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Poliedros Teorema de Euler no Plano Poliedros Regulares Volume de S´ olido Poliedros, Volume e Principio de Cavallieri

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Poliedros Teorema de Euler no Plano Poliedros Regulares Volume de Solido

Poliedros, Volume e Principio de Cavallieri

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Poliedros Teorema de Euler no Plano Poliedros Regulares Volume de Solido

O resultado central deste capıtulo e o Teorema de Euler. Seuenunciado, por sua beleza e simplicidade, costuma fascinar osalunos quando tomam contato com ele pela primeira vez:

V − A + F = 2.

A observacao do resultado em desenhos de poliedros ou emobjetos do cotidiano e estimulante e, sobretudo, intrigante.Porque sempre ocorre isso? Na verdade, a relacao de Eulernao e verdadeira para todos os poliedros de acordo com nossadefinicao. Mas, para os poliedros convexos ela e verdadeira.Em contextos mais gerais, onde inclusive se adota umadefinicao de poliedro menos restritiva que a nossa, o valor deV − A + F e chamado de caracterıstica do poliedro.

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O Teorema de Euler foi descoberto em 1758. Desde entao,diversas demonstracoes apareceram na literatura e algumascontinham falhas (como a de Cauchy), que foram descobertasmuitos anos mais tarde. Essas falhas eram devidas a falta deprecisao na definicao de poliedro. Mesmo Euler nunca sepreocupou em definir precisamente essa palavra. Ademonstracao que mostraremos aqui para poliedros convexossegue quase integralmente a que foi publicada na RPM no. 3(1983) pelo professor Zoroastro Azambuja Filho.

Teorema(Teorema de Euler) Em todo poliedro convexo com A arestas,V vertices e F faces, vale a relacao

V − A + F = 2.

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Comentarios

E facil encontrar exemplos de poliedros nao convexos quesatisfazem a relacao de Euler. Por exemplo, se umpoliedro P nao convexo puder ser colocado em umaposicao de modo que sua sombra seja um polıgono ondecada um de seus pontos seja sombra de no maximo doispontos de P.Todas as relacoes que encontramos sao apenascondicoes necessarias. Isto quer dizer que nao basta quetres numeros A,V e F satisfacam a elas para que se tenhacerteza da existencia de um poliedro com essascaracterısticas.

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Consideremos entao uma regiao R do plano dividida em outrasregioes justapostas como mostra a figura a seguir.

O conjunto de arestas desta figura divide o plano em 5 regioes,uma delas ilimitada. Se chamamos de F o numero de regioesque o conjunto de arestas divide o plano, A o numero dearestas e V o numero de vertices, temos que:

F − A + V = 5− 7 + 4 = 2

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Cada regiao (seja R ou uma da decomposicao) e limitada porpelo menos duas arestas e um vertice e um ponto comum apelo menos duas arestas. Devemos enfatizar que aqui, o termoaresta nao significa um segmento de reta mas sim qualquercurva contınua, sem auto-intersecoes, que liga um vertice aoutro vertice. Devemos ainda exigir (e isso e muito importante)que nenhuma regiao fique completamente dentro de outra.Assim, decomposicoes como as que mostramos abaixo estaoproibidas.

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TeoremaConsideremos plano dividido em F regioes (sendo umailimitada), atraves de A arestas que concorrem em V vertices,nas condicoes descritas acima. Temos entao que:

V − A + F = 2.

Prova. Vamos fazer a prova por inducao no numero F deregioes. Observe que a formula V − A + F = 2 vale no casosimples em que apenas um polıgono de n lados. Neste caso,

A = V = n;F = 2.

Vamos agora mostrar que se a relacao de Euler vale para umadecomposicao do plano em F regioes, entao ela ainda valepara uma decomposicao em F + 1 regioes.

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Uma determinada decomposicao pode ser construıda poretapas onde, em cada uma delas, uma nova regiao eacrescentada na regiao ilimitada das anteriores. Consideremosentao uma decomposicao do plano em F regioes atraves de Aarestas que concorrem em V vertices, satisfazendo a relacaode Euler. Acrescentamos agora uma nova regiao contida naregiao ilimitada das regioes anteriores, desenhando umasequencia de arestas ligando dois vertices do contorno dadivisao anterior. Se acrescentamos r arestas, entaoacrescentamos r − 1 vertices e uma nova regiao. Temos que arelacao de Euler permanece valida porque

2 = V − A + F = (V + r − 1)− (A + r) + (F + 1).

o que conclui a demonstracao.

