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PIANO LAUREE SCIENTIFICHE 2011

LA GEOMETRIA DELLA SFERA

NELLA SCUOLA SECONDARIA SUPERIORE

14 luglio 2011

Indice

Introduzione 4

1 La geometria sferica riemanniana 8

1.1 Il V postulato di Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Non contraddittorietà delle geometrie non euclidee . . . . . . 101.3 La geometria di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.4 La geometria sferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Il progetto didattico 22

2.1 Il Piano nazionale Lauree Scienti�che . . . . . . . . . . . . . . 222.2 La Matematica nel Piano Lauree Scienti�che a Pavia . . . . . 242.3 Il laboratorio di matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 Il laboratorio sulla geometria sferica: �Nei dintorni della geo-

metria euclidea� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5 Le schede di lavoro: l'analisi a priori . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Analisi dell'esperienza didattica 52

3.1 La scheda 1 e la scheda 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.1.1 La consegna della scheda 1 e l'esplorazione . . . . . . 553.1.2 Analisi dei protocolli relativi alla scheda 1 . . . . . . 563.1.3 La discussione sulla scheda 1 . . . . . . . . . . . . . . 583.1.4 La consegna della scheda 2 e l'esplorazione . . . . . . 603.1.5 Analisi dei protocolli relativi alla scheda 2 . . . . . . 603.1.6 La discussione sulla scheda 2 . . . . . . . . . . . . . . 633.1.7 Osservazioni conclusive al primo gruppo di schede . . . 65

3.2 La scheda 3 e la scheda 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.2.1 La consegna della scheda 3 e l'esplorazione . . . . . 683.2.2 Analisi dei protocolli relativi alla scheda 3 . . . . . . 683.2.3 La discussione sulla scheda 3 . . . . . . . . . . . . . 71

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3.2.4 La consegna della scheda 4 e l'esplorazione . . . . . . . 743.2.5 Analisi dei protocolli relativi alla scheda 4 . . . . . . 753.2.6 La discussione sulla scheda 4 . . . . . . . . . . . . . 763.2.7 Osservazioni conclusive al secondo gruppo di schede . 78

3.3 La scheda 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.3.1 La consegna della scheda 5 e l'esplorazione . . . . . . 863.3.2 Analisi dei protocolli relativi alla scheda 5 . . . . . . 863.3.3 La discussione sulla scheda 5 . . . . . . . . . . . . . . 893.3.4 Osservazioni conclusive alla scheda 5 . . . . . . . . . 92

3.4 Le schede 6, 7 e 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.4.1 La consegna della scheda 6 e l'esplorazione . . . . . . 943.4.2 Analisi dei protocolli relativi alla scheda 6 . . . . . . 953.4.3 La discussione sulla scheda 6 . . . . . . . . . . . . . . 983.4.4 La consegna della scheda 7 e l'esplorazione . . . . . . 1003.4.5 Analisi dei protocolli relativi alla scheda 7 . . . . . . 1003.4.6 La discussione sulla scheda 7 . . . . . . . . . . . . . . 1013.4.7 La consegna della scheda 8 e l'esplorazione . . . . . . 1033.4.8 Analisi dei protocolli relativi alla scheda 8 . . . . . . 1033.4.9 La discussione sulla scheda 8 . . . . . . . . . . . . . . 1063.4.10 Osservazioni conclusive al quarto gruppo di schede . . 109

3.5 La scheda 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103.5.1 La consegna della scheda 9 e l'esplorazione . . . . . . . 1103.5.2 Condivisione e commenti alle varie risposte . . . . . . 1113.5.3 Osservazioni conclusive alla scheda 9 . . . . . . . . . 117

3.6 La valutazione dell'attività da parte degli studenti . . . . . . 118

4 Approfondimento del Laboratorio sulla geometria sferica:

�Tassellazioni sulla sfera� 129

4.1 Presentazione delle schede di lavoro e descrizione dell'attivitàsvolta il giorno 12 Maggio 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.1.1 Tassellazioni sulla sfera: scheda 1 . . . . . . . . . . . 1334.1.2 Consegna ed esplorazione della scheda 1 . . . . . . . 1344.1.3 Analisi dei protocolli relativi alla scheda 1 . . . . . . 1354.1.4 La discussione sulla scheda 1 . . . . . . . . . . . . . . 1374.1.5 Tassellazioni sulla sfera: scheda 2 . . . . . . . . . . . 1394.1.6 La consegna e l'esplorazione della scheda 2 . . . . . . . 1404.1.7 Analisi dei protocolli relativi alla scheda 2 . . . . . . . 1414.1.8 La discussione sulla scheda 2 . . . . . . . . . . . . . . 1414.1.9 Tassellazioni sulla sfera: scheda 3 . . . . . . . . . . . 1434.1.10 Consegna ed esplorazione della scheda 3 . . . . . . . 145

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4.1.11 Analisi dei protocolli relativi alla scheda 3 . . . . . . 1454.1.12 La discussione sulla scheda 3 . . . . . . . . . . . . . . 146

4.2 Osservazioni conclusive all'attività . . . . . . . . . . . . . . . 150

Conclusioni 152

Bibliogra�a 154

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Introduzione

L'obiettivo di questo mio lavoro è quello di presentare una delle attivitàlaboratoriali organizzata dal Dipartimento di Matematica di Pavia all'internodel Piano Lauree Scienti�che 2011. L'attività in questione è un laboratoriosulla geometria della sfera che ha avuto lo scopo di introdurre ragazzi deltriennio della scuola secondaria superiore ad una geometria, e in generale, aduna metodologia di indagine, diverse rispetto a quelle comunemente propostenelle lezioni in classe.

Nel primo Capitolo, dopo aver brevemente introdotto le problematichelegate all'accettazione del V postulato di Euclide, si a�ronta nello speci�cola geometria ellittica doppia, o geometria sferica, la quale non ammette ilpostulato delle parallele tra i propri assiomi, ma anzi, presuppone l'Assiomadi Riemann: due rette qualsiasi di un piano hanno sempre almeno un puntoin comune.

A partire dalla riformulazione e sistematizzazione della geometria di Eu-clide operata da Hilbert si sostituisce l'assioma delle parallele con l'assiomadi Riemann e da lì, procedendo a un esame di alcuni teoremi, si analizza-no nel dettaglio i cambiamenti indispensabili da apportare per ottenere unnuovo sistema assiomatico che possa dare origine ad una teoria coerente.

La dimostrazione di non contraddittorietà della teoria proposta vienee�ettuata interpretando i concetti primitivi in un opportuno dominio di entidella geometria euclidea, la super�cie sferica, e osservando che, in base aquesta interpretazione, gli assiomi risultano proprietà geometriche euclideefacilmente dimostrabili.

Questa veri�ca tramite l'esibizione di un modello euclideo ha carattererelativo: la coerenza della geometria non euclidea, viene così a collegarsi allanon contraddittorietà della geometria euclidea.

Il secondo Capitolo è interamente dedicato alla presentazione del progettodidattico.

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Il Piano Lauree Scienti�che (PLS) è stato promosso dal Ministero del-l'Istruzione, dell'Università e della Ricerca con il principale scopo di porrerimedio alla crescente crisi di vocazione scienti�ca giovanile, proponendosi diincrementare il numero di immatricolati alle facoltà scienti�che e garantendoloro un più sicuro inserimento nel mondo del lavoro.

La modalità di lavoro auspicata dal PLS e proposta con convinzione daimatematici pavesi è, in contrapposizione ad una lezione di tipo �frontale�,quella del laboratorio, inteso �come momento in cui l'alunno è attivo, formulale proprie ipotesi e ne controlla le conseguenze, progetta e sperimenta, discutee argomenta le proprie scelte, impara a raccogliere dati e a confrontarli conle ipotesi formulate, negozia e costruisce signi�cati interindividuali, porta aconclusioni temporanee e a nuove aperture la costruzione delle conoscenzepersonali e collettive� [8, (p. 91)].

L'attività alla quale ho partecipato è stata organizzata e diretta dai pro-fessori Pesci A., Vitali E. e Maracci M. con la collaborazione di quattroinsegnanti di scuola secondaria superiore Montani D. (Liceo scienti�co A.Amodeo di Mortara), Pochintesta B. (Liceo scienti�co C. Golgi di Broni),Abbruscato M. L. (Liceo scienti�co T. Taramelli di Pavia) e Pavesi L. (Liceoclassico U. Foscolo di Pavia).

Il nostro laboratorio: �Nei dintorni della geometria euclidea� prevedeva lapresentazione della geometria sferica attraverso l'esplorazione guidata dellesue proprietà direttamente su un modello in plexiglas, la Sfera di Lénárt,un opportuno kit ideato dal professore ungherese István Lénárt. Esso ècostituito da una super�cie sferica liscia e trasparente su cui disegnare e dauna serie di strumenti speci�ci, analoghi a quelli piani, per eseguire misure,tracciare segmenti, rette e circonferenze.

Sempre nel secondo Capitolo vengono presentate le schede di lavoro pen-sate dal gruppo di ricerca per i ragazzi, ognuna seguita da una breve de-scrizione in cui si elencano gli obiettivi speci�ci dell'attività. L'insieme delleschede è stato pensato diviso in 4 gruppi in base agli argomenti proposti:si inizia con l'esplorazione dei primi elementi (punti, rette e segmenti) edi alcune loro proprietà e si prosegue con un gruppo di schede incentratosul concetto di angolo e su quello di circonferenza e sulla non costanza delrapporto fra circonferenza e diametro. Nell'ultimo gruppo di schede, do-po alcune domande volte ad indagare proprietà delle rette perpendicolari,si propongono ri�essioni conclusive sulle analogie e di�erenze tra geometriaeuclidea e sferica emerse durante tutta l'attività.

Nel terzo Capitolo si descrive completamente l'attività che ho diretta-mente seguito con gli alunni della classe II B del liceo classico U. Foscolo.

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Per ogni scheda presentata ai ragazzi si descrive nel dettaglio l'analisi deiprotocolli e lo svolgimento della discussione.

Gli alunni, suddivisi in 4 gruppi di lavoro, hanno iniziato l'attività pren-dendo dimestichezza con i primi elementi della nuova geometria: hanno in-dividuato il cammino di minima distanza tra due punti come la porzionedi circonferenza massima, minore di una semicirconferenza, che congiunge idue punti e sono giunti alla de�nizione di retta sferica e all'analisi delle sueprime proprietà. Ad esempio, hanno condiviso che non è più vero che perogni cippia di punti esiste ed è unica la retta che passa per essi: se i puntisono antipodali, le rette sono in�nite.

L'attività è stata sempre caratterizzata da indagini iniziali di tipo esplo-rativo: gli studenti, operando sul modello e seguendo le domande propo-ste sulle schede, scoprivano strada facendo proprietà e teoremi della nuovageometria.

Uno dei primi aspetti su cui si sono invitati i ragazzi a ri�ettere è statoil fatto che, nella geometria della sfera, non esistono rette parallele.

Non è stato certamente facile per i ragazzi distaccarsi dalle note conce-zioni di geometria euclidea e abituarsi a ragionare con i nuovi elementi econ le nuove proprietà. Proseguendo con l'attività, però, questa di�coltà èdiminuita.

Successivamente i ragazzi hanno �scoperto� i triangoli sferici e hannonotato che la somma degli angoli interni non è, come accade sul piano, paria π, ma risulta sempre maggiore di tale valore.

Gli alunni hanno poi esplorato le proprietà delle rette perpendicolaricercando di dimostrare per quale motivo data una retta e un punto chenon sia un polo rispetto ad essa, sia unica la perpendicolare alla retta per ilpunto. I ragazzi confrontandosi e discutendo sono giunti in modo abbastanzaautonomo alla formulazione della dimostrazione utilizzando il fatto che tuttele rette perpendicolari ad una assegnata si incontrano in due punti che sonoantipodali rispetto alla retta data.

Le ultime schede di lavoro hanno permesso agli alunni l'esplorazione dellecirconferenze e la constatazione che, sulla sfera, il rapporto tra circonferenzae diametro non è costante, come sul piano, ma dipende dall'angolo pianoformato dalle due rette passanti per il centro della sfera e, rispettivamente,per il centro della circonferenza sferica e per un punto arbitrario appartenentead essa. In particolare esso è sempre minore di π e tende a questo valoreal tendere a zero dell'angolo, cioè quando la circonferenza tende a ridursi alsuo centro.

I ragazzi hanno a�rontato l'attività con impegno dimostrando interes-se nell'argomento. Nonostante all'inizio ci sia stata un po' di di�coltà ad

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esporre le proprie idee ai compagni, con il procedere del lavoro le discussionisi sono svolte più agilmente ed hanno condotto più naturalmente la classea condividere le conclusioni auspicate e a proporre anche problematiche piùampie.

Nell'ultimo Capitolo viene presentata una delle due attività di approfon-dimento preparate dal gruppo di ricerca costituito dai professori universitaricon la collaborazione delle insegnanti di liceo. La professoressa Angela Pescied io abbiamo collaborato nella stesura di tre schede di lavoro sul tema �Latassellazione della sfera�.

La prima attività introduce i ragazzi al tema della tassellazione, ovveroun ricoprimento con �poligoni regolari� che non presenti sovrapposizioni ospazi vuoti. Le tassellazioni della super�cie sferica risultano essere cinque (ameno di isometrie), una per ogni poliedro platonico inscrivibile nella sfera.A partire dalla super�cie sferica e da tre tassellazioni su di essa, gli studentihanno dovuto riconoscere i poliedri regolari con vertici corrispondenti ai ver-tici della tassellazione, inscritti nella sfera: l'ottaedro, il cubo e il tetraedro.A questo punto, a partire dai modellini dei due restanti poliedri regolari, ildodecaedro e l'icosaedro, costruiti col Geomag, hanno facilmente individua-to le corrispondenti tassellazioni sulla super�cie sferica, caratterizzandole inbase alla misura degli angoli e al numero di lati.

Gli studenti hanno poi potuto mettere a confronto ancora una volta lageometria sferica con quella euclidea. Sul piano esistono tre diverse tas-sellazioni (a meno di similitudine): con triangoli equilateri, quadrati edesagoni.

I ragazzi, in generale, hanno dimostrato di aver apprezzato l'attivitàloro proposta, riportando sui questionari di valutazione risposte e commentilargamente positivi. E' signi�cativo che la quasi totalità degli aluni abbiaa�ermato che �valeva la pena di partecipare all'attività� e che più dell'80%dei ragazzi abbia riconosciuto di aver modi�cato la propria visione dellamatematica, obiettivo certamente auspicato dal programma del PLS.

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Capitolo 1

La geometria sferica

riemanniana

1.1 Il V postulato di Euclide

Di tutti i postulati e gli assiomi elencati da Euclide negli Elementi e po-sti a fondamento della sua teoria sulla geometria, quello che ha da sempresuscitato perplessità circa la sua evidenza è certamente il noto V postulato.

Esso a�ermaV) che se una retta, incontrandone altre due, forma gli angoli interni da

una stessa parte minori di due retti, le due rette, prolungate all'in�nito, siincontrino dalla parte in cui sono i due angoli minori di due retti [1, p. 37].

Figura 1

Secondo i canoni del metodo assiomatico classico le proposizioni primi-tive, in quanto garanti della verità di tutte quelle da esse dedotte, dovevanorisultare immediatamente vere o, come si dice spesso, �evidenti�, in modo danon poter essere in alcun modo messe in discussione.

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L'evidenza del V postulato, invece, fu messa in dubbio già dall'antichità.Si presume che lo stesso Euclide avesse esitato prima di annoverarlo tra ipostulati e fosse dubbioso circa l'impossibilità di poterlo dimostrare. Questaipotesi è corroborata da un'attenta considerazione delle proposizioni inizialidel libro I degli Elementi: il V postulato interviene per la prima volta nelladimostrazione della proposizione numero 29, mentre le prime 28 fanno partedella cosiddetta Geometria Assoluta, cioè quella parte di geometria euclideache non assume come presupposto il V postulato. Ci sono inoltre dei teoremiche Euclide ha dimostrato senza ricorrere al V postulato, nonostante la di-mostrazione sarebbe stata più semplice con l'introduzione di esso. Per questimotivi si sospetta che Euclide avesse cercato di di�erire l'uso dell'assiomadelle parallele il più possibile poichè non completamente convinto della suaindimostrabilità.

Per più di venti secoli matematici e studiosi occidentali tentarono una di-mostrazione del V postulato che consentisse di depennarlo dalle proposizioniprimitive. Le strade seguite furono duplici: ottenere una dimostrazione delV postulato a partire dagli altri e dalle proposizioni da essi dedotte; oppureriuscire a determinare una proposizione equivalente al V postulato ma cherisultasse evidente e fosse quindi annoverabile senza di�coltà accanto aglialtri postulati. Di fatto, però, anche i più illustri tentativi si rivelarono falli-mentari. La maggior parte dei matematici, anche quando pensava di esserearrivati alla dimostrazione corretta, assumeva come ipotesi proprietà che siscoprirono poi essere equivalenti al V postulato.

Esistono, in e�etti, molte proposizioni che risultano equivalenti al V po-stulato. Esse sono dimostrabili a partire dai primi cinque postulati e il V po-stulato è dimostrabile a partire dai primi quattro e una di queste proposizioni,scelta come assioma.

Per citarne qualcuna:

� Se due rette r e s sono parallele, ogni retta perpendicolare ad r èperpendicolare anche ad s.

� Due rette parallele tagliate da una trasversale formano angoli alterniinterni uguali.

� Due rette parallele ad una terza sono parallele tra loro.

� Se r è una retta di un piano α, il luogo dei punti di α che stanno dauna stessa parte rispetto ad r ed hanno da essa distanza assegnata èuna retta s parallela ad r.

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� La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a due retti.

La versione più conosciuta del V postulato è sicuramente quella dovuta aJohn Playfair (1748-1819):

� In un piano, dati un punto P ed una retta r non passante per P , esisteed è unica una retta s passante per il punto e parallela alla retta data.

1.2 Non contraddittorietà delle geometrie non eu-

clidee

Il processo storico che ha portato all'accettazione e all'a�ermazione dellegeometrie non euclidee, sorte dalla negazione del V postulato di Euclide, èstato lungo e complesso, fondamentalmente per il fatto che le idee sulle qualiesse si basavano erano considerate troppo lontane dalla comune percezionedello spazio �sico. L'impossibilità di dimostrare il postulato delle parallelespinse i matematici dell'Ottocento a ritenere che esso fosse realmente indi-pendente dalla geometria assoluta. Questo suggerì loro di considerare comeassioma di partenza per la costruzione di una nuova teoria una negazionedel postulato delle parallele. Di fatto, pensando di negare, ad esempio, laformulazione equivalente, più nota, del V postulato:

In un piano, dati un punto P ed una retta r non passante per P , esisteed è unica una retta s passante per il punto e parallela alla retta data,

si ottengno due diverse formulazioni che danno origine, rispettivamente,alla geometria iperbolica e alla geometria riemanniana (sferica ed ellittica):

� Dati un punto e una retta non passante per esso, esistono almeno duerette passanti per il punto e parallele alla retta data.

� Dati un punto e una retta non passante per esso, non esistono retteparallele alla retta data passanti per il punto.

Per tutto il Settecento, la coerenza della geometria euclidea e la sua noncontraddittorietà, erano state garantite dall'idea che essa traducesse in modoesatto, corretto e unico la struttura dello spazio tridimensionale.

Il pensiero che iniziò a farsi strada successivamente alla convinzione se-condo cui il V postulato fosse indimostrabile nell'ambito della Geometria

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Assoluta, fu che la veridicità degli assiomi non dovesse basarsi esclusivamen-te sul legame con la realtà e il mondo �sico di cui facciamo direttamenteesperienza.

Quando, nel secolo successivo, cominciò a manifestarsi l'eventualità didare legittimità anche alle geometrie non euclidee divenne pertanto neces-sario stabilire in quali termini fosse possibile veri�care la loro validità, dalmomento che esse non potevano avere un riscontro nell'esperienza sensibile.

Il problema della ricerca degli elementi in base ai quali fosse lecito a�er-mare la consistenza delle geometrie non euclidee fu risolto proprio attraversol'ausilio della geometria di Euclide.

Oggigiorno si è soliti a�ermare che le geometrie non euclidee sono noncontraddittorie in quanto è possibile costruirne un modello collegato allageometria euclidea; si interpretano, cioè, i concetti primitivi in un opportunodominio di enti della geometria euclidea e si dimostra che, in base a questainterpretazione, risultano veri�cati gli assiomi. Questo modo di procedere haun carattere relativo: la coerenza della geometria non euclidea, si ricollegaalla non contraddittorietà della geometria euclidea.

1.3 La geometria di Riemann

L'assiomatica utilizzata da Euclide nella sua geometria razionale è statariformulata nel 1899 da David Hilbert nel suo Grundlangen der Geometrie(Fondamenti della geometria). In esso Hilbert organizzò i postulati dellageometria euclidea in cinque gruppi: gli assiomi di incidenza, di ordinamento,di congruenza, delle parallele e di continuità. La geometria riemanniananasce da tali postulati, modi�cando appropriatamente gli assiomi.

Il primo assioma da modi�care è certamente quello della parallela. Alsuo posto introduciamo una nuova proposizione, il cosiddetto assioma diRiemann:

Assioma di Riemann. Due rette qualsiasi di un piano hanno sempre al-meno un punto in comune.

Questo assioma costituisce il punto di partenza per la costruzione dellageometria ellittica. Innanzitutto, da esso segue immediatamente che nonesistono rette parallele, quindi nè il V postulato, nè le formulazioni ad essoequivalenti sono valide.

Se però, nel sistema assiomatico messo a punto da Hilbert, sostituiamo alpostulato della parallela, l'assioma di Riemann, otteniamo un sistema con-traddittorio. E' infatti possibile dimostrare che per un punto passa almeno

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una parallela ad una retta data, senza far uso dell'assioma delle parallele.Lo stesso Euclide, nel teorema 31 del libro I degli Elementi, mostra cometracciare una linea retta per un punto, parallela ad una retta data, serven-dosi esclusivamente di proposizioni indipendenti dal postulato delle paral-lele. Questo è pertanto in contraddizione con quanto a�erma l'assioma diRiemann, da cui segue appunto che non esistono rette parallele.

Per questo motivo, per costruire una geometria coerente, il sistema diassiomi della geometria euclidea va ulteriormente modi�cato.

Per comprendere in che modo gli assiomi hilbertiani vadano rivisitatianalizziamo alcune delle conseguenze dell'assioma di Riemann.

Se consideriamo una retta r e su di essa due punti A e B, le due perpen-dicolari ad r nei punti A e B si incontrano necessariamente in un punto P .Da questa semplice considerazione emerge che, se ammettiamo l'assioma diRiemann, esistono punti per i quali passano più perpendicolari ad una retta.

Figura 2

Consideriamo ora sulla semiretta opposta ad AP un punto P ′ tale cheAP sia congruente ad AP ′ e congiungiamo P ′ con B. I due triangoli che nerisultano, PAB e P ′AB sono congruenti per il primo criterio di congruenza,avendo due lati e l'angolo (retto) compreso, uguali. Di conseguenza l'angoloP ′BA risulta retto, essendo congruente a PBA. Quindi i tre punti P , B, P ′

risultano allineati.A questo punto si possono distinguere due casi:

1. Supponiamo che i punti P e P ′ siano distinti tra loro. In questo caso peressi passano almeno due rette, il ché è in contraddizione con l'assioma diincidenza di Hilbert I.2 (per due punti A e B c'è al massimo una retta

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che appartiene ad ognuno dei due punti A e B), che andrà pertantomodi�cato.

2. Supponiamo che il punto P coincida con P ′. In questo caso la con-traddizione è con gli assiomi di ordinamento, in quanto nella nostracostruzione abbiamo supposto che il punto A si trovi tra P e P ′, iquali, quindi, non potrebbero coincidere.

Secondo una nomenclatura introdotta da Klein, se si sceglie di adottare laprima alternativa, la geometria riemanniana che si ottiene è detta geometriaellittica doppia, o geometria sferica, mentre la geometria che si ottiene nelsecondo caso si chiama geometria ellittica singola, o semplicemente ellittica.

1.4 La geometria sferica

La prima particolare caratteristica della geometria sferica è l'introduzionedi un nuovo concetto primitivo, oltre a quelli di punto, retta e appartenenzahilbertiani, quello di punti antipodali. La sua de�nizione è conseguente all'as-sioma che segue, che sostituisce i primi due assiomi di incidenza presentatida Hilbert:

Assioma I′.1. L'insieme dei punti del piano è suddiviso in coppie di punti,tali che ogni punto appartiene a una e una sola coppia e i punti di ciascunacoppia sono distinti. Per due punti che appartengono a coppie distinte passauna e una sola retta, mentre per i due punti di una stessa coppia passanopiù rette.

De�niamo dunque antipodali due punti appartenenti alla stessa coppia.Dall'assioma I′.1 segue un fatto estremamente nuovo rispetto alla geome-

tria euclidea. Questo importante risultato della teoria riemanniana è espressonel seguente

Teorema 1. Le rette sono linee chiuse.

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Figura 3

Dimostrazione . Consideriamo la �gura 2. A partire dal punto P ′, ripor-tiamo sulla retta s, perpendicolare ad r in A, un segmento P ′C congruenteal segmento PA. Dal punto C tracciamo la perpendicolare h alla retta s eriportiamo su di essa un segmento CD congruente ad AB (�gura 3).

Notiamo che P ′AB e P ′CD sono congruenti per il primo criterio euclideodi cogruenza dei triangoli, dunque, poichè ABP ′ è retto, anche l'angoloCDP ′ è anch'esso retto.

Ripetendo la costruzione già vista in precedenza determiniamo il puntoP ′′ tale che CP ′′ sia congruente a CP ′. I punti P ′−D−P ′′ risultano allineatie dunque P e P ′sono antipodali poiché per essi passano almeno due rette:P ′ − C − P ′′ e P ′ − D − P ′′. Ma, dal momento che P ′ è antipodale di P ,per l'assioma I′.1, P ′ non può appartenere a due coppie diverse. Dunque Pdeve coincidere con P ′′ e la retta risulta essere una linea chiusa. �

Proviamo ora a derivare ulteriori proprietà della geometria sferica volendomantenere inalterati gli assiomi di congruenza di Hilbert.

In geometria sferica, come è facile notare, due punti su una retta deter-minano su di essa due distinti segmenti. In particolare

Corollario 1. Due punti antipodali dividono la retta in due parti congruenti.

Teorema 2. Tutte le rette che passano per un punto dato passano anche peril suo antipodale.

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Figura 4

Dimostrazione . Si consideri ancora la �gura 2. Sia Q un punto qualsiasisulla retta s distinto dai due punti antipodali P e P ′. Sia ora C un puntodella retta s tale che il segmento QC risulti congruente ad AP (�gura 4). Sitracci da C la rette h perpendicolare a s e si �ssi su di essa un punto D taleche CD sia congruente ad AB. In questo modo il triangolo QCD risultacongruente a PAB, per cui l'angolo QDC è retto. Allora Q risulta essereintersezione delle perpendicolari alla retta h nei punti C e D. Seguendoa questo punto la costruzione già mostrata in precedenza, cioè riportandoun segmento CQ′ congruente a CQ sulla retta s, si determina il punto Q′

antipodale di Q, che quindi appartiene alla retta s. �

Corollario 2. Due punti antipodali dividono in due parti congruenti tuttele rette che passano per essi.

Teorema 3. Tutte le rette sono congruenti.

Dimostrazione . La congruenza tra rette viene stabilita, in accordo con gliassiomi di congruenza hilbertiani, dimostrando che tutte le rette risultanosomme di segmenti congruenti. Fissate t ed s, due rette sul piano, esse siincontrano, per l'assioma di Riemann, in un punto P . Per il teorema 2,entrambe le rette passano anche per P ′, punto antipodale di P . Si consideri,sulla retta s il punto medio di PP ′ e si indichi con A. Da esso si innalzila perpendicolare ad s e si indichi questa retta con r. Sempre per l'assiomadi Riemann, r intersecherà t in un punto B. La �gura si presenta come la

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�gura 2 in cui P −B−P ′ è la retta t. I due triangoli PAB e P ′AB risultanocongruenti per il primo criterio di congruenza e isosceli poichè PBA e P ′BAsono uguali ed entrambi retti essendo i punti P , B, P ′ allineati su t. Maallora PA risulta congruente a PB e P ′A congruente a P ′B e i segmentidelle due rette compresi tra i punti P e P ′ sono congruenti. In base a quantoa�ermato dal corollario precedente, sono congruenti le intere rette. �

Dal teorema appena enunciato discende facilmente il seguente corollario:

Corollario 3. Il luogo dei punti medi dei segmenti che, nello stesso piano,uniscono due punti antipodali P e P ′ è una retta che è perpendicolare a tuttele rette che contengono i segmenti in questione.

Tale corollario si può facilmente invertire:

Teorema 4. Tutte le rette perpendicolari a una stessa retta passano per duepunti antipodali.

In base alla teoria �nora esposta, appare evidente la necessità di apporta-re qualche modi�ca agli assiomi che regolano l'ordinamento sui punti di unaretta, in quanto gli assiomi hilbertiani caratterizzano un ordinamento di tipolineare non valido per una linea chiusa, quale è la retta sferica. Ad esempio,diversamente da quanto accade su una retta euclidea, dati tre punti A, B eC su una retta della geometria sferica, non si può stabilire quale tra essi stiafra gli altri due, anche se si è �ssato uno dei possibili versi di percorrenzadella retta. Per questo motivo è opportuno scegliere come concetto primi-tivo, anziché quello di �stare fra�, quello di �separazione� che è certamentepiù adatto a descrivere il tipo di ordinamento dei punti su una linea chiusa.La separazione è una relazione quaternaria che indicheremo con l'espressioneS(AB|CD) per indicare che la coppia di punti A e B separa la coppia dipunti C e D.

Di seguito gli assiomi di ordinamento, o separazione:

Assioma II′.1. Se S(AB|CD), allora A, B, C, D sono quattro punti di-stinti appartenenti ad una stessa retta.

Dunque la relazione di separazione si applica solo a punti allineati.

Assioma II′.2. Se S(AB|CD), allora anche S(BA|CD), S(AB|DC), S(BA|DC),S(CD|AB), S(CD|BA), S(DC|AB), S(DC|BA).

Questo assioma garantisce che la relazione di separazione dipende solodalle due coppie di punti e non dall'ordine dei punti in ciascuna coppia odall'ordine in cui consideriamo le due coppie.

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Assioma II′.3. Se A, B, C sono tre punti distinti di una retta, allora esistealmeno un punto D tale che S(AB|CD).

L'assioma II′.3 garantisce dunque l'in�nità dei punti di una retta sottola condizione che su ogni retta vi siano almeno tre punti.

Il seguente assioma a�erma che, comunque si scelgano quattro punti suuna retta, essi si possono distribuire in due coppie che si separano.

Assioma II′.4. Se A, B, C, D sono quattro punti distinti appartenenti allastessa retta, allora esiste una coppia di punti che separa la coppia costituitadagli altri due; vale cioè almeno una delle seguenti relazioni: S(AB|CD),S(AC|BD), S(AD|BC).

Assioma II′.5. Se S(AB|CD) e S(AC|BE), allora S(AB|DE).

Figura 5

Come i corrispondenti assiomi dell'ordine nella geometria hilbertiana,anche gli assiomi della separazione nella geometria sferica conducono allade�nizione di segmento e agli altri concetti che si impiegano negli assiomi dicongruenza. Bisogna però tener presente che due punti A e B determinanosempre due segmenti anziché uno solo. Soltanto con l'aiuto di un terzo puntoC si possono distinguere i due segmenti uno dall'altro; uno dei segmenti èformato da tutti i punti che sono separati da C per mezzo di A e B, l'altrodai punti rimanenti della retta AB.

Tranne nel caso in cui due punti siano antipodali, in cui i due segmentiindividuati sono congruenti e vengono de�niti semirette, uno dei due segmentiindividuati da A e B non contiene coppie di punti antipodali, mentre l'altrone contiene. Possiamo convenzionalmente de�nire segmento AB il primo diquesti due, cioè la parte che non contiene punti antipodali.

Come conseguenza di questi primi assiomi si ha il seguente teorema:

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Teorema 5. Dati quattro punti distinti di una retta A, B, C, D, vale al piùuna delle seguenti relazioni: S(AB|CD), S(AC|BD), S(AD|BC).

Dimostrazione . Per l'assioma II′.4 sappiamo che vale almeno una dellerelazioni elencate. Supponiamo quindi che valga S(AB|CD) e dimostriamoche non possono valere gli altri due casi. Se valesse S(AC|BD), infatti, perl'assioma II′.5, avremmo S(AB|DD), contro l'assioma II′.1. Analogamentesi trova una contraddizione se si ammette che valga S(AD|BC). �

Per enunciare l'ultimo degli assiomi di questo gruppo de�niamo triangolol'insieme costituito da tre punti non allineati e dai punti dei tre segmenti cheuniscono a due a due i tre punti. Da questa de�nizione segue che i lati deitriangoli sono minori di una semiretta.

Assioma II′.6. Una retta che, passando per un vertice, entra in un triangoloincontra il lato opposto.

In de�nitiva, mantenendo la suddivisione degli assiomi in cinque grup-pi, così come era stato fatto nei Fondamenti della geometria di Hilbert,potremmo sintetizzare quelli della geometria sferica piana:

Assiomi di appartenenza.

I′.1. L'insieme dei punti del piano è suddiviso in coppie di punti, tali cheogni punto appartiene a una e una sola coppia e i punti di ciascuna coppiasono distinti. Per due punti che appartengono a coppie distinte passa una euna sola retta, mentre per i due punti di una stessa coppia passano più rette.

I′.2. Su ogni retta vi sono almeno tre punti.

I′.3. Non tutti i punti appartengono alla stessa retta.

Assiomi di ordinamento.

II′.1. Se S(AB|CD), allora A, B, C, D sono quattro punti distinti appar-tenenti ad una stessa retta.

II′.2. Se S(AB|CD), allora anche S(BA|CD), S(AB|DC), S(BA|DC),S(CD|AB), S(CD|BA), S(DC|AB), S(DC|BA).

