podela merenja

ANALIZA MERENJAANALIZA MERENJARaun izravnanja 1B.BoiGraevinski fakultet Odsek za geodeziju i geoinformatikuDefinicija merenja, direktna i indirektna merenja Merenje = opaanja izvedeno s ciljem odredivanja vrednosti nepoznate velicine. Merenja se dele na: direktna i indirektna. Direktna merenja se se izvode direktnom upotrebom instrumenata -direktnim citanjem vrednosti merene velicine (merenje duine pantljikom, citanje limba teodolita i sl.) Indirektna merenja se realizuju onda kada nije moguce ili nije prakticno direktno meriti.Vrednost merene velicine dobija se koricenjem matematickih funkcija sa direktnim merenjima kao parametrima (merenjem uglova i duina racunaju se koordinate tacaka; na osnovu sracunatih koordinata moguce je sracunati uglove i duine izmedu tacaka koje nisu direktno merene I sl.). Tokom postupka realizacije indirektnih merenja greke direktnih merenja se prenose (prostiranje gre prostiranje gre aka aka ili error propagation) na vrednosti indirektno dobijenih velicina. Tj. indirektno odredene velicine sadre greke direktnih merenja.Greke merenja - izvori greaka merenjaOsobine merenja: Nema tacnih merenja Svako merenje sadri greke Istinita vrednost merenja nikada nije poznata Tacne vrednosti greaka merenja nikada nisu poznatePo definiciji, greka predstavlja razliku merene i tane vrednosti neke fizicke velicine. = x - Podela greaka prema izvoru nastajanja: Instrumentalne Greke usled uticaja spoljanje sredine Greke operatoraGreke merenja - podela greaka prema prirodi uticajaPrema prirodi uticaja greke se dele na: Grube, Sistematske, i Slucajne Grube greke nastaju usled nepanje operatora. Cesto se i ne tretiraju kao greke.Moraju se otkloniti. Sistematske greke slede fizicke zakone i na izvestan nacin se mogu predvideti. Otklanjaju su metodom rada ili uvodenjem popravaka. Sluajne greke ostaju nakon otklanjanja grubih i sistematskih. Nastaju kao posledica, nesavrenosti konstrukcije instrumenta ili nesavrenosti operatora. Relativno su male po vrednosti i razlicitog znaka i ne ponaaju se po nekom pravilu. Ne mogu se eliminisati ali se mogu redukovati.Preciznost i tanost merenjaPonovljena merenja iste velicine cesto su razlicitih vrednosti. Nesaglasnost (descrepancy) se definie kao algebarska razlika dva merenja iste velicine. Mala nesaglasnost je pokazatelj prisustva greaka malih po intenzitetu. Preciznost merenja definie se kao stepen medusobne konzistentnosti merenja i zasnovana je na velicini nesaglasnosti rezultata merenja nekog skupa. Stepen preciznosti zavisi od stabilnosti okoline u toku merenja, kvaliteta opreme, vetina operatora i primenjene procedure merenja.Tanost merenja predstavlja bliskost merene velicine njenoj tacnoj vrednosti. Kako tacnu vrednost merene velicine ne znamo, sledi da tacnost merenja nije moguce odrediti.Tacno i precizno Precizno i netacnoNerecizno i netacnoUslovi merenja, populacija i uzorak merenja Merenje (Perovi, 1989):Kvantitativno uporedenje merene velicine sa drugom istorodnom velicinom uzetom za jedinicu mere. Uporedenje se izvodi uz niz operacija: 1) etaloniranje mernog pribora, 2) viziranje, 3) koincidiranje, 4) oitavanje i sl. Ishod merenja jeste rezultat merenja. Rezultat merenja:X = N x E, gde je N merni broj, a E =1. Uslovi merenja:1) objekat merenja, 2) subjekat merenja (operator), 3) instrument i pribor, 4) spoljanja sredina Jednakost uslova merenja:1) isti objekat merenja, 2) subjekti merenja istih karakteristika, 3) instrumenti iste preciznosti i ista metoda merenja, 4) slicni spoljanji uslovi Neophodan broj merenja = minimalan broj merenja s ciljemdefinisanja merene velicine Suvian broj merenja = broj merenja preko minimalnog brojaMerenja iste tacnosti Merenja razlicite tacnostiPodela merenja prema tacnosti Sluajna veliina: Rezultat merenja, ishod eksperimentaa) diskretnab) kontinuirana Niz merenja: x1, x2, ..., xn Raspon merenja: wn=xmax xmin Varijacioni niz: Niz rezultata merenja poredanih od minimalne do maksimalne vrednosti Vektor rezultata merenja: Populacija: Skup neogranicenog broja merenja neke fizicke velicine.Parametripopulacije (, ) Uzorak merenja: Na odreden nacin odabran podskup neke populacije. Na osnovu uzorka ocenjuje se raspored verovatnoca ili parametri rasporeda Prezentacija podataka: a) graficka i b) numericka

