Proprietatile sistemelor

Memoria

Sistemele fara memorie sunt acele sisteme la care raspunsul y[n] depinde doar de x[n] si nu si de valori anterioare ale sale. Iesirea sistemului la momentul de timp t depinde numai de intrarea la acel moment de timp t. - pentru sisteme fara memorie: 0 numai pentru si

- pentru timp continuu :

Inversabilitatea

Stabilitatea

Bounded Input Bounded Output (BIBO)

Daca la intrare este un semnal cu energie finita,la iesire avem un rezultat cu energie finita.

x[k]- finit si marginit, iar h[n-k] - marginit

, in timp discret

in timp continuu

Raspunsul SALI/SNLI la intrare egala cu

h hi

y x

Cauzalitatea

Un sistem este cauzal daca raspunsul nu poate sa preceada excitatia, adica daca x[n]=0, oricare ar fi n≤n0, atunci si y[n]=Sx[n] = 0, oricare ar fi n≤n0 .

Iesirea la orice moment de timp t depinde numai de intrarile anterioare momentului de t si/sau de intrarile la momentul de timp t.

, in timp continuu

, in timp discret

- pentru sistemul liniar si invariant

0

h[n]=0, n<n0 0

acumulator

Invarianta in timp

Sistemul este invariant in timp daca raspunsul la o intrare data nu depinde de momentul aparitiei acestei intrari, respectiv daca: y[n] = Sx[n] atunci si: y[n-k] = Sx[n-k]; k in Z

x[n] -> y[n] x[n-n0] -> y[n-n0]

Liniaritatea

Un sistem este liniar daca raspunsul sau la combinatie liniara de secventa de intrare este

combinatia liniara a raspunsurilor sistemului la fiecare secventa in parte, respectiv daca:

atunci: unde yi[n] = Sxi[n]

- operatorul de integrare e liniar ax1+bx2 -> ay1 + by2

FORMULELE LUI EULER

Proprietati SNLI: memoria, inversabilitate, stabilitate, cauzalitate pentru timp discret.

Convolutia

Se numeste functie de convolutie (sau produs de convolutie in timp) a semnalelor x1(t) si x2(t) integrala:

X(t) = ∫

si se noteaza x(t) = x1(t)*x2(t)

Proprietati:

1. Comutativitatea: h[n] * x[n] = x[n] * h[n]

2. Asociativitatea: h2[n]*(h1[n]*x[n]) = (h2[n]*h1[n])*x[n] 3. Distributivitatea: h1[n]*x[n] + h2[n]*x[n]=(h1[n]+h2[n])*x[n]

4. Convolutia in timp: x(t)X(ω) y(t)Y(ω)

x(t)*y(t)X(ω)·Y(ω) 5. Convolutia in frecventa:

x(t) ·y(t)

Convolutia liniara (2 semnale finite)

| | | L valori

|

y[n] = (x*h)[n] = (h*x)[n] = ∑ ∑

Corelatia

Operator care da gradul de asemanare a 2 semnale. Se numeste functie de corelatie relativa la semnalele x1(t) si x2(t) integrala:

∫

Daca functiile sunt complexe:

∫

∫

Relatia dintre convolutie si corelatie:

|

Daca un semnal este par, corelatia = convolutia

Functia de autocorelatie

T

𝐶

𝐷

∫

Tipuri de corelatie:

Liniara

∑ sau

∑

Corelatia ciclica

Fie 2 secvente periodice, de aceasi perioada

x1[n] = x1[n+N] x2[n] = x2[n+N]

Corelatia ciclica este r[m] = ∑

E= ∫

Teorema esantionarii

O functie continua de banda finite limitata poate fi reconstituita din esantioane extrase la momente de timp egale daca frecventa de esantionare

este cel putin egala cu dublul frecventei maxime din semnal

Sampler

Reconstructia semnalului se face prin trecerea secventei discrete printr-un

filtru trece jos ideal.

