PolígonoDe Wikipedia, la enciclopedia libre

Un polígono es una figura geométrica plana limitada por al menos tres segmentos rectos consecutivos no alineados, llamados lados. Así, el hexágono es un polígono de seis lados.

La palabra polígono procede del griego antiguo πολύγωνον (polygōnon), de πολύς, "muchos" y γωνία, "ángulo". BUA Ya que un polígono P es una región cerrada y limitada, la frontera de P es un ciclo de aristas, donde dos aristas de tal ciclo comparten un vértice.

Polígono simple.

Un polígono se denomina simple si dos de sus aristas no consecutivas no se intersecan. Además figuran los polígonos ortogonales, también conocidos como isotéticos o rectilíneos, que son aquellos que poseen los mismos elementos que conforman los polígonos simples: un conjunto de vértices y aristas, pero con la singular característica de que sus aristas son paralelas a cualquiera de los ejes cartesianos X e Y.

Suponiendo que n es el número de lados, el número de diagonales trazadas en el interior de un polígono serán n(n − 3) / 2.

Existe también la posibilidad de configurar polígonos utilizando más de tres dimensiones. Así, para tres dimensiones se denominan poliedros, en cuatro dimensiones, polícoros, y en n dimensiones politopos.

Tipos de polígonos

PolígonoPolígono simple Polígono convexo Polígono regular Polígono irregular Polígono cóncavo Polígono complejo

Poligonal Se denomina poligonal al conjunto ordenado de segmentos coplanarios tales que, el extremo de uno de ellos coincide con el origen del segmento que le sigue.

Área de un polígono Para calcular el área de un polígono, existen las siguientes fórmulas:

Siendo:

A = áreal = longitud de uno de los ladosb = baseh = alturaD = diagonal mayord = diagonal menorP = perímetroa = apotema

Se aplican las siguientes fórmulas:

Polígono regular:

Triángulo:

Rectángulo:

Cuadrado: (siendo un caso particular de , pues )

Rombo:

Romboide:

También, el área de un polígono regular puede ser calculada de la siguiente forma:

Suponiendo que:

A = árean = número de ladosl = longitud de uno de los ladosa = apotemaSe cumplen las siguientes relaciones:

polígonos figuras cerradas, su superficie es plana encerrada dentro de un contorno formado por segmentos rectos unidos en sus extremos y no se corta asi misma.

Polígono

Nombre Númerode lados

no existe 1no existe 2triángulo 3cuadrilátero 4pentágono 5hexágono 6heptágono 7octágono 8eneágono 9decágono 10endecágono 11dodecágono 12tridecágono 13tetradecágono 14pentadecágono 15hexadecágono 16heptadecágono 17octodecágono 18eneadecágono 19isodecágono 20triacontágono 30tetracontágono 40pentacontágono 50hexacontágono 60heptacontágono 70octacontágono 80eneacontágono 90hectágono 100chiliágono 1.000miriágono 10.000megágono 1.000.000

Polígono simpleDe Wikipedia, la enciclopedia libre

Un polígono simple hexagonal.

Un polígono complejo pentagonal.

Un polígono simple es un polígono cuyos lados no adyacentes no se intersectan. Un polígono simple divide al plano geométrico que lo contiene en dos regiones: la región interior al polígono y la región exterior a él. Un polígono que no es simple se denomina polígono complejo.

Polígonos simples en geometría computacional [editar]

En geometría computacional existen varios problemas importantes donde una de las condiciones iniciales dadas es un polígono simple:

Determinar si un punto yace en el interior de un polígono simple; Determinar el área contenida en un polígono simple; Triangulación de polígonos: dividir un polígono simple en triángulos; Unión de polígonos: hallar el polígono simple que contenga el área contenida en

cualesquiera de otros dos polígonos simples; Intersección de polígonos: hallar el polígono o polígonos simples que contengan

el área común a un par de polígonos simples; Determinar la envoltura convexa de un polígono simple.

