pembahasan soal uts kalkulus lanjut · pdf filepembahasan soal uts kalkulus lanjut semester...
TRANSCRIPT
PEMBAHASAN SOAL UTS KALKULUS LANJUT SEMESTER GENAP 2012/2013
1. Pilih 1 (a atau b).
a. Volume V suatu tabung lingkaran tegak diberikan oleh π = π2π dengan r jari-jari dan h
tinggi. Jika h dipertahankan tetap di h = 10 inci, carilah laju perubahan V terhadap r pada
saat r = 6 inci!
Jawab:
Persamaan volume tabung lingkaran tegak adalah:
π = π2π.
Mencari laju perubahan V terhadap r, berarti mencari turunan parsial pertama terhadap
variabel r, yaitu:
ππ
ππ=
π
ππ π2π = 2rπ
Jadi, laju perubahan V terhadap r pada saat r = 6 inci dan h = 10 inci adalah:
ππ
ππ 6,10
= 2. . 6.10 = 120 β 376.99 in2
b. Jika π π , π‘ = cos(2π 2 β π‘2), tentukan π3π(π ,π‘)
ππ‘ππ 2 !
Jawab:
ππ
ππ =
π
ππ (cos(2π 2 β π‘2))
=π
ππ (cos(2π 2 β π‘2)).
π
ππ (2π 2 β π‘2)
= β sin 2π 2 β π‘2 . 4π
= β4π sin 2π 2 β π‘2
π2π
ππ 2=
π
ππ ππ
ππ
=π
ππ β4π sin 2π 2 β π‘2
= β4π . π
ππ (sin 2π 2 β π‘2 ).
π
ππ 2π 2 β π‘2 + sin 2π 2 β π‘2 .
π
ππ (β4π )
= β4π . [cos 2π 2 β π‘2 . 4π ] + [sin 2π 2 β π‘2 ]. (β4)
= β16π 2 . cos 2π 2 β π‘2 β 4 sin 2π 2 β π‘2
π3π
ππ‘ππ 2=
π
ππ‘ π2π
ππ 2
=π
ππ‘ β16π 2 . cos 2π 2 β π‘2 β 4 sin 2π 2 β π‘2
= β16π 2 . π
ππ‘(cos 2π 2 β π‘2 ) .
π
ππ‘ 2π 2 β π‘2 β 4.
π
ππ‘(sin 2π 2 β π‘2 ) .
π
ππ‘ 2π 2 β π‘2
= β16π 2 . [βsin 2π 2 β π‘2 . β2π‘ ] β 4 . [cos 2π 2 β π‘2 . (β2π‘)
= β32π 2π‘. sin 2π 2 β π‘2 + 8π‘ . cos 2π 2 β π‘2
R
2. Selidikilah kekontinuan fungsi g yang didefinisikan
π π, π =
ππ
π2 + π2, π, π β 0,0
0, π, π = 0,0
Jawab:
g dikatakan kontinu di (0,0) jika memenuhi syarat berikut:
i) g(0,0) = 0 (ada)
ii) Apakah limit g(p,q) ada pada saat (p,q) (0,0)
Berikut ini akan diselidiki dengan mengubah persamaan ke koordinat kutub.
lim π ,π β(0,0)
ππ
π2 + π2= lim
πβ0 π cos π . π sinπ
π2
= limπβ0
π2 cos π sin π
π
= limπβ0
π 2 cos π sin π
π
= limπβ0
π . π cos π sinπ
π
= limπβ0
π cos π sin π
= 0 cosπ sinπ
= 0
Jadi, dapat disimpulkan bahwa limit g(p,q) ada pada saat (p,q) (0,0), yaitu 0.
iii) Dari i) dan ii) diperoleh
lim π ,π β(0,0)
ππ
π2 + π2= 0 = π(0,0)
Berdasarkan i) β iii) dapat disimpulkan bahwa g kontinu di (0,0).
3. Diberikan fungsi π π, π, π = πππ + π2. Carilah vektor gradien fungsi dan persamaan bidang
singgung yang terletak di p = (2,0,-3)!
Jawab:
Turunan parsial pertama fungsi f adalah:
ππ
ππ=
π
ππ πππ + π2 = ππ + 2π
ππ
ππ=
π
ππ πππ + π2 = ππ
ππ
ππ=
π
ππ πππ + π2 = ππ
Vektor gradien fungsi f di (2,0,-3) adalah:
βπ π, π, π = ππ + 2π π + ππ π + ππ π = ππ + 2π, ππ, ππ
βπ 2,0,β3 = 0. (β3) + 2.2 π + 2. (β3) π + 2.0 π = 4π β 6π = 4,β6,0
Persamaan bidang singgung fungsi f di (2,0,-3) adalah:
π§ = π 2,0,β3 + βπ 2,0,β3 . π β 2, π, π + 3
= 4 + 4,β6,0 . π β 2, π, π + 3
= 4 + 4π β 8 β 6π
= 4π β 6π β 4
4. Misalkan fungsi h didefinisikan dengan π π, π , π‘ = π3π β π 2π‘2 dan titik p = (-2,1,3).
a. Tentukan turunan berarah fungsi h di titik p pada arah vektor a = i β 2j + 2k!
b. Tentukan suatu vektor satuan dalam arah di mana h bertambah paling cepat di titik p!
c. Berapa laju perubahan dari (b)?
Jawab:
a. Turunan berarah fungsi h di (-2,1,3) pada arah a = i β 2j + 2k
Vektor satuan u pada arah a adalah:
π =π
π =
πβ2π+2π
12+ β2 2+2^2 =
πβ2π+2π
9=
πβ2π+2π
3=
1
3π β
2
3π +
2
3π =
1
3,β2
3,
2
3
Turunan parsial pertama fungsi h adalah:
ππ
ππ=
π
ππ π3π β π 2π‘2 = 3π2π
ππ
ππ =
π
ππ π3π β π 2π‘2 = π3 β 2π π‘2
ππ
ππ‘=
π
ππ‘ π3π β π 2π‘2 = β2π 2π‘
Turunan berarah fungsi h pada arah vektor satuan u adalah:
π·ππ β2,1,3 =1
3. 3. β2 2. 1 +
β2
3 . β2 3 β 2.1.32 +
2
3. β2 . 12. 3
=1
3. 12 +
β2
3 . β26 +
2
3. β6
=12
3+
52
3β
12
3
=52
3
b. Vektor satuan dalam arah di mana h bertambah paling cepat di (-2,1,3).
βπ β2,1,3 = 3. β2 2. 1 π + β2 3 β 2.1.32 π + β2 . 12. 3 π
= 12π β 26π β 6π
= 12,β26,β6
Sehingga vektor satuan fungsi h adalah:
12,β26,β6
12,β26,β6 =
12,β26,β6
122 + β26 2 + β6 2=
12,β26,β6
144 + 676 + 36= 12,β26,β6
856
c. Laju perubahan b) adalah 12,β26,β6 = 856 β 29.26
SKOR Soal 1. 10
Soal 2. 20
Soal 3. 30
Soal 4a. 20
Soal 4b. 15
Soal 4c. 5
Untuk soal kode L analog dengan kode R.
Beni Asyhar, S.Si, M.Pd