Pitágoras de Samos (do grego Πυθαγόρας) foi um filósofo e matemático grego que nasceu em Samos entre cerca de 570 a.C. e 571 a.C. e morreu em Metaponto entre cerca de 496 a.C. ou 497 a.C.

A sua biografia está envolta em lendas. Diz-se que o nome significa altar da Pítia ou o que foi anunciado pela Pítia, pois mãe ao consultar a pitonisa soube que a criança seria um ser excepcional.

Pitágoras foi o fundador de uma escola de pensamento grega denominada em sua homenagem de pitagórica.

Biblografia

Da vida de Pitágoras quase nada pode ser afirmado com certeza, já que ele foi objeto de uma série de relatos tardios e fantasiosos, como os referentes a viagens e contatos com as culturas orientais. Parece certo, contudo, que o filósofo tenha nascido em 570 a.C. na cidade de Samos.

Fundou uma escola mística e filosófica em Crotona (colônias gregas na península itálica), cujos princípios foram determinantes para a evolução geral da matemática e da filosofia ocidental sendo os principais temas a harmonia matemática, a doutrina dos números e o dualismo cósmico essencial.

Acredita-se que Pitágoras tenha sido casado com a física e matemática grega Theano, que foi sua aluna. Supõe-se que ela e as duas filhas tenham assumido a escola pitagórica após a morte do marido.

Pitágoras cunhado em moeda.

Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números. Para eles, o número, sinônimo de harmonia, constituído da soma de pares e ímpares - os números pares e ímpares expressando as relações que se encontram em permanente processo de mutação -, era considerado como a essência das coisas, criando noções opostas (limitado e ilimitado) e sendo a base da teoria da harmonia das esferas.

Segundo os pitagóricos, o cosmo é regido por relações matemáticas. A observação dos astros sugeriu-lhes que uma ordem domina o universo. Evidências disso estariam no dia e noite, no alterar-se das estações e no movimento circular e perfeito das estrelas. Por isso o mundo poderia ser chamado de cosmos, termo que contém as idéias de ordem, de correspondência e de beleza. Nessa cosmovisão também concluíram que a Terra é esférica, estrela entre as estrelas que se movem ao redor de um fogo central. Alguns pitagóricos chegaram até a falar da rotação da Terra sobre o eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou dos seus discípulos (já que há obscuridades em torno do pitagorismo, devido ao caráter esotérico e secreto da escola) deu-se no domínio da geometria e se refere às relações entre os lados do triângulo retângulo. A descoberta foi enunciada no teorema de Pitágoras.

Pitágoras foi expulso de Crotona e passou a morar em Metaponto, onde morreu, provavelmente em 496 a.C. ou 497 a.C..

A escola de Pitágoras

Segundo o pitagorismo, a essência, que é o princípio fundamental que forma todas as coisas é o número. Os pitagóricos não distinguem forma, lei, e substância, considerando o número o elo entre estes elementos. Para esta escola existiam quatro elementos: terra, água, ar e fogo.

Assim, Pitágoras e os pitagóricos investigaram as relações matemáticas e descobriram vários fundamentos da física e da matemática.

O pentagrama era o símbolo da Escola Pitagórica.

O símbolo utilizado pela escola era o pentagrama, que, como descobriu Pitágoras, possui algumas propriedades interessantes. Um pentagrama é obtido traçando-se as diagonais de um pentágono regular; pelas intersecções dos segmentos desta diagonal, é obtido um novo pentágono regular, que é proporcional ao original exatamente pela razão áurea.

Pitágoras descobriu em que proporções uma corda deve ser dividida para a obtenção das notas musicais no início, sem altura definida, sendo uma tomada como fundamental (pensemos numa longa corda presa a duas extremidades que, quando tangida, nos dará o som mais grave - e a partir dela, gerar-se-á a quinta e terça através da reverberação harmônica. Os sons harmônicos. Prendendo-se a metade da corda, depois a terça parte e depois a quinta parte conseguiremos os intervalos de quinta e terça em relação à fundamental. A chamada SÉRIE HARMÔNICA. À medida que subdividimos a corda obtemos sons mais altos e os interevalos serão diferentes. E assim sucessivamente. Descobriu ainda que frações simples das notas, tocadas juntamente com a nota original, produzem sons agradáveis. Já as frações mais complicadas, tocadas com a nota original, produzem sons desagradáveis.

O nome está ligado principalmente ao importante teorema que afirma: Em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Além disto, os pitagóricos acreditavam na esfericidade da Terra e dos corpos celestes, e na rotação da Terra, com o que explicavam a alternância de dias e noites. A filosofia baseou uma doutrina chamada Filosofia explanatória Cristo-Pitagorica.

A escola pitagórica era conectada com concepções esotéricas e a moral pitagórica enfatizava o conceito de harmonia, práticas ascéticas e defendia a metempsicose.

Durante o século IV a.C., verificou-se, no mundo grego, uma revivescência da vida religiosa. Segundo alguns historiadores, um dos fatores que concorreram para esse fenômeno foi a linha política adotada pelos tiranos: para garantir o papel de líderes populares e para enfraquecer a antiga aristocracia, os tiranos estimulavam a expansão de cultos populares ou estrangeiros.

Dentre estes cultos, um teve enorme difusão: o Orfismo (de Orfeu), originário da Trácia, e que era uma religião essencialmente esotérica. Os seguidores desta doutrina acreditavam na imortalidade da alma, ou seja, enquanto o corpo se degenerava, a alma migrava para outro corpo, por várias vezes, a fim de efetivar a purificação. Dioniso guiaria este ciclo de reencarnações, podendo ajudar o homem a libertar-se dele.

