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Planejamento e Otimização de
Experimentos
Planejamentos Fatoriais
Prof. Dr. Anselmo E de Oliveira
anselmo.quimica.ufg.br
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Planejamento Fatorial
Fatores ou Variáveis
• Temperatura
• Pressão
• Concentração
• Tempo
• Solvente
• Fluxo/Vazão
• Agitação/Rotação
• Catalisador
Níveis
• 25 e 50 oC
• 1, 5, 10 atm
• ppm, %, m/v
• 1 min, 2 e 6 h
• Puro ou mistura
• 10 e 20 mL/h
• 100 e 200 rpm
• A, B, ...
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Planejamento Fatorial
• Selecionar um número fixo de níveis para uma das variáveis (fatores) experimentos com todas as combinações possíveis
Exemplo
n1 = 2
n2 = 3
n3 = 5
Fatorial n1 x n2 x n3 = 2 x 3 x 5 = 30 experimentos
n1 = n2 = n3 = 2 Fatorial 23 = 8 experimentos
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Planejamento Fatorial em dois níveis
Exemplo de uma planta piloto
Variáveis Quantitativas
o temperatura, T
• 160 oC (-)
• 180 oC (+)
o concentração, C
• 20% (-)
• 40% (+)
Variável Qualitativa
o catalisador, K
• A (-)
• B (+)
Resposta
o rendimento químico
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Planejamento Fatorial em dois níveis
Variáveis
• T /oC • C /% • K
-
• 160 • 20 • A
+
• 180 • 40 • B
Níveis
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Planejamento Fatorial em dois níveis
• Fatorial 2N, com N o número de variáveis N = 3 Fatorial 23 8 experimentos
• Matriz de Planejamento
experimento Temperatura T /oC
Concentração C /%
Catalisador K
Rendimento
𝒚 /g
1 160 20 A 60
2 180 20 A 72
3 160 40 A 54
4 180 40 A 68
5 160 20 B 52
6 180 20 B 83
7 160 40 B 45
8 180 40 B 80
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Planejamento Fatorial em dois níveis
• Distribuição Normal
– Amostra • aleatória
• representativa
• Planejamento Fatorial
• aleatoriedade
– experimentos realizados de modo aleatório
• representatividade
– combinação de todos os possíveis níveis dos fatores
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Matriz de Planejamento
experimento Temperatura T /oC
Concentração C /%
Catalisador K
Rendimento
𝒚 /g
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
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Matriz de Planejamento
Rendimento 𝒚 /g
(1) 60
a 72
b 54
ab 68
c 52
ac 83
bc 45
abc 80
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existem quatro medidas dos efeitos da temperatura
Efeitos Principais: Temperatura
efeito de uma fator é a mudança na resposta quando passamos no nível - para o nível + desse fator
experimento C K 𝒚
- -
- -
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
T
-
+
1
2
diferença nos rendimentos depende apenas da temperatura
60
72
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Efeitos Principais: Temperatura
• Medidas individuais dos efeitos quando a temperatura muda de 160 para 180 oC
experimento T C K 𝒚
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
72 – 60 = 12
68 – 54 = 14
83 – 52 = 31
80 – 45 = 35
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Efeitos Principais: Temperatura
• Efeito principal da temperatura
aumentando a temperatura de 160 para 180 oC, o rendimento da reação aumenta 23 g, em média
𝑻 = 𝟐𝟑
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Efeitos Principais: Temperatura
experimento T C K 𝒚
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
+12
+14
+31
+35
efeito mais acentuado
O efeito da temperatura depende do tipo do catalisador
Sinergismo
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Efeitos Principais: Concentração
• Medidas individuais dos efeitos quando a concentração muda de 20 para 40%
existem quatro medidas dos efeitos da concentração
experimento T K 𝒚
- -
2 + - - 72
- -
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
