PRAKTIKUM II

PERSAMAAN NON LINIER METODE TERTUTUP (BISEKSI

DAN REGULA FALSI)

I. Dasar Teori

Masalah persamaan non linier umumnya ditujukan untuk mencari akar

persamaan. Penyelesaian masalah persamaan tak linier bersifat iteratif,

dilakukan berulang-ulang sehingga konvergensi tercapai. Suatu fungsi f(x)

terdefinisi dan diketahui sebuah range . Fungsi f(x) akan mempunyai akar

bila  dan  berlawanan tanda atau memenuhi.

Pada saat awal pembuatan program harus didefinisikan terlebih dahulu

toleransi perhitungan yang diperkenankan serta bentuk kriteria konvergensi

yang digunakan. Salah satu dari 2 kriteria konvergensi berikut dapat

digunakan untuk mengevaluasi roses iterasi :

i. |xi-xi-1| < toleransi

ii. |f(x)| < toleransi

Bentuk umum persamaan tak linier variabel tunggal adalah :

f(x)=0

Ada beberapa metode komputasi yang dapat digunakan utuk

menyelesaikan masalah yang melibatkan persamaan tak linier, diantaranya :

a. Metode biseksi

Disebut juga metode Pembagian Interval atau metode yang

digunakan untuk mencari akar-akar ersamaan nonlinier melalui proses

iterasi dengan persamaan :

x0=x1+x2

2

Dimana nilai f(x1) dan nilai f(x1) harus memenuhi persyaratan

1

f(x1) * f(x2) < 0

Dari nilai x0 ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar.

Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila f(x1) dan

f(x2) berlawanan tanda atau dituliskan . Setelah diketahui dibagian

mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas di perbaharui

sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar.

Asumsi awal yang harus diambil adalah: ‘menebak’ interval awal

[a,b] dimana f(x) adalah kontinu padanya, demikian pula harus terletak

‘mengapit’ (secara intuitif) nilai akar a,

Gambar pencarian akar menggunakan metode biseksi

b. Metode Regula Falsi

Disebut juga metode Interpolasi Linier yaitu metode yang

digunakan untuk mencari akar-akar persamaan nonlinier melalui proses

iterasi dengan persamaan :

xo=x1 f ( x2 )−x2 f (x1 )f ( x2 )−f (x1 )

Seperti halnya metode biseksi, metode ini bekerja secara iterasi

dengan melakukan update range. Kecepatan atau laju konvergensi dari

Metode Regula-Falsi sama dengan Metode Bisection, yaitu

‘konvergensi linier’, namun dengan faktor pengali (konstanta) yang

lebih besar dari 1 2 (factor pengali berkisar antara 1/ 2 … 1).

Asumsi awal yang harus diambil adalah sama seperti pada Metode

Bisection, yaitu: ‘menebak’ interval awal [a,b] dimana f(x) adalah

2

kontinu padanya, demikian pula interval tersebut harus terletak

‘mengapit’ (secara intuitif) nilai akar a,

Gambar metode regula falsi dapat digambarkan sebagai berikut :

3

II. Listing

Function Listing

Perhitungan

4

III. Flow Chart

a. Biseksi

5

b. Regula Falsi

6

IV. Tugas

a. Soal

Blood behaves as a non-Newtonian fluid, and can be modeled as a

“Casson fluid”. This model predicts that unlike simple fluids such as

water, blood will flow through a tube such that the centrel core will

move as a plug with little deformation, and most of the velocity

gradient will occur near the vessel wall. Tha following equation is used

to describe the plug flow of a Casson fluid :

F (ξ )=1−167√ξ+ 4

3ξ− 1

21ξ4

Where F measures the reduction in flowrate (relative to a

Newtonian fluid) experienced by the Casson fluid for a given pressure

gradient and ξgives an indication of what fraction of the tube is filled

with plug flow. For a value of F=0.40, determine the corresponding

value of ξ. Use a starting guess ξ = 0,05 and a second starting guess of

0,15.

b. Jawaban

Listing yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan diatas

sama dengan listing yang ada pada bagian listing, tetapi perbedaannya

hanya pada function listing karena listing perulangannya masih tetap

sama. Listing function penyelesaian dari soal diatas dapat ditulis seperti

gambar dibawah

7

Pada soal tertulis F (ξ )=1−167√ξ+ 4

3ξ− 1

21ξ4

bisa berubah menjadi

listing diatas karena diketahui pada soal bahwa F=0.4 kemudian

disederhanakan menjadi F (ξ )=0.6−167√ξ+ 4

3ξ− 1

21ξ4

. Tertulis di

listing fungsi yang awalnya f(ξ) berubah menjadi y. Ini hanya

tergantung inisialisasi yang kita ingin tuliskan ada coding kita. Pada

listing diatas √ξdiubah menjadi “sqrt(x)” agar program Marlab dapat

membaca rumus fungsi yang sudah kita tulis. Karena jika kita menulis

x12 maka tidak bisa keluar hasil sesuai yang kita inginkan.

Untuk listing rumus yang berisi perulangan semuanya sama seperti

yang dilakukan saat praktikum. Disini saya akan membahas sedikit

secara runtut dari awal sampai akhir. Pada program yang saya buat,

pengguna program dapat memberi input batas atau tebakan awal dan

tebakan kedua pada program ini. Untuk banyaknya iterasi yang ingin

pengguna lakukan juga bisa disesuaikan keinginan pengguna.

