosavec e1 .

relations entre les 'eu= systmes 'e coor'onnes #

p=b2

a=1e2a

c=e a

:&=: + & +=1ea= p

1eet :&+=&: +=1ea=

p

1e.

Si l+e=centricit est nulle) 7R7+RO) pRaRb) on a 'onc un cercle. On compren' alorsfacilement la signification 'u mot +e=centricit+.

c) %yperbole :

Ce cas correspon' e1 .

en coor'onnes cartsiennes # l+quation 'e l+"yperbole est!2

a2

"2

b2

=1 avec

a2b2=c2 et p=

b2

aavec O&=a . (es 'eu= asymptotes 'e la courbe ont pour

quations # "=b

a!


p

!" !*" * 8c=ea


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en coor'onnes polaires # l+quation 'e l+"yperbole est # r= p

1ecosavec e1 . (es

'eu= asymptotes correspon'ent l+angle 0 et 0 tels que cos0=1

e.

relations entre les 'eu= systmes 'e coor'onnes #

p=b2

a=1e2a=e21a

c=e a

:&=: + &+=e1a= p

1eet :&+=&: +=1ea=

p

e1=

p

1e.

d) &arabole :

Ce cas correspon' e=1 . ,l correspon' aussi au cas prc'ents avec a" .

en coor'onnes cartsiennes # l+quation 'e la parabole est "2 =2p= . On a O:=p

2.

,ci) le point A et le point O sont confon'us.

en coor'onnes polaires # l+quation 'e la parabole est # r= p

1cos! e=1 &.

relations entre les 'eu= systmes 'e coor'onnes # :&= p

1e=

p

2.


p

! 8


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3) ois de 9pler :

(es lois 'e pler !141-160& tablies autour 'e 1610 sont ''uites 'es observations 'e9yc"o >ra" !1436-1601& la fin 'u 5,mesicle et 'e lui-mGme #

#reloi : Les orbites des plantes sont des ellipses dont le 7oleil est un!oyer.

$meloi +loi des aires- : Le rayon vecteur issu du 7oleil balaye des airesales pendant des temps aux.

&meloi : Les carrs des temps de rvolution sont proportionnels auxcubes des rands axes des ellipses tra/ectoires.

4) !orce d"attraction :

A partir 'es lois 'e epler) nous allons nous livrer un petit e=ercice # retrouver l+e=pression'e la force 'e gravitation.

(a force est centrale # (a premire loi in'ique que la tra:ectoire est plane et 'onc ce plancontient le force : . (a 'eu=ime loi in'ique que la loi 'es aires est vrifies) 'onc lemoment cintique est constant) ce qui revient 'ire que le moment 'e la force par rapport auSoleil est nul) c+est 'ire que la force est centrale.

(a force varie en 1$r2 # ?ous allons 'montrer qu+ partir 'es lois 'e epler) l+nergiepotentielle varie ncessairement en 1$r et 'onc la force en 1$r2.

9 B0=m r2 =te 1

?0=12

mr2 2r2?p r=te 2

On montrera plus loin que l+quation '+une ellipse en coor'onnes polaires s+crit #

r= p

1ecosoM p et e sont 'eu= paramtres et e1 .

On peut montrer quedr

d=

er2 sinp

et ecos=p

r1 .

9 1:=B0

m r2

2:?0?p r=12

mr2 ddt

2

dr

dddt

2

=12

mr2 dr

d2

ddt

2

Sac"ant que r2 dr

d2

=r3

p2

e212p

r ) on en ''uit que ?p r=

B02

mprte et 'onc la

valeur algbrique 'e la force # :r= B0

2

mpr

2.



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5) ,ature des tra%ectoires :

Cette partie est la rciproque 'u paragrap"e prc'ent # partir 'e la force 'e gravitation)

:ravitation=;

$m

r2u=

r2 u ) on va 'terminer la tra:ectoire et montrer que celle-ci peut Gtreune ellipse mais plus gnralement une conique1quelconque.

@n utilisant la relation fon'amentale 'e la 'ynamique et la conservation 'u moment

cintique) on obtient successivement # :=ma=m $rr2 ur=m $rr

B02

m2

r3 ur=m $r

B02

m2

r ur .

