INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

PROGRAM STUDI FISIKA Jl. Ganesha No. 10 Bandung, 40132 Telp. (022) 2500834, 2534127, Fax. (022) 2506452

Homepage : http://www.fi.itb.ac.id E-mail : fisika@fi.itb.ac.id

Pekerjaan Rumah-1 :Getaran FI- 3101 Gelombang

Kumpul : Senin 10 September 2018

1. Sebuah benda bermassa m digantung pada pegas ideal dengan tetapan

pegas k. Mula-mula ketika belum ada massa panjang pegas Lm setelah diberi

massa kesetimbangan terjadi ketika panjang pegas L0. Pegas ditarik ke bawah

sehingga panjangnya L, semua panjang di ukur dari titik gantung pegas (ke

bawah arah positif).

a. Tuliskan persamaan differensial geraknya bagi simpangan 𝑦 = 𝐿 − 𝐿0

b. Dapatkan bentuk solusi umumnya.

c. Jika saat t=0s, massa m berada di posisi paling bawah yaitu sejauh A dari

posisi setimbang dalam keadaan diam, tuliskanlah solusi khususnya.

SOLUSI

a. Persamaan geraknya : (Bobot:10)

Gaya yang bekerja saat massa m di posisi L (arah ke bawah positip) , 𝐹 = −𝑘(𝐿 − 𝐿𝑚) arah ke atas dan gaya

gravitasi 𝑊 = 𝑚𝑔 ke bawah. Sehingga persamaan geraknya:

𝑚𝑑2𝐿

𝑑𝑡2= 𝑚𝑔 − 𝑘(𝐿 − 𝐿𝑚)

Akan tetapi pada kesetimbangan L0 berlaku :

𝑘(𝐿0 − 𝐿𝑚) = 𝑚𝑔

Sehingga persamaan gerak dapat dituliskan:

𝑚𝑑2𝐿

𝑑𝑡2= 𝑘(𝐿0 − 𝐿𝑚) − 𝑘(𝐿 − 𝐿𝑚) = −𝑘(𝐿 − 𝐿0)

Karena 𝐿0 konstanta, definisikan 𝑦 = 𝐿 − 𝐿0, sehingga :

𝑚𝑑2𝑦

𝑑𝑡2= −𝑘𝑦

Jadi sistem berosilasi harmonis di sekitar posisi L0

b. Solusi umumnya (Bobot:10)

𝑦 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜃) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃)

Dengan 𝜔 = √𝑘

𝑚 dan A, 𝜃 : konstanta.

Atau boleh juga memakai bentuk 𝑦 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) + 𝐵 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡), atau bentuk exponensial.

c. Misal dipakai bentuk 𝑦 = 𝐴0 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜃) . Saat t=0 massa diam, berarti: (Bobot:5)

𝑑𝑦

𝑑𝑡= 0 = −𝐴0𝜔 𝑠𝑖𝑛(𝜃)

Karena 𝐴0, 𝜔 ≠ 0, maka 𝜃 = 0 atau 𝜋.

Saat t=0 benda di 𝑦 = 𝐴, maka :

𝐴 = 𝐴0 𝑐𝑜𝑠 𝜃

Agar 𝐴0 > 0 (amplitudo) maka dipilih 𝜃 = 0, sehingga 𝐴0 = 𝐴, maka solusi khususnya adalah:

𝑦 = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)

Hasil yang ekivalen akan diperoleh jika dipakai fungsi sinus (tentu selisih fasa 𝜋/2 dengan fungsi cos).

Kalau dipilih arah ke atas positif maka hasilnya akan 𝑦 = −𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)

2. Dua buah benda identik bermassa 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚 semuanya

dihubungkan dengan pegas ideal identik dengan tetapan pegas k.