C
-
+
1
3
diferença nos rendimentos depende apenas da concentração
60
54
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Efeitos Principais: Concentração
experimento T C K 𝒚
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
𝟓𝟒 − 𝟔𝟎 = −𝟔
𝟔𝟖 – 𝟕𝟐 = −𝟒
𝟒𝟓 – 𝟓𝟐 = −𝟕
𝟖𝟎 – 𝟖𝟑 = −𝟑
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Efeitos Principais: Concentração
• Efeito principal da concentração
aumentando a concentração de 20 para 40%, o rendimento da reação diminui 5 g, em média
𝑪 = −𝟓
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Efeitos Principais: Concentração
experimento T C K 𝒚
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
−𝟔
−𝟒
−𝟕
−𝟑
os efeitos individuais da concentração não indicam efeito sinérgico
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Efeitos Principais: Catalisador
• Medidas individuais dos efeitos quando o catalisador muda de A para B
existem quatro medidas dos efeitos do catalisador
experimento T C 𝒚
- -
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
- -
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
K
-
+
1
5
diferença nos rendimentos depende apenas do tipo de catalisador
60
52
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Efeitos Principais: Catalisador
experimento T C K 𝒚
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
𝟓𝟐 – 𝟔𝟎 = −𝟖
𝟖𝟑 – 𝟕𝟐 = +𝟏𝟏
𝟒𝟓 – 𝟓𝟒 = −𝟗
𝟖𝟎 – 𝟔𝟖 = 𝟏𝟐
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Efeitos Principais: Catalisador
• Efeito principal do catalisador
a mudança do catalisador de A para B aumenta o rendimento da reação em 1,5 g, em média
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Efeitos Principais: Catalisador
experimento T C K 𝒚
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
os efeitos individuais do catalisador indicam que há efeito sinérgico com a temperatura
-8
+11
-9
+12
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Diferença entre duas médias
• Efeito principal
resposta média para o nível +
resposta média para o nível –
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Diferença entre duas médias
• Efeito da temperatura
experimento T C K 𝒚
1 - - - 60 y1
2 + - - 72 y2
3 - + - 54 y3
4 + + - 68 y4
5 - - + 52 y5
6 + - + 83 y6
7 - + + 45 y7
8 + + + 80 y8
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Diferença entre duas médias
• Efeito da concentração
experimento T C K 𝒚
1 - - - 60 y1
2 + - - 72 y2
3 - + - 54 y3
4 + + - 68 y4
5 - - + 52 y5
6 + - + 83 y6
7 - + + 45 y7
8 + + + 80 y8
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Diferença entre duas médias
• Efeito do catalisador
experimento T C K 𝒚
1 - - - 60 y1
2 + - - 72 y2
3 - + - 54 y3
4 + + - 68 y4
5 - - + 52 y5
6 + - + 83 y6
7 - + + 45 y7
8 + + + 80 y8
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Diferença entre duas médias
• Efeitos principais
T = 23
C = -5
K = 1,5
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Efeitos de interação
• Entre dois fatores – T = 23, porém o efeito da temperatura é muito
maior com o catalisador B do que com o A
variáveis temperatura e catalisador não se comportam aditivamente INTERAGEM
INTERAÇÃO = diferença entre o efeito médio da temperatura com o catalisador A e com o catalisador B
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Efeitos de interação
• Interação entre a temperatura e o catalisador, TK
experimento T C K
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
+12
+14
+31
+35
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Temperatura Catalisador
• Vimos que um efeito é uma diferença entre médias
usar como nível + os resultados aonde a temperatura e o catalisador apresentam os mesmos níveis
experimento T C K
1 - - - 60 y1
2 + - - 72 y2
3 - + - 54 y3
4 + + - 68 y4
5 - - + 52 y5
6 + - + 83 y6
7 - + + 45 y7
8 + + + 80 y8
