pitanja za usmeni (im2)

8/8/2019 Pitanja Za Usmeni (IM2)

1/5

Univerzitet u SarajevuElektrotehniki fakultet Sarajevo, 15. 03. 2008.Sarajevo

UPUTE I PITANJA ZA USMENI (ZAVRNI ) ISPITIZ

INENJERSKE MATEMATIKE 2(u akad. 2007/2008. godini)

U skladu sa Nastavnim programom kursa INENJERSKA MATEMATIKA 2 (IM2) nadodiplomskom studiju Elektrotehnikog fakulteta Univerziteta u Sarajevu (ETF), osnovnicilj kursa IM2 je da studenti naue metodoloko - operativne aspekte matematike analize, s

posebnom pozornou na realne funkcije s vie realnih promjenljivih i na obine diferencijalnejednadbe.

Prema Nastavnom programu (dijelu koji se odnosi na Nain provjere znanja) kursa IM2 i Pravilima provjere znanja na dodiplomskom studiju Univerziteta u Sarajevu, svaki studentprve godine studija koji je tokom trajanja drugog semestra ostvario 40 ili vie bodova pristupausmenom /zavrnom ispitu (UZI / ZUI). Ovaj ispit se sastoji iz diskusije zadataka sparcijalnih i integralnih ispita i domaih zadaa (DZ) i odgovora na jednostavna inajvanija pitanja koja se odnose na teme kursa IM2 (osnovne definicije i iskazi, odnosnoformulacije definicija najvanijih pojmova i njihovih osnovnih svojstava i/ili teorema,objanjenja osnovnih ideja i vanih postupaka/metoda), kao i izvoenja/dokazivanja vanihobrazaca/formula i glavnih rezultata iz programskih sadraja kursa IM2 (koja omoguuju

povezivanje vie pojmova, primjenu njihovih glavnih svojstava i njihovo boljerazumijevanje/usvajanje, odnosno koja treba da studentima omogue razvijanje sposobnostiopisivanja i modeliranja inenjerskih problema pomou elemenata matematike analize), tj.odgovora na sljedea PITANJA:

1. Pojmovi metrike /udaljenosti (apstraktna formulacija), metrikog prostora,pseudometrikog prostora, semimetrikog prostora i ultrametrikog prostora(Formulisati definicije tih pojmova i poznate nejednakosti u optim metrikim

prostorima, te dokazati jednu od tih nejednakosti.).2. Pojam diskretnog prostora. Vani primjeri metrikih prostora (Navesti, uz

odgovarajue obrazloenje, primjere takvih prostora i objasniti zato su meusobno

ekvivalentne poznate metrike 2 1, ,d d d ).3. Pojmovi udaljenosti take od skupa, udaljenosti izmeu dva skupa, ogranienog

(neogranienog) skupa, ogranienog (neogranienog) preslikavanja/funkcije (i,specijalno, ogranienog/neogranienog niza) i dijametra skupa u metrikom prostoru.

4. Pojmovi otvorene (zatvorene) kugle, unutranje take skupa, spoljanje take skupa,granine (rubne) take skupa, izolovane take skupa, take gomilanja skupa,otvorenog skupa i zatvorenog skupa u metrikom prostoru.

5. Osnovna svojstva okolina take u metrikom prostoru.6. Nizovi u metrikom prostoru (Definirati pojmove : konvergentan niz, divergentan niz,

Caucyjev/fundamentalan niz i potpun metriki prostor, a zatim dokazati da je svakifundamentalan niz u metrikom prostoru ogranien i da je svaki konvergentan niz umetrikom prostoru fundamentalan ).

7. Pojmovi norme, normiranog prostora,Banachovog prostora , skalarnog proizvoda,

1


2/5

ortogonalnosti, unitarnog/prethilbertovog prostora iHilbertovog prostora (Definirati tepojmove, a zatim formulisati teoreme o Schwarzovoj nejednakosti i jednakostiparalelograma,te navesti, uz obrazloenje, primjer normiranog prostora u kome nevrijedi jednakost paralelograma.).