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Tomemos um poliedro convexo P e uma esfera S que ocontenha. A partir de um ponto interior ao poliedro, projetamosP sobre S como mostra a figura a seguir.

A funcao f : P → S e definida da seguinte forma. Sendo O umponto interior a P, para cada ponto X ∈ P, definimos f (X )

como o ponto de intersecao da semirreta−→OX com S. A funcao

f e contınua (o que significa que pontos proximos de P saolevados em pontos proximos de S) e sua inversa f−1 : S → P etambem contınua.

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Vemos agora a esfera dividida em regioes limitadas por arcosde circunferencia (ou simplesmente linhas). Chamando de no aprojecao de cada vertice temos cada regiao limitada por pelomenos 3 linhas e tambem cada no como extremidade de pelomenos 3 linhas.

E claro que para as linhas, regioes e nos da esfera S vale arelacao de Euler, porque ela ja era valida em P.

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Tomemos agora um ponto N interior a uma regiao de S, umplano P perpendicular ao diametro de S que contem N e umafuncao F : S − {N} → π, tal que para cada ponto Y ∈ S − {N},F (Y ) e a intersecao da semirreta

−→NY com P.

A aplicacao F e chamada projecao estereografica.

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Se o poliedro original P tinha F faces, V vertices e A arestasvemos agora o plano π dividido em F regioes por meio de Alinhas que se encontram em V nos. Por comodidade, as linhaspodem ser chamadas de arestas os nos de vertices e asregioes de faces. E claro que das F regioes, uma e ilimitadaporque e projecao da regiao de S que contem o ponto N, masrelacao de Euler continua valida. A figura obtida em π pode seragora continuamente deformada mas a relacao de Euler semantem inalteravel

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As transformacoes que fizemos sao equivalentes a imaginarum poliedro de borracha e infla-lo injetando ar ate que setransforme em uma esfera. Em seguida, a partir de um furofeito em uma das regioes, estica-lo ate que se transforme emum plano. Isto significa que o Teorema de Euler nao e umteorema de Geometria, mas sim de Topologia. Nao importa seas faces sao planas ou nao, ou se as arestas sao retas ou nao.Tudo pode ser deformado a vontade desde que essastransformacoes sejam funcoes contınuas cujas inversas sejamtambem contınuas (chamadas homeomorfismos), ou seja, paracada transformacao que fizermos por uma funcao contınua,deveremos poder voltar a situacao original por meio de umaoutra funcao tambem contınua.

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E considerado que a primeira mencao formal aos grafos foifeita por Leonhard Euler em 1736 e tratava sobre o problemadas Sete Pontes de Konigsberg:O problema e baseado na cidade de Konigsberg (territorio daPrussia ate 1945, atual Kaliningrado, na Russia), que e cortadapelo Rio Pregolia, onde ha duas grandes ilhas que, juntas,formam um complexo que na epoca continha sete pontes.Discutia-se nas ruas da cidade a possibilidade de atravessartodas as pontes sem repetir nenhuma. Havia-se tornado umalenda popular a possibilidade da facanha quando Euler, em1736, provou que nao existia caminho que possibilitasse taisrestricoes.

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Euler usou um raciocınio muito simples. Transformou oscaminhos em retas e suas interseccoes em pontos, criandopossivelmente o primeiro grafo da historia. Entao percebeu queso seria possıvel atravessar o caminho inteiro passando umaunica vez em cada ponte se houvesse exatamente zero ou doispontos de onde saısse um numero ımpar de caminhos. Arazao de tal coisa e que de cada ponto deve haver um numeropar de caminhos, pois sera preciso um caminho para entrar eoutro para sair. Os dois pontos com caminhos ımparesreferem-se ao inıcio e ao final do percurso, pois estes naoprecisam de um para entrar e um para sair, respectivamente.Se nao houverem pontos com numero ımpar de caminhos,pode-se (e deve-se) iniciar e terminar o trajeto no mesmoponto, podendo esse ser qualquer ponto do grafo. Isso nao epossıvel quando temos dois pontos com numeros ımpares decaminhos, sendo obrigatoriamente um o inıcio e outro o fim.

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Este resultado tambem e considerado um dos primeirosresultados topologicos na geometria, o que demonstra que,desde o principio, a utilizacao de grafos esta estreitamenterelacionada a abstracao para resolucao de outros problemas.

