Persamaan Linear dengan MatriksPersamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks. Misalnya persamaan:3x1 + 4x2 2x3 = 5x1 5x2 + 2x3 = 72x1 + x2 3x3 = 9dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut

Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk:a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = 0Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem mepunyai x1 = 0 , x2 = 0 , ... , xn = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.Penyelesaian Persamaan Linear dengan MatriksBentuk Eselon-barisMatriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut: Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1). Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks. Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya. Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksiContoh: syarat 1: baris pertama disebut dengan leading 1

syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2

syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3

syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baris tereduksi

Operasi Eliminasi GaussEliminasi Gauss adalah suatu cara mengoperasikan nilai-nilai di dalam matriks sehingga menjadi matriks yang lebih sederhana (ditemukan oleh Carl Friedrich Gauss). Caranya adalah dengan melakukan operasi baris sehingga matriks tersebut menjadi matriks yang Eselon-baris. Ini dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris, lakukan substitusi balik untuk mendapatkan nilai dari variabel-variabel tersebut.Contoh: Diketahui persamaan linear

Tentukan Nilai x, y dan zJawab: Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:

Operasikan Matriks tersebut B1 x 1 , Untuk mengubah a11 menjadi 1B2 - 1.B1 , Untuk mengubah a21 menjadi 0B3 - 2.B1 , Untuk mengubah a31 menjadi 0B2 x 1 , Untuk mengubah a22 menjadi 1B3 + 3.B2 , Untuk mengubah a32 menjadi 0B3 x 1/3 , Untuk mengubah a33 menjadi 1 (Matriks menjadi Eselon-baris)Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitu

Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:

Jadi nilai dari , ,dan Operasi Dalam MatriksDua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks:a.) A + B = B + Ab.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + Cc.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalarHasil kali matriks A yang ber-ordo m x p dengan matriks B yang berordo p x n dapat dituliskan sebagi matriks C = [ cij ] berordo m x n dimana cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpjMatriks Diagonal, Segitiga, dan Matriks SimetrisMatriks DiagonalSebuah matriks bujursangkar yang unsur-unsurnya berada di garis diagonal utama dari matriks bukan nol dan unsur lainnya adalah nol disebut dengan matriks diagonal. Contoh:

secara umum matriks n x n bisa ditulis sebagai

Matriks diagonal dapat dibalik dengan menggunakan rumus berikut: =

jika D adalah matriks diagonal dan k adalah angka yang positif maka=Contoh: A=maka =Matriks SegitigaMatriks segitiga adalah matriks persegi yang di bawah atau di atas garis diagonal utama nol. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang di bawah garis diagonal utama nol. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang di atas garis diagonal utama nol.Matriks segitiga

Matriks segitiga bawah

Teorema Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah. Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas. Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol. Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan inverse pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.Contoh:Matriks segitiga yang bisa di invers A =Inversnya adalah =Matriks yang tidak bisa di inversB =Matriks SimetrisMatriks kotak A disebut simetris jika Contoh matriks simetris

Teorema Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar makaadalah simetris A + B dan A - B adalah simetris kA adalah simetris Jika A adalah matriks simetris yang bisa di invers, maka adalah matriks simetris.Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa maka:

Yang mana membuktikan bahwa adalah simetris.Produk dan dan ContohA adalah matriks 2 X 3 A = lalu = = = = Jika A adalah Matriks yang bisa di inverse, maka dan juga bisa di inverseTranspos MatriksYang dimaksud dengan Transpos dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom di ubah menjadi baris.Contoh: MatriksA = ditranspose menjadi AT = MatriksB = ditranspose menjadi BT = Rumus-rumus operasi Transpose sebagai berikut:1. 2. dan 3. dimana k adalah skalar4. DeterminanOrde 2x2Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.Sebagai contoh, kita ambil matriks A2x2A = tentukan determinan Auntuk mencari determinan matrik A maka,detA = ad - bcContoh Soal:A = tentukan determinan AJawab:det(A) = = 1x5 - 4x2 = -3Orde 3x3Determinan dengan Ekspansi KofaktorTerbagi tiga jenis yaitu: Dengan Minor dan Kofaktor Dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama Dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom PertamaDeterminan dengan Minor dan kofaktorA = tentukan determinan APertama buat minor dari a11M11 = = detM = a22a33 - a23a32Kemudian kofaktor dari a11 adalahc11 = (-1)1+1M11 = (-1)1+1a22a33 - a23a32kofaktor dan minor hanya berbeda tanda Cij=Mij untuk membedakan apakah kofaktor pada ij adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini

