példatár megoldások
DESCRIPTION
Példatár megoldásokTRANSCRIPT
Részletes megoldások
SZENTELEKINÉ DR. PÁLES ILONA
MATEMATIKA A KÖZGAZDASÁGI ALAPKÉPZÉS
SZÁMÁRA készült Analízis példatárához
(Kiadja a Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt.,
ISBN: 978-963-19-6796-8, raktári szám: 42656/P)
A CD teljes anyagát nemzetközi jog védi. Annak sem teljes egésze, sem semmilyen része semmiféle formában nem másolható a jogtulajdonos hozzájárulása nélkül.
© Szentelekiné dr. Páles Ilona, Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt., 2010.
Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt., Budapest, 2010
TARTALOM
1. HALMAZELMÉLETI ALAPOK....................................................... 3
2. VALÓS FÜGGVÉNYEK ................................................................. 15
3. SZÁMSOROZATOK ÉS SOROK ................................................... 33
4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA ........ 52
5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁL-
SZÁMÍTÁSA..................................................................................... 66
6. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK VIZSGÁLATA.............. 83
7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL .................................................... 119
8. HATÁROZOTT INTEGRÁL.......................................................... 136
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK.............................................. 159
1. HALMAZELMÉLETI ALAPOK
1. 1. Alapfogalmak, halmazműveletek és tulajdonságaik 1. a) BA = , , BA ⊆ AB ⊆ b) BA ≠ , AB ⊂ c) BA ≠ , , BA⊄ AB ⊄ d) BA ≠ , BA⊂ 2. a) { }2,2−=A { }3,2=C { }3,2=B { }3,2,1,0,1,2,3 −−−=D CB = b) Mindegyik halmaz részhalmaza önmagának, továbbá és (nem valódi részhalmazok). CB ⊆ BC ⊆ DA⊂ , DB ⊂ és (valódi részhalmazok). DC ⊂ 3. { }1>= xxxA szám, valós
{ }12 >−<= xxxxB vagyszám, valós
{ }12 >−<= xxxxC vagyszám, valós a) hamis; b) igaz; c) igaz; d) igaz. 4. A 2008. évi magyarországi adófizetők közül a) a legfeljebb 8 millió Ft-os jövedelemmel rendelkezők, meg akiknek
legalább 50 millió Ft értékű vagyonuk van; b) azok a maximum 8 millió Ft-os jövedelemmel rendelkezők, akiknek a vagyona legalább 50 millió Ft értékű; c) azok, akiknek a jövedelme 8 millió Ft-nál több; d) azok a maximum 8 millió Ft-os jövedelműek, akik vagyonának értéke nem éri el az 50 millió Ft-ot; e) azok a legalább 50 millió Ft értékű vagyonnal rendelkezők, akiknek a jövedelme 8 millió Ft-nál több; f) BABA =+ : azok, akiknek a jövedelme több mint 8 millió Ft, de a
vagyonuk értéke kevesebb, mint 50 millió Ft; g) BAAB += : a 8 millió Ft-nál több jövedelemmel rendelkezők, meg
azok, akiknek a vagyona 50 millió Ft-nál kisebb értékű; h) BABABA +==− : azok, akiknek a jövedelme 8 millió Ft-nál több,
vagy akiknek a vagyona legalább 50 millió Ft értékű.
3
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
5. A felsőfokú tanintézmény hallgatói közül a) azok a nappali tagozatra járó hallgatók, akik tanulmányi ösztöndíjasok és felvették a matematikai modellezést; b) a nappalira járók, valamint a férfiak; c) a tanulmányi ösztöndíjas nők, meg a matematikai modellezést fölvevő hallgatók; d) azok a tanulmányi ösztöndíjas nők, akik nem nappalira járnak; e) a nem tanulmányi ösztöndíjasok, valamint a férfi hallgatók; f) azok a nappalis nők, akik nem vették föl a matematikai modellezést, vagy nem részesülnek tanulmányi ösztöndíjban; g) [ ] =+==−− )()()( CABDACABDAACADB DCABDCABCABDBDAA =+∅=+= )()()( : azok a tanulmányi ösztöndíjas nők, akik fölvették a matematikai modellezést, és nem a nappali tagozatra járnak; h) [ ] =++=++= )()()()()( DBABAADBBAADBBAA
ABDABDABDBAB =+∅=+= )()()( : a tanulmányi ösztöndíjas, matematikai modellezést fölvevő nők; 6. a) BCD b) DCDCHDCCCDCC +=+=++=+ )()()()(
c) DCA
d) )( CBD + 7. 14-en vannak a társaságban.
M1. ábra 8. a) nem; b) igen; c) { }6,2−=A , { }5,4,3,2,1,0,1−=B , igen; d) { }42, <<∈= xxxA R , { }53, <<∈= xxxB R , nem; e) { }2=A , { }2=B , nem.
4
1. HALMAZELMÉLETI ALAPOK
9. a) AAHBBABAAB ==+=+ )()()( és
∅=∅== ABBABAAB )()()( .
b) [ ] [ ] =++=+=−+ )()()( BABAABBAABBA
BABAHBAAABBBAA +=+=∅+++=++= )()()()()(
[ ] .)( ∅==− ABABABBA 10. a) ++++=+++++ )()()()()()()()( BBBAABAABABABABA
+++∅+++=++++ )()()()()()()( ABABAABABBBAABAA
HHAAHHBBABBAAABA =++=+++++=∅++ )()()()()(
b) )()()()( DCBACDABCDAB ++==+
c) Bal o.: )()()()( ACBACBACBACBA +=+==−−
Jobb o.: )()()()( ACBAACBA +=+−
d) HBABAABBABABAABBA =+++=++−+− )()()()()()()()( ,
mert HPP =+ , ahol )()( ABBAP += .
e) [ ]{ } [ ]{ }=−−−=−−−− )()( CBBAACBBAA
[ ] [ ]{ }=+−−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ⋅−−= )( CBBAACBBAA
[ ]{ } { } { }=+−=−=+−−= )()()( CBAABCAABCBBAA
( ) ABCABCAACBAACBAA =+=++=+= )()()( . 11. a) ( ) ( ) =++=++++ )()()( BAAABBABBAAABBAB
AAHBBABAAB ==+=++∅= )()()( b) BBCCBBA ==++ )()( , mert . CBBA ⊂⊂ és
c) [ ]{ } [ ]{ } =+=−+− )()()( BCCABABCCABA
[ ]{ } BCBCBCCBACAABCCBAA =+∅=++=++= )()()()()()( 12. 1. CBA 5. ACB
2. CAB 6. BCA
3. BAC 7. CBA
4. CBA 8. CBA
5
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
13.
o.Jobbc)o.Balc)o.Jobbb)
o.Balb)
o.Jobba)
o.Bala)
IIIIIIICBAaIIIIIIIABCaICBAaIIIICaIIIIBaIIIIAaICBAa
IIIIIIICBAaIBCAa
IIBCaICABa
IIABaNINININICaNNIINNIIBaNNNNIIIIAa
++∈∈∈∈∈∈
++∈++∈
∈∈
∈∈∈∈∈
)(
)(
M1. táblázat
1.2. A valós számok halmaza. A valós számok axiómái 14. A csak alulról korlátos: AA ∈=1inf . B korlátos: BB ∈−= 1inf , BB ∈=1sup . C korlátos: CC ∉= 5inf , CC ∈= 6sup . D korlátos: { 1,1−= } DD ∈−= 1inf , DD ∈=1sup . E { …,4,3,2,1 }−−= sem alulról, sem felülről nem korlátos. F korlátos: { 3,2,1,0= } FF ∈= 0inf , FF ∈= 3sup . G { …,2,1,0,1,2,3 − }−= csak felülről korlátos: GG ∈= 3sup . H korlátos: HH ∉= 9,2inf , HH ∉= 1,3sup .
{ }, 2,9 vagy 3,1I x x x x= ∈ ≤ ≥R sem alulról, sem felülről nem
korlátos. J korlátos, ugyanis átalakítva a kifejezést, kapjuk:
6
1. HALMAZELMÉLETI ALAPOK
1
18 , ha páros28 ( 4) 18
8 2 18 , ha páratlan2
n
nn n
n n
n
n
+
⎧ ⎛ ⎞+⎪ ⎜ ⎟+ − ⎪ ⎝ ⎠⎛ ⎞= + − = ⎨⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎪ − ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
Ha n értéke nő, akkor n
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
21 csökken. Így a felső határt megkapjuk, ha n
helyébe 2-t, az alsó határt pedig, ha n helyébe 1-et helyettesítünk: JJ ∈= 25,8sup , JJ ∈= 5,7inf .
1.3. Halmazok Descartes-féle szorzata, koordináta rendszer. Intervallum, környezet
15. a) { })4,2(),3,2(),0,2(),4,1(),3,1(),0,1(=× BA { })2,4(),1,4(),2,3(),1,3(),2,0(),1,0(=× AB { })2,2(),1,2(),2,1(),1,1(=× AA
M2. ábra
7
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
b) { }R∈<<<<=× bababaBA ,,20,40),(
{ }R∈<<<<=× babaabAB ,,20,40),(
{ }R∈<<<<=× 212121 ,,40,40),( xxxxxxAA
M3. ábra 16. { }2,0=A { }4,1=B { }9,6,3 −−−=C { ),6,4,0(),3,4,0(),9,1,0(),6,1,0(),3,1,0( −−−−−=×× CBA ),3,4,2(),9,1,2(),6,1,2(),3,1,2(),9,4,0( −−−−− })9,4,2(),6,4,2( −− { ),0,9,1(),2,6,1(),0,6,1(),2,3,1(),0,3,1( −−−−−=×× ACB ),2,6,4(),0,6,4(),2,3,4(),0,3,4(),2,9,1( −−−−− })2,9,4(),0,9,4( −−
{ ),2,2,0(),0,2,0(),2,0,0(),0,0,0(3 =××= AAAA })2,2,2(),0,2,2(),2,0,2(),0,0,2(
8
1. HALMAZELMÉLETI ALAPOK
17. a) Az origó középpontú, 1 illetve 2 egység sugarú körrel határolt
körgyűrű, ahol a belső körív hozzátartozik a halmazhoz, a külső nem. b) Az origó középpontú, 2 egység sugarú körlap pontjai a határoló
körvonallal együtt. c) Az origó középpontú, egység sugarú körlap negyedik síknegyedbe eső pontjai, kivéve az x tengelynek origótól különböző pontjai. d) Az xy sík origótól különböző pontjai. e) Az origó középpontú egység sugarú körlap pontjai (a határoló körvonallal együtt), kivéve az első síknegyednek origótól különböző pontjai. f) Az origó középpontú 1 illetve 2 egység sugarú körrel határolt körgyűrű belső pontjai, kivéve az x tengely alatti pontok. 18. a) [ [6,4=A ] ]3,∞−=D ] [7,5=B [ ]2,2−=E ] [∞= ,10C ] [1,4 −−=F
M4. ábra b) ] [6,5=AB [ [7,4=+ BA [ ]5,4=− BA ∅=CD ] ] ] [∞∪∞−=+ ,103,DC CDC =− [ [1,2 −−=EF ] ]2,4−=+ FE [ ]2,1−=− FE 19. a) ] [4,2)3(1 =K b) ] [1,0,1,0)0(1,0 −=K c) ] [999,0,001,1)1(001,0 −−=−K 20. )2(01,0KA = )2(1 −= KC )5(610−= KB ( )2,11,0KD =
9
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
1.4. Halmazok számossága 21. Megmutatjuk, hogy a két halmaz elemei között létesíthető kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. Egy lehetséges megfeleltetés a következő: { }...,10...,,30,20,10 nT = { }...,...,,3,2,1 n=+N
22. Megmutatjuk, hogy a halmaz elemei sorba rendezhetők: ...,41,
31,
21,1
23. Elég belátni, hogy elemeit sorba lehet rendezni: Ζ ...,3,2,2,1,1,0 −− 24. A TK. 1.4. példája alapján tudjuk, hogy a +Q halmaz megszámlálható,
ugyanis elemeit sorba tudjuk rendezni: ...,31,3,2,
21,1
Hasonlóan a −Q halmaz elemei is sorba rendezhetők:
...,31,3,2,
21,1 −−−−−
Így a halmaz elemeit is sorba rendezhetjük úgy, hogy a 0-t első helyre tesszük, és , valamint elemeit „összefésüljük”:
Q+Q −Q
...,,3,3,2,2,21,
21,1,1,0 −−−− tehát a Q halmaz is
megszámlálható számosságú. 25. Mivel a halmazok megszámlálható számosságúak, ezért elemeikből sorozat készíthető: { }...,,, 321 aaaA = { }...,,, 321 bbbB = Az BA∪ halmaz elemei szintén sorba rendezhetők: { }...,,,,, 32211 ababaBA =∪ Tehát az BA∪ halmaz is megszámlálható. Megjegyzés: Ha A és B elemei között egyenlők is vannak, akkor az „összefésülésnél” a már másodszor előforduló elemet „átugorjuk”, vagyis kihagyjuk. 26. A 24. feladat alapján tudjuk, hogy a Q halmaz megszámlálható számosságú, azaz elemei sorba rendezhetők: { }...,,, 321 rrr=Q .
10
1. HALMAZELMÉLETI ALAPOK
Így a QQ × halmaz elemeit célszerű a következőképpen elrendezni:
1 1 1 2 1 3 1 4
2 1 2 2 2 3 2 4
3 1 3 2 3 3 3 4
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
r r r r r r r r
r r r r r r r r
r r r r r r r r
→ →
↓
…
…
…
A nyilak egy lehetséges sorba állítást mutatnak. 27. A két szakasz pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető pl. az M5. ábrán látható módon.
M5. ábra
28. Igen; R és R + egyenlő számosságú, mivel elemeik között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesít pl. az xxf 2)( = R∈x függvény.
1.5. Vegyes feladatok 29. { }10,5,2,1=A { }22, >−<∈= xxxxC vagyR
{ }4,2,2,4 −−=B { }3, ≥∈= xxxD R a) CD ⊂ b) A és B diszjunkt halmazok, mert ∅=AB . c) { }10,5,4,2,2,1,2,4 −−=+ BA Korlátos: 4)inf( −=+ BA , 10)sup( =+ BA . { }2,1=−CA korlátos: 1)inf( =−CA , 2)sup( =−CA . { }4,24,2, ≠>≠−<∈=− xxxxxxBC vagyR sem alulról, sem felülről nem korlátos. { }4,4−=BC korlátos: 4)inf( −=BC , 4)sup( =BC . DCD = csak alulról korlátos: 3inf =D . CDC =+ sem alulról, sem felülről nem korlátos.
11
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
30. Többféle megoldás lehetséges, például: a) CBA ++ b) CBA
c) )()()( CBACBACBA ++
d) )()()()( CBACBACBACBA +++
e) CBAABC ++= 31. 1. Belátjuk, hogy páronként diszjunkt halmazok: [ ] ∅===−− BBCAAABBCAABBCA )()()(
[ ] =+==− )()( CBABCABCBCAABCBCA
∅=+= )()( CABCCBAB
[ ] ∅==+⋅− BABCABABCA )(
∅==− ABCABABCAB )(
∅==+− BAABBAAB )(
∅==+ BACBABAABC 2. Belátjuk, hogy egyesítésük az alaphalmaz: [ ] +++=+++−+− )()()()()()( ABCABBCABAABCABBCA
[ ] [ ] HAAHAAHBBABCBCABA =+=+=+++=+ )()()()()( . 32. I. f) a kifejezés egyszerűbb alakra hozva: )()( CBAABC + .
d) e)
M6. ábra
12
1. HALMAZELMÉLETI ALAPOK
II. g) CB − i) CA
h) CBA j) )()( CBAABC + 33. a) ] [4;1− b) ] [3;2 c) ] ]2;1− 34. Mivel megszámlálhatóan végtelen sok halmazt egyesítünk, ezért a halmazok sorba állíthatók: de maguk a halmazok is megszámlálható számosságúak, vagyis minden egyes halmaznak az elemei is sorba rendezhetők. Ezt felhasználva az halmaz elemeit a következőképpen célszerű elrendezni.
;...,,, 321 AAA
...321 ∪∪∪ AAA
…………
444342414
343332313
242322212
141312111
::::
aaaaAaaaaAaaaaAaaaaA
Az elemeket most már könnyen sorba állíthatjuk, pl. így (a nyilak mentén haladva): …,,,,,,,, 2314132231211211 aaaaaaaa Vegyük még figyelembe a 25. feladat utáni megjegyzést is.
1.6. Ellenőrző kérdések és feladatok 1. Az összeadás és a szorzás kommutatív (lásd 1.1. tétel), a kivonás azonban nem: BAAB −≠− . Ez utóbbi Venn-diagramon is ellenőrizhető. 2. Nem igaz. A kétféle algebrában vannak ugyan egyforma azonosságok (pl. kommutativitás, asszociativitás, stb.), de vannak eltérőek is (pl. a Boole- algebrában igaz az AAA =+ azonosság, de a valós számok algebrájában nem.) 3. Nem igaz az a) b) és d) azonosság (erről Venn-diagram segítségével is meggyőződhetünk). Igaz a c) azonosság, melyet pl. Boole-algebrai átalakítások segítségével könnyen igazolhatunk. 4. Igen. 5. a) Hamis, mert nem valós számok, hanem 12 db rendezett valós számpár
alkotja a halmazt.
13
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
14
}
b) Hamis, mert a halmaznak nem 9, hanem 24 db eleme van. (Az elemek rendezett valós számhármasok.) c) Igaz. Legyen pl.: { baA ,= és { }edcB ,,= . Ekkor { }),(),,(),,(),,(),,(),,( ebdbcbeadacaBA =× . { }),(),,(),,(),,(),,(),,( beaebdadbcacAB =× . d) Hamis, mert a két halmazt nem ugyanazok az elemek alkotják (lásd c) pont
megoldása). Pl.: . ),(),( acca ≠ 6. a) Nem igaz. A két halmaz ekvivalens. b) Igaz. Mindkét halmaz megszámlálható számosságú.
c) Nem igaz; ugyanis ha az irracionális számok halmaza megszámlálhatóan végtelen lenne, akkor a (megszámlálhatóan végtelen) racionális számok halmazával egyesítve – a valós számok halmaza is megszámlálható számosságú lenne. A valós számok halmaza azonban nem megszámlálható (lásd 1.8. tétel). d) Nem igaz (lásd pl.: a b) pontban szereplő Z és Q halmazokat). e) Igaz (lásd a 27. feladatot).
2. VALÓS FÜGGVÉNYEK
2. 1. Függvényfogalom, valós függvények. Természetes értelmezési tartomány
35. Függvényt határoz meg a b), d) és e) hozzárendelés, ezeknél ugyanis minden
lakáshoz pontosan egy dolgot rendelünk. Nem függvény azonban az a) és c) hozzárendelés, mert egy-egy lakáshoz több autó, illetve több lakó is tartozhat (vagyis nem egyértelmű a megfeleltetés).
A b) nem kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés, mert vannak olyan lakások, amelyekhez ugyanazt a számot rendeljük (pl. két lakáshoz is 0-t rendelünk).
Az e) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés, mert minden lakáshoz más-más sorszám tartozik.
A d) hozzárendelés akkor és csak akkor kölcsönösen egyértelmű, ha nincs két olyan lakás, melyben ugyanannyian laknak.
Mindhárom függvény valós értékű, mert értékkészletük részhalmaza a valós számok halmazának. Valós-valós függvény nincs közöttük, mert mindegyik függvény értelmezési tartományát a társasház lakásai – nem pedig valós számok – alkotják.
36. a) 7,12502,02,1)25( =⋅+=f , azaz egy éves embernek a vér
koleszterinkoncentrációja 1,7 gramm/liter. 25
b) Évente grammal nő a vér koleszterinkoncentrációja literenként. 02,0
37. 3( ) 5, 204
f x x x= + > (mértékegység: ezer Ft)
8. a) 3 %72,0
b) 854)40( ≈f (millió)
0,10
220)( ≥⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+= xxxf39.
(M. 7. ábra)
0. , azaz
a) 0273 2 ≠+− xx
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−∈x 2,
31R
4
b) , azaz 014 ≠+x R∈x . M 7. ábra ≥ c) 2 −x , azaz 2 . 04 ≥x
és vagy d) ≥x 2−≥x , is2 2≥x . 15
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
16
6 e) 0 és 0>1>−x x , vag 1yis 6− < <x . +x , vag f) 06 >−− x yis 6172 << x .
A c) és d) pontbeli függvények nem ők egyenl , mert az értelmezési tartományuk
1. a)
nem egyezik meg. Az e) és f) pontbeli függvények sem egyenlők, mert bár az értelmezési tartományuk egyenlő, de ugyanazon x értékhez más-más függvényértéket rendelnek.
{ } +=−∈= RR fRxxxf ,0,)( 2 . 4
b) { } { }.6,5,425
)5()2(2)( −−=−∈+−=−
−−−= RR fRxx
xxxxf
c) [ [∞=∈= ,0,,)( fRxxxf R .
d) { } { }4,2,242
)42(242242)(
2
−=−∈=−−
=−⋅−
= +RR fx
x
xx
x
xx
Rxxf .
a) b)
c) d)
M 8. ábra
2. VALÓS FÜGGVÉNYEK
2.2. Függvénytranszformációk 42. Teljes négyzetté alakítás után a képletből leolvashatók a transzformációs
lépések. 5)5(2025)5(2010)( 222 −+=+−+=++= xxxxxg
[ ] 3)1(251)1(25)2(2542)( 2222 +−=+−−=+−=+−= xxxxxxxh
[ ] 10)3(19)3(1)6(16)( 2222 ++−=+−+−=++−=+−−= xxxxxxxk Pl. a h függvény esetén a transzformációs lépések (egy lehetséges
sorrendje): 1. alapfüggvény ábrázolása; 2xx2. : eltolás az 2)1( −xx x tengely mentén pozitív irányban egy
egységgel; 3. : nyújtás az tengely mentén, azaz minden pontnak az
2)1(2 −xx yx tengelytől mért távolsága 2-szeresére változik;
4. : eltolás az 3)1(2 2 +−xx y tengely mentén 3 egységgel pozitív irányban.
M 9. ábra
43. Egy-egy lehetséges megoldást mutatunk. a) Alakítsuk át a képletet:
2
312
3)2(25
25)(
−+−=
−−−
−=−−
−=−−
=xx
xxx
xxxg
17
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
A transzformációs lépések:
1. az x
xf 1)( = alapfüggvény ábrázolása;
2. 2
1−x
x : eltolás az x tengely mentén pozitív irányban 2
egységgel;
3. 2
3−x
x : minden pontnak az x tengelytől vett távolsága
3-szorosára nő;
4. 12
3−
−xx : eltolás az y tengely mentén egy egységgel negatív
irányban.
M 10. ábra
b) 342382)( −+=−+= xxxg
1. az xxf =)( alapfüggvény ábrázolása;
2. xx 2 : minden pontnak az x tengelytől mért távolsága 2-szeresére nő; 3. 42 +xx : eltolás az x tengely mentén 4 egységgel negatív irányban;
18
2. VALÓS FÜGGVÉNYEK
4. 342 −+xx : eltolás az y tengely mentén 3 egységgel negatív irányban.
M 11. ábra
c) 1231)2(91189)( +−=+−=+−= xxxxg
1. az xxf =)( alapfüggvény ábrázolása; 2. 2−xx : eltolás az x tengely mentén 2 egységgel pozitív irányban; 3. 23 −xx : minden pontnak az x tengelytől mért távolsága
3-szorosára változik; 4. 123 +−xx : eltolás az y tengely mentén pozitív irányban egy egységgel.
M 12. ábra
19
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
44. (M. 13. ábra)
20
M 13. ábra
c)
e)
45. a) Az ] 2;1,62
1)( ∈−
= xx
xf ] függvény képletéből közvetlenül (vagy
grafikus vizsgálat alapján) adódik, hogy a függvény szigorúan monoton csökkenő;
,21)2(,
41)1( −=−= ff így ⎢⎣
⎡⎢⎣⎡ −−=
41;
21
fR .
b) Érdemes vázolni a függvény grafikonját, ahonnan adódik: . R=fR
c) 13)1(3123)( 22 −=−=+−= xxxxxf , így . += 0RfR d▲) Vegyük észre, hogy az f függvény gráfja az ctgxx függvény grafikonjának x tengely irányú zsugorításával keletkezik. E
transzformáció során a periódushossz π -ről π1 -szeresére, vagyis egy
egységre változik. Így: . R=fR
2.3. Szakaszonként megadott függvények, függvénytulajdonságok 46. a) Korlátos: 1)(inf −=xf , 1)(sup =xf .
b) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+<≤−
−<−−=
2,1223,5
3,12)(
xxx
xxxf
hahaha
Csak alulról korlátos: 5)(inf =xf .
2. VALÓS FÜGGVÉNYEK
c) Csak alulról korlátos: . ⎩⎨⎧
<≠−−≠≤+
=01,1
10,1)(
xxxx
xfhaha
1)(inf =xf
d) Csak felülről korlátos: 6)(sup =xf . e) Korlátos: 0)(inf =xf , 1)(sup =xf . f) Nem korlátos.
a) b)
c) d)
e) f)
M 14. ábra
21
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
47. a) Páratlan, mert R=fD , és minden R∈x esetén
. )(2)()(2)( 33 xfxxxxxf −=+−=−−−=− b) Se nem páros, se nem páratlan, mert van olyan R∈x , hogy , )(424)()(2)( 33 xfxxxxxf ±≠++−=+−−−=− pl. 5)1(3)1( =±≠=− ff . c) Páros, mert { }0−= RfD és minden fDx∈ esetén
)(25
1)(2)(5
1)( 2424 xfxxxx
xf =+
=−+−
=− .
d) Páros, mert , és minden R=fD R∈x esetén
. )(33)( xfxf xx =+=− −
e) nem szimmetrikus az origóra ⇒ se nem páros, se nem páratlan.
+= 0RfD
f) Páros, mert { }0−= RfD , és minden fDx∈ esetén
)(sinsin)sin()( xfx
xx
xxxxf ==
−−
=−−
=− .
48. (M. 15. ábra)
M15.a) ábra
22
2. VALÓS FÜGGVÉNYEK
M 15.b) ábra a) [ [7;0=fR ; nem monoton, de vannak monotonitási szakaszai:
szigorúan monoton csökken a [ ]3;5 −− és [ ]0;1− intervallumokban, valamint szigorúan monoton növekedő a és [
[ ]1;3 −−[2;0 intervallumokban.
