plaques - partie1

5/12/2018 Plaques - Partie1 - slidepdf.com

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TH EO RIE D ES PLA QU ES EL ASTIQ ,U ES.

INTRODUCTION.

Dans ee cours, la theorle lineaire des plaques sera presentee d Iune

fagon inductive entierement parallele a la theorte des poutres etablie en Resis-tance des Materiaux.

Au paragraphe 1.1., on etablira par un raisonnement simple mais ri-goureux La theorie de la flexion pure des plaques; qui est parallele a celle de

la theorie de Navier vue au paragraphe 5.1. du eourS de Resistance des Materiaux~

Contrairement a ce qui a lieu pour les poutres3 cette theorie n'est valable quesi les deplacements transversaux sont faibles vis a vis de J. Ie p a" i ss e ur d e Laplaque.

A u p ar ag ra ph e 1.20J on developpera ensuite la theorie technique clas-sique des plaques chargees de forces transversales. Cette theorie postula que

les contraintes normales transversales dz et les efforts tranchants transver-saux ont un effet negligeable sur la deformation de la plaque.

Ces hypotheses simplificatrices sont la generalisation directe de celles faltesen Resistance des Materiaux pour etablir la theorie technique des poutres soumi-

ses a des charges transversales (cf. pa~agraphes 8.4. et 9.4. du cours de Resis-tance des Materiaux).

.' ..,',

Le chapitre 1 ci-apres contient la theorie des plaques isotropesq

Les resultats obtenus dans ce chapitre sont etendus au chapitre 2 aux plaques

anlsotropes, surtout en vue d'arriver au developpement de la methode de calculdes pants a p ou tr es m ul ti pl es .

I.e chapitre 3, consacre a lietude des plaques sollicitees dans leurplan, debouche sur la recherche des contraintes critiques de'voilement des pla-ques raidies, qui presente un inter€t capital en construction metalliqu~. La

theorie linealre de voilement. represente malheureusement fort mal la realite,car elle neglige les contraintes de membrane qui se developpent dans la plaque

des que celle-ci flechit. crest pourquoi il nous a semble indispensable d'abor~der dans un darnier chapltre Ia theorie non-lineaire des plaques membranes, quiforme Ia base d'une comprehension complete du cOlnportement des plaques en danger

de voilement. Apres avoir etabli les deux equations de base at discute de leurintegration, on donne quelques notions sur ,Ie probleme du raidissage des parois

des grandes poutres en tole et sur le calcul des structures en tole mince pliee.



CHAPITRE 1 THEORIE DES PAIBLES DEFORMATIONS DES PLAQUES ISCYI'RO?ES.

1.1. FlliXIONPURE DES PLAQUES.

1 . 1 . 1 ~ R el at io ns e nt re l e s courbures et moments prindpaux.

Cons Ider-ons une plaquerectangulaire flechie par des

moments uruf'ormemerrtdi5tri.-hues sur Les cote.s de cetteplaque comme 1e montre In fj ..

gure 1.1.

Pr-e nons comme plan :le:-;

xy le plan moyen de 1a plaque.Situe a egale distance des fa-

ces de celJe-ci, et dirigeonsles axes Ox et Oy selor. las

c6tes de la plaque comme il estindique.

Fig. 1.1. L1axe des z sera ;e~-

pend1culaire au plan de la plaque et dirige vel'S I e bas.

Appelons

e 11epaisseur de 1a plaque 9 supposeC. faible par rapport a ses aut re s

dimensions .,le moment de flexion par unite de longueur sur les cates par-a Lte Le s ~ Oy ;

Ie moment de flexion par unite de longueur sur les cotes par'a.Ll.e Le s ~ 0:-:.~

Ces moments s "expr-i merrt, par exemp.l.e en kgm par metre courant etant done la dimension d'une force.

En accord avec la convention generale des signes u~ilisee dans cecours~ nous eompterons ces moments positivement slils tendent a comprime'r':;_aface superieure de la plaque et"a tendre l'inferieure.

Considerons un element decoupe hors de 1a plaque par deux paires ie

plans parall8 1es aux plans coordonnes Oxz et Oyz respectlvement. (Figure l.2.).

Dans l'etude de la fle~ion pure des poutres prismatiques, faite e~Resistance des Materiaux, nous avons demontre, aIr aide de conside-rations de s flTI~-

trie ..que s!la poutre etait infiniment longue, ses sections droites re st.atentplanes pendant la flexion et tournaient autour d "un axe neutre passarrt par Lerr

axe de gravi t e. Dans lecas d 'une plaque. qui s 'etend' Lndef'Lru.nent. en tous se ns ,on peut faire une demonstration tout a fait semblable. On peut done affirmer que

les cotes latera~x de l'element dx dy dz (Fig. 1,2.) restent plans au ~ours ie1a deformation et tournent autour des axes neut r es correspondants "nn" de ma !" ,i e-re a resternormaux au feuillet moyen deforme de la plaque. On constate que,dans ce cas, ce feuillet ne subit aucune deformation et constitue par consequent

une surfacf neutre.



Appelons J C et ) C les courbures des sections fai tes dans cette

surface neutre par les xplans Para11eles a Oxz et Oyz respectlvement;

les dilatations dans les directions x et y d1une lame elementaire abcd

(Fig. 1.2.) situee a 1a distance z de la surface neutre s'obtiennent comme

dans 1e cas d'une poutre et valent:

Ex

= = z : > G :x; z } 0

y(a)

D'apres la 10i de Hooke~ on a

E x 1= =

E

Cy

1= =E

(6 - Y • C 5 )x y

(b)

(6 - V • (f )

y x

et les contraintes dans 1a lame abcd valent

d.. E.z

C k : x + v X )= .1 .

_ y2 Y

E.z (Xy

+ y)i )J' = = 2 •Y

1 -. jx

(c)

El le s s on t p ro por ti on ne ll es a la df.stance z de 1a lame abcd a.

la surface neutre et dependent de 1a grandeur des deux courbures principa1es

de la plaque flechie.

Ecrivons maintenant que

libre, clest-a.-dire que les couples

ments exterieurs Mx.dy et My.dxment ; il vient

1e parallelipipede e.dx.dy est en equi-

des forces interieures sont egaux aux mo-

agissant sur les faces laterales de 1'618 -

.f ·



4.-

.:(J • z. dy.dz = Mx' dy- e/2

x

f + 0/2(J • z. dx.dz "" M • dx

-e/2y y

« . )

en y r em pl aga nt a et (J par leurs valeurs (0), on trouvex y

M := D. ()Lx + 1 > X )x Y

M := Do (~y +Y x : : . )y x

o u l'on a pose

DE f + e/2 2

~ ~2' _ e/2 z. dz

La q uan ti te D joue un r61e analogue au produit EoI. d e l 'e qua ti onde l'e1astique ; c'est pourquoi on l'appelle la rigidite flexionnelle de la pla-que.

On peut resoudre les formules (1.1.) par rapport aux courbures, ce quidonne

(1.2. )

~ = (M - o J M )/D'x x y

X - y :::::I (M -i ) M )/D t

Y X

avecD' := Ee

3/12 (1 _ V 2

) D=

3i nous supposons que les deplacements transversaux w dela plaquesont faibles, nous pouvons, comme au paragraphe 9 . 5 . du courS de R.d.M., adopterpour les courbures 1es expressions simplifiees

2 2;t: o w

)/y;) \1

= . , .x a x 2 dye

( hy po th es e N ° 1es pentes faibles) •

Remplagons dans les equations (1.1.), nous obtenons

M :=

X

2 2- D. (a w + V •

(l w )

o x2

~l (1.3. )

2 2

- D. ( £ . 2 ! . + . y q w) ~2 . 2

oy a x

M .,.y

ces equations definissent la forme que prend apres deformation Ie feuillet moyen

de 1a- plaque quand on donne 1es moments Mx et My'

Dans 1e cas particulier ou M = 0, la plaque est flechie commeune poutre par la deuxieme equation (1.3~),on a dans oe cas :

./.



: ..)

clest-a.-dire que la plaque a en chaque point deux courbures princ1.pales opposees( s ur f ac e a n ti c la s t1 q ue ) .

31 1 'on f'Lechf.t,a plaque de mant sre a lui donner une forme cylindri-

que (Fig. L3.), sa courbure dans Le sens des y est nulle et les formulas

(1.1.) se re dui se nt a

M = D . x : : : : _ E. e3

~

x x 12. (1 _v 2) x ( 4)1..

M = ,)D x :Y x

31 lion avait considere une bande1s01ee de largeur unitaire (Fig.

1.3.) e t a ppl iq ue a cetta bandela fonnule classique de la flexion

des poutres, o n aurait trouve

E.e3

1/"Yxx

=

12

puisque le moment d'inertie de Iabande est

- Fig. 1.3. -

I

rigide que1

--,2'1-v

En comparant les deux resultats, on constate que la plaque est plusne l'indique la theorie des poutres; cette augmentation de rigidlte

1vaut, dans Ie cas de llaeier, 0 , 9 1 = 1,10 ; el1e est due au fait que,

..:

dans une poutre, la dilatation transversale € peut s'effectuer librament tan-dis que dans 1a plaque, elle est emp€ohee par ~uite de In continuite dans Iesens des y. II natt de oe fait des contraintes ay qu'on peut deduire de las ec ond e f orm ule (1~4.).

31 M x = = My = M.• les eourbures du feuillet moyen dans les deux di-rections perpendiculaires sont egales at 1a plaque prand une forme spher1queIa courbure de .cette sphere est,.par l'equation (l~l.) : ~

) C = = D. (~ + v)

II est facile de voir qu'on obtient une tel1e surface spheriquepour une plaque de forme quelconque, pourvu que les moments de flexion soientdistribue~ uniformement le long de son contour.

1.1.2. Domaine de validite de 1a theorie lineaire des plaques.

Dans la theorie faite ci-dessus, on a suppose que 1e feui1let moyenne subissait aucune deformation pendant Ia fIex1pn de la plaque.

Cette condition ne peut etre rigoureusement satisfa1te que s1 ce

feuillet moyen deforme devient une surface developpable telle qu1un cy1indreou un c6n8\.

.r .



6.-

En general, 1a surface 9U feuillet d e forme nlest pas developpable,

de ~orte que cs feui11et ne peut constituer une surface neutre que s1 les de~p la ce me nt s t ra ns ve rs au x x de 1a plaque sont faibles vis-a-vis de son epaiss~~r

e.

oPour nous en ren-

dre compte, considerons tme

plaque c1rcula1re de rayon

a flechie par des moments Muniformement distribues sursa circonference (Fig. 1.4.).II suit de ce qui precedeque la plaque se trans forme

en une portion de spher€dont Ie rayon est dOIDle par

1a formule ( 1 . 5 0 ) .

0~cM

- Fig. 1.4. -

Soit AOE 1a sec-tion diametra1e de 1a plaque

flechie, et c f Ie dep'Iacemerrt

de son point milieu.

SupposonsJ p o ur s im :e _l J1 I.rI"' analls~ que Ie feuilletn e s ub is se a UC ll ll ed ef or ma -tion dans 1a direction me-ridienne. A1ors:

aarc OB :0> a , i=: f

CB = a1 ." J. sin iLa deformation de 1 a plaque produit necessairement des dilatations

de r acco urci ssem ent dan s Ie sens circonferentiel. La grandeur de ces dilata-tions pour Ie contour de la plaque est

= 1'1- J sin ~.

y .~s1 Jest faible, ~ est tres Petit et

sin

d10u

t: : : 6

En remarquant que2

(' 1:~c) ::I J. (1 - cos 1).t:::: 2

nou s o bten ons(e)

, Cette expression represente 1a limite super1eure de 1a dilatationcirconferentielle,-parce qulon a suppose que 1a dilatation meridienne etait

nulle..r .



