plagiat merupakan tindakan tidak terpuji sistem … · mis dan kesimpulannya. ... otak manusia...

SISTEM JARINGAN SYARAF KABUR

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun oleh:

Sisiria Mardiawati

NIM : 053114006

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2011

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

FUZZY NEURAL NETWORK SYSTEM

Final Assignment

Presented to Fulfill One of the Requirements

To Obtain the Sarjana Sains Degree

Mathematics Study Program

By :

Sisiria Mardiawati

Student Number : 053114006

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2011


vi

HALAMAN PERSEMBAHAN

Bersukacitalah senantiasa

Tetaplah berdoa Mengucap syukurlah dalam segala hal, sebab itulah yang dikehendaki Allah di

dalam Kristus Yesus bagi kamu (2 Tesalonika 16-18) Janganlah hendaknya kamu kuatir tentang apa pun juga, tetapi nyatakanlah dalam segala hal keinginanmu kepada Allah dalam doa dan permohonan dengan ucapan syukur (Filipi 4:6)

Skripsi ini kupersembahkan kepada : Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu memberkati dan menyertaiku

Mamak dan Bapak yang selalu mendukung dengan cinta kasih yang tiada habisnya Adikku terkasih, Vincentius Mardianto yang selalu mendukung

Diriku sendiri, Sisiria Mardiawati yang sudah mau menyelesaikan skripsi ini


vii

ABSTRAK

Jaringan syaraf kabur adalah suatu model yang dilatih dengan menggunakan

jaringan syaraf, namun struktur jaringannya diinterpretasikan dengan aturan-aturan

kabur. Sistem jaringan syaraf kabur adalah suatu sistem yang mengombinasikan

logika kabur dan jaringan syaraf. Sistem jaringan syaraf kabur dirancang untuk

merealisasikan proses penalaran kabur, di mana bobot-bobot yang terhubung pada

jaringan tersebut berhubungan dengan parameter-parameter penalaran kabur.


viii

ABSTRACT

Fuzzy neural networks is a model trained using neural networks, but the

network structures are interpreted by fuzzy rules. Fuzzy neural network system is a

system that combines fuzzy logic and neural networks. Fuzzy neural network system

is designed to realize the fuzzy reasoning process, where the weights connected to the

network are associated with the fuzzy reasoning parameters.


x

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan berkat

dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan berbagai pihak yang

memberikan dorongan, bimbingan, petunjuk, nasihat serta dukungan dari permulaan

sampai selesainya penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, pada kesempatan ini dengan

segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terimakasih kepada:

1. Bapak Yosef Agung Cahyanta S.T., M.T., selaku Dekan Fakultas Sains dan

Teknologi Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

2. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Ketua Program Studi

Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Sanata Dharma

Yogyakarta sekaligus selaku Dosen Penguji tugas akhir yang selalu memberikan

semangat kepada penulis.

3. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, SJ, selaku Dosen Pembimbing skripsi dan Dosen

Pembimbing akademik yang telah memberikan masukan, bimbingan, nasihat,

dorongan serta saran dalam penulisan skripsi ini.

4. Bapak Y. G. Hartono, S.Si, M.Sc, selaku Dosen Penguji tugas akhir yang telah

memberikan masukan dan saran.

5. Bapak dan Ibu dosen yang telah memberikan bekal ilmu kepada penulis.

6. Bapak Zaerilus Tukija dan Ibu Erma Linda Santyas Rahayu yang telah

memberikan pelayanan administrasi kepada penulis selama masa perkuliahan.


xii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL .................................................................................... i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS................................. ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING........................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN....................................................................... iv

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA.................................. v

HALAMAN PERSEMBAHAN.................................................................... vi

ABSTRAK...................................................................................................... vii

ABSTRACT.................................................................................................... viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH

UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS....................................................... ix

KATA PENGANTAR..................................................................................... x

DAFTAR ISI................................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN ............................................................................. 1

A. Latar Belakang ............................................................................. 1

B. Rumusan Masalah ........................................................................ 6

C. Pembatasan Masalah .................................................................... 7

D. Tujuan Penulisan .......................................................................... 7

E. Manfaat Penulisan ........................................................................ 7

F. Metode Penulisan ......................................................................... 8


xiii

G. Sistematika Penulisan .................................................................. 8

BAB II LOGIKA KABUR, DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR DAN

JARINGAN SYARAF TIRUAN.................................................... 11

A. Logika Kabur .............................................................................. 11

1. Himpunan Kabur .................................................................... 11

2. Fungsi Keanggotaan ............................................................... 18

3. Operasi Baku pada Himpunan Kabur ................................... 23

4. Perambatan Operasi Baku pada Himpunan Kabur ............... 25

5. Relasi Kabur.......................................................................... 28

6. Variabel Linguistik................................................................ 29

7. Proposisi Kabur..................................................................... 29

8. Implikasi Kabur..................................................................... 30

9. Model Kabur Takagi Sugeno Kang (TSK)............................ 34

10. Modus Ponens Rampat.......................................................... 35

11. Sistem Kendali Kabur............................................................ 44

B. Dekomposisi Nilai Singular......................................................... 45

C. Jaringan Syaraf Tiruan................................................................ 52

1. Konsep Dasar Jaringan Syaraf Tiruan................................... 52

2. Arsitektur Jaringan Syaraf..................................................... 55

3. Proses Pembelajaran.............................................................. 57

4. Fungsi Aktivasi...................................................................... 58

5. Model Rambatan Balik.......................................................... 63


xiv

BAB III SISTEM JARINGAN SYARAF KABUR .................................... 75

A. Jaringan Syaraf dan Logika Kabur.............................................. 75

B. Model Kabur dengan Pembelajaran Jaringan

Syaraf Terbimbing........................................................................ 77

1. Arsitektur Jaringan Syaraf Kabur............................................ 77

2. Pembelajaran Rambatan Balik Pada Model Kabur................. 80

C. Contoh Model Jaringan Syaraf Kabur........................................... 91

BAB IV PENUTUP........................................................................................ 99

DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 101


BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak hal yang bersifat kompleks dan

rumit untuk dijelaskan secara tepat dan eksak. Sebuah model yang cocok untuk

menggambarkan hal tersebut bisa diperoleh dengan menggunakan himpunan kabur.

Pencapaian dengan menggunakan model tersebut berdasarkan pengamatan bahwa

manusia berpikir menggunakan bahasa yang digunakan seperti “kecil” atau “sangat

besar” dan ungkapan yang lainnya. Oleh karena itu, untuk mendeskripsikan konsep

tersebut ke dalam bahasa yang umum, Zadeh memperkenalkan himpunan kabur

(fuzzy sets) pada tahun 1965. Dalam hal ini Zadeh memperluas konsep “himpunan

klasik” (himpunan tegas, crisp set) menjadi himpunan kabur, dalam arti bahwa him-

punan klasik merupakan kejadian khusus dari himpunan kabur itu. Berdasarkan kon-

sep himpunan kabur itu, Zadeh mengembangkan konsep algoritma kabur (1968),

yang merupakan landasan dari logika kabur (fuzzy logic) dan penalaran hampiran (ap-

proximate reasoning), yaitu penalaran yang melibatkan pernyataan-pernyataan

dengan predikat kabur. Inti dari sistem kabur ini sendiri adalah aturan implikasi jika –

maka (if – then rules), yang menggunakan himpunan kabur sebagai syarat dalam pre-

mis dan kesimpulannya.


2

Sejak manusia bisa melakukan banyak hal yang cukup sulit dibandingkan alat

teknologi yang sangat canggih, otak manusia menjadi hal yang sangat menarik bagi

para ahli. Otak manusia memiliki struktur yang sangat kompleks dan memiliki ke-

mampuan yang luar biasa. Otak terdiri dari neuron-neuron dan penghubung yang

disebut sinapsis. Neuron bekerja berdasarkan impuls/sinyal yang diberikan pada neu-

ron. Setiap sel syaraf (neuron) memiliki 3 komponen penting yaitu soma yang

merupakan inti sel dari neuron yang bertugas untuk melakukan pemrosesan

informasi. Informasi yang datang akan diterima oleh dendrit, selain menerima

informasi dendrit juga menyertai axon sebagai keluaran dari suatu pemrosesan

informasi. Informasi hasil olahan ini akan menjadi masukan bagi neuron lain yang

dihubungkan oleh dua dendrit sel yang dipertemukan oleh sinapsis. Informasi yang

dikirimkan antar neuron ini berupa rangsangan yang dilewatkan melalui beberapa

dendrit. Informasi yang datang dan diterima oleh dendrit akan dijumlahkan dan

dikirim melalui axon ke dendrit akhir yang bersentuhan dengan dendrit dari neuron

yang lain. Informasi ini akan diterima oleh neuron lain jika memenuhi batasan

tertentu, yang sering dikenal dengan nama nilai ambang (treshold).


3

Gambar 1.1 Jaringan Syaraf Biologi

Terinspirasi akan sistem jaringan syaraf biologi tersebut, banyak ahli telah

menyelidiki jaringan syaraf tiruan. Jaringan syaraf tiruan adalah suatu sistem

komputasi yang disusun dengan meniru proses alamiah yang terjadi dalam jaringan

syaraf biologis pada otak manusia. Seperti halnya otak manusia, jaringan syaraf tiruan

juga terdiri dari beberapa neuron dan ada hubungan antara neuron-neuron tersebut.

Neuron-neuron tersebut akan mentransformasikan input yang diterima melalui

sambungan keluarnya menuju ke neuron-neuron lainnya. Pada jaringan syaraf tiruan,

hubungan ini dikenal dengan nama bobot (weight). Input tersebut disimpan pada

suatu nilai tertentu pada bobot tersebut. Gambar dibawah ini menunjukkan jaringan

syaraf sederhana.


4

Gambar 1.2 Jaringan syaraf sederhana

Sebenarnya cara kerja neuron buatan ini sama saja dengan neuron biologis.

Suatu neuron pada umumnya memiliki n buah input yang dinyatakan dengan

bilangan-bilangan real nxxx ,,, 21 ⋅⋅⋅ , dan sebuah output 1y . Masing-masing input

memiliki bobot yang dinyatakan dengan bilangan real 12111 ,,, nwww ⋅⋅⋅ . Input-input

tersebut akan diproses oleh suatu fungsi perambatan yang akan menjumlahkan nilai-

nilai semua bobot yang masuk. Hasil penjumlahan tersebut akan dibandingkan

dengan suatu nilai ambang tertentu melalui fungsi aktivasi setiap neuron sehingga

mencapai sebuah output y. Pada jaringan syaraf neuron-neuron akan dikumpulkan

dalam lapisan-lapisan (layer) yang sering disebut dengan lapisan neuron (neuron

layers). Biasanya neuron-neuron pada satu lapisan akan dihubungkan dengan lapisan-

lapisan sebelum dan sesudahnya (kecuali lapisan input dan lapisan output). Input

yang dimasukkan pada jaringan syaraf akan dirambatkan mulai dari lapisan input

sampai ke lapisan output melalui lapisan yang lainnya, yang sering dikenal dengan

nama lapisan tersembunyi (hidden layer).


5

Gambar 1.3 Jaringan syaraf tiruan dengan lapisan tersembunyi

Jaringan syaraf dan logika kabur merupakan dua teknologi yang

komplementer. Jaringan syaraf dapat mengenali pola masukan yang diterimanya dan

dengan proses pembelajaran dapat menyesuaikan diri dengan masukan itu. Proses

pembelajaran pada suatu jaringan syaraf adalah proses penyesuaian diri jaringan itu

secara bertahap terhadap masukan yang diterimanya sampai akhirnya menghasilkan

keluaran yang diinginkan. Akan tetapi, memahami proses pembelajaran jaringan

syaraf cukup sulit karena sulit untuk menjelaskan makna setiap neuron dan setiap

bobot yang terkait. Sebaliknya, model berbasis aturan kabur mudah untuk dipahami

karena menggunakan istilah-istilah linguistik dan struktur aturan jika-maka. Akan

tetapi, tidak seperti jaringan syaraf, logika kabur tidak mengenal algoritma

pembelajaran. Penggabungan kedua teknologi tersebut menghasilkan istilah baru,

yaitu jaringan syaraf kabur. Sistem jaringan syaraf kabur adalah suatu sistem yang


6

menggunakan kombinasi logika kabur dan jaringan syaraf. Sistem jaringan syaraf

kabur dirancang untuk merealisasikan proses logika kabur, dimana bobot-bobot yang

terhubung pada jaringan tersebut berhubungan dengan parameter-parameter logika

kabur. Dengan menggunakan algoritma pembelajaran rambatan balik, sistem jaringan

syaraf kabur dapat mengidentifikasi aturan-aturan kabur dan melatih fungsi

keanggotaan dari logika kabur tersebut. Sistem jaringan syaraf kabur dapat

diklasifikasikan ke dalam dua kategori, yaitu:

1. Model berbasis aturan kabur yang dibangun dengan menggunakan teknik

pembelajaran jaringan syaraf terbimbing.

2. Model berbasis aturan kabur yang menggunakan jaringan syaraf untuk

membangun partisi kabur dari ruang masukannya.

Yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah sistem jaringan syaraf kabur kategori

pertama.

B. Rumusan Masalah

Pokok permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah:

1. Bagaimana bentuk model sistem jaringan syaraf kabur?

2. Bagaimana mengimplementasikan pembelajaran rambatan balik pada

model kabur?


7

C. Pembatasan Masalah

Dalam skripsi ini, penulis membahas tentang sistem jaringan syaraf kabur

yang merupakan interpretasi pembelajaran jaringan syaraf buatan dengan (pada)

model kabur. Pembelajaran yang digunakan adalah pembelajaran rambatan balik, dan

model kabur yang digunakan adalah model kabur Takagi Sugeno Kang (TSK).

D. Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah:

1. Mengetahui bagaimana bentuk model sistem jaringan syaraf kabur

2. Mengetahui implementasi pembelajaran rambatan balik pada model kabur

E. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah dapat mengetahui dan memahami

bagaimana bentuk model sistem jaringan syaraf kabur serta mengetahui implementasi

pembelajaran rambatan balik pada model kabur.


8

F. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah metode

studi pustaka, yaitu dengan membaca dan mempelajari materi dari buku-buku acuan

yang berkaitan dengan topik skripsi.

