Klein-Gordon et Diracen physique quantique relativisteDaniel FARQUETSection de PhysiqueEPFLTravail prsent Claudio SCRUCCARsumCe document prsente de manire concise ltude des quations de Klein-Gordon et de Dirac avec le point de vue de la mcanique quantique relati-viste. On commence chaque fois par une tude gnrale de lquation, descourants conservs ainsi que de la gnralisation au cas o un champ lec-tromagntiqueestprsent.Onseconcentreensuitesurlalimitenonre-lativiste ainsi que son application au problme potentiel Coulombien. Onsattarde particulirement sur latome dhydrogne avec lquation de Dirac.Laccent est galement mis sur le Zitterbewegung qui est tudi en dtail etde deux manires diffrentes. Finalement, on motive la prdiction danti-particules par un exemple de potentiel step.1Motivationsetprrequis: Cedocument est unepremireapprochedans ltude de lquation de Klein-Gordon et de Dirac. On y traite les im-plications les plus directes de ces deux quations et on interprte physique-ment ce quon trouve. La structure a t pense de telle sorte quon utilisedes rsultats dj dmontrs, connus, ou dont la dmonstration a t ac-cepte prcdemment, ce qui vite de devoir jongler entre plusieurs parties.Par contre, les quations de Klein-Gordon et de Dirac sont poses sans au-cuneargumentationphysique, etlelecteurestrenvoy[1]ou[6]pourcomprendre les arguments qui ont pouss poser ces quations. Notons en-n que les tapes de calculs ne sont pas toujours explicites, mais que lesgrandes lignes du raisonnement sont toujours mentionnes.En ce qui concerne les prrequis, on suppose que la mcanique quan-tique non relativiste de base est connue. Des rsultats concernant latomedhydrogne seront utiliss sans dmonstration. On utilise galement desrsultats sur le groupe de Lorentz et la thorie des groupes. Le formulationcovariante de la physique doit aussi tre connue. Par simplicit et pour vi-ter la lourdeur des quations, le systme dunit est le systme naturel, i.e.= c =1.Notation : On utilise les matrices ide Pauli dont les dnitions sont1=_0 11 0_2=_0 ii 0_3=_1 00 1_.Le quadri-gradient est dni par=(t,

)et le quadri-oprateur dimpulsion estp= i.Ainsi loprateur dimpulsion scritp =i

.On note le quadrivecteur donde kpark=(E,

k)o E est lnergie et

k le vecteur donde. Lorsque lon crit a, on fait rfrence un vecteura =(a1, a2, a3).Quand on utilise la mtrique de Minkowski, on prend la convention=diag(1, 1, 1, 1).Daniel FARQUET EPFL - Physique2Table des matires1 Thorie de Klein-Gordon 31.1 Equation de Klein-Gordon et courant conserv. . . . . . . . . . 31.2 Solutions libres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Interaction lectromagntique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Limite non relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Atomes msoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Zitterbewegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7 Antiparticules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Thorie de Dirac 152.1 Equation de Dirac et courant conserv. . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Interaction lectromagntique et covariance . . . . . . . . . . . 172.3 Chiralit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4 Solutions libres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5 Limite non relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6 Atome dhydrogne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.7 Lamb shift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.8 Zitterbewegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.9 Antiparticules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 Annexe 353.1 Thorme du viriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Daniel FARQUET EPFL - Physique31 Thorie de Klein-Gordon1.1 Equation de Klein-Gordon et courant conservSoit(x)unchampscalaire.LquationdeKlein-Gordonestcellequidcrit les particules de spin 0. Elle est donne par_+m2_(x) =0, (1)avec= .Cettequationestmanifestementcovariantetantdonnque loprateurest invariant et que le champ est scalaire. Il existe uncourant conserv par les champs vriant lquation de Klein-Gordon. Eneffet, en posantj=i2m() (2)on voit quej=i2m(+) =i2m() =0(3)o lon a utilis lquation de Klein-Gordon pour la dernire galit. En po-santj0=, on en dduit facilement queddt_V dV =_S

j d

S =0 (4)ensupposantqueleschampssoientlocaux. Ainsi, commeenmcaniquequantique non relativiste, on aurait envie dinterprter comme une den-sitdeprobabilituneparticule.Toutefois,onpeuttrsviteserendrecompte quon rencontre des problmes avec une telle interprtation directe.En effet, si lon considre une onde plane(x) =exp(ipx iEt), lquationde Klein-Gordon implique immdiatement queE2=p2+m2(5)et donc E = _p2+m2. De plus, le calcul du courant sur cette onde planedonnej=_Em,pm_= pm , (6)et donc = E/m peut tre soit positif, soit ngatif, dpendant du signe delnergie. Une densit de probabilit ngative semble videmment insatis-faisante. On verra par le suite que lintroduction des antiparticules lve ceproblme.Daniel FARQUET EPFL - Physique41.2 Solutions libresNousavonsdveloppjusquelunethorielibre, cestdirenefai-sant intervenir aucune interaction. On verra plus loin comment introduirelinteraction lectromagntique dans cette quation. Pour le moment, on vasintresser aux solutions de lquation libre (1). Pour ce faire, on va passerdans lespace de Fourier. La transforme de Fourier de (x) est dnie par(k, t) =_(x, t)eikxd4x, (7)son inverse est donc(x, t) =_d4k(2)4(k, t)eikx. (8)En utilisant la reprsentation (8) pour (x) et en appliquant lquation (1),on trouve quekk= k2= m2. (9)Cette quation xe lnergie de londe car elle donne E=_

k2+m2. Lin-troduction de cette contrainte peut se faire de manire naturelle en modi-ant lquation (8). On crit alors(x, t) =_d4k(2)4(k, t)eikx(2)(k2m2) (10)o le facteur 2 est introduit par souci de normalisation de la fonction.En utilisant le fait que cette fonction delta peut scrire de manire plusagrable comme(k2m2) =12E ((k0E+) +(k0E)) . (11)o lon a dni E =|E|. La fonction solution de lquation de Klein Gor-don peut alors scrire sous la forme gnrale(x, t) =_d3k(2)3 2E_a(

k)ei(

kxEt)+b(

k)ei(

kx+Et)_(12)olesfonctionsa(

k), b(

k) sontdeuxfonctionsindpendantes, vuquelechamp est complexe. Si le champ tait rel,a(

k) etb(

k) seraient identi-s. A ce stade, il est trs important de remarquer que la fonction com-prendunesuperpositiondondednergiespositivesetdondesdnergiesngatives.Daniel FARQUET EPFL - Physique51.3 Interaction lectromagntiqueOn aimerait maintenant pouvoir gnraliser lquation (1) en introdui-santlinteractiondelafonctionavecunchamplectromagntique. Onsait de la physique quantique traditionnelle quen prsence dun potentielexterne A=(A0,

A) le moment canonique p= i devient i(+iqA) oq est la charge de la particule reprsente par la fonction . On dnit alorsla drive covariante commeD=+iqA(13)et on gnralise lquation de Klein-Gordon en remplaant par D. On aainsi_DD+m2_(x) =0. (14)Onpeutfacilementvoirquelecourantconservassocicettequationsobtient en remplaant par D dans lancien courant. Ce qui scritJ=i2m_D(D)_, (15)avec J=0. Ainsi, la densit de probabilitj0= associe est =i2m((t+iqA0)(tiqA0)). (16)CommeilestvidentqueDsetransformecommeunquadrivecteur, lanouvelle quation est manifestement covariante sous transformation de Lo-rentz. On pourrait galement montrer que la parit, le renversement tem-porel et les transformations de jauge sont des symtries de cette quation.1.4 Limite non relativisteIl est possible de dnir une limite non relativiste de lquation (14) deKlein-Gordon. Il existe essentiellement deux mthodes pour y arriver. Lapremireestuneprocdure, dueFoldy-Wouthuysen, dedveloppementsystmatique dans des puissances inverses de la masse qui mne une ex-pression en srie entire du Hamiltonien nal. Cette mthode est trs calcu-latoire, mais a lavantage dtre systmatique. Il existe une autre mthodemoins systmatique, mais plus simple, qui permet dobtenir facilement lespremierstermesdudveloppement.Cestcettederniremthodequiestprsente ici.OncommenceparremarquerquelquationdeKlein-Gordonpeutsemettre sous la forme[itqA0]2(x) =_m2+(pq