Pitágoras seguia uma doutrina diferente. Teria chegado à concepção de que todas as coisas são números e o processo de libertação da alma seria resultante de um esforço basicamente intelectual. A purificação resultaria de um trabalho intelectual, que descobre a estrutura numérica das coisas e torna, assim, a alma como uma unidade harmônica. Os números não seriam, neste caso, os símbolos, mas os valores das grandezas, ou seja, o mundo não seria composto dos números 0, 1, 2, etc., mas dos valores que eles exprimem. Assim, portanto, uma coisa manifestaria externamente a estrutura numérica, sendo esta coisa o que é por causa deste valor.

Principais descobertas

Além de grandes místicos, os pitagóricos eram grandes matemáticos. Eles descobriram propriedades interessantes e curiosas sobre os números.

Números figurados

Os pitagóricos estudaram e demonstraram várias propriedades dos números figurados. Entre estes o mais importante era o número triangular 10, chamado pelos pitagóricos de tetraktys, tétrada em português. Este número era visto como um número místico uma vez que continha os quatro elementos fogo, água, ar e terra: 10=1 + 2 + 3 + 4, e servia de representação para a completude do todo.

α α α α α αα α α α

A tétrada, que os pitagóricos desenhavam com um α em cima, dois abaixo deste, depois três e por fim quatro na base, era um dos símbolos principais do seu conhecimento avançado das realidades teóricas. Representação toda perfeita em si de qualquer um dos lados que se observe.

Números perfeitos

A soma dos divisores de determinado número com exceção dele mesmo, é o próprio número. Exemplos:

1. Os divisores de 6 são: 1,2,3 e 6. Então, 1 + 2 + 3 = 6.

2. Os divisores de 28 são: 1,2,4,7,14 e 28. Então, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

Teorema de Pitágoras

Uma das formas de demonstrar o Teorema de Pitágoras.

Um problema não solucionado na época de Pitágoras era determinar as relações entre os lados de um triângulo retângulo. Pitágoras provou que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

O primeiro número irracional a ser descoberto foi a raiz quadrada do número 2, que surgiu exatamente da aplicação do teorema de Pitágoras em um triângulo de catetos valendo 1:

Os gregos não conheciam o símbolo da raiz quadrada e diziam simplesmente: "o número que multiplicado por si mesmo é 2".

A partir da descoberta da raiz de 2 foram descobertos muitos outros números irracionais.

Reitor da primeira universidade

Estátua de Pitágoras.

Pitágoras,pormenor d'A escola de Atenas de Raffaello Sanzio (1509).

A palavra Matemática (Mathematike, em grego) surgiu com Pitágoras, que foi o primeiro a concebê-la como um sistema de pensamento, fulcrado em provas dedutivas.

Existem, no entanto, indícios de que o chamado Teorema de Pitágoras (c²= a²+b²) já era conhecido dos babilônios em 1600 a.C. com escopo empírico. Estes usavam sistemas de notação sexagesimal na medida do tempo (1h=60min) e na medida dos ângulos (60º, 120º, 180º, 240º, 360º).

Pitágoras percorreu por 30 anos o Egito, Babilônia, Síria, Fenícia e talvez a Índia e a Pérsia, onde acumulou ecléticos conhecimentos: astronomia, matemática, ciência, filosofia, misticismo e religião. Ele foi contemporâneo de Tales de Mileto, Buda, Confúcio e Lao-Tsé.

Quando retornou à sua cidade natal, Samos, indispôs-se com o tirano Polícrates e emigrou para o sul da Itália, na ilha de Crotona, de dominação grega. Aí fundou a Escola Pitagórica, a quem se concede a glória de ser a "primeira Universidade do mundo".

A Escola Pitagórica e as atividades se viram desde então envoltas por um véu de lendas. Foi uma entidade parcialmente secreta com centenas de alunos que compunham uma irmandade religiosa e intelectual. Entre os conceitos que defendiam, destacam-se:

prática de rituais de purificação e crença na doutrina da metempsicose, isto é, na transmigração da alma após a morte, de um corpo para outro. Portanto, advogavam a reencarnação e a imortalidade da alma;

lealdade entre os membros e distribuição comunitária dos bens materiais; austeridade, ascetismo e obediência à hierarquia da Escola; proibição de beber vinho e comer carne (portanto é falsa a informação que os

discípulos tivessem mandado matar 100 bois quando da demonstração do denominado Teorema de Pitágoras);

purificação da mente pelo estudo de Geometria, Aritmética, Música e Astronomia;

classificação aritmética dos números em pares, ímpares, primos e fatoráveis; "criação de um modelo de definições, axiomas, teoremas e provas, segundo o

qual a estrutura intrincada da Geometria é obtida de um pequeno número de afirmações explicitamente feitas e da ação de um raciocínio dedutivo rigoroso" (George Simmons);

grande celeuma instalou-se entre os discípulos de Pitágoras a respeito da irracionalidade do 'raiz de 2'. Utilizando notação algébrica, os pitagóricos não aceitavam qualquer solução numérica para x² = 2, pois só admitiam números racionais. Dada a conotação mística atribuída aos números, comenta-se que, quando o infeliz Hipasus de Metapontum propôs uma solução para o impasse, os outros discípulos o expulsaram da Escola e o afogaram no mar;

na Astronomia, idéias inovadoras, embora nem sempre verdadeiras: a Terra é esférica, os planetas movem-se em diferentes velocidades nas várias órbitas ao redor da Terra. Pela cuidadosa observação dos astros, cristalizou-se a idéia de que há uma ordem que domina o Universo;

aos pitagóricos deve-se provavelmente a construção do cubo, tetraedro, octaedro, dodecaedro e a bem conhecida "seção áurea";

na Música, uma descoberta notável de que os intervalos musicais se colocam de modo que admitem expressões através de proporções aritméticas. Pitágoras - assim como outros filósofos gregos pré-socráticos - também descreveu o poder do som e seus efeitos sobre a psique humana. Essa experiência musicoterápica possivelmente foi utilizada mais tarde por Aristóteles como base teórica para sua definição de música, que, segundo ele, era uma "arte medicinal".