G. Sistematika Penulisan

BAB I : PENDAHULUAN

A. Latar belakang masalah

B. Perumusan masalah

C. Pembatasan masalah

D. Tujuan penulisan

E. Manfaat penulisan

F. Metode penulisan

G. Sistematika penulisan

BAB II : LOGIKA KABUR DAN JARINGAN SYARAF TIRUAN

A. Logika Kabur


9

1. Himpunan Kabur

2. Fungsi Keanggotaan

3. Operasi Baku Pada Himpunan Kabur

4. Perampatan Operasi Baku Pada Himpunan

Kabur

5. Relasi Kabur

6. Variabel Linguistik

7. Proposisi Kabur

8. Implikasi Kabur

9. Prinsip Perluasan

10. Model Kabur Takagi Sugeno Kang

11. Generalisasi Modus Ponens

12. Sistem Kendali Kabur

B. Dekomposisi Nilai Singular (DNS)

C. Jaringan Syaraf Tiruan

1. Konsep Dasar Jaringan Syaraf Tiruan


10

2. Arsitektur Jaringan Syaraf

3. Proses Pembelajaran

4. Fungsi Aktivasi

5. Model Rambatan Balik (Backpropagation)

BAB III : SISTEM JARINGAN SYARAF KABUR

A. Jaringan Syaraf dan Logika Kabur

B. Model Kabur dengan Pembelajaran Jaringan Syaraf

Terbimbing

1. Arsitektur Jaringan Syaraf Kabur

2. Pembelajaran Rambatan Balik Pada Model

Kabur

C. Contoh Model Jaringan Syaraf Kabur

BAB IV : PENUTUP


BAB II

LOGIKA KABUR, DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR DAN

JARINGAN SYARAF TIRUAN

A. Logika Kabur

1. Himpunan Kabur

Andaikan A adalah suatu himpunan tegas dalam semesta pembicaraan U,

maka A dapat didefinisikan dengan mendaftarkan semua anggotanya atau dengan

mendefinisikan kaidah yang harus dipenuhi oleh anggota dari himpunan tersebut. Jika

suatu objek x adalah anggota himpunan A, maka ditulis Ax∈ , dan jika x bukan

anggota A ditulis Ax∉ . Ada tiga metode untuk mendefinisikan suatu himpunan

dalam suatu semesta pembicaraan U, yaitu:

a. Metode pendaftaran, yaitu metode yang mendefinisikan suatu himpunan dengan

menyebut semua anggotanya. Metode ini digunakan hanya untuk himpunan-

himpunan berhingga. Himpunan A yang anggotanya naaa ,...,, 21 , ditulis:

A = ( naaa ,...,, 21 )

b. Metode kaidah, yaitu metode yang mendefinisikan suatu himpunan dengan

menyebutkan syarat keanggotaannya. Dalam metode kaidah, himpunan A

dinyatakan dengan:


12

=A )}(|{ xpUx∈

di mana )(xp menyatakan bahwa “x mempunyai sifat p”

c. Metode fungsi keanggotaan (fungsi karakteristik), yaitu metode yang

mendefinisikan suatu himpunan dengan sebuah fungsi yang disebut fungsi

karakteristik, untuk menyatakan bahwa anggota-anggota himpunan semesta U

adalah anggota himpunan itu atau bukan. Himpunan A didefinisikan dengan

fungsi karakteristik }1,0{: →UAχ , sedemikian hingga:

=01

)(xAχ untukuntuk

AxAx

∉∈

Contoh 2.1 Andaikan =U {1, 2, , 11}. Didefinisikan himpunan A yang anggota-

anggotanya adalah bilangan-bilangan genap dalam himpunan semesta U. Maka

berdasarkan tiga metode di atas, himpunan A dapat dinyatakan sebagai berikut:

1. =A {2, 4, 6, 8, 10}

2. xUxA |{ ∈= }genapbilangan

3.

=01

)(xAχ jikajika

xx

ganjilbilangan genapbilangan


13

Fungsi karakteristik dari himpunan tegas menentukan dengan pasti nilai 0 atau

1 untuk setiap anggota U. Fungsi ini dapat diperumum sedemikian sehingga nilai-

nilai yang ditentukan untuk tiap anggota dari himpunan semesta berada dalam

interval tertutup [0,1] dan menunjukkan derajat keanggotaan dari anggota tersebut.

Nilai-nilai yang lebih besar menunjukkan derajat keanggotaan yang lebih tinggi.

Fungsi yang demikian disebut fungsi keanggotaan dan himpunan yang didefinisikan

berdasarkan fungsi tersebut disebut himpunan kabur.

Definisi 2.1 Suatu himpunan kabur A~ dalam semesta U adalah himpunan yang

dilengkapi dengan fungsi keanggotaan A~µ yang nilainya berada dalam interval [0,1],

yaitu:

]1,0[:~ →UAµ

Nilai )(~ xAµ disebut derajat keanggotaan dari x dalam himpunan kabur A~ .

Secara matematis suatu himpunan kabur A~ dalam himpunan semesta U dapat

dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut:

}|))(,{(~~ UxxxA A ∈= µ

Apabila semesta U adalah himpunan yang kontinu, maka himpunan kabur A~

seringkali dinyatakan dengan


14

xAUx

A /~~∫

∈

= µ

di mana lambang ∫ di sini bukan lambang integral seperti yang dikenal dalam

kalkulus, tetapi melambangkan keseluruhan unsur-unsur Ux∈ dengan derajat

keanggotaan )(~ xAµ .

Apabila semesta U adalah himpunan yang diskret, maka himpunan kabur A~

seringkali dinyatakan dengan

xxAUx

A /)(~~∑

∈

= µ

di mana lambang ∑ di sini bukan lambang penjumlahan, tetapi melambangkan

keseluruhan unsur-unsur Ux∈ dengan derajat keanggotaan )(~ xAµ .

Angggota-anggota dari suatu himpunan kabur A~ yang mempunyai derajat

keanggotaan sama dengan 0, yaitu 0)(~ =xAµ , seringkali tidak ditulis.

Contoh 2.2 Misalkan dalam himpunan semesta semua bilangan real ℝ, A~ adalah

himpunan “bilangan real yang dekat dengan nol”, maka himpunan kabur A~ dapat

dinyatakan sebagai berikut:


15

xeAx

x /~

R

2

∫∈

−=

Contoh 2.3 Dalam himpunan semesta =U {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5},

himpunan kabur A~ dalam Contoh 2.2 di atas dapat dinyatakan sebagai

4/1.03/3.02/5.01/7.00/11/7.02/5.03/3.04/1.0/)(~~ +++++−+−+−+−== ∑

∈

xxAUx

Aµ

Bilangan 5 dan -5 mempunyai derajat keanggotaan 0, sehingga tidak ditulis dalam

penyajian himpunan kabur diskret tersebut.

Berikut akan dibahas beberapa konsep dasar dan istilah-istilah yang

berhubungan dengan himpunan kabur. Misalkan A~ adalah himpunan kabur dalam

himpunan semesta U.

Definisi 2.2 Pendukung (support) dari himpunan kabur A~ adalah himpunan tegas

)~(AP yang memuat semua anggota semesta dengan derajat keanggotaan taknol

dalam A~ , yaitu

}0)(|{)~( ~ >∈= xUxAP Aµ .

Dari Contoh 2.3 di atas, )~(AP ={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}

Definisi 2.3 Himpunan kabur A~ disebut himpunan kabur kosong jika pendukungnya

adalah himpunan kosong.


16

Definisi 2.4 Himpunan kabur elemen tunggal adalah himpunan kabur yang

pendukungnya adalah himpunan tegas dengan elemen tunggal (singleton).

Definisi 2.5 Tinggi (height) dari himpunan kabur A~ adalah derajat keanggotaan

terbesar yang dicapai oleh anggota-anggota U, yaitu

)}({sup)~( ~ xATinggi AUxµ

∈= .

Dari Contoh 2.3 di atas, )~(ATinggi =1.

Definisi 2.6 Himpunan kabur A~ yang memiliki tinggi sama dengan 1 disebut

himpunan kabur normal.

Definisi 2.7 Himpunan kabur A~ yang memiliki tinggi kurang dari 1 disebut

himpunan kabur subnormal.

Definisi 2.8 Titik silang (crossover point) dari himpunan kabur A~ adalah anggota U

yang mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 0.5 dalam himpunan kabur A~ .

Dalam Contoh 2.3 di atas, titik 2 dan -2 adalah titik silang dari himpunan kabur A~ .

Definisi 2.9 Teras (core) dari himpunan kabur A~ adalah himpunan semua anggota U

yang mempunyai derajat keanggotaan sama dengan 1, yaitu:


17

}1)(|{)~( ~ =∈= xUxATeras Aµ .

Definisi 2.10 Pusat (center) dari himpunan kabur A~ didefinisikan sebagai berikut:

jika nilai rata-rata dari semua titik di mana fungsi keanggotaan himpunan kabur itu

mencapai nilai maksimum adalah berhingga, maka pusat himpunan kabur itu adalah

nilai rata-rata tersebut; jika nilai rata-rata itu takhingga positif (negatif), maka pusat

himpunan kabur itu adalah yang terkecil (terbesar) di antara semua titik yang

mencapai nilai fungsi keanggotaan maksimum.

Definisi 2.11 Potongan-α (α -cut) dari himpunan kabur A~ adalah himpunan tegas

αA yang terdiri dari semua anggota U yang mempunyai derajat keanggotaan dalam

A~ lebih besar dari atau sama dengan α , yaitu:

})(|{ ~ αµα ≥∈= xUxA A .

Definisi 2.12 Potongan-α kuat dari himpunan kabur A~ adalah himpunan tegas αA′

yang terdiri dari semua anggota U yang mempunyai derajat keanggotaan dalam A~

lebih besar dari α , yaitu:

})(|{ ~ αµα >∈=′ xUxA A .

Dari Contoh 2.3 di atas, potongan-α dari A~ dengan α = 0.5 adalah =5.0A {-2, -1, 0,

1, 2}, sedangkan potongan-α kuatnya adalah =′ 5.0A {-1, 0, 1}.


18

Definisi 2.13 Dua buah himpunan kabur A~ dan B~ dalam himpunan semesta U

dikatakan sama, dilambangkan dengan BA ~~= , bila dan hanya bila

)()( ~~ xx BA µµ = , Ux∈∀ .

Definisi 2.14 Himpunan kabur A~ dikatakan himpunan bagian dari himpunan kabur

B~ , dilambangkan dengan BA ~~⊆ , bila dan hanya bila

)()( ~~ xx BA µµ ≤ , Ux∈∀ .

Contoh 2.4 Jika A~ = 0.2/-3 + 0.3/-2 + 0.7/-1 + 1/0 + 0.7/1 + 0.3/2 + 0.2/3 dan B~ =

0.3/-3 + 0.4/-2 + 0.8/-1 + 1/0 + 0.8/1 + 0.4/2 + 0.3/3, maka BA ~~⊆ .

Definisi 2.15 Himpunan kosong φ dapat dipandang sebagai himpunan kabur dengan

fungsi keanggotaan sama dengan 0, yaitu 0)( =xφµ untuk setiap Ux∈ . Himpunan

semesta U dapat dipandang sebagai himpunan kabur dengan fungsi keanggotaan

sama dengan 1, yaitu 1)( =xuµ untuk setiap Ux∈ .

2. Fungsi Keanggotaan

Setiap himpunan kabur dapat dinyatakan dengan fungsi keanggotaan.

Beberapa fungsi keanggotaan himpunan kabur yang dinyatakan dalam bentuk suatu

formula matematis adalah sebagai berikut:


19

a. Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan segitiga

jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu ∈cba ,, ℝ dengan cba << , dan

dinyatakan dengan ),,;( cbaxSegitiga dengan kaidah:

−−−−

=

0

),,;(bcxcabax

cbaxSegitiga

Fungsi keanggotaan ini dapat juga dinyatakan dengan formula sebagai berikut:

−−

−−

= 0,,minmax),,;(bcxc

abaxcbaxSegitiga

Gambar 2.1 Grafik fungsi keanggotaan segitiga

b. Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan trapesium

jika mempunyai empat buah parameter, yaitu ∈dcba ,,, ℝ dengan dcba <<< ,

dan dinyatakan dengan ),,,;( dcbaxTrapesium dengan kaidah:

untuk bxa ≤≤ untuk cxb ≤≤ untuk x lainnya


20

−−

−−

=

0

1),,,;(

cdxd

abax

dcbaxTrapesium

Fungsi keanggotaan ini dapat juga dinyatakan dengan formula sebagai berikut:

−−

−−

= 0,,1,minmax),,,;(cdxd

abaxdcbaxTrapesium

Gambar 2.2 Grafik fungsi keanggotaan trapesium

c. Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan Gauss

jika mempunyai dua buah parameter, yaitu ∈ba, ℝ, dinyatakan dengan

),;( baxGauss dan memenuhi:

2

),;(

−

−= b

ax

ebaxGauss

untuk bxa ≤≤ untuk cxb ≤≤ untuk dxc ≤≤ untuk x lainnya


21

Gambar 2.3 Grafik fungsi keanggotaan Gauss

di mana ax = adalah pusat dan b menentukan lebar dari fungsi keanggotaan

Gauss.

d. Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan Cauchy

jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu ∈cba ,, ℝ, dinyatakan dengan

),,;( cbaxCauchy dan memenuhi:

b

acx

cbaxCauchy 2

1

1),,;(−

+

=

di mana cx = adalah pusat, a menentukan lebar, dan b menentukan kemiringan

(slope) di titik silang dari fungsi keanggotaan Cauchy.


22

Gambar 2.4 Grafik fungsi keanggotaan Cauchy

e. Suatu fungsi keanggotaan himpunan kabur disebut fungsi keanggotaan Sigmoid

jika mempunyai dua buah parameter, yaitu ∈ca, ℝ, dinyatakan dengan

),;( caxSigmoid dan memenuhi:

)(11),;( cxae

caxSigmoid −−+=

di mana a menentukan kemiringan fungsi keanggotaan sigmoid di titik silang

cx = . Untuk 0>a fungsi keanggotaan Sigmoid terbuka ke kanan, dan

sebaliknya untuk 0<a fungsi keanggotaan Sigmoid terbuka ke kiri.


23

Gambar 2.5 Grafik fungsi keanggotaan Sigmoid yang terbuka ke kanan (gambar

kiri) dan yang terbuka ke kiri (gambar kanan)

3. Operasi Baku pada Himpunan Kabur

Operasi baku pada himpunan kabur yang akan didefinisikan adalah operasi uner

“komplemen” dan operasi-operasi biner “gabungan” dan “irisan”. Komplemen dari

suatu himpunan kabur A~ adalah himpunan kabur A′~ dengan fungsi keanggotaan

)(1)( ~~ xx AA µµ −=′

untuk setiap x ∈ X. Gabungan dua buah himpunan kabur A~ dan B~ adalah himpunan

kabur BA ~~∪ dengan fungsi keanggotaan

=∪

)(~~ xBAµ max )}(),({ ~~ xx BA µµ

untuk setiap Xx∈ . Sedangkan irisan dua buah himpunan kabur A~ dan B~ adalah

himpunan kabur BA ~~∩ dengan fungsi keanggotaan


24

=∩

)(~~ xBAµ min )}(),({ ~~ xx BA µµ

untuk setiap Xx∈ .

Teorema 2.1 (Teorema Dekomposisi)

Jika αA adalah potongan-α dari himpunan kabur A~ dalam himpunan semesta U dan

αA~ adalah himpunan kabur dalam U dengan fungsi keanggotaan )(~ xAA αααχµ =

untuk setiap Ux∈ , di mana α

χ A adalah fungsi karakteristik dari himpunan αA ,

maka ]1,0[

~~∈

=a

AA α .

