penanganan autokorelasi

TUGAS EKONOMETRIKA

PENDETEKSIAN DAN PENANGANAN TERHADAP

PELANGGARAN

ASUMSI AUTOKORELASI

OLEH :

1.

2.

3.

4.

Delbra Andhini F

Cindy Cahyaning A

Amartha Anindita

Prawitra Kusumastuti

0910950028

0910951001

0910953001

0910953041

PROGRAM STUDI STATISTIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYA

MALANG

2012

Autokorelasi | 1

PENDETEKSIAN DAN PENANGANAN TERHADAP

PELANGGARAN

ASUMSI AUTOKORELASISalah satu dari asumsi penting dari model regresi linier klasik adalah bahwa kesalahan

atau gangguan ui yang masuk kedalam fungsi regresi populasi adalah random atau tak

berkorelasi. Jika asumsi ini dilanggar, masalah yang muncul adalah terjadi autokorelasi.

Autokorelasi dapat didefinisikan sebagai adanya korelasi antar galat atau dapat terjadi ketika

kovarians dan korelasi antar galat tidak samadengan nol. Uji autokorelasi bertujuan untuk

mengetahui apakah dalam suatu model regresi linier ada korelasi antar kesalahan pengganggu

(residual =ui) pada periode t dengan kesalahan pengganggu pada periode t-1 (periode

sebelumnya).

Beberapa alasan terjadinya autokorelasi:

a. Ommited important variable

Adanya variabel yang tidak digunakan. Misalkan Yt dipengaruhi oleh X2t dan X3t

Akan tetapi X3t tidak disertakan di dalam model.

b. Misspecification of the model

Misalkan Yt dipengaruhi oleh X2t secara kuadratik. Akan tetapi suku kuadratik X2t

tidak disertakan di dalam model.

c. Systematic errors in measurement

Kesalahan sistmatik dalam pengukuran. Jika variabel bersifat akumulatif, maka

kesalahan pengukuran juga akan terakumulatif Error di pengamatan t dipengaruhi

oleh error pada waktu sebelumnya

KONSEKUENSI AUTOKORELASI

Jika dilakukan penerapan OLS dalam situasi terdapat autokorelasi, konsekuensinya

sebagai berikut:

1. Jika autokorelasi diabaikan dalam penaksir OLS maka penduga mejadi tidak efisien

(walaupun penduga OLS tetap tidak bias). Oleh karena itu, selang kepercayaan

menjadi lebar sehingga pengujian signifikansi kurang tepat.

2. Jika kita tidak memperhatikan batas masalah autokorelasi sama sekali dan terus

menerapkan formula OLS konsekuensinya akan lebih serius, karena:

a. Varians residual 2 menduga terlalu rendah (underestimate) ó2 sebenarnya.

Autokorelasi | 2

b. Walaupun ó2 tidak diduga terlalu rendah, namun varians dan kesalahan standar

penduga OLS akan menduga varians terlalu rendah

c. Statisti Uji t dan F tidak lagi sah, dan jika diterapkan memberikan kesimpulan

yang tidak valid.

3. Meskipun penduga OLS tak bias, namun penduga OLS akan memberikan gambaran

yang menyimpang dari nilai populasi sebenarnya.

Autokorelasi | 3

+

-

-

tu

+

1ˆ tu

-3.7-6-6.5-6-3.1-5-30.5-11435787

+

-

Time

tu

+

-

-

tu

+

1ˆ tu

+

-

tu

Time

PENDETEKSIAN AUTOKORELASI

1. Metode Grafik

Asumsi nonautokorelasi dari model klasik berkenaan dengan gangguan populasi ui,

yang tidak dapat diamati secara langsung. Metode grafik merupakan langkah yang paling

mudah untuk dilakukan yaitu dengan membuat plot antara residual dan variabel bebas X atau

waktu atau membuat plot antara residual pada waktu ke-t dengan residual pada waktu t-1.

Pada metode grafik sering dijumpai kesulitan dalam menentukan ada atau tidaknya

autokorelasi dikarenakan penilaian yang subjektif sehingga menimbulkan perbedaan

kesimpulan diantara peneliti. Autokorelasi positif, ditunjukkan oleh pola siklus dari galat

seiring waktu, Autokorelasi negatif, ditunjukkan dari pola yang ‘alternating’ dari galat seiring

waktu dan tidak ada pola dari galat berarti tidak ada autokorelasi.