@n posant u=1

r) on a r=

B0

m

du

det $r=

B02

m2

u2 d2

u

d2. On en ''uit que l+quation

'u mouvement !formule 'e >inet& s+crit #

d2

ud2

u= mB0

2 =1p

qui 'finit le paramtre p. Cette quation 'iffrentielle a'met une solution 'e la forme

u=u0 cos01

p. On peut tou:ours s+arranger) en c"oisissant bien l+a=e polaire) pren're

u00 et mGme 0=0 . On pose e=pu0 . On en ''uit l+quation 'e la tra:ectoire #

r= p

1ecos

qui est l+quation '+une conique 'e paramtre p et '+e=centricit e.) ;raphe des ner+ies et ner+ie totale :

Connaissant la relation r ) on peut calculer aisment l+nergie totale 'e la plante. Au

& ) nous avons vu que :r= B0

2

mpr2

. Sac"ant que :r=

r2 ) l+nergie potentielle est 'onc

?p r=

r) avec =;$m ) rappelons-le. On 'oit ensuite calculer l+nergie cintique) en

utilisant la conservation 'u moment cintique) on obtient # ?cr= B0

2

mpr

B02 e21

2mp2

. 7inalement

l+nergie totale est 'onc # ?0=B0

2 e21

2mp2 =

12

e21

p. Par consquent)

9?0=;$m

2a si e1

?0=;$m

2a si e1

1 (e mot 'e conique vien 'u fait que cette courbe s+obtient par intersection entre un cJne et un plan. Suivant l+angleentre l+a=e 'u cJne et le plan) on obtien'ra un cercle) une ellipse) une parabole ou une "yperbole.



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oM a est le 'emi-gran' a=e.


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Chapitre )II : #ynamique d2un systme corps


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II Elements cintiques d2un systme corps :

1) ($initions :

On se place 'ans un rfrentiel ' ) une masse ponctuelle) m) anime '+une vitesse v se trouve au point A un instant 'onn. On consi're un point O quelconque 'e ce rfrentiel. (es

lments cintiques 'u point A sont #sa quantit 'e mouvement # p=m v

son moment cintique par rapport O # BO=O&mv=O&p

son nergie cintique # ?c=1

2m v2

9ou:ours 'ans ce mGme rfrentiel) on consi're maintenant ? masses ponctuelles) mi animes 'es vitesses v i se trouvant au= points &i un instant 'onn. Pour un tel systme) on'finit #

sa quantit 'e mouvement totale # >=4i

pi=4i

mi v i .

son moment cintique total # BO=4i

O&imi vi=4i

O&i pi

son nergie cintique totale # ?c=4i

12

mi v i2

Si ?R2) on a >= p1 p2=m1 v1 m2 v2 ) BO=O&1 m1 v1O&2 m2 v2 et

?c=12

m1 v1212

m2 v22 .

2) #$rentiel du centre de masse :

On suppose que le rfrentiel ' 'e 'part a 'es 'irections fi=es parallles au='irections 'u rfrentiel 'e Copernic. (e rfrentiel 'u centre 'e masse '+un systme) 'j ) estle rfrentiel 'ont l+origine co;nci'e avec le barycentre 'u systme et 'ont les a=es ont 'es 'irectionsfi=es parallles au= 'irections 'u rfrentiel 'e Copernic. Ceci est sc"matis sur le 'essin suivantqui spare bien le mouvement 'e ce rfrentiel 'u centre 'e masse par rapport celui 'e l+assemble

'e points matriels. Par commo'it) l+assemble 'e points matriels est reprsente par un soli'e


9 (D


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continu qui correspon' la limite 9" .

Ce sc"ma est galement trs instructif car il montre qu+en regar'ant 'e prs) le mouvement'u marteau peut finalement Gtre 'compos en 'eu= #

le mouvement 'u centre 'e masse D reprsent par la ligne pointille.

le mouvement 'es parties constituant le marteau lui-mGme par rapport au centre 'e masse D.

Ce sc"ma s+applique galement au mouvement 'u couple 9erre-(une. @n effet) si onconsi're que la 9erre est reprsente par la partie mtallique 'u marteau et que la (une se trouveau bout 'u manc"e) le mouvement 'e l+ensemble k9erreX(une autour 'u Soleil peut-Gtre

'compos en # le mouvement 'u centre '+inertie 'e l+ensemble !en gros) le mouvement 'e la 9erreautour 'u Soleil& et le mouvement 'e la 9erre ou 'e la (une autour 'u centre '+inertie !en gros) la9erre semble immobile et la (une tourne autour 'e la 9erre&. Cette 'composition s+avrefinalement trs naturelle pour 'crire le mouvement comple=e 'e 'eu= ob:ets ou '+un soli'ematriel massif.


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@nfin) 'e 4i

miO;=4i

miO&i ) on ''uit) en 'rivant) que #>=4i

miv;=4i

mi v i

3) Premier thorme de 9oeni+ :

Ce t"orme permet '+e=primer le moment cintique en un point O quelconque. (e moment

cintique total s+crit BO=4i

O&imi vi . ?ous allons 'terminer BO 'ans le rfrentiel

poly cours me ca

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