Bukti: Ambil sebarang Ux∈ dan misalkan rxA =)(~µ . Untuk setiap ],0[ r∈α ,

αµ ≥= rxA )(~ , berarti αAx∈ , sehingga αµα

=)(~ xA . Untuk setiap ]1,(r∈α ,

αµ <= rxA )(~ , berarti αAx∉ , sehingga 0)(~ =xAαµ . Maka

]1,0[

~∈α

αµ A = )(sup ~

]1,0[xAα

µα∈

)(

sup

)}(sup),(supmax{

~

],0[

~]1,(

~],0[

xr

xx

A

k

Ar

Ar

µ

α

µµ

α

αα αα

==

=

=

∈

∈∈


25

untuk setiap Ux∈ . Jadi ]1,0[

~~∈

=a

AA α . ■

4. Perampatan Operasi Baku pada Himpunan Kabur

Di atas telah dibahas definisi operasi-operasi baku komplemen, gabungan dan

irisan untuk himpunan-himpunan kabur. Definisi-definisi tersebut dapat dirampatkan

sedemikian sehingga definisi operasi-operasi baku tersebut merupakan kejadian

khususnya. Perampatan tersebut akan didefinisikan secara aksiomatis, kemudian akan

diperlihatkan macam-macam operasi yang memenuhi aksioma-aksioma tersebut.

a. Operasi Komplemen

Definisi 2.17 Suatu pemetaan ]1,0[]1,0[: →k disebut komplemen kabur jika

memenuhi aksioma-aksioma berikut:

K1. 1)0( =k dan 0)1( =k (syarat batas)

K2. Jika yx < , maka )()( ykxk ≥ untuk semua ]1,0[, ∈yx (syarat taknaik)

Suatu kelas pemetaan yang merupakan komplemen kabur adalah kelas Sugeno yang

didefinisikan sebagai berikut:

xxxkλλ +−

=11)(


26

dengan parameter ),1( ∞−∈λ . Untuk 0=λ , diperoleh operasi komplemen baku,

yaitu xxk −=1)(0 , di mana x adalah derajat keanggotaan suatu elemen dalam suatu

himpunan kabur A~ dan )(0 xk adalah derajat keanggotaan elemen tersebut dalam

himpunan kabur A′~ . Kelas pemetaan lain yang merupakan komplemen kabur adalah

kelas Yager yang didefinisikan sebagai berikut:

www xxk /1)1()( −=

dengan parameter ),0( ∞∈w . Untuk 1=w diperoleh operasi komplemen baku, yaitu

xxk −=1)(1 .

b. Operasi Gabungan

Definisi 2.18 Suatu pemetaan ]1,0[]1,0[]1,0[: →×s disebut gabungan kabur (norma-

s) jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:

S1. xxsxs == )0,(),0( dan 1)1,1( =s (syarat batas)

S2. ),(),( xysyxs = (syarat komutatif)

S3. Jika xx ′≤ dan yy ′≤ , maka ),(),( yxsyxs ′′≤ , ]1,0[, ∈∀ yx (syarat takturun)

S4. )),(,()),,(( zysxszyxss = (syarat asosiatif)


27

Contoh-contoh norma-s:

a) Jumlah aljabar: xyyxyxs ja −+=),(

b) Jumlah Einstein: xyyxyxs je +

+=

1),(

c) Jumlah drastis:

=

1),( y

xyxs jd

lainnya00

jikajikajika

==

xy

c. Operasi Irisan

Definisi 2.19 Suatu pemetaan ]1,0[]1,0[]1,0[: →×t disebut irisan kabur (norma-t)

jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:

T1. xxtxt == ),1()1,( dan 0)0,0( =t (syarat batas)

T2. ),(),( xytyxt = (syarat komutatif)

T3. Jika xx ′≤ dan yy ′≤ , maka ),(),( yxtyxt ′′≤ , ]1,0[, ∈∀ yx (syarat takturun)

T4. )),(,()),,(( zytxtzyxtt = (syarat asosiatif)

Contoh-contoh norma-t:

a) Darab aljabar: xyyxtda =),(


28

b) Darab Einstein: )(2

),(xyyx

xyyxtde −+−=

c) Darab drastis:

=

0),( y

xyxtdd

lainnya11

jikajikajika

==

xy

5. Relasi Kabur

Definisi 2.15 Relasi kabur (biner) R~ antara elemen-elemen dalam himpunan U

dengan elemen-elemen dalam himpunan V didefinisikan sebagai himpunan kabur

dengan semesta VU × , yaitu himpunan kabur

}),(|)),(),,{((~~ VUvuvuvuR R ×∈= µ

Relasi kabur R~ itu juga disebut relasi kabur pada himpunan semesta VU × . Jika

VU = , maka R~ disebut relasi kabur pada himpunan U.

Contoh 2.5 Misalnya U = {20, 45, 106}, V = {35, 58, 210} dan R~ adalah relasi

kabur “jauh lebih kecil” antara elemen-elemen dalam U dengan elemen-elemen

dalam V. Maka relasi R~ dapat disajikan sebagai R~ = 0.1/(20,35) + 0.3/(20,58) +

0.9/(20,210) + 0.1/(45,58) + 0.6/(45,210) + 0.4/(106,210).


29

6. Variabel Linguistik

Definisi 2.16 Suatu variabel linguistik adalah suatu rangkap-5 (x, T, U, G, M) di

mana x adalah lambang variabelnya, T adalah himpunan nilai-nilai linguistik yang

dapat menggantikan x, U adalah semesta wacana (numeris) dari nilai-nilai linguistik

dalam T (jadi juga dari variabel x), G adalah himpunan kaidah-kaidah sintaksis yang

mengatur pembentukan istilah-istilah anggota T, dan M adalah himpunan kaidah-

kaidah semantik yang mengaitkan setiap istilah dalam T dengan suatu himpunan

kabur dalam semesta U.

Contoh 2.6 Bila variabel linguistiknya adalah “kecepatan”, maka himpunan nilai-

nilai linguistik dapat diambil himpunan istilah-istilah T = {cepat, sangat cepat, agak

cepat, tidak cepat, lambat, sangat lambat, agak lambat, tidak lambat} dengan semesta

U = [0,100], kaidah sintaksis mengatur pembentukan istilah-istilah dalam T dan

kaidah semantik mengaitkan setiap istilah dalam T dengan suatu himpunan kabur

dalam semesta U.

7. Proposisi Kabur

Definisi 2.17 Proposisi kabur adalah kalimat yang memuat predikat kabur, yaitu

predikat yang dapat direpresentasikan dengan suatu himpunan kabur.

Proposisi kabur yang mempunyai nilai kebenaran tertentu disebut pernyataan

kabur. Nilai kebenaran dari suatu pernyataan kabur disajikan dengan suatu bilangan


30

real dalam selang [0,1]. Nilai kebenaran itu disebut juga derajat kebenaran dari

pernyataan kabur itu.

Bentuk umum dari suatu proposisi kabur adalah

x adalah A

di mana x adalah suatu variabel linguistik dan predikat A adalah suatu nilai linguistik

dari x.

Bila A~ adalah himpunan kabur yang dikaitkan dengan nilai linguistik A dan

0x adalah suatu elemen tertentu dalam semesta U dari himpunan kabur A~ , maka 0x

mempunyai derajat keanggotaan )( 0~ xAµ dalam himpunan kabur A~ .

Derajat kebenaran dari pernyataan kabur

0x adalah A~

didefinisikan sama dengan derajat keanggotaan 0x dalam himpunan kabur A~ , yaitu

)( 0~ xAµ .

8. Implikasi Kabur

Bentuk umum implikasi kabur adalah


31

Jika u adalah A, maka v adalah B

di mana A dan B adalah predikat-predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan-

himpunan kabur A~ dan B~ dalam semesta U dan V berturut-turut. Implikasi kabur

dilambangkan dengan → .

Implikasi tegas qp → ekuivalen dengan qp ∨¬ . Berdasarkan ekuivalensi

tersebut, implikasi kabur dapat diinterpretasikan sebagai relasi kabur → dalam

VU × dengan fungsi keanggotaan

))(()),(((),( ~~ vuksvu BA µµµ =→

di mana s adalah suatu norma-s dan k adalah suatu komplemen kabur.

Implikasi Dienes-Rescher diperoleh apabila diambil operasi-operasi

gabungan sebagai norma-s dan operasi komplemen baku sebagai komplemen kabur

dengan fungsi keanggotaan

))(),(1max(),( ~~ vuvu BAdr µµµ −=→ .

Karena implikasi tegas qp → juga ekuivalen dengan pqp ¬∨∧ )( , maka

implikasi kabur juga dapat diinterpretasikan sebagai relasi kabur → dalam VU ×

dengan fungsi keanggotaan

)))(()),(),(((),( ~~~ ukvutsvu ABA µµµµ =→


32

di mana s adalah suatu norma-s, t adalah suatu norma-t, dan k adalah suatu

komplemen kabur.

Implikasi Zadeh diperoleh apabila diambil operasi-operasi gabungan, irisan,

dan komplemen baku sebagai norma-s, norma-t, dan komplemen kabur dengan fungsi

keanggotaan

))(1)),(),(max(min(),( ~~~ uvuvu ABAz µµµµ −=→ .

Implikasi Mamdani merupakan salah satu bentuk implikasi kabur yang

digunakan dalam aplikasi sistem kabur. Implikasi ini didasarkan pada asumsi bahwa

implikasi kabur pada dasarnya bersifat lokal, dalam arti bahwa implikasi

Jika u adalah A, maka v adalah B

hanya berbicara mengenai keadaan dimana u adalah A dan v adalah B saja, dan tidak

mengenai keadaan lainnya diluar itu. Berdasarkan asumsi tersebut, implikasi kabur

dapat dipandang sebagai suatu konjungsi kabur, sehingga diperoleh

))(),((),( ~~ vutvu BA µµµ =→

yang disebut implikasi Mamdani. Apabila diambil operasi baku “min” sebagai

norma-t, maka diperoleh

))(),(min(),( ~~ vuvu BAmm µµµ =→ ,


33

dan bila operasi “darab aljabar” diambil sebagai norma-t, maka diperoleh

)()(),( ~~ vuvu BAmd µµµ =→ .

Contoh 2.7

Misalkan diketahui semesta U = {1, 2, 3, 4} dan V = {60, 70, 80}, dan implikasi

kabur

Jika u banyak, maka v lambat

di mana predikat “banyak” dan “lambat” berturut-turut dikaitkan dengan himpunan

kabur

.80/170/7.060/4.0~4/8.03/6.02/4.01/2.0~

++=

+++=

B

A dan

Maka jika digunakan implikasi Dienes-Rescher, diperoleh

)60,3/(4.0)80,2/(1)70,2/(7.0)60,2/(6.0)80,1/(1)70,1/(8.0)60,1/(8.0 ++++++=→dr

)80,4/(1)70,4/(7.0)60,4/(4.0)80,3/(1)70,3/(7.0 +++++

Jika digunakan implikasi Zadeh, maka diperoleh

)60,3/(4.0)80,2/6.0)70,2/(6.0)60,2/(6.0)80,1/(8.0)70,1/(8.0)60,1/(8.0 ++++++=→ z

)80,4/(8.0)70,4/(7.0)60,4/(4.0)80,3/(6.0)70,3/(6.0 +++++ .


34

Jika digunakan implikasi Mamdani, maka diperoleh

)80,2/(4.0)70,2/(4.0)60,2/(4.0)80,1/(2.0)70,1/(2.0)60,1/(2.0 +++++=→mm

)80,4/(8.0)70,4/(7.0)60,4/(4.0)80,3/(6.0)70,3/(6.0)60,3/(4.0 ++++++

atau

)80,2/(4.0)70,2/(28.0)60,2/(16.0)80,1/(2.0)70,1/(14.0)60,1/(08.0 +++++=→md

).80,4/(8.0)70,4/(56.0)60,4/(32.0)80,3/(6.0)70,3/(42.0)60,3/(24.0 ++++++

9. Model Kabur Takagi, Sugeno, dan Kang

Model kabur Takagi, Sugeno dan Kang (TSK) dikenal sebagai model kabur

pertama yang dikembangkan untuk menghasilkan kaidah kabur dari himpunan data

masukan-keluaran yang diberikan. Sebuah kaidah kabur yang khas dalam model

tersebut memiliki bentuk sebagai berikut:

Jika x adalah A dan y adalah B , maka cbyaxz ++=

di mana a, b, c merupakan konstanta numerik. Secara umum, kaidah dalam model

TSK memiliki bentuk:

Jika x adalah A dan y adalah B , maka ),( yxfz =


35

di mana A dan B merupakan himpunan kabur dalam anteseden, dan ),( yxfz =

merupakan fungsi tegas dalam konsekuen serta ),( yxfz = merupakan fungsi

polinomial dalam variabel masukan x dan y. Jika ),( yxf adalah fungsi polinomial

ordo satu, hasil sistem inferensi kabur disebut model kabur Takagi Sugeno Kang ordo

satu. Jika f merupakan konstanta, maka disebut model kabur Takagi Sugeno Kang

ordo nol, yang mana merupakan kasus khusus dalam implikasi Mamdani.

10. Modus Ponens Rampat

Untuk melakukan pengambilan keputusan atau penalaran kabur diperlukan

seperangkat implikasi kabur atau suatu fakta yang diketahui (premis). Dalam logika

klasik, pengambilan keputusan didasarkan pada tautologi-tautologi, yaitu proposisi-

proposisi yang selalu benar, tanpa tergantung pada nilai kebenaran proposisi-

proposisi penyusunnya. Salah satu kaidah pengambilan keputusan yang paling sering

digunakan adalah modus ponens, yang didasarkan pada tautologi:

qpqp →∧→ ))(( .

Bentuk umum penalaran modus ponens adalah sebagai berikut:

1. Bila u adalah A, maka v adalah B (Premis 1 / Kaidah)

2. u adalah A (Premis 2 / Fakta)

3. ∴ v adalah B (Kesimpulan)


36

Kaidah penalaran tegas dapat dirampatkan menjadi kaidah kabur dengan

premis dan kesimpulannya adalah proposisi-proposisi kabur. Secara umum dapat

dirumuskan dengan skema sebagai berikut:

Premis 1 (kaidah) : Bila u adalah A, maka v adalah B

Premis 2 (fakta) : u adalah A′

Kesimpulan : v adalah B′

Penalaran kabur dengan skema seperti di atas disebut modus ponens rampat.

Berikut ini akan dibahas suatu aturan penarikan kesimpulan yang disebut “kaidah

inferensi komposisional” (compositional rule of inference). Sebelumnya akan dibahas

latar belakang kaidah tersebut dalam kasus pemetaan bernilai selang.

Misalkan diketahui suatu pemetaan kontinu VUf →: dengan ==VU ℝ.

Jika diberikan suatu elemen Ua∈ , maka akan diperoleh nilai pemetaan f di a, yaitu

Vafb ∈= )( . Jika f adalah suatu pemetaan yang bernilai selang, dan diberikan suatu

selang ],[ ba di U, maka akan diperoleh nilai pemetaan f di [a,b] yaitu selang

],[]),([ dcbaf = di V. Untuk menggambarkan bagaimana memperoleh selang [c,d]

tersebut, pertama-tama yang dilakukan adalah membuat perluasan silindris dari

selang [a,b] ke bidang VU × , kemudian ditentukan irisan I dari perluasan silindris itu

dengan kurva dari pemetaan f, dan akhirnya irisan I diproyeksikan ke V untuk

memperoleh selang [c,d]. Gambar 2.6 memperlihatkan proses tersebut.


