pemodelan matematika 1

i

PEMODELAN

MATEMATIKA

(BAGIAN 1)

Oleh :

Dr. Ir. Andang Widi Harto, M. T.

Jurusan Teknik Fisika

Fakultas Teknik

Universitas Gadjah Mada

ii

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, puji syukur kita panjatkan ke hadlirat Allah SWT atas

terselesaikannya buku ini. Shalawat beserta salam semoga terlimpah kepada Rasulullah

Muhammad saw.

Buku ini disusun untuk dapat digunakan sebagai bahan bagi kuliah Matematika

Teknik 2 yang merupakan mata kuliah wajib yang diselenggarakan oleh Program Studi

Teknik Nuklir yang terdapat pada Jurusan Teknik Nuklir, Fakultas Teknik Universitas

Gadjah Mada.

Buku ini menjelaskan pengertian pemodelan matematika dan metode-metode untuk

mendapatkan persamaan umum bagi berbagai proses fisis. Penyusunan persamaan proses

dengan pendekatan lumped parameter dijelaskan pada bagian awal buku ini. Vektor dan tensor merupakan hal yang penting untuk dipahami dalam penyusunan

model matematika. Oleh karena itu, pembahasan tentang vektor dan tensor diberi porsi

cukup detail. Pembahasan vektor dan tensor meliputi penulisan komponen vektor dan

tensor pada berbagai sistem koordinat yang banyak digunakan, yaitu sistem koordinat

Cartesian, Silinder dan Bola. Di samping itu, dibahas juga aljabar yang melibatkan vektor

dan tensor (perkalian dan penjumlahan) serta kalkulus yang melibatkan vektor dan tensor

(diferensiasi dan integrasi).

Selanjutnya buku ini membahas penurunan berbagai persamaan proses umum

seperti persamaan kontinuitas, persamaan tranport (energi, massa dan berbagai proses) dan

persamaan transport momentum.

Walaupun demikian tetap masih banyak aspek potensial yang belum tersentuh

untuk dibahas dalam buku ini. Oleh karena itu, pembaca yang kreatif diharapkan mampu

untuk menemukan aspek-aspek tersebut. Jika diinginkan, maka pembaca dapat mendalami

lebih lanjut untuk melakukan penelaahan secara lebih detail, yaitu melakukan perhitungan-

perhitungan secara lebih rinci dalam rangka untuk mendapatkan gambaran desain dari

sistem kogenersai nuklir.

Yogyakarta, 10 Oktober 2011

Penulis,

Dr. Ir. Andang Widi Harto, M.T.

iii

DAFTAR ISI

Halaman Judul i

Kata Pengantar ii

Daftar Isi iii

PENDAHULUAN 1

A Pemodelan matematika 1

B Proses-proses Fisis Dasar 1

1 Proses Reaksi 1

2 Proses Transport 2

3 Rangkumam Proses-proses Fisis Dasar 3

C Berbagai Jenis Proses Transport 4

1 Proses Transport Difusif 4

2 Proses Transport Advektif 5

3 Proses Transport Antar Muka 5

4 Proses Transport Non Kontinum 6

D Berbagai Jenis Medium 6

E Berbagai Jenis Pemodelan Matematis 7

1 Sistem Ruang Waktu Empirik 7

2 Dimensi 7

3 Pemodelan Lumped Parameter dan Distributed Parameter 8

4 Pemodelan Tunak (Steady State) dan Transient 8

5 Bentuk Persamaan Matematika Hasil Pemodelan 8

BAB I PEMODELAN LUMPED PARAMETER 10

A Penjelasan Umum Pemodelan Lumped Parameter 10

B Penurunan Persamaan Proses Umum dengan Pemodelan Lumped

Parameter

11

1 Penyusunan Persamaan Kontinuitas Medium 12

2 Penyusunan Persamaan Proses Secara Umum 14

3 Penyusunan Persamaan Proses Transfer Massa atau Reaksi Kimia 16

4 Penyusunan Persamaan Energi Total 17

5 Penyusunan Persamaan Energi Mekanik 19

6 Penyusunan Persamaan Energi Termal 20

C Sistem dengan Gaya Pengembali (Restoring Force) 24

1 Penyusunan Persamaan Gerak Sistem Elastis dengan Gaya Pengembali 25

iv

2 Perilaku Sistem Kekanik Elastis 26

BAB II KALKULUS VEKTOR DAN TENSOR 30

A Pengertian 30

1 Pengertian skalar 30

2 Pengertian vektor 30

3 Pengertian tensor 30

B Sistem Koordinat dan Elemen Volume 30

1 Sistem Koordinat Cartesian 30

2 Sistem Koordinat Silinder 31

3 Sistem Koordinat Bola 32

C Notasi atau Penulisan Vektor dan Transformasi Koordinat 33

1 Notasi atau Penulisan Vektor 33

2 Transformasi komponen vektor dari sistem koordinat Cartesian ke

sistem koordinat Silinder atau sebaliknya

36

3 Transformasi vektor satuan dari sistem koordinat Cartesian ke sistem

koordinat Silinder atau sebaliknya

39

4 Transformasi komponen vektor dari sistem koordinat Cartesian ke

sistem koordinat Bola atau sebaliknya

39

5 Transformasi vektor satuan dari sistem koordinat Bola ke sistem

koordinat Cartesian atau sebaliknya

43

D Metrik dan Transformasi Sistem Koordinat Secara Umum 43

1 Transformasi Sistem Koordinat Secara Umum untuk Ruang Empirik 3D 43

2 Metrik 45

E Notasi atau Penulisan Tensor dan Transformasi Koordinat

Komponen Tensor

60

1 Notasi atau Penulisan Tensor 60

2 Operasi Transpose 61

3 Tensor Simetris 62

4 Transformasi komponen tensor antara sistem koordinat Cartesian dan

sistem koordinat Silinder

62

5 Transformasi komponen tensor simetris antara sistem koordinat

Cartesian dan sistem koordinat Silinder

65

6 Transformasi komponen tensor antara sistem koordinat Cartesian dan

sistem koordinat Bola

66

7 Transformasi komponen tensor simetris antara sistem koordinat

Cartesian dan sistem koordinat Bola

71

F Aljabar Vektor dan Tensor 72

1 Operasi Penjumlahan dan Pengurangan 72

2 Order besaran 74

3 Operasi perkalian dua besaran 74

v

4 Operasi dyad antara skalar dengan skalar dengan hasil skalar 74

5 Operasi perkalian dyad antara skalar dengan vektor dengan hasil vektor 75

6 Operasi perkalian dyad antara scalar dengan tensor dengan hasil tensor 75

7 Operasi perkalian dyad antara vektor dengan vektor dengan hasil tensor 75

8 Operasi perkalian dot () antara vektor dengan vektor dengan hasil skalar 76

9 Operasi perkalian dot () antara vektor dengan tensor dengan hasil

vektor

77

10 Operasi perkalian dot () antara tensor dengan tensor dengan hasil tensor 77

11 Operasi perkalian cross () antara vektor dengan vektor dengan hasil

vektor

78

12 Operasi perkalian dobel dot (:) antara tensor dengan tensor dengan hasil

skalar

79

G Transformasi Koordinat Komponen Hasil Perkalian Dyad Vektor 79

1 Transformasi komponen hasil perkalian dyad dua vektor antara sistem

koordinat Silinder dengan sistem koordinat Cartesian

79

2 Transformasi komponen hasil perkalian dyad vektor yang sama antara

sistem koordinat Cartesian dan sistem koordinat Silinder

80

3 Transformasi komponen hasil perkalian dyad dua vektor antara sistem

koordinat Bola dengan sistem koordinat Cartesian

81

4 Transformasi komponen hasil perkalian dyad vektor yang sama antara

sistem koordinat Cartesian dan sistem koordinat Bola

83

H Kalkulus Diferensiasi 84

1 Diferensiasi Skalar, Vektor Dan Tensor Terhadap Variabel Skalar (t) 84

2 Operator Diferensial vektor (Operator Del = Operator Grad = ) 84

3 Transformasi Koordinat komponen operator Grad 88

4 Operator Atau Operator Div 95

5 Operator atau Operator Curl 102

6 Operator 2 atau Laplacian 103

7 Operator diferensial order 2 lainnya 105

I Integrasi 105

1 Integrasi terhadap variabel skalar 105

2 Integrasi terhadap variable vektor 108

J Fluks Transport Diffusif dengan Parameter Transport Skalar 115

1 Perhitungan fluks transport difusif pada system koordinat Cartesian 116

2 Perhitungan fluks transport difusif pada system koordinat Silinder 118

3 Perhitungan fluks transport difusif pada system koordinat Bola 119

4 Rangkuman fluks transport difusif 120

K Fluks Transport Advektif dengan Parameter Transport Skalar 121

BAB III PENURUNAN PERSAMAAN KONTINUITAS 122

A Persamaan Kontinuitas Medium Secara Umum (Medium Fluida 122

vi

Kompresibel)

1 Penyusunan persamaan kontinuitas medium pada sistem Koordinat

Cartesian

122

2 Penyusunan persamaan kontinuitas medium pada sistem Koordinat

Silinder

124

3 Penyusunan persamaan kontinuitas medium pada sistem Koordinat Bola 127

4 Rangkuman Bentuk persamaan kontinuitas medium secara umum 129

B Persamaan Kontinuitas Medium Fluida Non Kompresibel 130

C Persamaan Kontinuitas Medium Solid 131

BAB IV PENURUNAN PERSAMAAN TRANSPORT VARIABEL

SKALAR

132

A Persamaan Transport Secara Umum (Medium Fluida Kompresibel) 132

1 Penyusunan persamaan transport umum pada sistem Koordinat

Cartesian

132

2 Penyusunan persamaan transport umum pada sistem Koordinat Silinder 135

3 Penyusunan persamaan transport umum pada sistem Koordinat Bola 139

4 Rangkuman Bentuk persamaan persamaan transport umum 143

B Persamaan Transport pada Medium Fluida Non Kompresibel 144

C Persamaan Transport pada Medium Solid (Padatan) 146

D Aplikasi untuk Proses Transfer Kalor pada Medium Satu Fasa 147

1 Persamaan transfer kalor untuk medium fluida kompresibel 147

2 Persamaan transfer kalor untuk medium fluida non kompresibel 149

3 Persamaan transfer kalor untuk medium solid (padatan) isotropis 150

E Aplikasi untuk Proses Transfer Massa Komponen Terlarut pada

Larutan atau Campuran Encer (Dilute Solution) pada Medium Satu

Fasa

150

1 Persamaan transfer massa komponen terlarut ke-i pada larutan encer

untuk medium fluida kompresibel

151


untuk medium fluida non kompresibel

152


untuk medium solid isotropis

153

F Aplikasi untuk Aliran Fluida dalam Medium Berpori Isotropis 154

1 Persamaan aliran fluida kompresibel dalam medium solid berpori yang

bersifat isotropis

154

2 Persamaan aliran fluida non kompresibel dalam medium solid berpori

yang bersifat isotropis

155

vii

G Aplikasi dalam Fisika Reaktor Nuklir 156

H Syarat Batas 127

BAB V PENURUNAN PERSAMAAN GERAK MEDIUM (PERSAMAAN

TRANSPORT MOMENTUM)

