pembahasan soal uts kalkulus lanjut · pdf filepembahasan soal uts kalkulus lanjut semester...

4
PEMBAHASAN SOAL UTS KALKULUS LANJUT SEMESTER GENAP 2012/2013 1. Pilih 1 (a atau b). a. Volume V suatu tabung lingkaran tegak diberikan oleh = 2 dengan r jari-jari dan h tinggi. Jika h dipertahankan tetap di h = 10 inci, carilah laju perubahan V terhadap r pada saat r = 6 inci! Jawab: Persamaan volume tabung lingkaran tegak adalah: = 2 . Mencari laju perubahan V terhadap r, berarti mencari turunan parsial pertama terhadap variabel r, yaitu: = 2 =2r Jadi, laju perubahan V terhadap r pada saat r = 6 inci dan h = 10 inci adalah: 6,10 = 2. . 6.10 = 120 β‰ˆ 376.99 in 2 b. Jika , = cos(2 2 βˆ’ 2 ), tentukan 3 (, ) 2 ! Jawab: = (cos(2 2 βˆ’ 2 )) = (cos(2 2 βˆ’ 2 )). (2 2 βˆ’ 2 ) = βˆ’ sin2 2 βˆ’ 2 .4 = βˆ’4 sin2 2 βˆ’ 2 2 2 = = βˆ’4 sin2 2 βˆ’ 2 = βˆ’4. (sin2 2 βˆ’ 2 ). 2 2 βˆ’ 2 + sin2 2 βˆ’ 2 . (βˆ’4) = βˆ’4. [cos2 2 βˆ’ 2 .4] + [sin2 2 βˆ’ 2 ]. (βˆ’4) = βˆ’16 2 . cos2 2 βˆ’ 2 βˆ’ 4 sin2 2 βˆ’ 2 3 2 = 2 2 = βˆ’16 2 . cos2 2 βˆ’ 2 βˆ’ 4 sin2 2 βˆ’ 2 = βˆ’16 2 . (cos2 2 βˆ’ 2 ). 2 2 βˆ’ 2 βˆ’ 4. (sin2 2 βˆ’ 2 ). 2 2 βˆ’ 2 = βˆ’16 2 .[βˆ’sin2 2 βˆ’ 2 . βˆ’2] βˆ’ 4 . [cos2 2 βˆ’ 2 .(βˆ’2) = βˆ’32 2 . sin2 2 βˆ’ 2 +8 . cos2 2 βˆ’ 2 R

Upload: phungthuan

Post on 05-Feb-2018

238 views

Category:

Documents


3 download

TRANSCRIPT

Page 1: PEMBAHASAN SOAL UTS KALKULUS LANJUT · PDF filePEMBAHASAN SOAL UTS KALKULUS LANJUT SEMESTER GENAP 2012/2013 1. Pilih 1 (a atau b). a. Volume V suatu tabung lingkaran tegak diberikan

PEMBAHASAN SOAL UTS KALKULUS LANJUT SEMESTER GENAP 2012/2013

1. Pilih 1 (a atau b).

a. Volume V suatu tabung lingkaran tegak diberikan oleh 𝑉 = π‘Ÿ2𝑕 dengan r jari-jari dan h

tinggi. Jika h dipertahankan tetap di h = 10 inci, carilah laju perubahan V terhadap r pada

saat r = 6 inci!

Jawab:

Persamaan volume tabung lingkaran tegak adalah:

𝑉 = π‘Ÿ2𝑕.

Mencari laju perubahan V terhadap r, berarti mencari turunan parsial pertama terhadap

variabel r, yaitu:

πœ•π‘‰

πœ•π‘Ÿ=

πœ•

πœ•π‘Ÿ π‘Ÿ2𝑕 = 2r𝑕

Jadi, laju perubahan V terhadap r pada saat r = 6 inci dan h = 10 inci adalah:

πœ•π‘‰

πœ•π‘Ÿ 6,10

= 2. . 6.10 = 120 β‰ˆ 376.99 in2

b. Jika 𝑓 𝑠, 𝑑 = cos(2𝑠2 βˆ’ 𝑑2), tentukan πœ•3𝑓(𝑠,𝑑)

πœ•π‘‘πœ•π‘  2 !

Jawab:

πœ•π‘“

πœ•π‘ =

πœ•

πœ•π‘ (cos(2𝑠2 βˆ’ 𝑑2))

=πœ•

πœ•π‘ (cos(2𝑠2 βˆ’ 𝑑2)).

πœ•

πœ•π‘ (2𝑠2 βˆ’ 𝑑2)

= βˆ’ sin 2𝑠2 βˆ’ 𝑑2 . 4𝑠

= βˆ’4𝑠 sin 2𝑠2 βˆ’ 𝑑2

πœ•2𝑓

πœ•π‘ 2=

πœ•

πœ•π‘  πœ•π‘“

πœ•π‘ 

=πœ•

πœ•π‘  βˆ’4𝑠 sin 2𝑠2 βˆ’ 𝑑2

= βˆ’4𝑠. πœ•

πœ•π‘ (sin 2𝑠2 βˆ’ 𝑑2 ).

