persamaan linier lingkaran elips

7/22/2019 Persamaan Linier Lingkaran Elips

1/57

Dr. Wawan Budianta

Jurusan Teknik Geologi

UGM

PERSAMAAN LINIER DAN

NON LINIER


2/57

PERSAMAAN:

Hubungan Linear


3/57

Materi yang dipelajari Penggal dan lereng garis lurus Pembentukan Persamaan Linear

- Cara dwi- kordinat

- Cara koordinat- lereng

- Cara Penggal lereng- Cara dwi- penggal

Hubungan dua garis lurus

Pencarian Akar- akar persamaan linear

- Cara substitusi- Cara eliminasi

- Cara determinan


4/57

PENGGAL DAN LERENG GARIS LURUS

fungsi linear atau fungsi berderajat satu ialahfungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya

adalah pangkat satu.

Bentuk umum persamaan linear adalah y = a + bx

a adalah penggal garisnya pada sumbu vertical -

y, sedangkan b adalah koefisien arah atau lereng

garis yang bersangkutan.


5/57

a: penggal garisy= a + bx, yakni

nilaiypadax = 0

b: lereng garis, yakni

padax = 0,

padax = 1,padax = 2,

lereng fungsi linear selalu konstan

bxy /

bxy /bxy /

a

1 2 3 4 5 x

y

xy=b

b

b

b

b


6/57

Dalam kasus- kasus tertentu, garis dari sebuah

persamaan linear dapat berupa garis horizontalsejajar sumbu -xatau garis vertical sejajar sumbu -

y.

Hal ini terjadi apabila lereng garisnya sama dengan

nol, sehingga ruas kanan persamaan hanya tinggalsebuah konstanta yang melambangkan penggal

garis tersebut.


7/57

y = a berupa garis lurussejajar sumbu

horizontal x, besar

kecilnya nilai x tidak

mempengaruhi nilai y

x = c berupa garis lurus

sejajar subu vertikal y,

besar kecilnya nilai y

tidak mempengaruhinilai x

y

x

a

c0

x=c

y=a


8/57

PEMBENTUKAN PERSAMAAN LINEAR

Pada prinsipnya persamaan linear bisadibentuk berdasarkan dua unsur. Unsurtersebut dapat berupa penggal garisnya,lereng garisnya, atau koordinat titik- titik

yang memenuhi persamaannya. empat macam cara yang dapat ditempuh

untuk membentuk sebuah persamaan linear

1. cara dwi- koordinat

2. cara koordinat- lereng3. cara penggal- lereng

4. cara dwi- penggal


9/57

Cara Dwi- Koordinat

Apabila diketahui dua buah titik A dan B dengankoordinat masing- masing (x1, y1) dan (x2, y2),

maka rumus persamaan linearnya adalah:

12

1

yy

yy

=

12

1

xx

xx

y

x0

A (x1, y1)

B (x2, y2)


10/57

Cara Koordinat- LerengApabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat

(x1, y1) dan lereng garisnya adalah b, makarumus persamaan linearnya adalah:

b = lereng garisyy1 = b (xx1)


11/57

Cara Penggal- Lereng

Sebuah persamaan linear dapat pula dibentukapabila diketahui penggalnya pada salah satu

sumbu dan lereng garis yang memenuhi

persamaan tersebut.

y = a + bx

(a= penggal, b= lereng)


12/57

Cara Dwi-Penggal Sebuah persamaan linear dapat dibentuk apabila

diketahui penggal garis tersebut pada masing- masingsumbu,o penggal pada sumbu vertical (ketikax= 0)o penggal pada sumbu horizontal (ketika y= 0).

Apabila a dan cmasing-masing dalah penggal padasumbu- sumbu vertikal dan horizontal dari sebuah garis

lurus, maka persamaan garisnya adalah :xc

aay

a = penggal vertikalb = penggal horizontal

y

x0

A P

b

B

c

1 2 3 4 5 6

a1

2


13/57

Lereng sebuah garis lurus tak lain adalah hasil

bagi selisih antara dua ordinat(y2 y1) terhadap

selisih antara dua absis (x2 - x1). Menurut caradwi koordinat, rumus persamaan linear adalah :

12

1

12

1

xx

xx

yy

yy


14/57

Bila di uraikan :

12

12

11

1

12

121

12

1

121

berarti

)(

:lereng-koordinatcaramenurutsedangkan

xx

yyb

xxbyy

xx

xx

yyyy

xx

xx

yyyy


15/57

HUBUNGAN DUA GARIS LURUS

Dalam sistem sepasang sumbu silang, dua buahgaris lurus mempunyai empat macam

kemungkinan bentuk hubungan yang :

berimpit,

sejajar,

berpotongan

dan tegak lurus.