7.-

En realite, il se produira une extension du feuillet moyen dans ladirection meridienne, oe qui aura pour effet de reduire la compress~on ci~on-

ferientielle donnae par la formule (e).

Dans la theorie classique des plaques, on neglige entierement les

dilatations du feui11et moyen et on considere uniquement les dilatations donnees

par les equations (a), dont la valeur maximum est ici ~.

Lterreur ainsi commise nlest faib1e que si ~ reste faible vis-a-

vis de e~. ce qui exige que Ie dep1acement ~ soit faible vis-a-vis de lle_

£i:i:?seur e de la plaque. (Hypothese N ° 2 ) . C'est sous cette condition seule-ment que la theorie approchee des plaques donne des resultats corrects.

1.1.3. Etat de sollicitation en un point.

Considerons a present les contraintes agissant sur une section pa-

rallele a 11axe Oz et inclinee sur les axes Ox et Oy (Fig. 1.5.•). S o i ta 1'angle entre la normale n a cette section et llaxe des x, angle compte

positlvement dans Ie sens horlogique.

Si acd represente une portion d e la lame abcd de la fig. 1.2.,coupee par une telle section, cette lame est en etat plan de contrainte (par.

~~. cours de Resistance des Materiaux) sous l'effet des contraintes Prlncipales

= (jx

= I SY

Par consequent, les

gentielle ~ t sur la section

(page 77 du 8 0urs de Resistancetions actuelles :

(J

n

grandeurs des contraintes normale IS et tan-

ac sont donnees par les formu1es (~.2.)

des Materiaux)1 qui steorivent avec 1es nota-

cos20; + < Jy • sin

20; }

IS _ (j (f)y x2 • sin 2 0; •

dx

1: ...

nt

O , ~ - - ~

dx

d l 6 '1- , . - - - ~ ~ - - - - - - - - - - - - - - L - - - - - - - - - - - ~ c

dy

I-- lit

- Fig. 1.5. .r ,



8.-

Considerons maintenant toutes las lames telles que aod empilees sur

llepaisseur e de la plaque et cherchons les moments resultants des contraintes

on et Tnt' Les contraintes normales O'n nous donnent Ie moment de flexio:'1agissant par unite de longueur sur la section ac:

+

J+ e/2

=O'n0 z. dz- e/2

M 2 M . 2

= x' cos a + y ' Sln a .

Les contraintes tangentielles , nous donnent Ie moment de torsion

agissant par unite de longueur sur la section ac :

M ""-nt J

+ e/2 1

Tnt' z.dz = 2 sin 2 a • (Mx - M y ) .- e/2

(1.7• )

Les signes de M h et M~t sont choisis de maniere que les valeurspositives de oes moments soient representees par des vecteurs diriges dans les

directions positives n et t (Fig. 1.5.).

Les equations (1.6.) at (1.7.) sont entierement semblables aux equa-tions (f) de llatat plan de contrainte. Par consequent, on peut leur appliquer

tout ce qui a ete dit aux paragraphes 4 . 3 . et 4 . 4 . du cours de Resistance desMateriaux.

En particulier, les moments de torsion sur deux sections perpendicu~

lairas sont egaux et opposes (Mtn "" - Mnt).

Pour a "" 0 ou n I M := M , M , = 0n x vn

Pour a:::

l[ouII

. M =M Mtn:=

02 2 , •n y

Quand Mn et M t sont donnas sur deux sections perpendiculaires,on peut en deduire par Ie ce¥cle de Mohr (Fig. 1.6.) les sections principales,

c'est-a-dire celles dans lesquel1es n'agissent que des moments de flexion Mxet ~ (appeles moments prin~ipaux), et pour lesquelles les moments de torsion

sont nuls.

Les moments principaux sont d'habitude designes par les nota~ions

Ml ' M2 et les 'oonrbures cor-reapondarrtes (pr incip ales) par les notat ions) \, X : 2 0

On notera que, vu Ie signe adopte pour M

nt

, cette grandeur doit

~tre comptee positivement vers Ie bas (Fig. 1.6.).

1 . 1 . 4 . Expression des mome.nts de flexion et de torsion en fonction des deplace-ments.

.~. .'

On sait par la theorie des surfaces (theoreme d'Euler), que la cour-

bure t d' u ne section que L conque faite normalement a la surface dans La direc- d

•

tion faisant l'angle a avec la direction x (Fig. 1.7.) est liee aux courbures

principales ~x et ~y par llequation :

Xn

2cos 0: +

v . 2IV • san a.y

(g)

./.



9.-

De mgmel on a, en changeant e x en ( e x + ~)

(g)

- Fig. 1.6.

()

Ii/

//

//

1 1 3 : //

/

a:

- F i g . 1 . 7 0 -

En remplagant dans llexpression (1.6.) de Mn I ~ et M par

leur s val eurs ( 1 . 1 . ) et en tenant compte des relations ( g ) , on obtient :

~

2 2 v 2 "'/ ·2]Mn = D o ( . t : : 0 cos e x + x : . sin ex) + ..; 0 (IV'. sin e x +", • cos a )

x y x y

ou bien, en vertu des relations (g),

Mn .. D o (X -n + o J ~ t)

3i l es d ef or ma ti on s sont falb1es, on·a sensiblement\ ; iw .2

t-n = =_-

· x t = . . . ~

c m2

Jt2

.r,



et la formule ci-dessus slecrit

M - = - D.n

10.-

(1.8. )

Cette expression est entierement semblable aux formules 1.3.~ sauf

que n remplace x et t, y. II faut souligner que n et t sont deuxdirections queLconques , alors que x, y, etaient les di r ections principales.

o Pour obtenir l'ex-

pression du moment de tor-sion Mnt, considerons la

distorsion de la lame abcddont les c8 tes ab et ads on t_ re sp ec ti ve me nt p ar al le -les aux directions n et tet qui est situee a l a d is ta nc ez du feuillet moyen. (Fig.l.8 .)

Pendant la flexionde la plaque, les points a, b,.o et_ d subissent de petits de-placements. Appelons u et vles composantes du deplacement

du point a dans les direc-tions n et t respectivemen~Le deplacement du point d

tres voisin de a dans la di-rection n sera

. . a uu + at' dt

et le deplacement du point b

dans la direction t sera

C J vv + ~. dn

Par suite de ces deplacements,I' element abed s u b i t Le -c

glissement

(h)

(a)

It

estD'apres la 101 de Hooke, la contralnte tangentielle correspondante

U 0

(1)

Representons a la figure 1.8 .b, la section pq du feuillet moyendeforme par un plan vertical passant par l'axe des n. La normale au feuillet

moyen, qui etait primitlvement perpendiculaire au plan Oxy~ tourue de l'angle

dWon •

(b)

- Fig. 1.8 .

(OU-rnt - = G. at'()V)

+ -a n ·

Par suite de cette rotation, un point de la normale situe a la dis-

tance z du feuillet moyen suhit dans la direction n Ie de placement :

OW- z , a n .

.r .



11.-

Si lion considere ma1ntenant la section par un plan vertical passantpar llaxe des t, on trouve que Ie m&me point subit dans 1a direction t Ie de--placement :

v - z. d!!at •

S1 lion remplace u et v par ces valeurs dans l'expression (i)

de la contrainte tangentielle, on obtient :

'tnt =;lw

- 2 G.z. an.at

e t l 'e xp re ss io n ( 1 : 7 . ) du moment de torsion devient

- J + e/2= Tnt·z.dz

- e/2

( 1 . 1 0 . )

1 . 1 . 5 . Expressions des contraintes normales et tangentielles maxima dans 1a

.E_laque.

Commen90ns par rechercher 1es sections principales au point consi-dere de 1a plaque par Ie procede indique en (1.1.3.) et dirigeons les axes xet y suivant ces sections.

Pour exprimer les contraintes o'x et o'y en fonctions des moments

M et M } 11 suffi t d Ie1iminer)ex et ~Y entre les expressions (c) et( r . l . ) ; 1 1 vient ainsi :

. -.~.-

0'x

M 12 z.ME.z x x

= =1 _ ~2 • D e3

12 z.My

tJ =y

les contraintes normales maxima se

inferieure de la plaque et valent

+ 6 MxtJmax "" _-x 2

e

produisent dans 1es surfaces superieure et

(1.11. )

Si ces contraintes sont de signes opposes, 1a contrainte tangentielle maximumagit dans Ie plan bissectant l'ang1ecompris entre les plans xz et yz et

vaut :o 'm ax _ d max 3 (M _ M )x y + x y

.,.-;';'_'~2:---"--- ... 2

e

S~au contralre, les contraintes ~ax et amax sont de m&me signa,

1a contrainte tangentie11e maximum agit dans lexplan bis~ectant l'angle des plans

et xz et est agale a 1~max 1 ~ m a x selon celIe de ces deux quantites- v ou - v2 y 2 x

Tm a x

(1.12.)

xy

qui est 1a plus grande.

.. /. .



1.1.6. Dimensionnement des plaques.

12.-

Si la plaque est faite dlun materiau raide, on obtiendra son epais-

seur en ecrivant que la plus grande contrainte principale de traction ~1 ne

doit pas depasser la contrainte admissible R. ~l sera celle des deux contrain-tes omax et a max qui est algebriquement la plus grande.

x y

S1 Ie materiau est ductile, la condition de resistance la plus sim-ple et suffisante pour la pratique est celIe qui se deduit du critere de TRESCA

( of . p ar ag ra ph e 8 . 1 . , cours de Resistance des Materiaux):

R

Tmax ~ 2'

ou T a la valeur calculee au paragraphe 1 . 1 . 5 . ci-dessus.max

1 . 1 . 7 . Etu de du t en se ur -o ou rb ur e.

On a vu au paragraphe 1 . 1 . 4 . que la deformation du feuillet moyen de

la plaque etait caracterise par ses de~ courbures2

a2w

X x() w

.x:.y(1.1).)-- =

o x 2,

~y2

sionintervenant dans les expressions (1.3~) des moments flechlssants et par sa tor-_,_..... ".

2()w

. . . --'ih(Jy

(1.14. )

intervenant dans l'expression (1.10.) du moment de torsion.

La denomination Btorsion" pour l'expression (1.14.) se justifie par Ie faitqulelle joue dans Ie cas des plaques un r6le tout a f ai t se mb la bl e a celui del'angle de torsion unitaire ou torsion B ... ~ d'une poutre tordue. En effet,la figure 1 . 9 . montre qu'une bande de plaque dx de largeur dy subit sur la lon-gueur dx l'angle de torsion a2

w dx dlou

'ax3'y

e = 2 . ' e . . . ; t . . ' "dx xy

- Fig. 1.9. -

( 1 . 1 5 . )

Dans' l'etude des plaques

sur modeles) on etudie I ~etat de

deformation en un point en mesu-rant les courbures des differen-tes sections normales du feuilletmoyen ~ l'aide de ourvimetres apointeau mesurant la fleche rela-

tive S du point C (Fig . 1. 10.)

par rapport aux extremites A~ B,de la base-de mesure de longueur

I . La geometrie donne la rela-

tion; 2otJ. (.fj2) = S (2 f - d),ce qui, pour S peti't devant 2 f'se reduit a 2 t 2

;; = ~ = li::t. (1.16.)

.r .



1).-

Ces eurvimetres donnent

done les eourbures des diverses sec~

tions norma1es. Or~ le theoremed 'Euler (par. 1.1 04'.) mont re qU6 las

q ua nt i t es r: ,~ , l- ,forment unx y xy

tenseur plan appe l.e~ur-courbure,analogue au tenseur contrainte en

etat plan de contrainte ou au tenseur-moment etudi6 au par. 1.1.).

Le tenseur-courbure a deux invariants

a) ~ (t-x+X:y) = ~ (t -

1+X:-2)(1.l7.)

qui est la courbure moyenne ;

b)V V ' _ X 2 r : s J < - X , ., (1.18.)~x~y xy 1 2

qui est 1a courbure totale ou courbu-re de Gauss.