𝑥 𝑛 𝑥𝐴(nT) 𝑥𝐴 𝑡 𝑥 𝐴 𝑡

T

𝐶

𝐷

Sampler

∑

∑

(

)

∫

∑ ∫

∑

∑

∑

( ) ∑

( ) |

∑ (

)

𝑥𝐴 𝑡 𝑥 𝐴 𝑡

𝑥 𝑛 𝑥𝐴(nT) 𝑥 𝐴 𝑡

𝑇 𝑇

0 Ω

~𝑻𝑿 𝑨

𝒋

𝜋

𝑇1 0

𝜋

𝑇1 Ω

𝜋 𝜋 Ω

𝑇

𝑻𝑿 𝒆𝒋𝝎

TRANSFORMATA FOURIER IN TIMP CONTINUU

Transformata Fourier directa: ( ) ( ) * ( )+ ∫ ( )

Transformata Fourier inversa: ( ) * ( )+

∫ ( )

Proprietati:

T 1: ( ) este o functie continua si | | ( )

T 2: ( ) ⇔ ( )

T 3: ( ) ⇔ ( )

T 4: Schimbarea scarii timpului: ( ) ⇔

| | .

/ * +

T 5: Teorema deplasarii (in domeniul frecventa): ( ) ⇔ ( )

T 6: Teorema deplasarii (in domeniul timp): ( ) ⇔ ( )

T 7: Teorema derivarii: ( )

⇔( ) ( )

T 8: Teorema integrarii: ∫ ( ) ⇔

( )

T 9: Teorema convolutiei in (domeniul) timp: Daca ( ) ⇔ ( ) ( )

⇔ ( ) atunci:

( ) ( ) ⇔ ( ) ( )

T 10: Teorema convolutiei in (domeniul) frecventa: Daca ( ) ⇔ ( ) ( )

⇔ ( ) atunci:

( ) ( ) ⇔

( ) (

Serie Fourier trigonometrica (SFT): ( )

∑ , -

⁄

unde:

∫ ( )

;

∫ ( ) ( )

∫ ( ) ( )

Serie Fourier (sub forma) armonica (sau compacta) SFA: ( ) ∑ ( )

unde: ⁄ ; √

; ( ⁄ )

Serie Fourier (sub forma) complexa (sau exponentiala) SFC: ( ) ∑

unde: | |

∫ ( )

Daca x(t) ϵ R , rezulta ca:

( ) ; ⁄ ; | | | |

√

( ⁄ ) ( ⁄ )

Transformata Fourier discretă a unei secvenţe x*n+ de durată finită L ≤ N se calculează cu relaţia

X[k]=

1

0

/2 1..3,2,1,0,][N

n

Nknj Nkenx

Transformata Fourier in timp discret X(ejω)=

n

njenx ][ ; x[n]=

deeX njj )(2

1

Proprietățile transformatei Fourier

1.Liniaritatea, exprimată matematic astfel:

2.Periodicitatea (în domeniul frecvență)

3.Simetria

Dacă atunci:

4.Deplasarea în timp

Se consideră semnalul , cu și se calculează transformata Fourier corespunzătoare:

5.Deplasarea în frecvență

Dacă se consideră semnalul ,rezultă:

6. Derivarea în frecvență

Prin derivarea în raport cu a celor doi membri din relația de definiție se obține:

][))((

;)(

][ nnxjTFTDd

eXd

d

edXjnnx

jj

7.Teorema convolutiei in timp discret:

)()(][*][ 2121

jj eXeXnxnx

8.Teorema convolutiei in frecventa :

))(*)((2

1][][ 2121

jj eXeXnxnx

Teorema lui Rayleigh a energiei:

deXdttx j 22 |)(|2

1|)(|

z-1

Teorema convoluției în timp discret

Dacă se utilizează definiția transformatei Fourier pentru semnalul y[n] rezultă:

Prin inversarea ordinii de sumare și cu schimbarea de variabilă și relația de mai sus devine:

Relația anterioară evidențiază faptul că produsului de convoluție în timp discret îi corespunde produsul algebric al transformatelor Fourier, adică:

Teorema convoluției în domeniul frecvență

Se definește semnalul discret și se determină transformata sa Fourier. Se obține astfel:

Prin inversarea ordinii de sumare cu cea de integrare, relația precedentă devine:

Se observă din ultimul membru al relației de mai sus că s-a obținut produsul de convoluție al funcțiilor

de densitate spectrală periodice (de perioadă 2π) , , efectuat pe un interval compact de lățime 2π, adică s-a găsit corespondența:

Indicele atașat în dreapta produsului de convoluție în frecvență evidențiază caracterul periodic (ciclic) al acestuia.

Problema P.7.1

Se dă sistemul discret cauzal prezentat in figura P 7.1.1. Să se determine răspunsul sistemului y*n+ când la intrare se aplică x1[n]=δ[n] sau x2[n]=3n.