Pitágoras é o primeiro matemático puro. Entretanto é difícil separar o histórico do lendário, uma vez que deve ser considerado uma figura imprecisa historicamente, já que tudo o que dele sabemos deve-se à tradição oral. Nada deixou escrito, e os primeiros trabalhos sobre o mesmo deve-se a Filolau, quase 100 anos após a morte de Pitágoras. Mas não é fácil negar aos pitagóricos - assevera Carl Boyer - "o papel primordial para o estabelecimento da Matemática como disciplina racional". A despeito de algum exagero, há séculos cunhou-se uma frase: "Se não houvesse o 'teorema Pitágoras', não existiria a Geometria".

Ao biografar Pitágoras, Jâmblico (c. 300 d.C.) registra que o mestre vivia repetindo aos discípulos: “todas as coisas se assemelham aos números”.

A Escola Pitagórica ensejou forte influência na poderosa verba de Euclides, Arquimedes e Platão, na antiga era cristã, na Idade Média, na Renascença e até em nossos dias com o Neopitagorismo.

Pensamentos de Pitágoras

1. Educai as crianças e não será preciso punir os homens. 2. Não é livre quem não obteve domínio sobre si. 3. Pensem o que quiserem de ti; faz aquilo que te parece justo. 4. O que fala semeia; o que escuta recolhe. 5. Ajuda teus semelhantes a levantar a carga, mas não a carregues. 6. Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem. 7. Todas as coisas são números. 8. A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se de

Deus. 9. A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei

de Deus. 10. A vida é como uma sala de espetáculos: entra-se, vê-se e sai-se. 11. A sabedoria plena e completa pertence aos deuses, mas os homens podem

desejá-la ou amá-la tornando-se filósofos.

Anima-te por teres de suportar as injustiças; a verdadeira desgraça consiste em cometê-las

Importância para o Direito

Pitágoras foi o primeiro filósofo a criar uma definição que quantificava o objetivo final do Direito: a Justiça. Ele definiu que um ato justo seria a chamada "justiça aritmética", na qual cada indivíduo deveria receber uma punição ou ganho quantitativamente igual

ao ato cometido. Tal argumento foi refutado por Aristóteles, pois ele acreditava em uma justiça geométrica, na qual cada indivíduo receberia uma punição ou ganho qualitativamente, ou proporcionalmente, ao ato cometido; ou seja, ser desigual para com os desiguais a fim de que estes sejam igualados com o resto da sociedade.

Quem foi 

Pitágoras foi um importante matemático e filósofo grego. Nasceu no ano de 570 a .C na ilha de Samos, na região da Ásia Menor (Magna Grécia). Provavelmente, morreu em 497 ou 496 a.C em Metaponto (região sul da Itália). Embora sua biografia seja marcada por diversas lendas e fatos não comprovados pela História, temos dados e informações importantes sobre sua vida.

Com 18 anos de idade, Pitágoras já conhecia e dominava muitos conhecimentos matemáticos e filosóficos da época. Através de estudos astronômicos, afirmava que o planeta Terra era esférico e suspenso no Espaço (idéia pouco conhecida na época). Encontrou uma certa ordem no universo, observando que as estrelas, assim como a Terra, girava ao redor do Sol.

Recebeu muita influência científica e filosófica dos filósofos gregos Tales de Mileto, Anaximandro e Anaxímenes.

Enquanto visitava o Egito, impressionado com as pirâmides, desenvolveu o famoso Teorema de Pitágoras. De acordo com este teorema é possível calcular o lado de um triângulo retângulo, conhecendo os outros dois. Desta forma, ele conseguiu provar que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Atribui-se também a ele o desenvolvimento da tábua de multiplicação, o sistema decimal e as proporções aritméticas. Sua influência nos estudos futuros da matemática foram enormes, pois foi um dos grandes construtores da base dos conhecimentos matemáticos, geométricos e filosóficos que temos atualmente.

Alguns pensamentos (frases) de Pitágoras:

· Não é livre quem não consegue ter domínio sobre si.

· Todas as coisas são números.

· Aquele que fala semeia; aquele que escuta recolhe. 

· Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem. 

· Educai as crianças e não será preciso punir os homens.

· A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar, é aproximar-se de Deus. 

· A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus. 

· Ajuda teus semelhantes a levantar a carga, mas não a carregues.

Teorema de Pitágoras

O teorema de Pitágoras: a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos (a e b) equivale à área do quadrado construído sobre a hipotenusa (c).

O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os três lados de qualquer triângulo retângulo. Na geometria euclidiana, o teorema afirma que:

Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.

Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois lados que o formam.

O enunciado anterior relaciona comprimentos, mas o teorema também pode ser enunciado como uma relação entre áreas:

Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos.

Para ambos os enunciados, pode-se equacionar:

onde c representa o comprimento da hipotenusa, e a e b representam os comprimentos dos outros dois lados.

O teorema de Pitágoras leva o nome do matemático grego Pitágoras, que tradicionalmente é creditado pela sua descoberta e demonstração,[1][2] embora seja frequentemente argumentado que o conhecimento do teorema seja anterior a ele (há muitas evidências de que matemáticos babilônicos conheciam algoritmos para calcular os lados em casos específicos, mas não se sabe se conheciam um algoritmo tão geral quanto o teorema de Pitágoras).[3] [4] [5]

Em fórmulas

Um triângulo retângulo

Sendo c o comprimento da hipotenusa e a e b os comprimentos dos outros dois lados, o teorema pode ser expresso como a equação:

ou, isolando c:

Um corolário de c² = b² + a² é que a hipotenusa (c) será sempre o maior lado, pois todos os comprimentos são necessariamente números positivos, e c² > b², logo c > b, e c² > a², logo c > a.