II′.3. Se A, B, C sono tre punti distinti di una retta, allora esiste almenoun punto D tale che S(AB|CD).

II′.4. Se A, B, C, D sono quattro punti distinti appartenenti alla stessa ret-ta, allora esiste una coppia di punti che separa la coppia costituita dagli altridue; vale cioè almeno una delle seguenti relazioni: S(AB|CD), S(AC|BD),S(AD|BC).

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II′.5. Se S(AB|CD) e S(AC|BE), allora S(AB|DE).

Assiomi di congruenza.

Gli assiomi di congruenza di Hilbert si conservano praticamente inalte-rati. Nell'insieme di tutti i segmenti essi de�niscono una relazione di equiva-lenza ∼= che possiamo chiamare congruenza. Anche nell'insieme di tutti gliangoli questi assiomi conducono ad una relazione di equivalenza, chiamataanch'essa congruenza ∼=.

III′.1. Dati due punti non antipodali, A e B ed un altro punto C su unaretta r, su ciascuna semiretta di origine C ed appartenente ad r esiste ununico segmento CD tale che CD ∼= AB.

III′.2. Se un segmento A′B′ ed un segmento A′′B′′ sono congruenti ad unostesso segmento AB, allora anche il segmento A′B′ è congruente al segmentoA′′B′′; ovvero, brevemente: se due segmenti sono congruenti ad un terzo sonocongruenti tra loro.

III′.3. Sia B interno al segmento AC e sia B′ interno al segmento A′C ′.Allora se AB ∼= A′B′ e BC ∼= B′C ′, risulta anche AC ∼= A′C ′.

III′.4. Siano dati un angolo (h, k) ed una semiretta h′ appartenente ad unaretta r, allora in ciascuno dei semipiani di origine r esiste un'unica semirettak′ tale che (h′, k′) ∼= (h, k).

III′.5. Siano A, B, C e A′, B′, C ′ due terne di punti non allineati. SeAB ∼= A′B′, AC ∼= A′C ′ e BAC ∼= B′A′C ′, allora ABC ∼= A′B′C ′.

Assioma delle parallele.

Tale gruppo è costituito esclusivamente dall'assioma di Riemann.

IV′.1. Due rette qualsiasi di un piano hanno sempre almeno un punto incomune.

Assioma di continuità.

Il seguente è chiamato Assioma di Dedekind.

V′.1. Se i punti di un segmento AB sono divisi in due classi non vuote inmodo che:

1. tutti i punti di AB siano in una o nell'altra classe (e in una sola);

2. i punti A e B appartengano a classi diverse (che chiameremo rispetti-vamente prima e seconda classe);

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3. Tutti i punti della prima classe precedono quelli della seconda;

allora esiste nel segmento AB un punto C (che può appartenere sia allaprima sia alla seconda classe) tale che tutti i punti del segmento AB cheprecedono C appartengono alla prima classe e tutti quelli che seguono Cappartengono alla seconda classe.

A questo punto, per assicurarci che le modi�che agli assiomi di Hilbertabbiano prodotto un sistema logico coerente per la geometria sferica, è ne-cessario procedere alla determinazione di un modello geometrico euclideo chesoddis� tutti gli assiomi della geometria sferica.

L'interpretazione immediata che rispetta evidentemente tutti gli assiomisopra elencati, che divengono proposizioni valide di geometria euclidea, èl'ambiente geometrico di una super�cie sferica.

In questo modello si interpreta come piano la super�cie della sfera, comepunto un usuale punto della super�cie sferica e come retta una circonferenzamassima.

Di conseguenza, dati due punti sulla super�cie sferica, se essi non sonoantipodali, individuano due porzioni di retta sferica; si conviene quindi dichiamare segmento la linea di minima distanza tra i due punti. Nel caso ipunti siano antipodali, si ottengono due semirette.

Si adottano poi i concetti di appartenenza, separazione e congruenza nelsenso usuale euclideo.

In base a questa interpretazione si intuisce facilmente come tutti gli as-siomi della geometria sferica siano dimostrabili come proposizioni di quellaeuclidea.

� Per due punti antipodali passano in�nite rette, cioè circonferenze mas-sime, in quanto ogni piano passante per la retta che unisce punti dia-metralmente opposti della sfera la taglia secondo un cerchio massimopassante per i due punti.

� Per due punti non antipodali passa una e una sola retta, in quanto idue punti sulla sfera individuano col centro di essa un unico piano chetaglia sulla sfera un cerchio massimo passante per i due punti.

� Su una retta vi sono in�niti punti e non tutti i punti appartengono allastessa retta.

� La consistenza degli assiomi di ordinamento è assicurata dal fatto chele rette sono linee chiuse.

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� Due rette si incontrano sempre in due punti antipodali, infatti duecerchi massimi sulla sfera sono individuati da due piani passanti peril centro della sfera, che hanno quindi come intersezione una retta chetaglia la sfera in due punti opposti, comuni alle due rette. Pertantoanche l'assioma di Riemann risulta veri�cato.

� La validità degli assiomi di congruenza e di continuità è sempliceconseguenza di proprietà elementari della sfera.

In questa interpretazione risultano facilmente veri�cati anche i teoremi pre-cedentemente dimostrati:

� ogni cerchio massimo che passa per un punto passa anche per l'antipo-dale di tale punto.

� Tutti i cerchi massimi sono congruenti tra loro.

� Tutti i cerchi massimi perpendicolari a un dato cerchio massimo siincontrano in due punti antipodali.

� Il luogo dei punti medi di tutti i semicerchi massimi che uniscono duepunti antipodali è un cerchio massimo perpendicolare a quei semicerchi.

Dalle osservazioni appena esposte si evince che la super�cie della sfera, con leconvenzioni da noi adottate, soddisfacendo pienamente tutti gli assiomi dellageometria sferica riemanniana, ne costituisce un buon modello. Dunque, co-me abbiamo precedentemente a�ermato, la geometria della sfera si con�guracome teoria coerente grazie alla non contraddittorietà relativa rispetto allageometria euclidea.

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Capitolo 2

Il progetto didattico

2.1 Il Piano nazionale Lauree Scienti�che

Nel 2004 il Ministero dell'Università e dell'Istruzione, con la collaborazionedella Conferenza Nazionale dei Presidi di Scienze e Tecnologie e di Con�ndu-stria, ha promosso il progetto didattico Lauree Scienti�che con la dichiarataintenzione di porre rimedio alla crescente crisi di vocazione scienti�ca gio-vanile, proponendosi di incrementare il numero di immatricolati alle facoltàscienti�che e garantendo loro un più sicuro inserimento nel mondo del lavo-ro. Come si legge sul sito del Ministero dell'Istruzione, dell'Università e dellaRicerca [9], il Progetto Lauree Scienti�che �si è concentrato nel quadriennio2005 -2008 su tre obiettivi principali:

� migliorare la conoscenza e la percezione delle discipline scienti�che nellaScuola secondaria di secondo grado, o�rendo agli studenti degli ultimitre anni di partecipare ad attività di laboratorio curriculari ed extracurriculari stimolanti e coinvolgenti;

� avviare un processo di crescita professionale dei docenti di materiescienti�che in servizio nella Scuola secondaria a partire dal lavorocongiunto tra Scuola e Università per la progettazione, realizzazione,documentazione e valutazione dei laboratori sopra indicati;

� favorire l'allineamento e l'ottimizzazione dei percorsi formativi dallaScuola all'Università e nell'Università per il mondo del lavoro, poten-ziando ed incentivando attività di stages e tirocinio presso Universi-tà, Enti di ricerca pubblici e privati, Imprese impegnate in ricerca eSviluppo�.

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Le linee guida del progetto dimostrano la volontà di potenziare le strutturedel sapere e del mondo del lavoro al loro interno e ra�orzarne i collegamenti,coinvolgendo in maniera congiunta Università, Associazioni imprenditorialie Scuole. Per raggiungere gli obiettivi pre�ssati, si de�niscono azioni miratea più livelli: speci�che attività di orientamento pre-universitario, migliora-mento della qualità della didattica, promozione di stage e tirocini, revisionedelle classi di laurea interessate conferendo maggiore rilievo alle attività distage, potenziamento dei percorsi post-lauream, ecc.

Le attività proposte dal Progetto Lauree Scienti�che dal 2005 al 2008hanno coinvolto circa 3000 Scuole e 4000 insegnanti della scuola secondariae circa 1800 professori universitari. Gli obiettivi hanno condotto a promuo-vere e�caci azioni di orientamento e di formazione dei docenti, contribuendoa colmare, almeno in parte, il profondo gap socio-culturale esistente tra si-stema scolastico e sistema universitario. Di fatto, tra il 2005 e il 2008, leimmatricolazioni ai corsi di laurea di Matematica, Fisica, Chimica e Scienzedei Materiali, hanno avuto un signi�cativo incremento, che ha toccato pun-te del 70% per la classe di Scienze Matematiche, sintomo di un più sentitointeresse e coinvolgimento nei confronti della Scienza, certamente in partecorroborato da un maggior numero di iniziative ed attività organizzate pergli studenti, in linea con quanto auspicato dal Progetto Lauree Scienti�che.

I signi�cativi risultati ottenuti nel periodo di sperimentazione hanno por-tato il Ministero dell'Istruzione, dell'Università e della Ricerca a proporreun nuovo progetto, allo scopo di approfondire e consolidare ulteriormente ilrapporto tra Scuola e Università, da un lato, e tra Università e mondo dellavoro, dall'altro. Il nuovo programma è stato denominato Piano nazionaleLauree Scienti�che (di seguito PLS), con l'evidente scopo di distaccarsi dallaprima fase di carattere ancora sperimentale ra�orzandone i punti di forza esottolineandone con maggior convinzione e chiarezza gli obiettivi primari ele modalità operative. Il programma del nuovo PLS si propone, pertanto,di mantenere le �nalità di orientamento e di formazione degli insegnanti delprecedente Progetto Lauree Scienti�che: viene ribadita la necessità di fornireagli studenti la possibilità di conoscere ed approfondire temi nuovi in mododa poter meglio individuare le proprie attitudini e propensioni e vengonopromosse speciali attività di autovalutazione, in modo che i ragazzi possanoveri�care e consolidare le proprie conoscenze alla luce della preparazione ri-chiesta nei vari corsi universitari. La classe insegnante deve venir ra�orzatasia dal punto di vista delle conoscenze disciplinari e interdisciplinari, sia perquanto riguarda l'abilità di motivare e coinvolgere gli allievi, stimolando almeglio le loro capacità e i loro interessi.

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Un nuovo punto fondamentale di questo Piano è la espressa esigenzadi focalizzare l'attenzione sulla �necessità di collegare consapevolmente leattività del Piano con l'innovazione dei curricula e delle metodologie didat-tiche adottati negli istituti scolastici, nonchè dei contenuti e delle modalitàdella formazione degli insegnanti (iniziale e in servizio), per il primo e se-condo ciclo. Una rinnovata attenzione andrà anche posta al coinvolgimentodelle imprese nella progettazione e realizzazione dei laboratori e delle altreattività�[9].

2.2 La Matematica nel Piano Lauree Scienti�che a

Pavia

Il Dipartimento di Matematica di Pavia ha aderito sia al Progetto LaureeScienti�che che al nuovo PLS nell'ambito di due azioni: "Formazione trienna-le, stage e post-lauream" e "Orientamento e formazione insegnanti", la primalegata prevalentemente all'assegnazione di borse di studio per attività di tiro-cinio presso aziende, la seconda incentrata su azioni mirate all'orientamentopre-universitario degli studenti e ad attività di formazione insegnanti.

Le principali attività del progetto mirano a fornire ai ragazzi delle scuolesuperiori una più corretta visione della matematica, proponendo temi nuo-vi rispetto agli argomenti comunemente previsti dai programmi ministeriali,spesso in stretta connessione con altre discipline, focalizzandosi su partico-lari argomenti delle scienze, della tecnologia o delle professioni, in manieraquanto più possibile coinvolgente e accattivante, nell'ottica di rilanciare la vi-sione di una materia troppo spesso sottostimata e non compresa, considerata,anche da studenti brillanti, come una disciplina arida e misteriosa.

L'obiettivo del Piano Lauree Scienti�che di incrementare gli iscritti aicorsi di laurea della facoltà di Scienze, è stato interpretato dai ricercatoripavesi impegnati nel progetto come la necessità di creare maggior consape-volezza nei ragazzi e di porli quanto più possibile in contatto con quella chee�ettivamente è la disciplina matematica, nella speranza di renderli e�etti-vamente più consci dei propri gusti e delle proprie attitudini, certamente conl'augurio di accendere l'interesse per questa materia in chi prima d'allora sifosse mostrato indi�erente. Nell'ambito del progetto �Orientamento e forma-zione insegnanti� si è investito molto sulle cosiddette attività di �Laboratoriodi Matematica�. �Per laboratorio si intende un'attività, che avviene in basea un obiettivo formativo e a un progetto formulato dai docenti, nella qualegli studenti:

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� utilizzano e mettono alla prova le conoscenze e gli strumenti che hannodisponibili, per descrivere e modellizzare situazioni e fenomeni, perrisolvere problemi, per produrre un evento o un oggetto;

� discutono e lavorano in gruppo con altri studenti e con i docenti;

� prendono decisioni, piani�cano e operano per raggiungere obiettivistabiliti;

� valutano i risultati ottenuti;

� acquisiscono concetti e abilità operative e li collegano in costruzioniteoriche, con consapevolezza metacognitiva.

Il laboratorio in molti casi richiede strumenti e ambienti speci�ci, ma occor-re ricordare che la presenza di tali strumenti non è di per sé garanzia chel'attività svolta sia un laboratorio nel senso precisato sopra. In particolare,un'attività nella quale gli studenti si limitano esclusivamente ad ascoltare e aosservare lezioni o anche dimostrazioni sperimentali non è un laboratorio�[9].

A Pavia, per la Matematica, sono stati organizzati cinque diversi labo-ratori, aderendo precisamente al protocollo qui sopra riportato.

2.3 Il laboratorio di matematica

L'esigenza di proporre attività di tipo laboratoriale è senza dubbio semprepiù sentita e perseguita da chi si occupa di didattica della matematica. E'signi�cativo il fatto che questa necessità sia stata rimarcata esplicitamenteall'interno delle Indicazioni per il curriculum (2007) della scuola dell'infanziae per il primo ciclo d'istruzione in cui si sottolinea, per l'area matematico-scienti�co-tecnologica l'importanza del laboratorio �inteso sia come luogo�sico (aula, o altro spazio speci�camente attrezzato) sia come momento incui l'alunno è attivo, formula le proprie ipotesi e ne controlla le conseguen-ze, progetta e sperimenta, discute e argomenta le proprie scelte, impara araccogliere dati e a confrontarli con le ipotesi formulate, negozia e costruiscesigni�cati interindividuali, porta a conclusioni temporanee e a nuove aperturela costruzione delle conoscenze personali e collettive� [8, (p. 91)].

Per comprendere esattamente cosa si intenda per �laboratorio di mate-matica� e in che senso questo possa rappresentare una tanto e�cace alter-nativa alla didattica convenzionale tipica della maggior parte delle lezioniscolastiche, riportiamo alcune delle considerazioni proposte, già nel 2003,dall'Unione Matematica Italiana nel volume �Matematica 2003� (UMI 2003)

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per un curriculum il più possibile adeguato ai bisogni della nostra società edella realtà giovanile.

Il documento sottolinea innanzitutto la necessità di presentare una ma-tematica che si faccia carico di mobilitare le risorse intellettuali degli allievianche al di fuori delle abilità strettamente matematiche in modo da contri-buire alla formazione complessiva dell'alunno. Per fare ciò è necessario chesi prediliga la scelta di autentici problemi da presentare ai ragazzi piuttostoche semplici esercizi a carattere ripetitivo. �Fare molti esercizi �dello stessotipo� è importante per acquisire scioltezza e sicurezza, ma può ottundere lospirito critico se non vi è su�ciente variabilità�[16, (p. 21)].

Nel paragrafo intitolato �Indicazioni metodologiche� si enfatizza la neces-sità di proporre attività didattiche signi�cative e coinvolgenti , �in cui l'a-lunno possa essere attivamente coinvolto e stimolato ad a�rontare e risolvereproblemi. [...] Le attività didattiche potranno essere realizzate tramite variapprocci metodologici, che coinvolgano in varia misura studenti e insegnanti,ma che dovranno dare al processo di insegnamento-apprendimento prevalen-temente una caratterizzazione di tipo collettivo, impostata sull'interazionetra gli studenti e tra insegnante e studenti�[16, (p. 26)].

Il documento UMI 2003 sottolinea che, nonostante la cosiddetta lezionefrontale rappresenti la tecnica più �sicura� per insegnanti, genitori e dirigentiscolastici, poichè garantisce, di solito, che si �nisca in tempo il programma,essa non deve essere l'unica metodologia di insegnamento-apprendimento. Lalezione frontale, infatti �pur avendo una sua valenza didattica, nell'abituaregli studenti a prestare attenzione a una spiegazione, a imparare a prende-re appunti in maniera autonoma, quando una persona parla, a svilupparecompetenze di sintesi e di organizzazione dell'informazione, a comprendereun discorso fatto da un esperto su un argomento matematico, [...] andrebbea�ancata, integrata, alternata ad altre metodologie, che sviluppano altrecompetenze negli studenti� [16, (p. 26)].

E' fondamentale che gli alunni si pongano nei confronti delle materie og-getto di studio con l'atteggiamento corretto. La matematica, in particolare,non deve essere percepita come un insieme di regole che vengono espostedall'insegnante o lette sui libri di testo e che l'alunno deve semplicementesforzarsi di memorizzare e applicare. Questa disciplina dovrebbe invece esse-re riconosciuta e apprezzata come contesto dinamico in cui a�rontare e porsiproblemi signi�cativi, mettere alla prova le proprie capacità di ragionamen-to e analisi ed esercitarle. Durante attività di tipo laboratoriale, l'alunnoha l'opportunità di mettersi completamente in gioco ed anzi, è fortementespinto dal contesto a farlo: non solo deve prestare attenzione alle congettureproposte dai compagni, ma è portato a produrre a sua volta ragionamenti;

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egli si confronta, veri�ca la pertinenza del proprio pensiero e ricerca tesi asostegno di esso. Viste le particolari modalità di questo tipo di didattica,è usuale assimilare l'ambiente del laboratorio di matematica �a quello del-la bottega rinascimentale, nella quale gli apprendisti imparavano facendo evedendo fare, comunicando fra loro e con gli esperti� [16, (p. 23)]. Risultaquindi evidente la grande importanza dell'aspetto comunicativo della praticalaboratoriale. Richiamo, in proposito, quanto proposto sul documento UMI2003 in un paragrafo intitolato �Le interazioni tra le persone nel laboratoriodi matematica�:

�La costruzione di signi�cati è strettamente legata alla comunicazione econdivisione delle conoscenze in classe, sia attraverso i lavori in piccoli gruppidi tipo collaborativo o cooperativo, sia attraverso lo strumento metodologicodella discussione matematica, opportunamente gestito dall'insegnante. Ciso�ermiamo, a scopo esempli�cativo per quel che riguarda la gestione delleinterazioni sociali in classe, sulla discussione matematica. Un primo livel-lo di discussione è quello che, per esempio, si sviluppa dopo la lettura deltesto di un problema. Un secondo livello di discussione matematica si svi-luppa al termine della soluzione (individuale o in piccoli gruppi) o, talvolta,in un momento cruciale della soluzione stessa. Tale discussione è centratasul confronto delle soluzioni realizzate dagli alunni e si sviluppa attraversola presentazione delle proprie soluzioni, oltre che sull'interpretazione e sullavalutazione di quelle realizzate dai compagni. Un terzo livello di discussionematematica riguarda la correttezza e la ricchezza delle soluzioni proposte,la coerenza e l'attendibilità, il livello di generalizzazione adottato. Quest'ul-tima fase dovrebbe condurre alla costruzione di signi�cati che vanno oltrequelli direttamente coinvolti nella soluzione del compito, per consentire aglistudenti di entrare in contatto con nuovi aspetti della cultura matematica,favorendo in particolare, un approccio, graduale ma sistematico, al pensieroteorico�. [16, (p. 25)].

Gli insegnanti, purtroppo, non sono particolarmente abituati a propor-re agli alunni modalità di lavoro alternative rispetto alle classiche lezioni ditipo frontale. Inoltre, durante la normale attività didattica, tendono spessoad essere troppo direttivi e a indirizzare i propri alunni verso la conclusionedell'indagine, limitando in questo modo quel fondamentale processo di auto-nomia nell'acquisizione di nuovi contenuti che permette anche di svilupparestrategie e idee alternative a quelle progettate dall'insegnante. E' pertantonecessario che i docenti rivedano criticamente il proprio operato e la propriapratica in classe rivisitando i contenuti matematici da proporre agli studentie le modalità di costruzione della conoscenza.

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Riporto, a titolo d'esempio, signi�cativi pareri di alcuni insegnanti in se-guito alla presentazione di speci�che attività laboratoriali basate sul modellodel �cooperative learning�, raccolti durante esperienze didattiche di�erenti eriportate in un articolo pubblicato nel 2008 sulla rivista �L'insegnamentodella matematica e delle scienze integrate�.[12, (p. 457)].

� �Ho dovuto più volte ripensare criticamente al lavoro disciplinare daproporre in classe, migliornado la qualità e l'organizzazione delle pro-poste didattiche. Ho anche intensi�cato la ri�essione sul mio agire inclasse�.

� �Ho trovato che il lavoro è più stimolante, la comunicazione con laclasse è più intensa e gli obiettivi da raggiungere sono più facilmentecondivisi�.

� �Ho imparato a conoscere gli alunni come �persone� e non soltantocome �scolari� �.

� �E' stato un ottimo esercizio per abituarmi a non suggerire la stradapiù e�cace per arrivare alla soluzione�.

� �Ho potenziato la capacità di organizzare e gestire una attività in cui iragazzi siano protagonisti e non spettatori del lavoro di classe. Mi haaiutato ad essere più attiva nella ricerca di nuove proposte che stimolinola creatività degli alunni nell'a�rontare nuovi concetti. Sono stata piùattenta alle situazioni di disagio e di di�coltà presenti in una classe eche il lavoro cooperativo aiuta ad individuare ed a�rontare�.

2.4 Il laboratorio sulla geometria sferica: �Nei din-

torni della geometria euclidea�

Il laboratorio al quale ho collaborato durante l'anno scolastico 2010-2011, in-titolato �Nei dintorni della geometria euclidea�, è stato organizzato e guidatodai professori Angela Pesci, Enrico Vitali e Mirko Maracci, con la collabo-razione di quattro insegnanti di scuola secondaria superiore. Si è scelto di�proporre agli studenti l'esplorazione di un modello concreto di geometriasferica�, tramite l'utilizzo delle cosiddette �sfere di Lénárt�, �per indagare,alla luce di interpretazioni di�erenti di alcuni termini usuali della geometriaeuclidea, la validità o meno di teoremi e proprietà della geometria euclidea�.

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Si è cercato in questo modo di �illustrare una tipologia di sviluppo pecu-liare della matematica, quel movimento di astrazione che a partire da unarealtà nota (la geometria euclidea, nel caso in questione), la inquadra in unpanorama più generale, gettando luce su aspetti, caratteristiche e relazioniche non sarebbero altrettanto nitidamente delineate rimanendo all'internodel contesto familiare�[13].

Il lavoro è stato pensato per alunni del triennio di scuola secondariasuperiore. In particolare hanno partecipato le seguenti classi: seconda B delLiceo Classico U. Foscolo di Pavia, con docente Laura Pavesi, quarta B delLiceo scienti�co pavese T. Taramelli, con docente Maria Luisa Abbruscato,quarta D del Liceo scienti�co A. Amodeo di Mortara, con la professoressaDaniela Montani e classe terza C del liceo scienti�co C. Golgi di Broni,seguita dalla docente Barbara Pochintesta.

Si è scelto di presentare agli studenti un laboratorio sulla geometria dellasfera, un tema con il quale di�cilmente i ragazzi hanno modo di confrontarsidurante le normali lezioni scolastiche. Gli studenti sono stati in questo modoresi protagonisti di un'azione di costruzione di nuova conoscenza, tramite unprocesso di astrazione a partire da una realtà già nota, la geometria delpiano. Si è auspicato di poterli mettere in questo modo a contatto conil carattere dinamico e sfaccettato della matematica, con la possibilità diessere attivi creatori di sapere, in aperto contrasto con la visione statica chemolti hanno di questa materia. In questo modo si è data la possibilità aglialunni di ri�ettere sulla geometria del piano in una prospettiva più generale edi venire a conoscenza di una nuova geometria, appartenente al gruppo dellenon euclidee, per le quali non vale il quinto postulato di Euclide, argomentoche viene raramente a�rontato dagli insegnanti, se non con brevi riferimentio cenni di tipo storico.

Per rendere più agile agli studenti l'esplorazione della geometria sferica cisiamo dotati del kit �Sfera di Lénárt�, ideato dal professore ungherese IstvánLénárt. Esso è costituito da una super�cie sferica liscia e trasparente sucui disegnare e da una serie di strumenti speci�ci, analoghi a quelli piani,per eseguire misure e costruzioni accurate. Le principali componenti del kitsono:

� La sfera di Lénárt. Una sfera di plastica sulla quale è possibile scriveree cancellare.

� Una base d'appoggio per la sfera di forma toroidale, che è essa stessauna nuova super�cie (il toro) che gli alunni possono investigare.

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� Due calotte trasparenti da posizionare sulla sfera sulle quali è possibiledisegnare.

� Un righello sferico per compiere misurazioni lungo circonferenze massi-me. Con il bordo graduato è possibile disegnare circonferenze massime,mentre con il bordo non graduato si possono rappresentare archi di cir-conferenze sulla super�cie sferica ma che non appartenessero a cerchimassimi. Esso è costituito inoltre di una base d'appoggio a tre piediper cui è possibile riporlo su una super�cie piana e renderlo un'ulteriorebase per la sfera.

� Un goniometro sferico per misurare le ampiezze degli angoli sulla sfera.Va osservato che poichè angoli e segmenti possono avere sulla sfera lamedesima unità di misura (il grado), il goniometro sferico può esse-re utilizzato per misurare distanze lungo circonferenze e viceversa, ilrighello può essere utilizzato per misurare angoli.

� Un compasso sferico. Esso permette di disegnare circonferenze sullasuper�cie sferica in analogia al metodo con cui si opera nel piano. E'presente un dischetto di gomma con un piccolo foro al centro che hala funzione di base su cui puntare il compasso. Dopo aver regolatol'apertura e inserito un pennarello nell'opportuno anello di sostegnosi può procedere al disegno e riuscire ad ottenere circonferenze moltoprecise.

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La progettazione del lavoro è durata circa quattro mesi, da Novembre aFebbraio 2010, durante i quali si sono svolti quindici incontri pomeridianidel gruppo di ricerca, comprendente le insegnanti, allo scopo di progettareinsieme le schede di lavoro per gli studenti e de�nire le modalità operative concui condurre l'attività. Si è deciso di suddividere ogni classe in piccoli gruppidi quattro - cinque persone, secondo criteri scelti dall'insegnante in base alleconoscenze delle dinamiche della classe nel complesso, ponendo attenzione acreare gruppi quanto più omogenei tra loro, sia relativamente alle competenzedisciplinari che alle caratteristiche personali o sociali, con lo scopo che glielementi più brillanti potessero essere da stimolo per i ragazzi più insicurie meno motivati, rendendo in questo modo più partecipe all'attività tuttoil gruppo. L'obiettivo generale da perseguire era quello di avere dei gruppicapaci di collaborare tra loro, evitando tensioni personali e cercando di farfruttare le risorse di ognuno, sollecitato a metterle a disposizione di tutti.

All'interno di ogni gruppo, alla �ne di ogni esplorazione, l'insegnanteavrebbe dovuto nominare un portavoce diverso, con il compito di riferire atutta la classe le conclusioni tratte in seguito alle attività svolte. Il fattoche l'insegnante scelga un capogruppo che debba rendere conto dell'operatodi tutto il suo team alla �ne del lavoro tende a creare negli alunni maggiorresponsabilità e presumibilmente più attenzione durante lo svolgimento, per-chè essi si sentono consapevoli di rappresentare non solo se stessi ma anche ipropri compagni. Sono dunque maggiormente responsabilizzati, stimolati arappresentare al meglio la loro �squadra�.

Si è deciso di dotare ogni gruppo del kit �Sfera di Lénárt� e di una cartel-lina per raccogliere il materiale, personalizzabile a discrezione dei ragazzi conscritte e disegni. Procedendo nel lavoro la cartellina si sarebbe arricchita dicontenuti, ma anche di signi�cato: sarebbe stata testimone del lavoro com-piuto insieme, rappresentando per il gruppo un vero e proprio riferimento.Si è ritenuto importante che ogni ragazzo disponesse inoltre di un quaderno,fornito anch'esso dall'insegnante, con lo scopo che tutti gli alunni potesseroconservare una propria traccia dell'attività svolta ma soprattutto la formu-lazione delle risposte alle schede di lavoro nella loro versione �nale condivisae arricchita di tutte le osservazioni e argomentazioni proposte [11].

Per l'esecuzione dell'attività sono state previste otto ore di lezione dae�ettuare durante l'orario scolastico. Le schede di lavoro sono nove ed ognu-na è costituita da alcune domande volte a favorire l'esplorazione: si chiedespesso di agire operativamente sulla sfera tramite disegni e osservazioni peraiutare gli studenti a ragionare e trarre le giuste conclusioni. Per a�rontaree comprendere la geometria della sfera, infatti, potrebbe non essere a�attosu�ciente l'immaginazione. Per questo, l'opportunità di avere a disposizio-

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ne uno strumento come quello delle sfere di Lénárt, risulta essere, a nostroavviso, un'enorme risorsa. Lo studente lavora e disegna sulla super�cie lisciacon estrema semplicità e ha la possibilità di e�ettuare diverse prove grazieal fatto di poter cancellare e riscrivere e inoltre può compiere misurazioniaccurate con gli strumenti forniti in dotazione. I ragazzi vengono pertantoin parte guidati nel loro lavoro esplorativo ma, come vedremo dall'analisidettagliata delle schede, tanto è lasciato alla loro iniziativa e intuizione. Trai nostri obiettivi c'era infatti la scoperta, da parte degli studenti, delle ca-ratteristiche della nuova geometria, in modo abbastanza autonomo e il piùpossibile personalizzato.

Per a�rontare il tema proposto non si richiedono particolari prerequisiti,se non qualche nozione di goniometria e la conoscenza della geometria eu-clidea, i cui asserti principali sono noti �n dalla scuola media inferiore. Inogni caso le proposizioni della geometria del piano, utili per la formulazionedi quelle sulla sfera, sono quasi sempre richiamate, eccetto che nella schedaconclusiva nella quale si chiede di operare un confronto tra le proposizionidelle due geometrie. In questo caso si esplicita la possibilità di consultare illibro di testo.

Si è deciso di dotare ogni gruppo di una sola copia delle schede di lavo-ro in modo che la lettura stessa del testo e la sua interpretazione potesserorappresentare un momento di confronto e di condivisione di signi�cati. Sullascheda si sarebbero riportate le considerazioni su cui il gruppo sarebbe statod'accordo, sollecitando però i ragazzi a prendere nota anche di pareri con-trastanti, cosicché potessero diventare oggetto di discussione. Il tempo pereseguire le esplorazioni con le sfere di Lénárt e trarre le opportune conclusio-ni è stato stabilito a priori e sarebbe stato reso noto ai ragazzi �n dall'iniziodell'attività. Al termine della speci�ca attività il portavoce di ogni gruppoavrebbe avuto il compito di riferire alla classe le osservazioni e gli esiti emersidal lavoro coi compagni. L'insegnante quindi avrebbe annotato alla lavagnale varie risposte evitando di scrivere considerazioni analoghe emerse da piùgruppi. A questo punto sarebbe potuta iniziare la discussione, al terminedella quale ogni studente avrebbe riportato sul proprio quaderno la versio-ne de�nitiva delle proposizioni e osservazioni corrette. Quest'ultima fase diconfronto risulta essere fondamentale ma molto delicata. L'insegnante devedimostrare grande abilità di gestione della classe, dosando opportunamenteil tempo dell'attività e dei singoli interventi evitando che la discussione vengapolarizzata da pochi studenti, dando a tutti la possibilità di esprimersi e sol-lecitando opportunamente la partecipazione di chi risulta essere meno abilead intervenire spontaneamente, deve saper cogliere gli interventi dei ragazziche potrebbero dar origine a sviluppi produttivi, ma senza sottolineare espli-

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citamente l'esattezza dei loro ragionamenti [11]. Il ruolo dell'insegnante è dicarattere fondamentale per tutta l'attività. Egli è il costante supervisore dellavoro, deve seguire e osservare i comportamenti degli alunni, facendoli sen-tire appoggiati e seguiti, ma non deve cedere alla tentazione di intervenire,correggere eventuali interpretazioni scorrette e dare indicazioni speci�che.

Questo tipo di attività rappresenta quindi per l'insegnante un momento diarricchimento, innanzitutto per la possibilità di approfondire un particolareargomento di�cilmente noto nella sua peculiarità, perché raramente a�ron-tato nello speci�co all'interno dei corsi di laurea, ma anche per la possibilitàdi sviluppare o consolidare metodologie didattiche centrate sulla discussione,la negoziazione e il confronto tra gli studenti.

2.5 Le schede di lavoro: l'analisi a priori

Le nove schede di lavoro che qui si presentano sono state elaborate, comegià sottolineato, in stretta collborazione con i quattro insegnanti coinvoltinell'esperienza. Personalmente ho seguito quasi tutti gli incontri, parteci-pando attivamente alla scelta dei contenuti da proporre, delle domande daformulare agli studenti e delle modalità da seguire nelle attività in classe.

Qui di seguito le schede sono presentate suddivise in quattro gruppi,ognuno di due o tre schede, per rispettare l'iniziale idea di organizzare quat-tro incontri di due ore ciascuno. Questo, di fatto, non è stato sempre possibi-le, compatibilmente con la suddivisione delle ore che ogni docente aveva nellasua classe. In ogni caso, l'insegnante, anche qualora abbia dovuto suddivi-dere ulteriormente la presentazione del lavoro, ha mantenuto, eventualmentecon qualche richiamo iniziale, il nesso con la scheda precedente.

