GEOMETRIA DESCRITIVA A11.º Ano

Problemas Métricos

Ângulo entre Recta e Plano

GENERALIDADES

O ângulo entre uma recta e um plano é o ângulo formado entre a recta dada e a projeção ortogonal da recta sobre o plano. Esse ângulo está contido num plano que contém a reta dada e é ortogonal ao plano dado.

r

I

p

P’

r’θº

P

α

r

I

p

P’

r’θº

P

α

P’’θ1ºI’

r’’

β

Se uma recta r faz um ângulo θ com um dado plano α, a reta fará o mesmo ângulo com qualquer plano paralelo ao plano α.

α

90º - θº

θº

θº

rp

s

r’

P

P’I

Ângulo entre uma Recta Oblíqua e um Plano OblíquoUtilizando o método geral para a determinação de ângulos entre rectas e planos resulta numa enorme complexidade de traçados, sendo mais adequado o método do ângulo complementar. Tal solução é sempre preferível quando o plano é não projetante.

1- conduzir por um ponto qualquer P da recta r, uma recta p ortogonal ao plano α.

2- Determinar o ângulo formado pelas duas rectas, r e p.

3- o ângulo entre a reta e o plano dado é o ângulo complementar do ângulo entre a reta dada e a reta ortogonal ao plano.

90º - θº é a V.G. entre as duas rectas e o ângulo complementar do ângulo pretendido.

θº é a V.G. do ângulo entre e recta r e o plano α.

Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta oblíqua r e um plano oblíquo δ.

x

r1

r2

fδ

P1

P2

Utilizando o método geral para a determinação de ângulos entre rectas e planos resulta numa enorme complexidade de traçados, sendo mais adequado o método do ângulo complementar. Tal solução é sempre preferível quando o plano é não projetante.

É conduzida por um ponto qualquer P da recta r, uma recta p ortogonal ao plano δ.

Determina-se o ângulo formado pelas duas rectas, r e p, via rebatimento.

90º - βº é a V.G. entre as duas rectas e o ângulo complementar do ângulo pretendido.

βº é a V.G. do ângulo entre e recta r e o plano δ.

p2

p1

(hφ) B1

B2

A1

A2

≡ e1

e2

≡ Br

≡ Ar

Pr1

Pr

pr

rr

90º-βº

βº

hδ

É dada uma recta oblíqua m contém o ponto M (0; 4; 5). A projecção horizontal da recta m faz um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x e a sua projecção frontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x. É dado um plano oblíquo δ, ortogonal ao β1,3, intersecta o eixo x num ponto com 2 cm de abcissa e o seu traço horizontal faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. Determina a V.G. do ângulo entre a recta m e o plano δ.

x

y ≡ z

M1

M2

m1

m2

hδ

fδUtilizando o método geral para a determinação de ângulos entre rectas e planos resulta numa enorme complexidade de traçados, sendo mais adequado o método do ângulo complementar. Tal solução é sempre preferível quando o plano é não projectante.

É conduzida pelo um ponto M da recta m, uma recta p ortogonal ao plano δ.

Determina-se o ângulo formado pelas duas rectas, m e p, via rebatimento.

90º - αº é a V.G. entre as duas rectas e o ângulo complementar do ângulo pretendido.

αº é a V.G. do ângulo entre e recta m e o plano δ.

p1

(hφ) A1

A2

B1

B2

p2

≡ e1

e2

≡ Ar

≡ Br

Mr1

Mr

mr

pr

90º- αº

αº

Ângulo entre uma Recta Oblíqua e um Plano de Rampa

Pretende-se a V.G. do ângulo formado entre uma recta oblíqua r e um plano de rampa ρ.

x

Uma vez que que se trata de um plano não projectante, será mais adequado o método do ângulo complementar.

É conduzida por um ponto qualquer P da recta r, uma recta p ortogonal ao plano ρ.

Determina-se o ângulo formado pelas duas rectas, r e p, depois do processo de rebatimento das rectas. O plano π é o plano de perfil que contém a recta p. A recta i é a recta de intersecção entre os planos π e ρ, definida pelos seus traços, F e H.

Para determinar a V.G. do ângulo, existe a necessidade de rebater o plano definido pelos duas rectas r e p, para um plano horizontal υ. 90º - βº é a V.G. entre as duas rectas e o ângulo complementar do ângulo pretendido.

βº é a V.G. do ângulo entre e recta r e o plano ρ.

r1

r2

fρ

hρ

p1 ≡ p2

P1

P2

≡ fπ ≡ hπ

F1

F2

H1

≡ H2

≡ i1 ≡ i2

≡ (e2)

≡ e1≡ hπr

≡ fπr

Pr

Fr

≡ Hr

ir

pr

Ar

A1

A2(fυ) ≡ e’2 B2

B1

≡ Ar1

≡ Br

e’1

Pr1Pr2

pr1

rr190º-βº

βº

Uma recta de perfil p é definida pelos pontos A (1; 1) e B (3; 2). É dado um plano de rampa ρ, com o seu traço horizontal de 5 cm de afastamento, e o seu traço frontal de 3 cm de cota. Determina a V.G. do ângulo entre a recta p e o plano ρ.

x

p1 ≡ p2

A1

A2

B1

B2

hρ

fρ

Neste caso, o processo mais simples é via o processo de mudança do diedro de projecção.

É conduzida por um ponto qualquer P da recta r, uma recta p ortogonal ao plano ρ.

O ponto C de fρ é utilizado para determinar o traço do plano ρ no plano 4.

O ângulo entre a recta p e o plano ρ é o ângulo entre p4 e f4ρ.

21

x’

41

C1

C2

A4

B4

C4

p4

f4

ρ

αº