37

Gambar 2.6 Nilai pemetaan f di [a,b], yaitu ],[]),([ dcbaf =

Proses di atas dapat dirampatkan lebih lanjut lagi. Misalkan terdapat sebuah

relasi kabur R~ dalam semesta VU × dan himpunan kabur A~ dalam U. Bila

ditentukan perluasan silindris dari A~ ke VU × , namakan PSA~ , dan irisan perluasan

silindris tersebut dengan R~ , yaitu RAPS~~

∩ , kemudian irisan tersebut diproyeksikan

ke V, maka akan diperoleh himpunan kabur B~ di V. Karena PSA~ adalah perluasan

silindris dari A~ ke VU × , maka

)(),( ~~ uvu AAPSµµ =

sehingga

)),(),,((),( ~~~~ vuvutvu RARA PSPSµµµ =

∩

)),(),(( ~~ vuut RA µµ=


38

di mana t adalah suatu norma-t. Kemudian, himpunan kabur B~ di V diperoleh sebagai

proyeksi irisan RAPS~~

∩ ke V, maka

),(sup)(~

~~ vuvRPSA

UuB ∩∈

= µµ

)),(),((sup ~~ vuut RAUu

µµ∈

=

Jika himpunan kabur A~ dipandang sebagai relasi dengan satu argumen, maka

komposisi relasi A~ di U dengan relasi R~ di VU × menghasilkan relasi majemuk

RA ~~ di V dengan fungsi keanggotaan

)),(),((sup)( ~~~~ vuutv RAUu

RA µµµ∈

=

di mana t adalah suatu norma-t. Maka RAB ~~~= , yaitu himpunan kabur B~ itu tidak

lain daripada relasi komposit RA ~~ . Karenanya prosedur untuk memperoleh

himpunan kabur B~ di V dari relasi R~ di VU × dan himpunan kabur A~ di U dengan

cara seperti di atas itu disebut kaidah inferensi komposisional. Kaidah inilah yang

dipakai untuk menarik kesimpulan dalam penalaran kabur.

Dalam modus ponens rampat kaidah tersebut diterapkan sebagai berikut:

Premis 1 : Bila u adalah A, maka v adalah B

(yang merupakan relasi/implikasi kabur → di VU × )

Premis 2 : u adalah A′


39

(yang dapat direpresentasikan dengan himpunan kabur A~′ dalam U)


diperoleh dengan menentukan himpunan kabur AB ′=′~~ dalam V

dengan fungsi keanggotaan )),(),((sup)( ~~ vuutv AUu

B →′∈

′ = µµµ ,

dimana t adalah suatu norma-t.

Bila A′ adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan kabur A~′ ,

untuk norma-t misalnya diambil operasi baku “min”, dan untuk implikasi kabur

dipakai implikasi Mamdani mm→ , maka kesimpulan “v adalah B′ ” di atas dapat

diperoleh dengan menentukan himpunan kabur B ′~ dengan fungsi keanggotaan

))}(),(min(),(min{sup)( ~~~~ vuuv BAAUu

B µµµµ ′∈

′ =

)}(,min{

)}()),(),(min(supmin{

)}(),(),(min{sup

~

~~~

~~~

vw

vuu

vuu

B

BAAUu

BAAUu

µ

µµµ

µµµ

=

=

=

′∈

′∈

di mana )~~(sup)}(),(min{sup ~~ AAuuwUu

AAUu

∩′==∈

′∈

µµ yang menyatakan derajat

keserasian (degree of compatibility) antara predikat A′ dengan A. Jadi untuk

memperoleh himpunan kabur B ′~ tersebut, pertama-tama ditentukan derajat

keserasian w, yaitu supremum dari irisan himpunan kabur A′~ dan A~ , dan kemudian

diperoleh B ′~ sebagai irisan w dengan himpunan kabur B~ , seperti terlihat dalam

Gambar 2.7.


40

Gambar 2.7 Penarikan kesimpulan dalam modus ponens rampat

Modus ponens rampat dapat digeneralisasikan menjadi modus ponens rampat

multikondisional, yang terdiri dari m buah premis kabur berupa kaidah, sebuah

premis kabur berupa fakta, dan sebuah kesimpulan. Skema umumnya adalah sebagai

berikut:

di mana ijA dan jA′ adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan himpunan kabur

ijA~ dan jA~′ dalam semesta jU , dan iB adalah predikat kabur yang dikaitkan dengan

himpunan kabur iB~ dalam semesta V (i = 1, ,⋅⋅⋅ m; j = 1, ,⋅⋅⋅ n). Masing-masing

premis tersebut dapat dipandang sebagai suatu relasi kabur iR~ (i = 1, ,⋅⋅⋅ m) dalam

Premis 1 : Bila 1u adalah 11A dan ⋅⋅⋅ dan nu adalah nA1 , maka v adalah 1B

Premis 2 : Bila 1u adalah 21A dan ⋅⋅⋅ dan nu adalah nA2 , maka v adalah 2B

…

…

Premis m : Bila 1u adalah 1mA dan ⋅⋅⋅ dan nu adalah mnA , maka v adalah mB

…

Fakta : 1u adalah 1A′dan ⋅⋅⋅ dan nu adalah nA′



41

VUU n ××⋅⋅⋅×1 dan faktanya sebagai himpunan kabur nAAA ′×⋅⋅⋅×′=′~~~

1 dalam

nUU ×⋅⋅⋅×1 . Premis-premis iR~ tersebut biasanya diperlakukan secara disjungtif,

sehingga semua premis itu dapat digabung menjadi satu premis R~ , yaitu .~~1m

iiRR

=

=

Maka kesimpulan “v adalah B′ ” dapat diperoleh dengan kaidah inferensi

komposisional untuk menentukan himpunan kabur RAB ~~~′=′ dalam semesta V

dengan fungsi keanggotaan (dengan mengambil operasi baku “min” untuk norma-t

dan “max” untuk gabungan kabur)

)(~ vB′µ )(~~ vRA ′= µ

)(

}~~{max

)},,,(),,,(min{supmax

)},,,(),,,(min{maxsup

))},,,((max),,,(min{sup

)},,,(),,,(min{sup

1

11

)~~(

},,1{

1~1~},,1{

1~1~},,1{

1~},,1{1~

1~1~),,(

v

RA

vuuuu

vuuuu

vuuuu

vuuuu

m

ii

ijj

ijj

ijj

nn

RA

imi

nRnAUumi

nRnAmiUu

nRminAUu

nRnAUUuu

=

′

⋅⋅⋅∈

′∈⋅⋅⋅∈

′⋅⋅⋅∈∈

⋅⋅⋅∈′∈

′×⋅⋅⋅×∈⋅⋅⋅

=

′=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

µ

µµ

µµ

µµ

µµ

untuk setiap Vv∈ . Jadi ,~)~~(~~~11 1 m

ii

m

i

m

ii BRARAB

== =

′=′′=′=′ di mana iRAB ~~~′=′ .

