persamaan-linier (1).pptx

Author: poundrax182

Post on 10-Feb-2018

221 views

Category:

Documents


0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    1/37

    Review : Invers Matriks

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    2/37

    Matriks Saling Invers

    10

    01

    2222122121221121

    2212121121121111

    acacacac

    acacacac

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    3/37

    Salah satu cara mencari invers dengan

    DETERMINAN.

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    4/37

    Determinan

    Hanya untuk MBS.

    bcaddc

    ba

    dc

    ba

    det

    123213312132231321

    321

    321

    321

    det

    cbacbacbacbacbacba

    ccc

    bbb

    aaa

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    5/37

    Determinan

    Jika determinan = 0, matriks tidak punyainvers (matriks singular)

    bcaddc

    ba

    dc

    ba

    det

    123213312132231321

    321

    321

    321

    det

    cbacbacbacbacbacba

    ccc

    bbbaaa

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    6/37

    Cari invers nya

    52

    42

    42

    21

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    7/37

    Sistem Persamaan Linear

    Simultaneous Linear Equations

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    8/37

    Metode Penyelesaian

    Metode determinan matriks

    Metode grafik Eliminasi Gauss

    Metode GaussJourdan

    Metode GaussSeidel Dekomposisi LU

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    9/37

    Metode Penyelesaian

    Metode determinan matriks Metode grafik liminasi Gauss Metode Gauss Jourdan Metode GaussSeidel

    LU decomposition

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    10/37

    Metode Grafik

    2

    -2

    2

    4

    11

    21

    2

    1

    x

    x

    Det{A} 0 A

    bukan singular,artinya invertibel

    Memiliki

    penyelesaian

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    11/37

    Invertible

    Suatu fungsi fyang

    memiliki invers disebut

    dengan invertible;

    Fungsi invers

    ditentukan dari dandinotasikan dengan 1

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    12/37

    Sistem persamaan yang tak

    terselesaikan

    5

    4

    42

    21

    2

    1

    x

    x

    Tidak memiliki penyelesaianDet [A] = 0,

    Maka sistempersaman initidak dapat

    diselesaikan.

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    13/37

    Sistem Persamaan dengan banyak

    penyelesaian

    Det [A] = 0 A adalah singular

    memiliki banyak penyelesaian

    8

    4

    42

    21

    2

    1

    x

    x

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    14/37

    Sistem Persamaan yang tidak baik

    Jika matriks

    memiliki

    koefisien

    singular.

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    15/37

    Nilai komponen matriks dengan range

    kecil menyebabkan deviasi yang besar

    pada penyelesaiannya.

    47.1

    3

    99.048.0

    21

    2

    1

    x

    x

    47.1

    3

    99.049.0

    21

    2

    1

    x

    x

    1

    1

    2

    1

    x

    x

    0

    3

    2

    1

    x

    x

    Sistem Persamaan yang tidak baik

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    16/37

    Eliminasi Gauss

    Salah satu teknik yang populer untuk

    menyelesaikan sistem persamaan linear

    dalam bentuk:

    Terdiri dari dua step1. Eliminasi Maju.

    2. Substitusi Mundur.

    CXA

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    17/37

    Eliminasi Maju

    Tujuan Eliminasi Maju adalah membentuk koefisien

    matriksmenjadi MSA (Matriks Segitiga Atas)

    7.000

    56.18.40

    1525

    112144

    1864

    1525

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    18/37

    Eliminasi Maju

    Persamaan linear

    npersamaan dengan nvariabel yang tak diketahui

    11313212111 ... bxaxaxaxa nn 22323222121 ... bxaxaxaxa nn

    nnnnnnn bxaxaxaxa ...332211

    . .

    . .

    . .

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    19/37

    Contoh

    83125

    12312

    71352

    21232

    8325

    1232

    7352

    2232

    4321

    4321

    4321

    4321

    xxxx

    xxxx

    xxxxxxxx

    matriks input

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    20/37

    Mari kita kerjakan . . .

    83125

    12312

    71352

    21232

    32162190

    13140

    92120

    12

    112

    31

    '

    14

    '

    4

    '

    13

    '

    3

    '

    12

    '

    2

    1'

    1

    5

    2

    2

    2

    RRR

    RRR

    RRR

    RR

    41599

    4500

    1973002

    912

    110

    12

    112

    31

    '

    24

    '

    4

    '

    23

    '

    3

    2'

    2

    1

    '

    1

    219

    4

    2

    RRR

    RRR

    RR

    RR

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    21/37

    Forward Elimination

    12572

    12143

    000

    319

    37100

    291

    2110

    12

    112

    31

    '

    34

    '

    4

    3'

    3

    2

    '

    2

    1

    '

    1

    45

    3

    RRR

    RR

    RR

    RR

    4

    15994

    500

    1973002

    912

    110

    12

    112

    31

    1435721000

    319

    37100

    291

    2110

    12

    112

    31

    121434'

    4

    3

    '

    3

    2

    '

    2

    1

    '

    1

    R

    R

    RR

    RR

    RR

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    22/37

    Back substitution

    4143

    5723

    193

    72921

    12

    12

    3

    4

    4

    43

    432

    4321

    x

    x

    xx

    xxx

    xxxx

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    23/37

    Gauss - Jourdan

    39743

    2234215231

    6150

    8120

    15231

    '

    13

    '

    3

    '

    12

    '

    2

    1

    '

    1

    3

    2

    RRR

    RRR

    RR

    142700

    42110

    152101

    '

    23

    '

    3

    2

    '

    2

    '

    21

    '

    1

    5

    2

    3

    RRR

    RR

    RRR

    6150

    8120

    15231

    142700

    42110

    152101

    4100

    2010

    1001

    273'

    3

    '

    32

    '

    2

    '

    31

    '

    1

    21

    21

    R

    R

    RRR

    RRR

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    24/37

    Warning..

