podstawy algorytmów rekurencyjnych - cs.put.poznan.pl · fraktale Âobiekty geometryczne...

Podstawy algorytmów Podstawy algorytmów rekurencyjnychrekurencyjnychrekurencyjnych rekurencyjnych

mgr inż. Adam Kozakmgr inż. Tomasz Głowacki tglowacki@cs put poznan plmgr inż. Tomasz Głowacki [email protected]

Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznychna Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych

i ich zastosowań w przemyśle" POKL.04.01.02-00-189/10

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

PlanPlan

Czym jest rekurencja?y j jIndukcja matematycznaNiezmienniki pętliRealizacja rekurencjiFraktale

CechyCechyUkłady iterowanych odwzorowań afinicznychZbiory MandelbrotaZbiory Julii

2Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

RekurencjaRekurencja

O rekurencji (rekursji) mówimy wtedy, gdy definicja pewnegobi kt ( t t ) i d ł i d jobiektu (np. matematycznego) zawiera odwołanie do pewnej

transformacji tego obiektu,Aby znaleźć transformację tego obiektu należy ponowniey ję g y pzastosować tą samą definicję itd...

K żd d fi i j k j kł d iKażda definicja rekurencyjna składa się z:zależności rekurencyjnej wyrażenia startowego (podstawy wnioskowania, warunku y g (p ybrzegowego)


Przykłady definicji rekurencyjnychPrzykłady definicji rekurencyjnych

Silnia:śćzależność rekurencyjna: n! = n (n-1)!

wyrażenie startowe: 0! = 1

Współczynnik dwumianowy:Współczynnik dwumianowy:

zależność rekurencyjna:

ż i t t

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛k

nkn

kn 1

11

1⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ nn

wyrażenie startowe:

Zbiór liczb całkowitych podzielnych przez d ≥ 1 :zależność rekurencyjna:

10

=⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

=⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ n

11 )5,0sgn(1gdzie −

∞

−−−

== kk

kid ndnnnZ ∪yjwyrażenie startowe

10 2

gdzie −=

kki

id ndnnZ ∪00 =n


Przykładowe zadaniaPrzykładowe zadania

Znajdź definicję rekurencyjną ciągu eliminując w pełnib ś d i l ż ść d ( ≥ 0)bezpośrednią zależność od n (n ≥ 0):

12 −= ncn

Dla ciągów reprezentowanych przez funkcje posiadające funkcję odwrotną można skorzystać ze schematu:

( ) ( )( ) ( )( )11 1

1

1

+=+=

=⇒=−

+

−

nn

nn

cffnfc

cfnnfc

Inne: 3,30,3

2

1log210

12 132

==≥= +−

++ −cnn

nnn cccnc n

149,21,2 1112 +++=−=≥−−= −− nnnn ccccnnnc


Indukcja matematycznaIndukcja matematyczna

Indukcja matematyczna jest twierdzeniem opartym na ól dk l ż ś i k j j d i hszczególnym przypadku zależności rekurencyjnej na zdaniach

logicznychZależnością rekurencyjną jest implikacja między kolejnymi ą yj ą j p j ę y j yzdaniami logicznymiWyrażeniem startowym jest warunek początkowy

Zasada indukcji skończonej Zasada silnej indukcji (zupełnej)

•ZR : S(k) ⇒ S(k+1)WP S( )

•ZR : S(n0) ∧ S(n0+1) ∧ ... ∧ S(n-1) ∧ S(n) ⇒ S(n+1)WP S( ) S( +1) S( )•WP : S(n0) •WP: S(n0) ∧ S(n0+1) ∧ ... ∧ S(n1)


Przykładowe zadaniaPrzykładowe zadania

Udowodnij, używając indukcji matematycznej:

1. Dla n ≥ 1: ( )∑= +

=+

n

i nn

ii1 111

⎞⎛ nn 2

2. Dla n ≥ 1:

3 Nierówność Bernoulliego dla liczb całkowitych x > -1 n ≥ 1:

∑∑==

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ n

i

n

iii

1

3

1

3. Nierówność Bernoulliego dla liczb całkowitych, x > 1, n ≥ 1:

4 Dla d ≥ 1 n ≥0 ciąg 0 d -d 2d -2d nd -nd dany

( ) nxx n +≥+ 11

4. Dla d ≥ 1, n ≥0, ciąg 0, d, d, 2d, 2d, ..., nd, nd dany

wzorem rekurencyjnym

ma postać jawną: ( ) ( )[ ]1121 11 +++d n

11

0 2)5,0sgn(1,0 −

− −−−

== nn

n cdccc

ma postać jawną: ( ) ( )[ ]112141 ++−= ndcn


Przykładowe zadania c.d.Przykładowe zadania c.d.

