pep2 segundo semestre 2012

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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y C.C. SEGUNDA PRUEBA DE CÁLCULO AVANZADO 10007 Ingeniería Civil Segundo Semestre 2012 (16/11/2012) Pregunta 1: Sea a) Calcular la derivada direccional de f en el punto en la dirección de la norma unitaria exterior a la esfera b) ¿En qué dirección la derivada direccional de f en es máxima? ¿Cuál es este valor máximo? c) Asumiendo que define como en una vecindad del punto . Calcular Solución: a) Como f es función polinomial en entonces es diferenciable; aplicando fórmula ; Se obtiene: Donde - es: - es: De esto 0.7 pts.

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  • UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA

    DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y C.C.

    SEGUNDA PRUEBA DE CLCULO AVANZADO 10007

    Ingeniera Civil Segundo Semestre 2012

    (16/11/2012)

    Pregunta 1:

    Sea

    a) Calcular la derivada direccional de f en el punto en la direccin de la norma

    unitaria exterior a la esfera

    b) En qu direccin la derivada direccional de f en es mxima? Cul es este

    valor mximo?

    c) Asumiendo que define como en

    una vecindad del punto . Calcular

    Solucin:

    a) Como f es funcin polinomial en entonces es diferenciable; aplicando frmula

    ; Se obtiene:

    Donde - es:

    - es:

    De esto

    0.7 pts.

  • b) es mximo si la direccin de es la del , esto es,

    Es valor de este mximo es

    0.6 pts.

    c) De

    y

    en

    ;

    0.7 pts.

  • Pregunta 2:

    Obtener los puntos de la superficie: en los cuales el plano tangente a la superficie dada

    sea perpendicular al plano de ecuacin con constante,

    Solucin:

    Se tiene y el vector es normal al plano . Se debe

    verificar perpendicularidad entre y , esto es: .

    Adems, los puntos deben estar en la superficie dada, o sea, verifican . As las soluciones

    son los puntos que verifican el sistema:

    1,5 pts.

    Y , el cual es curva en (conjunto de puntos

    que cumplen lo requerido).

    0,5 pts.

    Por ejemplo, en particular:

    Si , el plano dado es ; el plano tangente en tiene

    ecuacin:

    Y su con de plano verifica:

    O sea y el plano tangente en es perpendicular al plano

  • Pregunta 3:

    a) Hallar los puntos crticos de la funcin en el dominio

    .

    b) Entre los puntos crticos calculados, determine cuales corresponden a valores mximo de y

    cules a mnimo de , considerando los puntos crticos situados en el eje y los puntos

    crticos ubicados en el plano que tengan componentes con signos distintos.

    Solucin:

    a)

    a1) determina al punto crtico .

    0,2 pts.

    a2) Para con condicin , usando funcin de Lagrange:

    Entonces,

    De aqu,

    Entonces encontramos los puntos crticos:

    Si

    Luego tendremos los puntos crticos:

  • Si

    De aqu,

    Entonces encontramos los puntos crticos:

    1,0 pts.

    b) Calculando Hessiano restringido para puntos crticos y se tiene:

    Resultan signos:

    Y es valor mximo.

    Y es valor mnimo.

    En en cada no existe extremo alternativamente, para

    decidir extremo de perteneciente a la frontera de se puede usar teorema de conjunto

    cerrado.

    0,8 pts.