    Dua kemungkinan kesalahan- Pembagian dengan nol mungkin terjadi pada langkah

    forward elimination. Misalkan:

    655

    901.33099.26

    7710

    321

    123

    21

    xxx

    xxx

    xx

    - Kemungkinan error karena round-off (kesalahan pembulatan)

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    25/37

    Contoh

    Dari sistem persamaan linear

    515

    6099.23

    0710

    3

    2

    1

    x

    x

    x

    6

    901.3

    7

    =

    Akhir dari Forward Elimination

    1500500

    6001.00

    0710

    3

    2

    1

    x

    x

    x

    15004

    001.6

    7

    =

    6

    901.3

    7

    515

    6099.23

    0710

    15004

    001.6

    7

    1500500

    6001.00

    0710

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    26/37

    Kesalahan yang mungkin terjadi

    Back Substitution

    99993.015005

    150043 x

    5.1001.0

    6001.63

    2

    xx

    3500.010

    077 321

    xx

    x

    15004

    001.67

    1500500

    6001.000710

    3

    2

    1

    x

    xx

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    27/37

    Contoh kesalahan

    Banding-kan solusi exact dengan hasil perhitungan

    99993.0

    5.1

    35.0

    3

    2

    1

    x

    x

    x

    X calculated

    1

    1

    0

    3

    2

    1

    x

    x

    x

    X exact

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    28/37

    Improvements

    Menambah jumlah angka penting

    Mengurangi round-off error (kesalahan pembulatan)

    Tidak menghindarkan pembagian dengan nol

    Gaussian Elimination with Partial Pivoting

    Menghindarkan pembagian dengan nol

    Mengurangi round-off error

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    29/37

    Pivoting

    pka

    Eliminasi Gauss dengan partial pivoting mengubah tata urutan

    baris untuk bisa mengaplikasikan Eliminasi Gauss secara Normal

    How?

    Di awal sebelum langkah ke-k pada forward elimination, temukan angka

    maksimum dari:

    nkkkkk aaa .......,,........., ,1

    Jika nilai maksimumnya Pada baris ke p, ,npk

    Maka tukar baris p dan k.

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    30/37

    Partial Pivoting

    What does it Mean?

    Gaussian Elimination with Partial Pivoting ensures that

    each step of Forward Elimination is performed with thepivoting element |akk| having the largest absolute value.

    Jadi,

    Kita mengecek pada setiap langkah apakah angkapaling atas (pivoting element) adalah selalu paling

    besar

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    31/37

    Partial Pivoting: Example

    Consider the system of equations

    655

    901.36099.23

    7710

    321

    321

    21

    xxx

    xxx

    xx

    In matrix form

    515

    6099.23

    0710

    3

    2

    1

    x

    x

    x

    6

    901.3

    7

    =

    Solve using Gaussian Elimination with Partial Pivoting using five

    significant digits with chopping

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    32/37

    Partial Pivoting: Example

    Forward Elimination: Step 1

    Examining the values of the first column

    |10|, |-3|, and |5| or 10, 3, and 5

    The largest absolute value is 10, which means, to follow therules of Partial Pivoting, we dont need to switch the rows

    6

    901.3

    7

    515

    6099.23

    0710

    3

    2

    1

    x

    x

    x

    5.2

    001.67

    55.20

    6001.000710

    3

    2

    1

    x

    xx

    Performing Forward Elimination

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    33/37

    Partial Pivoting: Example

    Forward Elimination: Step 2

    Examining the values of the first column

    |-0.001| and |2.5| or 0.0001 and 2.5

    The largest absolute value is 2.5, so row 2 is switched withrow 3

    5.2

    001.67

    55.20

    6001.000710

    3

    2

    1

    x

    xx

    001.6

    5.27

    6001.00

    55.200710

    3

    2

    1

    x

    xx

    Performing the row swap

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    34/37

    Partial Pivoting: Example

    Forward Elimination: Step 2

    Performing the Forward Elimination results in:

    002.6

    5.2

    7

    002.600

    55.20

    0710

    3

    2

    1

    x

    x

    x

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    35/37

    Partial Pivoting: Example

    Back Substitution

    Solving the equations through back substitution

    1002.6

    002.6

    3

    x

    15.2

    55.22

    2

    x

    x

    010

    07732

    1

    xxx

    002.6

    5.2

    7

    002.600

    55.20

    0710

    3

    2

    1

    x

    x

    x

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    36/37

    Partial Pivoting: Example

    1

    1

    0

    3

    2

    1

    x

    x

    x

    X exact

    1

    1

    0

    3

    2

    1

    x

    x

    x

    Xcalculated

    Compare the calculated and exact solution

    The fact that they are equal is coincidence, but it does

    illustrate the advantage of Partial Pivoting

  • 7/22/2019 persamaan-linier (1).pptx

    37/37

    Summary

    - Forward Elimination

    - Back Substitution- Pitfalls

    - Improvements

    - Partial Pivoting