pengembangan pembelajaran matematika sd - …€¦ · ppt file · web view · 2012-07-01dengan...
TRANSCRIPT
![Page 1: PENGEMBANGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA SD - …€¦ · PPT file · Web view · 2012-07-01Dengan demikian p merupakan titik limit E. Karena f kontinu di p ( E, berakibat terdapat](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022021423/5ae16e347f8b9ad47c8bcba4/html5/thumbnails/1.jpg)
FUNGSI KONTINU
Oleh:Dr. RIYADI, M.Si.
PROGRAM PASCASARJANAUNIVERSITAS SEBELAS MARET
![Page 2: PENGEMBANGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA SD - …€¦ · PPT file · Web view · 2012-07-01Dengan demikian p merupakan titik limit E. Karena f kontinu di p ( E, berakibat terdapat](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022021423/5ae16e347f8b9ad47c8bcba4/html5/thumbnails/2.jpg)
FUNGSI KONTINU Definisi
Diketahui E R tak kosong dan f : E R.
1). Fungsi f dikatakan kontinu di suatu titik p E jika untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan > 0 sehingga jika
px dan x E berakibat pfxf .
2). Fungsi f dikatakan kontinu pada E jika f kontinu di setiap titik
p E.
![Page 3: PENGEMBANGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA SD - …€¦ · PPT file · Web view · 2012-07-01Dengan demikian p merupakan titik limit E. Karena f kontinu di p ( E, berakibat terdapat](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022021423/5ae16e347f8b9ad47c8bcba4/html5/thumbnails/3.jpg)
FUNGSI KONTINU Contoh 1:Buktikan bahwa fungsi f : R R dengan aturan: 52 xxf kontinu pada R
Pembahasan:
Dipilih 2 , oleh karena itu, jika x R dan px , maka:
<
22 = .
= px 22 = px 2
Diambil sebarang bilangan real p R dan sebarang > 0.
52 pxf = 5252 px
Hal ini berarti bahwa fungsi f kontinu di p R.
Karena p sebarang, berakibat f kontinu pada R.
![Page 4: PENGEMBANGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA SD - …€¦ · PPT file · Web view · 2012-07-01Dengan demikian p merupakan titik limit E. Karena f kontinu di p ( E, berakibat terdapat](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022021423/5ae16e347f8b9ad47c8bcba4/html5/thumbnails/4.jpg)
FUNGSI KONTINU Teorema Diketahui I R interval terbuka, p I dan f : I R.
Bukti:
Fungsi f kontinu di p I jika dan hanya jika xfpfpx
lim .
( ) Diambil sebarang > 0. Karena E interval terbuka, berakibat setiap titiknya merupakan titik limit. Dengan demikian p merupakan titik limit E. Karena f kontinu di p E, berakibat terdapat > 0 sehingga jika x E dan
px berlaku pfxf . Jika x E, dan x p, maka 0 < px . Hal ini berakibat pfxf .
Hal ini berarti xfpfpx
lim
![Page 5: PENGEMBANGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA SD - …€¦ · PPT file · Web view · 2012-07-01Dengan demikian p merupakan titik limit E. Karena f kontinu di p ( E, berakibat terdapat](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022021423/5ae16e347f8b9ad47c8bcba4/html5/thumbnails/5.jpg)
FUNGSI KONTINU ( ) Diambil sebarang > 0. Menurut yang diketahui xfpf
pxlim .
Karena p E, berakibat pp = 0 < , dan f terdefinisi di p, sehingga diperoleh pfpf = 0 < .......................................................... (**)
Berdasarkan (*) dan (**) diperoleh: jika x E dan px berakibat pfxf .
Hal ini berarti f kontinu di p.
Oleh karena itu terdapat > 0 sehingga jika x E dan 0 < px , maka pfxf ........................................................................................... (*)
Hal ini berarti f mempunyai titik limit di p.