8. Vani primjeri Banachovih prostora i Hilbertovih prostora . Pojam n dimenzionalnog

(realnog,odnosno kompleksnog)Euklidovog prostora . Cauchyjeva nejednakost.Pojmovipovezanog i konveksnog skupa u Euklidovom prostoru.9. Pojmovi i vani primjeri realne funkcije vie realnih promjenljivih/varijabli i vektorske

funkcije vie realnih promjenljivih.10. Osnovna svojstva i predstavljanje funkcija vie promjenljivih. Problem odreivanja

njiohovog domena i graf(ik). Pojmovi nivo linija (nivoskih linija) i nivo povri.11. Sloene funkcije i elementarne funkcije vie realnih varijabli. Primjeri inenjerskih

funkcija vie varijabli. Grafici nekih elementarnih funkcija dviju realnih varijabli.12. Granina vrijednost (simultana i uzastopna/ sukcesivna) funkcije s vie realnih

promjenljivih pojam, osnovna svojstva i raunanje pomou transformacije koordinata.13.Neprekidnost i uniformna/ravnomjerna neprekidnost funkcija dviju ili vie

promjenljivih. Lokalna i globalna svojstva neprekidnih funkcija vie promjenljivih.14. Parcijalni izvodi/ parcijalne derivacije i parcijalni diferencijali (prvog reda).

Geometrijska interpretacija parcijalnih derivacija. Raunanje parcijalnih izvoda.15. Lagrangeova teorema srednje vrijednosti za funkcije vie promjenljivih (Formulacija,

dokaz i njene vane posljedice i primjene.).16. Pojmovi diferencijabilnosti i totalnog diferencijala funkcija vie promjenljivih .

Potrebni uslovi diferencijabilnosti i dovoljan uslov diferencijabilnosti funkcija dvijuili vie promjenljivih (Formulacija tih uslova i izvoenje bar jednog od njih.) .

17. Primjene totalnog diferencijala u priblinim raunima.18. Parcijalni izvodi i diferencijali sloenih funkcija.Eulerova teorema za homogene

funkcije vie promjenljivih. Invarijantnost forme totalnog diferencijala (prvog reda).19. Geometrijska interpretacija totalnog diferencijala. Jednaina tangentne ravni

(tangencijalne ravnine) i jednaine normale na povr (Definirati pojmove tangentne ravnii normale na povr, a zatim izvesti njihove jednaine.) .

20. Izvod funkcije u zadanom pravcu i gradijent funkcije. Hamiltonov operator nabla(Definirati te pojmove, a zatim ustanoviti njihova osnovna svojstva i meusobne veze.).

21. Parcijalni izvodi i diferencijali drugog ili vieg reda realnih funkcija vie realnihpromjenljivih..

22. a)Taylorova formula i MacLaurinova formula za funkcije dviju ili vie promjenljivih(Formulacija i glavne ideje u njenom izvoenju: definirati odgovarajuu funkciju jednepromjenljive F(t), te iskoristiti izvod kompozicijeF(t) 1( ( ),..., ( ))nf x t x t = funkcija F i

f i pripadnu Taylorovu formulu za funkcije jedne promjenljive.).b) Aproksimacija povri (plohe) tangentnom ravninom.23. a)Ekstremne vrijednosti funkcija dviju ili vie promjenljivih Optimizacija I: Definicija

lokalnog slobodnog ekstrema funkcija vie promjenljivih, potreban uslov (formulacija idokaz) za postojanje lokalnih ekstrema (Fermatova teorema) funkcije vie promjenljivih,stacionarne take, kvadratne forme (pojam, klasifikacija i Silvesterov kriterijum),dovoljan uslov (uz dokaz za funkcije dviju promjenljivih) za lokalni ekstrem funkcijadviju ili vie promjenljivih.b) Objasniti postupak za odreivanje lokalnih ekstrema funkcija dviju i funkcija triju ilivie promjenljivih (sa i bez upotrebe drugog diferencijala).

24. Preslikavanje (funkcije) iz Rn u Rm, Jacobijan i regularno preslikavanje (regularne

funkcije) pojam i osnovna svojstva (uz izvoenje svojstva o znaku Jacobijana i oneprekidnosti regularnog preslikavanja.) .

2


3/5

25. Vezani (uslovni, uvjetni) ekstremi funkcije vie promjenljivih Optimizacija II:Zadavanje krive i povri u implicitnoj formi, take u kojima postoje vezani ekstremi,kritine take, gradijent u kritinoj taki, potreban uslov za lokalni vezani ekstremfunkcije (za lokalni ekstrem funkcije definirane na krivoj, na povri;Lagrangeovimultiplikatori Lagrangeov postupak za traenje uslovnih ekstrema).