5. Dla n ≥ 2: jest podzielne przez 10.622 −n

6. Dla n ≥ 0, a,b≠0, jeśli ( ) 2110 ,,0 −− −+=−== nnn abccbacabccto wzór jawny na ciąg ma postać:

7 Dla n ≥ 0: n3-n jest podzielne przez 6

nnn abc −=

7. Dla n ≥ 0: n n jest podzielne przez 6.

8. Dla n ≥ 1: gdzie Fn to liczby Fibonacciego, a ( )1151

+− += nnn LLF

Ln liczby Lucasa:5

2110

12,1,0 −−

++=== nnn

LLLFLFFFFF

2110 ,1,2 −− +=== nnn LLLFL


Niezmienniki pętliNiezmienniki pętli

Zdanie logiczne λ jest niezmiennikiem pętli:

while (g) {instrukcje;

}}

jeśli zachodzi implikacja:jeśli g i λ są prawdziwe przed wejściem do pętli to λ jest prawdziwejeśli g i λ są prawdziwe przed wejściem do pętli, to λ jest prawdziwew każdej iteracji, oraz po wyjściu z pętli, natomiast g po wyjściu zpętli jest fałszem:

zmiennychcjainicjaliza

( ) };{1// =∧λinstrukcjegwhile

gzmiennychcjainicjaliza

1// =∧¬ λg


Niezmienniki pętliNiezmienniki pętli

Zastosowanie?D d i ś i l t óDowodzenie poprawności algorytmówSprawdzanie działających algorytmów (np. asercje przed, wewnątrzi po pętli sprawdzające warunki będące znanym niezmiennikiem)

Klasyczny przykład – algorytm dzielenia, znajdujący dla liczbn ≥ 0, q > 0 (dzielnik), liczby k ≥ 0 (krotność), oraz resztę r:q > r ≥ 0, spełniające równość n=kq+r

( ) ( )0,:1;;0

;0;0

≥∧+=⇔≥⇔=∧><==><>≥><

rrkqnqrggassertnrkinit

qninput

λλInne trywialneniezmienniki pęli:

( )

1;;1

{

=><−=+=><

assertqrrkknsinstructio

gwhile

λ

• q ≥ 0• n ≥ r

( ) ( )0,:1}

≥∧+=⇔<⇔¬=∧¬>< rrkqnqrggassert λλ


Dowód poprawnościDowód poprawności

W każdej interacji otrzymywane są nowe wartości zmiennych k oraz r:

Podstawiając nowe wartości do zależności niezmiennika:qrr

kk−=+=

'1'

Podstawiając nowe wartości do zależności niezmiennika:

Przy czym r’ ≥ 0, gdyż warunkiem wejścia do pętli jest r ≥ q( ) ( ) rkqqrqkqqrqkrqk +=−++=−++=+ 1''

Po wyjściu z pętli r < q, więc spełniona jest zakładana własność q > r ≥ 0


Niezmienniki pętli Niezmienniki pętli -- zadaniezadanie

Znajdź niezmiennik pętli i udowodnij poprawność algorytmu:D jś i 0Dane wejściowe: n > 0.Dane wyjściowe: k ≥ 0, q ≤ n ( ) takie, że qqn k |22 /∧=

00 ≥ki t

Nqk ∈,

( ){...............................................,|2:1

;;0;0;0

⇔⇔=∧><==><≥>><

λλhil

qggassertnqkinit

kninput

( )

