pl b2 - swarthmore collegeadanner/cs97/s08/pdf/palazzi93counting.pdfb & ! !"...

21

Upload: others

Post on 07-Jun-2020

19 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: pl b2 - Swarthmore Collegeadanner/cs97/s08/pdf/palazzi93counting.pdfb & ! !" #$&%(' } { ) +*-,. ' H

����������� ������������������������������ � �"!�� �$#%����&'���(�*)+�(�,���,-,��.���/����-

02143/3/57681+9:14;<;>= ?�1�@BADC�EGFIH<5�=JEGAGKL H<MN143BO/PQH<EIO%FSR%T�FPQMGUGO/H<3VC,@B=JH<EN@>HW�EI=JX�H<3ZY�=[O�57F4R8\�3]=[O]=^Y]_`T(F49JUGPbaI=:1

c�de�egf 1h=[E f 1+9i9j�14EN@>F�UGX�H<3+kN\ liT�lGj e�m�n4o�p Tq14EN1�rG1

MN1+9:14;<;>=ts�@<Y<luUGa�@4lv@<1Y�EGFIH<5�=JEGA�s�@<Y<luUGaw@4lx@<1

yVz|{/}>~<�,��}�7�����i�����i�x�:� ����� ���>���<���i��� ���B�����B�h�(�i�h���/�����Z�������+�����i�������i�������<�����I�< /�/�i�i���/�����¢¡8£q�i¤+�/�Q���B�������2¥

�4�i��¦��+���4�I���Z���<�,��¥ �4�i��¦]���i�4�G���i���|���B�����B�h���Z§B¨ � �]�����4�N���Z�������i���|�i�4���/�����Z�����i�������i��© ª¢¥(�i��� ¥G«I���i���������i���© ª¢¥G«����,���]�%�+�|���B�,�+���������/�¬�����+���4�i���i�+�,�<�����i���������+�,�+�����i�+�,�<�����������/�i�|�4���V�I�/�Z­�®(���8�<�i���+���i�����¯�����B��q���J�<���(��¨��/�/�°��� �����/�������8�����(���/�+���/�4���>±4�����B���i�|���I�/���<���B�8���b�²���i���|�<�����J�<���2���,��� ��³b�]���B�h���i�V�����+���/������i�����i�q�i�/¤��B�G�<� � ���/�+���/�4�8�����/��­��´�i���b����4�4�,�<�°�[���°�/���+���V�<�i�i���/�<�����+�N§+���<¨��I���i�4���/�8�<¤+�/�����>���G§I�<�,����������i�q���Zµ+���B�h���J�<�I���/�°�����q�����:�/���/�,����§�������<�i���+���i�����¯�,�B�t�:�+�����2¨ �/�i���B¤��/�°¨8�����V�i�,���4�>µ��I�<���8��h�4���[�B�<����/�°�����4­

¶ ·h¸2¹Sº»8¼�½�¾I¹�¿�»|¸À H<FÁ�3Z14MG_I=:@�=JEIR¢F3/PÂ14O�=JF�E7Y�5GY�O/H<PÂYÃRt3/H�ÄUGH<E,O�9J5ÅF�3/Á,1SEI=[;<HVPÅ14MDrG14OZ1Æ=[EIO/FQX4143�=JF�UNY(9:1+5�H<3ZY�l�W Y�H<3ZY�@<14EÂPÅ14A�H@>UNY�O/FPÇPÂ14MNYÈa,5¯FhXH<3�9:1�5=JEGÁÉ3/F,1�rGY�k�MNFS9�=JO�=:@<1+9gaNF�UGENrG1S3�=JH�Y<k�Y�F4=i9�O�5IMNH�Y<k�F�37Ê�_N14O/H<XH<3QRtH�14O/UG3/H�Y71S3/HDF4R=JE,OBH<3/H�Y�OQO/FËO/_GH<P"l m _GH7ÌVÍ�T�Î�Ï�Ð ÑÃÒÓY�5GY�O/H<PÕÔvÖ+×�=:YgF3/Á,14EI=J;<H�rÉ143/FUGENr�O/_I=:YgPQFGrIH>9ÙØ�H<X�H<EÉ1Ë3/H>9:14O�=JX�H>9J5=JEGH>ÚÛM�H<ENY�=JX�HQrG14OZ14aN1Y�Hq9i=JA�HVO/_GHVL�=[ÁS=[O>1+98T�_N143/O(F4R O/_GH Ü´F�3�9:r"ÔvÝ4×�@>F�E,O>1+=JENY%Y]H<X�H<E,OBH<H<EÅ9^1+5�H<3>Y<k,Y�H<XH<3Z1+9|Êq=JO/_Y�UGaI9:1+5�H<3ZY<l�Ì EQ1+9JÁ�F�3�=JO/_GP�RtF�3�PÂ14MgF4X�H<3�9:1+5VPbUNY]O a�H�14aI9JHqO/F�_N1SENr9[H²9^1S3/Á�H�14PQF�UGEIOZY2F4RÞrG1SOZ1�1SENrb@>FPQMGUGO/HO/_GHVF4X�H<3�9:1+57Ä�UI=:@BA�9J5ÅRtF�3�Á�FIFÛrÅUNY]H<3�3/H�Y�M�F�ENY�H�M�H<3�RtF�3/PÂ14EN@>H�l

ÜßHÂ@>F�ENY�=:rIH<3Â1àÁ�H<F�PQH<O/3]=^@È14aNY�O/3Z1@>O�=JF�E´F4R�O/_GHÅPÂ14M´F4X�H<3]9^1+5ËMG3/F�aI9JH<PDl*C�UGMGMNF,Y�HÅáâ=:Yb1ËY�H<O°F4R�3/H�r9i=JEGHbY�H<Á�PÈH<E,OZYÃ=JE7O/_GH MI9:14EGH�14ENrÅã�=:Y�1gY�H<OqF4R aI9JUGHbY]H<Á�PQH<EIOZY�Y�UN@B_7O/_N14OqEGF°=JE,OBH<3�=JF�3ZY(F4R�Y�H<ÁPQH<E,O>Y�FSR O/_GHY/14PÈHb@>F49JF�3 =JEIO/H<3ZY�H�@>O�l m _GH7ä�å>æ<çwè<éiêIågë<å�ìíbå+îNï(ð:î�ïtå�äBëñå>ò�ïtðôó�îÈõwä�ó,è<éiå+í�1�Y�AGY�R¢F3�14EËH>ö�@B=JH<E,O�1h9[ÁF�3�=JO/_GP÷O/F@>F�UGEIO�F�3�3BH<MNF�3/O�O/_GHV3/H�r�Î�aI9JUGHV=JEIO/H<3ZY�H�@>O]=[FENY<l

T(_N14;<H>9i9[HqH<O81+9�l�Ô d ×Á4=JX�H�F�UGOBMGUGO/ø�Y�H<ENY�=JO�=JX�H�Y�F49JUGO�=JF�ENY2RtF�3|OB_I=^Y2MG3/F�aI9JH<PDk4PÈH�14EI=JEGÁVO/_N14O|O/_GH(3/UGEGEI=JEGÁVO�=JPQHF4R�O/_GH>=J3�1+9JÁ�F3�=JO/_GPÂY rIH<MNH<ENrGYVFE�OB_GHb14PQFUGE,O F4R�F�UGO/MGUGO+l m _GH<57F�UGO�9i=JEGH�rË3/H>9:14O�=JX�H>9J5´Y�=JPQMI9JHÂ1+9JÁ�F�3]=[OB_GPÂYO/_N14Oq3/UGEÅ=JEDùûú�ü�9JF�Á,ý�ügþ´ÿ���O]=[PÈH�14ENrÅUNY�H�ùgú�ü�9[FÁ%ü���Y�MN1�@>H�kGÊ�_GH<3BHÆÿ =:YqO/_GH E,UGPga�H<3�F4R|=JEIO/H<3ZY�H�@>O�=JF�ENYRtF�3gO/_GHÂ3BH<MNF�3/O]=[EGÁßMG3/F�aI9JH<P 14ENrÉÿ � n R¢F3bOB_GHQ=JEIO/H<3ZY�H�@>O�=JF�E @>FUGE,O�=JEGÁ´MG3BF�aI9JH<PDl�Ü´H�rIH�YB@>3�=JaNHDOB_GH>=[3PQH<O/_GFGrÈ=JE�Y�H�@>O]=[FE c l m _GH<5�1+9:Y�FÅY�OZ14O/HVOB_N14OqO/_GHbY�MN1@>H�@<14E7aNH°3/H�rIUN@>H�r"O/F°9�=JEGH�143VaI57Y�O/3/H�14Pû=[EGÁ"Ô��<× 14ENrO/_GHgO�=JPQHgO/F7ùgú�ü�9JF�ÁqüÅþ ÿ��%aI5�1ÅrI5,EN1SPg=:@°R¢F3/P FSR�Rt3Z1�@>O�=JF�EN1+9�@<1�Y/@<1r=[EGÁ´Ô p k��S×�kNÊ�_I=^@B_´O/_GH<5Ë1�rIPg=JO�=^Y���� � �������������� ���������� ���"!#�$&%(')%(�*�������+-,".#�/�����

n

Page 2: pl b2 - Swarthmore Collegeadanner/cs97/s08/pdf/palazzi93counting.pdfb & ! !" #$&%(' } { ) +*-,. ' H

@>F�PQMI9i=:@<14O/H�r�l m _I=:Y°MN14MNH<3°MG3/H�Y�H<EIOZYV14E`1+9JO/H<3BEN14O�=JX�HQÊ�1+57O/F73/H�rIUN@>H7Y�MN1�@>HQOB_N14OV5�=JH>9:rGYg1ÅPgUN@/_`Y�=[PÈMI9[H<314MGMG3/FI1�@/_7OBFb3BH�rIUN@B=[EGÁ7OB_GHVO�=JPQH�l

m _GHD3/H�r�Î�aI9JUGHË=JEIO/H<3ZY�H�@>O]=[FE MG3BF�aI9JH<PÇʲ1Y � 3ZY]O�@>F�ENY�=^rIH<3BH�r$Ê�_I=i9JH´3/H�Y�H�143>@/_GH<3ZYÈÊqH<3/H�Y]H�143Z@B_I=[EGÁ�RtF�3Á�H<EGH<3Z1h9%F�UGO/MGUGOBø�Y�H<ENY�=JO�=JX�HÈ9�=JEGHDY�H<ÁPQH<E,O =JE,O/H<3>Y�H�@>O�=JF�E�3/F�UGO�=JEGH�Y<lËC�_N1SPQF,Y�1SENr���F,H<5ÉÔ n+d ×(Á,1+X�HÂ1àMI9^1SEGH<øY�ÊqH<H<MÂ1+9JÁ�F3�=JO/_GP�O/F�rIH<OBH�@>O%14Eg=JEIO/H<3ZY�H�@>O]=[FEQ=JE��Vú�ü�9JF�Á%ü�� O]=[PÈH�l�\(H<E,O�9JH<5Q14ENrÅÒ�OBO/PÂ14EGEDÔ n ×GO/UG3/EGH�rgOB_GH>=[31+9JÁ�F�3]=[OB_GP =JEIO/FÆ1�Á�H<EGH<3Z1h9�=JE,O/H<3>Y�H�@>O�=JF�Eg3/H<MNF3/O�=JEGÁ�MG3BFÛ@>H�rIUG3/HqO/_N1SO|3/UGENY2=JEQùgú/ú�üÃþ�ÿ���9JF�Á8ü���O�=JPQH�14ENr UNY�H�Y9i=JEGH�143�Y�MN1�@>H�l f 1+=J3ZY�FEÂ14ENrÅC�O/FS9 � Ô n�n ×N14MGMI9i=JH�rÅMI9:14EGH<ø�Y�ÊqH<H<M7O/FVO/_GH 3/H�r�Î�aI9JUGH�=JE,O/H<3>Y�H�@>O�=JF�EÅMG3/F�aI9JH<PÂYq14ENrF�aGOZ1h=[EGH�rÈùgú�ü��|Y�MN1�@>H�1+9JÁ�F3�=JO/_GPÂY2RtF�3 3BH<MNF�3/O]=[EGÁ =JEÂùgú�ü�9JF�ÁqüqþQÿ��|O�=JPQH�14ENr°RtF�3�@>FUGE,O�=JEGÁ =[EÅùgú�ü�9JF�Á�ü²þú�ü�ÿ������ ý �ÆO]=[PÈH�l´T�_N1S;<H>9�9JHD14ENr�rIH>9:Y�aG3BUGEGEGH<3�Ô c × � EN1+9i9[5ÉÁI1�XHû1SE`F�UGOBMGUGO/ø�Y�H<ENY�=JO�=JX�HD1+9JÁ�F3�=JO/_GPâR¢F�3°O/_GHÁ�H<EGH<3Z1h9G=[EIO/H<3ZY]H�@>O�=JF�EQMG3/F�aI9JH<P Êq=JO/_QF�MGO�=JPÂ1h9N3/UGEGEI=JEGÁ�O�=JPQH���O/_GH>=J3%1h9[ÁF�3�=JO/_GP�3/UGENY�=[EÅùgú�ü�9JF�ÁqüqþQÿ �814ENrUNY�H�Y(ùgú�ü�þÂÿ�� Y�MN1�@>H�lqÒ�EGH @<14E|k�F4R|@>F�UG3ZY�H�kUNY�H�O/_GH�Y]H�Á�H<EGH<3Z1+9N3BF�UGO�=JEGH�Y8O/FV3BH<MNF�3/O83BH�r�Î�aI9JUGH�=JEIO/H<3ZY�H�@>O�=JF�ENY=iR�F�EGHV=:Y�Êq=i9i9�=JEGÁ"O/FQMN1+5ÂOB_GH�O�=JPQH°MNH<EN1+9JO�57F4R�\�H<EIO�9JH<5Iø�Ò�O/O/PÂ14EGE"F�3 O/_GH�Y�MN1�@>H°MNH<EN1+9JO�57F4R�T�_N14;<H>9i9JHQ14ENr�rIH>9:Y�aG3BUGEGEGH<3�l m _GH<57rIFQEGF�O�kG_GF4ÊqH<X�H<3�kG1�rG1SMGO%OBFQH>ö�@B=JH<E,O]9[5DY]F49JX�H�O/_GH =JEIO/H<3ZY�H�@>O]=[FEGø�@>F�UGE,O]=[EGÁ7MG3BF�aI9JH<PDl �Qº�����¿�� ¿�¸���º�¿����m _GH��,å+ä�å>æ�ðôï���ä�� ëñå�ì�ígå�î�ïNïtä�å>å�rG1SOZ1�Y]O/3/UN@>O/UG3/H�k4Ê�_I=^@B_QY�O/F�3BH�Y�O/_GH�Y�H<O�� � á �ãËF4RN3/H�rg14ENr aI9[UGH Y�H<Á�PQH<EIOZY<kRtF�3/PÂY2O/_GH�aN1�Y�=^Y�FSRwO/_GHq3/H�r�Î�aI9JUGH�=JE,O/H<3>Y�H�@>O�=JF�EQMG3/FG@>H�rIUG3/H�FSR T�_N14;<H>9i9JH H<O�1+9�lGÔ d ×�l m F�rIH � EGH�OB_GH%_GH<3BH�r=[O>143/5Y�H<Á�PÈH<E,O8O/3BH<H�k4Ê%H�PbUNY]O � 3ZY]O�rIH � EGH�O/_GH ë<å�ìígå�îNï2ïtä�å>å�Ô n+c ×�l8Ò�UG3%rIH � EI=JO�=JF�EÈ=:Y�Y�9i=JÁ�_IO�9J5QEGF�EGø�Y�O>14ENrG143Zr"! ÊqHUNY�H°Pg=:rIMNF4=JEIOZY�=JENY�O/H�1�ràF4R�H<ENrIM�F4=JE,O>Y O/FQrIH � EGHbXH<3/O�=:@<1+9�Y�9:14aNY 14ENr"1+9i9[F4Ê�Y�H<X�H<3Z1h92Y]H<Á�PQH<EIOZY�FSR�O/_GH�YB14PQH@>F49JF�3�OBFQH<ENrÅ=JE�1ÈY�9:14a|l

0ÞH<O$#&% �(' % ý '()*)*)+' %�,.-�aNH O/_GH�Y]H<O8F4R r=^Y]O�=JEN@>O/% ø�@>F,F3Zr=JEN14O/H�Y8FSR2Y]H<Á�PQH<EIO8H<ENrIMNF4=JEIOZY

b2b1

pl

pr

Ñ2=JÁ�UG3/H n �Ï�EIO/H<3ZY�H�@>O]=[FENY(=JE�1Y�9:14a

=JEË=JEN@>3/H�1�Y�=JEGÁËF�3ZrIH<3+l�Ü´HgPÂ1SA�HgO/_G3/H<H10>Á�H<EGH<3Z1h9�MNF,Y�=JO�=JF�E�1�Y/Y�UGPQMGO]=[FENY�2ÅO/_N14O�Y�=JPQøMI9i=iR¢5ÅO/_GH�rIH�Y/@>3]=[MGO]=[FE7F4R|O/_GHÆ1h9[ÁF�3�=JO/_GP'1SENrÂrG14O>1�Y�O/3BUN@>O/UG3/H�Y3��Ñ2=[3>Y�O�k�EGFg3/H�rûF�3�aI9JUGHH<ENrIMNFS=[EIOV9i=JH�Y F�E´14E"F�MGMNF,Y�=[OBH>9[5´@>F49JF�3BH�r�Y]H<Á�PQH<EIO�lVC�H�@>F�ENr�k�EGFÅ3/H�r�Î�aI9JUGHg=JEIO/H<3ZY�H�@>øO�=JF�EÉM�F4=JE,OQ_N1YQ14E4%Gø�@>FIF�3Zr=JEN14OBH1%65�k8RtF�3 n87:9;7:< l m _I=J3Zr�kq1+9i9ÆY�H<Á�PÈH<E,OZY°Êq=JO/_14EÉH<ENrIM�F4=JE,OÅF�EÉO/_GHÅ9i=JEGH8% �=%>5V_N1+X�HÂOB_GHDY/14PQHD@>F49JF�3+l`ÜßH7Êq=i9�9V3/H<PQF4X�HÅO/_GH�Y�H1�Y/Y]UGPQMGO�=JF�ENY(=JE�Y]H�@>O�=JF�E d l p l

Ð�F4Ê�k4RtF�3/P O/_GH�Y]H<O�F4R Pg=:rIM�F4=JE,OZY�? �@#&A �B' A ý '()*)+)*' AC,�D � -,kIÊ�_GH<3/HEA � �GF�H kAC,�D � �@H 14ENrIAJ5�� ú�%>5LK � þM%>5/��N c k+R¢F3 nEO49P7Q< l m _GH<EgR¢F3/P�1 aN1+9:14EN@>H�rÈaI=[EN1S3/5O/3/H<HgF�E < 9JH�1+X�H�YVY�UN@B_´O/_N14O O/_GH 9 O/_79JH�1+R�EGFGrIHSRB5(=:Y�1�YBY�FÛ@B=:14OBH�rDʲ=[OB_´O/_GH7éiåT�VU°ëñéW�,èX úVR(5�qF4R�1+9i9%MNFS=[EIOZY Ê�_GFIY�HI%Gø�@>FIF�3Zr=JEN14O/H�YÆ9�=JHÈ=JE´O/_GHg_N1+9iR¢FMNH<Eß=[EIO/H<3/X41+9�ÔYAJ5 ' AJ5*D � �>lÐ�F�O�=:@>HÂOB_N14OVO/_GHg9JH�1+R�Y�9:14a X ú�RB5-�Æ@>F�EIOZ1+=JENY H<ENrIMNF4=JEIOZY°F4R�14OVPQF,Y�O°F�EGHÂ@>F49JF�3+lM�1@/_Ë=JEIO/H<3/EN1+9qEGFÛrIHJR[Z�=^Y1�Y/Y]FÛ@B=:14O/H�rÅʲ=[OB_DO/_GH�Y�9:14a X ú�R[Z ��OB_N14O(=^Y�O/_GHVUGEI=JF�E"F4R�OB_GHV9JH�1+R�Y�9:14aNYq=JE"O/_GH�Y�UGaGO/3/H<H°3/FIF�O/H�rÅ14O\R[Ztl