- Fig. 1.10.-En vertu de 1a loi de Hooke, les axes principaux du tenseur-courbure cofncident

avec ceux du tenseur moment. On peut done obtenir 1es directions principales en unpoint d'une plaque f1echie en mesurant ses courbures normales suivant trois direc-tions a, b, c et en employant 1a methode graphique basee sur 1e cercle de Mohr de-

ve10ppee a propos des rosettes de deformation au paragraphe 7 . 4 . du cours d'e1asti-cite.

102. FIEXION DES PLAQUES CHARGEES DE FORCES TRANSVERSAIES.

1.2.1. Introduction.

Comme on 1'a dit dans l'introduction~ la theoria des plaques chargeesde forces transversales occupe par rapport a la theorie des plaques soumises aflexion pure 1a m@rne position que 1a theorie des poutres soumises a flexion sim-ple occupe vis a vis de la theorie de leur flexion pure.

Afin de sauvegarder les resultats essentiels obtenus au paragraphe

1.1., c'est-a-dire les formulas (c) de distribution bitriangulaire des contra in-tes normales, nous allons, entre les hypotheses 1 et 2 faites au par-ag'rapne1.1.,introduire les Hypotheses N° J ;Le s c on tr ai nte s dz norma1es au feuillet moyen de la plaque, provenant de 1a

charge appliquee, sont negligeables en comparaison des contraintes dx~y-L-~xy~dans le plan de la plaque ;

N° 4 : les distorsions des sections droites de 1a plaque sous l'effet des effor~t ran cha nts s ont ne gli ge ab les .

Dans ces conditions, les sections normales faites dans la plaque res-

tent planes apres deformation. On peut done remplacer l'hypothese N° 4 par lasuivante :

N° 4 '1 : des points qui se trouvaient ,avant deformation sur une normale au plan

moyen de la plaque se trouvent apres deformation sur une norma1e au feuil1etmoyen deforme. (Hypothese de Kirohhoff).

.r.



1 4 . -

1.2.2. Elements de reduction des forces exterieures sur des' sections parallel~

- r x et r -

Rapportons la plaque aux m€mes axes coordonnes qutau paragraphe 1 . ' .Appelons p l'intensite par unite d'aire de Ia charge appliquee a Ia surface su-

perieurs de Ia plaque. Cette intensite variera en general avec Ie point conside-re at doit ~tre conaideree comme une fonction de x et de y. Decoupons encore

dans La plaque un parallelipipede elementaire par deux paires de plans par-al L e L e saux plans coordonnes Oxz et Oyz respectivement (Fig. 2 . 1 . ) .

Ty

d:r.

--.-.-.~

0 1 1H;x,,+~.dx

.I O O > !-+---

H y -t Mit .Jy1'+------1 --t-- d y

.t~

,;".':

. . .

- Fig. 2.1. -

D ' u ne m an t e r- e a na lo gu e a ce qui a ete vu dans 11etude des poutres

(paragraphe 9 .2., cours de~Resistance des Materiaux), La charge p produt raiei, non seulement des moments de flexion et de torsion, mais egalement des

efforts tranchants verticaux dont I'intensite par unite de longueur sera defi-nie par les formules :

J + 0/2 J + 6/2

T::

T

. dzT

= • • dz (a)x - e/2 zx y _ e /2 zy

0 / .



Les efforts tranohants elementaires sont appliques aux centres degravite des faces laterales, comme le montre la figure 2.1. Leur dimensionest F L - l .

En ce qui concerne les moments de flexion et de torsion, 11s sontdefinis comme au paragraphe 1 . 1 . par les formules :

re/2

M

= = -e/2(J .z.dz

x x

J + e /2

M = = (J .z.dzy ~e/2 y

J + e /2

M = - 't' .z.dzxy

-e/2.xy

I + e / 2M = - M = = 't .z.dzyx xy

-e/2xy

(b)

(0)

Toutes ces grandeurs sont des fonctions de x et de y. Par conse-quent, elles subissent d'une face a llautre-du parallelipipede les variationselementaires

,u Mx

a x

a Tx

o X • dx• dx. I •••

Ces variations sont indiquees sur la figure 2.1.

.~-:

1.2.3. Equilibre du parallelipipede elementaire.

Exprlmons a present que Ie parallelipipede elementaire est en equili-bre sous l'effet des forces et moments qui 1e sollicitent et remarquons de suiteque toutes les forces sont paralleles a l'axe des z, et tous les couples repre~sentes par des vecteurs perpendiculaires a cet axe. Par consequent, les six .

equations de la statique se redulsent a 3~ a savoir l'equation de projection pa-rallelement a Oz et les equations de moment autour des axes Ox et Oy.

D'apres la figure 2.1., l'equatlon de projection parallelement a Ozs'ecrit

aT ~Tx _J£_

• dx .dy. + • dy.dx + p.dx.dyo X qy

ou, apres Simplification :

= = 0

bTx

o X0,1 (d)

Ie poids propre de la plaque etant suppose incius dans la valeur de p.

De m€me~ en prenant les moments par rapport aux axes des x et des y de toutesles forces agissant sur l'elernent, on trouve respeotlvement

o M..2Za x

a M_z + T .. 0ay y

(e)

./.



16.-

oM c)M

-E. + x- - TdY a x xx

= 0 ( f)

On peut obtenir une equation d'equi1ibre unique ne faisant interv(~

nir que les composantes Mx J M ,~y du tenseur-moment en eliminant les ef-forts tranchants Tx et Ty entre les relations (d), (e), ( f ) . On trouve ainsi

a2M -iM q2M

x _ 2 xy + :..._;[_ = _ p ( 2 . 1 • )ax2 oxOy dy2

1.2.4. Expression des efforts tranchants.

Comme stipule dans l'introduction, nous admettons que les effortstranchants Tx et Ty ont un effet negligeable sur les courbures de la plaque.

Des lors, no us pouvons utiliser dans Ie cas actuel les equations

(1.3.) et (1.10.) etablies dans Ie cas de La flexion pur-e et ecrire

2 2 2 2

1 - 1 :: - D. (3 w+ V ~) M = - D. (Q+.J " w ) (2.2.)

x o x 2 • 2,

y a i • 2o Y clx

M = - Mxy yx

i l w= D. (1 - ~ ) •

oX.(jy

Tirons T et T

plaQons-y les momentsX

Mx ' M ;il vient

des equations d'equilibre (f) et (e), puis rem-et M par leurs expressions ( 2 . 1 . ) et ( 2 . 2 . ) ;

xy

a M o MT - _,_Z, + __Ei. - - D.x - dX ' JY -

~M o MT = _Jl - ~ ::- D.

Y 8y dX

2 2 L (Q2w )~+;) w )<= - D.

o X a 2 2 Q 'Xx o¥ (2.4. )2 2

. E . . . (2..1!. + q w )"" - D.

. E . . . (y2w)ay ax2 dy2 o Y

1.2.5. Equation differentie11e des plaques d'epaissaur constanta.

R am pl ay on s m ai nt en ~n t Tx at Ty par ces valeurs dans l'eqUation

d'equilibre de translation (d) i n o u s o bt en on s

Cette equation~ due a Lagrande ( 1 8 1 3 ) , regit la flexion des plaques

planesj elle est l'analogue a deux dimensions de l'equation

d4y = P

dx4 E.l

qui regit la deformation des poutres droites (cf. paragraphe 5 . 3 . du cours de

ReSistance des Materiaux).

.r.



1.2.6. Equation differentie11e des plaques d'epaisseur variable.

8i 1a plaque a une epaisseur lentement variable, nous admettons parana10gie avec 1a theorie des poutres que les expressions ( 2 . 1 . )et ( 2 . 2 . )desmoments de flexion et torsion restent valables.

Pour trouver l'equation dlfferentiel1e dormant Ie dep1acementsal w de la plaque, nous devons remp1acer les moments M x , ~ et M x yexpressions dans l'equation d'equilibre ( 2 . 1 . ) ; on trouve ainsi :

2 [ 2 2 J 2 [ 2 J 2 [ 2£_ D ( ~ + )) L!!.) + 2(1 _ y) _L_ D 2 . . . . J : ! . . + _L D ( a . . . : ! : ! . + Y... 2 ...2 2 a xiJy ;)xay 2 a 2oX OX a y dY Y

transver-par ces

ce qui peut s'ecrire sous la forme invariante suivante

224" (D\] w ) - (1 - " » 0 (D, w ) = P

o u intervient l'operateur invariant

/\4 1 [2 2 2 2 2 J 1r 4V (D, w ) - '2 f . I D)(\1 w ) +" (D~ w + w V D) - ' 4 L Ii] (Dw ) 4 4 ]D9 w + W 'I / D

(2.8. )

1 . 2 . 7 . Calcul des elements de reduction et des contraintes.

S1, par integration de l'equ8tion aux der1vees partielles ( 2 . 5 . ) ou( 2 . 8 . ) , on connait la deformee w = w(x, y) du feuillet moyen de la plaque, on

peut en deduire les moments M par 1es formules ( 2 . 2 . ) et ( 2 . 3 ) et les effortstranchants par les formules ( 2 . 4 . ) au l eu r g en er al is at io n. ._ •...

Les contraintes norma1es 6x et 0y se deduisent des moments par

l es r el at io ns ( 1 . 1 1 . ) . Quantaux contraintes tangentielles verticales TzX etTzy' on les obtient en supposant qu'elles sont distribuees parabo1iquement sur1a hauteur de 1a plaque comme dans Ie cas d'~w poutre a s ec ti on r ec ta ng ul ai re ;

11 vient ainsi :

('t') ::- . . .L . . • (T ) '"zx max 2 e x max· •

( 2 . 9 . )

1 . 2 . 8 . Vibrations d'une plaque.

Si 1a plaque ne supporte aucune force exterieure, mais qu'elle vibre,

on peut obtenir l'equation gouvern~nt Ie phenomene en invoquant Ie principe dedlAlembert. Ce principe nous indique qu'il faut remplacer 1a force superficielle

q par 1a force d'inertie 7 ;lw, (- m U = - m - : 2 ' ou m x, y) est 1a masse de 1a plaque

par unite d t aire. ~t

Substituant dans l'equation de Lagrange ( 2 . 5 . ) , on trouve l'equation des vibrations

libres d'une plaque d'epaisseur constanta2

D \74

w + m ( ) w : : : 0 ( 2. 10 . )

at2

De m~meJ en substituant dans l'equat1on ( 2 . 7 . ) , on trouve 1'equation

valable pour la plaque d'epaisseur variable.j.



1 8 . -

2 2 4 · 2" V (DV w ) - (1 - » ) 0 (D J w ) + m ~ . . 0

Qt2

Dans Le raisormement ci-dessus, on a neglige l'inertie de rotation des elemen~-<>de la plaquel qui ne prend de l'importance que pour les harmoniques d'ordre eleva.

(2.11. )

1.3. CONDITIONS D' APPUI DE LA PLAQUE SUR SES BORDS.

1.3.1. Introduction.

L 'e qu at io n d if fe re nt ie ll e (2.5.) ou (2.8.) gouvernant Ie deplacementtransversal d'une plaque est du quatrieme ordre. II s'ensuit que, Ie long du

bord de la plaque, i1 faut et il suffit d'imposer deux conditions pour determinerW univoquement.

Nous allons passer en revue ci-apres les differents types de condi-

tions aux limites intervenant pour une plaque de forme arbitraire et de rigiditevariable.

-----,j---j-'rI

Mesurons les coordonnees curvi-lignes n, t, Ie long de la normaleexterieure et de la tangente (orien~

tee) au bord en un point courant P

de caordonnee s comme Ie mantre

la figure 3.1.S1 Ie bard est rectiligne, les coor-donnees t et s c or nc id ent , m ai s,

S'il(!~t oourbe, elles ne corncldentpas ) et i1 est oommode d'exprimer

certaines derivees de w par rap-port a n, s, plutot que par rapport

a nl t.