Massa pegas dapat diabaikan, demikian juga gesekan antara massa

dan lantai. Jika simpangan dari keadaan setimbang massa 𝑚1

adalah 𝑥1 dan 𝑚2 adalah 𝑚2 tuliskanlah:

a. Persamaan diferensial geraknya bagi 𝑥1 dan 𝑥2.

b. Bentuk solusi umumnya bagi 𝑥1 dan 𝑥2.

c. Solusi khususnya jikalau saat t=0s, 𝑚1 di 𝑥1 = −𝐴 sedang diam, sedangkan 𝑚2 di posisi 𝑥2 = 0 juga sedang diam.

SOLUSI

a. Persamaan gerak bagi 𝑥1 dan 𝑥2 (Bobot:10)

𝑚𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2= −𝑘𝑥1 + 𝑘(𝑥2 − 𝑥1) = −2𝑘𝑥1 + 𝑘𝑥2

𝑚𝑑2𝑥2

𝑑𝑡2= −𝑘𝑥2 + 𝑘(𝑥1 − 𝑥2) = −2𝑘𝑥2 + 𝑘𝑥1

b. Solusi umumnya diperoleh dg decoupled pers. Differensial ini. Jumlahkan dan kurangkan kedua persamaan

akan didapatkan : (Bobot:10)

𝑚𝑑2 (𝑥1 + 𝑥2)

𝑑𝑡2= −𝑘(𝑥1 + 𝑥2)

𝑚𝑑2 (𝑥1 − 𝑥2)

𝑑𝑡2= −3𝑘(𝑥1 − 𝑥2)

Definisikan variabel baru 𝑦1 = 𝑥1 + 𝑥2 dan 𝑦2 = 𝑥1 − 𝑥2, maka persamaan baru menjadi:

𝑑2 𝑦1

𝑑𝑡2= −

𝑘

𝑚𝑦1

𝑑2 𝑦2

𝑑𝑡2= −

3𝑘

𝑚𝑦2

Ini adalah sepasang persamaan osilator harmonis yang terpisah. Solusi umumnya dapat dituliskan berbentuk:

𝑦1 = 𝐴1 𝑐𝑜𝑠(𝜔1𝑡 + 𝜃1) 𝑦2 = 𝐴2 𝑐𝑜𝑠(𝜔2𝑡 + 𝜃2)

Dengan 𝜔1 = √𝑘

𝑚 dan 𝜔2 = √

3𝑘

𝑚 dan konstanta 𝐴1, 𝐴2, 𝜃1. 𝜃2 tergantung syarat awal.

Atau boleh juga dinyatakan dalam bentuk (*):

𝑦1 = 𝐴1 𝑐𝑜𝑠(𝜔1𝑡) + 𝐵1 𝑠𝑖𝑛(𝜔1𝑡)

𝑦2 = 𝐴2 𝑐𝑜𝑠(𝜔2𝑡) + 𝐵2 𝑠𝑖𝑛(𝜔2𝑡)

Maka dalam variabel asli solusinya akan menjadi :

𝑥1 =1

2(𝑦1 + 𝑦2) dan 𝑥2 =

1

2(𝑦1 − 𝑦2)

c. Solusi khususnya jikalau saat t=0s, 𝑚1 di 𝑥1 = −𝐴 sedang diam, sedangkan 𝑚2 di posisi 𝑥2 = 0 juga sedang

diam. Dalam kasus ini kita pakai bentuk kedua (*) dari solusi (b) agar mudah. Penerapan syarat batas posisi massa

saat t=0 menghasilkan : (Bobot:5)

𝑥1(0) =1

2(𝑦1 + 𝑦2) =

1

2(𝐴1 + 𝐴2) = −𝐴

dan

𝑥2(0) =1

2(𝑦1 − 𝑦2) =

1

2(𝐴1 − 𝐴2) = 0

Persamaan kedua menyatakan 𝐴1 = 𝐴2, sedangkan penerapan di persamaan pertama menghasilkan :

𝐴1 = 𝐴2 = −𝐴

Syarat awal kecepatan saat t=0, memberikan : 𝑑𝑥1

𝑑𝑡=

1

2(

𝑑𝑦1

𝑑𝑡+

𝑑𝑦2

𝑑𝑡)