Ð�F4Ê�k9JH<O�UNY(9JFIF�AD14O�OB_GHV3/H>9:14O�=JF�EDFSR�O/_GHV3BH�rD14ENrÅaI9JUGHQY�H<Á�PQH<EIOZYqOBFQO/_GH�Y�9:14a X ú�R&��FSRÃ14EÅ=JEIO/H<3/EN1+9�F�39JH�1+R EGFGrIHER�lqC�F�PQHVY�H<Á�PÈH<E,OZYÃPÂ1+5gH<ENrÈ=[E X ú�R&�ZØÊ%HV@<1+9i9|O/_GH<P ëT�Ió�äZï =JE1RÂ1SENrÂY�OBF�3/H�O/_GH<P =JE73/H�rÈF�3qaI9JUGHY�_GF�3BOq9i=^Y]OZYq=JE]R7rIH<MNH<ENr=JEGÁDF�E7OB_GH>=[3V@>F49JF�3�l²Ò�O/_GH<3ZY<kGÊ�_I=^@B_ËÊqH�@<1+9i9%éió�î,ìkÛ@>UGOV@>F�PQMI9JH<O/H>9J57O/_G3BF�UGÁ�_ X úVR&�ZØ=iR²17Y�H<ÁPQH<E,O_^�@>UGOZY O/_G3/F�UGÁ_ X úVR&��14ENr"EGF�O�OB_G3/F�UGÁ�_"O/_GHgMN143/H<EIO(`vY Y�9:14a X úLa�b[ced�ügf/úVR&���Zk�O/_GH<E´Y�O/F3/Hh^*=JEO/_GHV3/H�ràF�3qaI9JUGH�éió�îIì�9i=^Y]O�RtF�3\R�liPjgkkmlnpo�qsr�îËåT�ò3�7é�åBt�å+éwóuUbïv�,ågïtä�åZå.w��Që<å�ì�ígå�î�ï8ðJëVë<ïtó�ä�åZæÅðôîm�ï%ígó4ë<ï�ï�x8óÅë��,ó�ä>ï�éið^ëñïôëE�îNæÅï�x8ó7é�óî,ìéiðJë<ïôë(y

z|{B}p}g~�� m _GHQY�9:14aNY Y�O/F3/H�rD14O 14E,57ÁS=[XH<ED9JH<X�H>98F4R�O/_GH°O/3/H<Hg143/Hbr=:Yv��F4=JEIO�l Ì�Y�H<Á�PQH<EIO�k�^8k =:YVY�O/F�3BH�r71�Y

c

Page 3: pl b2 - Swarthmore Collegeadanner/cs97/s08/pdf/palazzi93counting.pdfb & ! !" #$&%(' } { ) +*-,. ' H

ë��,ó�ä>ïtk�O/_GH<3/H>RtF�3/H�k =JE´O/_GHQ14O PQF,Y�OVO�ÊqFÂY�9:14aNY OB_N14O�@>F�EIOZ1+=JE"=[O>Y H<ENrIMNF4=JEIOZY<l ^Ë=:Y�Y]O/F�3/H�r"1�Ygéió�î,ì =JE`14OPÈF,Y�OqF�EGH�@B_I=�9:r"F4R8H�1�@B_7EGFÛrIH°Ê�_GH<3/HE^"=:Y Y�O/F�3/H�r71Y�ë��,ó�ä>ïtlÜßHû@<1SE�H>ö7@B=[H<EIO�9J5´@>F�PQMGUGO/HgO/_GHû=[EIO/H<3ZY]H�@>O�=JF�ENY aNH<O�ÊqH<H<EË9JF�EGÁ73/H�rËY�H<Á�PÈH<E,OZYV1SENrDaI9JUGH7Y�H<Á�PQH<EIOZY²=JE

O/_GH�Y�9:14a X ú�R&�>l m FÅaNH<ÁS=[E|k�Y�F�3BO%OB_GHV9JF�EGÁQ3/H�r"Y�H<Á�PQH<EIOZYqXH<3/O�=:@<1+9i9J57Êq=JO/_I=JE�OB_GH�Y�9:14a X ú�R&�Zl m _GH<EË@B9i=[MËH�1�@B_aI9JUGHDY�H<Á�PQH<EIOgO/FDOB_GH�Y�9:14aÉ14ENr*9JFÛ@<14OBHÂO/_GHÅH<ENrIMNFS=[EIOZYgFSR�H�1�@B_ @B9i=JMGMNH�r aI9[UGHDY]H<Á�PQH<EIO�=JEÉO/_GHÅ3/H�r*9JF�EGÁ9i=:Y�O�aI5ËaI=[EN1S3/5´Y�H�143Z@B_|l m _GHQ3/H�rßY�H<Á�PQH<EIOZY O/_N14O�17@B9i=JMGMNH�r�aI9JUGH7Y�H<Á�PQH<EIO =JE,OBH<3ZY�H�@>OZY°143/HgH>Ú 1@>O�9J5�OB_GF,Y�HaNH<O�ÊqH<H<EËO/_GHgaI9JUGHÂH<ENrIM�F4=JE,OZY�! F�EGH�@<1SE�3BH<MNF�3/OVOB_GH<P =[EËO�=JPQHÈMG3/F�MNF3/O�=JF�EN1+98O/F7O/_GH>=J3VEIUGPba�H<3�F�3V@>F�UGEIOO/_GH<P =JE$@>F�ENY�OZ14EIOQO�=JPQH"a,5ÉY�UGaGO/3>1�@>O�=JEGÁ´O/_GH"3Z14EGAGYgF4R�O/_GHËY�H<Á�PQH<EIOZYQ1SaNF4X�H7O/_GH7aI9JUGHËH<ENrIMNF4=JEIOZYàú�Y�H<H� Á�UG3/H n �Zl(C4=JPg=i9:143�9J5�k�F�EGH�@<14EÅ3/H<MNF�3BO�O/_GH =JEIO/H<3ZY�H�@>O�=JF�ENY(F4R8Y�_GF�3/Oq3/H�rÅY�H<Á�PQH<EIOZYÃÊq=JO/_Å9JF�EGÁgaI9[UGH�Y]H<Á�PQH<EIOZYO/_N14O�14MGM�H�143�=[E"O/_GH�Y�9:14a|l

ÏÙR�ÊqH7MNH<3�RtF�3/P O/_I=:YgMG3BFÛ@>H�rIUG3/HÅRtF�3gH<X�H<3/5�O/3/H<HÅEGFGrIH1R"! 3/H<MNF�3BO�=JEGÁ`O/_GHÅ=JEIO/H<3ZY�H�@>O]=[FENYgaNH<O�ÊqH<H<EÉO/_GH9JF�EGÁg3/H�rÅ14ENrÈ9JF�EGÁQ14ENrÂY]_GF�3/O�aI9JUGHgY�H<Á�PQH<EIOZY�1SENrQO/_GH�9JF�EGÁQaI9JUGH�14ENrÅY�_GF�3/Oq3/H�rÅY�H<Á�PÈH<E,OZY�! O/_GH<EÂÊqHV@<14EY�_GF4Ê O/_N1SO%H<XH<3/5Q=JEIO/H<3ZY�H�@>O]=[FE7=:Y�3BH<MNF�3/OBH�rÅH>Ú 1�@>O]9[57FEN@>H�liPjgkkmlnpovn�� t+å�ä��gð:î�ïtå�äBëñå>ò�ïtðôó�î õÛó�ðôîNï�ðJëVïv�,å°ð:î�ïtå�äBëñå>ò�ïtðôó�îÅóVU �Èé�óî,ì°ë<å�ìíbå+îNï ��îNæ;��îNó�ïv�Iå�ä�ëñå�ì�ígå�î�ï ðôîå��e��ò�ïtéW�QóîNå°ëñéW�,èBy

z|{B}p}g~�� T�F�ENY�=:rIH<3�14E =[EIO/H<3ZY]H�@>O�=JF�EQMNFS=[EIO8F4Rw1�3/H�rgY�H<Á�PQH<EIOPc�14ENrg1�aI9JUGH�Y]H<Á�PQH<EIO��4k+EN14PQH>9J5_a � c����4lÏ�E´O/_GHg9JH�1+R�Y�9:14aßO/_N14O�@>F�EIOZ1+=JENY$a2k�O/_GH<3/HÂ143BHûY]_GF�3/O�Y�H<Á�PÈH<E,OZY F4R²1SOVPQF,Y�OVF�EGHQ@>F49JF�3+k Y�F"H>=[OB_GH<3hcÈF�3�°PgUNY�OVa�Hg9JF�EGÁNlQÌVY/Y�UGPÈHbOB_N14O� =^Y 9JF�EGÁNk�14ENr"=iR\cg=:Y°1+9:Y�F79JF�EGÁË1�Y/Y�UGPQHgO/_N1SOEcÈ=^Y EGF�O�Y�O/F3/H�rË14O�1_I=JÁ�_GH<3�9JH<X�H>9 O/_N1SE�4l

0ÞH<OERËaNHQOB_GHbEGFGrIHQO/_N1SOÆY�OBF�3/H�Y��b1Ygé�óî,ì�l°\�5"O/_GHQ1�Y/Y�UGPÈMGO�=JF�ENY<k cû=^Y°Y�O/F�3BH�rDH>=JO/_GH<3�1Y�9[FEGÁ7F�3Y]_GF�3/O�14O_R�k|Y�FÅO/_GHV=JEIO/H<3ZY�H�@>O]=[FE´MNF4=JEIO$aDʲ=�9i9�a�Hb3BH<MNF�3/OBH�r�1SO\R�l°C4=[EN@>HÈO/_GHgMNF�3/O]=[FEDF4R��°@>F�E,O>1+=JEI=[EGÁaà=:YVY�O/F�3BH�rD1�Y²9JF�EGÁÂFEI9[5Ë14O_R�1SENr7O/_GHgMNF3/O�=JF�EËF4R c°=:Y EGF�OVY�O/F�3BH�rD1�Y²9JF�EGÁ�1SaNF4X�HhR�k�OB_GH�MNFS=[EIO$aà=^Y3BH<MNF�3/OBH�rÅF�EI9J5D14O$R�l��F4Ê PbUN@B_ÉY�MN1�@>HD14ENr�O�=JPQHÅ=:YgO>14A�H<E�a,5�O/_I=:YgMG3/FG@>H�rIUG3/H�k(H>Ú @B9JUNr=JEGÁÉO/_GH714PQF�UGEIOgUNY�H�r�O/FË3/H<MNF3/O

F�UGO/MGUGO �´ÏtR%ÊqHQ@>F�ENY�OB3/UN@>O�OB_GH�H<EIO�=J3/HQY�H<Á�PQH<EIO�OB3/H<H�k�H�1�@B_�Y�H<Á�PÈH<E,O�=:YVY�O/F�3/H�r�=JE`14O PQF,Y�OqRtF�UG3�Y�9:14aNY�MNH<39JH<X�H>98a,5È9JH<PQPÂ1 c l n kGY�FQO/_GHVO/FOZ1+9 Y�MN1�@>H =:Y ùgú�ü�9JF�Á�ü��Zl8Ï�EDH�1�@B_DY�9:14a"Ê%H�Y]F�3/O(9JF�EGÁ�Y]H<Á�PQH<EIOZYq14ENrÅ9JFG@<14O/H9JF�EGÁ´14ENr�Y�_GF�3/OgY�H<Á�PQH<EIOZY<Ø8a�F�O/_É@<14E�aNHDrIF�EGHÈ=JE ùgút9JF�Á�ü��VO�=JPQHÅMNH<3ÂY�H<ÁPQH<E,O+l m _I=:YgÁ4=JX�H�Yg17OBF�OZ1+9�F4Rùgú�ü�9[FÁ ý ü��qO�=JPQH�l

m _I=^Y°1+9JÁ�F�3�=JO/_GP 14ENrß14EN1+9J5ÛY�=^Y =:Yg@>F�EIOZ1+=JEGH�rË=JE¯T�_N14;<H>9i9JH7H<Ob1+9�l(Ô d ×�l m _GH<5´1+9:Y�FËY�OZ14O/HÈO/_N14OVF�EGH7@<14E3/H<PQF4X�H(O/_GH(9JF�Á,143�=JO/_GPû=^@%RÙ1�@>OBF�3�Rt3/F�P�O/_GH�Y�MN1�@>Hqa,5°O/_GHqO/H�@B_GEI=^ÄUGH�F4R�ëñïtä�å���ígð:îIì�Ô��+×���3Z14O/_GH<38OB_N14E�aGUI=i9:r=JEGÁO/_GHgH<EIO�=J3/HQY�H<Á�PQH<EIOVO/3/H<H�k�F�EGHgaGUI=i9:rGYVO/_GHQY�UN@<@>H�YBY�=JF�E`FSR�3/F,FO�O/FÈ9JH�1+R�MN14O/_NY<k�Y�OZ1S3/O�=JEGÁ7Êq=JO/_ËO/_GHgMN14O/_ËO/FO/_GH 9[H>RtO/PQFIY�O�9JH�1+R%1SENr7H<ENr=JEGÁ7Êq=JO/_DOB_GHbMN1SO/_7O/FÅO/_GH�3�=JÁ�_IO/PQFIY�Oq9JH�1+R/lqÏ�EËPQF4X�=JEGÁgRt3/F�P F�EGH°MN14O/_DOBFQO/_GHEGH>ÚGO�F�EI9J5ÂOB_GHVEGFÛrIH�YqOB_N14O�@/_N14EGÁHVEGH<H�r7O/FgaNHV3BH�@>F�PQMGUGO/H�r�l m _GH<5�1+9:Y�FÅY�OZ14O/H O/_N14O�1 9JF�Á,143]=[OB_GPg=:@ R�1�@>O/F�3@<14E7a�HV3/H<PQF4X�H�rûR¢3/FP'OB_GHVO�=JPQH�a�F�UGENr7aI5QUNY�=JEGÁ71grI5,EN14Pû=^@ÆR¢F3/P�F4R�Rt3Z1�@>O�=JF�EN1+9|@<1�Y/@<1�r=JEGÁDÔ p ×���aNH�@<14UNY]HH�1�@B_´H<ENrIMNFS=[EIO�ʲ=�9i9qaNHg9JFG@<14O/H�r"=JEÉùgút9JF�Áqü��q9i=:Y�OZY�k Y�_N143]=[EGÁ"H>9JH<PQH<E,O>YVaNH<O�ÊqH<H<E´O/_GHû9�=:Y�O>Y�1+9i9JF4Ê�3/H<MNH�14OBH�rY�H�143>@/_GH�YqOBFQaNH°MNH<3�RtF�3/PQH�rÅPÈF�3/HVH>ö�@B=JH<EIO�9J5�l

Ï�E7O/_GH�EGH>ÚGO�Y�H�@>O]=[FEDÊqH�rIH<X�H>9JF�M�1SED1+9JO/H<3/EN14O�=JX�H°Ê�1�5ÈF4R�3BH�rIUN@B=[EGÁÅO/_GHgY�MN1�@>HVO/Fg9i=JEGH�143 O/_N14O�ÁS=[XH�Y�14EH�1�Y�=JH<3gÊ�1+5�OBFD3/H�rIUN@>HÅO/_GHÅO�=JPQHÂOBF�ùgú�ü�9[FÁ�ü��>lËÒ�UG3Q14MGMG3/F,1�@B_É1�@>O/UN1+9i9J5´H>9i=JPg=JEN14O/H�YgO/_GH7Y�H<Á�PÈH<E,O°O/3/H<HrG14OZ1ÈY�O/3/UN@>O/UG3BHb14ENrà3/H<MI9:1�@>H�Yq=JOVaI5�1û9i=JEGH�143 9i=^Y]O�F4R%Y�9^1SaNY<l m _I=:Yq=:YV14ED1rIXh14EIOZ14Á�H°aNH�@<14UNY]H�O/_GH°FhXH<3/_GH�1�rF4R%17Y�H<ÁPQH<E,O O/3/H<HgPÂ1+57EGF�OVa�HgEGH<Á49i=[ÁS=[aI9JHÅ=JE´MG3Z1@>O�=:@>H�l�ÑGUG3/OB_GH<3/PQF�3/H�k�FUG3Æ14MGMG3BF,1�@B_*@<1SE�a�H<EGH � OVRt3/F�P

d

Page 4: pl b2 - Swarthmore Collegeadanner/cs97/s08/pdf/palazzi93counting.pdfb & ! !" #$&%(' } { ) +*-,. ' H

MG3/H<MG3/FG@>H�Y/Y�=JEGÁÉO/_GHDrG1SOZ1"=JE,OBF`1`Y]MNH�@B=:1+9�Y�F�3/O/H�r�F3ZrIH<3�l Ñ2=JEN1+9i9J5�k�O/_GHËY�H�ÄUGH<E,O�=:1+9VEN14O/UG3BH7F4RÆMG3BFÛ@>H�Y/Y�=[EGÁ3/H�Y�UI9JOZYÈ=JE¯9JFÛ@<1h9�=J;<H�r$PÈH<PQF�3/5É3/H>RtH<3/H<EN@>H�Y<k�Ê�_I=:@/_$3/H�rIUN@>H�YÅPÈH<PQF�3/5 Y�Ê�14MGMI=JEGÁÉ14ENr$1+9i9JFhÊ YQ3/UGEGEI=JEGÁÉF4R9:143/Á�H EIUGPba�H<3ZY(F4R�Y�H<ÁPQH<E,O>Y<l(Ò�UG3²1SMGMG3/F,1�@B_Q_N1�Y(aNH<H<E7MN1S3Z1+9i9JH>9�=J;<H�r"3/H�@>H<EIO�9J5ÂaI5QL H<X�=i9i9JH<3ZY 14ENrÂÑ�14aG3�=8Ô e ×�l� �����´·e����º�»�� �N¼�]��|»2º�¿t¹����Ü´HÅ_N1+X�HÂ1+9J3/H�1�rI5ßPÂ1�rIH717A�H<5´FaNY�H<3/Xh1SO�=JF�E`OB_N14O�1+9i9JFhÊ Y�UNY°O/F"3/H�rIUN@>H7O/_GHÂY]MN1�@>HÂOBF79i=JEGH�143�l�C4=JEN@>H7a,59JH<PQPÂ1 c l n H�1�@B_*Y]H<Á�PQH<EIOÆ14MGM�H�143ZY�=JE´14O PQF,Y�OqRtF�UG3 9i=:Y�OZY�=JEËH�1�@B_D9JH<X�H>9�k2Ê%Hg@<14E�Y]O/F�3/Hg1Â@>F�PÈMI9[H<OBHg9JH<X�H>9F4R OB_GHÆY�H<ÁPQH<E,OqO/3BH<H�=JEÅ9i=JEGH�143�Y�MN1�@>H�l m _,UNY�k,3>14O/_GH<3�OB_N14E�Y]O/3/H�14Pg=JEGÁNkIÊqH Êq=i9�98@>F�PQMGUGO/H O/_GHVO/3/H<H�9JH<X�H>9|a,59JH<X�H>9�l

Ì EËH>ÚÛOB3Z1È9JF�Á,143�=JO/_GPû=^@ûR�1�@>O/F�3VH<EIO/H<3ZY O/_GHÈO�=JPQHÂ@>F�PQMI9JH>ÚI=JO�5ËF4RqO/_GHÂ1+9JÁ�F3�=JO/_GP F4R T�_N14;<H>9i9JHÂH<O�1h9Ùl(Ô d ×=JE7O�Ê%FgÊ�1+5ÛY.� Y�F�3BO�=JEGÁQO/_GHVY�H<Á�PQH<EIOZYÃ=JEDO/_GH 9JF�EGÁg9i=:Y�OZY²Êq=JO/_I=JEDH�1�@B_DY�9:14aD14ENrÈ9JFG@<14O�=JEGÁg=JE7O/_GH�Y�H 9JF�EGÁg9i=:Y�OZYO/_GHgH<ENrIMNFS=[EIOZY F4R%Y�H<Á�PQH<EIOZY�O/_N14OV143/HQ@B9i=JMGMNH�rßO/FÂOB_GHûY�9^1Sa|lVÜ´HQ@<14E´rIF7PQF,Y�O F4R�O/_GHQY�F3/O�=JEGÁD14ENr7M�F4=JE,O9JFÛ@<1SO�=JF�E"=[E´1�rIX414EN@>H���L H � EGH�OB_GHM�,èBó�t�å+îNå�ëZë�3/H>9:14O]=[FEDF�EËY�H<OZY²=[EËO/_GH°MI9:14EGH��� ���� =iR%O/_GH<3/Hg143/H°MNF4=JEIOZYú�% '���� ���� 1SENr7ú�% '���� ����� Êq=JO/_ ��������� ú�Y�H<H � Á�UG3/H c �Zl�Ü$_GH<ED14MGMI9i=JH�r7O/Fgr=:Yv��FS=[EIO�@>F�EIX�H>Ú�Y]H<OZY<kIO/_GH14a�FhXH<EGH�Y/Yq3/H>9:14O�=JF�Eà=:Y�1°MN143/O]=^1h9 F�3ZrIH<3�Ô n�c ×�l

A i+1

A i

A i-1

x

Ñ2=JÁ�UG3/H c � 5vK � �� $5��� 5*D �14ENr� $5vK � �� 5 D � l

iPjgkkml � o�q"! �,å �,èBó�t+å�îNå�ëZëVä�å�éW��ïtðôó�î_U<ó�ä°æ�ðJë$#<ó�ð:î�ï�ò>ó�î�t+å��°ëñå+ïôë�ð:î"ïv�,å õwéW��î�åbð^ë��òB�hò+éið:òey

z|{B}p}g~���C�UGMGM�F,Y�HQO/_N1SO% � �� ý ��&'&�&(�� \,)�� � =:YV1Â@>5G@B9JHQF4R�Pg=JEI=JPgUGP9JH<EGÁ�OB_|l8Ü´HVÊq=i9i9ÃrIH<3]=[XHb1Q@>F�EIO/3Z1r=^@>O]=[FE|lqú�Ð�F�O/HVO/_N14O < � c l��0ÞH<O\%(* � Pg=JE�+',NPÂ1+Ú�#(%.-ú�% '�� �/�� 0,e-�14ENrÈ9JH<O1 $5�aNH�1gY�H<O�O/_N14O�14O/OZ1h=[ENY%�*Q1�Yq=JE � Á�UG3/H c l m _GHg9i=JEGH %�� %(*gPgUNY�O =JE,O/H<3>Y�H�@>O2 5vK � 14a�F4X�H3 $5�14a�FhXH 5*D � Y�=JEN@>H4 5vK � 14ENr5 $5*D � 143/H�@>F�PÈMN143Z14aI9JHVO/F6 $5�l(Ò�Pg=JO/O�=JEGÁ� 5�kIO/_GH<3/H>RtF�3/H�kÁS=[XH�Y�1QY�PÂ1h9�9JH<3V@>5Û@B9JH�k�Ê�_I=:@/_Ë@>F�EIO/3Z1�r=:@>OZYqPû=[EI=JPÂ1h9�=JO�5�lÒ�EÈO/_GH�Y�H<O8F4Rw3BH�rQY�H<Á�PQH<EIOZY814ENr°aI9JUGH H<ENrIMNF4=JEIOZY<kIÊqH²@<1SEbH>ÚGO/H<ENrgOB_GH�MN143/O�=:1+9