16/57

Berimpit :

y1 = ny2

a1 = na2

b1 = nb2

Sejajar :

a1 a2

b1 = b2


17/57

Berpotongan :

b1 b2

Tegak Lurus :

b1 = - 1/b2


18/57

PENCARIAN AKAR- AKAR

PERSAMAAN LINEAR

Pencarian besarnya harga bilangan- bilangan

anu dari beberapa persamaan linear, dengan

kata lain penylesaian persamaan- persamaan

linear secara serempak (simultaneously),

dapat dilakukan melalui tiga macam cara :

cara substitus

cara eliminasi cara determinan


19/57

Cara Substitusi Dua persamaan dengan dua bilangan anu

dapat diselesaikan dengan caramenyelesaikan terlebih dahulu sebuahpersamaan untuk salah satu bilangan anu,kemudian mensubstitusikannya ke dalam

persamaan yang lain. Contoh : Carilah nilai variable- variable x dan

y dari dua persamaan berikut: 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23

untuk variabel x, diperoleh x = 23-4y 2x + 3y = 21 2(23 4y) + 3y = 21 46 8y + 3y = 21

46 5y = 21, 25 = 5y, y = 5


20/57

Cara Eliminasi

Dua persamaan dengan dua bilangan anu dapatdiselesaikan dengan cara menghilangkan untuk

sementara (mengeliminasi) salah satu dari

bilangan anu yang ada, sehingga dapat dihitung

nilai dari bilangan anu yang lain.

5,255

4682

2132

2

1

234

2132

yy-

yx

yx

yx

yx


21/57

Cara Determinan Cara determinan bisa digunakan untuk menyelesaikan

persamaan yang jumlahnya banyak.

Determinan secara umum dilambangkan dengan notasi

afhdbigecchdbfgaei

ihg

fed

cb

ed

ba

a

3derajaddeterminan

db-ae

2derajaddeterminan


22/57

Ada 2 persamaan :

ax + by = c

dx + ey = f

Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan :

dbae

dcaf

ed

ba

fd

ca

D

Dyy

dbae

fbce

ed

ba

ef

bc

D

Dxx

Determinan


23/57

Contoh :

2x + 3y = 21

dx + 4y = 23

Penyelesaian untuk x dan y dapat dilakukan :

55

25

41

32

231212

35

15

41

32

423

321

D

Dyy

D

Dxx


24/57

PERSAMAAN:

Hubungan Non-linear

P d P t k li i i kit k


25/57

Pada Pertemuan kali ini, kita akan

mempelajari .

Fungsi kuadrat

- Identifikasi persamaan kuadrat

- Lingkaran

- Elips- Hiperbola

- Parabola


26/57

Persamaan Berderajat Dua

Polinom atau suku banyakpada variabelxdilambangkan dengan P(x), mengandung suku-sukuKxn, dimana K= konstanta, dan n merupakan bilanganbulat.

Bentuk umum polinom berderajat n adalah :P(x) = a0 + a1x + a2x

2 + a3x3+ . + anx

n

Kedua suku pertama P(x) adalah juga berbentuk Kxn,karena dapat ditulisa0x

0dana1x1


27/57


Kalau polinom berderajat n disamakan nol makadiperoleh persamaan berderajat n dalam x.

a0 + a1x + a2x2 + a3x

3+ + anxn = 0

Buat n = 2, maka diperoleh persamaan derajat

dua dalam x :a0 + a1x + a2x

2 = 0

Yang sering juga ditulis :

ax2 + bx + c = 0


28/57


2

22

2

2

2

22

2

2

4

4

2

44

:arbujursangkanmelengkapkdinamakanyang

caradengandipecahkandapatiniPersamaan

0

:memberikandenganpembagian0dengan0

a

acb

a

bx

a

c

a

b

a

b

xa

b

x

a

cx

a

bx

aacbxax

r


29/57


a

cxx

a

bxx

a

acbbx

a

acbbx

a

acbb

x

a

acb

a

bx

yry

2121

2

2

2

1

2

2

2

2

:adalahkalinyahasildanJumlah

kuadrat.persamaanakardinamakan

2

4

2

4

:yaituinijawabanKedua

2

4

4

4

2

:sehinggar,maka,Kalau


30/57

Persamaan Berderajat Dua Polinom atau suku banyak pada variabel x dan y

yang dilambangkan P(x,y) ialah ungkapan yangmengandung suku Kxrys, dimana K=konstanta, r dans = bilangan bulat.

Harga tertinggi (r+s) suatu suku P(x,y) dinamakanderajat polinom itu.

