POČETNIK U NASTAVI POČETNIK U NASTAVI MATEMATIKEMATEMATIKE

Anica KovačAnica Kovač

Zagreb, 8. siječnja 2010.

2

Svaki poučavatelj mora barem jednako Svaki poučavatelj mora barem jednako poznavati ono što poučava i onoga koga poznavati ono što poučava i onoga koga poučava.poučava.

Bez tih uvjeta nema uspjeha Bez tih uvjeta nema uspjeha u poučavanju i učenju!u poučavanju i učenju!

3

Nastavnici od početnika do stručnjaka postupno napreduju:

u prepoznavanju problema u vještinama odlučivanja i djelovanja.

Proces napretka nije automatski ni

jednostran.

Značajni čimbenici koji utječu na

nastavnikov profesionalni razvoj su njegovo

razumijevanje znanja, nastave, njegove i učenikove uloge u

nastavi.

4

Kvalitetan nastavnik Nastavniku treba pomoći da bude kvalitetan

nastavnik, a ne predavač koji se zatekao u situaciji u kojoj se od njega očekuje da prenosi znanje i informacije “tjeran” nastavnim programom i zadanim rokovima.

Pritajeni problemi kad tad eskaliraju. Uz stručne kompetencije potrebne su razne

vještine.

5

Znanja potrebna nastavniku

stručna didaktičko-metodička o kognitivnim i motivacijskim procesima o emocionalnom i socijalnom razvoju učenika

6

Vještine Planiranje

Poučavanje “…međusobno povezan skup vjerovanja i namjera koje usmjeravaju i opravdavaju

naše djelovanje…” (Daniel Pratt)

Utvrđivanje ishoda učenja

Upravljanje razredom

7

KAKAV BI TREBAO BITI NASTAVNIK?Zna različitim metodama

zainteresirati učenike tako da usvoje (a ne nauče

napamet) sve predviđeno gradivo i tako steknu

odgovarajuću razinu znanja i vještina iz matematike

(temeljne kompetencije).Sviđa se učenicima.

Oni mu vjeruju i ne boje ga se.

8

KAKAV BI TREBAO BITI NASTAVNIK?

da pisani ispiti ne budu jedino mjerilo za ocjenjivanje njihovog znanja.

da učenici uoče njegovo zalaganje za njihovo dobro, da im ne prijeti negativnim ocjenama,

Takav ...

9

Osim znanja učenicima treba prenositi i odgojne vrijednosti.Redovito mora pratiti što se zbiva u znanosti i pedagoškoj praksi.

KAKAV BI TREBAO BITI NASTAVNIK?

Na kraju: Da bi sve to ostvario mora se za svaki sat

dobro pripremiti.

10

JE LI MOGUĆE BITI TAKAV NASTAVNIK?

Ako voli učenike i nastavnički poziv Ako voli učenike i nastavnički poziv već je obavljen veći dio posla.već je obavljen veći dio posla.

11

Jedno iskustvo“Iako sam generalno bio loš učenik, matematika

mi je išla najlošije.Sada, kad pogledam unazad, krivim

profesore, ali tada sam krivio matematiku. To je jedino rješenje koje mogu naći iz

perspektive čovjeka koji sada uživa u matematici –

Bio sam žrtva lošeg predavanja.”Nicholas Jackiw, autor The Geometer´s Sketchpada(Matka br. 57)

ETAPE NASTAVNOG ETAPE NASTAVNOG PROCESA I OKOLNOSTIPROCESA I OKOLNOSTI

KOJE UTJEČU NA NASTAVUKOJE UTJEČU NA NASTAVU

13

Školsko i razredno ozračje

Školsko ozračje, tzv. pedagoški duh škole utječe na profesionalni razvoj nastavnika početnika. Bitno je koje se vrste ponašanja i djelovanja naglašavaju, potiču i nagrađuju, tj. koji se sustav vrijednosti njeguje u školi.

Razredno ozračje: ambijent,

okolnosti, ugođaj

događanja, postupci...,

niz suptilnih međuodnosa

u nastavi.Pozitivno razredno ozračje

se opisuje kao svrhovito, radno, opušteno, srdačno, poticajno i sređeno.