πœ•

πœ•π‘  2𝑠2 βˆ’ 𝑑2 + sin 2𝑠2 βˆ’ 𝑑2 .

πœ•

πœ•π‘ (βˆ’4𝑠)

= βˆ’4𝑠. [cos 2𝑠2 βˆ’ 𝑑2 . 4𝑠] + [sin 2𝑠2 βˆ’ 𝑑2 ]. (βˆ’4)

= βˆ’16𝑠2 . cos 2𝑠2 βˆ’ 𝑑2 βˆ’ 4 sin 2𝑠2 βˆ’ 𝑑2

πœ•3𝑓

πœ•π‘‘πœ•π‘ 2=

πœ•

πœ•π‘‘ πœ•2𝑓

πœ•π‘ 2

=πœ•

πœ•π‘‘ βˆ’16𝑠2 . cos 2𝑠2 βˆ’ 𝑑2 βˆ’ 4 sin 2𝑠2 βˆ’ 𝑑2

= βˆ’16𝑠2 . πœ•

πœ•π‘‘(cos 2𝑠2 βˆ’ 𝑑2 ) .

πœ•

πœ•π‘‘ 2𝑠2 βˆ’ 𝑑2 βˆ’ 4.

πœ•

πœ•π‘‘(sin 2𝑠2 βˆ’ 𝑑2 ) .

πœ•

πœ•π‘‘ 2𝑠2 βˆ’ 𝑑2

= βˆ’16𝑠2 . [βˆ’sin 2𝑠2 βˆ’ 𝑑2 . βˆ’2𝑑 ] βˆ’ 4 . [cos 2𝑠2 βˆ’ 𝑑2 . (βˆ’2𝑑)

= βˆ’32𝑠2𝑑. sin 2𝑠2 βˆ’ 𝑑2 + 8𝑑 . cos 2𝑠2 βˆ’ 𝑑2

R

Page 2: PEMBAHASAN SOAL UTS KALKULUS LANJUT · PDF filePEMBAHASAN SOAL UTS KALKULUS LANJUT SEMESTER GENAP 2012/2013 1. Pilih 1 (a atau b). a. Volume V suatu tabung lingkaran tegak diberikan

2. Selidikilah kekontinuan fungsi g yang didefinisikan

𝑔 𝑝, π‘ž =

π‘π‘ž

𝑝2 + π‘ž2, 𝑝, π‘ž β‰  0,0

0, 𝑝, π‘ž = 0,0

Jawab:

g dikatakan kontinu di (0,0) jika memenuhi syarat berikut:

i) g(0,0) = 0 (ada)

ii) Apakah limit g(p,q) ada pada saat (p,q) (0,0)

Berikut ini akan diselidiki dengan mengubah persamaan ke koordinat kutub.

lim 𝑝 ,π‘ž β†’(0,0)

π‘π‘ž

𝑝2 + π‘ž2= lim

π‘Ÿβ†’0 π‘Ÿ cos πœƒ . π‘Ÿ sinπœƒ

π‘Ÿ2

= limπ‘Ÿβ†’0

π‘Ÿ2 cos πœƒ sin πœƒ

π‘Ÿ

= limπ‘Ÿβ†’0

π‘Ÿ 2 cos πœƒ sin πœƒ

π‘Ÿ

= limπ‘Ÿβ†’0

π‘Ÿ . π‘Ÿ cos πœƒ sinπœƒ

π‘Ÿ

= limπ‘Ÿβ†’0

π‘Ÿ cos πœƒ sin πœƒ

= 0 cosπœƒ sinπœƒ

= 0

Jadi, dapat disimpulkan bahwa limit g(p,q) ada pada saat (p,q) (0,0), yaitu 0.

iii) Dari i) dan ii) diperoleh

lim 𝑝 ,π‘ž β†’(0,0)

π‘π‘ž

𝑝2 + π‘ž2= 0 = 𝑔(0,0)

Berdasarkan i) – iii) dapat disimpulkan bahwa g kontinu di (0,0).

3. Diberikan fungsi 𝑓 π‘Ž, 𝑏, 𝑐 = π‘Žπ‘π‘ + π‘Ž2. Carilah vektor gradien fungsi dan persamaan bidang

singgung yang terletak di p = (2,0,-3)!