Korlátos: 0)(inf =xf és 7)(sup =xf . Lokális maximumhelyek: 5−=x és 1−=x , a lokális maximumértékek: .4)1()5( =−=− ff Lokális minimumhelyek: 3−=x és 0=x , a lokális minimumértékek: 0)3( =−f és 3)0( =f . Abszolút maximumhely nincs, abszolút minimumhely: 3−=x és az abszolút minimumérték: 0)3( =−f . b) ; nem monoton, de vannak monotonitási szakaszai:
szigorúan monoton csökkenő a
] 4;0=fR ][ [2;7− és [ ]5;2 intervallumokban,
valamint szigorúan monoton növekedő az [ [7;5 intervallumban. Korlátos: 0)(inf =xf és 4)(sup =xf . Abszolút (és lokális) maximumhely: 2=x , értéke: 4)2( =f , lokális
maximumhely: 7−=x , értéke: 3)7( =−f , lokális minimumhely: , értéke: 5=x 1)5( =f , abszolút minimuma nincs.
2.4. Műveletek függvényekkel. Összetett és inverz függvények 49. a) 4),4lg()4lg(: >++−+ xxxxgf . b) :, hgf DDhgf ≠≠+ +mert
{ } { }és 4 , és 4 4f g hD x x x D x x x x+ = ∈ > = ∈ < − ∨R R > .
23
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
50. a) { }0,2:2
−∈+
+ Rxx
xxgf .
{ }0,2: −∈⋅ Rxxgf .
{ }0,2
:2
−∈Rxxxgf .
b) xxxgf −+−=+ 562)()( , [ ]5;3∈x .
xxxgf −⋅−=⋅ 562)()( , [ ]5;3∈x .
x
xxgf
−
−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
562)( , [ [5;3∈x .
c) . 0,lg3lglg2lglg)()( 2 >=+=+=+ xxxxxxxgf
. ,lg2lg)(lg)()( 22 xxxxgf ⋅==⋅ 0>x
2lglg2
lglg)(
2
===⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛xx
xxx
gf , { }1−∈ +Rx .
51. a) 3,3: ≤− xxxgf 0,3: ≥− xxxfg b) 3),3lg(: −>+ xxxgf 0,lg3: >+ xxxfg
c) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<−−=∨−=>∨−<
=−−64,1
64,064,1
)242sgn(: 2
xxxxx
xxxgfhahaha
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−=−<−
0,250,240,21
:xxx
xfghahaha
d) nem értelmezhető egyetlen valós x-re sem, mert , ha
)(log: 23 xxgf −
02 ≤− x R∈x . , 2
3 )(log: xxfg − 0>x
e) 352:
++
xxxgf , { }3−−∈Rx
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<−
+=+−+−
≥+
−=++
=++
0,3
12352
0,3
12352
352
:x
xxx
xxx
x
xx
xfgha
ha
24
2. VALÓS FÜGGVÉNYEK
a)
b)
c)
d)
e)
M. 16. ábra 25
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
52. a) 2811: 2 −+− xxxgf , R∈x
R∈−⋅+− xxxxfg ,2811: 2
xxxff =: , R∈x
R∈−−+−+−+−− xxxxxxgg ,28)2811(11)2811(: 222
b) 12: 2 +x
xgf , { }0−∈Rx
12
1: 2 +xxfg , R∈x
, 1)12(2: 22 ++xxff R∈x xxgg : , { }0−∈Rx
c) xxgf 5log: , 0>x
xxfg 5log: , 1≥x 1,loglog: 55 >xxxff
0,: 4 ≥= xxxxgg
d)
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
>+
=
<+
ha ,
ha ,21
ha ,2
1
02
1
0
02
:
2 xx
x
x
xgf
x
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−>⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+
−<+
2ha ,2
1
2ha ,2: 2
21
xx
xxfg
x
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −−−∈
++
2;25,
22
11: Rx
x
xff ha
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>=
=<=
ha ,
ha ,ha ,2)(2 2x2x
0)(
000
:422 xxx
xx
xgg
53. Vezessük be a következő jelölést: gfh = . Ekkor
a) R∈= xxf x ,8)( R∈+= xxxg ,45)( .
26
2. VALÓS FÜGGVÉNYEK
b) 0,)( ≥= xxxf 20,2
)( >∨<−
= xxx
xxg .
c) . R∈= xxxf ,)( 5 R∈−= xxxg ,23)( 2
d) R∈= xxxf ,)( 2 0,lg)( >= xxxg .
e) 0,lg)( >= xxxf { }0,)( 2 −∈= Rxxxg . Vezessük be a következő jelölést: kgfh = . Ekkor
f) 0,)( ≥= xxxf 0,log)( 3 >= xxxg
27
73,37)( −>+= xxxk .
54. 11),1(log: 2
21 >∨−<− xxxxgf .
11,)1(log: 2
21 >∨−<− xxxxgfh .
{ }1;1,1log: 2
21 −−∈− Rxxxghf .
M 17. ábra
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
55. Csak a b), d) és h) függvényeknek nincs inverzük. Ezeknél a függvények-nél ugyanis ugyanazt a függvényértéket több helyen is fölveszi a függvény. Pl. az xxf cos)( = függvény az πkx 2= Ζ)∈k( helyeken – vagyis végtelen sokszor – fölveszi az 1 értéket.
a) [ ]6;0,23
)(1 ∈+=− xxxf
c) { }1),(11)(1 −−∈=+−
=− Rxxfxxxf
e) [ [∞∈−=− ;1,)(1 xxxf
f) [ ]1;0,1)( 21 ∈−−=− xxxf
g) { }0,21)(3
1 −∈+−=− Rxx
xf
g)
M 18. ábra
56. Belátható, hogy mindegyik függvény szigorúan monoton, ezért létezik az
inverzük. a) 0,2log)( 3
1 >−=− xxxf 28
2. VALÓS FÜGGVÉNYEK
b) R∈+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
+− xxf
x
,21
21)(
11
c) 01222,222,2
22: 21 =−⋅−−=−
= −−
− yyyyyy
xxxf
1202;12
4422 222
2,1 ++=⇒>+±=+±
= xxxxxx yyy
R∈⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++= xxxy ,1log 2
2
d) 1 1 , ha ( )1, h
1a 1
xf xx
xx
− <⎧− −⎪= ⎨− ≥⎪⎩
2.5. Vegyes feladatok 57. a) 6100002,08,5)100( =⋅+=f (t/ha) Tehát 100 kg műtrágya felhasználásához 6000 kg termésátlag tartozik
hektáronként. b) Ha 1 kg-mal növeljük hektáronként a műtrágya mennyiségét, akkor
tonnával, azaz 2 kg-mal nő a termésátlag. 002,0 58.
M 19. ábra ; nem monoton, de vannak monotonitási szakaszai: szigorúan mo-
noton csökken a
[ 3;1−=fR ][ ]4;2 intervallumban, és szigorúan monoton növekedő a
] [4; −∞− , [ ]5;4 intervallumokban, valamint állandó a [ ]2;4− interval-lumban.
Korlátos, 1)(inf −=xf és 3)(sup =xf .
29
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
Abszolút (és lokális) maximumhelyek: 24 ≤≤− x , a maximumérték: . 3 Abszolút (és lokális) minimumhely: 4=x , a minimumérték: 1− . Lokális maximumhely: , a maximumérték: 5=x 0)5( =f . 59. Az f függvény szigorúan monoton növekedő, a g függvény (képe
hiperbola) szintén kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés, ezért mindkét függvénynek létezik inverze:
+− =∈= − R1,,3)(1f
x Rxxf R
{ }0,91,
91
1)( 11 −=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −−∈
+= −
− RR gRxx
xg
] [9;0,911log: 3 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= hD
xxgfh
h szigorúan monoton csökkenő függvény ⇒ létezik inverze:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−
911log: 3
1
yxh ,
9113 −=
yx , ,
913
1
+=
xy , így: R∈x
] [9;0,,
913
1)( 11 =∈
+= −
−h
xRxxh R .
60. [ ] R∈xxxgf ,: 2 . Sem nem páros, sem nem páratlan; { }N∈= nnR gf
2 . Nem létezik inverze, lásd az M 20. ábrát.
M 20. ábra
30
2. VALÓS FÜGGVÉNYEK
2.6. Ellenőrző kérdések és feladatok 1. Nem lehet, mert egy x értékhez két y érték is tartozhat. Pl. ha , akkor
. (Grafikonon: van olyan függőleges egyenes, amelynek nem egy, hanem két metszéspontja van a körrel.)
0=x1±=y
2. a) A g függvény grafikonját az f függvény grafikonjának az tengely
mentén 2 egységgel történő eltolásával kapjuk. y+
b) a h függvény grafikonját az f függvény grafikonjának az x− tengely mentén 2 egységgel történő eltolásával kapjuk.
c) a k függvény grafikonját az f függvény grafikonjának az y tengely mentén történő nyújtásával kapjuk: minden pont az x tengelytől mért távolságát 2 -szeresére változtatja.
d) az e függvény grafikonját az f függvény grafikonjának az x tengely mentén történő zsugorításával kapjuk: minden pont az y tengelytől való távolságát felére csökkenti.
3. a) Nem igaz; gondoljunk arra, hogy egy függvénynek több lokális
maximuma is lehet. b) Igaz. c) Nem igaz; gondoljunk az alulról nem korlátos függvényekre. d) Nem igaz; legyen pl. xxf −=)( és . 3)( xxg = Mindkét függvény monoton,de sem az összegük, sem a szorzatuk nem
monoton. e) Igaz; ugyanis ha f és g páros függvény; azaz )()( xfxf =− és
)()( xgxg =− az origóra szimmetrikus értelmezési tartományon, akkor )()()()()()()()( xgfxgxfxgxfxgf +=+=−+−=−+ és )()()()()()()()( xfgxgxfxgxfxfg =⋅=−⋅−=− , ahol gfgf DDD ∩=+ és gffg DDD ∩= . f) Csak az összegre igaz az állítás. Két páratlan függvény szorzata ugyanis
páros. (Az igazolás az e) pont mintájára elvégezhető.) 4. Nem létezik, hiszen a páros függvények nem kölcsönösen egyértelmű
leképezések. (Grafikonon: van olyan vízszintes egyenes, amely nem egy, hanem több pontban metszi a függvény grafikonját.)
5. Van. Ilyen pl. az xxf sin)( = függvény. 6. Az f és függvények grafikonjai egymás tükörképei az 1−f xy =
egyenletű egyenesre nézve.
31
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
7. Mivel ff RD =−1 és , ezért ábrázolva az f függvényt,
leolvasható, hogy a B válasz a helyes. ff DR =−1
8. Az függvény esetében f a külső és g a belső függvény, ezért a C
válasz a helyes. (Az értelmezési tartomány a feltételből adódik.)
gf
026 2 >− xx
9. Pl.: xxf =)( és 21)(x
xg −=
Nincs olyan valós szám, amelyre az
21:x
xgf − függvény értelmezhető lenne, ugyanis
012 <−
x minden { }0−∈Rx esetén.
32
3. SZÁMSOROZATOK ÉS SOROK
3. 1. A sorozat fogalma és megadási módjai
61. a) , 043 ,
98 ,
1615 ,
2524 , … e) ...,
3231,
1615,
87,
43,
21
b) 21
− , 54 , 1− ,
78 ,
45
− , … f) ...,25,5,0,10,10 −−−
c) 2 , 1, 1, 0 , 1− , 1− , … g) 3 , , , , , … 1,3 14,3 141,3 1415,3
d) ...,125,161,27,
41,1
62. a) Számtani sorozat; 455)1(1 −=−+= nnan vagy rekurzív módon: és 11 =a ,51 += −nn aa . 2≥n
b) n
an13+= e) ∑
=
+=n
iina
1 1033 vagy: 3,31 =a
c) 1
21 +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
n
na és 2,10
31 ≥+= − naa nnn
d) ⎪⎩
⎪⎨⎧
+
=párosha,
11
páratlanha,2
nn
nnan f) ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ += 1
2nan
63. Az első év végén: =+=⋅+= )08,01(00010008,00001000001001a 08,1000100 ⋅= . A 2. év végén: =⋅⋅+⋅= 08,008,100010008,10001002a
. 208,1000100)08,01(08,1000100 ⋅=+⋅=
Az n-edik év végén: mértani sorozat, nna 08,1000100 ⋅= .08,1=q
64. a) , mértani sorozat, nnf 08,1100)( ⋅= )( +∈Nn .08,1=q b) nnf ⋅+= 10100)( , számtani sorozat, )( +∈Nn .10=d
33
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
M 21. ábra
Az M21. ábra mutatja, hogy rövid távon a b) (lineáris) függvény szerint, hosszabb távon (7 év eltelte után) az a) (exponenciális) függvény szerint lesz magasabb a bér.
3.2. A sorozatok tulajdonságai (monotonitás, korlátosság) 65. a) Nem monoton.
M 22. ábra 34
3. SZÁMSOROZATOK ÉS SOROK
b) Szigorúan monoton növekedő.
M 23. ábra
c) 33
)7()3()7()3(
+−
=+++−
=nn
nnnnan , szigorúan monoton növekedő.
M 24. ábra
d) Szigorúan monoton csökkenő.
M 25. ábra
66. a) ⇒+=n
an18 szigorúan monoton csökkenő.
b) ),1,0,1,0,1( …− , nem monoton.
35
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
c) 0)25()35(
71 >
−+=−+ nn
aa nn minden esetén ⇒
szigorúan monoton növekedő.
+∈Nn )( na
d) előjelváltó nem monoton. )( na ⇒
e) ⎩⎨⎧
≥<=>
++++−−
=+
−++
+=−+ 2
1,0)3()42(
6223
242
2222
2
221 nn
nnnnn
nn
nnnaa nn ha0,
ha
nem monoton, illetve )( na ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ...;
21;
74;
21 valóban nem monoton.
f) 14333639
343
433
21
)1(21 >
+⋅+⋅
=+
⋅+
=+
++
n
n
n
n
n
n
n
n
aa
minden esetén
szigorúan monoton növekedő.
+∈Nn ⇒
)( na
g) 1895
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
n
na , nem monoton, mert a páros indexű tagok 18 -nál
nagyobbak, a páratlan indexűek pedig 18 -nál kisebbek. h) monoton növekedő. ),3,3,2,2,2,2,2,1,1,1( … )( na 67. a) Korlátos: és 0inf =na 1sup =na .
b)
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
=
),717
),717
(növekvőpáratlanha
(csökkenőpárosha
n
na
n
n
n
Korlátos: 766inf 1 == aan és
4917sup 2 == aan .
c)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−
+=),
121
),12
1
(növekvőpáratlanha
(csökkenőpárosha
nn
nnan
Korlátos: 31inf 1 −== aan és
51sup 2 == aan .
d) 5
12−
−=n
an Ha elkészítjük az sorozat
grafikonját, akkor látható, hogy
{ }.5−∈ +Nn )( na
1inf 6 == aan és , tehát a sorozat korlátos. (M26. ábra)
3sup 4 == aan
36
3. SZÁMSOROZATOK ÉS SOROK
M 26. ábra e) nem korlátos, csak felülről: ,2)10( 2 +−−= nan 2sup =na . f) nem korlátos, csak alulról:
,32log8log 322 na nn
n ===.3inf 1 == aan
3.3. Konvergens sorozatok. Műveletek konvergens sorozatokkal
68. a) Állítás: .01lim =n
M 27. ábra Bizonyítás: legyen 0>ε tetszőleges szám. Belátjuk, hogy létezik küszöbszám, amelynél nagyobb sorszámú tagjai a sorozatnak már mind beleesnek a határértéknek az
0n
ε sugarú környezetébe, azaz ezekre a tagokra teljesül a következő egyenlőtlenség:
.01 ε<−n
Ezt megoldva kapjuk: .1ε
>n Tehát létezik küszöbszám:
ha 11 0 =⇒≥ nε , ha ⇒<< 10 ε .10 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=ε
n
37
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
b) Állítás: 0lim =na
M 28. ábra Bizonyítás: 0>ε tetszőleges szám.
,101)1( ε<=−⋅−nn
n ε1
>n . Tehát létezik küszöbszám: ha
11 0 =⇒≥ nε , ha ⇒<< 10 ε .10 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=ε
n
c)
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
=+
⋅−=
páratlanha
párosha
n
na
n
n
n
nn
n
,311
,311
313)1(
A 3/c. példa megoldása alapján ez a sorozat divergens. 1lim1lim −=≠= nnnn
aapáratlanpáros
M 29. ábra 69. Legyen 0>ε tetszőleges valós szám.
a) ,20255 ε<=−
nn ,25
ε>n 5
2ε
>n , azaz ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡= 5
02ε
n , ha
20 << ε , vagy 10 =n , ha 2≥ε .
b) ε<=− nn 1030
103 , ,310
ε>n
ε3lg>n ,
azaz ,3lg0 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
εn ha
1030 << ε , vagy ,10 =n ha
103
≥ε .
38
3. SZÁMSOROZATOK ÉS SOROK
c) ε<−
=−
=+− 68
3)43(2
321
432
nnnn , ,63
81
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +>ε
n
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += 1,63
81max0 ε
n .
d) ,3
175325
22
2
ε<−
=−−+
nnn ha , 1>n ,3172 +>
εn .317
0⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+=
εn
70. a) 1111lim...11lim11lim11lim 100100
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
nnnn, mert
.01lim =n
b) 21
84
238421lim 23
3
−=−=−−
−+nn
nn (A számláló azonos fokú a nevezővel).
c) 026lim
)2()3()13(2lim 8
7
26
243
=++
=++
++……
nn
nnnnnn (A nevező magasabb fokú,
mint a számláló.) d) A nevezőt a számtani sorozat összeg-képlete alapján átírva kapjuk:
2 2
2
3 1 3 1 3 1lim lim lim 32 4 6 2 (2 2 )
2
n n nnn nn
+ += =
+ + + + ++…
2
n+
= .
e) 21
2012
23
132lim
4=
+−
=+
+−
n
n
f) Egyszerűsítsünk 5 8n -nal: 5
5565 3
585
31
3113
121lim =
+++
++
nnn
nn
g) 36036616lim 2 =−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
n
n⎧ ⎫
− = ⎨ ⎬⎩ ⎭
h) a = + ⇒ divergens 4, ha páros
3 ( 1)2, ha páratlan
nn
n
39
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
i) 251
250010
2554
521
526
lim −=−−+
=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅
n
n
n
j) Írjuk szorzat alakba a kifejezést:
1lim cos(2 1) 06
n
n⎡ ⎤⎛ ⎞− + =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
,
mert 061lim =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
n
( 1,0lim <= qqn ha ) és a
sorozat korlátos, így alkalmazhatjuk a TK. 3.6. tételt.
))12(cos( +n
71. a) 771lim −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+ e
n
n
b) 58
2
51
53
2
32
1
51
1
53
1
lim1535lim
1535lim e
e
e
n
n
nn
nn
n
n
n
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
−
−
c) 45
43
21
2
2
2
2
2
2
2
43
1
21
1
lim
431
421
lim−
−
==
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −+
=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−e
e
e
n
n
n
nn
n
n
d) 111lim11lim1111lim 1 =⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − − ee
nnnn
nnn
e) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
⋅
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − −5
1452lim
4114
2512
limnn
nn
nn
n
40
3. SZÁMSOROZATOK ÉS SOROK
0
2110
1452
1lim
41
1
25
1
21lim 5
41
25
5 =
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⋅=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
⋅
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −+
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
−
e
e
nn
n
n
n
n
n
f) n
n
n
n
n
n
n
nn
nn
a
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=
72
1
73
1
)1(
7217
7317
)(limlim 75
75
nnnnnaeaea ⇒−=≠=
páratlanpáros divergens.
g) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+ + 100100
1434lim
1434lim
1434lim
nn
nn
nn nn
n páros
ee
e
n
n
n
n
==⋅
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
=−
41
43
1
41
1
43
1
lim ; =
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
3
3
31
1
32
1
lim13
32lim n
n
n
n
n
n
nn
páratlan
ee
e
e=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
3
31
3
31
32
Mivel a két részsorozat határértéke megegyezik, ezért az sorozat konvergens és
)( na.lim ean =
h▲) ),0,1,0,1(2
sin …−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ πn
41
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
1
21
23
21
1
23
1
lim
211
231
lim2123lim −
−
−
==
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −+
=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−
−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−− e
e
e
n
n
n
nnn
n
n
n
n
Ezért
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∈+=−
∈=
∈+=
=−
+
−
N
N
N
kkne
kkn
kkne
an
,34,
,2,0
,14,
lim1
1
ha
ha
ha
Mivel a részsorozatok határértékei különböznek egymástól, ezért az sorozat divergens. )( na
72. a) 441lim −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
n.
9991441
<+−n
, 99911
<n
, , tehát az . tagtól kezdve
esnek a sorozat tagjai a -nek az
999>n 0001
4− ε sugarú környezetébe. b) 0lim =na ; a .11 tagtól. c) 4lim =na ; már az első tagtól. d) 6lim =na ; a tagtól. .448
e) 51lim =na ; a 7. tagtól.
f▲) ;31lim =na
1001
391)1(15
31
135)1(
22
2
<+
−−⋅=−
+⋅−+
nnn nn
Ha n páros: ,100
139
142 <+n
.46,12>n
Ha n páratlan: ,100
139
162 <+n
. 32,13>n
Tehát a 14 . tagtól kezdve esnek a tagok a határérték 01,0=ε sugarú környezetébe. 73. a) Szigorúan monoton növekedő; konvergens: 50lim =na ; korlátos:
793inf =na és ; 50sup =na 128470 =n .
42
3. SZÁMSOROZATOK ÉS SOROK
b)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=+−
−
=+−
=50lim,
527100
50lim,527100
nn
nnn
annn
annn
a
páratlan
páros
páratlanha
párosha
Nem monoton; divergens; korlátos: 50inf −=na és . 50sup =na
c) Monoton növekedő; konvergens: 2lim =na ; korlátos: 23inf =na és
2sup =na ; . 1980 =n
d) 552
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
n
na ; nem monoton; konvergens: 5lim −=na ; korlátos:
5
27inf −=na és 25214sup −=na ; 50 =n .
e) Nem monoton; nem korlátos, csak alulról: 0inf =na ; divergens.
f) Szigorúan monoton növekedő; konvergens: 9917lim =na ; korlátos:
17,0inf =na és 9917sup =na ; 10 =n .
g▲) Nem monoton; konvergens:
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=<
−2020
2120
!202020...
2220
2120
2020...
220
1200
n
n na
02120
2120
!2020 2020
→⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
−n
A „rendőrelv” (TK. 3.8. tétel) miatt .0lim =na
Korlátos: és 0inf =na19
19 2020sup19!na a a= = = .
3.4. Speciális divergens sorozatok
74. a) −∞=−⋅∞=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−− )2(5432lim 542
5
nnnn
tágabb értelemben konvergens. )( na
b) −∞=−
+5
6
10285lim
nn (A számláló magasabb fokú, mint a nevező.)
c) A tagok külön-külön ∞ -be tartanak (a számláló magasabb fokú a nevezőnél), ebből következik, hogy az összegük is: ∞=nalim .
43
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
d) A kisebbítendő és a kivonandó külön-külön ∞ -hez tart. Ebből a tényből azonban a különbség konvergenciájával kapcsolatban még semmire sem tudunk következtetni. Hozzuk közös nevezőre a kifejezést!
16829
142
122
2
222
++++
=+−
−++
=nn
nnn
nnn
nan .
A kapott racionális tört konvergens (a számláló azonos fokú a nevezővel),
így: 1lim8na = .
e) Egyszerűsítsünk n-nel: ∞=++
+
111
2lim3
3n
n .
f) =−++
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −++⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−+
nnnn
nnnnnnnnlim
122
1111
2lim2lim ==
−++
=−++
=
nnnnnn
n
g) ∞=∞⋅=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅ 22 6,0
167
6,01lim
n
, mert ∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
n
67lim . (TK. 3.10. tétel)
h) ∞=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⋅∞=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−
21
21
32
21
2
21
1
32
1
23lim
2112
3213
lime
e
n
n
nn
nn
n
n
n
n
75. a) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−= 2
2 101n
nan , −∞=nalim .
, , , tehát a 25. tagtól. 60010 2 −<− n 6102 >n 7,24>n b) −∞=nalim ; a 361. tagtól. c) −∞=nalim ; a 10. tagtól. 76. a) ∞=nalim ; , , tehát a 11. tagtól. 44 10>n 10>n44
3. SZÁMSOROZATOK ÉS SOROK
b) ∞=nalim ; a 11. tagtól. c) ∞=nalim ; az 5002. tagtól.
3.5. Végtelen sorok
77. a) Mértani sor: 31
=q , ⇒<1q a sor konvergens és összege:
1
311
32
=−
=s .
b) ⇒>= 123q a sor divergens.
c) 51
−=q , 1<q , 1
511
56
−=+
−=s .
d) ⇒−<−= 156q a sor divergens.
e) ∑ , ∞
=
⋅1
47n
n ⇒>= 14q a sor divergens.
f) 134
941
94
...94
94
94 32
−=+
−=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+− , így a sor összege:
1335
1343 =− .
g) ∑∞
=
=−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
1 32
521
52
52
n
n
, így a sor összege: 3210 .
h▲) Használjuk fel a következő összefüggést: 1
11)1(
1+
−=+ nnnn
Így a sor n-edik részletösszege:
1
111
11...41
31
31
21
211
+−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
nnnsn
Mivel 11
11limlim =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−=
nsn , ezért a sor konvergens és összege: 1.
45
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
78. a) 95
1011
105
105
105
10555,0 32 =
−=+++=
•…
b) 9931
01,0131,0
1031
1031
103113,0 642 =
−=+++=
••…
c) 9992343
9993452
001,01345,02
10345
103452543,2 63 =+=
−+=+++=
••…
79. a) nns10
4...10
4104
2 +++= ; szigorúan monoton növekedő, mert
010
411 >=−++ nnn ss minden esetén. +∈Nn
Konvergens: 94
1011
104
lim =−
=ns . Korlátos: 4,0inf =ns
és .94sup =ns
n
nn
ns ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⋅=−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⋅=101
94
94
1091011
104
1011
1011
104 .
,10
110
194
94
101
94
94
6<⋅=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅− n
n
,109410 6⋅>n
,65,5>n
.50 =n
b) Nem monoton, konvergens: ,821
711
3lim =+
=ns
korlátos: 7
18inf 2 == ssn és .3sup 1 == ssn
,10
171
821
821
71
821
821
6<⋅=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−− n
n
,108217 6⋅>n .70 =n
46
3. SZÁMSOROZATOK ÉS SOROK
80. a) Mivel ⇒≠−=− 052101lim 2
2
nn a sor divergens.
b) Mivel ⇒≠=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + 051lim 5e
n
n
a sor divergens.
c) Mivel ⇒<=<+
=⋅+
=+
+ 14,04,01
4,04,01
4,0 11
nn
nnn
naa
n
n
n
n a sor
konvergens.
d) Mivel ⇒<<+
=+
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
⋅+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=
+
+ 131
13
131
311
31 1
1
n
n
n
nnna
an
n
n
n a sor
konvergens.