Se c já é conhecido, e precise-se encontrar o comprimento de um dos catetos, as seguintes equações (que são corolários da primeira) podem ser usadas:

ou

Essa equação fornece uma relação simples entre os três lados de um triângulo retângulo de modo que se os comprimentos de quaisquer dois lados são conhecidos, o comprimento do terceiro lado pode ser encontrado. Uma generalização desse teorema é a lei dos cossenos, que permite o cálculo do comprimento do terceiro lado de qualquer triângulo, dado os comprimentos dos dois lados e a medida do ângulo entre eles. Se o ângulo entre os lados é um ângulo reto, reduz-se ao teorema de Pitágoras.

Demonstrações

O teorema de Pitágoras já teve muitas demonstrações publicadas. O livro The Pythagorean Proposition, de Elisha Scott Loomis, por exemplo, contém 370 demonstrações diferentes.[6] Há uma demonstração no livro Os Elementos, de Euclides.[7] E também ofereceram demonstrações, o matemático indiano Bhaskara Akaria, o polímata italiano Leonardo da Vinci, e o vigésimo presidente dos Estados Unidos, James A. Garfield.[8][9][10] O teorema de Pitágoras é tanto uma afirmação a respeito de áreas quanto a respeito de comprimentos, algumas provas do teorema são baseadas em uma dessas interpretações, e outras provas são baseadas na outra interpretação.

Por comparação de áreas

Não se sabe ao certo qual foi a demonstração utilizada por Pitágoras, entretanto, muitos autores concordam que ela foi feita através da comparação de áreas[carece de fontes?], conforme se segue:

Provável forma usada por Pitágoras para demonstrar o teorema que leva seu nome[carece de

fontes?].1. Desenha-se um quadrado de lado b + a; 2. Traçam-se dois segmentos paralelos aos lados do quadrado; 3. Divide-se cada um destes dois retângulos em dois triângulos retos, traçando as

diagonais. Chama-se c o comprimento de cada diagonal; 4. A área da região formada ao retirar os quatro triângulos retos é igual a b2 + a2;

5. Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado b + a, mas colocamos os quatro triângulos retos noutra posição.

6. A área da região formada quando se retiram os quatro triângulos retos é igual a

c2.

Como b2 + a2 representa a área do quadrado maior subtraída da soma das áreas dos

triângulos retângulos, e c2 representa a mesma área, b2 + c2 = a2. Ou seja: num triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. O segmento de medida a foi chamado de hipotenusa e os de medida b e c foram chamados de catetos.

Por semelhança de triângulos

Demonstração que utiliza o conceito de semelhança: os triângulos ABC, ACH e CBH têm a mesma forma, diferindo apenas pelas suas posições e tamanhos.

Esta demonstração se baseia na proporcionalidade dos lados de dois triângulos semelhantes, isto é, que a razão entre quaisquer dois lados correspondentes de triângulos semelhantes é a mesma, independentemente do tamanho dos triângulos.

Sendo ABC um triângulo retângulo, com o ângulo reto localizado em C, como mostrado na figura. Desenha-se a altura com origem no ponto C, e chama-se H sua intersecção com o lado AB. O ponto H divide o comprimento da hipotenusa, c, nas partes d e e. O novo triângulo, ACH, é semelhante ao triângulo ABC, pois ambos tem um ângulo reto, e eles compartilham o ângulo em A, significando que o terceiro ângulo é o mesmo em ambos os triângulos também,[11] marcado como θ na figura. Seguindo-se um raciocínio parecido, percebe-se que o triângulo CBH também é semelhante à ABC. A semelhança dos triângulos leva à igualdade das razões dos lados correspondentes:

O primeiro resultado é igual ao cosseno de cada ângulo θ e o segundo resultado é igual ao seno.

Estas relações podem ser escritas como:

Somando estas duas igualdades, obtém-se

que, rearranjada, é o teorema de Pitágoras:

Demonstração algébrica

Demonstração algébrica.

A análise da figura da direita permite computar a área do quadrado construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo: ela é quatro vezes a área desse triângulo mais a área do quadrado restante, de lado (b−a). Equacionando-se, segue que:

Segue que:

(produto notável)

(comutatividade da multiplicação: 2ab = 2ba)

Pelo rearranjo das partes

Demonstração pelo rearranjo de quatro triângulos retângulos idênticos.

Animação mostrando outra demonstração por rearranjo.[12]

Uma demonstração por rearranjo é dada pela animação à esquerda. Como a área total e as áreas dos triângulos são constantes, a área preta total é constante também. E a área preta pode ser dividida em quadrados delineados pelos lados a, b, c do triângulo, demonstrando que a2 + b2 = c2.

Na animação à direita, um grande quadrado inicial é formado da área c 2 tornando adjacentes quatro triângulos retângulos idênticos, deixando um pequeno quadrado no centro do grande quadrado, de modo a acomodar a diferença de comprimentos dos lados dos triângulos. Dois retângulos são formados, de lados a e b, movendo-se os triângulos. Incorporando o pequeno quadrado central com um destes retângulos, os dois retângulos são feitos em dois quadrados de áreas a 2 e b 2, mostrando que c 2 = a 2 + b 2.

Recíproca

A recíproca do teorema de Pitágoras também é verdadeira[13]:

"Para qualquer triângulo com lados l, m, e r, se l² + m² = r², então o ângulo entre l e m mede 90°".

ou, usando apenas palavras,

Se num triângulo o quadrado em um dos lados for igual à soma dos quadrados construídos sobre os dois lados restantes do triângulo, o ângulo formado pelos dois lados restantes do triângulo é um ângulo reto.

Ela pode ser provada usando-se a lei dos cossenos.

Consequências e usos

Talvez nenhuma outra relação geométrica seja tão utilizada em matemática como o teorema de Pitágoras. Ao longo dos séculos foram sendo registrados muitos problemas curiosos, cujas resoluções têm como base este famoso teorema [carece de fontes?].

