parcijalni izvodi

33
Biljana Stamatović

Upload: ognjen-gvozdenovic

Post on 04-Jul-2015

1.682 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Biljana Stamatović

� Realne funkcije više promjenljivih

� Zadatak optimizacije

� 16 časova

� Literatura:

Primjenjena matematikaPrimjenjena matematikaPrimjenjena matematikaPrimjenjena matematika: Barnet, Ziegler,Byleen

Osnovne metode matematičke ekonomijeOsnovne metode matematičke ekonomijeOsnovne metode matematičke ekonomijeOsnovne metode matematičke ekonomije, Alpha Chiang

� z=g(x,y)

� Domen

� Kodomen

� Grafik

y=f(x , x ,…, x , x )� y=f(x1, x2,…, xn-1, xn)

� Odrediti domen sljedećih funkcija

Z=x2+y2

Z=16-x2-y2

Z=y2-x2

� Površina pravougaonika P(a,b)=ab

� Iznos na računu A(P,r,t,n)=P(1+r/n)nt

� Srednja brzina v(s,t)=s/t

� Zapremina valjka V(r,h)=r2hπ

Cobb-Douglas funkcija proizvodnje za opis � Cobb-Douglas funkcija proizvodnje za opis količine proizvoda f(x,y)=kxmyn

k,n,m pozitivne konstante, m+n=1, x –utrošene jedinice rada, y-utrošene jedinice kapitala

� ….

� Naći funkciju mjesečnog prihoda R(x,y) ako su date jednačine zavisnosti cijene i potražnje za dvije vrste proizvoda

p=200-5x+2yq=100+x-2y

gdje su p, q cijene prvog i drugog proizvoda (redom) u zavisnosti od x-tražnje prvog, gdje su p, q cijene prvog i drugog proizvoda (redom) u zavisnosti od x-tražnje prvog, odnosno y-tražnje drugog proizvoda.� Ako je funkcija mjesečnog troška

C(x,y)=500+3x+4y naći funkciju profita P(x,y) i vrijednost profita za nivo tražnje x=10, y=5.

� Nacrtati grafike funkcija

z=x+y

z=x2+y2

� Nacrtati presjeke površi z=3x2+y2 sa ravnima

� y=0, 1, 2,3,4

� x=0, 1, 2, 3

� Z=1,2,3

� Nacrtati presjeke površi z=xy2 , z=x/y sa ravnima

� y=0, y=1, y=2, y=3

� x=0, x=1, x=2, x=3

� Zadaci 42,43, 46, 48 strana 866

� Posmatramo funkciju y=f(x1, x2,…, xn-1, xn)

� Ako promjenljiva xi pretrpi promjenu ∆xi, a ostale promjenljive ostaju nepromjenjene,tada y trpi promjenu. Količnik

� predatvlja srednju promjenu( ) ( )1 1,..., ,.., ,..., ,..,i i n i n

i i

f x x x x f x x xy

x x

+ ∆ −∆=

∆ ∆

� Granična vrijednost

je parcijalni izvod funkcije f po promjenljivoj xi

( ) ( )1 1

0

,..., ,.., ,..., ,..,lim

i

i i n i n

xi

f x x x x f x x x

x∆ →

+ ∆ −

� Oznake, ,

i ix

i

ff f

x

� Naći parcijalne izvode funkcije

( )

3

3 4

( , ) 4 ln

ln( , , ) z x y

f x y x y y x

x yz zy xf x y z e − −

= +

+=( )ln

( , , )2

z x yx yz zy x

f x y z ez xy

− −+

=−

2 2

0.2; 0.3

z x xy y

x y

= + +

= =

2

(0.2,0.3) 0.7

zx y

x

z

x

∂= +

∂=

Parcijalni izvod

predstavlja koeficijent pravca tangente krive dobijene kao presjek ravni y=b i površi (grafik funkcije z=f(x,y)) u tački M(a,b,z(a,b))

( , )z

a bx

funkcije z=f(x,y)) u tački M(a,b,z(a,b))

� Produktivnost proizvoñača data je funnkcijom proizvodnje

gdje je x utrošak rada, a y utrošak kapitala.

Odrediti graničnu produktivnost po osnovu rada

0 . 2 0 . 8( , ) 2 5f x y x y=

� Odrediti graničnu produktivnost po osnovu rada

� Odrediti graničnu produktivnost po osnovu kapitala

� Odrediti granične produktivnosti, ako preduzeće trenutno koristi 1000 jedinica rada i 2000 jedinica kapitala.

� Qd- potrožnja

� Qs –ponuda

� P- cijena

� Model Qd=QsQd=Qs

Qd=a-bP

Qs=-c+dP

Koliko će se promjeniti endogena varijabla kad se promjeni neki od parametaraa, b, c, d?

� Posljednja dva parcijalna izvoda drugog reda nazivaju se mješovitim parcijalnim izvodima drugog redadrugog reda

� Ako je funkcija f neprekidna tada važi:

� Za funkcije

3( , ) 4 lnf x y x y y x= +

naći parcijalne izvode drugog reda

3( , ) 4 lnf x y x y y x= +

� Ako imamo funkciju od n promjenljivih

� Tada je njen totalni diferencijal

� Za koliko će se promjeniti dijagonala pravougaonika sa stranicama x=6m, y=8m, ako se prva stranica poveća za 2mm, a druga smanji za 5mm.

� Odrediti diferencijale drugog reda sljedećih funkcija

� Jednačina tangentne ravni površi z=f(x,y) u tački M(x0,y0,z0) (z0=f(x0,y0) )

gdje su gdje su

� Jednačina prave koja je normalna na tangentnu ravan u tački M zove se normala površi.

� Njena jednačina je:

� Naći tangentnu ravan površi

u tački M(2,1,z(2,1))

( ){ }3 3, , ( , ) | ( , ) 3x y z x y z x y x y= −

u tački M(2,1,z(2,1))

Odrediti parcijalne izvode prvog reda sljedećih funkcija

� Pokazati da su sljedeće jednakosti tačne

� Odrediti parcijalne izvode drugog reda

Dokazati jednakost� Dokazati jednakost