I quattro gruppi di schede sono a�ni tra loro per quanto riguarda gliargomenti proposti: si inizia con l'esplorazione dei primi elementi (punti,rette e segmenti) e di alcune loro proprietà, il secondo gruppo di schede èparticolarmente incentrato sul concetto di angolo e il terzo sulla circonferen-za. Nel quarto incontro, dopo una prima scheda con un paio di domandevolte ad indagare proprietà delle rette perpendicolari, si presenta una schedadal carattere composito esplorativo-conclusivo. La compilazione della tabel-la �nale ha il duplice obiettivo di far ri�ettere sulle analogie-di�erenze trageometria euclidea e sferica emerse durante tutta l'attività, e di spingere glialunni ad un'ulteriore esplorazione in questa direzione.

Le domande proposte sono atte a guidare gli studenti nel loro cammino discoperta delle proprietà della geometria sferica. Terminata l'analisi di ognischeda, o di particolari questioni interne ad una scheda di lavoro, deve iniziare

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una discussione con il compito di far emergere le conclusioni tratte dai varigruppi, di confrontarle e di giungere attraverso il dibattito e il confronto aduna condivisione di contenuti corretti.

Di seguito sono presentate le schede di lavoro originali consegnate ai ra-gazzi. Al termine di ogni gruppo di schede, secondo la suddivisione sopramenzionata, è presentato un commento di carattere didattico, che rappre-senta una sorta di �guida� per l'insegnante durante tutta l'attività. Vengonodescritte le questioni proposte in termini di contenuti e obiettivi sottolinean-do ri�essioni didatticamente interessanti, esplicitando in quali momenti deveaver luogo la discussione tenendo conto e prevedendo, per quanto possibile,alcuni possibili sviluppi.

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SCHEDA 1

DATA: ...........................

GRUPPO: ..............................

Nomi dei partecipanti:..........................................................................................................................................................................

Con un pennarello segnate due punti sulla sfera, appoggiata sulla sua base.

1. Disegnate la linea di minima distanza che unisce i due punti sullasuper�cie sferica.Provate con più coppie di punti e spiegate come avete ottenuto lalinea richiesta.

2. In generale, come si può ottenere geometricamente la linea di minimadistanza tra due punti su una super�cie sferica?Giusti�cate la vostra risposta.

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SCHEDA 2

La discussione precedente ci conduce alla seguente de�nizione di retta nellageometria della sfera:

De�nizione: Si dice retta una qualsiasi circonferenza massima

della super�cie sferica.

In geometria euclidea per ogni coppia di punti esiste ed è unica la

retta che passa per essi.

1. Questa proposizione è valida anche sulla sfera?Giusti�cate la vostra risposta dopo aver esplorato più situazioni sullasfera con gli strumenti a vostra disposizione.

In geometria euclidea data una retta e un punto fuori di essa

esiste ed è unica la parallela per il punto alla retta.

2. Questa proposizione è valida anche sulla sfera?Giusti�cate la vostra risposta.

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Queste due schede sono state formulate per il primo incontro con i ragazzi,prevedendo per l'attività un tempo complessivo di due ore. Si noti chesi è deciso di indicare in corsivo i termini corrispondenti a elementi sullasuper�cie sferica, per facilitare agli studenti la comprensione del contesto.Questa convenzione è stata adottata in tutte le schede.

Per rispondere ai quesiti della scheda 1 i ragazzi hanno a disposizione iseguenti strumenti: Sfera di Lénárt e base d'appoggio toroidale, pennarelli,un elastico, uno spago, un righello usuale.

Questa attività contiene indicazioni per muovere i primi passi nella com-prensione della nuova geometria. La prima richiesta è quella di individuare,dati due punti sulla sfera, la linea di minima distanza tra essi. Successiva-mente si richiede di argomentare la propria scelta, cioè di giusti�carla da unpunto di vista geometrico. L'obiettivo di questa prima attività è quello di faremergere che la linea di minima distanza tra due punti si trova sul cerchiomassimo individuato dai due punti.

La prima richiesta ha carattere fortemente esplorativo: i ragazzi disegna-no sulla sfera i punti e, utilizzando gli strumenti a loro disposizione, fannoprove, compiono misure e traggono le prime conclusioni. In questa fase ini-ziale ci si aspetta che gli alunni intuiscano che, �ssati arbitrariamente i duepunti, l'arco �più breve� risulta essere quello che sta sulla circonferenza piùgrande. In ogni caso, a questo primo livello di esplorazione, si possono ac-cettare anche ragionamenti molto qualitativi, come: �il cammino di minimadistanza è quello in cui lo spago resta più teso�, che possono essere una buonabase di partenza per lo sviluppo della discussione.

Procedendo nell'analisi della scheda osserviamo che per il confronto del-l'arco tra i due punti percorrendo la circonferenza massima oppure una qua-lunque altra circonferenza, è opportuno considerare le due circonferenze sullostesso piano. Nel caso in cui nessuno proponga la giusti�cazione adeguata,ricorrendo alle opportune intersezioni sfera - piani, si può proporre di esa-minare ad esempio perché il cammino minimo tra due punti sullo stessoparallelo, non risulti essere il tratto di parallelo stesso. In fase di discussionesi dovrebbe portare i ragazzi a ragionare su quale possa essere la de�nizio-ne di retta per due punti, sottolineandone l'analogia con il piano: come sulpiano il cammino minimo tra due punti è sulla retta per essi, sulla sfera lalinea di minima distanza che unisce due punti risulta appartenere ad unacirconferenza massima che dunque è naturale de�nire retta della geometriasulla sfera.

Soltanto alla �ne della prima discussione si procede alla consegna dellaseconda scheda, sempre una per ogni gruppo. Essa inizia, appunto, conla de�nizione di retta condivisa nella discussione. Si chiede inizialmente di

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capire se, dati due punti, esista un'unica retta passante per essi, oppurese questa proposizione sia falsa nella nuova geometria. Ci si aspetta che glialunni esplorino più situazioni, concludendo che nel caso in cui si considerinopunti antipodali, la proposizione risulta falsa, essendo in�nite le circonferenzemassime per essi.

La seconda domanda fa ri�ettere sull'esistenza della parallela per un pun-to ad una retta. I ragazzi dovrebbero notare, senza troppe di�coltà, che datauna retta ed un punto fuori di essa, ogni altra retta passante per il puntoassegnato interseca la prima retta, precisamente in due punti antipodali. Lagiusti�cazione rigorosa che potrebbe emergere è che, dal momento che duequalsiasi circonferenze massime stanno su piani passanti per il centro dellasfera, esse si intersecano inevitabilmente sulla sfera, in due punti antipodaliappartenenti alla retta passante per il centro che costituisce l'intersezionedei due piani cui appartengono le circonferenze.

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SCHEDA 3

DATA: ...........................

GRUPPO: ..............................


DEFINIZIONE:

Data una sfera di centro O, siano A, B, C tre punti della super�ciesferica. Il triangolo sferico di vertici A, B, C è l'intersezionetra la super�cie sferica e il triedro che ha vertice in O e gli spigolipassanti per i tre punti dati.Il triangolo ha come lati archi di circonferenza massima.

Ricordiamo che:

Si dice triedro una terna di semirette non complanari, aventil'origine in comune; tale origine si dice vertice del triedro e lesemirette ne sono gli spigoli.

Si usa semplicemente la parola triedro anche per indicare la regione convessadi spazio ad essa associata.I tre angoli convessi che i tre spigoli del triedro formano a due a due sichiamano facce del triedro.

Provate ora a disegnare alcuni triangoli sferici.

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1. In base alle premesse fatte, se A, B, C sono i vertici di un triangolo

sferico, possono essere allineati? Motivate la vostra risposta.

2. Due punti antipodali possono essere vertici di un triangolo sferico?Giusti�cate la risposta.

3. Ci sono delle limitazioni alle lunghezze dei lati di un triangolo sfe-

rico? Motivate la vostra risposta.

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SCHEDA 4

DEFINIZIONE:

Considerata una retta (circonferenza massima) e due punti anti-podali su di essa, A e A', possiamo chiamare semiretta ciascunadelle due parti individuate da A e da A' (cioè una semicirconfe-renza massima).Sia il punto A che il punto A' si con�gurano come origine dientrambe le semirette.

DEFINIZIONE:

Se a e b sono due semirette di origine A, chiamiamo angolo

sferico (o semplicemente angolo) di lati a e b, l'angolo pianodi vertice A avente come lati le semirette a' e b' tangenti in Arispettivamente ad a e b.

Osservate che le semirette a' e b' sono semirette euclidee, la ae la b sono semirette della geometria sferica...

Disegnate ora alcuni triangoli sferici e misurate in ciascun caso, con l'ap-posito strumento, quanto vale la somma degli angoli interni di un triangolo.

Quali osservazioni potete dedurre dai vostri risultati?

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L'insieme di queste due schede è stato previsto per il secondo incon-tro, in modo che gli alunni potessero comprendere la de�nizione di triango-lo sferico e avere la possibilità di esplorare il nuovo concetto e conoscerneimmediatamente alcune proprietà.

La scheda 3 propone una de�nizione di triangolo sferico e sollecita ade�ettuare opportune esplorazioni sulla sfera di Lénárt.

Le prime due domande portano a ri�ettere sulla de�nizione data: non èpossibile che un triangolo sferico abbia tre vertici allineati (cioè appartenentiad un cerchio massimo), così come due vertici antipodali, dal momento chenella de�nizione di triedro è espressa la condizione di non complanarietà perla terna di semirette.

La terza domanda chiede se ci possano essere o meno limitazioni alle lun-ghezze dei lati e dalle esplorazioni appena e�ettuate gli studenti dovrebberoconcludere, senza troppa di�coltà, che le lunghezze dei lati devono esseresempre inferiori ad una semicirconferenza massima.

Dopo una prima discussione sulle idee emerse i ragazzi ricevono la sche-da 4. In essa si propongono le de�nizioni di semiretta sferica e di angolosferico e si richiede di misurare, disegnando diversi triangoli sferici, la sommadegli angoli interni dei triangoli. Oltre alla sfera di Lénárt, al kit di pen-narelli, e al righello per disegnare circonferenze massime, i ragazzi vengonodotati dell'opportuno goniometro sferico.

Gli obiettivi di questa scheda sono molteplici: certamente in questo se-condo incontro i ragazzi entrano, per così dire, nel vivo della nuova geometria,conoscendo nuovi oggetti e proprietà caratteristiche. Per far sì che il distaccodalla geometria del piano risulti evidente abbiamo deciso, ancora per questoincontro, di ricordare la de�nizione di retta sulla sfera, tramite l'inciso dellaprima riga, e di far notare esplicitamente quando si indica una semiretta sfe-rica e quando una semiretta euclidea. Nel seguito, invece, gli alunni non sonopiù così guidati, ma gli oggetti della geometria sferica sono semplicementescritti in corsivo per questione di chiarezza.

Tramite la sola richiesta di questa scheda si vorrebbe far ri�etter i ragazzisulla non costanza della somma degli angoli interni di un triangolo, proprietàcontrastante con l'analoga euclidea. Ci si aspetta in�ne che gli alunni siinteressino all'esplorazione dei cosiddetti casi limite, ovvero si domandinose ci possano essere un valore massimo e un valore minimo per la sommadegli angoli interni di un triangolo, e attraverso l'esplorazione sulla sfera diparticolari triangoli, giungano alla conclusione che tale somma varia da π a3π, ma che, tuttavia, questi valori non vengono mai raggiunti.

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SCHEDA 5

DATA: ...........................

GRUPPO: ..............................


Analogamente alla de�nizione di circonferenza sul piano, poniamo la seguen-te

DEFINIZIONE:

Se C è un qualsiasi punto sulla super�cie sferica, chiamiamo cir-conferenza Γr con centro C e raggio r, il luogo dei punti dellasuper�cie sferica che distano r da C.

1. Considerate sulla sfera una qualsiasi retta. In base alla de�nizione dicirconferenza data, potete interpretare la retta come una particolarecirconferenza? Se si quali sono i rispettivi centro e raggio?

2. Tracciate una qualsiasi circonferenza sulla sfera, quali osservazionipotete fare riguardo all'individuazione di centro e raggio?

3. Qual è l'intervallo di valori entro il quale può variare la misura delraggio di una circonferenza?Descrivete le caratteristiche delle circonferenze corrispondenti ai valoriestremi di questo intervallo.

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SCHEDA 6

Disegnate alcune circonferenze Γ1 , Γ2 ... di centro C e raggi r1,r2. . .Utilizzando spago e righello misurate i raggi, le circonferenze e compilate latabella che segue.

raggio circonferenza rapporto

r1 = Γ1 = Γ1/2r1 =

r2 = Γ2 = Γ2/2r2 =

Cosa osservate dalla tabella, pensando alla analoga situazione nel piano?

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SCHEDA 7

Nella geometria euclidea, π rappresenta il rapporto costante tra la lunghezzadella circonferenza e la lunghezza del diametro.

Come si è potuto osservare nella Scheda 6 il valore di questo rapporto non ècostante nella geometria della sfera.

Dimostrerete ora da cosa dipende tale rapporto.

Considerate sulla sfera una circonferenza Γ di centri C e C'.

1. Siano Q e R due punti della circonferenza.Come potete giusti�care che Q e R si proiettano nello stesso punto H diCC'? (Considerate i triangoli CRC' e CQC'. . . ).

Osservate che, poiché ogni punto di Γ , si proietta in H e ha uguale di-stanza da H, si può concludere che Γ è una circonferenza anche sul

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piano perpendicolare a CC' in H.Γ è dunque una circonferenza sia in geometria sferica che in geometriaeuclidea.

2. Se θ è la misura in radianti dell'angolo COQ, esprimete in funzione diθ:- il raggio r della circonferenza sferica: r =

- il raggio QH della circonferenza euclidea: QH =

3. Determinare il rapporto tra la lunghezza della circonferenza Γ e il suodiametro, nella geometria sferica.

Il risultato che avete ottenuto, è in accordo con quanto avete osservato inprecedenza? Perché?

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Il terzo incontro, che si articola nelle schede 5, 6 e 7, è completamenteincentrato sul tema della circonferenza sferica. Dopo averne dato la de�ni-zione, i ragazzi iniziano la loro esplorazione utilizzando il compasso sfericoper arrivare a concludere che ogni retta è, in particolare, una circonferenza.Messi di fronte alla richiesta di individuarne centro e raggio, potrebbe sorge-re il dubbio su quale raggio e quale centro considerare, rispetto al particolarecerchio massimo, essendo i raggi identici e i centri antipodali. Si auspica cheessi notino che non vi è alcuna di�erenza se si sceglie l'una o l'altra situazionee per questo deducano più in generale che data una qualunque circonferenzasferica essa possiede due centri, tra loro antipodali, e due raggi, diversi traloro se la circonferenza non è anche una retta.

La lunghezza del raggio varia da zero a quella di una semiretta sferica,ovvero metà circonferenza massima, e in entrambi i casi estremi la circonfe-renza si riduce ad un punto sulla sfera. Nel caso raggio = 0 la circonferenzacoincide col suo centro, nel caso in cui esso abbia lunghezza pari a metàcirconferenza massima, con il punto antipodale al centro.

Nella scheda 6, i ragazzi, tramite l'indagine operativa sulla sfera, posso-no rendersi conto che il rapporto tra la lunghezza di una circonferenza sfericae il suo diametro non è a�atto costante e in particolare risulta sempre minoredi π.

Tutti gli insegnanti, in fase di progettazione, sono stati concordi nel ri-tenere che ogni gruppo, rifacendosi all'analogo caso del piano, si dovrebberendere conto che il rapporto non supera mai il valore π, ma potrebbe di�-cilmente emergere una giusti�cazione rigorosa che faccia ricorso al fatto cheil raggio sferico è sempre maggiore del corrispondente raggio della (stessa)circonferenza piana.

Il fatto che la circonferenza sferica sia anche una circonferenza euclideanon è a�atto banale, ma almeno a livello intuitivo potrebbe emergere a questopunto del percorso. In tal caso potrebbe essere a�rontata da parte dell'inse-gnante una breve ri�essione in conclusione alla discussione, anticipando ciòche verrà ripreso nella scheda successiva.

La scheda 7 è piuttosto interessante. L'obiettivo è quello di guidarenella dimostrazione del fatto che il rapporto tra circonferenza e diametronon è costante, ma dipende dall'angolo formato dalle rette passanti per ilcentro della sfera e, rispettivamente, per il centro della circonferenza sfericae per un punto arbitrario appartenente ad essa. In particolare esso è sempreminore di π e tende a questo valore al tendere a zero dell'angolo, cioè quandola circonferenza tende a ridursi al suo centro. In fase di discussione si puòfar ri�ettere i ragazzi, qualora essi stessi non lo propongano, sul fatto cheper raggi su�cientemente piccoli e tenendo conto dell'inevitabile approssi-

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mazione delle misure, la di�erenza tra π e il rapporto in questione non èrilevabile; cioè, limitandoci a porzioni di super�cie sferica molto piccole ri-spetto al raggio della sfera, le circonferenze sulla sfera si comportano circacome le circonferenze del piano e questo spiega perchè per regioni terrestridi piccola estensione il piano costituisce una buona approssimazione [14].

Nella prima parte della dimostrazione si osserva che la circonferenza sfe-rica è, in particolare, una circonferenza euclidea giacente su un piano per-pendicolare alla retta passante per il centro della sfera e il centro della cir-conferenza sferica. Durante la fase di elaborazione delle schede si è a lungodiscusso su come presentare questo risultato. Esso risulta essere di carattereintuitivo, ma ovviamente necessita di giusti�cazione rigorosa. Si è stati mol-to indecisi su quanto dire direttamente ai ragazzi e quanto lasciare, invece,alla loro deduzione. Inizialmente si era pensato di far discendere la proprietàdal fatto che la circonferenza sferica può essere considerata ottenuta dallarotazione di un qualsiasi suo punto intorno alla retta passante per il centrodella sfera e per il centro della circonferenza sferica. Al posto di questo ragio-namento piuttosto semplice e immediato, si è preferito scegliere una stradadiversa e apparentemente meno �agile�, tenendo conto che gli studenti nonavevano ancora studiato alcune isometrie dello spazio. Si è scelto quindi dipresentare ai ragazzi una dimostrazione che utilizzasse i criteri di congruenzadei triangoli. Grazie a domande guida gli alunni sono portati ad osservareche il rapporto indagato dipende dall'angolo secondo la relazione:

lunghezza circonferenza

diametro= π

sinθ

θ.

Dall'analisi di questa espressione dovrebbero quindi stabilire che il risultatoè e�ettivamente in accordo con quanto osservato nella scheda precedente,cioè che il rapporto in questione è minore di π, noto che

sinθ

θ< 1 e lim

θ→0

sinθ

θ= 1.

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SCHEDA 8

DATA: ...........................

GRUPPO: ..............................


Tracciate una retta r sulla super�cie sferica, cosa potete osservare riguardoall'insieme delle rette perpendicolari ad r?

In geometria euclidea data una retta ed un punto fuori di essa esisteed è unica la perpendicolare per il punto alla retta.

Questa proposizione è valida anche sulla sfera?Giusti�cate la vostra risposta.

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SCHEDA 9

Durante le precedenti discussioni abbiamo trovato proposizioni riguardantile rette che sono valide in geometria euclidea ma non in geometria sferica.

Collocate le proposizioni che abbiamo esaminato nella tabella seguente edeventualmente trovatene altre.Se credete vi sia d'aiuto consultate il testo di geometria.

PROPOSIZIONI VALIDE

NELLA GEOMETRIADELLA SFERA

NELLA GEOMETRIA DELPIANO

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La prima di queste due schede, programmate per essere a�rontate duran-te l'ultimo incontro, tratta la questione della perpendicolarità. L'obiettivo è,come al solito, quello di considerare nuove proposizioni e ri�ettere sulla lorosomiglianza o di�erenza rispetto alle analoghe della geometria euclidea. Dal-l'analisi di questa scheda, ci si aspetta che i ragazzi, esplorando e discutendo,arrivino a concludere che, data una retta, l'insieme delle rette perpendicolariad essa è in�nito e che tutte le perpendicolari ad una retta, oltre ad interse-carla in due punti (antipodali), si intersecano tra loro in due punti (anch'essiantipodali). Inoltre, data una retta e un punto fuori di essa, non è sempregarantito il teorema di esistenza e unicità della perpendicolare; infatti, nelcaso equatore - polo, le rette perpendicolari risultano essere in�nite.

L'ultima scheda non ha solo carattere riepilogativo. Essa certamenteconduce ad una ri�essione sulle analogie e di�erenze tra le due geometrietrovate �no a quel momento dai ragazzi nella loro esplorazione, ma chiedeesplicitamente di trovarne di nuove. Gli alunni sono qui liberi di ragionare edi confrontarsi tra loro seguendo strade diverse e giungendo probabilmentea proposte diverse. La discussione ha qundi il compito di mettere assiemei risultati ottenuti dai vari gruppi. In questo modo si auspica di ottenereuna versione piuttosto ricca di �analogie/di�erenze�, che ogni ragazzo devescrivere sul proprio quaderno.

Lo scopo di questa domanda è quello di indurre i ragazzi a ri�etteresu concetti quali quello di ordinamento, in�nità dei punti di una retta,illimitatezza, suddivisione del piano mediante una retta, ecc.

Nel caso in cui qualcuno di questi aspetti non emerga, è compito dell'in-segnante guidare opportunamente la discussione ed il confronto tra i ragazzi,in modo che si ri�etta sugli aspetti non analizzati.

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Capitolo 3

Analisi dell'esperienza

didattica

Dal 13 al 20 Aprile 2011 ho seguito la sperimentazione del Laboratorio sullageometria sferica nella classe 2 B del liceo classico U. Foscolo di Pavia, insie-me alla professoressa Laura Pavesi, l'insegnante di classe. Abbiamo lavoratocon i ragazzi per dieci ore, modi�cando quindi il progetto iniziale di otto oreche ci eravamo pre�ssati di seguire. Questo cambiamento si è reso neces-sario per il fatto che la realizzazione di discussioni e confronti fra i ragazziha reso indispensabile più tempo rispetto a quello inizialmente previsto perl'analisi delle schede e la condivisione dei risultati. Ci è sembrato quindiopportuno ampliare le varie fasi di esplorazione sulla sfera, cercando di noncreare troppa pressione per le scadenze dei tempi, ma facendo in modo chegli studenti potessero confrontarsi quanto più possibile. Nonostante questo,in taluni momenti sarebbe servito ancora un po' di tempo per far sì che igruppi consolidassero quanto condiviso su tutte le richieste delle schede inesame. Nei casi in cui qualche gruppo non avesse �nito di completare il la-voro, si è comunque scelto di concludere, ragionando insieme sulle rispostemancanti. Questa situazione si è veri�cata solamente per un paio di gruppiin non più di due o tre occasioni.

E' stato impossibile seguire alla lettera l'iniziale suddivisione degli argo-menti, e quindi delle schede, tra le lezioni, e questo per il fatto che le ore chela docente aveva a disposizione non erano tutte suddivise a blocchi di dueconsecutive al giorno. Ecco la scansione oraria con cui abbiamo proceduto:

Mercoledì: 9.50 - 10.40 e 11.45 - 12.40, due ore;Giovedì: 11.00 - 12.00, un'ora;

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Sabato: 10.00 - 11.00 e 12.00 - 13.00, due ore;Lunedì: 9.50 - 10.40, un'ora;Martedì: 8.00 - 10.00, due ore;Mercoledì: 9.50 - 10.40 e 11.45 - 12.40, due ore.

Un'altra modi�ca resasi opportuna, è stata quella di presentare la sche-da 8 prima della scheda 5, modi�cando perciò la numerazione delle schededi lavoro. Questo cambiamento è stato suggerito da due motivi: innanzi-tutto perchè, essendo emerse considerazioni sugli angoli di 90° tra rette, ci èparso opportuno concludere i ragionamenti sulle rette sferiche, e in partico-lare sulla relazione di perpendicolarità, prima di introdurre le circonferenze,e inoltre perchè la scheda 8 si prestava ad essere a�rontata in una giornatain cui si aveva solo un'ora a disposizione, il lunedì.

La classe che ha preso parte alla sperimentazione sulla geometria sferica,cioè la seconda liceo, sezione B, del liceo classico U. Foscolo, è compostada 17 alunni (6 maschi e 11 femmine). Essi hanno lavorato suddivisi inquattro gruppi, uno costituito da cinque studenti e gli altri tre da quat-tro. Alcuni ragazzi hanno esplicitamente richiesto di poter lavorare insiemecome in un'attività extrascolastica di matematica a cui avevano recentemen-te partecipato suddivisi in gruppi e quindi, presumibilmente, già abituati acollaborare e a condividere tra loro ragionamenti.

Allo scopo di agevolare la lettura dei paragra� riguardanti l'analisi deiprotocolli e le discussioni, riporto di seguito la suddivisione degli studentinei gruppi, citando solo i loro nomi.Gruppo 1: Alessia, Michela, Chiara, Diletta.Gruppo 2: Michele, Francesco, Tommaso, Vincenzo, Eugenio.Gruppo 3: Valentina, Carolina, Sara, Francesca.Gruppo 4: Giorgio, Anna, Veronica, Camilla.

L'insegnante responsabile, la professoressa Laura Pavesi, ha accettatocon molto entusiasmo di partecipare alla sperimentazione del PLS e mi hapermesso di seguire direttamente e attivamente l'esperienza nella sua classe,dimostrandosi sempre coinvolta e disponibile.

La classe ha partecipato con interesse a tutto il lavoro, impegnandosi inmaniera disciplinata e attiva nei compiti ricevuti, dimostrando inizialmenteun po' di di�coltà nel confronto tra pari in fase di discussione. Le di�coltàsono diminuite durante il corso della sperimentazione: i ragazzi, rompendo ilghiaccio iniziale, hanno partecipato in maniera sempre più esplicita e direttaalle fasi di condivisione dei risultati con il gruppo classe.

Durante le prime due lezioni ci sono stati due assenti, mentre nei succes-sivi incontri è sempre stata presente la totalità della classe.

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In ognuno dei paragra� che seguono viene presentato un particolare grup-po di schede, seguendo la suddivisione inizialmente stabilita, ad eccezionedella modi�ca già citata riguardante la scheda 8, che viene presentata do-po la scheda 4. All'interno di ogni paragrafo vengono poi descritti la fasedi consegna delle schede e l'esplorazione condotta dai ragazzi, l'analisi deiprotocolli e la discussione in classe. Per quanto riguarda l'analisi delle lororisposte, c'è da fare un'osservazione: alla �ne di ogni esplorazione, i ragazzidettavano alla lavagna le loro conclusioni, un portavoce per gruppo. Essendocapitato che nell'esposizione modi�cassero in parte quanto avevano scritto,cercando, solitamente, di spiegarsi in modo più chiaro e rigoroso, quello cheriporto nell'analisi dei protocolli tiene anche in parte conto dei commenti chei ragazzi hanno allegato alla presentazione delle loro conclusioni.

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3.1 La scheda 1 e la scheda 2

Durante la prima lezione, mercoledì 13 Aprile, sono state a�rontate le primedue schede di lavoro, anche se la discussione della seconda scheda ha occupatoparte della seconda lezione, per motivi di tempo.

I ragazzi hanno potuto constatare �n da subito la di�erenza tra la geo-metria euclidea e la nuova geometria, ed hanno incontrato un po' di di�-coltà a collocare l'usuale nomenclatura geometrica nel nuovo contesto, coninterpretazioni di�erenti da quelle più familiari.

Lo scopo della prima attività era di far emergere che il cammino di mini-ma distanza tra due punti sulla super�cie sferica si trova sulla circonferenzamassima che unisce i due punti e di condividere con gli alunni la nuovade�nizione di retta sulla sfera.

La scheda 2 invita gli studenti ad analizzare nel nuovo contesto dellageometria sferica due proposizioni della geometria euclidea: esistenza e uni-cità di una retta per due punti e di una retta parallela ad una data per unpunto esterno. L'obiettivo era che i ragazzi, confrontandosi e ragionando congli strumenti a loro disposizione, analizzassero analogie e di�erenze con lecorrispondenti proposizioni euclidee ed arrivassero a formulare proposizioniadatte al nuovo contesto.

3.1.1 La consegna della scheda 1 e l'esplorazione

E' stato spiegato agli studenti che il lavoro si sarebbe basato su un'attivitàdi esplorazione di un contesto diverso da quello usuale: avrebbero dovutoindagare la geometria sulla sfera e scoprire analogie e di�erenze con quellaeuclidea. Dopotutto la vita di tutti i giorni ci mette a contatto con oggettidi forma sferica e, anzi, noi stessi viviamo su un oggetto avente quella forma,eppure poco si sa sulle caratteristiche della sua geometria.

Suddivisi in gruppi gli studenti, si è fatto presente che alla �ne di ogniattività sarebbe stato scelto, a discrezione dell'insegnante, un portavoce, conil compito di comunicare alla classe le conclusioni del proprio gruppo. Sisono quindi distribuiti le cartelline e i quaderni, spiegando che nelle primesi sarebbero raccolte le varie schede, mentre i quadernini sarebbero servitiper scrivere le conclusioni �nali, successivamente alle fasi di condivisione ediscussione. E' stato detto di utilizzare il retro del quaderno per annotareosservazioni o considerazioni particolari che sarebbero potute emergere du-rante il lavoro. Questo invito è stato interpretato da molti ragazzi come unsollecito a trascrivere tutti i ragionamenti del gruppo e le risposte condivise.Si è reso quindi più volte necessario far presente che le conclusioni sarebbe-

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ro dovute essere trascritte sulla scheda di lavoro, e ribadire che il retro delquaderno avrebbe dovuto avere solo un ruolo di block notes, su cui segnareconsiderazioni particolarmente interessanti emerse durante le varie discussio-ni all'interno del gruppo, per tenere memoria di eventuali ragionamenti poimodi�cati o per annotare dubbi personali, da proporre ai compagni.

Sono state a questo punto distribuite le sfere di Lénárt, i pennarelli ealcuni elastici o spaghi, in modo che si potessero misurare le linee tracciatesulla sfera.

I ragazzi si sono messi subito al lavoro con gli strumenti a loro disposi-zione. Girando tra i banchi ho notato che tutti facevano riferimento all'ideaintuitiva di �tendere lo spago il più possibile� in modo da ottenere un cammi-no �dritto�, ma non per tutti era evidente che questo cammino appartenessealla circonferenza massima per i due punti. Ho sollecitato i gruppi che vede-vo un po' incerti a provare con diverse coppie di punti più o meno vicini traloro, in varie posizioni sulla sfera.

In un gruppo è emersa l'osservazione che il cammino che loro individua-vano come quello di minima distanza (non avevano fatto riferimento allacirconferenza) era unico, mentre, tutte le volte che si considerava un altrocammino, se ne poteva trovare un secondo della stessa lunghezza (che risultaessere speculare al primo rispetto, appunto, alla circonferenza massima).

Le tempistiche previste per questa prima scheda erano suddivise in unatrentina di minuti per la fase esplorativa e circa 20 minuti per la condivisionee discussione dei risultati. In realtà il tempo disponibile è stato inferiore alprevisto dal momento che l'ora di lezione era di 50 minuti e si è impiegatoun po' di tempo all'inizio del laboratorio per introdurre il lavoro ai ragazzi,spiegando loro le �regole del gioco� e distribuendo le sfere di Lénárt. Alla �nedella prima ora, comunque, gli alunni sono arrivati a condividere i primi con-cetti scrivendo sul loro quaderno la de�nizione di retta sferica per due punti,cioè la circonferenza massima passante per essi, La questione dell'unicitàsarebbe stata a�rontata con la scheda successiva.

3.1.2 Analisi dei protocolli relativi alla scheda 1

I ragazzi hanno compilato interamente la prima scheda.Nella prima domanda si chiede di spiegare come si possa ottenere la linea

di minima distanza che unisce due punti sulla super�cie sferica.Il gruppo 4 ha scritto in modo impreciso:

Gruppo 4: Dati due punti sulla circonferenza il segmento più breve si ottieneunendo i due punti senza tracciare un arco di circonferenza.

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E un suo rappresentante ha precisato:

Giorgio: �Si ottiene non facendo un arco ma facendo il segmento dritto�.

Solo un gruppo ha citato da subito in maniera esplicita la circonferenzamassima per individuare il cammino di minima distanza:

Gruppo 2: La linea di minima distanza è l'arco individuato dai punti stessisulla circonferenza maggiore che passa per essi.

Francesco, portavoce del gruppo 2, nell'esporre la risposta, ha utilizzatoprecisamente l'aggettivo �massima�, riferito alla circonferenza considerata.

Vediamo le altre risposte:

Gruppo1: La linea più breve che unisce due punti qualsiasi su una sfera èstata ottenuta misurando le varie distanze casuali tra i due punti e osservandoche la più breve è sempre quella retta appartenente alla stessa semisfera.

Gruppo 3: Abbiamo ottenuto la linea richiesta con una linea che, oltre aquella naturale non ha altre curvature. Quindi secondo noi è la linea minima.Valentina ragiona sui piani che tagliano la sfera ma Sara non è d'accordo eCarolina non capisce.

Il gruppo 1 non ha esposto, in fase di condivisione, la teoria secondo cuiil cammino più breve appartiene alla stessa semisfera, e non è esattamentechiaro cosa i ragazzi volessero dire. Leggendo però la loro risposta alla secon-da domanda, come vedremo, e in base ai ragionamenti riportati oralmente inclasse, pareva che in realtà avessero identi�cato la proprietà della circonfe-renza massima, quindi si può pensare che con quella frase intendessero che lalinea individuata, se prolungata a costituire la circonferenza massima, dividela sfera in due semisfere.

Il gruppo 3 si è riferito al fatto che la linea di minima distanza risulta esse-re quella con minor curvatura e ha manifestato l'intuizione sul piano passanteper il centro della sfera su cui risulta giacere la circonferenza massima.