- Fig. 3.1. -Pour etablir les relations necessaires, remarquons que, 10rsque les axes locaux(n, t) de la fig. 3.1. se dep1acent Ie long du bard, les vecteurs unitaires ali-gnes sur cas axes subissent les variations (1)

-+'"fO~

_ _ , .dt dn ~ .2 . . f (a)-II - n. = tds ds

,ds ds

qui font intervenir l a o ou rbu re du bord1

~- = .R ils

Pour un scalaire w, 11 n'y a aucune difference entre les derivees par rapport at at as:

Pour un vecteur. . . . - +u = u n

n

. . . .+ u

tt , l'identite

, , " ' u . . .Q - ~

at ~sconduitl compte te~u des relations (a), aux formules

.j *

(1) Las va1eurs de ces derivees ont d e j a ete discutees dans 1e cours de Theorie

de l'E1ast1cite. (par. 1.7.).



19.-

OUt 3 til= - + u :...J.,

o s n OS(c)

81 i'on a ppliqu e ces relations au gradient de w

grad w;:)W'"

+ ~ t,-n()n Jt

on trouve

2 l w dW ~2 2

~LJ:I. ~ w } _ J : L t!!.:: -_- = +atqn anas a s ds

(}t2 dS2 ~ns

(3.2.)

1 . 3 . 2 . Bard en castre .

Le long du bord, le deplacement et la pente normale au bord sontnuls, de sorte que

w = 0 (3.3.)

et~ = 0 (3.4. )(In "

1 . 3 . ) • Bord·simplement apEu~e.

nuls, de sorte queLe long du bord, Ie dep1acement et Ie moment flichissant M , sont. n

w = 0

()2W 2_ + - Y o W = 0

3n2

at2

Catte relation peut encore s'ecrire, en utilisant ( 3 . 2 . ) et ( 3 . 5 . ) ,

(3.6.)

et par (1.8.),

SOUS la forme2i .J:! + , > illf !l:L :: 0? Jn 2 ds a n

8 i 1e bord est rectiligne, ( 3 . 7 . ) se reduit a

Comme, dans cecas, on a depeut encore s'eorire

q2W =2 0

dn ..,..2

1 .. Q W

pus - ...

at2

2

V W = 0

( 3 . 8 . ) .~.

o , la deuxieme condition de bord appuye

(Condition de bord de Navier).

1 . 3 . 4 . Bard encastre elastiquement en rotation.

o WUne des conditions a un bord peut €tre te11e que la rotation ~ de

la plaque est freinee par u n moment )? a w da a la structure entourant la nplaque. Une telle condition est inte~iaire entre cell~ du bord encastre et

celIe du bord simplement appuye ; e1le est donnee par

( ' f + v~) ~ + iw = 0 (3.10.)D ds din 2

I n.r.



20.-

1.3.5. Bord 1ibre.

Pour une plaque ree11e, nous devrions exiger, comme le faisalt

poisson,.l'annulation 1e long du bord de Mn' Mns et Ts' c'est-~-direune cond~tion de plus que ce qui peut gt1'e admis mathematiquement.

Pour surmonter cette apparente difficu1te, nous devons revenir a l'hypothese

N° 4 formulee au paragraphe 1.2.1., selon laquelle la plaque ne prend aucune

deformation sous l'effet du clsall1ement. Considerons a present l'action d'une

bande de plaque infiniment etroite decoupee Ie long du bordo Une talle bande

est rigide au cisaillement, bien que parfaitement flexible en flexion, et 1'e-

siste sans se deformer a la sollicitation de cisaillement representee a lafigure 3 . 2 .

Les composantes horizontales de cette sollicitation de cisai11e-ment sont statiquement equivalentes a una distribution uniforme de moments de

torsion Ie long du bord j l'effet de cette bande infiniment mince peut donc

€tre regarde comme convertissant la sollicltation "horizontalell de la fig. 3.2.en des forces verticales egaleset opposees, egales numeriquement aM, agis-

sant aux extremites de la bande comme Ie montre la figure 3.3. ns

t:.:-:

- Fig. 3.2. - - Fig. 3.3. -

L'argument ci-dessus n'est pas limite au cas O U Mns est constant

Ie long du bord ; s1 Ie moment de torsion augmente de a Mns d

- sc > s

sur la distance ds, l'act1on de·la bande infiniment etroite est de converttr

ce moment en des forces verticales ou efforts tranchants verticaux unitaires

T~ donnes par ~M

T ' = .. . ~ ( 0 . ; . 1 1 )n as ..I' •

Nous venons de montrer que, dans Ie cadre de la theorie classique

des plagues, on ne peut faire aucune distinction entre une repartition Le long

du bord de moments de torsion variant deM~s a ~s at une repartition Ie long

du bard d'efforts tranchants donnes par ( 3 . 1 1 . ) , compl~tes par des forces verti-

cales appliquees en A et B, egales en grandeur a M r et ~s' et de direc-# ns

tions definies par La figure 3.3. .Les conditions aux limites pour un bord libre sont a present

M = 0n

+ T' = Tn n

o M

ns- = 0~s

et

qui est une combinaison lineaire de lleffort tranchant et du_taux de variation

du moment de torsion..j.



21.-Las conditions aux limites (3.12. at 3.13.) ont ete etablies

en 1850 par Kirchhoff en analysant Ie probleme de la flexion des plaques

du point de vue du calcu1 des variations(l). L'explication physique presenteeei-dessus a ete decouverte par Kelvin et Tait (1883).

Expr-Lmee en fonction du deplacement'- w, la eondi tion (3.12.) s Ieerit

2

£ . . . ! !+

<>n2tandis que (3.13.) devient

2

v ( O W + ~ e!!.) ::I 0as2 ~s a n

(pour une plaque d'epaisseur variable)

o D+ -.-a n

Cet·te condition se redui t a .

2( iJ wonas

_ E . f 4W ) 1as a s J

= 0

2( d W ~~)

~ - 3sj)s

= 0 (3.1.)

pour une plaque d'epaissaur constante. S1, en plus, le bord est rectl1igne,

(3.16.) se reduit a

= 0

Les considerations physiques ci-dessus ont ete controlees experimen-talement par G. FRANZ a l'aide d'un essai photoalastique. n1apres ladiscussionfaite, on peut soumettre une plaque' carrae a la torsion, soit en appliquant sur

F

(a)

/

. - Fig. 3.4. ,.

(6)

ses quatre bords des moments de torsion constants Mns et Msn ~ - Mns (Fig.3.4.b)}soit en appliquant a ses quatre angles des forces transversales de grandeur egale

a IMus I et disposees comme Ie montre la figure 3.4.a. L1etude photoelastlque mon-tre que, dans ce dernier cas, on a bien un etat homogene de torsion, dans toute la

zone de la plaque hachuree sur la figure 3.4.a, mais qu'il existe le long des qUa-

tre bords une sorte de couche-limfte de largeur approximativement agale a . llepais-seur de la plaque, et qui est tras peu sollicitee, puisque les bords sont effecti~

vement libres de· forces..j.

(1) Pour un expose detaille des idees de Kirchhoff, on consultera

s . TIMOSHENKO et S. WOINOWSKY-KRIEGER, Theory of Plates and Shel1s1 Mc.Graw-

Hill Book Co, New-Yo~kl 1 9 5 9 , pp. 88 a 92.



".; ,

22.-

1 . 3 . 6 . Reaction d'appui d'une plaque.

L'analyse faite au paragraphe 1 . 3 . 5 . a propos du bord libre a desimplications egalement en ce qui concerne les bords non 1ibres. Le long de c~sbords (par. 1 . 3 . 2 . a 1 . 3 . 4 . ) , la structure supportant la plaque applique acelle-oi, outre un moment ~ eventuel, une reaction d'appui transversale

(dirigee positivement de bas en haut et egale a

~Mns [ a t12\ 1 3 iw a l l ) ~ w ) ]R >= T - - = = - D - V \'1 + ( 1 _ v) - (- _.:::..:l. -n n o S an dS anos a s 3s

plus des forces d ' extremi te numer-tquemerrt egales a (- M ).ns

3i 1e bord est rectiligne, ~ = 0 et l'expression (3.18.) se reduit aas

R· = =n

Pour lllustrer ce qui precede, cons1derons,(Fig. 3 . 5 . ) , une plaque

rectangulaire de dimensionSa, b, supportee d'une fagon quelconque le long deson contour et chargee de forces transversales. Cette plaque regoit, de lastructure qui la supporte; non seulement des reactions reparties sur ce con-tour at de valeurs

( 3 . 2 0 . ):,-..

Rx

mais encore des reactions concentrees aux angles. La figure 3 . 5 . et la rela-

tion M = - M montrent que ces reactions valentyx xy

2

R ::: 2 (MXY)OOin "" 2 D (1 -~) (ix;y)oOin (3.21. )

et sont pOSitives vers le bas.

(HyleY"' ' ')

- Fig. 3 . 5 . -

, On peut determiner 1e sens reel dans lequel agissent Oes reactionsd 'a ng le o on ce nt re es R s1 lIon connait la forme generale de la plaque deformee •

.j.



2 3 . -

Pre n ons , par exem-

pIe, Ie cas d'une plaque

carree uniformement chargee

et simplement appuyee s~r

ses quatre bords (Fig. 3 . 6 . ) .L'allure generale de la de-

formee est indiqu6e par leslignes pointillees et lIon

voit aisament que

J2w

~ ~ est positif aux envi-ox.l.ly

- Fig. 3 . 6 . - rons du coin A. On voitainsi que, dans les plaques rectangulaires simplement appuyees et chargees de

forces positives, les coins ont en general tendance a se sou1ever et que ce mou-

vement doit €tre em~cha par des reactions concentrees appliquees a ces coins etdirigees vel'S Ie bas.

1 .4 . METHODES GENERALES DE SOLUTION POUR LES PLAQUES RECTANGULAlRES D 'EPA ISSEUR

CONSTANTE.

D1apras ce que nous venons de voir, 1a recherche de 1a sollicitationet de la deformation d'une plaque dont la forme, Ie mode d1appui et la mise encharge sont donnas, se ramane au probleme mathematique suivant

trouver la solution de l'equation de Lagrange

4 4. 1 . . ! £ + 2 ~ ' 1 - 1 +

a x 4 a x 2.ay2

1 .4 .1 . Generalites.

p(x,y)

D( 2 . 5 . )

qui satisfait aux conditions d1appui existant Ie long du contour de la plaque

at determinees au paragraphe 1 . 3 .

La solution de ce probleme a tente de nombreux mathematicians etingenieurs et l'on connatt, a Ilheure actuelle, une vaste collection de solu-

tions de llequation (2.5.) qui presentent un inte~t pratique.

La temps dont nous disposons nenous permet pas Iletude detal11ee

de ces solutions, pour lesquelles nous renvoyons aux ouvrages specialises.Nous nous contenterons, ci-apres, de donner une idee des deux grandes methodes

de calcul utilisees pour les plaques rectangulaires, a savoir

- 1a methode des series doubles de Navier ;

la methode des series Simples de Levy.

Nous examinerons au paragraphe 7 diverses methodes approchees

s'appliquant a des plaques de forme quelconque.

.j~



24.-

1.4.2. Methode des series doubles de Navler.

1.4.2.1. Theorie generale.

10 probleme des plaques rectangulalres simplement appuyees a et6

reso1u par Navier en 1820. Le principe de sa methode consiste dans l'emploi

d'un developpement de Fourier de sinus pour representer la fenction p(x,y)qui definit l'intensite de 1a charge.

est unequ'on a

Rappe10ns que la su1te des sinus

i .:K:i 1 2 1 C x sin D 1 I : is n 1' s n l' .... l' ••.

suite de fonctions orthogona1es dans l'interva11e (0,1), clest-a.-dire

11

inx jrtx° sin 1·in 1 • dx 1 0 51

1 . £/2 si

i f.i =

j

j.