3.6. Vegyes feladatok
81. a) =+−
−−=
+−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−
nnn
nnn
nnn
nnnnnnnnn
2
22
2
22
2 limlimlim
21
111
1limlim2
−=
+−
−=
+−
−=
nnnn
n
b) ∞=+∞
=+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
01321
34
lim
n
n
c) )(2lim2lim nnnnnaaa ⇒−=≠=
páratlanpáros divergens.
d) 31
32
3lim32
3lim1
=+
=+
+
n
n
n
n páros; 3
13lim 2
2
=+n
nn páratlan
A két határérték egyenlő .3lim =⇒ na
e) 0)10sgn(321
1lim 2 =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −⋅
++n
nn, mert 0
3211lim 2 =++ nn
és
))10(sgn( −n korlátos.
47
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
f) 11
83
85
69
4
6 9
6 22
0lim
83
1
85
1
lim)1(
lim −−
−
=+=++
=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −+
++
eee
en
n
n
n
n
nn
n
…
82. Az sorozat szigorúan monoton növekedő, mert )( na ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
311
n
szigorúan monoton növekedő, és egyre nagyobb számnak a 10 . hatványa is
egyre nagyobb. A sorozat konvergens: 13
11lim10
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
n.
A )( sorozat nem monoton, mert előjelváltó. nb
ee
e
n
nnn
n
n
n
n
131
21lim
32lim 3
2
==
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
páros; .1
32lim
enn n
n−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
−páratlan
A két részsorozat határértéke nem egyezik meg, tehát a sorozat divergens.
)( nb
83. a) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
⋅=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
⋅−+ n
n nn
nnn
n1235lim
52
3512
1lim3512lim
∞=⋅∞⋅=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −+
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=
−
21
53
52
21
1
53
1
25lim
52
e
e
n
n
n
n
n
(divergens).
b) 22
12lim 2 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
n (konvergens).
Szigorúan monoton csökkenő; korlátos: ,2inf =na . 5,2sup =na
48
3. SZÁMSOROZATOK ÉS SOROK
c) )(31lim
31lim
páratlanpáros nnnnnaaa ⇒−=≠= divergens.
84. a) Monoton növekedő; nem korlátos, csak
alulról: ),3,3,2,2,1,1,0( …
0inf =na ; divergens; .lim ∞=na
b) 22
3+−
=nnan szigorúan monoton növekedő; konvergens: ;
21lim =na
korlátos: 21inf −=na és
21sup =na ; a 2000. tagtól.
c) Konvergens: 0lim =na ; szigorúan monoton csökkenő; korlátos:
0inf =na és 112sup =na ; a 9. tagtól.
85. Mindkét sor végtelen mértani sor. a) divergens, mert …+++ 32 101010 110 >=q ; szigorúan monoton növekedő; nem korlátos, csak alulról:
)( ns
10inf 1 == ssn . b) , 01,0=q )(1 nsq ⇒< (és a végtelen sor) konvergens:
101,01
99,0lim =−
=ns ; szigorúan monoton növekedő; korlátos:
)( ns
99,0inf 1 == ssn és 1sup =ns .
3,1010,10
1100
11100
11 062
6 =><=−− nnnn .
3.7. Ellenőrző kérdések és feladatok 1. a) Nem. Gondoljuk meg, hogy ezen meghatározás alapján pl. az
sorozatnak a és az 1 is határértéke lenne. (A helyes definíció a TK. 58. oldalán szerepel.)
nna )1(−= 1−
b) Igen. Ez a meghatározás ekvivalens a TK. definíciójával, hiszen ha -lal jelöljük a küszöbszámot, akkor A 0n ε sugarú környezetén kívül
maximum db tagja lehet a sorozatnak. 0n 2. a) Hamis, mert van olyan konvergens sorozat, amelyik nem monoton.
Pl. .1)1(n
a nn ⋅−=
49
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
b) Hamis, ugyanis van ellenpélda:
111lim =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
n és ,01lim =
n de ∞=+=
+)1lim(
1
11lim n
n
n
(A tétel csak akkor igaz, ha kikötjük, hogy a nevező nem nullához tart. Lásd: 3.7. tétel.)
c) Hamis, mert pl. ,01lim =n
és ∞=2limn .lim1lim 2 ∞==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅ nn
n
(Lásd: 3.6. tétel.) d) Igaz, mert az Euler-féle szám irracionális szám. )(e
e) Hamis, mert pl. ⎪⎩
⎪⎨⎧
=párosha
páratlanha
nnnn
an ,2
,2
∞=nalim , de nem monoton növekedő. )( na f) Hamis. Ha ugyanis a monoton sorozat korlátos is, akkor konvergens. g) Hamis. Ellenpélda: a 84/b feladatban szereplő sorozat két plusz
végtelenbe tartó sorozat különbsége és
)( na
)!0(21lim ≠=na .
h) Igaz, mert a mértani sorok csak 1<q esetén konvergensek.
i) Hamis. Ellenpélda: a ∑∞
=1
1
n n harmonikus sor divergens (TK. 3.17.
példa). (Az állítás fordítva igaz. Lásd a TK. 3.13. tételét.) 3. Az A válasz a helyes, ugyanis
0)12()32(
1612
4632
421 <
−+−
=+
−−
+−
=−+ nnnn
nnaa nn minden esetén
szigorúan monoton csökkenő.
+∈Nn
⇒ )( na 4. A B válasz a helyes, mert
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
n83 szigorúan monoton csökkenő szigorúan monoton növekedő
⇒ )( na
⇒861inf 1 == aan és 8limsup == nn aa .
5. A C válasz a helyes, ugyanis
1
páratlanpáros
11lim11lim −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −≠=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + e
ne
n
n
n
n
n.
50
3. SZÁMSOROZATOK ÉS SOROK
6. A B válasz a helyes, mert
000101
11
1)1(2
1)1(2 <
+=
+−
=−+−
+nnn
nn
,
ahonnan 9999>n adódik. 7. Az A válasz a helyes, mert
∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⋅=
111 61
231
23
n
n
nnn
nn
n
végtelen mértani sor, ahol 61
=q .
Mivel ⇒<1q a sor konvergens és összege: 51
611
61
=−
.
51
4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA
4. 1. Függvények határértéke véges helyen; folytonosság 86. a)
M 30. ábra
0)(lim)(lim)(lim
000=== xhxgxf , de nem létezik, ugyanis
.
)(lim0
xk
0lim)(lim2)2(lim)(lim 2
0000
2
0000==≠=+=
−−++xxkxxk
b) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>=
<<−=
1,11,0
10,1lnsgn:
xx
xxxf
hahaha
)(lim1)(lim1)(lim10101
xfxfxf ⇒−=≠=−+
nem létezik.
M31. ábra 52
4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA
c) Lásd. TK. 2.13 ábra! )(lim1)(lim0)(lim
00000xfxfxf ⇒−=≠=
−+ nem létezik.
d) Lásd. TK. 4.12 ábra! )(lim1)(lim0)(lim
20202xfxfxf ⇒=≠=
−+ nem létezik;
5,0)5,0()(lim5,0
== fxf .
87. a) c) és d) igaz; b) és e) hamis. 88. Csak az f függvény folytonos. 89. Csak az 10 =x helyen folytonos. 90. a)
M 32. ábra
létezik határérték az
2 helyen: és mivel
⇒−====++−−
2
02020202)4(lim)(lim42lim)(lim xxfxxf
0 =x 4)(lim2
=xf ),2()(lim2
fxf = ezért f
folytonos az pontban. 20 =x b)
53 M 33. ábra
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
⇒==≠=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
++−−0lim)(lim1
21lim)(lim 2
00000000xxfxf
x
nem létezik
határérték az helyen, ezért itt nem folytonos a függvény. 00 =x c)
M 34. ábra ⇒−∞=+=
+−+−)1ln(lim)(lim
0101xxf nem létezik határértéke a
függvénynek az 10 −=x helyen, s ezért itt nem is folytonos. 91. a) ; 3)0()327(lim 38
0−==−+ fxx 6)1()(lim
1== fxf
b) 0)5(5
25lim2
5==
+− f
xx ; 10)5(lim
5)5()5(lim
55=−=
++−
−−x
xxx
c) 31)0(
12743lim 2
2
0−==
+−−− f
xxxx ; 5
31lim
)4()3()4()1(lim
44=
−+
=−−−+
xx
xxxx ;
∞=+
=−+
≠−∞=−
=−+
+− 04
31lim
04
31lim
0303 xx
xx ⇒ Tágabb értelemben
vett határértéke sincs a függvénynek az 30 =x helyen.
d) 8
134313
lim)4()4(31)4(3
lim44
=−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=+−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⋅
−− x
x
xxx
xxx;
41
413lim
0=
−−
xx ;
∞=+
=−−
≠−∞=−
=−−
+− 011
413lim
011
413lim
0404 xx
xx Tágabb értelemben
vett határértéke sincs a függvénynek az
⇒
40 =x helyen.
e) 1)0(11lim 4
5
0==
−− f
xx ;
45
)1()1()1()1(lim 23
234
1=
+++−++++−
xxxxxxxxx
f) 83)3(
11
11lim 23
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
−f
xx;
)1()1(11
11)( 2 +−
=−
−−
=xx
xxx
xf
54
4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA
±∞=+−
=±± )1()1(
lim)(lim0101 xx
xxf ⇒ Tágabb értelemben vett
határértéke sincs a függvénynek az 10 =x helyen.
g) 21
11
1lim11lim20
2
0=
+++
−=
+−+
xx
xx
xx
A konjugálttal bővítettük, majd x-szel egyszerűsítettük a törtet. h▲) Legyen . Ha 13 += xu .10 →⇒→ ux
31
11lim
)1()1(1lim
11lim 21213
3 3
1−=
++−
=++−
−=
−−
uuuuuu
uu
92. a) ⇒=≠=−−+ 8)0(442
166lim2
0f
xxx f az 00 =x helyen nem folytonos.
⇒==+
=−
−+ )2(52
8lim)2(2
)2()8(lim22
fxx
xxAz 20 =x helyen
folytonos a függvény.
b) ⇒−==−
=+
+−−−
)7(27lim)7(
)7()7(lim77
fx
xxx
xxAz 70 −=x helyen
folytonos a függvény.
⇒∞=−
±∓
xx 7lim
00Nincs határérték, tehát nem folytonos az
helyen a függvény.
00 =x
93. a) AxxA
xxxxA
45
67lim
)6()2()7()2(lim
0202=
−−
⋅=−−−−
⋅−−
32
1lim
)1()2()2(lim
0202=
+=
+−−
++ xx
xxxx
158
32
45
=⇒= AA esetén,
ha ,32)2( =f akkor folytonos az 20 =x helyen a függvény.
b) 1)134(lim 25
00−=−+
−xx −∞=
+xlnlim
00
Nem létezik a nincs olyan A érték, amely folytonossá
tenné a függvényt.
⇒)(lim0
xf
94. a) Ax
x==
−+
251
)10(54lim 45
⇒∞=−+
± 4010 )10(54lim
xx Nem létezik
olyan B érték, amely a helyen folytonossá tenné a függvényt. 100 =x
55
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
b) Bx
xxxx
xxx==
++
=+−+−
766
8)5(2lim
)8()6()5()6(2lim
66
⇒±∞=++
±− 8)5(2lim
08 xxx Nem létezik olyan A érték, amely az
80 −=x helyen folytonossá tenné a függvényt.
95. a) 12
1lim2
2=
−−−
xe x
(Lásd TK. 4. fejezet 5. példa!)
b) 111lim)1(lim 0
00=⋅=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅=
− ex
eex
ee xx
xx
c) 333
3
3
33
31
31lim
3)1(lim ee
xee
xee xx
=⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⋅=−− −−
4.2. Függvények határértéke a végtelenben
96. a) −∞=−⋅∞=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−
∞±)6(326lim 4
6
xxx
b) ∞=−⋅±∞=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−
∞±∓)3(123lim 2
3
xxx
c) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
=−−+
+−∞±∞±
545
627
45
57
2323
142lim
232342lim
xxxx
xxx
xxxxxx
∞=⋅∞=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−+
+−=
∞± 32
2323
142lim
54
622
xxx
xxx
d) ∞=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
++
−−⋅−
∞±∓
4
53
311
211lim
xx
xxx
e) 0......lim
)1()3(lim 4
3
4
3
=++
=−−
∞±∞± xx
xx
f) 26512lim
324
223lim 2
222
=+++−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+−
++
∞±∞± xxxx
xx
xx
56
4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA
97. a) 2111
211
lim
42
43−=
++
−+
∞
xx
xx
b) A konjugálttal való bővítés után:
41
214
1lim24
lim2
−=
+−
−=
+−
−∞±∞±
xxxx
x
c) ∞=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+
∞ xxx 5112lim , mivel
0125112lim >−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+
∞ xx
d) { } 01
1lim 34 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++⋅
∞± xxx , mert az { }xx → törtrész-függvény
korlátos és 01
1lim 34 =++∞± xx
.
e) ∞=⋅∞=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
⋅=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛ −+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
∞∞32
31
1
31
1
2lim
31
13
31
16
lim e
x
x
xx
xx
x
x
x
x
4.3.* Trigonometrikus függvények határértéke és folytonossága 98. a) 00tg3tglim
0==x , ugyanis az xxf tg)( = és xxg 3)( = függvények
folytonosságából következik, hogy az függvény is folytonos a 0 helyen (TK. 4.6. tétel).
gf
b)
22 2
l”sin 2 0 2sin costípusú lim lim(2sin ) 2sin 2„cos 0
mos
ic 2
x x x xx xππ π
π⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟⎝ ⎠
=
57
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
c▲) Legyen .xu ctg= Ha .00 ∞→⇒+→ ux
eu
xu
x =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=+
∞+
11lim)1(lim00
ctgtg
99. a)
M 35. ábra
10cos44
cos4
coslim)(lim0
40
4
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
++
πππππ
xxf
0444
lim)(lim0
40
4
=−=−=−−
πππππ
xxf
Mivel a jobb és bal oldali határérték nem egyezik meg, ezért nem
létezik határértéke a függvénynek az 40π
=x helyen, és így nem is
folytonos ebben a pontban. b)
M 36. ábra
létezik határérték
az
⇒+====++−−
)sin1(lim)(lim1lim)(lim00000000
xxfexf x
00 =x helyen: 1)(lim0
=xf és mivel )0()(lim0
fxf = , ezért a
függvény folytonos az pontban. 00 =x
58
4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA
100. a) 271
271
2sin2
27
77sinlim
0=⋅⋅=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅
xx
xx
b) 38
3cos13
33sinsin
31lim
33
3sinlim 2
22
02
2
2
2
0−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
xxx
xx
xxtg
xx
c) 04
)1(14
cos5coslim 22 =−−−
=−
ππ xxx
Az 00 =x helyen vett határérték megállapításához fölhasználjuk a
2
sin2
sin2coscos βαβαβα +−−=− összefüggést:
333
3sin2
2sinlim4
3sin2sin2lim020
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅−=
⋅⋅−x
xx
xx
xx
d) =−
−
=−
=−
xx
x
xx
x
xxx
202030 cos1cos
cos1
limsin
1cos
1
limsin
sincossin
lim
21
)cos1()(cos1lim
0=
+=
xx
e) 1ln
lnsinlim1
=x
x 1sin1
1sinln
lnsinlim ==x
xe
101. a) 01sinlim =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
∞± xx , mert az függvény korlátos és xx sin 01lim =
∞± x.
b) 03
)13cos(lim 5
24
=+
++∞± xx
xx , mert az függvény
korlátos és
)13cos( 24 ++ xxx
03
1lim 5 =+∞± xx
.
102. a) 11
12
)2sin(lim2
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
−⋅
−−
xxx ±∞=
±−−
=−−
−± )0()1(
)1sin()1()2(
)2sin(lim01 xx
x
korlátos0
.0)2sin(23
1lim 2
↓
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −⋅
+−∞±x
xx
b) .44142
2sinlim)(2sin)(lim
2
02
2
0=⋅=⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
−−
xx
xxxx
ππ
59
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
02sinlim 2
2
=x
xπ
korlátos
0
.02sin1lim 22
↓
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅
∞±x
x
103. a) =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− x
xx
xx
xx
xx cos
sin4sin
sinlim4sinlim
00 tgtg
=≠−=⋅−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅⋅−= )0(31)41(cos
sin4
44sin
sinlim
0fx
xx
xx
xx
Az ⇒= 4 00 =x helyen nem folytonos a függvény.
b) 2)13(lim1
)13()1(lim1
)1()1(3lim 2
01
2
01
2
01=−=
−−−
=−
−−−−−−
xx
xxx
xxx
2222
)22sin(lim1
)22sin(lim0101
=⋅−−
=−−
++ xx
xx
⇒=+−
)(lim)(lim0101
xfxf létezik a 2)(lim1
=xf , és mivel
)1()(lim1
fxf = , ezért a függvény folytonos az 10 =x helyen.
104. [ ] =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⋅⋅⋅=+ xx
xx
xxxx 8sin2cos
21
2sin28
88sinlim8sin)21(lim
00ctg
⇒=+⋅⋅⋅⋅= 40121181 4)0( == Af
105. 1)1(lim1lim1
00=+=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∞−−
yx ee 22
1sinlim00
Axx
xA =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+⋅⋅
+
1212
==⇒= BAA és
106. Aeex
ex
x x
=−
=−−
⋅⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⋅⋅−−−
61
311
21
31
2sin2
21lim
333
0
Bx
ex
x x
==⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
⋅−
6sin31
6sin3
31
2sinlim
3
3
±∞=±−−
=−
−⋅ −−
± )0()3()1(
2sin)3(lim
33
0 ππ π
π
exx
xex x
Nincs megfelelő C érték.
60
4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA
4.4. Vegyes feladatok
107. a) 32)1(
)4()2(lim)2()1(
)4()2()2(lim2
2
2
2−=
−−++
=−−
++−x
xxxx
xxx
∞==−
++±
∓∓ 015
1)4()2(lim
2
01 xxx −∞=
+−−
∞± 2316lim 2
4
xxx
b) 41
)1()2(32lim
)1()2()2()2()32(lim
22=
−+−
=−+−
−−xx
xxxx
xx
±∞=−⋅±
−=
−+−
±− )3(07
)1()2(32lim
02 xxx
∞=⋅±
−=
−+−
±∓
301
)1()2(32lim
01 xxx 0
44672lim 23
2
=+−−
+−∞± xxx
xx
108. a) 0lim1
00=
−
+xe , ∞=
−
−xe1
00lim , tehát xe
1
0lim
− nem létezik.
1lim1
=−
∞±xe
b) 0lim =∞ xe
x (Lásd TK. 4.7. fejezet végén: 1,0)(
lim >=∞
aa
xPx
n )
−∞=∞−∞=⋅= −
∞−∞−)()(limlim x
x exex
c) 2lnlim21lnlim 2 ==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∞∞e
x
x
109. Axx
xxxx
xx=−=
+−+
=+−−
++−− 9
2)1()1(
4lim)2()1()1(
)4()2(lim 2222
±∞=+−
+±− )1()1(
4lim 201 xxx ∞=
+−+
± )1()1(4lim 201 xx
x
Nincs megfelelő B és C érték.
110. ⎩⎨⎧
<−>
=0),ln(0,ln
)(xxxx
xfhaha
)ln(lim)(limlnlim)(lim00000000
xxfxxf −==−∞==−−++
Nincs határérték nem megszüntethető szakadási hely az pont. ⇒ 00 =x
61
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
111. a) 1101lim)(lim1
0000−=−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−−xexf
111lim)(lim
0000−=
+−
=++ x
xxf
Tehát 1)(lim0
−=xf , s mivel )0()(lim0
fxf = , ezért f folytonos a
pontban. Így f a teljes értelmezési tartományon
0
)( R=fD folytonos.
b▲) Belátható, hogy f csak az 00 =x helyen folytonos, ugyanis ha egy ( )nx sorozat tart 0x -hoz, akkor a racionális tagok részsorozata 0x -hoz,
az irracionális tagok részsorozat 0x− -hoz tart. E két határérték csak
esetén lehet egyenlő, és ekkor a határérték megegyezik a helyettesítési értékkel.
0 0x =
112. a) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−
=>
=
0,
0,0,
)(3
3
xx
xxx
xf
ha
ha0ha
M 37. ábra
f mindenütt folytonos. )( R∈x
b) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>+
=<+−
=
0,1
0,0,)1(
)(2
2
xx
xxx
xf
ha
ha0ha
M 38. ábra
f az 0=x hely kivételével mindenütt folytonos. c) 1)1sgn()( 2 =+= xxf
62
4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA
M 39. ábra
f mindenütt )( R∈x folytonos.
d) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
<<==><−
=53,1
53,05,1
)(x
xxxx
xfha
vagyhavagy3ha
M 40. ábra
f az 3=x és 5=x helyeken kívül mindenütt folytonos.
4.5. Ellenőrző kérdések és feladatok 1. Nem helyes. A határérték létezéséhez ugyanis azt kell belátni, hogy bármely
1-hez tartó sorozat )( nx )1( ≠∈ nfn xDx és esetén a megfelelő függvényértékek sorozata mindig konvergens. )( nxf
(Lásd a definíciót a TK. 83. oldalán.) 2. a) Hamis. A folytonossághoz nemcsak a határértéknek, hanem a helyettesítési értéknek is léteznie kell az adott pontban és e két értéknek egyenlőnek is kell lennie. (Lásd a definíciót a TK. 87. oldalán.) b) Igaz. c) Hamis; ugyanis lehet, hogy a jobb és bal oldali határértékek nem egyenlők, vagyis még határértéke sincs a függvénynek az pontban. 0x d) Hamis; ugyanis az 10 −=x helynek nincs olyan környezete, amelynek minden pontjában (kivéve -et) folytonos lenne a függvény. 1− (Lásd a definíciót a TK. 90. oldalán.) e) Igaz.
3. a)
3
2 , ha {0}( )1 , ha 0
x xf x xx
⎧∈ −⎪= ⎨
⎪ =⎩
R 00 =x
63
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
Mivel 0limlim)(lim02
3
00=== x
xxxf , ezért, ha az 00 =x pontban a
függvényértéket 0 -ra változtatjuk, akkor a függvény az helyen folytonos lesz.
00 =x
b) 2
3
)(xxxf = , { }0−∈Rxha 00 =x
Mivel 0limlim)(lim02
3
00=== x
xxxf , ezért, ha kiterjesztjük a függvény
értelmezését az 00 =x helyre úgy, hogy 0)0( =f legyen, akkor a függvény az pontban folytonos lesz. 00 =x
c) 2)2(1)(−
=x
xf 20 =x , mert ∞=− 22 )2(1lim
x.
d) 31)(x
xf = , mert 00 =x −∞=− 300
1limx
és ∞=+ 300
1limx
.
4. A C válasz a helyes, ugyanis
2
28 8
14( 8)”4 33 8 0 4 1 34lim típusú lim lim„8 0 ( 8)
x xx x x
x x x x x
⎛ ⎞− −⎜ ⎟− + −⎛ ⎞ ⎝ ⎠= =⎜ ⎟− −⎝ ⎠ 8
18
=
831)8(
831
=⇒= af .
5. A B válasz a helyes. )4(11lim)23sgn(lim)(lim
04
2
0404fxxxf ===+−=
+++
2
1( 4)
4 0 4 0lim ( ) lim 0xf x a e a
−−
− −
⎛ ⎞a= + = +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠=
Tehát 1=a esetén folytonos a függvény az 40 =x helyen. 6. A C válasz a helyes, mert
4 2
3 31 1
”1 0 ( 1)( 1)lim típusú lim„( 1) 0 ( 1)x xx x− −
− −⎛ ⎞ = =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
2x +
2 2
3 21 1
( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1) 4lim lim( 1) ( 1) 0
x x x x xx x− −
− + + − + −= =
+ += = −∞+
.
64
4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA
7. Az A válasz a helyes, mert
∞=+
=
++
++
∞ 01
111
111lim
332
432
xxx
xx .
65
5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA
5. 1. A differenciálhányados fogalma; a deriváltfüggvény
113. a) 611
7113245
)4()5(=
−=
−− ff
b) 1201,4801,0
71481201,71401,4
)4()01,4(=
−=
−− ff
c) 012,48001,0
71048012,71001,0
)4()001,4(=
−≈
− ff
=−−
=−
−+=
−−
=464lim
471)7(lim
4)4()(lim
3
4
3
444 xx
xx
xfxfv
48)164(lim4
)164()4(lim 2
4
2
4=++=
−++−
= xxx
xxx
114. a) 71
61334
)3()4(=
−=
−− ff b) 1,6
1,0661,6
31,3)3()1,3(
=−
=−− ff
c) 01,601,0
60601,6301,3
)3()01,3(=
−=
−− ff
Az érintő iránytangense:
6)3(lim39lim
36)3(lim
3)3()(lim)3(
3
2
3
2
33=+=
−−
=−
−−=
−−
=′ xx
xx
xx
fxff
115. a) { }0,23)23(0
)0()()( −∈−=−−
=−−
= Rxxx
xfxfxd
b) { }1 1
( ) (2) 8 16( ) , 0 ; 22 2
2116
2 16
xxf x f xd x x
x x x x
−−= = = ∈ −
− −
−
= −−
R
116. a) )2(4)2(lim24lim
29)5(lim
2
2
2
2
2fx
xx
xx ′==+=
−−
=−
−+
b) =+
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=+
−−−− 3
)3(5
195lim
357)45(lim
3
2
3 x
xx
xxx
)3(34)195(lim3
−′=−=−=−
fx
66
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
c) )1(4)1(lim11lim 23
1
4
1fxxx
xx ′==+++=−−
d) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛′=−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−⋅
−=
−
−
=−
−
3193lim
13331lim
313
31
lim
31
31
lim31
31
31
31
fxxx
xxx
x
x
x
e) =+−
−=
−+−−
=−
−+
⋅
)2(2)1(1lim
1)2(223
lim1
21
21
23
lim111 xx
xxxx
xx
)1(61
)2(21lim
1f
x′=−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−=
f) )8(121
22)(1lim
2)(2lim
82lim
23238333
3
8
3
8f
xxxx
xx ′==
++=
−−
=−−
117. a) =−
−+=
−−−+
=′3
3042lim3
29)142(lim)3(2
3
2
3 xxx
xxxf
16)5(2lim3
)5()3(2lim33
=+=−
+−= x
xxx
b) 0lim0
10)10(lim)0( 2
0
3
0==
−−+
=′ xx
xf
118. a) A függvény folytonos.
11lim3
0)3(lim)3(0303
==−−−
=′++
+ xxf
1)1(lim3
0)3(lim)3(0303
−=−=−−−
=′−−
− xxf
⇒′≠′ −+ )3()3( ff A függvény nem differenciálható az 3=x pontban.
M 41. ábra
b) Mivel a függvény nincs értelmezve az 0=x helyen, ezért nem differenciálható ebben a pontban.
67
15. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFENRECIÁLSZÁMÍTÁSA
c) ∞=−
=−
−−3 22
3
2 )2(
1lim2
02limxx
x
Tehát nincs határértéke a különbségihányados-függvénynek az helyen, vagyis a függvény nem differenciálható itt.
2=x
M 42. ábra d) Mivel [ [∞−= ;3fD , ezért az 3−=x helyen csak a jobb oldali differenciálhatóságot vizsgálhatjuk.