14

SUSRET S UČENICIMA I RAZVIJANJE POZITIVNOG STAVA PREMA

MATEMATICI Za uspješnost učenika u nekom školskom predmetu bitan je njihov stav

prema tom predmetu.Zanimanje za matematiku može se izgubiti ako ga društvo ne prepozna i ne

potiče. Osim prirodne sklonosti i nadarenosti, stav prema predmetu se razvija na

temelju čuvstava prema nastavniku.

Osobito kod Osobito kod nastavnika nastavnika

matematike!matematike!ZAŠTO?ZAŠTO?

predmet je po svojoj suštini težak za učenje

iz njega je prosječno najviše slabih ocjena

učenici svih uzrasta ga se boje

Osobnost nastavnika ima značajnu Osobnost nastavnika ima značajnu ulogu u cjelovitom procesu nastave.ulogu u cjelovitom procesu nastave.

15

Neki nastavnici već na početku nastave počinju naglašavati kako je matematika vrlo težak

predmet i da se neće lako "izvući", neki otvoreno zastrašuju misleći da će na taj način učenike

prisiliti na rad.

Međutim, učenici u svojem nastavniku matematike žele prepoznati prijatelja i

stručnjaka.

Čim uđe u učionicu odmah znaju želi li biti tu, ima li što zanimljivo reći i poštuje li ih kao ljude.

Osjete li da želi što prije završiti taj dosadni posao, samo ispisujući dokaze i teoreme po ploči, da odbija

odgovoriti na njihova pitanja jer nema vremena i oni će reagirati na JEDNAKO TUP NAČIN.

Često se upitajmo: KAKO ME VIDE MOJI UČENICI?

Učenici osjećaju govor tijela i nijanse ponašanja. Matematički rečeno, učenici svoga

nastavnika rastave na proste faktore.

17

Pripremanje za nastavu bitna sastavnica nastavnog procesa

Pripremajući se treba naći odgovore na pitanja: Koji su ciljevi i zadaće nastavnog sata? Zašto bi to gradivo netko (učenik) želio znati? Kako motivirati učenike, tj. izazvati njihovu intelektualnu

radoznalost i dovesti ih u sumisleći odnos? Koje oblike rada i nastavne metode koristiti? Koje zadatke odabrati za rad na nastavnom satu i za domaću

zadaću? Kako učinkovito usustaviti gradivo?

18

A kakva treba biti pisana priprema?

Odgovor je kratak i jasan: Takva da nastavni sat bude dobro izveden.

Učenici, pa čak i oni "najgori" su vrlo kritični i Učenici, pa čak i oni "najgori" su vrlo kritični i ne opraštaju nepripremljenost nastavnika ne opraštaju nepripremljenost nastavnika

za nastavu! za nastavu!

19

Izvođenje nastaveTeži dio u ostvarivanju nastavnog

programa matematike je uvođenje nove nastavne cjeline, što podrazumijeva definiranje osnovnih pojmova i relacija između njih, tj. obraditi tzv. teorijski dio.

Prijelaz na rješavanje zadataka je već olakšanje, iako je svaki zadatak ustvari nova (stara) "teorija".

20

Poučavanje – učenje (1) Silno vrijeme trošimo na:- predavanja koja učenici ne razumiju,- “metodu krede i ploče”,- ponavljanja, uvježbavanja, ispitivanja i

ocjenjivanja (KOJA TO I NISU).

21

Poučavanje – učenje (2)

Nastavnik treba promišljati svoj rad i svojom umješnošću i procjeni mogućnosti svojih učenika (oda)birati pristup radu.

22

Poučavanje – učenje (3) Učenik najbolje uči i napreduje kada

samostalno otkriva odnose između određenih matematičkih objekata.

Nastavnik mu to treba omogućiti primjenom odgovarajućih oblika i metoda rada

23

Poučavanje – učenje (4) Efikasan je model vođenog učenja,

tj. učenja otkrivanjem Potrebno je pripremiti “teren” za

formiranje novoga pojma, umjesto izreći definiciju i analizirati je.

Definicija je samo vrsta profinjenja pojma koji je formiran

24

Poučavanje je znanost i umijeće.Poučavanje je znanost i umijeće.

Temeljno nastavno umijeće je iznaći načine motiviranja učenika za učenje.

Svaki dobar nastavnik ima svoje “male tajne” i razlikuje se od drugog dobrog

nastavnika.Ako nastavnik stalno rabi iste strategije, a

učenik je stalno neuspješan, tko od njih dvojice ustvari sporo uči? (Eric Jensen)

25

Poznato je da postoje dvije vrste motivacije:

UNUTARNJA MOTIVACIJA

Njome učenici zadovoljavaju svoju znatiželju i

zanimanje za nastavno gradivo, zbog sebe

samih.