(4.1.)

Ii est facile, en se servant de la propriete ci-dessus, de deter-miner I e coefficient A du developpement d'une fonction donnee f(x) en seriede Fourier de sinus

f'(x ) =~ c ; : o . : : > J T r x£..Ij=l AJ' sin 1

En effet, en multipliant les deux membres par sin n~, puis ende 0 a. 1, on trouve, en tenant compte des relations (4.1.),

1 1 sin nr .r(x).dx = An.l1sin

2nf • dx - An. !

ce qui permet de ca1culer Ie coefficient An.

integrant

Navier developpe l'intensite de charge p(x,y) en serie double deFourier de la forme

( )"" QoO ..:; '=>0 i1 Ix . . J . r u :

p x,y = ~i=l ~ j =l A iJ• sin a • Sln b

Oll a et b sont les dimensions de la plaque (Fig. 4.1.).

(4.2. )

. '4) mJrx D 1 I ZEn multlpliant les 2 membres de \ .2. par sin --- • sin b puisen integrant dans toute l'etendue de la plaque, on trouve, e~ tenant comptede ce que ~

L "t;!

i mllx . illx• dx 0 (1 F m)n- Sln -- =a a

f . ! ! . ! I I . sin j~y • dy 0 (J j. n)sin b ' =

= A ~mn 4

d'Oll l'on tire

·ff

m 1 l Xsin ! 2 i ! J L • dx. (b)z : : : - - - p(x,y).sin --- • dYe

mn a.b a b

\ Une fois qu'on a decompose la charge p(x,y) en ses diverses compo-san tes af.n uaof dal. es, il su ffit d 'etud ier a part l leff et d lu n~._comp osan te

.f ·



25.-

" "A i

m n x . ntrxm' s n7.an b

puis d'addit1onner les resultats obtenus.

8 1 l'on remplace 1a charge p par son expression (b) dans'llequa-tion de Lagrange, ce11e-ci slecrit :

1

DAmn' sin m:x • sin ~y (c)

e11e est visiblement satisfaite par une expression de l a forme

wmn

. mrrx nllx" " B ,s~n -.---• sin - - - b •

mn a(d)

remplir pour que l'equation soit identique-ment

La seule condition asatisfaite est: 2

m2

n 2 ,no4B • ('2 + '2) JL

mn a b

Amn

=D

o

b

.oil

JIy

(e)

D'un autre cote; 1esconditions au contour sont tou-tes satisfaites en effet, cesconditions sont

1) que l'on ait w = 0 sur lesquatre cotes j elle est evi-demment remplie, puisque

sin.O = sin mn '" 0,

-v.

c.,

2) que lion ait

2 2

d W _'I _ 0 W2 +v. 2 =:

ax i)y

Ie long des cotes, b. Commey est nul tout Ie long de

condition se redult a

o

ces

l w

'l- Fig. 4.1. -cotes, ~ est identiquement nul et cette

~y

elle est remplie parce que la fonction sinus se reproduit par uneDX2 -d ou bl e d er iv at io n. 2

d w _'I3) que lion ait -:2 + y

remp1ie pour legY m&mes

2a w0 ; 2 =

ral.sons

o Ie long des cotes a ., 1a condition est

qu'au 2).

1. 4 .2.2, Cas dtune charge uniformement repartie sur toute la plaque.

Supposons quep(x,y) se reduise a une constante p. Le coefficient

Amn peut alors se cal euler par la relation (a) ; on trouve aisement

4 pAmn '" (1 - cos mn). (1 - cos nn )

2m v n , :I t

ce coeffiCient est nul si l'un des nombresleur:

16 pAmn 2

m.n,1(

10rsque les deux nombres m et n sont a la fois impairs..r,

m est pair ; i1 a pour va-u n



2 6 . -

Rempla90ns A par cette valeur dans (e) on tire quemn

B16 P 1

::

It6.D• m2 n22nm,n, (~ + 2')

a b

La solution complete s'obtient done en remplagant B par la va-

leur trouvee dans l'expression (d), puis en effectuant la sommat~gn sur les deuxindices m et n; il vient alors

OUt en mettant

• sin mKaX• sin ~bY

222

(m n)mvn, 2" + 2'

a ba

en evidenoe et en posant b = Y •

1

a

416 p.a

\ '{ = 6n .D

1 m1tx E l l . l2 + n2.J2)2 . sin -;- • sin b

m.n. (m

( 4. 3. )

On peut montrer que la serie representant w ainsi que les series

obtenues par derivation, sont absolument et uniformement convergentes.

La fleche de la plaque se produit en son centre et s'obtient en fai-

sant x = ~ , y = ~ dans l'expression (4 .3.) j on obtient de la sorte

4f 16 p.a

::: Jl6.D

en designant par F( J' )

En particulier, pour J c: 1 (plaque car-nee}, on trouve F(l) =Ot244l

4p.a

f ... 24 6 D

5: o.Q~ e>O (-1)• m=L n=l ~...;;;..c~2-~2--2~2

m ,ri. (m + n .f )la valeur de la serie double.

m+n-22

et

Les moments de flexion et de tor~ionJ les. efforts tranchants et les

contraintes qui en resultent peuvent se calouler par derivation a partir de la

serie double (4.3.), en utilisant les formules (1.3.), (1.10.), (2.4 .), (1.11.),at (2.9.). On. o btient pour ehaoune de ces quanti tes des series double s 'Conver-gentes.

Le ealcul detai11e de toutes ees quantites nous entrafneralt troploin. Je renvoie aux ouvrages spec1aux sur la theorie des plaques at particu-

lierement a l'ouvrage de S. T1 rn os he nk o e t S. Woinowsky-Krleger cite en note

page 21. Ce livre contient de tras nombreuses tables numeriques relatives adiverses formes de plaques, modes d'appui et modes de chargement.

, .;.-;~

1 . 4 . 3 . Methode des series simples (Levy-Estanave).

La methode des series simples s'applique aux plaques rectangulaires

qui sont appuyees sur deux cStes paralleles x = 0 et x = a et sont soumises

a des conditions d'appui diversessur les deux autres cStes y = 0, y = b.

Maurive Levy a constate que l'equation de Lagrange

'\72\7

2w = .2

D

etait satisfaite pour une telle plaque par une serie simple de la forme.r.



2 7 . -

be

W = ~ 1m-Y (y). sin m n xm a

( 4 . 4 . )

ou les Y (y) sont des fonctions de l'ordonnee y seule, choisies convena-m

blement de maniere a satisfaire a I'equation de Lagrange. On cons t ate de plusq ue l 'e xp re ss io n ( 4 . 4 . ) satisfait directement aux conditions d'appui :

- i w(2)x=O ou x=a."'"Jx

(W)x=O ou x=a = 0,

Ie long des bords x = 0 et x = a, de sorte qu'il n'y a plus a satisfaireq u' au x c on di ti on s a u contour sur les deux autres bords de 1a plaque.

Nous allons montrer ci-apres, a titre d'exemple, comment la methodes'applique a l'analyse d'une plaque infiniment longue, de largeur a, appuyee

sur ses deux cotes paralleles et chargee uniformement sur une partie de l'axeOx d'abscisse moyenne c et de longueur 2.b.

COmme il nly a de charge que sur l'axe des x, 1a deformee w dela plaque satisfait partout ailleurs a l 'e qu at io n h om og en e

o . (a)

Adoptons pour representer la deformee l'expression ( 4 . 4 . ) de Levy.En remplagant w par cette valeur dans l'equation (a), nous trouvons que lesfonctions Ym(Y) doivent satisfaire a l'equation differentielle ordinaire :

2 2 4 4y"Dl _ 2 m ;It • ytI + m 4 1 t . y = O.m 2 m m

a aL'equation caracteristique correspondante s'ecrit

2 2m .11 )2

co 02

a

at admet les racines doubles r = + m.~a

L'equation differentielle admet done comme integrale generale'-

1expression: .! ! 2 !C l . m tty ! ! 2 . H . l

m.ft.y a - a+B. .e +C.e

m a m

-~D

m.1l.y+ •

m a

a(b)

Dans la suite du raisonnement, on envisagera uniquement 18. zonede 1a plaque ou y es t p osit if.

Si l'on observe que Ie deplacement w et ses derivees tendentvers zero lorsqu'on s'eloigne de l'axe . Ox, on voit que l'on dolt poser:

Am = Bm "" O .

La, solution (4.4.) peut done se mett·re sous 18. forme

mrry

~ _----.:;:" ( m.n.y). aw " " ~ m=l e m + Dm' a e

mJIxsin ---

a(c)

.r.



Par symetrie, nousavons :

28.-

P ou r s at is fa ir e a cette condition, i1 faut prendre em;;; Dm dans l'expression

(c) • Des lors, w prend La forme

w c: c . (1 + m.n:.y). em a

aimllx

sn-.a

(d)

On peut calculer aisement les constantes C dans chaque cas par-m

ticulier, pourvu qulon connaisse la distribution des charges Ie long de llaxe

des x.

II

I

c III

8 +r-b b I

IIIIIII

y - Fig. 4 . 2 . -

( Ty )y =o : : ~- D.o y

2 q

= - 1t 0 • z:;: 1

m

. m J l " c i ~ . m J f . xSln --- • s n • Sln---.

a a a

Dans Ie cas oula

charge est repartie uniforme-ment avec une intensite q sur

1e tronQon AB de l'axe a x ,(fig. 4 . 2 . ) , on doit dlabord de-velopper cette charge en serie de

Fourier. En appliquant la metho-

de de calcul des coefficients rap-

pe1ee au pa~.-: 1!4.'2~l.-, on trou-VB le developpement :

4 qo CIwC) 1 m1( cq ..,- .2. . sin-

1t m=l m a

.~.

sin mJtb .' sin mJ[Xa a

Comme la charge se di-vise ega1ement entre les deux

mOities de la plaque, on voit que

....

2+ a w ) q

2 y=O ;;; 2 "o Y

En remplaQant dans cette condition w par son expression (d), on trouve

2 Don? -0 ~ Ifmx 2 qo 13 •~ 1 C • n r , sin - = - • 20.01= m a][ m= ma

i mlfesn-a

i mJlb i mY xsn--. sn-a a

q -. a3i mITe- . mnb

C ::

4 4. s n -- • sin-

m a ar r .D.m

de la deformee s'ecrit des 10rs

d'ou lion tire

LIexpression (d)

q .a3o

im l T C

• s n •a

sin ~ I (1 + lf~m.y). ea a

(e)..;-_"1

'~m=l " " 4m

w <= 4J f .D

a m1txsin --

a

On peut obtenir Ie cas particulier de la plaque chargee d'une force·concentree'en faisant tendre vers zero 1a demi-1argeur b de la bande chargee.

Faisons :p i

-mnb m.Jfobsn-=

a at

". ,

.r,



dans l'equation (e) ; il vient_ . ! ! ! . f Z

~ • sin.!!ill£ (1 + m.n•y). e anY a a

. m J lx•Sln- •

a( 4 . 5 . )

2P.a -c--O

w:= 3 •""m=l211 .D

1 . 4 . 4 . Reduction du probleme de la flexion d'une plague a celui de la deformation

d ' un e m em br an e.

La methode de Marcus reduisant Ie probleme de la flexion d'une plaque

a deux problemes couples de deformation d'une membrane.est l'analogue complet dela methode de Mohr pour 1a recherche de la deformee des poutres droites. La cour~

be funiculaire de Mohr est remplacee iei par l'&tre eorrespondant a deux dimen-

sions, c'est-a-dire la membrane.