usar como nível – os resultados aonde a temperatura e o catalisador apresentam níveis diferentes
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Temperatura Concentração
usar como nível + os resultados aonde a temperatura e a concentração apresentam os mesmos níveis experimento T C K
1 - - - 60 y1
2 + - - 72 y2
3 - + - 54 y3
4 + + - 68 y4
5 - - + 52 y5
6 + - + 83 y6
7 - + + 45 y7
8 + + + 80 y8
usar como nível – os resultados aonde a temperatura e a concentração apresentam níveis diferentes
𝑻𝑪 = 𝟏, 𝟓
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Concentração Catalisador
usar como nível + os resultados aonde a concentração e o catalisador apresentam os mesmos níveis experimento T C K
1 - - - 60 y1
2 + - - 72 y2
3 - + - 54 y3
4 + + - 68 y4
5 - - + 52 y5
6 + - + 83 y6
7 - + + 45 y7
8 + + + 80 y8
usar como nível – os resultados aonde a concentração e o catalisador apresentam níveis diferentes
𝑪𝑲 = 𝟎
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Efeitos de interação
• Efeitos secundários TK = 10 TC = 1,5 CK = 0
efeito caracteriza o sinergismo entre as variáveis Temperatura e Catalisador
efeitos caracterizam a falta de sinergismo entre a variável Concentração e as variáveis Temperatura e Catalisador
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Interação entre três fatores
• De modo similar ao que pode ser aplicado para o cálculo de qualquer efeito, o nível + para a consideração do efeito médio resulta dos produtos dos contrastes de cada fator, em cada experimento, que apresentem sinal +. Idem para o nível –
– - + +
– - - -
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Interação entre três fatores
• interação entre temperatura, concentração e catalisador
experimento T C K
1 - - - 60 y1
2 + - - 72 y2
3 - + - 54 y3
4 + + - 68 y4
5 - - + 52 y5
6 + - + 83 y6
7 - + + 45 y7
8 + + + 80 y8
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Representação Gráfica
+12
-9
+11 -8
-3
-4
-7
-6
+35
+14
+31
+12
(-) (+)
temperatura (oC) 160 180
(+)
(-) A
B
(-)
(+)
con
cen
tra
ção
(%
)
20
40
60 (1)
54 (3)
45 (7) 80 (8)
68 (4)
83 (6)
72 (2)
52 (5)
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Representação Gráfica
• Efeitos principais
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Representação Gráfica
• Interação entre dois fatores
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Representação Gráfica
• Interação entre três fatores
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Interpretação dos Resultados
• Média = 64,25
• T = 23
• C = -5
• K = 1,5
• TC = 1,5
• TK = 10
• CK = 0
• TCK = 0,5
o efeito principal de uma variável deve ser interpretado individualmente apenas quando há evidência de que a variável não interage com outras variáveis
o efeito médio da concentração, C, é o de reduzir o rendimento em cerca de 5 g
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Interpretação dos Resultados
• Os efeitos da temperatura, T, e do catalisador, K, não podem ser avaliados separadamente devido à grande interação TK (= 10). Esse efeito decorre da sensibilidade à mudança de temperatura pelos dois catalisadores
(-)
(+)
cata
lisa
do
r
A
B
temperatura (oC)
(-) (+)
160 180
48,5 81,5
57 70 +13
+33
-8,5 +11,5
a troca do catalisador A por B, a 160 oC, levará a conclusões diferentes se esse mesmo experimento for conduzido a 180 oC: • 160 oC: A melhor que B • 180 oC: B melhor que A
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Cálculo dos Erros
• Efeitos significativos
Variações entre os experimentos realizados nas mesmas condições experimentais
Variabilidade total que afeta os experimentos realizados em diferentes condições experimentais
Aleatoriedade da ordem de realização dos experimentos
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Cálculo dos Erros
• Experimento etapas 1
2
3
4 . . .