159

A Persamaan Gerak Medium untuk Aliran Laminar 159

1 Penyusunan persamaan gerak medium pada sistem Koordinat Cartesian 159

2 Penyusunan persamaan gerak medium pada sistem koordinat Silinder 164

3 Penyusunan persamaan gerak medium pada sistem koordinat Bola 176

4 Rangkuman persamaan gerak medium secara umum 177

B Persamaan Gerak pada Medium Fluida Non Kompresibel Aliran

Laminar

179

1 Penjelasan umum untuk semua sistem koordinat 179

2 Persamaan gerak pada medium fluida non kompresibel pada sistem

koordinat Cartesian

179

3 Persamaan gerak pada medium fluida non kompresibel pada sistem

koordinat Silinder

180

4 Penyusunan persamaan gerak medium pada sistem koordinat Bola 192

5 Rangkuman persamaan gerak medium fluida non kompresibel 193

C Transfer Momentum Difusif Dalam Fluida Newtonian Aliran

Laminar

194

1 Fluks Transfer momentum difusif pada sistem koordinat Cartesian 195

2 Fluks Transfer momentum difusif pada sistem koordinat Silinder 197

3 Fluks Transfer momentum difusif pada sistem koordinat Bola 198

4 Rangkuman persamaan gerak untuk medium fluida Newtonian non

kompresibel dengan viskositas kontan

200

D Rangkuman Persamaan Gerak Medium Fluida Aliran Laminar

dalam Notasi Umum

201

E Fluida Newtonian Aliran Turbulen 202

G Syarat Batas Persamaan Gerak Medium 203

1 Batas permukaan bebas 203

2 Batas antar muka dengan medium padatan 203

3 Batas antar muka antar medium fluida 204

BAB VI FENOMENA TRANSPORT LANJUT 205

A Proses Transport Difusif pada Medium Padatan Anisotropis 205

1 Proses transport difusif pada mdium anisotrop 205

2 Proses transport difusif pada mdium ortotrop 207

viii

B Proses Transport Massa Sistem Multikomponen Non Encer 208

1 Medium fluida campuran non encer 208

2 Medium padatan campuran non encer isotrop 209

3 Medium padatan campuran non encer anisotrop dan ortotrop 209

C Aplikasi Fisika Reaktor Nuklir dengan Memperhitungkan Energi

Neutron

210

D Proses Transport pada Medium Multifasa Koeksis 211

1 Pendekatan non setimbang 211

2 Pendekatan setimbang 213

E Penjalaran Gelombang pada Medium 214

1 Penjalaran gelombang pada medium padatan elastis 214

2 Penjalaran gelombang pada medium fluida 215

1

PENDAHULUAN

A. PEMODELAN MATEMATIKA

Pemodelan matematika adalah perumusan proses-proses fisis (empiris) yang

disebet sebagai problem fisik dalam bentuk persamaan matematika. Persamaan yang

diperoleh pada dasarnya masih merupakan persamaan diferensial sehingga diperlukan

penyelesaian persamaan diferensial tersebut. Penyelesaian persamaan ini selanjutnya

diinterpretasikan dan digunakan untuk memahami proses fisik yang bersangkutan sebagai

penyelesaian dari problem fisik yang bersangkutan.

Secara skematik alur berfikir dalam membuat model matematikan serta

menyelesaikannya dalam rangka menyelesaikan problem fisik dapat dilihat pada Gambar

1.1

EMPIRICAL DOMAIN MIND DOMAIN

REAL

(PHYSICAL)

PROBLEM

GOVERNING

MATHEMATICAL

EQUATION

MATHEMATICAL

SOLUTION

INTERPRETATION SOLVING THE

REAL PROBLEM

Gambar 0.1. Diagram skematik pemodelan matematika

B. PROSES-PROSES FISIS DASAR

Proses-proses fisis dasar secara umum dapat dibagi menjadi dua macam, yaitu

proses reaksi dan proses transport.

1. Proses Reaksi

Proses reaksi adalah semua proses yang membentuk atau menghilangkan suatu

variabel proses. Sebagai contoh, reaksi endotermik (fisika, kimia maupun nuklir) adalah

reaksi yang menghilangkan variabel proses berupa kalor sedangkan reaksi eksotermik

(fisika, kimia maupun nuklir) adalah reaksi yang membentuk variabel proses berupa kalor.

Reaksi kimia adalah reaksi yang menghilangkan variabel proses berupa massa

ataumol reaktan dan membentuk variabel proses berupa massa atau mol produk reaksi.

Secara umum proses reaksi mengikuti persamaan dasar sebagai berikut :

2

N

RkR ''' (0.1)

Dalam hal ini :

Rk : Koefisien kecepatan reaksi

N : Order reaksi

'''R : Laju reaksi (jumlah reaksi per satuan volume per satuan waktu) : Variabel Proses

Tanda minus pada persamaan (0.1) berlaku pada reaksi yang menghilangkan suatu variabel

proses sedabgkan tanda plus pada persamaan (0.1) berlaku untuk reaksi yang membentuk

variabel proses.

2. Proses Transport

Proses transport adalah perpindahan suatu variabel proses. Misalnya proses trasfer

kalor adalah proses perpindahan variabel proses berupa kalor. Proses transfer massa adalah

proses perpindahan variabel proses berupa massa atau mol dari suatu spesies kimia. Proses

transfer momentum adalah proses perpindahan variabel proses berupa momentum atau

gerakan suatu medium (fluida) dan masih banyak lagi.

Secara garis besar, proses transport dibedakan menjadi dua macam, yaitu :

- proses transport yang secara empirik tampak berlangsung melalui medium, yang selanjutnya disebut sebagai proses transport kontinuum

- proses transport yang secara empirik tampak berlangsung tanpa melalui medium, yang selanjutnya disebut sebagai proses transport non kontinuum

Proses transport kontinuum dapat dibedakan lagi menjadi tiga macam, yaitu :

- proses transport difusif - proses transport advektif - proses transport antar muka

a. Proses transport difusif

Proses transport difusif adalah proses transport yang secara empirik berlangsung

melalui medium tanpa ada gerakan makro dari medium yang dilaluinya. Dalam hal ini,

proses transport secara empirik tampak terjadi dengan adanya gradien suatu parameter

transport (misalnya suhu pada proses transfer kalor, konsentrasi pada proses transfer

massa, kecepatan pada proses transfer momentum). Proses akan terjadi mengarah ke posisi

di mana nilai parameter transport lebih rendah. Proses transport difusif dapat terjadi pada

medium yang dapat mengalir (fluida) maupun medium yang tidak dapat mengalir (solid /

padatan). Persamaan dasar untuk proses transfer difusif adalah :

Dj (0.2)

Dalam hal ini :

Dj : Fluks transfer diffusif (besaran per satuan luas per satuan waktu)

: Koefisien transport diffusif : Parameter transport

3

: Operator diferensiasi terhadap vektor posisi (operator grad)

b. Proses transport advektif

Proses transport advektif adalah proses transport yang terjadi akibat gerakan

(aliran) dari medium. Dengan demikian, proses transport advektif hanya dapat terjadi pada

medium yang dapat mengalir (fluida). Pada proses transport advektif, arah proses transport

adalah sama dengan aran aliran medium fluida tersebut. Dengan demikian, persamaan

dasar untuk proses transport advektif adalah :

vjA (0.3)

Dalam hal ini :

Aj : Fluks transfer advektif (besaran per satuan luas per satuan waktu)

v : Kecepatan linier aliran medium (jarak per satuan waktu)

: Variabel Proses

c. Proses transport antar muka

Proses transport antar muka terjadi pada batas antara dua medium yang memiliki

sifat-sifat fisik (koefisiem transport) yang berbeda. Kedua medium tersebut bisa keduanya

solid atau salah satu solid dan yang lainnya fluida.

Arah proses ini adalah menuju ke medium yang memiliki nilai parameter transport

lebih rendah dan selalu mengikuti arah vektor permukaan pada batas kedua medium yang

bersangkutan.

Persamaan dasar untuk proses transport antar muka adalah :

22,1121,, Kj nnI (0.4)

Dalam hal ini :

Ij : Fluks transfer antar muka dari medium 1 ke medium 2 (besaran per satuan luas

per satuan waktu)

n : Vektor normal permukaan

n : Koefisien transfer antar muka dari medium 1 ke medium 2

2,1K : Koefisien kesetimbangan antara medium 1 dan medium 2

1 : Nilai parameter transport pada medium 1

2 : Nilai parameter transport pada medium 2

d. Proses transport non kontinuum

Proses transport non kontinuum adalah proses transport yang secara empirik terjadi

tanpa melalui medium. Tidak ada persamaan umum yang berlaku untuk proses ini. Salah

satu contoh proses transport non kontinum adalah proses transfer kalor radiasi.

3. Rangkuman Proses-Proses Fisik Dasar

Berdasarkan uraian di atas, berbagai proses fisik dasar dapat dirangkum dalam

Gambar 0.2.

4

REAL

(PHYSICAL)

PROBLEM

PROSES REAKSI

N

RkR '''

PROSES

TRANSPORT

NON

CONTINUUM

CONTINUUM

DIFUSSIF

Dj

ADVEKTIF

vjA

INTERFACE

22,1121,, Kj nnI

Gambar 0.2. Klasifikasi umum proses-proses fisik

C. BERBAGAI JENIS PROSES TRANSPORT

Berbagai jenis proses transport dasar (difusif, advektif, antar muka dan non

kontinuum) dapat terjadi pada berbagai macam proses transport (transfer kalor, transfer

massa, transfer momentum dan sebagainya). Parameter transport, fluks variable transport,

koefisien transport harus diformulasikan sesuai dengan proses yang bersangkutan.

1. Proses transport difusif

Berbagai jenis proses transport difusif dapat dilihat rangkumannya pada Tabel 0.1.