Solamente nelle risposte del gruppo 2 è apparso un esplicito riferimentoal piano su cui giace la circonferenza massima. Alla domanda:

�come si può ottenere geometricamente la linea di minima distanza tradue punti sulla super�cie sferica? �

essi hanno risposto che bisogna considerare quella circonferenza sulla sfe-ra che passa per �due punti opposti sullo stesso piano che taglia trasversal-mente la sfera�.

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Il gruppo 1, pur non facendo riferimento al piano, ha scritto come rispostaalla seconda domanda:

Gruppo 1: I punti della coppia devono appartenere alla stessa circonferenzadi diametro uguale a quello di tutte le in�nite circonferenze

mostrando, appunto, di aver individuato la circonferenza massima a cuiappartiene la linea di minima distanza congiungente i punti dati.

Il gruppo 3 si è limitato a riferire:

Gruppo 3: Si può ottenere congiungendo i due punti con lo spago.

Mentre nel gruppo 4 si è impostata una sorta di disuguaglianza triango-lare:

Gruppo 4: Se si considera un terzo punto oltre ai primi due, il segmentoottenuto unendo questi, passando per il terzo è maggiore di quello ottenutounendo i punti normalmente.

Riassumendo, in tutti i gruppi è emersa subito la necessità di fare ricorsoad un cammino �più dritto possibile�, ma solamente i gruppi 1 e 2 si sonoriferiti al fatto che la linea individuata appartiene alla circonferenza mas-sima passante per i due punti dati. Il ragionamento del gruppo 3 è parsocomunque pertinente nel considerare la condizione di �minor curvatura� e ilgruppo 4 ha osservato empiricamente la validità di una sorta di disuguaglian-za triangolare. Dalla lettura dell'esposizione del gruppo 4 si intuisce però,che con quel �normalmente� i ragazzi pensavano di aver chiaro quale fosse ilsegmento di minima distanza, ma di fatto, non avendo de�nito alcuna suaproprietà, questa a�ermazione è rimasta un po' vaga.

3.1.3 La discussione sulla scheda 1

L'insegnante dà il via alla condivisione delle linee emerse e dal momentoche molti ragionamenti dei ragazzi sono stati pertinenti e due gruppi suquattro hanno fatto esplicito riferimento alla circonferenza massima, e unoall'idea della minore curvatura, l'insegnante decide che sia il caso di proporrequalche puntualizzazione. Osserva che in tutti i gruppi è apparsa la necessitàdi riferirsi ad analoghe situazioni sul piano, con la di�coltà di estenderleopportunamente sulla sfera.

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Insegnante: �Il fatto di avere lo spago �bello dritto� è in e�etti la situazionedi minima curvatura tra i due punti. Cos'è la minima distanza? E' l'arco dicerchio massimo che passa per i due punti. Vi suona ragionevole questo?�

Tutti: �Sì�.

L'insegnante propone un disegno alla lavagna cercando di confrontare i duecammini: quello di minima distanza appartenente alla circonferenza massi-ma, e uno non minimo, per mostrare che, se posti sullo stesso piano, risultaevidente la di�erenza di lunghezza.I ragazzi, però, appaiono un po' dubbiosi, allora decido di mostrare loroquesto fatto utilizzando la sfera di Lénárt. Disegnati sulla sfera due punti licollego con un arco di circonferenza massima e uno più lungo. I ragazzi stessiesplicitano che la circonferenza massima appartiene ad un piano passante peril centro della sfera, mentre il piano su cui giace la circonferenza più piccola,a cui appartiene il secondo arco, sta su un piano diverso.

Io: �Cosa possiamo fare per confrontarle chiaramente?�

I ragazzi non rispondono. Allora prendo uno spaghetto e lo adagio sull'arcopiù lungo. Facendo perno sui due estremi lo sollevo �no a farlo giacere sulpiano a cui appartiene la circonferenza massima. Ripeto il movimento piùvolte.

Io: �Per confrontarle le sto come mettendo sullo stesso piano. Alzando lospago �no a farlo giacere sul piano della circonferenza massima, vedo piùchiaramente che �faccio più strada� �.

I ragazzi annuiscono.L'insegnante, a questo punto, introduce il concetto di retta sferica:

Insegnante: �Dunque, la linea di minima distanza risulta essere, dati duepunti, l'arco che congiunge i due punti appartenenti al cerchio massimo ot-tenuto come intersezione di un piano che passa per quei due punti e taglia lasfera in due semisfere, e quindi passa per il centro della sfera. Quindi come�segmento� possiamo considerare quell'archetto, la linea di minima distanza,e quindi che cosa sarà una retta?�.

Tommaso: �Eh, la circonferenza massima�.

Alcuni ragazzi per indicare la circonferenza massima usavano, in fase diesplorazione l'espressione �circonferenza per i poli� o �per punti opposti�.

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L'insegnante precisa che i punti �opposti� a cui qualcuno si riferiva possonoessere chiamati antipodali. Si chiede quindi, dato un punto sulla super�ciesferica, come si trovi il suo antipodale.

Tommaso: �Traccio la retta che passa per il centro e il punto che ho scelto,il punto che trovo come intersezione sulla super�cie della sfera è il puntoantipodale�.

Con queste ultime considerazioni ha termine la prima discussione.


I ragazzi hanno condiviso la de�nizione di retta come circonferenza massi-ma appartenente alla super�cie sferica ed è stato distribuito loro lo speci�-co righello sferico. Ho detto di assicurarsi che il righello fosse sempre benposizionato sulla sfera e ho fatto notare il bordo graduato.

Il tempo previsto per l'esplorazione era di 20 minuti. I ragazzi, però,hanno dimostrato di necessitare di più tempo per ragionare sulle proposizionie adattarle al contesto della sfera, infatti parte della discussione è statarimandata alla lezione successiva.

Girando tra i banchi, ho sentito che tutti i ragazzi ri�ettevano sulla cor-rispondente situazione sul piano e cercavano un confronto. Quello che alcuniragazzi facevano, però, non era domandarsi se ci fossero rette sulla sfera chenon si incontrano mai, ma cercare di riprodurre sulla sfera il concetto, aloro noto �n dalle medie, di parallelismo, dimenticando di controllare che lostessero e�ettivamente applicando alle circonferenze massime, le nostre nuoverette. Questo ha portato due gruppi ad attribuire la relazione di parallelismoa elementi che non erano rette, ma circonferenze concentriche.

Durante questa fase esplorativa ho notato che alcuni ragazzi perdevanomolto tempo a scrivere ogni cosa emergesse sul retro del proprio quadernino.Ho quindi sollecitato a prendere nota solo di particolari osservazioni chepoi si intendesse riproporre in discussione o che rappresentassero un cambiod'opinione signi�cativo.


Per quanto riguarda la prima richiesta, cioè se dati due punti sulla super�ciesferica sia rispettata la proposizione valida in geometria euclidea che a�ermache per due punti passi una e una sola retta, il gruppo che ha scritto unarisposta adeguata è stato solo il gruppo 3:

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Gruppo 3: Presi due punti antipodali si nota che le rette passanti per essisono in�nite; presi invece due punti qualsiasi, la retta che passa per essi èuna sola.

Per �qualsiasi� i ragazzi del gruppo 3 intendevano non antipodali. I puntiantipodali sono stati da subito visti come punti �speciali� e distinti dallealtre coppie di punti. Quando si parlava di due punti, in generale, i ragazzitendevano ad escludere il caso particolare di quelli antipodali, come si notaanche nella formulazione che segue:

Gruppo 2: Dato che la circonferenza è individuata da tre punti, questaproposizione è valida solo se viene dato per scontato che il terzo punto siail centro della sfera. In questo caso, quindi, dati due punti si individua ununico cerchio massimo.

I ragazzi hanno poi precisato che intendevano dire che i tre punti per cuipassa la circonferenza sono i due segnati e un terzo punto individuato dal-l'intersezione tra la super�cie sferica e la retta congiungente il centro dellasfera con la proiezione del centro stesso sulla retta passante per i primi duepunti.Qualcuno in fase di esplorazione mi aveva invece proposto un ragionamentodi questo tipo: dato per scontato che il cerchio massimo passi per il centrodella sfera, se la circonferenza passa per due punti �ssati sulla super�ciesferica, essa è unica: imponendo il passaggio per un punto si �ssa il raggiodel cerchio e con il terzo punto il piano a cui appartiene. Si tratta dunque diargomentazioni opportune ma nell'ipotesi che i due punti iniziali non sianoantipodali.

Durante l'esposizione di questa risposta, Vincenzo, portavoce del gruppo2, ha puntualizzato:

Vincenzo: �In realtà questa precisazione l'abbiamo fatta prima di chiarircile idee sul cerchio massimo, la risposta è che è unica�.

Ecco le altre risposte:

Gruppo 1: Sì è valida: non è possibile individuare due o più rette chepassino per due punti sulla sfera perchè le altre linee che le uniscono nonsono circonferenze massime.

Gruppo 4: Per ogni coppia di punti la retta non è unica perchè possiamopensare di percorrere una circonferenza in�nite volte.

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Si è fatto notare al gruppo 4 che in questo modo risulterebbe di�cilecostruire una geometria sensata anche sul piano. Ho disegnato un segmentoalla lavagna e ho chiesto quanti segmenti vedevano. Hanno risposto �unoo in�niti, a seconda della convenzione�. Ho risposto che è vero, ma che seassumessimo la convenzione che quello disegnato costituisce in�niti segmentinon potremmo distinguerlo dal caso �due segmenti�, sarebbero sempre in�ni-ti. Insomma, costruiremmo una geometria poco interessante. Allora Anna,dopo essersi consultata con il gruppo si è corretta a�ermando che per ognicoppia di punti si riesce a tracciare una sola retta.

In sintesi, le risposte dei gruppi 1, 2 e 4 non erano opportune. E' eviden-te che gli studenti erano più preoccupati di precisare come si individua lacirconferenza massima a partire da due punti, pensati in posizione generica,piuttosto che ad esplorare l'unicità di questa circonferenza, come richiede ladomanda 1 della scheda.

Analizziamo ora le risposte alla seconda domanda: data una retta ed unpunto fuori di essa, esiste unica la parallela per il punto alla retta, comeaccade in geometria euclidea?

Due gruppi hanno risposto negativamente e due a�ermativamente:

Gruppo 1: No: perchè la linea individuata su un punto esterno alla retta eparallela, non è circonferenza massima.

Gruppo 2: No perchè qualsiasi altro cerchio massimo sarebbe incidente e lalinea parallela che si può tracciare non è un cerchio massimo.

E hanno aggiunto:

Eugenio: �Due qualsiasi rette distinte si incontrano in due punti antipodaliestremi del diametro che fa da asse per la rotazione della circonferenza che�forma la sfera� e che ruotando va a toccare l'altra circonferenza�.

Gruppo 3: Sì anche sulla sfera dati un punto e una retta vi è un'unicaparallela ad essa passante per quel punto.

Gruppo 4: La parallela ad una retta esiste ed è unica perchè non la incontramai e appartiene ad un'altra semisfera.

Appare evidente che gli studenti dei gruppi 3 e 4 sono rimasti ancoratialle caratteristiche euclidee. Hanno frainteso la de�nizione di retta, consi-derando come tale anche tutte le altre circonferenze sferiche. Alla domandasul parallelismo essi hanno interpretato la proposizione valida per linee che

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di fatto non erano rette. C'è quindi una sorta di tendenza a mantenere lenozioni acquisite, che sono però valide in un contesto diverso. C'è da direche i ragazzi non erano mai venuti a contatto con una geometria diversa daquella euclidea, è quindi comprensibile che nelle prime lezioni abbiano fati-cato a distaccarsi dalle situazioni note. Le circonferenze concentriche sonoe�ettivamente �parallele�, perchè non si incontrano, tuttavia non si tratta dirette nella geometria sferica.


Francesco e Vincenzo, membri del gruppo 2, che sostenevano esistesse un'u-nica retta, aprono la discussione:

Francesco: �Beh, era scontato che se i punti sono antipodali ci sono in�niterette�.

Vincenzo: �L'avevamo detto prima!�

Anche gli altri gruppi si ritrovano d'accordo sul fatto che il caso dei punti an-tipodali costituisca un'eccezione e la discussione, sospesa per la �ne dell'ora,viene ripresa il giorno seguente:

Insegnante: �Sul fatto che per due punti, se non antipodali, passi una e unasola retta, siamo d'accordo. Se sono antipodali, esse sono in�nite. Bisognadiscutere un attimo sulla seconda domanda. Esiste la parallela?�Prende la parola Chiara:

Chiara: �Noi abbiamo detto di no, perchè la linea passante per il puntoesterno non è una circonferenza massima�.

Io: �La linea?�

Chiara: �La linea retta che possiamo ricavare non è una circonferenzamassima�.

Insegnante: �E quindi non è una retta secondo la nostra de�nizione�.

Chiara: �Sì�.

Francesco: �I cerchi massimi sono tutti incidenti tra loro, quindi per forzauna linea parallela al cerchio massimo non sarà un cerchio massimo, sarà piùcorta�.

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Io: �Qui si chiedeva se esiste la retta parallela.�

Francesco: �Eh, non esiste. Se noi prendiamo un cerchio massimo e unpunto esterno, un qualsiasi altro cerchio massimo passante per quel puntosarà incidente�.

La professoressa si rivolge ora ad uno dei gruppi che avevano a�ermatol'esistenza e unicità della parallela, in particolare al gruppo 3:

Insegnante: �Voi, invece, avevate detto che esiste la parallela. Come giu-sti�cate? Che costruzione avete fatto o come l'avete pensata?�

Anna: �Possiamo considerare delle circonferenze concentriche�.

Insegnante: �Ma queste circonferenze concentriche sono rette nel senso dellade�nizione da noi data?�.

Anna: �Mmmm... no�.

Insegnante: �I cosiddetti �paralleli sferici� sono paralleli tra loro?�

Francesco: �Sì, però non sono rette, solo l'equatore è retta�.

Insegnante: �Quindi è vero che potremmo considerare i paralleli, le cir-conferenze concentriche che dicevate, tra loro paralleli, ma la relazione diparallelismo è tra rette. E dove sono incidenti?�.

Alcuni ragazzi rispondono che esse si incidono in due punti antipodali. Pren-de poi la parola Eugenio che già in fase di condivisione dei risultati avevavoluto fare questa precisazione:

Eugenio: �Sono gli estremi del diametro che fa da asse alla rotazione dellacirconferenza�.

Continua Vincenzo:

Vincenzo: �Se prendiamo due cerchi massimi distinti, sono incidenti nei duepunti antipodali che costituiscono gli estremi del diametro che fa da asse perla rotazione del cerchio massimo. Pensiamo di �ssare i due cerchi massimi edi farne ruotare uno intorno all'asse, ad un certo punto andrà a coinciderecon l'altro...�

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Insegnante: �Si capisce quello che vuole dire Vincenzo?�

Qualcuno dice di no, così la professoressa sollecita i ragazzi a fare delleulteriori prove disegnando due circonferenze massime distinte e a provare aragionarci ancora.Vincenzo si alza e viene alla cattedra con una sfera su cui sono disegnate duerette, una rossa e una nera.

Vincenzo: �I due cerchi massimi si incontrano in due punti antipodali chesono gli estremi di un diametro che passa attraverso la sfera e che fungeda asse alla rotazione della circonferenza. Il cerchio nero è come se fosse larotazione di quello rosso attorno al diametro che ha come estremi i due puntidella circonferenza�.

Valentina: �Ma non abbiamo mica de�nito diametro?�

Vincenzo: �Intendo il diametro del cerchio massimo�.

Valentina: �Quello che passa dentro la sfera?�

Vincenzo: �Sì�.

I ragazzi sembrano più convinti. Per aiutarli a capire a quale retta si riferiscaVincenzo, suggerisco di provare a pensare ai due piani su cui giacciono i cerchimassimi. Qualcuno mi dice che si intersecano in una retta.

Io: �Quindi possiamo dire che quella retta, che loro hanno individuato comeasse di rotazione della circonferenza massima, altro non è che l'intersezionedi questi due piani, che interseca quindi la sfera in due punti antipodali�.

Esorto i ragazzi a scrivere sul loro quadernino le conclusioni condivise e siconsegna la scheda 3.

3.1.7 Osservazioni conclusive al primo gruppo di schede

Alcune considerazioni importanti emerse durante il lavoro sono già stateesposte durante l'analisi dei protocolli, ad esempio la questione dei punti an-tipodali, considerati come �punti speciali�, distinti da tutti gli altri. Per glistudenti, spesso, quando si diceva �due punti sulla sfera�, il caso degli anti-podali non veniva preso in considerazione e alla domanda: �E se prendiamoi punti in questo modo?�, indicando due poli opposti, si sentivano rispostedel tipo: �Ma quelli sono antipodali!�.

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Quando si è chiesto di condividere una versione de�nitiva da scrivere sulquaderno per la proposizione riguardante la retta per due punti, i ragazzihanno preferito parlare della validità della proposizione tranne che in uncaso particolare, quello dei punti antipodali, piuttosto che a�ermare cheessa non valga sulla sfera. Confrontandosi con l'insegnante e con me, infase di discussione, hanno condiviso che e�ettivamente, non essendo validasempre, quella proposizione non è estendibile alla sfera, ma hanno preferitocomunque formulare una proposizione analoga a quella euclidea che tenesseconto dell'eccezione. Sul quaderno hanno scritto:

�Per due punti non antipodali passa una e una sola retta, come accade sulpiano. Se sono antipodali la proposizione euclidea non è valida, ci sonoin�nite rette per i due punti dati�.

Si è notata una certa di�coltà da parte dei ragazzi a distaccarsi dallageometria del piano, dalle sue regole, de�nizioni e proposizioni, per ride�nirela geometria sulla sfera. Come abbiamo visto, molti ragazzi hanno fraintesola de�nizione di retta sferica, considerando rette anche altre circonferen-ze non massime perchè hanno associato a loro la relazione di parallelismo,dimenticando la nuova de�nizione di retta. Nel parallelismo tra rette haquindi prevalso la ricerca della non incidenza, senza preoccuparsi abbastan-za di �adattarla� al nuovo contesto in cui le rette sono solo le circonferenzemassime.

Durante le discussioni con i ragazzi è capitato che l'insegnante ed iousassimo indi�erentemente i termini circonferenza sferica e cerchio sferico.I ragazzi hanno manifestato un po' di confusione per questa ambiguità dilinguaggio. Per questo motivo, da quel momento in avanti abbiamo cercatodi prestare più attenzione ai vocaboli da utilizzare, cercando di parlare di�circonferenza� per indicare il bordo, sulla super�cie sferica, mentre indican-do con �cerchio� anche l'area della sezione della sfera mediante il piano. Inrealtà la loro confusione è stata solo iniziale: in alcuni momenti successivi,hanno usato loro stessi i due termini indistintamente, ma dal contesto erachiaro cosa intendessero.

Al termine delle fasi di discussione si sono sollecitati i ragazzi a riportarele conclusioni condivise sul loro quaderno, in modo da poter avere la versionede�nitiva del lavoro svolto. Per guadagnare tempo e per meglio monitora-re che tutti scrivessero le conclusioni corrette, abbiamo pensato di creare uncartellone su cui annotare i vari risultati, utilizzando colori diversi per distin-guere de�nizioni e proposizioni, con il progetto di arricchirlo strada facendocon nuove propietà della super�cie sferica trovate dai ragazzi. Alla �ne del

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lavoro essi avrebbero potuto avere una raccolta di proposizioni, de�nizioni eosservazioni corrette da riportare sul proprio quaderno o da confrontare conquanto scritto autonomamente.

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3.2 La scheda 3 e la scheda 4

La scheda 3 è stata presentata durante la seconda lezione, giovedì 14 Aprile,anche se parte della discussione si è svolta la lezione successiva, cioè sabato16 Aprile, insieme alla consegna ed esplorazione della scheda 4. La discussio-ne di quest'ultima è stata terminata lunedì 18. Lo scopo di queste attivitàera di introdurre ai ragazzi la de�nizione di triangolo sferico e le sue pro-prietà. La de�nizione proposta nella scheda 3 individua il triangolo comeintersezione tra la super�cie sferica e il triedro con vertice nel centro dellasfera e gli spigoli passanti per tre punti �ssati, che costituiscono i verticidel triangolo, con il vincolo che i tre spigoli non siano complanari. Era per-tanto fondamentale che i ragazzi, nel rispondere alle domande proposte, incui si chiedeva di analizzare alcune situazioni particolari, si rifacessero alleproprietà del triedro. Questo non è sempre stato fatto: i ragazzi, compresala de�nizione e disegnato il triangolo sulla sfera, spesso dimenticavano comefosse stato esplicitamente de�nito e quindi non sempre facevano ricorso allecaratteristiche del triedro come giusti�cazione di quelle del triangolo.

La scheda 4 si propone di porre i ragazzi di fronte ad un fatto nuovo enotevole: sulla super�cie sferica la somma degli angoli interni di un triangolonon è costante, al contrario di quanto accade sul piano. Il nostro obiettivoera principalmente quello di far emergere la grande di�erenza rispetto allageometria euclidea e di farli ragionare su quali potessero essere i limiti divariabilità per la somma degli angoli interni di un triangolo sferico.


Ridistribuite le sfere di Lénárt, i ragazzi si sono messi subito al lavoro nellacomprensione della de�nizione di triangolo. Non è parso di�cile, in generale,immaginare il triedro uscente dal centro della sfera e l'intersezione con la su-per�cie sferica stessa, ma non è stato immediato il ricorso alla sua de�nizioneper giusti�care le proprietà del triangolo nei casi particolari proposti.

Sono stati concessi per il lavoro una ventina di minuti e il tempo perquesta prima attività è stato sostanzialmente rispettato.


La prima domanda della scheda 3 chiede se i tre vertici di un triangolosferico possano essere allineati. Il gruppo 1, facendo ancora confusione sullainterpretazione di retta sferica, ha risposto che è possibile. Ecco la loroformulazione:

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Gruppo 1: Disegnando 3 punti appartenenti ad una sola retta (quindiallineati) è possibile congiungerli per formare un triangolo sferico.

I componenti di questo gruppo hanno collegato i tre punti allineati anchein modi vari: se erano antipodali con semicirconferenze massime, quelli nonantipodali con linee non corrispondenti a porzioni di retta sferica.

Un componente del gruppo 2, in fase di condivisione, ha fatto notareloro che per due punti non antipodali passa una e una sola retta sferica eche presi tre punti sulla sfera, di antipodali ce ne possono essere al massimodue. Ho fatto inoltre osservare che in alcuni casi non hanno posizionatobene il righello sferico e quindi, di fatto, non hanno tracciato porzioni diretta sferica.

Il gruppo 4 ha invece spiegato che in questo caso si troverebbe un trian-golo degenere:

Gruppo 4: I punti A, B e C che sono i vertici di un triangolo sferico nonpossono essere allineati perchè appartengono a rette diverse e non ad un'unicaretta (perchè altrimenti sarebbe un triangolo degenere).

Il gruppo 3 ha scritto:

Gruppo 3: Secondo noi i tre vertici del triangolo sferico non possono essereallineati in quanto non si possono formare gli angoli.

La risposta più completa è stata data dal gruppo 2:

Gruppo 2: No, perchè i vertici A, B, C potrebbero essere allineati solo se lesemirette di origine O fossero complanari ma così non esisterebbe il triedro.

La seconda domanda chiede se due punti antipodali possano essere verticidi un triangolo sferico. Il gruppo 2 e il gruppo 3 hanno risposto negativa-mente:

Gruppo 2: Dato che i punti antipodali sono l'intersezione di due semi-rette complanari con vertice O, viene meno il triedro e di conseguenza lade�nizione di triangolo sferico.

Gruppo3: No, perchè si formerebbe uno �spicchio�.

Ecco le altre due risposte:

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Gruppo 4: Due punti antipodali possono essere vertici di un triangolo sferi-co perchè il terzo vertice può essere preso liberamente sulla sfera e in questomodo si formerà sempre un triangolo sferico.

Gruppo 1: Sì, perchè giacendo sulla stessa retta e intercettando un terzopunto, esterno o appartenente alla retta, è possibile tracciare un triangolosferico.

La risposta del gruppo 1 è parsa e�ettivamente coerente con l'errorecommesso nella prima domanda: secondo loro se il terzo punto appartienealla retta individuata dagli altri due si ha comunque il triangolo. Ancora, nonrifacendosi alla de�nizione di triedro per validare la costruzione fatta, hannoannoverato lo �spicchio�, evidenziato anche dal gruppo 3, tra i triangoli.

Un fatto interessante è stato che, in fase di discussione, come vedremo,proprio una componente del gruppo 1 ha proposto alla classe la conclusionecorretta, rivedendo la propria posizione e convincendo gli altri della validitàdella sua nuova tesi.

Analizziamo ora le risposte all'ultima domanda:�Ci sono limitazioni alle lunghezze dei lati di un triangolo sferico? �Il gruppo 1 e il gruppo 3 hanno riportato sulle rispettive schede che la

lunghezza massima è sempre inferiore ad una retta sferica:

Gruppo1: La lunghezza massima di un lato non è mai pari a quella delcerchio massimo. La lunghezza minima è >0.

Gruppo 3: In base alla de�nizione i lati del triangolo sferico non possonosuperare la lunghezza della circonferenza massima.

Con maggiore precisione, i gruppi 2 e 4 hanno scritto che deve essere sem-pre minore di una semicirconferenza massima. Nel caso del gruppo 4 lalunghezza della semicirconferenza era e�ettivamente un valore possibile perla limitazione superiore dei lati del triangolo, coerentemente col fatto cheavevano risposto a�ermativamente alla seconda domanda.

Gruppo 4: Per formare un triangolo i lati devono avere la lunghezza mas-sima pari a metà della lunghezza del cerchio massimo.

Il gruppo 2, invece, ha scritto:

Gruppo 2: Il lato più lungo deve essere minore della metà del cerchiomassimo.

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Si è veri�cato, però, che i portavoce dei gruppi 1 e 4, nel riportare allalavagna le risposte, abbiano modi�cato la loro versione. Alessia, riferimentodel gruppo 1, ha dato come limitazione superiore metà cerchio massimo,mentre Giorgio, che con il gruppo 4 aveva condiviso il valore massimo paria metà retta sferica, ha riportato come limite superiore l'intera retta.

Mi sono chiesta le ragioni del cambiamento di risposta. Può darsi che ilgruppo 1 si sia reso conto dopo l'esplorazione o dopo le prime osservazionicondivise, dell'errore commesso, e abbia voluto correggerlo, dimenticandosidi modi�care la scheda; non ho capito invece come mai il gruppo 4 abbiaaccettato la versione diversa e scorretta del suo portavoce. In base all'osser-vazione di come è stata condotta l'esplorazione, ho supposto che il gruppo 4non avesse concluso l'analisi dell'ultima risposta, ma avesse abbozzato oral-mente qualche considerazione e che nel riferire alla classe la loro versione sisia fatto condizionare dal responso del gruppo 3, pronunciato prima del loroturno, ma che poi, a �ne discussione, abbia riportato sulla scheda la versionecondivisa.

Per quanto riguarda la limitazione inferiore, solamente il gruppo 1 haspeci�cato sulla scheda che la lunghezza deve essere sempre strettamentemaggiore di zero, il gruppo 4 lo ha riportato in fase di condivisione e molticompagni hanno a�ermato che si tratta di un'osservazione scontata.

Per concludere, alla prima domanda tre gruppi su quattro hanno rispo-sto che non si può ottenere un triangolo con i vertici appartenenti ad unastessa retta sferica, ma solamente il gruppo 2 ha esplicitato chiaramente lamotivazione, richiamando la de�nizione di triedro.

Due gruppi su quattro, poi, hanno a�ermato che si può ottenere un trian-golo con due vertici tra loro antipodali, mentre gli altri due gruppi ritenevanoche questo non fosse possibile. Il gruppo 2, per giusti�care la risposta, harichiamato ancora la de�nizione di triedro, notando che essa non verrebberispettata; il gruppo 3 ha a�ermato, invece, che in quel caso non avremmopiù tre lati perchè si formerebbe uno �spicchio�.

Anche per quanto riguarda le limitazioni dei lati, si è assistito ad unaspaccatura all'interno della classe: due gruppi hanno evidenziato il limitedella semicirconferenza massima, gli altri due hanno ritenuto che questolimite fosse tutta la retta sferica.


Dal momento che dalle risposte dei ragazzi è emerso non essere evidenteche ci si dovesse riferire alla de�nizione di triedro per analizzare i casi di

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triangoli particolari proposti, la professoressa Pavesi dà il via alla discussionechiedendo ai ragazzi un'ulteriore ri�essione sulle de�nizioni presenti sullascheda 3.

Insegnante: �Che cos'è il triedro?�

Alessia rilegge con attenzione a voce alta la de�nizione di triedro.

Insegnante: �Allora, avete letto che le semirette, dovendo individuare unaporzione di spazio, devono essere non complanari. Rileggiamo la domanda:i tre vertici di un triangolo sferico, possono essere allineati?�

I ragazzi rispondono di no e Alessia dice:

Alessia: �Perchè così non esiste il triangolo�.

L'insegnante chiede di essere più precisi.

Vincenzo: �Le semirette in questo caso starebbero sullo stesso piano, allorail triedro è un triedro schiacciato�.

Invitiamo gli alunni a ri�ettere sul fatto che se si dà loro una de�nizio-ne, eventualmente diversa da quella che si possono aspettare, sono tenuti ariferirsi ad essa.

Io: �Quelle che vi abbiamo fornito sono le �regole� iniziali, nel vostro proce-dere dovete rispettare le regole del gioco�.

Insegnante: �Qui non c'è soltanto un esercizio di geometria, nel caso par-ticolare di geometria sferica. Dovete imparare a muovervi secondo le regoledel gioco�.

Per quanto riguarda la seconda risposta, Alessia, componente del gruppo 2,che aveva risposto che punti antipodali possono essere vertici di un triangolosferico, cambia idea rispetto a quanto condiviso nel gruppo e dice:

Alessia: �Due punti antipodali sono allineati, quindi, anche se ne prendouno esterno, ho un unico piano che contiene le tre rette�.

Tommaso: �Sì perchè giacciono sullo stesso piano e viene così meno lade�nizione di triedro e di triangolo sferico�.

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Insegnante: �E per quanto riguarda le limitazioni?�

Osserviamo che anche in questo caso abbiamo la classe divisa in due: duegruppi sostengono che i lati siano sempre minori di una semicirconferenza,altri due gruppi di una circonferenza intera. In rappresentanza del gruppo 2prende la parola Vincenzo:

Vincenzo: �Se fosse maggiore o uguale a metà di un cerchio massimo,la super�cie interna sarebbe concava, quindi andrebbe di nuovo persa lade�nizione di triedro�.

Alessia: �Sono d'accordo, però mi chiedo come mai abbiamo fatto giustaquesta e abbiamo sbagliato quella di prima, il principio è lo stesso...�.

In realtà Alessia e il suo gruppo hanno riportato alla lavagna la risposta cor-retta alla terza domanda ma sulla scheda hanno scritto come limite superiorel'intera circonferenza massima.L'insegnante chiede ora ai gruppi 3 e 4 di argomentare la loro risposta secondocui la limitazione è tutta la retta sferica.Anna, del gruppo 4 dice:

Anna: �Ma io veramente avevo pensato alla semicirconferenza, ma poi...�

In realtà sul loro foglio ho potuto leggere davvero �metà lunghezza del cerchiomassimo� ma mi è stato di�cile comprendere le dinamiche di ragionamentoe le e�ettive considerazioni e conclusioni di questo gruppo.L'insegnante chiede anche al gruppo 3 di motivare il loro ragionamento, manelle risposte rimangono vaghi:

Valentina: �Eh, abbiam fatto dei tentativi...�.

L'insegnante cerca allora di fare il punto della situazione:

Insegnante: �A questo punto cosa vi sembra ragionevole?�

Sara, del gruppo 3: �un triangolo può stare al massimo in una semisfera�

E aggiunge Francesca, sua compagna di gruppo:

Francesca: �e i lati non possono essere più di 180°�.

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Dalle parole di Francesca risulta evidente come gli studenti utilizzino i gradiper misurare le lunghezze dei segmenti: come già osservato, con gli strumentia disposizione, in particolare con il righello sferico graduato, ciò risulta moltointuitivo e spontaneo.Propongo in�ne un'osservazione per completare i ragionameni emersi dairagazzi:

Io: �Quando �ssiamo due punti sulla sfera, abbiamo detto che individuiamoun certo cammino di minima distanza sulla circonferenza massima. Nonabbiamo de�nito esplicitamente il termine �segmento�, ma l'idea è quella.Anche per individuare i lati del triangolo abbiamo usato questi �segmenti�,delle porzioni particolari di retta. Ma, dati due punti quante porzioni diretta troviamo?�

Alcuni ragazzi: �Due, ma dobbiamo prendere quella più corta�.

Io: �E dati due punti qual è l'estensione massima di questa lunghezza?�

Anna: �Minore di una semicirconferenza�.

Dunque, e�ettivamente, i lati del triangolo non potrebbero superare la lun-ghezza di metà circonferenza massima, perchè in quel modo sarebbero colle-gati con un cammino non di minima distanza, contrariamente alle convenzio-ni adottate. Secondo me, al termine della scheda 1, sarebbe stato opportunoso�ermarsi di più su questa considerazione, sottolineando che da quel mo-mento in avanti avremmo dato per scontato che il �segmento� individuato dadue punti è sempre quello di minima distanza. Quest'osservazione è rimastaun po' sottintesa, anche se condivisa, e la de�nizione di segmento non è statadata esplicitamente.Con queste considerazioni termina la discussione alla scheda 3.


Per lo svolgimento della scheda 4 è stato consegnato ai ragazzi il goniometrosferico.

Il tempo previsto era di circa 20 minuti.Per favorire le osservazioni richieste sulla somma degli angoli interni di

un triangolo sferico l'insegnante, dopo qualche minuto dalla consegna, hascritto alla lavagna le seguenti domande guida:

- esistono triangoli con più di un angolo retto?- la somma degli angoli interni è costante? Se no, tra che valori varia?

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Ciononostante ai ragazzi è servito più tempo del previsto e parte dellafase di discussione è stata rimandata alla lezione successiva.