⇒∞=+
=+−+
+−+− 31lim
303lim
0303 xxx A függvény nem differenciálható
(jobbról) az 3−=x helyen.
M 43. ábra e) A függvény folytonos.
11lim1
1
lim1
11
lim)1(010101
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
−
−
=−
−=′
++++ xxx
x
xxf
1)1(lim1
1)2(lim)1(0101
−=−=−
−+−=′
−−− x
xf
⇒′=′ −+ )1()1( ff A függvény differenciálható az 1=x helyen.
68
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
M 44. ábra
f) ⎩⎨⎧
≥∨−≤
<<−=
22,
22,2)( 2 xxx
xxxf
ha
ha
M 45. ábra 2−=x -nél nem folytonos a függvény, ugyanis a jobb és bal oldali határérték nem egyezik meg: , ezért nem is
deriválható az
4lim42lim 2
0202=≠−=
−−+−xx
2−=x pontban.
-nél folytonos és 2=x 4)2(lim24lim)2(
02
2
02=+=
−−
=′+++ x
xxf
22lim242lim)2(
0202==
−−
=′−−
− xxf
⇒′≠′ −+ )2()2( ff f nem differenciálható az 2=x helyen. 119. Legyen tetszőleges eleme -nek. 0x fD
a) 33lim)(3
lim)23()23(
lim)(000 0
0
0
00 ==
−−
=−
+−+=′
xxx xxxx
xxxx
xf
,3)( =′ xf . R∈x
69
15. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFENRECIÁLSZÁMÍTÁSA
b) =−−−
=−
−−−=′
0
20
2
0
20
2
0)(2
lim)26()26(
lim)(00 xx
xxxx
xxxf
xx
[ ] 00 4)(2lim0
xxxx
−=+−= ,4)( xxf −=′ R∈x .
c) 20
200
2
0
30
3
0
30
3
0 9)(3lim)(3
lim33
lim)(000
xxxxxxxxx
xxxx
xfxxx
=++=−−
=−−
=′
,9)( 2xxf =′ R∈x .
d) 0 0 0
0
0 00 2
0 0 0
1 13 31 1( ) lim lim lim
x x x
x xx x x xf x
0x x x x x x
⎛ ⎞ −⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠′ = = = −⎜ ⎟− − ⎝ ⎠ x= −
2
1)(x
xf −=′ , { }0−∈Rx .
e) =−⋅⋅
−⋅−=
−⋅
−=
−
−
=′)(
)(4lim
)(44
lim
44
lim)(0
50
5
50
5
05
05
550
0
50
5
0000 xxxx
xxxxxx
xxxxxx
xfxxx
60
100
40
50
5
40
30
20
20
34 2054)(4lim
0 xxx
xxxxxxxxxx
x−=
⋅−=
++++−=
,20)( 6xxf −=′ { }0−∈Rx .
f)
=−
−=
−−
=−
+−+=′
20
20
0
0
0
00 )()(
limlim)1()1(
lim)(000 xx
xxxx
xxxx
xxxf
xxx
00 2
11lim0 xxxx
=+
= , ha . 00 >x ,2
1)(x
xf =′ . +∈Rx
[ [∞= ;0fD , de a 0 helyen jobbról nem differenciálható a függvény,
ugyanis: ∞==−
−+=′
+++ xx
xf 1lim0
1)1(lim)0(0000
.
120. a) Az f függvény így is megadható:
M. 46. ábra
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥+−
<<−+
≤+−
=
5,56
51,56
1,56
)(2
2
xxx
xx-x
xxx
xf
ha
ha
ha2
70
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
M46. ábra
Először belátjuk, hogy a függvény differenciálható az [ ]3;1 intervallum egy tetszőleges belső pontjában. 0x
=−
−+−=
−−+−−−+−
0
022
0
0
02
02 66
lim)56()56(
lim00 xx
xxxxxx
xxxxxx
[ ] 626)(lim)(6)()(
lim 000
000
00
+−=++−=−
−++−−= xxx
xxxxxxxx
xx
Az intervallum végpontjaiban csak egyoldali differenciálhányados létezése szükséges (lásd a TK. 126. oldalának definícióját). Mivel differenciálható 1-ben és 3 -ban, ezért és
562 −+− xxx)1(+′f )3(−′f létezik.
Tehát az f függvény differenciálható az [ ]3;1 intervallumon.
b) 14
4lim4
2)6(lim)4(0404
−=−−
=−−−
=′++
+ xx
xxf
41
)2()2(2lim
42lim)4(
0404=
+−
−=
−−
=′−−−
xxx
xxf
⇒′≠′ −+ )4()4( ff Nem deriválható az f függvény az 4=x pontban és így az [ ]5;1 intervallumon sem.
M 47. ábra
71
15. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFENRECIÁLSZÁMÍTÁSA
c) f nem folytonos nem dif-
ferenciálható az 0
⇒=+≠=+
−
−0)1ln(lim1lim
0000xe x ⇒
=x helyen, így a [ ]1;1− intervallumon sem.
M 48. ábra d) f nem differenciálható a [ ]2;1− intervallumon, mert az helyen nincs értelmezve.
0=x
M 49. ábra
5.2. Differenciálási szabályok A következő feladatoknál ahol nem említjük meg az értelmezési tartományt, ott a derivált-függvény értelmezési tartománya megegyezik az eredeti függvény értelmezési tartományával.
72
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
121. a) 21262)( xxxf −+=′
b) 43
547 34)39(21)(
−− −+−= xxxxxf
47
636
4920)1263(
21)(
−− +−−=′ xxxxxf
c) 65
21
34
21
34
21
42
21
34
)( xxx
xxx
x
xxxxxf ==+−
=+⋅−
=−
61
65)(
−=′ xxf
d) ( ) )26(34)2(53)( 5565
4
+⋅⋅−++⋅−=′−
xxxxxxf , { }0−∈Rx
e) 41
35
345
100
53)(xx
exxxf++
++=
−
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⋅−
=′
−
241
35
41
35
54
100
100)2015(
)(
xx
xxxx
xf
2
41
35
43
32
345
100
41
35)53(
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅++
−
−−
xx
xxexx
f) −+
+⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=′
−
22
2931
51032
4
)34(
)34(103)2(3115
)(x
xxxxxxx
xf
( )
22
1035
)34(8)2(3
++−
−x
xxxx, { }0−∈Rx
122. a) 6
316
51)( xxf x ⋅−⋅= 526ln6
51)( xxf x −⋅=′
b) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⋅++⋅−=′
−−
10ln14ln43)lg4(
521)( 5
75
12
xxxxxf xx
c) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅++−⋅
⋅=′
xexxe
xxf xx 15)3(log)ln5(
1,0ln1)( 1,0
73
15. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFENRECIÁLSZÁMÍTÁSA
d) −⋅+⋅
⋅+⋅⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=′
−
27
787
)572(
)572(41
3ln1
)(x
xxx
xf x
x
( )
27
683
)572()357ln72(2log
xxxx
x
x
⋅+⋅+⋅⋅⋅−
−
( )
13
2
23
2
10 2 (4 lg 3 10 )3
e) ( )(4 lg 3 10 )
410 ln 3 10 ln10ln10
(4 lg 3 10 )
x
x
x
x
x x ex
f xx e
x xx
x e
−⎛ ⎞− ⋅ + ⋅ −⎜ ⎟
⎝ ⎠′ = −⋅ + ⋅ −
⎛ ⎞⋅ − + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠−
⋅ + ⋅ −
1 33 22 2
2
12 2
2
2
1 1 42 ln (32 ln 2
f) ( )(3 7)
ln 4 log 3 ln3
(3 7)
x
x
x
x
x x x x xx x
f x
x x x x
− −− −
−−
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − − + ⋅ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦′
7)= −
−
⎡ ⎤⎛ ⎞− + ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦−−
123. a) )212()23(10)( 394 −⋅−=′ xxxxf
b) 4)52()( 75
+−= xxf 2)52(75)( 7
2
⋅−=′−
xxf , ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−∈
25Rx
c) 2121 )1(3)3(ln3)1()1(3)1()3(ln3)( xxxf xx −−⋅−=−⋅−+−⋅=′ −−
d) 1
12)1(211
1
1)(2
21
2
2 +=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅++⋅
++=′
−
xxx
xxxf
e) 10ln)32(2
3)32(
10)32(510ln1
532
21)( 2 ⋅+
=+−+
⋅⋅+
⋅=′xxx
xxx
xxf
f) xxxx
xxxf 1ln1
lnln1
41lnlnln)( 4
5 ⋅⋅⋅+⋅−=′ −
g) 2
5242
)()1()2()2()2(5)( x
xx
eexexxxf
−
−− −⋅⋅−−⋅−⋅−=′
74
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
h) 22
254
2212
)2(2)12()2(2
212
51)3(ln3)(
52
+−−+
⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
⋅⋅=′−
+
−
xxxx
xxxf x
x
,
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−∈
21Rx
( )
3
3
2 3 1 3
23
3 1 2
23
1( 3 ) 2 (ln 2) 3 3 (7 4)2 3 1i) ( )
3 (7 4)
2 ( 3)(7 4) 7,
3 (7 4)
x x
x x
e x xxf x
x
e x
x
− −
− −
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − +⎢ ⎥ ⎣ ⎦−⎣ ⎦′ = −⎡ ⎤− +⎣ ⎦
+ ⋅ − + ⋅−
⎡ ⎤− +⎣ ⎦
1 1 (6 3 4)3 7
x< ≠ −
( )
( )
25
32
25
42 25 5
3
225
1 1 4 9(log )ln10 ln3j) ( )
4 9
1(lg log ) 4 (ln 4) 9 4 (9 ) ( 2 )5
4 9
x
x
x x
x
xx xf x
x
x x x
x
−
⋅ ⋅ ⋅ −′ = −
⋅ −
⎤⎡⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ − ⎥⎣ ⎦−⋅ −
x
124. a) xxx eexf
x lnln)( ⋅== )1(ln)1(ln)( ln +=+⋅=′ xxxexf xxx
b) ( ) )ln(lg)(lnlnlglnln )()(lg xxxxx eex ⋅==
( ) ( )ln ln lg
ln
1 1( ) ln(lg ) (ln )lg ln10
1 1(lg ) ln(lg )
x x
x
f x e x xx x x
x xx x
⋅ 1⎡ ⎤′ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =⎢ ⎥⋅⎣ ⎦⎡ ⎤= ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦
125. a) xy45
= c) 2ln31++−= xy
22 b) 32240 +−=y d) y 4x 3 eex +−= 126. a) 3124 += xy és 3324 −= xy
b) f ′ 26)( xx = 24)2( =−′f )24;2(0 −=P f xx 12)( =′′ mf =−=−′′ 24)2( Az érintő egyenlete: )2(2424 +−=− xy , azaz 2424 −−= xy .
75
15. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFENRECIÁLSZÁMÍTÁSA
127. 83 −−= xy és 83 +−= xy
128. xy ⋅=22
1
5.3. Magasabb rendű deriváltak Ahol nem írjuk ki az értelmezési tartományt, ott a magasabb rendű derivált értelmezési tartománya megegyezik az eredeti f függvény értelmezési tartományával. 129. a) 24 180840)( xxxf +=′′′ !74)()7( ⋅=xf 0)()8( =xf
b) 13)3( 1211102)( −⋅⋅⋅−= xxf
c) 35)75(!4)( ⋅+=′′′ xxf
d) ( ) xexf =)(555
e) ( ) nnxn xf 2)5(ln56)( 2 ⋅⋅⋅=
f) ( ) nnn xnxf −+ −⋅−= !)1()1()( 1
g) )66()( 2 ++=′′′ xxexf x
h) 34
ln)(x
xxf −=′′
i) )3ln2(1)( 3 −=′′ xx
xf )ln611(1)( 4 xx
xf ⋅−=′′′
5.4.* Trigonometrikus függvények deriválása
130. a) xxxxf tg7)cos(sin32)( ⋅+−=
x
xxxf 2cos17)sin(cos
32)( ⋅++=′
b) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −++⋅−=′
−−
xxxxxxxf 22
35
38
sin2
cos1)2(
35)( ctgtg
c) xx
xxxxxxxxxf 22
22
cossin)sin(cos)cos(sincos)(sin)sin(cos)(
⋅−+−−
=′
76
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
d) 2
2
)sin3(
cos3)ln5tg()sin3(5cos
tg)(
x
xxxexxx
exexf
xx
x
+
−⋅−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⋅
=′π
π
131. a) [ ] )421()27cos()( 223 xxxxxf −⋅−=′
b) )14(2ctg1)tg1()tg(7)( 87
226 −−⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+⋅=′ x
xxxxf
2
2 2
2 2
2 2
4 ( sin3 ) 3(3 sincos )cos3c) ( )
(3 sincos )
(4 lncos3 ) 3 ln3 (coscos )( sin )2(3 sincos )
x
x
x
x
x xxf x
x
x x xx
−
−
−
−
− ⋅ +′ = −
+
⎡ ⎤⋅ ⋅ − ⋅ + −⎣ ⎦−+
x
[ ][ ]
cos
sin
d) ( ) (sin ) ( sin ) lnsin (ctg ) cos
(cos ) (cos ) lncos (tg )sin
x
x
f x x x x x x
x x x x x
′ = ⋅ − ⋅ + ⋅ +
+ ⋅ ⋅ −
132. ] [.;0),sin21()(cos2sin)(cos4cos2)( π∈−=−=′ xxxxxxxf
, ha , azaz ha 0)( =′ xf 0cos =x ,21π
=x vagy
21sin =x , azaz ha
62π
=x , illetve 6
53
π=x .
133. a) A függvény folytonos, de nem differenciálható az 00 =x helyen. b) A függvény az 0=x helyen differenciálható; az 1−=x helyen nem folytonos nem differenciálható. ⇒ 134. a) { }ZR ∈−=′ kkD f π
b) ⎩⎨⎧
<−=−≥
==0,sin)sin(0,sin
sin)(xxxxx
xxfhaha
{ }0−=′ RfD
135. a) b) xxf sin)()102( −=3
cos3
1)( 120)120( xxf =
77
15. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFENRECIÁLSZÁMÍTÁSA
5.5.* Taylor-polinom, Taylor-sor 136. a) Az f függvény 30 =x -hoz tartozó harmadrendű Taylor-polinomját kell fölírni: 32 )3(4)3(41)3(138152)( −+−+−+= xxxxf
b) 43 )1(2)1(3)1(31)( +++−++−= xxxxf
c) 5432 )1(3)1(15)1(30)1(32)1(192)( −+−+−+−+−+= xxxxxxf
137. a) ...)2(!3
)2(ln4)2(!2
)2(ln4)2(!1
2ln442 33
22
+−⋅
+−⋅
+−⋅
+= xxxx
...)2(!
)2(ln4+−
⋅+ n
n
xn
)( R∈x
b) ...2!7
12!5
12!3
12
cos753
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
ππππ xxxxx
)( R∈x
138. a) ...!)3(ln...
!3)3(ln
!2)3(ln
!13ln13 3
32
2
++++++= nn
x xn
xxx )( R∈x
b) ...876546544
36)(3864
2 +⋅⋅⋅⋅
+⋅⋅
+++=+ − xxxxee xx )( R∈x .
c) [ ] ...432
)(1ln)1ln(432
−−−−−=−+=−xxxxxx )11( <≤− x
d) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++=−−+=
−+ ...
7532)1ln()1ln(
11ln
753 xxxxxxxx )11( <<− x
e) ...!7!5!3
...!7)(
!5)(
!3)(sin
141062
72523222 +−+−=+−+−=
xxxxxxxxx
)( R∈x 139. a) Az )1ln( xx + függvény MacLaurin-sorát alkalmazva:
18232,062,0
52,0
42,0
32,0
22,02,0)2,01ln(
65432
=−+−+−≈+
Használhatjuk a gyorsabban konvergáló
xxxxxx
−+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
11ln...
7532
753
MacLaurin-sort is, ha 111
=x .
78
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
Ekkor a fenti pontosság eléréséhez elegendő csupán a sor első két tagjának a kiszámítása:
18232,0311
12
112
1111
1111
ln2,1ln3≈
⋅+≈
−
+=
b) 098,17
21
521
321
212
211
211
ln3ln
753
≈
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+⋅≈−
+=
c) 196,23ln23ln9ln 2 ≈== 140. Az függvény MacLaurin-sorát alkalmazva: xex a) 5 tag figyelembevételével: 1,221403 b) 7 tag figyelembevételével: 0,7408181 c) 15 tag figyelembevételével: 7,389057
141. a) 38942,0!5)4,0(
!3)4,0(4,04,0sin
53
=+−≈
b) 99500,0720
000001,0240001,0
201,011,0cos =−+−≈
5.6. Vegyes feladatok
142. ( )
2
2 2
1(2 ln 2 2 ) (3 ) (2 )3 2( )2 3
x x
x
x x xx xf xx x
− + − − ⋅+′ = ⋅− +
8122ln2)1( −−⋅=′f
143. A differenciálhatóság szükséges feltétele a folytonosság, azaz teljesülnie kell, hogy 1)(lim
01=
+xf és 1)1()(lim
01=+⇒+==
−babafxf . (1)
Másrészt a jobb és bal oldali deriváltnak is egyenlőnek kell lennie:
2)13(6)(−
−=′+ xxf ⇒≥ )1(x
23)1( −=′+f
axf =′− )( ⇒≤ )1(x af =′− )1( 79
15. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFENRECIÁLSZÁMÍTÁSA
Innen 23
−=a adódik.
Az 23
−=a értéket -be helyettesítve kapjuk: )1(25
=b .
144. Az a) függvény folytonos, de nem differenciálható a vizsgált helyen. A b) függvény differenciálható és 1)5( =′f . 145. a) f nem folytonos függvény, mert az 1=x helyen nincs határértéke. b) f nem differenciálható függvény, mert az 1=x helyen nem differenciálható.
c) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−
<≠−+
−=′
1,)1(2
11,)1(
2)( 2
xx
xxxf
ha
ha
146. a)
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>+
≤<−+
−≤−−
=′
0,1
01,1
1,1
)(2
5
5
xx
xx
xx
xf
ha
ha
ha
Az 1−=x helyen nem differenciálható; az 0=x helyen differenciálható a függvény. b) Az érintő egyenlete: 12980 −−= xy .
147. a) Tengelypontok: és . )0;6( )2;0( 2)3(3)(−
=′x
xf
31)0()6( =′=′ ff .
b) 3)3(6)(−
−=′′x
xf 6)4( −=′′f )6;4(0 −=P
4)3(
)3(18)(−
=x
xf mf ==18)4()3(
Az érintő egyenlete: )4(186 −=+ xy , azaz 7818 −= xy .
80
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
5.7. Ellenőrző kérdések és feladatok 1. a) Nincs ilyen függvény, mert a differenciálhatóságnak szükséges feltétele
a folytonosság. (Lásd TK. 5.2. tétel.) b) Pl. 2)( −= xxf , 20 =x .
c) Pl. 3)( xxf = , 00 =x . A függvény grafikonjának érintője az 00 =x pontban az y tengely, a
függvény azonban nem deriválható ebben a pontban. 2. a) Hamis, mert hézagpontban nincs értelmezve a függvény. b) Igaz, hiszen póluspontban nincs is értelmezve a függvény. c) Hamis. Fordítva igaz: minden differenciálható függvény folytonos. (Lásd TK. 5.2. tétel.) d) Igaz, mert a derivált az adott pontban az érintő iránytangensével egyenlő. e) Hamis, a deriválhatósághoz ugyanis nem elég léteznie a jobb és bal oldali deriváltaknak, hanem egyenlőnek is kell lenniük. f) Igaz. 3. Pl. , ha nxxf =)( 0<x , ahol { }1−∈ +Nn . 4. A szorzat deriválási szabálya szerint járunk el, az egyes tényezőket pedig a lánc-szabály alapján deriváljuk:
3
2)4()3ln()5()4(72)( 2
72
52479
5
+⋅−++−⋅−−=′
−−
xxxxxxxf .
Tehát a B válasz a helyes.
5. 3)3(124)(
−−−
=′x
xxf , 4)3(488)(
−+
=′′xxxf
, így az érintési pont: . 20)2( =′f )20;2(0P Az érintő meredeksége: mf ==′′ 64)2( , így az érintő egyenlete: . 10864 −= xy Tehát az A válasz a helyes. 6. Írjuk fel a függvényt a következő alakban:
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≥⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
<⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
−
0,101
0,101
)(
x
xxf
x
x
ha
ha
81
15. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFENRECIÁLSZÁMÍTÁSA
Nyilvánvaló, hogy 0<x , illetve esetén differenciálható a függvény. Az
0>x0=x helyen folytonos ugyan:
)0(101lim1
101lim
0000f
xx
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+
−
−,
de a jobb és bal oldali deriváltak nem egyenlők:
101ln
101)( ⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=′
−
−
x
xf , 101ln)0( −=′−f
101ln
101)( ⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=′+
x
xf , 101ln)0( =′+f .
Így a függvény az helyen nem deriválható. 0=x Tehát a B válasz a helyes.
82
83
6. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK VIZSGÁLATA
6.1. Monotonitás, szélsőérték 148. a) 266)( xxf −=′ , 066 2 =− x , ha 1±=x .
4)1(maxl.
4)1(minl.
:
00:111111
=−=−
−+−′>=<<−−=−<
fff
fxxxxx
M2. táblázat
b) )14(6060240)( 2224 −=−=′ xxxxxf , ( ) 0f x′ = , ha 01 =x , 21
3,2 ±=x .
21
−<x21
−=x 021
<<− x 0=x 210 << x
21
=x 21
>x
:f ′ + 0 – 0 – 0 +
:f l. max.
121
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−f
0)0( =f
l. min.
121
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛f
M3. táblázat Vegyük észre, hogy az 0=x hely nem lokális szélsőértékhely, hiszen 0)0( =f , és a
0-nak van olyan bal oldali környezete, amelyben 0)( >xf , valamint a 0-nak van olyan jobb oldali környezete, amelyben 0)( <xf .
c) 22
2
)9(1171053)(x
xxf+−
=′ , 0)( =′ xf , ha 3±=x .
3−<x 3−=x 33 <<− x 3=x 3>x
:f ′ – 0 + 0 –
:f l. min. 5,19)3( −=−f
l. max. 5,19)3( =f
M4. táblázat
d) 291)(x
xf −=′ , 0)( =′ xf , ha 3±=x .
3−<x 3−=x 03 <<− x 0=x 30 << x 3=x 3>x
:f ′ + 0 –
– 0 +
:f l. max. 6)3( −=−f
l. min. 6)3( =f
M5. táblázat
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
84
e) ⎩⎨⎧
−>−<−
=′4ha,24ha,2
)(xx
xf , 0)( ≠′ xf
M6. táblázat
f) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=′
−
xexf x 11)(
1
, 0)( =′ xf , ha 1−=x .
M7. táblázat
g) R∈≠⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=′ − xx
xexf x 0,
32)( 3 2
3, 0)( =′ xf , ha
32
=x .
0<x 0=x 320 << x
32
=x 32
>x
:f ′ – + 0 –
:f
0)( >xf 0)0( =f
l. min.
0)( >xf
l. max.
3
2
32
32
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
ef
M8. táblázat
h) xx
xxf−−
=′2
2)( , 0)( =′ xf , ha 2=x .
21 << x 2=x 2>x
:f ′ – 0 +
:f l. min. 4ln)2( =f
M9. táblázat
i) xx
xxf 32 ln2ln)( +
−=′ , 0)( =′ xf , ha 2−= ex .
4−<x 4−=x 4−>x
:f ′ – +
:f 0)( >xf
l. min. 0)4( =−f
0)( >xf
1−<x 1−=x 01 <<− x 0=x 0>x
:f ′ + 0 – +
:f l. max. ef −=− )1(
6. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK VIZSGÁLATA
85
20 −<< ex 2−= ex 12 <<− xe 1=x 1>x
:f ′ – 0 + –
:f
l. min.
4)(
22 eef =−
M10. táblázat
j) x
xexfln1
)( = )ln1(1)( 2
ln1
xx
exfx
x −⋅⋅=′
ex <<0 ex = ex >
:f ′ + 0 –
:f l. max.
eeef1
)( =
M11. táblázat
149. )12()(1
−=′ xexf x
0<x 0=x 210 << x
21
=x 21
>x
:f ′ – – 0 +
:f
l. min.
421 2ef =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
M12. táblázat A táblázat alapján az a) állítás igaz, a b) állítás hamis. 150*. xxaxf 3coscos)( +⋅=′
20123
=⇔=−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛′ aaf π .
xxxf 3sin3sin2)( −−=′′
⇒<−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛′′ 03
3πf A függvénynek 2=a esetén lokális maximuma van az
3π
=x helyen.
151. a) 22 )2(8)(+
=′x
xxf
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
86
01 <≤− x 0=x 20 ≤< x :f ′ – 0 +
:f l. min. 1)0( =f
M13. táblázat Lok. min. hely: 0=x ; lok. min. érték: 1)0( =f .
Lok. max. helyek: 1−=x és 2=x ; lok. max. értékek: 35)1( =−f és
614)2( =f .
Absz. min. hely: 0=x ; absz. min. érték: 1)0( =f .
Absz. max. hely: 2=x ; absz. max. érték 6
14)2( =f .
b) 3)2(105)(
−−−
=′x
xxf
25 −<≤− x 2−=x 22 <<− x 2=x 52 ≤< x
:f ′ – 0 + –
:f l. min.
85)2( −=−=f
M14. táblázat
∞=−± 202 )2(5lim
xx
Lok. min. helyek: 2−=x és 5=x ; lok. min. értékek: 85)2( −=−f és
925)5( =f .
Lok. max. hely: 5−=x ; lok. max. érték: 4925)5( −=−f .
Absz. min. hely: 2−=x ; absz. min. érték: 85)2( −=−f .
Absz. max. hely: nincs. c) += 0RfD
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=′ − x
xexf x
21)( , +
′ = RfD
210 << x
21
=x 21
>x
:f ′ + 0 –
:f l. max.
ef
21
21
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
M15. táblázat
6. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK VIZSGÁLATA
87
Lok. min. hely: 0=x ; lok. min. érték: 0)0( =f .
Lok. max. hely: 21
=x ; lok. max. érték: e
f21
21
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ .
Absz. min. hely: 0=x ; absz. min. érték: 0)0( =f ( 0)( >xf , ha 0>x ).
Absz. max. hely: 21
=x ; absz. max. érték e
f21
21
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ .
152. Jelölje m a függvény legkisebb, M pedig a függvény legnagyobb értékét. a) 48)2( −== fm , 63)3( == fM . b) A) Nincs abszolút szélsőérték. B) 0)4( == fm , 32)0( == fM . c) Nincs abszlút szélsőérték.
d) 0)0( == fm , e
ffM 11)1()1( −==−= .
e) 0)4()0( === ffm , 2)2( == fM . f*) Nincs absz. minimum; 1)( −== ππfM .