F�3ZrIH<3grIH � EGH�r´aI57��O/FË1ÅO/F�OZ1+9�F3ZrIH<3�lQÏ�E`Y�H�@>O�=JF�E d l c ÊqHÂrIH�YB@>3�=JaNHÅ_GFhÊ O/FDrIFO/_I=:Y(H>ö�@B=JH<E,O]9[57UNY�=[EGÁQ1gY�=JPQMI9JH�Y�ÊqH<H<M71+9JÁ�F�3�=JO/_GPDlÃÏtR ÊqHV1�rGrQOB_GH�3/H�rÅY�H<Á�PÈH<E,OZYq14ENrÈaI9JUGHVH<ENrIMNF4=JEIOZYqO/Fg19JH<X�H>9|F4R O/_GH O/3/H<H 1�@<@>F�3Zr=JEGÁQO/F°O/_I=:Y(F�3ZrIH<3�kIO�ÊqFVO/_I=JEGÁ,Yq_N14MGM�H<ED14UGO/F�PÂ1SO�=:@<1+9i9[5 � n ��=JEÂH�1�@B_7Y�9:14a|kGO/_GH�9JF�EGÁ3/H�r7Y�H<ÁPQH<E,O>Y%1S3/H =JENY�H<3/O/H�r�=[EDY]F�3/O/H�rÅF�3>rIH<3�kG14ENr c �8Ê�_GH<E�1°aI9JUGH�H<ENrIM�F4=JE,OV14MGMNH�1S3ZY(=JE�1gY�9:14a"O/_GH<E7O/_GHY�H<Á�PÈH<E,O�=JPQPQH�r=:14O/H>9J5´14aNF4X�H =JO�Ê�1�Y�O/_GHV9:1�Y]O�O/FÅaNHQ1�rGrIH�ràO/FÅO/_GHbY�9:14a|l m _IUNY<k�O/_GHbY]F�3/O�=JEGÁÅF4R89JF�EGÁ73/H�rY�H<Á�PÈH<E,OZY�@<14E7aNH°F�Pg=JO/O/H�r714ENr*ú�F�3�=JÁ4=JEN1+9��qH<ENrIMNF4=JEIO�9JFG@<14O�=JF�Eà=^Y 1QY�=JPQMI9JHgPÂ14OBO/H<3qF4R 9JFIF�A=[EGÁ714O�OB_GH 9^1Y�O9JF�EGÁQ3/H�r"Y�H<Á�PQH<EIO�1�rGrIH�rÅOBFQO/_GH�Y�9:14aË@>F�E,O>1+=JEI=[EGÁÅO/_GHVaI9JUGHgH<ENrIMNF4=JEIO�l

m _GH7F�EI9J5ÉOZ1�Y�A´OB_N14OQ3/H<PÂ1h=[ENYb=^Yû9JFÛ@<1SO�=JEGÁ`O/_GHË@B9i=[MGM�H�r¯H<ENrGYQF4RVaI9JUGH´Y�H<Á�PQH<EIOZY<l�ÏtR�ÊqH71+9:Y�F�UNY�HD1O/F�O>1+9 F�3ZrIH<3 F4RqO/_GHbY�H<OVFSR�aI9[UGHÅY�H<Á�PQH<EIOZY 14ENr"3/H�r7H<ENrIM�F4=JE,OZY O/FÈ=[ENY]H<3/OVaI9JUGHÂY�H<Á�PQH<EIOZY²=JE,O/FDY�9^1SaNY<k�O/_GH<EÊqHgF�aGOZ1+=JE´O/_GHÈH<ENrGY�FSR²@B9i=JMGMNH�r�aI9JUGHDY�H<Á�PQH<EIOZY�=JE`Y�F3/O/H�rËF�3>rIH<3�1+9JF�EGÁDO/_GHÅY�9:14a´aNFUGENrG143�=JH�Y<l f H<3/Á4=JEGÁO/_GH�Y�HVaI9JUGH°H<ENrIMNF4=JEIOZYqÊq=JO/_7O/_GH 9JF�EGÁÈ3/H�rÈ9i=^Y]O�Á4=JX�H�YqUNYqOB_GHV3Z14EGAGY�FSR�1+9i9�@B9i=JMGMNH�r"aI9JUGH�H<ENrIMNFS=[EIOZY<kÛ=[E"O�=JPQHMG3/F�M�F�3/O�=JF�EN1h9 O/FgO/_GHVEIUGPba�H<3�FSR 9JF�EGÁÂY]H<Á�PQH<EIOZY�14ENrÅH<ENrIM�F4=JE,OZY�l

Ï�E Y�H�@>O�=JF�E d l n kqÊqH�rIH�Y/@>3�=Ja�H`O/_GH´rG14O>1`Y�OB3/UN@>O/UG3/HË3/H�ÄUI=J3/H<PQH<EIOZYÈR¢F37F�UG3�1h9[ÁF�3�=JO/_GPDl C�H�@>O]=[FE d l cF�UGO�9i=JEGH�YÅO/_GHËY�ÊqH<H<M 1+9JÁ�F�3]=[OB_GP RtF�3QMG3/H<ø�Y]F�3/O�=JEGÁ�O/_GH�Y�H<ÁPQH<E,O>YÂ14ENr MNF4=JEIOZY<l�C�H�@>O�=JF�E d l d F�UGO�9i=JEGH�YÅO/_GH=JE,OBH<3ZY�H�@>O�=JF�EÂ1h9[ÁF�3�=JO/_GPDl(C�H�@>O�=JF�E d l p r=:Y/@>UNYBY�H�Y(_GFhÊ�O/FV_N14ENr9JH�rIH<ÁH<EGH<3Z14O/H�@<1Y�H�Y(út=JEÂY�H�@>O�=JF�ENY d l c 14ENr d l dÊqHVÊq=i9i9Ã1�YBY�UGPQHVO/_N14OqEGFÂrIH<ÁH<EGH<3Z1�@B=JH�Y H>Ú,=:Y�O�=JEDF�UG3�rG14O>1 �Zl

p

Page 5: pl b2 - Swarthmore Collegeadanner/cs97/s08/pdf/palazzi93counting.pdfb & ! !" #$&%(' } { ) +*-,. ' H

� o�q �Jl��3l����({����� {Bj��;j� ���v{Bj�k]j������Ü´HgrIH � EGHÂ1QÁS9[FaN1+9ÃY]O/3/UN@>O/UG3/H R¢F3ÆY�OBF�3�=JEGÁQ=JEIRtF�3/PÂ1SO�=JF�EDF�EËH�1�@B_�@>FS9[F3�l�Ü´HgEGH<H�r"F�EGHQY�O/3BUN@>O/UG3/HVRtF�3�ä�å>æ=JEIR¢F3/PÂ14O�=JF�E�14ENrËF�EGHgRtF�3Âè�é�êIå =[EIRtF�3/PÅ14O�=JF�E|lgÏ�E�H�1�@B_´Y�O/3/UN@>O/UG3BH�k|ÊqHÂY�O/F3/HgO/_GH°R¢F49i9JF4Êq=JEGÁ��°O/_GHQEIUGPba�H<3F4R�M�F4=JE,O>Y7ú�O�Êq=:@>HÅO/_GH7EIUGPba�H<3QF4R�Y�H<Á�PQH<EIOZY �>k8O/_GHÈ9�=:Y�OÅF4R�Y�H<Á�PQH<EIOZYgY�O/F3/H�r`1YgMNF4=JEIOQMN1+=J3ZY<k(O/_GHÅ9i=:Y�OQF4RH<ENrIMNFS=[EIOZY°Y�F�3/O/H�ràa,51% ø�@>F,F3Zr=JEN14O/H7ú�UNY]H�r7aI5DO/_GHQY�F�3BO�=JEGÁÂMG_N1�Y]H��²14ENr"O/_GHQY�F3/O/H�rÅ9i=:Y�O°F4R%Y�H<Á�PQH<EIOZY 14ENrH<ENrIMNFS=[EIOZY"ú�@>3BH�14O/H�rÉaI5�O/_GH�Y�F3/O�=JEGÁ`MG_N1Y�H�14ENr MN1�Y/Y�H�r¯O/FßO/_GH7=JEIO/H<3ZY�H�@>O�=JF�E$MG_N1�Y]H��Zl m F�Y�O/F�3/H7M�F4=JE,O=JEIR¢F3/PÂ14O�=JF�E|kIÊqH�rIH � EGH�1gY�O/3BUN@>O/UG3/H�O/_N1SO%_GFS9^rGY(O/_GH°ú�% '�� � @>F,F�3>r=[EN1SO/HVF4R|H�1�@B_ÂM�F4=JE,OPa|kIO/_GH�=JENrIH>Ú�O/F°O/_GH@>UG3/3/H<EIO%Y�9^1Sa�@>F�EIOZ1+=JEI=JEGÁEa|kI1�@>F�UGEIOqF4R|O/_GH�EIUGPgaNH<3qF4R�9JF�EGÁQY�H<Á�PQH<EIOZY�1SaNF4X�H�aÅ14ENrÂ1 MNF4=JEIO/H<3qO/F�a�H�UNY]H�r=JE�1°9i=JEGA�H�rà9i=:Y�O�FSR�M�F4=JE,O�Y]O/3/UN@>O/UG3/H�Y�l

L UG3]=[EGÁÈO/_GH�Y�F�3/O]=[EGÁgMG_N1�Y]HVF4R O/_GH�1+9JÁ�F3�=JO/_GPDkGÊqH UNY�HVO�Ê%FgO/3BH<HÆY�OB3/UN@>O/UG3/H�Y<l m _GH � 3ZY�OqO/3/H<H�k Ê�_I=:@/_7ÊqH@<1+9i98O/_GHgëñå���ä�ò3�7ïtä�åZå+kGPÂ1+=JEIOZ1+=JENY�O/_GHbY�H<ÁPQH<E,O>YqO/_N14O�@>UG3B3/H<E,O]9[5Å=JEIO/H<3ZY�H�@>O O/_GHgY�ÊqH<H<MÅ9�=JEGHg=JEËY�F�3/O/H�rÅF3ZrIH<3aI5b14a�FhXH<EGH�Y/Y<l�Ü´HqUNY�H�O/_I=:Y�O/3BH<H�RtF�3 � ENr=JEGÁ�OB_GH�MG3/H�rIH�@>H�Y/Y�F38F4RwO/_GH�@>UG3/3BH<E,O8M�F4=JE,O(aNH>=JEGÁbY�ÊqH<MGOV! OB_N14O�=:Y<kO/_GHVY�H<Á�PQH<EIO%r=J3/H�@>O]9[5714a�FhXH�O/_GH MNF4=JEIO�l m _GHÆY]H�@>F�ENrQOB3/H<H�kIÊ�_I=:@/_ÅÊqH�@<1+9i9|O/_GH�ë3x8å>å�õDïtä�åZå+k4=:Y(aGUI=�9JO�rIUG3]=[EGÁO/_GHÂY]Ê%H<H<Mßa,5"PÂ14A=[EGÁ"H�1�@B_`Y�H<Á�PQH<EIOb17@B_I=i9:r´F4R�O/_GHÅY�H<Á�PQH<EIO =JPQPQH�r=:14O/H>9J5`14a�F4X�Hg=JOZYV3]=[Á_,OVH<ENrIM�F4=JE,O�lÜ$_GH<E´O/_GHÂY]Ê%H<H<M*=^Yg@>F�PÈMI9[H<OBH�k OB_GHÂY�ÊqH<H<M´O/3/H<HÈ_GF49:rGYVO/_GHÂY]H<O�F4R�Y�H<Á�PÈH<E,OZYV1SENrËH<ENrIMNF4=JEIOZYgY�FDOB_N14O�14E=JEGF�3ZrIH<3 O/3Z1+X�H<3ZYB1+9wÁ4=JX�H�Y�1gO/F�OZ1h9ÞF3ZrIH<3�=JEGÁÂ@>F�ENY�=:Y�OBH<E,O Êq=JO/_7O/_GH�14a�F4X�H<EGH�Y/Y�3/H>9:14O�=JF�E|l

Ñ2=JÁ�UG3BH d =i9i9JUNY�O/3Z1SO/H�YÂ1ËY�ÊqH<H<MÉO/3BH<H�l´Ü´H7PQFGr=iR¢5�O/_GHDY�O>14ENrG143Zr�O/3]=^@BA´F4Ra

b c

d

child pointer

sibling pointer

Ñ2=JÁ�UG3/H d �(C�Ê%H<H<M m 3BH<H

UNY�=JEGÁÉ@/_I=i9:r$14ENr Y�=JaI9i=JEGÁ M�F4=JE,O/H<3>YQO/Fß3/H<MG3/H�Y�H<EIOÂ1Ë_I=JÁ�_GH<3DrIH<Á�3BH<HDO/3/H<HD1YQ1aI=JEN143/5"O/3/H<HÂÔ n�� kNM|l d�d�d ×�kN14ENr"UNY�H�M�F4=JE,OBH<3ZY O/FÅO/_GH�3�=JÁ�_IO/PQFIY�O�@B_I=�9:r´1SENrÅ9JH>R¢OY�=JaI9i=JEGÁNl m _GHDY�H<Á�PQH<EIO��"=:YgO/_GHD@B_I=i9:r FSR��"ú�aNH�@<1SUNY�HÅ=JOZYQ3]=[Á_,OgH<ENrIMNFS=[EIOÈ=^YaNH>9JF4Ê����ZkNY�H<Á�PÈH<E,OZY �V14ENr��V143BHbY�=JaI9i=JEGÁ,Y<k|14ENr��°ú�1+9JF�EGÁQÊq=JO/_ ���8=:Y�OB_GHb@B_I=�9:rF4R$bNl m _GHûrG1SOZ1ÂY]O/3/UN@>O/UG3/H�Y�RtF�3 aNF�OB_�OB3/H<H�YV143/H°O/_GHQY�OZ14ENrG143>r�Y]O/3/UN@>O/UG3/H�Y²RtF�3aI=JEN143/5´OB3/H<H�Y<l1(1�@/_ßEGFÛrIHÅ_N1�Yg1Å9JH>RtOÂú�Y�=JaI9�=JEGÁ �°MNF4=JEIO/H<3Q14ENr´1"3�=JÁ�_IOQú�@B_I=i9^r&�MNFS=[EIO/H<3�l m _GHÆY]H�143Z@B_ÂO/3BH<H�14ENrÅY�ÊqH<H<MÂO/3BH<HÆY�OB3/UN@>O/UG3/H�Y(143/H EGH<H�rIH�r7rIUG3�=JEGÁQO/_GHY�F�3BO�=JEGÁbMG_N1Y�HVF�EI9J5�l�Ì�Y�H<Á�PQH<EIO(=[E"O/_GHVY�H�143Z@B_7O/3/H<HV1+9:Y�FQ_N1�Yq1gM�F4=JE,OBH<3�O/F°=JOZY9JFÛ@<1SO�=JF�E7=JEDOB_GH�Y�ÊqH<H<MDO/3/H<H�l

Ñ F�3QO/_GH"=JEIO/H<3ZY�H�@>O�=JF�E$MG_N1�Y]H�k�ÊqHËrIH � EGH*1ÉY]O/3/UN@>O/UG3/H"O/FÉY�O/F�3/H"O/_GH�Y�9^1Sa=JEIR¢F3/PÂ14O�=JF�E|lËÑGF3bH�1@/_ÉY�9:14a|k8ÊqH7rIH � EGH7O�ÊqF7_GH�1�r�M�F4=JE,OBH<3ZY°O/F79i=JEGA�H�r�9i=:Y�OZYY�O/F3�=JEGÁ7O/_GH°9[FEGÁ�Y�H<Á�PÈH<E,OZY FE�OB_GHg9JH>R¢O�14ENr*3�=JÁ�_,OVa�F�UGENrG143�=JH�Y°F4RqO/_GHQY�9:14a|lgÜ´HQ1+9:Y�F�Y]O/F�3/H°O�ÊqF7@>F�UGEIOZYRtF�3�O/_GH°E,UGPgaNH<3VFSR 9JF�EGÁ7Y�H<Á�PQH<EIOZY 14aNF4X�H°MNF4=JEIOZY�F�EDO/_GH 9JH>R¢OV14ENr7FEDO/_GH°3�=JÁ�_,O aNFUGENrG143�=JH�Y F4R�O/_GHgY�9:14a|lÌ�9i=:Y�O�F4R�OB_GH�Y�HbY�OB3/UN@>O/UG3/H�Y�3/H<MG3/H�Y�H<EIOZY�O/_GH°9i=^Y]OVF4R%Y�9:14aNYV14O O/_GHb@>UG3B3/H<E,O�9JH<X�H>9�F4R�O/_GHgY�H<Á�PQH<EIO O/3/H<H�l°Ò�UG3@>F�EIX�H<EIO�=JF�EQ=:YqOBFbEIUGPgaNH<3qO/_GH�Y�9:14aNYqY�O>143/O�=JEGÁ°R¢3BF�P ;<H<3/FQY�FgO/_N14O�H�1@/_´åBt�å�îçNó�ææVMN1+=J3qF4R�Y�9:14aNYq3BH<MG3/H�Y�H<EIOZYO/_GHqO�ÊqF�EGFGrIH�Y�=JEQO/_GH�Y�H<ÁPQH<E,O8OB3/H<HqO/_N14O8Êq=i9i9wa�H�PQH<3/Á�H�r°O/FÁ�H<O/_GH<32=[EÈO/_GH�EGH>ÚGO�9[H<XH>9wF4RNO/_GH Y�H<Á�PQH<EIO OB3/H<H�lm F R¢F�3BP O/_GH�1�@>OBUN1+9wY�9:14agaNF�UGENrG1S3�=JH�Y8ÊqHqEGH<H�rgO/_GH(9i=^Y]O�F4R�Pg=:rIMNF4=JEIOZY�! O/_GH MNF4=JEIOZY�aNH<O�ÊqH<H<EI%Gø�@>FIF�3Zr=JEN14O/H�YF4R8H<ENrIMNF4=JEIOZY 1�Y�rIH�Y/@>3�=Ja�H�r7=JEËY�H�@>O�=JF�E c l� ovn � � j!��" j�j�#�$&%('�} {�)�� k+* }p{JzE{Bj-,.� }p{/���0�1'Ü´H =[EI=JO�=:1+9i=J;<HQO/_GHgY�ÊqH<H<MDO/3BH<HVO/FÂ1ÈEGFÛrIH 2 @>FE,OZ1h=[EI=JEGÁ71Q_GF3�=J;<F�E,O>1+9|9i=JEGH�Rt3/F�P úTF�H ' H ��OBF7ú�H ' H �qY�FO/_N14OV1+9i9�Y�H<Á�PQH<EIOZY 14ENr7H<ENrIM�F4=JE,OZY Êq=i9i9�aNHgaNH>9JF4Ê�O/_I=:Yq9i=JEGH�l�\(H>RtF�3/HgO/_GHbY]Ê%H<H<MËa�H<Á4=JENY<k|1QEGFGrIH°R¢F3�H�1�@B_Y�H<Á�PÈH<E,OQ14ENr�H<ENrIM�F4=JE,OÈ=:YgMG3/H<ø�1+9i9JFÛ@<1SO/H�r�lÉÌVYgO/_GHDY�ÊqH<H<M�MG3/FÛ@>H<H�rGY�kqO/_GH�Y�H7EGFGrIH�YQ143/HÈ9i=[EGAH�r OBF�Á�H<O/_GH<3RtF�3/Pg=JEGÁ�1�R¢F3/H�Y�OVF4R�O/3/H<H�Y�lM8XH<E,O/UN1h9�9J5�k81+9i9%FSR²OB_GH�Y�HÂY�UGaGO/3BH<H�Y�ʲ=�9i9qaNHÈ9�=JEGA�H�r�OBF�2`kÞR¢F3/Pg=JEGÁDO/_GH � EN1+9

Page 6: pl b2 - Swarthmore Collegeadanner/cs97/s08/pdf/palazzi93counting.pdfb & ! !" #$&%(' } { ) +*-,. ' H

Y�ÊqH<H<MÅO/3/H<H�l m _GHV_GH�1rQEGFGrIH�k�2�kIÊq=i9�9�O/_GH<EÂ_N1+X�H O/_GHVH<EIO�=J3/H 9i=:Y�O�F4R�Y]H<Á�PQH<EIOZYq14ENrQH<ENrIM�F4=JE,O>Y�1�YÃ=JOZYq@B_I=�9:rY�UGaGO/3BH<H�14ENrQʲ=�9i9 EGFO%_N1+X�HV14EI5ÂY�=JaI9i=JEGÁ,Y<l m _GHVO/FOZ1+9wY�F�3BO/H�rQF3ZrIH<3qF4R O/_GH�Y�H<ÁPQH<E,O>Y%1SENrQM�F4=JE,OZY�@<14E7O/_GH<EaNH°3/H�@>F4X�H<3/H�rÅaI5ÂOB3Z1+X�H<3ZY�=JEGÁgO/_I=:Y�OB3/H<H =JE7=JEGF�3ZrIH<3�l