26. Apsolutni (globalni, totalni) ekstremi realnih funkcija dviju ili vie realnih promjenljivih.27. ta je operator, a ta funkcional? Navedite primjere operatora i funkcionala. Definirajtepojmove linearnog operatora, neprekidnog operatora i operatora kontrakcije, a zatimnavedite i dokaite bar po jedno svojstvo svakog od tih pojmova.

28. Objasnite pojam fiksne (nepokretne) take operatora i opiite metod uzastopnihaproksimacija.

29. FormuliiteBanachov teorem o fiksnoj taki, a zatim objasnite njegov znaaj i primjenuu teoriji diferencijalnih jednaina.

30. Obine diferencijalne jednaine prvog reda Osnovni koncepti i ideje; opti oblikdiferencijalne jednaine prvog reda, njeno partikularno i opte/ope rjeenje,geometrijsko razmatranje opteg rjeenja, polje smjerova i izokline, poetni uslovi,

problem pronalaenja optih rjeenja, jedinstvenost partikularnog rjeenja, rjeenjaCauchyjevog problema.

31. a) Osnovne diferencijalne jednaine prvog reda rijeene po izvodu (sa separiranim/razdvojenim promjenljivim, homogene, linearne,Bernoullijeva,Riccatijeva,egzaktna /totalnog diferencijala).Eulerov multiplikator.b) Metode rjeavanja diferencijalnih jednaina. Direktna integracija. Separacijavarijabli.Varijacija konstanti.

32. Osnovne diferencijalne jednaine prvog reda koje nisu rijeene po izvodu (jednainekoje se rjeavaju uvoenjem parametra,Lagrangeova jednaina, Clairautova jednaina).

33. a)Objanjenje na konkretnim primjerima (po vlastitom izboru) optih metoda zarjeavanje homogenih i nehomogenih linearnih diferencijalnih jednaina drugog ivieg reda (s konstantnim koeficijentima i s promjenljivim koeficijentima).b) Linearna nezavisnost rjeenja, problem pronalaenja optih rjeenja i problemrjeavanja Cauchyjevog problema za diferencijalne jednaine drugog ili vieg reda.

c) Linearne diferencijalne jednaine s konstantnim koeficijentima homogeni dio.Metoda pogaanja partikularnog rjeenja. Metoda varijacije konstanti. Superpozicijapartikularnih rjeenja.

34. Objanjenje na konkretnim primjerima (po sopstvenom izboru) osnovnih metoda zarjeavanje sistema diferencijalnih jednaina (metoda eliminacije, matrina metoda imetoda prvih integrala), posebno sistema linearnih diferencijalnih jednaina sakonstantnim koeficijentima.

35. Direktna i inverznaLaplaceova transformacija; pojmovi i osnovna svojstvaoriginala (Laplaceovih funkcija), slika (transformat).36. Osnovna svojstva Laplaceovih transformacija. Laplaceova transformacija izvoda i

integrala.37. Jedinina skok funkcija.Diracova impulsna funkcija. Periodike funkcije.38. Rjeavanje diferencijalnih jednaina prvog ili vieg reda primjenom Laplaceove

transformacije.39. Primjene Laplaceove transformacije u rjeavanju sistema diferencijalnih jednaina.40. Pojmovi trigonometrijskog reda ,Fourierovog reda i trigonometrijskog

Fourierovog reda. Eulerove formule. Funkcije s proizvoljnim periodom.41. Razvoj funkcije (parne ili neparne na simetrinom intervalu) u nepotpuni Fourierov red.

42. Teoreme o egzistenciji Fourierovog reda (Dirichletov teorem i dr.), odnosno osnovnirezultati o konvergenciji Fourierovog reda funkcijef i o njegovoj povezanosti s

3


4/5

funkcijomf, te o vezi trigonometrijskih redova s Fourierovim redovima.43. Kompleksna formaFourierovog trigonometrijskog reda.Fourierov integralkao

granini sluaj Fourierovog reda. Fourierov integral za parne i neparnefunkcije. Kompleksna forma Fourierovog integrala. Objanjenje postupka

predstavljanja funkcije Fourierovim integralom.