Ci siamo rese conto che qualcuno, nonostante avesse trovato triangolicon tre angoli retti, pensava che non fossero ammessi triangoli con più di unangolo ottuso. Il gruppo 1, in particolare, si era concentrato sull'esplorazionedella validità di alcune proposizioni, ad esempio: �Se ci sono due angoliacuti uno è sicuramente ottuso�; �Se ci sono due ottusi il triangolo non sichiude�. Queste ri�essioni, che non sono state riportate alla classe, nonhanno consentito loro di pensare ai valori limite per la somma degli angoliinterni del triangolo.

Quasi tutti i ragazzi erano concordi nel ritenere 180° la limitazione in-feriore alla somma degli angoli interni: la maggior parte disegnava triangolimolto piccoli, un gruppo, invece, ha disegnato un triangolo �stretto� con dueangoli di 90°. Dai disegni sulle sfere ho notato in generale una certa di�coltàa creare triangoli con angoli quanto più ampi possibile, probabilmente perchènon risultava immediato considerare triangoli con tre angoli ottusi, essendoimpossibile questa situazione sul piano.

I ragazzi del gruppo 2, confrontandosi tra loro, ri�ettevano sul fatto che ingeometria sferica esistono in�niti triangoli equilateri, con angoli di ampiezzastrettamente compresa tra 60°e 180°. Questo ragionamento, sebbene non siastato scritto sulla scheda nè proposto in fase di discussione è stato citatodurante la discussione della scheda 9, come avremo modo di vedere.


In risposta alla prima domanda guidata dell'insegnante, il gruppo 4 ha scrittoche è possibile trovare triangoli con due angoli retti. Gli altri tre gruppihanno osservato che esistono anche triangoli con tre angoli retti. E' parsoquindi evidente che la somma degli angoli interni non fosse, come sul piano,180°; gli esempi trovati dimostravano in particolare che poteva essere piùgrande. Facendo più prove i ragazzi hanno dedotto che questa somma nonera però costante ma variava al variare del triangolo considerato. Un paio digruppi lo hanno esplicitamente scritto:

Gruppo 4: Nei triangoli sferici la somma degli angoli interni varia alvariare della dimensione dei lati.

Gruppo 2: Non c'è un valore costante della somma degli angoli interni.

Due gruppi su quattro erano d'accordo sul limite inferiore (mai raggiun-to), di 180°. Il gruppo 4 sosteneva, invece, di aver trovato un triangolo di

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180° (si è poi rivelato essere un triangolo molto piccolo su cui era stata con-dotta una misura imprecisa), mentre il gruppo 3, pensando ad un triangolopiccolissimo, ha detto che la somma degli angoli interni è una quantità in�ni-tesima. Per quanto riguarda la limitazione superiore, invece, nessun gruppoha trovato il valore limite di 540°. Vediamo nel dettagio le loro risposte:

Gruppo1: Limitazioni: somma angoli interni: ]180°, 360°[, non come ingeometria euclidea.

Gruppo 2: Il valore della somma degli angoli è: 180° < somma < 360°.

Gruppo 3: Il valore minimo della somma degli angoli interni è ε(numeroin�nitamente piccolo). Il valore massimo è 270°.

Gruppo 4: Nei triangoli sferici la somma degli angoli interni varia al variare

della dimensione dei lati e non è mai inferiore a 180°.

Quando in fase di condivisione si è chiesto al gruppo 4 se avessero inmente un valore limite superiore essi hanno risposto �+∞�; dal momento cheavevano misurato un triangolo con somma degli angoli interni pari a 390°,avevano ipotizzato che esistessero triangoli con somma degli angoli internigrande a piacere.


L'insegnante osserva che c'è opinione concorde sul fatto che la somma degliangoli interni non sia costante e propone di pensare insieme, in base a quantocondiviso, alle possibili limitazioni.Il gruppo 3, che ha a�ermato di avere come limitazione inferiore ε, ha difeso lapropria tesi sostenendo che, �diventando sempre più piccoli i triangoli, anchegli angoli saranno sempre più piccoli�. Qualcuno, però, a�erma risoluto chenon si possa ottenere meno di 180°, e s�da il gruppo 3 a fornire delle provedelle loro a�ermazioni.Nel frattempo Anna, convinta che la somma degli angoli interni possa valere180° chiede:

Anna: �Ma può essere uguale a 180° o no? Perchè a noi è venuto 180° su untriangolo molto piccolo, facendo le misure col goniometro�.

Michele, del gruppo 2, prende la parola e a�erma: �Noi non abbiamo fattouna dimostrazione, ma facendo un po' di prove abbiamo visto che 180° nonviene mai raggiunto�.

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Francesco: �Probabilmente perchè poi diventa un triangolo degenere�.

L'insegnante precisa che, in base a come è stata data la de�nizione, i casi ditriangoli degeneri non vengono ammessi, quindi per noi, i triangoli che lorochiamano �degeneri� non sono proprio triangoli, secondo la de�nizione data.A questo punto prendo una sfera su cui era disegnato un triangolo piccolis-simo che era stato usato per concludere che il limite inferiore mai raggiuntoera 180°. E dico di concentrarsi sulla piccola porzione di sfera considerata.Alessia osserva:

Alessia: �E' quasi piana!�

I ragazzi si convincono che il valore 180° non possa quindi essere raggiuntoperchè, comunque, per quanto piccola sia la porzione di super�cie sfericaconsiderata, essa non è piana.Per quanto riguarda la limitazione superiore, invece, ai sostenitori del valore360°, il gruppo 4 propone un triangolo con somma degli angoli di 390°. Sidice allora ai ragazzi di ripensare a come disegnare un triangolo in cui ogniangolo sia più ampio possibile e si concede loro qualche altro minuto di tempoper l'esplorazione.Girando tra i banchi consiglio ad un paio di gruppi un po' in di�coltà diconcentrarsi su una semisfera e di disegnare il triangolo su quella, dal mo-mento che è emerso, durante la precedente discussione, che un triangolo èinteramente contenuto in una semisfera. Passando vicino al gruppo 2 sentoVincenzo spiegare ai compagni che �ssati i punti in stretta prossimità del-l'equatore i tre angoli tendono ad un'ampiezza di 180°, quindi la somma hacome limitazione superiore 180°× 3 = 540°.Dopo una decina di minuti di lavoro chiedo ad un portavoce per gruppo diproporre le risposte. Alla lavagna scrivo:

Gruppo 1: somma angoli interni < 540°.

Gruppo 2: somma angoli interni < 540°, altrimenti verrebbe la semisfera.

Gruppo 3: somma angoli interni ≤ 350°, al massimo possiamo costruireun triangolo coi seguenti angoli: 90°, 90°, 170°.

Gruppo 4: somma angoli interni < 540° o ≤ 540°, non sappiamo decidere.

Tre gruppi sono abbastanza concordi. Vedendo il gruppo 3 un po' dubbiosochiedo a chi ha trovato angoli di ampiezza superiore a 350° di mostrare illoro ragionamento.

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Francesco, del gruppo 2, viene alla cattedra con una sfera di Lénárt e mostrail loro disegno, con i tre vertici vicino all' �equatore�.

Francesco: �Abbiamo preso tre punti sulla stessa semisfera...�

Ma Valentina lo interrompe: �Ma quello non è un triangolo!�

Rileggiamo insieme, nuovamente, la de�nizione di triangolo sferico che è sta-ta riportata sul cartellone, nella ricerca di qualche proprietà che non vengarispettata dal disegno di Francesco, ma non la troviamo. Valentina si con-vince che e�ettivamente quella strana �gura è un triangolo secondo la nostrade�nizione. Francesco dice che dalle loro misure si otteneva come somma454°. Domando, allora, come abbiano fatto a dedurre il valore 540°.

Francesco: �Perchè abbiamo calcolato che l'ampiezza massima di ogni an-golo è 180°, quindi 180° per 3 fa 540°, però, in questo caso, non sarebbe piùun triangolo, le semirette sarebbero complanari�.

Successivamente all'intervento di Francesco, l'insegnante conclude la discus-sione facendo il punto di quanto trovato:

Insegnante: �Questa è una bella scoperta: la somma degli angoli internidi un triangolo è sempre maggiore di 180°, varia al variare del triangoloconsiderato e ha una limitazione superiore di tre angoli piatti�.

3.2.7 Osservazioni conclusive al secondo gruppo di schede

Come già emerso ci sono state di�coltà da parte di molti ragazzi a compren-dere a fondo la de�nizione introdotta. Avevano qualitativamente capito cosafosse un triangolo sferico ma non si erano abbastanza so�ermati sul modoin cui si è scelto di de�nirlo. Soltanto un gruppo ha dato subito risposteesaustive che facessero riferimento alla de�nizione di triedro. Alcuni hannoparlato di triangolo degenere, non notando che in base alla de�nizione da-ta, quelli considerati non erano proprio triangoli. Un altro gruppo ha dettopoi che nel caso di tre punti allineati �non si formano gli angoli�, ma senzaimputare questo fatto alle caratteristiche del triedro.

Per i ragazzi non è certamente facile ricostruire una nuova geometria estaccarsi dalle note concezioni euclidee. Sembra più naturale riferirsi a nozio-ni quanto più possibile familiari. La di�coltà a ragionare con i nuovi concettiemerge anche quando non si accorgono che se i lati del triangolo superasse-ro, in lunghezza, la semicirconferenza, non costituirebbero un cammino di

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minima distanza, un segmento. Il gruppo 2, nel giusti�care questo fatto, hafatto riferimento alla de�nizione di triedro: �Si usa semplicemente la parolatriedro anche per indicare la regione convessa di spazio ad essa associata�,notando che se il triangolo avesse lati più lunghi di una semicirconferenzamassima, il triedro che lo individua non sarebbe convesso.

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3.3 La scheda 5

Questa scheda è stata proposta ai ragazzi durante la lezione di lunedì 18Aprile, in cui si aveva a disposizione solamente un'ora.

In questa attività viene a�rontato il tema della perpendicolarità. Datauna retta sferica, come accade in geometria euclidea, essa ha in�nite per-pendicolari che, però, risultano essere incidenti tra loro, precisamente in duepunti antipodali equidistanti dalla retta data.

Sempre nell'ottica di far ri�ettere i ragazzi sulle proprietà della nuova geo-metria confrontandola con quella euclidea, la scheda propone una ri�essionesulla proposizione della geometria piana:

�Data una retta e un punto fuori di essa, esiste ed è unica la perpendico-lare per il punto alla retta�.

Questo non è in generale valido sulla sfera, dato che per un punto checostituisca un polo rispetto alla retta - equatore data, passano in�nite per-pendicolari.

Dal momento che si è scelto di operare un cambiamento all'interno del-la numerazione delle schede, nelle pagine seguenti riporto le ultime cinqueschede con la numerazione che è stata utilizzata in classe.

SCHEDA 5

Tracciate una retta r sulla super�cie sferica, cosa potete osservare riguardoall'insieme delle rette perpendicolari ad r?

In geometria euclidea data una retta ed un punto fuori di essa esisteed è unica la perpendicolare per il punto alla retta.

Questa proposizione è valida anche sulla sfera?Giusti�cate la vostra risposta.

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SCHEDA 6

Analogamente alla de�nizione di circonferenza sul piano, poniamo la seguen-te

DEFINIZIONE:

Se C è un qualsiasi punto sulla super�cie sferica, chiamiamo cir-conferenza Γr con centro C e raggio r, il luogo dei punti dellasuper�cie sferica che distano r da C.

1. Considerate sulla sfera una qualsiasi retta. In base alla de�nizione dicirconferenza data, potete interpretare la retta come una particolarecirconferenza? Se si quali sono i rispettivi centro e raggio?

2. Tracciate una qualsiasi circonferenza sulla sfera, quali osservazionipotete fare riguardo all'individuazione di centro e raggio?

3. Qual è l'intervallo di valori entro il quale può variare la misura delraggio di una circonferenza?Descrivete le caratteristiche delle circonferenze corrispondenti ai valoriestremi di questo intervallo.

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SCHEDA 7

Disegnate alcune circonferenze Γ1 , Γ2 ... di centro C e raggi r1,r2. . .Utilizzando spago e righello misurate i raggi, le circonferenze e compilate latabella che segue.

raggio circonferenza rapporto

r1 = Γ1 = Γ1/2r1 =

r2 = Γ2 = Γ2/2r2 =

Cosa osservate dalla tabella, pensando alla analoga situazione nel piano?

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SCHEDA 8

Nella geometria euclidea, π rappresenta il rapporto costante tra la lunghezzadella circonferenza e la lunghezza del diametro.

Come si è potuto osservare nella Scheda 6 il valore di questo rapporto non ècostante nella geometria della sfera.

Dimostrerete ora da cosa dipende tale rapporto.

Considerate sulla sfera una circonferenza Γ di centri C e C'.

1. Siano Q e R due punti della circonferenza.Come potete giusti�care che Q e R si proiettano nello stesso punto H diCC'? (Considerate i triangoli CRC' e CQC'. . . ).

Osservate che, poiché ogni punto di Γ , si proietta in H e ha uguale di-stanza da H, si può concludere che Γ è una circonferenza anche sul

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piano perpendicolare a CC' in H.Γ è dunque una circonferenza sia in geometria sferica che in geometriaeuclidea.

2. Se θ è la misura in radianti dell'angolo COQ, esprimete in funzione diθ:- il raggio r della circonferenza sferica: r =

- il raggio QH della circonferenza euclidea: QH =

3. Determinare il rapporto tra la lunghezza della circonferenza Γ e il suodiametro, nella geometria sferica.

Il risultato che avete ottenuto, è in accordo con quanto avete osservato inprecedenza? Perché?

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SCHEDA 9

Durante le precedenti discussioni abbiamo trovato proposizioni riguardantile rette che sono valide in geometria euclidea ma non in geometria sferica.

Collocate le proposizioni che abbiamo esaminato nella tabella seguente edeventualmente trovatene altre.Se credete vi sia d'aiuto consultate il testo di geometria.

PROPOSIZIONI VALIDE

NELLA GEOMETRIADELLA SFERA

NELLA GEOMETRIA DELPIANO

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Sono state consegnate le sfere di Lénárt e il materiale occorrente ai quattrogruppi, che si sono messi subito al lavoro.

Come mi aspettavo, alcuni di essi non consideravano il caso particolaredei punti antipodali, o lo interpretavano come un'eccezione alla regola.

Avvicinandomi al gruppo 2 sentivo che discutevano su come si potessedimostrare e�ettivamente che data una retta e un punto fuori di essa, esisteunica la perpendicolare. Essi, di fatto, non stavano considerando il casoparticolare dei punti antipodali, ma si erano focalizzati su come giusti�carela proprietà che avevano in mente. Questo aspetto è emerso poi in fase didiscussione e i ragazzi, in maniera guidata, ma autonoma, hanno dimostratoche dato un equatore r e un punto fuori di esso, P , che non sia un polo,esiste unica la retta perpendicolare a r, che passa per P .

Per questa scheda erano stati previsti circa trenta minuti per l'esplorazio-ne e una ventina di minuti per la discussione. I ragazzi sono stati piuttostoveloci, impiegando per la prima parte meno tempo del previsto e sviluppan-do poi una buona discussione. Parte di quest'ultima fase, però, ha occupatoanche un po' dell'intervallo, dal momento che a inizio lezione si era impiegatocirca un quarto d'ora per concludere la discussione della scheda 4.


Analizziamo le risposte alla prima domanda. Essa chiede di descrivere l'in-sieme delle rette perpendicolari ad una retta sferica data. Il gruppo 1 è quelloche ha fornito la risposta più precisa:

Gruppo 1: Sono in�nite, tutte incidenti nei punti antipodali delle duesemisfere individuate dalla retta r.

Essi hanno anche precisato che i due punti antipodali non sono casua-li, ma sono individuati (univocamente) dalla retta r. Fissato un equatore,in corrispondenza ad esso si determinano due particolari poli. Quest'osser-vazione spesso veniva tralasciata, ma anche quando i ragazzi non esplici-tavano chiaramente a quali poli si riferissero, dai loro ragionamenti parevache intendessero esattamente quelli �univocamente determinati� dalla retta�ssata.

Il gruppo 2, nell'esprimere lo stesso concetto, non è stato invece, altret-tanto preciso:

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Gruppo 2: Data una retta r le perpendicolari ad essa sono tutte quelle chepassano per gli estremi della retta euclidea perpendicolare al diametro dellaretta data.

I componenti di questo gruppo volevano considerare e�ettivamente i duepoli rispetto alla retta - equatore assegnata, ma la retta perpendicolare aldiametro euclideo della circonferenza massima da loro nominata, non è ingenerale unica, quindi i due �estremi� citati non vengono in questo modoindividuati univocamente.

Il gruppo 2 ha anticipato poi, nella risposta alla domanda 1, considera-zioni che sono state riportate nelle successive risposte:

Gruppo 2: Dato un punto esterno è unica la perpendicolare alla retta r chepassa per quel punto.

L'intento dei componenti del gruppo 2 era quello di considerare un puntoesterno che non fosse un polo per la retta.

Le risposte dei gruppi 3 e 4 alla prima domanda, si sono rivelate di nonfacile interpretazione.

Gruppo 3: Sono in�nite poichè, considerando che la retta iniziale è costi-tuita da in�niti punti, per essi passano in�nite perpendicolari. (Se invece siconsiderassero solo due punti antipodali di una retta [cioè �ssati su di essa],per essi passa una sola perpendicolare).

Gruppo 4: La perpendicolare r è de�nita dal fatto che tracciando altrecirconferenze più piccole rispetto alla stessa perpendicolare queste sarannoparallele alla prima e perciò non più circonferenze massime.

Il gruppo 4 ha proceduto in questo modo: prima di tutto ha tracciatouna retta perpendicolare ad r. Successivamente, ha osservato che altre lineesulla sfera, che paiono essere perpendicolari ad r, non possono essere rettepoichè risultano circonferenze parallele alla prima perpendicolare tracciata,ed abbiamo già osservato che non esistono rette sferiche parallele. Leggen-do questa risposta sembra che essi non si siano chiesti se ci possano essererette perpendicolari con caratteristiche diverse da quelle euclidee, cioè nonparallele tra loro. Invece, in base alla risposta data alla seconda domanda,si capisce che essi avevano chiaro il fatto che esistano in�nite perpendicolariad una retta data, passanti per due particolari punti antipodali. Essi hannoscritto che la proposizione: �data una retta ed un punto fuori di essa esiste

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ed è unica la perpendicolare per il punto alla retta�, non è valida sulla sferae hanno giusti�cato dicendo:

Gruppo 4: Se i due punti sono antipodali le rette perpendicolari ad unaretta data sono in�nite, mentre per un solo punto passa una e una sola retta.

Chiaramente essi intendevano dire che se il punto scelto è uno dei duepoli, si hanno in�nite rette, mentre se il punto non è uno dei punti antipodaliin questione, si ha esistenza e unicità.

Vediamo come hanno risposto gli altri gruppi alla domanda�Questa proposizione è valida anche sulla sfera? �.

Gruppo 1: Sì, tranne per i punti antipodali, per i quali passano in�niterette perpendicolari.

Gruppo 2: Sì, a meno che non siano gli antipodali.

Gruppo 3: Sì, data una retta ed un punto qualsiasi fuori di essa, solouna retta passante per quel punto è perpendicolare. (Caso particolare: seconsideriamo come retta l'equatore e come punto uno degli antipodali oppostiall'equatore, esistono in�nite rette perpendicolari).

Il gruppo 3 inizialmente non aveva de�nito il punto esterno alla retta, tra-mite l'aggettivo �qualsiasi�, ma ha aggiunto il termine solo successivamente.Questo appare molto signi�cativo e sottolinea ancora una volta quanto i pun-ti antipodali siano considerati e�ettivamente come punti �anomali�, che nonvengono presi in considerazione quando si parla di �punti qualsiasi�.

Il gruppo 3 non ha scritto ulteriori giusti�cazioni mentre i gruppi 1 e 2hanno proposto spiegazioni analoghe:

Gruppo 1: Tracciando una retta r notiamo che le sue rette perpendicolarisono incidenti nei punti antipodali delle due semisfere individuate da r. Presoun punto qualsiasi, notiamo che la perpendicolare per quel punto è unica;tracciando un'altra retta per quel punto che incida la retta r notiamo chel'angolo che si forma è <90°.

Ancora una volta essi hanno utilizzato l'aggettivo �qualsiasi� per indicareun punto diverso dai due punti antipodali particolari.

Gruppo 2: Tracciando empiricamente sulla sfera la perpendicolare passanteper un punto esterno, troviamo che è unica, in quanto cambiando i punti diintersezione con la retta data, non si formano quattro angoli di 90°.

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Riassumendo, per due gruppi su quattro era evidente che l'insieme delleperpendicolari ad una retta r fosse in�nito e che tutte si incontrassero in duepunti antipodali, univocamente determinati, una volta �ssata r. Nonostantei gruppi 3 e 4 non avessero risposto con precisione alla prima domanda, tuttisono stati concordi sulla risposta alla seconda questione, a�ermando che laproposizione euclidea sulla perpendicolare ad una retta per un punto esterno,è ancora valida sulla sfera se come punto non si prende uno dei due poli.


La discussione ha inizio partendo dalla risposta data alla prima domanda dalgruppo 4. Essi hanno sottolineato che le possibili perpendicolari ad r dallaforma di circonferenze concentriche, parallele ad una perpendicolare ad r,non sono rette.Giorgio, portavoce del gruppo 4 dice:

Giorgio: �Se prendiamo delle circonferenze parallele alla perpendicolare allaretta r, non saranno rette, quindi la perpendicolare sarà proprio quella presain considerazoine all'inizio�.

Subito Francesca, componente del gruppo 3, interviene dicendo che la rispo-sta data dal gruppo 4 è corretta ma che non dà informazioni sensate riguardoa quali siano, e�ettivamente, le possibili rette perpendicolari.Allora si domanda al gruppo 4 se sia possibile trovare delle rette, cioè del-le circonferenze massime, che siano perpendicolari alla retta data e come,eventualmente, pensano siano fatte.

Veronica: �Se �sso un punto, sì, ne trovo una, ma se sono antipodali,in�nite�.

Francesca, però, evidenzia che quella pare essere la risposta alla seconda do-manda, mentre la prima chiedeva, in generale, quali fossero le caratteristichedell'insieme delle rette perpendicolari. Interviene a supporto anche Michele,del gruppo 2:

Michele: �La prima domanda ci dice che data una retta, ci sono, in generale,delle perpendicolari, e come sono fatte, senza pensare ad una in particolareche passi per un punto. Nella seconda si dà un punto esterno e si vuol saperese ce ne sono passanti per quel punto�.

Chiedo allora di formulare una risposta condivisa alla domanda 1.

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Prende la parola Anna, componente del gruppo 4:

Anna: �Le rette perpendicolari sono in�nite e si incontrano nei punti anti-podali�.

Proseguiamo allora con la discussione, ri�ettendo insieme sulla seconda do-manda della scheda.I componenti del gruppo 2 cercano di dimostrare che per un punto esternoad una retta, che non sia un polo rispetto a quella circonferenza massima,passa una e una sola perpendicolare.

Eugenio, del gruppo 2: �Noi stavamo pensando che per giusti�care il fattoche esiste ed è unica la perpendicolare, prendiamo due punti antipodali eun terzo compreso in una circonferenza massima che passa per i due puntiantipodali, questa retta perpendicolare sarà unica perchè deve rispettarel'assioma di perpendicolarità�.

I ragazzi, però, gra�camente, considerano i due punti antipodali in questioneappartenenti alla retta r invece che da parti opposte rispetto ad essa edequidistanti da r. Il loro ragionamento è confuso, ed è scorretto il ricorsoalla proposizione (non assioma) dell'esistenza e unicità della perpendicolareper un punto a una retta, la cui validità in geometria euclidea non legittimal'estensione al caso della super�cie sferica. La loro idea, in realtà, come poisi capisce dal seguito della discussione, era di dimostrare che una qualunquealtra retta perpendicolare doveva coincidere con la prima. Sostenevano chedata una retta r e una perpendicolare s passante per un punto P , questaintersecasse r in due punti diametralmente opposti, che loro chiamavanoantipodali, Q e R. Una qualsiasi altra retta perpendicolare ad r, passanteper P , avrebbe intersecato r negli stessi punti Q e R e in questo modo,secondo loro, sarebbe stata necessariamente la retta s. Di fatto, i ragazzinon ri�ettevano sul fatto banale che le ipotetiche altre perpendicolari a rpassanti per P , avrebbero potuto intersecare la retta in punti diversi da Q eR.Francesca, del gruppo 3, infatti, a�erma:

Francesca: �Ma questo è ovvio, voi considerate sempre la stessa perpendi-colare!�.

Francesco chiede al gruppo 3:

Francesco: �Voi come avete giusti�cato che c'è solo una perpendicolare?�

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Le componenti del gruppo 3 cercano di spiegare i loro disegni.

Francesco: �Beh, comunque empiricamente�.

Valentina: �Eh, sì. Anche in geometria euclidea è così�.

Francesco: �Eh beh, e quindi deve essere per forza così anche qui?�

Io: �Abbiamo visto che ci sono delle di�erenze, in generale, tra le duegeometrie. Come si può capire se questa proprietà si mantiene?�

Tommaso: �Prendendo un punto esterno e costruendo la perpendicolare,la retta è unica perchè dati tre punti passa una e una sola retta e come trepunti consideriamo il punto esterno e i due punti di intersezione�.

I ragazzi sembrano un po' confusi. Allora suggerisco di provare a pensaremeglio a cosa succederebbe se ci fossero, ad esempio, due perpendicolaridistinte alla stessa retta r, passanti per un punto esterno P . Faccio unpiccolo schizzo alla lavagna. �Troveremmo qualche situazione particolare?�

Francesco: �Se sono incidenti e perpendicolari allo stesso segmento dovreb-bero essere parallele�.

Carolina: �Ma no, questo sul piano!�.

Francesco: �U�a, ma qui non vale più niente!�.

Alessia precisa, innanzitutto, che quel punto non deve essere un polo:

Alessia: �Se consideriamo il polo e il suo equatore ne troviamo in�nite diperpendicolari. Quindi quel punto non deve essere un polo�.

Diletta, �nalmente, fa un'osservazione che si rivela risolutiva:

Diletta: �E se considero che in quel caso le rette avrebbero due puntiantipodali sulla stessa semisfera?�

La esortiamo a spiegare meglio quello che intende.

Diletta: �Individuata una retta le due ipotetiche perpendicolari si incontre-rebbero in due punti antipodali sulla stessa semisfera�.

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Vincenzo: �Le rette si incontrano in un punto che non è quello antipodale!�

Francesco: �Sì, però non è un po' relativo dire �se ci son due punti antipodalinon va bene�, perchè su una semisfera ne possiam trovare quanti ne vogliamodi punti antipodali�.

Diletta: �Ma riferito ad una retta no...�

Vincenzo, che pare convinto della correttezza del suo nuovo ragionamento,prende la parola e spiega alla classe il suo pensiero:

Vincenzo: �Siccome tutte le perpendicolari a r si incontrano in due puntiantipodali, se si incontrano in un altro punto, quello che abbiamo chiamatoP , che non è uno dei due poli, abbiamo una cotraddizione�.

Francesco: �Giusto!�

Io: �Quindi dato che tutte le perpendicolari ad una retta si incontrano indue punti antipodali, per un punto P diverso da quei due, ce ne può passaresolo una, altrimenti avremmo rette distinte passanti per gli stessi tre punti,il ché è assurdo�.

Già Diletta aveva evidenziato una contraddizione: prese due rette perpen-dicolari ad r, se consideriamo che esse si incontrano nei due punti antipodalie in nessun altro punto, se esse incidessero in P , signi�cherebbe che P è unpolo, e avremmo i due poli sulla stessa semisfera.Facciamo notare ai ragazzi che abbiamo impostato una breve dimostrazioneper assurdo: abbiamo negato la tesi e abbiamo visto che, procedendo consemplici ragionamenti, si giunge ad una contraddizione, rispetto a quantosupposto.A questo punto si conclude la discussione della scheda 5.

3.3.4 Osservazioni conclusive alla scheda 5

A conclusione dell'attività sulla scheda 5 si possono riproporre alcune dif-�coltà e osservazioni emerse già dall'analisi delle precedenti schede, princi-palmente la concezione dei punti antipodali, considerati come punti diversidagli altri, per i quali i ragazzi tendono a creare proposizioni ad hoc.

E' poi emersa nuovamente forte l'in�uenza della geometria euclidea. Ciòsi è veri�cato, ad esempio, quando il gruppo 4 ha istintivamente cercato di ve-ri�care la relazione di perpendicolarità per elementi diversi dalle rette, ma che

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percettivamente soddisfacevano la relazione voluta, oppure quando Valenti-na ha giusti�cato una proprietà valida sulla sfera tramite la corrispondentenel piano.

Durante la discussione è positivo che sia emersa da parte di qualcheragazzo la necessità di una spiegazione più formale e rigorosa della pro-posizione. Gli alunni, discutendo e confrontandosi, hanno dimostrato, consemplici ragionamenti, che data una retta e un punto fuori di essa, che nonsia uno dei due poli corrispondenti all'equatore �ssato, esiste un'unica rettaperpendicolare a quella data, passante per quel punto.

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3.4 Le schede 6, 7 e 8

Questo gruppo di schede presenta un breve percorso di lavoro alla scopertadelle proprietà e caratteristiche delle circonferenze sferiche. Le prime dueschede sono state a�rontate durante le due ore a disposizione di Martedì 19,mentre l'ultima il giorno successivo.

La scheda 6 inizia con la de�nizione di circonferenza sulla sfera, assegna-ti un centro e un raggio. Naturalmente il centro è un punto sulla super�ciesferica e il raggio è una porzione di circonferenza massima, cioè un �segmentosferico�.

Inizialmente si voleva far ri�ettere i ragazzi sul fatto che, sulla sfera, ogniretta risulta essere in particolare una circonferenza. Le successive domandeguida avrebbero poi condotto all'esplorazione di alcune proprietà: una qual-siasi circonferenza sulla sfera presenta due centri, tra loro antipodali e dueraggi di lunghezza inferiore ad una semiretta sferica.

La scheda 7 ha un'impostazione particolarmente �operativa�. Si è sceltodi chiedere ai ragazzi di e�ettuare direttamente le misurazioni di alcunecirconferenze e raggi sulla sfera in modo che si rendessero autonomamenteconto che il rapporto circonferenza

2raggio non è costante e in particolare risultasempre minore di π.

Con l'analisi della scheda 8, in�ne, si voleva che i ragazzi dimostras-sero che la variabilità di quel rapporto dipende dall'angolo formato dallerette passanti per il centro della sfera e, rispettivamente, per i centri dellacirconferenza sferica e per un punto arbitrario appartenente ad essa.


Per a�rontare le richieste della scheda 6 si è consegnato ad ogni gruppolo speci�co compasso sferico. Senza alcuna di�coltà nell'approccio con lostrumento, i ragazzi si sono messi al lavoro disegnando circonferenze di variedimensioni.

Gli alunni parevano soddisfatti di avere �nalmente una scheda sulle cir-conferenze, dal momento che questo concetto era già stato citato in passato,in riferimento ai paralleli terrestri, ma non era ancora stato investigato sullasfera. A mio avviso, quando i ragazzi parlavano di circonferenze sulla sfera,prima della presentazione di questa attività, ragionavano sulle corrisponden-ti circonferenze piane, con centro in un punto all'interno della sfera e raggioun segmento euclideo.

Tutti gli alunni hanno compreso che il raggio della circonferenza sferi-ca risulta essere una porzione di cerchio massimo dimostrando di aver ben

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interpretato la de�nizione data. Qualcuno di loro, però, pensava che datauna circonferenza essa presentasse un unico centro e un unico raggio, forsecondotto a quest'idea dai limiti meccanici dello strumento compasso, che nonpermette di tracciare circonferenze con raggio maggiore di mezza semirettasferica.

Per l'esplorazione, l'analisi e la discussione di questa scheda era statoprevisto un tempo complessivo di trenta minuti. In realtà i ragazzi hannodimostrato di necessitare di più tempo per a�rontare il lavoro e così questaattività ha occupato l'intera prima ora.


La prima domanda della scheda 6 chiede se una retta sferica possa esse-re interpretata come una particolare circonferenza e in caso a�ermativo diindividuarne centro e raggio.

Tutti i gruppi sono stati concordi nel ritenere che e�ettivamente una rettasferica possa essere annoverata tra le circonferenze sferiche. La de�nizione diretta sferica come circonferenza massima faceva riferimento ad una circonfe-renza euclidea. Solo qui i ragazzi hanno compreso che essa rispetta anche lade�nizione di circonferenza sferica.

Il gruppo 2 ha a�ermato esplicitamente che questa circonferenza presentadue centri:

Gruppo 2: La retta ha due centri, gli antipodali della retta, e il raggio è1/2 della semicirconferenza massima.

Il gruppo 4 ha individuato i due potenziali centri ma ha a�ermato chedebba esserne scelto uno. Inoltre ha determinato un unico raggio �ssandoesplicitamente una semisfera:

Gruppo 4: Il centro è uno dei due punti antipodali, mentre il raggio, seconsideriamo una semisfera, è un segmento che parte dal punto antipodaleche fa da centro a un punto qualsiasi sulla circonferenza massima data.

Il gruppo 1 ha detto:

Gruppo 1: Il centro è un punto antipodale della semisfera individuata dallaretta. Il raggio è un quarto di circonferenza massima perpendicolare allaretta

evidenziando, come il gruppo 4, la necessità di scegliere un unico centroe un unico raggio tra i due presenti.

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La risposta del gruppo 3 non ha chiaramente evidenziato il fatto cheesistano, almeno potenzialmente, due centri e due raggi:

Gruppo 3: Il centro è il punto antipodale e il raggio è un quarto dellacirconferenza massima.

La seconda domanda si collega alla prima, cercando di generalizzare alcaso di una circonferenza qualsiasi:�Tracciate una qualsiasi circonferenza sulla sfera, quali osservazioni potetefare riguardo all'individuazione di centro e raggio?�.