A)2_(x) (17)Daniel FARQUET EPFL - Physique6opi= ixi. Lquation tant du deuxime degr en temps, on sait quilest possible de la dcoupler en deux quations du premier degr. On dnitalors = et =im(t+iqA0). Lquation (17) mne i(t+iqA0) = m (18)i(t+iqA0) =_m+(pq

A)2m_ (19)Enn, on cre des combinaisons linaires en dnissant que = + et = , oet sontdeuxfonctions, puisonintroduitlevecteur(x) = (, ). On peut alors crire ce systme sous forme dune quationde Schrdinger :ita(x) = Habb(x) (20)o a, b =1, 2 et le Hamitonien estH=___m+(pq

A)22m_+qA0(pq

A)22m(pq

A)22m_m+(pq

A)22m_+qA0__(21)On explicite nalement le systme pour trouverit=_m+(pq

A)22m+qA0_+(pq

A)22m(22)it=_m+(pq

A)22mqA0_(pq

A)22m(23)Apartir de ces expressions, la limite non relativiste peut tre obtenue moyen-nant quelques calculs. Tout dabord, on va commencer par se dbarrasserde la drive temporelle. On crit donc que(x, t) = exp[iEt]nr(x) avecE = m+ etnr(x) =_(x), (x)_. les inconnues du problme sont mainte-nant les fonctions, ainsi que lnergie. Avec ces nouvelles dnitions,on aboutit au systme(m+) =_m+

22m+qA0_ +

22m (24)(m+) = _m+

22mqA0_

22m (25)olonadni

= p q

A. Lalimitenonrelativisteconsistedirequelnergie est petite devant la masse, que les champs et

A sont faibles parrapport la masse et que la variation spatiale des quantits est faible. Enpassant dans lespace de Fourier, tous les oprateurs prsents dans les qua-tions (24) et (25) deviennent des nombres. On peut ainsi rsumer nos hypo-thses par m, |A0| m, |

A| m et |p| m, ce qui entrane |

| m.Daniel FARQUET EPFL - Physique7SanspasserdanslespacedeFourier,onvatravailleravecloprateur

comme un nombre et on le r-interprtera comme un oprateur la n ducalcul. Comme partir de maintenant ce sera toujours le cas, on ne men-tionnera plus la subtilit. Le but est maintenant de trouver des quationspournosquantits, enallantlordre1/m4aumaximum. Enrappelantquau premier ordre 1/(1+x) 1x, (25) donne =12m_1+

24m2+ qA02m m_ 22m, (26)et on pourrait vrier par la suite quil ne sert rien de dvelopper unordre plus lev pour cette quation. En remplaant dans (24) on trouve_1

216m4_ =_

22m

48m3+qA0

2qA0

216m4_(27)Pourrespecterlaphysique, onchercheunefonctionquisoitproprementnorme. La densit de probabilit donne par (16) peut sexprimer dans lesnouvelles variables comme =(). Les conditions de normalisationstant que _d3x = 1, on doit avoir que _( )d3x = 1. Mais comme

24m2 il vient__1

416m4_ d3x =1. (28)On dnit alors =_1

432m4_ =_1+

432m4_ (29)o la dernire relation est vraie lordre 1/m4seulement. La fonction estproprementnormeetcestdoncltatphysiquecherch. Enremplaantdans (27) et aprs quelques manipulations, on arrive =_

22m

48m3+qA0+

4qA032m4+ qA0

432m4

2qA0

216m4_ . (30)En remarquant nalement que_

2,_

2, A0__=

4A0+A0

42

2A0

2(31)et en se rappelant la dnition de

, il faut rsoudreH = avecH= (pq

A)22m(pq

A)48m3+qA0+132m4_(pq

A)2,_(pq

A)2, qA0__. (32)Daniel FARQUET EPFL - Physique8Le premier terme est lnergie cintique non relativiste et le deuxime est lapremire correction relativiste. Le troisime terme est simplement lnergiepotentielle tandis que le dernier terme est un effet purement quantique. Onpourrait en effet montrer que ce terme est li au Zitterbewegung, effet detremblement de la trajectoire que lon tudiera plus loin. Notons nalementque ce qui nous intresse en gnral, ce nest pas tant les fonctions dondesdun systme mais plutt son spectre. Ainsi, pour ce qui nous intresse, ilnous suft de dterminer le spectre deH.1.5 Atomes msoniquesDes atomes de spin zro peuvent exister dans la nature quand unou un Kest captur par un noyau. On peut calculer approximativementle spectre de ces systmes en utilisant la formule trouve pourH. Dans ceproblme, le champ magntique est nul et le potentiel est Coulombien. Onprend donc

