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  • Universidade Federal do Rio de Janeiro

    COPPE: Programa de Engenharia de Produo

    rea de Pesquisa Operacional PO

    Escola Politcnica: Departamento de Engenharia Industrial

    PROCESSOS ESTOCSTICOS

    E

    TEORIA DE FILAS

    Prof. Virglio Jos Martins Ferreira Filho

  • COPPE Universidade Federal do Rio de Janeiro Programa de Engenharia de Produo (PEP)

    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 2

    NDICE

    1. PROCESSOS ESTOCSTICOS ....................................................................................... 4

    1.1. DESCRIO E DEFINIO DE PROCESSOS ESTOCSTICOS ........................... 4 1.1.1. PROCESSO ESTOCSTICOS CONTNUOS / DISCRETOS ............................ 4 1.1.2. DISTRIBUIES DE PROBABILIDADE ............................................................. 5 1.1.3. ALGUNS PROCESSOS ESTOCSTICOS IMPORTANTES .............................. 6

    1.2. CADEIAS DE MARKOV EM TEMPO DISCRETO ..................................................... 7 1.2.1. PROBABILIDADE DE TRANSIO EM VRIOS ESTGIOS ........................... 8 1.2.2. PROBABILIDADE DE 1 PASSAGEM E PRIMEIRO RETORNO ..................... 11 1.2.3. CLASSIFICAO DE ESTADO ........................................................................ 11 1.2.4. CADEIAS DE MARKOV ERGDICAS (PROBABILIDADES LIMITE) .............. 12 1.2.5. TEMPO MDIO DE 1 PASSAGEM / RECORRNCIA .................................... 15 1.2.6. CADEIAS DE MARKOV ABSORVENTES ........................................................ 17

    1.3. CADEIA DE MARKOV EM TEMPO CONTNUO ..................................................... 19 1.3.1. VISUALIZAO MATRICIAL ............................................................................ 22 1.3.2. TEMPO AT A PRXIMA TRANSIO ........................................................... 22

    1.3.3. PROBABILIDADE DE REGIME PERMANENTE t ............................... 24 1.3.4. PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE ...................................................... 24 1.3.5. PROCESSO DE POISSON ............................................................................... 26 1.3.6. TEMPO ENTRE EVENTOS CONSECUTIVOS ................................................. 28 1.3.7. SUPERPOSIO DE PROCESSOS DE POISSON ......................................... 28 1.3.8. DECOMPOSIO DE PROCESSOS DE POISSON ........................................ 28 1.3.9. TEOREMA DE KHINTHINE ............................................................................... 29

    1.4. EXERCICIOS PROPOSTOS DE PROCESSOS ESTOCSTICOS ........................ 30

    2. TEORIA DE FILAS .......................................................................................................... 39

    2.1. INTRODUO E CONCEITOS BSICOS .............................................................. 39 2.1.1. PORQUE FILAS SO ESTUDADAS ................................................................. 40 2.1.2. PRINCIPAIS CARACTERISTICAS DE UMA FILA ............................................ 40 2.1.3. NOTAO DE KENDALL .................................................................................. 42 2.1.4. TERMINOLOGIA E NOTAES ....................................................................... 43 2.1.5. RESULTADO DE LITTLE .................................................................................. 44 2.1.6. EXEMPLOS DE SISTEMAS DE FILAS REAIS ................................................. 45 2.1.7. A DISTRIBUIO EXPONENCIAL NA TEORIA DE FILAS.............................. 46 2.1.8. PROCESSO DE POISSON ............................................................................... 51

    2.2. FILAS MARKOVIANAS (PROCESSO DE NASCIMENTO E MORTE) ................... 52 2.2.1. SISTEMAS INFINITOS ...................................................................................... 52 2.2.2. SISTEMAS FINITOS .......................................................................................... 58

    2.3. MODELO DE ERLANG ............................................................................................ 60 2.3.1. SISTEMA M|EK|S ............................................................................................... 61 2.3.2. SISTEMA EK|M|1 ............................................................................................... 62

    2.4. REDES DE FILAS MARKOVIANAS ........................................................................ 63 2.4.1. SISTEMA ABERTO SEM REALIMENTAO .................................................. 64 2.4.2. SISTEMA FECHADO ......................................................................................... 66 2.4.3. SISTEMAS MISTOS OU ABERTOS COM REALIMENTAO ........................ 66 2.4.4. TEOREMA BURKE ............................................................................................ 67 2.4.5. FORMA PRODUTO NA REDE ABERTA .......................................................... 69