Jika untuk implikasi kabur iR~ tersebut diambil implikasi Mamdani mm→ ,

sehingga fungsi keanggotaannya adalah


42

)},(),,,(min{),,,( ~1~~1~1

vuuvuuiinii BnAAnR µµµ ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

×⋅⋅⋅×

maka fungsi keanggotaan B′~ adalah

)(~ vB′µ )(1

~~vm

iiRA

=

′= µ

)}(,min{max

)}()),(),((minsupminmin{max

))}()),((min)),((minmin{supmax

))}(),,,(min(),,,(min{supmax

~},,1{

~~~},,1{},,1{},,1{

~~},,1{

~},,1{},,1{

~1~~1~~},,1{ 11

vw

vuu

vuu

vuuuu

i

iijjjj

iijjjj

iininjj

Bimi

BjAjAnjUunjmi

BjAnjjAnjUumi

BnAAnAAUumi

µ

µµµ

µµµ

µµµ

⋅⋅⋅∈

′′⋅⋅⋅∈∈⋅⋅⋅∈⋅⋅⋅∈

′⋅⋅⋅∈′⋅⋅⋅∈∈⋅⋅⋅∈

′×⋅⋅⋅×′′×⋅⋅⋅×′∈⋅⋅⋅∈

=

=

=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

di mana ijnji ww},,1{

min⋅⋅⋅∈

= , dan ))(),((minsup ~~},,1{ jAjAnjUu

ij uuwijj

jj

µµ ′⋅⋅⋅∈∈= , i = 1, ,⋅⋅⋅ m.

)~~(sup ijjUu

ij AAwjj

∩′=∈

merupakan derajat keserasian (degree of compatibility)

antara fakta jA′~ dari premis/kaidah iR~ , sedangkan iw yang merupakan minimum dari

semua ijw untuk j = 1, ,⋅⋅⋅ n seringkali disebut daya sulut (firing strength) yang

menyatakan sejauh mana anteseden dari kaidah iR~ dipenuhi oleh fakta A′~ yang

diberikan dan menyulut konsekuen dari kaidah tersebut. Dengan demikian

kesimpulan B′~ ditentukan dengan empat langkah sebagai berikut:

Langkah 1 : Tentukan derajat keserasian ijw , yaitu supremum dari ijj AA ~~∩′ untuk

setiap i = 1, ,⋅⋅⋅ m dan j = 1, ,⋅⋅⋅ n.


43

Langkah 2 : Untuk setiap i, tentukan daya sulut iw sebagai minimum dari semua

derajat keserasian ijw untuk j = 1, ,⋅⋅⋅ n.

Langkah 3 : Untuk setiap i, tentukan irisan iw dengan iB~ .

Langkah 4 : Gabungkanlah semua irisan tersebut untuk memperoleh B′~ .

Gambar 2.7 Melukiskan langkah-langkah tersebut untuk m = n = 2.

Gambar 2.8 Penarikan kesimpulan dalam modus ponens rampat multikondisional


44

11. Sistem Kendali Kabur

Sistem kendali kabur berfungsi untuk mengendalikan proses tertentu dengan

mempergunakan kaidah inferensi kabur berdasarkan logika kabur. Pada dasarnya

sistem kendali semacam itu terdiri dari empat unit, yaitu:

a. Unit pengaburan (fuzzification unit)

b. Unit penalaran logika (fuzzy logic reasoning unit)

c. Unit basis pengetahuan (knowledge base unit), yang terdiri dari dua

bagian:

1. Basis data (data base), yang memuat fungsi-fungsi keanggotaan dari

himpunan-himpunan kabur yang terkait dengan nilai dari variabel-

variabel linguistik yang dipakai.

2. Basis kaidah (rule base), yang memuat kaidah-kaidah berupa

implikasi kabur.

d. Unit penegasan (defuzzification unit).

Suatu sistem kendali semacam itu mula-mula mengukur nilai-nilai tegas dari

semua variabel masukan yang terkait dalam proses yang akan dikendalikan. Nilai-

nilai tersebut kemudian dikonversikan oleh unit pengaburan ke nilai kabur yang


45

sesuai. Hasil pengukuran yang telah dikaburkan kemudian diproses oleh unit

penalaran, yang dengan menggunakan unit basis pengetahuan, menghasilkan

himpunan kabur sebagai keluarannya. Langkah terakhir dikerjakan oleh unit

penegasan, yaitu menerjemahkan himpunan kabur keluaran itu ke dalam nilai yang

tegas. Nilai tegas inilah yang kemudian direalisasikan dalan bentuk suatu tindakan

yang dilaksanakan dalam proses pengendalian itu. Gambar 2.6 menunjukkan skema

langkah-langkah tersebut.

Gambar 2.9 Struktur dasar sistem kendali kabur

B. Dekomposisi Nilai Singular (DNS)

Dekomposisi nilai singular (DNS) dari suatu matriks nmA × adalah faktorisasi

dari A menjadi hasil kali dari 3 buah matriks, yaitu ∑= TVUA , di mana mmRU ×∈

dan nnRV ×∈ adalah matriks-matriks orthogonal, dan

masukan (tegas)

unit basis pengetahuan

keluaran (tegas)

iny _

basis data

basis Kaidah

unit penalaran

unit pengaburan

(kabur) (kabur) unit penegasan


46

( ) }),min{(,,, 21 nmpRdiag nmp =∈⋅⋅⋅= ×∑ σσσ adalah matriks diagonal dengan

021 ≥≥⋅⋅⋅≥≥ pσσσ . iσ disebut nilai singular dari A dan merupakan akar-akar

positif dari nilai-nilai eigen dari AAT . Kolom-kolom dari U disebut vektor singular

kiri dari A (vektor eigen orthonormal dari TAA ), sedangkan kolom-kolom dari V

disebut vektor singular kanan dari A (vektor eigen orthonormal dari AAT ).

Untuk mengilustrasikan prinsip dasar penggunaan DNS untuk seleksi kaidah

kabur akan digunakan model kabur dengan konsekuen konstanta sebagai contoh.

Model kabur tersebut adalah model Takagi Sugeno Kang (TSK) yang memiliki

bentuk sebagai berikut:

Jika 1x adalah 1iA dan 2x adalah 2iA dan ⋅⋅⋅ dan mx adalah imA

maka y adalah ic , i = 1, 2, ⋅⋅⋅ , M (2.1)

di mana ic adalah konstanta. Keluaran akhir dari model tersebut dihitung dengan

persamaan berikut:

∑

∑

=

== M

ii

M

iii

w

cwy

1

1 (2.2)

di mana iw adalah derajat kesesuaian (daya sulut) kaidah ke-i yang didefinisikan

dengan persamaan 2.3 atau 2.4

( ))(,),(),(min 21 21 mAAAi aaawimii

µµµ ⋅⋅⋅= (2.3)


47

atau

)()()( 21 21 mAAAi aaawimii

µµµ ×⋅⋅⋅××= (2.4)

Daya sulut kaidah ke-i yang dinormalisasikan adalah :

∑=

= M

ii

ii

w

wN

1

(2.5)

Persamaan 2.2 dapat ditulis kembali menjadi

∑=

=M

iiicNy

1

(2.6)

Persamaan tersebut dapat dipandang sebagai kasus khusus dari model regresi linear:

∑=

+=M

iii epy

1θ (2.7)

dengan ip dan iθ adalah

iiii cNp ≡≡ θ, (2.8)

di mana ip adalah regresor, iθ adalah parameter, dan e adalah sinyal galat yang

diasumsikan tidak berkorelasi dengan regresor ip . Jika diberikan N pasang masukan-

keluaran ,,,2,1)},(),({ Nkkykx ⋅⋅⋅= di mana Tm kxkxkxkx )](,),(),([)( 21 ⋅⋅⋅= , maka

persamaan 2.7 dapat dinyatakan ke dalam bentuk matriks

ePy += θ (2.9)

di mana ,)](,),1([ NT RNyyy ∈⋅⋅⋅=

MNm RppP ×∈⋅⋅⋅= ],,[ 1 dengan ,)](,),1([ NT

iii RNppp ∈⋅⋅⋅=


48

,],,[ 1MT

M R∈⋅⋅⋅= θθθ

dan

.)](,),1([ NT RNeee ∈⋅⋅⋅=

Masing-masing kolom P berkorespondensi dengan satu kaidah kabur dalam basis

kaidah. Matriks P disebut matriks daya sulut dan θ

P disebut prediktor dari y .

Dalam membangun sebuah model kabur, jumlah data pelatihan biasanya lebih besar

daripada jumlah kaidah kabur dalam basis kaidah. Maka dimensi baris matriks P

lebih besar daripada dimensi kolomnya, yaitu MN > .

Matriks daya sulut P bisa singular (atau mendekati singular) karena adanya

kaidah kabur yang kurang penting atau yang berlebihan dalam basis kaidah. Kaidah

kabur yang kurang penting berarti kontribusi kaidah-kaidah tersebut pada keluaran

akhir adalah kecil, dan kaidah kabur yang berlebihan berarti kontribusi kaidah-kaidah

tersebut dapat digantikan dengan kaidah-kaidah yang lain. Sebuah kaidah yang

kurang penting dapat muncul dalam basis kaidah jika daya sulut yang

dinormalisasikan dari kaidah tersebut adalah nol atau mendekati nol dalam

keseluruhan ruang masukan, sedangkan kaidah yang berlebihan dapat muncul dalam

basis kaidah jika daya sulut yang dinormalisasikan dari kaidah tersebut sama dengan

atau bergantung linear pada satu atau lebih kaidah-kaidah yang lain.

Secara matematis, singularitas dari sebuah matriks ditunjukkan oleh adanya

nilai singular nol atau mendekati nol dalam matriks. Jadi, kaidah kurang penting atau

kaidah berlebihan dalam basis kaidah dapat ditentukan dengan memeriksa nilai-nilai

singular dari matriks daya sulut P. Lebih spesifik, DNS dari P dapat dihitung dengan


49

∑=P

TPP VUP di mana banyak nilai singular nol atau mendekati nol dalam ∑P

mengindikasikan banyaknya kaidah kabur kurang penting atau kaidah kabur

berlebihan dalam basis kaidah. Menghilangkan kaidah kabur kurang penting atau

kaidah kabur berlebihan dari basis kaidah untuk menghasilkan prediktor θ

P , di

mana θ

memiliki paling banyak r komponen taknol, dengan r adalah banyaknya

kaidah kabur yang tinggal dalam basis kaidah setelah kaidah kabur kurang penting

atau kaidah kabur berlebihan dihilangkan. Letak dari entri-entri taknol menentukan

kolom-kolom P, yaitu kaidah-kaidah dalam basis kaidah, yang digunakan dalam

membangun model dan mendekati vektor observasi y .

Berikut ini akan diperkenalkan sebuah metode yang digunakan untuk

menyeleksi r kaidah penting (atau M-r kaidah kurang penting atau kaidah berlebihan)

dalam basis kaidah. Metode tersebut diawali dengan menghitung DNS dari P, yaitu:

∑=P

TPP VUP . (2.10)

Partisikan PV menjadi

rMr

VVVV

VP −

=

2221

1211 (2.11)

r M-r

Gunakan algortima QR dengan faktorisasi pivot kolom pada ][ 2111TT VV untuk

menghasilkan


50

][][ 12112111 RRVVQ TTT =∏ (2.12)

r M-r

di mana rrRQ ×∈ adalah matriks orthogonal, rrRR ×∈11 adalah matriks segitiga atas,

dan MMR ×∈∏ adalah matriks permutasi. Didefinisikan:

∏≡− PPP rMr ][ (2.13)

di mana rNr RP ×∈ terdiri atas kolom-kolom yang diinginkan dari P yang letak

aslinya dalam P mengindikasikan letak kaidah yang bersesuaian dalam basis kaidah.

Kunci dari metode ini adalah menemukan matriks permutasi ∏ dan

kemudian mendapatkan subset rP yang diinginkan. Matriks permutasi adalah matriks

identitas yang baris-barisnya disusun kembali dan salah satu fungsinya adalah

menukar tempat kolom-kolom dari suatu matriks. Misalnya:

=

333231

232221

131211

ppppppppp

P (2.14)

dan kolom yang kedua dan ketiga dari P akan ditukar tempat. Jika bisa ditemukan

matriks permutasi

=∏

010100001

(2.15)

dan mengalikannya dari sebelah kanan dengan P, diperoleh


51

=∏

323331

222321

121311

ppppppppp

P (2.16)

Prinsip dasar di balik metode ini dapat dimengerti melalui observasi berikut

ini. Jika kolom ke-j dari P terdiri atas entri-entri nol atau mendekati nol, maka nilai

singular nol atau mendekati nol akan muncul pada diagonal utama di kolom ke-j dari

matriks segitiga. Jika kolom ke-j dari P terdiri atas entri-entri yang sama dengan atau

bergantung linear terhadap salah satu atau lebih kolom yang lain, katakan kolom ke-l,

maka nilai singular nol akan muncul pada diagonal utama di kolom ke-j atau kolom

ke-l dari matriks segitiga. Hal tersebut akan diilustrasikan dengan menggunakan

matriks P yang diberikan dalam 2.14. Misalnya entri-entri pada kolom kedua dari P

semuanya adalah nol, maka nilai-nilai singular pada diagonal utama dari matriks

segitiga terlihat seperti berikut ini:

*0

*

di mana * adalah sebarang konstanta real taknegatif. Jika misalnya entri-entri pada

kolom kedua sama dengan kolom ketiga, maka nilai-nilai singular pada diagonal

utama matriks segitiga akan terlihat seperti berikut ini:

*0

*

atau


52

0*

*

Dalam prakteknya, nilai singular dari matriks daya sulut P biasanya tidak

jelas. Khususnya, sejumlah nilai singular akan berupa bilangan positif kecil yang

hampir sama. Maka beberapa kriteria atau kaidah praktis diadakan untuk menentukan

apakah bilangan-bilangan kecil itu berbeda secara signifikan dari nol. Metode seleksi

kaidah berbasis DNS dapat menghilangkan kaidah kurang penting dan kaidah

berlebihan dari sebuah basis kaidah, tetapi tidak dapat mengidentifikasikan mana

kaidah yang kurang penting dan mana kaidah yang berlebihan di antara kaidah-kaidah

yang dihilangkan.

C. Jaringan Syaraf Tiruan

1. Konsep Dasar Jaringan Syaraf Tiruan

Jaringan syaraf tiruan adalah suatu sistem pengolahan informasi yang

memiliki karakteristik kinerja yang mirip dengan jaringan syaraf biologis. Jaringan

syaraf tiruan dibentuk sebagai generalisasi model matematika dari jaringan syaraf

biologis, dengan asumsi:

• Pengolahan informasi terjadi di dalam neuron.


53

• Sinyal dikirim di antara neuron-neuron melalui suatu penghubung yang

disebut sinapsis.

• Penghubung antar neuron memiliki bobot yang dapat memperkuat atau

memperlemah sinyal yang diterima. Bobot merupakan nilai matematis dari

koneksi, yang mentransfer data dari satu lapisan ke lapisan lainnya

• Untuk menentukan keluaran, setiap neuron menggunakan fungsi aktivasi

tertentu yang sesuai dengan masukan yang diterima.

Prinsip kerja jaringan syaraf tiruan ditentukan oleh tiga hal, yaitu:

a. Neuron dan arsitektur (pola penghubung antar neuron)

b. Metode untuk menentukan bobot penghubung (pelatihan/proses

pembelajaran). Proses pembelajaran merupakan cara berlangsungnya

pembelajaran atau pelatihan jaringan syaraf tiruan.

c. Fungsi aktivasi. Fungsi aktivasi adalah fungsi yang menggambarkan

hubungan antara tingkat aktivasi internal yang mungkin berbentuk linear

atau nonlinear.

Gambar 2.10 menunjukkan diagram model matematis jaringan syaraf tiruan


54

Gambar 2.10 Model matematis jaringan syaraf tiruan

Pada Gambar 2.10 di atas sebuah neuron akan mengolah n buah masukan

},,,{ 21 nxxx ⋅⋅⋅ , yang masing-masing memiliki bobot nwww ,,, 21 ⋅⋅⋅ , dengan rumus

∑=

=n

iii xwnet

1

. Kemudian fungsi aktivasi f akan mengaktivasi net menjadi keluaran

jaringan )(netfy = .

Kadang-kadang dalam jaringan ditambahkan sebuah unit masukan yang

nilainya selalu sama dengan 1. Unit yang demikian disebut bias. Jika jaringan syaraf

dilengkapi dengan bias, maka proses komputasi menjadi:

bwxnetn

iii += ∑

=1

dengan b adalah bias.

•••

•••

net

1x

2x

nx

∑=

n

iii xw

1

1w

2w

nw

f iny _

)(netfy =


55

2. Arsitektur Jaringan Syaraf

Hubungan antar neuron dalam jaringan syaraf mengikuti pola tertentu

tergantung pada arsitektur jaringan syarafnya. Beberapa arsitektur yang sering

dipakai dalam jaringan syaraf tiruan antara lain:

a. Model jaringan syaraf dengan satu lapisan (single layer network)

Dalam model jaringan syaraf dengan satu lapisan ini, semua neuron masukan

dihubungkan langsung dengan neuron keluar. Tidak ada neuron masukan yang

dihubungkan dengan neuron masukan lainnya, demikian pula dengan neuron

keluaran. Gambar 2.11 menunjukkan arsitektur jaringan dengan tiga buah unit

input ( 321 ,, xxx ) dan dua buah unit output ( 21 , yy ).

Gambar 2.11 Model jaringan syaraf dengan satu lapisan


56

b. Model jaringan syaraf dengan banyak lapisan (multilayer network)

Model jaringan syaraf dengan banyak lapisan merupakan perluasan dari