A =0 et qA0=Zravec Z le nombre de protons et on rappelleque =1/137. Il faut alors rsoudre le spectre deH=p22mZr. .H0p48m3+132m4_p2,_p2, qA0__. (33)Le spectre de H0 est connu car cest celui de latome dhydrogne avec Z =1.Il est donn parEn=Z222n2m, (34)avecH0n(r) =_ p22mZr_n(r) =Enn(r). (35)On va alors traiter les deux termes diffrents de H0 en perturbation. Mais,p48m3n(r) =12m_En+Zr_2n(r) =12m_m2Z444n2mZ33n2r+Z22r2_n(r)(36)et lon sait de latome dhydrogne que_1r_= mZn2 ,_ 1r2_= m2Z22n3(l +12), (37)o . signie la moyenne sur ltat n. On arrive donc _p48m3_= mZ442n3_1l +1234n_. (38)Daniel FARQUET EPFL - Physique9En utilisant le fait que 2 1r = 4(r), on voit que [p2, qA0] = 4Z(r).Donc,__p2,_p2, qA0___=4Z_(r)__2n(r)_n(r) n(r)2n(r)_ d3r =0.(39)Il ny a ainsi pas de contribution du Zitterbewegung. Finalement, le spectredeH, qui est la correction lnergie de masse, scritnl=mZ222n2_1+Z22n2_nl +1234_+. . ._(40)On observe que le terme enp4agit comme un terme de structure ne vuquil lve la dgnrescence en l de latome dhydrogne.Il existe galement une solution exacte ce problme, quon peut obteniren crivant lquation stationnaire de Klein-Gordon :__E+Zr_2+2m2_(r) =0. (41)Commeleproblmeestsymtriesphrique,lideestdepartircommeusuellement avec des fonctions dont la dpendance angulaire et la dpen-dance en r sont dcouples. Moyennant quelques identications, on peut seramener lquation de latome dhydrogne mais avec un nouveaulquidevient continu. On prolonge ensuite analytiquement la solution de latomedhydrogne pour obtenir une expression exacte de lnergie E. Les calculsdtaills sont fait dans [1] section VI.3 et ils donnentE = m_____1+Z22_nl 12+__l +12_2Z22_2_____1/2(42)Dansledveloppementperturbatifnousavionssupposquelnergieci-ntique tait petite, ce qui scritp2/2m 1. On peut alors se demanderquelle quantit doit tre petite ici an de retrouver le dveloppement per-turbatif. Le thorme du viriel nous donne (voir Annexes), V =2T, oT est lnergie cintique, tandis que lquation (37) nous permet dafrmerque V mZ22. On voit donc quep2/2m mZ22ce qui implique quilfaut dvelopper la solution dans le petit paramtre Z22, ce qui est coh-rent avec la limite non relativiste o on avait suppos que |qA0| m. Eneffectuant le dveloppement, on peut voir que lon retrouve immdiatementla solution perturbative.Onpeutennsedemandersilaformulequenousavonstrouveestcohrente. En tudiant le ground state (n =1, l =0) on voit que les nergiesDaniel FARQUET EPFL - Physique10deviennent complexes partir de Z = 69, car = 1/137. A partir de Z = 69on peut crire lnergie comme E =E0+i/2 et ltat propre prend la formegnrale(r) = eiEt(r) = eiE0t2t(r). (43)Si lon suppose que (r) est norm au temps t =0, on a alors_|(r)|2d3r =1,et donc au temps t la probabilit totale dobserver ltat estP =_||2d3r = et. (44)Des nergies complexes reprsentent alors le fait que ltat nest pas stableet quil se dsintgre avec un temps de vie = 1/. Ces rsultats sont tout fait similaires la thorie des tats mtastables de lapproximation semi-classiquedelaphysiquequantiquenonrelativiste. Notrethorieprditainsi que les atomes msoniques sont instables partir de Z = 69. Remar-quons que, partir de Z =69, V m et que les phnomnes de crationsde paires ne peuvent tre ngligs (c.f. section 1.7). Il se trouve que lon apu observer des atomes msoniques assez stables ayantZ = 82 ou encoreZ = 92. Cette thorie nest donc pas parfaite et devrait tre modie. Unpetit calcul simple montre que pour un mson le rayon de Bohr vaut 2.8fm Z =69, alors que le rayon du noyau est R =1.2 A1/35 fm. En dautrestermes, un modle de noyau ponctuel ne pourra jamais donner un bon r-sultat. Il faudrait alors modier notre modle en travaillant avec la masserduite et non la masse, ou encore prendre en compte que le noyau nest pasponctuel, ainsi que considrer les phnomnes de crations de paires etc...1.6 ZitterbewegungIl existeuneffetquantiqueremarquablecontenudanslquationdeKlein-Gordon qui donne lieu un tremblement de la particule libre sur latrajectoire, ou Zitterbewegung. La manire la plus commune dexhiber ceteffet est de calculer directement la position moyenne dun paquet dondes etde montrer quon trouve une uctuation de la trajectoire de lordre de 1/m.Le Zitterbewegung peut galement tre mis en avant laide dune ex-plicitation purement algbrique de loprateur position en faisant intervenirle point de vue de Heisenberg de la mcanique quantique. Soit A(t) un op-rateur dans la vision de Heisenberg, reli loprateurA indpendant dutemps de la vision de Schrdinger par la relationA(t) = eiHtAeiHt(45)o lon a suppos que le Hamiltonien est indpendant du temps. La drivede loprateur A(t) peut scrire commedA(t)dt= i [H, A(t)] +A(t)t(46)Daniel FARQUET EPFL - Physique11Revenons maintenant au problme physique. Si lon suppose, dans la formu-lation deux composantes, que la particule est libre alors le Hamiltonien(21) prend la formeH=p22m_3+i2_+m3(47)o les isont les matrices de Pauli. Loprateur vitesse de la particule sex-prime commev(t) = dx(t)dt= i[H,x(t)] =_3(t) +i2(t)_p(t)m. (48)En remarquant queHv(t) +v(t)H=2p (49)On obtient quedv(t)dt= i[H,v(t)] = i(Hv(t) +v(t)H) 2iv(t)H=2ip2iv(t)H. (50)On note v0=v(t =0), et on pose (t) =pH1+(v0pH1)e2iHt. En voyantque (49) peut scrireH(v(t) pH1) =(v(t) pH1)H (51)car [p, H] =0, et comme [H,(t)] =0 on ad(t)dt=(v0pH1)e2iHt(2iH) = eiHt(v0pH1)eiHt(2iH) =2ip2iv(t)H.(52)De plus, comme (t =0) =v0, on doit forcment avoirv(t) =(t) =pH1+(v0pH1)e2iHt. (53)En posant x(t =0) =x0 et en notant symboliquement H1=1/H, une simpleintgration de cette dernire expression mne x(t) =x0+ptH _v0pH_ e2iHt12iH. (54)On voit alors que loprateur position est compos dune partie de trans-lation vitesse constante ainsi que dune partie oscillante, le Zitterbewe-gung. Ilestcestadepossibledecalculerlamoyennedecetoprateurpositionsurunpaquetdondesanderetrouverlaformuleusuellementnonce. Ce calcul est galement instructif dun autre point de vue, car onva se rendre compte que le calcul de moyennes doprateurs est un peu plussubtil quen mcanique quantique traditionnel. On pose =(, ), commelasection1.4.OnpeutalorsexprimerladensitdeprobabilitcommeDaniel FARQUET EPFL - Physique12 =||2||2=3. On voit donc que le produit scalaire usuel doit tremodi en insrant une matrice 3an que la normalisation _d3r =1 soitvalable. Ainsi, dans la formulation deux composantes, la moyenne dunoprateur A sexprime commeA =|A| =_3A d3r. (55)En revenant aux dnitions des fonctions et de la section 1.4, on voitquen terme de la fonction donde une composante scrit(x) = 12_(x) +imt(x)(x) imt(x)_. (56)vu que A0=0. Lors de ltude des solutions libres, on a vu quon peut crire(x) comme(x, t) =_d3k(2)3_mE_a+

kei(

kxEt)+a

kei(

kx+Et)_(57)o lon a redni les coefcients devant les exponentielles et on rappelle queE =_

k2+m2. En dnissant(

k) =12

mE_m+EmE_(58)o =1, devient alors(x, t) =

=1_d3k(2)3ei

kxa

k(t)(

k), (59)o a

k(t) signie que la dpendance temporelle se trouve dans les fonctionsa

k. Si lon veut calculer la moyenne x(t) il faut se placer en reprsenta-tion de Heisenberg. Lvolution temporelle devant se trouver dans les op-rateurs, on se place en t = 0 pour calculer la moyenne de x(t). En utilisantla dnition (55) sur la fonction (x) =(x, t =0) ainsi que (48) et le fait que()3=, le calcul donnerait (c.f [8])_(x)|x(t)|(x)_= x0 +

_d3k(2)3

kEt|a

k(t)|2+ 2_d3k(2)3

kE2 sin(Et) _a

ka+

keiEt_(60)Si on avait opt pour la vision de Schrdinger, nous aurions galementpu calculer la moyenne de loprateur x. Un long calcul nous aurait alorsmen _(x, t)|x|(x, t)_=