Ð�H>ÚGO�k4O/_GH%Y]H<OZY�á�14ENr°ã`143/H(H�1�@B_ûY]F�3/O/H�rÆ=[ENr=JX=:rIUN1+9i9:5ÂaI5VO/_GH�Y�PÂ1h9�9JH<3�% ø�@>F,F�3>r=[EN1SO/H�F4RNH�1�@B_QY�H<Á�PQH<EIO�lm _GHqH<ENrIMNFS=[EIOZYÃ=JEQO/_GH�Y�H(9i=:Y�OZYÃÊq=i9�9�aNH�Y�ÊqH<MGO�Rt3/F�P¬9[H>RtO�OBF�3�=JÁ�_IO8aI5V=JEN@>3/H�1�Y�=JEGÁI%Gø�@>FIF�3Zr=JEN14OBH�l ÜßH%OB_GH<EÂ@<1+9i9O/_I=:Y Y�F�3/O�=JEGÁQ3BF�UGO�=JEGH�F�EN@>H R¢F3�O/_GH�3BH�r7Y�H<Á�PQH<EIOZY 14ENrÅaI9JUGHbH<ENrIM�F4=JE,O>Y<kw1SENr7F�EN@>H R¢F�3�O/_GH�aI9JUGHbY]H<Á�PQH<EIOZY14ENrÅ3/H�rÅH<ENrIM�F4=JE,O>Y<kw@>3BH�14O�=JEGÁQO�ÊqFûY]F�3/O/H�rû9i=^Y]OZY<l(Ü´H�rIH�Y/@>3�=JaNH°O/_GHVMG3/FG@>H�rIUG3/H�FEI9[5ÅRtF�3q3/H�r7Y�H<ÁPQH<E,O>Y�14ENraI9JUGH�H<ENrIM�F4=JE,OZY�l

m _GH�Y�ÊqH<H<MÉa�H<Á4=JENYQÊq=JO/_ÉOB_GHÅ9�=JEGH]% � F�H OB_N14OV=JEIO/H<3ZY�H�@>OZYûF�EI9J5`O/_GHDrIUGPÈPb5�3/H�rÉY�H<ÁPQH<E,O°Rt3/F�PúTF�H ' H ��O/FËú�H ' H �ZlgÜ$_GH<E´O/_GH � 3>Y�OVH<ENrIMNF4=JEIO�k a|k|FSR²173BH�r´Y�H<Á�PQH<EIO =:YVH<EN@>F�UGEIO/H<3/H�r�k�ÊqHg=JENY�H<3/O°O/_GHY�H<Á�PÈH<E,O�=JE,O/FÅO/_GHgY�H�143Z@B_DO/3BH<H�lqÜ _GH<EËO/_GHgY�H�@>F�ENr"3/H�ràH<ENrIMNF4=JEIO�k � kG=:Y H<EN@>F�UGEIO/H<3/H�r�k�ÊqHbrIH>9JH<O/HQO/_GH°3/H�rY�H<Á�PÈH<E,O a � R¢3/FP'OB_GHÆY�H�1S3Z@/_ÅO/3/H<HV14ENr�kI=JE7O/_GHVY�ÊqH<H<M7O/3/H<H�k9i=JEGA a � 1Y8O/_GH�@B_I=i9^ràF4R O/_GHVY�H<Á�PÈH<E,O�14a�FhXH �14ENràPÂ14A�H°O/_GHVRtF�3/PQH<3V@B_I=�9:rËOB_GHbY�=JaI9i=JEGÁDF4R a � l�Ü _GH<EË1QaI9JUGHQM�F4=JE,O_c°=:Y H<EN@>F�UGEIO/H<3/H�r�k�ÊqH � ENràO/_GHg3/H�rY�H<Á�PÈH<E,O�k X kN14aNF4X�H O/_GHVM�F4=JE,O\c =JE7O/_GH�Y�H�1S3Z@/_7OB3/H<H�14ENr�k=JEDO/_GH�Y�ÊqH<H<M7O/3BH<H�k�9i=JEGA1cg1�Y(O/_GH�@B_I=�9:ràF4R X 14ENr9i=JEGA�OB_GHVRtF�3/PQH<3V@/_I=i9:r´1�Y�O/_GHQY�=JaI9i=JEGÁDF4R cIl m _I=^Y MG3BFÛ@>H�Y/Y O>14A�H�Y²9[FÁ,143�=JO/_GPg=:@°O�=JPQH°RtF�3�H�1@/_"MNF4=JEIO =�RqO/_GHY�H�143>@/_7O/3BH<H =^Y�A�H<MGO�aN1h9^1SEN@>H�r"! 1+9i9�F�O/_GH<3qF�MNH<3>14O�=JF�ENY 143/H�@>F�ENY�O>14E,OqO�=JPQH�l

m _GHÂY�F�3/OBH�rËF�3ZrIH<3VF4R�O/_GHÅY�H<Á�PQH<EIOZY�1SENrËMNF4=JEIOZYg@<14E´EGF4Ê�a�HÂ3BH�@>FhXH<3/H�r"Rt3/F�P÷O/_GHÂY]Ê%H<H<MßO/3/H<H�lÅÜ´H@<14EËEIUGPba�H<3�O/_GHgEGFGrIH�YVF4R�OB_GHbOB3/H<H°R¢3/FP n O/F7OB_GHb_I=JÁ�_GH�Y]O�EIUGPba�H<3�k|ü�k�=JEË=JEGF�3ZrIH<3B�ÆY]OZ143/O�=JEGÁÅRt3/F�P O/_GH3/FIF�O�k�ÊqH�3/H�@>UG3ZY�=[XH>9[5ËEIUGPgaNH<3VO/_GHQY�=JaI9i=JEGÁ,Y°F4R%1QEGFGrIH�k|EIUGPgaNH<3VO/_GHgEGFGrIH�k�=JEN@>3/H<PQH<EIOVO/_GHQ@>F�UGE,OBH<3�k|14ENrO/_GH<E´3BH�@>UG3ZY�=JX�H>9J5ËE,UGPgaNH<3°O/_GHQ@/_I=i9:rI3/H<E�F4R%OB_GHbEGFGrIH�lQ\(579JH<PQPÂ1 d l c k�O/_I=:YVÁS=[XH�Y UNY�1È9i=:Y�O�F4R%Y]H<Á�PQH<EIOZY14ENràMNF4=JEIOZY�Y]F�3/O/H�r71�@<@>F3Zr=JEGÁÂO/FÈO/_GH�14aNF4X�H<EGH�YBY�3/H>9:14O]=[FE|l m _GH � 3ZY�O H>9JH<PQH<E,O°ú�Y�H<ÁPQH<E,O�F�3�H<ENrIMNFS=[EIO��(=JEO/_GH 9i=:Y�O Êq=i9�98aNH°O/_GHV_I=JÁ�_GH�Y�O H>9JH<PQH<E,OV14ENrÅO/_GH 9:1�Y�O�H>9JH<PQH<EIO�=JE"O/_GH 9i=^Y]O�Êq=i9i98aNH�OB_GH 9[F4ÊqH�Y�O�H>9JH<PQH<EIO�liPjgkkml � ovn r�ä�æ�å�ä>ðôî,ìÅïv�,å°ëñå�ì�ígå+îNïôë_��îNæ7å+îNæ>õGó�ð:î�ïôë�ë<ïtó�ä�å>æÂðôîËïv�,åQîNó+æ�å<ëVðôî�ðôîNò+ä�åT�4ë<ðôî,ìQóä�æå�ä�óuU�îNó�æåîNêIíQè/å+ä/ë�ìðLt+å<ë_�7ïtó�ï���é|óä�æå�ä�ïv�[��ïqðJë�ò>ó�îGë<ð^ëñïtå+îNï x8ð:ïv�Dïv�,å �,èBó�t+å�îNå�ëZëVä�å�éW��ïtðôó�îpy

z|{B}p}g~��8L H � EGHQO/_GH7ä>ð�ì �,ï�xP��ä�æÅõ6��ïv�QRtF�3�17Y�H<Á�PÈH<E,Ogú�F3VMNF4=JEIO�� X O/F7aNHÈO/_GHQMN14O/_Ëa�H<Á4=JEGEI=[EGÁ�14OVO/_GH9JH>RtO�H<ENrIM�F4=JE,O°F4R X 14ENr"O/_GH<ED3BH<MNH�14O/H�r9J5´@>F�EIO�=JE,UI=JEGÁ7O/FÅO/_GH°3�=JÁ�_,O H<ENrIMNFS=[EIO�FSR�O/_GHbY�H<ÁPQH<E,O O/_N14O�=JO9i=JH�Y°F�E`14ENr*H>ÚÛO/H<ENrGY X�H<3/O�=:@<1+9i9J5´O/F7OB_GHÂY�H<Á�PQH<EIOb1SaNF4X�HgO/_GHQ3�=JÁ�_IO�H<ENrIM�F4=JE,O+l m _GHQ3�=JÁ�_IO�Ê�143>rDMN1SO/_NYRtF�3VO�ÊqFDY�H<Á�PQH<EIOZY°ú�F3�MNFS=[EIOZY � X 1SENr8fV@<14EGEGF�Og@>3/F,Y/Y3� Ê�_GH<E`OB_GH<5�PÈH<H<O�k|O/_GH<5ßPbUNY]OVPQH<H<Ob1+9JF�EGÁË1Y]H<Á�PQH<EIO%Ê�_GH<3/H�O/_GH<5ÅÊq=i9i9p��F4=JE|l

0ÞF,F�AË14O O/_GHQY�H<Á�PQH<EIO��*Ê�_GH<3/HgO/_GHg3�=JÁ�_IO�Ê�143>r7MN14O/_NY�RtF�3 X 14ENr�fP��F4=JE|lgú�ÍqH�@<1h9�9�OB_N14O�1ÂrIUGPÈPb5=JE � EI=JO/HQY�H<Á�PÈH<E,O�=:Y�Y�OBF�3/H�rD1SO�O/_GH�3BF,F�O�F4R�O/_GHbY]Ê%H<H<M"O/3/H<H�l��g=iR X =:Y 14aNF4X�H|fZk�O/_GH<EDH>=JO/_GH<3�� � X F�3 X1SENrIfq143/H =JEDY�UGaGO/3/H<H�Y²F4R O/_GH�Y�ÊqH<H<M7O/3BH<H�O/_N1SO²1S3/HV3/FIF�O/H�rÅ14O�@/_I=i9:rI3/H<EDFSR��2l Ï�EDO/_GH�RtF�3/PQH<3�@<1�Y�H�k X =^YOB_GHVMN143/H<EIO�F4RPf²1SENr714EÅ=JEGF�3ZrIH<3 O/3Z1+X�H<3ZY/1h9ÞFSR O/_GHbY]Ê%H<H<M7OB3/H<HVE,UGPga�H<3ZY�@B_I=i9:rI3/H<EËF4R X 1+RtO/H<3 X l(Ï�E"O/_GH9:14OBO/H<3%@<1�Y]H�kGO/_GH 3/F,FO�F4R OB_GHÆY�UGaGOB3/H<H�@>F�EIOZ1+=JEI=JEGÁ X =:Y�1gY�=JaI9�=JEGÁÅO/FgO/_GH�9[H>RtO�F4R�O/_GH�3BF,F�OqF4R|O/_GH�Y]UGaGO/3/H<H@>FE,OZ1h=[EI=JEGÁJfZØN1SÁ,1+=JE|kN14EÅ=JEGF�3ZrIH<3 O/3Z1+X�H<3>Y/1+9wEIUGPgaNH<3ZY X a�H>R¢F3/H_fZl

� o � � � j �;j����� %0� j�/���3j {�3j�����+} ��$&%('�}p{�(�� km _I=:YV1+9JÁ�F�3]=[OB_GP OZ1SA�H�YqO�ÊqFQO/F�M�F49JF�Á4=:@<1+9i9J5�F3ZrIH<3/H�rÅ9i=:Y�OZY FSR%Y�H<Á�PQH<EIOZY�14ENr"M�F4=JE,OZY�kw1�YBY�=JÁ�ENY�H�1@/_ËY�H<Á�PQH<EIO14ENrßMNF4=JEIOgO/F7=JOZYgY�9:14aNYg14ENr�@>F�PQMGUGO/H�Y O/_GHÅE,UGPgaNH<3gF4Rq=JEIO/H<3ZY�H�@>O�=JF�ENYb=[E�H�1�@B_ Y�9^1Sa|l�Ñ2=JÁ�UG3/H p FUGO�9i=[EGH�YF�UG3È=JE,O/H<3>Y�H�@>O�=JF�E 1+9JÁ�F�3�=JO/_GP"l$Ü´HDMN1�YBYQO/_GH"_GH�1�r¯MNF4=JEIO/H<3ZYÈO/F�O/_GH�Y�F3/O/H�rß9i=:Y�OZYÅF4R�3/H�r¯Y�H<Á�PQH<EIOZYÅ14ENr

e

Page 7: pl b2 - Swarthmore Collegeadanner/cs97/s08/pdf/palazzi93counting.pdfb & ! !" #$&%(' } { ) +*-,. ' H

aI9JUGH7H<ENrIMNF4=JEIOZY<kq14ENrßaI9[UGHDY]H<Á�PQH<EIOZY�14ENrß3/H�rßH<ENrIMNF4=JEIOZYgO/FËO/_I=:Y°3/F�UGO]=[EGH�l"Ü$_GH<E 1h9�9�F4R O/_GHÂ3BH�r�Î�aI9JUGH=JE,OBH<3ZY�H�@>O�=JF�ENY 143/H RtF�UGENr�kGÊqHV3/H<O/UG3BE7O/_GHVO/F�OZ1h9ÞEIUGPgaNH<3�FSR =JEIO/H<3ZY�H�@>O�=JF�ENY�l

��������������� ��������������������������� ���������� �!���"� #�������$�����!%��%'&��������(&)�!�����+*

, - &'������� ���� �������������������.�"�0/��0������������'�$� �!����� & -�����"�$������1�����2�435*

�"���!%)���7698 ���)8�%��:����;��)�:���������%)�"�<�=�:���5�>�!������#2* - &?��@�)��$%����)A:�B���!%0�"�+�C& -- &'������"��� �'$D��E���!%0�����!�!��F';����G��%��0D'8:�:����?& -

��� - &.;����G��%��0D?�!��/����?���?$D��'������H2�0��'������ & -, ������%��:�����!%)���@�I�"����%)���+�J������#@* - &E���<�)��$%��:�)A:�'����%)�"� & -������%��:�����!%)���@�I�"����%)���+�>�:���"� #2*H2%�K��������������<�=�:����#@* - &L8�� ?����� �1������H@�)��:�E���M8:�!%���� & -H2%�K��������������<�4�!���"� #2*

����%������������:���������N�4�����!%0�"�O�J�������P�:���"� #2* - &B;����!�1��� ����:������"������� & -����%������������:���0D:�$����I�"����%)���+�J�����5�P�!������#2*����%������������:���0D:�$����I�"����%)���+�>�:���"�O�Q������#2*

;"�0F�����"���!%)�5�=�:����#@* - &.;��)F����!���������M%)�:�.D"%���/��L����H��"���R�$;�����%)�"�M& -;"�0F�����"���!%)�5�4�!���"� #2*;����S�0�.6�T<�C3'6EU5*C3WV.�����!%0�"�O*X��Y�Y5�Z3EY�6�U�#H+���\[]�0^E6.H+���\[I3�^_*

�"���!%)���76 �I�"����%)���7Y�T$#'`�`:T<*H+���_[a������%)�"��^E6'b�c�c�d�e�f�g�h_* - &'����?�!%���.HO����8!�����E���1�D"�.���)��D� & -

ij D<���!�G�4�"���!%0�"�'`kT$#@* - & j �E%����9������� j D"�0�?�����'����%)�?���lH2% ���"� & -����$�����\����$:%��:#2* - &.�:������$�M����H��"���E�$;���� �������������������L; �����:� & -

i

Ñ2=JÁ�UG3/H p �(T�F�PQMGUGO]=[EGÁÅ3/H�r�Î�aI9JUGHgY�H<Á�PQH<EIOq=JE,OBH<3ZY�H�@>O�=JF�ENY

ÜßHû@>3BH�14O/H7ú�aI5DOB_GHQ3/F�UGO�=JEGH 8����08"%���� ;"�0���� ���!%0�"�<�)# ��1

S

SS

S

4

2

3

1

0 1 2 3 4

Ñ2=JÁ�UG3/H"�6�8Ï�ENY�H<3/O�=JEGÁÈ9JF�EGÁÂY�H<Á�PÈH<E,OZY=JE,O/FÅY�9:14aNY

9i=:Y�O�F4R%Y�9^1Sa�a�F�UGENrG143�=JH�Y°Y�F7O/_N14O H�1�@B_�Y�9:14a`@>FE,OZ1h=[ENY FEGHûY]H<Á�øPQH<EIO�H<ENrIMNFS=[EIOV1�Y�rIH�Y/@>3�=Ja�H�rÅ=JE�Y�H�@>O]=[FE c l m _I=:Y�3/F�UGO�=JEGHb1h9^Y]FY�O/F3/H�Y8Êq=JO/_ÈH�1�@/_ÅMNFS=[EIOPaQO/_GH²=[ENrIH>Ú7O/F°O/_GH�Y�9:14a7@>F�EIOZ1+=JEI=JEGÁ a2lÐ�FhÊ°k�Ê%HQ@>F�UGEIOVO/_GHQEIUGPgaNH<3°F4R�=JEIO/H<3ZY�H�@>O�=JF�ENYÆR¢FUGENr´14O H�1�@/_9JH<X�H>9G=JEgO/_GH�Y�H<Á�PQH<EIO OB3/H<H�14ENr°3/H<O/UG3/E°O/_GH�Y�UGP�F4RNO/_GH�Y�HqO/FOZ1+9:Y<l

Ñ F�3�H�1@/_È9JH<X�H>9�=[E7OB_GHÆY�H<ÁPQH<E,O(O/3/H<H�kIÊqH�PgUNY�O%1Y/Y�=JÁ�EÅH�1�@/_9JF�EGÁ�Y]H<Á�PQH<EIO�O/F"O/_GHQMG3/F�M�H<3bY�9:14aNY�l m F�rIF"O/_I=:Y°O/_GHQ3/F�UGO]=[EGHH2%�K�� ���������<�)# O/3Z1+X�H<3ZY�H�YÃO/_GH�9�=:Y�O�F4R Y�H<Á�PQH<EIOZYq14ENrÈH<ENrIMNF4=JEIOZY14ENr°=JENY�H<3BOZY8O/_GH²9[FEGÁûY]H<Á�PQH<EIOZY2=JE,O/F°O/_GH�Y�9:14aNY�=JE�Y�F3/O/H�rgF�3>rIH<3Rt3/F�P _I=JÁ�_GH�Y]ObOBFD9JF4ÊqH�Y�O�l7Ü$_GH<EÉ1DY�H<ÁPQH<E,O+k��qk2=^Y°H<EN@>F�UGEIO/H<3/H�r�kÃÊ%HÈH>Ú 14Pû=[EGH7OB_GHQ9JH>RtOû1SENr´3�=JÁ�_IObY�9^1Sa=JENr=:@>H�Y<k@m 1SENr1cIkG1+9J3/H�1�rI57Y�O/F�3/H�rÅʲ=[OB_7H�1�@/_"H<ENrIMNF4=JEIO�FSR �ql ÏÙR5m81SENrCcb1S3/H�1�rB�/1�@>H<E,O�Y�9:14aNY�kNF�3qO/_GH�YB14PQH

Page 8: pl b2 - Swarthmore Collegeadanner/cs97/s08/pdf/palazzi93counting.pdfb & ! !" #$&%(' } { ) +*-,. ' H

Y�9:14a|kIO/_GH<E]�"=:YqEGF�O%Y]O/F�3/H�rû9JF�EGÁQ14E,5IÊ�_GH<3/H°ú�Y�H<HVY�H<Á�PÈH<E,O�� � =JE � Á�UG3BH � �>l ÏÙRNmÞ=^Yq14EÅH<X�H<E7Y�9:14a|kGO/_GH<E��"=^YY�O/F3/H�rÈ9JF�EGÁQ=JEËY�9:14aCm þ n ú�Y�H<H�Y�H<Á�PQH<EIOZY�� ý 14ENr]��� =JE � Á�UG3/H � �Zl�ÏtR c =:Y�14E"FÛrGr7Y�9^1Sa|kNO/_GH<E �´=:Y�Y�OBF�3/H�r9JF�EGÁÅ=JE´Y�9:14a�c�F n ú�Y]H<HûY]H<Á�PQH<EIOE� � 14ENr ���V=JE � ÁUG3/H � �Zl�Ü$_GH<E´14EËH<ENrIMNFS=[EIO�kga|kG=:Y H<EN@>F�UGEIO/H<3/H�r�k2O/_GHEIUGPba�H<3VF4R89JF�EGÁDY�H<Á�PÈH<E,OZY 1+9J3/H�1�rI5à=JE´O/_GHbY�9^1SaD=:Y 3/H�@>F�3ZrIH�r"Êq=JO/_CaË1�Y�OB_GHû@>FUGE,O F4R�9JF�EGÁDY]H<Á�PQH<EIOZYVú�F4RF�MGM�F,Y�=JO/Hb@>FS9[F3��%14a�FhXH$a|l