153. a) ] ]2;0 eR f =
b) A) ⎢⎣⎡
⎢⎣⎡ ∞= ;319fR B) ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡= 1;31
9fR
c) A) ] [20;0−= RfR B) ] [36;16−−= RfR
6.2. Konvex és konkáv függvények 154. a) 23)( xxxf −=′ xxxf 23)( 2 −=′′
0<x 0=x 320 << x
32
=x32
>x
:f ′′
+ 0 – 0
+
:f infl. pont.
infl. pont.
M16. táblázat
b) )1(3)( 2 −=′ xxf , xxf 6)( =′′
0<x 0=x 0>x
:f ′′ – 0 + :f infl. pont.
M17. táblázat
c) 4)1(72)(
−−−
=′x
xxf , 5)1(306)(
−+
=′′xxxf
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
88
5−<x 5−=x 15 <<− x 1=x 1>x
:f ′′ + 0 – + :f infl. pont.
M18. táblázat
d) ,)4(43)( 32
2
xxxf−+
=′ 42
3
)4(4812)(
xxxxf
−+
=′′
2−<x 2−=x 02 <<− x 0=x 20 << x 2=x 2>x
:f ′′ – – 0 + + :f infl.
pont.
M19. táblázat
e) ,2
)(2x
xxf+
=′ 0)2(
2)(32>
+=′′
xxf minden R∈x esetén,
vagyis f konvex; nincs inflexiós pontja. f) )22()( 22 xxexf x −=′ − , )284()( 22 +−=′′ − xxexf x
221−<x
221−=x
221
221 +<<− x
221+=x
221+>x
:f ′′ + 0 – 0 +
:f infl. pont
infl. pont.
M20. táblázat
g) 2)1()(
xexxf
x
+⋅
=′ , 3
2
)1(1)(
xxexf x
++
⋅=′′
⇒≠′′ 0)(xf nincs inflexiós pont.
1−<x 1−=x 1−>x
:f ′′ – +
:f M21. táblázat
h) 22
22)( 2 +++
=′xx
xxf , 22
2
)22(42)(++−−
=′′xx
xxxf
6. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK VIZSGÁLATA
89
2−<x 2−=x 02 <<− x 0=x 0>x
:f ′′ – 0 + 0 –
:f infl. pont infl.
pont
M22. táblázat
i) xx
xf 1ln
1)( 2 ⋅−=′ , ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⋅=′′
xxxxf
ln21
ln1)( 22
20 −<< ex 2−= ex 12 <<− xe 1=x 1>x
:f ′′ + 0 – +
:f infl. pont
M23. táblázat
j*) xxf cos1)( +=′ , xxf sin)( −=′′ ⇔=′′ 0)(xf ha Z∈= kkx ,π
πkx 2= ππ )12(2 +<< kxk π)12( += kx ππ )22()12( +<<+ kxk
:f ′′ 0 – 0 +
:f infl. pont
infl. pont
M24. táblázat 155. Az a) állítás igaz; a b) állítás hamis.
156. σ
σ210)( =⇔=±′′ hf
Ekkor f ′′ előjelet vált az σ±=x helyeken, tehát σ2
1=h esetén az σ±=x
helyek valóban inflexiós pontok.
6.3. Függvényvizsgálat 157. a) R=fD , zérushelyek: 0=x , 27±=x .
2327)( xxf −=′ , xxf 6)( −=′′
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
90
3−<x 3−=x 03 <<− x 0=x 30 << x 3=x 3>x
:f ′ – 0 + 0 –
:f ′′ + 0 – l. min.
54)3( −=−f l. max.
54)3( =f
:f infl.
pont
M25. táblázat ∞=−
∞±∓)27(lim 3xx R=fR , páratlan függvény, mert
)(27)( 3 xfxxxf −=+−=− minden R∈x esetén; abszolút szélsőértékei nincsenek.
M 50. ábra b) A) B)
M51/a ábra M 51/b ábra c)
M 52. ábra
6. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK VIZSGÁLATA
91
d)
M 53. ábra
e)
M 54. ábra f)
M 55. ábra
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
92
g) A) B)
M 56/a ábra M 56/b ábra
158. a) { }0−= RfD , zérushely: 32
=x .
3243)(xx
xf +−=′ , 43126)(xx
xf −=′′
0<x 0=x 340 << x
34
=x 234
<< x 2=x 2>x
:f ′ – + 0 –
:f ′′ – – 0 + l. max.
89
34
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛f
:f
infl. pont
M26. táblázat
−∞=+−
=−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
∞± 0223lim,023lim 202 x
xxx
,
⎥⎦⎤
⎥⎦⎤ ∞−=
89;fR , absz. maximum:
89
34
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛f ; absz. minimum nincs.
Aszimptoták: 0=x és 0=y egyenletű egyenesek.
6. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK VIZSGÁLATA
93
M 57. ábra b)
M 58. ábra c) { }1−= RfD , zérushely: 0=x .
3)1(22)(
−−−
=′x
xxf , 4)1(84)(
−+
=′′xxxf
2−<x 2−=x 12 −<<− x 1−=x 11 <<− x 1=x 1>x
:f ′ – 0 + –
:f ′′ – 0 + + l. min.
( )211 −=−f
:f infl.
pont
M27. táblázat
∞=−
=−∞± 212 )1(
2lim,0)1(
2limx
xx
x .
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
94
⎢⎣⎡
⎢⎣⎡ ∞−= ;
21
fR , absz. minimum: 21)1( −=−f , absz. maximum nincs.
Aszimptoták: 1=x és 0=y egyenletű egyenesek.
M 59. ábra d) { }1;1−−= RfD , zérushely nincs.
32
2
22 )1(26)(,
)1(2)(
xxxf
xxxf
−+
=′′−
=′
1−<x 1−=x 01 <<− x 0=x 10 << x 1=x 1>x
:f ′ – – 0 + +
:f ′′ – + – l. min.
1)0( =f
:f
M28. táblázat
∞=−
±∞=−
=− ±±−∞±
∓2012012 11lim
11lim,0
11lim
xxx,
[ [1;0−= RfR , páros függvény, mert )()(1
1)( 2 xfx
xf =−−
=− minden fDx∈
esetén; absz. szélsőértékei nincsenek. Aszimptoták: 1−=x , 1=x és 0=y egyenletű egyenesek.
M 60. ábra
6. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK VIZSGÁLATA
95
e) f)
M61. ábra M62. ábra
159. a) { },0−= RfD zérushely nincs.
241)(x
xf −=′ , 38)(x
xf =′′
2−<x 2−=x 02 <<− x 0=x 20 << x 2=x 2>x
:f ′ + 0 – – 0 +
:f ′′ – + l. max.
4)2( −=−f l. min.
4)2( =−f
:f
M29. táblázat
±∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +±∞=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
±∞± xx
xx 4lim,4lim
00,
aszimptoták: xy = és 0=x egyenletű egyenesek. ] [4;4−−= RfR , páratlan függvény, mert
)(4)( xfx
xxf −=−
+−=− minden 0≠x -ra;
abszolút szélsőértékei nincsenek.
b)
M 63. ábra
M 64. ábra
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
96
c)
M 65. ábra
d) { }2;1,21
)2()1()1()1()( −−∈
++
=+−+−
= Rxxx
xxxxxf , hézagpont: 1=x .
M 66. ábra e) R=fD , zérushely nincs.
32
2
22 )1(412)(,
)1(4)(
+−
=′′+
−=′
xxxf
xxxf
3
1−<x
31
−=x 03
1<<− x 0=x
310 << x
31
=x 3
1>x
:f ′ + 0 –
:f ′′ + 0 – 0 +
l. max. 3)0( =f
:f
infl. pont
infl. pont
M30. táblázat
] ]3;1,113lim 2
2
==++
∞± fRxx , páros függvény, mert )(
1)(3)()( 2
2
xfxxxf =
+−+−
=−
minden R∈x -re; absz. maximuma: 3)0( =f , absz. minimuma nincs, aszimptota: 1=y egyenletű egyenes.
6. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK VIZSGÁLATA
97
M 67. ábra f)
M 68. ábra g) { }1;1−−= RfD , zérushely: 0=x .
32
2
22 )1(26)(,
)1(2)(
−+
=′′−
−=′
xxxf
xxxf
1−<x 1−=x 01 <<− x 0=x 10 << x 1=x 1>x
:f ′ + + 0 – –
:f ′′ + – + l. max.
( ) 00 =f
:f
M31. táblázat
±∞=−
∞=−
=− ±±−∞± 1
lim1
lim,11
lim 2
2
012
2
012
2
xx
xx
xx ∓ ,
] ]1;0−= RfR , páros függvény, mert ( )xfx
xxf =−−
−=−
1)()()( 2
2
minden fDx∈
esetén; nincsenek absz. szélsőértékei, aszimptoták: 1−=x , 1=x és 1=y egyenletű egyenesek.
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
98
M 69. ábra
h) 2
)2()3()2(
)2()3()(+
−+=
+−+
=x
xxxx
xxxxf , { }0;2−−= RfD .
Zérushelyek: 3−=x és 2=x ; hézagpont: 0=x ; póluspont 2−=x . Először az 0=x -ban (az egyszerűsítéssel) folytonossá tett g függvényt vizsgáljuk:
2
)2()3()(+
−+=
xxxxg , { }2−−∈Rx
( ) 32
2
)2(8)(,
)2(84
+−=′′
+++
=′x
xgx
xxxg
2−<x 2−=x 2−>x
:g ′ + +
:g ′′ + –
:g
M32. táblázat
∞=+−+
±∞=+−+
∞±−∞±∓
26lim,
26lim
2
2
2
xxx
xxx ,
)0(2
41)( ≠+
−−= xx
xxf , aszimptoták:
1−= xy és 2−=x egyenletű egyenesek, R=fR , nincsenek absz. szélsőértékek.
M 70. ábra
6. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK VIZSGÁLATA
99
i)
M 71. ábra j) { }2−−= RfD , zérushely: 0=x .
43
23
)2(24)(,
)2(6)(
+=′′
++
=′x
xxfx
xxxf
6−<x 6−=x 26 −<<− x 2−=x 02 <<− x 0=x 0>x
:f ′ + 0 – + 0 +
:f ′′ – – 0 +
l. max. 5,13)6( −=−f
:f
infl. pont
M33. táblázat
−∞=+
±∞=+ −∞± 2
3
22
3
)2(lim,
)2(lim
xx
xx ,
44
16124)( 2 +++
+−=xx
xxxf , aszimptoták: 4−= xy és 2−=x egyenletű egyenesek.
R=fR , nincsenek absz. szélsőértékek.
M 72. ábra
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
100
160. a) += RfD , zérushely nincs.
533 4
3
4
1)(,2
12
1)(xx
xfxx
xf +−=′′−=′
10 << x 1=x 31 << x 3=x 3>x
:f ′ – 0 +
:f ′′ + 0 – l. min.
2)1( =f
:f
infl. pont
M34. táblázat
∞=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∞=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∞+ xx
xx 1lim,1lim
00,
[ [∞= ;2fR , absz. maximum nincs, absz. minimum: 2)1( =f .
M 73. ábra b) ] ] [ [∞∪−∞−= ;11;fD , zérushelyek: 1±=x .
,1)1(
1)(,1
)(222 −−
−=′′−
=′xx
xfx
xxf { }' '' 1 ; 1f f fD D D= = − −
1−<x 11 <<− x 1>x
:f ′ – +
:f ′′ – –
:f
M35. táblázat
6. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK VIZSGÁLATA
101
01lim,01lim,1lim 2
01
2
01
2 =−=−∞=−+−−∞±
xxx ,
+= 0RfR , absz. maximum nincs, absz. minimum: 0)1()1( ==− ff , páros függvény.
M 74. ábra c) ] [2;2−=fD , zérushely nincs.
,)4(
42)(,)4(
)(52
2
32 x
xxfx
xxf−
+=′′
−=′
02 <<− x 0=x 20 << x
:f ′ – 0 +
:f ′′ + l. min.
21)0( =f
:f
M36. táblázat
∞=−
∞=− −+− 202202 4
1lim,4
1limxx
,
⎢⎣⎡
⎢⎣⎡ ∞= ;
21
fR , absz. maximum nincs, absz. minimum: ( )210 =f ,
aszimptoták: 2−=x és 2=x egyenletű egyenesek, páros függvény, mert
)()(4
1)(2
xfx
xf =−−
=− minden fDx∈ esetén.
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
102
M 75. ábra d)
M 76. ábra e) R=fD , zérushely: 1−=x .
,)1(9
2)(,13
2)(3 43 +⋅
−=′′+⋅
=′x
xfx
xf { }1f f fD D D′ ′′= = − − .
1−<x 1−=x 1−>x
:f ′ – +
:f ′′ – – l. min.
0)1( =−f
:f
M37. táblázat ∞=+
∞±
3 2)1(lim x , += 0RfR ,
absz. maximum nincs, absz. minimum: 0)1( =−f .
6. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK VIZSGÁLATA
103
M 77. ábra
f)
M 78. ábra
161. a) R=fD , zérushely nincs.
xx exfexf −=′′−=′ )(,1)(
0<x 0=x 0>x
:f ′ + 0 –
:f ′′ – l. max.
1)0( −=f
:f
M38. táblázat
−∞=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−−∞=−
∞∞∞−1lim)(lim,)(lim x
xxx
exeexex ,
] ]1; −∞−=fR , absz. minimum nincs, absz. maximum: 1)0( −=f .
M79. ábra
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
104
b)
M 80. ábra c)
M 81. ábra d) { }0−= RfD , zérushely nincs.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=′′⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=′ 32
221)(,111)(xxx
exfxx
exf xx
0<x 0=x 10 << x 1=x 1>x
:f ′ – – 0 +
:f ′′ – +
l. min.
ef =)1(
:f
M39. táblázat
∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−∞=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∞==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−∞∞−
xxx
x ex
exx
eex
1lim,1lim,lim,01lim0000
,
[ [eRf ;0−= R , absz. szélsőértékei nincsenek; aszimptoták: 0=x és 0=y egyenletű egyenesek.
6. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK VIZSGÁLATA
105
M 82. ábra
e)
M 83. ábra f) { }0−= RfD , zérushely nincs.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=′′⋅=′
−−322)(,2)( 24
1
3
122
xxexf
xexf xx
32
−<x 32
−=x 032
<<− x 0=x320 << x
32
=x 32
>x
:f ′ – +
:f ′′ – 0 + + 0 –
:f
infl. pont
infl. pont
M40.táblázat
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
106
0lim,1lim 221
0
1
==−−
∞±xx ee ,
] [1;0=fR , aszimptota: 1=y egyenletű egyenes, nincsenek abszolút
szélsőértékek, páros függvény, mert )()(2)(
1
xfexf x ==− −−
minden 0≠x -ra.
M 84. ábra 162. a)
M 85. ábra b) R=fD , zérushely: 0=x
22
2
2 )1(22)(,
12)(
xxxf
xxxf
++−
=′′+
=′
1−<x 1−=x 01 <<− x 0=x 10 << x 1=x 1>x
:f ′ – 0 +
:f ′′ – 0 + 0 – l. min.
0)0( =f
:f infl.
pont infl. pont
M41. táblázat
6. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK VIZSGÁLATA
107
∞=+∞±
)1ln(lim 2x , += 0RfR , páros függvény, mert )())(1ln()( 2 xfxxf =−+=−
minden R∈x esetén; absz. minimum: 0)0( =f , absz. maximum nincs.
M 86. ábra
c) ] [ ] [∞∪−∞−= ;11;fD , zérushelyek: 2±=x .
22
2
2 )1(22)(,
12)(
−−−
=′′−
=′x
xxfx
xxf
1−<x 11 ≤≤− x 1>x
:f ′ – +
:f ′′ – –
:f
M42. táblázat −∞=−−∞=−∞=−
+−−∞±)1ln(lim,)1ln(lim,)1ln(lim 2
01
2
01
2 xxx ,
R=fR , nincsenek absz. szélőértékek, páros függvény, mert
[ ] )(1)(ln)( 2 xfxxf =−−=− minden fDx∈ esetén; aszimptoták: 1−=x és 1=x egyenletű egyenesek.
M 87. ábra
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
108
d)
M 88. ábra
e) { }0−= RfD , zérushelyek: 1±=x .
2
22 ln48)(,ln4)(x
xxfx
xxf −=′′⋅
=′
ex −< ex −= 1−<<− xe 1−=x 01 <<− x 0=x 10 << x 1=x ex <<1 ex = ex >
:f ′ – 0 + – 0 +
:f ′′ – 0 +
+ 0 –
l. min. 0)1( =−f
l. min. 0)1( =f
:f infl.
pont
infl. pont
M43. táblázat 2 2 2 2
0limln ( ) , limln ( )x x±∞
= ∞ = ∞ ,
[ [∞= ;0fR , páros függvény, absz. maximuma nincs, absz. minimuma: 0)1()1( ==− ff , aszimptota: 0=x egyenletű egyenes.
M 89. ábra
6. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK VIZSGÁLATA
109
f)
M 90. ábra
g)
M 91. ábra
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
110
163.* a)
M 92. ábra
b) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∈−−= ZkkRDf 4
14 π , zérushelyek: Z∈= kkx ,π .
2( ) 0,
1 sin 2 f ff x D Dx ′′ = ≠ =
+
''2
2 2 cos2( ) ,(1 sin 2 ) f f
xf x D Dx
′′ = − =+
02cos0)( =⇔=′′ xxf és Z∈+=⇔∈ kkxDx f ,4
ππ .
4π
−=x 44ππ
<<− x 4π
=x 4
34
ππ<< x
43π
=x
:f ′ +
:f ′′ – 0 +
:f
infl. pont
M44. táblázat
M 93. ábra
6. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK VIZSGÁLATA
111
∞=+
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−∞=+
−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + −+− 0
22
4sin
sinlim,022
4sin
sinlim0
430
4ππ ππ
x
x
x
x ,
R=fR , periodikus függvény (periódusa: π ), absz. szélsőértékei nincsenek,
aszimptoták: 4
)14( π−= kx Z)∈k( , egyenletű egyenesek.
6.4. Gazdasági alkalmazások.
164. a) 053)( ≥=′ xxC minden [ ]1000;0∈x esetén ⇒ C monoton növekedő függvény.
010
3)( >=′′x
xC minden ] ]1000;0∈x esetén ⇒ C konvex függvény.
Abszolút minimuma: 2)0( =C , abszolút maximum nincs.
[ [2104000;2 +=fR
M 94. ábra
b) A határköltség: 610053)100( ==′C , ami azt mutatja meg, hogy ha 100 db helyett
101 db terméket állítanak elő, akkor közelítőleg 6 euróval nő a költség.
c) A) (%)94,32100)100(
)100()121(≈⋅
−C
CC , 57,121
94,32,(%)21100100
100121≈=⋅
−
Tehát: ha %1 -kal több terméket állítanak elő, akkor átlagosan %57,1 -kal nő a költség.
B) (%)29,15100)100(
)100()110(=⋅
−C
CC , 529,110
29,15,(%)10100100
100110==⋅
−
Az elaszticitás:
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
112
(%)493,1)100(
100)100()100( ≈⋅′=C
CEC , ami azt mutatja meg, hogy ha 100 db
helyett %1 -kal több terméket állítanak elő, akkor közelítőleg %493,1 -kal nő a költség.
165. a) A határkereslet: 235,19
300)9(5
−≈−=′D
b) 23
200300
200300
)()()(
23
23
23
25
−=⋅−=
⋅
⋅⋅−=⋅′=−
−
−
−
p
p
p
pppD
ppDpED ;
az elaszticitás független p-től, ezért (%)5,1)9( −=DE Tehát: ha a termék árát 9 -ről %1 -kal növeljük, akkor közelítőleg %5,1 -kal csökken a kereslet. A pontos számítás:
%48,1100407,7
407,72977,7100)9(
)9()09,9(−≈⋅
−≈⋅
−D
DD .
166. Az f függvény elaszticitásfüggvénye:
0)()(
)()( ≠⋅′= xfxf
xxfxE f .
a) { } 10)4(,0,105
50)( 109 =−==−
−= ffEf EDDxxxxE
b) 3)4(,326)(
3
4 −=−=⋅−= ff E
x
xx
xE
c) { }21)4(,0,
21
21)( =−==⋅= ffEf EDD
xx
xxE .
d) { } 110
110 )4(,0,)(
1
1 bEDDbxbxxbbxE ffEb
bf =−==⋅= −
167. a) 8,0)10(,25,
522)( =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧−−=
+= ffEf EDD
xxxE
b) { } 4,10)10(,2,410
)4()4(10)( 2
2
5242 ≈±−=
−−=
−⋅−−= ffEf EDD
xx
xxxxxE
c) 667,0)10(,280
4)280(5)280(
20)( 23 =
−=−⋅⋅
−= ff E
xxxx
xxE
d) { } 83,0)10(,4,)123(2
31231232
3)( ≈−=−
=−−
⋅−
−= ffEf EDDx
xxx
xxE
e) 5,2)10(,44
1)(4
10
410
−=−=⋅−=−
−
fx
x
f Ex
e
xexE
f) { } 1,1)10(,0,102
102
1025)102(
510)( 2 ≈−=−
=
−
⋅−
= ffEf EDDx
xxx
xxE
6. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK VIZSGÁLATA
113
168. A téglalap oldalainak hosszát jelölje x és y. Ekkor a kerület: yxK += 2 .
A téglalap területe: xy=0005 , innen x
y 0005= .
Így feladatunk a
0,00052)( >+= xx
xxK
függvény abszolút minimumhelyének a meghatározása.
)50(50000052)( 2 KDxx
xK ∉−=⇔=−=′ .
300010)(x
xK =′′
⇒>′′ 0)50(K a K függvénynek lokális és egyben abszolút minimumhelye: 50=x . Tehát a téglalap oldalainak hossza: 50 m és 100 m. 169.
M 95. ábra Az M95. ábra jelöléseivel a hasáb felszíne: xyxF 42 += .
A hasáb térfogata: 322 =yx , ahonnan 232x
y = .
Az
x
xx
xxxF 128324)( 22
2 +=⋅+= , x<0
függvény abszolút minimumhelyét keressük.
⇔=−=′ 01282)( 2xxxF ha 4=x .
32562)(x
xF +=′′ (4) 0F ′′ > ⇒ Az F függvénynek az 4=x helyen lokális és egyben
abszolút minimuma van. Tehát a medence hossza és szélessége 4 m, a mélysége 2 m. 170. Az 22
22
1 )(...)()()( nxxxxxxxf −++−+−= függvény abszolút minimumhelyét kell meghatározni. ⇔=−−−−=−++−+−=′ 02...222)(2...)(2)(2)( 2121 nn xxxnxxxxxxxxf ha
n
xxxx n+++=
...21 .
nxf 2)( =′′ ⇒>⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++′′ 0...1
nxxf n Az f függvénynek az
nxxx n++
=...1 helyen
lokális és egyben abszolút minimuma van.
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
114
171. Jelölje x a zuhanykarok számát. Ekkor az
154003)( ⋅+=x
xxf , 4000 << x
függvény abszolút minimumhelyét keressük.
4520000)(,60003)( 2 ≈=⇔=′−=′ xxfx
xf )2000( fD∉−
⇒>′′=′′ 0)2000(,00012)( 3 fx
xf f-nek lokális és egyben abszolút minimuma van az
2000=x helyen. Tehát 45 zuhanykar elhelyezése gazdaságos. 172. 1000=Q (egység) 173. a) 66,178 kg/ha b) 100 kg/ha
174. Jelöljük x-szel a hajóút hosszát. A hajóút vx napig tart, tehát a hajózás költségét a
sebesség függvényében a következő függvény adja meg:
állandó)0()( 23 >+=+= kkxvavxkv
vxa
vxvC
E függvény a minimumát a 32kav = helyen veszi fel.
175. a) A határkereslet: 3)6(,3)( −=′−=′ DpD Az árbevétel függvény: pppDppR 423)()( 2 +−=⋅= Határbevétel: 426)( +−=′ ppR , 6)6( =′R
b) Az R függvény maximuma 7=p Ft-nál van, a maximum értéke: 147)7( =R Ft, ekkor a kereslet: 21)7( =D kg. c) Kereslet árelaszticitás függvény:
75,0)6(,423
3)(
)()( −=+−
−=⋅′= DD Ep
ppD
ppDpE
Tehát: ha az egységárat 6 Ft-ról %1 -kal növeljük, akkor a kereslet közelítőleg %75,0 - kal csökken. 176. a) Az árbevételfüggvény:
)()( xfxxR ⋅= , azaz 0,)( 410
>⋅=−
xexxRx
. E függvény abszolút maximuma az 50=x (egységnél) van.
b) 5,2)10(,44
1)(4
10
410
−=−=⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅=
−
−
fx
x
f Ex
e
xexE
Tehát: ha a termék árát 10 -ről %1 -kal megemeljük, akkor közelítőleg %5,2 -kal csökken a kereslet. 177. a) 2,316≈x (egység) b) 200=x (egység) 178. 00010=x (egység)
6. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK VIZSGÁLATA
115
179.▲ Tekintsük az M96. ábrát!
M 96. ábra
Az átlagos raktárkészlet: 2rc + .
Ha egy periódus t napból áll, akkor az egy periódusra jutó költséget az alábbi függvény adja meg:
trctk ⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++ 1,0
2100:
Egy év alatt a készletezések száma: t
300 . Mivel ,1500300rt
= innen 5rt = .
Tehát az egy évre jutó költséget a következő függvény adja meg:
rcrr
rrcrK 153000015015005
1,02
100: ++=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++ .
E költségfüggvénynek minimuma van, ha 100=r db, a raktárat 20 naponként kell feltölteni. 180. 100=x (egység) 181. a) A profit 3000 db termék esetén maximális.
Ekkor a havi bevétel: 21)3( =R millió Ft.
b) Elaszticitással közelítve:
34)2( =RE .
Tehát: ha a termelt mennyiséget 2000 darabról %1 -kal növeljük, akkor a bevétel kb. %33,1 -kal növekszik.
6.5. Vegyes feladatok
182. Az a) állítás hamis ( 0=x inflexiós pont); a b) állítás igaz. 183. Mindkét állítás hamis.
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
116
184. a)
M 97. ábra b) 0,1470423,0)( 2 ≥+−=′ xxxxC . 750)20( =′C , 30)60( =′C . c) 236,0)20( ≈CE , 015,0)60( ≈cE . 185. a) Az árbevétel függvény: 802,0)( +−⋅= peppR E függvény maximuma a 50=p (egység)-nél van. 7)50( eD = (egység)
b) pe
pepE pp
D 02,002,0)( 802,0802,0 −=⋅⋅−= +−
+− , 8,0)40( −=DE
Tehát: ha az árat 40 egységről %1 -kal növeljük, akkor a kereslet körülbelül %8,0 -kal csökken. 186. a) Jelöljük R-rel az árbevételfüggvényt az eladott mennyiség függvényében: 0,1471602)()()( 2 ≥−+−=+= xxxxCxxR π . E függvény az 40=x helyen veszi fel a maximumát. b) Határköltség: 40)( =′ xC 40)20( =′C Határbevétel: 1604)( +−=′ xxR , 80)20( =′R Határprofit: 1204)( +−=′ xxπ , 40)20( =′π
6.6. Ellenőrző kérdések és feladatok
1. a) Nem igaz. Pl. az x
xxf 9)( += függvénynek lokális maximuma van az 3−=x helyen,
abszolút maximuma viszont nincs (a függvény felülről nem korlátos). b) Igaz, mert az abszolút maximumhely egyben lokális maximumhely is. c) Nem igaz. Pl. az 3)( xxf = függvénynek az 0=x helyen nincs lokális szélsőértéke, de az
érintője itt az x tengely. d) Nem igaz; ugyanis nem biztos, hogy f differenciálható az 0x pontban. (Gondoljunk pl. az
xxf =)( függvényre az 0=x helyen.)
e) Nem igaz. Pl. az 4)( xxf = függvénynek az 0=x helyen lokális minimuma van, de 0)0()0( =′′=′ ff .
6. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK VIZSGÁLATA
117
f) Nem igaz, ugyanis 0)( =′ xf is lehetséges. Pl. az 3)( xxf = függvény szigorúan monoton növekedő és .0)0( =′f
g) Igaz. (Lásd TK. 6.3. tétel b) részét.) h) Nem igaz. Pl. az 4)( xxf = függvény esetén ,0)0( =′′f az 0=x hely mégsem inflexiós
pontja a függvénynek. i) Igaz. (Lásd TK. 6.9. tétel b) részét.) j) Igaz; ugyanis ha 0x póluspont, akkor definíció szerint ∞=)(lim
0
xfx
, ami azt jelenti,
hogy az 0xx = egyenletű egyenes az f függvény grafikonjának függőleges aszimptotája. (TK. 170. old.)
2. 7 ;2fD ⎡ ⎡= − ∞⎢ ⎢⎣ ⎣
, 72
63)(++
=′x
xxf , ∞=∞
)(lim xf .
227
−<<− x 2−=x 2−>x
:f ′ – 0 +
:f l. min.
33)2( −=−f
M45. táblázat A fentiek figyelembe vételével adódik, hogy a B válasz a helyes.
3. 3
23
)3(9)(
−−
=′x
xxxf , 4)3(54)(−
=′′x
xxf
0)0( =′f , 0)0( =′′f .
0<x 0=x 30 << x
:f ′ + 0 +
:f ′′ – 0 +
:f infl. pont
M46. táblázat
A táblázatból leolvasható, hogy a C válasz a helyes.
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
118
4. 32
3
22
2
)1(312)(,
)1(66)(
+−
⋅=′′+−
=′x
xxxfxxxf
3−<x 3−=x 03 <<− x 0=x 30 << x 3=x 3>x
:f ′′ + 0 – 0 + 0 –
f infl. pont
infl. pont infl.
pont
M47. táblázat A táblázat alapján az A válasz a helyes.
5. )ln1(2)(,ln2)( 2 xx
xfx
xxf −=′′=′
10 << x 1=x ex <<1 ex = ex >
:f ′ – 0 + :f ′′ + 0 –
l. min. 0)1( =f
:f
infl. pont
M48. táblázat A táblázat alapján igaz: a b) c) és e) állítás, illetve hamis: az a) és d) állítás.
6. Árbevétel: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
⋅+=⋅=1
50500)()(x
exxfxxF
0)(,50
1)(1
50 =′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅=′
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
xFxexFx
, ha 50=x .
0>′F , ha 5020 << x és 0<′F , ha 11050 << x , így 50=x lokális és abszolút maximumhely. A maximális árbevétel: 550)50( =F (ezer Ft), ezért az A válasz a helyes. 7. Az elaszticitásfüggvény:
x
xxE f 3212)(−
−= , így 6,41360)5( ≈=fE .
Az elaszticitás definíciója szerint a C válasz a helyes.
7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL
7.1. Primitív függvény, határozatlan integrál
187. a) e) Cxdx +=∫ 77 ∫ += Cxdxx 2023
203
2320
b) f) Cxdxx +=∫ 656 Cxdxx
++=+∫ 7ln
71
c) ∫ +−
=−
− Cxdxx3
34 g) Cdx xx +=⋅⋅∫ 88ln8
d) ∫ += Cxdxx2
2
, 0≠x h) Cedxex
x +=∫ 2
22
188. a) Van. A primitív függvények az alábbi formában adhatók meg:
⎪⎩
⎪⎨⎧
>+
≤+=
0ha,
0ha,)(
4
2
xCx
xCxxF
Hangsúlyozzuk, hogy C bármilyen valós számot jelenthet, de a és ] ]0;∞− ] [∞;0 intervallumokban e konstansok értéke egyenlő kell hogy legyen, különben nem lenne folytonos az F függvény az helyen. 0=xb) Nincs. Nyilvánvaló ugyanis, hogy ha létezne primitív függvény, akkor az csak ilyen alakú lehetne:
⎪⎩
⎪⎨⎧
>+
≤+=
0ha,
0ha,)(
2
12
xCe
xCxxF
x
hiszen és xCx 2)( 12 =′+ xx eCe =′+ )( 2 .
Azonban nincsenek olyan , konstansok, amelyek esetén F differenciálható lenne az helyen, mert F folytonossága miatt
1C 2C0=x
21 1 CC += lenne, de 0)0(1)0( =′≠=′ −+ FF . 189. Azt kell megvizsgálni, hogy az F függvény differenciálható függvény-e.
a) F differenciálható függvény (az 2=x helyen is) ⇒ lehet primitív függvény. b) F nem differenciálható az 1=x helyen ( 1−=x -nél differenciálható) nem lehet primitív függvény. ⇒
119
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
c) A függvény nyilvánvalóan differenciálható az ] [2;1 és intervallumokban, de a csatlakozási pontban – az
] [∞;22=x helyen – nem
differenciálható; ugyanis
3)2(2ln2
1)2( −=′≠=′ +− FF .
Tehát F nem lehet primitív függvény. d) F nem differenciálható (nem is folytonos) az 1=x helyen nem lehet primitív függvény.
⇒
7.2. Alapintegrálok. Egyszerű integrálási módszerek
190. a) ∫ ∫ ∫ +⋅+=+=+ Cxxdxxdxdxx6
210210)210(6
55
b) =++−=+− ∫∫∫ Cxxxdxxdxxdxx4
47
38
2432478
367
Cxxx++−= 4
78
73
4
c) =+−−
+−=−+−−2
−− ∫∫∫∫ Cxxxxdxxdxxdxxdx
533
39
773971
53
37546
Cxxxx +−−−= − 53
37 53
d) Cexxxdxedxx
dxxdxx xx +−+−
−−
=−+−−−
−− ∫∫∫∫ 3ln33
26
313236
47
e) A számlálót tagonként elosztjuk a nevezővel, majd tagonként integrálunk.
∫ =++−⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⋅
−Cxxxdxxxx
23
8
45
21
38323
45
21
21
41
21
Cxxx ++−= 23
45
21
316
5432
f) -nal egyszerűsítünk, elvégezzük a négyzetre emelést, majd a számlálót tagonként elosztjuk a nevezővel és tagonként integrálunk:
3x
2
3 2 3
4 4 1 1 1 1 1 1 1ln4 4
x x dx dx x Cx x x x x
− + ⎛ ⎞= − + ⋅ = + − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ 28x
g) Cxexdxexx
x +++=++∫ 25
24
4ln4
5)4(
120
7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL
h) 2
2 2
3 1 133 l
x xx
x
x dx dx Cx x x
−
−
+ ⎛ ⎞ 3n3
= + = − + +⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠∫ ∫
191. a) CxxxF ++=3
2)(3
, 2)0( == CF , tehát 23
2)(3
++= xxxF .
Hasonlóan az a) ponthoz adódik:
b) 22
5)(2
+=xxF
c) 3ln
123ln
3)( −+=x
xF
d) 24
)2()(4
−+
=xxF
e) 1ln)( +−= exxF , ha ex <
f) 34)1(
32)( 3 ++= xxF
192. a) ∫ ++
=+⋅+
=+ CxCxdxx88
)58(118
)58()58(1111
10
b) C
x
C
x
dxx+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=+⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +∫ 50
21
10021
21
21
100100
99
c) ∫ +−
=+−−
−=−
−−− CxCxdxx
15)52(
)3()5()52()52(
334
d) ∫ +−⋅−=+⋅−
−=− CxCxdxx 2
323
21
)76(212
237
)76()76(
e) ∫ ++=+−
Cxdxx 32
31
)14(83)14(
f) ∫ +−=+⋅
−=−
−CxCxdxx 5
353
52
)12(25
532
)12(3)12(3
g) ∫ +−
=+−
+− Cedxex
x
2
3232
h) ∫ +⋅
= Cdxx
x
10ln31010
33
121
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
i) ∫ +−−
=−
Cx
dxx 4
43ln43
1
j) ln 2 12 (2 1) 1 11
2 1 2 1 2 1 2xx xdx dx dx x C
x x x−− + ⎛ ⎞= = + = + +⎜ ⎟− − −⎝ ⎠∫ ∫ ∫
193. a) ∫ ∫ ++
⋅=⋅+=+ Cxdxxxdxxx11
)58(16116)58(
161)58(
112102102
b) Cxxxdxxxxxx +++
⋅=++⋅++∫ 4)632(
61)666()632(
61 423
2323
c) ∫ +−−
=−−−
− Cxxdxxxx3
)5()5()25(32
42
d) ∫ ++=++
=+ CxCxdxxx 611
56
115
65
54 )3(556
611
)3(51)3(5
51
e) ∫ ++=++−
Cxedxxee xxx 52
53
)(25)()1(
f) Cdx xxx +−−=−−−−
∫ 32
31
)38(3ln2
3)38()3(ln33ln
1
g) ∫ += Cxdxxx 4
ln)(ln1 43
h) Cxdxxx
++
=+∫ 2)log2()2(ln)log2(
2ln1)2(ln
22
2
194. a) ∫ ++=+
Cxdxx
67ln67
6
b) ∫ ++=++=+
CxCxdxx
x )58ln(58ln58
16 222
c) ∫∫ +−=−−
=−− Cxxdx
xxxdx
xxx 6ln
21
662
21
)6(3 2
2
d) ∫ ∫ +−+=−+
−=
−+− Cxxdx
xxxxdx
xxxx 62
62
5
62
5
32ln21
32182
21
329
e) ∫ ∫ +−−=−
−−=
−Cdxdx x
x
x
x
x
73ln7ln
173
7ln77ln
173
7
f) ∫ ∫ +−=−−
=−− Cxedx
xeedx
xee x
x
x
x
x
3ln31
333
31
31 3
3
3
3
3
122
7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL
g) ∫ ∫ ++=+
=+
Cxdxx
xdxxx 2
22
log2ln)2(lnlog2
2ln1
)2(ln)log2(
1
h▲) ∫ ∫ ∫ ∫ +==== Cxdxx
xdxxx
dxxxdx
xx lnln)5(ln
ln
1
)5(lnln
5lnln5ln
5log
195. a) ∫ +=⋅ Cedxxe xx 33 23
b) ∫ ∫ +=⋅=⋅ Cdxxdxxx
xx
4ln2442
214
222
c) Cdxxxx
xx +=−−
−∫ 5ln55)32(
33
22
d) Cedxexx xxxxxx +=++ ++++∫ 2342344 2424
21)2616(
21
e) ∫ ++=+ Cdx xxx 67
61
)37(7ln7
6)37()7(ln77ln
1
f) ∫ ∫ +−=−−= Cdxx
dxx
xx
x
3ln3
2132
213 2
22
11
33
1
g) ∫ +−=+−=⋅ −− Cx
Cxdxxx ln
1)(ln)(ln1 12
h) Cxdxxx
+−
=−∫ 4)5(log)3(ln)5(log
3ln1)3(ln
433
3
7.3. Integrálás helyettesítéssel
196. a) ∫ ∫ +=+==
=
=
=
= CeCedte
dxxdt
xdxdt
xt
dxxe xttx 33
2
2
3
2
3
33
b) ∫ ∫ +=+==
=
=
=
=⋅ CCdt
dxxdt
xdxdt
xt
dxxxt
tx
4ln24
4ln4
21
24
2
242
2
2
123
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
c) ∫∫ +=+==
−=
−=
−=
=−−
− CCdt
dxxdt
xdxdt
xxt
dxxxxt
txx
5ln5
5ln55
)32(
32
3
5)32(3
2
32
2
d) ∫ =
++=
++=
++=
=++ ++
dxxxdt
xxdxdt
xxxt
dxexx xxx
)268(2
2616
234
)138(
3
3
24
2343 24
CeCedte xxxtt +=+== ++∫ 234 24
21
21
2
e) ∫ ∫ =+⋅⋅==
=
=
+=
=+⋅ Ctdtt
dxdtdxdtt
dx
x
x
x
xx 67
61
76
7ln1
7ln
77ln
7ln7
37
)37(7 61
Cx ++= 67
)37(7ln7
6
f) ∫∫ +−=+−=−
=
=−
−=
=
= CCdt
xdxdtxdx
dtx
t
dxx
xtt
x
3ln233
3ln21
23
2
2
1
3 221
3
3
2
3
1
g) ∫∫ +−=+−==
=
=
=
=⋅
− Cx
Ct
dtt
dxx
dt
xdxdt
xt
dxxx
dxln11
1
1ln
ln2
2
124
7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL
h) ∫∫ =+==
=
=
−=
=− Ctdtt
xdxdt
xdxdt
xt
dxxx
4)3(ln)3(ln
)3(ln
3ln1
5log)5(log 4
3
33
3
Cx
+−
=4
)5(log)3(ln
43
197. a) ∫ ∫∫ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−⋅=
−⋅
−=
−=
−=
−=
−=
=−− −
dtttdtt
t
dtdx
dtdx
tx
xt
dxx
x 31
32
3372
31
327
31
31
34
34
3416
CxxCtt +−−−=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= 3
235
32
35
)34(27)34(
52
221
56
31
b) ∫ ∫∫ =−
=−
=
=
=
−=
+=
=+
dtt
tdt
t
t
dtdx
dtdx
tx
xt
dxx
x333
63251
5
)2(53
5
515
225
)25(
3
1 3 1 12 2 2 21 13 6 6 12
25 25t t dt t t C− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ =
Cxx +⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+++=
−21
21
)25(12)25(6251
c) ∫ ∫∫ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−⋅=−−=
−=
−=
−=−=
=−⋅ dtttdttt
dtdxdtdx
txxt
dxxx 51
56
55 123)312(1
44
43
125
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
CxxCtt +−⋅−−⋅=+⋅−⋅= 56
511
56
511
)4(10)4(111510
1115
d) ∫ ∫∫ =−
=−−
=
=
=
−=
+=
=+− dt
ttdt
t
t
dtdx
dxdt
tx
xt
dxxx 133
41
2
5)1(23
2
2
2112
1253
[ ] CxxCttdtt
++−+=+−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= ∫ 12ln13)12(3
41)ln133(
41133
41
e) ∫ ∫ ∫∫ =+−+
=+
=+
=
=
=
=
=+ − dt
ttdt
tt
tdt
t
t
tdtdx
edxdt
et
dxe
e x
x
x
x
11)1(
1111
∫ ++−=++−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+− CeeCttdt
txx )1ln(1ln
111
f) ∫ ∫ ∫∫ =+−+
=+
=+
=
=
=
−=
+=
+=
=++
dtt
tdtt
tdttt
dttdx
tdtdx
tx
xt
xt
dxx 1
1)1(21
221
1
2
2
1
1
1
111 2
2
CxxCttdtt
+++−+=++−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−= ∫ )11ln(212)1ln(2
1112
7.4. Parciális integrálás 198. a) xxf =)( , xexg 22)( =′
1)( =′ xf , xexg 2)( =
Cexedxexedxxex
xxxx +−=−= ∫∫ 22
22222
126
7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL
b) 24)( += xxf , xexg −=′ )(
4)( =′ xf , xexg −−=)(
Ceexdxeexdxex xxxxx +−+−=++−=⋅+ −−−−− ∫∫ 4)24(4)24()24(
c) xxf =)( , 4
41)(
x
exg =′
1)( =′ xf , 4)(x
exg =
Cexedxexedxex xxxxx
+−=−= ∫∫ 44444 44
d) 310)( −= xxf , 15)( +=′ xexg
10)( =′ xf , 5
)(15 +
=xexg
∫∫ =−−=− ++
+ dxeexdxex xx
x 1515
15 25
)310()310(
Cex xx
+−−= ++
1515
52
53)310(
e) xxf 5)( = , xxg 2)( =′
5)( =′ xf , 2ln
2)(x
xg =
Cxdxxdxxxxxx
x +−=−=⋅ ∫∫ 2ln25
2ln25
2ln25
2ln2525 2
f) 23)( −= xxf , xxg 4)( =′
3)( =′ xf , 4ln
4)(x
xg =
Cxdxxdxxxxxx
x +−−=−−=− ∫∫ 4ln43
4ln4)23(
4ln43
4ln4)23(4)23( 2
g) , 3)( 2 ++= xxxf 2)(x
exg =′
12)( +=′ xxf , 22)(x
exg =
∫∫ =+−++=++ dxexexxdxexxxxx22222 2)12()3(2)3(
12)( += xxf , 22)(x
exg =′
2)( =′ xf , 24)(x
exg =
127
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
∫ =++−++= dxeexexxxxx2222 8)12(4)3(2
Ceexexxxxx
+++−++= 2222 16)12(4)3(2
h) , 2)( xxf = xxg −=′ 12)(
xxf 2)( =′ , 2ln
2)(1 x
xg−
−=
∫∫ =+⋅
−=−−
− dxxxdxxxx
x
2ln22
2ln22
11212
xxf 2)( = , 2ln
2)(1 x
xg−
=′
2)( =′ xf , 2ln
2)( 2
1 x
xg−
−=
Cxxdxxx xxxx
xx
+⋅
−−−=+−⋅
−=−−−
−−−
∫ 2ln22
2ln22
2ln22
2ln2
2ln22
2ln2
3
1
2
1121
22
112
199. a) xxf ln)( = , 2)( xxg =′
x
xf 1)( =′ , 3
)(3xxg =
∫ ∫ +−=−= Cxxxdxxxxdxxx9
ln33
ln3
ln3323
2
b) xxf ln)( = , 3
1)(x
xg =′
x
xf 1)( =′ , 32
23)( xxg =
Cxxxdxxxxdxxx
+−⋅=−= ∫∫− 3 23 23
132
3 49ln
23
23ln
23ln
c) xxf 2ln)( = , xxg =′ )(
221)( ⋅=′x
xf , 23
32)( xxg =
∫ ∫ +−=−= Cxxxdxxxxdxxx 3321
3
942ln
32
322ln
322ln
d) xxf 8ln)( = , 21)(x
xg =′
881)( ⋅=′x
xf , x
xg 1)( −=
128
7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL
∫ ∫ +−−=+−= Cxx
xdxxx
xdxx
x 18ln18ln8ln22
e) , xxf 2ln)( = 1)( =′ xg
x
xxf ln2)( =′ , xxg =)(
∫ ∫ =−=⋅ dxxxxdxx ln2lnln1 22
xxf ln)( = , 2)( =′ xg
x
xf 1)( =′ , xxg 2)( =
∫ ++−=+−= Cxxxxxdxxxxx 2ln2ln2ln2ln 22
f) xxf 3log)( = , 1)( =′ xg
3ln
1)(x
xf =′ , xxg =)(
Cxxxdxxxdxx +−=−=⋅∫ ∫ 3lnlog
3lnloglog1 333
g) xxf lg)( = , 31)(x
xg =′
10ln
1)(x
xf =′ , 221)(x
xg −=
Cxx
xdxxxxdx
xx
+−−=+−=∫ ∫ −22
323 )10(ln4
12lg
10ln21
2lglg
h) )5(log)( 2 xxf −= , 7)( xxg =′
2ln
1)5(2ln5
1)(xx
xf =−⋅−
=′ , 8
)(8xxg =
∫ ∫ =−−=− dxxxxdxxx2ln8
)5(log8
)5(log7
2
8
27
Cxxx+−−=
2ln64)5(log
8
8
2
8
7.5.* Trigonometrikus függvények határozatlan integrálja 200. Van. A primitív függvények ilyen alakban adhatók meg:
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤+
<<+=
,0ha,2
0ha,tg)(
xCx
xCxxF
π
129
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
ahol C bármilyen valós szám lehet. A két intervallumban
] ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∞⎢⎣
⎡⎥⎦⎤ 0;-és
2;0 π ] azonban a C értéke mindig egyenlő kell,
hogy legyen (különben F nem lenne folytonos az 0=x helyen, és így nem is lenne differenciálható).
201. a) ∫∫∫ +++−=−++ Cxxxdxx
dxxdxx ctgsin41cos
41
sin1cos
41sin
41
2
b) ∫ ∫∫ +−−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
−= Cxxdx
xdx
xxdx
xx ctg1
sin1
sinsin1
sincos
22
2
2
2
c) ∫ +−
⋅−=− Cxdxx
324cos
43
324sin
d) ∫ ++⋅=+
Cxdxx
)23(tg34
)23(cos4
2
e) Alkalmazzuk a 2
2cos1sin 2 xx −= azonosságot!
Cxxdxxdxdxxdxx +−=−=−
= ∫ ∫∫ ∫ 42sin
22cos
21
21
22cos1sin 2
f) CxCxdxxx +−=+⋅−=⋅−
∫ 545
4
51
)(cos25
54
)(cos2)(cos)(sin2
g) ∫ ∫ +== Cxdxxxdxx sinln
sincosctg
h) ∫ ∫ +−−=−=− Cxdxxx
dxxx
)1(cos4)1sin(2
14)1sin(2
202. a) ctg ctg2 2
2
ctg1 1
sin sin(sin )
x t
t xdte dx e dt e C e
x dx xdx x dt
=
= = − = − = − + = − +
= −
∫ ∫ t x C
b▲) ∫∫ =⋅−=
⋅=
=
=
=
=− tdtt
tdtdx
tdtdx
tx
tx
dxx cos2)sin2(4
cos2
cos2
sin2
sin2
4 22
130
7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL
=+
=⋅=⋅−= ∫ ∫∫ dtttdttdtt2
2cos14cos4cos2sin12 22
1 cos24 2 s2 2
t dt t t C⎛ ⎞= + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ in 2
Itt az eredeti x változóra nem térhetünk vissza, mivel az egyenlőségből az eddigi ismereteink alapján nem tudjuk t-t kifejezni.
tx sin2=
203. a) xxf 27)( −= , 4
cos)( xxg =′
2)( −=′ xf , 4
sin4)( xxg =
∫ ∫ =+−=− dxxxxdxxx4
sin84
sin)27(44
cos)27(
Cxxx +−−=4
cos324
sin)27(4
b) , 22)( xxxf −= xxg cos)( =′ xxf 22)( −=′ , xxg sin)( =
∫∫ =−−−=− dxxxxxxdxxxx sin)22(sin)2(cos)2( 22
xxf 22)( −= , xxg sin)( =′ 2)( −=′ xf , xxg cos)( −=
∫ =+−+−= dxxxxxxx cos2cos)22(sin)2( 2
Cxxxxxx ++−+−= sin2cos)22(sin)2( 2
c) , xxf 3)( = xxg sin)( =′
, 3ln3)( xxf =′ xxg cos)( −=
=+−=∫ ∫ dxxxdxx xxx cos)3(ln3cos3sin3
, 3ln3)( xxf = xxg cos)( =′
, 3ln3)( 2xxf =′ xxg sin)( =
dxxxx xxx ∫−+−= sin)3(ln3sin)3(ln3cos3 2
[ ] Cxxdxx xxx ++−+
=∫ sin)3(ln3cos33ln1
1sin3 2
d) x
xf 2cos1)( = ,
xxg 2cos
1)( =′
xxxf 3cos
sin2)( =′ , xxxxg
cossintg)( ==
131
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
=−
−=−=⋅∫ ∫ ∫ dxx
xx
xdxxx
xxdx
xx 4
2
24
2
222 coscos12
costg
cossin2
costg
cos1
cos1
∫ ∫+−= dxxx
dxx
x242 cos
12cos
2cos
tg
Innen átrendezéssel kapjuk:
∫ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += Cx
xx
xdx tgtg 2
cos31
cos 24
7.6. Vegyes feladatok 204. Lehet, ha 21 CC = . Ekkor ugyanis F folytonos és differenciálható az értelmezési tartomány minden pontjában.
205. A primitív függvények: CxxxF ++=2
39
4)(29
.
Mivel 1)0( == CF , ezért a ponton átmenő primitív függvény:
)1;0(
12
39
4)(29
++=xxxF .
206. a) Cxdxxx
dxxx
+=⋅=∫ ∫ 2lnln1ln 2
b) ∫ +−−
+−
=−+−
− Cxdxxx
x
8)25(
3ln23))25(3(
425325
207. a) Cdxxx
xx ++−
=+−−
−−∫ 4ln24
3ln23)43(
322322
b)
33 4 3 41 34 4 ln
4
x
xx x
x dx dx x C
⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤+ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠= + = + +⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫
c) ∫ ∫ +⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Cdxdxx
x
x
x
x
134ln
34ln
1
341
34ln
34
34ln
1
341
34
d) ∫ ∫ +−=−=−
−Cxdxxxdx
x
x 21
221
2
2)35(
52)35(10
51
35
2
132
7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL
e) 1 12 2
5 3
5 2 ( 3)2 25 35 255 3
53
5
t xdt
tdxx dtdx t t dtdtdxx t
tx
−
= −
=+ ⎛ ⎞
= = = +⎜ ⎟=− ⎝ ⎠
+=
∫ ∫ ∫ =
CxxCtt+−+−=+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+= 21
232
123
)35(2512)35(
754
21
3
2325
2
f) ∫ ∫ +−=−
=−
Cxdxx
xdxx
x 35ln51
3510
51
352 2
22
g) ∫ ∫ =+−−=−⋅− dxxxxxdxxx )10440()4()10( 333
1 7 3 9
3 42 2 2 220 240 4 10 403 9
x x x dx x x x x C⎛ ⎞
= − − + = − − + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫
h) ∫ ∫ +−=−−= −−− Cedxxedxxe xxx 222
212
21
i) ∫ ∫ ∫ =+−−=+−= −−−−−− dxexeexdxxeexdxex xxxxxx 222 222
(Kétszer parciálisan integráltunk.) Cexeex xxx +−−= −−− 222
j) Tagonként integrálunk; az első tagnál a parciális integrálás módszerét alkalmazzuk.