F

x[n]

Rezolvare:

Răspunsul pondere h*n+ este răspunsul sistemului la impulsul unitate δ*n+. Cunoscând răspunsul pondere h*n+ se poate calcula răspunsul y*n+ al sistemului la un semnal oarecare x*n+ prin:

Sistemul fiind cauzal, produsul de convoluție discret va fi:

Ecuația cu diferențe finite a circuitului este:

Aplicând la intrare impulsul δ[n] va rezulta funcția pondere:

Cunoscând funcția pondere h*n+ putem determina răspunsurile:

.

2 4

y[n]

Exemplu:

Să se calculeze transformata Fourier în timp discret a semnalului din figură:

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-3

-2

-1

0

1

2

3

x[n]

n

Rezultă că:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

omega

|X(o

mega)|

Exemplu:

Să se determine transformata Fourier a semnalului neperiodic dreptunghiular în timp discret din figura:

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 70

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x[n]

n

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

omega

|X(o

mega)|

Exemplu:

Să se determine transformata Fourier a semnalului neperiodic în timp discret, de tip dreptunghiular definit de:

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

n

x[n

]

Rezultă că:

Pentru N1=2 =>

0 1 2 3 4 5 6 7-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

omega

|X(o

mega)|

TRANSFORMATA Z

Se foloseste pentru a transforma un semnal discret din timp continuu in

reprezentarea sa in frecventa prin numere complexe.

Generare a TLDT; corespondenta in districet a Transformatei Laplace.

Forma Bilaterala

( ) * , -+ ∑ , -

Forma Unilaterala

( ) * , -+ ∑ , -

Transformata Z Inversa

, - * ( )+

∮ ( )

Regiunea de convergenta (regiunea pt care seria converge)

∑ | , - | ||

CONCLUZII (din curs)

1. Regiunea de convergenta e marginita de poli, zerouri si/sau de infinit.

2. Daca avem o secventa marginita , - , -

| | (tot planul Z)

3. Daca avem o secventa marginita la stanga , -

| | (convergenta de exterior)

4. Daca avem o secventa marginita la dreapta , -

| | (convergenta de interior)

5. Daca secventa este nenula pentru tot intervalul, atunci ROC e o

coroana circulara

Proprietatea Convolutiei

Daca , - ( ) , - ( ) atunci , - , - , -

( ) ( ) ( )

TRANSFORMATA Z INVERSA este definită de relaţia

, - * ( )+

∮ ( )

METODE DE CALCUL:

Identificare: ( )

daca | | , - , -

daca | | , - , -

Descompunerea in fractii partiale:

( ) ( )( )

( )( ); daca M<N, N radacini distinct

( ) ∑

;

( )( )

( ) ∑

sau ( ) ∑

Descompunerea in serii de puteri:

( ) ( )

( )

Metoda reziduurilor

, -

∮ ( ) ∑ ( ( ) )|

Legatura transformatei Z cu transformata Laplace

( ) ( ) ( ) ∑ ( ) ( )

( )

* ( )+ ∑ ( )

* , -+ ∑ , -

trecerea de la planul s la planul z

PROPRIETATI:

1. Liniaritate: , - ( ) , - ( ) , -

, - , - ( ) ( ) ( )

2. Conjugare: , - ( )

3. Th Val Initiale: Dacă x[n] este un semnal discret cauzal (x[n]=0

pentru n<0), atunci , - ( )

4. Th Val Finale: , - ( ) ( )

5. Convolutie: , - , - ( ) ( )

6. Th Deplasarii: , - ( )

7. Reflexie: , - ( )

8. Scalare: , - ( )

9. Derivare: , - ( )

Structuri FIR

H(z) =N−1∑n=0

h(n)z−n

Y (n) =N−1∑k=0

h(k)X(n− k)

Faza liniara

h(n) = h(N − 1− n) → faza este liniarah(n) = h1(n− N−1

2 )

H(ejω) = e−jω(N−12 )H1(ejω) raspunsul in frecventa

h1(n)par → H1(ejw) real

Demonstratie:

H(z) =N−1∑n=0

h(n)z−n unde N e par =

N2 −1∑n=0

h(n)z−n +N−1∑n=N

2

h(n)z−n

r = (N − 1)− n

n = N − 1− r

=

N2 −1∑n=0

h(n)z−n +

N2 −1∑n=0

h(n)z−(N−1−n)