Tabel 0.1. Berbagai macam proses transport transport difusif

Proses Bentuk

persamaan

Parameter

transport

Koefisien

transport

Fluks

transport

Nama

khusus

Bentuk

umum

Dj

Dj

Konduksi

kalor Tkq D

''

T (suhu)

k

(konduktifitas)

Dq '' Hukum

Fourier

Difusi massa CDjD

C

(konsentrasi)

D (koefisien

difusi massa)

Dj Hukum

Fick

Transfer

momentum

difusif

vD

v

(kecepatan)

(viskositas)

D Hukum

Newton

Difusi

neutron

Dj

(fluks

neutron)

D (koefisien

difusi neutron)

j Hukum

Fick

Aliran dalam

medium

berpori pm

''

p

(tekanan

total)

(permeabilitas

medium)

''m

(fluks aliran

massa)

Hukum

D Arcy

5

2. Proses transport advektif

Berbagai jenis proses transport advektif dapat dilihat rangkumannya pada Tabel

0.2.

Tabel 0.2. Berbagai macam proses transport transport advektif

Proses Bentuk persamaan Parameter transport Fluks transport

Bentuk umum

vjA

Aj

Transfer kalor

advektif Tcvq pA

''

Tc p

( = denitas massa medium,

pc = kalor jenis medium,

T = suhu)

Aq ''

(fluks transfer

kalor advektif)

Transfer massa

advektif CvjA

C

(konsentrasi)

Aj

(fluks transfer

massa advektif)

Transfer

momentum

advektif

vvA

v

( = denitas massa medium,

v = kecepatan)

A

(fluks transfer

momentum

advektif)

3. Proses transport antar muka

Berbagai jenis proses transport antar muka dapat dirangkum pada Tabel 0.3.

Tabel 0.3. Berbagai macam proses transport transport antar muka

Proses Bentuk persamaan

Para-

meter

transport

Koefisien

Transport

Koe-

fisien

kesetim-

bangan

Fluks

transport

Nama

khusus

Bentuk

Umum 22,1121,, Kj nnI 2,1K 21,, nIj

Transfer

kalor

antar

muka

2121,,'' TThq nI T

(suhu)

h

(koefisien

transfer

kalor

antar

muka)

1

21,,'' nIq

(fluks

transfer

kalor

antar

muka)

Hukum

Newton

Transfer

massa

antar

muka

22,1121,, CKCkj ynI C

(konsen-

trasi)

yk

(koefisien

transfer

massa

antar

muka)

2,1K

(koe-

fisien

distribusi

massa)

21,, nIj

(fluks

transfer

massa

antar

muka)

6

4. Proses transport non kontinuum (transfer kalor radiasi)

Tidak ada persamaan dasar yang berlaku umum untuk proses transport non

kontinuum. Salah satu contoh proses ini adalah proses transfer kalor radiasi. Persamaan

dasar untuk proses transfer kalor radiasi dari benda 1 ke benda 2 adalah :

4241'' TTq R

(0.5)

Dalam hal ini :

Rq '' : Fluks transfer kalor radiasi dari benda 1 ke benda 2 (besaran per satuan luas per

satuan waktu)

: Konstanta Stefan Boltzmann : Emisivitas permukaan benda 1

1T : Suhu permukaan benda 1

2T : Suhu permukaan benda 2

D. BERBAGAI JENIS MEDIUM

Medium untuk proses transport dibedakan dari kemampuan untuk mengalir serta

perubahan densitas akibat perubahan tekanan. Medium yang tidak dapat mengalir disedut

sebagai medium padatan (solid) sedangkan medium yang mampu mengalir disebut sebagai

medium fluida.

Medium fluida yang mengalami perubahan densitas ketika menerima perubahan

tekanan disebut sebagai medium fluida kompresibel sedangkan medium fluida yang tidak

mengalami perubahan densitas ketika menerima perubahan tekanan disebut sebagai

medium fluida non kompresibel.

Medium padatan yang mengalami perubahan densitas ketika menerima perubahan

tekanan disebut sebagai medium padatan elastis sedangkan medium padatan yang tidak

mengalami perubahan densitas ketika menerima perubahan tekanan disebut sebagai

medium padatan rigid.

MEDIUM

PROSES

TRANSPORT

DAPAT

MENGALIR

(FLUIDA)

TIDAK DAPAT

MENGALIR

(SOLID)

ELASTIS

(densitas berubah akibat

perubahan tekanan)

KOMPRESIBEL

(densitas berubah akibat

perubahan tekanan)

Contoh : GAS

RIGID

(densitas tidak berubah

akibat perubahan tekanan)

NON KOMPRESIBEL

(densitas tidak berubah

akibat perubahan tekanan)

Contoh : CAIRAN

Gambar 0.3. Klasifikasi medium untuk proses-proses transport

7

E. BERBAGAI JENIS PEMODELAN MATEMATIS

1. Sistem ruang-waktu empirik

Proses-proses fisik, yaitu proses transport dan proses reaksi secara matematika pada

dasarnya adalah proses perubahan suatu besaran fisik terhadap variable ruang dan variable

waktu. Ruang empiric secara matematika dibentuk oleh tiga sumbu koordinat yang garis-

garis sejajar ketiga sumbu tersebut saling bertemu secara tegak lurus pada suatu titik posisi

tertentu. Oleh sebab itu, terdapat tiga variable ruang yang menyatakan posisi suatu titik

relative terhadap suatu titik referensi pada ketiga arah sumbu ruang. Jika ditambahkan

variable waktu, maka sistem ruang waktu empiric memiliki 4 variabel bebas, yaitu 1 (satu)

variable waktu dan tiga variable ruang.

2. Dimensi

Dalam pembahasan terkait dengan ilmu-ilmu Fisika dan Teknik (engineering),

istilah dimensi digunakan dalam 2 pengertian, yaitu :

- dimensi dalam arti keterlibatan besaran fisik dasar terhadap suatu besaran fisik - dimensi dalam arti jumlah sumbu ruang yang diperlukan untuk mendeskripsikan

suatu posisi tertentu

a. dimensi dalam arti keterlibatan besaran fisik dasar terhadap suatu besaran fisik

Besaran-besaran fisik dianggap terbagi menjadi dua, yaitu besaran dasar dan

besaran turunan. Besaran dasar adalah besaran-besaran yang dipandang tidak melibatkan

besaran lainnya. Besaran turunan adalah besaran yang bisa diuraikan terdiri dari beberapa

besaran dasar yang dikombinasikan dengan kombinasi multiplikasi (perkalian atau

pembagian). Hal ini pada akhirnya menyangkut pada penggunaan satuan.

Penentuan besaran mana yang dianggap sebagai besaran dasar adalah bersifat

arbitrari. Hanya saja, besaran dasar ditentukan didasarkan pada kemudahan dalam

penggunaannya.

Dalam sistem satuan SI (Standart Internasional) besaran dasar yang digunakan

dalam sistem mekanik adalah waktu, panjang dan massa. Dalam sistem termal, ditambah

lagi dengan suhu. Dalam sistem ruang, ditambah lagu dengan sudut. Dalam sistem listrik

ditambah lagi dengan arus listrik. Dalam sistem kimia, ditambah lagi dengan jumlah mol.

Besaran yang dipandang sebagai besaran turunan dalam sistem SI misalnya adalah

kecepatan, percepatan, gaya, luas area, volume, energi, tekanan, viskositas, difusifitas,

konduktivitas, kalor jenis, densitas, entalpi, entropi, dan sebagainya.

Dalam operasi penambahan dan pengurangan, suatu besaran hanya dapat

ditambahkan atau dikurangkan dengan besaran lain yang memiliki dimensi yang sama.

Besaran yang menjadi argumen suatu fungsi matematika (sinus, cosinus, logaritma,

eksponensial dan sebagainya) harus tidak berdimensi, yaitu kombinasi multiplikasi dari

berbagai besaran fisik sedemikian rupa sehingga dimensinya saling meniadakan.

b. dimensi dalam arti jumlah sumbu ruang yang diperlukan untuk mendeskripsikan suatu posisi tertentu

Sistem ruang empirik dideskripsikan dengan tiga sumbu ruang yang saling tekan

lurus pada suatu titik. Posisi suatu titik dinyatakan dengan nilai suatu variabel posisi yang

dapat ditentukan secara bebas pada ketiga sumbu ruang tersebut. Ruang semacam ini

disebut sebagai ruang 3 (tiga) dimensi, atau sering ditulis sebagai ruang 3-D. Proses-proses

fisik secara empirik pada dasarnya melibatkan perubahan atau pergerakan dalam ruang

empirik 3-D ini.

8

Dalam pemodelan matematika, seringkali dilakukan penyederhanaan dengan

mengabaikan proses yang dianggap tidak signifikan. Demikian juga terhadap penggunaan

variabel ruang. Jika suatu proses fisik dipandang tidak menghasilkan perubahan signifikan

pada 1 (satu) sumbu ruang tertentu, maka penggunaan sumbu ruang yang bersangkutan

diabaikan. Sistem ruang signifikan dalam hal ini menjadi terdiri dari dua sumbu ruang.

Ruang semacam ini disebut sebagai ruang 2 (dua) dimensi, atau sering ditulis sebagai

ruang 2-D. Demikian juga jika tidak terjadi perubahan signifikan pada 2 (dua) sumbu

ruang, maka sistem ruang signifikan hanya terdiri dari 1 (satu) sumbu ruang. Ruang

semacam ini disebut sebagai ruang 1 (satu) dimensi, atau sering ditulis sebagai ruang 1-D.

3. Pemodelan lumped parameter (parameter tergumpal) dan distributed parameter

(parameter terdistribusi)

Pemodelan lumped parameter atau sering disebut sebagai pemodelan titik adalah

suatu pemodelan matematika atas suatu proses fisis di mana distribusi suatu variabel proses

atau parameter proses menurut posisi pada suatu sistem fisik yang ditinjau dianggap bukan

suatu yang penting untuk diperhatikan. Pada umumnya, dalam pemodelan semacam ini,

nilai variabel proses atau parameter proses (suhu, tekanan, kecepatan yang bersangkutan

diperhitungkan sebagai nilai rerata volumetris pada sisuem yang bersangkutan.

Pemodelan distributed parameter, sebaliknya, digunakan jika distribusi nilai suatu

parameter proses atau variable proses merupakan hal yang sangat penting untuk

diperhatikan. Pemodelan distributed parameter terbagi menjadi pemodelan 1-D (satu

dimensi), 2-D (2 dimensi) atau 3-D (tiga dimensi), tergantung dari jumlah sumbu arah di

mana distribusi nilai paramater atau variabel proses pada arah yang bersangkutan

dipandang signifikan.

4. Pemodelan tunak (steady state) dan transient

Pemodelan tunak (steady state) adalah pemodelan matematika atas suatu proses

fisis di mana perubahan nilai variable proses atau parameter proses terhadap waktu

dianggap tidak signifikan. Pemodelan ini digunakan pada proses-proses yang mengalami

kondisi kesetimbangan. Kesetimbangan yang dimaksud dalam hal ini adalah jika terjadi

kesamaan antara pembentukan dan penghilangan suatu variable proses atau jika terjadi

kesamaan antara perpindahan masuk dan perpindahan keluar suatu variable proses pada

suatu sistem yang ditinjau.