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Poliedros Regulares

Desde a antiguidade sao conhecidos os poliedros regulares,ou seja, poliedros convexos cujas faces sao polıgonosregulares iguais e que em todos os vertices concorrem omesmo numero de arestas. O livro XIII dos “Elementos”deEuclides (cerca de 300 a.C.) e dedicado inteiramente aossolidos regulares e contem extensos calculos que determinam,para cada um, a razao entre o comprimento da aresta e o raioda esfera circunscrita. Na ultima proposicao daquele livro,prova-se que os poliedros regulares sao apenas 5: o tetraedro,o cubo, octaedro, o dodecaedro e o icosaedro.A historia e farta em exemplos de matematicos, filosofos eastronomos que tentaram elaborar teorias de explicacao douniverso com base na existencia desses 5 solidos regulares.Um exemplo e Kepler, 19 seculos depois dos “Elementos”deEuclides, tentou elaborar uma cosmologia com base nos 5poliedros regulares.

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Definicao

Um poliedro convexo e regular quando todas as faces saopolıgonos regulares iguais e em todos os vertices concorrem omesmo numero de arestas.

TeoremaExistem apenas cinco poliedros regulares convexos.

Prova. Para demonstrar, seja n o numero de lados de cadaface e seja p o numero de arestas que concorrem em cadavertice. Temos entao 2A = nF = pV , ou

A =nF2

e V =nFp.

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Substituindo na relacao de Euler, obtemos

V − A + F = 2,

nFp− nF

2+ F = 2

Donde,

F =4p

2p + 2n − pn.

Observe que a relacao acima se verifica apenas se odenominador e positivo, isto e,

2p + 2n − pn > 0,

ou seja2n

n − 2> p.

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Como p ≥ 3, chegamos a n < 6. As possibilidades sao entaoas seguintes:

n = 3 e portanto F = p6−p . Temos entao que p < 6 e

p = 3 e F = 4 (tetraedro)p = 4 e F = 8 (octaedro)p = 5 e F = 20 (icosaedro)

n = 4 e F = 2p4−p

p = 3 e F = 6 (cubo)

n = 5 e F = 4p10−3p

p = 3 e F = 12 (dodecaedro)

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Entenderemos por solido qualquer um dos seguintessubconjuntos do espaco: cilindro, cone, esfera, poliedro ouqualquer superfıcie fechada, simples (isto e, semauto-intersecao), mais a regiao delimitada por ela.Vale salientarmos que a ideia de solido que acabamos dedar e um conceito primitivo, ou seja, sem definicao, umavez que nao demos a definicao de superfıcie fechadasimples e nem tao pouco a definicao da regiao delimitadapor ela. Enfim, temos somente uma ideia.

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Um outro conceito que sera importante para o entendimentodos axiomas da funcao volume e o de solidos congruentes.

Definicao(Congruencia de solidos) Diremos que um solido S econgruente a um solido S0 e escrevemos S ≡ S0 se existe umafuncao bijetiva f : S → S0 tal que

d(A,B) = d(f (A), f (B)),

para quaisquer que sejam os pontos distintos A,B ∈ S.

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Axiomas da funcao volume1 Para todo solido S esta associado um numero real positivo

V (S).2 Se S e P sao solidos congruentes, entao

V (S) = V (P).

3 Se S e P sao solidos que se cortam apenas em pontos dasuperfıcie de cada um, entao:

V (S⋃

P) = V (S) + V (P).

4 O volume de um cubo P de aresta 1 e

V (P) = 1

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Seja f : IR→ IR uma funcao crescente tal que ∀n ∈ N,

f (nx) = nf (x), ∀x ∈ IR.

Entao ∀r ∈ IR, tem-se que

f (rx) = rf (x), ∀x ∈ IR.

Decorre do axioma 4 e do resultado acima que

O volume de um paralepıpedo P de dimensoes a,b e c e

V (P) = abc.

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Principio de CavalieriSejam S e S0 solidos. Se todo plano horizontal intercepta S eS0 segundo figuras com mesma area, entao S e S0 tem omesmo volume.

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O Princıpio de Cavalieri e de fato um teorema da teoria deIntegracao, que diz que:

TeoremaSeja P um solido de Cavalieri, com as secoes planas no planoπt tendo area igual a A(t), t ∈ [a,b]. Entao o volume de P,V (P) e dado por:

V (P) =

∫ b

aA(t)dt .

Na prova deste teorema, usamos a aproximacao do solido Ppor unioes de paralelepıpedos.

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O Principio de Cavalieri tambem tem uma versaobidimensional, que diz que

Principio de Cavalieri no PlanoSejam P e P0 duas figuras planares. Se toda reta horizontalintercepta P e P0 segundo segmentos com mesmocomprimento, entao P e P0 tem mesma area.