_d3k(2)3

kEt|a

k(t)|2_i_d3k(2)3

kE2a+

k(t)a

k(t)_(61)Daniel FARQUET EPFL - Physique13On peut videmment montrer que la moyenne dex(t) calcule dans la visionde Heisenberg ou dans la vision de Schrdinger est identique. La premirecomposante de cette moyenne est simplement le mouvement vitesse uni-forme du paquet. La deuxime composante de (61) est par contre telle quea+

k(t)a

k(t) e2iEt(62)et reprsente ainsi une oscillation x trs rapide (2m) de la position dela particule autour de la position centrale. Ce mouvement doscillation estclairement d aux interfrences entre les parties nergies positives et lesparties nergies ngatives. De plus, on voit facilement que x 1/m.1.7 AntiparticulesAndeserendrecomptequelquationdeKlein-Gordoncontientef-fectivement la description de particules et dantiparticules, le plus simpleest de prendre un exemple dans lequel on voit la ncessit dinterprter laprsence dantiparticules.Soit une particule de Klein-Gordon de masse m, charge e et nergie E =_p2+m2incidente sur une marche de potentielV(x) =V0(x) = eA0(x). (63)On a vu lquation (57) que la solution libre tait compose de deux pa-quetsdondes, unavecnergiespositivesetunavecnergiesngatives.Nous allons considrer que la particule incidente sur le potentiel a une ner-gie positive. La solution peut alors scrire comme(x) =_eikx+a eikxsi x 0 q =_(EV0)2m2(64)Comme habituellement, il faut maintenant imposer que et sa drive sontcontinues en 0, ce qui permet de rsoudre le systme pour les coefcients aet b. Les coefcients de transmission et de rexion peuvent alors se calcu-ler et valentT = qk|b|2=4qk|1+qk|2(65)R =|a|2=1qk1+qk2(66)Il y a maintenant 3 cas diffrents considrer :Daniel FARQUET EPFL - Physique141. 0 V0 Em : Lnergie cintique est plus grande que la barrire.Dans ce cas k et q sont rels et on aT =4qk(k+q)2 [0, 1], R =_kqk+q_2 [0, 1], R+T =1. (67)Londeincidenteestpartiellementrchieetpartiellementtrans-mise , comme en mcanique quantique non relativiste.2. EmV0E+m : Dans ce cas q devient imaginaire et on trouve queT =0, R =1, R+T =1. (68)Londe incidente est totalement rchie, ce qui est analogue au casnon relativiste.3. E+mV0 : Dans ce cas q redevient rel mais il faut le choisir ngatifpour que R+T =1, avecR =_k+|q|k|q|_2>1, T =4k|q|(k|q|)2 1. La partie nergie ngative remontevers la droite et donne T < 0. On peut expliquer ceci par le fait que la pre-mire correspond une particule de charge q qui subit le potentiel V(x) etcontribue de manire positive au courant lectrique, tandis que la deuximecorrespond une antiparticule de charge -q. subissant loppos du potentielet contribuant de faon ngative au courant lectrique. Il faut donc se r-soudre au fait que linterprtation de la fonction donde comme une den-sit une particule mne forcment des complications tant donn quenous sommes confronts un problme plusieurs particules.On pourrait formaliser cette exemple de faon gnrale en considrantla relation entre les solutions nergies positives (particules) et ngatives(antiparticules) en prsence dun champ externe dans une procdure appe-le conjugaison de charge. Nous ne le ferons pas ici et renvoyons le lecteur [2] par exemple. Mentionnons nalement que la seule manire de traiterproprement ce problme se fait via le formalisme de la thorie quantiquedes champs.Daniel FARQUET EPFL - Physique152 Thorie de Dirac2.1 Equation de Dirac et courant conservSoit(x) un vecteur 4 composantes, que lon appelle spineur. Lqua-tion de Dirac est donne par_im_(x) =0. (70)Laquantitestun4-vecteursdematrices4 4, agissantsurlafonc-tion donde comme sur un vecteur. Ces matricesrestent encore tretrouves. Andedterminerlespropritsquedoiventsatisfaireles,on commence par imposer que lquation de Dirac doit impliquer celle deKlein-Gordon. Pour ce faire, on va appliquer loprateur (im) surlquation (70). On trouve_+m2_(x) =0 (71)En utilisant le fait que les drives commutent, on peut r-crire cette qua-tion_12_, _+m2_(x) =0, (72)o {, } signie lanticommutateur. En comparant lquation de Klein-Gordonqui scrit (+m2)(x) = 0, on en dduit que les matricesdoiventsatisfaire lalgbre de Clifford :_, _=21. (73)Onanot1lamatriceidentit4 4,quelonomettradslors.Onvoitdonc que (0)2=1 et que (i)2=1. On peut choisir les matrices de tellesorte que0soit hermitienne et que lesisoient anti-hermitiennes, ce quise rsume par=00. (74)Lalgbre de Clifford na pas de solution unique. En effet, on voit facilementque les matrices =UU1, (75)avec Uune matrice inversible arbitraire, satisfont aussi lalgbre de Clif-ford. Il existe un thorme dunicit des reprsentations de lalgbre de Clif-ford qui afrme que toute paire de matrices et la satisfaisant est reliepar une conjugaison du type (75). On remarquera de plus que, si la matriceU est unitaire, alors les matrices ont aussi la proprit que = 0 0.Comme premire vrication que lquation de Dirac nest pas absurde,on peut voir quelle donne lieu un Hamiltionien hermitien. En effet, lqua-tion peut scrireit(x) = H(x) (76)Daniel FARQUET EPFL - Physique16avecH= m0i0ii. (77)En utilisant le fait que0=0et que (0i)=0ion voit facilement queH= H.Comme pour lquation de Klein-Gordon, il existe un courant conservpar les fonction (x) vriant lquation de Dirac. On posej=0 (78)et on vrie en effet que j=0. Il sensuit que, comme dhabitude, la com-posante 0 dejintgre sur tout lespace devient une quantit conserve.La densit = j0scrit =. (79)On verra que linterprtation de comme densit de probabilit une par-ticulemneauxmmesproblmesquedanslecasduchampdeKlein-Gordon. Encequiconcerneleproduitscalaire, contrairementaucasdeKlein-Gordon, on remarque que celui-ci ne doit pas tre modi pour cal-culer la densit . Il en dcoule que le calcul des moyennes doprateurs necomporte aucune subtilit et donc que pour un oprateur A on aA =|A| =_A d3x. (80)On remarquera enn que nimporte quel changement de base de type(75) laisse la densit de courant inchange si les fonctions dondes sont mo-dies en =U et que la matrice U est unitaire. Ceci montre clairementque toutes les prdictions physiques de la thorie de Dirac dpendent uni-quement des proprits algbriques des matrices .On va maintenant faire une construction un peu plus explicite des ma-trices. Il estpossiblededmontrerquil fautquecesmatricessoientdedimensionpaire. Pourd = 2, onsaitquelesmatricesdePauli satis-font lalgbre de Clifford, {i, j} =2i j. Mais comme il nexiste pas dautresmatrices de dimension 2 qui anticommutent avec les trois matrices i, lal-gbre de Clifford ne peut pas tre ralise en dimension 2. En dimension 4par contre, il est possible de trouver des reprsentations de lalgbre de Clif-ford. Il existe en effet 5 matrices indpendantes qui anticommutent entreelles. On peut en identier 4 aux matrices et choisir la dernire comme5=i0123. (81)Despropritsdesmatricesonendduitque{, 5} = 0, (5)2=1et5=5.Il existe deux reprsentations utiles en physique. La premire est appe-le reprsentation standard et elle peut tre donne en bloc 22 par0=_1 00 1_, i=_0 ii0_, 5=_0 11 0_. (82)Daniel FARQUET EPFL - Physique17La deuxime est appele reprsentation de Weyl et est dnie par0=_0 11 0_, i=_0 ii0_, 5=_1 00 1_. (83)La reprsentation standard est plus utile pour tudier les solutions de lqua-tion de Dirac ainsi que sa limite non relativiste. La reprsentation de Weylpermet, quant elle, dtudier les proprits de transformations de lqua-tion de Dirac. On peut videmment passer dune reprsentation lautre enutilisant une conjugaison du type (75).2.2 Interaction lectromagntique et covarianceComme dans le cas de Klein-Gordon, on aimerait gnraliser lquationdeDiracpourrendrecompteduneventuelleinteractionlectromagn-tique. En se rappelant que la drive covariante est donne parD=+iqA(84)la gnralisation la plus naturelle est_iDm_(x) =0. (85)Une lment trs essentiel discuter est la covariance de lquation deDirac (85). Dans le cas de Klein-Gordon, cette covariance tait manifeste.Ici, il va falloir montrer que, sous une transformation de Lorentz propre, ildoit exister une transformation de la fonction donde telle que la nouvellequation soit quivalente celle de base. On commence par remarquer quela drive covariante se transforme comme DD=D sous transfor-mation de Lorentz. Postulons maintenant que la transformation va scrirex x=x(86)a(x) a( x) =Sab()b(x). (87)o lon va chercher dterminer la forme de la matrice S. Comme on dnitque les matricesne se transforment pas sous le groupe de Lorentz - cesontdesmatricesxespourtouslesobservateurs-lquationdeDiracdevient_iDm_ ( x) =S()__iS1()S()Dm_(x)_=0. (88)Ainsi, lquation est covariante si la matrice S vrieS1()S()=, (89)que lon peut crireS1()S() =. (90)Daniel FARQUET EPFL - Physique18On doit donc trouver une matrice S() qui conjugue les matrices de tellesorte quelles se transforment comme un vecteur. Remarquons une fois deplusque, pardnition, lesmatricesnesetransformentpassouslegroupe de Lorentz, mais que la matrice S() les conjugue de telle sorte faire apparatre. On remarque galement que comme les matricesvrientlalgbredeClifford,lesmatricesaussi,car=. Il doit alors forcment exister une matrice qui relieet par lethorme dunicit. Ceci nous assure lexistence de la matrice S() et nousavons donc prouv la covariance de lquation de Dirac. On peut toutefoisobteniruneformeexplicitepourlamatriceS.Pourladterminer,onvaparamtrer la transformation parS() =exp_i2_=1 i2+. . . (91)o = sont les paramtres dune transformation de Lorentz propre.Pour que la matrice S soit non triviale, il faut que les soient antisym-triques. On impose donc que =. Au premier ordre, on peut crireS1()S() =_1 + i2__1 i2_= i2_, _(92)et=+12__(93)carunetransformationdeLorentzproprepeutscrireaupremierordrecomme=+12__. (94)La condition (90) implique alors que_, _= i__. (95)Il est possible de montrer que la seule possibilit est que [, ]. Uncalcul explicite permet de conclure que=i4_, _. (96)A partir des proprits des matrices , on peut dmontrer queS=0S10. (97)En dnissant un nouveau conjugu par la relation =0=(0)(98)Daniel FARQUET EPFL - Physique19on en dduit facilement que comme = S alors = S1. Avec ces nou-velles notations, le courant conserv prend la formeJ= (99)et comme S1S =on en dduit facilement queJ=J. (100)On peut conclure que Jse transforme comme un quadrivecteur sous trans-formation de Lorentz et que son interprtation en tant que quadri-courantest justie. Dans le mme registre, on voit quune quantit du type estun scalaire et doit donc ne pas varier sous changement de repre. Cette ob-servation nous sera utile lorsquon voudra normaliser les solutions libres delquation de Dirac. Notons enn quil est possible dtudier dautres typesde transformations de lquation de Dirac, tels la parit, le renversementtemporel ou encore linvariance de jauge, ce que nous ne ferons pas ici.2.3 ChiralitLa matrice 5introduite prcdemment joue un rle spcial dans la tho-rie de Dirac. Cette matrice permet de construire des projecteurs de chiralitdans lespace des spineurs :P= 12_1 5_. (101)On vrie facilement que ce sont des projecteurs en remarquant que P=P, P2 = P, PP = 0 etP++P = 1. A partir de la forme explicite desgnrateurson peut rcuprer la forme des gnrateurs des boosts etdes rotations appliqus aux spineurs. On trouve en effet que les gnrateurssontSi= 12i jkjk=i4i jkjkboosts (102)Ki=0i=i20irotations (103)Dans la reprsentation de Weyl, les projecteurs deviennentP+=_1 00 0_P=_0 00 1_(104)et les gnrateurs des rotations et des boosts sontSi= 12_i00 i_Ki=i2_i00 i_. (105)Daniel FARQUET EPFL - Physique20On remarque alors que tout est construit partir de la reprsentation despin 1/2 des gnrateurs de SU(2), cest dire i/2. Dans la reprsentationSU(2) SU(2) introduite pour le groupe de Lorentz, les gnrateurs com-plexes sont donns parNi = 12(SiiKi), (106)ce qui mne dans notre cas N+i = 12_i00 0_Ni = 12_0 00 i_. (107)Lesspineurs sontdoncclairementdansunereprsentation( j+, j) =(1/2, 1/2) du groupe de Lorentz. Comme [5, S] = 0 et donc [P, S] = 0, cettereprsentation est rductible par rapport au groupe de Lorentz propre etles deux reprsentations qui en dcoulent sont alors clairement (1/2, 0) et(0, 1/2). On dnit alors la partie chiralit +1 comme+ = P+ qui estdans la reprsentation (1/2, 0) et la partie chiralit 1 comme= Pqui est la reprsentation (0, 1/2). Pour rsumer, on a+=_____1200_____: reprsentation (1/2, 0) (108)=_____0034_____: reprsentation (0, 1/2) (109)+=_____1234_____: reprsentation (1/2, 0) (0, 1/2) (110)On voit donc que lquation de Dirac contient naturellement deux reprsen-tations de spin 1/2. Cest un gros indice qui pousse dire que lquation deDirac dcrit des particules de spin 1/2. Ceci deviendra clair quand nous ver-rons apparatre lnergie dinteraction dune particule de spin 1/2 dans unchamp