Pemodelan transient adalah pemodelan matematika atas suatu proses fisis di mana

perubahan nilai variable atau parameter proses terhadap waktu merupakan hal yang

penting untuk diperhatikan. Pemodelan ini perlu dilakukan untuk suatu proses yang belum

atau tidak mencapai kondisi setimbang.

5. Bentuk persamaan matematika hasil pemodelan

Persamaan matematika yang dihasilkan dari pemodelam matematika dapat berupa

persamaan aljabar, persamaan diferensial ordiner atau persamaan diferensial parsial. Pada

dasarnya persamaan diferensial muncul jika proses fisis yang dimodelkan merupakan

proses yang mengalami perubahan terhadap waktu atau perubahan (distribusi) terhadap

ruang. Persamaan aljabar hanya muncul pada pemodelan matematis atas suatu proses fisis

dimana perubahan baik terhapad ruang dan terhadap waktu dianggap tidak signifikan.

Tabel 0.4 menunjukkan bentuk-bentuk persamaan matematika yang diperoleh dari

suatu pemodelan matematika terhadap suatu proses fisis.

9

Tabel 0.4. Bentuk persamaan matematika hasil pemodelam matematika atas suatu proses

fisis

Jenis pemodelan matematika Steady state (tunak) Transient

Lumped parameter Persamaan aljabar

Persamaan diferensial

ordiner

(terhadap waktu)

Distributed

parameter

1-D


ordiner

(terhadap 1 variabel ruang)


parsial

(terhadap waktu dan 1

variabel ruang)

2-D


parsial



parsial


variabel ruang)

3-D


parsial



parsial


variabel ruang)

10

BAB I. PEMODELAN LUMPED PARAMETER

A. PENJELASAN UMUM PEMODELAN LUMPED PARAMETER

Pemodelan lumped parameter atau sering disebut sebagai pemodelan titik adalah

suatu pemodelan matematika atas suatu proses fisis di mana distribusi suatu variabel proses

atau parameter proses menurut posisi pada suatu sistem fisik yang ditinjau dianggap bukan

suatu yang penting untuk diperhatikan. Pada umumnya, dalam pemodelan semacam ini,

nilai variabel proses atau parameter proses (suhu, tekanan, kecepatan yang bersangkutan

diperhitungkan sebagai nilai rerata volumetris pada sistem yang bersangkutan.

Pada pemodelan lumped parameter, suatu proses fisis dianggap berlangsung pada

statu tempat atau wadah. Tempat atau wadah di mana suatu proses fisis berlangsung

disebut sebagai sistem. Segala sesuatu di luar sistem disebut sebagai lingkungan. Batas

fisik yang membatasi sistem terhadap lingkungan disebut sebagai batas sistem. Batas

sistem dapat merupakan batas yang tetap atau batas yang berubah (meluas / ekspansi

maupun menyempit / kompresi). Jika batas sistem berubah, maka volume sistem juga

berubah. Suatu sistem disebut mengalami ekspansi volumetrik jika volumenya bertambah

(batas sistemnya meluas). Suatu sistem disebut mengalami kompresi volumetrik jika

volumenya berkurang (batas sistemnya menyempit).

Zat (material) utama yang mengisi sistem disebut sebagai medium. Medium

tersebut dapat berupa medium padatan atau medium fluida. Suatu sistem disebut sebagai

sestem terbuka jika terdapat aliran medium keluar atau masuk sistem (aliran medium

antara sistem dan lingkungan atau aliran medium melintasi batas sistem). Sebaliknya jika

terdapat aliran medium antara sistem dan lingkungan (aliran medium melintasi batas

sistem), maka sistem disebut sebagai sistem tertutup. Sistem dengan medium padatan

selalu merupakan sistem tertutup. Sementara itu, sistem dengan medium fluida dapat

merupakan sistem terbuka ataupun tertutup.

Medium padatan dapat berupa padatan rigid atau elastis. Suatu sistem dengan

medium padatan hanya dapat mengalami ekspansi atau kompresi volumetris hanya jika

padatan tersebut bersifat elastis. Medium fluida dapat berupa fluida non kompresibel

maupun fluida kompresibel. Sistem terbuka dengan medium fluida dapat mengalami

ekspansi atau kompresi volumetris baik medium fluida tersebut merupakan fluida non

kompresibel maupun fluida kompresibel. Sementara itu, sistem tertutup dengan medium

fluida hanya dapat mengalami ekspansi atau kompresi volumetris hanya jika medium

fluidanya merupakan fluida kompresibel.

Dalam pendekatan lumped parameter, besaran proses (misalnya energi, momentum,

maupun massa dari konstituen yang terbawa oleh medium) dapat mengalami perpindahan

(yaitu keluar atau masuk) antara sistem dan lingkungan dengan dua cara, yaitu :

- perpindahan secara aliran - perpindahan antar muka

Pada perpindahan secara aliran, besaran proses melintasi batas sistem (keluar atau

masuk) bersamaan dengan aliran perpindahan medium antara sistem dan lingkungan

(keluar atau masuk) melintasi batas sistem. Perpindahan secara aliran hanya dapat terjadi

pada sistem terbuka (tentunya dengan medium fluida)

Pada perpindahan antar muka, besaran proses melintasi sistem bukan sebagai akibat

perpindahan medium melintasi batas sistem. Perpindahan antar muka dapat terjadi baik

pada sistem terbuka maupun pada sistem tertutup serta baik dengan medium padatan

maupun medium fluida.

Perpindahan antar muka terjadi akibat perbedaan gaya pendorong atau driving force yang terdapat pada batas sistem bagi perpindahan yang bersangkutan. Bentuk unum

11

dari perpindahan (proses transfer) anrat muka adalah sebagaimana yang ditunjukkan pada

Tabel 0.3. baris pertama.

Pada proses perpindahan kalor, gaya pendorong tersebut berupa perbedaan suhu.

Bentuk proses transfer kalor antar muka ditunjukkan pada Tabel 0.3 baris kedua. Pada

kondisi tertentu, proses transfer kalor antar muka dari permukaan sistem ke lingkungan

atau sebaliknya terjadi secara radiasi. Dalam hal ini persamaan perpindahan kalor secara

radiasi ditunjukkan oleh persamaan 0.5.

Pada proses perpindahan momentum, gaya dorong berupa perbedaan tekanan.

Dalam pendekatan lumped parameter, proses perpindahan momentum antar muka ditandai

dengan adanya ekspansi atau kompresi volumetris. Proses perpindahan momentum antar

muka (dengan akibat adanya kompresi atau ekspansi volumetrik) hanya dapat terjadi jika :

- medium berupa padatan elastis atau fluida - batas sistem bersifat elastis atau dapat bergerak (movable)

Dengan demikian, jika batas sistem bersifat rigid, maka tidak akan terjadi perpindahan

momentum antar muka yang berakibat kompresi atau ekspansi volumetrik).

Dalam pendekatan lumped parameter, perpindahan momentum antar muka

diperhitungkan setara dengan perpindahan energi dalam bentuk energi mekanik, yaitu

usaha. Suatu sistem disebut menerima usaha dari lingkungan jika sistem tersebut

mengalami kompresi volumetrik. Sebaliknya suatu sistem dikatakan melakukan usaha

terhadap lingkungan jika sistem tersebut mengalami ekspansi volumetrik.

Sementara itu perpindahan (proses transfer) massa antar muka ditunjukkan pada

Tabel 0.3 baris ketiga. Gaya dorong untuk proses transfer massa antar muka adalah

perbedaan aktivitas zat antara permukaan sistem dengan lingkungan. Perbedaan aktivitas

ini seringkali diwakili oleh perbedaan konsentrasi antara permukaan sistem dengan

lingkungan yang dikoreksi dengan mengunakan koefisien kesetimbangan massa.

B. PENURUNAN PERSAMAAN PROSES UMUM DENGAN PENDEKATAN

LUMPED PARAMETER Gambar 1.1 menunjukkan diagram skematik sebuah proses umum pada sebuah

sistem dengan menggunakan pendekatan lumped parameter.

1,1, iim

2,2, iim

NiiNiim ,,

1,1, oom

2,2, oom

NooNoom ,,

1,oJ 2,oJ LooJ ,

1,iJ

2,iJ LiiJ ,

'''R

R+

'''R

R+

Gambar 1.1. Diagram skematik proses secara umum dengan pendekatan lumped

parameter

12

Dalam gambar 1.4 ini, kotak besar menyatakan batas sistem. Sistem adalah segala

sesuatu yang berada di balam kotak besar sedangkan lingkungan adalah segala sesuatu

yang berada di luar kotak besar. Gambar saluran dengan panah di dalamnya menunjukkan

proses transfer (perpindahan) secara aliran sedangkan gambar panah besar menyatakan

proses transfer (perpindahan) antar muka. Arah panah menunjukkan arah perpindahan.

Selanjutnya m menyatakan laju aliran medium dalam proses transfer secara aliran,

J menyatakan laju transfer suatu besaran fisis yang dimaksud dengan proses transfer antar muka, menyatakan densitas suatu besaran fisis (besaran per satuan volume) yang

dimaksud, '''R menyatakan laju pembentukan besaran fisis yang dimaksud per satuan

volume dan '''R menyatakan laju penghilangan besaran fisis yang dimaksud per satuan

volume. Indeks i menyatakan masukan (input), indeks o menyatakan keluaran (output).

Indeks nomor menyatakan urutan masing-masing proses perpindahan. Ni menyatakan

jumlah masukan dengan perpindahan secara aliran, No menyatakan jumlah keluaran

dengan perpindahan secara aliran, Li menyatakan jumlah masukan dengan perpindahan

antar muka dan Lo menyatakan jumlah keluaran dengan perpindahan antar muka.

1. Penyusunan persamaan kontinuitas medium

Persamaan kontinuitas medium tidak lain adalah neraca massa medium keluar dan

masuk sistem. Dalam hal ini, dapat dibuat diagram neraca medium sebagaimana

ditunjukkan pada Gambar 1.2.