=n21x..xxxPRIMER 1Xmin= 20.1 Xmax= 26.1 wn= 6.0 Medijana:(23.4+23.5)/2=23.45 26.1 25.9 25.9 25.5 25.425.3 25.3 25.2 25.0 24.824.7 24.6 24.4 24.3 24.224.1 24.1 24.0 23.9 23.823.8 23.8 23.7 23.6 23.523.4 23.3 23.2 23.2 23.123.1 23.0 22.9 22.9 22.822.8 22.7 22.6 22.6 22.522.3 22.3 22.2 22.0 21.921.8 21.7 21.2 20.5 20.120.1 25.3 22.3 23.9 21.723.6 22.8 25.0 25.3 22.622.8 25.9 23.0 21.2 26.125.2 23.1 23.8 24.3 21.923.2 24.1 24.6 23.3 22.221.8 23.1 25.9 23.4 22.922.6 24.1 23.7 24.4 23.823.8 22.0 23.2 24.7 25.522.9 23.5 24.8 24.2 22.322.5 20.5 24.0 25.4 22.7Varijacioni nizRezultati merenja pravca) , ( 1.1. GRAFI1.1. GRAFI

KA PREZENTACIJA REZULTATA KA PREZENTACIJA REZULTATA MERENJAMERENJA = 50/50 = 17/50 = 0.14 7 25.24 26.106/50 = 0.12 6 24.38 25.2411/50 = 0.22 11 23.53 24.3813/50 = 0.26 13 22.67 23.538/50 = 0.16 8 21.82 22.673/50 = 0.06 3 20.96 21.822/50 = 0.04 2 20.10 20.96Relativna frekvencija klase (3)Frekvencija klase(2)Interval klase(1)20.1 20.96 21.82 22.67 23.53 24.38 25.24 26.100.050.10.150.20.250.3Histogram frekvencijaKreiranje histograma frekvencija:1. Podela variacionog niza na klase (od 5 do 20 klasa)2. Definisanje irine i intervala klase (u primeru 1; 0.86)3. Definisanje frekvencije klasa4. Definisanje relativnih frekvencija klasa5. Kreiranje histogramaTumaenje histograma:1. Da li su rezultati merenja simetricno rasporedeni oko centralne vrednosti (simetricnost)?2. Kakva je disperzija (raspon) podataka?3. Frekfencija pojave pojedinih rezultata4. Kakav je oblik histograma zvonastost ukazuje na stepen preciznostiGrupisani raspored merenjak > 5 log nEmpirijske frekvencijeSvojstva relativnih frekvencija Relativna frekvencija slucajnog dogadaja je nenegativan broj i nalazi se u intervalu izmedu 0 i 1; Relativna frekvencija sigurnog dogadaja jednaka je 1; Relativna frekvencija dva nezavisna dogadaja jednaka je zbiru njihovih relativnih frekvencija Relativne frekvencije rezultata merenja jednake su relativnim frekvencijama njihovih greaka1.2. NUMERI1.2. NUMERI

KA PREZENTACIJA REZULTATA KA PREZENTACIJA REZULTATA MERENJA (numeriMERENJA (numeri

ki ocenjivaki ocenjiva

i)i)Kategorije numerikih ocenjivaa:1. Mere centralne tendencije (mere poloaja)2. Mere disperzije3. Mere relativnog stanja NUMERINUMERI



i) i) mere mere centralne tendencijecentralne tendencije Aritmeticka sredina Medijana Moda nxxn1 ii ==Vrednost koja se najcece pojavljuje u datom skupumerenja neke fizicke velicine. Retko se u praksi koristi jer jecesto skup merenja mali. Nije jednoznacna jer se cestou nekom skupu isti broj putapojavi nekoliko rezultata.Ukoliko skup sadri neparan broj rezultata, medijanu predstavlja rezultat koji se nalazi u sredini rastuceg niza.Ako je broj rezultata paran, tadasredina dva susedna rezultata u sredini niza formiraju medijanu.Empirijsko matematiko oekivanjeMere centralne tendencije su statisticke velicine koje ukazuju na vrednost iz skupa rezultata merenjakoja ima tendenciju priblienjasredini skupa.Svojstva aritmetiSvojstva aritmeti

ke sredineke sredine Suma odstupanja pojedinih rezultata merenja od aritmeticke sredine jednaka je nuli Suma kvadrata odstupanja pojedinih rezultata od srednje vrednosti manja je od sume kvadrata odstupanja istih rezultata od bilo koje druge vrednosti x (svojstvo minimuma; Perovic, 1989)0 ) x x (n1 ii=