![Page 6: PENGEMBANGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA SD - …€¦ · PPT file · Web view · 2012-07-01Dengan demikian p merupakan titik limit E. Karena f kontinu di p ( E, berakibat terdapat](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022021423/5ae16e347f8b9ad47c8bcba4/html5/thumbnails/6.jpg)
Teorema
Bukti:
Diketahui f : E R dan p E.
pfxfpx
lim untuk setiap barisan Epn dengan ppnn
lim , berakibat
barisan npf konvergen ke f(p) atau pfpf nn
lim
( )
Karena barisan Epn konvergen ke p, dengan adanya bilangan > 0 terdapat bilangan asli oN sehingga untuk oNn berlaku ppn .
Jadi terdapat bilangan asli oN sehingga untuk oNn berlaku Lpf n , yang berarti pfpf nn
lim
Diambil sebarang bilangan > 0. Karena f kontinu di p E, berakibat terdapat bilangan > 0 sehingga jika x E dengan px , maka pfxf .
Akibatnya, untuk oNn berlaku pfpf n .
![Page 7: PENGEMBANGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA SD - …€¦ · PPT file · Web view · 2012-07-01Dengan demikian p merupakan titik limit E. Karena f kontinu di p ( E, berakibat terdapat](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022021423/5ae16e347f8b9ad47c8bcba4/html5/thumbnails/7.jpg)
( )
Berarti terdapat bilangan >0 sehingga untuk setiap bilangan > 0, terdapat x E dengan px dan pfxf .
Diambil nn1
, n = 1, 2, 3, ....
1 = 1 ada Ep 1 dengan 11 pp dan pfpf 1 .
2 = 21 ada Ep 2 dengan
21
2 pp dan pfpf 2 .
3 = 31 ada Ep 3 dengan
31
3 pp dan pfpf 3 .
n =
n1 ada Epn dengan
nppn
1 dan pfpf n .
Andaikan pfxfpx
lim
![Page 8: PENGEMBANGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA SD - …€¦ · PPT file · Web view · 2012-07-01Dengan demikian p merupakan titik limit E. Karena f kontinu di p ( E, berakibat terdapat](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022021423/5ae16e347f8b9ad47c8bcba4/html5/thumbnails/8.jpg)
Berarti terdapat barisan Epn konvergen ke p, dengan ppn tetapi barisan npf tidak konvergen ke f(p).
Kontradiksi dengan yang diketahui. Jadi pengandaian salah, yang benar yaitu pfxf
px
lim .
![Page 9: PENGEMBANGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA SD - …€¦ · PPT file · Web view · 2012-07-01Dengan demikian p merupakan titik limit E. Karena f kontinu di p ( E, berakibat terdapat](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022021423/5ae16e347f8b9ad47c8bcba4/html5/thumbnails/9.jpg)
Definisi
Diketahui E R tak kosong dan f : E R.
FUNGSI DISKONTINU
Jika fungsi f tidak kontinu di titik p E, maka dikatakan bahwa f diskontinu di titik p E.
Jenis-jenis Diskontinuitas
1). Jika f diskontinu di p, tetapi xfpx
lim dan xfpx
lim masing-masing ada,
maka f dikatakan mempunyai diskontinuitas jenis pertama.
2). Jika f diskontinu di p, tetapi xfpx
lim tidak ada atau xfpx
lim tidak ada,
maka f dikatakan mempunyai diskontinuitas jenis kedua.
![Page 10: PENGEMBANGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA SD - …€¦ · PPT file · Web view · 2012-07-01Dengan demikian p merupakan titik limit E. Karena f kontinu di p ( E, berakibat terdapat](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022021423/5ae16e347f8b9ad47c8bcba4/html5/thumbnails/10.jpg)
FUNGSI DISKONTINU Contoh 1 Diketahui fungsi f : R R dengan aturan
1jika21jika1
xx
xf
Tentukan jenis diskontinuitas fungsi f tersebut di atas.