Laju akumulasi

massa medium

dalam sistem

=

Total laju aliran

massa medium

masuk sistem -

Total laju aliran

massa medium

keluar sistem

Gambar 1.2. Diagram neraca medium pada sistem dengan pendekanan lumped parameter

Secara matematik, neraca tersebut dapat ditulis sebagai berikut :

No

j

jo

Ni

j

ji mmdt

dM

1

,

1

, (1.1)

Dalam hal ini, M adalah massa medium. Indeks j menyatakan urutan. Selanjutnya M dapat

dituliskan sebagai :

VM (1.2)

Di mana V adalah volume sistem sedangkan adalah densitas medium dalam sistem. Dengan mensubstitusikan persamaan (1.1) ke persamaan (1.2) maka diperoleh :

No

j

jo

Ni

j

ji mmdt

Vd

1

,

1

,

(1.3)

Persamaan (1.3) merupakan bentuk umum dari persamaan kontinuitas sistem dengan

pendekatan lumped parameter, yaitu medium berupa fluida kompresibel dan sistem dapat

mengalami perubahan volume. Jika medium merupakan fluida kompresibel tetapi volume

sistem tetap, maka persamaan (1.3) dapat disederhanakan menjadi :

13

No

j

jo

Ni

j

ji mmdt

dV

1

,

1

,

(1.4)

Sebaliknya jika medium merupakan fluida non kompresibel tetapi sistem dapat mengalami

perubahan volume, maka persamaan (1.3) dapat disederhanakan menjadi :

No

j

jo

Ni

j

ji mmdt

dV

1

,

1

, (1.5)

Sedangkan jika medium merupakan fluida non kompresibel sekaligus volume sistem tetap,

maka persamaan (1.3) dapat disederhanakan menjadi :

No

j

jo

Ni

j

ji mm1

,

1

,0 (1.6)

Atau :

No

j

jo

Ni

j

ji mm1

,

1

, (1.7)

Hal ini berarti jumlah total laju aliran fluida medium masuk sistem harus sama dengan

jumlah total fluida medium keluar sistem. Persamaan (1.7) juga berlaku untuk kondisi

tunak (steady state) baik medium berupa fluida kompresibel maupun non kompresibel.

Pada medium padatan, maka tidak terdapat aliran medium keluar dan masuk

sistem. Persamaan (1.3) menjadi :

0dt

Vd (1.8)

Dengan demikian, massa medium dalam sistem selalu konstan. Pada medium padatan

elastis, persamaan (1.8) dapat ditulis menjadi :

0dt

dV

dt

dV

(1.9)

Atau :

dt

dV

dt

dV

(1.10)

Persamaan (1.10) memberikan arti bahwa perubahan volume pada sistem dengan medium

padatan elastis berkebalikan dengan perubahan densitasnya. Kenaikan volume akan diikuti

dengan penurunan densitas sebaiknya penurunan volume akan diikuti dengan kenaikan

densitas. Sementara itu untuk sistem dengan medium padatan rigid, densitas medium dan

volume sistem selalu konstan. Dengan demikian, persamaan kontinuitas untuk medium

padatan rigid adalah :

0dt

d dan 0

dt

dV (1.11)

Tabel 1.2 menunjukkan rangkuman persamaan kontinuitas medium pada

pendekatan lumped parameter

14

Tabel 1.2 Persamaan kontinuitas medium pada pendekatan lumped parameter

Medium Volume sistem Persamaan kontinuitas medium

Fluida kompresibel

berubah

No

j

jo

Ni

j

ji mmdt

Vd

1

,

1

,

tetap

No

j

jo

Ni

j

ji mmdt

dV

1

,

1

,

Fluida non

kompresibel

berubah

No

j

jo

Ni

j

ji mmdt

dV

1

,

1

,

tetap

No

j

jo

Ni

j

ji mm1

,

1

,

Padatan elastis berubah dt

dV

dt

dV

Padatan rigid tetap 0dt

d dan 0

dt

dV

2. Penyusunan persamaan proses secara umum

Dalam penyusunan persamaan proses secara umum, terlebih dahulu disusun neraca

variabel proses yang ditunjukkan oleh Gambar 1.3 sebagai berikut :

Laju akumulasi

variabel proses

dalam sistem

=

Total laju

transfer variabel

proses masuk

sistem secara

aliran

-

Total laju

transfer variabel

proses keluar

sistem secara

aliran

+

Total laju

transfer antar

muka variabel

proses masuk

sistem

-

Total laju

transfer antar

muka variabel

proses keluar

sistem

+ Laju reaksi

pembentukan

variable proses

-

Laju reaksi

penghilangan

variable proses

Gambar 1.3. Diagram neraca variabel proses pada sistem dengan pendekanan lumped

parameter

Secara matematik, neraca tersebut dapat ditulis sebagai berikut :

''''''1

,

1

,

1 ,

,,

1 ,

,,VRVRJJ

mm

dt

dV Lo

j

jo

Li

j

ji

No

j jo

jojoNi

j ji

jiji

(1.12)

Atau :

''''''1

,

1

,

1 ,

,,

1 ,

,,RRVJJ

mm

dt

dV Lo

j

jo

Li

j

ji

No

j jo

jojoNi

j ji

jiji

(1.13)

Persamaan (1.13) berlaku untuk secara lebih umum yaitu untuk medium fluida

kompresibel dan volume sistem dapat berubah. Jika volume medium merupakan fluida

kompresibel dengan volume sistem tetap, maka persamaan (1.13) dapat disederhanakan

menjadi :

''''''1

,

1

,

1 ,

,,

1 ,

,,RRVJJ

mm

dt

dV

Lo

j

jo

Li

j

ji

No

j jo

jojoNi

j ji

jiji

(1.14)

15

Sebaliknya jika volume medium merupakan fluida non kompresibel dengan volume sistem

dapat berubah, maka persamaan (1.13) dapat disederhanakan menjadi :

''''''

1

1

,

1

,

1

,,

1

,, RRVJJmmdt

dV Lo

j

jo

Li

j

ji

No

j

jojo

Ni

j

jiji

(1.15)

Sedangkan jika medium merupakan fluida non kompresibel dan volume sistem tetap, maka

persamaan (1.13) dapat disederhanakan menjadi :

''''''

1

1

,

1

,

1

,,

1

,, RRVJJmmdt

dV

Lo

j

jo

Li

j

ji

No

j

jojo

Ni

j

jiji

(1.16)

Untuk medium padatan, proses transfer secara aliran tidak mungkin terjadi. Pada medium

padatan elastis, volume sistem dan densitas medium medium dapat berubah. Dengan

demikian persamaan neraca variabel proses menjadi :

''''''1

,

1

, RRVJJdt

dV Lo

j

jo

Li

j

ji

(1.17)

Sedangkan untuk medium padatan rigid, di mana volume sistem dan densitas medium

dapat berubah, maka persamaan (1.17) dapat disederhanakan menjadi :

''''''1

,

1

, RRVJJdt

dV

Lo

j

jo

Li

j

ji (1.18)

Tabel 1.3 menunjukkan persamaan proses umum pada pendekatan lumped parameter

Tabel 1.3 Rangkuman persamaan proses umum pada pendekatan lumped parameter

Medium Volume

sistem Persamaan proses umum

Fluida

kompre-

sibel

berubah

''''''1

,

1

,

1 ,

,,

1 ,

,,RRVJJ

mm

dt

dV Lo

j

jo

Li

j

ji

No

j jo

jojoNi

j ji

jiji

tetap

''''''1

,

1

,

1 ,

,,

1 ,

,,RRVJJ

mm

dt

dV

Lo

j

jo

Li

j

ji

No

j jo

jojoNi

j ji

jiji

Fluida

non

kompre-

sibel

berubah

''''''

1

1

,

1

,

1

,,

1

,, RRVJJmmdt

dV Lo

j

jo

Li

j

ji

No

j

jojo

Ni

j

jiji

tetap

''''''

1

1

,

1

,

1

,,

1

,, RRVJJmmdt

dV

Lo

j

jo

Li

j

ji

No

j

jojo

Ni

j

jiji

Padatan

elastis berubah

''''''1

,

1

, RRVJJdt

dV Lo

j

jo

Li

j

ji

Padatan

rigid tetap

''''''1

,

1

, RRVJJdt

dV

Lo

j

jo

Li

j

ji

16

3. Penyusunan persamaan proses transfer massa atau reaksi kimia

Pada proses transfer massa atau reaksi kimia, maka variabel proses yang

dimaksudkan adalah konsentrasi (yang dalam hal ini dinyatakan dengan simbol C) dari

suatu spesies yang menjadi interest untuk diperhitungkan.

Dalam hal ini, yang dimaksud dengan proses transfer adalah proses transfer (baik

secara aliran maupun antar muka) dari spesies yang dimaksud. Proses transfer antar muka

dalam hal ini dinyatakan dengan simbol J . Demikian juga yang dimaksud dengan reaksi adalah reaksi kimia yang berkaitan dengan spesies tersebut. Dalam hal ini, juga masih

digunakan simbol '''R untuk menyatakan densitas reaksi.

Proses transfer antar muka J dapat dinyatakan sebagai berikut :

Ljjyjj CKCkAJ ,

(1.19)

Dalam hal ini, jA menyatakan luas dari segmen permukaan ke-j, jyk , menyatakan

koefisien transfer massa pada segmen permukaan ke-j, jK adalah koefisien kesetimbangan

massa antara segmen permukaan ke-j dengan lingkungan LC adalah konsentrasi spesies

yang dimaksudkan pada lingkungan Arah transfer pada persamaan (1.19) tergantung pada

nilai C dan KCL. Jika C > KCL maka arah transfer adalah keluar dari sistem sedangkan jika

C < KCL maka arah transfer adalah masuk ke dalam sistem.

Tabel 1.4 menunjukkan rangkuman persamaan proses transfer massa atau reaksi

kimia pada pendekatan lumped parameter. Pada Tabel 14 tersebut, L menyatakan jumlah segmen permukaan transfer antar muka. Konsentrasi massa spesies keluar dari sistem

tentunya adalah sama dengan konsentrasi massa spesies pada medium di dalam sistem. Hal

ini karena pada saluran keluaran tidak terdapat reaksi yang mengubah konsentrasi spesies

yang menjadi interest untuk perhitungan.