Ecrivons l'equation de Lagrange sous la forme:

222 2

(L+~) (L!!. + ~)22·22

o X ay a x ay

= 1 2D

( 4 . 6 . )

Faisons d'autre part la somme des deux moments flechissants orthogo-naux ~ et M y donnes par les equations (2.2.) ci-avant j on trouve :

2 2

~ + My:; _ D. (1 +')).(0 ~ + 0 ; ) .ax ay

Introduisons la notion de la "somme des moments" :

1 2 2(M + M )

'i} W ~)=0

+ 1 1 . = - D. (- +1 x Y 2 2

a X aY

dans l'equation de Lagrange ; c et te d er ni ex 'e s'ecrit

(4.7. )

= ( 4 . 8 . )

Gette equation est analogue a l 'e qu at io n d if fe re nt ie ll e2- 2

2 v :; ~ + ~ = _ 1 2V 2 2 h

a X o Y

d'une membrane chargee transversalement avec l'intensite p et soumise a latension horizontale constante h. (voir a ce sujet le eours d'Elastieite).

Les deux egalites deviennent 1dentiques si lion pose h = 1.

Par consequent: 31 l'on charge 1a membrane avec l'intensite p, en l'equili-

brant par la tension horizontale h :; 1, on obtient par sa deformation une ima-

ge de la surface des moments de la plaque.

c'est 1e premier theoreme de Marcus. Notons qu'en general, ~a va-,leur de la somma des moments 3 le lOng du berd de 1a plaQ4 9 n'est pas c6nnue

a priori, et lIon ne peut integrer l'equation ( 4 . 8 . ) independamment de l'equa-

tion ( 4 . 7 . ) : Gependant, quand la plaque possede des bords rectilignes le longdesquels elle est simplement appuyee·, les conditions d'appui sont les conditions

de Navier :

W = 0 J ( 1 . 3 . 5 . , 1 . ) . 9 . )

.r.



30.-

c'est-a-dire, avec les notations de Marcus

w = 0 S "" O.

Dans ce cas, la determination de la somme d~s moments revient a rechercherla solution de l'equation de Poisson

"" - p

qui prend des valeurs nulles le long du contour de la plaque.

Le second theoreme de Marcus s'obtient en ecrivant (4.7.) sousla forme

= -S

D(4.10.)

(4 .9 .) et (4 .10.) deviennent identiques si lIon pose

p = S , h = D •

Par consequent : La membrane chargee par la surface des moments et maintenueen equilibre par une tension horizontale egale a D, donne une image de la sur-face elastique de la plaque.

Nous verrons au paragraphe 1 . 7 . 7 . comment on peut resoudre prati-quement le probleme de la deformation d'une membrane a l'aide de la methodedes differences finies.

1.5. PLAQUES CIRCULAlRES.

1.5.1. Generalites.

Dans l'analyse du comportement des plaques circulaires. annulairesou en forme de secteur. il est avantageux d'employer les coordonnees polairesdefinies a la figure 5.1. L'equation fondamentale gouvernant 1es dep1acementstransversaux peut s'obtenir directement en substituant, dans l'equation deLagrange

2",2'1 v w = . E .

D( 2 . 5 . )

1e 1ap1acien par son expression connue en coordonnees1 d

- +r or

1

2r

( 5 . 1 . )

(T r) I

- Fig. 5.2. -Fig. 5.1. -. 1 .



On trouve ainsi l'equation

(i + 1 : . 1.. + l... ___::')2 Itt = - l?0/ r Clr l 0 82 D

(5 .2 . )

Par le paragraphe 1, nous savons que les moments unitaires M , M

Bet Mer (dont les sens positifs sont definis a la fig. 5.2.) sont exprimesr

par les relations2 2

M ""_ D (:l W +v ll)

r 2"Jt

2an

2 2

M e =_ D (~ W + v~)

2 2at en

ou les coordonnees n et t sont mesurees se10n la normale et la tangente aux

c$tes de llelement (Fig. 5 . 1 . ) .

relations

Si l'on remarque quliei ~ = 1, las formulas (3.2.) donnant lesds r

1 . 1 . . . + l _ : f _

r or ·l qfl '

2I _-a_r or~9

(5.4. )

1 C J

2 'dO'r

Done

[ - i w + ,J (1~ + .l.. C2

W l ]:= _ Dr 2 r 3r 2 l

qr r ~

[ 1 . w + .l.. 2 2 J . .M " " - D

3 '1 1 + ~ " ' 1 1 ) ( 5 . 5 . )r or 2 2 2

r ~9 (}r

1 2 1w ~)" " D (1 - ))) (- -_-

r r or,38 2 ~er

De me-me, on deduit de (2.4 .)

T = - D . 1 . . (,,2 '1 1 ) ,r ~r ( 5 . 6 . )

La methode la plus eourante pour integrar l'equation de Lagrange

(5.2.) est de rechereher une solution de la forme W = 'Ill+ \,12 ' ou WI est uneintegrale p~rticuliera de (5.2.) et ou w 2 satisfait l'equation homogene

"14 '1 12' " 0 (5.7.)

.j.



32.-

On peut trouver la solution genera Ie de ( 5 . 7 . ) en prenant

(5.8.)

ou a est une constante et ou les R sont des fonctions de1'equation

r satisfaisant

d2

1 d m2rf d

2Rl dR m2

2(- + - - _ -) (- + - - _ ! E . . l L . R)

d2 r dr 2 2 d 2 r dr 2 2r ar r Or

... 0,

La solution generale de (5.9.) est donnae par

2+ m J T 2- ! ! ! ! !

a + Dm! a= Am m

(5.10. )

R' est donnem

forme

( 5. 11 . )

".

(5.12e)

ou ~ = r/rl et r1

est une constante arbitraire convenable.

par une expression analogue. Qu~nd m = 01 ( 5 . 1 0 . ) prend 1 1 3 .

Ro"'Ao+Bo ~nJ +Co!2 + DoJ2 in!.

et, s1 mnlet:::l, ontrouve

(R)!!!!l= 1 :::A1! + B 1j-l +c 1 f3 + D1flnfa

L'angle a a ete introduit pour faciliter l'analyse de plaques en forme de sec-

teur d'angle au centre a. Dans l'analyse des plaques circulaires l on prendra

a ""1'(.

'- .. ,

1.5.2. Plaques chargees avec la symetr~e de revolution.

Si le chargement - et par consequent la deformee - ont la syrnetrie

de revolution, west Lndependarrt de e et l' opera teur laplacien. se redui t a

v2 ::: clIo lId d

d.l +; ~ = l f d j f d J 'd'ou 11 resulte'que l'eqUation.dffferentielle (5.2.) peut s'ecrire sous 1'8.forme 4

}1 f d J [f ~ (f ;)]~=r~ P . (5.1 3.)

qui permet d'obtenir la solution particuliere w par des quadratures rape-tees:

r i r f 1{ i f " [ 1 i f ] }1 ""D)o J 0 f f ( 0 pf df) dJ dJ df (5.14.)

Par example, si p est constant, on obtient

4p "i 4

w l C 64 D J

\ La solution particuliere w2

se reduit ici a la fonction Rodonnee par (5~11.) et 1es constantes A I B , C ,D Y intervenant doivent

, 000 0 ,

€tre determinees par les conditions·aux limites. Le moment radial Mr, 1 effort

tranchant Tr et la pente due a W1 peuvent se determiner par les formules

( 5 . 5 . ) , ( 5 . 6 . ) et (5.14 .). Les quantites analogues dues a W2 se deduisent de

( 5 . 5 . ) , ( 5 . 6 . ) et ( 5 . 11.),./ .



(5 .1 .6 .)

=BJrD D

+ --2- 0

rl

Si la plaque est pleine~ la constante Do est par consequent nulle~sauf s'il existe une force concentree P2 agissant en son centre.

1.5.3. Plaque circulaire uniformernent chargee, encastree le long du bordo

Dans ce cas~ la pente de la ~eforrnee dans la direction radialedoit etre nulle au bord encastre (Fig. 5.3.). On deduit de (5.15.)

4p rl 3

16 D Jr.

= (a)

D'autre part, cornrne Bo = Do = 0 acause de la discussion du paragra-phe 1.5.2., l a t ro is ie rn e f or rn ul e

(5.16.) se reduit adW

2 = (b)- Fig. 5.3. -

Le rayon de reference r1

doit encore etre choisij il s'irnpose ici de l'identi-

fier avec le rayon du bord de la plaque, ce qui entraine ~ = 1 l a p er ip he ri e.La condition de pente nulle le long 4 du bord s'ecrit alors, en tenant compte de

(a) et (b), dw prl

2 Co

( - ) = - + - = 0,dJ ~=l 16D r1

p r1

- 32 D

d'ot!

Co

(5.1.)

La d efo rrn ee w s 'ob ti ent en ad dit ion na nt l' exp res si on (5.15.) de1expression

w2= Ao + c

oy 2

et

(5.1. )

de deduite de (5.11.) en y posant Bo

= Do = o

./.



34.-

La condition d'appui (w ) 1f~

4p "i64 D + Ao

o d on ne al or s

= 0

Ao

( 5 . 2 0 . )

d'ou

En tenant compte de (5.15.), (5.18 .), (5.19 .) et (5.20.), on trouve

4p "i

+ 64 DP 2 2 2

= 64 D (r1 - r). ( 5 . 2 1 . )

La fleche maximum se praduit au centre de la plaque (r = 0) et vaut4rl

w = pmax 64 D (5.22.)

En remplagant w par son expression ( 5 .2 1. ) dans les expressionsde s mo me nt s r ad ia l e t c ir co nf er en ti el , on trouve

Mp

[ r~ (1 + - y )2

(3 + ~ ) J ( 5 . 23 . )= 16r

r

Mt

=.E.. li(1 +.y)

2(1 + 3 Y) J (5.2 4.)

16r

Remplac;antsants a la

r par rl, dans ces expressjons,peripherie de la plaque

P r i(Mr)r-r = - -g-,

-1

on trouve pour les moments flechis-

(5.25.)

Au centre de la plaque au r = 0,

2P r

l= 16 (1+ -j )

1.5.4 . Plaque circulaire uniformement chargee, simplement appuyee le long du bordo

(d) (b) (c)

- Fig. 5.4 . -./.



35.-

On peut aisement deduire Ie cas de la plaque simplement appuyee de

celu1 de la plaque encastree, en utilisant Ie principe de superposition.

En effet, on a vu que dans le cas du bord encastre (fig. 5.4 .a) 11 existalt le

long du bord des momentsradlaux negatlfs Mr :: - p r i / 8 . 3i lion superpose

a ce cas une flexion pure spherique par des moments positifs p r i / 8 , on obtient

la solution du probleme cherche •

1 M::

R D (1 + y)

courbure de la plaque representee a la2

p "i

On a vu au par. 1.1.1. que la

fig. 5.4.b etait

= = 8 D(l + 1 »

II Y correspond la deformee parabolique2

p "i

w = = 16 D(l + v)

2 2(r1-r ) (5.26.)

Enajoutant cette deformee a celle (5.21.) de la plaque encastree, on trouvepour la deformee de la plaque appuyee (fig. 5.4.c)

2 2p("i - r) 5 o f )J

64 D (1 V::

2 2"i - r)

la plaqueEn faisant r = 0 dans cette expression, on obtient la fleche de

4(5 + " » P r

1W max = 64 (1 + ~) D (5 .28. )

Pour Y = = 0,3, cette fleche vaut environ 4 fois celIe de la plaque encastree(5.22. ).

