polinômios/ teoria e questões concurso
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Polinômios
nnnn axaxaxaxP ...2
21
10
Definição
Soma de monômios
naaaa ,... , , , 210Números Complexos
Coeficientes
... ,2 ,1 , nnn Expoentes Números Naturais
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nnnn axaxaxaxP ...2
21
10
Variável Pode assumir valores Complexos
na Termo independente de x
x
Polinômios
Definição
Soma de monômios
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78 510 xxxP
52
353 78
xxxxP
22
354 23
xixxxP
Polinômios
São Polinômios
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254 23 xxxxP
Valor Numérico
?2 P
2225242 23 P
2245842 P
2220322 P
562 P
Polinômios
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1P Fornece o valor da soma dos coeficientes do polinômio P(x).
0P Fornece o valor do termo independente de x.
Polinômios
Valor Numérico
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234 16164 xxxxP
16164 Soma
36Soma
22 42 xxxP Qual a soma dos
coeficientes do polinômio P(x).
Polinômios
Valor Numérico
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22 14121 P
2421 P
3661 2 P Soma dos coeficientes
22 42 xxxP
Polinômios
Valor Numérico
Qual a soma dos coeficientes do polinômio
P(x).
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352 xxP
125
125150608 23 xxxxP
Qual o valor do termo independente
de x.
Termo independente de x
Polinômios
Valor Numérico
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35020 P
3500 P
350 P
1250 P
Termo independente de x
Polinômios
Valor Numérico
352 xxPQual o valor do
termo independente de x.
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0P
654 xxxP
62522 4 P
610162 P
02 P
Raiz de um polinômio
é raiz do polinômio P(x).
2 é raiz do polinômio P(x)
Polinômios
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422 2 iiP
442 2 iiP
02 iP
4142 iP
0P é raiz do polinômio P(x).
42 xxP
2i é raiz do polinômio P(x)
Raiz de um polinômio
Polinômios
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0...000 21 nnn xxxxP
Não se define grau para um polinômio nulo
Polinômio Nulo
Polinômios
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nnnn axaxaxaxP ...2
21
10
00 a
nPgr
Grau de um Polinômio
Polinômios
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1536 234 xxxxxP
124 xxP
12xP
4Pgr
1Pgr
0Pgr
Grau de um Polinômio
Polinômios
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yx2623yx
x7
5Pgr
Observação:
Monômio de grau 3: (2 + 1)
Monômio de grau 5: (3 + 2)
Monômio de grau 1
xyxyxxP 76 232
Grau de um Polinômio
Polinômios
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xA
xBxA Idênticos
xB
, BA C
Identidade polinomial
Polinômios
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115204 323452 xnxxxxmxP
1752512 2345 xxxxqxxB
1) Se e 1 152 4 32352 xnxxxmxP
qenm ,
1752512 2345 xxxxqxxB
são polinômios idênticos, então a soma dos valores positivos de é:
Polinômios
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05
71
1243
2
q
n
m 1242 m162 m4m
4m
713 n
83 n
2n
05 q
5q
524 qnm
11 qnm
Polinômios
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Operações com
Monômios e Polinômios
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Adição de Monômios
Devemos efetuar a soma ou subtração dos coeficientes numéricos entre os
monômios semelhantes. Ex:
= 12x2 – 2ay3
5x2 – 3ay3 + 7x2 + ay3
5x2 + 7x2 – 3ay3 + ay3
Monômios semelhantes Monômios semelhantes
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Multiplicação de Monômios
O produto de monômios é obtido da seguinte forma:
• em seguida, multiplicam-se as partes literais.
Ex: (4ax2) . (–13a3x5) =
(4) . (–13) . (a1 . a3) . (x2 . x5) =
– 52a4x7
• primeiro, multiplicam-se os coeficientes numéricos;
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Lembrando...
Um produto de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos a base e adicionamos os expoentes.
am.an = am+n
Ex: x4.x9 = x4+9 = x13
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Divisão de Monômios
A divisão de monômios é obtida da seguinte forma:
• primeiro, dividem-se os coeficientes numéricos;
• em seguida, dividem-se as partes literais.
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Lembrando...
Um quociente de potências de mesma base pode ser escrito na forma de uma única potência: conservamos a base e
subtraímos os expoentes.
am:an = am–n
Ex: x12 : x8 = x12–8 = x4
*com a ≠ 0
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Adição de Polinômios
Efetue a soma algébrica dos monômios semelhantes. Ex:
(4x2 – 7x + 2) + (3x2 + 2x + 3) – (2x2 – x + 6) =
= 4x2 – 7x + 2 + 3x2 + 2x + 3 – 2x2 + x – 6 =
eliminando os parênteses
= 4x2 + 3x2 – 2x2 – 7x + 2x + x + 2 + 3 – 6 =
agrupando os termos semelhantes
= 5x2 – 4x – 1 forma reduzida * Não esqueça da regra de sinais!
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Multiplicação de Monômiopor Polinômio
A multiplicação de um monômio por um polinômio é feita multiplicando-se o monômio por cada termo do polinômio.
= 8x5y3 – 20x3y7
Ex:
4x2y3 . (2x3 – 5xy4) =
= 4x2y3 . 2x3 + 4x2y3 . (– 5xy4 ) * Não esqueça da
regra de sinais!
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A multiplicação de um polinômio por outro polinômio é feita multiplicando-se cada termo de um deles pelos termos do outro e, sempre que possível, reduzindo os termos semelhantes. Ex:
(a + b) . (c + d) =
ac + ad + bc + bd
Multiplicação de Monômiopor Polinômio
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Divisão de Polinômio por Monômio
Efetuamos a divisão de um polinômio por um monômio fazendo a divisão de cada termo do polinômio pelo monômio.
