pauta-guia1 algebra abstracta
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Guía I
de
EstructurasAlgebraicas.
Si aH
=
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=
Hb enG.DemuestrequeHa-7
=
H,Va E G.
SeanG un
grupo
inito
y
H un subgrupo e
G.
Sea
(a)
el mínimo
positivo
m tal
que
a^
€ H. Pruébese
ue
(a)lo(a)
[con
o(a) el ordende a].
SeaG un
grupo
abeliano
e orden
L,
cly,...an
suselementos.
Sea
=
a.7 az
x
...
x
ar,.
Demuéstrese
ue:
a) Si Gt ieneexactamenteunelementobeta lqueb2
=
e,entonces
=b.
b) Si6 t ienemáselementosbeta lqueb2
=
e,entonces
=
e.
c) Si n es mpar, ntonces
=
e,
4)
Cuantos lementos e orden2 están ontenidos n el
grupo
simétrico.Sa.
5) Sea
:
G
+
G'un
homomorfismo
obreyectivo
ruebe ue:
a) Si G escíclicoentonces 'cíclico.
b) Si G esabeliano ntoncesG'abeliano,
superioreorden"z e = (t ) y si
Pruebe
ue
estemapeo s un
homomorfismo
SeanG=S3, el
grupo
simétrico e
grado
3
y
H-fLi,f},
donde
(xt)=xz,
f
(xr)
=
xu
f
(xs)
=
xz.
a) Enumereodas asclasesateraleszquierdas eH en G.
b)
Enumere
odas
as
clases
aterales
erechas
e H en G.
c)
¿Es
odaclase ateral zquierda e H unaclase ateralderecha e
H,
Si G esun
grupo
no
abeliano e
orden6,
pruébese ue
G
=
.Sr.
SeaU grupode matrices riangulares
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Ciencias Jírsic¡s
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A-vudiinte
José .$'1¡l
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grupoy
H un
subgrupo e 6.
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{Hala
€
6} el conjuntode todas
las
clases aterales
zquierdas
de H
en G. Defínase,
para
b e
G
T6:5
+.S
por
T¡(Ha) -- Hab-\.
a) Pruébese
QlJe
¡T¿
=
Tb,
para
odo b, c e
6.
(por
lo tanto, a aplicación p:
G
+
A(S) definidapor
ú(b)
=
I¿
€sun homomorfismo) .
b) Descríbase
(r/)
el nticleo
derp:
G
-r
,a(S).
c) Demuéstrese
ue
/f(t/) es
el subgrupo
normal más
grande
de 6 contenido
en
H
(enel
sentido
eque
si N
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G
y
N
c
H, entonces
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