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No caso de triangulos, a recıproca deste fato e verdadeira:

TeoremaSejam T1 e T2 dois triangulos com a mesma area. Entao elessao equivalentes no sentido de Cavalieri, isto e, e possıvelencontrar uma direcao −→r , que apos um movimento rıgidoaplicado em um dos triangulos, as retas perpendiculares a −→rcortam T1 e T2 em segmentos de mesmo comprimento.

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Proposicao

O volume de um cilindro e igual ao produto da area da basepela altura.

Prova. Seja C um cilindro entre os planos α e β, de base B ealtura h. Suponha que B ⊂ α. Considere um paralelepipedo P,ratangular, cuja base R esta contida em α e tem a mesma areade B, cuja altura seja h e esteja no mesmo semi espaco(determinado por α) em que se encontra C.

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Considere um plano π paralelo a α, entre α e β. Pelo queprovamos, π

⋂C ≡ BF e π

⋂P ≡ R. Como B e R tem mesma

area, segue-se as secoes π⋂

C e π⋂

P tem mesma area.

Pelo principio de Cavalieri, o cilindro e o paralelepipedo temmesmo volume.

Como o volume de P e o produto da area de R por h, decorreque o volume de C e o produto da area de R por h e, como R eB tem mesma area, segue-se que o volume de C e o produtoda area de B por h.

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Volume de cones

Proposicao

Dois cones tem mesmo volume se tem mesma altura e suasbases tem mesma area.

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Temos que F ∼ π ∩ C com razao de semelhanca igual a hh′ e

F ′ ∼ π ∩ C′ com razao de semelhanca tambem igual a hh′

Como a razao entre as areas de duas figuras semelhantes eigual ao quadrado da razao de semelhanca segue-se que

A(F )

A(π ∩ C)=

(hh′

)2

=A(F ′)

A(π ∩ C′).

Ja que A(F ) = A(F ′) decorre que

A(π ∩ C) = A(π ∩ C′).

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Proposicao

O volume de um cone e igual a um terco da area da base pelaaltura.

Prova: Inicialmente, demonstraremos o resultado para o casodo cone ser um tetraedro.

Se em um tetraedro de vertices A,B,C e D, imaginamos a faceABC como base e o ponto D como vertice dessa piramide,vamos representa-lo por D − ABC. Ainda, o volume dessetetraedro sera representado por

V (D − ABC) = V (B − ACD) = · · · ,etc,

dependendo de qual face estamos considerando como base.Consideremos entao um prisma triangular cujas bases sao ostriangulos 4ABC e 4DEF , como mostra a figura:

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Seja A a area de 4ABC e seja h a altura do prisma. Comosabemos, seu volume e Ah. Vamos agora, dividir esse prismaem tres tetraedros: C − DEF , E − ADC e E − ABC,

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Sejam V1,V2 e V3 os volumes respectivos dos tres tetraedroscitados e seja V o volume do prisma. Pelo teorema anterior,sabemos que o volume de uma piramide nao se modificaquando, mantendo a base fixa, movemos o vertice em umplano paralelo a essa base. Tendo isto em mente podemosconcluir:

V1 = V (C−DEF ) = V (A−DBF ) = V (A−DBC) = V (D−ABC)

V2 = V (E − ADC) = V (B − ACF ) = V (F − ABC)

V3 = V (E − ABC)

Logo V1 = V2 = V3 e como V = V1 + V2 + V3, concluimos que

V (D − ABC) =V3

=Ah3,

onde A e a area da base do tetraedro.

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Para demonstrarmos que o resultado e valido para um cone Cqualquer e so considerarmos um tetraedro com mesma alturade C e cuja base tenha a mesma area da base de C. Oresultado decorre do que provamos.

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Corolario

O volume de um cone circular e igual a13πr2h, em que r e o

raio da base e h e a altura do cone.

CorolarioO volume de uma piramide, cuja base e um polıgono regular, e

igual a13

pah, em que p e a sao, respectivamente, osemi-perımetro e a medida do apotema da base e h e a alturada piramide

Prova. O resultado segue-se pelo fato da area de um polıgonoregular ser igual ao produto de seu semi-perımetro pelo seuapotema.

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Poliedros Teorema de Euler no Plano Poliedros Regulares Volume de Solido

Definicao

Apotema (ou o apotegma) de um polıgono regular e adesignacao dada ao segmento de reta que partindo do centrogeometrico da figura e perpendicular a um dos seus lados.Dado que a distancia mınima do centro a um dos lados emedida ao longo da apotema, esta designacao e por vezesusada, embora incorretamente, para designar essa distancia.

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Proposicao

O volume de uma esfera de raio R e igual a 43πR3.