A diagonal do quadrado

A diagonal do quadrado divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo o lado e a diagonal, segue que:

Finalmente, o comprimento da diagonal é encontrado como:

A altura do triângulo equilátero

A altura do triângulo equilátero divide-o em dois triângulos retângulos congruentes. Sendo o lado e a altura, segue que:

Finalmente, a altura do triângulo equilátero é encontrado como:

Identidade trigonométrica fundamental

Disso, segue que:

Ternos pitagóricos

Um terno pitagórico é formado por três números inteiros positivos a, b, e c, tais que a 2 + b 2 = c 2. Em outras palavras, um terno pitagórico representa os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, onde todos os três lados têm comprimentos inteiros. Essa tripla é geralmente escrita como (a, b, c ). Alguns exemplos bem conhecidos são (3, 4, 5) e (5, 12, 13).

Um terno pitagórico primitivo é aquele em que a, b e c são coprimos.

Lista de ternos pitagóricos primitivos até 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Números irracionais como comprimento

Uma das consequências do teorema de Pitágoras é que comprimentos incomensuráveis (ou seja, cuja razão é um número irracional, tal como a raiz quadrada de 2), podem ser

construídos, com instrumentos como régua e compasso. Um triângulo retângulo com ambos os catetos iguais a uma unidade tem uma hipotenusa de comprimento igual a raiz quadrada de 2. A figura da direita mostra como construir segmentos de reta com comprimentos iguais a raiz quadrada de qualquer número inteiro positivo.

Distância entre dois pontos

Seja A = (x1,y1) e B = (x2,y2). Para auxiliar, seja C = (x2,y1).

Como A e C possuem mesma ordenada, .

Como B e C possuem mesma abcissa,

Então

Generalizações

] Lei dos cossenos

O teorema de Pitágoras permite calcular um lado de um triângulo retângulo conhecendo os outros dois. A lei dos cossenos permite calculá-lo em qualquer triângulo. Assim, o teorema de Pitágoras é um caso especial do teorema mais geral que relaciona o comprimento dos lados de qualquer triângulo, a lei dos cossenos é a seguinte:

onde θ é o ângulo entre os lados a e b.

Quando θ é 90 graus, cos(θ) = 0, assim, a fórmula reduz-se ao teorema de Pitágoras.

Teorema de Gua

O teorema de Pitágoras pode ser generalizado para um n-simplex retângulo: o quadrado do (n-1)-volume da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos (n-1)-volumes dos catetos. Em particular, num tetraedro retângulo (isto é, que tem 3 faces perpendiculares entre si - os catetos), o quadrado da área da hipotenusa (a face que não é perpendicular às restantes) é igual à soma dos quadrados das áreas dos catetos.

Na geometria esférica e hiperbólica

Seja c a hipotenusa de um triângulo rectângulo numa geometria não euclidiana e a e b os catetos. O teorema de Pitágoras toma uma das seguintes formas:

na geometria esférica, tem-se

na geometria hiperbólica tem-se

Pensamentos de Pitágoras

1. Educai as crianças e não será preciso punir os homens. 2. Não é livre quem não obteve domínio sobre si. 3. Pensem o que quiserem de ti; faz aquilo que te parece justo. 4. O que fala semeia; o que escuta recolhe. 5. Ajuda teus semelhantes a levantar a carga, mas não a carregues. 6. Com ordem e com tempo encontra-se o segredo de fazer tudo e tudo fazer bem. 7. Todas as coisas são números. 8. A melhor maneira que o homem dispõe para se aperfeiçoar é aproximar-se de Deus. 9. A Evolução é a Lei da Vida, o Número é a Lei do Universo, a Unidade é a Lei de Deus. 10. A vida é como uma sala de espetáculos: entra-se, vê-se e sai-se. 11. A sabedoria plena e completa pertence aos deuses, mas os homens podem desejá-la ou amá-la tornando-se filósofos.

Triângulo

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Um triângulo.

No plano, triângulo (também aceito como trilátero) é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado por três linhas retas que concorrem, duas a duas, em três pontos diferentes formando três lados e três ângulos internos que somam 180°. Também se pode definir um triângulo em superfícies gerais. Nesse casos, são chamados de triângulos geodésicos e têm propriedades diferentes. Também podemos dizer que o triângulo é a união de três pontos não-colineares (pertencente a um plano, em decorrência da definição dos mesmos), por três segmentos de reta.

O triângulo é o único polígono que não possui diagonais e cada um de seus ângulos externos é suplementar do ângulo interno adjacente. O perímetro de um triângulo é a soma das medidas dos seus lados. Denomina-se a região interna de um triângulo de região convexa (curvado na face externa) e a região externa de região côncava (curvado na face interna).

Índice

[esconder] 1 Tipos de triângulos 2 Condição de existência de um triângulo 3 Fatos Básicos 4 Área 5 Pontos, linhas e círculos associados a um triângulo

o 5.1 Mediatriz o 5.2 Altura o 5.3 Mediana o 5.4 Bissetriz o 5.5 Reta de Euler o 5.6 Círculo dos Nove Pontos

6 Relações de desigualdades entre lados e ângulos 7 Bibliografia

8 Ver também

[editar] Tipos de triângulos

Sem falar dos triângulos esféricos, os triângulos mais simples são classificados de acordo com os limites das proporções relativas de seus lados:

Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes ou seja iguais. Um triângulo equilátero é também equiângulo: todos os seus ângulos internos são congruentes (medem 60°), sendo, portanto, classificado como um polígono regular.

Um triângulo isósceles possui pelo menos dois lados de mesma medida e dois ângulos congruentes. O triângulo equilátero é, conseqüentemente, um caso especial de um triângulo isósceles, que apresenta não somente dois, mas todos os três lados iguais, assim como os ângulos, que medem todos 60º. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes.

Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.

Denomina-se base o lado sobre qual se apóia o triângulo. No triângulo isósceles, considera-se base o lado de medida diferente.

Todos esses triângulos são os mesmos encontrados num plano de duas dimensões, porem em grandes extensões, como na superfície do planeta por exemplo, os ângulos para continuarem os mesmos é necessário que o comprimento dos lados sejam deformados ou seja ampliados em igual proporção ao perímetro da esfera.