B lorsquon tudiera la limite non relativiste.Notons enn que, si lopration de parit intervient, on ne peut pas serestreindre aux sous-reprsentations (1/2, 0) et (0, 1/2). En effet, loprationdeparitchangelareprsentationde( j+, j)en( j, j+), etcelanauraitalors aucun sens de se restreindre une des sous-reprsentations. Donc,seuls les spineurs 4 composantes forment une reprsentation du groupede Lorentz complet.Daniel FARQUET EPFL - Physique21Remarquons nalement que, si on avait choisi la reprsentation stan-dard pour faire cette analyse, nous aurions eu plus de difcults, car il nau-rait pas t vident que la reprsentation dans laquelle on travaille puissese scinder en deux sous-reprsentations du groupe de Lorentz propre.2.4 Solutions libresLquation de Dirac tant un tant soit peu plus complique que celle deKlein-Gordon, la recherche des solutions de lquation libre est un peu pluslaborieuse. Il existe plusieurs mthodes pour trouver les solutions libres ; laplus rpandue est certainement celle faisant le calcul dans le rfrentiel dela particule au repos, et un boost permet de rcuprer le cas gnral. Nousallons opter pour une autre mthode qui est essentiellement algbrique.On commence par crire que(x, t) = u(p)ei(pxEt)= u(p)ei px. (111)Lquation de Dirac libre implique alors une relation algbrique(pm)u(p) =(/pm)u(p) =0, (112)o lon a utilis la notation de Feynman, / A = A pour un quadrivecteurA quelconque. Nous allons maintenant sparer u(p) en deux composantesbidimensionelles. Avec ua et ub deux spineurs deux composantes, on critu(p) =_uaub_. (113)En reprsentation standard, lquation pour u(p) prend alors la forme(0E p)u(p) =_E p p E__uaub_= m_uaub_, (114)qui donne la paire de relations couplesEua pub= muaEub+ pua= mub(115)On est alors men rsoudreua= pEmub , ub= pE+mua. (116)En utilisant lidentit p p =p2, lquation pour ub devientub=p2E2m2ub, (117)Daniel FARQUET EPFL - Physique22ce qui montre quil faut imposer E2m2=p2. Comme dans le cas de Klein-Gordon, il existe deux solutions pour lnergie, une ngative et une positiveE=_p2+m2. (118)Considrons tout dabord les solutions nergies positives E = E+. Po-sons ua= N o est un spineur deux composantes et N est un nombrecomplexe. La solution prend la formeu(p) = N_pE+m_. (119)On voit quil existe deux solutions linairement indpendantes pouru(p)correspondantauxdeuxpossibilitsindpendantespour . Parexemple1=(1, 0) et2=(0, 1). An de normaliser proprement lquation de Dirac,on se rappelle que uu est un scalaire, ce qui nous pousse imposer u(p)u(p) =1. (120)Cette contrainte se rsout facilement et un choix de phase pour N nouspermet dobtenir N =_E+m2m. Ainsi,u(p) =_E+m2m_pE+m_. (121)Onaalorstrouvdeuxsolutionsnergiespositivesu1(p)etu2(p)quisont linairement indpendantes, normalises et orthogonales, cest dire u1u1= u2u2=1 et u1u2= u2u1=0.Considrons maintenant les deux solutions linairement indpendantes nergies ngatives. Lnergie ayant le signe oppos, on va construire cesspineurs avec le signe de p oppos. On prend comme ansatz(x, t) =v(p)ei(px+Et)=v(p)ei px. (122)Comme avant, lquation de Dirac devient algbrique(/p+m)v(p) =0. (123)En crivant v =(va, vb) on doit rsoudre le systmeEva+ pvb= mvaEvb pva= mub(124)ce qui revient va= pE+mvb , vb= pEmva. (125)Daniel FARQUET EPFL - Physique23En prenant vb= N, on av(p) = N_pE+m_. (126)De plus, v(p)v(p) =|N|22mE+m(127)on va donc normaliser v(p)v(p) =1 (128)et on retrouve comme avant N =_E+m2m. Finalement, le spineur scritv(p) =_E+m2m_pE+m_(129)et on peut prendre1 = (1, 0) et2 = (0, 1) pour avoir deux spineurs ind-pendants nergies ngatives. On retrouve les mmes proprits quavant,cest dire v1v1= v2v2=1 et v1v2= v2v1=0. Notons aussi que les solutions nergies positives et ngatives sont orthogonales : u(p)v(p) = v(p)u(p) =0.On peut alors rsumer nos relations par(/pm)u(p) =0 u(p)u(p) =1(/p+m)v(p) =0 v(p)v(p) =1 (130)avec la condition dorthogonalit u(p)v(p) = v(p)u(p) =0. (131)Il est parfois galement utile de connatre lquation de Dirac pour les spi-neurs conjugus de u et v. On arrive sans trop de peine voir que les qua-tions correspondantes sont u(p)(/pm) =0 v(p)(/p+m) =0. (132)LasolutiongnralelibredelquationdeDiracpeuttrecriteparlinarit sous forme dune intgrale sur p des spineurs u et v. Avec as(p) etbs(p) deux fonctions, on peut crire que(x, t) =