Jika P(x,y) berderajat n=0 Ax + By + C = 0 (grafikberupa garis lurus)

Bentuk umum persamaan derajat dua x dan y:Ax2+ Bxy + Cy2+ Dx + Ey + F = 0

(Grafik persamaan ini adalah sebuah potongankerucut yaitu : lingkaran, elips, parabola dan

hiperbola)


31/57

Gambar Potongan Kerucut

Lingkaran

Elips

Parabola

Hiperbola


32/57

Identifikasi Persamaan Kuadrat

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Jika B = 0 dan A = C 0 lingkaran

Jika B2 4AC < 0 Elips

Jika B2 4AC > 0 Hiperbola

Jika B2 4AC = 0 Parabola

Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Jika A = C 0 lingkaran

Jika A C, tanda sama elips Jika A dan C berlawanan tanda Hiperbola

Jika A=0 atau C=0, tapi tidak keduanyaparabola


33/57

PERSAMAAN LINGKARAN


34/57

Hal.: 34IRISAN KERUCUT

LINGKARAN DIDEFINISIKAN SEBAGAI

HIMPUNAN TITIK TITIK YANG BERJARAK

TETAP TERHADAP TITIK TERTENTU,

DIMANA TITIK TERTENTU TERSEBUT

DISEBUT SEBAGAI PUSAT LINGKARAN

DAN JARAK YANG TETAP DISEBUT JARI -

JARI

Persamaan lingkaran


35/57


o

r

Persamaan Lingkaran


36/57

Hal.: 36 IRISAN KERUCUT

Persamaan LingkaranPersamaan Lingkaran Berpusat di Titik O(0,0) dan

Berjari-jari r

Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik P(a,b) dan

Berjari-jari r

Persamaan Lingkaran


37/57


o

r

T (x,y)

OT = r

x + y = r2 2 2

( x2 - x1) + ( y2 - y1) = r2 2

( x - 0) + ( y - 0) = r2 2X

Y


38/57


Persamaan Lingkaran


39/57


Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di

titik O (0,0) dan :

a. berjari-jari 2b. melalui titik (3,4)

Soal Latihan

Persamaan lingkaran


40/57


P (a,b )

r T (x,y)

PT = r

(x-a) + (y-b) = r2 22

( x2 - x1) + ( y2 - y1) = r2 2

( x - a) + ( y - b) = r2 2

O X

Y


41/57


Persamaan Lingkaran


42/57


Tentukan persamaan lingkaran jika :

a. Berpusat di titik P (3,2) dan berjari-jari 4

b. Berpusat di titik Q (2,-1) dan melalui titik R(5,3)

Soal Latihan

Persamaan lingkaran


43/57


Elips

Pengertian Elips

Elips adalahtempat kedudukan titik-titik pada bidang

datar yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentuyang diketahui adalah tetap (konstan).


44/57


Perhatikan Gambar Elips

Elips

Unsur-unsur pada elips:

1. F1 dan F2 disebut fokus.

Jika T sembarang titik pada elips makaTF1 + TF2 = 2a, F1F2 = 2c, dengan 2a >

2c.

2. A1A2 merupakan sumbu panjang

(mayor)= 2a. B1B2 merupakan sumbu

pendek (minor) = 2b, karena itu a > b.

bB1

a

T

A2

E

D

A1

B2

(0,-b)

(0,b)

F1 F2P (c, 0)(- c, 0)

K

L

Lanjut

Unsur-unsur elips


45/57


Elips

Lanjutan Elips

3. Latus Rectum yaitu segmen garis yang dibatasi elips, tegak lurus sumbu mayor

dan melalui fokus (DE dan KL), panjang Latus RectumDE = KL =

4. Titik pusat (P) yaitu titik potong sumbu mayor dengan sumbu minor.

5. Titik puncak elips yaitu titik A1, A2, B1, B2.

a

b2

2


46/57


Elips

1. Persamaan Elips yang berpusat di O(0,0)

Persamaan Elips : TF1 + TF2 = 2a

+ = 2a

= 2a -

Mengkuadratkan ruas kiri dan kanan sehingga

diperoleh

)0,(1 aA )0,(2 aA

),0(1 bB

),0(2 bB

),( yxT

(a2- c2) x2 + a2y2 = a2(a2-c2) . . . (i), jika titik T pada titik puncak pada sumbu minor

(0,b) maka diperoleh . b2 =a2 c2 . . . . (ii)

22)( ycx 22)( ycx

22)( ycx 22)( ycx

Persamaan (ii) disubstitusikan ke persamaan (i) sehingga diperoleh:

Persamaan Elips

12

2

2

2

b

y

a

x

Eli


47/57


Elips

Contoh

Tentukan persamaan elips dengan titik puncak (13,0) dan fokus F1(-12, 0) dan

F2(12,0).