Pour obtenir les momrnts flechissants, nous devons ajouter aux mo-

ments (5.23.), (5.24 .) de la plaque encastree Ie moment constant p ri / 8, cequi donne

p r 2 _\ 2 , 1Mt:: 16 (1 (3 + ) 1 ) - r (1 + 3y ~

Le moment maximum se produit au centre de la plaque ou

3 + v= 16

1.5.5. Autres problemes relatifs a des plaques circu1aires.

En partant de la doctrine generale exposee au par. 1.5.2., on peut

aisement traiter n'importe quel probleme relatif a une plaque circulaire, pleineou annulaire, chargee avec la symetrie de revolution. On renvoie pour les de-

tails au traite de Timoshenko et Wo!nowsky-Krieger cite en note page 21 et on seborne ci-apres a donner quelques indications generales sur les cas traites •

.j.



36.-

Comme on peut toujours passer de la plaque appuyee a la plaque encas-

tree en ajoutant une flexion spherique (cf. fig. 5 . 4 . ) , on se bornera ci-apres aexaminer les plaques appuyees sur leur bord exterieur.

Commengons par etudier Ie cas, represente a la fig. 5 . 5 . , d'une plaque 8 implement

appuyee soumise a une charge urri.f'ormemerrtepartie p sur une ci_rcopf?rence de

rayon b. On peut analyser ce cas en considerant separement la rondelle centraleet la plaque annulaire exterieure, puis en traduisant analytiquement les condi-tions ci-apres :

Possedant la solution de ce

cas, on peut traite!' n'1mporte quel

cas de charge symetrique d'une plaque

circulaire en appliquant Ie principe

de superposition ou, si lIon veut, Iatheorie des lignes d'influence; ainsi,

par exemple, s1 lIon doit etudier une

plaque chargee uniformement sur une

couronne comprise entre les circonferences r = bl

et r =b2

(fig. 5 . 6 . ) , onintegre les effets produits par la charge elementaire p.db aglssant Ie long de la

clrconference de rayon b.

i~

b

· r£ ~I

I I 'l: -lH I"

r H y { l

J:

)

1rT,.

r . - I)H r ( 11,.

- Fig. 5. 5 . -

I I : , . , I ~bN n I crt -;---! 1 I

I I I I I I I . : I 1 I I I (

- Fig. 5.6.

- Fig. 5.7.-

1. La rondelle centrale est soumise

a la flexion spherique et l'ef-

f or t t ra nc ha nt T y est nul ;l'

2. La portion annulaire est soumise

a un effort tranchant

Tr = pb/r1;

3. les deux portions ont mSme incli-

naison Ie long de la circonferen-ce de raccordement r = 1'1'

Pour Ie developpement des

calculs, qui n'offrent que des dif-

ficultes d'ordre algebrique, nous

renvoyons a llouvrage cite plus haut.

. _.:.;.

Dans un autre ordre p'idees,

on peut traiter, en partant des for-mules fondamentales, divers cas dep la qu es ·,t ro ue es , ( fi g. 5.7.) ce qui

presente de l'inter~t surtout pour la

construction des machines (caleul des

voiles de pistons et des disques de

turbines.)

Enfin, on a obtenu des solutions en termes finis pour divers cas de

plaques circulaires de revolution dont l'epaisseur varie en fonction du rayon

d'une fagon lineaire ou exponentielle.c .+".

1 . 5 . 6 . Etude du champ de contraintes dans une plaque au voisinage d'une force

concentree.

~vant d'abandonner Ie probleme des plaques circulaires, nous devons

encore nous preoccuper de l'etat de contrainte singulier qui existe dans uneplaque au voisinage dlune force concentree P.

.1 •



La charge repartie p etant nulle, l'integrale particu1iere wI

donnae par. (5.14.) et intervenant dans 1a deformee w = w~ + w2

est nulle etcette deformee se reduit a sa partie w

2= R donnae par (5.11.). La plaque

etant pleine, Bo =0 et la deformee se redui~ a l'expression

W(P 2 ) = Ao

P "iavecf;; rjr1 at Do"" 8'1tD'

La partie (A + C j' 2) de la def'ormee correspond a un rayon deeourbure radiale constan~, doge a une deformee spherique sous l'effet de momentsflechissants appliques au contour de la plaque. Cette partie de la deformee nta

pas dlinter~t iCi, puisque nous voulons examiner la partie singuliere de w duea la force concentree P. Nous nous bornerons done a examiner cette partie,qui peut s'ecrire :

w(r) =

On en deduit par les formules ( 5 . 5 . )

MP

[ 2 • (1 +~) . logr

(3 +v) J- 81t •-+

r r1

Mt - i n - · r · (1 d)·og

r(l + 3Y ) J= -+

rl

.; ~~- . ......

On voit qUIa cause du terme logarithmique, les moments deviennent

infiniment grands au droit de la force (jncentree (r = 0) et les contraintesen ce point sont infinies egalement. En realite, i1 n'existe pas de forcesconoentrees ; toutes les forces abissantes sont reparties sur certaines surfaces.N'oublions pas, d1ailleurs, que notre theorie, comme la theorie classique des

poutres, a ete etablie en supposant implicitement que les contraintes normalesaz dans Ie sens de l'epaisseur de la plaque etaient negligeables vis-a-vis descontraintes de flexion, ce qui exolut la consideration de charges concentrees.

'. -.

On peut d'ailleurs, en etudiant de plusforts a l'interieur de la plaque, montrer que, m~meconcentree, les moments flechissants ont a l'aplombfinie, qui depend de la valeur de l'epaisseur de la

pres 1a diffusion des ef-dans Ie cas d'une foroe

de cette f?rce une valeurplaque. (1)

II nlen reste pas moinsque la solution singuliere ( 5 . 3 1 . ) presenteun inter~t mathematique considerable, parce que clest une integra Ie particulierede Itequation de Lagrange (2.5.). Comme telle, elle joue un r61e fondamental

dans la theorie des surfaces d'influence donnee au par.Gci-apres.

.r .

(1)

,

Voir a ce suj~t s. TIMOSHENKO et S . WO INOWSKY -K RIEGER,

and shells, pp. 75 a 78.Theory of plates



4 7 . -

1.7. METHODES APPROCHEES.

1.7.1. Introduction.. .:',,:~

II Y a de nombreux problemes concernant les faibles deformations

des plaques isotropes, pour lesquels une solution rigoureuse est impraticable.

Pour les resoudre, i1 faut faire appal aux methodes approchees de llanalyse

mathematique. On peut classer ces methodes en deux categories:

a) calles qui sont basees sur Ie princi~d du minimum de l'energie potentielle,ou sur un principe variationnel analogue j

b) celles qui partent de l'equation de Lagrange, dont la solution approcheeest obtenue par des methodes numeriques.

':-",

:,,-

Comme on Ie Yarra, la distinction entre ces deux categories n'est

pas nette; en effet, la methode des differences finies est habltuellement pre-

sentee comme une methode numerique approchee pour resoudre l'equation de ~grange.

Mais, elle poasede des liaisons, inti'mes avec La methode des elements finis, qui

doit logiquement decouler d'un principe variat~onnel.

. ':~-<

1.7.2. L'energie potentielle interne de flexion.

L'energie potentielle i~~erne par unite d'aire d'une plaque fleehie,

V' J S'exprime Le plus simplement en fonction des moments principaux M r I ~, atdes courbures princlpales X ~ I X

2• Par Ie theoreme de Clapeyron (cf. Resistan-

ce des Materlaux, par. 14 .2~

V'1

= 2 (~X-l= D (X 2 .\ v V

2 1 + 2 Y Plfr2

en vertu de (1.1.).

.J •



48.-

L'energie potentielle interne totale, V, slobtient en integrant Vi sur la plaqueentiere. II est possible d'inc1ure l'effet d'une rigidite variable en gardant Dsous Ie signe integral ; donc

v " "1

2(7.2. )

II Y a interet a ecrire v sous la forme

V

qui peut slexprimer

vertu des relations

[ U t I + Y-2)2 - 2 (1 -,J »'lfr J dx dy

(7.).)

aisement en fonction des derivees secondes de w en

(1.16.), (1.17.), (1.13.) et (1.14.) :

v = ~1 Il~+ /;)2 - 2 (1 _-,) [ 1)2~ i" _(. 2 W ) 2 ] 1 dx dy

a x JY a x dy2 Jxay

" ~ l D [ ( V 2w ) 2 _ (1 _,) 04 ( W ' W ) j dx dy ( 7 . 4 . )

1.7.3. Expression simplifiee de V pour les plaques d'epaisseur constante.

L'equation de Lagrange (2.5.) gouvernant west Lndependante de Y.Le coefficient de Poisson ne peut donc affecter 1a deformee, et par consequentV, que par son influence sur les conditions a la surface. S1 c es c on di ti on s

sont purement cinematiques (par exemple w = 0, ~ = 0) ou ne dependent pasde y, on doi t avoir an

D f f 0 4( , ,w) dx dy ~ 0 (7.5.)

de sorte que

V (7.6..)

Des resultats obtenus au par. 1.3. a propos des conditions aux 1imi-

tes, il decoule que)pour un bord libre, ( 7 . 6 . ) n'est valable que si Ie bard estencastre, tandis que, si les bQrds sont rectllignes, ( 7 . 6 . ) est valide qu'ilssoient encastres, simplement appuyes, ou elastiquement encastres en rotation.

On peut retrouver ce resultat en appliquant Ie theoreme de Gauss

ou, avec- --I> _

a"" Ae +Bex .y

J j (q A + ~B) dx dyU a x ?J y

· J (A dy - B dx ),

a ux f on ct io ns.~..

2 2

A 2 ! ! a.l'! et B " " - ~dw

= qX 2 a x ax<JybY

.r .



On trouve

I f e Y ! . .

a x.L (dw)OY

et lIon voit que, si le bord est rectiligne, W = 0 entraine dw = 0 et I O.

1.7 . 4 . Principe du minimum de l'energie potentielle totale - filehode de Ritz.

L 'e ner gie p ote nti ell e de s fo rce s t ran sve rsa le s a ppl iqu ees a la pla-que est donnee par

J j pw dx dy ( 7. 7.)

L'energie potentielle des moments et efforts tranchants appliquesau bord de la plaque est donnee par

= j (Tnw - M o Wnan

f v l ~ ) dsns as

ou nest la normale exterieure au bord et s est dirige selon la tangente

a ce bordo

De meme, on peut montrer que, si les bords de la plaque sont elasti-quement encastres en rotation, l'energie potentielle interne V emmagaslneedans la structure soutenant la plaque (cf. par. 1.3. 4 .) est do~ee par

Ve

L'energie potentielle totale M est la somme

( 7.10.)

Le principe du minimum de l'energie potentielle totale (cf. R.d.M.

par. 1 4 . 1 7.), affirme que le champ de deplacements reels w(x,y) donne a rrunevaleur plus faible que tout autre champ de deplacements compatible avec les

liaisons du systeme.

Rit~ a propose de resoudre ce genre de problemes variationnels en

representant w, par une combinaison lineaire de fonctions wn (x,y) connues

de la forme N

=~

n=l

A w (x,y)n n

(7.11. )

ou , pl us g en era lem ent ,M N

= 2:. ~m=l n=l

Le potentiel total devient alors une fonction du nombre fini MN

de variables Amn et le principe susnomme exige qu'on ait les MN conditions

w A W (x,y)mn mn

( 7.12.)

de minimumo ft

a Amn

= o (1~ m L..M , 1 ~ n~N)



5 0 . -

S1 la serie de fonctions w dans (7.12.) est suffisamrnent generals

pour representer tous les types de dePl~gements possibles, la solution tendra vers

1a solution correcte quand M ~ N , augmentent.

Par exemple, pour etudier les deformations (et les vibrations) d'une

plaqu e re ctangu laire enc astree , W. Ritz (19 11) a employe 1 ' en se m bl e d ou b 1e rn en tinfini

w = F (x) F (Y)run m n

ou les fonctions F sont les modes propres de vibration successifs d'une poutrebiencastree.