Repetição de um experimento genuíno
realização de todas as etapas, novamente
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Cálculo dos Erros
• experimentos genuínos
n-ésima replicata do experimento i
graus de liberdade
estimativa conjunta da variância:
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Cálculo dos Erros
experimento y1 y2
1 59 61 60
2 74 70 72
3 50 58 54
4 69 67 68
5 50 54 52
6 81 85 83
7 46 44 45
8 79 81 80
2
8
32
2
8
8
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
8
2
8
32
2
8
8
2
2
64
64
soma
8
com = 8 graus de liberdade
as replicatas também são realizadas de modo aleatório
𝒔𝟐 =𝟏
𝟖𝟔𝟒 = 𝟖
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Cálculo dos Erros
• O que interessa é o erro dos efeitos
Efeito principal
resposta média para o nível +
resposta média para o nível –
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Cálculo dos Erros
Assumindo que os erros são independentes
• cada termo é uma média de 8 observações (replicatas)
• variância da média é 𝑠𝑚é𝑑𝑖𝑎2 =
𝜎2
𝑁
usando s2 (= 8) como estimativa de s2
𝒔𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐𝟐 = 𝒔𝟐 𝒚 + ± 𝒚 − = 𝒔𝟐 𝒚 + + 𝒔𝟐 𝒚 −
𝒔𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐𝟐 =
𝝈𝟐
𝟖+𝝈𝟐
𝟖=𝝈𝟐
𝟒
𝒔𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐𝟐 =
𝟖
𝟒= 𝟐
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Cálculo dos Erros
• Logo, o erro estimado para cada efeito é
Para a média, a variância da média é 𝑠𝑚é𝑑𝑖𝑎2 =
𝜎2
𝑁
N = 8 x 2 = 16
s = s = 2,8 (estimativa conjunta da variância)
𝒔𝒆𝒇𝒆𝒊𝒕𝒐 = 𝟐 = 𝟏, 𝟒
𝒔𝒎é𝒅𝒊𝒂𝟐 =
𝟐, 𝟖
𝟏𝟔→ 𝒔𝒎é𝒅𝒊𝒂 = 𝟎, 𝟕
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Cálculo dos Erros
• M = 64,25 0,7
• T = 23 1,4
• C = -5,0 1,4
• K = 1,5 1,4
• TC = 1,5 1,4
• TK = 10,0 1,4
• CK = 0,0 1,4
• TCK = 0,5 1,4
exceto T, C e TK os outros efeitos podem ser gerados por ruídos
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Gráficos Normais
• Normal probability plot
Estimar se um conjunto de dados se distribui normalmente
Fatorial sem replicatas
interação
seleção
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Gráficos Normais
• Probabilidade de ocorrência, P
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Gráficos Normais
• Frequência acumulada
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Gráficos Normais
• Gráfico de Probabilidade Normal
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Gráficos Normais
Riccardo Manzini, Mauro Gamberi, Alberto Regattieri, (2005) "Design and control of a flexible order-picking system (FOPS): A new integrated approach to the implementation of an expert system", Journal of Manufacturing Technology Management, Vol. 16 Iss: 1, pp.18 - 35
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Blocagem
• Blocking
2 x 4
23 = 8 experimentos mistura homogênea
um reagente/material não é suficiente para a realização dos 8 experimentos
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Blocagem
experimento
1
2
3
4
5
6
7
8
1
-
+
-
+
-
+
-
+
2
-
-
+
+
-
-
+
+
3
-
-
-
-
+
+
+
+
123
-
+
+
-
+
-
-
+
Bloco I 123 = -
experimento 1 2 3
1 - - -
4 + + -
6 + - +
7 - + +
experimento 1 2 3
2 + - -
3 - + -