44. Direktna i inverznaFourierova transformacija; formule za direktnu i inverznuFourierovu transformaciju, veza izmeu Laplaceove i Fourierove transformacije.45. Pojmovi i osnovna svojstva integrala po figuri, dvojnog integrala (po pravougaoniku i

krivolinijskom trapezu), trojnog integrala (po kvadru i cilindru),(i openito) nintegralai viestrukogRiemanovog integrala. Teorema srednje vrijednosti za dvojne/dvostrukei trojne/trostruke integrale.

46. Svoenje n integrala na uzastopne integrale i zamjena promjenljivih u n integralu(viestrukom Riemannovom integralu). Promjena poretka integracije i prijelaz na

polarni sistem u dvojnom integralu. Prijelaz na cilindrini i sferni sistem/sustav utrojnom integralu.

47. Primjene dvojnih i trojnih integrala. Povrina ravninskih likova pomou dvojnog

integrala. Volumen tijela pomou trojnih integrala.48. Elementi vektorske analize (vektorska funkcija vie realnih promjenljivih, hodograf

vektorske funkcije; izvod /derivacija, neodreeni i odreeni integral vektorske funkcijejednog skalarnog argumenta; Lagrangeova i Taylorova formula za vektorske funkcijejednog skalarnog argumenta; vektorske funkcije dva skalarna argumenta i njeniparcijalniizvodi prvog ili vieg reda).

49. a)Elementi diferencijalne geometrije (kriva, povr, krive i povri klase regularnosti C(n),linije na povri, duina luka krive, tangenta krive, brzina i ubrzanje, vektor krivine,glavna normala, krivina/fleksija (zakrivljenost, prva krivina) i poluprenik krivine krive,

binormala krive, prirodni trijedar (propratni trobrid prostorne krivulje), osnovne ravni(oskulatorna, normalna i rektifikaciona), torzija (druga zakrivljenost, druga krivina,uvijenost) i poluprenik torzije krive).b)IzvestiFrenet- Serretove formule (tj. formule koje opisuju promjenu prirodnog trijedra odtake do take po dijelovima glatke krive ija je vektorska jednaina ( )r r t=

, pri emu

funkcija ima izvode do ukljuivo treeg reda, a koje u proizvoljnoj taki krive imaju oblik:( )r t

,d t nd s

=

,d n d b

t bd s d s

n = + =

,

gdje je torzija krive).

50. (Krivo)linijski integrali prve i druge vrste (orijentacija krive, krivolinijski integral poluku/krivolinijski integral prve vrste/, krivolinijski integral po koordinatam/krivolinijski

integral druge vrste/, vektorski (krivo)linijski integral) pojmovi, osnovna svojstva injihovo izraunavanje.

51. Transformacija dvojnih integrala u linijske integrale (formulacija, dokaz i primjeneGreenove teoreme/formule u ravni).

52. Povrinski integrali prve i druge vrste (orijentisana povr, strana povri, povrina povri,povrinski integral po povrini povri /povrinskiintegral prve vrste/, povrinski integralpo koordinatama /povrinski integral druge vrste/; vektorski povrinski integral) pojmovi, osnovna svojstva i njihovoizraunavanje.

53. Skalarna i vektorska polja (pojam skalarnog polja, izvod u pravcu i gradijent skalarnogpolja, pojam vektorskog polja, (vektorske) linije vektorskog polja, prostorni izvod,divergencija i rotor vektorskog polja, diferencijalni operator nabla (hamiltonijan) ,

Laplaceov operator(ili laplasijan) D, fluks i cirkulacija vektorskog polja).

4


5/5

5

54. Klasifikacija vektorskih polja (potencijalno polje i skalarni potencijal vektorskog polja,solenoidalno polje i vektorski potencijal vektorskog polja,Laplaceovopolje ilamelarno polje).

55. Gaussova (Gauss Ostrogradskogili Green Gauss Ostrogradskog) teorema/formula o divergenciji. Stokesova teorema/formula (Izvoenje, posljedice i primjene

Gaussove formule i Stokesove formule.).56. Linijski integrali neovisni o putu integracije (formulacija i primjene teoreme oneovisnosti (krivo)linijskih integrala o putu integracije).