L'unico gruppo a fornire una risposta chiara e completa è stato il 2:

Gruppo 2: Ogni circonferenza può essere individuata da due centri an-tipodali con raggio di diversa lunghezza, a meno che non sia un cerchiomassimo.

E ha poi precisato Francesco, il portavoce, al momento della condivisione:

Francesco: �Questi raggi sono due. Cioè, a seconda del polo che scelgo houn raggio diverso a meno che non sia un cerchio massimo.

Il gruppo 4 ha osservato che il centro è un punto antipodale, ma senza spe-ci�care con chiarezza che anche in questo caso esistono due centri e due raggi.Tuttavia, questa precisazione poteva essere sottintesa per i componenti delgruppo.

Gruppo 4: Tutti i punti della circonferenza distano allo stesso modo da unpunto qualunque che è il suo centro. Il centro è sempre un punto antipodale.

I ragazzi tendono evidentemente ad utilizzare il termine qualunque inmodo improprio. In queste risposte si nota come essi abbiano, in alcuni casi,associato all'arbitrarietà della circonferenza quella del suo centro. Invece,�ssata arbitrariamente una circonferenza i suoi due centri non costituisconopiù punti qualsiasi, ma risultano ben determinati. Altre volte il terminequalunque, in questo contesto, è stato usato per sottintendere �uno qualunquetra i due poli�. La stessa questione è emersa dalla risposta del gruppo 1:

Gruppo 1: Il raggio, considerato il centro come punto antipodale qualsiasi ,è l'arco di cerchio massimo che passa per il centro e interseca la circonferenza.

La risposta del gruppo 3 ha identi�cato il centro tautologicamente, ripe-tendone la de�nizione, e ha fatto confusione sull'individuazione del raggio:

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Gruppo 3: Il centro è il punto che ha uguale distanza da tutti i punti dellacirconferenza e il raggio equivale a 1/4 della circonferenza.

Nella terza domanda si chiede di determinare l'intervallo di valori entro ilquale può variare la misura del raggio di una circonferenza e le caratteristichedelle circonferenze corrispondenti ai valori limite.

Il gruppo 2 ha scritto semplicemente:

Gruppo 2: 0 < r < semicirconferenza massima.

Gli altri tre gruppi, invece, hanno a�ermato che il raggio può essere almassimo un quarto di circonferenza. Per chi di loro era consapevole dell'esi-stenza dei due centri e i due raggi, questo è apparso comunque coerente conla necessità, da loro manifestata, di �ssare una semisfera e ragionare su diessa. Per chi, invece, non si era accorto di questa possibilità, è una confermadella scorretta comprensione della de�nizione, che non li ha portati a ritenerecirconferenze quelle con raggio maggiore di metà semiretta sferica. Vediamole loro risposte:

Gruppo 1: Max: 1/4 di circonferenza massima = raggio del cerchio massi-mo. Min > 0.

Gruppo 3: L'intervallo del raggio è compreso tra ε e 1/4 della circonferenzamassima. Con il massimo si ha la circonferenza massima, con ε si ha unacirconferenza in�nitamente piccola.

Nell'ultima risposta del gruppo 4 vediamo ancora una volta l'utilizzo deigradi per misurare segmenti sulla sfera:

Gruppo 4: Max →90° = circonferenza massima. Min →0 =punto =centrodella circonferenza.

In conclusione, non è parso evidente a tutti i ragazzi che data una cir-conferenza massima essa presenta due centri, tra loro antipodali, e due raggiuguali e, quand'anche si siano resi conto che i centri e i raggi sono due, han-no manifestato l'esigenza di �ssare una delle due situazioni per poter daresenso alla de�nizione di circonferenza. Solamente il gruppo 2 ha a�ermatoesplicitamente che ogni circonferenza possiede due centri e due raggi.

Pochissimi sono riusciti a estendere, con ragionamenti pertinenti, le con-clusioni raggiunte riguardo l'individuzione di centro e raggio della circonfe-renza massima, ad una circonferenza qualsiasi, ritenendo che il raggio dellacirconferenza fosse, tra i due possibili, solamente il minore.

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Si dà inizio alla discussione osservando che e�ettivamente la retta risultaessere una circonferenza sferica, che presenta due centri, tra loro antipodalie due raggi uguali, pari ad un quarto di circonferenza massima.Interviene Diletta:

Diletta: �Però bisogna individuarne una delle due, e allora ne ha uno, dicentro�.

Qualche componente del gruppo 4 fa allora notare che nella loro risposta c'èesplicitamente scritto che, per �ssare un centro e un raggio, si deve scegliereuna speci�ca semisfera.Francesca, del gruppo 3, che aveva risposto che il centro è �il� punto antipo-dale, non esplicitando chiaramente la possibilità di avere due diversi centri elasciando il dubbio che il concetto non fosse chiaro, a�erma ora:

Francesca: �Allora ne ho due, ma posso scegliere sia l'uno che l'altro�.

La professoressa chiede allora se si possa o meno ragionare allo stesso modocon una circonferenza qualsiasi.Tommaso riprende la risposta data dal proprio gruppo, cioè che ogni circon-ferenza può essere individuata da due centri antipodali con raggi diversi senon è un cerchio massimo, e ribadisce:

Tommaso: �Anche in questo caso i raggi sono due e sono diversi a menoche non sia un cerchio massimo�.

I ragazzi sembrano ora convinti del fatto che e�ettivamente ogni circonfe-renza tracciata sulla sfera, possa avere due centri e due raggi, ma qualcunoa�erma di non aver pensato a quella con raggio maggiore perchè tratto ininganno dal disegno tramite il compasso, che ha massima apertura di 90°.Ci si aspetta, ora, che le idee sulle limitazioni del raggio siano più chiare.L'insegnante chiede quale sia la limitazione inferiore per il raggio di unacirconferenza. Tutti hanno identi�cato questo valore con lo zero e si trovanopertanto d'accordo sulla risposta, ma solo due gruppi hanno detto che possaesistere e�ettivamente una circonferenza di raggio nullo.Alessia, del gruppo 1, che aveva scritto come limite superiore un quarto dicirconferenza, inizia a ragionare su entrambe le limitazioni:

Alessia: �Il valore del raggio è compreso tra zero e la semicirconferenzamassima!�

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Michele: �Quindi se un raggio si avvicina a zero, l'altro si avvicina allasemicirconferenza, perchè l'altro centro è l'antipodo�.

Diletta: �Beh, possiamo dire che la somma dei due raggi è sempre lasemicirconferenza...�

Alessia: �Ma i due valori estremi sono compresi o esclusi?�

Io: �Cerchiamo di capirlo insieme. Cosa succede quando li comprendiamo?�

Alessia: �Abbiamo delle circonferenze degeneri�

Francesco: �Da una parte un punto, dall'altra tutta la sfera�.

Interviene a questo punto Vincenzo spiegando più precisamente:

Vincenzo: �Ma noi abbiamo calcolato le circonferenze, non i cerchi, quindinon è che ho tutta la sfera. Ho sempre il punto. Solo che i due raggi sonouno zero e l'altro tutta la mezza circonferenza massima�.

Francesco: �Hai ragione!�

Propongo di rileggere una volta la de�nizione di circonferenza sferica data,per vedere se per caso ci possano essere restrizioni per questi due casi.

Io: �Vi ricordate nel triangolo? In base alla nostra de�nizione, i casi, chevoi chiamate �degeneri�, non erano proprio ammessi, perchè le semirette deltriedro dovevano essere non complanari. Qui cosa succede?�

In molti intervengono cercando di spiegare che, dalla de�nizione, i due ca-si particolari non sono esclusi, quindi concludiamo che possono essere an-noverati tra le nostre circonferenze che, se vogliamo, possiamo chiamare�circonferenze degeneri�.

Veronica, componente del gruppo 4, fa osservare che se si ragiona su unasemisfera non è scorretto dire che la limitazione del raggio è un quarto dicirconferenza massima.Data questa obiezione, l'insegnante ed io proponiamo di assumere che, quan-do d'ora in avanti si parlerà di circonferenza, si intenderà sempre quella conraggio minore di un quarto di circonferenza massima, ma che questa sceltanon era già implicita nella de�nizione data. Questa puntualizzazione permet-terà di identi�care con il termine circonferenza un oggetto che ha per tutti

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lo stesso centro e lo stesso raggio, tenendo però presente che nulla vieterebbedi scegliere la circonferenza con il raggio più lungo.Con questa precisazione si conclude la discussione della scheda 6.


Per a�rontare la richiesta di questa scheda, sono stati distribuiti ai ragaz-zi alcuni spaghi ed elastici, oltre al solito kit della sfera di Lénárt. Alcunigruppi, però, avevano a disposizione spaghi troppo corti, o non riuscivano ade�ettuare con facilità le misurazioni. Dopo un po' di tempo abbiamo recupe-rato altri elastici e anche i gruppi più in di�coltà hanno potuto controllarele loro misure e fare altre prove.

In alcuni casi ho aiutato i ragazzi a tenere fermo lo spago sulle lineedisegnate, per far sì che la misurazione fosse più precisa possibile e mi sonoraccomandata con tutti di porre attenzione nel lavoro per ridurre al minimoerrori dovuti al procedimento e�ettuato.

Per l'esplorazione e la discussione di questa scheda, come per la prece-dente, si pensava sarebbe bastata mezz'ora di tempo, invece, forse a causadei problemi �tecnici� riscontrati in fase di esplorazione, il lavoro ha richiestoun'ora di tempo.


I ragazzi hanno e�ettuato varie misurazioni di raggi e circonferenze allo scopodi valutare il rapporto circonferenza

2raggio , completando la tabella proposta con treo quattro prove.

Tutti i ragazzi hanno alternato misure di circonferenze molto piccole(3− 4 cm) ad altre di circonferenze più grandi (13− 14 cm).

Analizziamo le risposte alla domanda:�Cosa osservate dalla tabella, pensando alla analoga situazione nel pia-

no?�Tre gruppi su quattro si sono trovati concordi nel ritenere che questo

rapporto non sia costante. Solamente il gruppo 4 si è trovato in disaccordo.Ecco nel dettaglio le risposte degli studenti.

Gruppo 1: Più è grande la circonferenza, minore è il rapporto tra questa e ildiametro, contrariamente alla situazione analoga sul piano, in cui il rapportoè costante ed è uguale a π.

Il gruppo 2 non ha scritto le conclusioni sulla scheda, per motivi di tempo,ma ha riferito a voce la propria idea:

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Gruppo 2: Maggiore è la circonferenza minore è il rapporto. Sulla sferanon esiste pi greco.

Il gruppo 3 ha precisato che è ancora vero che il doppio del raggio è ugualeal diametro e si è ritrovato d'accordo sul fatto che il rapporto in questionenon si mantiene costante.

Gruppo 3: Sembra che, come nel piano, 2raggio = diametro. Il rapportotra circonferenza e r diminuisce all'aumentare della circonferenza.

Sulla scheda di lavoro questo gruppo ha scritto, imprecisamente, che ilrapporto considerato è circonferenza

raggio , ma in fase di condivisione dei risultatiha considerato l'espressione corretta. Si è quindi trattato esclusivamente diun errore di scrittura.

Il gruppo 4, come già osservato, è stato l'unico a non riconoscere la noncostanza del rapporto, nonostante le misure dei raggi scelti fossero analoghea quelle fatte dai compagni. A parità di raggio, però, i valori delle lunghezzedelle corrispondenti circonferenze erano molto diverse da quelle degli altrigruppi. Questo mi ha fatto pensare a qualche di�coltà nella misurazionedelle linee tramite lo spago. E�ettivamente dai valori riportati nella lorotabella, quel rapporto risultava sempre 2.8 a meno di approssimare i cente-simi, per eccesso o difetto. Il fatto che non venisse sempre precisamente 2.8è stato imputato dai ragazzi del gruppo 4 alla scarsa precisione delle misureeseguite.

Non è apparso completamente chiaro il motivo del loro errore. Viene dasupporre che sia stata commessa qualche imprecisione sostanziale durante lafase di disegno sulla sfera o di rilevazione delle misure.

Gruppo 4: Qualunque sia il raggio della circonferenza e la misura di que-st'ultima, il rapporto è lo stesso (' 2.8).


Chiediamo ai ragazzi se hanno qualche osservazione o precisazione da pro-porre in merito alle loro risposte.

Prende la parola Vincenzo, del gruppo 2:

Vincenzo: �Noi ci aspettavamo che il rapporto venisse sempre 2, invecedalle misurazioni ci siamo accorti che non è così: maggiore è la circonferenza,minore è il rapporto�.

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Francesco: �E cosa vuol dire quello del gruppo 4?�

Il gruppo 4 è quello che ha a�ermato che il rapporto rimane costantementeuguale a 2.8. Gli risponde Giorgio:

Giorgio: �Che è costante!�

Michela, del gruppo 1: �Noi abbiamo trovato anche 2.2, quindi... Mi vieneda chiedere se ci sarà un massimo e un minimo�.

Francesco: �Allora, sul piano vale π...�

Anna: �Mentre qui è sempre meno di π�.

Diletta: �Secondo me c'è il valore minimo di 2�.

Prende a questo punto la parola Tommaso, a�ermando di aver chiara lasituazione e cercando il silenzio e l'attenzione della classe:

Tommaso: �Ho scoperto come funziona: più la circonferenza è piccola, piùsi avvicina al piano (come angolazione, deformazione...), quindi il valore siavvicinerà sempre più a pi greco. Più la circonferenza è larga più si allontanada pi greco e arriva a 2, perchè considero il rapporto tra la circonferenzamassima e il suo raggio, che è un quarto di se stessa�.

Vincenzo: �Però, se consideriamo il caso di una circonferenza con centroquello più distante, il rapporto è anche minore di 2!�

Francesco: �Bravo! Hai ragione!�

Insegnante: �Pensate, però... Archimede è arrivato a questo numero, π,facendo i suoi conti sulla terra, che è sferica...�

Tommaso: �...e non esiste π, invece c'è riuscito perchè rispetto alla sfericitàdella terra, la piccola porzione, possiamo dire, di �pavimento�, su cui facevale misure, tende al piano�.

Eugenio: �Quindi lui si avvicinava a quel valore. Ecco perchè secondo mepi greco non è un valore de�nito, ha in�nite cifre dopo la virgola�.

Insegnante: �E', come si dice, un numero irrazionale�.

Con queste considerazioni, lasciate nei termini intuitivi emersi, termina iltempo a nostra disposizione e poniamo così �ne alla discussione. Nella schedasuccessiva sarà più chiaro da cosa dipende la variabilità di tale rapporto.

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Questa scheda costituisce una dimostrazione guidata della non costanza delrapporto circonferenza

2raggio , che porta ad evidenziare da cosa dipenda tale variabi-lità. L'impostazione è un po' diversa rispetto alle altre schede di lavoro, piùteorica e meno operativa. Questo ha inizialmente creato qualche perplessitàin alcuni ragazzi, ma è stato detto loro di a�rontare la dimostrazione passopasso, concentrandosi di volta in volta sulle richieste nell'ordine in cui sonostate loro presentate.

Il tempo previsto per la scheda 8 era di un'ora, da suddividere traesplorazione, condivisione di risultati e discussione. I ragazzi hanno però in-contrato un po' di di�coltà ad a�rontare quanto richiesto nei tempi previsti,così la discussione è stata rimandata all'ora successiva.


La prima domanda chiede di giusti�care perchè i punti Q ed R si proiettino

nello stesso punto H di CC ′, e suggerisce di considerare i due triangoli C∆RC ′

e C∆QC ′. Riporto qui di seguito la seconda delle due �gure della scheda, in

cui sono segnati sia i punti R e Q che l'angolo θ.

Vediamo le risposte dei vari gruppi:

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Gruppo 1: Confrontando i triangoli C∆RC ′ e C

∆QC ′, essi risultano con-

gruenti per il terzo criterio: RC = CQ, RC ′ = C ′Q, CC ′ in comune. Con-

sidero i triangoli C ′∆RH e C ′

∆QH: data la precedente congruenza RC ′ = C ′Q,

C ′H in comune e gli angoli RC ′H = QC ′H: congruenti. Quindi RH = HQ⇒ H: proiezione ortogonale dei centri C e C ′ sul piano e quindi è centrodella circonferenza piana.

Oltre a non motivare la congruenza dei lati RC = CQ, RC ′ = C ′Q,il gruppo 1 non si è accorto che, una volta dimostrata la congruenza dei

triangoli C∆RC ′ e C

∆QC ′, si può immediatamente concludere che le due altezze

relative al lato CC ′ si incontrano in uno stesso punto. I componenti del

gruppo 1 hanno invece voluto dimostrare la congruenza dei triangoli C ′∆RH

e C ′∆QH, ma per concludere che H è proiezione sia di R che di Q su CC ′

avrebbero dovuto considerare il triangolo C ′∆RH retto in H (o analogamente

ipotizzare C ′∆QH retto in H) e, dimostrando che esso risulta congruente a

C ′∆QH (o, nel caso dell'altra scelta, a C ′

∆RH) per il primo criterio, avrebbero

potuto concludere che H risulta essere proiezione anche di Q (di R).

Gruppo 2: Poichè CRC ′ e CQC ′ sono triangoli congruenti e quindi l'al-tezza si proietta nello stesso punto. CC ′ è in comune e gli altri lati sonocongruenti in quanto CHR e CHQ sono congruenti perchè CH è in comu-ne HR = HQ perchè raggi della circonferenza piana e hanno un angolo di90°entrambi compreso tra i lati congruenti, quindi CR = CQ.

La giusti�cazione del gruppo 2 è piuttosto imprecisa. Essi hanno fatto

ricorso alla dimostrazione della congruenza dei triangoli C∆HR e C

∆HQ, dando

per scontato che la circonferenza Γ fosse anche piana e che HR e HQ fosserouguali al raggio di tale circonferenza, cioè la tesi.

Dall'analisi a posteriori delle schede di lavoro e dei protocolli si è pensatoche il fatto di aver già riportato sulla �gura il punto H e i due raggi piani RHe QH, potrebbe aver confuso i ragazzi spingendoli a considerare i triangoli

C ′∆RH e C ′

∆QH o C

∆RH e C

∆QH e a trarre conclusioni non appropriate.

Gruppo 3: I raggi sferici CQ = CR, quindi anche le corde CQ = CR ; per

lo stesso motivo C ′Q = C ′R ; CC ′è lato in comune, quindi C4RC ′ = C

4QC ′;

H appartiene alla retta CC ′ ed è proiezione di C. Essendo H proiezione del

104

centro C, anche Q ed R seguono la proiezione di C in quanto punti dellacirconferenza Γr .

La prima parte è corretta e presenta l'argomentazione più completa per

la congruenza dei triangoli C∆RC ′ e C

∆QC ′. La seconda parte risulta invece

di di�cile interpretazione.

Gruppo 4: I triangoli CRC ′ e CQC ′ sono congruenti per il terzo criterio(hanno infatti tre lati congruenti): CC ′ in comune, CR = CQ e C ′R = C ′Qperchè raggi.

In questa risposta, a contrario di quella del gruppo 3, non è stato preci-sato che CR, CQ, C ′R e C ′Q sono le corde sottese ai raggi sferici e non iraggi stessi e dunque la loro congruenza discende direttamente da quella deicorrispondenti archi.

Globalmente i ragazzi hanno capito che bastava mostrare che i tre latierano congruenti, anche se alcuni di loro non lo hanno proposto in modoadeguato.

A questo punto la scheda fa osservare che, poichè ogni punto di Γ si pro-ietta in H e ha uguale distanza da H, si può concludere che Γ è una circon-ferenza anche sul piano perpendicolare a CC ′ in H, cioè è una circonferenzaeuclidea.

La seconda domanda chiede di esprimere i raggi della circonferenza sfericae della circonferenza euclidea in funzione dell'angolo COQ = θ. Il raggio rdella circonferenza sferica sarebbe dovuto essere espresso come θ·OQ e quelloeuclideo QH = OQ sin θ.

Il gruppo 2 ha scritto entrambe le relazioni in maniera corretta ed hapertanto valutato correttamente il rapporto tra Γ e il suo diametro, pari aπ sin θθ .Il gruppo 3 ha scritto:

Gruppo 3: r = θΓ2π e QH = QO sin θ.

La prima relazione è corretta se si considera come Γ la circonferenza mas-sima. Sebbene non sia emerso chiaramente cosa intendessero i componentidel gruppo 3 per Γ, ho potuto osservare, dall'analisi dei protocolli di questascheda, che i ragazzi avevano disegnato una circonferenza massima prolun-gando l'arco r, quindi è plausibile che intendessero e�ettivamente impostarela proporzione: θ : 2π = r : Γmax, dove ho indicato la circonferenza massima

105

con Γmax, per chiarezza. Questa congettura è stata poi confermata in fasedi discussione da una componente del gruppo 3.

Questo gruppo, però, non ha �nito di compilare la scheda di lavoro noncalcolando il rapporto tra circonferenza e diametro.

Il gruppo 4 ha sbagliato a esprimere il raggio r della circonferenza sferica,infatti ha scritto r = θ, espressione valida solamente nel caso in cui la sferasia di raggio unitario e ha espresso il rapporto in questo modo: 2πr

2r = π, noncomprendendo che i raggi a numeratore e denominatore non sono gli stessi.Il gruppo 2, per distinguere i due raggi, li ha indicati, sul disegno, in manieradiversa: r il raggio euclideo, r∗ quello sferico. In questo modo, anche in fasedi discussione, si è evitato di fare confusione tra le due grandezze.

Il gruppo 1 ha sbagliato a scrivere la prima relazione:

Gruppo 1: r = OC sin θ e QH = OQ sin θ.

L'errore ha avuto come conseguenza che nel determinare il rapporto trala circonferenza massima Γmax, espressa come 2π·r

θ , e il diametro sferico dellacirconferenza Γ , si ottenesse come valore π

θ .All'ultima domanda hanno risposto solo due gruppi, per motivi di tem-

po. Si chiedeva se il risultato ottenuto fosse in accordo con i risultati nu-merici della precedente scheda e di motivare la loro risposta. Il gruppo 4,coerentemente all'errore commesso al punto precedente, ha proposto comeconclusione la costanza del rapporto tra circonferenza e diametro.

Gruppo 4: No perchè nella scheda 6 il rapporto (anche se a noi era venutocostante) non è costante, mentre ora il rapporto è costante: π.

Solo il gruppo 2, invece, ha espresso un'osservazione appropriata:

Gruppo 2: Sì perchè se θ = π2 ,

Γ2r = 2, come precedentemente ottenuto.

Dunque il gruppo 2 è l'unico ad aver presentato un'argomentazione per-tinente pur non avendo approfondito adeguatamente il problema. Non èapparso chiaro se anche a questi ragazzi sarebbe servito più tempo oppurese essi abbiano ritenuto le osservazioni proposte esaustive.


Condurre la discussione su questa scheda di lavoro non è stato a�atto fa-cile. La scheda è lunga e complessa e raramente i ragazzi avevano trovatol'unanimità nelle risposte.

106

Alla prima domanda tutti hanno risposto che i triangoli sono uguali per ilterzo criterio di congruenza. Nonostante i ragionamenti proposti non sia-no stati completamente pertinenti decidiamo di proseguire mostrando loroche l'uguaglianza dei due lati RC e RC ′con QC e QC ′ segue direttamentedall'uguaglianza dei corrispondenti raggi sferici.Allora proponiamo di discutere su come si potevano esprimere i raggi r eQH in funzione di θ.Prende subito la parola Tommaso, del gruppo 2:

Tommaso: �Bastava impostare una proporzione. Tutta la circonferenza staa 360°, che è il suo angolo, come r∗, l'archetto che volevamo, sta a θ. r∗ èporzione di una circonferenza che passa per C, C ′ e Q.�

Vincenzo: �r∗ è un raggio per la circonferenza sferica, un pezzo di circon-ferenza per la retta che lo individua�.

Interviene Francesca del gruppo 3:

Francesca: �Anche noi avevamo ragionato così�.

Insegnante: �Sì, solo non avete esplicitato Γ�.

Veronica del gruppo 4: �Sì, è chiaro come hanno fatto, solo che noi cieravamo incastrati nel calcolo di r�.

L'insegnante a questo punto interviene per far ri�ettere gli alunni sul valoredel rapporto tra circonferenza e diametro.

Insegnante: �Quindi, questo rapporto, quanto viene?�

Tommaso: � π sin θθ . Varia sempre! Poi quella più grande veniva 2, che è

quello che ci aspettavamo�.

Vincenzo: �E poi è sempre minore di π, perchè il numeratore è sempreminore di π, il denominatore è sempre positivo, quindi tutto è minore di π.

Chiediamo alla classe se è d'accordo con questo ragionamento e la maggiorparte annuisce. La professoressa intende precisare quanto emerso e allorachiede:

Insegnante: �e se θ fosse 0.5 radianti?�

107

Francesco: �Eh allora mi sa che è sbagliato quello che ha detto Vincenzo�.

Insegnante: �Proviamo a pensare a come dimostrare che sin θθ < 1. A questo

punto il rapporto che ci interessa sarà minore di θ�.

Disegnamo allora alla lavagna una circonferenza goniometrica e chiediamodi individuare geometricamente sin θ.

Tutti i ragazzi sono concordi nell'indicare AC come il seno dell'angolo θ.

Francesco: �Anche qui si farà una proporzione, un po' come prima, comese r∗ fosse CB. Tutta la circonferenza sta a tutto l'angolo dentro come r∗sta a θ�.

Io: �Proviamo a esplicitare bene questa proporzione�.

I ragazzi mi dettano la proporzione in questo modo: 2π · 1 : 2π = r∗ : θ,avendo precisato che il raggio della circonferenza è pari a 1.

Io: �Quindi, nel caso della circonferenza goniometrica, avete visto che poteteidenti�care questo arco con θ. Ora vogliamo legare, invece, il seno di θ e θ,tenendo presente quanto abbiamo scoperto, ovvero che l'arco BC ha la stessamisura dell'angolo�.

Insegnante: �Quindi, invece di confrontare l'angolo con questo segmentoche non sappiamo bene come fare, confrontiamo il segmento con l'arco cheha la stessa misura dell angolo�.

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Francesco: �L'arco è maggiore del segmento quindi sin θ < θ�.

Vincenzo: �Quindi abbiamo un rapporto con una grandezza maggiore alnumeratore di quella che c'è al denominatore!�.

L'insegnante quindi sottolinea un'ultima volta che il rapporto che conside-ravamo, π sin θ

θ , risulta essere minore di π, poichè sin θθ < 1.

Compiliamo il cartellone con le ultime osservazioni e invitiamo i ragazzi ascrivere la versione corretta sul loro quaderno.

3.4.10 Osservazioni conclusive al quarto gruppo di schede

Per i ragazzi, e anche per noi, non è stato semplicissimo a�rontare e discuterequesto insieme di schede. Il fatto che una circonferenza possa avere due centrie due raggi è una realtà molto diversa da quella euclidea a cui sono abituatie per questo hanno manifestato da subito la necessità di scegliere uno deidue centri e un raggio per poter interpretare in modo univoco la de�nizionedi circonferenza. Il raggio che prediligevano era quello, tra i due possibili, dilunghezza minore, ma la scelta non è stata da tutti fatta consapevolmente.Qualcuno non si è accorto che, anche considerando il raggio più lungo equindi l'altro centro, la de�nizione di circonferenza è ancora rispettata.

A�rontare la dimostrazione, poi, è risultato abbastanza impegnativo daparte degli alunni che non sono abituati a confrontarsi autonomamente conpiccole dimostrazioni. Solamente un gruppo è arrivato a scrivere il rapportotra circonferenza e diametro in maniera corretta e a proporre ragionamentiappropriati.

Anche una semplice dimostrazione come quella che utilizzava i criteri dicongruenza ha creato qualche di�coltà: nonostante alcune giuste intuizioni,le idee non sono state argomentate in maniera del tutto pertinente.

Un gruppo, sebbene fosse emerso dalla scheda 7 che il rapporto in questio-ne non era costante, ma sempre minore di π, ha risposto all'ultima domandadicendo che tale rapporto vale proprio π, senza argomentare a�atto questaloro �sorprendente� scoperta e senza indagare il perchè di questo risultatocontraddittorio.

I ragazzi, in fase di discussione, hanno avuto la possibilità di ri�etteresulle loro risposte e seguire e partecipare ai ragionamenti con i compagni ma,purtroppo, i tempi ristretti non hanno permesso di sviluppare a fondo unadiscussione su tutte le problematiche emerse dall'esame dell'ultima scheda.

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3.5 La scheda 9

La scheda 9 propone un confronto conclusivo e un ulteriore spunto di ri�es-sione per confrontare la geometria sferica con quella euclidea, chiedendo dielencare le proposizioni esaminate nel corso dell'intera attività e di trovarnedi nuove, mettendo a confronto le due geometrie.

La discussione della scheda 8 ha impiegato anche parte della secondaora di Mercoledì 20 Aprile. Di conseguenza per la scheda 9 si è avuto re-lativamente poco tempo per a�rontare in maniera completa le varie fasi diesplorazione, condivisione dei risultati e discussione e per questo motivo nonsi è svolta una vera e propria discussione. Una volta compilate le schede,si è disegnata alla lavagna una tabella con due colonne, analoga a quellapresente sulla scheda. I portavoce di ogni gruppo hanno letto le proposizioniindividuate e io le ho riportate alla lavagna senza distinguere le risposte inbase al gruppo da cui erano state proposte ma semplicemente creando unelenco di enunciati, evitando di scrivere più volte enunciati analoghi. Alcuneosservazioni e questioni interessanti sono emerse così a mano a mano che sicitavano le varie proposizioni. Prima di scrivere i vari teoremi proposti ci siaccertava che tutti fossero d'accordo e in caso contrario si lasciava spazio perun breve confronto.

Per l'esame di questa scheda non riporterò pertanto l'analisi dettagliatadei protocolli, come fatto per le schede precedenti ma elencherò le varieproposizioni emerse analizzando e unendo le proposte dei vari gruppi.


I ragazzi hanno iniziato a lavorare confrontandosi tra loro e rileggendo gliappunti sul quadernino. Sul cartellone erano riportate sia le de�nizioni pro-poste dalle schede a�rontate durante tutta l'attività, sia le varie nuove pro-posizioni trovate. Questo riferimento attendibile e schematico è stato loromolto utile per fare il punto della situazione e ragionare più consapevolmentesulla scheda.

Dal momento che il cartellone riassumeva già tutte le proposizioni incon-trate, dopo qualche breve ri�essione su di esse si è suggerito di concentrarel'attenzione sull'analisi di situazioni non ancora esplorate ma congetturabiliin base alle conoscenze acquisite, permettendo ai ragazzi di consultare, senecessario, il testo di geometria.

Durante questa fase esplorativa abbiamo però notato che alcuni alunnisi so�ermavano ad analizzare teoremi abbastanza complessi trovati sul librodi testo e mostravano di essere in di�coltà a riformulare tali proposizioni

110

nell'ambito della geometria sferica. Per questo motivo abbiamo suggeritoloro di non focalizzarsi su enunciati particolarmente complessi ma di analiz-zare situazioni geometriche semplici, partendo dai concetti basilari di punto,retta, semiretta, ecc, e ragionando sulle relazioni tra di essi.

Da subito è emersa la questione su come de�nire la retta sferica in con-trapposizione a quella euclidea. I due aggettivi che i ragazzi citavano erano�illimitata� e �in�nita�, e dimostravano di non sapere esattamente distinguerei due termini. Non sono stati dati loro suggerimenti in fase esplorativa mala questione si è poi riproposta durante la condivisione delle risposte.

Per a�rontare questa scheda era stata prevista un'ora di tempo, ma inseguito al ritardo dovuto alla discussione della scheda precedente, i ragazzihanno avuto a disposizione circa 30 minuti.

3.5.2 Condivisione e commenti alle varie risposte

Analizziamo nel dettaglio le proposizioni evidenziate dai ragazzi che qui ri-portiamo nella formulazione che la classe ha condiviso, in base alle propostedei ragazzi. Le prime proposizioni rappresentano una raccolta delle varieosservazioni e conclusioni emerse durante tutto il lavoro.

Tutti i gruppi hanno messo a confronto le due seguenti proposizioni:

� Nella geometria della sfera per due punti non antipodali passa una euna sola retta.

� Nella geometria del piano per una coppia di punti esiste ed è unica laretta passante per essi.

Il gruppo 2 ha in particolare sottolineato che

� Se i punti sono antipodali si ha l'esistenza di in�nite rette sferichepassanti per essi.

Per quanto riguarda osservazioni sulle rette parallele, in fase di condivisioneè stato riportato che:

� Nella geometria della sfera non esistono rette parallele tra loro. La�parallela� individuata su un punto esterno ad una retta non è una retta(circonferenza massima).

111

� Nella geometria del piano data una retta, esistono in�nite rette pa-rallele ad essa.

� Nella geometria della sfera data una retta e un punto fuori di essanon esiste la retta parallela a quella passante per il punto assegnato.

� Nella geometria del piano data una retta e un punto fuori di essaesiste unica la retta parallela a quella passante per il punto assegnato.

Nonostante non tutti i gruppi abbiano riportato tutte queste proposizioni,non ci sono stati dubbi quando si è trattato di condividere queste osserva-zioni.

Sulle rette perpendicolari tutti i gruppi hanno concordato sulla seguenteformulazione:

� Nella geometria della sfera data una retta e un punto fuori di essanon è sempre garantito il teorema di esistenza e unicità (notare il casoequatore - polo, in cui sono in�nite).

� Nella geometria del piano data una retta e un punto fuori di essaesiste un'unica perpendicolare per il punto alla retta.

Il gruppo 2 ha proposto anche la seguente:

� Nella geometria della sfera l'insieme delle rette perpendicolari allastessa retta sono incidenti tra loro.

� Nella geometria del piano l'insieme delle rette perpendicolari alla stes-sa retta sono parallele tra loro.

Altre proposizioni emerse durante le varie attività che sono state raccoltenell'ultima scheda, sono le seguenti:

� La somma degli angoli interni di un triangolo sferico non è costantema varia tra 180°e 540°.

112

� Sul piano la somma degli angoli interni è sempre 180°.

� Un triangolo sferico può avere due o tre angoli retti, e anche due otre angoli ottusi.

� Un triangolo euclideo presenta, al massimo, un solo angolo retto oottuso.