5 - - +
8 + + +
Bloco II 123 = +
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Blocagem
experimento 1 2 3
1 - - -
4 + + -
6 + - +
7 - + +
experimento 1 2 3
2 + - -
3 - + -
5 - - +
8 + + +
a idéia é confundir (confounding) a interação entre os três fatores, com a diferença nas misturas
variável 4 Blocagem
123 = 4
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Operação Evolucionária (EVOP)
planta piloto
grande escala
condições ótimas
quando as mudanças não são grandes, ou bruscas
EVOP
pequenas mudanças no nível de operação das variáveis
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Operação Evolucionária
2K pontos (centrado na melhor condição
experimental)
ciclo: após uma medida em cada
ponto vários ciclos
efeitos e interações podem apresentar
um efeito significativo na
resposta
mudar as condições de operação para
melhorar a resposta
fase é completada quando a melhoria
nas condições é completada
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Planejamento Fatorial Fracionário
![Page 60: Planejamento e Otimização de Experimentos€¦ · Planejamento Fatorial Fatores ou Variáveis • Temperatura • Pressão • Concentração • Tempo • Solvente • Fluxo/Vazão](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071014/5fcc618f727afe33ab465b33/html5/thumbnails/60.jpg)
k fatores 2k experimentos
alguns efeitos são desprezíveis
fração dos 2k experimentos
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![Page 62: Planejamento e Otimização de Experimentos€¦ · Planejamento Fatorial Fatores ou Variáveis • Temperatura • Pressão • Concentração • Tempo • Solvente • Fluxo/Vazão](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071014/5fcc618f727afe33ab465b33/html5/thumbnails/62.jpg)
• É empregado quando existem muitas variáveis no sistema, ou
o processo tende a ser conduzido por alguns dos efeitos
principais e de interação
• Pode ser projetado em planejamentos maiores no
subconjunto dos fatores significativos
• É possível combinar os experimentos de dois, ou mais,
planejamentos fracionários para montar, sequencialmente,
um planejamento maior para estimar os efeitos dos fatores e
das combinações de interesse.
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Redundância em um Planejamento
k = 7 27 = 128 experimentos
Quantos efeitos resultam?
combinações simples de n elementos tomados
k a k, sem repetição (elementos distintos)
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média = 1
efeitos principais (n = 7, k = 1)
efeitos secundários (n = 7, k = 2)
efeitos terciários (n = 7, k = 3)
n = 7, k = 4
n = 7, k = 5
n = 7, k = 6
n = 7, k = 7
128 efeitos
𝑐7,1 = 7
𝑐7,2 = 21 𝑐7,3 = 35
𝑐7,4 = 35 ...
𝑐7,7 = 1
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![Page 66: Planejamento e Otimização de Experimentos€¦ · Planejamento Fatorial Fatores ou Variáveis • Temperatura • Pressão • Concentração • Tempo • Solvente • Fluxo/Vazão](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071014/5fcc618f727afe33ab465b33/html5/thumbnails/66.jpg)
se k não é pequeno (< 3) há uma tendência à
redundância em um fatorial 2k
Redundância e o Número de Efeitos