Ex:
(18x3 – 12x2 + 3x) : (3x) =
= (18x3 : 3x) – (12x2 : 3x) + (3x : 3x)
= 6x2 – 4x + 1
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Valor Numérico de uma
Após obtida a expressão algébrica, basta substituir cada incógnita pelo valor estabelecido pelo exercício. Ex:
3x2 – 2x + 7y + 3x – 17y
3x2 + x – 10y
Determine o valor numérico da expressão abaixo para x = 2 e y = 3
1º reduzimos os termos semelhantes
Expressão Algébrica
2º substituímos os valores de x = 2 e y = 3
3.22 + 2 – 10.3
3.4 + 2 – 3012 + 2 – 30 = - 16
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Propriedades:
2) Se b for raiz de P(x) = 0 , então P(x) é divisível por x - b .
3) Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0 , então o conjugado a - bi também será raiz .
1) Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes .
2x4 +x³ + 6x² + 2x – 1 = 0
Grau da equação ( Representa o número de raízes)
Polinômios
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4) Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k .
Exemplo: x2 - 8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x1 = x2 = 4). Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois.
Propriedades:
Polinômios
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Lembre que quando: a.x³ + bx² + cx + d = 05) Se a = 1 não há raízes fracionárias.
6) Se d = 0 x1 = 0 (Lembre a quantidade de raízes nulas é determinada, pelo menor expoente da incógnita.) Ex: 2x7+3x4 + 2x² = 0
Polinômios
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Há duas raízes nulas
7) Se a + b + c + d = 0 x1 = 1 é raiz.
Polinômios
Lembre que quando: a.x³ + bx² + cx + d = 05) Se a = 1 não há raízes fracionárias.
6) Se d = 0 x1 = 0 (Lembre a quantidade de raízes nulas é determinada, pelo menor expoente da incógnita.) Ex: 2x7+3x4 + 2x² = 0
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Relações de Girard
02 cbxax
a
bxx 21
a
cxx 21
Polinômios
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023 dcxbxax
a
bxxx 321
a
cxxxxxx 323121
a
dxxx 321
Relações de Girard
Polinômios
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Teorema do resto (divisor de 1º grau - d = ax + b)
P(x) ax + b
Q(x)R
P(x) = (ax + b) · Q(x) + R
Raiz do divisora
bx 1
RxQa
bP
0
Ra
bP
Polinômios
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P(x) ax + b
Q(x)R
0R
Ra
bP
Condição necessária para que P(x) seja divisível por ax + b.
0
a
bP
Teorema de D’alembert
Polinômios
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(UDESC 2006-1) O resto da divisão do polinômio
pelo binômio
Teorema do resto
111122 23 xxxxP
111122 23 xxxxP 5xxD é:
1511512525 23 P
1511251212525 P
1553002505 P
3013055 P
45 P
RP 5
Polinômios
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P(x) ax + b
Q(x)R
Grau n
Grau 1
Grau n – 1
Resto
...
...
Coeficientes de P(x)
Raiz do divisor
a
b
Coeficientes do polinômio a · Q(x)
Resto
Dispositivo Briot-Ruffini
Polinômios
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5673 23 xxxxP 2 xxD
2 3 – 7 6 5
21 x
3
Polinômios
Dispositivo Briot-Ruffini
![Page 41: Polinômios/ teoria e questões concurso](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102723/55be89cfbb61ebab768b481a/html5/thumbnails/41.jpg)
2 3
3
+ =
–1
– 7 6 5
Polinômios
5673 23 xxxxP 2 xxD21 x
Dispositivo Briot-Ruffini
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2 3
3
+ =
–1 4
– 7 6 5
Polinômios
5673 23 xxxxP 2 xxD21 x
Dispositivo Briot-Ruffini
![Page 43: Polinômios/ teoria e questões concurso](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102723/55be89cfbb61ebab768b481a/html5/thumbnails/43.jpg)
2 3
3
+ =
–1 4 13
– 7 6 5
Polinômios
5673 23 xxxxP 2 xxD21 x
Dispositivo Briot-Ruffini
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2 3
3 –1 4 13 Resto
Coeficientes do polinômio a · Q(x)
– 7 6 5
Polinômios
5673 23 xxxxP 2 xxD21 x
Dispositivo Briot-Ruffini
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2 3 – 7 6 5
3 –1 4 13 Resto
Coeficientes do polinômio a · Q(x)
Grau do polinômio Q(x) é uma unidade menor que o grau do polinômio P(x)
xQaquociente 431 2 xxxQ
43 2 xxxQ
13 Rresto
Polinômios
5673 23 xxxxP 2 xxD21 x
Dispositivo Briot-Ruffini
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(UDESC) Sobre todas as raízes da equação afirma-se que essa equação possui:04423 xxx
01412 xxx
04423 xxx
0142 xx
042 x 01x42 x
4xix 2
1x
iiS 2,2,1 uma raiz real e duas complexas.
Polinômios
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Teorema das raízes complexas
010144 234 xxxx 11 x
–1 1 –4 –1 14
1 –5 4 0 Resto
Grau n – 2
01062 xx
1012 x
10–1
1 –6 10 0 Resto
Polinômios
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01062 xxacb 42
4036 4
a
bx
2
2
46 x
2
26 ix
ix 3
ix 33
ix 34
Polinômios
Teorema das raízes complexas
010144 234 xxxx 11 x12 x
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