=

N2 −1∑n=0

h(n)[z−n + z−(N−1−n)]

Structura de esantionare in frecventa

h(n)- raspunsul la impulsul unitateh(n)→ H(k) DFTh(n)→ H(z) transformata Z

Demonstratie:

H(z) =N−1∑n=0

h(n)z−n

h(n) = 1N [

N−1∑k=0

H(k)W−nkN ]RN (n)

H(z) = 1N

N−1∑k=0

H(k)N−1∑n=0

(z−1W−kN )n

H(z) = (1− z−N ) 1N

N−1∑k=0

H(k)

1−W−kN z−1

Cuantificarea parametrilor

H(z) = B(z−1)A(z−1)

A(z−1) = 1−N∑

k=1

akz−k =

N∏k=1

(1− zkz−1) unde zk este pol

ak = ak + ∆k unde ∆k este eroarea → zi = zi + ∆zi

∆zi =N∑

k=1

( ∂zi∂ak

)∆ak

1

Metode de baza in proiectarea filtrelor FIR

1. Metoda ferestrelor

Incepe cu raspunsul la impulsul unitar dorit care apoi este trunchiat cu ajutorul unei

ferestre cu durata finita.

a. Fereastra dreptunghiulara

Reprezentarea ei este:

b. Fereastra Hamming si fereastra Hanning

Este de fapt o familie de ferestre, cu parametrul α . Pentru α=0,54 se obtine fereastra Hamming propriu-zisa, iar pentru α=0,5 se obtine fereastra Hann (deseori,

in mod impropriu numita Hanning). Ideea ce stă la baza ferestrelor Hamming este de a realiza o fereastră cu tranziţii mai lente în timp, având ca rezultat un spectru cu lobi

secundari mai mici, dar şi o lăţime mai mare a lobului principal.

c. Fereastra Blackman

2. Metoda esantionari in frecventa

Raspunsul in frecventa al filtrului FIR este specificat cu ajutorul esantioanelor din

raspunsul in frecventa dorit.

3. Metoda bazata pe minimizarea erorii(equiripple)

Primele doua proceduri nu ofera un rezultat optim in proiectarea filtrelor, de aceea

se foloseste aceasta metoda.

FILTRE IIR

Proprietăţi generale

Un filtru IIR poate fi caracterizat prin ecuaţia cu diferenţe finite:

( ) ∑ ( ) ∑ ( )

Trecand in planul Z,

( ) ∑ ( ) ∑

( )

Rezulta functia de transfer:

( ) ∑

∑

( )

( )

Filtrul se presupune cauzal, asa incat domeniul de convergenta este:

* | | +

Functia de pondere se poate obtine pornind de la ecuatia cu diferente finite:

( ) ∑ ( ) ∑ ( )

( )

∑ ( )

[ ]

∑ ( )

Introducerea restrictiei de cauzalitate asigura conditiile initiale necesare

definirii complete a lui h(n) , pentru orice n , din ecuatia cu diferente finite.

Filtrul este stabil dacă:

∑| ( )|

În planul Z , conditia de mai sus conduce la necesitatea ca cercul unitar sa

fie inclus in domeniul de convergenţa, deci R<1. Aceasta presupune ca toti polii sa se situeze in

interiorul cercului unitar.

Functia pondere poate fi calculata si ca transformata Z inversa a functiei de transfer:

( ) * ( )+

∮ ( )

unde

* | | +

Comportarea in domeniul frecvenţa poate fi caracterizata prin :

( ) ∑

∑

| ( )| ( )

Caracteristica amplitudine-frecventa este :

| ( )| | ( )|

| ( )| √∑ ( )

√∑ ( )

Filtrul are nuluri si poli. Efectul nulurilor este cel prezentat la filtrele FIR

(minime, eventual rejectii in cazul zerourilor situate pe cercul unitar). Polii

generează maxime ale caracteristicii amplitudine-frecventa, cu atat mai pronuntate, cu cat se afla

mai aproape de cercul unitar. Ca urmare, filtrele IIR permit realizarea unor maxime ascutite, benzi

de trecere foarte inguste, benzi de tranzitie foarte mici. Asemenea performante s-ar putea realiza si

cu filtre RFI, dar ar necesita lungimi foarte mari.

Un dezavantaj il constituie faptul ca nu permit realizarea unor filtre cu faza perfect liniara.