𝑡=0= 0

Atau

𝐵1𝜔1 + 𝐵2𝜔2 = 0

Dan 𝑑𝑥2

𝑑𝑡=

1

2(

𝑑𝑦1

𝑑𝑡−

𝑑𝑦2

𝑑𝑡)

𝑡=0= 0

Atau

𝐵1𝜔1 − 𝐵2𝜔2 = 0

𝐵2𝜔2 = 𝐵1𝜔1

Substitusi ke pers. Yang sebelumnya :

2𝐵1𝜔1 = 2𝐵2𝜔2 = 0

Karena 𝜔1 ≠ 0, 𝜔2 ≠ 0, maka berarti 𝐵1 = 𝐵2 = 0. Sehingga solusi khususnya menjadi:

𝑦1 = −𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔1𝑡) 𝑦2 = −𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔2𝑡) Dan

𝑥1(𝑡) = −𝐴

2(𝑐𝑜𝑠(𝜔1𝑡) + 𝑐𝑜𝑠(𝜔2𝑡))

𝑥2(𝑡) = −𝐴

2(𝑐𝑜𝑠(𝜔1𝑡) − 𝑐𝑜𝑠(𝜔2𝑡))

Dengan 𝜔1 = √𝑘

𝑚 dan 𝜔2 = √

3𝑘

𝑚

Catatan: boleh pakai cara/fungsi lain tapi hasil akhirnya akan sama/ekivalen.

3. Sebuah massa m dihubungkan

dengan 2 pegas identik seperti

pada gambar. Pada kesetimbangan

panjang masing-masing pegas 𝐿0.

Massa m kemudian ditarik sedikit

vertikal ke atas sejauh y kemudian

dilepaskan sehingga massa m berosilasi vertikal. Asumsikan osilasi simpangan kecil.

a. Turunkanlah persamaan diferensial geraknya.

b. Carilah solusi umumnya.

c. Jika massa m=0,1 kg, dan k=320 N/m serta 𝐿0 = 1𝑚, hitunglah perioda osilasinya.

SOLUSI

a. Untuk simpangan kecil sehingga y <<L0, maka dapat didekati 𝐿 ≈ 𝐿0 (Bobot:10)

Komponen gaya total arah vertikal : Fy = - 2T sin ≈ -2T tan . Dengan aproksimasi sudut kecil maka

sin ≈ tan = y/Lo, sehingga :

Fy ≈ - (2T/Lo) y

Ini sama persis dengan gaya pegas ideal F=-kx dengan k=2T/L0. Maka persamaan gerak arah vertikal

diberikan hukum II Newton :

𝑚𝑑2𝑦

𝑑𝑡2= − (

2𝑇

𝐿0) 𝑦

Nilai tegangan 𝑇 = 𝑘(𝐿 − 𝑎) dengan a: panjang pegas saat rileks (tak tertekan atau teregang, dalam soal ini

tidak diketahui- lihat catatan di bawah). Sehingga pers. Geraknya dapat dituliskan sbg:

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2= − (

2𝑇

𝑚𝐿0) 𝑦 = −

2𝑘(𝐿 − 𝑎)

𝑚𝐿0𝑦

Karena simpangan kecil boleh juga dianggap 𝐿 ≈ 𝐿0, sehingga bisa juga dituliskan :

𝑑2𝑦

𝑑𝑡2≈ −

2𝑘

𝑚(1 −

𝑎

𝐿0) 𝑦

b. Solusi umumnya diberikan oleh (boleh salah satu): (Bobot:10)

𝑦(𝑡) = 𝐴 cos(𝜔𝑡 + 𝜃0) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜃0) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦(𝑡) = 𝐴 𝑒𝑖(𝜔𝑡+𝜃0)

𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑦(𝑡) = 𝐴 sin(𝜔𝑡) + 𝐵 cos(𝜔𝑡)