model jaringan syaraf dengan satu lapisan dengan penambahan unit-unit lain

dalam lapisan tersembunyi (hidden layer). Lapisan tersembunyi ini bersifat

variabel, dapat digunakan lebih dari satu lapisan. Unit dalam lapisan masukan

dihubungkan ke lapisan tersembunyi dan unit-unit pada lapisan tersembunyi

terakhir dihubungkan ke lapisan keluaran. Gambar berikut ini menunjukkan

model jaringan syaraf dengan satu lapisan tersembunyi (neuron f).

Gambar 2.12 Model jaringan syaraf dengan satu lapisan tersembunyi

Gambar 2.12 merupakan jaringan dengan tiga buah unit masukan ( 321 ,, xxx )

dan dua buah unit keluaran ( 21 , yy ), dan sebuah lapisan tersembunyi ( 21 , ff ).


57

c. Model jaringan syaraf banyak lapisan dengan umpan balik

Model banyak lapisan dengan umpan balik (recurrent network) mirip dengan

model jaringan syaraf dengan satu lapisan dan model jaringan syaraf dengan

banyak lapisan, hanya saja ada neuron keluaran yang diumpanbalikkan

(feedback loop).

Gambar 2.13 Model banyak lapisan dengan umpan balik

3. Proses Pembelajaran

Berdasarkan cara memodifikasi bobotnya, ada dua macam proses

pembelajaran/pelatihan yang dikenal, yaitu proses pembelajaran terbimbing

(supervised learning) dan proses pembelajaran tidak terbimbing (unsupervised). Pada

proses pembelajaran terbimbing, terdapat sejumlah pasangan data (masukan dan

target keluaran) yang dipakai untuk melatih jaringan hingga diperoleh bobot yang


58

diinginkan. Sebaliknya, pada proses pembelajaran tidak terbimbing, tidak ada

pasangan data yang dijadikan acuan perubahan bobot.

4. Fungsi Aktivasi

Dalam jaringan syaraf tiruan, fungsi aktivasi dipakai untuk menentukan

keluaran suatu neuron. Argumen fungsi aktivasi adalah net masukan (kombinasi

linear masukan dan bobotnya). Jika ∑=

=n

iii wxnet

1

, maka fungsi aktivasinya adalah

=)(netf )(1∑=

n

iii wxf . Beberapa fungsi aktivasi yang sering dipakai adalah sebagai

berikut:

a. Fungsi identitas

Untuk unit masukan, fungsi ini adalah fungsi identitas. Fungsi identitas sering

dipakai apabila keluaran yang diinginkan berupa bilangan real, bukan hanya pada

interval [0,1] atau [-1,1]. Persamaan dari fungsi identitas adalah:

xxf =)(


59

Gambar 2.14 Grafik fungsi identitas

b. Fungsi biner dengan ambang )(α

Model jaringan syaraf dengan satu lapisan sering menggunakan fungsi ini untuk

mengubah masukan yang masuk ke dalam jaringan, di mana nilai variabel

terhadap sebuah unit keluaran (0 atau 1) dan persamaan dari fungsi tersebut

adalah:

=01

)(xf αα

<≥

xx

jika jika

Gambar 2.15 Grafik fungsi biner dengan ambang α

1

α 0

f(x)


60

Untuk beberapa kasus, fungsi ambang yang dibuat tidak memiliki keluaran yang

bernilai 0 atau 1, tetapi bernilai -1 atau 1 (sering disebut fungsi ambang bipolar).

Jadi:

−

=1

1)(xf

αα

<≥

xx

jika jika

Gambar 2.16 Grafik fungsi ambang bipolar

c. Fungsi biner sigmoid

Persamaan dari fungsi biner sigmoid adalah sebagai berikut:

)](1)[()(1

1)( )(

xfxfxfe

xf x

−=′+

= −

α x

-1

1

f(x)


61

Fungsi biner sigmoid sering digunakan karena nilai fungsinya yang terletak pada

interval [0,1] dan dapat didiferensialkan dengan mudah seperti dalam persamaan

di atas.

Gambar 2.17 Grafik fungsi biner sigmoid

d. Fungsi bipolar sigmoid

Fungsi bipolar sigmoid hampir sama dengan fungsi biner sigmoid, hanya saja

keluaran dari fungsi ini berada dalam interval [-1,1]. Fungsi bipolar sigmoid

dirumuskan sebagai berikut

)](1)][(1[21)(

111

121)(2)(

xgxgxg

ee

exfxg x

x

x

−+=′

+−

=−+

=−= −

−

−


62

Gambar 2.18 Grafik fungsi bipolar sigmoid

Fungsi bipolar sigmoid berhubungan erat dengan fungsi tangen hiperbolik yang juga

sering digunakan sebagai fungsi aktivasi ketika jangkauan yang diharapkan dari nilai

keluaran antara -1 dan 1. Fungsi tangens hiperbolik dirumuskan sebagai berikut:

xx

xx

eeeexh −

−

+−

=)( .

Persamaan tangens hiperbolik dapat disederhanakan menjadi

)2(

)2(

11)( x

x

eexh −

−

+−

=

dengan:

)](1)][(1[)( xhxhxh −+=′ .


63

5. Model Rambatan Balik

Model rambatan balik (backpropagation) melatih jaringan untuk mendapatkan

keseimbangan antara kemampuan jaringan untuk mengenali pola yang digunakan

selama pelatihan serta kemampuan jaringan untuk memberikan respon yang benar

terhadap pola masukan yang serupa (tetapi tidak sama) dengan pola yang dipakai

selama pelatihan.

a. Arsitektur Rambatan Balik

Model rambatan balik memiliki beberapa unit yang ada dalam satu atau lebih

lapisan tersembunyi. Gambar 2.19 adalah arsitektur rambatan balik dengan n buah

masukan (ditambah sebuah bias), sebuah lapisan tersembunyi yang terdiri p unit

(ditambah sebuah bias), serta m buah unit keluaran.

Gambar 2.19 Arsitektur rambatan balik dengan satu lapisan tersembunyi


64

ijv merupakan bobot garis dari unit masukan ix ke unit lapisan tersembunyi (

merupakan bobot garis yang menghubungkan bias di unit masukan ke unit lapisan

tersembunyi ). merupakan bobot dari unit lapisan tersembunyi ke unit

keluaran ky ( kw0 merupakan bobot dari bias di lapisan tersembunyi ke unit keluaran

ky ).

b. Fungsi Aktivasi

Dalam model rambatan balik, fungsi aktivasi yang dipakai harus memenuhi

beberapa syarat, yaitu kontinu, terdiferensial dengan mudah dan merupakan fungsi

tak turun. Salah satu fungsi aktivasi yang memenuhi ketiga syarat tersebut dan sering

digunakan adalah fungsi biner sigmoid yang memiliki jangkauan (0,1). Selain fungsi

biner sigmoid, fungsi lain yang sering digunakan adalah fungsi bipolar sigmoid

dengan interval [-1,1].

c. Algoritma Pelatihan Rambatan Balik

Pelatihan jaringan dengan menggunakan model rambatan balik terdiri dari 3

fase. Fase pertama adalah fase maju atau sering dikenal dengan rambatan maju. Pola

masukan dihitung maju mulai dari lapisan masukan hingga lapisan keluaran

menggunakan fungsi aktivasi yang ditentukan. Fase kedua adalah fase mundur atau

sering dikenal dengan rambatan mundur. Selisih antara keluaran jaringan dengan

keluaran yang diinginkan merupakan galat yang terjadi. Kesalahan tersebut

jz jv0

jz jkw jz


65

dirambatkan mundur, dimulai dari garis yang berhubungan langsung dengan unit-unit

di lapisan keluaran. Fase ketiga adalah modifikasi bobot untuk menurunkan kesalahan

yang terjadi.

Selama rambatan maju, sinyal masukan ix dirambatkan ke lapisan

tersembunyi menggunakan fungsi aktivasi yang ditentukan. Keluaran dari setiap unit

lapisan tersembunyi iz tersebut selanjutnya dirambatkan maju lagi ke lapisan

tersembunyi di atasnya menggunakan fungsi aktivasi yang ditentukan. Demikian

seterusnya hingga menghasilkan keluaran jaringan ky . Berikutnya keluaran jaringan

ky dibandingkan dengan keluaran yang harus dicapai, kt . Selisih kk yt − adalah galat

yang terjadi. Jika galat yang ada lebih kecil dari batas toleransi yang ditentukan, maka

iterasi dihentikan. Tetapi, bila galat yang ada lebih besar dari batas toleransinya,

maka bobot setiap garis dalam jaringan akan dimodifikasi untuk mengurangi

kesalahan yang terjadi.

Berdasarkan galat kk yt − , dihitung faktor kδ (k = 1, 2, ,⋅⋅⋅ m) yang dipakai

untuk mendistribusikan galat di unit keluaran ky ke semua unit lapisan tersembunyi

yang terhubung langsung dengan ky . Faktor kδ juga dipakai untuk mengubah bobot

garis yang berhubungan langsung dengan unit keluaran. Dengan cara yang sama,

dihitung faktor jδ (j = 1, 2, ,⋅⋅⋅ p) di setiap unit lapisan tersembunyi sebagai dasar

perubahan bobot semua garis yang berasal dari unit lapisan tersembunyi di lapisan


66

bawahnya. Demikian seterusnya hingga semua faktor δ di unit lapisan tersembunyi

yang berhubungan langsung dengan unit masukan dihitung.

Pada perubahan bobot, semua faktor δ dihitung, bobot semua garis

dimodifikasi secara bersamaan. Perubahan bobot suatu garis didasarkan atas faktor δ

unit lapisan di atasnya.

Ketiga fase tersebut diulang-ulang terus hingga kondisi penghentian dipenuhi.

Umumnya kondisi penghentian yang sering dipakai adalah jumlah iterasi atau nilai

galat yang didapat. Iterasi akan dihentikan jika jumlah iterasi yang dilakukan sudah

melebihi jumlah maksimum iterasi yang ditetapkan, atau jika nilai galat yang didapat

sudah lebih kecil dari batas toleransi yang ditentukan.

Algoritma pelatihan untuk model jaringan rambatan balik dengan satu lapisan

tersembunyi dan dengan fungsi aktivasi biner sigmoid adalah sebagai berikut:

0. Inisialisasi semua bobot dengan bilangan acak kecil.

1. Jika kondisi penghentian belum terpenuhi, lakukan proses 2-9.

2. Untuk setiap pasang data pelatihan, lakukan langkah 3-8.

Fase I : Rambatan maju

3. Tiap unit masukan menerima sinyal dan meneruskannya ke unit lapisan

tersembunyi di atasnya.


67

4. Hitung semua keluaran di unit lapisan tersembunyi jz( , j = 1, 2, ,⋅⋅⋅ p)

jnetzjj

n

iijijj

enetzfz

vxvnetz

_

10

11)_(

_

−

=

+==

+= ∑

5. Hitung semua keluaran di unit ky (k = 1, 2, ,⋅⋅⋅ m)

knetykk

p

jjkjkk

enetyfy

wzwnety

_

10

11)_(

_

−

=

+==

+= ∑

Fase II : Rambatan mundur

6. Hitung faktor δ unit keluaran berdasarkan galat di setiap unit keluaran ky (k = 1,

2, ,⋅⋅⋅ m)

)1()()_()(k kkkkkkk yyytnetyfyt −−=′−=δ

Hitung suku perubahan bobot jkw dengan laju percepatan α

kjjk zw δα=∆

7. Hitung faktor δ unit tersembunyi berdasarkan galat di setiap unit tersembunyi jz

( 1=j , 2, ⋅⋅⋅ , p)


68

∑=

=m

kjkkj wnet

1_ δδ

Faktor δ unit tersembunyi:

)1(_)_()_( jjjjjj zznetnetzfnet −=′= δδδ

Hitung semua perubahan bobot jiv

jiij xv δα=∆ ; i = 1, 2, ⋅⋅⋅ , n

Fase III : Perubahan Bobot

8. Hitung semua perubahan bobot

Perubahan bobot garis yang menuju ke unit keluaran:

jkjkjk www ∆+= (lama) (baru)

Perubahan bobot garis yang menuju ke unit tersembunyi:

ijijij vvv ∆+= (lama) (baru)

9. Proses berhenti.


69

Sedangkan untuk jaringan syaraf dengan lebih dari satu lapisan tersembunyi

nilai δ dihitung di setiap lapisan tersembunyi yang ada secara bergantian dan

kemudian nilai δ tersebut dijumlahkan dengan nilai δ pada lapisan di bawahnya.

Contoh 2.8 Gunakan rambatan balik dengan sebuah lapisan tersembunyi (dengan tiga

unit) untuk mengenali fungsi logika ‘atau’ dengan dua masukan 1x dan 2x . Buatlah

iterasi untuk menghitung bobot jaringan masukan pertama ( 11 =x , 12 =x dan 0=t ),

serta gunakan 2.0=α

Penyelesaian:

Gambar 2.20 menunjukkan arsitektur rambatan balik dengan satu lapisan tersembunyi

yang terdiri dari tiga unit.

Gambar 2.20 Arsitektur rambatan balik dengan satu lapisan tersembunyi

1x 2x

iny _

1

1z 2z 3z 1

01v 02v

03v 11v 12v

13v 21v

22v 23v

y

01w 11w

21w

31w


70

Mula-mula bobot diberi nilai acak yang kecil (pada interval [-1,1]). Misalnya didapat

bobot seperti Tabel 2.1 (bobot dari lapisan masukan ke lapisan tersembunyi = ijv ),

dan Tabel 2.2 (bobot dari lapisan tersembunyi ke lapisan keluaran = jkw ).

Tabel 2.1

1z 2z 3z

1x 0.2 0.3 -0.1

2x 0.3 0.1 -0.1

-0.3 0.3 0.3

Tabel 2.2

y

1z 0.5

2z -0.3

3z -0.4

1 -0.1

Langkah 4: Hitung keluaran unit di lapisan tersembunyi ( jz )


71

∑=

+=n

iijijj vxvnetz

10_

1.0)1.0(1)1.0(13.0_7.0)1.0(1)3.0(13.0_

2.0)3.0(1)2.0(13.0_

3

2

1

=−+−+==++==++−=

netznetznetz

jnetzjj enetzfz _1

1)_( −+==

52.01

1

67.01

1

55.01

1

1.03

7.02

2.01

=+

=

=+

=

=+

=

−

−

−

ez

ez

ez

Langkah 5: Hitung keluaran di unit ky

Karena keluaran hanya memiliki satu buah unit, maka :

24.0)4.0(52.0)3.0(67.0)5.0(55.01.0__3

101 −=−+−++−=+== ∑

=jjkjk wzwnetynety

44.01

11

1)_( 24.0_ =+

=+

== − eenetyfy nety

Langkah 6: Hitung faktor δ di unit keluaran ky

Karena jaringan hanya memiliki sebuah keluaran maka :


72

11.0)44.01)(44.0)(44.00()1()( −=−−=−−== yyytk δδ

Suku perubahan bobot jkw (dengan 2.0=α ):

δαδα jkjjk zzw ==∆ ; =j 0, 1, 2, 3

01.0)11.0)(52.0(2.001.0)11.0)(67.0(2.001.0)11.0)(55.0(2.0

02.0)11.0)(1(2.0

13

12

11

10

−=−=∆−=−=∆−=−=∆

−=−=∆

wwww

Langkah 7: Hitung penjumlahan galat dari unit tersembunyi

Karena jaringan hanya memiliki sebuah unit keluaran maka δδ =jnet_ 1jw

04.0)4.0)(11.0(_03.0)3.0)(11.0(_05.0)5.0)(11.0(_

3

2

1

=−−==−−=−=−=

netnetnet

δδδ

Faktor galat δ di unit tersembunyi:

)1(_)_()_( jjjjjj zznetnetzfnet −=′= δδδ

01.0)52.01)(52.0(04.001.0)67.01)(67.0(03.0

01.0)55.01)(55.0(05.0

3

2

1

=−==−=

−=−−=

δδδ


73

Suku perubahan bobot ke unit tersembunyi : jiij xv δα=∆ (i = 0, 1, 2; j = 1, 2, 3)

Tabel 2.3

1z 2z 3z

1x 0)1)(01.0)(2.0(11 =−=∆v 0)1)(01.0)(2.0(12 ==∆v 0)1)(01.0)(2.0(13 ==∆v

2x 0)1)(01.0)(2.0(21 =−=∆v 0)1)(01.0)(2.0(22 ==∆v 0)1)(01.0)(2.0(23 ==∆v

0)1)(01.0)(2.0(31 =−=∆v 0)1)(01.0)(2.0(32 ==∆v 0)1)(01.0)(2.0(33 ==∆v

Langkah 8: Hitung semua perubahan bobot

Perubahan bobot unit keluaran:

jkjkjk www ∆+= (lama) (baru) (k = 1; j = 0, 1, 2, 3)

12.002.05.0 (baru)41.001.04.0 (baru)31.001.03.0 (baru)

49.001.05.0 (baru)

01

31

21

11

−=−−=−=−−=−=−−=

=−=

wwww

Perubahan bobot tersembunyi:

ijijij vvv ∆+= (lama) (baru) (j = 1, 2, 3; i = 0, 1, 2


74

Tabel 2.4

1z 2z 3z

1x 2.002.0 (baru)11 =+=v 3.003.0 (baru)12 =+=v 1.001.0 (baru)13 −=+−=v

2x 3.003.0 (baru)21 =+=v 1.001.0 (baru)22 =+=v 1.001.0 (baru)23 −=+−=v

3.003.0 (baru)31 −=+−=v 3.003.0 (baru)32 =+=v 3.003.0 (baru)33 =+=v

Langkah 9: Proses berhenti


BAB III

SISTEM JARINGAN SYARAF KABUR

A. Jaringan Syaraf dan Logika Kabur

Jaringan syaraf dan logika kabur merupakan dua teknologi yang

komplementer. Jaringan syaraf dapat mengenali pola masukan yang diterimanya dan

dengan proses pembelajaran dapat menyesuaikan diri dengan masukan itu. Proses

pembelajaran pada suatu jaringan syaraf adalah proses penyesuaian diri jaringan itu

secara bertahap terhadap masukan yang diterimanya sampai akhirnya menghasilkan

keluaran yang diinginkan. Akan tetapi, memahami proses pembelajaran jaringan

syaraf cukup sulit karena sulit untuk menjelaskan makna setiap neuron dan setiap