Autokorelasi Positif

Autokorelasi Negatif

Autokorelasi | 4

+

-

tu

Time

+tu

-

-

+

1ˆ tu

Non Autokorelasi

Metode grafik ini dapat dilengkapi dengan metode analitis yang memberikan statistik

uji untuk menunjukkan apakah pola nonrandom yang diamaati dalam u t yang ditaksir secara

statistik signifikan. Metode yang digunakan adalah statistik uji Durbin-Watson.

2. Statistik Uji Durbin-Watson

Metode ini hanya berlaku untuk model regresi yang variabel-variabel bebasnya tidak

mengandung lagged dependent variable (time lag). Statistik Uji Durbin Watson tidak

relevan digunakan dalam penaksiran model regresi yang menggunakan data cross section dan

penaksiran model regresi tanpa intercept.

Statistik d dari Durbin-Watson adalah

d =

∑t=2

t=N

(e t−e t−1 )2

∑t=1

t=N

e t2

Keuntungan besar dari statistik d adalah bahwa statistik tadi didasarkan pada

residual yang ditaksir, yang secara rutin dihitung dalam analisis regresi.

Asumsi dari statistik d Durbin-Watson adalah:

1. Model regresi mencakup unsur intersep

2. Variabel yang menjelaskan, X, adalah non stokastik

3. Galat-galat εubersifat bebas dan menyebar normal sesuai hubungan

εu = ρ εu-1 + zu

4. Model regresi tidak mengandung nilai yang terlambat (lagged) dari variabel tak bebas.

Autokorelasi | 5

Mekanisme test Durbin-Watson adalah sebagai berikut:

1. Lakukan regresi OLS dan dapatkan residual ei.

2. Hitung d.

3. Untuk ukuran sampel tertentu dan banyaknya variabel yang menjelaskan tertentu,

dapatkan nilai kritis dL dan dU.

4. Jika Hipotesis Ho adalah bahwa tidak ada serial korelasi positif, jika

d < dL : menolak Ho

d > dU : tidak menolak Ho

dL ≤ d ≥ dU : pengujian tidak meyakinkan

5. Jika Hipotesis Ho adalah bahwa tidak ada serial korelasi negatif, jika

d < 4 - dL : menolak Ho

d > 4 - dU : tidak menolak Ho

4 - dL ≤ d ≥ 4 - dU : pengujian tidak meyakinkan

6. Jika Ho adalah ujung-ujung, yaitu bahwa tidak ada serial korelasi positif atau negatif.

Secara umum Interpretasi uji Durbin-Watson dapat dinyatakan sebagai berikut :

Autokorelasi | 6

MENGATASI AUTOKORELASI

Berdasarkan pengetahuan tentang ρ diketahui

a. ρ diketahui

b. ρ tidak diketahui

a. Mengatasi autokorelasi ketika ρ diketahui

ρ diketahui dan diasumsikan autokorelasi terjadi seusai AR(1) model.

Model yang sama berlaku pada waktu ke t-1

...(1)

Model pada t-1 dikalikan dengan ρ

...(2)

Persamaan (1) dikurangi dengan persamaan (2)

Akibat pembedaan, pengamatan berkurang 1 maka pengamatan pertama digantikan dengan:

Autokorelasi | 7

Y t=β1+β2 X2t+β3 X3 t+…+ βk Xkt+ut

ut= ρut−1+εt

Y t−1=β1+β2 X2t−1+β3 X3t−1+…+βk Xkt−1+ut−1

ρY t−1=β1 ρ+β2 ρX 2 t−1+ β3 ρX 3t−1+…+βk ρX kt−1+ρut−1

Y t=β1+β2 X2t +β3 X3 t+…+ βk Xkt+ut

ρY t−1=β1 ρ+β2 ρX2 t−1+ β3 ρX 3t−1+…+βk ρX kt−1+ρut−1

Y t− ρY t−1=β1 (1−ρ )+β2 (X 2t−ρX2 t−1 )+…+βk ( Xkt−1−ρX kt−1)+(u t−ρut−1)

