pep2 segundo semestre 2012
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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y C.C.
SEGUNDA PRUEBA DE CLCULO AVANZADO 10007
Ingeniera Civil Segundo Semestre 2012
(16/11/2012)
Pregunta 1:
Sea
a) Calcular la derivada direccional de f en el punto en la direccin de la norma
unitaria exterior a la esfera
b) En qu direccin la derivada direccional de f en es mxima? Cul es este
valor mximo?
c) Asumiendo que define como en
una vecindad del punto . Calcular
Solucin:
a) Como f es funcin polinomial en entonces es diferenciable; aplicando frmula
; Se obtiene:
Donde - es:
- es:
De esto
0.7 pts.
-
b) es mximo si la direccin de es la del , esto es,
Es valor de este mximo es
0.6 pts.
c) De
y
en
;
0.7 pts.
-
Pregunta 2:
Obtener los puntos de la superficie: en los cuales el plano tangente a la superficie dada
sea perpendicular al plano de ecuacin con constante,
Solucin:
Se tiene y el vector es normal al plano . Se debe
verificar perpendicularidad entre y , esto es: .
Adems, los puntos deben estar en la superficie dada, o sea, verifican . As las soluciones
son los puntos que verifican el sistema:
1,5 pts.
Y , el cual es curva en (conjunto de puntos
que cumplen lo requerido).
0,5 pts.
Por ejemplo, en particular:
Si , el plano dado es ; el plano tangente en tiene
ecuacin:
Y su con de plano verifica:
O sea y el plano tangente en es perpendicular al plano
-
Pregunta 3:
a) Hallar los puntos crticos de la funcin en el dominio
.
b) Entre los puntos crticos calculados, determine cuales corresponden a valores mximo de y
cules a mnimo de , considerando los puntos crticos situados en el eje y los puntos
crticos ubicados en el plano que tengan componentes con signos distintos.
Solucin:
a)
a1) determina al punto crtico .
0,2 pts.
a2) Para con condicin , usando funcin de Lagrange:
Entonces,
De aqu,
Entonces encontramos los puntos crticos:
Si
Luego tendremos los puntos crticos:
-
Si
De aqu,
Entonces encontramos los puntos crticos:
1,0 pts.
b) Calculando Hessiano restringido para puntos crticos y se tiene:
Resultan signos:
Y es valor mximo.
Y es valor mnimo.
En en cada no existe extremo alternativamente, para
decidir extremo de perteneciente a la frontera de se puede usar teorema de conjunto
cerrado.
0,8 pts.