Dengan

𝜔2 =2𝑘

𝑚(1 −

𝑎

𝐿0)

c. dengan m=0,1 kg, dan k=320 N/m serta 𝐿0 = 1𝑚, maka frekuensinya dinyatakan dalam a:

(Bobot:5)

𝜔2 =2(320)

0,1(1 − 𝑎) = 6400(1 − 𝑎) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜔 = √6400(1 − 𝑎) = 80√1 − 𝑎

Perioda:

𝑇 =2𝜋

𝜔=

2𝜋

80√1 − 𝑎=

𝜋

40√1 − 𝑎

Catatan:

y

Lo

L L

Lo

m

Karena dalam soal tidak dicantumkan a, maka bilamana dalam solusi dianggap a=0, jawaban dinilai 80%.

4. Sepasang pendulum identik tergantung oleh tali sepanjang L = 0,5m, dan

kedua pendulum terhubung oleh pegas ideal dengan konstanta k= 10 N/m.

Massa pendulum masing-masing m=0,2 kg. Percepatan gravitasi g=10 m/s2.

Dengan mempergunakan nilai-nilai numerik parameter tsb jawablah

pertanyaan berikut: (poin : 20)

a. Jika simpangan masing-masing pendulum dari keadaan setimbang

adalah 𝑥1 dan 𝑥2, tuliskanlah persamaan differensial tergandeng bagi 𝑥1

dan 𝑥2 tsb.

b. Persamaan tsb akan diselesaikan dengan asumsi bahwa solusinya bisa

dituliskan sebagai 𝑥1 = 𝐴𝑒𝑖𝜔𝑡 dan 𝑥2 = 𝐵𝑒𝑖𝜔𝑡, sehingga sistem pers.

differensial (a) dapat dinyatakan sebagai persamaan eigen 𝑂𝒙 = 𝜆𝒙,

dimana O adalah matrix 2x2 dan 𝒙 = (𝐴𝐵

) serta 𝜆 adalah nilai eigennya. Carilah isi matrix O tsb.

c. Selesaikan pers. eigen (b) tsb untuk mendapatkan dua frekuensi eigen 𝜔 dan vektor eigen terkait (x).

Kemudian jelaskan arti fisis mode getaran yang direpresentasikan oleh masing-masing frekuensi eigen tsb.

d. Misalkan dua frekuensi eigen dan vektor eigen di (c) adalah 𝜔𝑎 , 𝒙𝑎 dan 𝜔𝑏 , 𝒙𝑏, maka kombinasi linear

vektor eigen tsb bisa mejadi basis bagi solusi umum kasus ini yaitu :

𝒚(𝑡) = 𝑎 𝒙𝑎𝑒𝑖𝜔𝑎𝑡 + 𝑏 𝒙𝑏𝑒𝑖𝜔𝑏𝑡

𝒚(𝑡) = (𝑦1(𝑡)𝑦2(𝑡)

) adalah simpangan bagi masing-masing massa. Misal saat t=0s, masing-masing pendulum

berada di 𝑦1 = 0.1 𝑚 dan 𝑦2 = −0.2 𝑚 dilepaskan dari keadaan diam. Carilah nilai 𝑎 dan 𝑏 untuk selanjutnya

pergunakanlah untuk mendapatkan solusi 𝑦1(𝑡) dan 𝑦2(𝑡).

e. Akhirnya dapatkan solusi simpangan masing-masing pendulum tsb, yaitu 𝑥1(𝑡) dan 𝑥2(𝑡).