Pembahasan: Perhatikan bahwa xf
x 1lim = 1 dan xf
x 1lim = 2,
tetapi xfx 1lim xf
x 1lim .
Hal ini berarti f mempunyai diskontinutas jenis pertama.
![Page 11: PENGEMBANGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA SD - …€¦ · PPT file · Web view · 2012-07-01Dengan demikian p merupakan titik limit E. Karena f kontinu di p ( E, berakibat terdapat](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022021423/5ae16e347f8b9ad47c8bcba4/html5/thumbnails/11.jpg)
FUNGSI DISKONTINU Contoh 2 Diketahui fungsi f : R R dengan aturan
Tentukan jenis diskontinuitas fungsi f tersebut di atas.
Pembahasan:
Hal ini berarti f mempunyai diskontinutas jenis kedua.
0jika10jika2
xx
xxxf
Perhatikan bahwa xfx 0lim = 0 tetapi xf
x 0lim tidak ada.
![Page 12: PENGEMBANGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA SD - …€¦ · PPT file · Web view · 2012-07-01Dengan demikian p merupakan titik limit E. Karena f kontinu di p ( E, berakibat terdapat](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022021423/5ae16e347f8b9ad47c8bcba4/html5/thumbnails/12.jpg)
Teorema (Kriteria Diskontinu)Diketahui f : E R dan p E.
Fungsi f tidak kontinu di p Terdapat barisan Epn dengan ppnn
lim ,
tetapi barisan npf tidak konvergen ke f(p) atau pfpf nn
lim
![Page 13: PENGEMBANGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA SD - …€¦ · PPT file · Web view · 2012-07-01Dengan demikian p merupakan titik limit E. Karena f kontinu di p ( E, berakibat terdapat](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022021423/5ae16e347f8b9ad47c8bcba4/html5/thumbnails/13.jpg)
Teorema Diketahui E R tak kosong, titik p E dan f, g : E R. Jika f dan g kontinu di titik p E, maka f + g, f.g dan kf kontinu di titik p E untuk suatu k R.
Lebih lanjut, jika g(x) 0 untuk setiap x E, maka gf kontinu
di titik p.
Teorema Diketahui A R , f : A R dan fungsi | f | didefinisikan dengan
xf = xf untuk setiap x A.
Jika f kontinu di c A, maka | f | kontinu di c A.
Teorema Diketahui A R, f : A R , 0xf untuk setiap x A dan fungsi f didefinisikan dengan aturan xf = xf untuk setiap c A. Jika f kontinu di c A, maka f kontinu di c A.
![Page 14: PENGEMBANGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA SD - …€¦ · PPT file · Web view · 2012-07-01Dengan demikian p merupakan titik limit E. Karena f kontinu di p ( E, berakibat terdapat](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022021423/5ae16e347f8b9ad47c8bcba4/html5/thumbnails/14.jpg)
Teorema Diketahui E, F R tak kosong, p E, f: E R dan g : F R dengan FEf .
Didefinisikan fungsi h: E R dengan fgh , yaitu h(x) = g(f(x)) untuk setiap x E. Jika f kontinu di titik p E dan g kontinu di f(p), maka h kontinu di titik p E. Bukti: Ambil sebarang > 0. Karena g kontinu di f(p), berakibat terdapat > 0 sehingga jika y f(E) dengan pfy berlaku pfgyg .
Karena f kontinu di p, dengan adanya > 0, terdapat > 0 sehingga jika x E dengan px berlaku pfxf . Karena pfxf untuk x E dengan px , maka diperoleh:
pfgxfg = phxh < Hal ini berarti fgh kontinu di p.
![Page 15: PENGEMBANGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA SD - …€¦ · PPT file · Web view · 2012-07-01Dengan demikian p merupakan titik limit E. Karena f kontinu di p ( E, berakibat terdapat](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022021423/5ae16e347f8b9ad47c8bcba4/html5/thumbnails/15.jpg)
FUNGSI KONTINU Definisi
Diketahui E R tak kosong. Fungsi f : E R dikatakan terbatas pada E jika terdapat bilangan M 0 sehingga berlaku Mxf untuk semua x E.