Napomene:1. U skladu s reenim na predavanjima, za pripremu zavrnog ispita iz IM2 (tj. za pripremuodgovora na svako od pitanja sa gore navedenog spiska , te za preradu /za diskusije i rjeenja/zadataka s parcijalnih i integralnih ispita i DZ) koristiti preporuenu osnovnu i dopunskuliteraturu (http://c2.etf.unsa.ba/)., a posebno sljedee reference/literaturu:

[1] Huse Fatki, Predavanja iz Inenjerske matematike 2,Domae zadae i Zadaci sa ispita,Sarajevo, 2007/2008. (http://c2.etf.unsa.ba/),Biljeke i slajdovi s predavanja izIM2 uakademskoj 2007/2008.godini.[Za pripremu odgovora na pitanja sa prethodne liste i za

preradu zadataka sa ispita i domaih zadaa].[2] Huse Fatki,Predavanja iz Inenjerske matematike 2,Pripremni zadaci,Domae zadae i

Zadaci sa ispita, Sarajevo, 2005/2006;2006/2007. (http://courses.etf.unsa.ba/).[Za pripremuodgovora na pitanja sa prethodne liste i za preradu zadataka sa ispita i domaih zadaa].

[3] Huse Fatki, Vinko Dragievi,Diferencijalni raun funkcija dviju i vie promjenljivih,I.P. Svjetlost, Sarajevo, 2006. [ Za pripremu odgovora na pitanja 1. 25. sa prethodneliste i za preradu zadataka sa ispita i domaih zadaa,s posebnom pozornou naPoglavlje: Dodatak II - ISPITNI ZADACI / zadaci koji su predvieni za tutorijale izIM2/].

[4] I. Ivani, Fourierov red i integral. Diferencijalne jednadbe, Liber, Zagreb, 1979.

[5] D. Mihailovi, D. . Toi,Elementi matematike analize II, Nauna knjiga,Beograd, 1976; 1991.

[6] Pavle M. Milii, Momilo P. Uumli, Zbirka zadataka iz vie matematike II,Graevinska knjiga, Beograd, 1971; ..., 1988. ... [Za pripremu odgovora na neka od pitanjasa prethodne liste i za preraduzadataka sa ispita i domaih zadaa].

[7] Mervan Pai, Matematika 2sa zbirkom rijeenih primjera i zadataka, MerkurABD,Zagreb, 2006.

2. Usmeni zavrni ispit iz IM2 boduje se sa 40 bodova. Da bi postigao pozitivnu ocjenu, student na ovom ispitumora ostvariti najmanje 20 bodova. Svaki od studenata koji ne ostvari ovaj minimum pristupa usmenom dijelu popravnog ispita.

3. Usmenom dijelu popravnog ispita moe pristupiti svaki student koji je nakon polaganja pismenog dijela popravnogispita iz IM2 uspio ostvariti ukupan skor od 40 ili vie bodova; ovaj skor sastoji se od bodova ostvarenih krozprisustvo nastavi, izradu DZ, polaganje parcijalnih ispita i polaganje pismenog dijela popravnog ispita. Usmenipopravni ispit iz IM2 donosi najvie 40 bodova. Da bi postigao pozitivnu zavrnu ocjenu, student na ovom ispitumora ostvariti najmanje 20 bodova. Svaki student prve godine ETF-a koji ne ostvari ovaj minimum ponovo upisujekurs iz IM2 (u narednoj akademskoj godini).

S R E T N O !.....................................................................................@.........................................................................................................
http://c2.etf.unsa.ba/).http://c2.etf.unsa.ba/).http://c2.etf.unsa.ba/http://courses.etf.unsa.ba/http://www.cobiss.ba/scripts/cobiss?id=1900066063854297http://www.cobiss.ba/scripts/cobiss?id=1900066063854297http://library.foi.hr/m3/jrez.asp?nema=I&B=0&N=50&V=&J=&K=U&O=&S=&Upit=517&ScrollAction=Stranica+10http://library.foi.hr/m3/jrez.asp?nema=I&B=0&N=50&V=&J=&K=U&O=&S=&Upit=517&ScrollAction=Stranica+10http://www.cobiss.ba/scripts/cobiss?id=1900066063854297http://courses.etf.unsa.ba/http://c2.etf.unsa.ba/http://c2.etf.unsa.ba/).

pitanja za usmeni (im2)

Documents