( )∫ ∫ =+−=+ dxxdxxdxxx xxx
xx 2252
21
5ln5
5ln555 ∫
Cxxxx
+⋅+−=5ln
521
5ln5
5ln5
2
2
k) 5 2 (5 15) 17 1753 3 3
x xdx dx dxx x x+ − + ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟− − −⎝ ⎠∫ ∫ ∫ =
Cxx +−⋅+= 3ln175 l) A feladatot megoldatjuk a parciális integrálás módszerével vagy helyettesítéssel. Helyettesítéssel:
∫ ∫ ∫ ∫ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
+−=
−
=−=+=
=+
−dttttdt
tttdt
tt
dtdxtx
xtdx
xx 2
121
23222
212)1(11
1
133
CxxxCttt ++++−+=++−= 21
23
25
21
23
35
)1(2)1(34)1(
522
34
52
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
m) ∫ ∫ ∫ =+=+ dxxxdx
xxdx
xxxxx lglglglg
2
3
Cxxxxdxxxxx+−+=−+= ∫ 10ln4
lg22
lg)10(ln10ln2
lg22
lg)10(ln22222
n) ∫ ∫ ===
−=
−=
−=
=−− dttdtt
xdtdx
xdxdt
xxt
dxxxx ln21
2ln
)1(2
22
2
)2ln()1(
2
2 ∫
CxxxxxxCttt +−−−⋅−=+−= )2(21)2ln()2(
21)ln(
21 222
A helyettesítés után parciálisan integráltunk.
7.7. Ellenőrző kérdések és feladatok 1. a) Nem igaz. Pl. a 188/c feladatban szereplő f függvénynek nincs primitív függvénye.
b) Nem igaz; ugyanis léteznek nem differenciálható függvények. Pl. Az xxF =)( , R∈x függvény nem tekinthető egyetlen függvény primitív függvényének sem, mert az 0=x helyen nem differenciálható. c) Nem igaz. A primitív függvények végtelen sokan vannak, de nem megszámlálhatóan végtelen sokan. Csak konstansban térnek el egymástól, ahol a konstans tetszőleges valós számot jelent; a valós számok halmaza viszont nem megszámlálható számosságú. d) Igaz. e) Igaz. f) Igaz.
2. a) Igaz. (TK. 7.2. tétel b) része) b) Igaz. (TK. 7.2. tétel következménye) c) Nem igaz. d) Nem igaz.
3. A B válasz a helyes, mert
3,3
103
1))3ln(( >−
=+−
−=′+−− xxx
Cx .
(A C válasz azért nem helyes, mert hiányzik a „C” konstans. Így lenne helyes: Cx +−− 3ln .)
134
7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL
4. Az A válasz a helyes.
Az 58
)( xxf = függvény primitív függvényei: CxxF += 513
135)( alakúak.
Mivel 0135)1( =+= CF , ezért
135
−=C adódik.
5. A B válasz a helyes, ugyanis
)()34(040
4)34(10403
40)34()( 9
910
xfxxxxF =+=+⋅+
=′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=′ .
6. A C válasz a helyes, ugyanis
∫∫ +−=−−=−
− −Cxxdxxxxdx
xx
x 21
321
32
3
2
)3(32)3()33(
31
3
1 .
7. Az A válasz a helyes, ugyanis
Cxxxdxxxxdxxx
+−=−=−
∫∫ 210ln2lg2
10ln2lg2lg1 2
1
.
(Parciálisan integráltunk.) 8. A B válasz a helyes, ugyanis
∫ ∫∫ =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
+−=
=
=
−=
+=
=+
+ dttdttt
t
dttdx
tdtdx
tx
xt
dxx
x25
232)3(
23
23
32
3223 2
22
CxxCtt++−+=+−⋅= 32
25)32(
21
25
323 3
3
.
135
8. HATÁROZOTT INTEGRÁL
8.1. Határozott integrál. Newton-Leibniz-formula
136
] 208. a) A [ intervallum osztópontjai: 1;0
1,1...,,2,1,0n
nnn
− .
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
−++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++= 112...1221211
nn
nnnsn
[ ] =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+
−⋅+=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −++++= )222(
2111)1(2...4211 nn
nn
nn
nn
n
( )n
nn
12121−=−=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅= 12...1221121
nn
nnnSn
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +⋅+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ++++= )22(
211)2...42(11 nnn
nn
nn
nn
n
nn
12)12(1+=+=
2limlim == nn Ss
[ ] 202)12(1
0
1
02 =−=+=+∫ xxdxx
b) Az [ ]2;1 intervallum osztópontjai:
2,11...,,21,11,1n
nnn
−+++ .
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
nn
nnnsn
11...211111
( ) ( ) =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+
−⋅+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −+++++= 11
21111...32111 nn
nn
nn
nn
n
n
nnnn 2
112
11 −+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+=
( ) =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++++=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += n
nn
nnn
nnnSn ...21111...21111
( )n
nnnn
nnn
nn 2
112
1112
11 ++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +⋅+=
8. HATÁROZOTT INTEGRÁL
23
211limlim =+== nn Ss
23
212
2
2
1
2
1
2
=−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=∫
xdxx
c) A [ intervallum osztópontjai: ]1;0
1,1...,,2,1,0n
nnn
− .
[ ] =⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −+++=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++= 222
2
22
22 )1(...21111...2101 n
nnnn
nnnsn
2
2
3 6132
6)12()1(1
nnnnnn
n+−
=−−
=
( ) =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +++=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= 222
2
222
...2111...211 nnnn
nnnn
Sn
2
2
3 6132
6)12()1(1
nnnnnn
n++
=++
=
31
62limlim === nn Ss
∫ =−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
1
0
1
0
32
310
31
3xdxx
209. a) ∫ =−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2
1
2
110ln
9010ln
1010ln
10010ln
1010x
x dx
b) 3
1403215
325)35(
1
0
1
0
23
32 =−+−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−=+−∫ xxxdxxx
c) [ ]∫−
−
−
−−=−=−=−−−==
1221
22
220ln1lnln1lnlne
eeex
xdx
d) ∫∫ =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
+ −4
1
4
1
21
23
21
214
1
2321 xxdxxxdx
xx
3
202324
3162
3242)4(
32 3 =−−+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+=
137
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
e) ∫ =+=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅−
−=−
3
1
3
3
1
23
21
38
320
232
)26()26( xdxx
f) ∫ ∫− −−
=−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=+=+
1
1
661
1
6252
1
1
52 03
232
6)1(2)1(22)1(4 xdxxxdxxx
g) Parciálisan integrálunk:
xxf =)( , 2)(x
exg−
=′
1)( =′ xf , 22)(x
exg−
−=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−++−=+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
−
−
−
−−
−
−
−
−
∫∫1
1
2211
1
21
2
1
1
21
1
2 42222xxxx
eeedxexedxxe
e
eeeee 664422 21
21
21
21
−=+−+−=−−
h) [ ]∫ −+=+=++1
0
1
02
2 2ln)21ln()2ln(222 eexdxexex x
x
x
i) ∫∫ =+−=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=−−=4
1
4
1
11
3
4
1
1
3 9ln12
9ln18
9ln6
9ln929
2
1291 xxx dx
xdx
x
j) ∫ ∫∫ =−
=−
−=
=⇒==⇒−=
−=
−=
−=
−=
=−−
1
9
9
1
1
1
5161
445
1191
4
41
45
45
45dt
ttdt
tt
txtx
dtdx
dtdx
tx
xt
dxx
x
61
32101830
161
3210
1615
161
9
1
23
219
1
21
21
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∫
−ttdttt
138
8. HATÁROZOTT INTEGRÁL
k) ∫∫ =−
=
=
=⇒==
=⇒−=−
=
+=
=+−
−
8
13
5,2
13 2
72
2
85,221
112
323
2314 dt
tt
dtdx
txdtdx
txtx
xt
dxx
x
85,2421
5321
596
221
56
2172
21
8
1
32
358
1
31
32
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= ∫
−ttdttt
l) Parciálisan integrálunk: xxf ln)( = , 4)( −=′ xxg
x
xf 1)( =′ , 3
)(3
−=
−xxg
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−+−=+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−=⋅ ∫∫ −
eeee
xexdxx
xdxxx
13
134
13
1
4
91
31
3ln
31ln
91
94
91
91
31
333 +−=+−−=eee
210.* a) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−=∫
− − 6cos6
6cos6
6cos6
6sin πππ
π
π
π
xdxx
06
cos66
cos6 =+−=ππ
b) 53
530)(sin
53cos)(sin
2 2
35
32
−=−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=∫
π
π
π
πxdxxx
c) [ ] =+−=+−
−=+∫ ∫
2
0
20
2
0
cos52ln54
cos52sin5
54
cos52sin4
ππ
π
xdxx
xdxx
x
27ln
54)7ln2(ln
54
=−−=
d) Parciálisan integrálunk:
[ ]∫ ∫ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−=
3
6
3
6
3
62
sin3
sin3
23sin23sin23cos6
π
π
π
π
π
π
ππππxdxxxdxxx
139
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
32
32cos
32cos
32
333cos2
3
6
−−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+
πππππ
π
x
211. a) 10)02()80(22
2
0
20
4
22
0
0
4
2
4
=−++=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=+−=
−−−∫∫∫
xxdxxdxxdxx
b) 4832802
10)10(108
0
28
0
8
0
=−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=− ∫∫
xxdxxdxx
c) ∫ ∫∫−−
=−+−=−0
1
1
0
221
1
2 )2()2(2 dxxxdxxxdxxx
23111
31
33
1
0
32
0
1
23
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
−
xxxx
d) [ ] [ ] =−+−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=− ∫∫∫
3
2
2
1
3
2
2
1
3
1
ln2ln2211221 xxxxdxx
dxx
dxx
3ln22ln4)2ln223ln23()122ln2( −=+−−++−=
212. a) ∫ ∫ ∫− −
=−+−−=2
1
0
1
2
0
2 )12()4()( dxdxxxdxxf x
31
2ln3
2ln12
2ln42
31
2ln22
3
2
0
0
1
23
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−=
−
xxx x
b) ∫∫ ∫ ∫ +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−=+++=
−
−
−−
−
− −
4
1
1
1
21
222
4
2
1
2
1
13 2
314)13(2)( xxx
dxx
dxxdxx
dxxf
( ) 25,4411231
23
4114 4
1=+−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−+
x
c) 12 1 2 3
2
2 2 1 2
1 2( ) 1 1 ( 1)2 3
f x dx x dx dx xx
−−
− − − −
⎡ ⎤⎛ ⎞= − − + + = − − − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥+⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫
[ ] 4ln3
11)14ln2(322ln
2
1 +=+++=+++−
xx
213. a) Ha ex <≤1 :
[ ] [ ] 1lnln1lnln)(1
111
+−=−=−== ∫∫ xxxtxxdtttdttxGxxx x
140
8. HATÁROZOTT INTEGRÁL
Ha ex > : [ ] 1ln0ln)(1
1
=−=+= ∫∫e
x
e
e
tttdtdttxG
Összefoglalva:
⎩⎨⎧
><≤+−
=ex
exxxxxG
ha ,11ha ,1ln
)(
b) Ha 01 ≤≤− x : ∫−
==x
dtxG1
00)(
Ha 10 ≤< x : 0 2
2
1 0 0
1 1 1( ) 0 ( )2 4 4 4 4
xx t tG x dt t dt x x−
⎡ ⎤⎛ ⎞= + + = + = +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎣ ⎦
∫ ∫
Ha 31 ≤< x : ∫ ∫∫ =+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++= −
−
1
0 1
0
1
2ln241
210)(
xt dtdttdtxG
[ ]212
212
44 1
1
0
2
+−=−+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+= −− x
xttt
Összefoglalva:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≤<−
≤<+
≤≤−
=
− 31ha,21
10ha),(41
01ha,0
)( 2
x
xxx
x
xG
x
8.2. Improprius integrál
214. a) 41
410
41
41lim
4limlim1
41 1
45
15 =+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
==∞→
−
∞→
−∞
∞→ ∫∫ bxdxxdx
x b
b b
bb
b) ∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡==
∞→∞→
−∞
∞→ ∫∫ 23
23lim
23limlim1 3 2
1 1
32
31
13
bxdxxdxx b
b b
bb
c) 2
0222
lim2
limlim22221 12
21
2 eeeeedxedxea
aa a
x
a
x
a
x =−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡==
−∞→−∞→∞−
−∞→ ∫∫
d) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +⋅=
+ −∞→
−−
∞−−∞→∫ 318ln
9115ln
91lim318ln
182lim
3182 11
axdxx aaa
−∞=∞−= 15ln91
141
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
e) ( )
( )∫∫∞−
−
−∞→
−
∞−
=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=−=
−
0
0
21
230
3 21
21
22lim)22(22
a
a
xdxxx
dx
2
102
122
12
1lim =−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−=
−∞→ aa
f) =⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
−=+ ∞→−
−∞
∞→−
−
∫∫b
xb
b
x
x
bx
x
edx
eedx
ee
000
11lnlim1
lim1
( ) 2ln2ln01ln2ln11lnlim =++−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
∞→ bb e
g) =⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+−
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=−
∞→
−−∞
∞→
− ∫∫bx
bb
b xbx
b
x ee
bdxeexdxxe0
5
50
5
0
5
0
5
255lim
55lim
251
25100
251
255lim
5
5 =++=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−+
−=
−
∞→
b
bb
ee
b
h) =⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−−=⋅
−
∞→
−∞
∞→
− ∫∫b
x
b
bx
b
x dxxdxx1
1
1
1
1
1
3ln3
21lim32
21lim3
222
3ln2
13ln2
103ln2
13ln
321lim
21
=+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅−=
−
∞→
b
b
i) =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−==
∞→
−
∞→
−∞
∞→ ∫∫ 2ln2lim)(ln2lim)(ln1lim
ln
1 21
23
3 bxdxx
xdx
xx b
b
eb
b
eeb
220 =+=
j*) [ ] =+=+=+ ∞→
−∞
∞→ ∫∫b
b
b
bxdxxxdx
xx
00
21
0
2sin2lim)2(sin)(coslim2sin
cos
divergens)222sin2(lim =−+=∞→
bb
215. a) =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−==
−
∞→−∞→
∞
∞−
−
∞→−∞→
−
∫ ∫b
a
x
ba
b
a
x
ba
x
edxedxe 222 2limlim
∞=∞+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
−
−∞→
−
∞→
−−
∞→−∞→
02lim2lim22lim 2222a
a
b
b
ab
ba
eeee
142
8. HATÁROZOTT INTEGRÁL
b) [ ] =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−= −
→∞−∞→
∞
∞−
−
→∞−∞→
−∫ ∫b
ax
ba
b
a
x
ba
x edxexdxxe222
21lim2
21lim
00021
21lim
22=+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−= −−
∞→−∞→
ab
ba
ee
(Az eredmény nem meglepő, hiszen az integrandus páratlan függvény; ilyenkor a ] [∞∞− ; intervallumban vett improprius integrál konvergencia esetén csak 0 lehet.)
c) [ ] 11202
10)(4
14
4
1
1
=−==++=∫ ∫∫∫∞
∞−
∞
∞−
xdxdxx
dxdxxf
d) =⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⋅+= ∫∫ ∫∫
+−+−∞
∞−∞→
∞+−
∞−
b xbx
b
x dxxdxxdxdxxf1
1
1
1
1
11
3ln3
3ln3lim30)(
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−++
⋅−=
+−
−∞→
bx
bb
b
12
1
1 3ln3
3ln1
3ln3lim
3ln13ln
3ln10
3ln10
3ln1
3ln3
3ln1
3ln3lim 2222
1
1+
=+−+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+
⋅−=
+−
−∞→
b
bb
b
e) =+−+= ∫∫ ∫∫∞
−∞
∞− −
−
∞− 2
2
1
31
2 2)1(42
1)( dxdxxdxx
dxxf x
[ ] =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−=
−
∞→−
−
−∞→
bx
baax
x2
2
14
1
2ln2lim)1(
21lim
2ln4
11521
2ln41
2ln2lim)161(
21
21lim +−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
−
∞→−∞→
b
ba a
216. a) =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=+=∞→
−∞
∞−
∞
∞→∞−
∫ ∫∫ 181
21lim
2lim0)( 2
3
2
33
3
bAxAdx
xAdxdxxf
b
b
b
181181
1810 =⇒==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += AAA
b) =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +=+
+⋅
=∫ ∫∫∞
∞−
∞
−∞→∞−
0
0
0
)71ln(7ln
1lim0717)(
a
x
ax
x
AdxdxAdxxf
2ln7ln1
7ln2ln0
7ln2ln)71ln(
7ln1
7ln2lnlim =⇒==−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ +−=
−∞→AAAA a
a
143
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
c) =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=+=
−
∞→
∞
∞−
∞ −
−∞→
−
∞−
−∫ ∫∫b
ba
x
a
x xAedxxAdxedxxf2
3
2
2634
263
3lim
3lim)(
161241
31
241
31lim
33lim 3
630
=⇒=+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−⋅+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
∞→
−
−∞→AA
bAee
b
a
a
217.* a) ∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
==∫ ∫ +→
−
+→
−
+→
1
0400
14
00
15
005 41
41lim
4limlim1
εεε
εε
ε
xdxxdxx
b) [ ] =−=−=−∫ +→++→
6
300
6
300)ln23ln2(lim3ln2lim
32 ε
εεεxdx
x
∞=−∞−= )(3ln2
c) [ ]∫ ∫−
−
−+→
−
−
−
+→=⋅==
0
2727
300
27
32
003 23limlim
ε
ε
ε
εxdxx
x
dx
990)2733(lim 3300
=+=−⋅−−⋅=+→
εε
d) ee
eeedxx
e xx 101limlim
11
00
1
0
11
002
1
=−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
−−
+→
−
+→
−
∫ εε
εε
e) ∫ ∫∫∫∫−
−
−
+→
−
+→−−
=+=+=ε
δδε
1
12
00
21
0002
0
12
1
12 limlim111 dxxdxxdx
xdx
xdx
x
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−=
+→+→+→
−
−+→ δε δεδδ
ε
ε
11lim11lim1lim1lim0000
1
00100 xx
∞+∞= divergens.
f) ∫ ∫∫ =−⋅+−⋅=−
−−1
0
3
1
32
232
23
03 22
)1(2)1(2)1(
2 dxxxdxxxdxx
x
( ) +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
+→+
+→
−
+→3)2(3lim13lim)1(3lim 3
12
00
3
1
31
2
00
1
0
31
2
00εε
εδ
δ
ε
εxx
963)2(36lim 31
2
00=+=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−+
+→δδ
δ
144
8. HATÁROZOTT INTEGRÁL
8.3. Területszámítás
218. a) ∫ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
3
0
3
0
32 9
3xdxx
b) ∫ ∫∫− −−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=+−=
2
2
2
0
40
2
42
0
30
2
33 844xxdxxdxxdxx
c) ∫− −
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−−=⇒<
1
1
1
1
2 12
)(0)(e
exedxexTxf xx
d) Tekintsük az M 98. ábrát!
M 98. ábra
∫∫ =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−−=
−
3
1
21
3
2
3230
273
2273
2dxxxdxxxT
e) 1 1 12 2
2 2 21 1 1
( 1) ( 1) 2 211 1
x x x xdx dx dxx x x− − −
+ + + ⎛ ⎞1
= = +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠∫ ∫ ∫ =
[ ] 2)1ln(1
12 =++=
−xx
145
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
f) Ábrázoljuk az f függvényt! (M 99. ábra)
M 99. ábra
∫ ∫∫ =+−==1
101
10
1
10
101
lglglg dxxdxxdxxT
Parciális integrálással kapjuk:
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −=
101
10ln101
10ln1
10lnlglg
10ln
10
1
1
101
xxxxxx
9,910ln10
8110ln1
10ln1010 +−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +−+
g) ∫ ∫ =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=+−
∞→
∞1
0 1
1
012 2ln
11lim2ln
21)12(b
b
xx
xxdx
xdx
h) =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−++
−
−∞→
−
∞−
−
−∞→∫ ∫1
231 1
21
2211
32lim111lim111
a
aa
a xdx
xxdx
xx
3211
320lim
23
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
−∞→ aa
i) Felhasználjuk, hogy f páros függvény, mert )(11)( xfee
xfxx===−
−,
. R∈x
[ ] 2)1(lim2lim2120
0=+−=−== −
∞→
∞−
∞→∫ b
b
bx
bx eedxe
T
146
8. HATÁROZOTT INTEGRÁL
j*) [ ]∫ ==2
0
2
04sin4cos4
ππ
xdxx
219. a) Metszéspontok: és 042)2( 1
2 =⇒+=− xxx 62 =x
[ ] 3633
)6()2()42(6
0
236
0
26
0
2 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=+−=−−+= ∫∫ xxdxxxdxxxT
b) Metszéspontok: 4és0222
24 21
22
==⇒++−=+− xxxxxx
4 42 2 2
0 0
32 2 2 32 4 4x x xT x x dx
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛= − + + − − + = − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦∫ ∫ x dx
⎞=⎟
⎠
82
34
4
0
23
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=
xx
c) Tekintsük az M 100. ábrát!
M 100. ábra Metszéspont: 011 =⇒+=− xxx
67)1(
32
21)1(
1
0
230
1
21
0
0
1
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+=−++=
−−∫∫ xxxdxxdxxT
d) Metszéspontok: 1431 =⇒+−= xx
x és 32 =x
33 2
1 1
34 4 3ln 4 3ln32xT x dx x x
x⎡ ⎤⎛ ⎞= − + − = − + − = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦
∫
147
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
e) Tekintsük az M 101. ábrát!
M 101. ábra
4)1(2)39(921339
1
0
233
0
3
0
231
0
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−=−−−= ∫ ∫ xxdxxdxxT
f) 313 )()( xxfxxf == −
144
32)(21
0
1
0
434
33 =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=−= ∫
xxdxxxT
g) Tekintsük az M 102. ábrát!
M 102. ábra
Metszéspontok:
1./ 2321 xx =+ , azaz . Innen 062 2 =−− xx
23
1 −=x és . 22 =x
2./ 21 3 122
x x+ = , azaz . Innen 062 =−− xx 21 −=x és . 32 =x
148
8. HATÁROZOTT INTEGRÁL
∫ ∫− −
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+=
3
2
2
23
22 321
213
21 dxxxdxxxT
27,334
16632
33
463
4
2
23
323
2
32
≈++−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+=
−−
xxxxxx
220. Tekintsük az M 103. ábrát!
M 103. ábra
3ln34
3ln3
3ln3)33(
1
0
1
0
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=−=−
−∫xx
xx dxT
221. Tekintsük az M 104. ábrát!
M 104. ábra
A ponton átmenő érintő egyenlete: )2;4(P 141
+= xy .
149
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
32
32
81
41
4
0
2324
0
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+= ∫ xxxdxxxT
222. A ponthoz tartozó érintő egyenlete: )3;1(0P 52 +−= xy . A kérdéses területet az M 105. ábra mutatja.
M 105. ábra
1274
349)4(
2
323 2
1
32
1
2 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−−=+−−
⋅= ∫ xxdxxT
223. A ponthoz tartozó érintő egyenlete: ( 3;20P ) 33 −= xy . A kérdéses területet az M 106. ábra mutatja.
M 106. ábra
150
8. HATÁROZOTT INTEGRÁL
2 22 2
0 023
0
( 1) (3 3) ( 4 4) ( 2)
( 2) 83 3
T x x x dx x x dx x dx
x
⎡ ⎤= − + − − = − + = −⎣ ⎦
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫2
2
0
=∫
224. 4)1()( 2 −−= xxf
Tekintsük az M 107. ábrát!
M 107. ábra A szimmetria miatt elegendő az egyik érintő egyenletét felírni. A ponthoz tartozó érintő egyenlete:
)0;3(124 −= xy .
3 32 2
1 133
1
2 ( 2 3) (4 12) 2 ( 6 9) 2 ( 3)
( 3) 1623 3
T x x x dx x x dx x d
x
⎡ ⎤= − − − − = − + = −⎣ ⎦
⎡ ⎤−= =⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫ ∫3
2
1
x =∫
225. a) [ ] [ ]∫ ∫ ∫ =−+−−=+−==e
e e
ee
e
xxxxxxdxxdxxdxxfT1
1
1 11
1
1 lnlnlnln)(
e22 −=
151
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
b) I. megoldás: Tekintsük az M 108. ábrát!
M 108. ábra
A keresett terület az ABCD téglalap és a CDE görbevonalú háromszög területének a különbsége.
[ ]( )
5
2
5
2
(ln5 ln2)5 ln 3ln 2
(ln5 ln2)5 ln 3ln 2 3
T x dx
x x x
⎡ ⎤= − − − =⎢ ⎥
⎣ ⎦
= − − − − =
∫
II. megoldás: Az inverz függvény segítségével számítjuk ki a területet.
[ ] 3255ln
2ln
2ln5ln5ln
2ln =−=−=== ∫ eeedyeT yy
226. 31 )(x
exf =− , R∈x
∫ −=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡==
3
0
3
0
33 )1(33 eedxeTxx
227. Tekintsük az M 109. ábrát!
M 109. ábra
152
8. HATÁROZOTT INTEGRÁL
A konstans szakaszokból álló integrandus ábrájáról leolvasható, hogy
, [ ]∫−
−=5,2
2
1dxx
ugyanis szakaszonként integrálva, ha , akkor az integrál értéke a függvénygörbe alatti területtel, ha
0)( >xf0)( <xf , akkor pedig a függvénygörbe
feletti terület 1− -szeresével egyenlő. 228.* Tekintsük az M 110. ábrát!
M 110. ábra
Az ellipszis egyenletéből kifejezzük y-t:
2
2
1axby −±= .
A szimmetria miatt elegendő az
[ ]aaxaxbxf ;1)( 2
2
−∈−=
függvény alatti területet kiszámítani a [ ]a;0 intervallumban, mert az ellipszis területe ennek 4-szerese.