Y t¿=β1

¿+β2 X2 t¿ +…+βk X3 t

¿ +εt

Y 1¿=Y 1√1−ρ2 , X i 1

¿ =X i1√1−ρ2

b. Mengatasi autokorelasi ketika ρ tidak diketahui: Cochrane-Orcutt Iterative

Procedure

Langkah 1: duga model regresi dan dapatkan penduga galat

Langkah 2: duga koefisien korelasi serial orde 1 dengan metode OLS dari:

Langkah 3: Lakukan transformasi untuk peubah peubah yang dipakai dengan hubungan

berikut:

Langkah 4: Dapatkan penduga regresi dan penduga galat untuk persamaan berikut:

Ulangi lagi langkah 2 sampai dengan 4 sampai dipenuhi kriteria berikut:

Autokorelasi | 8

ut=ρu t−1+εt

Y t¿=Y t− ρ Y t−1 , β1

¿=β1 (1− ρ ) , X it¿ =X it− ρ X it−1

Y 1¿=Y 1√1− ρ2 , X i 1

¿ =X i1√1− ρ2

Y t¿=β t

¿+β2 X2 t¿ +…+ βk X3 t

¿ +εt

|ρ ( iterasi ke− j )− ρ (iterasi ke−( j−1 ) )|→0

Data yang digunakan berasal dari skripsi berjudul:

MODEL DINAMIS : AUTOREGRESSIVE DAN DISTRIBUSI LAG

Oleh

Natalia Jatiningrum

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

Data yang digunakan merupakan data sekunder hasil dari suatu penelitian yang

dilakukan untuk mengetahui hubungan antara pendapatan (Yt) dan investasi (Xt) suatu

perusahan. Penelitian dilakukan selama 20 tahun. Hasil penelitian adalah sebagai berikut:

Tahun Yt Xt

1990 52.9 30.3

1991 53.8 30.9

1992 54.9 30.9

1993 58.2 33.4

1994 60 35.1

1995 63.4 37.3

1996 68.2 41

1997 78 44.9

1998 84.7 46.5

1999 90.6 50.3

2000 98.2 53.5

2001 101.7 52.8

2002 102.7 55.9

2003 108.3 63

2004 124.7 73

2005 157.9 84.8

Autokorelasi | 9

2006 158.2 86.6

2007 170.2 98.9

2008 180 110.8

2009 198 124.7

MENDETEKSI AUTOKORELASI

1. Metode Grafik

Metode grafik dilakukan dengan membuat plot antara residual pada waktu ke-t

dengan residual pada waktu t-1. Langkah awal adalah mencari nilai residual pada waktu ke-t

dengan residual pada waktu t-1, kemudian membuat plot antara kedua nilai tersebut.

Regresi antara Yt dan Xt

Regression Analysis: Yt versus Xt

The regression equation is

Yt = 6,62 + 1,63 Xt

Predictor Coef SE Coef T P

Constant 6,624 3,327 1,99 0,062

Xt 1,63103 0,05093 32,02 0,000

S = 6,27202 R-Sq = 98,3% R-Sq(adj) = 98,2%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Regression 1 40339 40339 1025,43 0,000

Residual Error 18 708 39

Total 19 41047

Unusual Observations

Obs Xt Yt Fit SE Fit Residual St Resid

Autokorelasi | 10

16 85 157,90 144,94 1,91 12,96 2,17R

20 125 198,00 210,01 3,62 -12,01 -2,34RX

R denotes an observation with a large standardized residual.

X denotes an observation whose X value gives it large influence.