Caracteristica de faza a filtrului poate fi scrisa :

( ) ( ) ( ) unde ϕA (ω) si ϕB (ω) reprezinta argumentele functiilor A(e

jω) si B(e

jω).Utilizand condiţiile de

simetrie studiate la filtrele FIR pentru A(z) ,ϕA (ω)

poate fi obtinut perfect liniar. Acest lucru nu este insa posibil si pentru numitor, deoarece s-a aratat

ca o functie de fază liniara care admite un nul zi admite de asemenea si nulul zi-1

. Aceasta conditie

aplicata numitorului vine în contradictie cu restrictia de stabilitate .Se poate cel mult aproxima o

caracteristica cu faza liniara.

Filtrele IIR permit in schimb realizarea unei caracteristici amplitudine-frecvenţa perfect

constante, in toata banda de frecventa (filtru trece-tot) , deci a

unor defazoare ideale.

FN cu Răspuns Infinit (la Impulsul Dirac) FN-RII

(IIR-Infinite Impulse Response)

Relaţia între secvenţele de intrare x[n] şi de ieşire y[n]:

y[n]=b0x[n]+b1x[n-1]+…+bMx[n-M]-a1y[n-1]-…-aNy[n-M]

Funcţia de transfer a unui FN tip IIR de forma:

HIIR(z)=

0

1

[ ]

[ ]1

Mi

i

i

Ni

i

i

b zY z TZ y n

X z TZ x na z

Răspunsul pondere IIRh n şi funcţia de transfer IIRH z sunt perechi

Transformate Z, adică:

hIIR[n] HIIR(z)

TZ

Metode în proiectarea FN tip IIR

1. Proiectarea unui FN-IIR dintr-un FA prototip, care poate fi ilustrată de schema bloc :

Metode de normare a frecvenţelor limită a benzilor de trecere şi

blocare pentru cazul unui FN de tip FTJ.

Date

de

proiectare

Proiectarea

unui

FA

Discretizare t nT n

T=1

FN

Proiectarea

Unui

FA tipFTJ

prototip

Transformata

De frecventa

-FTS

-FTB

-FOB ,etc

FA prototip

Proiectarea FN-IIR prin metoda aproximării

numerice a ecuaţiei diferenţiale ce caracterizează un

FA

Un FA este caracterizat de :

( ) ( )

( ) ( )0 0

( ) ( )i in m

i ii ii i

d y t d x ta b

dt dt

Aproximarea numerică a derivatei de ordinul unu este:

( ) ( ) ( )

t nT

dy t y nT y nT T

dt T

Aplicând Transformata Laplace membrului stâng şi Transformata Z

membrului drept se obţine:

TL( ) ( ) ( )

t nT

dy t y nT y nT TT

dt T

rezultă că, prin discretizare, se obţine corespondenţa:

sY(s)11

( )z

Y zT

Proiectarea FN-IIR prin metoda invarianţei la impulsul

unitate

Algoritm :

1. Se calculează Ha(s) a FA prototip

2. Se determină 1 (( ))a aTL H sh t

3. Se determină răspunsul pondere a FN:

1( ) [ ]a Th nT hn

4. Se calculează funcţia de transfer a FN:

[( ) ]d TH Z hz n

Proiectarea unui FN tip IIR prin metoda transformării

biliniare Algoritm:

1. Se determină Ha(s) a FA prototip 2. Se calculează caracteristica de frecvenţă a FA:

( )aH j sau a(Ω)=20 lg 1

aH j

3. Se determină HIIR(z) a FN utilizând transformarea biliniară: HIIR(z)= ( )aH s

s1

1

2 1

1

z

T z

4. Se calculează caracteristica de frecvenţă a FN, care se compară cu cea

a FA prototip (şi cu datele impuse FN!)

Proiectarea FN-IIR prin metode de optimizare

Fie funcţia de transfer a unui FN-IIR de ordinul unu:

1

0 1

1

1

( )1

b b zH z

a z

Care sunt valorile lui b0 ,b1 ,a1 astfel încât caracteristica de modul a FN

să îndeplinească condiţiile din figura de mai jos ?

Valorile parametrilor b0 ,b1 ,a1 se vor determina prin minimizarea

funcţiei criteriu global :

2

1

( i( n) ) mm m

NFj j

dorit

m

H e H e

0 ωt π 2π

1

)( jdorit eH

ω