Akar-Akar Persamaan

Pendahuluan

Akar-akar suatu persamaan dari suatu fungsi x sebenarnya adalah harga x yang membuat f(x) = 0.

Sebelum kemajuan komputer, menyelesaikan suatu akar persamaan menggunakan metode analitis dan grafik. Analitis f(x) = x2 - 4x x2 - 4x = 0

x(x-4) = 0

x1 = 0 atau x2 = 4

Jumlah Akar

Bila f(xi) dan f(xu) mempunyai tanda yang sama, maka jumlah akar biasanya merupakan bilangan genap.

Jumlah Akar

Bila f(xi) dan f(xu) mempunyai tanda yang berbeda, maka jumlah akar biasanya merupakan bilangan ganjil.

Jumlah Akar

Meskipun generalisasi ini biasanya benar, tetapi ada kasus tertentu dimana suatu fungsi mempunyai akar kembar atau fungsi tersebut diskontinu.

Pendahuluan

Berapa akar dari suatu f(x) = e-

x-x ? Dengan analitis sulit tetapi masih bisa diselesaikan dengan metode grafik, dengan cara:

x f(x)

0 1

0,2 0,6187

0,3 0,4408

1 -0,632

Penyelesaian Persamaan Non Linier

Metode Penyelesaian Persamaan Non LiNier

Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan Non-Linier yaitu: Metode Akolade (tertutup)

Metode Biseksi (Bisection Method)

Metode Regula falsi

Metode Terbuka Metode Iterasi Sederhana

Metode Newton Raphson

Metode Secant

Metode Biseksi (Bisection Method) -1

Ide awalnya adalah metode tabel, dimana area dibagi menjadi Nbagian sedangkan metode biseksi membagi range menjadi 2 bagian

Dari 2 bagian tersebut dipilih bagian mana yang mengandung akar sedangkan yang tidak mengandung akar dibuang dan dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan.

Metode Biseksi (Bisection Method) -2Pada metode biseksi, terlebih dahulu ditentukan batas bawah dan batas

atas .Kemudian dihitung nilai tengah :

Perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar dari nilai yaitu secara matematik suatu range terdapat akar persamaan bila dan berlawanan tanda atau dituliskan :

Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas diperbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar.

Metode Biseksi (Bisection Method) -3

Algoritma Metode Biseksi :1. Definisikan fungsi yang akan dicari akarnya

2. Tentukan nilai dan

3. Tentukan torelansi dan iterasi maksimum N

4. Hitung dan

5. Jika maka proses dihentikan karena tidak ada akar, bila tidak dilanjutkan

6. Hitung

7. Hitung

8. Bila maka , bila tidak

9. Jika atau maka proses dihentikan dan didapatkan , dan bila tidak, ulangi langkah 6.

Contoh

Latihan

Buatlah flowchart dari Algoritma Biseksi di slide sebelumnya! (nilai tugas maks 100 point)

Buatlah Program dari algoritma dan flowchart Biseksi di slide sebelumnya! (Optional maks 5 point di nilai akhir)

1. Untuk uji coba selesaikan persamaan dari fungsi berikut : 2. Penulisan hasil

1. Dapatkan nilai akar setiap iterasi dari awal sampai dengan akhir iterasi

2. Akar terletak diantara nilai dua fungsi yang berubah tanda3. Dapatkan 4. Perkecil rangenya dengan :

1. Bila → a tetap, 2. Bila → b tetap, 3. Bila → = akar yang dicari

5. Akhir iterasi ditentukan sampai dengan 10 iterasi atau jika nilai 3. Pengamatan terhadap hasil dengan macam-macam parameter input

1. Nilai error akar ditentukan sebagai pembatas iterasi nilai 2. Jumlah iterasi maksimum3. Bandingkan antara dan 2.2 terhadap hasil yang diperoleh4. Pengubahan nilai awal batas bawah dan batas atas