Polígono convexoDe Wikipedia, la enciclopedia libre

Un polígono convexo decagonal.

Un polígono cóncavo hexagonal. Observe que uno de sus vértices apunta hacia el interior de la figura.

Un polígono convexo es un polígono en el que todos los ángulos interiores miden menos de 180 grados ó π radianes. En un polígono convexo, todos los vértices "apuntan" hacia el exterior del polígono. Un polígono que no cumple las condiciones para ser clasificado como convexo se denomina polígono cóncavo.

Cualquier recta que pase por un lado de un polígono cónvexo deja a todo el polígono completamente en uno de los semiplanos definidos por la recta.

Todos los triángulos son polígonos convexos. Los polígonos estrellados, por su parte, no lo son, esto es, son polígonos cóncavos.

Polígono regularDe Wikipedia, la enciclopedia libre

Un polígono regular es un polígono en el que todos los lados tienen la misma longitud y todos los ángulos interiores son de la misma medida.

Veamos las distintas características de los polígonos regulares, empleando la figura de un Hexágono pera representar un polígono regular genérico.

Una característica de los polígonos regulares, es que se pueden trazar inscritos en una circunferencia que tocará cada uno de los vértices del polígono. A medida que crece el número de lados de un polígono regular, su apariencia se asemeja cada vez mas a la de un círculo.

En un polígono regular podemos distinguir:

Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono. Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos. Centro, C: El punto central equidistante de todos los vértices. Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus vértices. Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del polígono. Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos. Perímetro, P: es la suma de todos sus lados.

Propiedades

Dadas las características de los polígonos regulares, podemos diferenciar algunas propiedades que se dan siempre, y que son de gran utilidad para determinar sus propiedades, y dimensiones geométricas.

Los polígonos regulares son equiláteros; todos sus lados tienen la misma longitud

Todos los ángulos interiores de un polígono regular tienen la misma medida, es decir, son congruentes

El centro de un polígono regular es un punto equidistante de todos los vértices del polígono

Los polígonos se pueden dividir en triángulos cuyos lados son el lado del polígono y los dos segmentos que unen el centro y los vértices (radios)

El apotema es el segmento que une el centro y la mitad de cada lado del polígono

El radio es el segmento que une el centro y cada vértice

Los ángulos de un polígono regular

Entre los ángulos existentes en un polígono regular, podemos ver: el Ángulo central, Ángulo interior y Ángulo exterior.

Ángulos centrales

Todos los ángulos centrales de un polígono regular son congruentes y su medida α puede obtenerse a partir del número de lados n del polígono

en grados

en radianes

Ángulos interiores

El Ángulo interior, , de un polígono regular mide:

en grados

en radianes

La suma de los ángulos interiores, , de un poligono regular es de:

en grados

en radianes

Ángulos exteriores

El Ángulo exterior, , de un polígono regular es de:

en grados

en radianes

La suma de los ángulos exteriores, , de un polígono regular es:

en grados

en radianes

Como puede verse la suma de los ángulos exteriores de un polígono, y de un polígono regular en particular, mide una circunferencia completa, independientemente del numero de lados.

A esta conclusión se podía llegar percatándose de que:

dado que todos los ángulos interiores de un triángulo suman 180 grados, que resulta:

Por otro lado al ser ángulos suplementarios tenemos:

por tanto, en un polígono regular el ángulo central y el exterior miden lo mismo:

y habiendo el mismo numero de ángulos centrales y exteriores en un polígono, su suma también es la misma:

que es una circunferencia completa, independientemente del numero de lados, esta conclusión es valida también para los polígonos no regulares.

Galería de polígonos regulares

Triángulo equilátero (Triángulo regular).

Cuadrado (cuadrilátero regular). Pentágono regular. Hexágono regular.

Heptágono regular. Octógono regular. Eneágono regular. Decágono regular.

Endecágono regular. Dodecágono regular. Tridecágono regular.

Tetradecágono regular.