Jawab:

Turunan parsial pertama fungsi f adalah:

πœ•π‘“

πœ•π‘Ž=

πœ•

πœ•π‘Ž π‘Žπ‘π‘ + π‘Ž2 = 𝑏𝑐 + 2π‘Ž

πœ•π‘“

πœ•π‘=

πœ•

πœ•π‘ π‘Žπ‘π‘ + π‘Ž2 = π‘Žπ‘

πœ•π‘“

πœ•π‘=

πœ•

πœ•π‘ π‘Žπ‘π‘ + π‘Ž2 = π‘Žπ‘

Vektor gradien fungsi f di (2,0,-3) adalah:

βˆ‡π‘“ π‘Ž, 𝑏, 𝑐 = 𝑏𝑐 + 2π‘Ž π’Š + π‘Žπ‘ 𝒋 + π‘Žπ‘ π’Œ = 𝑏𝑐 + 2π‘Ž, π‘Žπ‘, π‘Žπ‘

βˆ‡π‘“ 2,0,βˆ’3 = 0. (βˆ’3) + 2.2 π’Š + 2. (βˆ’3) 𝒋 + 2.0 π’Œ = 4π’Š βˆ’ 6𝒋 = 4,βˆ’6,0

Page 3: PEMBAHASAN SOAL UTS KALKULUS LANJUT · PDF filePEMBAHASAN SOAL UTS KALKULUS LANJUT SEMESTER GENAP 2012/2013 1. Pilih 1 (a atau b). a. Volume V suatu tabung lingkaran tegak diberikan

Persamaan bidang singgung fungsi f di (2,0,-3) adalah:

𝑧 = 𝑓 2,0,βˆ’3 + βˆ‡π‘“ 2,0,βˆ’3 . π‘Ž βˆ’ 2, 𝑏, 𝑐 + 3

= 4 + 4,βˆ’6,0 . π‘Ž βˆ’ 2, 𝑏, 𝑐 + 3

= 4 + 4π‘Ž βˆ’ 8 βˆ’ 6𝑏

= 4π‘Ž βˆ’ 6𝑏 βˆ’ 4

4. Misalkan fungsi h didefinisikan dengan 𝑕 π‘Ÿ, 𝑠, 𝑑 = π‘Ÿ3𝑠 βˆ’ 𝑠2𝑑2 dan titik p = (-2,1,3).

a. Tentukan turunan berarah fungsi h di titik p pada arah vektor a = i – 2j + 2k!

b. Tentukan suatu vektor satuan dalam arah di mana h bertambah paling cepat di titik p!

c. Berapa laju perubahan dari (b)?

Jawab:

a. Turunan berarah fungsi h di (-2,1,3) pada arah a = i – 2j + 2k

Vektor satuan u pada arah a adalah:

𝒖 =𝒂

𝒂 =

π’Šβˆ’2𝒋+2π’Œ

12+ βˆ’2 2+2^2 =

π’Šβˆ’2𝒋+2π’Œ

9=

π’Šβˆ’2𝒋+2π’Œ

3=

1

3π’Š βˆ’

2

3𝒋 +

2

3π’Œ =

1

3,βˆ’2

3,

2

3

Turunan parsial pertama fungsi h adalah:

πœ•π‘•

πœ•π‘Ÿ=

πœ•

πœ•π‘Ÿ π‘Ÿ3𝑠 βˆ’ 𝑠2𝑑2 = 3π‘Ÿ2𝑠

πœ•π‘•

πœ•π‘ =

πœ•

πœ•π‘  π‘Ÿ3𝑠 βˆ’ 𝑠2𝑑2 = π‘Ÿ3 βˆ’ 2𝑠𝑑2

πœ•π‘•

πœ•π‘‘=

πœ•

πœ•π‘‘ π‘Ÿ3𝑠 βˆ’ 𝑠2𝑑2 = βˆ’2𝑠2𝑑

Turunan berarah fungsi h pada arah vektor satuan u adalah:

𝐷𝒖𝑕 βˆ’2,1,3 =1

3. 3. βˆ’2 2. 1 +

βˆ’2

3 . βˆ’2 3 βˆ’ 2.1.32 +

2

3. βˆ’2 . 12. 3

=1

3. 12 +

βˆ’2

3 . βˆ’26 +

2

3. βˆ’6

=12

3+

52

3βˆ’

12

3

=52

3

b. Vektor satuan dalam arah di mana h bertambah paling cepat di (-2,1,3).

βˆ‡π‘• βˆ’2,1,3 = 3. βˆ’2 2. 1 π’Š + βˆ’2 3 βˆ’ 2.1.32 𝒋 + βˆ’2 . 12. 3 π’Œ

= 12π’Š βˆ’ 26𝒋 βˆ’ 6π’Œ

= 12,βˆ’26,βˆ’6

Sehingga vektor satuan fungsi h adalah:

12,βˆ’26,βˆ’6

12,βˆ’26,βˆ’6 =

12,βˆ’26,βˆ’6

122 + βˆ’26 2 + βˆ’6 2=

12,βˆ’26,βˆ’6

144 + 676 + 36= 12,βˆ’26,βˆ’6

856

c. Laju perubahan b) adalah 12,βˆ’26,βˆ’6 = 856 β‰ˆ 29.26

Page 4: PEMBAHASAN SOAL UTS KALKULUS LANJUT · PDF filePEMBAHASAN SOAL UTS KALKULUS LANJUT SEMESTER GENAP 2012/2013 1. Pilih 1 (a atau b). a. Volume V suatu tabung lingkaran tegak diberikan

SKOR Soal 1. 10

Soal 2. 20

Soal 3. 30

Soal 4a. 20

Soal 4b. 15

Soal 4c. 5

Untuk soal kode L analog dengan kode R.

Beni Asyhar, S.Si, M.Pd