1;2;1

{

=><=+=><

λassertqqkknsinstructio

gwhile

...............................................,|2:1}

⇔/⇔¬=∧¬>< λλ qggassert


Realizacja rekurencjiRealizacja rekurencji

Rekurencja w językach programowania jest zwykłym wywołaniem funkcji (funkcja sama wywołuje siebie)funkcji (funkcja sama wywołuje siebie)Każde wywołanie funkcji to odłożenie parametrów na stosie (parametry funkcji oraz adres powrotu)

ćDla każdego algorytmu rekurencyjnego należy rozważyć koszty pamięciowe i obliczeniowe podejścia rekurencyjnego oraz iteracyjnegoNp. Algorytm wypełniania spójnego obszaru szybko może doprowadzić do przepełnienia stosu (wersja iteracyjna jest bardziej oszczędna):int image[][], width, height, oldColor, newColor;void fill(int x, int y){{

if (x<0 || y<0 || x>=width || y>=height) return;image[x][y] = newColor;if (image[x+1][y] == oldColor) fill(x+1,y);if (image[x-1][y] == oldColor) fill(x-1,y);if (image[x][y+1] == oldColor) fill(x,y+1);if (image[x][y-1] == oldColor) fill(x,y-1);

}


FraktaleFraktale

Obiekty geometryczne posiadające cechę samopodobieństwa (w k żd j k li) i d kł d bliż l bkażdej skali) – w sensie dokładnym, przybliżonym lub stochastycznymWymiar nie jest liczbą całkowitą:y j ą ą

( ) ( ) ( )( )1log

loglim1~0

=⇒→

d NdNεεεε

ε

Mają stosunkowo proste definicje

( ) 1,58496...2log3log

2log3loglim3,21 ===⇒==

∞→ n

n

nTSnn dN εε

Mają stosunkowo proste definicjerekurencyjne


Obraz rekurencyjnyObraz rekurencyjny


FraktaleFraktale

Fraktale to np.:ńAtraktory układu iterowanych odwzorowań afinicznych

(IFS)Zbiory Julii i FatouZbiory Mandelbrota


Odwzorowanie zwężająceOdwzorowanie zwężające

Niech ℜ2 będzie przestrzenią z metryką euklidesową d (choćb ć d l t i t ) t d f ℜ2 ℜ2mogą być dowolne przestrzenie metryczne), wtedy f: ℜ2 → ℜ2

jest odwzorowaniem zwężającym jeśli:( ) ( ) ( )2121

221 ,)(),(:,:1,0 aadafafdaa λλ ≤ℜ∈∀∈∃

Twierdzenie Banacha: Istnieje dokładnie jeden punkt p taki, żef(p)=p (punkt stały odwzorowania zwężającego)

( ) ( ) ( )212121 ,)(),(,, ff

Rekurencyjne wykonanie odwzorowania zwężającego a=(x,y)f(x,y)=(x/3,y/3)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )1010101 coscoscoscoscoscoslim πππ →→=== ∞∞∞∞→+ xfxxxxfx nnnn


Układ iterowanych odwzorowań Układ iterowanych odwzorowań afinicznychafinicznychafinicznychafinicznych

Rekurencyjna definicja przekształceń obiektu geometrycznego b d ikó d ń ż j h ( ł ż ibędąca sumą wyników n odwzorowań zwężających (złożenie obrotu, translacji i skalowania zmniejszającego): {Fi} (1≤i ≤n)

( )n

SSSFSSS li∪S jest dowolnym niepustym zbiorem punktów w danej przestrzeni

( ) kki

kik SSSFSSS∞→∞

=− === lim

110 ∪

S∞ jest fraktalem - atraktorem układu odwzorowań (punktem stałym), niezależnym od rozkładu punktów w zbiorze SFi w przestrzeni ℜ2 ma postać:Fi w przestrzeni ℜ ma postać:

( )cossinsincos

''

,''

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⇔

⎩⎨⎧

++=++=

y

x

yx

yx

y

xi t

tyx

yx

yxFfeydxycbyaxx

ϕϕϕϕ

δδ

1111 <<−∧<<−⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎩

yx

yyxy yyfyy

δδ

ϕϕ


Przykład konstrukcji IFS Przykład konstrukcji IFS -- Trójkąt Trójkąt SierpińskiegoSierpińskiegoSierpińskiegoSierpińskiego

Układ odwzorowań: ( )yxF ,3

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

==

041

1001

2121

,

0

1

xyxF

yx ϕϕ( )