Ð�H>ÚGO�k�ÊqH � ENr O/_GH8=JEIO/H<3ZY�H�@>O�=JF�ENY2aNH<O�ÊqH<H<EV9JF�EGÁ 3/H�r°Y�H<Á�PQH<EIOZY|14ENrÆ9JF�EGÁ�aI9JUGHqY�H<Á�PQH<EIOZYÃú�a,5 O/_GH83/FUGO�=JEGH����%�� ����� � ����� ���)# �Zl�ÑGF�38H�1@/_g9JF�EGÁ°3/H�rgY�H<Á�PQH<EIO�kÊ%H�@>F�UGEIO�OB_GH%EIUGPgaNH<3(F4RN9JF�EGÁ°aI9[UGHVY�H<Á�PÈH<E,OZY81SaNF4X�HH�1�@B_`FSR%=JOZY°H<ENrIM�F4=JE,OZY�l m F´rIFËO/_I=:Y<k8ÊqHDígå�ätìågO/_GHQ9JF�EGÁË3/H�r*9i=:Y�OQÊq=JO/_�O/_GHÈ9[FEGÁ�aI9JUGHÅ9i=:Y�OÂ1+9JF�EGÁËa�F�O/_aNFUGENrG143�=JH�YqF4R|H�1�@B_ÂY�9:14aÅa,5Q@>F�PÈMN143�=JEGÁ � ø�@>FIF�3Zr=JEN14O/H�Y�l�ÑGF�38H�1@/_7Y�9:14a|kGY�OZ143BO�=JEGÁVÊq=JO/_ÂOB_GH�9JH>RtO�aNFUGENrG143/5F4R|O/_GH�Y�9^1Sa|k,ÊqHVY�O/H<MQOB_G3/F�UGÁ�_QH�1@/_g9JF�EGÁ°9i=:Y�O(R¢3BF�P�O/FMQO/F�a�F�O/O/FPDl|Ü$_GH<E71VaI9JUGH�Y�H<Á�PQH<EIO8=:Yq@>3/F,YBY�H�r�k�ÊqH=JEN@>3/H<PQH<EIO�1g@>F�UGEIO/H<3�aI5QF�EGH�l8Ü$_GH<E71°3/H�rÂY]H<Á�PQH<EIO�=:Y(3/H�1�@B_GH�r�kGÊqH�Y�OBF�3/H O/_GHÆ@>UG3B3/H<E,O�@>F�UGEIO/H<3qÊq=JO/_ÅO/_GH9JH>R¢O 3/H�rÅH<ENrIM�F4=JE,O�1�Y%=[O>Y_�,èBó�t�å�@>FUGE,O�l²ú�Ð�FO/HVO/_N14OqÊqH�rIFÂEGFO�1�@>O/UN1+9i9J5D@>3/H�14OBH�1 � EN1+9 PQH<3BÁ�H�rÅ9i=:Y�OVY�=JEN@>HÊqH�Y�H<O8O/_GHq3/H�rgH<ENrIM�F4=JE,Oq@>F�UGE,O>Yqæ�ê,ä>ðôî,ìqO/_GH�PQH<3/Á4=JEGÁVMG3/FG@>H�Y/Y<l��gC4=JPg=i9:143�9J5�kGÊqH�M�H<3�RtF�3/P�O/_GH�PÈH<3/Á�HqF�EgO/_GH3�=JÁ�_IOÆY�9^1Sa�a�F�UGENrG143/5�l m _GH<EËa,5DY]UGaGO/3Z1�@>O�=JEGÁÅO/_GHV9JH>RtO�14ENr73]=[Á_,OV@>F�UGEIOZYqRtF�3 H�1�@B_79JF�EGÁÅ3/H�rËY�H<Á�PQH<EIO�kGÊqHF�aGOZ1h=[EÅO/_GH E,UGPga�H<3%FSRÞaI9JUGH�Y�H<ÁPQH<E,O>Y�OB_N14O%@>3/FIY/Yqút=JEIO/H<3ZY�H�@>O ��OB_GHq9JF�EGÁg3/H�rÂY]H<Á�PQH<EIO�l8ÑGF�3qH>ÚN14PQMI9JH�kIaN1�@/A=JE � Á�UG3/H n O/_GH�EIUGPgaNH<3�FSRw9JF�EGÁÈaI9[UGH�Y]H<Á�PQH<EIOZYq14aNF4X�H�OB_GH�9JH>RtO�H<ENrIMNF4=JEIO�k�a:m�kF4R O/_GH�9JF�EGÁg3/H�r7Y�H<Á�PÈH<E,OÃ=^Y�Gk�14ENr"O/_GHgE,UGPga�H<3 R¢F�3 O/_GHg3�=JÁ�_IO�H<ENrIM�F4=JE,O+k�a�cIk =^Y d l�C�F7OB_GHbEIUGPgaNH<3VF4R8=JEIO/H<3ZY�H�@>O]=[FENYV1+9JF�EGÁ7O/_GH°9JF�EGÁ3/H�r"Y�H<Á�PQH<EIO�=:Y c lqÜ´Hg1�rGr7O/_GHg14aNY�F49JUGO/H°Xh1+9JUGHgF4R8O/_GHbr=��|H<3/H<EN@>HQa�H<O�Ê%H<H<E"O/_GHV9JH>RtOÆ1SENr73�=JÁ�_IO�H<ENrIM�F4=JE,O@>F�UGEIOZYqO/FgO/_GH°O/F�OZ1h9N=JE,OBH<3ZY�H�@>O�=JF�EË@>F�UGE,O+l

Ñ2=JEN1+9i9J5�kGÊqH�@>F�UGEIO�OB_GH�=JEIO/H<3ZY�H�@>O�=JF�ENY(a�H<O�ÊqH<H<EÈ9JF�EGÁgaI9[UGH�Y]H<Á�PQH<EIOZY�14ENrÈY�_GF�3/O(3/H�rÂY]H<Á�PQH<EIOZY<k�3BH<PQH<PQøaNH<3]=[EGÁ�O/_N14OgÊqH7_N1+X�HD1+9J3/H�1�rI5ÉY�O/F3/H�r�O/_GH7EIUGPba�H<3QF4R 9JF�EGÁ´aI9JUGH�Y�H<ÁPQH<E,O>YQ14aNF4X�HÅH�1�@B_ 3/H�r�H<ENrIM�F4=JE,OÊq=JO/_7H�1�@B_ÅF�3�=JÁ4=JEN1+9 3/H�rÅH<ENrIM�F4=JE,O út=JE7O/_GHV3/F�UGO�=JEGH H2%�K�� �������:�@�)# �Zl�Ü´H O/3Z1+X�H<3>Y�H�OB_GHbó�ä>ðiì�ðôî���é9i=:Y�O�FSR 3/H�rY�H<Á�PÈH<E,OZYÃ=JEDY�F�3BO/H�rQF3ZrIH<3�l�Ñ F�3qH�1�@/_Å3/H�r7Y�H<ÁPQH<E,OqÊqH A,EGF4Ê$O/_GHVY�9:14aNY�@>F�EIOZ1+=JEI=JEGÁÂH�1@/_ÅH<ENrIMNF4=JEIO�FSR O/_GHY�H<Á�PÈH<E,O�lqÏÙR�aNF�OB_�H<ENrIM�F4=JE,O>YV143/HV=JENY�=:rIHQOB_GHbY/14PÈH�Y�9:14a|k�ÊqHbY�=JPQMI9J5�1rGr7O/_GHg14aNY�F49JUGO/HQr=��|H<3/H<EN@>HgF4R�O/_GH@>F�UGEIOZY�RtF�3VH�1�@B_�H<ENrIM�F4=JE,OgO/FÅO/_GHQOBF�OZ1+9 EIUGPgaNH<3°F4R�=JEIO/H<3ZY�H�@>O�=JF�ENY�lgÏtR�O/_GHQY�9:14aNY�1S3/HQr=��|H<3/H<EIO�k�ÊqHQPgUNY�O@>F�UGEIO8O/_GH�EIUGPgaNH<3�FSRN9JF�EGÁ�aI9JUGHVY�H<Á�PQH<EIOZY(14aNF4X�HqH�1�@B_QMNFS=[EIO�FEbOB_GH�Y�9:14aQa�F�UGENrG143�=JH�Y<lqC�O>143/O�=JEGÁ�ʲ=[OB_QO/_GH� 3ZY�O�Y�_GF3/Oq3/H�rÂY]H<Á�PQH<EIO�kIÊ%HV@B9i=JMDO/_GH�Y�H<ÁPQH<E,OqO/FgO/_GHVY�9:14a7a�F�UGENrG143/5�l8ÌVYqa�H>R¢F�3BH�k,ÊqH UNY�HVO/_GH � øtXh1+9JUGHVF4RO/_I=:Y�=JEIO/H<3ZY�H�@>O]=[FEÂM�F4=JE,O(O/F � ENrQOB_GH%EIUGPgaNH<3(F4R�9[FEGÁ�aI9JUGHÆY]H<Á�PQH<EIOZY814aNF4X�H(=JO�FEQO/_GH�Y�9:14aÈaNF�UGENrG143B5�l m _GH14aNY�FS9[UGOBH�r=��|H<3/H<EN@>HVa�H<O�Ê%H<H<E7OB_I=^Y�@>F�UGE,O�14ENrÅOB_GH�@>F�UGE,O�Y�OBF�3/H�rÈÊq=JO/_7O/_GHVY�OZ143/O]=[EGÁgH<ENrIM�F4=JE,O�=:Y�1�rGrIH�rÅO/FO/_GHVO/FOZ1+9|E,UGPga�H<3�F4R�=[EIO/H<3ZY]H�@>O�=JF�ENY<l(Ü´H�rIFQO/_GHgY/14PQH�R¢F3�O/_GH�Y�H�@>F�ENr"Y�_GF�3/O Y�H<Á�PQH<EIO�l

ÜßHVUNY�HVO/_GH�Y/14PÈHVMG3/FÛ@>H�rIUG3BH�O/F � ENrÅOB_GH =[EIO/H<3ZY]H�@>O�=JF�ENY�a�H<O�Ê%H<H<Eà9JF�EGÁQaI9JUGHbY�H<ÁPQH<E,O>Y�14ENr7Y�_GF�3BO�3/H�rY�H<Á�PÈH<E,OZY�l7Ò�EN@>HÅO/_I=:YV=:Y°@>F�PQMI9JH<O/H�rßRtF�3�1+9i9²Y�9:14aNY�k ÊqHQMG3BFÛ@>H<H�rßO/F7O/_GHÅEGH>ÚÛO 9JH<X�H>9�=JE�O/_GHÂY�H<Á�PÈH<E,O°O/3/H<HaI5ÂO/_G3BFhʲ=[EGÁÈF�UGO�H<XH<3/5ÂFO/_GH<3�Y�9:14a"aNF�UGENrG143B5D14ENr7PQH<3BÁ4=JEGÁQMN1+=J3ZY�F4RÃ1rB�]1�@>H<EIO�Y�9:14aNY�l m _GH<E|k�ÊqHVUGMwrG14OBHO/_GHgY�9:14a"=[ENr=:@>H�YgY�O/F3/H�rÅÊq=JO/_ËH�1�@B_DH<ENrIMNFS=[EIOQú�a,57O/_GH°3/F�UGO�=JEGH ;"�0F ��"���!%)�5�)# �>lqÜ _GH<EË1+9i9 9JH<X�H>9:Y F4R�O/_GHY�H<Á�PÈH<E,O�OB3/H<HV_N1+X�HVaNH<H<E"MG3/FÛ@>H�YBY�H�r�kGÊqHV3/H<O/UG3/E"O/_GHVO/F�O>1+9wEIUGPgaNH<3 F4R =JEIO/H<3ZY�H�@>O]=[FENYqRtF�UGENr�l� o�� �# j�� �+l�%��El��.j��C�FÈRÙ143+kNÊqH�_N1+X�Hg1�Y/Y�UGPÈH�r7O/_N14OVrIH<Á�H<EGH<3Z1SO/HQ@<1�Y�H�Y rIFÂEGF�O FG@<@>UG3�Ø�O/_N14O EGFÂ3BH�r7F�3 aI9JUGHQH<ENrIMNF4=JEIO 9i=[H�Y F�E14E�F�MGMNFIY�=JO/H>9J5 @>F49JF�3BH�rÉY�H<Á�PQH<EIO�k�O/_N14O°EGF�3BH�r�Î�aI9JUGHÅ=[EIO/H<3ZY]H�@>O�=JF�EÉMNF4=JEIOg9i=JH�YgF�EÉ1�Y�9^1Sa`a�F�UGENrG143/5�kq14ENrO/_N14O EGFÅ3/H�rË14ENr7aI9JUGHÂY�H<ÁPQH<E,O H<ENrIMNFS=[EIOZYÆ9�=JHgF�EËO/_GHgY/14PQHgX�H<3/O]=^@<1h9|9i=[EGH�l°Ï�EËMG3Z1@>O�=:@>H�k|Y�UN@/_´Y�=JO/UN1SO�=JF�ENYrIFÂ143]=^Y]Hb14ENrÅÊqHVPgUNY�O�H<ENY�UG3BHVO/_N14O�O/_GH<57143/HV_N1SENr9[H�r"MG3/FMNH<3�9J5�l

Ö

Page 9: pl b2 - Swarthmore Collegeadanner/cs97/s08/pdf/palazzi93counting.pdfb & ! !" #$&%(' } { ) +*-,. ' H

Ü$_GH<E´1Å3/H�r´1SENrËaI9JUGHÂY�H<Á�PQH<EIO =JE,OBH<3ZY�H�@>Ob1SOVO/_GHgaNF�UGENrG143B5*r=JX=:r=[EGÁßO�ÊqF7Y�9:14aNY<k

1s s

2

Ñ2=JÁ�UG3BH e �Ï�E,OBH<3ZY�H�@>O�=JF�E"F�Ea�F�UGENrG143/5

X � 14ENr X ý út9JH>RtOb14ENr"3�=JÁ�_IO�3BH�Y�MNH�@>O�=JX�H>9J5&�Zk81�Y�=JE � ÁUG3/H e lgÜ´HQÊ�14EIO�OB_GHg=JE,O/H<3>Y�H�@>O�=JF�EMNFS=[EIOVO/FÅaNHQrIH<O/H�@>O/H�rà=JEËF�EI9J5DF�EGHQY�9:14a|k�H>=JO/_GH<3 X � F�3 X ý l�\(5DFUG3ÆrIH � EI=JO�=JF�E�F4R%Y�9:14aNY=JEDY�H�@>O�=JF�E c kF�EI9J5ÂOB_GH�9JH>RtO�Y�9:14aÅaNF�UGENrG143]=[H�Y 143/HVY�O/F3/H�rgÊq=JO/_7H�1�@B_7Y�9:14a|kIEGF�OqO/_GH�3]=[Á_,OaNFUGENrG143�=JH�Y<l m _I=:YgPQH�14ENY°O/_N1SObOB_GHQ=JEIO/H<3ZY�H�@>O�=JF�E Y]_GF�UI9:rÉaNHDrIH<OBH�@>O/H�rß=JE X ý k8EGF�O°=JEX � làÜ _GH<E�ÊqHQPQH<3/ÁHÂO/_GH � øtXh1+9JUGH�Y°F�EÉY�9:14a`a�F�UGENrG143�=JH�Y°RtF�3 � ENr=[EGÁßO/_GHÂEIUGPgaNH<3°F4R9JF�EGÁDY�H<Á�PÈH<E,OZYV1SaNF4X�HQ1ÅMNF4=JEIO�k�=iR�Ê%HQrIH<O/H�@>OVH�ÄUN1+9 � Xh1+9JUGH�YVOB_GH<E´ÊqHû@<1SE*@>FUGE,OVO/_GH=JE,OBH<3ZY�H�@>O�=JF�E"MNF4=JEIO�F�EI9J5Å=iR8Ê%H�1S3/HVF�E7O/_GHQéiå�U<ï Y�9^1SaDaNFUGENrG143/5�l

ÜßHÂ@<14EÉrIH<O/H�@>OgO/_GHÂ3BH<PÂ1+=JEI=JEGÁ`rIH<Á�H<EGH<3Z1�@B=JH�YQ1SENrË_N14ENr9JH7PQF,Y�O°F4R�O/_GH<P rIUG3�=JEGÁO/_GHVMG3/H�Y]F�3/O�=JEGÁQMG_N1�Y]H�F4R8O/_GH�1+9JÁ�F�3]=[OB_GPDl

Ü$_GH<EË3/H�r´1SENrËaI9JUGHÂH<ENrIM�F4=JE,OZYÆ9i=[HÅF�E´OB_GHûYB14PQHgX�H<3/O�=:@<1+989i=JEGH�k8O/_GH<EßÊ%HQ@>F�EN@>H<MGOBUN1+9i9[5ßMNH<3/O/UG3Ba´O/_GHaI9JUGH�H<ENrIM�F4=JE,O>Y�OBFVO/_GH�3�=JÁ�_IO8F4R|O/_GH(9i=[EGH�l(ÏtR|H<ENrIM�F4=JE,OZYq@>F4=JEN@B=:rIH�rÅF�38H<ENrIM�F4=JE,OZYÃ9:1+5gF�EQX�H<3/O]=^@<1h9wY�H<Á�PQH<EIOZY<kO/_GH<EQOB_I=^Y(M�H<3/O/UG3/aN14O]=[FE�@<14EÅ@/_N14EGÁH�O/_GHq=JEIO/H<3ZY�H�@>O�=JF�E7@>F�UGEIO�l m _GHV@>F�UGE,OqY�_GF�UI9:rÈaNH 3/H<MN1+=J3/H�r�kGrIH<MNH<ENr=JEGÁF�E7O/_GHVM�F49i=:@>5DF4R8_GF4Ê O/FQ@>F�UGEIO�H<ENrIMNF4=JEIO =JE,O/H<3>Y�H�@>O�=JF�ENY<l