VANJSKA MOTIVACIJA

Izaziva je neki željeni cilj.

26

Može li to biti Može li to biti motivirajuće za motivirajuće za

učenike?učenike? To ustvari prije može

izazvati dosadu.

Nastavnici često započinju sat ponavljanjem

obrađenog gradiva.

27

Bolje je: otvoriti problemsku situaciju u kojoj će se

nenametljivo ponoviti potrebno gradivo, pokazati zgodnu ilustraciju, zadati motivacijski zadatak, problem prikazati zorno, dati neki zanimljivi podatak iz povijesti,...

28

Neki primjeriNeki primjeri

Primjer 1.

29

Primjer 2.

n n+1 n+2

n-1 n n+1

30

Primjer 3.

Je li ovo moguće?

1.45 1.30 3.15

+

Da, pogledajte na uru!

+ 1 sat i 30 minuta

31

Primjer 4.

Pitagorejci (V. i VI. st. prije Krista) su smatrali da se sve zakonitosti svijeta mogu izraziti brojevima, zato jer je svijet splet harmonije i broja.

Uočili su da mjerni broj dijagonale jediničnog kvadrata nije racionalan broj. To je za njih bilo zastrašujuće otkriće, jer se nije uklapalo u njihovu idealiziranu sliku svijeta pa su tu činjenicu držali strogo čuvanom tajnom.

2

1

1

32

Primjer 5.Autobus s putnicima je krenuo iz Zagreba za Crikvenicu. Tri sata kasnije motociklist je krenuo iz Crikvenice za Zagreb. Voze istim putem. Kad se sretnu tko će biti bliže Zagrebu?

(Jednako!)

33

Primjer 6.Nacrtan je kut od 19°.Kako možemo samo pomoću šestara konstruirati kut od

1°?

( 1919=361)

19°

34

Primjer 7. Prilikom definiranja funkcije, te injekcije, surjekcije i

bijekcije dobro je uzeti sljedeći primjer:

D = skup svih učenika razreda = {u1,u2,...,u29}K = skup svih ocjena = {1,2,3,4,5}

funkcija: ocjenjivanje (dobivene ocjene jednog pisanoga ispita)

funkcija o - ocjenjivanje: Je li o uopće funkcija? Može li o biti injekcija? Zbog kojega elementa

(broja) u kodomeni bi bilo dobro da o nije surjekcija?

o1.c Ocjeneu1

u29

u2

u10

1

4

23

5

35

Primjer 8. Apsolutna vrijednost

Danas ćemo raditi jednu novu funkciju koja se zove ... i definirana je …

MOŽDA JE BOLJE: Zamislimo da sve pozitivne realne brojeve "strpamo u jedan koš“, a sve negativne u drugi.U treći koš treba prebaciti sve te brojeve, a da u njemu ne bude negativnih.

Što mislite što će biti recimo s brojem (-4)?Očekivani odgovor:

Pridružit će se broju (+4).

LOŠE!

||R R0

+

-4

-x

4

x x

4

36

Uz primjere s cijelim brojevima pitati što će biti s brojevima:

Nacrtati i parove točaka: (0,0), (1,1), (-1,1),... II oznaka za funkciju apsolutna vrijednost Ostvareni su uvjeti da učenici sami iskažu

definiciju i uz pomoć napišu i simbolički:

0,

0,x

xxxx

31 31 31

37

Primjer 9. Definicije trigonometrijskih funkcija

Nije motivirajuće: Ovaj sat ćemo uvesti nove funkcije....

Jedan od boljih načina:Zadatak:Nacrtajte pravokutni trokut i izmjerite vrijednosti kutova.

Izmjerit će. Recite im dobro, a sada izmjerite preciznije, recimo na 2, 3 ili 5 decimala!

Reći će: Ne ide! Zamislite kako ćemo se obogatiti ako to uspijemo!

Nacrtajmo okomicu paralelnu s katetom a ....

38

Primjer 10.

Mjera kuta

Ako učenici usvoje pojam mjere kuta riješen je problem razumijevanja trigonometrijske kružnice

Zorno pokazati namatanje pravca na kružnicu (npr. valjak od stiropora i traka)

Korisno pitanje: Koji je veći kut: β=1rad ili δ=60°?

