PERSAMAAN KUBIK AL-KHAYYAM

Sumardyono, M.Pd.

Al-Khayyam yang lahir dan meninggal di dekat Nishapur dikenal Eropa sebagai penyair hebat

lewat karya syair empat baris (kwatrin), tetapi sebenarnya ia juga pakar matematika yang

ulung. Tokoh yang bernama lengkap Ghiyats al-Din Abu al-Fath ‘Umar ibnu Ibrahim al-

Nisaburi al-Kayyam di masanya dijuluki “tent maker” ketika ia mencurahkan pikiran serta

menunjukkan kemampuannya dalam sains dan sastra. Walaupun berpengetahuan jempolan, ia

sangat sedikit menulis bahkan tanggal kelahiran dan wafatnya saja sukar untuk ditelusur

sehingga menjadi perdebatan para ahli sejarah.

Dalam bukunya, “Risalah fi al-Barshin ‘ala Masa’il al-Jabr wal-Muqabala”, ia memberi

klasifikasi persamaan-persamaan menurut derajat

dan faktor-faktornya hingga 25 jenis. Sayang,

ilmuwan Barat menghubungkan klasifikasi ini

pertama kali pada Simon Stevin (1548-1620 M)

yang datang belakangan setelah al-Khayyam.

Selain itu, sejarawan B. Boyer mengakui pula

bahwa Khayyam-lah yang mula-mula memisahkan

antara aljabar dengan geometri di dalam kajiannya.

Seperti juga pendahulu-pendahulunya, ia pun

menyelesaikan persamaan pangkat dua baik secara

aritmetik maupun geometrik. Untuk persamaan

pangkat tiga diselesaikan secara geometrik dengan

menggunakan perpotongan konik-konik (irisan

kerucut). Walaupun metode yang serupa juga

digunakan Menaechmus, Archimedes, juga al-

Haitham, namun al-Khayyam dipuji karena mampu

menggeneralisasikan metodenya tersebut untuk

semua persamaan pangkat tiga (yang berakar

positif), yang berbentuk x3

+ b2

x + a3

= cx2.

Dari sini, ia menciptakan fenomena absis (x) untuk akar-akarnya, sehingga ada yang

menyebut ia-lah sebenarnya peletak dasar geometri analitik, jauh berabad-abad sebelum

muncul Rene Descartes (1005- 1060).

Untuk persamaan kubik yang umum, ia menduga bahwa solusi secara aritmetika tidaklah

mungkin, sehingga ia hanya memberi penyelesaian secara geometris. Sedang untuk

persamaan pangkat lebih tinggi, ia tidak tertarik untuk mengkajinya karena ruang yang kita

tempati tidak lebih dari tiga dimensi. Sementara pendahulunya, Abu al-Wafa` telah

memberikan penyelesaian geometris untuk beberapa persamaan kuartik (pangkat empat).

Dikatakan oleh al-Khayaam: “what is called square-square by algebraists in continuous

magnitude is, a theoretical fact. It is does not exist in reality in anyway”.

Walaupun penggunaan irisan kerucut untuk menyelesaikan persamaan kubik telah digunakan

oleh Menaechmus, Archimedes, & alhazen (al-Haytham), tetapi al-Kayyam mengambil

langkah yang penting dengan menggeneralisasikan metodenya untuk semua persamaan kubik

(yang memiliki akar-akar positif).

Berikut ini salah satu halaman dari karya al-Khayyam tentang persamaan kubik.

Persamaan kubik al-Khayyam adalah: x3 + b

2x + a

3 = cx

2 , dimana a, b, c, x dipikirkan

sebagai panjang beberapa ruas garis. Lukisannya dikerjakan sebagai berikut :

(i). Lukis panjang ruas garis AB = 2

3

b

a, dengan melukis terlebih dahulu z =

b

a 2

, baru

kemudian AB = b

az

Lalu

(ii). Ikutilah beberapa langkah berikut.

� Lukis AC = AB + BC, dengan BC = c .

� Lukis setengah lingkaran dengan AC diameter dan buat garis tegak lurus AC di B yang

memotong setengah lingkaran di D.

� Tandai titik E di BD sehingga BE = b.

a a.b

b

z

a z

b

a

� Lewat E buat garis EF sejajar AC.