ÏÙR�1ÅaI9[UGHÅH<ENrIMNFS=[EIO�k � � k�9i=JH�YbY]F�PQH<Ê�_GH<3/HÈF�E`1Å3/H�r´Y]H<Á�PQH<EIO�k c X k2O/_GH<E´ÊqHgPgUNY�O�rIH�@B=:rIH7Ê�_GH<O/_GH<3 � �=:Y�14a�F4X�H�F�3Va�H>9JFhÊ c X l�ÏÙR%O/_GHQY�H�@>F�ENr*aI9[UGHÈH<ENrIMNF4=JEIO�k � ý k�=:Y EGF�OVF�EËO/_GH°9i=JEGHÂOB_G3/F�UGÁ�_ c X k�O/_GH<EËÊqHQ@<14EPÂ14AH�F�EGH�H<ENrIM�F4=JE,O�14a�FhXH c X 14ENrÈF�EGH�a�H>9JFhÊ c X kIY�F�OB_GHq=JE,O/H<3>Y�H�@>O�=JF�E7MNFS=[EIO�ʲ=�9i9|aNHVrIH<O/H�@>O/H�rÅrIUG3�=JEGÁgO/_GH=JE,OBH<3ZY�H�@>O�=JF�E´1+9JÁ�F�3]=[OB_GPDl m _N14Oq=:Y<k =iR � ý =:Y 14aNF4X�H c X kGO/_GH<EËÊqH�@/_GFIF,Y�H � � O/FÅaNH�a�H>9JFhÊ c X lqÏtR�� ý =:Y�a�H>9JFhÊc X kGOB_GH<E7Ê%H�@B_GFIF,Y�H � � O/FgaNHg14aNF4X�H c X lÏÙR�O/_GHÅMNF4=JEIO � ý =:YQ1+9:Y�FËF�E c X k�O/_GH<E`OB_GHÂO�ÊqF�Y�H<ÁPQH<E,O>Y�143/H7@>F49i=JEGH�143�lËÏ�EÉO/_I=:Yb@<1Y�H�k8ÊqHQPgUNY�OgO/H�Y�OO/FËY�H<HÅ=iR�O/_GHÅO�ÊqFËY�H<Á�PQH<EIOZY =JEIO/H<3ZY�H�@>OÈF�EI9J5`14OQ14E´H<ENrIM�F4=JE,O�kÃ=JEÉÊ�_I=:@/_ @<1Y�HÂÊqH7143/aI=JO/3Z1S3�=i9[5ßPÂ14A�HÅF�EGHH<ENrIMNFS=[EIO�14a�F4X�H c X 14ENrÈF�EGH�a�H>9JFhÊ c X lÃÏtR O/_GH<3BH�143/HV14EÈ=[E � EI=JO/HVEIUGPgaNH<3qF4R�=JE,OBH<3ZY�H�@>O�=JF�E7M�F4=JE,OZY�k,OB_GH<EÂÊqH3/H<M�F�3/O�O/_I=:Y�O/FgO/_GH�UNY]H<3Vút=JE�1�rGr=JO�=JF�EËO/FgO/_GH � EN1+9|=JEIO/H<3ZY�H�@>O�=JF�EË@>F�UGEIO��Zl m _GH�Y]H�@<1�Y�H�Y 143/HVMG3/F�aI9JH<PÂ1SO�=:@ !ÊqHÂH>=JO/_GH<3g_N1+X�HQOBF�OB3/UNY�O�OB_GH � F,14O�=JEGÁËMNFS=[EIOÂ@>F�PÈMGUGOZ14O�=JF�ENY O/F�@>F�ENY�=^Y]O/H<E,O]9[5 � ENrßO/_N14O�OB_GH�Y�H�Y]H<Á�PQH<EIOZYF4X�H<3�9:14MgÊ�_GH<EGH<X�H<38OB_GH<5b143/H(aNF�OB_ûY]O/F�3/H�r 9JF�EGÁ =JEÂ1 Y�9:14a|k�F�3�ÊqHqEGH<H�rgO/F PÂ143/A�Y�UN@B_QY�H<Á�PQH<EIOZY�O/F�RtF�3Z@>HqO/_I=:Y@>F�ENY�=:Y�OBH<EN@>5�lDÒ�UG3 =JPQMI9JH<PQH<E,O>14O�=JF�EÉrIF,H�Y O/_GHgRtF�3/PQH<3gú�1SENrËO/_GH<3/H>RtF�3/HgFG@<@<1�Y�=JF�EN1+9i9J5 @>FUGE,OZY F4X�H<3]9^1SMGMI=[EGÁY�H<Á�PÈH<E,OZYg1�Y°PgUI9JO�=JMI9JH7=JE,OBH<3ZY�H�@>O�=JF�ENY �>Ø(=[EÉOB_GH À Ï/C´F4X�H<3]9^1+5´MG3BF�aI9JH<P =JOg=:YgPgUN@/_�PQF�3/H714MGMG3/FMG3�=:14O/H7O/FrIF´O/_GHà9:14O/O/H<3�l�Ï�E F�O/_GH<3Èʲ1+5GY<k8F�UG3Å1+9JÁ�F�3�=JO/_GP _N1�Yga�H<H<E PQF�3BH73/F�aGUNY�OQOB_N14E Y�ÊqH<H<M 1+9JÁ�F�3�=JO/_GPÅYÂY�UN@B_1�Y°\�H<EIO�9JH<5Iø�Ò�O/O/PÂ14EGE$Ô n ×�a�H�@<14UNY�H71+9i9%F�OB_GH<3�@>F�PQMGUGOZ14O]=[FE @<14EßaNHÅMNH<3�RtF�3/PQH�r*F�E´F�3�=JÁ4=JEN1+9�rG14OZ1àMNF4=JEIOZY=JENY�O/H�1�ràF4R�rIH<3�=JX�H�r7M�F4=JE,OZY�l� �m�g�4½��t¹��7»��°·&�������g� ��¸|¹���¹�¿�»|¸Ü´HÅ_N1+X�HQ=JPQMI9JH<PQH<EIO/H�r O/_I=:Yb1h9[ÁF�3�=JO/_GPâ=JE 14aNF�UGO � � � 9i=JEGH�YQF4RVT�k�H>ÚN@B9JUNr=[EGÁ�O/_GHÅÏ/Î�Ò 1SENr`rIH<aGUGÁ�ÁS=[EGÁ@>FGrIH�l m F�OZ1+9�H>ÚÛH�@>UGO�=JF�EßO�=JPQH�Y�14ENr"O�=JPQHQ1+RtO/H<3 O/_GH°=JEI=[O]=^1h9%O/F�M�F49JF�Á4=:@<1+9%Y�F3/O�=JEGÁD143/H°3/H<MNF�3BO/H�rà=[EßOZ14aI9JH n lC�5IE,O/_GH<O]=^@VrG1SOZ1�Y�H<O>Y�14ENr À ÏBCûrG14O>1 Rt3/F�P'0w=[OBO�9JH<O/F�E|k�T�F49JF�3Z1rIFNk,14ENrÈO/_GHVW�\�TÉ3/H�Y�H�1S3Z@/_ûR¢F�3BH�Y�O�ÊqH<3/H�UNY]H�rF�ED1ÅC�UGE p Î � �g14ENr"1ÅC4=i9i=^@>FE À 3Z1SMG_I=^@<YÆT�3�=JPÂY�F�E|lq\(5ÂÊ�1+5QF4R�@>F�PQMN1S3�=:Y�F�E|kGO/_GHgr=J3/H�@>O�=JPQMI9JH<PQH<EIOZ14O]=[FEú�@B_GH�@/A=JEGÁD1+9i9�MN1+=J3ZY F4R%Y�H<ÁPQH<E,O>Y �%FE�OB_GHÂT(3�=JPÂY�F�E"OZ14A�H�Y � l��ÅY�H�@>F�ENrGY�RtF�3 p � � Y�H<Á�PQH<EIOZY�F4R�H�1�@B_*@>FS9[F3�k� � lxÖ�ÖgY�H�@>F�ENrGY(RtF�3 p���� � kG14ENrÅF4X�H<3�Ö � Pg=JEIUGO/H�Y²R¢F�3 p � � � � l

Ý

Page 10: pl b2 - Swarthmore Collegeadanner/cs97/s08/pdf/palazzi93counting.pdfb & ! !" #$&%(' } { ) +*-,. ' H

Ð�UGPga�H<3�F4R Ð�FNlGOB_N14O C�UGE p Î � �Èú�Y]H�@<Y � C À Ï�T�3]=[PÅY�F�ELV14OZ1ÈC�H<O�Ð 14PQH C�H<Á�PQH<EIOZY Ï�EIO/H<3ZY�H�@>O O/FOZ1+9 1+RtO/H<3 OBF�OZ1+9 1+RtO/H<3T�F�PÈMI9[H<OBH p � � � p-� � n�e � � ��� � l p,c � l c � � l n�p � l � ÝÀ 3]=^r p � � � � p���� � n�e � � � � ��� �GlvÝ d p l � � n l�� � n l n�c

p � � � � � p-� ��� � n ) e � n/��� �hÝGl p � � c l � � c ÝGlvÖ n n Ý lvÝ �c�� � � � � � c ��� ��� � p � n�� � * ! ! n Ö n lvÖ�Ö n+c�d l��hÝ

��F�3�=J;<F�EIOZ1+9 p � � � � p���� � n � c Ý � �,l n Ý �Gl d � n lvÖÝ n l d4p� C49:14EIO/H�r p � � � � p���� � c Ý � Ö � e n�� l�� � �,l n Ö c lvÖÖ n l��hÝ

p � � � � � p-� ��� � n � c�d �hÖ � nn ÖGl e � �4ÝGlvÝ d d �Gl�� � c4p l d�cp � � � � � p-� ��� � c Ý c4p Ý � � e n Ö n l�� c ÝÝGl�� c eGn l cd d�e lvÝ p

3/F,1rGY>ÎhY�UG3/XH<5 n�n � � p � cd Ý � de ÖGlvÖ � �Gl d�d c l�� � n l�� n3/F,1rGY>Î�X�H<Á4=JOZ1SO�=JF�E n�n � � p � � � e�c c �c n<p l n�c ÖGlvÝ�Ö p l n�d�� c l p�pRtF�3/H�Y�O<Î4@>F�PQMN143/O nn�egd ��Ý � Ö � � d pÂe�d � n+c ÖGlvÖ c Ö � lvÝ � p � l cc c4p l d ÝaI=JF�Á�H<FGÎ4@>F�PQMN143/O cd � e�d � � Ö � � d d � p Ö ! ! Ö n lvÝ d p Ý l�� daI=JF�Á�H<FGÎ�R¢F�3BH�Y�O cd � e�d � � n�n+ebd ��Ý � � �4p � ! ! n�d�e l e�e Ý c l�� dm 14aI9JH n � m F�OZ1h9�14ENr80<1+RtO/H<3/ø�Y]F�3/O�=JEGÁ�2°H>ÚGH�@>UGO�=JF�EËO�=JPQH�Y�FED1 n�eQf H<Á7C�UGE p Î ���Qú�Y�MN143/A c �%14ENr71 e4pÂf H<ÁC À Ï�T�3�=JPÂY�FE

� �»|¸�¾6��½��4¿�»|¸��m _GHQPÅ1+=JE`1�rIXh1SE,OZ1SÁ�HQF4RqO/_I=:Y�1+9JÁ�F�3]=[OB_GP÷=:Y°O/_N14O�17Y�H<Á�PÈH<E,O°O/3/H<HQrG14OZ1"Y�O/3/UN@>O/UG3BH�=:Y EGF�O�3/H�ÄUI=J3/H�r�lÅÜ´HPQH<3/H>9J5`Y]O/F�3/HgF�EGHÈ9JH<X�H>9%F4R�O/_GHÅY�H<Á�PQH<EIO�O/3BH<HÂ1�Y�1�9i=^Y]ObFSR�Y�9^1SaNY<l m _I=:Y�PÈH�14ENYVO/_N1SOVRtH<Ê%H<3°MNF4=JEIO/H<3ZY°143/HEGH<H�rIH�r�k 9[H�YBY�PQH<PÈF�3/5È=^Y²3/H�Ä�UI=J3/H�rË14ENrÅOB_GH�1+9JÁ�F�3�=JO/_GP =:Y�H�1�Y�=JH<3 O/F°=[PÈMI9[H<PÈH<E,O�l

Ì EGF�O/_GH<381�rIX414E,O>14Á�H(=:Y�O/_N14O�O/_GH�Y�F�3/O�=JEGÁ F4RwOB_GH²Y]H<Á�PQH<EIOZY 1SENr�H<ENrIM�F4=JE,O>Y�=:Y8rIF�EGH � 3ZY�O�k+=JENrIH<M�H<ENrIH<E,O�9J5Rt3/F�P�O/_GH°=JEIO/H<3ZY�H�@>O�=JF�E´@<1+9:@>UI9:14O�=JF�EßMG_N1�Y�H�l�Ï�E À Ï/CÅF4X�H<3�9:1+5D14MGMI9i=^@<1SO�=JF�ENY<k�O/_I=:Y PQH�14ENY�O/_N14O rG14OZ1Å@<14EDa�HMG3/H<ø�Y�F3/O/H�r|��UNY�OqF�EN@>HVMG3�=JF�3�O/FÅY�O/F�3Z1SÁ�H�l Ñ UGO/UG3/H�1�@<@>H�Y/Y]H�YqO/FgO/_I=:Y�rG14OZ1°EGH<H�ràEGF�O�Y�F�3BO%14Á,1h=[E|l m _I=:Y�ÊqF�UI9:rY/1+X�HV@>F�ENY�=:rIH<3Z14aI9JHgO�=JPQH°Êq=JO/_79i=JO/O�9JH�F3�EGFÂ1�rGr=JO�=JF�EN1+98PQH<PQF3/5Â@>F,Y�O>Y<l�˾��8¸�»�1����¼� �g�@�N¸2¹��Ü´HVO/_N1SEGA7Ò�O�Rt3�=JH�rËC,@B_,Ê�143/;<AF�MIR�R¢F�3�r=:Y/@>UNY/Y�=[FENY F�EÂ3BH�r�Î�aI9JUGHV=JE,OBH<3ZY�H�@>O�=JF�E"MG3/F�aI9JH<PÂY<kN?SH<3/3/5 f 14H�rIH>9|RtF�3rG14OZ1�R¢3BF�P O/_GHÅW�\�T�3/H�Y�H�143>@/_ßR¢F3/H�Y�O�k�14ENrÉC,@>FO/O�Ì ENrI3/H<Ê�Y RtF�3b@>F�EIX�H<3/O]=[EGÁ"O/_GHÅMG3/F�Á�3Z1SP÷O/FD3/H�1r À Ï/CrG14OZ1 l ÜßH�1+9:Y�FÂOB_N14EGAÂOB_GHV3/H>R¢H<3BH<H�Y(R¢F3�O/_GH>=J3Æ@>FPQPQH<EIOZY<l�]� ���Nº"�N¸�¾6�g���� �� ­��|­��2�/�4���i�/�����,����­�� ­�®(�����g�<����­����i�+�����i������� �:�������B�,�+�����i��� �<�,�V���+���4���i���q���B�����B�����J���i�4���/�����Z�]���i�����>­��������

���! #"%$& ('�)+*-,."�$�,#"0/1,.243�5�)76&��$/§���8%9�:Sª<;+«/¡>=#?�@A8%=.?CB§ � ;(B�;�­ 9 ��­����,�� /�/�i�i�b�<�I�0D�­FE|�4�/�i�����������/�Z­G���7�+�����i�g�<�|�<�i���+���i������:�+�%�i�4���B�����>�����i���7�i�i���V���B�����B�h�����i�7�����°���J�<���+­

H�,#5��I"J .KL,+MN)-O�64PN$!$Q,A'I*R A)+*-,#"SMA,#�T/1,#2U3J5()+*V"�WTXY ('�O�*V"J6&�IZ<§J@(;�¡ � 8�[#?I§ � ;�;�9­ @ ��­8���,�� /�/�i�i��§\D�­]E|�4�/�i�����������/�Z§^�|­�£q���i�,�<�>§8�<�,�`_7­]a4�,�<���i�Z­b�(�i�������i�����°���:�+�V���J�������+�b�<���J� ���i���g���/���°�/�4�

�����+���i�/���q�<�,�û�,�+���4���>�4�����w���/�����<�i���>­^�w�>������J�/�<�Fc8�/�I�����Ndfe7d��hg%�\aC8%c]8�;�ij8 � [(B�:§Cg(�/���>­G��������­�a����t­i§kdÃ���i¤G­et�i�¢­�dÃ���,���,��§ � ;�;(i�­

n��

Page 11: pl b2 - Swarthmore Collegeadanner/cs97/s08/pdf/palazzi93counting.pdfb & ! !" #$&%(' } { ) +*-,. ' H

? ��­|���I�< /�/�i�i���<�I� �|­ � ­�£q���i�,���Z­�����+�����i���I�<�8�/�<���/���4�i���I¡Te/­������<���g�������,�]����������7���Z�������Jµ+����­0P^K W.,.�I*�)ROC2T*-'� <§� ¡ � @(@A8 � =�9§ � ;(:�=­

[ ��­I���,�< B�/�i�������,� �|­ � ­I£q���i�,���Z­��������������+�,�<�N�B�<���B���4�i���I¡Fe7e/­��(�����i�J�/�<���i�����>­LP^K W.,.�I*�)ROC2T*-'� <§ � ¡ � =(@A8 � ; � § � ;(:�=�­ = ® ­�g(�/¤4���i�i�/���%�<�I� � ­��,�������t­Sa��B�<�J�<���i�����i�������i�����°���:���(���J��������g�<���[�²���i�������/�+���/�4���i�4���B�����>�����i���7���������B�����+�

���h�������������<�i���Z���V���i���J���+�V�������/���>­�et� P^K W.,.�I*�)ROC2�$ #"����N j) ���)+�I5�'�)+5��!6�$��4P�� ��� ������§<�4���V�I�/��B�i�;Ã�i� � �Z���������8�+���/�(���g�����°�������B�4a����i�/�,���+§��,�����/�^9�B�Bj8%9(:�:�­(a4�����i���+�/�����|�/���J�<�,§ � ;�;(@�­

B D�­�E2�4�/�i�������������B���<�,�T_7­�D�­�®(¤��/���b�<���Z­�� ���������Z�°�4�4�,�<�°�[�Þ�����i�����i�����������4�>�����°�,�+���<��������>�<�������i���������+���i�/���>­H�,#5��I"J .KL,+MUP^K>W�,#�I*�)ROC2�$/§C=¡>[ � [j8%[.?C9�§ � ;�:([�­

: E�a�cfew�ß���i�����w���,�B� a4�B���i�/�Z­�E��4¤4�i��������/�4������a4�4�����B����c8�/���Z�<����� et�������i��������§�et�,�<­ P�� /������ �! �"�# �$� � ,%�� #ZT #"��� ,#2 ,#�I��,'&|§�_Q�<�>­ � ;�;�9­

; ���>�4�/�����w£q�B���b�����J���\�|����i�/���i�N§�?�ª � «/§ � ;�;(9�­�£^e7a g(�i¤4�����i���N§�E����/�����4§J_g�i���B���<�,� c8�B����������/�>­G®������>¨8��§��8���,�����­�� i g ­�E8­)((�h����N­*� 5�"��� .2 6&"�)7 #K]P^K>W�,#�I*�)ROC2�$/§N¤+���i���°� � �<� � O%6 P^��)�, M /1,#2U3J5()76I�,+1��,�W#�! .2�2T*V"�W<­G�%���S�������-�

�7�/���i�/�4§4���>�����,�û�Z�4�i���i����§ � ;�B(@�­����� D�­�£V­ _Q�<�i�������D���,� � ­Fa4���+�/.�­ c8�/�I�������i���g�i�i�������/���°�/�4�q���4���/�����Z�����i�+���Z­ et� c�­�E|�<�������I�>¨�§N�Z�S�������>§ � O�6!,.�!6�)10

*-'� #K���,#5�"��( A)+*-,#"%$ ,+M /1,.243�5() 6&�2#\�! �3 OC*-'�$ #"�� /�P3�q§G�4���V�,�B�4� ?Cig�i�5�\����® � a�eSa4�/���i�/�Z§��,�<�+�/��@(i�BA8�@�9(=�­a4����������/�6�7�|�B���J�<�I§ � ;�:(:�­

�� 9 ��­���­��Þ���/�,�������������,� _7­�e/­�a4�,�������>­^/1,#2U3J5()7 A)+*-,#"J .K!#f6�,.2 6�)<�&Z98 P^" �I"%)<��,:�.5%'�)+*-,#"�­\a4����i�����B�����|�/���J���,§;�8�B¨< ���>=G§ � ;�:([�­

�� @ _7­Ie/­Aa4�,�������G�<�I� g ­AD8�4�/�4­ñ£²�/���°�/�����[���i�4���/�����Z�]���i�������������B���Z­Aet�?+1��,Q'�6�6��#*V"�WA$ , MF)-O�6!@�A�)-O4�������B��Z#243�,A$I*V5�2,#"C�,.5�"��� j)<*-,."�$ , M /1,#2U3J5()76I�D�k'&*-6&"J'�6/§�,�<�+�/�49�i(:A8%9 � [§ � ;�B�=­

n�n

Page 12: pl b2 - Swarthmore Collegeadanner/cs97/s08/pdf/palazzi93counting.pdfb & ! !" #$&%(' } { ) +*-,. ' H

� ���$��¸�¼(¿ � ����� ¾G»8¼�� �/»|º �]�N¼����C��½���� � �@�N¸2¹Å·h¸2¹ ��º��e�N¾I¹�¿�»2¸�8���i�8���>�����i���Å�����4�����i���8����� �����4�q�:�+�8�����q�b���i�����<��� �������,���������/� �<�,�°�����S�]�Z�4�����/�(�:���8�+���8���Z��<���i�������/���°�/�4�8�i�h���/������>�����i���7�<�i�+�����i�����­qª����������>�4�����B���:�+�%�4�i�����J�>�h§I�4�/�����+���i���I§Û���,�g�������Z�+�4�Z�Å���i�,�����g���>�<�����7�����/�V�g�<���i�����J�����i���V�,�>¤+��I�/�/�Å�����i�����Z� �������>¤������,���]��­u«g�7���i�i���8������4��.,������i�����(�<� ���<���V�������I���������/�����,�g������b�����°���������>�4�����?.I�����>­\�8���/�¨��%�i�i�����]�S�S���ô���8���,����� � �<�I����,�<���N9V�]��������������i�����>­���� ����������� ������� ���� �����! "�$# ����������%'&)(�����*,+-,.��� �/103254�6�6�77��86����9(:2<;��� �*�����=?>5@A# ����������%�6����B�� �C� ��������%D�� ����������� 8; �%�/� ����,������ ���� �����A �����@E>�FGH�;JIK+-3>L;�C�������%� ���M� ����6�%?>N0�O�#;P>8QA++-32SR��A��TB��T�6���=��$�� B;� ����G������ �R��DU� ��B�� �V��%%�����%�6����$/� ����AU��!�6����! ����W�� ��� 6��YX��!;���6���632�FG�O��AOX?Z[��TE�!�Y� ��� �R�6��R���A��� ��YU� ��Y���A%�T���/� �/� ��*?2S\�T� ��� �6��� B� �/� $��6���%� ��� ����<T�6��=��^]_������TB6�$���`����%���T� Y0;��1 �U96$C� `������ ��aU��! ���Y6�,6Y��6�%�VE�A�?>N�R� D��6�/� �$U� ��1 ��� �b�6����!6�V�� 3>c��E�! ����3222�d5��T�6��Y*� ��9��T� �������R�6�����T1 ����YU� ��9�AU,*� ��B/� ����AU*���TE�!�Y� ��� 32e�A�BR�6�Y6�� $R���A��� ��$U� ��9��C� ��?>N� 9�A�9�6�����AU��!�� �</� ������6����A�*a6����9�������������� 32�H� �%� ��� ���6��! �D6��� DT�6������ ��DV�*YC� ��������VE����%fV����� Y� �%�/� ������W�� �R��16����,�� ���T� ����A%�T��?2SG��B6��� �������?>e����b� �6����! ����fR��A��TBU��!� �,���g6Y���AUU� ��� ����� ���� ���/�6�*Y%��Ab� ����AUU� ��� ����Y6�����R� ����WU� ��,�� �%� ��� ���6�� Y���C�����32�h �� �U����� fi�Gj�;0�G��; QAkkkk�Qh �� �U����� fi�Gj�;�lX�; mkkkkmh �� �U����� fi�Gj�;�lX�;�n�mpo�kkkk�oh �� �U����� fi�Gj�;�lX�;�n�-rqkkkkqh �� �U����� fi�G�;�s�t0;��ak�nUUUUUUU� �*�C� ��� �U�U�� 6��B#uu��H?v� ������YU�� 6��Y#uu��H�i�Gj�wxQA -k3v y�z|{�} �~ � ��� � {�� � �������� ��, � � � ����+������� ��� � ��� z!y��G1� �%�/� ����,�!�,6�C�6`�A�B �U,4�u`�AO\���6����1 6��T,4�u`�AO\$� �/� �$R��A��TB��T��� DC� `������ ������������ �% ����:Z���� DC� `������ ���������������%a��T� ��� �C� � �%��!��6�8� ���P]�CT�6� ,Qd�6����1��6�Vg����U� ���/�6����A ��a����������%���T� e������ ���� �����! ��Y� ����������%�]�CT�6� am�dE2�F� ���� $��E�! ����D�� B�6�b� Y���� ���6�%� 32��*�C� ��� �UY�������������� ��� ��� a� y�z|� ,���*����!��� %�$&$ !��[� $ *�������+�������[� ��� � � } !�� z!y����������Y4�u`�AO\Y��TE�!���?> y�z�� � ������* ���"+-,������ *����������� z!y� �U�?> y�z�� ��� �5� � ��� ,�� +/, ���������� ��� { � �"� � ��+�� { ����� � ��� *���� *