s=1,2_d3p(2)3_as(p)us(p)ei px+bs(p)vs(p)ei px_. (133)Le champ , crit en transforme de Fourier, a alors clairement 4 degrs delibert, deux nergies positives et deux nergies ngatives.Daniel FARQUET EPFL - Physique24Nous allons encore dmontrer une identit qui sera utile par la suite.En notant s, t =1, 2, comme us(p)(/pm) =0, on doit avoir p us(p)ut(p) =mst. Mais pp= m2, il vient alors us(p)ut(p) = pm st(134)et on a de mme vs(p)vt(p) = pm st. (135)Ces deux dernires galits sont des cas particuliers didentits plus gn-rales appeles identits de Gordon.2.5 Limite non relativisteIl est possible de dnir une limite non relativiste de lquation de Dirac,comme nous lavons fait pour Klein-Gordon. Dans ce cas, il existe galementdeux mthodes pour y arriver, dont celle de Foldy-Wouthuysen. Nous choi-sissons lautre mthode qui consiste dvelopper la formulation Hamilto-nienne jusqu lordre 1/m3.On commence par remarquer que lon peut mettre lquation de Dirac(85)sousformeHamiltonienneitD = HD(x)avecDunspineur4composantes etH= m0+0

+qA01. (136)o

=pq

A. Comme pour le cas de Klein-Gordon, on spcie la limite nonrelativiste en disant que les champs sont faibles par rapport la masse etque la variation spatiale des quantits est faible. On va galement chercherdes tats stationnaires sous la formeD(x, t) = eiEt(x), (x) =_1(x)2(x)_(137)avec 1 et 2 deux spineurs deux composantes et lnergie E = m+, m. On peut ainsi rsumer nos hypothses par m, |A0| m, |

A| m et|p| mo les inconnues du problme deviennent 1, 2 et . En choisissantla reprsentation standard pour les matrices , lquation H=E donne(m+)1= (m+qA0)1+

2(138)(m+)2= (mqA0)2+

1(139)On peut alors dvelopper ces relations en considrant les oprateurs commedes nombres, et (139) donne2=12m_1+ qA02m 2m_

1. (140)Daniel FARQUET EPFL - Physique25En remplaant dans lquation (138), on arrive 1=_(

)22m+14m2

(qA0)

+qA0_1(141)Il y a cette fois-ci galement une subtilit lie la normalisation. On sou-haite imposer que la densit de probabilit = DD = soit telle que_d3x =1. Mais comme 2

12m

1, on doit avoir_1_1+(

)24m2_1 d3x. (142)On dnit alors =_1+(

)28m2_1 1=_1(

)28m2_ (143)o lquivalence est vraie lordre 1/m3. De cette manire, on a_d3x =1.La bonne fonction utiliser est donc. En remplaant dans (141) et aprsquelques manipulations, on trouve =_(

)22m(

)48m3+qA0 qA0(

)28m2+14m2

qA0

(

)2qA08m2_.(144)Onpeutcrirecettedernirerelationavecundoublecommutateur. Elleprend alors la forme =_(

)22m(

)48m3+qA018m2_

,_

, qA0___. (145)Pour rendre cette expression plus limpide, on va faire lhypothses que leschamps ne dpendent pas du temps. En utilisant : a

b =a

b+i a

bpour deux vecteurs a et

b quelconques,

=pq

A, [pi, f (x)] =iif (x) pourunefonctionf quelconque,

E =

A0car

Anedpendpasdutemps,et

E = t

B = 0parlquationdeMaxwelletlefaitquilnyaitpasdedpendance temporelle, un calcul long et minutieux permet dcrire H =avecH= (

)22m(

)48m3+qA0q8m2_

E+2 (

E

)_. (146)En pensant au fait que

A =

B, on montre sans trop de difcults que(

)2=

2q

B. En se rappelant que

B est petit et que et

B varientlentement, le Hamiltonien prend nalement la formeH= (pq

A)22m(pq

A)48m3q2m

B+qA0q8m2_

E+2 (

E

)_. (147)Daniel FARQUET EPFL - Physique26Le premier terme est lnergie cintique non relativiste et le deuxime estla premire correction relativiste. On identie ensuite lnergie dinterac-tion dun spin 1/2 (rapport gyromagntique g=2) avec un champ externe. Onen dduit que la thorie de Dirac dcrit des particules de spin 1/2 et im-plique que g =2. Vient ensuite lnergie potentielle dune charge q dans unpotentiel A0. Le termeq8m2