bobot yang terkait.

Sebaliknya, model berbasis kaidah kabur mudah untuk dipahami karena

menggunakan istilah-istilah linguistik dan struktur kaidah jika-maka. Akan tetapi,

tidak seperti jaringan syaraf, logika kabur tidak mengenal algoritma pembelajaran.

Karena jaringan syaraf bisa mempelajari, maka masuk akal untuk menggabungkan

kedua teknologi tersebut. Penggabungan itu menghasilkan sebuah istilah baru, yaitu

jaringan syaraf kabur. Sistem jaringan syaraf kabur adalah suatu sistem yang

menggunakan kombinasi logika kabur dan jaringan syaraf.


76

Sistem jaringan syaraf kabur dapat diklasifikasikan ke dalam dua kategori,

yaitu:

1. Model berbasis kaidah kabur yang dibangun dengan menggunakan teknik

pembelajaran jaringan syaraf terbimbing.

2. Model berbasis kaidah kabur yang menggunakan jaringan syaraf untuk

membangun partisi kabur dari ruang masukannya.

Yang akan dibahas dalam bab ini adalah sistem jaringan syaraf kabur kategori

pertama.

Masing-masing neuron dalam arsitektur jaringan syaraf umpanmaju

menampilkan dua langkah operasi sederhana. Pertama, menghitung jumlahan

terbobot dari semua sinyal masukan. Sebagai contoh, neuron jn menghitung

jumlahan terbobot sebagai berikut:

∑=

×=k

iiijj xws

1

. (3.1)

Dalam langkah kedua, jumlahan terbobot yang telah dihitung itu dimasukkan ke suatu

fungsi f (biasanya suatu fungsi sigmoid) untuk menghasilkan sinyal keluaran dari

neuron. Dengan mengombinasi kedua langkah tersebut, dihasilkan:

×== ∑

=

k

iiijjj xwfsfx

1)( . (3.2)


77

Untuk menerapkan pembelajaran rambatan balik, fungsi f tersebut haruslah fungsi

yang kontinu dan dapat diturunkan.

B. Model Kabur dengan Pembelajaran Jaringan Syaraf Terbimbing

1. Arsitektur Jaringan Syaraf Kabur

Sistem jaringan syaraf kabur adalah suatu model berbasis kaidah kabur

dengan struktur jaringan syaraf tiruan. Sebuah sistem jaringan syaraf kabur berbeda

dengan jaringan syaraf tiruan dalam tiga hal berikut ini. Pertama, neuron dan sinapsis

dalam sistem jaringan syaraf kabur biasanya dapat dipahami karena masing-masing

neuron dan sinapsis itu berkorespondensi dengan bagian tertentu dari suatu sistem

kabur. Sebagai contoh, lapisan pertama dari sebuah arsitektur jaringan syaraf kabur,

seperti yang terlihat dalam Gambar 3.1, menunjukkan fungsi keanggotaan anteseden

dari variabel masukan. Kedua, sebuah neuron dalam sistem jaringan syaraf kabur

biasanya tidak semuanya terhubung ke neuron pada lapisan yang terdekat. Dalam

kenyataannya hubungan antara neuron dalam sebuah sistem jaringan syaraf kabur

menggambarkan struktur kaidah dari sistem. Sebagai contoh, neuron pada lapisan

kedua dalam Gambar 3.1 hanya terhubung ke dua neuron dari lapisan pertama, di

mana masing-masing neuron menggambarkan kondisi sebuah variabel masukan.

Terakhir, sistem jaringan syaraf kabur biasanya memiliki lebih banyak lapisan

dibandingkan jaringan syaraf tiruan.


78

Biasanya, sebuah arsitektur jaringan syaraf kabur memiliki lima sampai enam

lapisan neuron. Kemampuan masing-masing lapisan biasanya meliputi hal-hal berikut

ini:

a. Mengkomputasikan derajat kesesuaian dengan suatu kondisi kabur yang

melibatkan satu variabel.

b. Mengkomputasikan derajat kesesuaian dengan suatu kondisi kabur konjungtif

yang melibatkan banyak variabel.

c. Mengkomputasikan derajat kesesuaian yang dinormalkan

d. Mengkomputasikan kesimpulan yang diambil dari suatu kaidah kabur

e. Menggabungkan kesimpulan dari semua kaidah kabur dalam sebuah model.

Hal-hal tersebut secara bersama-sama merupakan penarikan kesimpulan

berdasarkan kaidah kabur. Gambar 3.1 menggambarkan suatu arsitektur jaringan

syaraf kabur yang disebut ANFIS, yang kelima lapisannya berkaitan dengan lima

kemampuan tersebut di atas. Alasan langkah normalisasi (lapisan 3) terpisah dari

langkah kombinasi (lapisan 5) dalam arsitektur jaringan syaraf kabur adalah karena

adanya kendala bahwa neuron-neuron pada arsitektur jaringan syaraf tiruan umpan

maju multilapis pada sebuah lapisan hanya dapat menerima sinyal masukan dari

lapisan terdekat sebelah kirinya. Jika tugas-tugas yang dikerjakan oleh lapisan 3 dan

lapisan 5 digabungkan, lapisan gabungan akan membutuhkan masukan dari dua

lapisan, yaitu lapisan 2 dan lapisan 4. Hal ini akan melanggar prinsip konektivitas


79

untuk jaringan syaraf umpan maju multilapis dan menimbulkan kesulitan dalam

menerapkan pembelajaran rambatan balik pada sistem jaringan syaraf kabur.

Gambar 3.1 (a) Arsitektur ANFIS untuk model kabur Sugeno dengan dua buah

masukan serta sembilan kaidah; (b) Ruang masukan dipartisi ke dalam sembilan

bagian

Arsitektur ANFIS menerapkan model Takagi Sugeno Kang (TSK) yang

mempartisi ruang masukan menggunakan fungsi keanggotaan yang terdiferensial.

Baik model TSK maupun fungsi keanggotaan terdiferensial umum digunakan dalam

arsitektur jaringan syaraf kabur. Syarat untuk menerapkan pembelajaran rambatan

balik terhadap jaringan syaraf umpanbalik adalah bahwa fungsi yang digunakan

merupakan fungsi yang terdiferensial. Fungsi keanggotaan Gauss merupakan fungsi

yang cocok untuk sistem jaringan syaraf kabur.


80

2. Pembelajaran Rambatan Balik Pada Model Kabur

Dalam subbab ini akan dibahas bagaimana menggunakan kemampuan

pembelajaran jaringan syaraf pada model kabur. Secara khusus, akan diterapkan salah

satu algoritma pembelajaran jaringan syaraf, yang dikenal dengan nama “Algoritma

Rambatan Balik”, untuk estimasi parameter pada model kabur. Sebelum menerapkan

rambatan balik ke model kabur, pertama-tama akan dibahas kembali bagaimana

algoritma rambatan balik bekerja dalam jaringan syaraf. Pada dasarnya, algoritma

rambatan balik terdiri atas dua langkah melalui lapisan yang berbeda pada jaringan

syaraf, yaitu langkah maju dan langkah mundur. Dalam langkah maju, sebuah vektor

masukan dipakai untuk neuron masukan dari jaringan syaraf, dan hasilnya

dirambatkan melalui jaringan syaraf, lapisan demi lapisan. Akhirnya, himpunan

keluaran dihasilkan sebagai reaksi dari jaringan. Selama langkah maju semua bobot

sinapsis jaringan syaraf tetap. Langkah kedua merupakan langkah mundur, semua

bobot sinapsis diatur sesuai dengan kaidah koreksi galat. Sinyal galat merupakan

selisih antara keluaran yang sesungguhnya dari jaringan dengan keluaran yang

diinginkan (keluaran target). Pengkaidah bobot ini diulang terus menerus sampai

bobot tidak lagi berubah. Hal ini disebut konvergensi algoritma pembelajaran. Sinyal

galat ini kemudian dirambatkan mundur melewati jaringan syaraf, berlawanan arah

dengan koneksi sinapsis. Bobot sinapsis disesuaikan agar keluaran sesungguhnya dari

jaringan semakin mendekati keluaran yang diinginkan.


81

Ada dua cara untuk menyesuaikan bobot menggunakan rambatan balik.

Pendekatan pertama menyesuaikan bobot berdasarkan sinyal galat dari sepasang

masukan-keluaran dalam data pelatihan. Oleh karena itu, penyesuaian tersebut

dilakukan segera setelah masing-masing data pelatihan diberikan ke jaringan syaraf.

Sebagai contoh, jika digunakan sekumpulan data pelatihan yang terdiri atas 500

pasang masukan-keluaran, cara algoritma rambatan balik ini menyesuaikan bobot 500

kali untuk setiap kali algoritma itu merambat melalui himpunan pelatihan tersebut.

Misalkan algoritma tersebut konvergen setelah 1000 rambatan, masing-masing bobot

disesuaikan 500,000 kali. Pendekatan ini disebut “Cara Pola” pembelajaran rambatan

balik.

Pendekatan lainnya, yang dikenal sebagai “Cara Kelompok” pembelajaran

rambatan balik, menyesuaikan bobot berdasarkan sinyal galat dari keseluruhan

himpunan pelatihan. Oleh karena itu, bobot hanya disesuaikan satu kali setelah semua

data pelatihan diproses oleh jaringan syaraf. Pada contoh di atas, masing-masing

bobot pada jaringan syaraf disesuaikan 1000 kali dengan cara kelompok algoritma

pembelajaran rambatan balik.

Cara kelompok rambatan balik dilaksanakan dengan menerapkan metode

gradien turun untuk meminimalkan galat antara keluaran jaringan syaraf dan keluaran

sasaran dari keseluruhan himpunan pelatihan. Galat ini dihitung dengan fungsi galat

global berikut ini:


82

∑=

−=N

iii yyE

1)ˆ(

21 (3.3)

di mana iy merupakan keluaran dari data pelatihan ke-i, iy merupakan keluaran

jaringan syaraf yang sesungguhnya untuk masukan yang sama, dan N menunjukkan

jumlah total pasangan-pasangan masukan-keluaran dalam himpunan pelatihan. Cara

pola rambatan balik menerapkan gradien turun terhadap fungsi galat yang berbeda:

( )2ˆ21

iii yyE −= i = 1, 2, …, N (3.4)

Di bawah ini diuraikan pembelajaran rambatan balik cara pola. Pertama-tama

dihitung gradien iE dalam persamaan 3.4 terhadap bobot jw dari sebuah hubungan

dari suatu neuron di lapisan tengah ke neuron di lapisan keluaran:

( )j

iii

j

i

dwyd

yydwdE ˆ

ˆ −= (3.5)

Menggunakan persamaan 3.2 untuk menggambarkan proses dari lapisan keluaran,

diperoleh:

×== ∑

=

k

ijji xwfsfy

1)(ˆ (3.6)

Kemudian bisa diterapkan kaidah rantai untuk menghitung turunan j

i

dwydˆ

:


83

dsdfx

dsdf

dwds

dwyd

jjj

i ×=×=ˆ

(3.7)

Substitusikan ke dalam persamaan 3.5, maka diperoleh:

( )dsdfxyy

dwdE

jiij

i ××−= ˆ (3.8)

Metode gradien turun meminimalkan fungsi ( iE ) dengan cara menyesuaikan

masing-masing parameter ( jw ) dengan besaran yang proporsional dengan turunan

fungsi itu terhadap parameter tersebut. Penerapan prinsip tersebut untuk

meminimalkan iE dengan menyesuaikan bobot jw , menghasilkan:

j

ijjj dw

dEwww α−=∆=−′ (3.9)

di mana α adalah suatu parameter yang disebut “laju pembelajaran”. Substitusi

persamaan 3.8 ke dalam persamaan 3.9, menghasilkan rumusan untuk

memperbaharui bobot dalam pembelajaran rambatan balik cara pola:

( )dsdfxyyw jiij ××−−=∆ ˆα (3.10)

Jumlah penyesuaian bobot untuk tiap-tiap hubungan antara lapisan

tersembunyi dan lapisan keluaran dapat dilihat sebagai sinyal galat untuk lapisan

tersembunyi. Menggunakan cara serupa dengan yang sudah digambarkan di atas,


84

dapat diperoleh rumusan untuk memperbaharui bobot yang terkait dengan lapisan

masukan.

Algoritma ini menjadi sederhana jika diterapkan ke model kabur yang

dinyatakan dalam persamaan 3.12, karena model kabur mempunyai struktur yang

relatif lebih sederhana dan tetap dibandingkan dengan jaringan syaraf. Berikut ini

akan diterapkan pembelajaran rambatan balik pada identifikasi parameter model

kabur Takagi Sugeno Kang yang fungsi keanggotaan antesedennya bertipe Gauss.

Secara lebih khusus, dalam langkah maju, untuk pola masukan yang diberikan,

respon nyata dari model tersebut langsung dihitung dari persamaan 3.14, dan hasil

dari masukan ke keluarannya diperoleh hanya dengan satu langkah rambatan. Selama

proses, parameter-parameter anteseden ( ijm dan ijσ ) dan konsekuen )( ic , yang sama

dengan bobot pada jaringan syaraf, semuanya tetap. Dalam langkah mundur, sinyal

galat yang dihasilkan dari perbedaan antara keluaran yang sebenarnya dan keluaran

yang diinginkan dari model dirambatkan mundur dan parameter-parameter ijm , ijσ

serta ic disesuaikan dengan menggunakan kaidah koreksi galat. Fungsi galat pada

iterasi ke-k akan dinotasikan dengan )(kJ :

( )2ˆ21)( ii yykJ −= (3.11)

Kaidah koreksi galat untuk ijm , ijσ serta ic diberikan oleh


85

,)()1()()1(

1−=

∂∂

−−=kcci

ii

iickJkckc η i = 1, 2, …, M (3.12)

,)()1()()1(

2

−=∂∂

−−=kmmij

ijij

ijijm

kJkmkm η i = 1, 2, …, M, j = 1, 2, …, m (3.13)

,)()1()()1(

3

−=∂∂

−−=kij

ijij

ijij

kJkkσσ

σησσ i = 1, 2, …, M, j = 1, 2, …, m (3.14)

di mana 21,ηη , dan 3η merupakan parameter-parameter laju pembelajaran.

Untuk memberikan gambaran yang jelas yang menunjukkan bagaimana

gradien ,)(,)(

iji mkJ

ckJ

∂∂

∂∂ dan

ij

kJσ∂

∂ )( terbentuk, )(ˆ ky , keluaran sesungguhnya dari

model pada observasi ke-k, akan ditulis ulang dalam bentuk perpanjangannya

∑=

≡=M

iii ckvkpky

1)()()(ˆ θ

(3.15)

di mana

( )

( )∑∏

∏

∑∏

∏

= =

=

= =

=

−

−

==M

i

s

j ij

ijj

s

j ij

ijj

M

ij

s

jA

s

jjA

imkx

mkx

kx

kxkv

ij

ij

1 12

2

12

2

1 1

1

)(exp

)(exp

))((

))(()(

σ

σ

µ

µ (3.16)

Maka, sinyal galat menjadi


86

∑=

−≡−=M

iii ckvkykykyke

1)()()(ˆ)()( (3.17)

Turunkan J(k) terhadap θ

, samakan hasilnya dengan nol, dan dengan menggunakan

kaidah rantai, diperoleh:

)()(2)()()()( kvke

cke

kekJ

ckJ

iii

−=∂∂

∂∂

=∂∂ (3.18)

−

−−=

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂ ∑

=2

1

)()()()(2

)()()(

)()()(

ij

ijjM

lllii

ij

i

iij

mkxckvckvke

kvkvke

kekJkJ

σσσ (3.19)

( )

−

−−=

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂ ∑

=3

2

1

)()()()(2

)()()(

)()()(

ij

ijjM

lllii

ij

i

iij

mkxckvckvke

mkv

kvke

kekJ

mkJ

σ (3.20)

Substitusikan persamaan-persamaan 3.18, 3.19, dan 3.20 masing-masing ke dalam

persamaan-persamaan 3.12, 3.13, dan 3.14, maka diperoleh:

),()(2)1()( 1 kvkekckc iii η+−= i = 1, 2, …, M (3.21)

−

−+−= ∑

= )()()(

)()()()()(2)1()( 21

2 kkmkx

kckvkckvkekmkmij

ijjM

llliiijij σ

η (3.22)

i = 1, 2, …, M, j = 1, 2, …, s

( )

−

−+−= ∑

= )()()(

)()()()()(2)1()( 3

2

13 k

kmkxkckvkckvkekk

ij

ijjM

llliiijij σ

ησσ (3.23)


87

i = 1, 2, …, M, j = 1, 2, …, s

di mana )(kvi dihitung dengan menggunakan persamaan 3.16 dengan ijm dan ijσ

berturut-turut diganti dengan )1( −kmij dan )1( −kijσ , dan )(ke dihitung dengan

persamaan 3.17 dengan ic diganti dengan )1( −kci .

Ketiga persamaan terakhir ini merupakan algoritma rambatan balik untuk

estimasi parameter dalam model kabur TSK menggunakan fungsi keanggotaan

anteseden tipe Gauss. Pilihan parameter-parameter laju pembelajaran 21 ,ηη , dan 3η

dapat mempunyai pengaruh yang besar pada kinerja algoritma rambatan balik. Nilai

21 ,ηη , dan 3η yang lebih kecil dapat membuat perubahan parameter dari satu iterasi