Durbin-Watson statistic = 0,696550

Berdasarkan persamaan regresi Yt = 6,62 + 1,63103 Xt dapat diperoleh nilai residual berdasarkan

persamaan berikut :

Ut =Yt- Y t

Nilai residual pada waktu ke-t dengan residual pada waktu t-1, adalah sebagai berikut :

Tahun yt y t xt ut ut-1

1990 52,9 56,009 30,3 -3,1444 *

1991 53,8 56,987 30,9 -3,223 -3,1444

1992 54,9 56,987 30,9 -2,123 -3,223

1993 58,2 61,062 33,4 -2,9006 -2,123

1994 60 63,833 35,1 -3,8733 -2,9006

1995 63,4 67,419 37,3 -4,0616 -3,8733

1996 68,2 73,45 41 -5,2964 -4,0616

1997 78 79,807 44,9 -1,8574 -5,2964

1998 84,7 82,415 46,5 2,233 -1,8574

1999 90,6 88,609 50,3 1,9351 2,233

2000 98,2 93,825 53,5 4,3158 1,9351

2001 101,7 92,684 52,8 8,9575 4,3158

2002 102,7 97,737 55,9 4,9013 8,9575

2003 108,3 109,31 63 -1,079 4,9013

2004 124,7 125,61 73 -0,9892 -1,079

2005 157,9 144,844 84,8 12,9646 -0,9892

2006 158,2 147,778 86,6 10,3288 12,9646

2007 170,2 167,827 98,9 2,2672 10,3288

Autokorelasi | 11

2008 180 187,224 110,8 -7,3421 2,2672

2009 198 209,881 124,7 -12,0133 -7,3421

Plot antara residual pada waktu ke-t dengan residual pada waktu t-1 adalah sebagai berikut :

Autokorelasi | 12

Interpretasi :

Pada plot antara residual pada waktu ke-t dengan residual pada waktu t-1 terdapat

pola dari galat. Pola tersebut menunjukkan adanya autokorelasi positif antar galat. Jadi

dengan metode grafik dapat diketahui bahwa data tersebut mengalami masalah autokorelasi

dan autokorelasinya adalah autokorelasi positif.

Untuk metode grafik sering dijumpai kesulitan dalam menentukan ada atau tidaknya

autokorelasi dikarenakan penilaian yang subjektif sehingga menimbulkan perbedaan

kesimpulan diantara peneliti. Oleh karena itu digunakan statistik uji Durbin-Watson untuk

pengujian ada tidaknya autokorelasi secara analitis.

Autokorelasi | 13

2. Statistik Uji Durbin-Watson

Regresi antara Yt dan Xt

Regression Analysis: Yt versus Xt

The regression equation is

Yt = 6,62 + 1,63 Xt

Predictor Coef SE Coef T P

Constant 6,624 3,327 1,99 0,062

Xt 1,63103 0,05093 32,02 0,000

S = 6,27202 R-Sq = 98,3% R-Sq(adj) = 98,2%


Source DF SS MS F P

Regression 1 40339 40339 1025,43 0,000

Residual Error 18 708 39

Total 19 41047


Obs Xt Yt Fit SE Fit Residual St Resid

16 85 157,90 144,94 1,91 12,96 2,17R

20 125 198,00 210,01 3,62 -12,01 -2,34RX

R denotes an observation with a large standardized residual.

X denotes an observation whose X value gives it large influence.


Autokorelasi | 14

Secara umum interpretasi satistik uji durbin watson dapat dinyatakan sebagai berikut:

Interpretasi :

Berdasarkan output software Minitab diperoleh nilai statistik uji Durbin-Watson

adalah sebesar 0,696550. Dari tabel Durbin Watson didapat bahwa nilai d L dan dU secara

berturut-turut adalah 1,2015 dan 1,4107 dengan n=20 dan k =1 (Jumlah variabel bebas). Nilai

statistik uji Durbin-Watson (0,696550) < d L (1,2015). Sehingga dapat disimpulkan bahwa

terjadi autokorelasi positif pada data.

Pendeteksian adanya autokorelasi pada data menggunakan metode grafik dan statistik

uji Durbin-Watson menghasilkan kesimpulan yang sama yaitu terdapat autokorelasi positif

pada data. Sehingga hasil pengujian terhadap pendeteksian autokorelasi terbukti.