Nous ne donnerons pas d1autres examples ioi, car la methode de Ritz sara disoutee

plus a fond a propos du voilernent des plaques (par. 3 . 5 . ) .

1 . 7 . 5 . Methode de Galerkin.

Dans 1a methode de Galerkin, 1a deformee est encore representee par

(7.12.) et les fonctions wmn (x.y) sont choisies pour satisfaire aux conditions

a 1a surface, mais les parametres Amn sont determines par Ie systeme d'equa-tions ci-apres :

I f (D v 4w - q) Wmn dx dy = = 0 , (1 ~ m ~ M, 1 ~ n ~ N)(7 .14.)

ce qui dispense du souci de determiner l'energie potentielle.

1.7.6. Methode des elements disorets - Liaison avec la methode de Ritz.

L a methode des elements discrets consiste a deoouper 1a plaque en une

serie d'elements de dimensions finies, tels que les elements rectangulaires re-presentes a la fig. 7.1.

Supposons par exemple que la deformation de l'element hachure so i t completement

specifiee par les 12 deplacementl ~, ~ , Uz de ses quatre angles et les 8 ro-

tations des normales a la plaque en ces angles, autour de ox, oy. Designons par

~ , U 2 ' . . ., U20 les 20 parametres ainsi definis.

. " ,"j

I

I;I

" i. !

- Fig. 7.1. -.r .



51.-

On peut montrer que les deplacements u = ( ~ , liy , u ) dtun point

quelconque de l'element hachure s'expriment en fonction des depI~cements dis-

= ( U i , u2 ' "'J U20) par l'equation matricielle

-crets u

u ... a u J

ou a = a(x,y) est une fonction des coordonnees.

Les deformations e deltelement s'obtiennent comme en elasticite endifferen-tiant Itequation (7.15.), ce qui conduit a l 'e qu at io n m at ri ci el le

. __

e ...b u (7.1.)

Ayant les deformations, on peut ca1culer l'energie potentiel1e totalede 1a plaque

T r = U+V

En vertu du principe du minimum de l'energie potentielle totale, le

champ de deplacements reel rend ] T minimum. Done les meilleures va leurs des uisont celles qui satisfont aux conditions de minimum

C J T T :II: 0

o u .l

On se bornera ici a ces indications tres generales, car 1a methode deselements discrets est exposee en detail dans le cours "Application des Ordinateursau Calcul des Structures".

On voit que la methode revient a exprimer Ie champ de deplacements al'aide d'un nombre fini de parametres, puis a determiner ces parametres par appli-

cation du principe du minimum de l'energie totale. Elle constitue dono un casparticulier de la methode de Ritz (par. :.7.4 .). Mals, alors.que dans les appli-cations courantes de 1a methode de Ritz, les developpements utilises pour repre-senter les deplacemants ui infl4 dncent toute la plaque (x), dans Ie cas actuelles ui afferents a un sommet (Fig. 7 . 1 . ) n'affectent que les quatre elements

d is cr et s a dJac en ts a ce sommet.

Les deux avantages principaux de 1a methode des elements d1screts surcelle des differences finies (cf. par. 1.7.7. ci-apres) est qu'e11e est plus sou-pie, parce qute11e s'accomode d'elements de forme quelconque, adaptes a des formesde plaques aussi compliquees quion Ie veut, et qu'elle sladapte aisement a des

problemes de structures formees de plaques at de poutres.

1.7.7. Methode des differences finies.

La methode des differences finies consiste a couvrir la plaque a etu-dier d'un reseau regulier - Ie plus souvent a mail1es carrees - (fig. 7.2.) puisa exprimer toutes les derivees partielles du deplacement tran$versal w interve-nant dans les formules de theorie des plaques et, en particu1ier, dans l'equation

de Lagrange (1.2.5.) par les valeurs prises par w(x,y) aux noeuds de ce reseau •

.j.

(x) par exemple, pour une plaque rectangulaire appuyee sur ses quatre bords, on

ado p te d'habitude dans la methode de Ritz Ie developpement

w(x,y) = 2:. ~m;:l n=l

amn

im lTx

sn--a

sin m Try'

b



A.x ax:

1'1",. , "·1 1I",'rt,

r- 1I 1 P 1 , n·f

. . . '1/,"_1,11/ 1 " , , / 7

11/h.1;Mf

Inoeudsl

Les differentstdu reseau sont carac-terises par un systeme de deux indices commeindique a la fig. 7 .2. et les va leurs p~isespar W en ces noeuds sont definies par lesmemes indices. ~•

On peut definir ainsi les differences pre-

mieres avant et arriere

52.-

r - - - - - - - - - - - - - - - - - x

11m",' , /? 1 " ,t::,- W = W - W

m-l,nm,n mn

6,+ W =w - WX mn m +l,n mn

( 7 . 1 9 . )

1 1 ; Wmn W - Wm,n-ln

+Aywmn = W - W

m,n+l mnFig. 7.2.-

a l'aide desquelles on peut definir trois types de differences secondes centrales:

! : l W = t/ W - /1- W W 2 W + W

xx mn X mn x mn m+l,n mn m-L;n

Ayy wmn =6,+ W Ay W = W 2 W + Wy mn mn m,n+ l mn m,n-l

1 . u: L l ; Wm+l,n)1 J

~Xy W = W - - (!::.y -A W )mn 2 y m+ l,n 2 m-L;n y m-l,n

= W - W W + Wm+l,n +l m +l,n-l m-l,n +l m-l,n-l

( 7 .2 0 . )

Dans le cas d'une plaque polygonale simplement appuyee le long dubord, la somme des moments

S

M + Mx y

1

vet le deplacement transversal W sont tr~s deux nuls le long du bord, de sorteque l'equation du quatrieme ordre de Lagrange peut etre effectivement decou~een les deux equations du second orlre:

\12

S

\]2W

= - pS

= - -D

(4.8.)

(4.10.)

exprimant les theoremes de Marcus (par. 1.1+.4. ); l es e qu at io ns correspondantes

en differences finies s'ecrivent

Ii S byySxx+ = - P

~2 Ai ( 7 . 2 1 . )

Axx W h. WS

+yy

=fj,x

2fJy2

D

La methode de Marcus completee par l'introduction de differenceLfinies et caracterisee par les formules (7.21.) s'appelle methode du treilliselastique. Cette denomination provient de ce que la substitution de differencespar tie lle s aux de rive es p art iel les eq uiv aut p hys iqu eme nt a r empl ace r la m emb ran e

par un treillis a f fia ille srect ang ula ire s f orm e d e f ils , c' est- a-d ire pa r d euxsystemes orthogonaux de polygones funiculaires, qui se partagent les charges 10-

calisees aux noeuds.

./.



j

53.-

Pour illustrer la methode, pre nons le cas tres simple d'une plaquecarree chargee uniformernent (fig. 7 .3.). Nous obtiendrons une approximation

grossiere de S et w en divisant la

plaque en 16 carres cornrneindique a lafigure et en prenant I J . x = /s s = a/4

dans les equations (7 .21.). II estevident par syrnetrie que les calculspeuvent se reduire a la zone hachuree.

Dans cette zone, S et w ne sont diffe-rents de zero qu'aux points 0, 1, 2.La premiere equation (7.21.) fournitles trois equations

I d -\

- Fig. 7.3. -d'ou lIon deduit

2S = 2 . pao 2 64

27 pa

Sl = 2 ' 64

2

4 Sl - 4 S =pa

0 16

2

2 S2 - 4 Sl + Spa

= - 16

4 S2 + 2 Slpa2

=- 16

,11

4

2pa64 •

Rernpla~ant ces valeurs de la sornrnedes moments dans la seconde equation (7 .21.),on obtient les trois equations suivantes

4 wl-4 Wo

ou

N

=

4pa

= 16 x 64 D

De ces equations, on deduit les valeurs suivantes du deplacement

66 N 4 8N 2 2 . N.o 16

wl = 16

w2 = 16

Pour la f'Leche au centre, on trouve

4Wo = 66 N 0,00403 pa

16 D4

La valeur exacte est o 004 06 pa , de sorte que l'erreur est moindre que 1 % .D

Mx

S (1 + ~)o

Pour le moment flechissant au centre de la plaque, on trouve la valeur

=-----_W 2 .- 2 2

My 2

qui est inferieurea la valeur exacteEn divisant la plaque en 8 x 8 carresments flechissants maxima des valeurs

un pour cent.

2

E:._ =64

20,04 57 pa

20,04 79 pa de 4 1/2 pour cent.au lieu de 4 x 4 , on obtient pour les mo-differant des valeurs exactes de moins de

.1.



5 4 . -

On peut aussi app1iquer 1a methode des differences finies a des plaques

possedant des bords encastres ou libres~ ou des bords de divers genres.Comme, en general, 1a valeur de 1a somme des moments n1est pas connue sur 1e bord,

on ne peut uti1iser effectivement 1es theoremes de Marcus, et il faut uti1iser di-rectement 11equation de Lagrange.

Pour 1a commodite du calcu1ateur, on a rassemb1e a la fig. 7.4. les

"etoi1esll, clast-a.-dire les equivalents en differences finies, des principaux ope-

rateurs differentiels intervenant dans la theorie des plaques.

+

- Fig. 7.4. -

La figure est basee sur Ilhypothese.6.x =Dy = h. Chaque nombredoit 8 tre rnultiplie par Ie symbole w

k representant Ie deplacement transversalau point k et la somme de ces produits doit etre divisee par une expression

donnee a cote de chaque IIe to il e" •

.r ,



5 5 . -

En vue de formuler les conditions aux limites pour un bord rigide~ etablissonsl'equation de Lagrange aux diffe-

rences pour un point interieur 7

adjacent au bord (Fig. 7 . 5 . ) .A ppl iq ua nt I 'et oi le V2 V2 de La

fig. 7 . 4 . , on trouve

[ \ ' 1 1+ w5 + w9 + w13 + 2(''1

2+ w4 + w

10+ >112)

-8(\>'3 + i'16 + w8+ w11)+ 20 w7] :4 = = - t - (a)

au w2 = = w) "" w 4 . . . o. Nous avons

maintenant a eliminer Ie deplace-ment w

Lau point fictif 1, obtenu

en contlnuant Ie reseau au-dela dubord de la plaque. Ceci s'obtient

~ $

~1- -

6 Ie~

2 I~ ~

a 1 & 7 11 1 3 " t : . . .t:

4 - 8 12 ~,~10---

~9 ~-i-

l l A h thWI 1

- Fig. 7 . 5 . -aisement, car 2

si la plaque est appuyee , ( 0 ; k = = 0, d' au WI = -a X ~

~ W ~ 11 la plaque est encastree, --- ...0, d'oll W

~x 3 1

Ainsi donc, il ne reste dans l'6quation (a) qu~ les deplacements des points 1n-terieurs et Ie nombre total de deplacementsinconnus n'excedera pas Ie nombrad'equations du type (a) a notre disposition.

Dans Ie cas d'un bard libre. Ie nombre de ces equations aux differen-ces devra gtre augmente du nombre des points tels que 2, ),4, .., du bard au les

deplacements ne s'annulent pas. II faut, dans ce cas, etendre Ie reseau depoints jusqu'a 1a distance 2h au-dela du bord (Fig. 7 . 5 . ) et ecrire l'equatlon deLagrange pour les points du bard tels que 2, 3, 4 , •• Quant aux deplacements w ,

, , 0

wl' des points fictifs situes au-de1a du ~ord, il y correspond 1es deux condi-tlons a la surface ..

2

+ -) i . . . : : : ! . . = =2

o y° , o

~.-j

exprimees au moyen des differences finies et ecrites pour Ie point 3 situe enface des points exterieurs 0 et 1. De cette fagon, Ie nombre total d'equations

sera. ici encore, Ie m~e que lenombre de deplacements w inconnus. ~

';-..

plaques - partie1

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