![Page 67: Planejamento e Otimização de Experimentos€¦ · Planejamento Fatorial Fatores ou Variáveis • Temperatura • Pressão • Concentração • Tempo • Solvente • Fluxo/Vazão](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071014/5fcc618f727afe33ab465b33/html5/thumbnails/67.jpg)
Fatorial 23-1
23 = 8 experimentos
• três fatores; dois níveis
• possível: 4 experimentos
23-1 = 4 experimentos
![Page 68: Planejamento e Otimização de Experimentos€¦ · Planejamento Fatorial Fatores ou Variáveis • Temperatura • Pressão • Concentração • Tempo • Solvente • Fluxo/Vazão](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071014/5fcc618f727afe33ab465b33/html5/thumbnails/68.jpg)
experimento
1
2
3
4
5
6
7
8
A
-
+
-
+
-
+
-
+
B
-
-
+
+
-
-
+
+
C
-
-
-
-
+
+
+
+
ABC
-
+
+
-
+
-
-
+
I
+
+
+
+
+
+
+
+
experimento ABC
1 -
4 -
6 -
7 -
experimento ABC
2 +
3 +
5 +
8 +
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Gerador
ABC gerador
• ABC = +
• ABC = -
• I = ABC : relação de definição
![Page 70: Planejamento e Otimização de Experimentos€¦ · Planejamento Fatorial Fatores ou Variáveis • Temperatura • Pressão • Concentração • Tempo • Solvente • Fluxo/Vazão](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071014/5fcc618f727afe33ab465b33/html5/thumbnails/70.jpg)
Efeitos p/ gerador I = ABC
efeitos principais
experimento
2 a
3 b
5 c
8 abc
I
+
+
+
+
A
+
-
-
+
B
-
+
-
+
C
-
-
+
+
AB
-
-
+
+
AC
-
+
-
+
BC
+
-
-
+
ABC
+
+
+
+
efeitos de interação
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não se pode diferenciar entre
– A e BC
– B e AC
– C e AB
• estimativas
o A = 𝓁A + 𝓁BC
o B = 𝓁B + 𝓁AC
o C = 𝓁C + 𝓁AB
• ou
o 𝓁A A + BC
o 𝓁B B + AC
o 𝓁C C + AB
alias
![Page 72: Planejamento e Otimização de Experimentos€¦ · Planejamento Fatorial Fatores ou Variáveis • Temperatura • Pressão • Concentração • Tempo • Solvente • Fluxo/Vazão](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071014/5fcc618f727afe33ab465b33/html5/thumbnails/72.jpg)
Meia Fração
relação de definição I = ABC
multiplicando por A pela esquerda
A.I = A.ABC
A = A2BC A2 = I
A = BC
a meia fração I = +ABC é a fração principal
![Page 73: Planejamento e Otimização de Experimentos€¦ · Planejamento Fatorial Fatores ou Variáveis • Temperatura • Pressão • Concentração • Tempo • Solvente • Fluxo/Vazão](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022071014/5fcc618f727afe33ab465b33/html5/thumbnails/73.jpg)
Efeitos p/ gerador I = -ABC
calcule os efeitos principais e os de interação
experimento
1 (1)
4 ab
6 ac
7 bc
I
+
+
+
+
A
+
+
-
-
B
+
-
+
-
C
-
+
+
-
AB
+
-
-
+
AC
-
+
-
+
BC
-
-
+
+
ABC
-
-
-
-
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Construção das meias frações: 23-1
1. Montar o planejamento completo 2k-1
fatorial 22
experimento A B
1 - -
2 + -
3 - +
4 + +
fatorial 23-1 ; I = ABC
A B C = AB
- - +
+ - -
- + -
+ + +
fatorial 23-1 ; I = -ABC
A B C = -AB
- - -
+ - +
- + +
+ + -
2. Adicionar o k-ésimo fator de
acordo com o gerador
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Resolução
I = ABC planejamento de resolução III, 2𝐼𝐼𝐼3−1
I = ABCD planejamento de resolução IV, 2𝐼𝑉4−1
I = ABCDE planejamento de resolução V, 2𝑉5−1
...
