parte 3 - progressao geometrica

Progressões NuméricasPARTE 3 – Progressão

Geométrica

PARTE 3 – Progressão GeométricaConsidere a seguinte construção geométrica:

Ter um segmento de Reta, digamos AB e encontrar o seu ponto Médio,

observando quantos pontos serão marcados para este fim.

A M1 B

Encontrados UM ponto (M1)

Refaça agora, com os dois segmentos encontrados:

A M2 M1 M3 B

Foram encontrados DOIS pontos (M2 e M3)

De novo, refazer:

PARTE 3 – Progressão Geométrica

A M4 M2 M5 M1 M6 M3 M7 B

Aqui foram QUATRO pontos (M4 , M5 , M6 , M7)

Outra Vez:

A M8 M4 M9 M2 M10 M5 M11 M1 M12 M6

M13 M3 M14 M7 M15 B

Foram encontrados OITO pontos (M8 , M9 , M10 , M11 ,

M12 , M13 ,M14 ,M15 )

Com o Processo Acima ilustrado, obteve a seguinte seqüência:

1 - 2 - 4 e 8

Ocorre que nesta seqüência tem que cada número é o anterior

MULTIPLICADO por 2.

PARTE 3 – Progressão GeométricaE quando se tem uma seqüência com a característica acima ( UM

VALOR É O ANTERIOR MULTIPLICADO SEMPRE PELO MESMO

NÚMERO) diz-se que ela forma uma Progressão Geométrica.

Com isto tem a:

DEFINIÇÃO

A seqüência:

: a1 . a2 . a3 . a4 . . . . .an

Diz ser uma progressão Geométrica se: ak = ak-1 . q

Em que:q é a razão desta progressão; a1 o primeiro termo ; an o

termo geral

PARTE 3 – Progressão GeométricaPROPRIEDADES

Termo Geral.

O termo geral de uma Progressão Geométrica é dado por:

an = a1 . q n - 1

Demonstração

Sabe que:a2 = a1 . q = a1 . q 2 - 1 a3 = a2 . q = a1 . q . q = a1 . q 2 = a1 . q 3 - 1

a4 = a3 . q = a1 . q 2 . q = a1 . q 4 - 1

De forma similar chega a:

an = a1 . q n - 1

PARTE 3 – Progressão GeométricaSoma dos Termos de Uma Progressão Geométrica

Fórmula: 1q

)1q(.aS

n1

Demonstração

Como: S = a1 + a2 + a3 + a4 + . . . + an-1 + an

Substituindo pelo Termo Geral:

S = a1 + a1 . q + a1 . q2 + a1 . q

3 + . . . + a1 . q n – 2 + a1 . q n – 1

Multiplicando e dividindo por q – 1 fica:

1q

)1q()q.aq.a...q.aq.aq.aa(S

1n1

2n1

31

2111

PARTE 3 – Progressão GeométricaSoma dos Termos de Uma Progressão Geométrica

Demonstração - Continuação

Aplicando a Propriedade Distributiva vem:

1q

)q.a...q.aq.aq.aa()q.aq.a...q.aq.aq.a(S

1n1

31

2111

n1

1n1

31

211

Reduzindo os Termos Semelhantes:

1q

)1q(.a

1q

aq.aS

n11

n1

Chega a: 1q

)1q(.aS

n1


Resumo:

Exercícios01. Dada a seqüência: 32 - 48 - 72 - 108 - 162 - 243. Faça:

a.Verifique se ela caracteriza ou não uma Progressão Geométrica;

b.Caso sim, ache o valor do 8º. Termo;

c.Caso sim ache a soma dos 9 primeiros termos.

Solução

a. Para verificar se é uma Progressão Geométrica tem que dividir um valor

pelo seu anterior.

Termo Geral: 1n

1n q.aa Soma

da PG: 1q

)1q(.aS

1n1

PARTE 3 – Progressão GeométricaSolução - Exercício 1

Lembre a seqüência é: 32 - 48 - 72 - 108 - 162 - 243.

a.Verifique se ela caracteriza ou não uma Progressão Geométrica;

a2 : a1 = 48 : 32 = 1,5;

a3 : a2 = 72 : 48 = 1,5;

a4 : a3 = 108 : 72 = 1,5;

a5 : a4 = 162 : 108 = 1,5;

a6 : a5 = 243 : 162 = 1,5;

Como o valor de cada divisão foi o mesmo indica que se trata de uma

Progressão Geométrica.