=x Y za , ) Y x ( ) x x (2in1 in1 i2i < = =NUMERINUMERI



i) i) mere mere disperzijedisperzije Vrijansa populacije Varijansa uzorka Standardna greka Standardno odstupanje Standardno odstupanje sredinenn1 i2i2

==1 nvsn1 i2i2=

= - istinita greka, n broj merenjav rezidual (razlika izmedu pojedinog rezultata merenja i najverovatnije vrednosti merene velicine;n broj merenja; (n-1) broj stepeni slobodei ix x v =nn1 i2i ==NAPOMENA: Varijansu populacije i standardnu greku prakticno je skoro nemoguce odrediti jer istinite vrednosti, a samim tim i greke nije moguce poznavati.1 nvsn1 i2i=

=Standardno odstupanje je ocena standardne greke populacije. Ona predstavlja praktican izraz ocene preciznostiuzorka merenja. Teorijski, oko 68.3% rezultata merenjanalazi se u intervalu = najverovatnija vrednost s.nssx = Kada n , tada s 0. To znaci da to se vie velicina uzorka pribliava populacijisracunata vrednost sredinepribliava se sredini kao parametru populacije ().1 nx n ) x (sn1 i2 2i2 =

=(1)(2)(3)(4)(5)(6)PRIMER 1 PRIMER 1 --nastavaknastavakNa osnovu rezultata merenja iz primera 1, sraunati srednju vrednost uzorka, medijanu, modu I standardno odstupanje.REENJE:5 . 2350117550xnxx501 iin1 ii = = = = = =45 . 23 ) 5 . 23 4 . 23 (21Medijana = + =8 . 23 Moda =Pojavljuje se tri putaSrednja vrednost (sredina)7 3 . 11 50) 5 . 23 ( 50 86 . 27704s7 3 . 11 5036 . 921 nvs2501 i2i == ===

=Prema izrazu (5)Prema izrazu (6)NAPOMENA: Broj rezultata u intervalu od (23.5 - 1.37) do(23.5 + 1.37) iznosi 34 to predstavlja 34/50 x 100% ili68% ukupnog broja merenja.PRIMER 2 U sledecoj tabeli dati su drugih 50rezultata merenja pravaca iz primera 1. Sracunati, srednju vrednost, medijanu, modu, standardno odstupanje i nacrtati histogram. Uporediti dobijene vrednosti sa vrednostima iz primera 1. 31.8 36.8 34.7 34.7 32.6 33.6 38.7 37.8 34.1 33.734.4 35.3 30.0 36.7 34.8 36.1 33.7 36.4 34.8 36.732.6 34.9 33.4 35.1 39.2 33.7 35.6 34.1 32.6 35.336.3 32.8 32.2 39.3 32.4 35.9 35.9 33.5 33.0 37.936.4 37.7 34.1 30.2 34.0 38.4 30.1 35.2 33.6 34.2REENJE:74 . 3450xx501 ii= =

=( ) puta tri se pojavljuju 1 . 34 ; 7 . 33 ; 6 . 32 Moda =( ) isti su rezultat . 26 i . 25 7 . 34 Medijana =3 . 9 0 . 30 3 . 39 Raspon = =86 . 0 ) klase ( ervala int irina =NAPOMENA: Zbog poredenja sa primerom 1, irina je odabrana ista 0.86. S obzirom da je poeljno da je histogram centrisan oko srednje vrednosti, centralni interval je dobijen oduzimanjem i dodavanjem polovine intervala srednjoj vrednosti (34.74-0.43) i (34.74+0.43), tj. (od 34.31 do 35.17). Granice ostalih intervala odrediti pocev od granica srednjeg intervala (34.31-0.86)..., (35.17+0.86),... 92 . 41 50) 74 . 34 ( 50 48 . 6058449x50 x s501 i2 22i2== =

+22 . 2 92 . 4 s = =Nacrtati tabelu i histogram frekvencija i uporediti ga sa histogramom iz primera 1 Srednja vrednost

podela merenja

Documents