E (148)estappeltermedeDarwinetprovientduZitterbewegungdelaparti-cule que lon tudiera plus loin. En effet, la variation du potentiel A0audeuxime ordre estA0= A0(x+x) A0(x) iA0(x)xi +12ijA0(x)xixj. (149)De plus, le Zitterbewegung est tel que x 1/m et, en supposant que xi =0 mais xixj =13m2i j par isotropie, on trouveA0=q6m2

E (150)A part le facteur 1/6 qui devrait tre 1/8, on retrouve clairement le termecherch. A cause de son identication au Zitterbewegung, le terme de Dar-win na pas danalogie classique.Si lon suppose que

A =0, il reste discuter la partieq4m2

Ep. (151)EnsupposantdeplusqueA0 = A0(r),

E = dA0drrr, etavec

L =r p, cedernier terme devientq4m21rdA0dr

L. (152)On retrouve simplement le terme de spin-orbite qui apparat ici aussi commeun effet relativiste. Il est possible de retrouver cette forme de linteractionde manire exacte en se rappelant que dans le rfrentiel de la particule unchamp magntique existe (car il faut faire un boost), bien que

A = 0 dansle rfrentiel au repos. On peut ensuite calculer lnergie dinteraction de laparticule avec le champ en prenant garde au fait quun effet li la rotationdu rfrentiel propre (prcession de Thomas) induit une correction cettenergie. Pour de plus amples informations, la discussion dtaille de la pr-cession de Thomas est traite dans [4] et sa rpercussion travers le termede spin-orbite est calcule dans [1].Daniel FARQUET EPFL - Physique272.6 Atome dhydrogneLe spectre de latome dhydrogne est un problme bien connu de la m-canique quantique non relativiste. Comme nous avons crit un Hamiltonieneffectif la limite non relativiste de la thorie de Dirac, il est possible decalculer les changements que cela implique sur le spectre de latome dhy-drogne.On pose un champ magntique nul, i.e.

A = 0, et un potentiel Coulom-bien : qA0=ravec =1/137. En utilisant (152) et en dnissant lopra-teur de spin par

S =/2, le Hamiltonien peut scrireH=p22mr. .H0p48m3q8m2

E+12m2r3

S

L. (153)Le spectre de H0 est connu, cest celui de latome dhydrogne et on traitelesautrestermesenperturbation.Silonconsidreltatnletquelonnote la moyenne sur cet tat, le calcul que lon avait fait dans le cas deKlein-Gordon peut tre repris, et on a(E)nlp4=_p48m3_=m42n3_1l +1234n_. (154)En sachant que 2 1r =4(r), le terme de Darwin donne la contribution(E)nlDarw= q8m2

E = 48m2(r)=2m2l0|n0(0)|2=2m2l0m33n3=m42n3l0. (155)Pour calculer la contribution du spin-orbite, on va considrer loprateur demoment angulaire total

J =

L+

S (156)quipeutprendrelavaleur j = l +1/2ouj = l 1/2. Enremarquantque2

S

L =

J2

L2

S2, on a(E)nlso=4m2r3(

J2

L2

S2). (157)Mais comme

J2

L2

S2=_l sij = l +12(l +1) sij = l 12et r3 =3m3n3l(l +1)(l +12)(158)Daniel FARQUET EPFL - Physique28il vient(E)nlso=m42n3(2l +1)_(l +1)1sij = l +12l1sij = l 12(159)Le spectre de H0tant Enl = m22n2 , on peut nalement combiner tous lestermes pour trouver que le spectres des nergies nl de H estnl=m22n2_1+2n2_nj +1234_+. . ._(160)On observe alors que lnergie dpend seulement dej et est indpendantede l. On remarque aussi que le shift nl par rapport lnergie de masse a lamme forme que le shift du cas de Klein-Gordon, quation (40), mais avec leremplacement de l +12 parj +12. Cette diffrence parat petite, mais elle estfacilement mesurable et des expriences sur latome dhydrogne imposentque llectron doit avoir spin 1/2.Il est galement possible de trouver une solution exacte ce problmede latome dhydrogne, comme il fut le cas avec les atomes msoniques delquation de Klein-Gordon. Dans [1] ou encore [6], il est dmontr queEnj= m__1+2_n+s _j +12_2___1/2. (161)On peut, dans ce cas galement, utiliser le thorme du viriel pour voir quele paramtre dexpansion doit tre2et un dveloppement limit permetde retrouver immdiatement la solution perturbative. La leve de dgn-rescence par rapport latome dhydrogne, symbolise par lapparition de jdans la formule pour Enj, sappelle la structure ne de latome dhydrogne.On remarque quil y a toujours une dgnrescence enj, tant donn quel +1/2 =(l +1) 1/2.2.7 Lamb shiftLasolutionexacte(161)pourlatomedhydrognedevraittreenac-cord avec lexprience, tant donn que les effets relativistes ont t prisen compte. Il se trouve que la dgnrescence enj que prdit lquation deDirac nest pas observe, car il existe un shift entre les tats 2S1/2 et 2P1/2.Cet effet peut se comprendre car on a trait le champ lectromagntiquecomme un champ classique et non comme un champ quantique compos dephotons. Pour un traitement rigoureux, il faudrait quantier le champ ettraiter le problme dans le cadre de la thorie quantique des champs.Malgr cela, il est possible, par des arguments heuristiques, dobtenirune formule reproduisant ce shift, le Lamb shift. Pour cela, considrons unDaniel FARQUET EPFL - Physique29atome dhydrogne sans prsence de photons. Le vecteur dtat est alors|nl|0 (162)o |0 signie quil y a 0 photon prsent, i.e. que le champ lectromagntiqueest dans son ground state. Si lon quantiait le champ, on trouverait que sonnergie serait_012_

E2+

B2_0_=

modes12k=_d3k(2)3k=122_03d (163)o lon a utilis le fait quek = k pour un photon. Cette quantit diverge,comme cest toujours le cas pour lnergie du vide en thorie quantique deschamps. Gardons toutefois cette quantit car nous ferons un cut off par lasuite. Comme pour un champ de radiations on a

E2=

B2, on trouve que_0E20_=122_03d. (164)Onobservequelauctuationduchampestnonnulle. Cetteuctuationva alors faire bouger llectron qui va suivre le champ. Ainsi, son nergiepotentielle sera affecte. Son nergie cintique sera aussi affecte, mais onva ignorer cet effet.Pour les trs hautes frquences des uctuations du champ, on va ignorerlnergie de liaison et traiter llectron classiquement. Soitrle dplace-ment de llectron de son orbite dquilibre. Alors,m d2dr2r = q

E. (165)En passant dans lespace de Fourier, on peut crire quex(t) =_Rd2eitx() et Ex(t) =_Rd2eitEx() (166)avec Ex() =Ex() et x() =x() car ces deux quantits sont relles.Lquation du mouvement impliquex() =qm2Ex(). (167)Considrons maintenant la valeur moyenne de (x)2sur un long temps T(x)2 =1T_T2T2dtx(t)x(t) 1T_Rd2x()x() (168)car on est pass dans lespace de Fourier et on a approxim _T/2T/2dt exp[i( )t] par 2( ). On a alors(x)2 =1Tq2m2_Rd214Ex()Ex(). (169)Daniel FARQUET EPFL - Physique30En identiant moyenne temporelle et moyenne quantique pour