    2.5. A FILA M|G|1 ............................................................................................................ 71 2.5.1. MEDIDAS DE DESEMPENHO .......................................................................... 74

    2.6. Anexo ....................................................................................................................... 79 2.6.1. FUNO GERADORA DE MOMENTOS .......................................................... 79 2.6.2. PROPRIEDADES DA FUNO GERADORA DE MOMENTOS ...................... 81

  • COPPE Universidade Federal do Rio de Janeiro Programa de Engenharia de Produo (PEP)

    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 3

    2.6.3. TRANSFORMADA Z .......................................................................................... 83

    EXERCICIOS PROPOSTOS DE TEORIA DAS FILAS ...................................................... 88

    3. MOVIMENTO BROWNIANO ........................................................................................... 94

    3.1. PASSEIO ALEATRIO DISCRETO - DISCRETE TIME, DISCRETE STATE, RANDOM WALK ................................................................................................................. 94

    3.2. PASSEIO ALEATRIO COM DESVIO - DISCRETE RANDOM WALK WITH DEVIATION .......................................................................................................................... 95

    3.3. PASSEIO ALEATRIO COM TAMANHO DO PASSO VARIVEL - DISCRETE TIME CONTINUOS SPACE RANDOM WALK ................................................................... 96

    3.4. PROCESSO DE WIENER ........................................................................................ 97

    3.5. GENERALIZAO - PROCESSO DE WIENER COM DESVIO ............................. 98

    3.6. REPRESENTAO DO MOVIMENTO BROWNIANO POR PASSEIO ALEATRIO 99

    4. REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ............................................................................. 102

    5. LISTA DE EXERCICIOS RESOLVIDOS DE PROCESSOS ESTOCASTICOS ........... 104

    6. LISTA DE EXERCICIOS RESOLVIDOS DE TEORIA DAS FILAS .............................. 140

    7. Lista de Exerccios Complementares ........................................................................ 158

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 4

    1. PROCESSOS ESTOCSTICOS

    1.1. DESCRIO E DEFINIO DE PROCESSOS ESTOCSTICOS

    Segundo Lieberman, um processo estocstico uma coleo de variveis

    aleatrias indexadas ( tX ), onde t um ndice definido num conjunto T. Assim, um processo

    estocstico a descrio de um fenmeno aleatrio que varia com o tempo.

    O processo estocstico ...,, 321 XXX , pode representar a coleo das quantidades

    de carros que passam por um determinado ponto de uma rodovia, a evoluo dos nveis de

    estoque semanais de uma firma, o comportamento de uma partcula de gs, variaes nas

    qualidades dos produtos, variaes nos preos de aes, vendas numa determinada loja,

    evoluo do nmero de desempregados num determinado pas, etc.

    O processo estocstico ,...,, 321 YYY representa a evoluo populacional brasileira,

    desde o ano de 1998 como mostra a Tabela 1.1:

    Tabela 1.1 Evoluo populacional brasileira

    1998 1999 2000 2001 2002 ...

    Habitantes 161.790.311 163.947.554 169.590.693 172.385.826 174.632.960 ...

    (Fonte: Denatran)

    Os valores assumidos por um processo estocstico so denominados estados e o

    conjunto de todos os estados possveis dito espao de estados.

    1.1.1. PROCESSO ESTOCSTICOS CONTNUOS / DISCRETOS

    Os processos estocsticos podem ser classificados como:

    a) Em relao ao Estado:

    - Estado Discreto (cadeia): X(t) definido sobre um conjunto enumervel ou finito.

    - Estado Contnuo: caso contrrio.

    b) Em relao ao Tempo:

    - Tempo Discreto: t finito ou enumervel.

    - Tempo Contnuo: caso contrrio.

    Notao:

    - Processo em tempo contnuo: {X(t), t 0}

    - Processo em tempo discreto: {X(t), t = 1, 2, 3, ...}

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    Processos Estocsticos e Teoria de Filas 5

    Exemplos:

    - Estado Discreto e Tempo Contnuo: nmero de usurios em uma fila de banco

    em um determinado instante, colises entre duas partculas no intervalo de 2

    minutos;

    - Estado Contnuo e Tempo Contnuo: nvel de uma represa observado em um

    intervalo de tempo;

    - Estado Discreto e Tempo Discreto: nmero de mquinas avariadas no fim do dia,

    Quantidade de barris petrleo produzidas ao final do dia por uma determinada

    multinacional;

    - Estado Contnuo e Tempo Discreto: cotao de uma ao no fim do dia.

    1.1.2. DISTRIBUIES DE P