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎦

⎢⎣

⎥⎦

⎢⎣⎥⎦

⎢⎣⎥⎦

⎢⎣

041

1001

2121

,

01021

2 yx

yxF

y

( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣

43

01001

2121

,3 yx

yxF

y

( )F( )F

Trójkąt Sierpińskiego jest punktem stałym układu odwzorowań zwężających {F1, F2 , F3}

⎦⎣ ( )yxF ,1( )yxF ,2

zwężających {F1, F2 , F3}


IFS IFS –– zadaniazadania

Zadanie: zlokalizuj poszczególne odwzorowania ((*) zdefiniuj)

Paproć BarnsleyaUkład 4 odwzorowań

Dywan SierpińskiegoUkład 8 odwzorowań[źródło: Wikipedia]

Trójkąt Sierpińskiego w przestrzeni 3D(piramida)Układ 5 odwzorowań[źródło: Wikipedia]Układ 4 odwzorowań

[źródło: Wikipedia][źródło: Wikipedia]


Zbiory Zbiory MandelbrotaMandelbrota

Przestrzenią dla tych zbiorów jest domknięty zbiór liczb l h ( d i * t kt i k ń ś i

Czespolonych ( gdzie z* to punkt w nieskończoności odwzorowany np. na sferze Riemanna)Funkcja wymierna określona na C ma postać:

*}{zCC ∪=

j y p

011

1

011

1

)()()(

bzbzbzbazazaza

zlzwzW n

nn

n

nn

nn

++++++++

== −−

−−

……

Niech Wc będzie funkcją wymierną zależną od Niech Zbiorem Mandelbrota M(W ) nazywamy zbiór tych wartości

( ))()( 1 zWWzW ncc

nc

−=Cc∈

Zbiorem Mandelbrota M(Wc) nazywamy zbiór tych wartości parametru c dla których ciąg jest zbieżny:)0(n

cW

( )( ) })0(lim:{ ∞→/∈=∞→

ncnc WCcWM


Zbiory Zbiory MandelbrotaMandelbrota -- przykładprzykład

Najbardziej znany jest zbiór Mandelbrota dla odwzorowania2

Sprawdź, czy punkt c=0+i należy do zbioruMandelbrota dla tego odwzorowania

czzW nc += 2)(

g

⎪⎪⎧

−=+=

=+=

1)0(

0)0(22

21

iiiW

iiW

c

c

nktu

c

( )( )⎪

⎪

⎪⎪

⎨

−=+−=+−=

−=++−−=+−=

11)0(

1211)0(

)(

24

23

iiiiW

iiiiiW

c

c

c

ita p

un

( )⎪⎪

⎩.....)(c

orbi


Zbiory Zbiory MandelbrotaMandelbrota -- ilustracjailustracja

Zbiór Mandelbrota wraz z powiększeniem [obraz uzyskany zaZbiór Mandelbrota wraz z powiększeniem [obraz uzyskany za pomocą programu Ultra Fractal]


Zbiory JuliiZbiory Julii

Brzeg między kolorami (basenami przyciągania)jest zbiorem Julii dla odwzorowania:j

( ) 32)( 2−+= zzzW nc

Do zbioru Fatou należą obszaryyprzyciągania 3 punktówstałych będących pierwiastkami funkcji

111)(20

333+

⇒⇒ ef nki π

{ }

( ) ( )( ) 321)()(

,231,231,1

111)(

23

210

32,1,0∈

−

+−=+−==

=⇒=⇒−=

zzfW

izizz

ezzzzf

n

nk

( ) 323

1)(')()( 2

2−+=−=−= zz

zzz

zfzfzzW n

c

Jest to zbiór Julii dla odwzorowania otrzymanego metodą Newtona szukania miejsc h dl f( ) St d kt t bil t d i b d i i tk i f( ) K l

)(zW nc

zerowych dla f(z). Stąd punkty stabilne tego odwzorowania będą pierwiastkami f(z). Kolor zielony jest basenem przyciągania z0, kolor czerwony z1, a kolor niebieski z2.


podstawy algorytmów rekurencyjnych - cs.put.poznan.pl · fraktale Âobiekty geometryczne...

Documents