E2, il vientE2x = 13

E2 1T_Rd2Ex()Ex() =2T_0d2Ex()Ex() =162_03d(170)ce que lon va reprsenter au travers de1TEx()Ex() =163. (171)Puisque = e2/4, on a(r)2 =3(x)2 =2m2_0d. (172)Il est maintenant temps de faire un cut off pour rendre cette dernire in-tgrale convergente. On sattend ce que llectron ne puisse pas rpondre des frquences plus basses que lnergie de liaison atomique. On prendainsiminERydberg= 2m2. (173)Etant donn que nous navons pas considr les effets relativistes, on doitgalement sattendre un cut off pour les hautes frquences :max m. (174)Finalement, la uctuation devient(r)2 =2m2 lnmaxmin. (175)Leffet moyen de cette uctuation sur lnergie potentielle scritE =qA0. (176)Comme on suppose que r = 0 et que rirj =13i j(r)2, le dvelop-pement fait lors de ltude de la limite non relativiste, quation (149), nouspermet dcrireE = 16(r)2q2A0. (177)Etant donn que qA0=ret que 2 1r =4(r),E = 164(r)2(r). (178)Cette expression devant tre regarde comme un perturbation dans le Ha-miltonien de latome, la moyenne de la fonction delta doit tre prise sur unDaniel FARQUET EPFL - Physique31tat propre nl de latome dhydrogne, ce qui donneE =46(r)2|(0)|2=423m2|(0)|2lnmaxmin=4m53lnmaxmin_1n3pour les tats S0 sinon(179)On peut faire une estimation numrique parE2S1/22P1/2= m56ln22 1.6109Hz. (180)Le rsultat que nous venons de trouver a le bon signe et le bon ordre degrandeur !Eneffet, lapremirevaleurmesureparLambetRetherfordtaitE2S1/22P1/2=1057.80.1 MHz. (181)En quantiant le champ lectromagntique, il nest pas trop difcile dob-tenir un rsultat en meilleur accord que celui que nous avons trouv. Uncalcul sophistiqu de thorie quantique des champs du Lamb shift par Feyn-man, Schwinger et Tomanaga a trouv un rsultat en accord prcis avec lesvaleurs mesures, ce qui leur valut un prix Nobel.Finalement, mentionnons tout de mme quil existe encore un effet quenous navons pas pris en compte lors de ltude du spectre de latome dhy-drogne.Enplusdescorrectionsrelativistes(structurene)etdeseffetsquantiques du champ lectromagntique (Lamb shift), il faudrait tenir comptede linteraction du moment magntique de llectron avec le spin du proton(structure hyperne). Comme il ny a conceptuellement aucun lment nou-veau apparaissant dans ltude de la structure hyperne, nous ne traiteronspas cet effet dans ce document.2.8 ZitterbewegungLeffetdetremblementdelatrajectoire, leZitterbewegung, quenousavons mis en avant dans ltude de lquation de Klein-Gordon, existe aussipour les patricules de spin 1/2 dcrites par lquation de Dirac. Nous allons,cette fois-ci galement, nous attarder un peu sur cet effet.LorsdeltudeduZitterbewegungquimpliquaitlquationdeKlein-Gordon, nous nous tions concentrs sur une preuve faisant intervenir lavision de Heisenberg (les oprateurs voluent). Il est bien videmment pos-sible de refaire le mme type de calculs dans le cas de Dirac et de trouverDaniel FARQUET EPFL - Physique32une expression explicite pour loprateur position. Dans ce cas, on trouve-rait (voir [1] ou [7])x(t) =x0+ptH _0pH_ e2iHt12iH(182)o le Hamiltonien est la version libre de (136), i.e.H= m0+0p. (183)On remarque que cette forme de loprateur position est exactement la mmeque celle qui avait t obtenue lquation (54) pour le cas de Klein-Gordon.On identie cette fois aussi une partie de translation vitesse constanteainsi quune partie oscillante, le Zitterbewegung.Nous aimerions complter la discussion par une tude plus prcise quece qui avait t fait avec lquation de Klein-Gordon pour la moyenne deloprateur position dans la vision de Schrdinger. Considrons un paquetdondes libre du type (133) o nous modions la dnition des prfacteursdes exponentielles(x, t) =

s_d3p(2)3_cs(p)_ mEpus(p)ei px+ds(p)_ mEpvs(p)ei px_. (184)En utilisant les proprits des spineurs u et v dont nous avons parl lasection 2.4, en particulier les quations (134) et (135), on a0 =_d3x(x, t)0(x, t)=_d3p(2)3

s,t_|cs(p)|2stpEp+|ds(p)|2stpEp+ dt (p)cs(p) mEpvt(p)0us(p)e2iEpt+ cs(p)dt(p) mEpus(p)0vt(p)e2iEpt_. (185)Mais commeddtx = i_H,x_=0 (186)on peut intgrer lexpression de 0 et on trouvex(t) = x0 +_d3p(2)3

s_ptEp(|cs(p)|2+|ds(p)|2)+

t_dt (p)cs(p)im2E2p(e2iEpt1) vt(p)us(p) cs(p)dt(p)im2E2p(e2iEpt1) us(p)vt(p)__(187)Daniel FARQUET EPFL - Physique33On retrouve, encore une fois, un mouvement vitesse uniforme du paquetaccompagn dune oscillation rapide une frquence 2m. On voit ga-lement que lamplitude du mouvement oscillatoire est telle que x 1/m etque le Zitterbewegung est d aux interfrences entre la partie nergiespositives et la partie nergies ngatives.2.9 AntiparticulesComme nous lavons dj fait, on va prendre un exemple concret qui per-met de se rendre compte que la thorie contient intrinsquement plusieursparticules.Soit une particule de massem et nergieE =_p2+m2incidente surune marche de potentielV(x) =V0(x) = qA0(x). (188)On suppose que le paquet dondes incident est compos dnergies positivesuniquement. La solution au problme prend la forme(x) =_ Au(p)ei px+

Bu(p)ei pxsi x 0 q =_(EV0)2m2(189)Il faut imposer la continuit de la fonction donde enx = 0. La drive dela fonction nentre pas en jeu, tant donn que lquation de Dirac est dupremier degr et que le courant de probabilit ne dpend pas des drives dela fonction donde. En utilisant la forme explicite des spineurs u, lanalyse,composante par composante, nous impose de rsoudre le systmeA+B=_EV0+mE+mCAB=qpE+mEV0+m_EV0+mE+mC. (190)On peut rsoudre ce systme et les coefcients de transmission et rexionT et R scriventR =BA2=1r1+r2(191)T =qpCA2=4r|1+r|2(192)avecr = qpE+mEV0+m =_E+mEV0+m_EV0mEm. (193)Il y a alors 3 cas examiner :Daniel FARQUET EPFL - Physique341. 0 V0 Em : Lnergie cintique est plus grande que la barrire.Dans ce cas q est rel et positif et on a r =|r|.T =4|r|(1+|r|)2 [0, 1], R =_1|r|1+|r|_2 [0, 1] R+T =1. (194)Londeincidenteestpartiellementrchieetpartiellementtrans-mise , comme en mcanique quantique non relativiste.2. EmV0E+m : Dans ce cas, q devient imaginaire et on a r = i|r|.De plus,T =0, R =1, R+T =1. (195)Londe incidente est totalement rchie, ce qui est analogue au casnon relativiste.3. E+mV0 : Dans ce cas, q redevient rel, mais il faut le choisir ngatifpour que R+T =1, et alors r =|r|. Et,R =_1+|r|1|r|_2>1, T =4|r|(1|r|)2 1 et T