ke iterasi berikutnya menjadi lebih halus, namun hal ini biasanya dicapai dengan laju

konvergensi yang rendah. Sebaliknya, nilai yang lebih besar untuk 21,ηη , dan 3η

dapat meningkatkan laju konvergensi, tetapi perubahan parameter yang besar dari

satu iterasi ke iterasi selanjutnya dapat menyebabkan algoritma menjadi tidak stabil.

Oleh karena itu, pemilihan parameter pembelajaran haruslah dilakukan dengan sangat

cermat. Sayangnya, tidak ada kriteria yang terumuskan dengan baik untuk memilih

parameter-parameter tersebut. Hal itu biasanya ditentukan dengan mencoba-coba.

Perhatikan bahwa pembaharuan parameter di sini dilakukan setelah

pelaksanaan masing-masing contoh pelatihan. Oleh sebab itu, cara operasi ini disebut

“pembelajaran pola”. Kemungkinan lain, proses pembaharuan dapat juga dilakukan


88

setelah pelaksanaan seluruh contoh pelatihan yang merupakan kelompok. Cara

operasi ini disebut “Pembelajaran Kelompok”. Untuk sebuah kelompok tertentu

didefinisikan fungsi tujuan bJ sebagai kuadrat rata-rata galat )(ke , yaitu:

∑=

=N

kb keJ

1

2 )( . (3.24)

Misalkan )1( −kci , )1( −kmij dan )1( −kijσ adalah estimasi parameter pada

kelompok ke n-1. Dengan cara yang sama seperti pada rambatan balik cara pola,

dapat diperoleh estimasi )(nci , )(nmij dan )(nijσ pada kelompok ke n, seperti

berikut ini:

,)()(2)()1(1

1∑=

+=+N

kiii kvkencnc η i = 1, 2, …, M (3.25)

−

−+=+ ∑∑

== )()()(

)()()()()(2)()1( 211

2 nnmkx

nckvnckvkenmnmij

ijjM

llli

N

kiijij σ

η

(3.26)

i = 1, 2, …, M, j = 1, 2, …, s

( )

−

−+=+ ∑∑

== )()()(

)()()()()(2)()1( 3

2

113 n

nmkxnckvnckvkenn

ij

ijjM

llli

N

kiijij σ

ησσ

(3.27)

i = 1, 2, …, M, j = 1, 2, …, s


89

di mana )(kvi dihitung dengan menggunakan persamaan 3.16 dengan ijm dan ijσ

berturut-turut diganti dengan )1( −nmij dan )1( −nijσ , dan )(ke dihitung dengan

persamaan 3.17 dengan ic diganti dengan )1( −nci .

Cara pola lebih disukai daripada cara kelompok karena cara pola

membutuhkan lebih sedikit tempat penyimpanan untuk memperbaharui tiap

parameter. Sebaliknya, pembelajaran cara kelompok memberikan estimasi gradien

yang lebih tepat. Meskipun belum jelas apakah kedua cara pembelajaran tersebut

akan selalu menghasilkan model yang sama, ada bukti yang menunjukkan bahwa

pembelajaran cara pola mendekati pembelajaran cara kelompok asalkan parameter

laju pembelajarannya kecil.

Berikut berturut-turut diberikan algoritma rambatan balik dengan cara pola

dan algoritma rambatan balik dengan cara kelompok.

Algoritma rambatan balik cara pola diaplikasikan pada model TSK dengan

fungsi keanggotaan Gauss

Langkah 1 : Tentukan )0(ic , )0(ijm , dan )0(ijσ dengan bilangan

acak kecil.

Langkah 2 : Untuk k = 1,2, …, N, lakukan langkah berikut


90

Langkah 3 : (Langkah maju) Hitung ikv menggunakan persamaan

3.8, di mana ijm dan ijσ berturut-turut diganti dengan

)1( −kmij , dan )1( −kijσ . Hitung )(ˆ ky menggunakan

persamaan 3.17, di mana ic diganti dengan )1( −kci .

Langkah 4 : (Langkah mundur) Bentuk sinyal galat

)(ˆ)()( kykyke −= ; perbaharui ic , ijm dan ijσ berturut-

turut menggunakan persamaan 3.13, 3.14 dan 3.15.

Langkah5 : Jika kriteria penghentian telah dicapai, maka proses

berhenti. Jika belum tercapai, misalkan k = k + 1 dan

lanjutkan ke langkah 2.

Algoritma rambatan balik cara kelompok diaplikasikan pada model TSK

dengan fungsi keanggotaan Gauss

Langkah 1 : Tentukan )0(ic , )0(ijm , dan )0(ijσ dengan bilangan

acak kecil, dan misalkan n = 1

Langkah 2 : (Langkah maju) Hitung ikv menggunakan persamaan 3.8

untuk k = 1,2, …, N, di mana ijm dan ijσ berturut-turut

diganti dengan )1( −nmij , dan )1( −nijσ . Hitung )(ˆ ky


91

menggunakan persamaan 3.7 untuk k = 1,2, …, N, di

mana ic diganti dengan )1( −nci .

Langkah 3 : (Langkah mundur) Bentuk sinyal galat )(ˆ)()( kykyke −=

untuk k = 1,2, …, N; perbaharui ic , ijm dan ijσ berturut-

turut dengan menggunakan persamaan 3.17, 3.18 dan

3.19.

Langkah 4 : Jika kriteria penghentian telah dicapai, maka proses

berhenti. Jika belum tercapai, misalkan n = n + 1 dan

lanjutkan ke langkah 2.

C. Contoh Model Jaringan Syaraf Kabur

Dalam subbab ini akan diberikan sebuah contoh untuk menunjukkan

bagaimana algoritma rambatan balik digunakan untuk mengestimasi parameter-

parameter suatu model kabur. Diasumsikan model kabur memiliki konsekuen

konstanta, yaitu:

Jika 1x adalah 1iA dan 2x adalah 2iA dan ⋅⋅⋅ dan mx adalah imA

maka y adalah ic , i = 1, 2, ⋅⋅⋅ , M (3.28)


92

di mana ic adalah konstanta. Fungsi-fungsi keanggotaan anteseden adalah fungsi

Gauss, yang didefinisikan sebagai berikut:

−−= 2

2)(exp

ij

ijjij

mxA

σ. (3.29)

Untuk menentukan struktur (terutama jumlah kaidah kabur yang membentuk

model dasar) dan parameter-parameter model secara terintegrasi, algoritma rambatan

balik dikombinasikan dengan DNS dengan algoritma pivot kolom. Langkah-langkah

pokok prosesnya ditunjukkan pada Gambar 3.2. Pertama-tama, sebuah calon model

kabur dipertimbangkan, yang mungkin modelnya terlalu besar (memiliki basis kaidah

yang besar) tetapi tidak terlalu kecil. Parameter-parameter dalam model tersebut

dilatih dengan menggunakan algoritma rambatan balik. Kedua, jumlah kaidah kabur

penting dalam basis kaidah ditentukan dengan menggunakan DNS. Ketiga, posisi

kaidah-kaidah dalam basis kaidah diidentifikasikan dengan menggunakan algoritma

seleksi subset, yaitu algoritma pivot kolom. Terakhir, kaidah-kaidah kabur yang

penting disimpan dan kaidah-kaidah kabur yang kurang penting atau berlebihan

dikeluarkan dari basis kaidah. Sebuah model kabur yang kompak kemudian dibangun

dengan menggunakan kaidah-kaidah kabur yang disimpan yang parameter-

parameternya dilatih kembali menggunakan rambatan balik.


93

Gambar 3.2 Identifikasi model kabur menggunakan kombinasi rambatan balik dan

DNS

Contoh 3.1

Diberikan fungsi nonlinear sebagai berikut

xxy sin

=

Akan dilakukan pendekatan terhadap fungsi tersebut dengan menggunakan model

kabur yang dijelaskan dalam 3.28. Untuk itu, ditentukan 100 titik data pelatihan

dengan menggunakan nilai-nilai berjarak sama dalam interval [-10,10].

Latih model kabur yang terlalu besar menggunakan rambatan balik

Tentukan jumlah kaidah yang penting menggunakan DNS

Identifikasikan posisi kaidah yang penting menggunakan DNS-QR

Latih model kabur yang kompak menggunakan rambatan balik


94

Pertama-tama, dibangun sebuah model kabur dengan 30 kaidah yang

parameter anteseden dan konsekuennya dilatih menggunakan algoritma rambatan

balik dengan nilai parameter awal ],1,1[)0( −∈ic ],10,10[)0( −∈ijm dan

].2,1[)0( ∈ijσ Kaidah-kaidah kabur tersebut diberi label 1, 2, ,⋅⋅⋅ 30 untuk

menunjukkan posisi mereka dalam basis kaidah. Untuk masing-masing dari 100 titik

data masukan 100,,2,1),( ⋅⋅⋅=kkx pada model, dihitung daya sulut yang

dinormalisasikan dari 30 kaidah menggunakan persamaan 2.5. Maka matriks daya

sulut P berukuran 30100× terbentuk.

Gunakan DNS ke P sehingga dihasilkan nilai-nilai singular yang ditunjukkan

dalam Gambar 3.3. Berdasarkan distribusi nilai-nilai singular, 12 kaidah

dipertahankan untuk digunakan membangun model kabur yang direduksi. Posisi

kaidah-kaidah yang dipertahankan dalam basis kaidah diidentifikasikan menggunakan

DNS-QR dengan algoritma pivot kolom sebagai 3, 5, 30, 16, 1, 13, 8, 24, 19, 29, 23,

14. Urutan posisi dari kaidah-kaidah tersebut juga menunjukkan pentingnya kaidah

kabur itu dalam basis kaidah.

Parameter anteseden dan konsekuen dari model kabur yang telah direduksi

menjadi model dengan 12 kaidah kabur itu dilatih kembali menggunakan algoritma

rambatan balik dengan nilai-nilai parameter awal yang telah ditentukan dalam model

kabur dengan 30 kaidah tadi.

Gambar 3.4 menunjukkan grafik log-MSE (Mean Squared Error) dari model

kabur dengan 30 kaidah dan model kabur dengan 12 kaidah dalam 1000 epoh dari


95

pelatihan rambatan balik. Sebagai perbandingan, Gambar 3.3 juga menunjukkan

model kabur dengan 12 kaidah yang dilatih menggunakan algoritma rambatan balik

dengan nilai parameter awal acak ],1,1[)0( −∈ic ],10,10[)0( −∈ijm dan ].2,1[)0( ∈ijσ

Tabel 3.3 memberikan nilai-nilai MSE dari ketiga model kabur setelah 1000 epoh.

Dari gambar 3.2 dan tabel 3.3 diketahui bahwa model yang direduksi menjadi 12

kaidah dengan nilai-nilai parameter awal yang ditentukan sebelumnya telah mencapai

keadaan layaknya jauh lebih cepat daripada yang menggunakan nilai parameter awal

acak. Hal ini disebabkan karena algoritma rambatan balik merupakan algoritma

optimisasi nonlinear dan kekonvergenannya sangat bergantung pada pemilihan nilai

parameter awal. Model kabur semula dengan 30 kaidah memberikan nilai MSE yang

kecil dibandingkan dengan kedua model kabur yang direduksi menjadi 12 kaidah. Hal

tersebut tidak mengherankan karena model yang semula memuat lebih banyak kaidah

kabur. Tetapi, titik-titik data pelatihan yang baik tidak selalu menjamin kinerja yang

baik pada titik-titik yang tidak dilatih. Sebuah model kabur dengan jumlah kaidah

yang besar memiliki tingkat resiko yang tinggi dalam hal kelebihan kecocokan:

mampu mencocokkan titik-titik data pelatihan secara lengkap, tetapi tidak mampu

menggeneralisasikannya secara memuaskan pada titik-titik data yang tidak terlatih.

Hal tersebut dapat dilihat pada Gambar 3.5 yang menunjukkan keluaran sebenarnya

dari fungsi nonlinear dan keluaran model kabur 30 kaidah dan model kabur 12 kaidah

dengan nilai-nilai parameter awal yang telah ditentukan sebelumnya. Gambar 3.6

menunjukkan fungsi keanggotaan variabel masukan x dalam model kabur 30 kaidah


96

dan dalam model kabur 12 kaidah dengan nilai parameter awal yang terlah

didefinisikan.

Gambar 3.3 Distribusi nilai singular dari matriks daya sulut berukuran 30100×

Gambar 3.4 Grafik log-MSE untuk tiga model kabur yang dilatih

menggunakan algoritma rambatan balik


97

Tabel 3.3 Nilai MSE tiga model kabur setelah 1000 epoh dari pelatihan

rambatan balik

Model Kabur MSE

Model sebenarnya (30 kaidah) 2.7902e-6

Model direduksi (12 kaidah, dengan nilai

awal yang terdefinisi)

2.8342e-6

Model direduksi (12 kaidah, dengan nilai

awal acak)

6.8712e-6

Gambar 3.5 Perbandingan keluaran dari model kabur semula dan model

kabur yang direduksi


98

Model kabur semula dengan 30 kaidah

Model kabur yang direduksi dengan 12 kaidah

Gambar 3.6 Fungsi keanggotaan masukan x dalam model semula dan model

yang direduksi


BAB IV

PENUTUP

Sistem jaringan syaraf kabur adalah suatu sistem yang menggunakan

kombinasi logika kabur dan jaringan syaraf. Sistem jaringan syaraf kabur

dirancang untuk merealisasikan proses penalaran kabur, di mana bobot-bobot

yang terhubung pada jaringan tersebut berhubungan dengan parameter-parameter

penalaran kabur. Dengan algoritma pembelajaran rambatan balik, sistem jaringan

syaraf kabur dapat mengidentifikasi aturan-aturan kabur dan melatih fungsi

keanggotaan dari penalaran kabur tersebut. Sistem jaringan syaraf kabur berupa

jaringan dengan banyak lapisan yang digunakan untuk menentukan relasi

masukan-keluaran pada sistem kabur. Biasanya, sebuah arsitektur jaringan syaraf

kabur memiliki lima sampai enam lapisan neuron.

Arsitektur ANFIS menerapkan model Takagi Sugeno Kang (TSK) yang

mempartisi ruang masukan menggunakan fungsi keanggotaan yang terdiferensial.

Baik model TSK maupun fungsi keanggotaan terdiferensial umum digunakan

dalam arsitektur jaringan syaraf kabur. Syarat untuk menerapkan pembelajaran

rambatan balik terhadap jaringan syaraf umpanbalik adalah bahwa fungsi yang

digunakan merupakan fungsi yang terdiferensial.

Ada dua cara untuk menyesuaikan bobot menggunakan rambatan balik.

Pendekatan pertama menyesuaikan bobot berdasarkan sinyal galat dari sepasang

masukan-keluaran dalam data pelatihan. Pendekatan ini disebut “Cara Pola”

pembelajaran rambatan balik. Pendekatan kedua, dikenal sebagai “Cara


100

Kelompok” pembelajaran rambatan balik, menyesuaikan bobot berdasarkan sinyal

galat dari keseluruhan himpunan pelatihan. Cara pola lebih disukai daripada cara

kelompok karena cara pola membutuhkan lebih sedikit tempat penyimpanan untuk

memperbaharui tiap parameter. Sebaliknya, pembelajaran cara kelompok

memberikan estimasi gradien yang lebih tepat.

Model kabur yang digunakan untuk menunjukkan bagaimana algoritma

rambatan balik digunakan untuk mengestimasi parameter-parameter suatu model

kabur adalah model kabur yang memiliki konsukuen konstanta, dan fungsi-fungsi

keanggotaan anteseden adalah fungsi Gauss. Untuk menentukan struktur

(terutama jumlah kaidah kabur yang membentuk dasar model) dan parameter-

parameter model secara terintegrasi, digunakan algoritma rambatan balik yang

dikombinasikan dengan DNS dengan algoritma pivot kolom.


101

Daftar Pustaka:

Czogała, Ernest and Jacek Łęski. (2000). Fuzzy and Neuro Fuzzy Intelligent Systems. New York: Physica–Verlag Heidelberg

Fullѐr, Robert. (2000). Introduction to Neuro-Fuzzy Systems. New York: Physica–Verlag

Jang, J. S. R, C. T Sun and E. Mizutani. (1997). Neuro-Fuzzy and Soft Computing. London: Prentice Hall.

Kusumadewi, Sri dan Sri Hartati. (2006). Neuro-Fuzzy. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Lin, Chin-Teng and C. S. George Lee. (1996). Neural Fuzzy Systems. London: Prentice Hall.

Siang, J. J. (2005). Jaringan Syaraf Tiruan dan Pemrogramannya Menggunakan MATLAB. Yogyakarta: ANDI.

Susilo, Frans. (2006). Himpunan & Logika Kabur serta Aplikasinya. Yogyakarta: Graha Ilmu

Yen, J. and Langari, R. (1999). Fuzzy Logic, Intelligence, Control, and Information. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall.


plagiat merupakan tindakan tidak terpuji sistem … · mis dan kesimpulannya. ... otak manusia...

Documents