Una questione piuttosto interessante emersa in più di un gruppo è stata laseguente:

La retta sferica e quella euclidea sono illimitate? sono in�nite?

I ragazzi hanno mostrato �n da subito un po' di di�coltà nel distinguere idue termini �in�nito� e �illimitato�. Sul concetto di in�nità si è raggiunta fa-cilmente una comunione di pensiero. Un po' più complesso è stato a�rontareil concetto di �illimitatezza�.

Durante la preparazione del lavoro con le insegnanti si è scelto di intende-re il termine �in�nito� nel modo usuale, cioè come composto da in�niti punti,mentre si è a�rontata più nel dettaglio la questione della illimitatezza.

A questo proposito in letteratura non risulta esserci univocità di pensiero.Ad esempio sul Volume di Giovanni Prodi �Scoprire la Matematica�, alladomanda �La retta è illimitata?� la risposta che viene data è la seguente:

�no: infatti ogni retta coincide con una circonferenza che non ammetterelazioni di ordine in senso proprio; eventualmente, l'ordinamento usualepuò essere sostituito da una particolare relazione che è detta ordinamentocircolare, per il quale è previsto che si possa ritornare al punto di partenzae il fatto che, percorrendo una retta, si ritorni al punto di partenza, nonpermette di estendere a piacimento la retta, come invece è possibile nel casodelle rette del piano� [14, p.218].

Sul testo �Le geometrie non euclidee e i fondamenti della geometria� diEvandro Agazzi e Dario Palladino, invece, si legge: �La retta si comportacome una linea chiusa, avente cioè lunghezza �nita pur essendo illimitata, nelsenso che si può continuare a percorrerla senza mai arrestarsi� [1, p. 226].

Entrambi gli autori, dunque, si collegano all'ordinamento fra punti di unaretta, anche se le loro conclusioni, per i motivi citati, risultano opposte. E'noto che il concetto di insieme limitato, da un punto di vista topologico, sipuò interpretare in modo di�erente (in termini di distanza) e questa letturasarebbe possibile anche nel nostro caso. Per la nostra esperienza, tuttavia,

113

abbiamo preferito rimanere collegati alla relazione d'ordine tra punti di unaretta della teoria Hilbertiana[4, pp. 5-6], secondo cui data una qualsiasicoppia di punti A e C, c'è sempre almeno un punto B, sulla retta AC,tale che C giace tra A e B (assioma II.2) e inoltre di tre punti ce n'è almassimo uno che sta tra gli altri due ( assioma II.3). In base ad essa,dunque, abbiamo scelto di considerare la retta sferica come limitata, perchèveri�cante l'assioma II.2 di Hilbert ma non il II.3, mentre la retta euclidearisulta illimitata perchè veri�ca entrambe le proposizioni.

Durante l'esperienza didattica, come si legge nel seguito, abbiamo cercatodi far immaginare ai ragazzi la retta come illimitata nel caso in cui, sceltoun verso di percorrenza e �ssato su di essa un qualsiasi punto, se ne possatrovare un altro �oltre�, che non sia stato mai �incontrato� prima.

Vediamo come si è sviluppata la discussione:

Io: �Provate a dare una specie di de�nizione di una cosa che non ha limite.Cosa intendete quando dite �senza limite�?�

I ragazzi non rispondono e paiono dubbiosi.

Io: �Pensate di camminare su una linea. In che senso questa può essereillimitata?�

Qualcuno suggerisce che per illimitato si possa intendere, che

�davanti si vede sempre linea e non vedi la �ne�.

Francesca: �C'è sempre retta!�

Io: �quindi io sono ferma in un punto, di fronte a me la linea continua, possoquindi procedere nel cammino. Mi rifermo...�

Francesca mi interrompe

Francesca: �raggiungi un altro punto!�

Valentina: �Non ha una �ne!�

Io: �e cosa cambia dalla situazione in cui mi �muovo� su una retta euclideaa quella in cui �cammino� su una retta sferica?�

114

Nessuno risponde. Dato che manca ormai poco tempo alla �ne dell'ora, dicoloro che quello che cambia da una situazione all'altra è che nel caso dellaretta �incontro� sempre punti �nuovi�, che non avevo incontrato prima.

Francesca: �Sulla circonferenza massima ripasso sempre per gli stessi punti,mentre sul piano, se percorro la retta, incontro punti sempre nuovi�.

Io: �E secondo voi, per �in�nito� cosa si può intendere?� Carolina suggerisce

di ritenere in�nite sia la retta euclidea che quella sferica perchè costituiteentrambe da in�niti punti. Gli altri ragazzi concordano con questa de�ni-zione e con la distinzione tra �illimitato� e �in�nito� proposta e condividonola seguente proposizione:

� La retta sferica è limitata e in�nita.

� La retta euclidea è illimitata e in�nita.

Le successive proposizioni emerse durante la presa in esame delle prece-denti schede di lavoro, sono state richiamate solamente dal gruppo 2, maimmediatamente condivise con i compagni:

� In geometria sferica ogni circonferenza ha due centri, tra loro antipo-dali e due raggi (diversi tra loro se la circonferenza non è un cerchiomassimo).

� In geometria piana ogni circonferenza ha un centro e un raggio.

� Sulla sfera il rapporto tra circonferenza e diametro è π sin θθ .

� Sul piano il rapporto tra circonferenza e diametro è π.

Il gruppo 4 ha proposto una proposizione non corretta della geometria sferica:

� Il triangolo sferico è equilatero quando ha tre angoli di 90°.

� Sul piano il triangolo equilatero ha tre angoli di 60°.

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Non appena enunciata questa presunta proprietà dei triangoli equilaterisferici, è intervenuto Vincenzo a�ermando:

Vincenzo: �No, l'ampiezza degli angoli dei triangoli equilateri è qualsiasitra 60°e 180°�.

Insegnante: �E�ettivamente questo l'aveva osservato qualcuno durante l'e-splorazione ma poi non è stato riportato alla classe e non lo abbiamo scrittosui quaderni. La misura di ogni angolo, al minimo, si avvicina a 60°, checorrisponde al caso in cui la somma degli angoli interni è quasi 180°, cioèvicino a quello che succede sul piano, e al massimo è 180°, valore, anche inquesto caso, mai assunto, che corrisponde ad una somma degli angoli internidi 540°�.

Il gruppo 2 ha richiamato il fatto che sulla sfera esistono �gure geometri-che con angoli uguali e lati uguali, costituite da due lati, con la seguenteproposizione:

� Nella geometria della sfera il poligono con il minimo numero di lati èil �biangolo�.

� Nella geometria del piano il poligono con il minimo numero di lati èil triangolo.

Il gruppo 2 ha proposto anche le seguenti proposizioni:

� Nella geometria della sfera un punto non divide una retta in duesemirette.

� Nella geometria del piano un punto divide una retta in due semirette.

� Nella geometria della sfera due punti dividono una retta in due li-nee, una delle quali è un segmento. Se i punti sono antipodali, in duesemirette.

� Nella geometria del piano due punti dividono una retta in due semi-rette e un segmento.

116

Il gruppo 1 ha sollevato il seguente problema: sulla sfera esistono i quadrati,i parallelogrammi, i rettangoli o i trapezi?I ragazzi hanno enunciato la seguente proposizione:

� Non si possono costruire parallelogrammi sulla super�cie sferica .

� Nella geometria del piano esistono parallelogrammi o �gure con latiparalleli.

Subito componenti di altri gruppi si sono dimostrati a favore di questa te-si sostenendo che sulla sfera non possano esistere nemmeno �gure come ilquadrato, il rettangolo o il trapezio, avendo esse lati paralleli e non essendoquesti ammessi nella geometria della sfera.Di fatto, la possibilità di ammettere o meno queste �gure, dipende dallade�nizione che si considera. Pensiamo, ad esempio, al quadrato: certamentenon può esistere sulla sfera una �gura geometrica de�nita come poligonocon i lati paralleli e uguali tra loro. Ma se lo de�niamo come il poligono conquattro lati uguali e quattro angoli uguali, allora anche sulla sfera potremmoammettere i �quadrati�. Questo ragionamento emergerà più chiaramentenella fase di approfondimento [vd. capitolo successivo] in cui si a�ronterà iltema della le tassellazione della sfera.

3.5.3 Osservazioni conclusive alla scheda 9

La scheda 9 ha rappresentato la naturale conclusione di questo percorso. Iragazzi hanno ripensato alle varie proposizioni emerse durante il lavoro ehanno potuto confrontare ancora una volta la geometria piana con quelladella sfera.

Non tutti sono riusciti a proporre nuovi enunciati. Il tempo a disposi-zione era ormai poco e per questo abbiamo deciso comunque di raccogliere irisultati.

I ragazzi si mostravano sempre piuttosto concordi nel condividere le pro-posizioni emerse dimostrando di aver compreso molte delle caratteristichedella nuova geometria. In particolare, chi ha proposto nuove proposizioni,ha dimostrato di possedere meglio i concetti e di riuscire a ragionare su diessi in maniera autonoma.

117

3.6 La valutazione dell'attività da parte degli stu-

denti

Al termine dell'intera attività, in tutte e quattro le classi coinvolte nel proget-to è stato proposto a ciascun alunno di compilare un questionario anonimo,suddiviso in gruppi di domande, prevalentemente a risposta chiusa.

Dopo aver inserito il nome della scuola, la classe e il genere (maschile ofemminile), è stato chiesto ai ragazzi di riferire se la percentuale di lezioniseguita sia stata maggiore o minore del 50%. Tutti gli alunni hanno rispostoscegliendo la casella che riportava �> 50%�.

Riporto, nel seguito, i resoconti dei questionari, prima per quanto ri-guarda la 2 B del liceo classico U. Foscolo, in cui ho direttamente seguito ilprogetto, e poi i risultati emersi raccogliendo tutti i pareri degli alunni chehanno partecipato a questa attività.

Nella seguente tabella sono riassunte le risposte date dai 17 ragazzi delFoscolo al primo gruppo di domande:

118

Per ogni frase, poni una crocetta sulla colonna che meglio corrispondealla tua opinione sull'attività svolta:

decisa-

mente

NO

Più

NO

che SI

Più SI

che

NO

decisa-

mente

SI

Gli argomenti dell'attività

svolta sono stati interessanti?4 13

L'attività è stata impegnati-

va?5 7 5

La tua preparazione scolasti-

ca era su�ciente per seguire

l'attività?

5 4 7

I locali e l'attrezzatura a

disposizione erano adeguati?1 6 10

I materiali scritti (schede

o dispense) utilizzati per le

attività erano chiari?

5 12

I docenti sono stati chiari? 4 13

Le attività svolte sono state

utili per capire meglio cos'è la

matematica?

2 9 6

Le attività svolte ti saranno

utili nella scelta dei tuoi studi

futuri?

4 10 2 1

Valeva la pena di partecipare

all'attività?1 16

119

Le risposte a queste domande sono state nel complesso piuttosto positi-ve. I ragazzi hanno evidenziato di essere stati soddisfatti per come è statocondotto il lavoro e di ritenere di aver capito meglio cosa sia la matematica.

L'attività è stata evidentemente molto apprezzata: 13 ragazzi su 17hanno de�nito gli argomenti trattati �decisamente interessanti�, e gli altri4 hanno risposto �più SI che NO�, alla prima domanda.

Alla richiesta�Le attività svolte ti saranno utili nella scelta dei tuoi studi futuri?�,però, la maggioranza ha risposto di no. Questo, apparentemente, non

è un buon risultato. Uno degli obiettivi dei laboratori del Piano LaureeScienti�che è infatti proprio quello dell'orientamento universitario. In fasedi lettura dei questionari, però, ci siamo domandati se e�ettivamente laquestione fosse stata posta nel modo migliore e se fosse stata e�ettivamentecompresa nel signi�cato che le si voleva attribuire. Ovvero: il nostro intentoera di indagare se in qualche modo un'attività di questo tipo avrebbe potutofar comprendere meglio al ragazzo le proprie attitudini, il ché signi�ca ancheche, a �ne lavoro, qualcuno si sarebbe potuto rendere conto di non averealcuna inclinazione per questa disciplina e in questo caso l'attività sarebbecomunque stata utile per la futura scelta universitaria, facendo orientare ilragazzo su altri ambiti.

A mio parere, e�ettivamente, un unico laboratorio di questo tipo potreb-be non essere su�ciente a far chiarezza, negli alunni, sulle loro passioni epropensioni o a farli �sbilanciare� ad a�ermare di essersi fatti un'idea sullafutura scelta universitaria. Anche in persone che hanno particolarmente ap-prezzato l'attività e sono rimasti incuriositi dal tipo di approccio e visionedella matematica proposti, c'è stata una certa cautela nell'a�ermare di averricevuto forti in�uenze per i propri studi futuri dal lavoro a�rontato. Al-la luce di questa ri�essione, può in parte essere spiegata la maggioranza dirisposte �più NO che SI� riportate sulla scheda.

Siamo stati molto soddisfatti del fatto che 16 ragazzi su 17 abbianorisposto �decisamente sì�, e 1 �più SI che NO� alla domanda

�Valeva la pena di partecipare a questa attività?�,sintomo del fatto che il lavoro è stato percepito come un'occasione di

arricchimento personale.

Vediamo come i ragazzi hanno risposto alle domande sul tipo di attivitàsvolte.

120

NELLE ATTIVITA' SI

SONO SVOLTE

per

nullaa volte molto

Spiegazioni teoriche da parte dei docen-

ti12 5

Dimostrazioni sperimentali e pratiche

da parte dei docenti2 13 2

Lavori individuali e di gruppo da parte

degli studenti17

Attività sperimentali e pratiche da

parte degli studenti17

Tutti si sono dimostrati d'accordo sul fatto che durante le esperienzesvolte si sia lasciato molto spazio a lavori individuali e di gruppo e ad attivitàsperimentali e pratiche da parte degli studenti.

Analizzando le risposte è emersa una signi�cativa diversa percezione delfatto che si siano svolte o meno dimostrazioni sperimentali e pratiche daparte dei docenti. 2 ragazzi hanno risposto �per nulla�, 13 �a volte� e 2�molto�. Questa richiesta potrebbe essere stata interpretata in modi diver-si. Ad esempio qualcuno potrebbe aver voluto sottolineare il fatto che nonsiano state e�ettivamente proposte delle dimostrazioni vere e proprie, allalavagna, mentre qualcun altro potrebbe aver riconosciuto come dimostrazio-ni sperimentali da parte dei docenti gli interventi riassuntivi da parte mia edell'insegnante.

Ecco, di seguito, l'ultimo gruppo di domande.

121

Vorresti che nell'insegnamento della

matematica si desse maggiore attenzione

indicare con una crocetta

non più di 3 opzioni

All'aspetto sperimentale e pratico 17

All'aspetto formale 1

All'inquadramento storico 2

Alle ricerche fondamentali più recenti 3

Alle relazioni con altre discipline ed alle

applicazioni tecnologiche9

Alle implicazioni nella vita quotidiana 10

Altro (speci�care) 1

Ti interessi di matematica anche al di

�ori di quello che studi a scuola?Sì: 6 No: 11

Tutti gli alunni sono stati concordi nel sottolineare l'esigenza che nellamatematica presentata loro in classe si debba conferire maggior attenzione erilevanza all'aspetto sperimentale e pratico. Pochissimi hanno scelto le voci�inquadramento storico� e �ricerche fondamentali più recenti�, rispettivamen-te 2 e 3 persone. 9 ragazzi hanno dimostrato di essere interessati alle relazionicon altre discipline, applicazioni e tecnologie e in 10 hanno a�ermato di volereuna matematica più legata alle implicazioni nella vita quotidiana. La neces-sità di una maggior attenzione all'aspetto formale, caratteristica intrinsecadella disciplina matematica, spesso non adeguatamente messa in evidenza inclasse, è stata sottolineata solo da una persona. Chi ha scelto anche la voce�altro�, non ha poi speci�cato il proprio pensiero.

122

In�ne, 6 alunni su 17 hanno a�ermato di interessarsi di matematica anchefuori dall'ambito scolastico.

In coda al questionario sono state poste alcune righe su cui i ragaz-zi avrebbero potuto annotare eventuali consigli, osservazioni, elogi o rimo-stranze particolari. Della classe 2B del liceo classico U. Foscolo, soltanto unapersona ha scritto il parere seguente:

� Attività interessante! complimenti!!!.

Per completezza riporto di seguito anche i resoconti complessivi dei questio-nari di valutazione, ovvero i pareri della totalità degli alunni che hanno presoparte alla sperimentazione nelle quattro classi di liceo interessate. Si trattadi 84 studenti in tutto: 23 della IV B del Liceo Scienti�co Taramelli di Pavia,17 della II B del Liceo Classico Foscolo, di Pavia, 26 della IV D del LiceoScienti�co Amodeo, di Mortara e 18 della III C del Liceo Scienti�co Golgidi Broni.

Le risposte date da tutti gli 84 alunni partecipanti (35 maschi e 49 fem-mine) rispecchiano in buona parte le proporzioni emerse nella classe del liceoFoscolo.

La percentuale di attività seguita è stata per tutti superiore al 50%.

Vediamo le risposte date dagli studenti e raccolte nelle tre tabelle propo-ste:

123

Per ogni frase, poni una crocetta sulla colonna che meglio corrispondealla tua opinione sull'attività svolta:

decisa-

mente

NO

Più

NO

che SI

Più SI

che

NO

decisa-

mente

SI

Gli argomenti dell'attività

svolta sono stati interessanti?2 39 42

L'attività è stata impegnati-

va?3 10 58 10

La tua preparazione scolasti-

ca era su�ciente per seguire

l'attività?

7 45 31

I locali e l'attrezzatura a

disposizione erano adeguati?12 16 66

I materiali scritti (schede

o dispense) utilizzati per le

attività erano chiari?

2 37 45

I docenti sono stati chiari? 17 67

Le attività svolte sono state

utili per capire meglio cos'è la

matematica?

1 14 50 19

Le attività svolte ti saranno

utili nella scelta dei tuoi studi

futuri?

15 40 24 5

Valeva la pena di partecipare

all'attività?2 30 52

124

NELLE ATTIVITA' SI

SONO SVOLTE

per

nullaa volte molto

Spiegazioni teoriche da parte dei docen-

ti51 33

Dimostrazioni sperimentali e pratiche

da parte dei docenti6 66 12

Lavori individuali e di gruppo da parte

degli studenti84

Attività sperimentali e pratiche da

parte degli studenti5 79

Vorresti che nell'insegnamento della

matematica si desse maggiore attenzione

indicare con una crocetta

non più di 3 opzioni

All'aspetto sperimentale e pratico 74

All'aspetto formale 3

All'inquadramento storico 9

Alle ricerche fondamentali più recenti 36

Alle relazioni con altre discipline ed alle

applicazioni tecnologiche47

Alle implicazioni nella vita quotidiana 57

Altro (speci�care) 3

125

Ti interessi di matematica anche al di

�ori di quello che studi a scuola?Sì: 23 No: 61

Hai qualche consiglio, osservazione, elogio o rimostranza particolare?Scrivi liberamente ogni commento od osservazione che tu ritenga di volercisegnalare per migliorare questa attività.

Per quanto riguarda la prima tabella, alla prima domanda,�Gli argomenti dell'attività sono stati interessanti?�,il 50% dei ragazzi ha risposto �decisamente SI�. Poco meno del 50% ha

risposto �più SI che NO� e solamente due ragazzi �più NO che SI�.Solo per tre alunni l'attività è risultata piuttosto facile, mentre la maggior

parte ha trovato il lavoro abbastanza impegnativo.Alla domanda:�La tua preparazione scolastica era su�ciente?�7 ragazzi hanno risposto �più NO che SI� e 5 di questi sono alunni del

Foscolo. Forse questo è dovuto al fatto che il liceo in questione è un liceoclassico in cui, pertanto, le ore di matematica a disposizione sono meno eil programma è di conseguenza ridotto, rispetto a quello del liceo scienti�-co. C'è da dire, però, che per questa attività non erano richiesti particolariprerequisiti, se non concetti di base di geometria piana e di trigonometriaelementare.

Nelle risposte alla penultima domanda:�Le attività svolte ti saranno utili nella scelta dei tuoi studi futuri?�notiamo ancora la tendenza degli alunni a dare risposte negative. Valgono

anche in questo caso i dubbi e le considerazioni sulla possibile interpretazioneda parte degli studenti esposti in precedenza.

Siamo stati in ogni caso molto soddisfatti che per più del 60% dei ragazzivalesse �decisamente� la pena partecipare all'attività.

Per quanto riguarda la seconda tabella valgono considerazioni analoghea quelle riportate nell'analisi delle risposte della classe 2 B del Foscolo.

Anche nell'ultima tabella le risposte sono state simili, ma in questo caso siè signi�vativamente evidenziata la necessità di prestare maggior attenzione,

126

durante la normale pratica scolastica, alle ricerche fondamentali più recenti,opzione scelta dal 43% dei ragazzi.

3 alunni hanno segnato la voce �altro� e 2 di essi hanno speci�catorispettivamente �aspetto ludico� e �utilità�.

Anche in questa analisi è emerso lo scarso interesse per gli aspetti formalie l'inquadramento storico della disciplina.

Più di un quarto dei partecipanti ha a�ermato di interessarsi di matemati-ca anche al di fuori dell'ambiente scolastico. Essendo questa una percentualepiuttosto elevata siamo rimasti curiosi di sapere cosa i ragazzi intendesserocon la loro risposta e in che modo, di fatto, esplichino questo loro interesseextrascolastico, ma la nostra domanda non prevedeva ulteriori precisazioni.

Vediamo alcune delle considerazioni riportate nelle osservazioni conclu-sive:

� Ritengo questa attività molto utile e stimolante per i ragazzi, ben or-ganizzata e decisamente costruttiva. Complementi. (IV B, L. S. Tara-melli)

� Attività interessante! Complimenti!!! (II B, L. C. Foscolo)

Alcuni tra gli alunni della 4 D del liceo scienti�co di Mortara hanno scritto:

� L'attività è stata nel complesso soddisfacente e non credo debba esserecambiato qualcosa.

� L'attività è stata preparata in modo soddisfacente e credo sia stata resanel modo più interessante possibile.

� Il tempo a disposizione non si è dimostrato sempre su�ciente, costrin-gendo spesso ad accelerare i tempi non dedicando abbastanza tempo allaparte di ri�essione e di sperimentazione sulla sfera: questo ha portatoa volte a non esporre in modo completo le dimostrazioni.

� Le argomentazioni dovrebbero riguardare aspetti meno teorici ma piùutili nella vita reale, nel quotidiano, quindi meno astrazione e piùpratica.

Ecco invece i pareri di 6 ragazzi del liceo scienti�co di Broni:

� Utile perchè avendo solo conoscenze di geometria piana abbiamo impa-rato un po' di geometria sferica in modo piacevole.

127

� Mi è piaciuto molto!

� Fare più spesso attività simili a questa

� L'attività mi è sembrata istruttiva sia per la matematica sia per il fattoche aiuta il gruppo a lavorare insieme.

� È stato molto interessante, è stato qualcosa di diverso e appassionante,mi è piaciuto molto.

� È un'attività da rifare, però utilizzando più ore scolastiche.

Anche dalla lettura di queste poche libere opinioni è emerso il fatto che glialunni sono stati complessivamente soddisfatti e interessati dall'attività loroproposta. I ragazzi stessi hanno però sottolineato la necessità di più tempoper a�rontare alcune schede di lavoro. Durante le fasi esplorative è infattiaccaduto, com'è già stato precisato, che le insegnanti sollecitassero gli alunnia scrivere le conclusioni e riportarle alla classe, nonostante qualche grupponon avesse completamente terminato la fase di esplorazione e ri�essione coni compagni.

Come si è già detto le ore di lezione previste per l'attività erano 8. Dellequattro insegnanti partercipanti al progetto, due di esse hanno impiegato piùtempo: 9 ore la professoressa D. Montani e 10 ore la professoressa L. Pavesi,ma anche in questi due casi, i tempi sono apparsi in alcuni casi stringenti.

Un'altra osservazione interessante è quella che sollecita a proporre argo-mentazioni riguardanti �aspetti meno teorici ma più utili nella vita reale, nelquotidiano, quindi meno astrazione e più pratica�, necessità, da parte dei ra-gazzi, già manifestata nell' ultima tabella del questionario, dove, in rispostaalla voce: �Vorresti che nell'insegnamento della matematica si desse mag-giore attenzione a�, la quasi totalità degli studenti (88%) ha scelto �l'aspettosperimentale e pratico�.

Nonostante siano poche le osservazioni libere proposte dagli studenti, èchiaro che costituiscono interessanti suggerimenti agli insegnanti, sia per unaeventuale rielaborazione del percorso didattico sulla geometria della sfera, siaper scelte più generali da adottare nella quotidiana prassi scolastica.

128

Capitolo 4

Approfondimento del

Laboratorio sulla geometria

sferica:

�Tassellazioni sulla sfera�

L'organizzazione del Laboratorio �Nei dintorni della geometria euclidea�, pro-gettato e coordinato dai docenti A. Pesci, E. Vitali e M. Maracci, prevede-va, nella fase conclusiva, la realizzazione di alcuni incontri pomeridiani diapprofondimento.

Questi incontri si sarebbero svolti su base volontaria, riunendo in un'u-nica aula gli alunni delle varie scuole che si fossero dimostrati interessati.L'a�uenza è stata molto alta dimostrando che i ragazzi hanno apprezzatoil lavoro proposto loro durante l'esperienza sulla geometria sferica svolta inclasse dalle loro insegnanti.

Si è ri�ettuto a lungo sugli argomenti da sottoporre agli alunni duran-te questa fase di attività, dal momento che si voleva realizzare qualcosache risultasse quanto più possibile interessante e stimolante. Dopo svariatimomenti di confronto, il gruppo di ricerca, cui ho partecipato attivamenteinsieme alle insegnanti coinvolte nel progetto, ha scelto due approfondimen-ti: uno sulle tassellazioni della super�cie sferica, l'altro sulla possibilità e lemodalità per �distendere� una super�cie curva.

Si è stabilito di presentare gli approfondimenti durante due incontri po-meridiani, ma, data la sostanziosa partecipazione da parte dei ragazzi siè ritenuto opportuno suddividere gli alunni in due gruppi e proporre loro

129

la medesima attività in due giorni distinti, organizzando in totale quattroincontri.

Il primo approfondimento si è svolto nelle giornate del 12 e 13 Maggio,la prima lezione presso il Liceo scienti�co T. Taramelli, la seconda al Dipar-timento di Matematica F. Casorati. La seconda attività è stata proposta neigiorni 17 e 19 Maggio sempre presso il Dipartimento di Matematica.

Le modalità di svolgimento del lavoro previste erano analoghe a quellecondotte durante il laboratorio in classe: suddivisione dei ragazzi in grup-pi, esplorazione guidata con l'ausilio delle sfere di Lénárt e di materialeopportuno, condivisione dei risultati ottenuti e discussione collettiva.

Il primo approfondimento, alla cui stesura ho direttamente collaborato,è stato pensato e realizzato dalla professoressa Angela Pesci. La progetta-zione ci ha impegnate per un paio di pomeriggi, durante i quali si è pensatoall'argomento e alle modalità più consone per presentarlo.

Il titolo scelto è stato �Tassellazioni sulla sfera�. Si è deciso, infatti,di guidare i ragazzi nell'esplorazione di diverse tassellazioni della super�-cie sferica, cioè ricoprimenti della sfera con �poligoni regolari� sferici senzasovrapposizioni nè spazi vuoti.

Lo scopo era quello di evidenziare che esistono cinque tipi di tassella-zioni diverse, che corrispondono ai cinque solidi platonici inscrivibili nellasfera. Dopo aver fatto esplorare tre particolari ricoprimenti e mostrato illegame, di volta in volta, con il solido platonico opportuno, si auspicava diarrivare a constatare che da un altro eventuale poliedro regolare fosse natura-le, considerata la sfera circoscritta, pensare alla corrispondente tassellazionedella super�cie sferica. A questo punto sarebbe stata immediata la genera-lizzazione: data una sfera essa può essere �ricoperta� tramite cinque diversetassellazioni. Per la giusti�cazione di questo fatto sarebbe stato opportunoun ragionamento intuitivo che proponesse di �gon�are� idealmente il solidoin questione �no a farlo aderire alla super�cie sferica.

In analogia con le attività proposte durante le varie fasi del laboratorio sisarebbe poi ri�ettuto sulla corrispondente situazione sul piano, dove esistonosolamente tre tassellazioni con poligoni regolari: triangoli equilateri, quadratied esagoni.

Il secondo approfondimento, progettato e realizzato dai professori EnricoVitali e Mirko Maracci, riguardava, invece, l'analisi di alcuni tipi di proiezionidella super�cie sferica sul piano.

La questione sollevata dai ricercatori ha preso spunto dal problema del-la realizzazione di carte geogra�che della super�cie terrestre. Da un puntodi vista matematico il problema consiste nel rappresentare �fedelmente� sul

130

piano la super�cie sferica o una porzione di essa, comprendendo quali ca-ratteristiche o proprietà valide sulla sfera si mantengono nella proiezione equali no.

Per questa attività si è scelto di utilizzare le calotte in plexiglas presentinel kit �Sfera di Lénárt� unendole insieme a formare una sfera e creando unpiccolo foro su di essa. Si sarebbe poi fornito ogni gruppo di una lampadinada inserire attraverso il foro e far scorrere sulla verticale tra i due poli, inmodo da proiettare sul tavolo ogni �gura geometrica disegnata sulla sfera. Inquesto modo si sarebbero più facilemente analizzate le caratteristiche delledue particolari proiezioni che si volevano studiare: quella stereogra�ca equella dal centro della sfera.

Dal momento che ho direttamente partecipato alla progettazione e allasperimentazione del primo approfondimento, riporterò di seguito le relativeschede presentate ai ragazzi, insieme agli esiti dell'esperienza in classe.

4.1 Presentazione delle schede di lavoro e descri-

zione dell'attività svolta il giorno 12 Maggio

2011

Il primo approfondimento si è svolto nelle giornate del 12 e 13 Maggio. Ri-porterò qui di seguito l'attività svoltasi il primo pomeriggio, alla quale hannopartecipato alunni appartenenti alla classe seconda B del liceo classico U. Fo-scolo e della quarta B del liceo scienti�co T. Taramelli, per un totale di 17ragazzi.

Si sono creati, pertanto, cinque gruppi di studenti composti da tre oquattro persone. Il fatto di poter formare gruppi poco numerosi è certamenteun fattore positivo: ne risulta favorito il dialogo e il confronto tra i ragazzie maggiormente sollecitata la partecipazione di tutti al lavoro da svolgereinsieme.

Al �ne di agevolare la lettura delle analisi dei protocolli e delle discussioni,riporto di seguito, analogamente a quanto fatto per la parte sul laboratorioin classe, un elenco dei nomi dei ragazzi, divisi per gruppi:Gruppo 1: Alessia, Vincenzo, Diletta.Gruppo 2: Silvia, Giulia, Lorenzo, Jacopo.Gruppo 3: Andrea, Stefano, Mattia.Gruppo 4: Giulia, Francesco, Federica.Gruppo 5: Matteo, Gabriele, Luca, Marcello.

131

Il tempo previsto a nostra disposizione era di due ore e mezza. In questocaso non abbiamo pensato ad una tempistica precisa per ogni scheda, ma cisiamo riservate di accelerare i tempi o concedere qualche ulteriore momentodi ri�essione a seconda di come si sarebbe svolto il lavoro, tenendo comunquepresente l'impegno che le varie schede avrebbero potuto richiedere.

132

4.1.1 Tassellazioni sulla sfera: scheda 1

Ecco il testo della prima scheda:

SCHEDA 1

Cognome e nome dei componenti del gruppo

..................................

..................................

..................................

..................................

..................................

Disegnate, sulla sfera, un triangolo equilatero con tre angoli retti.

1. Descrivete la costruzione

2. Quali osservazioni potete fare? (Quanti ne avete trovati? Che misurepossono avere i loro lati?...)

133

Con la prima domanda di questa scheda ci si aspettava una spiegazioneprettamente operativa, che descrivesse e�ettivamente come i ragazzi avesseroproceduto.

Il fatto di poter trovare triangoli sferici con tre angoli retti non sarebbestata una novità per i ragazzi: sia gli alunni del liceo Foscolo con i quali holavorato personalmente, che quelli del Taramelli, avevano infatti a�rontatola questione in classe. Durante la sperimentazione precedente, però, almenonella classe che ho seguito, non ci eravamo assicurati che i ragazzi avesseroe�ettivamente saputo disegnare un triangolo con due o tre angoli retti, ma cierano bastate le loro a�ermazioni intuitive, dunque la prima richiesta dellascheda non appare banale.

La seconda domanda è stata posta con l'intento di far ri�ettere i ragazziche è possibile trovare, a meno di isometrie, un solo triangolo equilatero congli angoli retti (di fatto la stessa cosa accade per un triangolo con angoli�ssati di qualsiasi ampiezza compresa tra 60°e 180°) e di far ricordare quindiche in geometria sferica non ci sono triangoli simili, ma solo, eventualemente,congruenti.

Un'altra osservazione che ci aspettavamo emergesse è quella che con 8triangoli di questo tipo si può ricoprire tutta la sfera. A questo punto,in fase di discussione, si sarebbe precisato ai ragazzi che questo particolare�ricoprimento�, fatto con �poligoni regolari�, in questo caso triangoli equilateriretti, che non presenta sovrapposizioni nè buchi, è detto tassellazione dellasuper�cie sferica.

4.1.2 Consegna ed esplorazione della scheda 1

Dopo aver suddiviso i ragazzi tra i vari gruppi, la professoressa Pesci ha sot-tolineato che durante la fase esplorativa non sarebbe stato possibile riceveresuggerimenti dai docenti, ma che il lavoro sarebbe dovuto essere autonomo.In caso di dubbi o perplessità, il gruppo si sarebbe cofrontato e sarebbe do-vuto giungere ad una versione condivisa da tutti i suoi componenti. Quellaversione sarebbe stata quella che avrebbero poi riferito alla classe. In casoqualche componente del gruppo si fosse trovato in disaccordo, il parere con-trastante sarebbe dovuto essere riportato sulla scheda per poi venir discussoda tutti.