���������*��+ � ���`� *�� �� ,� ��,������ ������ z!y����A%�T��?v ���� ��� ��� 3vh �� �U����� ��`��V��`����%Y� �U� y�z9¡!¡�¢W£ %�! } ! .��[� � ��� �������* , � +_¤ ¡�¡�¡Y{ ����� � { �����*

��� ������� ����� � � ���#��� +��¥ � * { * ���� ����� { � ��+� � �������[������¦ �*��,�� *��(� � z!y�*�C� ��� �UY����������Y��6�V� �����*a� y�z|� ,���*��N§�( �¨£c© $ !�� %«ª *�������+�������[� ��� � � } !¬� z!y

�����g������6�V�v y�z �� � � +� ���/���� ����� ��, ��* �� ����� z!y�����16�V� �b� 3v y�z ' ������� �A�3��� ����*�����¥ �����* �����A¦ � ����� �� ����� z!y����������Y4�u`�AO\Y���� �n�?v y�z !���­��������`��*��®� ��� *�� ���¨¯ *°� ����¤ � �$� ��*�� z!y

 ,��6�V� �����*?v�*�C� ��� �UY�����������4�u`�AO\B� y�z±� � } !¬� *�������+������� z!y#uu��HYn?>5*?v y�z '(������� ��� � ���* z!y��E�! ��1���� ��� ��� D�?v y�z²� �!�#� �"� ����+� � ������³� ���� *������#������ ������� z!y��6�V� �����*Y 3v y�z�� §� ������������ *�� ����� ��*�� z!y

 ���v �4�u`�AO\?v

n�c

Page 13: pl b2 - Swarthmore Collegeadanner/cs97/s08/pdf/palazzi93counting.pdfb & ! !" #$&%(' } { ) +*-,. ' H

��l�6��T1� � ��P]��� �����V����� `dNT�6�,6��e6�� �`�!6��� ��a�`�!���B �U9� �%�/� ������)]�C� `�����DC�6`�A����dE>³6��� �C� � �%��!�6��a ���� ��Y �U,� �%�/� ������ � �CC� �`�A�� 8� � ��� ��DC� `�������3> � �`�!���B �U1��6�V�� ]�CT�6� am�d� ���C� `�������Y���9n�� ���� ��^]�CT�6� ,QdE2��*�C� ��� �UY����������Y� y�z � ,���*��W§�� �E£[© *�������+������� z!y�����16�V� �b� �3>N6�V� �b� ��?v y�z�� �A����� ��� * � � ��¦�� � �8����� � � ���"� ��� ,�� z!y4�u`�AO\B� ���%��3>N� ���%�?v y�z�� ������*[� ��������� �L� � ��� ,��[��� ���<� ��*���* z!y

 ,;0�G�?v�*�C� ��� �UY����������Y� y�z +������� �����/��� £ ��� ���� �<� � � � +������� z!y�����Y��v y�z !���¥ ����#�A�( � ������*���� ���(��+� � ��� *����!¥ �����* z!y4�u`�AO\�C i�Gj�;�lX�;An�m��3v y�z �®��¥ �����* *���� ��� � ��* � � } !�� ������* z!y4�u`�AO\B��� �C� ���� �� i�G�j�;�l�X�;An�-��3v y�z|� ����� � §��?� � �������� �#��� *��®� *[� ����,��� �� ������* z!y��E�! ��1�4�u`�AO\B�CC���� i�Gj�;�lX�;�n�m��?v y�z � ��� � �����������* ��� ����� �� ������* *�� ������"���W­ z!y;0�G�9��6�V i�Gj�;0�G���;��3v y�z � §�� �� � � *�������+�������*�� ������� ����*����!¥ �����* z!y

 ���v ,� � ���t���6���6:v� � ���t���6���6W�� ��?>³V����� 3v y�z �#� �/�(*�������+�������*«� � � ���� ����� ������(*��®��¥ �����*�� ¢W£ %�!��

} ! .�� £ �������*�* ���*���* � *�*���¥ � ��,�������� � ��*�� ��� � ��� �������� z!y#uu��H�/E�A�� i�Gj�;0�G��;��?v y�z '(������� ��� *�� � � ������������� ���* z!y����������6�V��3v y�z !���¥ � �� �A��*�� � ��* ��� + ���������� ��*�� z!y�,# �/C�6��� WC� `�������3Z�\����l9�AU�C����?2 ��� 6�=�����%����! ��R��A��T�C� `������ ��$6����� �� � /�6�=� �DV����� DC� `�������D%�� 6��� �����T�6��B�� ���C� `��������R�T� ��B��T� $n1� ��������6��� �D6��� Y �����6�32 �h �� �U����� D4� `�����X\3]�C >��Ed)]]]�C:d�����n���]��Ed�����nEd! � a]]]�C:d�����n�wwP]��Ed�����nEd ��� ]]�C:d"�P]��Eddddh �� �U����� �; �%�/� ����43]Kn?>�� � ��Ed y�z � ����� ���( � �����#��* � *�����¥ ����#�A������¦ ��"+������� z!y

]]]�����`�A%��� ��Ed�]�n#��]_� � ��Ed�����C:dd%$�i�Gj�;�lX�;�n�m�dh �� �U����� Dl�����C� `�����4:]�C��3>N� � ��Ed y�z � ����� ���� ��������#��* ����� �������� �A� { +������� { *���� z!y

]]�C��&�P]_� � ��Ed�����CEd � Qd���� �U����E�A���! ����fU� ��YCT�6� ,Q���� DT�6������`����%��h �� �U����� DHl\�m«]_63>°V�> �3>��Ed y�z §�­�§���� �����¥ ��� � ��� z!y

]]_6�dA«]��Ed'��]_��dA«]�V:ddh �� �U����� DHl\4���«]�C�>��Ed y�z §�­�§ ��������¥ ����������� � � ���������* z!yHl\�m«]]�C:d��(��n?>f]�C:d�����*?>8]��Ed�����n?>D]��Ed�����*Ed

h �� �U����� �##�F3]�C�>��?>5�Ed y�z ' ��������� ��+�����+�¤�(��*��"���*�� z!yHl\�m«]]��Ed��(��n)�P]�C:d�����n?>D]��Ed�����*&��]�C:d�����*?>D]��Ed�����n*��]�C:d�����n?>D]��Ed�����*&��]�C:d�����*Ed

h �� �U����� �;�R�6�C?]�C�>��?>5��/C:d y�z ��� W� ����+ � ��� � ��* ���`�����®¥ �� �/��������¥ z!y�Y��/C9w1«]�C:dEvN«]�C:dDw1«]��EdEvN«]��EdWw9��/C�v� 

h �� �U����� )+ ��� �43]�nEdY]�n,ww1k�d y�z-, ��������*��L� ¥ ������ ��*�� � �* ��������� � ����_� z!y��\�T� ���� Y �U9� �%�/� ������Y������ ���� ���`���%a��T� ���R� �C1�`���� ,�!����T��� 6��� ��8U� ��9 6��*Y�� � ����! ��$6�����C��� ��,� �/C����6����" ���2 \�T���3>NR� $T�6�b� ��� ���6�%�C��� ��� � �� ��$6����,������ �� ��WC� `������ ����)]���T�6���R� ������B ���T� ��R��!� <V� $�E�!��dE2 F� ��� ,� �V�*9� ��������%8��T� ,�6����VE�A�?>56����/E����%���T�6��Y��T� �b�6�`�A�,6����� �� �86��� Y �b� ���2 \�TE�!�$R� ��=��, ��e��%��:>�V� �6���� D��T� �U��! ������6��� $/��������C�� �8 �U,oYV�*�� ��� ���%B6����B6��� ,6�`�A%��� ��a�� $o,V�*�� DV� ������6����! !�3>$V����/�6�*BU�6`�!�� ��e ���T� ��Y�9� �/CE�!� �����/�6��T����� �32 �h �� �U����� D\�6�%3]�nEd y�z � ��� �" �� �������� z!y

]]�4�u`�AO\$�d)]]]�����`�A%��� ��Y�����Ed9]�nEdd� WQddh �� �U����� DO������43]�nEd y�z � ����� ������,�� � �������� ��* �/���!� �� z!y

]]]�����`�A%��� ��������Ed9]�nEdd � Qdh �� �U����� ��� 6���4��3]KnEd y�z %(��¥ �A¦�� �������/��� ���5���� �N¦��"� ��� � �������� z!y

]]�4�u`�AO\$�d)]]]�����`�A%��� ��Y�����Ed9]�nEdd � i�G�;�s�t0;��Edd

n�d

Page 14: pl b2 - Swarthmore Collegeadanner/cs97/s08/pdf/palazzi93counting.pdfb & ! !" #$&%(' } { ) +*-,. ' H

���� �U����E�A���! ����fU� ��YCT�6� �m)������ ���� �����! ��B� ����������%a�h �� �U����� DG�V���H��AUU3]�n >�*Ed y�z £ ��*��A�������5¦��"����� ������� � ������+��� � ����� z!y

]]�nEd"$P]�*Ed���]�*Ed"��]�nEdgZ�]�nEd���]�*Eddh �� �U����� DX� ���;���6���lA���3]�� �%3>L� �%��3>5���?>5 ��:d y�z .#� � *��/����� � ��� � ��� ���* ��� *���� z!y�AU ]�l�����C� `������43] � �%3>N� �%���ddW���Bw�]_ ��Bwg� �%Ed"�)QEv �� Y ��9w ]_���,w9� �%EdxQEv

h �� �U����� �; �%������O��/� ��3]����?>L ���>�R�6���nEd y�z !���¥ ��/����� � ��� *��������������&���������*�� +� ��� � z!yHl\�m«]�R�6��An��,��������n?>³��������*?>�R�6���n&�, �� ����n?>5 �� ����*Ed

h �� �U����� �; �%������H� ��� �/?]����?>L ��:d y�z ������!¥ ��� � ��� � ��� *���� �A���"��� ���������*��+� ����� z!y]_ �� ����n*�,��������nEd

/�6`���?]_6��%��3>�6��!%bEd y�z�� ���� ��� ��� ����� z!y�����96��%��3v��T�6��B6��%b?v

����C����t� �%��E] � � �� >�����U��!� ��� ���dEv y�z .#�� *�����¥ ���� ���� � ��¥ ��� ��� � z!y���C����t� �%��E] � V����� 3>�����U��!� ������� �dEvV� �U� ��� t��R� ! �C?] � �� ��Ed�v y�z � � ��� � ��� ����* ��,�� ��� �"�¬�(����¤ z!yV� �U� ��� t��R� ! �C?] � V����� `dEv�� �C� � �%��!�6!�t�� ��!�3] � �� ��3> � V����� �dEv�� �C� � �%��!�6!�t�� ��!�3] � V����� 3> � �� ��EdEvC��������U3]A@������)@E>W������ ���� �����A ���t� "���3] � �� ��3> � V����� �ddEv

 �8��²�]�S�S�q�:�������,����� � �V����� �������8���/���°�/�4�����+�/�������4�i���V���V�����������I���i���+�[�B�<�I�����S�/�Z­

�����Y4� `������# �/C�6�� «] C�> �Ed y�z�� ������*������ z!y4�u`�AO\B�C�>���?v

� �� �������� ]�4� `�����X\3] C�>��Ed��)QxZ ��QdEv5 �����Y4� `�����4���# �/�C�6A�� «] C�>��Ed y�z�� ������*������ z!y

4�u`�AO\B�C�>���?v� �� �������� ]�4� `�����X\3]_"C�>L��Ed��)QxZ%��QdEv5 b� `�A��V� �U� ��� t��R� � �C ]_� �� ���d

� � ���t���6���6D� � ��?v��� �%��!���� ��B�����e�:v�� �%��!���� ��a4�u`�AO\Y�C���?v4�u`�AO\Y��/C�vU� �� ]�C���Yw9� � �������C�v�C��� $,� � �������C�g� � ��������?v[C����w1m�d�AU�]�4� `�����X\3]�C���?>cC��� EQddW;�R�6�C?]�C���?>�C��� EQE>���/C:dEv y�z�� ��¤�� *������ *��/� ���� �� ����+�� ��* ����� �� z!y

��� ���3]_� � A�����"C�>L� � ��������&���9QE>m�`�A7� �U3]�4u`�®O\Ed�>[4� `������# �/C�6�� �d�v y�z ����� *��®��¥ �����* ����*��/� ���L­�+������� z!y� � �������C��! � ����(�����32�n8w9#uu��H�i�Gj?v y�z � � *��#*��®��¥ ����#��* � � +_¤��������* ���#�������� � � z!y� � �������C��! � ����(�����32�*8w9#uu��H�i�Gj?v� � �������C��! � ����(�����Q��?2 n8wgk3v� � �������C��! � ����(�����Q��?2 *8wg#uu��H�i�Gj3vU� �� ]��Aw�k3v��&$,� � ���������gm3v<�� Ed8� � ���������2 CC�� ����8w9� � �������C�)�:v��� ���3]_� � A�����"��2 CC����?>L� � ���������>

�`�A7� �U3]�4�u`��O\a�dE>N4� `�����4���# �/�C�6A�� �d�v y�z �� ��� ������������* ���� ���������* ���D­ z!y 

n<p

Page 15: pl b2 - Swarthmore Collegeadanner/cs97/s08/pdf/palazzi93counting.pdfb & ! !" #$&%(' } { ) +*-,. ' H

4�u`�AO\B`���E�A��t���� � «] � �� ��Ed� � ���t���6���6D� � ��?v

� y�z } � ��� � ��� � � � ������� ������� ��� ������ �A� { +������� { z!y4�u`�AO\B��� ��?v�� ��Ywg� � �������C�9� � ���������v y�z�� *�� *����� ������� � * ����� � ������� z!y�� ���������2��?2K��TE�A���8w,O���003v�� ���������2��?2K� �U��8w9�� ���������2��32����A%�T�8w9\�6�%3]��� ��Ed�v�� ��������?]��� A�EdEv

 b� `�A�9����� ����t� �U��3] C�6�� ����3>��� ��� �d y�z } ��*����� ��������� *[����� � +-,������ �A�# � ��� ��� '(����� ��¥ ��������

��� */��¦ �"*� � +� z!y4�u`�AO\B�C�6��� ����?>���� ��� 3vb� `�A�9����� ����t����A%�T��:]�C�6��� ���?>��� ��� �d y�z } ��*����� ������� � *�� ����,�� +-,������ �A�( � ��� ��� '(����� ��¥ ��������

��� */��¦ �"*� � +� z!y4�u`�AO\B�C�6��� ����?>���� ��� 3v4�u`�AO\B��� � ��� «]��� ��� �d y�z ���_������ �������W� ����¥ ��,�� ��,������ ���� ������ � ��� ����������

������� +�*�*�� ��� '(����� ��¥ ������� � ��� */�"¦�� *� � +� z!y4�u`�AO\B��� ��� 3v���� �C� � �%��!�!6�t�� A��3]�� �%�3>�C������d�\�6�=� �Y� � �����6���6�U� ��16,� ��B �U9� �%�/� �������6�����C� `����������T�6���T�6�b� DC��� �b��! ������*WV� ��9� ���� ��B6����B� �/C���� ��6��� ���6�Y ���� ��Y� ����`�!���� ����8R��A��T16�V� �b� ��� ��32 ��� �Y6B� �U�������A%�T�����R� �CB�� Y� �/C���� �6���� YR�T� � ����� ���� ������6�b� ����6���!�,� ����`�!���� �����R��A��T16�V� �b� ��� ��«2 G�����/� ��� �%�/� ������86�����C� `�������fT�6�b� DV� ��1� ���� ��B6�������T� ,�6���B� �%�/� ����DT�6��ng� ���Y �U1#uu��H�i�Gj?2�b� `�A�Y�� �C� � �%��!�6��t!� ����3]_�� �%��3>cC������d

� � ���t���6���6D� �%��3>³�C�����3v�4�u`�AO\B��%�C���?>L�C���C���?v�� �%��!���� ��a4�u`�AO\Y��%?><�C��?v�� �%��!���� ��a4�u`�AO\Y��� ��?>5������?>N�C��?v�� �%��!���� ��aU�� 6����� ���?v�� ��Yw^���E�A��t���� ! «]_�� �%��`dEv y�z } � ��� ����� ��� *����!¥ ���� � � ����~ ����� � z!y��%Bw9«]_��%�C����w1� �%���������2 CC����Ed�vC��Bw9«]�C���C����wYC������������2 CC����Ed�vR�TE�!� ^]]�C�������n�$B#uu��H�i�GjEd � a]_��%�����n�$9#uu��H�i�Gj�dd��AU�]�4� `�����X\:]_��%3>°C��Edd y�z ­�� � ��������:�(����, ����"����� � ��� ������ � �"� ���* z!y� y�z �� �� �" �� ����� z!y�������wB�� ���������2��?2��� �U!�?vC��,w,�� ��?v y�z ���� ��+/,W� � � *����!¥ ���� �����A¦ � +����� �������� z!yR�TE�!� ]�� O������43]_�������dd�,�� ���Yw9##�F3]_������?>L������ EQE>°C��EdEv�AUP] + ��� �43]��� ����dd y�z|� � ����� ����*���� � ���*��A��¦ � ��* ����� � ��,��� ����� �������� z!y�9�AU�]�l�����C� `�����!43]�C�?>�C������dd<�� ���Yw��##�F3]_������3>L������ EQE>°C�����QdEv �� ��� ����w#�##�F3]_������?>������� EQE>[C�� EQdEv�AU�] + ��� �43]��� !���Ed�d y�z ���!¥ �����* ����� +�A� ����� � ���¥ ��¦�� ������ �������A� z!y�� ���Yw ]]�C��&�,��%Ed�� ��QE2�kPZDQE2�k�dEv

 �AUP]��� ���&�,k�d�������Yw1�������������2��?2��� �U��?v y�z } �� �������� � ���A¦�� +����� *��®�� ����*�� z!y �� Y�$C��Bw9������?v5������Yw9�������������2��32����®%�T��3vL 

 

n �

Page 16: pl b2 - Swarthmore Collegeadanner/cs97/s08/pdf/palazzi93counting.pdfb & ! !" #$&%(' } { ) +*-,. ' H

C���������2��?2��`��V��`����%8w�C���������2��?2���T��!���3v y�z±} ��*����� ����� �����*�� z!yC���������2��?2���T��!���8w,O���003vC���������2��?2���T��!���8w�C��?vC��,w9«] �C���C���Ed�v

  �� Y�F� $T�6�b� ���T� Y����6���B ��9 �����C� `�����a �U96B� �%?2<��9�AU�]�l�����C� `�����4«]_�A%?>�� �%���dd y�z �(�� � *��®��¥ ���� ����� � ����� z!y

�9������Yw9��%#�)QEvC��Yw9�� � ��� «]_������dEv y�z ����������<� ���!¥ *��(�� z!y�������������2��32����V�������%�w�C���������2��?2���TE�!���?v y�z±} ��*����� ����� �����*�� z!yC���������2��?2��"TE�"���Dw1������?v��%Ywg«] ���%�C����dEv

  �� y�z �(�� � *�����¥ ���� *��/����� �� ����� z!y�)�AUP]�O������43]��� ���������2��32��� �U��ddf����� ����t� �U!�3]�� A�?>���%EdEv �� �B������Yw,�� ���������2��?2�� �U!�?vR�TE�!� ^]AQd y�z } ��*����� ������� *��(� � �� ����� z!y��� ���Yw9##�F3]_������?>L������ EQE>N��%EdEv�AUP] + ��� �43]��� ���Edd y�z �#� ��,�� *����!¥ �������¥ ��¤�� + � ��* ��*������� z!y�� ����w1##�F3]_������?>������� EQE>8]_��%Ed EQdEv

�AUP]��� ���&�,k�d y�z !���� *���� � ���A¦�� +����� *��®� z!y�AU�]�� O������43]������!�����"��2 �?2��� �U��Edd ������Yw9�������������2��?2K� �U��?v �� y�z � ���+����¦�� ��� ������� ,����� z!y�e����� ����t� �U!�3]_�"���!�?>���%EdEv�V��� 6�=?v5 