Autokorelasi | 15

MENGATASI AUTOKORELASI

1. Mengatasi autokorelasi ketika ρ diketahui

Mencari nilai ρ dengan meregresikan antata Ut dengan Ut-1.

ut ut-1

-3,1444 *

-3,223 -3,1444

-2,123 -3,223

-2,9006 -2,123

-3,8733 -2,9006

-4,0616 -3,8733

-5,2964 -4,0616

-1,8574 -5,2964

2,233 -1,8574

1,9351 2,233

4,3158 1,9351

8,9575 4,3158

4,9013 8,9575

-1,079 4,9013

-0,9892 -1,079

12,9646 -0,9892

10,3288 12,9646

2,2672 10,3288

-7,3421 2,2672

-12,0133 -7,3421

Hasil regresi antara Ut dengan Ut-1 adalah sebagai berikut :

Regression Analysis: ut versus ut-1

The regression equation isut = 0,682 ut-1

19 cases used, 1 cases contain missing values

Autokorelasi | 16

ut= ρu t−1+εt

Predictor Coef SE Coef T PNoconstantut-1 0,6818 0,2073 3,29 0,004

S = 4,92237


Source DF SS MS F PRegression 1 262,07 262,07 10,82 0,004Residual Error 18 436,13 24,23Total 19 698,20


Obs ut-1 ut Fit SE Fit Residual St Resid 16 -1,0 12,96 -0,67 0,21 13,64 2,77R 17 13,0 10,33 8,84 2,69 1,49 0,36 X 18 10,3 2,27 7,04 2,14 -4,77 -1,08 X

R denotes an observation with a large standardized residual.X denotes an observation whose X value gives it large influence.


Jadi didapatkan nilai ρ sebesar 0,682.

Langkah selanjutnya adalah mencari nilai-nilai sesuai dengan persamaan berikut :

Model pada t-1 dikalikan dengan ρ

...(2)

Persamaan (1) dikurangi dengan persamaan (2)

Akibat pembedaan, pengamatan berkurang 1 maka pengamatan pertama digantikan dengan:

Autokorelasi | 17

ρY t−1=β1 ρ+β2 ρX 2 t−1+ β3 ρX 3t−1+…+βk ρX kt−1+ρut−1

Y t=β1+β2 X2t +β3 X3 t+…+ βk Xkt+ut

ρY t−1=β1 ρ+β2 ρX2 t−1+ β3 ρX 3t−1+…+βk ρX kt−1+ρut−1

Y t− ρY t−1=β1 (1−ρ )+β2 (X 2t−ρX2 t−1 )+…+βk ( Xkt−1−ρX kt−1)+(u t−ρut−1)

Y t¿=β1

¿+β2 X2 t¿ +…+βk X3 t

¿ +εt

Nilai-nilai tersebut tersedia pada tabel berikut :

Yt-1 X t-1 ρ*Y t-1 ρ*X t-1 Yt-(ρ*Y t-1) Xt-(ρ*Xt-1)* * * * 38,6885 22,16

52,9 30,3 36,078 20,6646 17,7222 10,235453,8 30,9 36,692 21,0738 18,2084 9,826254,9 30,9 37,442 21,0738 20,7582 12,326258,2 33,4 39,692 22,7788 20,3076 12,321260 35,1 40,92 23,9382 22,48 13,3618

63,4 37,3 43,239 25,4386 24,9612 15,561468,2 41 46,512 27,962 31,4876 16,93878 44,9 53,196 30,6218 31,504 15,8782

84,7 46,5 57,765 31,713 32,8346 18,58790,6 50,3 61,789 34,3046 36,4108 19,195498,2 53,5 66,972 36,487 34,7276 16,313101,7 52,8 69,359 36,0096 33,3406 19,8904102,7 55,9 70,041 38,1238 38,2586 24,8762108,3 63 73,861 42,966 50,8394 30,034124,7 73 85,045 49,786 72,8546 35,014157,9 84,8 107,688 57,8336 50,5122 28,7664158,2 86,6 107,892 59,0612 62,3076 39,8388170,2 98,9 116,076 67,4498 63,9236 43,3502180 110,8 122,76 75,5656 75,24 49,1344

Langkah berikutnya adalah meregresikan antara Yt-(ρ*Y t-1) dengan Xt-(ρ*Xt-1). Hasil regresi

antara Yt-(ρ*Y t-1) dengan Xt-(ρ*Xt-1) adalah sebagai berikut :