39

Primjer 11.

Zasigurno znate da je razumijevanje trigonometrijske kružnice odlučujuće u dobrom dijelu gradiva iz trigonometrije. Zato im stalno govorite da ne gube iz vida virtualnu sliku trigonometrijske kružnice.

40

Primjer 12.Graf trigonometrijske funkcije

Neka učenici sami pokušaju nacrtati graf funkcije sinus

Vjerojatno će “posegnuti” za tablicom Ili džepnim računalom U raspravi ih navesti na trigonometrijsku kružnicu

41

Primjer 13. Uvođenje logaritamske funkcije i definicije logaritma nekog broja

bit će lakše ako ističemo koordinate točaka eksponencijalne funkcije, te zrcalimo obzirom na pravac y=x (jer su funkcije međusobno inverzne).

log2x

2x

x

y

2

1

2

1

241

221

24

22

2)(

xxf 2

12

22

-12

-22

m

( ) log

1 log 2 ; 2 2

2 log 4 ; 2 41 11 log ; 22 21 12 log ; 24 4

...

log ; aa

g x x

m n n

42

Zatim an=

Primjer 14. Limes nizaČini mi se da je dobro početi s nizom an=n

niz: 1, 2, 3, …, n-1, n, n+1, …

0 1

p(R)

M

n1

p(R)0 121

...41,

31,

21,1 :niz

43

Primjer 15.Susreli se dva prijatelja A i B. Osoba B je matematičar.

A: Imam tri sinaB: Koliko imaju godina?A: Produkt njihovih godina je 36, a zbroj njihovih godina je broj koji je na ovoj kućiB :Razmišlja i kaže: Daj mi još jedan podatakA: Moj najstariji sin ima plave očiB: Hvala znam i kaže rješenje

44

Rješenje primjera 15:

abc=36 a+b+c=? a=? b=? c=? abc=36 (postoji 8 mogućnosti)

Rješenje: 9,2,2

36,1,1 18,2,1 12,3,1 9,4,19,2,2 6,6,1 6,3,2 4,3,3

45

Imajte na umu: dozirati predavačku nastavu (učenik nije

“spremnik” kojega treba ispuniti znanjem), smišljeno koristiti razne metode poučavanja

(osmišljeni obrazac ponašanja i djelovanja s ciljem olakšavanja učenja i i poboljšavanja ishoda učenja),

veću pozornost pridati zornosti, navoditi učenike da umnom djelatnošću

doživljavaju radost.

46

Imajte na umu: da je nastavni sat kreativna etapa

nastavnog procesa,

da svaki učenik treba biti aktivni sudionik u nastavi,

da je vrlo djelotvorno suradničko učenje u skupinama ili u parovima,

uspješno poučavanje se može opisati kao "organizirani kaos“.

47

Imajte na umu: da učenici pokazuju veći interes za učenje kada se rabe nove tehnologije (ali ih osmišljeno koristiti), diviti se eleganciji u rješavanju zadataka i upućivati

učenike da to uočavaju, ohrabrivati ih pohvalama i prijateljskim odnosom

prema njima, ne dopustiti da “zaglibe” s negativnom ocjenom, već

im dopustiti da “ispravljaju” dio po dio gradiva.

48

Disciplina u nastavi

Prema nekim razmišljanjima razred je zahvalna publika, oni su tu bez obzira kakva je naša "predstava".

Međutim, i to više nije uvijek tako. Učenici sve više izostaju

s nastave, a učestalije je i nedisciplirano ponašanje.

Da bi učenici djelotvorno učili potrebno je uspostaviti odgovarajući red u tom smislu. Svaki nastavnik osmišljava vlastiti standard koji

se može a ne mora uklopiti u nekakav opći standard škole.

49

Nemogućnost uspostave reda leži u učeničkom neposluhu, a najvažniji uzroci su:

dosada (neprimjerena opterećenost učenika),

dugotrajni umni napor, niska školska samosvijest, emocionalni problemi, Druželjubivost, nedostatak negativnih posljedica.

50

Kako preduhitriti učenički neposluh i ostvariti ugodno radno ozračje?