Tabel 1.4 Rangkuman persamaan proses transfer massa atau reaksi kimia pada pendekatan

lumped parameter

Medi-

um

Volu-

me

sistem Persamaan proses transfer massa atau reaksi kimia

Fluida

kom-

pre-

sibel

ber-

ubah

''''''1

,

1 ,

,

1 ,

,,RRVCKCkA

CmCm

dt

CdV L

j

Ljjyj

No

j jo

joNi

j ji

jiji

tetap

''''''1

,

1 ,

,

1 ,

,,RRVCKCkA

CmCm

dt

CdV

L

j

Ljjyj

No

j jo

joNi

j ji

jiji

Fluida

non

kom-

pre-

sibel

ber-

ubah

''''''

1

1

,

1

,

1

,, RRVCKCkACmCmdt

dVC L

j

Ljjyj

No

j

jo

Ni

j

jiji

tetap

''''''

1

1

,

1

,

1

,, RRVCKCkACmCmdt

dCV

L

j

Ljjyj

No

j

jo

Ni

j

jiji

Padat-

an

elastis

ber-

ubah

''''''1

, RRVCKCkAdt

CdV L

j

Ljjyj

Padat-

an rigid tetap

''''''1

, RRVCKCkAdt

dCV

L

j

Ljjyj

17

4. Penyusunan persamaan energi total

Untuk menyusun persamaan energi total, terlebih dahulu disusun neraca energi

pada sistem. Dalam hal ini :

ss wwgzv

pue 2

2

1

(1.19)

WQJ (1.20)

''''''''' fqR (1.21)

Dan :

''''''''' fqR (1.22)

Dengan : e : Energi yang dikandung medium per satuan massa medium u : Energi dalam medium per satuan massa medium p : Tekanan medium : Densitas medium v : Kecepatan gerak medium g : Percepatan gravitasi

z : Posisi ketinggian

sw : Penambahan kerja pada aliran fluida (dengan adanya pompa atau kompresor)

sw : Pengurangan kerja pada aliran fluida (dengan adanya turbin atau ekspander)

Q : Laju transfer kalor antar muka

W : Laju transfer kerja antar muka

'''q : Laju pembangkitan kalor dalam medium per satuan volume medium

'''q : Laju penyerapan kalor dalam medium per satuan massa medium

'''f : Laju pembangkitan energi mekanik dalam medium (dengan adanya pengaduk,

percepatan gerak fluida akibat gaya gravitasi, elektomagnet) per satuan massa

medium

'''f : Laju pengurangan energi mekanik dalam medium (dengan adanya penghalang

aliran, perlambatan gerak fluida akibat gaya gravitasi, elektomagnet) per

satuan massa medium

Dengan mensubstitusikan persamaan (1.19) hingga persamaan (1.22) ke persamaan (1.13),

diperoleh :

''''''''''''

2

1

2

1

2

1

1

,

1

,

,

2

1 ,

,

1 ,

2

,

,2

ffqqV

WQWQ

wwgzvp

um

wwgzvp

um

gzvp

udt

dV

Lo

j

jo

Li

j

ji

jo

ss

No

j jo

jo

Ni

j ji

ss

ji

ji

(1.23)

18

Persamaan (1.23) menyatakan bentuk umum dari persamaan neraca energi total pada suatu

sistem dengan menggunakan pendekatan lumped parameter. Seringkali digunakan besaran entalpi (h) per satuan massa medium sebagai berikut :

puh (1.24)

Dengan menggunakan entalpi, persamaan umum neraca energi total dapat ditulis menjadi :

''''''''''''

2

1

2

1

2

1

1

,

1

,

,

2

1 ,

,

1 ,

2

,

,2

ffqqV

WQWQ

wwgzvhm

wwgzvhm

gzvhdt

dV

Lo

j

jo

Li

j

ji

jo

ss

No

j jo

jo

Ni

j ji

ss

ji

ji

(1.25)

Proses transfer kalor antar muka dapat terjadi secara konveksi antar muka atau secara

radiasi, sehingga :

RI QQQ (1.26)

Pada persamaan (1.26) ini, IQ menyatakan laju transfer kalor konveksi antar muka

sedangkan RQ menyatakan laju transfer kalor radiasi. Berdasarkan formulasi dasar transfer

kalor konveksi antar muka dan transfer kalor radiasi, maka :

LjjjI TTAQ , (1.27)

44, LjjjR TTAQ (1.28)

Dalam hal ini, jA menyatakan luas dari segmen permukaan ke-j, j menyatakan koefisien

transfer kalor konveksi antara muka dari segmen permukaan ke-j ke lingkungan, T

menyatakan suhu sistem, LT menytatakan suhu lingkungan, adalah koefisien Stefan

Botzmann, j adalah factor pandangan dari segmen permukaan ke-j terhadap lingkungan.

Dengan demikian persamaan neraca energi total sistem dengan term energi dalam

adalah :

''''''''''''

''

2

1

2

1

2

1

1

44

,

2

1 ,

,

1 ,

2

,

,2

ffqqV

WTTTTA

wwgzvp

um

wwgzvp

um

gzvp

udt

dV

L

j

LjLjj

jo

ss

No

j jo

jo

Ni

j ji

ss

ji

ji

(1.29)

19

Sedangkan persamaan neraca energi total sistem dengan term entalpi adalah :

''''''''''''

''

2

1

2

1

2

1

1

44

,

2

1 ,

,

1 ,

2

,

,2

ffqqV

WTTTTA

wwgzvhm

wwgzvhm

gzvhdt

dV

L

j

jLjLjj

jo

ss

No

j jo

jo

Ni

j ji

ss

ji

ji

(1.30)

Pada persamaan (1.29) dan persamaan (1.30), ''W menyatakan laju transfer kerja (baik masuk system maupun ke luar sistem) per satuan luasan permukaan sistem. Arah transfer kalor antar muka

adalah keluar sistem jika LTT dan masuk sistem jika LTT .

5. Penyusunan persamaan energi mekanik

Pada pendekatan lumped parameter, persamaan energi mekanik sering digunakan untuk mewakili neraca momentum. Persamaan energi mekanik digunakan untuk

menghitung dinamika mekanik sistem. Pada sistem dengan medium fluida, dinamika ini

meliputi aliran fluida keluar dan masuk sistem serta perilaku volumetrik sistem, yaitu

apakah sistem mengalami ekspansi atau kompresi volumetrik. Sedangkan pada sistem

dengan medium padatas elastis, dinamika mekanik hanya berkaitan dengan apakah sistem

mengalami ekspansi atau kompresi volumetrik.

Persamaan energi mekanik disusun dengan menghilangkan suku-suku yang

berkaitan dengan energi termal pada persamaan (1.29) atau persamaan (1.30). Satu hal

yang perlu diperhatikan adalah adanya rugi-rugi gerakan atau aliran fluida yang biasanya

terjadi akibat friksi. Rugi-rugi ini mengkonversi energi mekanik menjadi energi termal.

Pada persamaan neraca energi total, tidak terdapat suhu yang menyatakan rugi-rugi

aliran. Hal ini karena pengurangan energi mekanik akibat rugi-rugi aliran adalah tepat

sama dengan peningkatan energi termal yang ditimbulkan.

Pada persamaan neraca energi mekanik, maka friksi diperhitungkan sebagai salah

satu proses yang mengurangi energi mekanik. Dengan demikian, berdasarkan persamaan

(1.29) dan persamaan (1.30), dapat disusun persamaan neraca energi mekanik sistem

sebagai berikut :

''''''''

2

1

2

1

2

1

1

,

2

1 ,

,

1 ,

2

,

,2

ffVWA

wwgzvm

wwgzvm

gzvdt

dV

L

j

jj

jo

ss

No

j jo

joNi

j ji

ss

ji

ji

(1.31)

Dalam hal ini menyatakan pengurangan energi mekanik akibat rugi-rugi aliran fluida per satuan volume sistem. Persamaan (1.31) berlaku secara lebih umum, yaitu berlaku

untuk medium fluida kompresibel dan volume sistem dapat berubah.

Jika medium adalah fluida kompresibel tetapi volume sistem tetap, maka

persamaan (1.31) dapat disederhanakan menjadi persamaan (1.32). Sebaliknya, jika

medium adalah fluida non kompresibel tetapi volume sistem dapat berubah, maka

20

persamaan (1.31) dapat disederhanakan menjadi persamaan (1.33). Sedangkan jika

medium adalah fluida non kompresibel dan volume sistem tetap, maka persamaan (1.31)

dapat disederhanakan menjadi persamaan (1.34).

''''''''

2

1

2

1

2

1

1

,

2

1 ,

,

1 ,

2

,

,2

ffVWA

wwgzvm

wwgzvm

gzvdt

dV

L

j

jj

jo

ss

No

j jo

joNi

j ji

ss

ji

ji

(1.32)

''''''''

2

1

2

11

2

1

1

,

2

1

,

1 ,

2

,

2

ffVWA

wwgzvmwwgzvmgzvdt

dV

L

j

jj

jo

ss

No

j

jo

Ni

j ji

ssji

(1.33)

''''''''

2

1

2

110

1

,

2

1

,

1 ,

2

,

ffVWA

wwgzvmwwgzvm

L

j

jj

jo

ss

No

j

jo

Ni

j ji

ssji

(1.34)

Pada sistem dengan medium padatan elastis, tidak terjadi aliran atau gerakan fluida

secara makro. Dinamika mekanis hanya berkaitan dengan apakah sistem mengalami

ekspansi atau kompresi volumetrik. Dengan demikian, persamaan neraca energi mekanik

menjadi :

''''''''1

ffVWAdt

dVgz

L

j

jj (1.35)

Tabel 1.5 menunjukkan rangkuman persamaan neraca energi mekanik sistem pada

pendekatan lumped parameter.

5. Penyusunan persamaan energi termal

Persamaan energi termal pada sistem dengan pendekatan lumped parameter dapat disusun dengan menghilangkan suku-suku yang berkaitan dengan energi mekanik pada

persamaan neraca energi total. Rugi-rugi aliran akibat friksi harus diperhitungkan sebagai

suku sumber yang menambah energi termal.

Dengan demikian, persamaan neraca energi termal sistem pada pendekatan

lumped parameter dengan term energi dalam adalah :

''''''1

44

,1 ,

,

1 ,,

,

qqVTTTTA

pu

mpu

mpu

dt

dV

L

j

LjLjj

jo

No

j jo

joNi

j jiji

ji

(1.38)

Dengan demikian, persamaan neraca energi termal sistem pada pendekatan

lumped parameter dengan term entalpi adalah :

21

''''''1

44

1 ,

,

1 ,

,,

qqVTTTTA

hmhm

dt

hdV

L

j

LjLjj

No

j jo

joNi

j ji

jiji

(1.37)

Tabel 1.5 Rangkuman persamaan neraca energi mekanik sistem pada pendekatan lumped parameter

Medi-

um

Volu-

me

sistem Persamaan neraca energi mekanik

Fluida

kom-

pre-

sibel

ber-

ubah

''''''''

2

1

2

1

2

1

1

,

2

1 ,

,

1 ,

2

,

,2

ffVWA

wwgzvm

wwgzvm

gzvdt

dV

L

j

jj

jo

ss

No

j jo

joNi

j ji

ss

ji

ji

tetap

''''''''

2

1

2

1

2

1

1

,

2

1 ,

,

1 ,

2

,

,2

ffVWA

wwgzvm

wwgzvm

gzvdt

dV

L

j

jj

jo

ss

No

j jo

joNi

j ji

ss

ji

ji

Fluida

non

kom-

pre-

sibel

ber-

ubah

''''''''

2

1

2

11

2

1

1

,

2

1

,

1 ,

2

,

2

ffVWA

wwgzvmwwgzvmgzvdt

dV

L

j

jj

jo

ss

No

j

jo

Ni

j ji

ssji

tetap

''''''''

2

1

2

110

1

,

2

1

,

1 ,

2

,

ffVWA

wwgzvmwwgzvm

L

j

jj

jo

ss

No

j

jo

Ni

j ji

ssji

Padat-

an

elastis

her-

ubah

''''''''1

ffVWAdt

dVgz

L

j

jj

Pada persamaan (1.37), entalpi keluaran adalah sama dengan entalpi sistem karena

pada saluran keluaran tidak terjadi pembangkitan atau pengurangan kalor yang mengubah

entalpi. Persamaan (1.37) berlaku secara lebih umum, yaitu berlaku untuk medium fluida

kompresibel dan volume sistem dapat berubah.