Kemudian ketika pengguna menginputkan tebakan awal dan akhir,

program langsung menghitung ke dalam fungsi yang sudah diprogram

dari awal. Jika hasil fungsi keduanya dikalikan dan hasilnya > 0

tidak memiliki hasil. Tetapi jika hasilnya < 0, akan memproses

perhitungan dimana akan menghasilkan nilai tengah (yang baru)

disebut xc. Lalu xc itu menjadi pengganti dari salah satu xa atau xb

yang kita inisialisasi pertama sebagai tebakan kita. Kemudian begitu

selanjutnya hingga didapat nilai xa=xc.

Lalu kita juga menghitung batas error sampai ke iterasi berapa

program ini looping. Karena semakin kecil error nya maka hasil iterasi

atau looping program ini semakin banyak karena program mencari

sampai batas yang mendekati error. Tidak lupa kita menampilkan

hasilnya yaitu iterasi ke berapa saja, akar, serta xa dan xb. Tidak lupa

juga error terakhir yang keluar pada iterasi ke berapa kita berhenti.

8

c. Output

Setelah listing sudah selesai yang berupa function dan perulangan

kemudian di Run (dengan menekan F5) maka akan muncul dalam

command window seperti gambar dibawah ini.

d. Tugas

1. Tentukan a value of ξ pada kasus diatas menggunakan metode

biseksi ?

Jawab :

ξ menyatakan simbol dari sebuah persamaan, dikarenakan soal

membahas tentang fluida sehingga disimbolkan dengan ξ. Tetapi

itu hanya sebatas simbol, untuk coding kita bisa mengubah simbol-

simbol itu sesuka kita asalkan kita memakainya benar. Jika kita

sudah menggunakan simbol itu, maka akan berlanjut ke coding-

coding selanjutnya.

9

2. Selesaikan problem diatas menggunakan metode regula falsi !

Dan hasilnya sebagai berikut :

10

Untuk fungsi karena disoal harus sesuai dengan soal, maka saya

tidak menyertakan fungsi karena sama dengan bab (a). Disini untuk

coding rumus saya menggunakan cara yang sama dengan biseksi hanya

rumus saja yang diubah sesuai dengan rumus regula falsi yang ada pada

dasar teori. Perbedaan antara regula falsi dan biseksi terletak pada

jumlah iterasi nya. Ketika diberi batas error 0.00001, pada regula falsi

di iterasi ke 8 sudah mendekati batas error tersebut. Lain halnya dengan

biseksi, pada iterasi ke 10 belum mendekati error. Ini menunjkkan

bahwa regula falsi lebih cepat mendapatkan nilai konvergen jika

dibandingkan dengan biseksi.

Sedangkan untuk perhitungan secara manual lebih mudah

menggunakan biseksi, karena rumusnya memudahkan untuk dihitung

secara manual. Untuk hasilnya perbedaan terletak pada X1 di regula

falsi, karena pada X1 hasilnya sama yaitu 0.05 yang menunjukkan batas

bawah dari input yang kita masukkan. Lain halnya dengan metode

biseksi, pada X1 dan X2 terlihat nilai yang berbeda karena dalam

perhitungan normal ini juga berpengaruh.

Tetapi seharusnya jika menggunakan metode yang berbeda

harusnya mendapatkan hasil yang mirip, mungkin beda 4 angka di

belakang koma. Tetapi saya belum menemukan cara bagaimana

mendapatkan hasil yang bisa sama dengan biseksi. Tetapi saya yakin

pasti jawabannya akan sama dengan biseksi. Mungkin coding yang saya

gunakan ada yang kurang atau ada peletakan dari flowchart yang salah.

3. Analisis Kelemahan dan kelebihan metode biseksi dan regula

falsi!

Kelemahan :

Regula Falsi : Untuk mendapatkan akarnya lebih lambat

mencapai konvergen, tetapi jika dibandingkan dengan biseksi

lebih cepat. Ini dibuktikian pada persoalan diatas. Tidak hanya

itu , rumus yang digunakan untuk mendapatkan akar dengan

metode ini lebih rumit jika dibandingkan dengan biseksi.

11

Biseksi : Hasil akar yang didapatkan cenderung lebih lambat

mencapai titik konvergen jika dibandingkan dengan metode

lainnya. Karena perhitungan rumus yang cukup simpel jadi ke

konvergenan nya cukup lama. Dan metode ini tidak bisa

menggunakan fungsi kompleks.

Kelebihan :

Regula Falsi : Hasil konvergen terjamin, ini dibuktikan dengan

titik error yang diberikan pada insialisasi dan nyatanya pada

akhir program error yang dicapai mendekati error yang

diinginkan. Ini membuktikan bahwa tingkat ke konvergenan

hasil akar tersebut bisa cukup akurat.

Biseksi : Rumus yang digunakan untuk mendapatkan hasil akar

cukup simpel jika dibandingkan dengan rumus lainnya. Jika

perhitungan manual akan memudahkan. Hasil yang didapatkan

juga cukup akurat untuk mencapai konvergen. Ini bisa

ditunjukkan pada titik error.

Daftar Pustaka

http://ekonanya.blogspot.com/2012/03/metoda-iterativ.html

http://wa24z.wordpress.com/2012/05/12/metode-bisection-dan-regula-falsi/

12