Begitu juga dengan minor dari a32M32 = = detM = a11a23 - a13a21Maka kofaktor dari a32 adalahc32 = (-1)3+2M32 = (-1)3+2 x a11a23 - a13a21Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalahdet(A) = a11C11+a12C12+a13C13Contoh Soal:A = tentukan determinan A dengan metode Minor dan kofaktorJawab:c11 = (-1)1+1 = 1 (-3) = -3c12 = (-1)1+2 = -1 (-8) = 8c13 = (-1)1+3 = 1 (-7) = -7det(A) = 1 (-3) + 2 (8) + 3 (-7) = -8Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris PertamaMisalkan ada sebuah matriks A3x3A = maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,det(A) = a11 - a12 + a13 = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32Contoh Soal:A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertamaJawab:det(A) = = 1 - 2 + 3 = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom PertamaPada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.Misalkan ada sebuah matriks A3x3A = maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,det(A) = a11 - a21 + a31 = a11(a22a33 - a23a32) - a21(a21a33 - a23a31) + a31(a21a32 - a22a31)= a11a22a33 + a21a23a31 + a31a21a32 - a22(a31)2 - (a21)2a33 - a11a23a32Contoh Soal:A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertamaJawab:det(A) = = 1 - 4 + 3 = 1(-3) - 4(-4) + 3(-7) = -8Metode SarrusA = tentukan determinan Auntuk mencari determinan matrik A maka,detA = (aei + bfg + cdh) - (bdi + afh + ceg)Contoh Soal:A = tentukan determinan A dengan metode sarrusJawab:det(A) = = (1x5x1 + 2x4x3 + 3x4x2) - (3x5x3 + 2x4x1 + 1x4x2) = 53 - 61 = -8Determinan Matriks Segitiga Atas (Multi Orde)Jika A adalah matriks segitiga nxn (segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal) maka adalah hasil kali diagonal matriks tersebut

Contoh= (2)(-3)(6)(9)(4) = -1296Adjoint Matriks (Orde 3x3)Bila ada sebuah matriks A3x3A = Kofaktor dari matriks A adalahC11 = -12 C12 = 6 C13 = -8C21 = -4 C22 = 2 C23 = -8C31 = 12 C32 = -10 C33 = 8maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah

untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolomadj(A) = Matriks Balikan (Invers)Orde 2x2JIka A dan B matriks bujur sangkar sedemikian rupa sehingga A B = B A = I , maka B disebut balikan atau invers dari A dan dapat dituliskan ( B sama dengan invers A ). Matriks B juga mempunyai invers yaitu A maka dapat dituliskan . Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dikatakan matriks tunggal (singular). Jika matriks B dan C adalah invers dari A maka B = C.Matriks A = dapat di-invers apabila ad - bc 0Dengan Rumus =

Apabila A dan B adalah matriks seordo dan memiliki balikan maka AB dapat di-invers dan Contoh 1: MatriksA = dan B = AB = = = I (matriks identitas)BA = = = I (matriks identitas)Maka dapat dituliskan bahwa (B Merupakan invers dari A)Contoh 2: MatriksA = dan B = AB = = BA = = Karena AB BA I maka matriks A dan matriks B disebut matriks tunggal.Contoh 3: MatriksA = Tentukan Nilai dari A-1Jawab: Contoh 4: MatriksA = , B = , AB = Dengan menggunakan rumus, maka didapatkan, , Maka= Ini membuktikan bahwa Orde 3x3A = kemudian hitung kofaktor dari matrix AC11 = 12 C12 = 6 C13 = -16C21 = 4 C22 = 2 C23 = 16C31 = 12 C32 = -10 C33 = 16menjadi matrix kofaktor

cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor di atas, sehingga menjadiadj(A) =

dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A

Penyelesaian persamaan linier dengan menggunakan matriks (Orde 3x3)Metode Cramerjika Ax = b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan det(A) 0 maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik

dimana A j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik bContoh soal: Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah inix1 + 2x3 = 6-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30-x1 - 2x2 + 3x3 = 8Jawab: bentuk matrik A dan bA = b = kemudian ganti kolom j dengan matrik bA1 = A2 = A3 = dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrik-matrik di atasmaka,

R=Er...E2 E1 Adan,det(R)=det(Er)...det(E2)det(E1)det(EA)Jika A dapat di-invers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R = I, jadi det(R) = 1 0 dan det(A) 0. Sebaliknya, jika det(A) 0, maka det(R) 0, jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R = I, maka A adalah dapat di-invers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan 2 baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers.Contoh Soal:A=karena det(A) = 0. Maka A adalah dapat diinvers.Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = xdalam sistem aljabar linear sering ditemukan Ax = x ; dimana adalah skalarsistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan x-Ax=0, atau dengan memasukkan matrix identitas menjadi (I - A) x = 0

contoh:diketahui persamaan linear x1 + 3x2 = x1 4x1 + 2x2 = x2dapat ditulis dalam bentuk = yang kemudian dapat diubahA =dan x =yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi sehingga didapat bentuk I - A = namun untuk menemukan besar dari perlu dilakukan operasi det ( I - A) = 0 ; adalah eigenvalue dari Adan dari contoh diperoleh det ( I - A) = = 0atau ^2 - 3 - 10 = 0dan dari hasil faktorisasi di dapat 1 = -2 dan 2 = 5dengan memasukkan nilai pada persamaan ( I - A) x = 0, maka eigenvector bisa didapat bila = -2 maka diperoleh dengan mengasumsikan x2 = t maka didapat x1 = t x =