PARTE 3 – Progressão GeométricaSolução - Exercício 1

Lembre a seqüência é: 32 - 48 - 72 - 108 - 162 - 243.

b. Pede-se: a8

Assim: n = 8 e também: a1 = 32;

a8 = a1 . q 8 – 1 = 32 . 1,5 8 – 1 = 32 . 1,5 7 = 946,75

Resposta: 946,75

c. Pede-se: S9

S9 = a1 .( q 9 - 1 ) / ( q – 1 ) = 32 . (1,5 9 – 1 ) / ( 1,5 – 1 )

S9 = 32 . (38,44 – 1 ) / 0,5 = 32 . 37,44 / 0,5 = 1 198,18 / 0,5 = 2 396, 38.

Resposta: 2 396,38

1n1n q.aa

1q

)1q(.aS

1n1


Exercício 2

Uma construção geométrica consiste em:

•Ter inicialmente um quadrado;

•Traçar uma reta perpendicular ao ponto médio dos lados opostos,

formando novos quadrados;

•Traçar, de novo, uma reta perpendicular ao ponto médio dos lados opostos

de cada quadrado obtidos no passo anterior;

•Repetir o anterior.

Pede para achar:

a.Na sexta divisão o número de quadrados obtidos;

b.O total de quadrados até a sexta divisão.

Solução


Solução - Exercício 2

Inicialmente vamos simular tal construção:

Início: UM quadrado.

Primeiro Passo: QUATRO quadrados.

Segundo Passo: DEZESSEIS quadrados.

E assim sucessivamente.



Pela construção, percebe que em cada passo, cada quadrado se transforma

em quatro quadrados, assim é uma Progressão Geométrica de Razão 4.

a. Na sexta divisão indica que completou SETE quadrados (Inicial e mais

SEIS)

Então tem-se: a1 = 1 ; r = 4 e n = 7.

Logo : a7 = 1 . 4 7 – 1 = 1 . 4 6 = 4 096.

Resposta : Na Sexta Divisão terão: 4 096 quadrados.

b. O Total de quadrados até a sexta divisão é:

S7 = 1 . (4 7 – 1 ) / (4 – 1) = (16 384 – 1 ) / 3 = 16 383 / 3 = 5 461.

Resposta: Ao todo terão 5 461 quadrados.


Exercício 3

Um cidadão conseguiu fazer um empréstimo de R$ 12 000,00 à taxa de juro

de 5% ao mês, e calculado no Saldo Devedor do mês anterior. Ao final de um

ano, calcule o total de juros que terá de pagar.

Solução

Note que a dívida, em cada período é:

No contrato: 12 000,00

No Primeiro mês: 12 000,00 + 12 000,00x0,05 = 12 600,00

No Segundo Mês: 12 600,00 + 12 600,00x0,05 = 13 230,00

No terceiro Mês: 13 320,00 + 13 320x0,05 = 13 891, 50

O Saldo Devedor é uma progressão Geométrica de Razão: 0,05 e Primeiro

termo: 12 000,00 e n=12.



Assim após UM ano o saldo devedor será:

SD12 = a 12 = a1 . q 12 – 1 = 12 000. 1,05 12 – 1 = 12 000 . 1,05 11

SD12 = 21 550,28

Devido a que o que deseja é o Juro vem:

Juro = Saldo Devedor – Inicial = 21 550,28 – 12 000,00 = 9 550,28

Resposta: O Total de Juro a pagar é de: R$ 9 550,28

PARTE 3 – Progressão GeométricaUm caso Particular: Razão Menor Que 1.

Como se sabe a fórmula de encontrar o termo geral é:

an = a1 . q n – 1

Ocorre que se a razão for menor que UM, o valor de q n – 1 vai reduzindo

de valor, tal qual a Ilustração:

Seja o caso particular de q = 0,5, com isto tem:

q = 0,5

q 2 = 0,5 x 0,5 = 0,25;

q 3 = 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125;

q 4 = 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,0625;

q 5 = 0,5 x 0,5 x 0,5 x0,5 x 0,5 = 0,03125; etc.

O motivo disto é bem simples: Ao Multiplicar um Número por outro menor

que UM, reduz o seu valor.

Progressões Numéricas

PARTE 3 - Progressão Geométrica

FIMProf. Gercino Monteiro Filho

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