�� y�z�� � ����� �������A� +����� *���� z!y�AU�]�� O������43]������!�����"��2 �?2��`�A%�T��Ed!dW������Yw9�������������2�� 2�����%�T�?v �� ��9����� ����t����A%�T��:]_�����3>³��%EdEv³V��� 6�=?v³ 

  

��%Ywg«] ���%�C����dEv 

  

��%�C���Yw1� �%��������� �C� ���� ��?v y�z ��/� +_¤����*�* ������ ���/��¦ ���*/���(��� ��­����/��+� ��,�� ��� ��A��������+��"�� ������N� ���!¥ ��,����������� z!y������Yw9�� ��?v

�������������2��?2 ���A%�T��8w,�� ��?v�� � y�z|} �¦�� � � �������#* ���� ���`�"��� +��������* ! ���«� ,������� z!y�AU�]]�C��Yw9�������������2�� 2���T��!�A�Ed�wwBO���00�d������Yw9�������������2��?2 ���A%�T�� v y�z²� �����(�������!�[� � ��� *���+ +�*�*�� � �����"� ���� ���� z!y

�� � y�z !�� � �N�����"� �#���/��¦ � ��*�� � � ��� +-,������ *����������� z!yC���������2��?2�����%�T��8w9�������������2��32����®%�T��3v y�z ���¦���*���++ �*�*�� � z!y�������wYC��?vR�TE�!� ]]�C��Yw1�������������2��?2��`��V��`�_��%Ed � wBO���00�d��C���������2��?2��`�A%AT��Dw1������?v5�������wYC��?v<  y�z�� ��¤�� ���������5� �#*���++ �*�*�� �_�# ����������� z!y

 «]_��%�C��� �d5wg������?v

 R�TE�!� ^]_������ � wY�� ��EdEv

 

n�e

Page 17: pl b2 - Swarthmore Collegeadanner/cs97/s08/pdf/palazzi93counting.pdfb & ! !" #$&%(' } { ) +*-,. ' H

�8��²�]�S�S�q�:�������,������9������/�������������4�/������V�<�w���������/���°�/�4�����������+���4�8�������i�4���B�����>�����i����Z­� ���%9�����,�� ���6�Dw1k3v y�z . � � ©J£c� � ��++��¥ �� � ��� �����/�"� ������� ��*��+� ��� ��* z!y������C��� �C�6��� t�U��A�����t���6�V��¨]��� ��?>cV����� �d

� � ���t���6���6D��� ��?>5�V����� 3v y�z � ����� *�� ��� � � ����� � � ���* � ���N� ��¦��#����+-, �� ����� ��,��&��������­��� *�� � � +�����/� �������`� ��� z!y�

�� �%��!���� ��a4�u`�AO\Y���C�><�VC�>5���C���?>L�VC���?v�� �%��!���� ��B�����e�:>NV����� ��6�V�v�� �%��!���� ��$#uu��HY�6���?v��C1w9«]���C���Yw,�� ���������2 CC���Ed�v y�z � ��������* ���a­�� + ��� ��� *��������� � ������ z!yVC1w9«]�VC���Yw�V����� �������2 C!C����dEv/E�A����8w1k��,w9�6���Yw��#uu��H�i�G!j?vV����� ��6�V$w,4� `�����X\3]���C?>�VC:dEv y�z } *[~ ��*�� *�� � � ���� � � ������ � z!y�� �)�AU�]�V����� ��6�V � w,4� `�����X\3]K��C�>cVC:dd y�z } * ����­�� �� ����� ��� � ������� +�A��� � � z!y

�AU ]�V����� ��6�V�w � V����� ��6�V:d y�z �(����+-, *�� � � +�A��� � z!y/E�A�� �����w�]_�6��� �VC ����nEd �,m32�k3v y�z�© ������ �� ����� ����­�� z!y

�� D/E�A�� �����w ]_�6����9��C ����nEdW�,m32�k3v y�z %(�� �������� ����­�� z!y�AU�]�V����� ��6�V:d y�z|} �¦�� � � �������#������ *�� � ����� � � �����/.��[� �� � �� �� z!y�B�6����wYVC ����n?v y�z .#�� ���®­�� ������ z!yVC ������2� 32�������6"Vaw^�:vVC9w9«] �VC���EdEv

  �� �B�6����wB��C ����n?v y�z .#� � ���®­�� ���� z!y��C ������2� 32�������6"Vaw^�:v��C9w9«] ��C���EdEv

  

R�TE�!� ^]]���C ����n�$B#uu��H�i�GjEd � a]�VC ����n�$9#uu��H�i�Gj�ddEv�� ��������?]���EQ!dEv y�z %(�������� ����¥ � �� ��� *�� � ��* ��*�� � z!y

 b� `�A�B�� 6���t��6�V��«] �����6�V��«>L� ���%���d

����������6�V��3v� � ���t���6���6D� ���%��3v

� y�z 'J������� *�� � ��* ��� ��� � ������� z!y�� �%��!���� ��$;0�G�,��C���?vU� �� ]_��C����wg� ���%���������2���!6�V�v���C���&$B� ���%���������2����6"V������6�V��3vN��C��� Ed�9��C�������6�V� �b� !�Dw9��C�������6�V� Ab� ��Dw1k3v<��C�������� ��%��Wwg��C�������� "��%�8w,O���003v5 

 b� `�A�YU��An�t��6�V��«] ���!�6�V��3>L� ���%���d

����������6�V��3v� � ���t���6���6D� ���%��3v

� y�z %(�-������� � ��+�������`�<� ��*���* � ��� +�!¥ ������� z!y�� �%��!���� ��$;0�G�,��C���?vU� �� ]_��C����wg� ���%���������2���!6�V�v���C���&$B� ���%���������2����6"V������6�V��3vN��C��� Ed�9��C�������6�V� �b� A��w9��C�������6�V� Ab� �fw1k3v<��C�������� ��%�8wg��C�������� "��%��:vN 

 

n �

Page 18: pl b2 - Swarthmore Collegeadanner/cs97/s08/pdf/palazzi93counting.pdfb & ! !" #$&%(' } { ) +*-,. ' H

b� `�A��/�6�=� t� ���%��¨]_�! �%��`d� � ���t���6���6D� �%��3v y�z8} ��*������* �� ������* ����� *�����* �������#*�� ����* � + +� �������`� ������� ������������+��"� � ������ z!y�

�� �%��!���� ��B�����,����6����t��6�V >N �����t��6�V?v�� �%��!���� ��$;0�G�,��6�V�v�� �%��!���� ��a4�u`�AO\Y�C� `�����?>N �C� `�����?v4�u`�AO\B ���� ��?vU� �� ]_ ���� ���w9� �%��������� �C� A��� ��?vp]]�C� `������w9 ���� ��Ed����An�$,#uu��H�i�GjEd�vN ���� �� Ed�AU�]��K; �%�/� ����4:]�C� ������3>L� �%���dd y�z±} * ��,���* � �������� � z!yC� `������������2� 32K6�V� �b� Ww9� �%���������2����6�V C� `����� �����?2� «2�������6"V�� 2�6�V� �b �3v

�� � y�z } ����¥ ��* � *�����¥ � ��� � � � + � ������� ��� z!y����6����t��6�VYw�C� `������������2K 32��������6�V v �����t��6�Vaw ]_ �C� `������w�C� `����� EQd��(����2� 32��������6"V�v�AU ]_����6����t���6�V�^Q�$, �����t��6�V:d� y�z±} � *�� � ��*�� ������� � ��,���*/��¥ ����� � � � ��+������ � ���,��� ���

*����!¥ ���� ��� *�� � � � � � ��+���� ����*��/� ��� z!y�AU�]��A]_����6����t�!�6�V � Qdd���6�VBw1� �%���������2����6�V��]_����6����t��6"V WQdEv�AU ]_��6�V ���� "��%��DwwYO���00�d y�z } * ,������ �A��� ��*�� ! ���«� � z!y��6�V ���� ���%�Wwg��6�V ���� ��%�8w�C� `�����?v y�z } ��*����� � � ,������B� �/���� z!y

�� � y�z } ��*����� �/� ���c� � ��¦�� ��+� z!y��6�V ���� ���%!�����"��2� 32����� �n��8w,C� `�����?v��6�V ���� ���%!��w�C� `�����?v

 C� `������������2K 32��"�� An�DwBO���003v��6�V ���6�V� Ab� � v y�z '(� ����� ��*N�(� ����*����� z!y

 �AU�]_ �����t��6�V � Qd y�z £ ���D��� ����*���� ��� *�� � � � � � ��� ���� z!y���6�VBw1� �%���������2����6�V��]_ �����t��6�V � i�G�;�s�t0;��Ed�v�AU ]_��6�V ���� "��%��DwwYO���00�d y�z } * ,������ �A��� ��*�� ! ���«� � z!y��6�V ���� ���%�Wwg��6�V ���� ��%�8w9 �C� `�����?v y�z } ��*����� � � ,������B� �/���� z!y

�� � y�z } ��*����� �/� ���c� � ��¦�� ��+� z!y��6�V ���� ���%!�����"��2� 32����� �n��8wg �C� `�����?v��6�V ���� ���%!��w9 �C� `�����?v

  �C� `����������� 2� 32����� �n�DwBO���003v��6�V ���6�V� Ab� � v y�z '(� ����� ��*N�(� ����*����� z!y

  

  

n Ö

Page 19: pl b2 - Swarthmore Collegeadanner/cs97/s08/pdf/palazzi93counting.pdfb & ! !" #$&%(' } { ) +*-,. ' H

b� `�A�Y�� ���6�t� ���%t�! ���%«]������6�V��3>°�� ��?>�V����� �d����������6�V��3v� � ���t���6���6D��� ��?>5�V����� 3v

� y�z � ���#����+-,"*�� � � � +��¥ ���������� ��� ����� ��� ������� z!y�� �%��!���� ��B�����e�:v y�z �� � � ��������­ z!y�� �%��!���� ��a4�u`�AO\Y��� ���C�> y�z '(���������� ���� *����� ����������� ����� z!y�V���C�>5�V���C�v y�z²© ����� *���� *#���������*�� +� ���`�<��� ����� � ���A¦�� ���� z!y�����1� �U�?>����A%�T��?v y�z�� ���������� * *��� � � �W����� �³� � ��� ,�� z!yy�z } �������*��+� ������*N�(����,"��,��L��� �����[��������* z!y�� �%��!���� ��a4�u`�AO\Y���?>< ���v y�z ��/� ��� ����� ����� �������� ����*��®��¥ ���� z!y�� �%��!���� ��a�� ��V�� D������/�>������/�>�V�����/�>°V�����/�v y�z !��`¥ ��/� ������* z!y�� �%��!���� ��a�� ��V�� D��� ��� �/�>°V����� ��� �/�>�V���� ��� �/�v y�z �������¥ ��������� ��* z!yU� �� ]���w1k3vf��$�����6�V��3v��� Ed��� ���CBw,�� ���������2���6"V����?2�� ���%��«vV���CBw�V���C9wYV����� �������2����6�V ����32��� ���%��3v�AU�]]��� ���C � wBO���00�d ��� ]�V���C � wBO���00�dd y�z } ��������,�� ��*���* ��� ��� ��¥ �� � z!y�B� �U��wB���A%�T��Yw9k3vX� ���;���6���l���3]�V���C >°V����� 3>N���?> ��:dEv y�z � ����� �������<� �"���(���������*�� +� ��� ��* z!yV�����/,w1; �%������O��/� ��3] ���?>� ���>�/E�A������EdEvV�����/,w1; �%������O��/� ��3] ���?>� ���>�/E�A�����EQ��EdEvV���� ��� �/Yw�V����� ��� �/Yw1; �%������H� ��� �/3]_�A�?>� ��:dEv�� �,X� ���;���6���l����:]��� ���C >��� ��?>5���?>� ��:dEv y�z % � ��� �"�������������*��+� ������* z!y������/Ywg; �%������O��!/� ��«]_���?>L ���>�/E�A������EdEv�����/Ywg; �%������O��!/� ��«]_���?>L ���>�/E�A�����EQ��Ed�v��� ��� �/Yw1; �%������H� ��� "/?]����?>L ��:dEvR�TE�!� )]]�V���C � w,O���00�d ��� ]�������/��V���� ��� �/&$$V�����/����� ��� �/Edd�B� �U� ?v y�z ¢ ,������ ������������A� ������ � �<����� ��� � �#����­��#������ z!y�AU�]]�V���CBw�V���C ������2� 32K���� �n��d<wwYO���00�dV��� 6�=?v

X� ���;���6���l���3] V���C?>�V����� 3>����?> ��:dEvV�����/Bw9; �%������O��/� ��3] ���?>� ���>�/E�A������EdEvV����� ��� �/Yw9; �%������H� ��� �/?]_���?>L ��:dEv

 R�TE�!� )]]�V���C � w,O���00�d ��� ]������/��V��� ��� �/&$$V�����/����� ��� �/Edd�Y���A%�T�� ?v y�z ¢ ,������ ������ �����A� ������� ����� ��� ,�������#����­�� ������� z!y�AU�]]�V���CBw�V���C ������2� 32K���� �n��d<wwYO���00�dV��� 6�=?v

X� ���;���6���l���3] V���C?>�V����� 3>����?> ��:dEvV�����/Bw9; �%������O��/� ��3] ���?>� ���>�/E�A�����EQ��EdEvV���� ��� �/Yw9; �%������H� ��� �/?]_���?>L ��:dEv

 �� ���6� wBG�V���H��AUU3]_� �U�3>L���A%�T��EdEv y�z £ ++��¥ �� � ���"��� �/��� z!y�� ���CBw,�� ���C ������2� :2����� �n��?v y�z .#� � ���®­�� ���� z!y

 R�TE�!� ]��� ���C � wYO���00�dEv

  

 

n Ý

Page 20: pl b2 - Swarthmore Collegeadanner/cs97/s08/pdf/palazzi93counting.pdfb & ! !" #$&%(' } { ) +*-,. ' H

b� `�A�Y�� ���6�t� ���%t��T� ����3]�����!6�V��«>L� ���%��3>5��T� ������d����������6�V��3v� � ���t���6���6D� ���%��3>³��T� �����3v y�z } ����� ��*��+��*#*�,�� ����*[�(����,<�����`��* ��� ����*����� ���`��*�,�� ����*����

��� ����������+��"� � ������ z!y��� �%��!���� ��a4�u`�AO\Y�C� `�����?>N���?>5 ���v�� �%��!���� ��$;0�G�,����6����t��!6�V�>� �����t��6�V v�� �%��!���� ��$#uu��HD/E�A���� 3v�� �%��!���� ��a�� ��V�� DR�6�����/�>�R�6����� ��� "/�>[�� ���?v4�u`�AO\B ���� ��?vU��An�t��6�V��«] �����6�V��3>�� ���%���dEv y�z %(�-������� � �"��� � ��*�� � �Y��������+� ������* z!yU� �� ]_ ���� ���w9��T� ������������ �C� ����� A�?vf]]�C� `������w1 ���� ��Ed�����n)$B#uu��H�i�GjEdEv� ���� �� Ed�AU�]_; �%�/� ����43] C� `�����?>L��T� ������dd y�z } � *�����¥ � ����� +/,�� +�¤ ��� �����*#��� */�A¥ � *�� � � z!y�AU�]]_����6����t!��6"VYw1� ���%���������2����6�V�,C� `�����������?2� 32��������6�V:d

ww�]_ �����t��6�Vaw9� ���%���������2����6�V��]�C� `����� EQd��(����2� 32��������6"V:dd�� ���6��wYG�V���H��AUU3]�C� `����� �����?2� «2�6�V� �b� «>W]�C� `����� EQd����"��2K 32�6"V� �b� �d�v

�� � y�z �/����� � ��� ���� *�� � ��* � ��� ��� � ������� z!y�AU�]_����6����t��6"V �(�� "��%!� � wYO���00�d�,X� ���;���6���l����:]�C� ������?>���T� �����3>N���?> ��:dEv y�z�� �������� *�� � � +�����/� �������`�"*��/� ��� � ����� z!y/E�A���� DwY/E�A�� C� `�����������?2� 32��������6�V�EQ �?vR�6�����/Yw1; �%������O��/� ��«]_��� >N ���>�/E�A���� �dEvR�6����� ��� �/aw9; �%������H� ��� �/?] ���?>� ��:dEv�� � y�z � ��� " ���*������ ��� * � ���A¦ � +������� ��� *�,������ z!yX� ���;���6���l���3] ����6���t��!6�V ����! ���%��?>L� ���%��3>N���?>< ��:dEv�� ���Yw�]�R�6�����/BB; �%������H� ��� "/?]����?>L ��:d"�,R�6����� ��� �/YB; �%������O��/� ��3] ���?>� ���>�/E�A���� �ddEv�AU�]]��� �����Bk�d y�z !���­��[��� ��� ��* �������A� ¥ � � z!y

� 8] + ��� �43]��� ���Ed ��� ]�C� `����������Ed!dd y�z �#� � ��� � � �A¦ � ������ ������� z!yV��� 6�=?v

����6����t��6�V����!6�V� �b� �� v 

R�TE�!� )]]_����6����t��!6�V ����� ���%!��w9����6����t��6�V ����� ���%�����"��2� :2����� �n!�Ed � wBO���00�dEv 

�� ���6��wBG�V���H��AUU3]_����6A���t����6�V �(�6�V� �b� ��?>cC� `������������2K 32�6"V� �b� �d�v�AU�]_ �����t��6�V ����! ���%� � w,O���00�d�,X� ���;���6���l����:]�C� ������?>���T� �����3>N���?> ��:dEv y�z�� �������� *�� � � +�����/� �������`� ����" �������� z!y/E�A���� DwY/E�A���]�C� `����� EQ�d�������2� «2��_�����6�V��?vR�6�����/Yw1; �%������O��/� ��«]_��� >N ���>�/E�A���� �dEvR�6����� ��� �/aw9; �%������H� ��� �/?] ���?>� ��:dEv�� � y�z � ��� " ���*������ ��� * � ���A¦ � +������� ��� *�,������ z!yX� ���;���6���l���3] ����t���6�V ����� ���%��3>�� ���%��3>N���?> ��:dEv�� ���Yw�]�R�6�����/BB; �%������H� ��� "/?]����?>L ��:d"�,R�6����� ��� �/YB; �%������O��/� ��3] ���?>� ���>�/E�A���� �ddEv�AU�]]��� �����Bk�d y�z !���­��[��� ��� ��* �������A� ¥ � � z!y

� 8] + ��� �43]��� ���Ed ��� ]�C� `����������Ed!dd y�z �#� � ��� � � �A¦ � ������ ������� z!yV��� 6�=?v

�����t��6�V ����6�V� �b� �� ?v 

R�TE�!� )]]_ �����t��6�V ����� ��%��Wwg �����t��6�V�����! ���%���(����2� 32����� An�Ed � wBO���00�dEv 

�� ���6��wBG�V���H��AUU3]_ "����t���6�V����6�V� �b �:>D]�C� `����� EQd�������2� «2�6"V� �b� �dEv 

 

c �

Page 21: pl b2 - Swarthmore Collegeadanner/cs97/s08/pdf/palazzi93counting.pdfb & ! !" #$&%(' } { ) +*-,. ' H

b� `�A�YU��An�t`������6�V3]_�! � ��Ed� � ���t���6���6D� � ��?v

� y�z �, ��� � *�� ��� ��������+�*[� ��� ����­��[��� � ��� ����� z!y�� �%��!���� ��a4�u`�AO\Y�C���?vU� �� ]�C���Yw9� � �������C�v�C��� $,� � �������C�g� � ��������?v[C��� Ed�C����������2� 32������!�6�V�����wgQEv

 � ���%9�����)������ ���� �A���! "��t�� ��!���3]��� A�?>cV����� �d

� � ���t���6���6D��� ��?>5�V����� 3v� y�z ' �������#������� ��*��+� ��� ��*5� � ��¦ � � ��� �#������� ��*_� z!y�� �%��!���� ��B�����e�:> � v����6�V���w�C��� �C�6��� t�U������A��t���6�V��«]��� ��?>�V����� �dEv

�� �/E�A�� ����6�V����8w9#uu��H�i�Gj?v�� 6���t��6"V��E]������6�V��3>[�� ��EdEv�� 6���t��6"V��E]������6�V��3>�V����� �dEv/�6�=� t� ���%�«]K�� ���dEv y�z�� ������� ���"*���� * ��� � � +� z!y/�6�=� t� ���%�«] V����� �dEv�� ���6�t� ��%�t!� ��%3]�����!6�V��«>[�� ��?>�V����� �dEv�� ���6�t� ��%�t!��T� ���3] ���!�6�V��3>[�� ��?>�V����� �dEv�� ���6�t� ��%�t!��T� ���3] ���!�6�V��3>�V����� 3>N�� ��EdEvU��An�t`������6"V?]K�� ���dEv y�z � �"��¦�� ��,�� ���`¥ ���� �A� *�� � ��* � ���f~�­ ����� ��+ �* z!yU��An�t`������6"V?] V����� �dEvU� ��P]���w^QE> � wgm3v � $$����6�V��3v5�� ?> � w�m�d/E�A�������wY/E�A�� � �?v

����6�V��Dw ]�����6�V���^Qd)���gQEv/E�A�� ����6�V����8w9#uu��H�i�Gj?v

 R�TE�!� ^]�����6�V��)�gQdEv y�z ¢ � � ��� ��� ������,���"� ��� *�� � �"����¥ �����* z!y�� ��������?]��� ���6��d�v

 

cGn