UMJEŠNIM POUČAVANJEM I PROFESIONALNIM PONAŠANJEM

dobro isplanirane nastavne aktivnosti, koje će poticati i održavati učeničku pozornost, nastavnikovo zanimanje, skoro zanos ("uživljenost") za posao koji obavlja, te

osjetljivost nastavnika za uzajamno poštovanje i razumijevanje

51

Velika je razlika kad s nestrpljenjem pogledavamo na uru kad će završiti nastavni sat ili kad tek

školsko zvono prekine ugodnu radnu atmosferu.

U svemu ovome svakako je najteže nastavnicima početnicima

koji su ionako (možda) ustrašeni od svega.

52

HUMOR U NASTAVI Kada i kako se poslužiti humorom u nastavi i do koje

razine uspostaviti prijateljski odnos s učenicima?

Pretjerana uporaba humora se ne preporuča kao ni suviše prisan odnos s učenicima.

Pravilna primjena humora pridonosi

pozitivnom razrednom ugođaju.

Nastavnik se može našaliti na vlastiti račun,

na račun učenika (ali vrlo taktično), pogotovo kao odgovor

na njihove doskočice, na aktualna društvena zbivanja i

sl.

53

PRAĆENJE RADA I OCJENJIVANJE UČENIKA

Često se može čuti: "Samo da nema tog ocjenjivanja sve bi bilo Samo da nema tog ocjenjivanja sve bi bilo

lako, jer učenici skoro ništa ne uče."lako, jer učenici skoro ništa ne uče."

"Ne možemo reći da učenik ne uči, jer UČENIK, po svojoj DEFINICIJI, UČI."

(pok. prof. I. Smolec)

54

ne služi samo za donošenje ocjene

može biti i razlogom da učenik zamrzi predmet

pokazatelj je učinkovitosti nastave, umijeća komunikacijskog procesa između učenika i nastavnika

PROVJERAVANJE RADA I ZNANJA UČENIKA

Nastavni je proces zapravo zajednički rad učenika i nastavnika, pa je i najbolje ako je i ocjena rezultat zajedničkog dogovora

učenika i nastavnika.

OcjenaOcjenamože motivirati

učenika

55

PISANI OBLIK ISPITIVANJA

sastavljanje pismenih ispita - važno umijeće iz područja ocjenjivanja

Kvalitetno sastavljen ispit je dobar instrument za

mjerenje znanja učenika, a rezultati dobar

pokazatelj uspješnosti nastave.

Loše sastavljen ispit nije dobar instrument i

može biti izvor konflikata između

učenika i nastavnika, pa čak i roditelja.

56

USMENI OBLIK ISPITIVANJA

Usmeno ispitivanja iz matematike?

Razna su razmišljanja, često oprečna!

Bez obzira na poteškoće, usmeno ispitivanje potiče učenike na kontinuirani rad.

Provedena su neka ispitivanja o tome koje predmete

učenici najviše uče: Najviše uče one predmete za koje su sigurni da će biti usmeno pitani.

Matematika je bila skoro na zadnjem mjestu!

57

ZABILJEŠKE O RADU I NAPREDOVANJU UČENIKA

Potrebno je voditi zabilješke koje koriste: nastavniku, učeniku, razredniku, roditelju. Pomažu i u donošenju ocjene!

PROBLEMIMA U OCJENJIVANJU NE TREBA STATI NA KRAJ, VEĆ NA POČETAK!

58

Nastavnik, razmišljajući o svom radu, stječe i formira sliku o sebi.

Međutim, nastavnik nije samo onakav kako vidi sam sebe već i onakav kako ga vide drugi, njegovi učenici

59

Nastavnik treba razvijati kompletnu (objektivnu) sliku o sebi.

Tu mu od velike koristi mogu biti i njegovi učenici.

Saznanja o tome može dobiti na različite načine, a jedan od načina je i anketa.

60

Što je? Pedagogija Didaktika (Odgovori u prilogu) Metodika Nastava Kurikulum Matematika

Zaboravio sam čemu su me poučavali. Sjećam se samo onoga što sam naučio. (Patrick White)

61

I na kraju …Nije nevažno spomenuti čišćenje školske ploče.

Ploča se briše mokrom spužvom i gumenim brisačem za staklo (do uvođenja interaktivnih

ploča).

62

““AKSIOM”:AKSIOM”:

Požrtvovni nastavnici matematike osjećaju radost struke i profesionalno

zadovoljstvo.

BUDITE TAKVI!BUDITE TAKVI!

63

HVALA VAM NA SUSRETU!