La fase esplorativa di questa scheda non ha messo particolarmente indi�coltà i ragazzi che già sapevano della possibilità di costruire triangolisi�atti. In poco tempo hanno terminato il lavoro e si è dato il via alla fasedi condivisione dei risultati e poi la discussione.

134


Vediamo come i vari gruppi hanno descritto le costruzioni del triangoloequilatero con i tre angoli retti.

Gruppo 1: Partendo dall'equatore abbiamo tracciato due perpendicolaripassanti per i punti antipodali rispetto all'equatore.

Gruppo 2: Abbiamo diviso la semisfera in 4 parti congruenti poichè ognunadi esse risulta essere il triangolo richiesto.

Il gruppo 3, dopo aver sottolineato che la somma degli angoli internirisulta essere 270°, informazione di fatto già presente nella consegna, haa�ermato:

Gruppo 3: I lati sono uguali ad un quarto di circonferenza massima.

Il gruppo 4 ha disegnato il suo triangolo tracciando un segmento da lorode�nito �a piacere� che però risultava essere circa un quarto di circonferenzamassima. Questo ha tratto i ragazzi in inganno e portato alla seguenteformulazione scorretta.

Gruppo 4: Si traccia un segmento a piacere inferiore alla semicirconferenzamassima, altrimenti le semirette che partono dal centro risulterebbero com-planari e verrebbe meno la de�nizione di triedro, e si misurano due angoli di90°e si tracciano i due segmenti congruenti al primo.

Vediamo la risposta del gruppo 5:

Gruppo 5: Utilizzando il righello sferico posizionato con il centro in unodegli antipodi abbiamo tracciato due rette (circonferenze massime) fra loroperpendicolari congiungendole con un segmento di equatore.

Tutti i gruppi, salvo il 3, che non ha speci�cato i dettagli della costruzio-ne, e il 4, hanno utilizzato come lato del triangolo una porzione dell'equatoremesso in rilievo dalla forma della sfera (nell'incastro tra le due calotte). Inquesto modo è stato più semplice rendersi conto che con quattro triangolidi quel tipo, disposti uno a �anco all'altro, tutti con un vertice comune suuno dei due poli, si ricopriva tutta la semisfera, quindi con otto si ricoprival'intera sfera.

In risposta alla seconda domanda sono emerse le seguenti osservazioni:

135

Gruppo 1: Si possono trovare in�niti triangoli retti.

Mentre il gruppo 1 ha osservato semplicemente che i triangoli così fattisono in�niti, gli altri gruppi hanno proposto anche altre ri�essioni. Qualcunoha riassunto alcune osservazioni emerse durante la sperimentazione in classe,ribadendo le conclusioni a cui si era pervenuti riguardo varie caratteristichedei triangoli sferici, ad esempio sulla somma degli angoli interni.

Il gruppo 2 si è reso conto che ogni triangolo con tre angoli retti risultaessere esattamente un quarto di semisfera. Questa era proprio la stradagiusta verso le ri�essioni che volevamo emergessero.

Gruppo 2: Se ne possono tracciare in�niti.Ogni lato misura un quarto di retta.La somma degli angoli interni è di 270°(nel piano è 180°).Ogni triangolo corrisponde ad 1/4 della super�cie della semisfera.

Le considerazioni del gruppo 3 sono risultate, in qualche caso, ridondanti.I ragazzi hanno ribadito, ad esempio, che in geometria sferica esistono trian-goli con due o tre angoli retti, oppure che i lati del triangolo sono segmentisferici.

Gruppo 3: La somma degli angoli interni di un triangolo è variabile emaggiore di 180°e minore di 540°.Il triangolo ha come lati archi di circonferenza massima.A di�erenza della geometria piana, nella geometria sferica esistono triangolicon 2 o 3 angoli retti.La somma cresce all'aumentare dell'area del triangolo.La super�cie del triangolo è uguale a un ottavo della super�cie della sfera.

Vediamo ora le considerazioni proposte dai gruppi 4 e 5:

La risposta del gruppo 4, seppur scorretta, è parsa coerente con l'arbi-trarietà, da loro congetturata, della lunghezza dei lati.

Gruppo 4: Esistono in�niti triangoli equilateri con tre angoli retti e i lo-ro lati possono avere misure inferiori al cerchio massimo. Il triangolo diconseguenza è tutto nella stessa semisfera.

Gruppo 5: Rispetto alla geometria piana la somma degli angoli internisupera i 180°.Un triangolo equilatero ha come somma degli angoli interni 270°.In tutto è possibile realizzare 8 triangoli.I loro lati sono un quarto di retta.

136


Introduce la discussione la professoressa Pesci (nel seguito P.), invitando iragazzi a ripensare alla propria costruzione ma anche a cercare di capire einterpretare le risposte degli altri.Francesco, componente del gruppo 4, che sosteneva che si potesse costruire iltriangolo tracciando un segmento a piacere, dice di non capire esattamentela di�erenza tra la loro formulazione e quella del gruppo 5 che si riferisce alsegmento di equatore.

P.: �Anche a me ha incuriosito questa cosa: cosa si intende con �segmento apiacere�? Pensate sia analogo all'altra formulazione? Voi state dicendo chese faccio un segmento a piacere... poi ottengo il triangolo voluto...�.

Dal gruppo 2 qualcuno fa cenno di no con il capo.Interviene un componente del gruppo 5:

Gruppo 5: �Sarà a piacere ma deve essere comunque lungo 1/4 di circonfe-renza�.

Giulia, del gruppo 4, ribatte:

Giulia: �Io non lo so, noi l'abbiamo preso così a caso�

e mostra la loro costruzione.Dal gruppo 3 si sente dire che se quel lato non è esattamente lungo un quarto,il triangolo in questione non si può disegnare.La professoressa fa ri�ettere i ragazzi sul fatto che con il termine �a piacere� siintende veramente un qualsiasi segmento sferico. Deve quindi essere possibilecostruire il suddetto triangolo anche partendo da una base piccolissima.I ragazzi si mettono al lavoro e i vari gruppi provano a disegnare un triangolocon le caratteristiche volute, a partire da una base relativamente piccola, alloscopo di confutare o convincersi della tesi del gruppo 4.Il gruppo 5 a�erma di essere nettamente contrario perché, disegnando untriangolo con base di 3 centimetri circa, e tracciando le perpendicolari agliestremi, queste, intersecandosi, formano un angolo �molto stretto�.

Diletta, del gruppo 1: �A noi esce un angolo di 25°!�.

Anche il gruppo 4 pare ora convinto della necessità che la lunghezza dei latisia opportuna:

137

Francesco: �Noi siamo stati tratti in inganno dal fatto che, casualmente,abbiamo fatto un lato di 18 cm, che all'incirca corrisponde ad un quarto dicirconferenza massima�.

P.: �Bene, passiamo alla seconda domanda. Qualcuno dice che ci sono in�nititriangoli così fatti. Siete d'accordo su questa in�nità?�

Interviene un rappresentante del gruppo 5

Gruppo 5: �Il nostro �8� era inteso non sovrapposti tra loro�.

P.: �Quindi voi dite che una volta costruito uno ne costruiamo otto. Anche ilgruppo 2 ha notato che se noi ne costruiamo 4 ricopriamo bene la super�ciedella semisfera. E quante rette occorrono, dunque?�

Qualcuno risponde che bastano tre rette.

P.: �Quindi con i tre segmenti che avete usato per costruire il triangolo, se liprolungate, ottenete la tassellazione della sfera. Provate tutti a farlo. Vedetegli otto triangoli? Si tratta semplicemente di completare e tracciare le trerette. Si ottiene una tassellazione che è un termine tecnico che vuol direricoprire senza lasciar buchi nè sovrapposizioni �.

Si preciserà, successivamente, che si vuole che la tassellazione sia realizzatacon poligoni regolari uguali. Il caso proposto, dei triangoli equilateri, conangoli retti, risulta pertanto essere una tassellazione regolare della super�ciesferica.

138


Il testo della seconda scheda proposta per l'attività di approfondimento è ilseguente.

SCHEDA 2

1. Trovate i centri degli otto triangoli equilateri che ricoprono la sfera(con una costruzione geometrica adeguata...)Con un colore diverso segnate i punti trovati e unite con segmenti(segmenti sferici!) i centri di triangoli consecutivi (cioè con un lato incomune).

Pensate di aver ottenuto una nuova tassellazione della super�cie sfe-rica? Giusti�cate la vostra risposta (ricordando che la tassellazionerichiede poligoni regoolari...)

2. Pensate agli otto punti nello spazio usuale. Riuscite a vederli comevertici di una particolare �gura nello spazio?

3. Fate lo stesso con i sei vertici dei triangoli equilateri. In questo ca-so riuscite a immaginarli come vertici di una particolare �gura nellospazio?

139

Tramite le richieste di questa scheda si voleva che gli alunni costruisserouna nuova tassellazione della super�cie sferica, realizzata con �gure de�nibi-li come �quadrati sferici� perchè aventi quattro lati e quattro angoli uguali.Pensando agli otto punti, vertici della nuova tassellazione, nello spazio usua-le, ci si aspettava che gli studenti notassero che si tratta dei vertici di uncubo, idealmente inscritto nella sfera. Ragionando analogamente sulla pri-ma tassellazione e pensando ai suoi vertici come punti nello spazio usuale,si auspicava che i ragazzi riconoscessero l'ottaedro come �gura avente queipunti come vertici.

Per costruire la tassellazione con i �quadrati� la scheda chiede di trovare icentri degli otto triangoli del primo ricoprimento, con una costruzione geome-trica adeguata. Non è stato volontariamente esplicitato il metodo da seguiredal momento che ogni gruppo avrebbe così potuto utilizzare la costruzionepiù familiare.

Nelle nostre previsioni questa attività non sarebbe dovuta risultare par-ticolarmente di�cile ma avrebbe potuto richiedere ai ragazzi un po' di tem-po, per la scelta della costruzione e la successiva manipolazione della sfera.Per immaginare le �gure solide, sarebbe bastato poi solo un po' d'astrazio-ne: svincolandosi dalla realtà della super�cie sferica, aiutati dal fatto chele calotte sono trasparenti, si sarebbe dovuto immaginare di congiungere inmodo opportuno i punti all'interno della sfera, intuendo la �gura geometricarisultante.

4.1.6 La consegna e l'esplorazione della scheda 2

La fase esplorativa di questa scheda, contrariamente alla prima, è stata un po'più lunga del previsto. Nonostante avessimo raccomandato ai ragazzi di noncancellare la costruzione precedentemente eseguita, qualcuno ha cancellatole prime linee tracciate, una volta e�ettuata la seconda costruzione.

La prima parte di questa attività era prettamente �manuale�, ma era ne-cessaria una buona collaborazione all'interno del gruppo perchè si riuscisseroa condurre agilmente le operazioni adatte per trovare il centro di ogni trian-golo. In qualche gruppo questa partecipazione non è stata particolarmenteattiva e in alcuni casi la professoressa Pesci ed io siamo intervenute per sol-lecitare i ragazzi a collaborare anche ��sicamente� aiutandosi a reggere lasfera, posizionare adeguatamente il righello e tracciare le linee. A volte ab-biamo aiutato gli alunni a velocizzare un po' il lavoro; si trattava, comunque,solo di un contributo di tipo pratico, mentre siamo state attente a non darespunti o suggerimenti di alcun tipo.

140


Alla domanda�Pensate di aver ottenuto una nuova tassellazione della super�cie sferi-

ca?�tutti i gruppi hanno risposto a�ermativamente, giusti�cando in maniera

analoga. Vediamo le loro risposte:

Gruppo 1: Sì, perchè i poligoni ottenuti hanno tutti i quattro lati e i quattroangoli congruenti.

Gruppo 2: Sì, i segmenti compongono quadrilateri con i quattro lati e iquattro angoli tra loro congruenti.

Gruppo 3: Sì, abbiamo ottenuto una nuova tassellazione con quadrilateridi lati e angoli congruenti (sono quadrati sferici con angoli di 120°).

Gruppo 4: Sì perchè la sfera risulta delimitata da sei �quadrati� sferici conangoli di 120°.

Gruppo 5: Sì, abbiamo ottenuto 6 quadrati che sono poligoni regolari chedividono la sfera.

Tutti i gruppi, poi, si sono accorti che pensando i punti delle due tassel-lazioni, quella con i quadrati e quella con i triangoli equilateri, nello spaziousuale, si trovano i vertici, rispettivamente, di un cubo e di un ottaedro.


Chiedendo ai ragazzi cosa hanno risposto alla prima domanda, tutti sonoconcordi nel ritenere di aver ottenuto una nuova tassellazione della super�ciesferica. Si chiede quindi loro come pensano si possano chiamare le �guregeometriche del ricoprimento.

Francesco: �Quadrati sferici!�

Vincenzo: �Parallelogrammi?�

P.: �Allora... certamente... sono quadrilateri...�

Qualcuno osserva che gli angoli non sono retti. Ma Vincenzo, del gruppo 1,ribatte:

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Vincenzo: �Non vuol dire! Prima avevamo un triangolo equilatero con treangoli retti, qui con il quadrato gli angoli saranno maggiori...�

Si chiede loro quale sia l'ampiezza di questi angoli. Qualcuno risponde chevale 120°, qualcun altro, circa 115°. Dal gruppo 3 emerge la proposta dicalcolarlo semplicemente dividendo 360° per 3.

P.: �E�ettivamente, avendo gli strumenti in mano ci vien voglia di misurare,ma il matematico pensa anche all'ideale che ha in mente: guarda un verticee dice �e�ettivamente tutto intorno è 360°, se è vero che i tre angoli checoincidono sono uguali, basta fare 360 diviso 3�. Certo, la misurazione nonpuò essere precisa. E' come quando si disegna alla lavagna, ad esempio,un quadrato. Non sarà un quadrato perfetto... ma tutti lo pensano comeun quadrato. Quindi è ragionevole pensare che l'angolo che ci interessa siaproprio 360°/3 = 120°. Quindi sono �quadrati sferici� con angoli di 120°�.

Per quanto riguarda le altre domande della scheda, tutti sono d'accordonell'evidenziare cubo e ottaedro come i solidi che si ottengono congiungendonello spazio i vertici delle due tassellazioni.Si evidenzia, quindi, che a partire da due tassellazioni, abbiamo trovato dueparticolari poliedri.Due rappresentanti di gruppi diversi a�ermano che si tratta di poliedri duali,cioè ottenuti uno a partire dall'altro congiungendo i centri di facce adiacenti;presumibilmente, la loro insegnante aveva a�rontato la legge di dualità inclasse. Si chiede dunque loro di spiegare, a chi non lo sappia, cosa questosigni�chi. Le risposte che emergono dai ragazzi sono le seguenti:

� Sono uno contenuto nell'altro.

� Si scambiano il numero delle facce con il numero dei vertici.

� Se uniamo i centri delle facce dell'ottaedro otteniamo il cubo.

Annunciamo, a questo punto, che il legame tra tassellazioni e poliedri regolariverrà messo in luce più chiaramente nell'ultima scheda e concludiamo così laseconda discussione.

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Di seguito è riportata l'ultima del gruppo di schede presentate ai ragazzi perquesta attività di approfondimento.

SCHEDA 3

1. Scegliete un vertice sulla sfera tra quelli del �cubo� e osservate che so-no tre i quadrilateri che si incontrano in quel vertice. Segnate poi, inognuno di questi tre quadrilateri, il vertice opposto al primo che avetescelto: avete così ottenuto quattro punti.Unite ora i quattro punti, ciascuno con gli altri tre (con segmenti sfe-rici).

Descrivete la nuova tassellazione della super�cie sferica che avete otte-nuto:

2. Se pensate ai quattro punti nello spazio usuale, riuscite a vederli comevertici di una particolare �gura nello spazio?

3. Conoscete altri poliedri regolari?

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Con la prima richiesta di questa scheda si voleva guidare i ragazzi nellacostruzione di una nuova tassellazione, questa volta costituita da triangoliequilateri con angoli di 120°. Anche in questo caso i vertici della tassellazionecorrispondono, se pensati nello spazio usuale, ai quattro vertici di un solidoplatonico, il tetraedro. A questo punto del lavoro i ragazzi sarebbero statiormai più familiari con questo tipo di ragionamenti; si è ritenuto quindi chequesta richiesta sarebbe stata a�rontata senza particolari di�coltà.

All'ultimo punto si domanda se conoscano altri poliedri regolari. Si pen-sava emergesse dai vari gruppi o tramite il confronto collettivo che i poliedriregolari non ancora nominati sono solo l'icosaedro e il dodecaedro.

Si sono preparati, per ogni gruppo, dei modellini di questi due poliedricostruiti con il Geomag, in modo da rendere più agevole ragionare su di essied eventualmente fare osservazioni sui poligoni corrispondenti alle facce sullasfera, sulle misure degli angoli, ecc.

In questo caso, quindi, si voleva mettere i ragazzi di fronte ad un proce-dimento di tipo inverso rispetto a quelli fatti �no a quel momento: dato checon le prime tre tassellazioni si erano trovati, in corrispondenza, tre solidiplatonici, si volevapensassero se fosse possibile, a partire dai due rimanentipoliedri regolari, ottenere delle tassellazioni della super�cie sferica.

In questo caso, quindi, i ragazzi non sarebbero partiti da una tassellazionedella sfera per passare ad un solido platonico ma, viceversa, partendo daglialtri due solidi platonici avrebbero dovuto ricollegarsi alle corrispondentitassellazioni sulla sfera.

Si è scelto quindi di chiedere se fosse possibile ottenere anche in questocaso delle tassellazioni, accettando come risposta idee intuitive che propo-nessero di �gon�are� idealmente il poliedro �no a farlo aderire alla sfera.

In questo modo si sarebbe dovuti arrivare a concludere che i cinque po-liedri regolari danno origine, sulla super�cie sferica, a cinque diverse tassel-lazioni.

Dal momento che durante le attività in classe è emersa la questione dianalizzare i cosiddetti �bilateri�, cioè le �gure geometriche costituite da duevertici antipodali, due soli lati e due angoli uguali, si è pensato di far osservareai ragazzi che anche con queste �gure si può ottenere una tassellazione dellasfera. In particolare è possibile costruire una tassellazione della super�ciesferica con bilateri congruenti con angoli di qualsiasi ampiezza.

Dunque, se si accettano tra i poligoni �gure con soli due lati, alloraesistono in�nite tassellazioni della super�cie sferica, altrimenti solo cinque,corrispondenti ai cinque solidi platonici.

A questo punto sarebbe stato opportuno far emergere un confronto conle possibili tassellazioni del piano, che a meno di similitudine sono solo

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tre (triangoli equilateri, quadrati ed esagoni). Sulla sfera, non esistendosimilitudini, ogni tassellazione è unica a meno di isometrie.

4.1.10 Consegna ed esplorazione della scheda 3

Per i ragazzi non è stato di�cile disegnare quest'ultima tassellazione e in-dividuare le ampiezze degli angoli delle �gure geometriche del ricoprimento,ormai familiari con questo modo di procedere.

I ragionamenti sul poliedro inscritto, il tetraedro, erano concordi tra i varigruppi, anche se in un paio c'era il dubbio sul nome del solido in questione,che però è stato poi riportato sulle schede di lavoro nel modo corretto.

I ragazzi hanno a�rontato anche quest'ultima attività rispettando i tempia loro disposizione e lavorando seriamente e con impegno.


Tutti i gruppi sono apparsi concordi nel ritenere che si sia trovata una nuovatassellazione, costituita anche in questo caso da triangoli equilateri. Qualcu-no ha speci�cato anche che si trattava di triangoli equilateri con lati di 120°.Vediamo, per completezza, le varie risposte:

Gruppo 1: 4 triangoli con tre angoli di 120°.

Gruppo 2: Otteniamo 4 triangoli sferici.

Sul protocollo i componenti del gruppo 2 hanno anche scritto che si trattadi triangoli equilateri, ma questo è stato presumibilmente aggiunto sulleschede solo successivamente al confronto con i compagni.

Gruppo 3: Tassellazione con triangoli equilateri congruenti e abbiamo di-viso la super�cie sferica in quattro parti.

Gruppo 4: La tassellazione è costituita da 4 triangoli equilateri con angolidi 120°.

Gruppo 5: La tassellazione è divisa in triangoli equilateri.

Alla seconda domanda, che chiede di immaginare i vertici della tassella-zione come punti nello spazio usuale, tutti hanno risposto che essi identi�canoun tetraedro.

I ragazzi si sono trovati concordi anche nell'indicare altri eventuali polie-dri regolari, e tutti hanno risposto:

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Tutti: Dodecaedro e icosaedro.

I componenti del gruppo 1, dopo aver citato il dodecaedro e l'icosaedro,hanno a�ermato, in fase di condivisione, di non sapere se ne possano esisterealtri. E' stato dunque condiviso che i poliedri regolari sono e�ettivamentesolo questi cinque.


Data la sostanziale unanimità delle risposte, si invitano i ragazzi a caratte-rizzare le tre tassellazioni trovate e a scrivere gli appunti sul loro quaderno.Gli alunni propongono, quindi, le seguenti caratterizzazioni:

� Tassellazione 1: 8 triangoli equilateri con angoli di 90°. Poliedrocorrispondente: ottaedro.

� Tassellazione 2: 6 �quadrati sferici� con angoli di 120°. Poliedrocorrispondente: cubo.

� Tassellazione 3: 4 triangoli equilateri con angoli di 120°. Poliedrocorrispondente: tetraedro.

P.: �Quindi con i triangoli ne abbiamo già trovate due e questa è una cosa�stranissima�, perchè sul piano il triangolo equilatero è bello rigido, più omeno grande, ma sempre con angoli di 60°.Secondo voi, come mai vi abbiamo chiesto se conoscete altri poliedri regola-ri?�

Risponde Francesco, del gruppo 4:

Francesco: �Ci saranno altre tassellazioni...�

P.: � Per favorire l'esplorazione vi daremo in mano dei solidi già costruiti�.

Consegnamo ad ogni gruppo un dodecaedro e un icosaedro costruiti colGeomag.

P.: �Provate a descrivere la tassellazione corrispondente sulla sfera, cioè do-vete dire quante �gure sono e quanto sono ampi gli angoli della tassellazioneche presumete di poter dedurre sulla sfera�.

Si lascia un po' di tempo ai ragazzi perchè esplorino le nuove questionie si confrontino all'interno del gruppo. Dopo una quindicina di minuti siraccolgono le congetture.

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Per quanto riguarda la tassellazione a partire dal dodecaedro, quattro gruppisu cinque sono concordi nel ritenere che, sulla sfera, si ottengano 12 pentagoniregolari, con angoli di 120°. Solamente il gruppo 4, all'inizio, a�erma di avertrovato 12 pentagoni con angoli di 60°.Prende allora la parola Alessia, del gruppo 1:

Alessia: �Noi abbiamo immaginato sulla sfera un punto visto come il centrodel goniometro. Dato che tutto è 360° e sono 3 pentagoni che si incontranoin quel punto, abbiamo fatto 360/3�.

Francesco, del gruppo 4: �Abbiamo fatto il conto sbagliato. Nella stessasemisfera abbiamo diviso in 12 anziché in 6�.

E interviene Federica, sempre del gruppo 4:

Federica: �Noi abbiamo diviso 360 per 6 perchè pensavamo che in unasemisfera ci sono sei pentagoni...�

P.: �Ma... dove devo andare a vedere gli angoli? Non a caso...�

Francesco: �No, intorno ad un vertice...�

P.: �Sì ed esploro lì�.

Nonostante non sia completamente chiaro il ragionamento dei componentidel gruppo 4 e la giusti�cazione del loro errore, decidiamo di proseguire.

P.: �Come vi siete immaginati i poliedri dentro la sfera? Come facevano adiventare �sferici�?�

Mattia, del gruppo 3, un po' imbarazzato per l'apparente ingenuità dellapropria intuizione, risponde:

Mattia: �Eh... gon�andoli�.

P.: �Sì, se fossero elastici, come dei palloncini che si gon�ano, verrebberoproprio perfetti�.

Completiamo quindi l'elenco delle tassellazioni:

� Tassellazione 4: 12 pentagoni sferici regolari con angoli di 120°.Poliedro corrispondente: dodecaedro.

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Procediamo quindi con l'analisi dell'ultima tassellazione. Tutti i gruppi sonoconcordi con la seguente versione:

� Tassellazione 5: 20 triangoli equilateri con angoli di 72°. Poliedrocorrispondente: icosaedro.

Nonostante il tempo a nostra disposizione non sia molto ci sembra interes-sante proporre ai ragazzi un'ultima attività: un confronto tra le tassellazionidella super�cie sferica e quelle del piano.Chiediamo pertanto ai ragazzi con quali poligoni regolari potremmo ricoprireil piano con le �regole� viste per la tassellazione sulla sfera, che ribadiamo:poligoni regolari tutti uguali tra loro, non sovrapposti e che non lascino spazivuoti.Ri�ette a voce alta Vincenzo, del gruppo 1:

Vincenzo: �La maggior parte con i triangoli...�

P.: �Proviamo a pensare al triangolo equilatero, quanti ne devo �mettervicini� per ricoprirlo bene?�

Si levano varie voci:

�Due!� �Quattro!� �In�niti!�

P.: �Proviamo a pensare a come si fa. Mettiamo �a terra� un triangolo, poiuno vicino, poi un altro... quanti in tutto? Deve venire 360°...�

Si concorda a questo punto che i triangoli equilateri siano 6.

Luca, del gruppo 5, chiede:

Luca: �E con quadrati?�

P.: �Con i quadrati lo sappiamo, basta pensare alla carta a quadretti, quin-di è certamente possibile. Quindi, abbiamo scoperto che si può fare conquadrati e triangoli equilateri�.

Silvia, del gruppo 2: �Anche con esagoni!�

P.: �Sì, 120 + 120 + 120 = 360.

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...Pentagoni?�

Proponiamo ai ragazzi di pensare all'ampiezza dell'angolo del pentagono.Nessuno si ricorda quale sia l'ampiezza di questo angolo ma dal gruppo 2arriva un suggerimento:

Giulia: �Bisogna considerare n− 2 angoli piatti, poi dividere per 5�.

Dopo il calcolo un componente del gruppo 3 ci comunica che l'angolo delpentagono risulta di 108 gradi.

P.: �Proviamo a metterli vicini, ce la si fa a raggiungere 360? ...3 sono pochi,4 sono troppi. Butto via il pentagono. Non ce la si fa. E neanche con altripoligoni regolari ce la facciamo�.

Riassumiamo alla lavagna le possibili tassellazioni del piano:

� Tassellazione 1: triangoli equilateri.

� Tassellazione 2: quadrati.

� Tassellazione 3: esagoni.

Facciamo notare che una marcata di�erenza tra quanto accade sul piano equanto sulla sfera è che nel primo caso è possibile tassellare il piano conpoligoni regolari di varie dimensioni, mentre sulla sfera, per ogni poligonoc'è un unico modo di tassellare la super�cie.Decidiamo, a questo punto, di far emergere la questione della ��gura bilate-ra�.

P.: �Se accogliamo tra i poligoni regolari sulla sfera anche i bilateri, secondovoi, quante tassellazioni ci sono?�

Qualcuno risponde: �In�nite�.

Vincenzo: �Varia l'ampiezza dell'angolo�.

P.: �Sì, basta suddividere quel 360° in parti uguali, ottenendo anche misurein gradi non intere, potrei dividere anche in 172 parti uguali. Questa è unasituazione un po' strana, che sul piano non c'è.Quindi, sostanzialmente, se accettiamo i poligoni bilateri abbiamo in�nitetassellazioni, se no solo cinque. E si potrebbe benissimo accettare come

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poligono solo una �gura con almeno tre lati, e in quel caso il bilatero sarebbeescluso. Basta mettersi d'accordo...�.

A questo punto, �nita la discussione sulle schede di lavoro, chiediamo airagazzi se ci sono domande.Prende la parola Vincenzo:

Vincenzo: �Stavo pensando se ogni triangolo con gli angoli uguali è unico...�.

Proponiamo di ri�ettere sulle esplorazioni appena condotte sulla sfera. Chie-diamo se quel triangolo con tutti gli angoli di 90°, ad esempio, è unico o sece ne possono essere di più grandi o più piccoli.

Vincenzo: �Sul piano sarebbe unico, sulla sfera no�.

P.: �Perfetto, e come si chiama questo fatto qui?�

Qualcuno risponde: �Similitudine!�

Vincenzo: �Sì, ma io mi sono chiesto se per caso non fosse un caso partico-lare quello di prima...�

P.: �Ecco, no. Purtroppo non c'è tempo di argomentare, ma si tratta di unfatto generale. Sulla geometria della sfera non c'è la similitudine. Se due�gure hanno angoli uguali, ad esempio, sono proprio uguali. Quindi se voglioun triangolo con i tre angoli di 100°, i lati son �ssati, a meno di congruenzaè unico, posso girarlo, muoverlo, ma è sempre lo stesso�.

Con queste considerazioni termina la discussione.Ringraziamo gli studenti per l'attenta e interessata partecipazione, racco-gliamo le schede e concludiamo l'intera attività.

4.2 Osservazioni conclusive all'attività

Questa attività ha certamente riscosso l'interesse dei ragazzi, che si sono di-mostrati curiosi e partecipi, svolgendo con disciplina e buona collaborazionei compiti loro assegnati. Solamente in un caso, come ho sottolineato, si èdovuti in parte intervenire per sollecitare i ragazzi a contribuire equamenteall'interno del gruppo, ma si è trattato dell'unico gruppo, il 4, in cui era-no presenti ragazzi di scuole diverse, Francesco del liceo Foscolo, Federica eGiulia del liceo Taramelli, e non erano quindi per nulla abituati a lavorare

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insieme. In ogni caso il nostro intervento, come precedentemente riferito, èstato esclusivamente di tipo �pratico�: abbiamo aiutato i ragazzi nella fasedi disegno e misurazione per velocizzare il lavoro, viste le inevitabili scaden-ze dei tempi, e abbiamo evitato di dare suggerimenti, per non limitare ildibattito e il confronto tra gli sudenti.

In generale siamo stati soddisfatti per come ha proceduto l'attività: iragazzi hanno esplorato e discusso adeguatamente, portando alla luce, attra-verso i loro ragionamenti, le caratteristiche delle tassellazioni su cui volevamosi so�ermassero.

Il lavoro proposto non era particolarmente di�cile ma richiedeva, oltread una certa precisione, un buon salto d'astrazione per immaginare i poliedriinscritti nella sfera e una buona capacità di generalizzazione per analizzareil caso di dodecadero e icosaedro e trarre le opportune conclusioni.

Una volta esplorata la situazione sulla sfera, i ragazzi hanno così ope-rato un confronto con la geometria del piano, osservando non soltanto chei poligoni con cui si possono tassellare le due super�ci non sono gli stessi,ma anche che sulla sfera le varie tassellazioni sono determinate a meno diisometrie, mentre sul piano sono uniche a meno di similitudini.

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Conclusioni

Il bilancio dell'attività è stato nel complesso certamente positivo. L'organiz-zazione è stata condotta con impegno e meticolosità, cercando di creare unpercorso di lavoro quanto più possibile adatto a stimolare la curiosità e l'in-teresse dei ragazzi, che non risultasse particolarmente di�cile ma abbastanzaimpegnativo da stimolare e far fruttare al meglio le risorse di ognuno.

Le insegnanti coinvolte nel progetto si sono mostrate disponibili e propo-sitive e il gruppo di ricerca è riuscito, anche grazie alla loro collaborazione,a produrre un lavoro interessante e completo.

Essendo stata questa la prima sperimentazione per il nostro laboratorio, èinevitabile che strada facendo si sia deciso di apportare qualche modi�ca permigliorare ulteriormente l'attività. Innanzitutto ci è parso sensato modi�carel'ordine delle schede di lavoro, così come esposto nel capitolo riguardante lasperimentazione in classe e si è inoltre compreso come per questa attivitàvadano riservate più ore scolastiche in modo da poter assecondare una piùsoddisfacente fase esplorativa, da parte dei ragazzi, e sviluppare più ampiediscussioni.

I ragazzi, come emerso dall'analisi dei questionari di valutazione, hannoampiamente apprezzato il lavoro loro proposto. Praticamente la totalità de-gli alunni, più del 97%, ha a�ermato di essere soddisfatto di aver partecipatoal laboratorio e di aver ritenuto interessanti gli argomenti a�rontati. Nono-stante non sia stato presentato agli studenti alcun questionario riguardantele attività di approfondimento, essi hanno riferito alle loro insegnanti di esserrimasti molto soddisfatti, qualcuno addirittura entusiasta, della peculiaritàdel lavoro a�rontato.

Il bilancio positivo di esperienze di questo tipo costituiscono senza dubbioforti argomenti a favore della positività ed e�cacia di metodi di insegnamento- apprendimento alternativi rispetto alle tradizionali lezioni frontali. La lezio-ne frontale, infatti, come si legge nel volume �Matematica 2003� dell'UnioneMatematica Italiana, �pur avendo una sua valenza didattica, nell'abituaregli studenti a prestare attenzione a una spiegazione, a imparare a prende-

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re appunti in maniera autonoma, quando una persona parla, a svilupparecompetenze di sintesi e di organizzazione dell'informazione, a comprendereun discorso fatto da un esperto su un argomento matematico, [...] andrebbea�ancata, integrata, alternata ad altre metodologie, che sviluppano altrecompetenze negli studenti� [16, (p. 26)].

Purtroppo, ad oggi, la lezione frontale rimane la tipologia di insegna-mento più di�usa e solo saltuariamente viene a�ancata da pratiche di inse-gnamento di tipo diverso. Quello che si auspica è che con il tempo, anchein seguito ad attività di formazione insegnanti sempre più attive, le lezioniscolastiche rappresentino maggiormente, per l'alunno, momenti di �costruzio-ne� attiva di nuova conoscenza e per l'insegnante non un banale �transfert�di saperi, bensì un'occasione per coadiuvare i propri allievi nel processo diapprendimento.

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Bibliogra�a

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piano lauree scientifiche 2011 la geometria della … · per ogni scheda presentata ai ragazzi si...

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