Jika medium adalah fluida kompresibel tetapi volume sistem tetap, maka

persamaan (1.37) dapat disederhanakan menjadi persamaan (1.38). Sebaliknya, jika

medium adalah fluida non kompresibel tetapi volume sistem dapat berubah, maka

persamaan (1.37) dapat disederhanakan menjadi persamaan (1.39). Sedangkan jika

medium adalah fluida non kompresibel dan volume sistem tetap, maka persamaan (1.37)

dapat disederhanakan menjadi persamaan (1.40). Pada sistem dengan medium padatan,

tidak terjadi aliran atau gerakan fluida secara makro. Untuk medium padatan elastis,

22

persamaan (1.37) dapat disederhanakan menjadi persamaan (1.41). Sedangkan untuk

medium padatan rigid, persamaan (1.37) dapat disederhanakan menjadi persamaan (1.42).

''''''1

44

1 ,

,

1 ,

,,

qqVTTTTA

hmhm

dt

hdV

L

j

LjLjj

No

j jo

joNi

j ji

jiji

(1.38)

''''''

1

1

44

1

,

1

,,

qqVTTTTA

hmhmdt

dVh

L

j

LjLjj

No

j

jo

Ni

j

jiji

(1.39)

''''''

1

1

44

1

,

1

,,

qqVTTTTA

hmhmdt

dhV

L

j

LjLjj

No

j

jo

Ni

j

jiji

(1.40)

''''''1

44 qqVTTTTAdt

hdV L

j

LjLjj

(1.41)

''''''1

44 qqVTTTTAdt

dhV

L

j

LjLjj (1.42)

Tabel 1.6 menunjukkan rangkuman persamaan neraca energi termal sistem pada

pendekatan lumped parameter. Pada Tabel 1.6, persamaan neraca energi termal dfinyatakan dalam term energi dalam, entalpi atau suhu. Term energi dalam lebih tepat

digunakan untuk medium yang mengalami perubahan densitas cukup signifikan, yaitu

fluida kompresibel dan padatan elastis. Sementara itu, term entalpi dapat digunakan secara

lebih umum untuk semua medium. Pada medium satu fasa, pesamaan neraca energi termal

dapat dinyatakan dalam term suhu berdasarkan hubungan antara entalpi dengan suhu

sebagai berikut :

Tch p (1.43)

Pada persamaan (1.43), pc menyatakan kalor spesifik medium pada tekanan tetap.

Tabel 1.6 Rangkuman persamaan neraca energi termal sistem pada pendekatan lumped parameter

Medi-

um

Volu-

me

sistem

dalam

term Persamaan neraca energi termal

Fluida

kom-

pre-

sibel

ber-

ubah

energi

dalam

''''''1

44

1 ,

,

1 ,,

,

qqVTTTTA

pu

mpu

mpu

dt

dV

L

j

LjLjj

No

j jo

joNi

j jiji

ji

23

Medi-

um

Volu-

me

sistem

dalam


entalpi

''''''1

44

1 ,

,

1 ,

,,

qqVTTTTA

hmhm

dt

hdV

L

j

LjLjj

No

j jo

joNi

j ji

jiji

suhu

''''''1

44

1 ,

,

1 ,

,,,,

qqVTTTTA

TcmTcm

dt

TcdV

L

j

LjLjj

No

j jo

pjoNi

j ji

jijipjip

tetap

energi

dalam

''''''1

44

1 ,

,

1 ,,

,

qqVTTTTA

pu

mpu

mpu

dt

dV

L

j

LjLjj

No

j jo

joNi

j jiji

ji

entalpi

''''''1

44

1 ,

,

1 ,

,,

qqVTTTTA

hmhm

dt

hdV

L

j

LjLjj

No

j jo

joNi

j ji

jiji

suhu

''''''1

44

1 ,

,

1 ,

,,,,

qqVTTTTA

TcmTcm

dt

TcdV

L

j

LjLjj

No

j jo

pjoNi

j ji

jijipjip

Fluida

non

kom-

pre-

sibel

ber-

ubah

entalpi

''''''

1

1

44

1

,

1

,,

qqVTTTTA

hmhmdt

dVh

L

j

LjLjj

No

j

jo

Ni

j

jiji

suhu

''''''

1

1

44

1

,

1

,,,,

qqVTTTTA

TcmTcmdt

TdVc

L

j

LjLjj

No

j

pjo

Ni

j

jijipji

p

tetap entalpi

''''''

1

1

44

1

,

1

,,

qqVTTTTA

hmhmdt

dhV

L

j

LjLjj

No

j

jo

Ni

j

jiji

24

Medi-

um

Volu-

me

sistem

dalam


suhu

''''''

1

1

44

1

,

1

,,,,

qqVTTTTA

TcmTcmdt

TdcV

L

j

LjLjj

No

j

pjo

Ni

j

jijipji

p

Padat-

an

elastis

her-

ubah

energi

dalam

''''''

1

44

qqV

TTTTAp

udt

dV L

j

LjLjj

entalpi

''''''1

44 qqVTTTTAdt

hdV L

j

LjLjj

suhu

''''''1

44 qqVTTTTAdt

TcdV L

j

LjLjj

p

Padat-

an rigid tetap

entalpi

''''''1

44 qqVTTTTAdt

dhV

L

j

LjLjj

suhu

''''''1

44 qqVTTTTAdt

TdcV

L

j

LjLjj

p

C. SISTEM DENGAN GAYA PENGEMBALI (RESTORING FORCE)

Penurunan persamaan proses dengan metoda lumped parameter yang diuraikan pada Sub Bab I.B. berlaku untuk proses-proses yang tidak memiliki restoring force (gaya pengembali). Proses-proses berkaitan dengan transfer dan pembangkitan kalor serta

transfer massa dan reaksi kimia serta aliran fluida termasuk dalam kelompok proses yang

tidak memiliki restoring force. Gaya pengembali (restoring force) adalah suatu sifat alamiah yang akan mengembalikan sistem ke keadaan (state) semula jika dikenai gangguan yang

menyimpangkan keadaan dari sistem tersebut. Gaya pengembali dijumpai dalam proses

mekanik pada sistem yang punya sifat elastis dan proses aliran listrik dengan adanya efek

induksi elektromagnetik.

Dalam sistem mekanik pada suatu benda elastis, dikenal hukum elastisitas Hooke

sebagai berikut :

kxFH (1.44)

Dalam hal ini F adalah gaya yang dikenakan pada sistem elastis yang bersangkutan yang

menghasilkan simpangan sebesar x dari posisi kedudukan semula (posisi kedudukan

kesetimbangan). Parameter k adalah koefisien Hooke. Gaya HF ini selanjutnya disebut

sebagai gaya Hooke. Tanda minus menunjukkan bahwa arah gaya Hooke selalu

berlawanan dengan arah simpangan. Dengan kata lain gaya Hooke selalu berusaha untuk

mengembalikan ke posisi kesetimbangan.

Selanjutnya akan dijelaskan salah satu contoh sistem dengan gaya pengembali.

Dalam hal ini sistem mekakin elastis diambil sebagai contoh tersebut.

25

1. Penurunan persamaan gerak sistem elastis dengan gaya pengembali

Gambar 1.2 menunjukkan diagram gaya yang bekerja pada suatu sistem mekanik

elastis. Pada Gambar 1.2, gaya HF menyatakan gaya Hooke, yaitu gaya yang berkaitan

dengan sifat elastis sistem. Gaya W menyatakan gaya gravitasi atau gaya berat, gaya FF

adalah gaya hambatan gerakan (terutama akibat gesekan antara system dengan medium

lingkungan). Sedangkan gaya EF adalah gaya yang berasal dari sebab-sebab eksternal

yang dikenakan ke sistem. Parameter menyatakan koefisien gesekan sedangkan g adalah percepatan gravitasi..

M

W

k

FS

FE

KETERANGAN

M : Massa total sistem

k : Konstanta Hooke

W : Gaya berat sistem

FS : Gaya gesekan

FI : Gaya eksternal

: Koefisien gesekan g : Percepatan gravitasi

x : Jarak simpangan

v : Kecepatan gerak

a : Percepatan

FH

MgW kxFH

dt

dxvFS

Gambar 1.2. Diagram gaya pada suatu sistem mekanik elastis

Gaya berat atau gaya gravitasi secara lebih umum dinyatakan sebagai :

. MgSinW (1.45)

Di mana adalah sudut kemiringan terhadap bidang horizontal. Pada Gambar 1.2, sistem

berposisi vertikal sehingga 1Sin . Gaya gesekan diasumsikan sebanding dan berlawanan arah dengan kecepatan gerak

sehingga :

vFS (1.46)

Di mana v adalah kecepatan gerak. Dalam hubungannya dengan simpangan ( x ) dan waktu (t), kecepatan gerak dapat dinyatakan sebagai :

dt

dxv (1.47)

Dengan demikian, persamaan (1.46) menjadi :

dt

dxFS (1.48)

Gaya total yang bekerja pada benda ( TF ) adalah :

26

EHST FWFFF (1.49)

Gaya ini akan memberikan percepatan gerak pada system sesuai dengan hukum gerak

Newton, yaitu :

MaFT (1.50)

Dalam hal ini a adalah percepatan sistem. Hubungan antara percepatan dengan kecepatan

dan simpangan serta waktu dapat dinyatakan sebagai :

2

2

dt

xd

dt

dva (1.51)

Sehingga persamaan (1.50) menjadi :

2

2

dt

xdMFT (1.52)

Dengan mensubstitusikan persamaan (1.52), persamaan (1.48), persamaan (1.45)

dan persamaan (1.44) ke persamaan (1.49), maka diperoleh :

EFMgSinkxdt

dx

dt

xdM

2

2

(1.53)

Atau :

EFMgSinkxdt

dx

dt

xdM

2

2

(1.54)

Atau :

M

FgSinx

M

k

dt

dx

Mdt

xd E

2

2

(1.55)

Persamaan (1.55) merupakan persamaan gerak system mekanik elastis.