Em geral, é o tamanho da menor palavra na
relação de definição
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Projeção de frações em fatoriais
Qualquer planejamento fatorial fracionário de resolução
R, contém planejamentos fatoriais completos em
qualquer subconjunto R-1 de fatores
existem vários fatores de interesse
potencial, mas acredita-se que apenas
R-1 desses fatores têm efeitos
importantes
fatorial fracionário de resolução R
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Exemplo: velocidade de filtração
A = temperatura
B = pressão
C = concentração de formaldeído
D = taxa de agitação
resposta: velocidade de filtração (gal/h)
fatorial completo 24 = 16 experimentos
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experimento 𝒚
(1) 45
a 71
b 48
ab 65
c 68
ac 60
bc 80
abc 65
d 43
ad 100
bd 45
abd 104
cd 75
acd 86
bcd 70
abcd 96
A = 21,625
C = 9,875
D = 14,625
AC = -18,125
AD = 16,625
Planejamento Fatorial Completo 24
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experimento A B C
1 - - -
2 + - -
3 - + -
4 + + -
5 - - +
6 + - +
7 - + +
8 + + +
D = ABC y
- 45 (1)
+ 100 ad
+ 45 bd
- 65 ab
+ 75 cd
- 60 ac
- 80 bc
+ 96 abcd
• efeitos principais
A.I = A.ABCD
A = A2BCD
A = BCD
B.I = B.ABCD
B = AB2CD
B = ACD
C.I = C.ABCD
C = ABC2D
C = ABD
D.I = D.ABCD
D = ABCD2
D = ABC
24-1 com gerador I = ABCD, 𝟐𝑰𝑽𝟒−𝟏
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24-1 com gerador I = ABCD, 𝟐𝑰𝑽𝟒−𝟏
interações de dois fatores
AB.I = AB.ABCD
AB = A2B2CD
AB = CD
AC.I = AC.ABCD
AC = A2BC2D
AC = BD
AD.I = AD.ABCD
AD = A2BCD2
AD = BC
fatorial 23 = 7 efeitos
o 3 principais
o 3 de 2ª ordem
o 1 de 3ª ordem
fatorial 24-1 = 7 efeitos
o 4 principais
o 3 de 2ª ordem
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24-1 com gerador I = ABCD, 𝟐𝑰𝑽𝟒−𝟏
estimativa do efeito principal A
estimativa do efeito de interação AB
𝑦
45 (1)
100 ad
45 bd
65 ab
75 cd
60 ac
80 bc
96 abcd
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𝓁A = 19
𝓁B = 1,5
𝓁C = 14
𝓁D = 16,5
𝓁AB = -1
𝓁AC = -18,5
𝓁AD = 19
como o efeito de B é pequeno (𝓁B), espera-se pouca
interação entre B e A, C e D. Logo 𝓁AC AC e 𝓁AD AD
Fatorial 24
• A = 21,625
• C = 9,875
• D = 14,625
• AC = -18,125
• AD = 16,625
24-1 com gerador I = ABCD, 𝟐𝑰𝑽𝟒−𝟏
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24-1 com gerador I = ABCD, 𝟐𝑰𝑽𝟒−𝟏
desse modo, tem-se um fatorial 24-1 projetado em
um fatorial 23, com os fatores A, C e D
(-) (+)
A
(+)
(-)
D (-)
(+)
C
45
80
75 96
60
100
65
45
AC: A(-) A(+)
• C(-) 45 65
• C(+) 80 60
AD: A(-) A(+)
• D(-) 45 65
• D(+) 45 100
com base na tabela do
planejamento, como fica
o cubo de respostas?
𝑦
45 (1)
100 ad
45 bd
65 ab
75 cd
60 ac
80 bc
96 abcd
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Modelo
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Velocidade de filtração
(gal/h)
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Fatorial Fracionário 2k-p
2k-p experimentos = 1
2𝑝 fração do planejamento 2k
2k-2 experimentos = 1
22=
1
4 fração de 2k
• p geradores independentes
• a relação de definição completa consiste de todas as
colunas que são iguais à coluna identidade, I
ex: k = 6, p = 2 26-2
geradores: I = ABCE (E = ABC)
I = BCDF (F = BCD)
I = ADEF
𝟐𝑰𝑽𝟔−𝟐
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geradores: I = ABCE (E = ABC)
I = BCDF (F = BCD)
I = ADEF • para A
A.I = A.ABCE = A.BCDF = A.ADEF
A = A2BCE = ABCDF = A2DEF
A = BCE = ABCDF = DEF
• para AB
AB.I = AB.ABCE = AB.BCDF = AB.ADEF
AB = A2B2CE = AB2CDF = A2BDEF
AB = CE = ACDF = BDEF
Fatorial Fracionário 𝟐𝑰𝑽𝟔−𝟐
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experimento A B C D
1 - - - -
2 + - - -
3 - + - -
4 + + - -
E = ABC F = BCD
- -
+ -
+ +
- +
Fatorial Fracionário 𝟐𝑰𝑽𝟔−𝟐
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Summary tables of useful fractional factorial designs
Geradores