Área de los polígonos regulares

Para calcular el área, A, de un polígono debemos multiplicar el perímetro, P, por el apotema, a, y dividido entre dos. Lo que se resume como:

Partiendo del triángulo que tiene por base un lado,L, del polígono y altura su apotema,a , el area de este triángulo, es:

Un polígono de n lados, tiene n de estos triángulos, por lo tanto el area del polígono sera:

esto es:

Sabiendo que la longitud de un lado,L, por el número,n, de lados es el perímetro,P , tenemos:

Area de un polígono, conociendo el número de lados y el radio

Un polígono queda perfectamente definido por su número de lados n, y el radio r, por tanto podemos determinar cual es su área, a la vista de la figura, tenemos que:

donde el ángulo central es:

sabiendo que el área de un polígono es:

y sustituyendo el valor del lado y la apotema calculados antes, tenemos:

ordenando tenemos:

sabiendo que:

resulta:

o lo que ea lo mismo:

Con esta expresión podemos calcular el área del polígono, conociendo solamente el número de lados y su radio, lo que resulta útil en muchos casos.

Diagonales de un polinomio regular Como ya se ha dicho la diagonal de un polígono es el segmento que une dos vértices no contiguos, vamos a ver algunas características de estas diagonales.

Número de diagonales

Para determinar el número de diagonales Nd, de un polinomio de n vértices realizaremos el siguiente razonamiento:

De un vértice cualesquiera partirán (n – 3) diagonales, donde n es el número de vértices, dado que no hay ningún diagonal que le una consigo mismo ni con ninguno de los dos vértices contiguos.

Esto es valido para los n vértices del polinomio. Una diagonal une dos vértices, por lo que aplicando el razonamiento anterior

tendríamos el doble de diagonales de las existentes.

Según el razonamiento tendremos que:

Longitud de la diagonal más pequeña

La diagonal más pequeña de un polígono regular es la que une dos vértices alternos, para determinar su longitud, partimos del ángulos central y del radio, el radio que pasa por el vértice intermedio, corta a la diagonal en el punto A, este radio y la diagonal son perpendiculares en A.

Esto es el triángulo VAC es rectángulo en A, por tanto:

que resulta:

de donde deducimos que:

Sabiendo el valor del ángulo central:

La diagonal más pequeña de un polígono regular, solo depende del radio y del numero de lados, siendo tanto mayor cuanto mayor sea el radio y disminuyendo de longitud cuando aumenta el número de lados del polígono.

Polígono convexoDe Wikipedia, la enciclopedia libre

Un polígono convexo decagonal.

Un polígono cóncavo hexagonal. Observe que uno de sus vértices apunta hacia el interior de la figura.

Un polígono convexo es un polígono en el que todos los ángulos interiores miden menos de 180 grados ó π radianes. En un polígono convexo, todos los vértices "apuntan" hacia el exterior del polígono. Un polígono que no cumple las condiciones para ser clasificado como convexo se denomina polígono cóncavo.

Cualquier recta que pase por un lado de un polígono cónvexo deja a todo el polígono completamente en uno de los semiplanos definidos por la recta.

Todos los triángulos son polígonos convexos. Los polígonos estrellados, por su parte, no lo son, esto es, son polígonos cóncavos.

Un polígono simple es un polígono cuyos lados no adyacentes no se intersectan. Un polígono simple divide al plano geométrico que lo contiene en dos regiones: la región interior al polígono y la región exterior a él. Un polígono que no es simple se denomina polígono complejo.

Polígonos simples en geometría computacional

En geometría computacional existen varios problemas importantes donde una de las condiciones iniciales dadas es un polígono simple:

Determinar si un punto yace en el interior de un polígono simple; Determinar el área contenida en un polígono simple; Triangulación de polígonos: dividir un polígono simple en triángulos; Unión de polígonos: hallar el polígono simple que contenga el área contenida en

cualesquiera de otros dos polígonos simples; Intersección de polígonos: hallar el polígono o polígonos simples que contengan

el área común a un par de polígonos simples; Determinar la envoltura convexa de un polígono simple.