SOLUSI:

a. persamaan geraknya : (Bobot:10)

𝑚𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2= −𝑘(𝑥1 − 𝑥2) − 𝑇0 sin 𝜃

dengan 𝑇0: tegangan tali pendulum. Tapi kesetimbangan vertikal meminta 𝑇0 cos 𝜃 = 𝑚𝑔, sehingga:

𝑚𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2= −𝑘(𝑥1 − 𝑥2) − 𝑚𝑔 tan 𝜃

untuk sudut kecil sin 𝜃 ≈ tan 𝜃 =𝑥1

𝐿 sehingga :

𝑚𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2= −𝑘(𝑥1 − 𝑥2) −

𝑚𝑔

𝐿𝑥1

dengan cara analog:

𝑚𝑑2𝑥2

𝑑𝑡2= −𝑘(𝑥2 − 𝑥1) −

𝑚𝑔

𝐿𝑥2

atau dalam kasus ini dapat dituliskan sebagai berikut :

𝜔𝑝2 =

𝑘

𝑚=

10

0,2= 50 𝜔0

2 =𝑔

𝐿=

10

0,5= 20

𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2= −50(𝑥1 − 𝑥2) − 20𝑥1 = −70 𝑥1 + 50𝑥2 (1)

X2

m m

X1

k

L L

𝑑2𝑥2

𝑑𝑡2= −50(𝑥2 − 𝑥1) − 20𝑥2 = −70 𝑥2 + 50 𝑥1 (2)

Alternative

definisikan 𝜔02 =

𝑔

𝐿 dan 𝜔𝑝

2 =𝑘

𝑚 sehingga:

𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2= −𝜔𝑝

2(𝑥1 − 𝑥2) − 𝜔02𝑥1

dan: 𝑑2𝑥2

𝑑𝑡2= −𝜔𝑝

2 (𝑥2 − 𝑥1) − 𝜔02𝑥2

JIKA TIDAK memasukkan nilai k/m dan 𝜔0 maka nilainya 90% dari skor maximum. b. Persamaan tsb akan diselesaikan dengan asumsi bahwa solusinya bisa dituliskan sebagai 𝑥1 =𝐴𝑒𝑖𝜔𝑡 dan 𝑥2 = 𝐵𝑒𝑖𝜔𝑡, sehingga sistem pers. differensial (a) dapat dinyatakan sebagai persamaan

eigen 𝑂𝒙 = 𝜆𝒙, dimana O adalah matrix 2x2 dan 𝒙 = (𝐴𝐵

) serta 𝜆 adalah nilai eigennya. Carilah isi

matrix O tsb. (Bobot:5)

Jawab: 𝑑2𝑥1

𝑑𝑡2= −50(𝑥1 − 𝑥2) − 20𝑥1 = −70 𝑥1 + 50𝑥2 (1)

𝑑2𝑥2

𝑑𝑡2= −50(𝑥2 − 𝑥1) − 20𝑥2 = −70 𝑥2 + 50 𝑥1 (2)

−𝜔2 𝐴 = −70 𝐴 + 50 𝐵 −𝜔2 𝐵 = −70 𝐵 + 50 𝐴

(−70 5050 −70

) (𝐴𝐵

) = −𝜔2 (𝐴𝐵

) → 𝑂𝒙 = 𝜆𝒙

Jadi 𝑂 = (−70 5050 −70

) 𝑑𝑎𝑛 𝜆 = −𝜔2

c. Selesaikan pers. eigen (b) tsb untuk mendapatkan dua frekuensi eigen 𝜔 dan vektor eigen terkait (x). Kemudian jelaskan arti fisis mode getaran yang direpresentasikan oleh masing-masing frekuensi eigen tsb. (Bobot:5) Jawab: Persamaan karakteristik diberikan oleh :

det(𝑂 − 𝜆𝐼) = 0 dengan I: matrix identitas.

|70 − 𝜔2 −50−50 70 − 𝜔2

| = 0 atau (70 − 𝜔2)2 = 502

Sehingga solusinya : 70 − 𝜔2 = 50 𝑑𝑎𝑛 70 − 𝜔2 = −50

masing-masing memberikan nilai eigen sbb:

𝜔𝑎 = √20 𝑟𝑎𝑑

𝑠 𝑑𝑎𝑛 𝜔𝑏 = √120 𝑟𝑎𝑑/𝑠

Vektor eigen terkait masing-masing frekuensi eigen tsb:

𝜔𝑎 = √20

(70 − 𝜔𝑎

2 −50

−50 70 − 𝜔𝑎2

) (𝐴𝐵

) = (00

) → (50 −50

−50 50 ) (

𝐴𝐵

) = (00

)

solusinya A=B, sehingga vektor eigen terkait adalah

𝒙𝒂 = 𝐴 (11

) 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒍𝒆𝒏𝒈𝒌𝒂𝒑𝒏𝒚𝒂 𝒙𝒂 = 𝐴 𝑒𝑖𝜔𝑎𝑡 (11

) = 𝐴 𝑒𝑖√20𝑡 (11

)

Ini berarti kedua pendulum bergerak searah serempak dengan frekuensi √20 rad/s

𝜔𝑎 = √120

(70 − 𝜔𝑏

2 −50

−50 70 − 𝜔𝑏2

) (𝐴𝐵

) = (00

) → (−50 −50−50 −50

) (𝐴𝐵

) = (00

)

solusinya A=-B, sehingga vektor eigen terkait adalah

𝒙𝒃 = 𝐵 (−11

) 𝒂𝒕𝒂𝒖 𝒍𝒆𝒏𝒈𝒌𝒂𝒑𝒏𝒚𝒂 𝒙𝒃 = 𝐵 𝑒𝑖𝜔𝑏𝑡 (−11

) = 𝐵 𝑒𝑖√120𝑡 (−11

)

Ini berarti kedua pendulum bergerak berlawanan arah dengan frekuensi √120 rad/s Jadi ada dua mode dasar (eigen) getaran : kedua pendulum searah dan kedua pendulum berlawanan arah. d. Misalkan dua frekuensi eigen dan vektor eigen di (c) adalah 𝜔𝑎, 𝒙𝑎 dan 𝜔𝑏, 𝒙𝑏, maka kombinasi linear vektor eigen tsb bisa mejadi basis bagi solusi umum kasus ini yaitu :

𝒚(𝑡) = 𝑎 𝒙𝑎𝑒𝑖𝜔𝑎𝑡 + 𝑏 𝒙𝑏𝑒𝑖𝜔𝑏𝑡

𝒚(𝑡) = (𝑦1(𝑡)𝑦2(𝑡)

) adalah simpangan bagi masing-masing massa. Misal saat t=0s, masing-masing

pendulum berada di 𝑦1 = 0.1 𝑚 dan 𝑦2 = −0.2 𝑚 dilepaskan dari keadaan diam. Carilah nilai 𝑎 dan 𝑏 untuk selanjutnya pergunakanlah untuk mendapatkan solusi 𝑦1(𝑡) dan 𝑦2(𝑡). (Bobot:5) Jawab: Konstanta a dan b sudah menyerap definisi konstanta A dan B di solusi (c).

t=0 maka : 𝒚 = (0.1

−0.2) = 𝑎 (

11

) 𝑒𝑖0 + 𝑏 (−11

) 𝑒𝑖0 → (1 −11 1

) (𝑎𝑏

) = (0.1

−0.2)

solusi persamaan ini: 𝑎 = −0.05 𝑏 = −0.15

(𝑦1

𝑦2) = −0.05 (

11

) 𝑒𝑖√20𝑡 − 0.15 (−11

) 𝑒𝑖√(120)𝑡

Cek apakah saat t=0, diam:

(𝑑𝑦1/𝑑𝑡𝑑𝑦2/𝑑𝑡

) = −𝑖0.05√20 (11

) 𝑒𝑖√20𝑡 − 𝑖0.15√120 (−11

) 𝑒𝑖√(120)𝑡

saat t=0, dy/dt=0 kalau yg menjadi solusi fisisnya adalah bagian Real dari ekspresi kompleks tsb! Jadi

𝑦1 (𝑡) = −0.05 cos(√20 𝑡) + 0.15 cos (√120𝑡)

𝑦2 (𝑡) = −0.05 cos(√20 𝑡) − 0.15 cos (√120𝑡) e. Soal ini dibatalkan. Karena sudah terjawab di (d)

&&&&&&&&AG92018&&&&&&&&&