Poglavlje 3: PrebrojavanjaPoglavlje 4: Slucajne varijable

web stranica kolegija:https://www.pmf.unizg.hr/math/predmet/vje

Snjezana Lubura Strunjak i Nikolina Milincevic

Zagreb, 03. studenoga 2020.

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 1 / 27

3. Prebrojavanja

Zadatak 3.6. Na slucajan nacin rasporedujemo 30 jednakih jabuka u 8 razlicitih kutija(pri cemu u svaku kutiju moze stati proizvoljno mnogo jabuka). Uz pretpostavku da jesvaka kombinacija broja jabuka po kutijama jednako vjerojatna, odredite vjerojatnost da

(a) se u svakoj kutiji nalaze barem 3 jabuke,

(b) su 3 kutije ostale prazne.

Rjesenje:

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 2 / 27

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 3 / 27

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 4 / 27

3. Prebrojavanja

Zadatak 3.7. Lutrija je u prodaju poslala n srecki, od kojih je m dobitnih. Ovisi livjerojatnost dobitka za pojedinog igraca o broju preostalih srecki, tj. je li bitan redoslijedkupovanja?

Rjesenje

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 5 / 27

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 6 / 27

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 7 / 27

3. Prebrojavanja

Zadatak 3.8. U kutiji se nalazi n kuglica. Na slucajan nacin izvlacimo kuglice (baremjednu), tako da je svaka kolekcija izvucenih kuglica jednako vjerojatna. Kolika jevjerojatnost da je broj izvucenih kuglica paran?

Rjesenje

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 8 / 27

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 9 / 27

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 10 / 27

3. Prebrojavanja

Zadatak 3.9. Neka je X skup, |X | = n. Odredite vjerojatnost da su dva nasumceizabrana neprazna razlicita podskupa skupa X disjunktna.

Rjesenje

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 11 / 27

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 12 / 27

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 13 / 27

4. poglavlje

Slucajne varijable

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 14 / 27

4. Slucajne varijable

Zadatak 4.1. Bacamo simetricnu kocku. Oznacimo s X broj koji je pao na kocki.Odredite razdiobe slucajnih varijabli X , X 2 i |X − 3|. Odredite funkciju gustoce teskicirajte funkciju distribucije slucajne varijable |X − 3|.

Rjesenje

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 15 / 27

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 16 / 27

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 17 / 27

4. Slucajne varijable

Zadatak 4.2. Slucajna varijabla X ima razdiobu

X ∼(

1 2 3 4 5 6 7c 2c 2c 3c c2 2c2 7c2 + c

).

(a) Odredite konstantu c ∈ R.

(b) Izracunajte P(2 ≤ X ≤ 5).

(c) Odredite najmanji k ∈ N takav da vrijedi P(X ≤ k) ≥ 2/5.

Rjesenje

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 18 / 27

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 19 / 27

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 20 / 27

4. Slucajne varijable

Zadatak 4.3. Neka je Ω = ω1, ω2, ω3, P(ωi) = 1/3. Definirajmo slucajne varijable:X (ω1) = 1, X (ω2) = 2, X (ω3) = 3, Y (ω1) = 2, Y (ω2) = 3, Y (ω3) = 1, Z(ω1) = 3,Z(ω2) = 1, Z(ω3) = 2. Odredite razdiobe varijabli X , Y , Z , X + Y ,

√(X 2 + Y 2)Z ,

|X−Y |Z

.

Rjesenje

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 21 / 27

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 22 / 27

4. Slucajne varijable

Zadatak 4.4. Slucajna varijabla X poprima vrijednosti u skupu prirodnih brojeva i vrijedi

P(X = k) = 12k

za k ∈ N. Odredite razdiobu slucajne varijable Y = sin

(πX

2

).

Rjesenje

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 23 / 27

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 24 / 27

4. Slucajne varijable

Zadatak 4.5. Neka je s > 1, a X slucajna varijabla koja poprima vrijednosti u N sdistribucijom zadanom s

PX = n =n−s

ζ(s),

pri cemu je ζ(s) =∑∞

n=1 n−s vrijednosti Riemannove zeta funkcije u tocci s. Neka je

p1 < p2 < . . . niz svih prostih brojeva, te neka Ak oznacavaju dogadaj u kojem je Xdjeljiv s pk . Dokazite da je familija dogadaja (Ak)k∈N nezavisna, te vjerojatnosnimmetodama dokazite aritmeticku jednakost

∞∏k=1

(1− p−sk ) =

1

ζ(s).

Rjesenje

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 25 / 27

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 26 / 27

SLS & NM Vjerojatnost Zagreb, 5.10.2020 27 / 27