Equilátero Isósceles Escaleno

Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos:

Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamam-se catetos. Os catetos de um triângulo retângulo são complementares.

Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos. Em um triângulo acutângulo, os três ângulos são agudos(formando 180°).

Retângulo Obtusângulo Acutângulo

[editar] Condição de existência de um triângulo

Para que se possa construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas.

| b − c | < a < b + c

o triângulo é um aspecto lítico da fisica, aritmética e geometria.

[editar] Fatos Básicos

Fatos elementares sobre triângulos foram apresentados por Euclides nos livros 1-4 de sua obra Elementos aproximadamente em 300 a.C..

Um triângulo é um polígono.

Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais, e isso ocorre, por exemplo, quando dois triângulos compartilham um ângulo e os lados opostos a esse ângulo. O fato crucial sobre triângulos similares é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes o maior lado do triângulo similar, diz-se, então, que o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e o menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.

Usando-se triângulos retângulos e o conceito de similaridade, as funções trigonométricas de seno e cosseno podem ser definidas. Essas são funções de um ângulo que são investigadas na trigonometria.

Nos casos a seguir, será usado um triângulo com vértices A, B e C, ângulos α, β e γ e lados a, b e c. O lado a é oposto ao vértice A e ao ângulo α, o lado b é oposto ao vértice B e ao ângulo β e o lado c é oposto ao vértice C e ao ângulo γ.

Na geometria Euclidiana, de acordo com o Teorema angular de Tales, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos (180° ou π radianos). Isso permite a determinação da medida do terceiro ângulo, desde que sejam conhecidas as medidas dos outros dois ângulos.

Ex:

Os ângulos A e A' são iguais (duas paralelas cortadas por uma transversal). Os ângulos B e B' são iguais por serem alternos internos. Os ângulos C e C' são iguais por serem opostos pelo vértice. Assim vê-se que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180º.

Existe um Corolário desse Teorema, que afirma que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes.

Ex: Sendo e a medida do ângulo externo do triângulo que tem como vértice o vértice C,

pode-se afirmar que: e = α + β

Teorema de Pitágoras.

Um teorema central é o Teorema de Pitágoras, que afirma que em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Se o vértice C do exemplo dado for um ângulo reto, pode-se escrever isso da seguinte maneira:

c2 = a2 + b2

Isso significa que, conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, pode-se calcular a medida do terceiro lado — propriedade única dos triângulos retângulos.

O Teorema de Pitágoras pode ser generalizado pela lei dos cossenos:

Essa lei é válida para todos os triângulos, mesmo se γ não for um ângulo reto e pode ser usada para determinar o tamanho de lados e ângulos de um triângulo, desde que a medida de três ou dois lados e de um ângulo interno sejam conhecidas.

A lei dos senos diz: , onde d é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo (uma circunferência que passa pelos três vértices do triângulo). A lei dos senos pode ser usada para computar a medidas dos lados de um triângulo, desde que a medida de dois ângulos e de um lado sejam conhecidas.

Existem dois triângulos retângulos especiais que aparecem frequentemente em geometria. O chamado "triângulo 45º-45º-90º" possui ângulos com essas medidas e a

proporção de seus lados é: . O "triângulo 30º-60º-90º" possui ângulos com

essas medidas e a proporção de seus lados é: .

Área

Produto Base Altura

A área de um triângulo é a metade do produto da medida da sua altura pela medida da sua base. Assim, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula:

, onde h é a altura do triângulo, b a medida da base.

Triângulos equiláteros

Se o triângulo for equilátero de lado l, sua área A pode ser obtida com:

.

Ou então usando sua altura h e a fórmula da base vezes a altura. A altura h de um triângulo equilátero é:

.

Vale notar que essas duas fórmulas para os triângulos equiláteros são obtidas usando as funções seno ou cosseno e usando a altura do triângulo, que o divide ao meio em dois triângulos retângulos iguais.

Semiperímetro

Outra maneira de calcular sua área é através do Teorema de Herão (ou Heron), também conhecido como fórmula do semi-perímetro:

,

onde

é o semi-perímetro.

Lados

Também podemos calcular a área a partir dos lados do triângulo. Sendo a e b dois lados quaisquer de um triângulo, e α o ângulo entre eles, temos que a área é:

.

Raio circunscrito

Há ainda a fórmula da área do triângulo em função das medidas dos lados a,b,c e do

raio da circunferência circunscrita a esse triângulo r, demonstrada pela lei dos senos:

Pontos, linhas e círculos associados a um triângulo

Mediatriz

O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

A mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto médio. As três mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto, o circuncentro, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, que passa pelos três vértices do triângulo. O diâmetro dessa circunferência pode ser achado pela lei dos senos.

O Teorema de Tales (ou Lei angular de Tales) determina que se o circuncentro estiver localizado em um lado do triângulo, o ângulo oposto a este lado será reto. Determina também que se o circuncentro estiver localizado dentro do triângulo, este será acutângulo; se o circuncentro estiver localizado fora do triângulo, este será obtusângulo.

Altura

O ponto de interseção das alturas é o ortocentro.

Altura é um segmento de recta perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu prolongamento, traçado pelo vértice oposto. Esse lado é chamado base da altura, e o ponto onde a altura encontra a base é chamado de pé da altura.

O ponto de interseção das três alturas de um triângulo denomina-se ortocentro (H). No triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao triângulo; no triângulo rectângulo, é o vértice do ângulo recto; e no triângulo obtusângulo é externo ao triângulo. Os três vértices juntos com o ortocentro forma um sistema ortocêntrico.

A altura de todo e qualquer triângulo é dado pela fórmula :

b = hipotenusa do triângulo retângulo formado com a altura do triângulo em questão.

h = altura procurada. c = base do triângulo. x = parte da base c do triângulo que foi dividida pela altura.