∫ =
=
=⇒==
=⇒==
=
=−=a
dttadx
taxtadtdx
txtax
tax
dxaxbT
02
2
cos2
cos
00sin
sin
14π
πππ ππ
ababdttabdttabtdtatb ==+
==−= ∫ ∫∫ 44
22cos14cos4cossin14
2
0
2
0
22
0
2
153
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
8.4. Vegyes feladatok
229. a) Mivel 3 0, ha 11
0, ha 1x
xx
> >⎧− ⎨< <⎩
, ezért
75,444
)1()1(12
1
41
1
41
1
2
1
332
1
3 =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−+−=−
−−−∫ ∫∫ xxxxdxxdxxdxx
b) [ ] [ ]=+−+=+=+
=+∫ ∫ )1ln()1ln(
31)1ln(
31
13
31
136
2
1
2
1
2
13
3
3
3
3
eeedxe
edxe
e xx
x
x
x
11ln
31
3
6
++
=ee
c) ∫ ∫∫ =−
=−−
=
=⇒==⇒−=
=
=
−=+=
=+−
−
3
1
3
1
1
1
52142
3111
1
22
212 dt
ttdt
tt
txtx
dtdxdtdx
txxt
dxxx
∫ =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−3
1
3
3
1
23
21
21
1034310)3(
3410
3452 2
1
ttdttt
3
2636 +−=
d) =⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+−=+=+
−−−
∫∫2
0
21
32
0
23
322
0
23
32 )1(231)1(3
31)1( xdxxxdxxx
94
32
92
=+−=
e) Parciálisan integrálunk:
[ ] [ ] =−=−=⋅ ∫∫9
1
9
1
9
1
9
1 23ln61ln2ln1 xdxx
xxdxxx
43ln6263ln6 −=+−=
f*) 101sin2
sin1sin1cos12
1
2
12 −=+−=+−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−=⋅∫
π
π
π
π
ππx
dxxx
154
8. HATÁROZOTT INTEGRÁL
230. a) =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−=+=+
−−
∞−
−
−∞→
−
−∞→∫ ∫33 3
22 )52(2
1lim)52(lim)52( aa
aa xdxx
xdx
210
21
)52(21
21lim =+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+=−∞→ aa
b) =⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+
−=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−=
−
∞→
−−∞
∞→
− ∫∫bx
bb
b xbx
b
x ee
bdxexedxex0
3
30
3
0
3
0
3 93lim33lim
9900993lim 3
3
=+−=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+−−=−
∞→
b
bbe
e
b
c*) [ ]∫ ∫∞
−
→∞+→
−
→∞+→
−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
00000
2lim2
12limb
x
b
bx
b
x
edxex
dxx
eεε
εε
( ) ( ) ( ) 2202lim2lim22lim0000
=+=+−=+−= −
+→
−
∞→
−−
∞→+→
ε
ε
ε
εeeee b
b
b
b
231. =+=+=∫ ∫ ∫∫∫∞
∞−
∞−
∞→−∞→
−
∞− 0
00
limlim)(b
e
Ax
ab
Ax
a
AxAx dxedxedxedxedxxf
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
−
∞→−∞→
−
∞→−∞→ AAe
Ae
AAe
Ae Ab
b
Aa
a
bAx
ba
Ax
a
1lim1limlimlim0
0
2121001=⇒==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= A
AAA
232. Készítsünk ábrát! (M 111. ábra)
M 111. ábra
155
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
332)4(
32242
4
0
4
0
23
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−=−= ∫ xdxxT
233. A hiperbola ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
23;30P pontjához húzott érintő egyenlete:
43
41
+= xy .
Az érintő és az xx függvény grafikonjának metszéspontjai:
143
41
1 =⇒+= xxx és 92 =x
M 112. ábra
∫ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−=
9
1
9
1
23
34
43
8)(
32
43
41 xxxdxxxT
8.5. Ellenőrző kérdések és feladatok 1. a) Hamis. Ellenpélda: TK. 8.3. példa.
b) Igaz, ugyanis minden differenciálható függvény folytonos, a folytonos függvények pedig integrálhatók a TK. 8.2. tétel értelmében. c) Igaz a TK. 8.3. tétel b) része szerint. d) Hamis (vagyis a 8.3. tétel b) része nem megfordítható). Ellenpélda: legyen
⎩⎨⎧
=isirracionálha,2
racionálisha,1)(
xx
xf [ ]1;0∈x és
⎩⎨⎧−
=isirracionálha,1
racionálisha,0)(
xx
xg [ ]1;0∈x .
Ekkor 1)()( =+ xgf , ha [ ]1;0∈x .
156
8. HATÁROZOTT INTEGRÁL
integrálható, de f és g nem integrálható a gf + [ ]1;0 intervallumon. e) Igaz. Ez következik a 8.3. tételből, ugyanis:
[ ]( ) ( 1) ( 1)b b b b b
a a a a a
b
a
f g f g f g f− = + − = + − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ g∫ .
f) Hamis. Ellenpélda: TK. 8.9. példa a) része. g) Hamis. Ellenpélda: TK. 8.9. példa b) része.
2. Az alsó, illetve felső integrálközelítő összeg definíciója alapján a C válasz a helyes. 3. A C válasz a helyes, mert
∫−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=−
1
0
51
0
54
5)1(
5)1()1( eedxee
xxx .
4. A B válasz a helyes, mert
∫∫ ∫∫∫ =−−−
+−−−
−=−−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
−=−− 7
6
7
6
6
5
6
5
7
54
244
2446
46
46 dx
xxdx
xxdx
xxdx
xxdx
xx
[ ] [ ] =−−+−−−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−−−= ∫∫
7
6
7
6
6
5
6
5
4ln24ln24
214
21 xxxxdxx
dxx
3ln22ln4 −= .
5. Az A válasz a helyes, mert
∫− −
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−=−
1
2
1
2
21
14
89)89( xdxx .
6. A B válasz a helyes, mert
∫∫ =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
−=
=−=
⇓
=−=
=−=
⇓−=
=−=
=−
1
3
21
0
2
2
488
9
14
14
388
9
89
089
89dtt
t
t
tdttdx
xtdtdx
ttx
xt
xxt
dxx
x
157
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
∫ =⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=
3
1
3
1
32
247
328
321
39
321)9(
321 ttdtt .
7. A B válasz a helyes, ugyanis
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
∞→
∞
∞−
∞
∞→∞−
∫ ∫∫ 211lim11lim530)( 531
531
64
1
bbA
xxAdx
xxAdxdxxf
b
b
b
2112 =⇒== AA .
8. A B válasz a helyes, mert
0)( <xf az [ ]e;1 intervallumban, így
[ ] [ ]11
(ln 21) lne
ex dx x x x xT e− − = − += =∫ − .
(Az függvényt parciálisan integráltuk.) xx ln 9. Az A válasz a helyes.
A ponthoz tartozó érintő egyenlete: )3;12(0P 161
+= xy .
Tekintsük az M 113. ábrát!
M 113. ábra
∫ ∫ =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+=−−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
12
0
12
3
12
3
312
0
2
6)3(32
1231
61 xxxdxxdxxT .
158
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK
9.1. Kétváltozós függvények. Szintvonalak
234. A megadott kétváltozós függvények természetes értelmezési tartománya
mindig 2R -nek valamely részhalmaza. Az egyes értelmezési tartományokat meghatározó feltételeket alább felsoroljuk, a megfelelő tartományokat pedig az M 114. ábrák mutatják.
a) és c) 2R=fD b) 0≥x , R∈y d) R∈yx , és xy 23 −≠ e) 3>x és 4<y vagy és 3<x 4>y f) 0>x és vagy és 0>y 0<x 0<y g) R , ∈x R∈y és xy −< h) R∈yx , és 222 2≥+ yx i) R∈yx , é 222 4<+ yxs , 122 >+ yx j*) R∈yx , és Z∈+≤+≤ kkyxk ,)12(2 22 ππ
b) d) e)
f) g)
M114. ábra
159
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
h) i) j*) M114. ábra folytatás
235. A szintvonalakat az M 115., a felületeket pedig az M 116. ábrák szemléltetik.
a1) a2) a3)
b1) b2) b3)
M115. ábra
160
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK
c1) c2) c3)
d1) d2) d3)
e*1) e*2) e*3)
M115. ábra folytatás
161
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
a) b) c)
d) e*)
M 116. ábra
236. a) , 7
1 2)0;()( xxfxf == yyyfyf 1032);1()( 42 −+==
b) , )1ln()1;()( 21 +== xxfxf 2
2 ln);0()( yyfyf ==
c) , 141 3)3;()( +−=−= xxfxf
23);0()(2 +
==y
yfyf
d*) , xexfxf cos1 3)3;()( == 32;
2)(2 −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= yyfyf π
162
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK
237. 1
2)( 22 +=
yyyf ,
22
2
2 )1(22)(+
−=′
yyyf , 1ha,0)(2 ±==′ yyf .
32
3
2 )1(124)(+−
=′′y
yyyf , , ha 0)(2 =′′ yf 0=y vagy 3±=y .
M 49. táblázat
3−<y 3−=y
1y < − 1y = − 1 1y− < < 1y = 1y > 2 :f ′ – 0 + 0 –
2 :f l. min. 2 ( 1) 1f − = −
l. max. (1) 1f =
163
03 <<− y 0=y 30 << y 3=y 3>y
:2f ′′ – 0 + 0 – 0 +
:2f infl. pont infl. infl. pont pont
M 50. táblázat 238. a) 42)(1 −= xxf , 2)(1 =′ xf , 11 2)4( mf ==′ . , 2
2 8)( yyf −= yyf 2)(2 −=′ , 22 4)2( mf =−=′ .
b) , , . 22
1 )( xexf −= )4()(22
1 xexf x −⋅=′ −1
21 4)1( mef ==−′ −
, , 232
3)( −= yeyf )9()( 223
23
yeyf y ⋅=′ −22 0)0( mf ==′ .
239. a) , , 24
1 6416)( xxxf −−= xxxf 1216)( 31 −−=′ 11 28)1( mf =−=′ ,
6)1(1 =f , így a ponthoz tartozó meredekségű érintő egyenlete:
)6;1(1P 1m3428 +−= xz , 2−=y .
, 22 234)( yyyf ++= yyf 43)(2 +=′ , 22 5)2( mf =−=−′ ,
6)2(2 =−f , így a ponthoz tartozó meredekségű érintő egyenlete:
)6;2(2 −P 2m45 −−= yz , 1=x .
b) Az a) ponthoz hasonlóan adódik:
2
ln2)(1 +=
xxxf ,
32
32
−= xz , 2=y .
0)(2 =yf , , 0=z 1=x .
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
9.2. Parciális deriváltak 240. a) , 2810);( xyxyxf x +=′ yxyyxf y
286);( +=′
b) 32
4)3(31
);( 7
332
4
++
⋅+=′
−
yy
xxyxf x , 27
63 4
)32()114(3);(
+++−
⋅+=′yy
yxyxf y
c) 43 )2(2
1);( yyx
eyxf xx +=′ , R∈y , , +∈Rx
[ ]3342 )2(4)2(3);( yyyyeyxf xy +⋅++⋅=′
d) 2ln3
9);(4 33
2
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
=′yyx
yxyxf x , 2ln3
433
);(4 33
41
3
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +
+=′
−
yyx
yxyxf y
e) 23
2434
)43()123()54()43(5);(
yxxyxxyyyxxyyxf x +
++−+=′ ,
23
3433
)43(4)54()43()204();(
yxxxxyyyxxxyyxf y +
+−++=′
f) 2212);(
2
ye
yxxyyxf y
x
x ⋅+=′ , ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅+=′
32
2 2);(2
yxe
yxxyxf y
x
y
g*) +−⋅⋅−⋅=′ )65(sin)sin()10(ln10);( 24cos xyxxyxf xx
[ ] ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⋅⋅+
− 243
24cos 645)65cos(10 yxxyxx , R∈≠> yx 0,0 ,
[ ] )12()65cos(10);( 24cos xyxyxyxf xy −−⋅⋅=′
241. Az adott függvények 3 változósak. Valamelyik változó szerinti parciális derivált előállításakor a másik két változót állandónak tekintjük.
a) , , zezyxf yx ln);;( =′ zexzyxf y
y ln);;( =′zexzyxf
y
z =′ );;(
b) 5
2
2);;(
zyzyxf x +
=′ , 522);;(
zxyzyxf y +
=′ ,
25
42
)2(5);;(
zzxyzyxf z +
−=′
c) zyx
xyzzyxf yzx 432
2);;( 1
+++⋅=′ − ,
164
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK
zyx
zxxzyxf yzy 432
3)(ln);;(++
+⋅=′ ,
zyx
yxxzyxf yzz 432
4)(ln);;(++
+=′
d) 2
110ln)1(
2)6()2(ln2);;(23
+⋅
++
+−⋅=′ −
zxzxyzzyxf yx
x ,
, )3()2(ln2);;( 23 2xzzyxf yx
y −⋅=′ −
23
)2(1)1(
10ln)1(22);;(
2
+−
+⋅++
+=′ −
zx
xzzyxf yx
z
242. a) ;51021);( 246 yyxxyxf x +−=′ 21)2;1( =′xf ; 55 6102);( yxyxyxf y −+−=′ 174)2;1( −=′yf
b) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=′ xy
xyxxyxf x 2
21)(5);( 42 , R∈> yx ,0 ,
25)0;1( =′xf
242 )(5);( xyxxyxf y +=′ ; 5)0;1( =′yf
c*) yx
yx
yxxyxf x sin2cos8);(
43 −⋅=′ ; 38)1;( ππ −=′xf
yx
yxyxf y sin2);( 2
5
=′ ; 0)1;( =′ πyf
243. a) , , xyyxf xx 126);( 3 +−=′′ yxxyxf yy
2182);( −=′′
2182);();( xyyyxfyxf yxxy −=′′=′′
b) ( ) 23
222);(−
+=′′ yxyyxf xx , ( ) 23
222);(−
+=′′ yxxyxf yy ,
( ) 23
22);();(−
+−=′′=′′ yxxyyxfyxf yxxy
c) , 3232 2)5(ln5)2()5(ln5);(3232
yxyyxf yxyxxx +=′′
, yxyxyxf yxyxyy
2442 6)5(ln59)5(ln5);(3232
+=′′
2532 6)5(ln56)5(ln5);();(3232
xyyxyxfyxf yxyxyxxy +=′′=′′
d) Térjünk át e alapú logaritmusra!
yxxy ln
lnlog =
21
ln1);(
xyyxf xx
−⋅=′′ ,
165
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅+⋅=′′ −−
22
23 1)(ln1)(ln2)(ln);(
yy
yyxyxf yy ,
yyx
yxfyxf yxxy1
ln11);();( 2 ⋅
−⋅=′′=′′
244. és );( yxf xy′′ );( yxf yx′′ az alábbi kifejezéssel egyenlő:
a) 490 4 +xy
b) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
++
2
22
2
3 33133
yxe
yx
yxe y
xxyxx
c) 0 d) [ ]337226 )3()2()4()3()328(3 −− +−++++− yxyyyxyy 245. a) xyyxf xyy 12);( =′′′ , ( ) xyyxf xxxx 36048);(4 +−=
b) yx
yxf xxy 32);( =′′′ , 3
2);(xy
yxf yyy =′′′
c) , 43232 432);;( zyx
xyz ezyxzyxf ++=′′′
)4()24();;( 32 432zexzyxf zyx
xxz ⋅+=′′′ ++
d*) ( ) , )432sin(96);;( 325 zyxyzyxf xxxxy ++−=
( ) )432cos(96);;( 3224 zyxzzyxf xxxz ++⋅=
9.3. Kétváltozós függvények szélsőértéke
246. a) Nyeregpont: ; lokális maximumhely: )2;2( )0;0( .
b) Nyeregpont: ; lokális minimumhely: )0;0( )2;4(− . c) Nyeregpont: ; lokális minimumhely: )0;0( )24;72( .d) Nyeregpont: ; lokális maximumhely: )0;0( )6;2( −− . e) Lokális minimumhely: )3;1( .f) Lokális minimumhely: )1;2( −− . g) Lokális minimumhely: )2;3( .h) Nyeregpont: ; lokális maximumhelyek: ( és . )0;0( )1;1 )1;1( −−
i) Nyeregpontok: )8;0( − és )8;0( ; lokális minimumhely: , lokális maximumhely: )3;2( )3;2( −− .
j▲) A stacionárius pontokat a
166
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK
⎭⎬⎫
=+−−=+−
0)1(20)1(2
yxyx
egyenletrendszer megoldásai adják. Mivel az egyik egyenlet a másiknak konstansszorosa, ezért mindkét egyenletet ugyanannak az 1+= xy
egyenletű egyenesnek a pontjai elégítik ki. Tehát a stacionárius pontok az 1+= xy egyenes pontjai.
A másodrendű parciális deriváltak most állandók: 2);( =′′ yxf xx , 2);( =′′ yxf yy , 2);( −=′′ yxf xy ,
és minden stacionárius pontban, vagyis további vizsgálatra van szükség.
0)2(22);( 2 =−−⋅=yxD
Könnyen belátható, hogy az 1+= xy egyenes minden pontja
minimumhelye a függvénynek, ugyanis és a függvény csak az
0)1();( 2 ≥+−= yxyxf1+= xy egyenes pontjaiban vesz fel 0 értéket.
k) Nyeregpontok: és )1;1(− )1;1( . l) Lokális minimumhelyek: és )1;1( )1;1(− . m) nincsenek lokális szélsőértékhelyek és
nyeregpontok. ⇒≠=′ 0);( y
x eyxf
n) , yx xeyxf 2);( =′ )1();( 2 yxeyxf y
y ++=′
A ⎭⎬⎫
=++=
0)1(02
2 yxexe
y
y
egyenletrendszer egyetlen megoldása: az )1;0( −S stacionárius pont. , , y
xx eyxf 2);( =′′ )2();( 2 yxeyxf yyy ++=′′ y
xy xeyxf 2);( =′′
[ ] =−′′−−′′⋅−′′=−2
)1;0()1;0()1;0()1;0( xyyyxx fffD
⇒>=−⋅= 020122
2
eeeaz )1;0( −S lokális szélsőértékhely.
⇒>=−′′ 02)1;0(e
f xx az )1;0( −S pont lokális minimumhely.
247. a) A pontban nincs lokális szélsőérték; nyeregpont. 0P 0P b) A pontban lokális minimuma van a függvénynek. 0P
c) A pont nem lokális szélsőértékhely, ugyanis :0P 056)1;3( ≠−=−′xf .
d*) A pontban nincs lokális szélsőérték, nyeregpont. 0P 0P 248. Jelölje a téglatest éleinek hosszát: x, y és )(15 yx +− .
167
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
Így a térfogat: [ ])(15 yxxyV +−= . Feladatunk a )15();( yxxyyxV −−= , 15,0 << yx kétváltozós függvény abszolút maximumhelyének megkeresése.
E függvény az 5=x és értékek esetén veszi fel a maximális értékét. Ekkor a téglatest mindhárom éle 5 egység hosszúságú.
5=y
249. Jelölje a tagokat: x, y és )(12 yx +− . Ekkor az , 222 )12();( yxyxyxf −−++= 12,0 << yx függvény abszolút minimumhelyét kell meghatározni. A megoldás: 4== yx ; ekkor a harmadik tag is 4. 250. Feltételezzük, hogy akkor kell a legkevesebb anyagot felhasználni, ha a
medence felszíne a lehető legkisebb. Jelölje a medence alaplapjának oldalhosszúságait x és y, a medence mélységét pedig z.
A medence (téglatest) térfogata: xyz=4 . Innen: xy
z 4= .
Így a felszín: xy
xyxy
yxy
xxyF 884242 ++=++= .
Feladatunk az xy
xyyxF 88);( ++= , R∈< yx,0
kétváltozós függvény abszolút minimumhelyének megkeresése. E függvény a minimumát az 2== yx helyen veszi fel. Tehát a medence méretei:
m és m. 2== yx 1=z 251. A C költségfüggvény abszolút minimumhelyét keressük.
1032);( −−=′ yxyxCx , 18103);( −+−=′ yxyxC y .
A ⎭⎬⎫
=−+−=−−
01810301032
yxyx
egyenletrendszer megoldása: . )6;14(S2);( =′′ yxCxx , 10);( =′′ yxC yy , 3);( −=′′ yxCxy
⇒>=−−⋅= 011)3(102)6;14( 2D S lokális szélsőértékhely. ⇒>=′′ 02)6;14(xxC az pont lokális minimumhely; ez egyben
az abszolút minimumhely is. Tehát a költség akkor minimális, ha az első termékből 14 tonnát, a másodikból pedig 6 tonnát állítanak elő. Ekkor a minimális költség: (millió Ft).
)6;14(S
26)6;14( =C
168
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK
252. A profitfüggvény abszolút maximumhelyét keressük, figyelembe véve, hogy x és y csak nemnegatív értékeket vehet fel. Először a lokális maximumhelyet (vagy helyeket) határozzuk meg. Mivel xyxPx 212);( −=′ és yyxPy 28);( −=′ , ezért a
⎭⎬⎫
=−=−
0280212
yx
egyenletrendszer megoldása szolgáltatja a stacionárius pontot: . )4;6(S A másodrendű parciális deriváltak: 2);( −=′′ yxPxx , 2);( −=′′ yxPyy , 0);( =′′ yxPxy .
Az S pont lokális szélsőértékhely, s mivel
⇒>=−−−= 040)2()2()4;6( 2D⇒<−=′′ 02)4;6(xxP az S pont lokális maximumhely.
Belátható, hogy ez egyben az abszolút maximumhely is. Tehát a vállalatnak akkor lesz maximális a profitja, ha kutatásra 6 millió forintot, reklámozásra pedig 4 millió forintot költ évente. Ekkor a maximális profit nagysága: 42 millió forint. ( )42)4;6( =P . 253. és 100=s 300=q . 254. Az f függvénynek a pontban abszolút minimuma van. A minimum értéke, azaz a legmélyebb pont tengerszint feletti magassága: 0
)2;1(P
)2;1( =f . Tehát ez a térkép a meteorit kráter térképe.
9.4.* Feltételes szélsőérték 255. a) Maximum érték: ; minimum nincs. 1)1;1( =f
b) Minimum érték: 21
21;
21
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛f ; maximum nincs.
c) Minimumérték: 2)1;1()1;1( ==−− ff ; maximum nincs. 256. a) )2();;( −++= yxxyyxF λλ λλ +=′ yyxFx );;( λλ +=′ xyxFy );;(
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=−+=+=+
0200Az
yxxy
λλ
169
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
egyenletrendszer megoldása: 1=x , 1=y , 1−=λ . Tehát egy lehetséges szélsőérték pont van: . )1;1;1(P
b) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
21;
21;
21P
c) és )2;1;1(1P )2;1;1(2 −−P d) )8;2;2(P e) )1;1;1( −−P
f) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
21;4;41P és ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−−
21;4;42P
g) )1;0;0(P h) )5;2;1(P i) )3;1;1(1 −−P és )5;1;1(2 −P j) )39;5;2(1 −P és )45;5;2(2 −−P k) )15;5;6(1 −−P és )11;5;6(2 −P l) )2;1;1(1 −−−P és )2;1;1(2P
9.5. Vegyes feladatok 257. a) 1≤x és 1≤y
M. 117. ábra
b) 16151
4111
41;)( 2
22
1 +−=−+−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= xxxfxf
21
1)(
x
xxf−
−=′ , 11 31
21 mf =−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛′ .
22 1
43;
21)( yyfyf −+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
170
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK
22
1)(
x
yyf−
−=′ , 22 151
41 mf =−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛′ .
c) 21
);(x
xyxf x−
−=′ , 3
141;
21
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛′xf .
21
);(y
yyxf y−
−=′ , 151
41;
21
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛′yf .
258. A szintvonalakat az M 118. ábra, a felületet pedig az M 119. ábra szemlélteti.
a) b) c) M. 118. ábra
M. 119. ábra
171
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
259. , , 2
2)(1xxxf += )21()2(ln2)(
2
1 xxf xx +=′ + 0)(1 =′ xf , ha 21
−=x .
21
−<x 21
−=x 21
−>x
:1f ′ – 0 +
lok. és absz. min
:1f
M 51. táblázat
-nek sem lokális, sem abszolút maximuma nincs, mert . 1f ∞=∞±
)(lim 1 xf
, szigorúan monoton növekedő R-en se minimuma, se maximuma nincs.
422 2)( += yyf 2
422 02)2(ln2)( fyf y ⇒>⋅=′ +
⇒
260. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅=′
−+ 52
47
537)3(ln3);(
5 34xyyxf xxy
x , R∈y , { }0−∈Rx ,
37 28)3(ln3);(5 34
xyyxf xxyy ⋅=′ +
3ln59)0;1( =′xf , 0)0;1( =′yf .
261. , 323 )(ln2);( yyyxf x
xxx =′′′ 32)22()12(2);( −−−=′′′ xyyy yxxxyxf
262. yx
x
x eeeyxf+
=′ );( , 22
)()()1();( yx
yxyyxx
xy eeeeeeeyxf+
−=⋅+−=′′+
−
yx
y
y eeeyxf+
=′ );( , 22
)()()1();( yx
yxxyxy
yx eeeeeeeyxf+
−=⋅+−=′′+
−
263. 82);( +−=′ xyxf x , 162);( +−=′ yyxf y
)8;4(0162082
Pyx
⇒⎭⎬⎫
=+−=+−
2);( −=′′ yxf xx , , 2);( −=′′ yxf yy 0);( =′′ yxf xy
lokális szélsőértékhely. PD ⇒>=−−−= 040)2()2()8;4( 2
Pf yy ⇒<−=′′ 02)8;4( lokális maximumhely, egyben abszolút maximumhely is.
172
9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK
Tehát a vadásznak akkor lesz a legnagyobb a zsákmánya, ha kutyát és hajtót visz magával. A legnagyobb zsákmány:
48 (4 ; 8) 70f = db fácán.
9.6. Ellenőrző kérdések és feladatok 1. a) Hamis; ha ugyanis a függvény felülről nem korlátos, akkor nincs abszolút maximuma. b) Hamis; ugyanis az 0);();( 0000 =′=′ yxfyxf yx feltétel csak szükséges, de nem elégséges feltétele a lokális szélsőértékhely létezésének az pontban. Az pont lehet nyeregpont is. (Lásd TK. 9.2. és 9.3. tételeket!)
);( 00 yx );( 00 yx
c) Igaz; a TK. 9.2. tétel értelmében, ugyanis az pont nemcsak abszolút, hanem lokális szélsőértékhely is.
);( 00 yx
d) Hamis a TK. 9.3. tétel értelmében. 2. Nem; ugyanis ez a hozzárendelés nem egyértelmű: egy rendezett számpárhoz két függvényértéket (egy pozitív és egy negatív számot) rendel.
);( yx
Tehát a B válasz a helyes. 3. A C válasz a helyes a 9 , azaz 022 >−− yx 2223 yx +> feltétel miatt. 4. Az A válasz a helyes, mert
211)2;()(x
xfxf == .
5. A B válasz a helyes, mert . 79)1(,180)(,40);2()( 22
22 =′−=′−== fyyfyyyfyf
6. A C válasz a helyes, ugyanis a deriválásnál a hányados deriválási szabályát kell alkalmazni az állandó feltétel mellett. =y 7. Az A válasz a helyes, ugyanis
2
22
);(xyeyxf x
y
x ⋅=′−
, =⋅+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=′′
−−
22
2 22);(22
xye
xy
xyeyxf x
yxy
xy
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
−
xy
xye x
y 2
2 122
és ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅=′
−
xyeyxf x
y
y2);(
2
,
173
ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⋅+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅=′′
−−−
xy
xye
xye
xy
xyeyxf x
yxy
xy
yx
2
222
2
1222);(222
.
8. A B válasz a helyes.
242);(
yxyxf x −=′ , 2
416);(xy
yyxf y −=′
021;2
21;2 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛′=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛′ yx ff , vagyis a szükséges feltétel teljesül.
38);(
yxyxf xx =′′ , 3
816);(yx
yxf yy +=′′ , 224);(yx
yxf xy =′′
02 804482
21;2 PD ⇒=−⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ lokális szélsőértékhely.
00221;2 Pf xx ⇒>=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛′′ lokális minimumhely.
9. A C válasz a helyes. Mivel
174
minden esetén, ezért 2R∈);( yx03);( >=′ −xy eyxf 0)2;2( ≠−′yf ,
így a pont nem lokális szélsőértékhely. 0P