Jawab:

Diketahui pusat elips O(0,0)Titik puncak (13,0) a = 13

Titik fokus (-12,0) dan (12,0) c = 12

Sumbu utama adalah sumbu X, sehingga persamaannya:

125169

1513

22

2

2

2

2

yx

atauyx


48/57


Elips

1)()(

2

2

2

2

b

ny

a

mx

2.Persamaan elips yang bertitik pusat P (m,n)

a. Persamaan elips dengan titik

pusat (m, n):

b. Sumbu utamanya (sumbu) y = n,

dengan panjang2a dan sumbuminornya adalah sumbu x = n, dengan

panjang 2b.

3.Titik fokus F1(m-c, n) dan F2( m + c, n )

4. Titik puncak A(m-a, n) dan B ( m + a, n )

5. Panjang lactus rectum (LR) = dengan 222 cab

a

b22

O

B

C

D

P(m,n)

X= m

X

Y

A F1 F2

m

Eli


49/57


Elips

Contoh:

Tentukan persamaan elips dengan fokus F1(1,3) dan F2(7,3) dan puncaknya

(10,3).

Fokus (1,3) dan (7,3) = m-c = 1, m + c = 7 dengan eliminasi diperoleh m=4

dan c= 3

Pusat P (m,n) = P (4,3) m = 3

Puncak(10,3) m + a= 10 a= 6

b2

= a2

c2

= 62

- 32

= 36 - 9 = 27Sumbu utama y=3, sehingga persamaan elips menjadi:

Jawab:

127

)3(

36

)4(1

27

)3(

6

)4(222

2

2

yx

atauyx


50/57


Elips

022 EDyCxByAx

Bentuk umum persamaan elips

Persamaan elips memiliki bentuk umum:

Hubungan antara persamaan dengan

persamaan adalah sebagai berikut:

022 EDyCxByAx

1)()(

2

2

2

2

b

ny

a

mx

0

22

EDyCxByAx

Jika A > B, maka A = a2, B = b2, C=-2a2m, D= -2b2n, E= a2m2 + b2n2- a2b2

Jika A < B, maka A = b2, B = a2, C=-2b2m, D= -2a2n, E= a2m2 + b2n2- a2b2

Elips


51/57


Elips

Contoh:

Tentukan titik pusat dan fokus dari elips yang memiliki persamaan 4x2+ 9y2-16x+ 18y -11=0.

Jawab:

Diketahui persamaan elips: 4x2+ 9y2 -16x+ 18y -11=0.

A=4, B= 9, C= -16, D=18, E= -11b2 = A = 4 b = 2

A2 = B = 9 a = 3

C = -2 b2m D= -2a2m C2= a2b2 = 9 -4 = 5

-16=-2. 4. m 18= -2. 9.n C =-16= -8m 18= -18n

2= m -1 = n

Pusat P(m,n) P(2, -1)

FokusF2(m-c, n)=F2 dan F2(m+c, n)=F2)1,52( )1,52(

Elips


52/57


Elips

Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1) pada elips

ataub

yy

a

xx1

2

1

2

1

1. Untuk persamaan elips persamaan garis

singgung yang melalui (x1, y1) pada elips tersebut adalah:

12

2

2

2

b

y

a

x

22

1

2

1

2 bayyaxxb

2. Untuk persamaan elips persamaan garis

singgung yang melalui (x1, y1) pada elips tersebut adalah:

1)()(

2

2

2

2

b

ny

a

mx

2

1

2

1 ))(())((

b

nyny

a

mxmx

Elips


53/57


Elips

Persamaan garis singgung dengan gradien p

12

2

2

2

b

y

a

xPada elips atau ,adalah222222 bayaxb

y= p 222

bpax

Untuk elips dengan persamaan:

Persamaan garis singgungnya adalah:

y - n = p(x-m)

1)()(

2

2

2

2

b

ny

a

mx

222 bpa

Elips


54/57


Elips

Contoh:

,12128

22

yx

Tentukan persamaan garis singgung elips berikut.

a. pada titik (4, 3)

b. pada titik(5,-3)

Jawab:

,19

)2(

18

)1(22

yx

a. Diketahui :

(4,3) x1 = 4 dan y1= 3

Persamaan garis singgung:

,12128

22

yx

12

1

2

1

b

yy

a

xx

Elips


55/57


Elips

1

21

3

28

4

yx

177

yx

7 yx

b. Diketahui: pusat (m, n) = (1, -2)

( 5, -3) y1 = -3

Persamaan garis singgung:

19

)2(

18

)1( 22 yx

danx 51

1))(())((

2

1

2

1

b

nyny

a

mxmx

Elips


56/57


Elips

19

)23(18

)1)(15( x

19

)2(

18

)1(4

yx

19

)2(

9

)1(2

yx

9)2()1(2 yx

132 yx


57/57

TERIMAKASIH

persamaan linier lingkaran elips

Documents