Mediana

O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade.

Mediana é o segmento de reta que une cada vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto. A mediana relativa à hipotenusa em um triângulo retângulo mede metade da hipotenusa.

O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade do triângulo. O baricentro divide a mediana em dois segmentos. O segmento que une o vértice ao baricentro vale o dobro do segmento que une o baricentro ao lado oposto deste vértice. No triângulo equilátero, as medianas, mediatrizes, bissetrizes e alturas são coincidentes. No isósceles, apenas as que chegam ao lado diferente,no escaleno,

nenhuma delas. Ainda para o triângulo Isósceles, vale ressaltar que a formação da bissetriz, coincidindo com o ponto médio de sua base, divide três semi-retas iguais, as quais são percebidas com a inscrição do círculo formado pelo incentro da bissetriz, onde há duas semi-retas, as quais serão o raios do círculo, sendo assim, dividindo-se em três partes iguais a altura do triângulo (que também coincide com a mediana e a bissetriz,

cada ), explicam-se as relações de a semi-reta que parte do ponto central do círculo até

o lado do triângulo valer o mesmo que o raio, isto é, e que o resto até o vértice oposto

a esse lado valer .

Síntese para o triângulo Isósceles: Propriedade Baricentro: Semi-retas divididas em dois seguimentos, dentre os quais, um é o dobro do outro. Entende-se portanto no triângulo

Isósceles que: Se uma parte vale a outra valerá o dobro. = .

Bissetriz

O ponto de interseção das três bissetrizes é o incentro.

A bissetriz interna de um triângulo corresponde ao segmento de reta que parte de um vértice, e vai até o lado oposto do vértice em que partiu, dividindo o seu ângulo em dois ângulos congruentes.

Em um triângulo há três bissetrizes internas, sendo que o ponto de interseção delas chama-se incentro.

O círculo que tem o incentro como centro e é tangente aos três lados do triângulo é denominado círculo inscrito.

Já a bissetriz externa é o segmento da bissetriz de um ângulo externo situado entre o vértice e a interseção com o prolongamento do lado oposto.

As bissetrizes externas duas a duas têm um ponto de interseção, denominado ex-incentro relativo ao lado que contêm os vértices pelos quais passam essas retas.

Dado um ex-incentro, o círculo que tem esse ponto como centro, e é tangente a um lado e ao prolongamento dos dois outros lados do triângulo, é denominado círculo ex-inscrito.

Em um triângulo equilátero, o incentro, o ortocentro e o baricentro são o mesmo ponto.

Reta de Euler

É a reta que contém o ortocentro,o baricentro e o circuncentro (os centros).

Círculo dos Nove Pontos

É a circunferência que contém os pontos médios dos lados, os pés das alturas, e os pontos médios dos segmentos que unem o ortocentro aos vértices.

Relações de desigualdades entre lados e ângulos

1ª relação: Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não-adjacentes.

2ª relação: Se dois lados de um triângulo têm medidas diferentes, ao maior lado opõe-se o maior ângulo e ao menor lado, opõe-se o menor ângulo.

3ª relação: Em todo triângulo, qualquer lado tem medida menor que a soma das medidas dos outros dois.

[editar] Demonstração

Para demonstrar a lei dos senos, tomamos um triângulo ABC qualquer inscrito em uma circunferência de raio r. A partir do ponto B pode-se encontrar um ponto diametralmente oposto D, e, ligando D a C, formamos um novo triângulo BCD retângulo em C. Da figura, pelo teorema do ângulo inscrito podemos chegar a conclusão

que , porque determinam na circunferência uma mesma corda . Desta forma, podemos relacionar:

Fazendo todo este mesmo processo para os ângulos e teremos as relações: e

, em que b é a medida do lado AC, oposto a , c é a medida do lado AB,

oposto a , e 2r é uma constante. Logo, podemos concluir que:

Outro modo de demonstrar é usando geometria

analítica com vetores: Definimos um triângulo formado pela soma e o resultante

e os ângulos , e correspondendo respectivamente aos vetores e , e , e . Sabendo que o dobro da área, representada por S, do triângulo formado entre os

vetores e é calculada com o módulo do produto vetorial entre eles e que

, sendo θ o ângulo entre os vetores e , dessa

forma temos o seguinte desenvolvimento:

Que pode ser representado como a lei dos senos

que conhecemos: Pois é uma relação possível de se inverter.

[editar] Trigonometria esférica

Ver artigo principal: Trigonometria esférica

Lei dos senos para um triângulo esférico

Em um triângulo esférico existe uma lei muito parecida:

A lei dos senos na trigonometria plana é o caso limite desta lei; o triângulo plano é o limite de um triângulo esférico quando os lados tendem a zero, e, no limite,

Teorema de Herão

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

(Redirecionado de Teorema de Heron)Ir para: navegação, pesquisa

A fórmula tradicional de cálculo da área do triângulo, ensinada e muito utilizada no

ensino fundamental é . Entretanto, outras fórmulas foram desenvolvidas para realizar este cálculo. Uma delas é a fórmula de Herão (ou de Heron), que dá a área do triângulo em função da medida dos três lados do triângulo. O nome faz referência ao matemático grego Herão de Alexandria.

[editar] A fórmula

A fórmula é: , onde representa o semiperímetro do triângulo e , , são os comprimentos dos 3 lados do triângulo.

[editar] Exemplo

Um triângulo com lados 3, 25 e 26 tem semiperímetro (3 + 25 + 26)/2 = 27. Assim, a

sua área é .

[editar] Demonstração

Seja a base do triângulo e a sua altura. A área do triângulo é .