2. Perilaku sistem mekanik elastis

Perilaku sistem mekanik elastis ditentukan pada saat sistem tersebut melakukan

gerakan bebas, yaitu setelah tidak berada pada suatu medan gaya dan sekaligus setelah

pengaruh gaya eksternal dihilangkan.

Persamaan gerak sistem mekanik elastik dalam keadaan bebas menjadi :

02

2

xM

k

dt

dx

Mdt

xd (1.56)

Selanjutnya, diasumsikan bahwa nilai parameter dan k adalah konstant.

Didefinisikan operator diferensial D sebagai berikut :

dt

dD (1.57)

Sehingga persamaan (1.57) menjadi :

02 xM

kDx

MxD

(1.58)

27

Atau :

02

x

M

kD

MD

(1.59)

Persamaan karakteristik dari persamaan (1.59) adalah :

02 M

k

M

(1.60)

Persamaan karakteristik ini dapat difaktorkan menjadi :

021 (1.61)

Dalam hal ini 1 dan 2 masing-masing adalah akar pertama dan akar kedua dari

persamaan karakteristik. Kedua akar tersebut dapat dihitung sebagai :

M

k

M

k

MM 2

44

2

122

1

(1.62)

M

k

M

k

MM 2

44

2

122

2

(1.63)

Penyelesaian umum dari persamaan (1.59) adalah :

tCtCx 2211 expexp (1.64)

Bilangan C1 dan C2 adalah konstanta integrasi.

Dalam hal ini, terdapat 3 kondisi yaitu :

- 21 dan keduanya bilangan riil

- 21 dan merupakan bilangan riil

- 1 dan 2 merupakan sepasang bilangan komplek yang berkawanan (konjugate)

a. Kondisi 1, 21 dan keduanya bilangan riil

Kondisi ini terjadi ketika k42 . Dalam hal ini 1 dan 2 yang terdapat pada

persamaan (1.61) dan persamaan (1.62) keduanya merupakan bilangan riil yang berbeda,

yaitu :

M

k

2

42

1

(1.65)

M

k

2

42

2

(1.66)

Sehingga pada kondisi ini, penyelesaian dari persamaan gerak bebas, yaitu persamaan

(1.59) adalah :

28

t

M

kCt

M

kCx

2

4exp

2

4exp

2

2

2

1

(1.67)

Karena k42 , maka hal ini berarti k42 . Dengan demikian kedua

suku eksponensial pada persamaan (1.67) merupakan suku eksponensial dengan pangkat

negatif. Dengan demikian nilai simpangan (x) akan selalu menurun terhadap waktu (t).

Dengan kata lain nilai simpangan selalu teredam sempurna terhadap waktu.

Oleh karena ini, kondisi di mana k42 atau kondisi di mana 21 dan

keduanya bilangan riil dapat dikatakan sebagai kondisi teredam sempurna.

b. Kondisi 2, 21 dan merupakan bilangan riil


persamaan (1.61) dan persamaan (1.62) keduanya menjadi bilangan riil yang sama, yaitu :

M221

(1.68)


(1.59) adalah :

M

ttC

M

tCx

2exp

2exp 21

(1.69)

Eksponensial pada kedua suku merupakan eksponensial yang bernilai negatif.

Dengan jelas dapat diketahui bahwa nilai suku pertama selalu menurun terhadap waktu.

Suku kedua dibentuk dengan mengalikan nilai eksponensial yang sama dengan suku

pertama dengan t. Penurunan akibat nilai eksponensial ini masih lebih besar daripada

kenaikan akibat perkalian dengan t. Dengan demikian dalam kondisi ini masih terjadi

redaman. Hanya saja redaman yang terjadi disebut sebagai redaman kritis.


keduanya bilangan riil dapat dikatakan sebagai kondisi teredam kritis.

c. Kondisi 3, 1 dan 2 merupakan sepasang bilangan komplek yang berkawanan

(konjugate)


persamaan (1.61) dan persamaan (1.62) keduanya merupakan bilangan bilangan komples

yang berkawanan (konjugate), yaitu :

2

2

1 4222

4

k

M

i

MM

ki (1.70)

2

2

2 4222

4

k

M

i

MM

ki (1.71)

Dalam hal ini i adalah bilangan imajiner satuan, yaitu :

29

1i (1.72)


(1.59) adalah :

t

M

kiCt

M

kiCx

2

4exp

2

4exp

2

2

2

1

(1.73)

Atau :

t

M

ki

M

tCt

M

ki

M

tCx

2

4exp

2exp

2

4exp

2exp

2

2

2

1

(1.74)

Atau :

t

M

kiCt

M

kiC

M

tx

2

4exp

2

4exp

2exp

2

2

2

1

(1.75)

Atau :

M

ktSinC

M

ktCosC

M

tx

2

4

2

4

2exp

2

*

2

2

*

1

(1.76)

Suku eksponensial di depan tanda kurung pada persamaan (1.76) merupakan

eksponensial dengan pangkat negatif. Akan tetapi terdapat fungsi Sinus dan Cosinus yang

merupakan fungsi yang bersifat osilasi. Dengan demikian, dalam hal ini simpangan akan

teredam tetapi sempat mengalami osilasi.


2 merupakan sepasang bilangan komplek yang berkawanan (konjugate) dapat dikatakan

sebagai kondisi teredam osilasi.

d. Kesimpulan untuk perilaku sistem mekanik dengan gaya pengembali (restoring force) Dapat disimpulkan bahwa pada sistem mekanik dengan gaya pengembali

(restoring force) terdapat tiga kemungkinan perilaku, yaitu :

- perilaku teredam sempurna, jika k42

- perilaku teredam kritis, jika k42

- perilaku teredam osilasi, jika k42

30

BAB II. KALKULUS VEKTOR DAN TENSOR

A. PENGERTIAN

Besaran fisik dapat dikelompokkan berdasarkan nilai (magnitude) dan arahnya.

Dalam pengelompokan ini, besaran fisik dibedakan menjadi :

- scalar - vector - tensor

1. Pengertian skalar

Skalar adalah besaran fisis yang hanya memiliki nilai (magnitude) dan tanpa

memiliki arah. Contoh scalar adalah : panjang, massa, waktu, luas area, volume, energi,

tekanan hidrostatik, kelajuan (speed), densitas dan sebagainya.

2. Pengertian vector

Vektor adalah besaran fisik yang memiliki nilai (magnitude) dan satu arah (1 arah).

Contoh vector adalah : kecepatan (velocity), percepatan, gaya, momentum, fluks transfer

dari besaran scalar. Pada fluks transfer besaran scalar, arah yang timbul adalah arah dari

proses transfer.

3. Pengertian tensor

Tensor adalah besaran fisik yang memiliki nilai (magnitude) dan dua arah (2 arah)

Contoh tensor adalah fluks transfer dari besaran vector, misalnya fluks transfer

momentum. Dalam hal ini arah pertama adalah arah yang dimiliki oleh besaran yang

mengalami transfer (misalnya arah momentum atau kecepatan) sedangkan arah kedua

adalah arah dari proses transfernya

B. SISTEM KOORDINAT DAN ELEMEN VOLUME

Proses transport merupakan proses perpindahan variabel proses dalam suatu ruang.

Oleh sebab itu dalam perhitungan berbagai proses transport diperlukan spesifikasi sistem

koordinat ruang yang digunakan. Selanjutnya persamaan proses akan diusun pada suatu

unit volume kecil yang disebut elemen volume.

Ruang empiris melibatkan tiga sumbu ruang untuk dapat menspesifikasikan lokasi

suatu titik secara tertentu. Ruang dengan tiga sumbu semacam ini disebut sebagai ruang

tiga dimensi (ruang 3D).

Sistem koordinat yang sering dipakai untuk menspesifikasikan posisi dalam ruang

3D pada umumnya ada 3 macam, yaitu :

- sistem koordinat Cartesian - sistem koordinat Silinder - sistem koordinat Bola

1. Sistem koordinat Cartesian.

Sistem koordinat Cartesian dalam ruang 3 dimensi disusun menggunakan tiga (3)

sumbu arah berupa garis lurus yang berpotongan tegak lurus pada pangkal koordinat.

31

Ketiga sumbu tersebut berupa dua sumbu horizontal yang sering disebut sebagai sumbu

arah x dan sumbu arah y serta satu sumbu vertikal yang sering disebut sebagai sumbu arah

z. Elemen volume pada sistem koordinat Cartesian disusun dengan mengambil suatu

panjang inkremental pada masing-masing sumbu.

Ilustrasi sistem koordinat Cartesian serta diagram skematik elemen volume dan

besaran besaran yang terkait (panjang lintasan inkremental, luas diferensial dan volume

diferensial) dapat dilihat pada Gambar 2.1

x

y

z

P(x,y,z)

x

y

z

Volume diferensial :

zyxV

Luas Area Diferensial

yxA

zxA

zyA

z

y

x

Panjang lintasan incremental

zl

yl

xl

z

y

x

Gambar 2.1. Elemen volume, panjang lintasan incremental, luas diferensial dan volume

diferensial pada koordinat Cartesian

2. Sistem koordinat Silinder

Sistem koordinat Silinder dalam ruang 3 dimensi disusun menggunakan tiga (3)

sumbu arah yaitu sumbu arah radial pada bidang horizontal yang sering disebut sumbu r,

sumbu arah melingkar yang selalu tegak lurus dengan sumbu r yang sering disebut sebagai

sumbu arah serta satu sumbu vertikal yang sering disebut sebagai sumbu arah z. Elemen volume pada sistem koordinat Cartesian disusun dengan mengambil suatu panjang

inkremental pada masing-masing sumbu.

Ilustrasi sistem koordinat Cartesian serta diagram skematik elemen volume dan

besaran besaran yang terkait (panjang lintasan inkremental, luas diferensial dan volume

diferensial) dapat dilihat pada Gambar 2.2

32

z

x

y

z

P(r,,z)

r

Transformasi variabel posisi ruang

Cartesian ke Silinder Silinder ke Cartesian

22 yxr rCosx

xyarcTan rSiny z = z z = z

r

r

Volume diferensial :

zrrV

zrrV

Luas Area Diferensial

rrA

zrA

zrA

z

r

Panjang lintasan incremental

zl

rl

rl

z

r

Gambar 2.2. Elemen volume, panjang lintasan inkremental luas diferensial dan volume

diferensial pada koordinat Silinder

3. Sistem koordinat Bola

Sistem koordinat

pemodelan matematika 1

Documents