Teorema Diketahui baE , R interval tertutup dan terbatas, dan f : E R fungsi.
Jika f kontinu pada E, maka f terbatas pada E.
Lebih lanjut, jika xfMEx
sup dan xfmEx
inf , maka terdapat titik-
titik , E sehingga Mf dan mf .
![Page 16: PENGEMBANGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA SD - …€¦ · PPT file · Web view · 2012-07-01Dengan demikian p merupakan titik limit E. Karena f kontinu di p ( E, berakibat terdapat](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022021423/5ae16e347f8b9ad47c8bcba4/html5/thumbnails/16.jpg)
FUNGSI KONTINU Bukti: Andaikan f tidak terbatas pada E, oleh karena itu untuk setiap bilangan asli n, terdapat Exn sehingga nxf n .
Hal ini berarti terdapat barisan Exn sehingga nxf n untuk setiap bilangan asli n.
Dengan kata lain terdapat barisan Exn sehingga barisan nxf tidak konvergen.
Selanjuntnya, karena baE , interval tertutup dan terbatas, maka barisan nx terbatas.
Oleh karena itu menurut Teorema Bolzano-Weirstrass, terdapat barisan bagian
knx yang konvergen ke suatu 0x , yaitu 0lim xxknk
dan karena E
tertutup, maka Ex 0 .
![Page 17: PENGEMBANGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA SD - …€¦ · PPT file · Web view · 2012-07-01Dengan demikian p merupakan titik limit E. Karena f kontinu di p ( E, berakibat terdapat](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022021423/5ae16e347f8b9ad47c8bcba4/html5/thumbnails/17.jpg)
FUNGSI KONTINU
Selanjutnya, diperhatikan bahwa himpunan bxaxf | merupakan himpunan yang terbatas.
Berdasarkan sifat kelengkapan bilangan real, sup bxaxf | ada, dan namakan M = sup bxaxf | .
Karena M = sup bxaxf | , maka untuk setiap bilangan asli n, terdapat Eyn sehingga berlaku Myf
nM n
1 .
Fungsi f kontinu pada E, akibatnya f kontinu di Ex 0 dan karena
0lim xxknk
, maka 0lim xfxf
knk
.
Hal ini berakibat 0lim xfxfknk
untuk suatu Ex 0 . Kontradiksi.
Dengan demikian pengandaian salah, maka yang benar adalah f terbatas pada E.
![Page 18: PENGEMBANGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA SD - …€¦ · PPT file · Web view · 2012-07-01Dengan demikian p merupakan titik limit E. Karena f kontinu di p ( E, berakibat terdapat](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022021423/5ae16e347f8b9ad47c8bcba4/html5/thumbnails/18.jpg)
FUNGSI KONTINU Oleh karena itu, berdasarkan Teorema Limit Apit diperoleh
Myf nn
lim . Barisan ny merupakan barisan titik-titik di dalam E yang tertutup dan terbatas, oleh karena itu menurut Teorema Bolzano-Weirstrass terdapat barisan bagian
kny ny yang konvergen ke suatu titik , yaitu
knkylim .
Karena E tertutup, berakibat E. Fungsi f kontinu pada E dan E, maka f kontinu di E. Berdasarkan hasil tersebut di atas
knkylim , dan karena f kontinu
di E berakibat fyfknk
lim .
Hal ini berarti Myfyffkk nnnk
limlim .
Dengan kata lain, terdapat titik E sehingga xfMEx
sup .
![Page 19: PENGEMBANGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA SD - …€¦ · PPT file · Web view · 2012-07-01Dengan demikian p merupakan titik limit E. Karena f kontinu di p ( E, berakibat terdapat](https://reader030.vdocuments.mx/reader030/viewer/2022021423/5ae16e347f8b9ad47c8bcba4/html5/thumbnails/19.jpg)