Pelo teorema dos cossenos,

, logo

. Assim,

http://www.slideboom.com/presentations/42827/A-Vida-e-Obra-de-Pit%C3%A1goras

1. Triângulo rectângulo: na figura a seguir o ângulo interno entre os lados a azul e a verde é recto

Notação: hipotenusa  cateto azul  cateto verde

 

2. Teorema: . A área do quadrado vermelho (sobre o lado ) é igual à soma das áreas dos quadrados azul (sobre o lado ) e verde (sobre o lado )

3. Demonstração de Euclides: construção auxiliar usada por Euclides (com omissão das letras identificativas dos vértices e com linhas coloridas em vez de a preto) na Proposição 47 do livro I dos Elementos

Proposição 47 do livro I dos Elementos de Euclides

* * *

Nota de 16.01.2010: podem ver uma demonstração deste teorema no blogue Fatos Matemáticos, cujo link acrescentei também a esta minha entrada. 

* * *

Prova hidráulica

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Em  Cut   the knot  poderá encontrar, em inglês, 78 demonstrações deste Teorema.

Ou ainda  nesta entrada de Terence Tao e respectivos comentários. 

Poderá ver nesta minha   entrada  uma demonstração em francês publicada no número especial sobre Matemáticas de Nov 2008 da revista La Recherche.

* * *

Actualização de 17.03.2010.

Eis uma das formas como este teorema era demonstrado no Compêndio de Geometria de Diogo Pacheco de Amorim (no volume 2.º, ano 4.º, páginas 57 a 59, de 1943, da Coimbra Editora L.da), em edição fac-símile, de 2004, da SPM, integrado na Biblioteca Básica de Textos Didáticos de Matemática, que adquiri ontem e assim apresentado pela SPM (Sociedade Portuguesa de Matemática):

« Autor: Diogo Pacheco de Amorim

Em Portugal foram editados muitos bons livros de texto, escritos em linguagem clara e convincente, que dão numerosos (e por vezes invulgares) exemplos, que contêm complementos de muito interesse, que em vários casos expõem assuntos hoje menos conhecidos, que até estabelecem terminologia, mas que não estão acessiveis por as edições se encontrarem esgotadas há muito tempo. A publicação de uma série de textos didácticos de qualidade poderá dar também um incentivo aos matemáticos de hoje para que se empenhem na edição de livros de texto para os ensinos básico, secundário e superior.

Nesta edição, integrada na Biblioteca Básica de Textos Didácticos de Matemática reproduzimos a obra de Diogo Pacheco de Amorim – “Compêndio de Geometria” de 1943. »

* * *

pdf: ver caderno

 

Exercícios 

 

Exercício: Determine o comprimento de cada um dos lados iguais de um triângulo isósceles, de base e área .

Resolução: Seja a  base. A altura une o ponto da base equidistante de cada vértice

situado nos extremos; a distândia a cada um é igual a . Esta altura divide o triângulo isósceles de lados em dois triângulos rectângulos simétricos: o da esquerda de

lados e e o da direita e , cada um com uma área igual a . Pelo Teorema de Pitágoras aplicado, por exemplo, ao da esquerda sabemos que

Como a área do triângulo de lados é , , podemos exprimir em função de :

como é pedido.

Exercício de aplicação numérica: Sabendo que  e  , determine .

Resposta

 

Em 4-3-2009, o leitor Thais, noutra entrada, colocou o seguinte problema que transcrevo, embora mudando-o para a ortografia do Português de Portugal:

Problema: Dois navios navegavam pelo Oceano Atlântico supostamente plano: X, à velocidade constante de 16 milhas por hora, e Y à velocidade constante de 12 milhas

por hora. Sabe-se que às 15 horas de certo dia Y estava exactamente 72 milhas a Sul de X e que a partir de então Y navegou em linha recta para o Leste, enquanto X navegou em linha recta para o Sul, cada qual mantendo suas respectivas velocidades. Nessas condições às 17 horas e 15 minutos do mesmo dia, a distância entre X e Y , em milhas era

a) 45  b) 48  c) 50  d) 55  e) 58

???

Eis a minha resposta de 5-3-2009:

A resposta é 45.

Justificação: 17h15m – 15h = 2h15m = 2,25 h é a diferença horária entre as 15 horas e as 17 horas e 15 minutos.

Nesse intervalo de tempo o navio X deslocou-se 16 × 2,25 = 36 milhas e o navio Y, 12 × 2,25 = 27 milhas.Às 17 horas e 15 minutos, em relação à posição de Y às 15 horas, X está a 72 – 36 = 36 milhas a Norte e Y a 27 milhas a Leste. Estas posições definem um triângulo rectângulo de catetos 36 milhas e 27 milhas. Pelo Teorema de Pitágoras, o quadrado da hipotenusa desse triângulo é igual a 36²+27²=2025 milhas ao quadrado (ou milhas quadradas).  Logo a hipotenusa propriamente dita é igual a  milhas.

A medida desta hipotenusa é precisamente a distância entre os dois navios.

[Reformulação geral em 17.03.2010 ]

Pode ver aqui um desafio relacionado com o teorema de Pitágoras, que reproduzo na íntegra

Consegue aplicar o teorema de Pitágoras para explicar este logótipo? Melhor, acha que esta figura demonstra o teorema de Pitágoras?

Obs. Os dois quadrados maiores são iguais.

Fonte do logo — Primeiro slide de:

Hyperelliptic Curves, Continued Fractions and Somos Sequences , Algorithmic Number Theory, Turku, May 8, 2007

de

Alf van der Poorten (Emeritus Professor of Mathematics, ceNTRe for Number Theory Research, Sydney)

18.03.10

P.S. E agora?

 

Ver também nesta minha entrada, Exemplo de «Le triangle», na página 54 da revista La Recherche Spécial Mathématiques Nov 2008 — demonstração do teorema de Pitágoras (Pythagore).

 

Reportando-me à figura em que designei pelas letras os lados dos quadrados pretos e dos triângulos.

O quadrado da esquerda por ter os lados iguais a , tem de área . A área do da direita é igual. A área total do quadrado da esquerda é

A área total do da direita é

Igualando estas áreas, tem-se

donde se demonstra que