� Temukan titik G di BC sedemikian hingga (BG).(ED) = (BE).(AB).

� Temukan titik H sedemikian hingga terbentuk persegi panjang BGHD

� Melewati titik H, lukis hiperbol ortogonal dengan asimtot EF dan ED (dapat dilukis

titik demi titik) yang memotong setengah lingkaran di J.

� Sejajar dengan DB, tarik garis melalui J yang memotong EF di K dan BC di L.

� Dapat ditunjukkan bahwa panjang ruas garis BL adalah salah satu akar positif dari

persamaan kubik tersebut.

Bukti ditunjukkan sebagai berikut:

(1). Menurut sifat Hiperbol ortogonal : (Dengan menganggap garis EF = sumbu x dan garis

BD = sumbu y)

(EK).(KJ) = (EM).(MH) , karena EM = BG dan MH = ED maka

(EK).(KJ) = (BG).(ED) sedang (BG).(ED) = (BE).(AB), sehingga

(EK).(KJ) = (BG).(ED) = (BE).(AB)

(2). (EK).(KJ) = (BE).(AB) , atau luas EKJN = luas ABEP sehingga

(BL).(LJ) = (BE).(AL) …. (i). , luas ALKP = luas BLJN

AB BG

ED

BE

P

A B L G C

F x M K E

D

N

y

J

H

b

2

3

b

a

c

(3). Pada lingkaran berlaku : (LJ)2 = (AL).(LC). … (ii).

(4). Dari (i) diperoleh : 2

2

2

2

(AL)

(LJ)

(BL)

(BE)= dan dari (ii) diperoleh :

AL

LC

(AL)

(LJ)=

2

2

sehingga : AL

LC

(BL)

(BE)=

2

2

atau (BE)2.(AL) = (BL)

2.(LC) … (iii)

(5). (BE)2.(AL) = (BL)

2.(LC)

(BE)2.(AB + BL) = (BL)

2.(BC − BL)

b2.(

2

3

b

a + BL) = (BL)

2.(c − BL)

a3 + b

2 (BL) = (BL)

2.c − (BL)

3

(BL)3 + b

2.(BL) + a

3 = c. (BL)

2

Jadi BL adalah sebuah akar dari persamaan kubik: x3 + b

2x + a

3 = cx

2

Perlu dicatat di sini bahwa penyelesaian geometris yang diberikan matematikawan Yunani

untuk persamaan kubik, koefisien-koefisiennya berupa ruas-ruas garis, sedangkan al-

Khayyam telah menulisnya sebagai bilangan-bilangan yang spesifik. Ini merupakan

kecenderungan matematikawan muslim untuk menghilangkan perbedaan antara aljabar

numerik dan aljabar geometris. Artinya bahwa ada kaitan antara aljabar numerik dan aljabar

geometris.

Dalam kajiannya tentang persamaan kubik, sebenarnya ia telah memberikan landasan bagi

perkembangan geometri analitik, yang dimunculkan kembali oleh Rene Descartes (1596 –

1650). Dalam mencari penyelesaian persamaan kubik tsb, al-Khayyam telah memunculkan

gagasan absis (x) sebagai titik potong antara lingkaran dengan hiperbol ortogonal, untuk

menyelesaikan persamaan kubiknya. (perhatikan lagi soal kubik di atas, x = BL). Dengan

demikian, al-Khayyam adalah perintis dan peletak dasar gagasan geometri analitik. Hanya di

sini al-Khayyam tidak menonjolkan penggunaan sumbu-sumbu koordinat dalam penyelesaian

persamaan kubiknya.

Daftar Pustaka/Bacaan

Abdurrahman Khan. 1993. Sumbangan Umat Islam terhadap pengetahuan dan kebudayaan.

Bandung: Remaja Rosdakarya

O'Connor, John J. & Robertson, Edmund F. 1999. Omar Khayyam. dari http://www-

history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Khayyam.html (diakses 4 November 2012)

Sumardyono. 1999. Matematikawan muslim dan kontribusinya (tidak diterbitkan)

Wiki. 2012. Omar Khayyam. http://wiki.cultured.com/people/Omar_Khayyam/ (diakses 4

November 2012)

Wikipedia. 2012. Omar Khayyám. dari http://en.wikipedia.org/wiki/Omar_Khayyam (diakses

4 November 2012)