Regression Analysis: Yt-roYt-1 versus Xt-roXt-1

The regression equation isYt-roYt-1 = 4,49 + 1,52 Xt-roXt-1

Predictor Coef SE Coef T PConstant 4,492 2,391 1,88 0,077Xt-roXt-1 1,51570 0,09455 16,03 0,000

S = 4,72601 R-Sq = 93,5% R-Sq(adj) = 93,1%


Source DF SS MS F PRegression 1 5739,7 5739,7 256,98 0,000Residual Error 18 402,0 22,3

Autokorelasi | 18

Y 1¿=Y 1√1−ρ2 , X i 1

¿ =X i1√1−ρ2

Total 19 6141,7


Obs Xt-roXt-1 Yt-roYt-1 Fit SE Fit Residual St Resid 16 35,0 72,85 57,56 1,57 15,29 3,43R 20 49,1 75,24 78,96 2,72 -3,72 -0,96 X

R denotes an observation with a large standardized residual.X denotes an observation whose X value gives it large influence.



Interpretasi :

Berdasarkan output software Minitab diperoleh nilai statistik uji Durbin-Watson

adalah sebesar 1,37510. Dari tabel Durbin Watson didapat bahwa nilai d L dan dU secara

berturut-turut adalah 1,2015 dan 1,4107 dengan n=20 dan k =1 (Jumlah variabel bebas). Nilai

statistik uji Durbin-Watson (1,37510) berada diantara d L(1,2015) dan dU (1,407) . Statistik uji

Durbin-Watson berada pada daerah inconclusive, sehingga tidak dapat disimpulkan apakah

terjadinya autokorelasi positif pada data sudah dapat diatasi atau tidak. Untuk mengatasi hal

ini digunakan metode Iterative Cohran- Orcutt dalam mengatasi adanya autokorelasi pada

data.

2. Metode Iterative Cohran- Orcutt

Metode Iterative Cohran- Orcutt dilakukan dengan menggunakan sofware Gretl. Output

sofware Gretl adalah sebagai berikut :

Performing iterative calculation of rho...

Autokorelasi | 19

ITER RHO ESS 1 0,68180 401,658 2 0,72341 399,605 3 0,73594 399,4 4 0,74024 399,375 5 0,74178 399,372 6 0,74234 399,372

Model 2: Cochrane-Orcutt, using observations 1991-2009 (T = 19)Dependent variable: Ytrho = 0,742338

coefficient std. error t-ratio p-value --------------------------------------------------------- const 15,8421 9,33391 1,697 0,1079 Xt 1,49252 0,110253 13,54 1,56e-010 ***

Statistics based on the rho-differenced data:

Mean dependent var 105,8789 S.D. dependent var 46,17620Sum squared resid 399,3716 S.E. of regression 4,846901R-squared 0,989594 Adjusted R-squared 0,988982F(1, 17) 183,2578 P-value(F) 1,56e-10rho 0,268199 Durbin-Watson 1,441706


Interpretasi :

Berdasarkan output software Gretl diperoleh nilai statistik uji Durbin-Watson adalah

sebesar 1,441706. Dari tabel Durbin Watson didapat bahwa nilai d L dan dU secara berturut-

turut adalah 1,2015 dan 1,4107 dengan n=20 dan k =1 (Jumlah variabel bebas). Nilai statistik

uji Durbin-Watson (1,441706) berada diantara dU (1,407) dan 4-dU (2.5893 ) .Sehingga dapat

disimpulkan bahwa masalah autokorelasi sudah teratasi dan hasil pengujian menjadi valid.

Selain menggunakan statistik uji Durbin-Watson, dapat dilihat juga selisih nilai ρ dari

proses iterasi pada metode Cohran- Orcutt. Selisih nilai ρ dapat dihitung berdasarkan

persamaan berikut :

Autokorelasi | 20

|ρ ( iterasi ke− j )− ρ (iterasi ke−( j−1 ) )|→0

Selisih nilai ρ adalah sebagai berikut :

|0,74234-0,74178| = 0,00056

Berdasarkan selisih nilai ρ sebesar 0,00056 (mendekati nol) juga dapat disimpulkan bahwa

masalah autokorelasi sudah teratasi dan hasil pengujian menjadi valid.

Autokorelasi | 21

penanganan autokorelasi

Science